20. Analytická geometrie v rovině
1. Určete, pro které a∈R, b∈R jsou si rovny vektory u = (2a, b2 – 5a) a v = (b – 5, 4a2 + a + b – 4).
[VŠE1ř/127 a=–2, b=1]
2. Určete vektor u= (u 1 , u 2 ) tak, aby platilo 3u + 4v = 5w, je-li v = (5, –7), w = (1, –2). [VŠE3ř/128 u=(–5, 6)]
 − 48 20   48 20 
,
−
 ∨ 
 ]
 13 13   13, 13 
12
8
[K265ano, např. c= a– b]
13
13
3. Určete vektor v, který je kolmý k vektoru u=(5,12) a má velikost 4. [K42ř v= 
4. Zjistěte, zda vektory a=(2, 3), b=(3,–2), c=(0,4) jsou lineárně závislé.
5. Zjistěte, zda trojúhelník KLM je pravoúhlý, je-li K[4, 3], L[12, 9], M[1, 7]. [VŠE8ř/129 LM přepona]
6. Jsou dány body A[1, 1], Β[2, −1], C[3, 2].
a) Dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
b) Vypočtěte velikosti stran trojúhelníku ABC.
c) Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.
d) Vypočítejte vzdálenost těžiště T trojúhelníku ABC od vrcholu C.
[B37.3ř a) AB≠kAC ]
[b) a= 10 , b=c= 5 ]
[c) α=90°, β=γ=45°]
5
3
[d) |TC|= ]
7. Určete hodnotu parametru p∈R tak, aby body A[–1, 2], Β[3, 0], C[p+1, 2p–1] ležely na jedné
přímce.
4
5
[ČVUTb1/173 p= ]
8. Určete hodnotu parametru m∈R tak, aby přímka o rovnici x + 4 y + m 2 − 5m + 9 = 0 procházela
bodem A[1, –1].
[ČVUTb4/176 m=2 ∨ m=3]
9. Přímka je dána rovnicí 2x – 3y + 5 = 0. Určete neznámé souřadnice bodů A[–1, a], Β[b,0], C[2, c] ležících
na přímce.
5
2
[VŠE1/140 a=1, b=- , c=3]
10. Napište parametrické, obecnou a směrnicovou rovnici přímky určené body A[2, –3], Β[0, 1].
[VŠE1ř/134 x=2+t, y=–3–2t, t∈R; 2x+y–1=0; y=–2x+1]
11. Určete obecnou rovnici přímky q, která prochází středem úsečky AB a je rovnoběžná s přímkou p,
je-li a) A[–1, 2], Β[3, 4], p: x – y + 5 = 0
b) A[4, –2], Β[2, 0], p: x + 5y – 10 = 0
[K239 a) S[1, 3], q: x–y+2=0, b) S[3, –1], q: x+5y+2=0]
12. Určete obecnou rovnici přímky q, která prochází středem úsečky AB a je kolmá k přímce p, je-li
a) A[1, 1], Β[3, –1], p: 3x + 2y + 1 = 0
b) A[0, 0], Β[2, –2], p: 2x –3y – 11 = 0
[K239 a) S[2, 0], q: 2x–3y–4=0, b) S[1, –1], q: 3x+2y–1=0]
13. Jsou dány body A[3, 3], Β[8, 9], C[–3, 8].
a) Dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
[K241 AB≠kAC]
b) Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.
[α=90°, β=γ=45°]
c) Určete rovnici přímky výšky va.
[ va: 11x+y–36=0]
d) Určete rovnici přímky těžnice ta.
[11x+y-36=0]
e) Určete souřadnice těžiště T.
f) Určete obsah trojúhelníku ABC.
8 20
[T[ ,
]]
3 3
61
[S= ]
2
14. Jsou dány body A[1, 1], Β[4, –3], C[7, 1], D[4, 5].
a) Zjistěte, zda body A, B. C, D jsou vrcholy kosočtverce
[ano]
b)Vypočtěte velikost strany a velikosti úhlopříček kosočtverce.
[B37.6 |AB|=5, |AC|=6, |BD|=8]
c) Určete velikosti jeho vnitřních úhlů.
[α=106°16′, β=73°44′]
15. Určete vzájemnou polohu přímek p, q, případně určete průsečík:
a) p: x + 2 y − 3 = 0 q: x = 7 − 2t , y = − 1 + t , t ∈ R
f) p: 2 x + 3y − 7 = 0, q : x = 2 + 3t, y = 1 − 2 t, t ∈ R
x
=
2
−
t
,
y
=
1
+
3
t
,
t
∈
R
,
q
:
x
=
−
1
+
u
,
y
=
10
−
3
u
,
u
∈
R
c) p:
d) p: 3x − 6 y + 4 = 0, q: x − 2 y + 3 = 0
e) p: x = 3 − 2t, y = 1 + 3t, t ∈ R , q : x = 4 + 3r, y = 7 − 2r, r ∈ R
b) p : 2x − 3y + 4 = 0, q : 3x + 4 y − 11 = 0
[VŠE16/142 a) rovnoběžné různé b) různoběžné P[1, 2] c) totožné d) B38.1ř rovnoběžné různé e) různoběžné
P[–5, 13] f) B38.6 totožné ]
16. Určete c v rovnici přímky p: 2x + y +c = 0 tak, aby se tato přímka a přímky q, r protínaly
v jednom bodě, jestliže q: 3x + 4y + 1 = 0 a r: x – y – 2 = 0. [VŠE6/141 c=–1]
17. Určete a∈R, b∈R tak, aby rovnice (a − 2) x + (2b + 1) y − 1 = 0 a ax + (2 − 3b) y + 3 = 0 byly rovnicemi téže
3
5
,b= − ]
2
3
x = 1 + t , y = − 1 + 2t,
[ČVUTb26/175 a =
přímky.
18. Určete všechny hodnoty parametru m∈R tak, aby se přímky p: 3x − y + m = 0 q:
t∈R, protínaly ve 3. kvadrantu. [ČVUTb16/177 m∈(−3, ∞)]
19. Určete všechna m∈R tak, aby přímky p: mx + 2 y − 7 = 0 a q: x + 3y − 3 = 0 byly rovnoběžné. Dále
určete velikost úhlu, který tyto přímky svírají s kladnou poloosou x.
[VŠE7/141 m=
2 3
5π
,α =
]
3
6
20. Na ciferníku hodin jsou body A, B, C, D postupně obrazy čísel 1, 6, 3, 10. Dokažte, že přímky AB
a CD jsou navzájem kolmé. [B37.1ř]
21. Určete reálný parametr a tak, aby přímky AB a AC byly kolmé, je-li A[–1, 2], Β[a, 3], C[1, –4].
[VŠE11/142 a=2]
22. Určete bod Α′ souměrně sdružený k bodu A[2, –3] podle osy p: 2x – y + 3 = 0. [M3ř/90 A′[–6, 1]]
23. Jsou dány body A[0, 1], Β[5, 6]. Na ose x určete takový bod M, aby přímky AM a BM byly na
sebe kolmé.
[K237 M1[2, 0], M2[3, 0]]
24. Určete hodnoty parametrů a∈R, b∈R tak, aby přímka o rovnici 3x − 2 y − 1 = 0 byla osou úsečky
AB, kde A[a, 3], Β[4, b].
[ČVUTb8/176 a=–2, b=–1]
25. Jsou dány body A[–2, 2], Β[6, 8]. Bodem A veďte přímku p a bodem B veďte přímku q tak, aby
přímky p, q byly navzájem kolmé a jejich průsečík ležel na ose x. [B39.1ř p: x+2y–2=0, q: 2x–y–4=0]
[VŠE10ř/139 2 2 ]
26. Určete vzdálenost bodu od přímky p: x = 2t, y = –4 – t, t∈R
27. Najděte bod, který má od bodů A[4, –1], Β[7, 2], C[–2, 11] stejnou vzdálenost. [VŠE10ř/130 X[1, 5]]
28. Určete vzdálenost bodu A[1, 3] od přímky p: x = 1 − 3t , y = 2 + 2t, t ∈ R [B40.8, viz B40.2ř pro rovinu v=3]
29. Určete na přímce p bod Q, který má od bodu P ležícího na přímce p vzdálenost d = 10.
[Mag5ř/93 Q[9, 7], Β[–7, –5]]
30. Určete vzdálenost d bodu A[0, 2] od přímky BC, kde B[9, 5], C[1, –1]
[ČVUT47/179 d=3]
31. Určete vzdálenost d bodu B[1, –3] od kolmého průmětu bodu A[3, –2] na přímku p : 2x + y + 1 = 0 .
[ČVUT46/179 d=0]
4
10 ]
32. Určete vzdálenost d rovnoběžek p : x = 1 + t, y = − 2 + 3t, t ∈ R a q : 3x − y + 3 = 0 . [ČVUT49/179 d =
5
33. Napište rovnici přímky p, která prochází bodem A a od bodu B má vzdálenost v, je-li
a) A[1, 2], Β[1, –1], v=
3 2
2
b) A[2, 3], Β[0, –1], v = 4
[B40.1ř a) p: x–y+1=0, p: x+y–3=0 b) B40.6 p: 4x+3y–17=0, p: y–3=0]
34. Určete hodnotu směrnice k tak, aby přímka p: y = kx + 5 měla od bodu P[0, 0] vzdálenost d = 5 .
[K245 k=–2 nebo k=2]
35. Napište rovnici přímky p, která prochází bodem A[3, –5] a jejíž směrový úhel je dvakrát větší než
4 x − 3y − 27 = 0 ]
směrový úhel přímky q: x − 2 y − 5 = 0 .
[K271p:
36. Určete rovnici přímky q, která prochází bodem A[–3, 0] a s přímkou p svírá úhel α, kde
a) A[–3, 0], p: 3x + 3y + 5 = 0 , α = 60° . b) p(A, B), A[5, 2], Β[–5, –5], α = 45° [B39.2ř nebo pomocí vztahu
tg α
=
kp − kq
1+ k p k q
v tab., q: x+3=0, g: x–
3 y+3=0 b) K248 návod, p: 3x + 17 y − 49 = 0,
q:
17 x − 3y − 79 = 0 ]
Download

20. Analytická geometrie v rovině.pdf