Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 1
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
u kompresorů
Autoři:
prof. Ing. Jaroslav Kaminský, CSc.
doc. ing. Kamil Kolarčík, CSc.
Ing. Jiří Nezhoda, Ph.D.
Ostrava, 2012
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 2
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Metodika popisu polytropické stavové změny a výpočtu polytropické
účinnosti u kompresorů
Prof. Ing. Jaroslav Kaminský, CSc. VŠB - TU Ostrava
Doc. Ing. Kamil Kolarčík, CSc., VŠB - TU Ostrava
Ing. Jiří Nezhoda, Ph.D., VŠB - TU Ostrava
Význam použitých symbolů a indexů
Symbol
A
B
E
EZ
Ė př
Ė už
Ppř
Puž
Psp
T
W
a
b
cp, cv
e
i
md
n
n
s
η
Index
c
d
e
t
pol
m
n
o
Jednotka
J
J
J
J
W
W
W
W
W
K
J
J.kg-1
J.kg-1
J.kg-1.K-1
J.kg-1
J.kg-1
kg. s-1
s-1
J.kg-1.K-1
‫ـ‬
celkový
dopravovaný
exergetický
technická
polytropický
mechanický
nasávaný
okolí
Veličina
celková technická práce
celková anergie
celková exergie
celková exergie zmařená (exergetické ztráty)
celkový exergetický příkon
celkový exergetický výkon
příkon
výkon
celkový příkon kompresoru
absolutní teplota
celková energie
technická práce měrná
anergie měrná
měrné teplo za stálého tlaku resp. objemu
exergie měrná
entalpie měrná
dopravované množství kompresoru
otáčky
polytropický exponent
entropie měrná
účinnost
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 3
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Izotermické a izoentropické změny stavu jsou smyslu mezní případy při sledování
transformací energie. Skutečné procesy probíhají se těmito mezními změnami neřídí.
V pracovním prostoru skutečného kompresoru se plynu teplo buď přivádí, nebo odvádí. U
skutečných změn se mění nejen všechny tři veličiny stavu p, v, T, ale nastává též sdílení tepla
s okolím. U kompresoru se nasává vzduch o nižší teplotě, než je střední teplota stěny válce.
Nasátý vzduch se vlivem tepla stěny nejdříve ohřívá, takže změna probíhá za přívodu tepla.
Během komprese teplota stlačovaného vzduchu přestoupí střední teplotu válce a teplo se
naopak stěnou odvádí. Odváděním tepla z plynu se sníží jeho konečná kompresní teplota pod
teplotu, které by se dosáhlo, kdyby komprese probíhala izoentropicky. Tento složitý průběh
změny stavu látky způsobený nevratným sdílením tepla, můžeme pro termické výpočty
nahradit jedinou tzv. vratnou změnou polytropickou, vyjádřenou rovnicí:
p  v n  konst.
kde tzv. polytropický exponent n se rovná:
p
ln 2
p1
n
p
T
ln 2  ln 2
p1
T1
[J.kg-1]
[1]
Polytropický exponent n není určen poměrem měrných tepel c p a cv , takže není
fyzikální veličinou jako izoentropický exponent . O exponentu n předpokládáme, že je
během změny konstantní, což u skutečných změn není. Proto i polytropická změna, ač
skutečným procesům nejbližší, je do určité míry tímto předpokladem zidealizována. Exponent
n se stanoví pro různé pracovní látky z indikátorových diagramů skutečně provedených strojů.
Pro polytropickou změnu mezi dvěma stavy plynu platí podobné vztahy, jaké byly
odvozeny u izoentropy,
p1  v 2 
 
p 2  v1 
n
v1  p 2 
 
v 2  p1 
1/ n
T1  v 2 
 
T2  v1 
[1]
n 1
[1]
p 
  1 
 p2 
 n 1 / n
[1]
Základní rozdíl mezi změnou izoentropickou a polytropickou je v tom, že u polytropické
změny platí nerovnost q  0 , resp. q=konst.
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 4
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Poněvadž změna polytropická byla definována jako změna vratná, při níž látka prochází
rovnovážnými stavy, platí pro ni rovnice stavu. Závislost změny objemu a tlaku na
přivedeném teple vyjadřuje jednak I. zákon termodynamiky, jednak rovnice polytropy:
p  v  r T
[J.kg-1]
dq = du + p.dv
[J.kg-1]
p.vn = konst.
[J.kg-1]
Vztah pro přivedené teplo vyjádříme tak, aby obsahoval podmínku rovnovážnosti danou
rovnicí stavu a exponent n, který charakterizuje závislost tlaku a objemu při polytropické
změně.
V rovnici I. zákona termodynamiky vyjádříme člen p.dv spojením rovnice stavu a
rovnice polytropy
p.v = r.T
[J.kg-1]
p.vn = konst.
[J.kg-1]
Diferencujeme-li je, obdržíme:
p.dv + v.dp = r. dT
[J.kg-1]
n.p.dv + v.dp = 0
[J.kg-1]
Rozdíl těchto rovnic dává
n.p.dv + v.dp – p.dv = -r.dT
[J.kg-1]
a po úpravě:
(n – 1).p.dv = - r.dT
takže:
p.dv = 
r  dT
n 1
[J.kg-1]
[J.kg-1]
Dosadíme-li výše uvedené výrazy do rovnice I. zákona termodynamiky, obdržíme
dq  cv  dT 
r
r
r 

 dT 
 dT   cv  n  1
  dT
n 1
n 1
n 1

a použitím vztahů c p    cv a r  cv    1
[J.kg-1]
[J.kg-1.K-1]
obdržíme:
 1

dq   cv  c v 
  dT
n 1 

[J.kg-1]
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 5
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Z toho:
dq 
n 
 cv  dT
n 1
[J.kg-1]
Označíme-li
n 
 cv  c n
n 1
[J.kg-1.K-1]
bude konečný výraz
[J.kg-1]
dq  c n  dT


Veličina c n J  kg 1  K 1 je měrné teplo při polytropické změně. Je to množství tepla,
které je třeba přivést 1 kg plynu za podmínek uvažované polytropické změny, aby se při
vykonání určité vnější absolutní práce ohřál o 1 ºC.
Oběh kompresoru s takto chápanou polytropickou kompresí je prvním přiblížením
k oběhu skutečného kompresoru. Polytropická komprese tedy může probíhat s odvodem tepla
(polytropický exponent 1 < n < ) nebo s přívodem tepla (n > ).
Polytropická komprese v p-V diagramu
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 6
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Polytropická komprese s odvodem tepla apol = i+(-q)
Exergetická bilance polytropického cyklu s odvodem tepla
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 7
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Polytropická komprese s odvodem tepla
Podle výše uvedených obrázků vyplývá z rovnosti energie přivedené a odvedené
i1  a pol  i2  ( q)
a pro technickou práci při polytropické kompresi vztah
a pol  i  ( q)
Exergetickou bilanci s odvodem tepla lze sestavit ve tvaru
(J kg-1)
e1  a pol  e2  eq
a
b1  b2  bq
Mechanická energie potřebná k pohonu kompresoru, která se rovná technické práci a pol ,
se využívá ke zvýšení exergie plynu euž  e  e2  e1 a zbývající část se mění na exergii
eq odváděného tepla (-q).
eq 
2
1
T  T0
 dq
T
neboli
a pol  e2  e1  eq  e  eq
(J kg-1)
Změny exergie při polytropické kompresi s odvodem tepla apol = e + eq
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 8
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Polytropická komprese s přívodem tepla apol = i – (+q)
Exergetická složka odváděného tepla se dosud u kompresorů ve většině případů
nevyužívá. Teplota chladicí vody se bez užitku vyrovnává s teplotou okolí a exergie eq
odváděného tepla se mění na anergii. Takto zmařená energie:
e z  eq
V T-s diagramu na je tato teoreticky využitelná část tepla odváděného chlazením úměrná
ploše pod polytropou 1-2 až k izotermě T0 .
Polytropická komprese s přívodem tepla
Probíhá-li polytropická komprese s přívodem tepla (opět je zpracován případ, kdy p1 >
po a T1 > To), platí mezi přivedenou a odvedenou energií rovnováha
i1  ( q)  a pol  i2
[J.kg-1]
technická práce je
a pol  i2  i1  ( q)
[J.kg-1]
a pol  i  q
[J.kg-1]
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 9
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Exergetická bilance polytropického cyklu s přívodem tepla
Změny exergie při polytropické kompresi s přívodem tepla apol = e - eq
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 10
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Exergetická bilance s úvahou, že a pol  ea je
e1  ea  eq  e2
[J.kg-1]
ea  a pol  e  eq
[J.kg-1]
Bilance anergií:
[J.kg-1]
b1  bq  b2
Přiváděné teplo (+q) úměrné ploše pod polytropou 1-2, zvyšuje část eq (plocha pod
polytropou 1-2 až k izotermě T0 ) exergii plynu po kompresi
eq   T  T0 ds  
2
2
1
1
T  T0
dq
T
[J.kg-1]
Anergie přiváděného tepla
[J.kg-1]
bq  T0 ( s 2  s1 )
zvyšuje anergii plynu.
Ve skutečnosti k takovému ději dochází tím způsobem, že se část mechanické energie
přiváděné pohonem stroje vlivem tření mění na teplo (+q). Do kompresoru se totiž teplo
úmyslně nepřivádí. Pak je přiváděna mechanická energie (nazveme ji vnitřní práce avn ) o část
měnící se na teplo (+q) větší než technická práce a pol (zvýšení tlakové energie plynu).
[J.kg-1]
a pol  ( q )  a vn
Poněvadž avn je exergie, dochází následkem přeměny její části na teplo k exergetickým
ztrátám:
[J.kg-1]
e z  bq
Pro oba zkoumané případy (komprese s odvodem i přívodem tepla) lze odvodit známý
výraz pro technickou práci dosazením do vzorce a pol  i  ( q ) za rozdíl entalpií i a za
teplo q :
a pol  c p  (T2  T1 )  c v 
n 
 T2  T1 
n 1
[J.kg-1]
po další úpravě:
a pol 

T
n
 r  T1   2  1
n 1

 T1
[J.kg-1]
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 11
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Jelikož pro poměr teplot platí:
T2  p 2

T1  p1



( n 1) / n
[1]
je:
a pol
 p  ( n 1) / n 
n

 p1  v1   2 
 1
n 1
 p1 

[J.kg-1]
 p  ( n 1) / n 
n

 r  T1   2 
 1
n 1
 p1 

[J.kg-1]
či jinak:
a pol
Pomocí znalosti polytropické technické práce lze stanovit polytropický příkon např. ve
tvaru:
Ppol  md  a pol  md 

T
n
 r  T1   2  1
n 1

 T1
[W]
Poměr polytropického příkonu Ppol kompresoru a celkového příkonu spojkového Psp
skutečného kompresoru se nazývá polytropická účinnost spojková
η pol,sp 
Ppol
Psp
md 

T

n
 r  T1   2  1
n 1
 T1

Psp
[-]
Uživatele kompresorové stanice sledujícího spotřebu elektrické energie a tím také
provozní náklady kompresorové stanice více zajímá snadno vyhodnotitelná polytropická
účinnost celého soustrojí tj. svorková
η pol,sv 
Ppol
Psv
md 

T

n
 r  T1   2  1
n 1
 T1

Psv
[-]
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Metodika popisu polytropické stavové
změny a výpočtu polytropické účinnosti
Fakulta strojní, katedra energetiky
List: 12
kompresorů
17. listopadu 15
708 33 Ostrava - Poruba
Literatura
KAMINSKÝ, Jaroslav. Využití pracovního prostoru pístových kompresorů. První vydání.
Praha: SNTL, 1982. 231 s.
KOLARČÍK, Kamil; KAMINSKÝ, Jaroslav; PUMPRLA, Oto. Kompresory. První vydání.
Ostrava: VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2004. 125 s. ISBN 80-248-0704-1.
KAMINSKÝ, Jaroslav. Objemové kompresory. První. Ostrava: VŠB - Technická univerzita
Ostrava, 1997. 438 s. ISBN 80-7078-407-5.
KALČÍK, Josef; SÝKORA Karel. Technická termomechanika. První vydání. Praha:
ACADEMIA, 1973. 540 s.
VRTEK, Mojmír; KOLARČÍK, Kamil. Možnosti úspor energie při výrobě, rozvodu a
spotřebě stlačeného vzduchu v České republice. První. Ostrava: VŠB - Technická univerzita
Ostrava, 2010. 35 s.
Download

Metodika popisu polytropické stavové změny a výpočtu polytropické