7
Elementární funkce
Koncem 18. století se matematici a přírodovědci shodovali na tom, že většina reálných situací se dá reprezentovat modely obsahujícími pouze tzv. elementární funkce.
Ze současného pohledu jsou to vlastně funkce, které byly do té doby popsány.
Elementární funkce jsou funkce, které lze vytvořit pomocí konečného počtu operací
sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí pouze ze základních elementárních funkcí. Mezi základní elementární funkce řadíme funkce mocninné, exponenciální a logaritmické, goniometrické a cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické.
Důkazy tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt např. v [23].
Co budete umět po nastudování této kapitoly:
– znát a umět používat základní vlastnosti základních elementárních funkcí,
– načrtnout grafy základních elementárních funkcí,
– určit definiční obor dané elementární funkce,
– rozložit polynom na součin kořenových činitelů, dělit polynom polynomem,
– rozložit racionální funkce na parciální zlomky.
7.1
Základní elementární funkce
S většinou ze základních elementárních funkcí jste se určitě setkali na střední škole.
V této kapitole najdete jejich souhrnný přehled včetně grafů a nejdůležitějších vlastností.
7.1.1
Obecná mocninná funkce
Definice 7.1 Mocninná funkce s exponentem a ∈ R je každá funkce tvaru
f (x) = xa .
Definiční obor, obor hodnot i vlastnosti této funkce závisí na tom, z jaké podmnožiny
množiny R je exponent a.
• Konstantní funkce
Jestliže a = 0, dostáváme konstantní funkci f (x) = 1. Tato funkce je sudá, Df = R
(pro x = 0 dodefinujeme f (0) = 1), Hf = {1}.
y
1
0
f(x)=1
x
• Mocninná funkce s přirozeným exponentem
Jestliže je exponent a přirozené číslo, obvykle ho značíme n a dostáváme mocninnou
funkci ve tvaru f (x) = xn , kde n ∈ N.
87
* Je-li n liché, pak platí Df = R, Hf = R, funkce je lichá, neomezená a rostoucí
na Df .
* Je-li n sudé, pak platí Df = R, Hf = R+
0 , funkce je sudá, omezená zdola,
klesající na (−∞, 0 i a rostoucí na h0, ∞).
5
f(x)=x f(x)=x3
y
y
f(x)=x4
f(x)=x
1
f(x)=x2
-1
0
1
x
1
-1
-1
0
x
1
• Funkce n-tá odmocnina
Jestliže a = n1 , kde n ∈ N, n ≥ 2, dostáváme mocninnou funkci ve tvaru f (x) =
√
1
x n = n x, n ∈ N.
√
* Je-li n liché (n ≥ 3), je funkce f (x) = n x inverzní funkcí k funkci xn pro
x ∈ R. Navíc platí, že Df = R, Hf = R, funkce je lichá, neomezená a rostoucí
na Df .
√
* Je-li n sudé (n ≥ 2), je funkce f (x) = n x inverzní funkcí k funkci xn pro
x ∈ h0, ∞). Navíc platí, že Df = h0, ∞), Hf = h0, ∞), funkce zdola omezená
a rostoucí na Df .
y
f(x)=x5 f(x)=x3
y
f(x)=x4
3
f(x)= x
f(x)= 5 x
1
f(x)=x2
f(x)= x
-1
0
1
x
f(x)= 4 x
1
-1
0
1
x
• Mocninná funkce se záporným celým exponentem
Je-li exponent celé záporné číslo, obvykle ho uvádíme ve tvaru a = −n, kde n ∈ N,
a dostáváme mocninnou funkci ve tvaru f (x) = x−n = x1n , kde n ∈ N.
* Je-li n liché, pak platí Df = R \ {0}, Hf = R \ {0}, funkce je lichá, neomezená,
klesající na (−∞, 0) a na (0, ∞).
* Je-li n sudé, pak platí Df = R \ {0}, Hf = R+ , funkce je sudá, omezená zdola,
rostoucí na (−∞, 0) a klesající na (0, ∞).
88
y
f(x)=
f(x)=
1
4
x
1
f(x)= x
1
-1
y
1
x3
x
1
-1
f(x)= 12
x
1
-1
01
x
• Mocninná funkce s racionálním exponentem
, kde m, n jsou nesoudělná,
Nechť je exponent a racionální číslo ve tvaru a = m
n
√
m
m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2. Mocninná funkce je pak ve tvaru f (x) = x n = n xm .
Definiční obor závisí na číslech m a n:
* je-li m > 0 a n liché, pak Df = R;
* je-li m < 0 a n liché, pak Df = R \ {0};
* je-li m > 0 a n sudé, pak Df = h0, ∞);
* je-li m < 0 a n sudé, pak Df = (0, ∞).
• Mocninná funkce s iracionálním exponentem
V případě, že a ∈ R \ Q (tj. a je iracionální), je mocninná funkce f (x) = xa
definována pomocí logaritmické a exponenciální funkce jako f (x) = xa = ea ln x (viz
dále). Potom Df = R+ , Hf = R+ , pro a > 0 je funkce rostoucí a pro a < 0 je
klesající.
Tímto máme definovanou mocninnou funkci f (x) = xa pro všechny hodnoty exponentu a ∈ R. Pro libovolnou hodnotu exponentu a je mocninná funkce definována vždy
nejméně na intervalu (0, ∞). Typ monotonie této funkce na intervalu (0, ∞) pak závisí
na exponentu a, jak je naznačeno na následujícím obrázku:
a>1
y
a=1
f(x) = xa
0<a<1
a=0
1
a<0
0
x
1
Na intervalu (0, ∞) pak také platí univerzální vztah
xa = ea·ln x ,
x ∈ R+ , a ∈ R.
Z tohoto vztahu ihned plynou následující pravidla pro nerovnosti.
89
Věta 7.1 Nechť x, y ∈ R+ , a, b ∈ R. Potom platí
• xa > 0;
• je-li x < y, a > 0, pak xa < y a ;
• je-li x < y, a < 0, pak xa > y a ;
• je-li x > 1, a < b, pak xa < xb ;
• je-li x < 1, a < b, pak xa > xb .
Nakonec ještě připomeneme základní pravidla pro počítání s mocninnými funkcemi.
Věta 7.2 Nechť x, y ∈ R+ , a, b ∈ R. Potom platí
x y = (xy)
a a
xa xb = xa+b
xa
=
ya
a
xa
= xa−b
xb
a
x
y
x−a =
1
xa
(xa )b = xab .
Věta 7.3 Nechť x, y ∈ R+ , m, n ∈ N, m, n ≥ 2. Potom platí
√
r
n
√
√
x
x
√
n
n
n
= √
x·y = x· ny
n
y
y
q
√
k
n √
√
√
√
n
m √
n
n
n
k
x =
x ,k∈Z
x = m·n x
x = n xn = x.
7.1.2
Exponenciální funkce
Exponenciální funkce se využívá pro modelování mnoha (nejen) přírodních jevů, protože vyjadřuje tzv. zákon přirozeného růstu. Pomocí ní můžeme popsat například organický růst (např. vývoj populace), vyrovnávání rozdílů (např. ochlazování nebo rozpouštění), průběh chemických reakcí aj. Typickým ekonomickým příkladem je pak spojité
úročení.
Definice 7.2 Exponenciální funkcí se základem a, a ∈ R+ , a 6= 1, je každá funkce
tvaru f (x) = ax , x ∈ R.
y
x
f(x) = ax
pro 0<a<1
f(x) = a
pro a>1
1
0
90
x
Definičním oborem této funkce je tedy celá množina R, oborem hodnot pak Hf = R+ .
Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická. Typ monotonie funkce závisí na jejím
základu a; pro a > 1 je rostoucí a pro 0 < a < 1 je klesající. Graf funkce ax vždy prochází
bodem (0, 1).
Věta 7.4 Nechť a ∈ R+ , a 6= 1; pro všechna x, y ∈ R platí
x+y
a
=a ·a
x
y
x−y
a
ax
= y
a
(ax )y = ax·y .
Poznámka 7.1
• Mezi exponenciálními funkcemi zaujímá důležité místo tzv. přirozená exponenciální
funkce f (x) = ex , kde e je Eulerovo číslo (viz kapitolu 4.4).
• Exponenciální funkce se základem a = 10 se nazývá dekadická exponenciální funkce.
Funkce exponenciální je na svém Df prostá, existuje k ní tedy funkce inverzní - ta se
nazývá logaritmická funkce a je popsána v následující části.
7.1.3
Logaritmická funkce
Definice 7.3 Nechť a ∈ R, a > 0, a 6= 1. Inverzní funkce k exponenciální funkci ax
se nazývá logaritmická funkce o základu a a značí se f (x) = loga x.
y
0
f(x) = loga x pro a>1
1
x
f(x) = loga x pro 0<a<1
Z výše uvedené definice tedy plyne následující ekvivalence (x ∈ R, y ∈ R+ ):
y = ax
⇔
x = loga y.
Definičním oborem logaritmické funkce je Df = (0, ∞), obor hodnot je Hf = R, funkce
není sudá ani lichá, není periodická; pro 0 < a < 1 je klesající a pro a > 1 je rostoucí.
Graf funkce loga x vždy prochází bodem (1, 0).
Věta 7.5 Nechť a, b ∈ R+ , a 6= 1, b 6= 1; pro všechna x, y ∈ R+ platí
loga (xy) = loga x + loga y
loga
loga xy = y loga x
x
= loga x − loga y
y
logb x =
91
loga x
.
loga b
Poznámka 7.2
• Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy; symbol loga x čteme
jako logaritmus čísla x o základu a nebo logaritmus o základu a čísla x.
• Specielně pro a = e dostáváme tzv. přirozenou logaritmickou funkci a značíme ji
f (x) = ln x (tj. ln x = loge x). Pro a = 10 dostáváme tzv. dekadickou logaritmickou
funkci a značíme ji f (x) = log x (tj. log x = log10 x).
• Nechť a > 0, a 6= 1. Podle pravidel pro skládání funkcí dostáváme pro funkce
f (x) = ax a f −1 (x) = loga x následující vztahy:
(f ◦ f −1 )(x) = aloga x = x
∀x ∈ R+
(f −1 ◦ f )(x) = loga ax = x
∀x ∈ R.
Věta 7.6 Nechť a ∈ R, x ∈ R+ ; potom platí
xa = ea ln x .
7.1.4
Goniometrické funkce
Mezi goniometrické funkce řadíme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Máme
více možností, jak tyto funkce definovat (jako součet nekonečné řady, použitím funkcionálních rovnic aj.). My použijeme definici využívající jednotkovou kružnici.
Úhly budeme měřit v míře obloukové, kdy platí, že 1◦ v míře stupňové je roven úhlu
π
v míře obloukové.
velikosti 180
Uvažujme tedy jednotkovou kružnici se středem v počátku a bod A = (m, n) ležící na
této kružnici. Jako x označíme orientovaný úhel (v míře obloukové), který svírá kladný
směr osy x s průvodičem bodu A – viz následující obrázek:
cotg x
1
A=(m,n)
tg x
sin x |x|
x
0
cos x
92
1
x
• Funkce sinus
Definice 7.4 Funkce f , jejíž hodnota je v každém bodě x ∈ R rovna souřadnici
n bodu A, se nazývá sinus. Hodnota funkce sinus v bodě x se značí sin x.
y
f(x) = sin x
1
-p
-p
2
p
2
0
p
2p
x
-1
Definičním oborem je Df = R, oborem hodnot Hf = h−1, 1i; funkce je lichá,
tj. platí sin(−x) = − sin x ∀x ∈ R; funkce je periodická s primitivní periodou
2π, tj.
na všech interva
platí sin(x + 2π) = sin x ∀x ∈ R; funkce je rostoucí
+ 2kπ , kde
lech − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ a klesající na všech intervalech π2 + 2kπ, 3π
2
k ∈ Z.
• Funkce kosinus
Definice 7.5 Funkce f , jejíž hodnota je v každém bodě x ∈ R rovna souřadnici
m bodu A se nazývá kosinus. Hodnota funkce kosinus v bodě x se značí cos x.
y
f(x) = cos x
1
-p
-p
2
0
p
2
p
2p
x
-1
Definičním oborem je Df = R, oborem hodnot Hf = h−1, 1i; funkce je sudá, tj.
platí cos(−x) = cos x ∀x ∈ R; funkce je periodická s primitivní periodou 2π, tj. platí
cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R; funkce je rostoucí na všech intervalech h(2k − 1)π, 2kπi
a klesající na všech intervalech h2kπ, (2k + 1)πi, kde k ∈ Z.
• Funkce tangens
Definice 7.6 Funkce f (x) =
v bodě x se značí tg x, tj.
sin x
cos x
se nazývá tangens. Hodnota funkce tangens
tg x =
93
sin x
.
cos x
y
f(x) = tg x
-p
2
-p
p
2
0
p
x
3p
2
Definičním oborem je Df = R \ { π2 + kπ; k ∈ Z}, oborem hodnot Hf = R; funkce
je lichá, tj. tg (−x) = −tg x ∀x ∈ Df , funkce je periodická s primitivní periodou π,
tj. tg (x + π) = tg x ∀x ∈ Df ; funkce je rostoucí na intervalech (− π2 + kπ, π2 + kπ),
k ∈ Z.
• Funkce kotangens
x
Definice 7.7 Funkce f (x) = cos
se nazývá kotangens. Hodnota funkce kotansin x
gens v bodě x se značí cotg x, tj.
cotg x =
1
cos x
=
.
sin x
tg x
y
f(x) = cotg x
-p
-p
2
0
p
2
p
3p
2
x
Definičním oborem je Df = R \ {kπ; k ∈ Z}, oborem hodnot Hf = R; funkce je
lichá, tj. cotg (−x) = −cotg x ∀x ∈ Df , funkce je periodická s primitivní periodou
π, tj. cotg (x + π) = cotg x ∀x ∈ Df ; funkce je klesající na intervalech (kπ, (k + 1)π),
k ∈ Z.
Vlastnosti goniometrických funkcí
V této části uvedeme nejpoužívanější vztahy a vzorce platné pro goniometrické
funkce. Všechny uvedené rovnosti platí všude, kde je současně definovaná levá i
94
pravá strana rovnosti. Připomeňme, že např. zápis sin2 x znamená (sin x)2 , tj. rozlišujte sin2 x a sin x2 (viz také příklad 6.21 na str. 81).
sin2 x + cos2 x = 1
sin(2x) = 2 sin x cos x
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
π
−x
sin x = cos
2
1 − cos(2x)
sin2 x =
2
x+y
x−y
sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x−y
x+y
cos
cos x + cos y = 2 cos
2
2
7.1.5
cos(2x) = cos2 x − sin2 x
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
π
cos x = sin
−x
2
1 + cos(2x)
cos2 x =
2
x+y
x−y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
Cyklometrické funkce
Cyklometrickými funkcemi rozumíme funkce arkussinus, arkuskosinus, arkustangens
a arkuskotangens. Definujeme je jako inverzní funkce k funkcím goniometrickým. Protože
goniometrické funkce nejsou na svých definičních oborech prosté, musíme jejich definiční
obory nejdříve vhodně zúžit.
• Funkce arkussinus
Definice
7.8
Funkcí arkussinus nazveme funkci, která je inverzní k funkci sin x,
x ∈ − π2 , π2 . Hodnota funkce arkussinus v bodě x se značí arcsin x.
y
arcsin x
p
2
1
sin x
- p -1
2
0
1
p
2
-1
-p
2
Definičním oborem funkce arkussinus je Df = h−1, 1i, oborem hodnot Hf = − π2 , π2 ;
funkce je lichá, rostoucí, omezená a není periodická.
95
• Funkce arkuskosinus
Definice 7.9 Funkcí arkuskosinus nazveme funkci, která je inverzní k funkci
cos x, x ∈ h0, πi. Hodnota funkce arkuskosinus v bodě x se značí arccos x.
y
p
arccos x
p
2
1
p
2
0
-1
p
1
x
cos x
-1
Definičním oborem funkce arkuskosinus je Df = h−1, 1i, oborem hodnot Hf =
h0, πi; funkce je klesající, omezená a není ani lichá ani sudá, není periodická.
• Funkce arkustangens
Definice 7.10 Funkcí arkustangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci
tg x, x ∈ (− π2 , π2 ). Hodnota funkce arkustangens v bodě x se značí arctg x.
y
tg x
p
2
-p
2
arctg x
0
p
2
x
-p
2
Definičním oborem funkce arkustangens je Df = R, oborem hodnot Hf = (− π2 , π2 );
funkce je lichá, rostoucí, omezená a není periodická.
96
• Funkce arkuskotangens
Definice 7.11 Funkcí arkuskotangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci
cotg x, x ∈ (0, π). Hodnota funkce arkuskotangens v bodě x se značí arccotg x.
y
p
arccotg x
p
2
0
p
2
p
x
cotg x
Definičním oborem funkce arkuskotangens je Df = R, oborem hodnot Hf = (0, π);
funkce je klesající, omezená a není ani lichá ani sudá, není periodická.
Poznámka 7.3 Z výše uvedených definic ihned plyne následující:
y = arcsin x ⇔ x = sin y , kde x ∈ h−1, 1i, y ∈ − π2 , π2
y = arccos x
y = arctg x
y = arccotg x
⇔
⇔
x = cos y , kde x ∈ h−1, 1i, y ∈ h0, πi
x = tg y , kde x ∈ R, y ∈ (− π2 , π2 )
x = cotg y , kde x ∈ R, y ∈ (0, π)
arcsin (sin x) = x , pro x ∈ − π2 , π2
⇔
sin(arcsin x) = x , pro x ∈ h−1, 1i
arctg (tg x) = x , pro x ∈ − π2 , π2
tg (arctg x) = x , pro x ∈ R
7.1.6
Hyperbolické funkce
S hyperbolickými funkcemi jste se asi na střední škole nesetkali, ale protože se často
vyskytují zejména v technické praxi, uvedeme zde aspoň jejich základní přehled. Mezi
hyperbolické funkce patří funkce hyperbolický sinus, hyperbolický kosinus, hyperbolický
tangens a hyperbolický kotangens.
97
• Hyperbolický sinus
x
Definice 7.12 Funkci f (x) = e −e
, x ∈ R, nazýváme hyperbolický sinus.
2
Hodnota funkce hyperbolický sinus v bodě x se značí sinh x, tj.
−x
sinh x =
ex − e−x
.
2
y
sinh x
1
x
1
Definičním oborem i oborem hodnot funkce hyperbolický sinus je R, funkce je lichá,
není periodická a je rostoucí.
• Hyperbolický kosinus
x
, x ∈ R, nazýváme hyperbolický kosinus.
Definice 7.13 Funkci f (x) = e +e
2
Hodnota funkce hyperbolický kosinus v bodě x se značí cosh x, tj.
−x
cosh x =
ex + e−x
.
2
y
cosh x
1
x
Definičním oborem funkce hyperbolický kosinus je R, oborem hodnot pak h1, ∞);
funkce je sudá, není periodická, je rostoucí v intervalu h0, ∞) a klesající v intervalu
(−∞, 0i.
98
• Hyperbolický tangens
sinh x
, x ∈ R, nazýváme hyperbolický tangens.
Definice 7.14 Funkci f (x) = cosh
x
Hodnota funkce hyperbolický tangens v bodě x se značí tgh x, tj.
tgh x =
sinh x
ex − e−x
= x
.
cosh x
e + e−x
y
1
tgh x
x
-1
Definičním oborem funkce hyperbolický tangens je R, oborem hodnot (−1, 1), funkce
je lichá, omezená, není periodická a je rostoucí.
• Hyperbolický kotangens
x
Definice 7.15 Funkci f (x) = cosh
, x ∈ R \ {0}, nazýváme hyperbolický kosinh x
tangens. Hodnota funkce hyperbolický kotangens v bodě x se značí cotgh x,
tj.
ex + e−x
cosh x
= x
.
cotgh x =
sinh x
e − e−x
y
cotgh x
1
x
-1
Definičním oborem funkce hyperbolický kotangens je R \ {0}, oborem hodnot množina (−∞, −1) ∪ (1, ∞), funkce je lichá, není periodická a je klesající na intervalech
(−∞, 0) a (0, ∞).
99
7.1.7
Hyperbolometrické funkce
Hyperbolometrické funkce definujeme jako funkce inverzní k funkcím hyperbolickým.
Pozor musíme dát u hyperbolického kosinu, neboť tato funkce není prostá (musíme proto
nejdříve vhodně zúžit její definiční obor). Mezi hyperbolometrické funkce řadíme funkce
argument hyperbolického sinu, argument hyperbolického kosinu, argument hyperbolického
tangens a argument hyperbolického kotangens.
• Argument hyperbolického sinu
Definice 7.16 Funkcí argument hyperbolického sinu nazveme funkci, která je
inverzní k funkci hyperbolický sinus. Hodnota funkce argument hyperbolického
sinu v bodě x se značí argsinh x.
y
argsinh x
1
1
x
Definičním oborem i oborem hodnot funkce argsinh x je R, funkce je lichá, není
periodická a je rostoucí.
• Argument hyperbolického kosinu
Definice 7.17 Funkcí argument hyperbolického kosinu nazveme funkci, která
je inverzní k funkci hyperbolický kosinus pro x ∈ h0, ∞). Hodnota funkce argument hyperbolického kosinu v bodě x se značí argcosh x.
y
argcosh x
x
1
Definičním oborem funkce argcosh x je h1, ∞), oborem hodnot h0, ∞), funkce není
lichá ani sudá, není periodická a je rostoucí.
• Argument hyperbolického tangens
Definice 7.18 Funkcí argument hyperbolického tangens nazveme funkci, která
je inverzní k funkci hyperbolický tangens. Hodnota funkce argument hyperbolického tangens v bodě x se značí argtgh x.
100
y
argtgh x
1
-1
x
Definičním oborem funkce argtgh x je (−1, 1), oborem hodnot R, funkce je lichá,
není periodická a je rostoucí.
• Argument hyperbolického kotangens
Definice 7.19 Funkcí argument hyperbolického kotangens nazveme funkci, která
je inverzní k funkci hyperbolický kotangens. Hodnota funkce argument hyperbolického kotangens v bodě x se značí argcotgh x.
y
argcotgh x
1
-1
x
Definičním oborem funkce argcotgh x je (−∞, −1) ∪ (1, ∞), oborem hodnot R \ {0},
funkce je lichá, není periodická a je klesající na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞).
7.2
Elementární funkce
Definice 7.20 Funkce se nazývá elementární funkce, jestliže ji lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pouze pomocí konečného počtu algebraických operací nebo
skládání.
Poznámka 7.4 Ne všechny funkce jsou elementární, například funkce sgn x nebo Dirichletova funkce nejsou elementárními funkcemi.
101
Rozdělení elementárních funkcí:

transcendentní









iracionální









elementární



algebraické


racionální















celé racionální






ryze lomené



racionální
lomené racionální


neryze lomené






racionální
Definice 7.21 Elementární funkce se nazývá algebraická, jestliže je vytvořena pomocí
algebraických operací pouze z konstantní funkce a mocninné funkce xα , α ∈ Q \ {0}.
Elementární funkce, která není algebraická, se nazývá transcendentní.
Příklad 7.1
√
√
x+3
příklady algebraických funkcí: x2 − 3x + 5, 3 x2 − 1, √5 x−1−7
příklady transcendentních funkcí: sin(x2 − 1), ln x · e−x , arcsin (x + 1)
❡
Definice 7.22 Algebraické funkce, které jsou vytvořené pouze pomocí algebraických
operací (tj. bez skládání), se nazývají racionální. Ostatní algebraické funkce se nazývají iracionální.
Příklad 7.2
1
3 −x5
x2 −1
, 3+
příklady racionálních funkcí: x2 + 4x − 7, xx−1
x
x+2
√
√
√
3 2
příklady iracionálních funkcí: 3 x2 − 1, √3 x+3
, 1+ √5x 4+1
x−1
x
x
❡
Definice 7.23 Nechť n ∈ N0 a a0 , a1 , . . . , an ∈ R, an 6= 0. Celou racionální funkcí
(polynomem stupně n, algebraickým mnohočlenem stupně n) nazýváme funkci tvaru
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 , x ∈ R. Číslo n se nazývá stupeň
polynomu P a konstanty a0 , a1 , . . . , an se nazývají koeficienty polynomu P . Polynomy
stupně n a stupňů nižších nazýváme polynomy stupně nejvýše n.
Definice 7.24 Kořenem polynomu P se nazývá reálné nebo komplexní číslo α takové,
že P (α) = 0.
Věta 7.7 (Základní věta algebry) Každý polynom stupně n ≥ 1 má v C alepoň jeden
kořen.
Věta 7.8 Má-li polynom P stupně n ≥ 1 kořen α, potom existuje polynom Q stupně
n − 1 takový, že P (x) = (x − α) · Q(x) pro každé x ∈ R.
Příklad 7.3 Uvažujme polynom P (x) = x3 − 4x2 + x + 6; tento polynom stupně n = 3
má kořen α = 2. Podle předchozí věty existuje polynom Q(x) tak, že
P (x) = Q(x)(x − 2).
102
Polynom Q(x) najdeme jednoduše vydělením polynomu P (x) členem (x − 2), kdy dostáváme
Q(x) = P (x) : (x − 2) = x2 − 2x − 3.
Lze tedy psát
P (x) = (x − 2)(x2 − 2x − 3) = (x − 2)(x + 1)(x − 3).
❡
Definice 7.25 Výraz (x−α) z předchozí věty se nazývá kořenový činitel polynomu P .
Kořen α polynomu P stupně n se nazývá k-násobný kořen polynomu P (kde k ≤ n),
jestliže existuje polynom Q stupně n−k tak, že P (x) = (x−α)k ·Q(x) pro každé x ∈ R
a přitom α není kořenem polynomu Q. Pro k = 1 se kořen nazývá jednoduchý.
Příklad 7.4
a) Kořen α = 2 je jednoduchým kořenem polynomu P (x) = x3 − 4x2 + x + 6, protože
P (x) = (x − 2) · Q(x) = (x − 2)(x2 − 2x − 3) a α = 2 není kořenem Q(x).
❡
b) Kořen α = 3 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x) = (x − 3)2 (x2 − 1).
Věta 7.9 (O rozkladu polynomu) Každý polynom P stupně n lze jednoznačně rozložit
na součin lineárních a kvadratických členů s reálnými koeficienty tvaru
P (x) = an (x − α1 )k1 · · · (x − αj )kj · (x2 + p1 x + q1 )s1 · · · (x2 + pi x + qi )si ,
kde
• k1 + k2 + · · · + kj + 2s1 + 2s2 + · · · + 2si = n;
• α1 , . . . , αj jsou všechny navzájem různé reálné kořeny polynomu P a
k1 , . . . , kj jsou jejich násobnosti;
• kvadratické členy nemají reálné kořeny, ale každý z nich má dvojici komplexně
sdružených kořenů s násobnostmi s1 , . . . , si .
Příklad 7.5
a) Polynom x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) má dva jednoduché reálné kořeny 1 a −1.
2
b) Polynom x6 − x5 + x4 − 3x3 − 3x
6 = (x + 1)(x − 2)(x2 + 1)(x2 + 2) =
√ − 3x −√
= (x + 1)(x − 2)(x + i)(x − i)(x + i 2)(x − i 2) má dva jednoduché√reálné kořeny −1 a
2 a dvě dvojice komplexně sdružených jednoduchých kořenů ±i a ±i 2.
c) Polynom x3 − 4x2 − 3x + 18 = (x − 3)2 (x + 2) má reálné kořeny 3 a −2; kořen 3 je
❡
dvojnásobný a kořen −2 je jednoduchý.
Popsané rozklady polynomů budeme potřebovat při integrování racionálních funkcí,
konkrétně při rozkladu racionálních funkcí na parciální zlomky (viz dále).
Definice 7.26 Lomenou racionální funkcí nazýváme algebraickou funkci typu
R(x) =
P (x)
pro každé x ∈ R \ {x ∈ R; Q(x) = 0},
Q(x)
kde P a Q jsou polynomy, přičemž Q je stupně alespoň 1. Jestliže stP < stQ, nazývá se
R ryze lomená racionální funkce; jinak se R nazývá neryze lomená racionální funkce.
103
Příklad 7.6 Funkce xx−1
2 +3 a
lomené racionální funkce.
3
1−2x
jsou ryze lomené, funkce
x3 −3x+8
x−2
a
x+1
x−1
jsou neryze
❡
Poznámka 7.5 Některé racionální funkce mají speciální názvy:
• lineární funkce : y = ax + b, a 6= 0, x ∈ R
• přímá úměra : y = kx, k 6= 0, x ∈ R
• kvadratická funkce : y = ax2 + bx + c, a 6= 0, x ∈ R
• lineární lomená funkce : y =
ax+b
,
cx+d
ad 6= bc, c 6= 0, x ∈ R \ {− dc }
• nepřímá úměra : y = kx , k 6= 0, x ∈ R \ {0}
Některé funkce na první pohled vypadají jako racionální lomené, ale po úpravě jsou
2 −x−2
rovny polynomu, např. x x+1
= x − 2. V takovém případě je považujeme za polynomy.
Následující věta říká, jak složitou racionální funkci převést na součet jednodušších
racionálních funkcí přesně daného tvaru – na tzv. parciální zlomky prvního a druhého
druhu. Tento rozklad se dá využít v mnoha situacích, my ho použijeme zejména při
integraci racionálních funkcí.
P (x)
Věta 7.10 (Rozklad na parciální zlomky) Nechť R(x) = Q(x)
je ryze lomená racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají žádné společné kořeny. Nechť
Q(x) = an (x − α1 )k1 · · · (x − αj )kj · (x2 + p1 x + q1 )s1 · · · (x2 + pi x + qi )si .
Potom existují (jednoznačně určená) reálná čísla A11 , . . . A1k1 , . . . , Aj1, . . . Ajkj , B11 ,
. . . B1s1 , . . . , Bi1 , . . . Bisi , C11 , . . . C1s1 , . . . , Ci1 , . . . Cisi taková, že
R(x) =
+
+
Ajkj
Aj1
A12
A1k1
A11
+
·
·
·
+
+
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
x − α1 (x − α1 )2
(x − α1 )k1
x − αj
(x − αj )kj
{z
}
|
{z
}
|
B11 x + C11
B12 x + C12
B1s x + C1s1
+ 2
+···+
+···+ 2 1
2
2
x + p1 x + q1 (x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )s1
|
{z
}
Bis x + Cisi
Bi1 x + Ci1
+···+ 2 i
.
2
x + pi x + qi
(x + pi x + qi )si
|
{z
}
Příklad 7.7 Rozklad následující ryze lomené racionální funkce (tj. kde P (x) je polynom
stupně nejvýše 5) hledáme ve tvaru
P (x)
A11
A21
A22
A23
=
+
+
+
+
(x − 1)(x + 2)3 (x2 − x + 1)2
x − 1 x + 2 (x + 2)2 (x + 2)3
B12 x + C12
B11 x + C11
+ 2
,
+ 2
x −x+1
(x − x + 1)2
kde v čitatelích jsou zatím neznámé konstanty.
104
❡
Pro danou ryze lomenou racionální funkci tedy hledáme neznámé koeficienty v čitatelích jednotlivých parciálních zlomků. Obdobně jako v předchozím příkladu si symbolicky
naznačíme rozklad a pak příslušné koeficienty dopočítáme. Můžeme si zvolit ze dvou
možností (které samozřejmě vedou ke stejnému výsledku):
a) Převedeme všechny zlomky na pravé straně na společného jmenovatele (tj. Q(x)) a
porovnáme polynomy v čitatelích na levé a pravé straně.
b) Vynásobíme celou rovnost polynomem Q(x) a porovnáme výsledné polynomy na
levé a pravé straně.
Připomeňme, že dva polynomy se rovnají právě tehdy, když se rovnají koeficienty
u stejných mocnin proměnné daných polynomů.
Tímto porovnáním získáme soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty. Řešení
této soustavy nakonec dosadíme do naznačeného rozkladu.
V případě, že rozkládaná racionální funkce R(x) není ryze racionální, musíme nejdříve
provést ještě jednu úpravu, protože na parciální zlomky lze rozložit jen funkci ryze raP (x)
, kde stP ≥ stQ. Potom R(x) převedeme (vydělením
cionální. Mějme tedy R(x) = Q(x)
polynomu P polynomem Q) na tvar
R(x) = M(x) +
P1 (x)
,
Q(x)
kde M(x) je polynom a stP1 < stQ. Na parciální zlomky pak rozkládáme pouze
Celý postup si ukážeme na následujících příkladech.
Příklad 7.8 Rozložte na parciální zlomky racionální funkci
R(x) =
P1 (x)
.
Q(x)
P (x)
x2 − 2
= 3
Q(x)
x − 3x + 2
Řešení:
1. Funkce R(x) je ryze racionální, takže můžeme přímo rozkládat.
2. Rozložíme polynom Q(x) ve jmenovateli na součin kořenových činitelů:
Q(x) = (x − 1)2 (x + 2).
3. Polynom Q má pouze reálné kořeny, takže rozklad bude obsahovat pouze parciální
zlomky prvního druhu. Budou celkem tři, dva příslušící dvojnásobnému kořenu 1 a
jeden jednoduchému kořenu −2. Rozklad proto hledáme ve tvaru
(R(x) =)
A
B
C
x2 − 2
=
+
+
.
3
2
x − 3x + 2
x − 1 (x − 1)
x+2
4. Pro určení neznámých koeficientů A, B a C vynásobíme výše uvedenou rovnost
polynomem Q:
x2 − 2 = A(x − 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1)2
x2 − 2 = A(x2 + x − 2) + Bx + 2B + C(x2 − 2x + 1)
x2 + 0x − 2 = x2 (A + C) + x(A + B − 2C) + (−2A + 2B + C).
105
Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné x na levé a pravé straně
dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstanty A, B a C:
x2 :
x1 :
x0 :
1 = A+C
0 = A + B − 2C
−2 = −2A + 2B + C.
Vyřešením této soustavy získáme A = 79 , B = − 13 , C = 92 .
5. Dosazením vypočtených konstant do jednotlivých parciálních zlomků dostaneme
požadovaný rozklad ve tvaru
7
2
− 31
x2 − 2
7
1
2
9
9
=
+
+
=
−
+
.
3
2
2
x − 3x + 2
x − 1 (x − 1)
x+2
9(x − 1) 3(x − 1)
9(x + 2)
❡
Příklad 7.9 Rozložte na parciální zlomky racionální funkci
R(x) =
3x2 + x − 4
P (x)
= 3
Q(x)
x − 2x2 + 2x
Řešení:
1. Funkce R(x) je ryze racionální, takže můžeme přímo rozkládat.
2. Rozložíme polynom Q(x) ve jmenovateli na součin kořenových činitelů:
Q(x) = x(x2 − 2x + 2).
3. Polynom Q má reálný kořen 0, dvojčlen x2 −2x+2 nemá reálné kořeny. Rozklad bude
obsahovat jeden parciální zlomek prvního druhu a jeden zlomek druhého druhu.
Rozklad proto hledáme ve tvaru
(R(x) =)
3x2 + x − 4
A
Bx + C
= + 2
.
3
2
x − 2x + 2x
x x − 2x + 2
4. Pro určení neznámých koeficientů A, B a C vynásobíme výše uvedenou rovnost
polynomem Q:
3x2 + x − 4 = A(x2 − 2x + 2) + (Bx + C)x
3x2 + x − 4 = x2 (A + B) + x(−2A + C) + 2A.
Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné x na levé a pravé straně
dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstanty A, B a C:
x2 :
x1 :
x0 :
3 = A+B
1 = −2A + C
−4 = 2A.
Vyřešením této soustavy získáme A = −2, B = 5, C = 3.
106
5. Dosazením vypočtených konstant do jednotlivých parciálních zlomků dostaneme
požadovaný rozklad ve tvaru
x2 − 2
−2
5x + 3
=
+ 2
.
3
x − 3x + 2
x
x − 2x + 2
❡
Příklad 7.10 Vyjádřete racionální neryze lomenou funkci
R(x) =
2x3 + 7x2 + 9x + 7
x2 + 3x + 2
jako součet polynomu a racionální ryze lomené funkce, a tu rozložte na parciální zlomky.
Řešení: Neryze lomenou funkci R(x) nejdříve upravíme vydělením:
(2x3 + 7x2 + 9x + 7) : (x2 + 3x + 2) = 2x + 1 +
x2
2x + 5
.
+ 3x + 2
Nyní budeme rozkládat pouze ryze lomenou racionální funkci R1 (x) = x22x+5
. Jmeno+3x+2
2
vatel rozložíme na součin kořenových činitelů x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Polynom ve
jmenovateli má pouze dva jednoduché reálné kořeny, takže rozklad bude obsahovat dva
2x+5
hledáme
parciální zlomky prvního druhu. Rozklad racionální funkce R1 (x) = (x+1)(x+2)
ve tvaru
2x + 5
A
B
=
+
.
(x + 1)(x + 2)
x+1 x+2
Pro určení neznámých konstant A a B například vynásobíme výše uvedenou rovnost
polynomem (x + 1)(x + 2) a dostáváme:
2x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1)
2x + 5 = x(A + B) + (2A + B).
Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné x na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstanty A a B:
x1 :
x0 :
2 = A+B
5 = 2A + B.
Vyřešením této soustavy získáme A = 3 a B = −1. Dosazením vypočtených konstant do
naznačeného rozkladu pak můžeme psát
R(x) =
2x3 + 7x2 + 9x + 7
3
1
= 2x + 1 +
−
.
2
x + 3x + 2
x+1 x+2
❡
Pojmy k zapamatování:
– základní elementární funkce (mocninné, exponenciální a logaritmické, goniometrické a cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické), elementární funkce
– polynom, kořen polynomu, kořenový činitel
– lomená racionální funkce
– parciální zlomky
107
Příklady k procvičení:
1. Zjednodušte výrazy a stanovte podmínky:
p 1
q
q
√
√
3
a3 · a
3
−1 ·
a) p
b)
a
·
b
:
b
a3
√
3
( a · a−2 )2
1
1
c) (x3 + y 3 ) 2 · (x + y) 2 ·
2. Je dána funkce
p
(x2 + y 2 − xy)−1
x3 − 2x2 − x + 2
f (x) = 3
x + 2x2 − x − 2
a) Určete Df .
b) Vypočítejte nulové body funkce f .
c) Určete, pro která x je funkce kladná.
3. V množině R řešte následující rovnice a nerovnice:
a)
2
1
3
=
+
x+1
x+3 x+2
1
1
x2 − 2
+
+
=1
x2 + x x2 − x x2 − 1
x+2
≤ −2
1−x
√
√
g) x + 3 + x + 1 = 0
c) |2x − 7| + |x − 2| = 3
f)
b)
1
≥5
|2x − 3|
d)
e) − 5(1 − x)2 < 3x + 1
q
√
h) 1 + x 2x2 + 8 = x + 1
4. Určete definiční obor:
f1 (x) =
x3
1 − x2
f4 (x) =
√
f2 (x) =
3x − 8
f7 (x) =
√
1 − x − x2
x2 − 18x + 80
f5 (x) =
√
8 − x3
x3
f6 (x) = √
−
x2
1
− 9x + 9
2x − 1
x2 + x − 2
√
x3 − x
f8 (x) = x2 − 3x + 2
r
r
x−3
3x − 1
+
f9 (x) =
x+3
3x + 1
x2 − 25 +
√
f3 (x) =
5. Vypočtěte: a = log 1 27, b = log3 1, c = log2
3
1
.
32
6. Vypočtěte:
√
1
a) x = ( 2)log2 4 +2 log 100 + 31 log3 27 − log3 3
b) y, jestliže log 1 y = − 52
3
= −2.
c) z, jestliže logz 27
2
7. Načrtněte grafy funkcí
f (x) = log2 (x+2)−3
g(x) = log 1 (x−2)
3
108
h(x) = 2
x+1
x−3
1
k(x) =
−1
2
8. Určete, pro které hodnoty parametru a ∈ R jsou funkce
x
a−3
a
g(x) = log a+1 x
f (x) =
a
a+5
rostoucí, resp. klesající.
9. Určete definiční obor následujících funkcí:
f4 (x) =
4x
3−x
x3 + 2x
f2 (x) = log
− 64
√
1
+ x+2
f5 (x) =
ln(1 − x)
f1 (x) = log(2x + 4x − 6)
√
r
2
f7 (x) = log2 (x − 3)
f10 (x) = log
f8 (x) =
√
x−8
f3 (x) =
f6 (x) =
s
1 + ln x
x − x ln x
x
1
9−
3
1
f9 (x) = ln(ln(ln x))
ln(4x − 7)
p
f11 (x) = ln(x2 − x)
10. Načrtněte grafy funkcí a určete primitivní periodu:
x
+π
f3 (x) = 2 sin(2x − π)
f1 (x) = sin(2x)
f2 (x) = cos
2
f4 (x) = tg (3x) + 1
f5 (x) = arcsin (x + 2) − 1
f6 (x) = arctg (x − 1) + 2
11. Vypočtěte:
arcsin 1,
√
1
arccos −
, arccos 0,
2
1
arctg (−1), arccotg − √
3
3
arcsin
,
2
arctg
√
3,
12. Určete definiční obory funkcí:
√
1
x
f2 (x) =
f3 (x) = tg (2x)
f4 (x) = cos x
sin x
1 − cos x
√1
1 − 2x
f6 (x) = arcsin (2 − 3x)
f7 (x) = arccos
f5 (x) = e 2 −sin x
4
r
x+3 π
f8 (x) = arcsin (1 − x) + ln ln x
f9 (x) = arctg
−
2
4
p
1
x+2
f11 (x) = ln(sin x)
f12 (x) = √
f10 (x) =
3
sin x + 1
sin2 x
p
x − sin x
x+2
f13 (x) =
f
(x)
=
3x − |x + 2|
f15 (x) = arcsin
14
2
2 cos x + 3 sin x
x−3
r
√
5x
2x + 7
f18 (x) = arcsin
f17 (x) = arcccos 1 − x
f16 = arctg
x−2
x−2
f1 (x) =
13. Pro danou funkci určete inverzní funkci a její definiční obor:
a) f (x) = 2 cos(1 − 3x), x ∈ 1−π
, 31
3
109
b) g(x) = 3 + 4 arccos (2x − 1), x ∈ h0, 1i
c) h(x) = 1 + arctg (3x − 4), x ∈ R.
14. Dokažte platnost vztahu cosh2 x − sinh2 x = 1. (Použijte definice obou funkcí.)
15. Dokažte, že platí: √
a) argcosh x = ln(x + √ x2 − 1) pro všechna x ∈ h0, ∞),
a) argsinh x = ln(x + x2 + 1) pro všechna x ∈ R,
pro všechna x ∈ (−1, 1),
a) argtgh x = 21 ln 1+x
1−x
x+1
1
a) argcotgh x = 2 ln x−1 pro všechna x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
16. Rozložte polynomy na kořenové činitele :
P1 (x) = 2x2 + 4x − 6
P2 (x) = x3 + 1
P3 (x) = x3 − 3x2 − x + 3
P4 (x) = x4 − 16
P5 (x) = x4 − x2 − 12
P6 (x) = 5x3 − 3x2 + 3x − 5
3
2
P7 (x) = x + x − 6x
17. Určete kořeny polynomu:
P1 (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1, má-li kořen 1,
P2 (x) = x3 − x2 − 8x + 12, má-li kořen 2,
P3 (x) = 2x5 − 7x4 + 8x3 − 3x2 , má-li kořen 1,
P4 (x) = x5 + 2x4 − 9x3 − 4x2 + 30x − 36, má-li kořeny 1 + i a −3.
18. Vyjádřete racionální neryze lomenou funkci jako součet polynomu a racionální
ryze lomené funkce (tj. vydělte čitatele jmenovatelem):
R1 (x) =
−4x2 + 10x − 1
x2 − 3x + 6
x3 + 7x − 2
x−2
R3 (x) =
x4 + 3x3
x2 + x + 2
3x2 − 1
x3 − 2x2 − 2x − 3
R3 (x) =
x−3
x3 − 3x − 2
R2 (x) =
19. Rozložte na parciální zlomky:
R1 (x) =
R4 (x) =
2x
x2 + x − 2
x2
(2 + x2 )(1 + x2 )
R2 (x) =
R5 (x) =
x2 + 3x + 6
(x + 1)3
R6 (x) =
Výsledky příkladů k procvičení:
√
√
3
1. a) a · a2 , a > 0 b) b, a, b > 0 c) x + y, x + y > 0
x2 + 2x + 1
(x − 1)2 (1 + x2 )
2. a) Df = R \ {−2, −1, 1} b) x = 2 c) (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
3. a) − 11
b) nemá řešení c) {2, 4} d) (1, 4i e) R f) 75 , 23 ) ∪ ( 32 , 58
5
g) nemá řešení
h) {0, 2}
4. Df1 = R \ {±1} Df2 = R \ {8, 10} Df3 = R \ {−3, 1, 3} Df4 = 38 , ∞)
Df5 = (−∞, 2 i Df6 = R \ {−2, 1} Df7 = h5, ∞) Df8 = (−∞, 0 i ∪ h3, ∞)
Df9 = (−∞, 3) ∪ h3, ∞)
5. a = −3, b = 0, c = −5
q
√
2
6. a) x = 2 b) y = 5 9 c) z = 27
110
7. Grafy funkcí jsou na následujícím obrázku:
y
y
f(x) = log2 (x+2)-3
0
-2
6
g(x) = log1/3 (x-2)
x
-2
0
2
3
x
y
y
7
k(x) =
0
3
(12 )
x-3
-1
x+1
h(x) = 2
2
x
x
0
-1
8. Funkce f roste pro a ∈ (−∞, −5), klesá pro a ∈ (3, ∞); funkce g roste pro
a ∈ (0, ∞) a klesá pro a ∈ (−∞, −1).
9. Df1 = (−∞, −3) ∪ (1, ∞) Df2 = (0, 3) Df3 = R+ \ {e} Df4 = h3, ∞)
∞) Df8 = 27 , 2 ∪ (2, ∞)
Df5 = h−2, 0) ∪ (0, 1) Df6 = h−2, ∞) Df7 = (3,
√ √
Df9 = (e, ∞) Df10 = (8, ∞) Df11 = −∞, 1−2 5 ∪ 1+2 5 , ∞
10.
p0 = p
f1(x) = sin 2x
y
1
-p
-p
2
0
p
2
p
2p
x
-1
f2(x) = cos ( 2x + p)
y
p0 = 4p
1
-2p
2p
0
-1
111
4p
x
p0 = p
f3(x) = 2 sin (2x - p )
y
2
-p
2
-p
p
2
0
p
2p
x
-2
y
f4(x) = tg 4x + 1
p0 = 3p
1
-p
2
-p
6
f5(x) = arcsin (x+2) - 1
-3
p
6
0
p
2
y
p -1
2
-2
-1
x
2p
3
0
x
f6(x) = arctg (x - 1) + 2
y
p
2 +2
není
periodická
-1
-p + 2
2
není periodická
-p - 1
2
11. π6 , π3 , 32 π, π2 , π3 , − π4 , 32 π
0
1
x
12. DfS
Df2 = R \ {2kπ;
k ∈
Z} Df3 = R \ {(2k +
1) π4 ; k ∈ Z}
1 = R
\ {kπ; k ∈ Z}
S
π
Df5 = k∈Z 56 π + 2kπ, 13
π + 2kπ
Df4 = k∈Z − π2 + 2kπ,
6
23 +5 2kπ
1
Df8 = (1, 2i Df9 = h−1, ∞)
Df 7 = − 2 , 2
Df6 = 3 , 1
Df10 = R \ { 32 π + 2kπ; k ∈ Z} Df11 = { π2 + 2kπ; k ∈ Z} Df12 = R \ {2kπ; k ∈ Z}
π + 2kπ; k ∈ Z}
Df14 = h1, ∞) Df15 = −∞, − 21 i
Df13 = R \ { 65 π + 2kπ, 11
6
Df16 = R \ {2} Df17 = h0, 1i Df18 = − 21 , 0
13. a) f −1 (x) = 13 1 − arccos x2 , Df −1 = h−2, 2i b) g −1(x) = 12 1 + cos x−3
,
4
1
π
π
−1
Dg−1 = h3, 3 + 4πi c) h (x) = 3 (4 + tg (x − 1)) , Dh−1 = 1 − 2 , 1 + 2
112
16. P1 (x) = 2(x−1)(x+3) P2 (x) = (x+1)(x2 −x+1) P3 (x) = (x−1)(x+1)(x−3)
P4 (x) = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) P5 (x) = (x2 + 3)(x + 2)(x − 2)
P6 (x) = (x − 1)(5x2 + 2x + 5) P7 (x) = x(x + 3)(x − 2)
17. P1 : trojnásobný kořen 1 ;
P2 : dvojnásobný kořen 2 a jednoduchý kořen − 3;
P3 : dvojnásobný kořen 1, dvojnásobný kořen 0 a jednoduchý kořen 23 ;
P4 : jednoduchá dvojice x ± i, dvojnásobný kořen − 3 a jednoduchý kořen 2
18.
R1 (x) = −4 +
−2x + 9
x2 − 3x + 6
R2 (x) = x2 + 2x + 11 +
R3 (x) = x2 + 2x − 4 +
19.
R1 (x) =
R3 (x) =
2
4
+
3(x − 1) 3(x + 2)
2
3
1
+
+
2
x + 1 (x + 1)
(x + 1)3
113
8
+x+2
R2 (x) =
4
1
1
+
−
2
9(x + 1) 3(x + 1)
9(x − 2)
R5 (x) =
x2
20
x−2
2
x+1
+ 2
x−3 x +x+1
R4 (x) =
R6 (x) =
2
1
−
2
2+x
1 + x2
2
1
−
2
(x − 1)
1 + x2
Download

Elementární funkce a základní elementární funkce