Maturitní opakování.doc
1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.
1) Maminka řekla Petrovi: „Jestliže budeš hodný, dostaneš dort.“ Jsou čtyři možnosti:
a) Petr byl hodný, dostal dort.
b) Petr byl hodný, nedostal dort.
c) Petr nebyl hodný, dostal dort.
d) Petr nebyl hodný, nedostal dort.
Ve kterých případech vyslovila pravdivý výrok.
2) Rozhodněte, při kterých pravdivostních hodnotách výroků A,B je uvedená výroková
formule pravdivá:
a) ( A ∧ B) ∨ (¬A ∧ B)
b) (¬A ∨ B) ⇒ ¬B
3) Rozhodněte, zda jsou uvedené výrokové formule tautologiemi:
a) ¬(¬A) ⇔ A
b) ( A ⇒ B) ⇔ ( A ∧ ¬B)
c) Napište negace následujících slovních výroků.
d) Přijde Alena a Barbora.
e) Přijde Cyril nebo David.
f) Jestliže přijde Eva, potom přijde i Hana.
g) Jan přijde právě tehdy, když přijde Iva.
4) Rozhodněte, které z následujících vět lze považovat za výroky:
a) Úhlopříčky čtverce jsou navzájem kolmé.
b) Existuje rovnostranný trojúhelník.
c) Pythagorova věta.
d) Číslo x je kladné.
5) Vyslovte negace následujících výroků:
a) Aspoň šest přirozených čísel splňuje nerovnost x − 40 p 0
b) Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů.
c) Každé prvočíslo je liché číslo.
6) Tři stroje pracují za následujících podmínek:
a) Pracuje-li první, pracuje druhý.
b) Pracuje druhý nebo třetí.
c) Nepracuje-li první, nepracuje ani třetí.
Jaké jsou možnosti pro práci strojů?
7) Obměňte následující výroky:
a) ∀n ∈ N platí : n 2 je sudé ⇒ n je sudé .
b) Pes, který štěká , nekouše.
Strana 1/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
8) Vyslovte obměny a obrácení implikací:
a) Jsem-li unavený, ihned usínám.
b) Je-li součin dvou přirozených čísel číslo liché, jsou obě čísla lichá.
c) Není-li ve městě dostatek zeleně, zvyšuje se množství CO2 v ovzduší města.
9) Vytvořte negace výrokových forem:
a) x < 0, x ∈ R
b) x ≤ y , x, y ∈ R
10) Vyslovte negace kvantifikovaných výroků:
a) Všichni žáci naší třídy prospěli.
b) Alespoň jeden žák naší třídy získal vyznamenání.
c) Žádný žák v naší třídě nenosí brýle.
d) Alespoň tři žáci z naší třídy půjdou do kina.
e) Bude pršet nejvýše čtyři dny.
f) Rovnice má právě dva kořeny.
11) Vyjádřete negace složených výroků:
a) Napiji se kávy nebo čaje.
b) Nejsem žíznivý ani hladový.
c) Bude-li k dostání čerstvé ovoce, nekoupím si kompot.
d) Koupím salám právě tehdy, když nebude šunka.
12) Vyjádřete negace následujících složených výroků s kvantifikátory:
a) Daná rovnice má alespoň jeden kladný nebo záporný kořen.
b) Jestliže daná rovnice má jeden dvojnásobný kořen, pak má alespoň jeden další kořen.
13) Negujte následující výroky:
a) Na dnešek se učili alespoň 3 žáci.
b) Tato úloha má právě 2 řešení.
c) Stavba potrvá nejvýše tři roky.
d) Mám hlad i žízeň.
e) Nebudou-li mít colu, objednám si čaj nebo pivo.
f) Přijde David nebi Cyril.
g) Bude-li pěkně, půjdu hrát tenis nebo kopanou.
h) ∀x ∈ R : x > 0
i) Daná rovnice má nejvýše jedno řešení.
j)
∀n ∈ N platí : 4 / n ⇒ 2 / n
k) ∃x ∈ R : x 2 ≤ 0
l) Všichni žáci naší třídy prospěli.
m) 15 / n ⇔ 3 / n ∧ 5 / n
Strana 2/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
2. MATEMATICKÉ DŮKAZY.
Přímý důkaz ( A ⇒ B ): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu
tvrzení
Např. ∀a ∈ Z + ; a = liché č. ⇒ a 2 = liché č.
(
)
(
)
liché č.: 2k + 1 , potom (2k + 1) = 4 k 2 + k + 1 , kde 4 k 2 + k je sudé.
Nepřímý důkaz ( A ⇒ B ⇔ B ' ⇒ A' ): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého
důkazu.
Např. ∀m ∈ Z + ; m 2 dělitelné 3 ⇒ m dělitelné 3
2
(
)
nedělitelné 3: 3k + 1 ∨ 3k + 2 , potom (3k + 1) = 3 3k 2 + 2k + 1 nebo
2
(3k + 2) = 3(3k + 4k ) + 4 , kde 3(3k
Důkaz sporem ( ( A ⇒ B )' ⇔ A ∧ B' ):
2
2
2
) (
)
+ 4k a 3 3k + 2k jsou dělitelná 3.
2
a+b
≥ ab
2
a+b
2
< ab , po úpravách rovnice: (a − b ) < 0 ,
předpokládáme ∃a, b ∈ R + ;
2
protože x2 nemůže být <0 – spor s předpokladem a daná věta platí.
Např. ∀a, b ∈ R + ;
1) Vypište typy důkazů a vysvětlete jejich podstatu.
2) Dokažte ekvivalenci:
a) ∀n ∈ N : 2 / n ⇔ 2 / n 2
b) ∀n ∈ N : 5 / n ⇔ 5 / n 2
3) Dokažte implikaci:
a) ∀n ∈ N : 5 / n ⇒ 30 / n 3 − n
b) ∀n ∈ N : 2 / n ⇒ 16 / n 4 − n
(
)
c) ∀n ∈ N : 5 / n 2 + 1 ⇒ 5 / n
4) Dokažte, že číslo
2 je iracionální.
5) Dokažte: ∀n ∈ N : 3 / n ⇒ 3 / n 2 .
6) Dokažte: ∀n ∈ N : n je sudé ⇒ n + 2 je sudé.
7) Dokažte nebo vyvraťte platnost nerovnosti:
11 + 10 ≥ 1 + 11 − 10 .
8) Vyslovte hypotézu o počtu úhlopříček v konvexním n-úhelníku ( p =
dokažte.
3. MATEMATICKÁ INDUKCE
1) Dokažte matematickou indukcí:
a) ∀n ∈ N :
1
1
1
1
n
+
+
+ .. +
=
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n(n + 1) n + 1
b) ∀n ∈ N : 1 + 2 + 3 + ... + n =
1
n(n + 1)
2
Strana 3/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
n ⋅ (n − 3)
) a pak ji
2
Maturitní opakování.doc
c) 12 + 2 2 + 3 2 + ...n 2 =
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Po16/45
d) 1 + 3 + 5 + .. + (2n − 1) = n 2
2) Dokažte, že pro každé n ∈ N je.
a) číslo n 3 + 11n dělitelné šesti.
Po17/50
b) číslo 5 n − 1 je dělitelné čtyřmi
Po18/52
1
1) 4 / 5 − 1
2) Předpokládám: n = k : 4 / 5 k − 1
Dokazuji: n = k + 1 : 4 / 5 k +1 − 1; 5 k +1 − 1 = 5 k ⋅ 5 − 5 + 4 = 5 ⋅ 5 k − 1 + 4 ; 4 / 4 ∧ 4 / 5 k − 1
(
c) ∀n ∈ N : 6 /(n 3 + 5n)
)
Tak to je hutné!
Kdo bude mít všechny, tomu
pogratuluji.
d) ∀n ∈ N : 5 /(n + 4n)
5
e) ∀n ∈ N : 3 /(4 n + 5)
f) ∀n ∈ N : 16 /(9 n +1 − 8n − 9)
g) ∀n ∈ N : 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n + 1) 2
n
h) ∀n ∈ N : ∑ (2i − 1) = n 2
i =1
n
i)
∀n ∈ N : ∑
i =1
j)
∀n ∈ N :
n
1
=
(2i − 1) ⋅ (2i + 1) 2n + 1
1 ⋅ 2! 2 ⋅ 3! 3 ⋅ 4!
n ⋅ (n + 1)! (n + 2)!
+ 2 + 3 + ... +
=
−2
2
2
2
2n
2n
4. MNOŽINY A OPERACE S NIMI.
{
}
1) Jsou dány množiny reálných čísel A = x ∈ R, x 2 − 6 x + 5 > 0 , B = {x ∈ R, x + 2 ≤ 3}
Nalezněte: A ∩ B, A ∪ B, A-B, B-A


x2 − x
2) Jsou dány množiny A =  x ∈ R;
≤ 0, B = {x ∈ R, x − 3 ≤ 2 ∨ x > 3}. Pomocí
x+7


intervalů zapište množiny A ∩ B, A ∪ B, AR/ , BR/ , A − B .
3) Jsou dány množiny
A = {x ∈ R; x + 4 < 2}, B = x ∈ R; x 2 + 2 x − 8 ≥ 0 , C = {x ∈ Z ; 2 / x ∧ x < 5}
{
}
Pomocí intervalů zapište množiny A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C , BR/ , B − A .
{
4) Zapište výčtem prvků následující množiny: M 1 = x ∈ N ; x 2 < 20 }, M 2 = {x ∈ Z ; x = 5 } .
Zapište výsledek operací M 1 ∩ M 2 , M 1 ∪ M 2 , M 2 − M 1 , M 1 − M 2
5) Jsou dány dvě množiny: M 1 = {x ∈ N ; x / 60 }, M 2 = {x ∈ N ;7 p x ≤ 10 } . Zapište
výsledek operací M 1 ∩ M 2 , M 1 ∪ M 2 , M 2 − M 1
6) Najděte takové množiny, pro které platí: A ∪ B = {0,1,2,3,4,5,6,7 } , A ∩ B = {1,2,3 },
B − A = {5,6 }
Strana 4/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
7) Jsou dány tři intervaly A = − 7; 2 , B = − 2; 5) , C = 2; ∞ ) . Zapište: A ∩ B ,
A ∩ C , A ∪ B , ( A ∩ B ) ∪ C , ( A ∪ B ) ∩ C , , ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) , A − B
8) Co nejjednodušším způsobem zapište množinu, která je sjednocením doplňku intervalu
(5; ∞) v množině R, s intervalem 0,10
9) Výčtem prvků zapište množinu: A = {x ∈ N ;−5 ≤ x < 6} .
10) Jsou dány množiny B = {x ∈ R; x p 6} , C = {x ∈ R; x ≥ −3} . Zapište množinu
A = B ∩ C pomocí intervalu.


x2 − x
A =  x ∈ R;
≤ 0, B = {x ∈ R, 0 < x + 3 ≤ 3}
x+5


. Pomocí intervalů
11) Jsou dány množiny
/
zapište množiny A ∩ B, A ∪ B, B − A, BR .
5. ČÍSELNÉ MNOŽINY, ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL
Společný násobek a dělitel
Nejmenší spol. násobek: n(12, 28,42 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 , v prvočíselném rozkladu má každé
prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině.
Největší spol. dělitel: D(12, 28,42 ) = 2 , v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo.
1) Určete největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek trojice čísel (pomocí
rozkladu na prvočinitele):
a) 86,129,215
b) 178,356,534
2) Racionální čísla daná periodickými rozvoji vyjádřete ve tvaru zlomků s celočíselnými
čitateli i jmenovateli.
8 41 199
, ,
9 90 33
a) 0, 8, 0, 45, 6, 03 ,
3) Zjednodušte dané početní výrazy a pak vypočtěte pomocí kalkulátoru jejich přibližnou
hodnotu:
2+ 3
a)
3 + 2+ 3
−
2− 3
Po74/17
3− 2+ 3
4) Usměrněte zlomek:
2
a)
1+ 5
b)
c)
Po73/14
5− 3+ 2
(1)
6+2 5
3
3
2 −3 3
5) Vypočtěte:
Strana 5/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
( )
a)  3 3



3
−2 3
1 
 
9 
−3
 13 − 12 
10 ⋅ 8 


3

 : 2 4
b)
−2
3
 14 18 
2⋅4 8
 25 ⋅ 4 




a 3 ⋅ 3 b −1 : 3 b 2 ⋅ a 3 + 6 b : b =
c)
d) a1+
e)
84 8
(a
3
⋅ a 1−
3+ 2
)
3
( )
⋅ a2
3− 2
−1
a, b ∈ R +
=
=
2
2
1
1
− 
− 
 2
 2
f)  a 3 + b 3  +  a 3 − b 3  =

 

 a b4   a2
g)  3 2  : 
b a   b

 
3
[
2
1
2
h)
a ⋅a

b


−
1
3
1
3




⋅a
1
4
2
a7 b2
⋅
b2 a4
( )
: b 3 ⋅ b −1
−2
3
a 10
b5

=


]=
5 21024

6) Z množiny − 4,1;−2; ;
;1, 9; 169 ; 16,9
3 36

množiny:
} vyberte všechna čísla. která patří do
a) N
b) Z
c) Q
7) Číslo 371,0235 zaokrouhlete:
a) na tisíciny
b) na čtyři platné číslice
c) dále určete:
d) řád číslice 1
e) řád číslice 5
f) řád daného čísla
8) Určete bez tabulek nejmenší čtyřciferné prvočíslo.
9) Zapište v základním tvaru číslo z =
29952
.
52299
Strana 6/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
10) Prodejna má sjednaný podíl na zisku ve výši 15 procent z prodejní ceny výrobku, jež
představuje 120 procent jeho výrobní ceny. Kolik procent z výrobní ceny činí zisk
prodejny?
11) Vypočítejte výhodně, výsledek zapište ve tvaru a ⋅ 10 n , kde a ∈ 1,10), n ∈ Z :
a) 300 ⋅ 70 ⋅ 20000
b)
0,3 2
3600
12) Vypočítejte přesně, výsledek zapište jako zlomek v základním tvaru:
a) 1343 − 43 ⋅ [26 − 6 ⋅ (7 − 8,1)]
3
5
 3
b) (6 − 3 ) ⋅ 5  ÷ [(21 − 1,25) ÷ 2,5]
14
6
 5
13) Vypočtěte v oboru komplexních čísel:
4
{3,−3,3i,−3i}
81
6. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
−
1
x −2 − x −4 1 − x 2
1) Upravte a určete podmínky:
: 1
=
−
x −2 − 1
x 2 − x −1
2) Za jistých podmínek nabývá výraz v(a, x ) konstantní hodnoty. Určete hodnotu této
(
) (
( )
)(
 1 + a 2 − a − ax ⋅ a − x
konstanty a příslušné podmínky. v(a, x) = 
3

1+ a − a a + 2
3) Je dán výraz v( x) =
)
−1



−3
x3 − 2x2 − x + 2
.
x3 + 2x 2 − x − 2
a) Zjednodušte výraz v(x) .
{
}
b) Určete hodnoty výrazu v(x) pro x ∈ − 1,0, 2 .
c) Určete pro která x ∈ R platí v( x) = 1 .
d) Určete pro která x ∈ R nabývá v(x) nabývá nekladných hodnot.
4) Rovnost (x 2 + 1)(x − a ) + 2 = x3 + 3x 2 + x + b platí pro všechna x ∈ R . Určete hodnoty
parametrů a, b.
5) Zjednodušte výraz a uveďte podmínky:
a)
x + 2 xy + y
x+ y
:
1 1
x+ y
+
x y
x 2 − xy + y 2
,Po94/12
x+ y
x4 + x2 y2 + y4
b) 3
x + 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 3
Strana 7/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc

x 2 + xy
x
c) 
+ 2
2
2
3
x + y2
 x3 + x y + xy + y
  1

2 xy
 : 

− 3
2
2
3 
  x − y x − x y + xy − y 
x ≠ y,
2x
x− y
7. LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE (ABSOLUTNÍ HODNOTA)
1) Při jakých hodnotách koeficientů a,b,c má lineární rovnice ax + b = 0 s neznámou x má
jedno řešení, žádné řešení, nekonečně mnoho řešení?
2) Řešte v R
1
a)
1+

≤1
1
1+
(− ∞;−1) ∪  − 1;− 1  ∪
2
0; ∞ )
1
x
b) 0 < x − 3 < 5
c)
− x − 7 = 10
d)
2
3
≤
x −1 x
f)
g)
(− ∞,2 ) ∪ (4, ∞ )
x 2 − 6x + 9 > 1
e)
(
)
5+ 3 x= 5− 3
4 − 15
20 (1 + x ) = 2 5 ( x − 1)
{}
3
5− x
=
3x − 12 x − 4
{}
i)
(x − 1)2 + 4 x = (x + 1)2
R
j)
2x + 1 − 2 x + 1 = 2 x
k)
x + x +1 = x + 2 + 3
l)
2 x − 1 + x = 3x − 2
1, ∞ )
m) x − 2 x + 1 + 3 x + 2 = 0
{− 2}
h) 5 +
n)
o)
p)
2x − 2
2− x
3x −2
1+ x
{− 2,4}
 4
 0,  ∪ (2, ∞ )
 3
<1
1 1
− ,
4 4
≤ −1
5 + 7x 1
>
x
2
3) Řešte v množině N:
10   2 

 − ∞,−  ∪  − ,0  ∪ (0, ∞ )
3  3 

x − 3 1 x −1
+ =
2
3
4
{}
Strana 8/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
8. KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
(
{−
)
1) Řešte v R: x 2 + 2 3 + 1 x + 3 + 3 = 0
}
3 ;− 3 − 1
2) Určete dvojici čísel, jejichž součet je 200 a součin 9375.
3) Určete všechny rovnice, které mají kořeny: + 2 ,− 2
4) Určete všechny rovnice, které mají kořeny: 1 + 3 ,1 − 3
5) Řešte v R:
a)
(− ∞;−2 ∪ (0; 6
y 4 4
− ≤
3 y 3
R − {− 2}
− x2 + x − 4
b)
<0
2 x 2 + 8x + 8
c)
(− ∞;0 ) ∪ (0;1) ∪ (3; ∞ )
2y − y2 > y
d) 1 − x 2 ≤
{− 1} ∪
1
(x + 1)
2
e)
x 2 − 7 x + 15 < 9
f)
x − 2 ≤ 2x 2 − 9x + 9
1 3
;
2 2
(1,6)
(
)

2 1
 − ∞, 2 −
 ∪  5 + 3 , ∞ 

2   2


6) Řešte početně i graficky:
a)
x 2 + 2x − 1 − x = 1
b)
x 2 + 2x − 1 ≤ x + 1
{0,1}
2
7) V R2 řešte početně i graficky soustavu rovnic a nerovnic: y + x ≤ 1 ∧ x + y = 0
2
8) Určete definiční obor výrazu: 12 x − x − 1
2
9) Určete definiční obor výrazu: 12 x − 9 − 4 x
6t − t 2 − 8
10) Rozhodněte, pro která t ∈ R je zlomek
nekladný.
16
11) Vhodnými substitucemi řešte rovnici:
2
2
 1 
a) 3 ⋅  2  − 2 − 1 = 0
v  v
{− 1,2}
b) x 6 − 7 x 3 − 8 = 0
9. ROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU
1) Řešte v R:
Strana 9/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
a)
x x−x+ x =x
b)
2r − 4 = 1 − r + 5
c)
4−u = u+ 4
d)
x 2 − 4x + 4 = 2 − x
{20}
{}
(− ∞; 2
{0,1}
e) 2 x + 8 x 5 = 34 x 3
f)
1 + x 2x 2 + 8 = x + 1
g)
3x − 5 = 3 − 2 x
h)
2x − 4 − x + 5 = 1
i)
x −1 + x + 4 = 5
j)
− x = 2− 2− x
{0;2}
{2}
{20}
{5}
 1
− 
 4
2) Vhodnými substitucemi řešte nerovnici: x 2 + 5 x + 4 − 5 − 5 x 2 + 5 x + 28 = 0
{− 9,4}
10. NEROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU
1)
2)
(1; 5
5− z < z +3
1 5
 ;
7 3
4 z + 4 − 5 − 3z > 0
1
− ;0
5
3) x + 1 ≥ 5 x + 1
(5;14
4) v − 2 > 14 − v
5)
x −1 < x + 2
6)
x + 2 > 2x − 8
7)
x2 + x − 6 < 4 − x
 5

 − , − 1 , 1, ∞ )
 4

2
2
8) x − 1 < x − 4
9) x + 1 ≥ 5 x + 1
10) v − 2 > 14 − v
11)
x 2 − 6x + 9 > 1
x+5
<1
12) 1 − x
Po218/4,
Strana 10/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
− 5,−1 ∪ (1, ∞ )
Maturitní opakování.doc
2− x+2
13) 1 − x + 2
≤0
Po218/4,
x 2 − 5x + 4 > x − 3
14)
Po218/3
15) 3x − 10 > 6 − x
(− 1, 2
(− ∞,1 ∪ (5, ∞ )
Po218/3f
(4, 6
x+5
<1
16) 1 − x
11. SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC
x + xy + y = 7
1) Určete všechna čísla x, y ∈ R tak, aby byla řešením dané soustavy: x − xy + y = 1
x + 2 y = 10
2) Určete všechna čísla x, y ∈ R tak, aby byla řešením dané soustavy:
2x − 3y = 6
3) Řešte v R 3 soustavy lineárních rovnic:
a)
x+ y+z =2
2x − 3 y − z = 0
 2
1

U  (3 − t ), (4 − 3t ), t  
t∈R  5
5


4) Řešte v R 2 soustavy lineárních rovnic:
a)
b)
c)
x + y = 34
Po238/40 {[25;9]}
x− y =2
x 2 + y 2 + xy = 21
Po238/40 {[1;4], [4;1]}
x + y − xy = 3
x 2 + y 2 + x + y = 36
Po237/38 {[5;2], [− 1,8;5, 4]}
3 x 2 + 3 y 2 + 4 x + 5 y = 117
5) Řešte v R 2 soustavy rovnic (početně i graficky):
a)
y + x2 ≤ 1∧ x + y = 0
b)
y > x2
x + y <1

5 −1+ 5 
, y ∈ x 2 ,1 − x
,

2
2

[x, y ], x ∈  − 1 −

2
3
+
= 13
x+z x+ y
1
2
6) Řešte v R 3 , použijte efektivní metody:
−
= −16
x+ z y+z
3
1
+
= 15
x+ y y+z
Strana 11/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
(
)
Maturitní opakování.doc
7) Řešte soustavu rovnic v R3:
6
5
+
=2
x + y y + 3z
15
4
1
−
=
x + y x − 2z 2
10
7
3
−
=−
2
y + 3z x − 2 z
x+3⋅ y +5 = 9
8) Řešte soustavu rovnic:
{[6,4]}
x+3 + y +5 = 6
x + y + pz = 1
9) Řešte soustavu rovnic: x + py + z = 1 . Proveďte diskusi vzhledem k parametru p.
px + y + z = 1
p = 1 : {[1 − y − z , y, z ], y, z ∈ R}

 1
1 
1
p ≠ 1 : 
, p ∈ R
,
,


 2 + p 2 + p 2 + p 
12. LINEÁRNÍ ROVNICE A SOUSTAVY S PARAMETREM
1)
(m + 1)x − 6 = 3 ⋅ 1 − m 2 − m 
x
(


x
)


2) 2 p( xp + 1) − p 2 + 1 x = 2
3)
x +5− k = x −2
4)
2 + ax
= 2a , a – parametr
a+x
5)
2
3
x−5
+
=
p( x − 3) ( p − 1)( x + 1) p( x + 1)( x − 3)
Po177/18
6)
p
2
=
, p, q − reá ln é parametry
x + 3p x + q
Po177/19
7)
(p
Po177/20
8)
3 x + ay = 1
x + 2y = 3
2
)
− 1 ⋅ x = (2 p + 3)( p − 1)
9) Pro která reálná x je splněna nerovnice x − 3 < r , kde r je parametr
10) Pro která reálná x je splněna nerovnice x + 5 ≤ r , kde r je parametr.
r < 0:{ }
r = 0 : {− 5}
r > 0 : (− 5 − a,−5 + a )
Strana 12/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
r ≤ 0:{ }
r > 0 : (3 − a,3 + a )
Maturitní opakování.doc
11) Řešte soustavu rovnic s neznámými x, y a reálným parametrem a
a = 6:{ }
3 x + ay = 1
 2 − 3a 8  
x + 2y = 3
a ≠ 6 : 
,

 6 − a 6 − a  
12) Řešte soustavu rovnic s neznámými x, y a reálným parametrem a
x + ay = 1
a = −1 : {(1 + y, y ); y ∈ R}
{(
x − y = a2
a ≠ −1 : 1 − a + a 2 ,1 − a
)}
13) V množině reálných čísel řešte rovnici p2x + p = x + p2 s neznámou x a parametrem p.
Pro které p má rovnice jediný kladný kořen?
14) V R řešte rovnici m 2 x = m( x + 2 ) − 2 s parametrem m ∈ R
15) Pro které hodnoty parametru p ∈ R jsou kořeny
x ∈ R kladné?
m = 3: K = { }
m = 1 : x = t , kde t ∈ R
2
m ∉ {0,1}: x =
3
x + 4 px − 3 x + 3 p
−
=
o neznámé
2
4
3
 2 11 
p∈ , 
3 4 
13. KVADRATICKÉ ROVNICE S PARAMETREM
1) Řešte rovnice s neznámou x a reálným parametrem p:
1 
p = 0: 
4
p < −12 : { }
1 
p = −12 :  
2
px 2 + 12 x − 3 = 0
 − 6 ± 36 + 3 p 
p ∈ (− 12, ∞ ) − {0}: 

p


2) Řešte rovnice s neznámou x a reálným parametrem p:
px 2 + p 2 = 0
p > 0:{ }
p = 0: R
{
p < 0: ± − p
}
3) Řešte v R:
a)
x2 − 4 p + x = 2 p
b)
4 x 2 + 4x − p + 2x = p
4) Je dána rovnice ax 2 + ax + 5 = 0 s neznámou x a reálným parametrem a.
a) Pro které hodnoty parametru a má tato rovnice dva různé reálné kořeny?
(− ∞,0) ∪ (20, ∞ )
Strana 13/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
b) Určete všechny hodnoty parametru a, pro které má daná rovnice dva různé reálné
 45 
kořeny, z nichž je jeden dvojnásobkem druhého.
 ?
2
5) Diskutujte počet řešení dané rovnice v R vzhledem k reálnému parametru a:
ax 2 − x 2 + 2ax + 2 x + a − 2 = 0
6) Řešte v oboru R rovnici s reálným parametrem m:
(m − 1)x 2 − 2(m + 1)x + m − 2 = 0
 1
m = 1 : K = − 
 4
1

m ∈  − ∞,  : K = { }
5

1
 2
m = : K = − 
5
 3
 m + 1 ± 5m − 1 
 1 
m ∪   ∪ (1, ∞ ) : K = 

m −1
 5,1 


7) Stanovte, kdy rovnice z předchozí úlohy má dva různé kořeny
a) oba kladné
b) oba záporné
c) jeden kladný a jeden záporný
d) právě jeden kořen rovný nule
Po185/24
8) Při kterých hodnotách parametru p ∈ R má rovnice
(2 p + 3)x 2 − 2(2 + 4)x + ( p − 2 = 0 ) dvojnásobný reálná kořen?Po187/30
p = 11 : x = 0,6
p = −2 : x = −2
9) Při kterých hodnotách parametru m ∈ R má rovnice 9 x 2 − 18mx − 8m + 16 = 0 jeden
4
2
m = 1 : x1 = , x 2 =
3
3
reálný kořen roven dvojnásobku druhého reálného kořene?
8
4
m = −2 : x1 = − , x 2 = −
3
3
10) Jaká je množina všech reálných čísel p, pro která má rovnice 4 x 2 + 4 px + p 2 − 4 = 0
1
jeden kořen menší než –1 a druhý kořen větší než ?
2
14. ROVNICE – SLOVNÍ ÚLOHY, KARTÉZSKÝ SOUČIN
1) V rovině s kartézskou soustavou souřadnic Oxy znázorněte
{
}
a) A = ( x, y ) ∈ Z × R; x 2 + y 2 < 4 ∧ x + y ≥ 1
{
b) B = ( x, y ) ∈ R × R; 2 x − y + 2 ≥ 0 ∧ x − 1 ≤ 1 ∧ y ≥ 2
c)
}
{(x, y ) ∈ R × R; x + x = y + y }
2) Turista šel po trase dlouhé 45 km. Kdyby za každou hodinu urazil o 0,5 km méně, došel
by do cíle o hodinu později. Jak dlouho šel a jakou rychlostí?
Strana 14/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
3) Do 6 litrů vody o teplotě 15° C máme nalít teplejší vodu tak, aby výsledná teplota vody
byla větší než 30° C a menší než 40° C
a) Kolik litrů vody o teplotě 50°° C je třeba přilít?
b) Jakou teplotu musí mít 10 l přilévané vody?
(4,5;15)
(39;55)
15. FUNKCE – ZÁKLADNÍ POJMY, VLASTNOSTI
1) Rozhodněte, které z daných fcí jsou sudé, popř liché. Tvrzení dokažte.
a) y = x
b) y = 2
c) y = x 2 + 2
d) y = log
1− x
1+ x
e) y = tg x
y=
1− x2
x4
g) y =
x4
x +3
f)
2) Vyšetřete, zda jsou fce zdola a shora omezené ve svém definičním oboru: (dokažte)
a) y = x 2 + 2
b) y =
1
x +4
2
c) y = 2 x − 3, D f = (− 2, 4
d) y = sin 2 x
e) y = − log x
3) Jestliže následující fce mají maximum nebo minimum, potom určete ve kterém bodě a
jeho hodnotu:
4x 2
x2 + 4
min : [0,0]
b) y = − log x
max: [1,0]
a) y =
4) Rozhodněte, které z následujících fcí jsou prosté ve svém definičním oboru: (dokažte)
a) y = 2 x + 5
b) y = x 2 + 9
c) y = 2 x
d) y = x + 1
5) Dokažte, že fce y = 2 x − 1 je rostoucí v R.
Strana 15/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
16. FUNKCE LINEÁRNÍ ( S ABSOLUTNÍ HODNOTOU)
1) Určete reálné číslo b tak, aby pro lineární funkci h : y = −2 x + b
platilo: ∀x ∈ − 5;5 je f ( x ) ∈ − 15;25
2) Načrtněte grafy funkcí, určete Df, Hf, průsečíky s osami a vlastnosti funkcí:
a) y = x + x
b) y = x − 1 + x + 2
c) y = x − 1 − x + 1
d) y = x − 1 − 1 − 1
e) y = x + x 2
3) Určete předpis lineární funkce f, pro niž platí
a)
5
f (3) = −1, f (− 1) = , H f = (− 3, 5
3
b)
f (1) = −2, f (5) = 6
17. FUNKCE LINEÁRNÍ LOMENÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU)
1) Určete koeficient k, pro fci f : y =
k
, jestliže její graf prochází bodem [− 3;6]
x
2) Načrtněte grafy funkcí, určete Df, Hf, průsečíky s osami a vlastnosti funkcí.
a) y =
b) y =
c) y =
x +1
x−2
1
+2
x
x −1
x +1
d) y =
1
+1
x−3
e) y =
3x + 2
x
f)
y=
2− x
x +1
g) y = 1 −
h) y =
1
x+2
7 − 3x
x−2
Strana 16/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
i)
j)
y =1−
y=
1
1+
1
x
x +1
x−2
18. FUNKCE KVADRATICKÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU)
1) Je dána fce g : y = x 2 − 2 x − 3 . Funkční předpis kvadratické fce f určete tak, aby graf fce f
byl souměrný s grafem fce g:
a) podle osy x
b) podle osy y
c) podle počátku
2) Funkční předpis kvadratické fce zapište rovnicí, víte-li, že graf fce prochází body:
K [0;−3], L[1;0], M [− 1;−4]
3) Načrtněte grafy funkcí, určete Df, Hf, průsečíky s osami a vlastnosti funkcí.
a) y = x x − 2 + x 2 − 2 x
b) y = x ⋅ x − 3
c) y = x 2 + 2 x − 3
d) y = x 2 − x + x − 2
e) y = 9 − x 2 + 4 − x 2 − 5
f)
y = x2 − 5 x + 6
g) y = x 2 − 3 x
19. FUNKCE MOCNINNÉ (S ABSOLUTNÍ HODNOTOU)
1) Řešte pomocí grafů mocninných fcí:
a)
− x5 < x4
b) − x 6 < x 3
c) x 3 ≤ x −2
d)
(− x )4 = x −4
2) Načrtněte graf funkce a popište její vlastnosti ( Hf, intervaly na nichž je fce klesající a
rostoucí, průsečíky s osami, paritu - dokažte, omezenost, max, min)
a) y = −( x + 1)
3
b) y = − x 4 + 1
c) y = (2 x + 2 )
−3
Strana 17/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
d) y = ( x + 1) + 2
−4
e) y = x
f)
−
1
2
y = x − 1 (využijte fce inverzní)
g) y = 2 − 1 − x
h) y = x 3 + 3 x 2 + 3x + 2
i)
y = 2x3 − 6x 2 + 6x − 1
j)
y = ( x − 1)
−3
k) y = x −3 + 2
l)
y = 2 − ( x − 3)
5
20. FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ
1) Vypočítejte x (odlogaritmujte): log 1 x =
2
1
(log 1 a + 3 log 1 b) − 2 + log 1 c , a, b, c ∈ R +
4
2
2
2
{4 ⋅
4
}
ab 3 ⋅ c
2) Pomocí grafů exponenciálních funkcí rozhodněte,který ze vztahů 0 < a < 1 nebo a > 1
platí, víme-li, že platí:
a) a −0.6 > a −0.4
b)
1
1
> 2
3
a
a
c) log a 2,7 > log a 2,8
3) Načrtněte grafy následujících funkcí a určete u každé definiční obor, obor hodnot, zda je
prostá, paritu, intervaly monotónosti, omezenost,exrtémy. Vypočítejte souřadnice
průsečíků grafů se souřadnicovými osami. Pokud existuje fce inverzní, určete její předpis,
definiční obor a obor hodnot, načrtněte její graf.
1− x
a)
1
f :y =  
2
b)
f : y = log x
c)
f : y = log 2 ( x − 2 )
−1
d) y = log 2 ( x + 4 ) − 1
e) y = 0,5 x + 2 − 1
f)
y = log x (log x x)
( )
g) y = log x x
x
Strana 18/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
h)
y = log x
1
x
i)
y = 0,5 x + 2 − 1 + určit inverzní fci
j)
1
y = − 
2
x+2
+4
1
k) y = 2 +  
 2
x
x
y = 4x − 2
l)
m) log 2 ( x + 2) − 1
n) y = log 2 x − log 1 x
2
o) y = ĺog 2 x 2 − 4 x + 4
St88/19
p) y = log 2 ( x + 3) − 1
St88/19
21. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE
Řešte rovnice s neznámou x ∈ R
1) 3 x + 3 x −1 = 108
2) log 24 x 3 −
4
=8
log 24 x 2
3) x log x + 10 x − log x = 11
4)
x
a 2 − 12a + 27 = 0 ⇒ x 81 = 9 ∨ x 81 = 3
27
81 + x
= 12
81
4
5) 2 x ⋅ 33 x = 4 x −1
(
4
3 x = 32 ∨ 3 x = 31 ⇒ x = 2 ∨ x = 4
) (
)
6) 5 2 x 5 2 x − 5 = 3 5 2 x +1 + 5 2 x + 50
7) 7 ⋅ 6 x − 2 ⋅ 4 x = 6 ⋅ 9 x
(
8) x x − x − x = 3 1 + x − x
9)
)
x ∈ {− 1,2}
5 3 x + 19 = 1 + 53 x − 4
x =1
t +1
t −1
10) 4 ⋅ 3 − 3 = 315
4x
2x
11) 4 − 17 ⋅ 4 + 16 = 0
12) 3
2x
− 12 ⋅ 3 x + 27 = 0
x
x +1
13) 4 + 2 = 24
x
x
14) 8 ⋅ 4 − 9 ⋅ 2 + 1 = 0
15) 3
2 u +1
+ 2 2u +1 − 5 ⋅ 6 u = 0
Strana 19/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
t − 56
− 7 ⋅ 3t −60 = 162
16) 3
3
3− 5 x
= 4 ⋅ 2 5 −7 x
17) 2 ⋅ 4
18) 8 x +1 = 0,1
19) 3
x −1
⋅ 71− x = 1
2
20) 0,125 ⋅ 4
2 x −3
 0,25 
=

 2 
−x
3 x−6
log 27
21) 5−2 x =
log 3
3
22) log 3 log 4 log 5 x = 0
(625)
23) log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7
(16)
1
24) log( x + 6) − log (2 x − 3) = 2 − log 25
2
25) log 5
Po198/15, {6,14}
x 2 − 5x + 6
= log 5 x 2 −5 x + 6 − log 5 x 2 + 1
2
1+ x
(
26) 1 + log x 3 =
)
(
)
10
log x
27) (log 3 x ) − log 3 x 3 + 2 = 0
2
28)
1
2
+
=1
5 − log x 1 + log x
29)
log x
= −1
log x + 1
30) Určete všechna čísla
a)
x, y ∈ R tak, aby byla řešením soustavy:
x y +1 = 27
x − y +1 = 3 −1
22. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ NEROVNICE
 log 2 

,1
 log 3 
1) 9 x + 6 < 5 ⋅ 3 x
2) 2 x + 1 < 3 ⋅ 2
3)
x −1
2
Po221/11 (− 1;1), sub : y = 2 x
Po221/11 K = (1;1)
1
1
+ ≥0
log x 3
 log 2

Po221/11, K = 
, ∞ 
 2 log 2 − 1 
4) 4 x − 2 ⋅ 5 2 x < 10 x
Strana 20/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
5) − 1 < log
x +1
<1
2
x + 1 < 1 + log 1 4 − x 2
6) log 1
3
3
2 x − 5 ⋅ 4 x −2 < 1 − 2 x −1
7)
1+ x
 1  1− x
8)   > 243
 3
x ∈ (− ∞;2)
x
x
9) 4 − 3 ⋅ 2 < 4
1
10)  
4
2 x +3
1
≤ 
8
x+2
R0+
11) log 5 x ≤ 4
12) log ( x − 3) + log (2 x − 1) < 0
13) log( x + 1) > log (5 − x )
14)
log 2 x + 3 log x + 3
<1
log x − 1
(0,10)
15) log 1 x ≥ 2
3
16) log
x−2
<0
x+3
(2, ∞ )
17) log ( x + 2) < − log (2 x − 6)
Po222/13,sub: y = log x, (3,8)
23. DEFINIČNÍ OBOR SLOŽENÉ FUNKCE
18) Určete definiční obor funkce:
a) y =
1+ x
1− x
b) y = log( 3 − tgx )
c) y =
1 + tgx
1 − tgx
d) y =
ln sin x
e) y =
log(2 − x)
− 2x 2 − 5
f)
y=3
x2 −4
g) y = x 2 − 5 + log(1 − 3x )
h) y = ln( 2 x − 15)
Strana 21/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
2
i)
y=
j)
y = ln (1 − ln x )
(0; e)
1
log ( x − 3)
(3;4) U (4; ∞ )
k) y =
l)
5 x − 7 x 2 − 12 x
3
y = 5x
24. INVERZNÍ FUNKCE
Inverzní fce k prosté fci f je fce f-1, pro kterou platí:
a) D f −1 = H f
b) Ke každému y ∈ D f −1 je přiřazeno právě to x ∈ D f , pro které
je f ( x ) = y ⇔ f
−1
( y) = x
1) Určete definiční obor dané funkce a pomocí funkce k ní inverzní nalezněte také obor
x−2
hodnot. y = log
x +1
2) Je dána funkce y = 1 − x + 3
a) Určete její definiční obor a obor hodnot
b) Nalezněte funkci k ní inverzní
c) Načrtněte do jednoho obrázku grafy obou funkcí.
3) K funkci f určete funkci inverzní a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí:
a) y = x 2 − 6 x + 5
Pe33/90
b) f : y = 1 − 4 x + 2
c)
f : y = 2 − log 1 ( x + 1)
3
d) y = 2 + log 1 ( x + 1)
2
e) y = 2 x −1 − 4
f)
f : y = 3 − x2
g) f : y = 2 − 1 − x
h) y =
i)
1− x
1+ x
y=x
y=
1− x
1+ x
y = 3 x , x ∈ 0; ∞ )
3
y = −3 x , x ∈ (− ∞,0 )
4) Jsou dány tři funkce f ( x ) = x − 1, g ( x) = x , h( x) = x + 3 . Vytvořte složenou funkci
h(g(f(x))) a určete její definiční obor.
Strana 22/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
25. FUNKCE GONIOMETRICKÉ
1) Načrtněte grafy následujících funkcí a určete u každé definiční obor, obor hodnot, zda je
prostá, paritu, periodu, intervaly monotónosti, omezenost,extrémy. Vypočítejte souřadnice
průsečíků grafů se souřadnicovými osami.
a) y = sin x + sin x
b)
sin x − sin x
cos x − cos x
c) y = tg (−2 x)
1
π
d) y = − cos( x − )
2
4
x π
e) y = 3 sin  + 
2 4
f)
π

y = cot g  x − 
4

g) y = 1 − cos x
h) y = sin x + cos x x ∈ − 2π ,2π
i)
y = sin x + cos x , x ∈ − 2π ,2π
j)
y = tg 2 x + 2
k) y = tgx ⋅ cot gx , x ∈ 0, π
l)
π

y = 2 sin  x +  − 1, x ∈ − π , π
2

26. GONIOMETRICKÉ VZORCE
1) Dokažte a určete pro která x ∈ R má daný výraz smysl:
2
2
a) sin( x + y ) ⋅ sin( x − y ) = sin x − sin y
b) cos( x + y ) ⋅ cos( x − y ) = cos 2 x + cos 2 y − 1
π

c) cos x + sin x = 2 cos − x 
4

2) Určete definiční obor daného výrazu a potom ho zjednodušte
{1}, x ∈ R − U k π 
sin 2 x − sin 4 x
a)
=
cos 2 x − cos 4 x
k ∈Z
 2
π
 2 

, x ≠ + kπ
2
 cos x 
cos x
cos x
b)
+
=
1 − sin x 1 + sin x
Strana 23/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
{sin x ⋅ cos x}, x ≠ π
tgx
c)
=
1 + tg 2 x
2
+ kπ
cos x + sin x
π
π
,x ≠ +k
cos x − sin x
4
2
1 + sin 2 x
=
d)
cos 2 x
1, x ≠
cos 4 x − sin 4 x
=
e)
cos 2 x
π
π
+k
4
2
kπ 

cot gx, x ≠

2 

f)
sin − sin x
=
cos 3 − cos x
g)
sin x + sin 2 x
cos 3x − cos x
:
1 + cos x + cos 2 x sin 3x + sin x
3
Po161/48
3) Určete, pro která x jsou definovány následující rovnost a pak je dokažte:
a)
1
= 1 + cot g 2 x
2
sin x
b)
1
− sin x ⋅ tgx = cos x
cos x
c)
1 − tg 2 x
= cos 2 x
1 + tg 2 x
d)
sin 2 x − cos x
= cot gx
1 − cos 2 x − sin x
4) Dokažte:
2π 
5π 


a) cos x +
 + cos x +
=0
3 
3 


b) sin ( x + π ) + sin ( x − π ) = −2 sin x
c) sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x
d) 1 − 2 sin 2
e)
x
= cos x
2
cos 2 x
π

= tg  − x 
1 + sin 2 x
4

Po162/59
27. GONIOMETRICKÉ ROVNICE
Řešte v R rovnice:
1) tgx = cot gx
2) sin 2 x + sin 2 2 x = 1
3) cos 2 x − 2 cos x =
1
2
Strana 24/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
4) sin 2 x + sin 2 2 x = 1
U {arctg 2 + kπ ;−arctg 3 + kπ }
2
2
5) sin x − 6 cos x + sin x ⋅ cos x = 1
k ∈Z
U {kπ }
4
4
6) sin x − cos x = −1
k∈Z
2π
4π


+ 2kπ ,
+ 2kπ 
kπ ,
3
3


7) sin x + sin 2 x = 0
sin x ⋅ cos x =
8)
π

 + kπ 
4

1
2
π
5π


+ 2kπ 
kπ , + 2kπ ,
6
6


9) sin x + cos 2 x = 1
6
6
10) sin x − cos x = cos 2 x
π
π
 +k 
2
4
11) sin 2 x ⋅ cos 2 x = 0,5
π kπ 
 +

2 
8
x
x
cos − sin = 0
4
2
12)
2π
10π


+ 8kπ ,
+ 8kπ 
2π + 4kπ ,
3
3


13) − sin 2 x = sin 10 x
π 
 kπ π
 , + k ,
4 
6 8
π
π

sin  x −  = sin x − sin
6
6
14) 
π

 + 2kπ , 2k 
6

π
π

 + kπ , + kπ 
4
2

1
= sin x + cos x
15) sin x
kπ ,
16) sin 2 x = tgx
2π
π

+ kπ 
 + kπ ,
3
3

17) sin x − cos x = 0,5
2
2
π π
3π
π

+ kπ 
 + k , + kπ ,
2 8
8
4

18) sin 4 x = 2 cos 2 x
π

 + 2kπ , 2kπ 
2

1
19) sin 3 x + cos 3 x = 1 − sin x
2
20) 2 + cos x = 2tg
π
π
+k
4
2
π

 + kπ 
2

x
2
π
3π


+ 2kπ 
kπ , + 2kπ ,
4
4


21) 2 sin 2 x = 2 sin x
kπ π
5π
, + 2kπ ,
+ 2kπ
2 3
3
22) sin 3x = sin 2 x − sin x
Strana 25/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
sin 3 x = cos 2 x
Složitější goniometrická rovnice:
sin 3 x − sin (90° − 2 x ) = 0
3x − 90° + 2 x
3x + 90° − 2 x
2 ⋅ cos
⋅ sin
=0
2
2
x + π2
5 x − π2
cos
=0
∨
sin
=0
2
2
x + π2 π
5 x − π2
= 2 + kπ
= kπ
2
2
x = π2 + 2kπ
x = 10π + 25 kπ
28. GONIOMETRICKÉ NEROVNICE
Řešte v R nerovnici:
1) sin x + sin x ≥ 0
2) sin x ⋅ cos x > 0
3) cot g 2 x < 1 ¨
4) sin 2 x ≤ sin x
5) cos 2 x + sin x < 1
 π 5π 
 ,  ∪ (π ,2π )
6 6 
6) sin 2 x ≤ sin x
π
5π
;π ∪
;2π
3
3
π
 7π

+ 2kπ , + 2kπ 
−
6
 6

7) 2 sin 2 x + 3 > 7 sin x

8) sin x + cos 2 x > 1
π
k ∈Z
 π
1
9) cos x ≤
cos x
 5π

+ 2kπ , π + 2kπ  
6


U  2kπ , 6 + 2kπ  ∪ 
π


U  − 2 + 2kπ , 2 + 2kπ  ∪ {π + 2kπ }
k ∈Z
10) cot g 2 x < 1
11) sin x ≥ −
1
2
12) 5 sin 2 x + sin 2 2 x > 4 cos 2 x
Po225/22
5π
π

+ 2kπ 
 + 2kπ ,
3
3

13) 2 sin 2 x > 3 cos x
7
 π

 − + kπ , π + kπ 
12
 12

1
14) sin 2 + 2 sin x cos x + cos 2 x >
2
Strana 26/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
29. TRIGONOMETRIE – ŘEŠENÍ TROJÚHELNÍKA
1) Na vrcholu hory stojí věž hradu vysoká v = 30 m. Křižovatku silnic v údolí vidíme
z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech α = 32°50′ , β = 30°10′ . Jak vysoko
je vrchol hory nad křižovatkou?
2) V lichoběžníku ABCD (AB
CD) je AB = 73,6mm, BC =57mm, CD =60mm,
DA =58,6mm. Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů.
3) Dálkoměrem byly po osmi sekundách změřeny vzdálenosti pozorovatele od přímočaře
rovnoměrně letícího letadla l1= 2,6km, l2= 3,2km, l3= 4,2km. Vypočítejte rychlost letadla.
4) Vypočítejte šířku řeky, jestliže na jednom břehu byla vyznačena úsečka KL délky 40m a
dále byly změřeny úhly LKS = 76°24′ a KLS = 43°52′ , kde bod S je bod na druhém
břehu řeky.
Pe50/91
5) V lichoběžníku ABCD znáte délky stran AB = 30cm, BC = 15cm, CD = 20cm, AD =
12cm. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů.
6) Řešte početně pravoúhlý trojúhelník ABC, je-li délka přepony c = 26,71cm, β = 40°32'
7) V trojúhelníku ABC znáte : a = 5, b = 4cm, va = 2cm. Vypočítejte obsah trojúhelníku
ABC a výšku vb.
8) Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD , znáte-li délky stran AB = 8cm, BC = 6cm,
CD = 2cm, AD = 6cm.
9) Vypočítejte poloměr kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku ABC, je-li délka přepony
c = 5cm a délka odvěsny a = 3cm.
10) Vypočítejte poloměr kružnice vepsané pravoúhlému trojúhelníku ABC, je-li pravý úhel u
vrcholu C, c = 10cm, b = 8cm.
11) Tři síly F1 = 10N, F2 = 20N, F3 = 27N působí na těleso v jednom bodě v téže rovině a jsou
v rovnováze. Vypočítejte úhly, které svírají jednotlivé úhly navzájem.
12) Vypočítejte velikost úhlů pravoúhlého trojúhelníka s přeponou c, jestliže platí:
2 3b − a = c
13) Vypočítejte velikosti stran a úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: S = 131 m2, (S – obsah),
β = 37°35´ , c = 31,7 m.
14) Řešte početně trojúhelník je-li dáno:
a) b = 3 cm, c = 4,8 cm, β = 30°
Po224/72
γ = 53°8' , α = 96°52' , a = 5,96cm
γ = 126°52' , α = 23°8' , a = 2,36cm
b) t c = 5cm, v a = 4cm, vb = 6cm
Po225/73 λ = 60°27' , a = 6,9cm, b = 4,6cm, c = 6,12cm, α = 78°43' , β = 40°50'
30. PLANIMETRIE – GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINĚ
1) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 10 cm. Určete jejich
vzdálenost.
2) Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru 12 cm, je 39 cm. Vypočítejte její
obsah.
Strana 27/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
3) V pravidelném n-úhelníku je velikost vnitřního α = 108° a poloměr kružnice
vepsané θ = 5cm . Určete, o jaký mnohoúhelník se jedná a vypočítejte jeho obsah.
4) Který konvexní n úhelník má dvakrát víc úhlopříček než stran.
5) Na ciferníku hodin vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům 11, 8, 4.
Vypočítejte jeho vnitřní úhly.
6) Z kruhové výseče vznikne kruhová úseč. Kolik %materiálu odpadne, je-li poloměr kruhu
15 cm a středový úhel výseče i úseče α = 60° .
7) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je dána odvěsna a = 4cm a těžnice t a = 6cm .
Vypočítejte těžnici t b .
2 6
8) V lichoběžníku ABCD, jehož základny mají délky a, c je průsečíkem M úhlopříček
2ac
vedena příčka EF rovnoběžná se základnami. Určete její délku.
Po241/148,
a+c
9) Do kružnice je vepsán trojúhelník ABC, jehož vrcholy dělí danou kružnici na tři
kružnicové oblouky, jejichž délky jsou v poměru 2:3:7. Vypočítejte velikost vnitřních
úhlů v trojúhelníku ABC.
30°,45°, 105°
10) Je dána kružnice k (S , r = 8cm ) a bod M takový, že MS = 10cm .
a) Užitím mocnosti bodu M ke kružnici k určete její sečnu p procházející bodem M a
vytínající na ní tětivu AB tak, že platí MB : MA = 4
b) Pro kterou sečnu p je poměr MB : MA největší?
11) Pravidelný n=úhelník má 54 úhlopříček a poloměr kružnice jemu opsané je 14 cm.
Vypočítejte jeho obvod a obsah.
uč87/1.171 o = 86,96, S = 588cm 2
31. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 1 (MNOŽINY VŠECH BODŮ DANÉ
VLASTNOSTI.)
1) Je dána úsečka BC ( BC = 5cm ) . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí
vb = 4,5 cm, tc = 5,5 cm.
2) Kružnice k1 (O1 ;5cm ), k 2 (O2 ;3cm ), O1O2 = 4cm se protínají ve dvou bodech. Označte C
jeden z těchto průsečíků. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC se základnou
AB tak, aby platilo A ∈ k1 ∧ B ∈ k 2 ∧ ∠ACB = 120° . Uveďte rozbor, postup, konstrukci a
diskusi.
3) Sestrojte množinu všech bodů pod nimiž je vidět úsečku AB ( AB= 4 cm) pod úhlem
49°. Množinu zapište symbolicky.
4) Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky a prochází dvěma body, které leží uvnitř
téže poloroviny vyťaté danou přímkou.
5) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod o = 12 cm, a úhly α = 60° , β = 45° .
6) Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky a prochází dvěma body, které leží uvnitř
téže poloroviny vyťaté danou přímkou.
7) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestli-že a : b : c = 7 : 3 : 5, v c = 4cm (
Strana 28/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
32. KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 2- ZÁKLADNÍ GEOMETICKÉ
KONSTRUKCE
1) Sestroj trojúhelník ABC: c=8 cm, vc=1,5 cm, γ=120 °
2) Sestroj trojúhelník ABC: c=3,5 cm , vc= 3 cm, ta=2 cm
3) Sestroj trojúhelník ABC: tc=4 cm, ta=6 cm, vc=3,5 cm
4) Sestroj trojúhelník ABC: γ = 75°, v a = 3,5cm, r = 2,5cm , r=poloměr opsané kružnice
5) Sestroj trojúhelník ABC: a = 5cm, α = 45°, ρ = 1,5cm, poloměr vepsané kružnice
6) Je dána úsečka |AB|=5 cm. Sestroj všechny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nichž je
|AC|=e=8 cm , β=120° a ε=105° (úhel AEB= ε ) .E je průsečík úhlopříček.
7) Jsou dány kružnice k1(O1,5 cm), k2(O2,2 cm), Sestroj všechny kružnice o poloměru 1
cm, které se dotýkají těchto dvou kružnic.|O1O2 |=6 cm
8) Je dána úsečka |CS1| =3 cm.Sestroj všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS1
těžnicí tc a pro které dále platí: α=30°, β=45°
9) Sestroj všechny trojúhelníky ABC znáte-li b + c=10 , α°β°
10) Sestrojte úsečky, které při zvolené jednotkové úsečce mají délky
a)
10 , 13 , 15 , 35
11) Jsou dány tři úsečky o velikostech a,b,c. Sestrojte úsečku:
a) x = a 3
b) x =
a a 2 + bc
b
c) x = a 2 − b 2
12) K danému pravoúhlému trojúhelníku o odvěsnách a,b sestrojte rovnostranný trojúhelník o
straně x, který má stejný obsah.
13) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dán jejich obvod o = 12cm a úhly
α = 60°, β = 45°
14) Jsou dány dvě soustředné kružnice l1 (O,1cm ), l 2 (O,4cm ) a bod A ( OA = 3cm ) . Sestrojte
všechny kružnice, které se dotýkají kružnic l1 ,l 2 a procházejí bodem A.
15) Je dána úsečka BC ( BC = 5cm ) . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí
vb = 4,5 cm, tc = 5,5 cm
16) Sestrojte kosodélník ABCD, pro který platí: AC = e = 5cm, BD = f = 3, v a = 2,5cm
17) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c, t b , r ( poloměrkruřniceopsané )
Po251/22
18) Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB, je-li dáno:
c, θ − poloměr kružnice vepsané
Po251/23
33. SHODNÁ ZOBRAZENÍ
1) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a přímka c, která rovnoběžky protíná. Sestrojte
kružnici, která se dotýká všech přímek. ( Které zobrazení lze použít?
Strana 29/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte
kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a, b.
3) Kružnice k1 (O1 , r1 ), k 2 (O2 , r2 ) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p.
Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A,C ležely po řadě na kružnicích k1 , k 2
a úhlopříčka BD ( BD = 5cm ) na přímce p.
4) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a:b = 4:5, vc = 3 cm, γ = 60°. (V rozboru uveďte,
jaké jste použili zobrazení.)
5) Do daného rovnoběžníku KLMN vepište čtverec ABCD tak, aby
A ∈ KL, B ∈ LM , C ∈ MN , D ∈ KN
6) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a + b, c, v a
263/38
7) Do daného čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník KLM tak, že jeho vrchol
k bude ležet v daném bodě na straně AB daného čtverce K ∈ AB a vrcholy m,n budou na
dalších stranách čtverce
Po267/57, otočení
8) Jsou dány dvě různoběžky p,q a úsečka MN. Sestrojte takový čtverec ABCD, že platí
A ∈ p, B ∈ q, AB // MN , AB = MN
Po268/65.posunutí
9) Sestroj všechny trojúhelníky ABC, znáš-li: a+ b+ c =10, vc=3, γ =60°
10) Je dána kružnice k(O,4 cm) a bod A. Sestroj všechny tětivy XY kružnice k, které mají
délku 6 cm a pro které platí, že přímka XY prochází daným bodem A. |OA |=3 cm
11) Je dány úsečka CS1, |CS1| =3. Sestroj všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS1
těžnicí tc a pro které dále platí: b= 8 cm, β =30°
12) Jsou dány dvě různoběžky p, q a kružnice k. Sestroj úsečku XY tak,aby platilo: X∈p, Y ∈
q a úsečka XY je kolmá na přímku q a střed úsečky XY leží na přímce q. Zvolte postupně
vzájemnou polohu kružnice a přímek tak, aby úloha měla 2, resp. 1, resp. 0 řešení.
13) Jsou dány dvě různoběžky p,q a bod M( M∉p,M∉q), Sestroj úsečku XY tak, aby platilo:
X ∈p,Y∈q a bod M je střed úsečky XY.
14) Je dána úsečka OP, |OP| =4 cm. Sestroj kružnici k(O,2,5 cm) a přímku p, p ⊥ OP∧ P ∈ p.
Dále sestroj jeden bod M, pro který platí |OM| =3 cm a |POM | =30°. Sestroj všechny
čtverce ABCD tak,aby platilo A∈k ∧C ∈ p∧ M=S, kde S je střed čtverce ABCD.
15) Je dána přímka p, kružnice k a bod M. vzájemnou polohu p, k, M volte stejně jako v úloze
9. Sestroj všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak,aby platilo C∈ k∧ B∈p ∧ A=M
16) Sestroj všechny trojúhelníky ABC, znáš-li: a+ b +c=12 cm , α = 45°,β =75 °
34. PODOBNÁ ZOBRAZENÍ
1) Najdi středy stejnolehlostí úseček, kružnic.
2) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestli-že a : b : c = 7 : 3 : 5, v c = 4cm
3) Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M (M ∉ a, M ∉ b ) . Sestrojte kružnici, která
prochází bodem M a dotýká se přímek a, b.
4) .Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li:
a) b=4 : 5,γ=60°, vc=3 cm.
b) α = 45°, β = 60°, t c = 3cm
Strana 30/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
c) a : b : c = 3 : 5 : 6, vc = 4cm
5) Do trojúhelníku ABC (a=5 cm, b=6 cm, c=7 cm) vepište čtverec KLMN tak, aby platilo
KL ⊂ AB ∧ M ∈ BC ∧ N ∈ AC
35. POLOHOVÉ VLASTNOST PŘÍMEK A ROVIN, ŘEZY
1) Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a. Označte po řadě K, L, M středy hran
AB,BC,CG. Sestrojte řez krychle rovinou KLM a vypočítejte obsah řezu.
1) Je dána krychle ABCDEFGH, body X, Y, Z jsou po řadě středy hran FB, FE, FG. Určete
vzájemnou polohu přímek:
a) XY, EZ
mimoběžky
b) YZ, EH
různoběžky
c) XZ, AH
rovnoběžky
2) Je dána krychle ABCDEFGH; body K, L, M, N jsou po řadě středy stěn ABCD, BCFG,
EFGH, ADHE. Jaká je vzájemná poloha
a) Přímky KL a roviny CDH
b) Přímky LN a roviny ABG
c) Přímky LM a roviny BCE
d) Přímky KN a roviny EFG
3) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou BPQ, bod P je bodem
hrany AV a bod Q hrany CV tak, AP : PV = VQ : QC = 2 : 1
4) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou:
a) S AB , S AD , S CG
b) S AB , S BF , S HG .
c) KLM, M – střed hrany HG, L – střed hrany EF, K – střed hrany BC
d) XYZ, X – střed hrany CG, Y – střed hrany AD, Z – střed hrany AB
e) XYZ, X – střed hrany HG, Y – střed hrany EH,
Z ∈ AB, AZ : ZB = 2 : 1
5) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou S Dv , R, T , kde
R ∈ AB ∧ AR = 2 BR
T ∈ CV ∧ VT = 3 CT
6) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průnik přímky PQ s povrchem
3
P ∈ DH ∧ DP = DH , B = S QF
2
krychle.
7) Je dán čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky MB a roviny ACV,
M - střed hrany DV
8) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečnici rovin:
a) S AV , S BV , D a V , S AB , S CD
b) ACV a SADSBCV
Strana 31/70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
c) ACV a BDSCV
d) ABSCV a CDSBV
9) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečnici rovin:
a) BGE a HDS, S – střed hrany BC
b) BFH a EGS, S – střed hrany BC
c) ACG a AFH
d) BCG a AEO, O – střed hrany CD
e) ACF a CGS, S – střed hrany AB
10) Je dán pravoúhlý čtyřboký jehlan ABCDV, a = 4 cm, v = 6 cm. Určete průsečnici rovin
BCV a ADV.
11) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průnik přímky MN
3
s jehlanem. M ∈ BA, AM = AB , N - střed výšky
2
12) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky MN a roviny DBV,
M – střed hrany AV, N – střed hrany CV.
13) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek EC, ASGH.
(Pe 90 / 1d)
14) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny AG,
BHSAB.
(Pe 90/2d)
15) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin ADE, BCSEF, SAF,
SCG, SBF.
(Pe 90/4c)
16) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Vyšetřete vzájemnou polohu dvou rovin
BVSAD, DSBCSCV.
(Pe 90/5c)
17) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou SAD, SBF, SGH.
(Pe 91/7d)
18) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou RST,
R ∈ AB ∧ AR = 2 BR
S ∈ CV ∧ VS = 3 CS
(Pe 91/8c)
T = S AV
19) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečnici rovin ACF, CGSAB.
(Pe 91/9f)
20) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky VSAC s rovinou
ASBCSCV.
(Pe 91/12c)
21) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průnik přímky PQ s povrchem krychle.
P ∈a CB, CP = 1,5 BC , Q ∈a EH , EQ = 1,5 EH .
Pe 92/13c)
22) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průnik přímky PQ s povrchem
jehlanu. P = S AV , Q ∈a DC ∧ DQ = 1,5 DC .
(Pe 92/14c)
32
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
36. METRICKÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN
1) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu délky a a boční hranu délky
2a. Vypočtěte délku úsečky AM, kde M je střed strany CV a odchylku roviny podstavy a
boční stěny
2) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4. Vypočítejte vzdálenost mimoběžných přímek AC a
BH.
( Pe 93/22c)
3) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4. Vypočítejte vzdálenost bodu F od roviny BEG.
( Pe 93/24b)
4) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm ,v = 6 cm.Vypočítejte vzdálenost
bodu SAV od roviny BCV.
( Pe 93/25b)
5) Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD, AB = 4cm .Vypočítejte vzdálenost bodu SBD od roviny
ABC.
( Pe 93/26c)
6) Je dána krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku přímek DE a BH.
( Pe 94/29h)
7) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm ,v = 6 cm.Vypočítejte odchylku
přímek AC a BV.
( Pe 94/31f)
8) Je dána krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku roviny ABG a BEG. ( Pe 94/35e)
9) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm ,v = 6 cm.Vypočítejte odchylku
rovin ADV a BCSAV.
( Pe 94/36f)
10) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm ,v = 6 cm.Vypočítejte obvod obsah
mnohoúhelníku, který je shodný s řezem jehlanu rovinou SAVSCVB.
( Pe 95/44c)
11) Vypočítejte odchylku rovin ADV a BCV v pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV,
a = 4 cm, v = 6 cm
12) V pravidelném šestibokém jehlanu ABCDEFGH AB = a = 3cm, VS = v = 4cm je bod
S středem jeho podstavy, bod M středem hrany AV. početně i konstrukčně určete
odchylky přímky a roviny ρ . Přitom:
a)
p =↔ AV , ρ = ABC
b) p = VS , ρ =↔ AFV
c)
p = BM , ρ =↔ ABC
13) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu délky a a boční hranu délky
2a. Vypočtěte délku úsečky AM, kde M je střed strany CV a odchylku roviny podstavy a
boční stěny
14) Vzdálenost dvou bodů v pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm
a)
AV = 44
b)
S BC = 40
c)
AS CV = 3 3
33
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
15) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4cm. Vypočítejte vzdálenost bodu F od přímky AH.
2 6
16) Odchylky přímek v krychli ABCDEFGH
a) ↔ AC a ↔ CH
60°
b) ↔ HB a ↔ DB
35°15‘
c) ↔ AG a ↔ BH
70°32‘
d) ↔ DH a ↔ BS GH
48°11‘23‘‘
17) Odchylky přímek v prav. jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm
a) ↔ AD a ↔ BV (použij rovnoběžnou přímku)
b) ↔ AV a ↔ DV
c) ↔ AC a ↔ S CV
72°27'6' '
35°5'48' '
18) Odchylky přímek a rovin v krychli ABCDEFGH, a = 4 cm
a) přímky EC a roviny CDH
b) ↔ ABC a ↔ BDH
90°
c) ↔ ABC a ↔ BEG
54°44‘
d) ↔ ACH a ↔ DH
19) Odchylky přímek a rovin v prav. čtyřbokém jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm :
a) odchylku rovin BCV a VSABSCD
18°26‘6‘‘
b) odchylku přímek CD a BSCV
c) ↔ AV a ↔ ABC
64°38‘
d) odchylku protějších stěn
36°52‘
20) Vzdálenost bodu od přímky nebo roviny v krychli ABCDEFGH, a = 4 cm
4⋅
a) Bodu E od roviny AFH (*)
3
3
b) bod B a ↔ AD
c) bod B a ↔ AC
a 2
2
d) bod B a ↔ GH
a 2
e) bod B a ↔ AG (*)
f) bodu E od přímky BH (*)
21) Vzdálenost bodu od přímky v prav. čtyřbokém jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm
a) bodu A od přímky CV. Řešte početně i konstrukčně.
34
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
5,11
Maturitní opakování.doc
S CV S AC = 11 =
b) vzdálenost bodu SCV od přímky BD.
AV
2
22) Vzdálenost rovnoběžných přímek a rovin v krychli ABCDEFGH a = 4 cm:
a) ↔ AB a S BG S AH
a 2
2
b) přímek SABSBC a SEHSGH. Řešte početně i konstrukčně.
2 6
c) ↔ BDG a ↔ CFH (*)
a 3
3
d) ↔ AFH a ↔ BDG
e) ↔ BEG a ↔ S EF S BF S FG (*)
23) Vzdálenost rovnoběžných přímek v prav. čtyřb. jehlanu ABCDV, a = 4cm, v = 6cm
a) ↔ AB a S CV S DV
3 2
b) ↔ AV a S AB S BV
2 110
11
37. MNOHOSTĚNY A ROTAČNÍ TĚLESA
1) Určete objem a povrch tělesa, které vynikne rotací pravidelného šestiúhelníku o straně
délky a kolem přímky, v níž leží delší úhlopříčka šestiúhelníku.
2) Objem pravidelného šestibokého hranolu V = 540 3 . Délka podstavné hrany a je k
délce výšky v poměru 3:5. Vypočtěte povrch hranolu
3) Určete objem a povrch tělesa, které vznikne rotací pravidelného šestiúhelníku o straně
délky a kolem přímky, v níž leží delší úhlopříčka šestiúhelníku.
4) Vypočítejte objem půdy pod valbovou střechou, která je na obrázku. Půdorys střechy má
rozměry 18 m x 10 m, výška hřebene je 6 m a všechny střešní plochy mají stejný sklon.
5) Vypočítejte objem a povrch jednoho z polopravidelných mnohostěnů - tělesa, které
vznikne z krychle o hraně délky a = 10 cm odříznutím všech jejích vrcholů rovinami
procházejícími středy hran krychle.
35
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
6) Urči obsah lampového stínítka tvaru rotačního komolého kužele, průměry podstav
d1 = 32 cm, d2 = 12 cm, jeho výšku v = 24 cm.
7) V rotačním válci je dutina tvaru kužele, přičemž podstavy obou těles jsou společné a
výšky též.Vypočítejte objem tohoto tělesa, jestliže válec i kužel mají stejné obsahy plášťů.
Poloměr podstavy je r.
8) Kulová výseč je tvořena kulovou úsečí a kuželem se společnou podstavou. Výška úseče je
2cm a poloměr podstavy 6 cm. Vypočti objem a povrch kulové výseče.
9) Komín tvaru dutého rotačního komolého kužele má výšku 32m, dolní průměry 3,2m a 2m,
horní průměry 1,7m a 1,2m. Jaká je celková hmotnost komínu, je-li hustota zdiva
?
10) Koule o středu S a poloměru r = 15cm je položena na vodorovné rovině ρ a osvětlena
zdrojem Z; SZ je kolmé na ρ , Zρ = h = 45 cm . Určete:
a) průměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku v osvětlené části koule
b) obsah vrženého stínu koule na rovinu ρ
c) obsah osvětlené části koule
11) Do nálevky tvaru rovnostranného rotačního kužele o poloměru podstavy r je nalito
množství vody rovnající se polovině objemu nálevky. Určeme výšku hladiny vody od ústí
1
nálevky.( x = 3 4 3r )
2
38. VEKTOROVÁ ALGEBRA
1) Určete obsah trojúhelníku A[2,-1,3], B[1,1,1], C[0,0,5].
2) Vypočítejte obsah a obvod trojúhelníka ABC velikost úhlu α
a) A[0,1], B[2,3], C [4,0]
b) A[1,3], B[2,0], C [4,−1]
c) A[1,0, 2], B[2,−2, 4], C [3,6,1]
d) A[4,0,−1], B[2,4,−1], C [5,3, 4]
3) Je dán vektor u = (4,9) . Určete m ∈ R tak, aby vektor v = (m,2 ) byl kolmý k vektoru u .
4) Leží vektory a = (3,10,−5), b = (0,−2,1), c = (1,2,−1) v jedné rovině?
36
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
5) Určete vektor a tak, aby platilo a⊥b ∧ a = 4 5 , kde b = (3,6 ) .
6) Jsou dány vektory u = (3,−1,0), v = (9,−3,2 ) . Určete souřadnice vektoru z tak, aby platilo:
z⊥u ∧ z⊥ v ∧ z = 1
7) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV, znáte-li souřadnice bodů
A[2,3,4], B[− 1,4,2], D[0,2, −5], V [3,2,1]
8) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, znáte-li souřadnice bodů
A[1,0,2], B[3, 4,3], D[− 1,4,6], E [2,1,−5]
[1]
[12,24]
9) Je dán vektor f = (3;2). Určete m ∈ R tak, aby pro vektor g = (6; m) platilo g − f = 5 .[2,6]
10) Určete obsah trojúhelníku A[2,-1,3], B[1,1,1], C[0,0,5].
r
r
r
r
11) Jsou dány vektory a = (2,3,−1), b = (1, −2,3), c = (2, −1,1) . Určete souřadnice vektoru x ,
r r r
r
který je kolmý k a i k b ; x ⋅ c = −6
12) Vypočítejte obsah a obvod trojúhelníka ABC velikost úhlu α
a) A[0,1], B[2,3], C [4,0]
b) A[1,3], B[2,0], C [4,−1]
c) A[1,0, 2], B[2,−2, 4], C [3,6,1]
d) A[4,0,−1], B[2,4,−1], C [5,3, 4]
13) Je dán vektor u = (4,9) . Určete m ∈ R tak, aby vektor v = (m,2 ) byl kolmý k vektoru u .
14) Leží vektory a = (3,10,−5), b = (0,−2,1), c = (1,2,−1) v jedné rovině?
15) Jsou dány vektory u = (3,−1,0), v = (9,−3,2 ) . Určete souřadnice vektoru z tak, aby platilo:
z⊥u ∧ z⊥ v ∧ z = 1
16) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV, znáte-li souřadnice bodů
A[2,3,4], B[− 1,4,2], D[0,2, −5], V [3,2,1]
17) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, znáte-li souřadnice bodů
A[1,0,2], B[3, 4,3], D[− 1,4,6], E [2,1,−5]
[1]
[12,24]
18) Je dán vektor f = (3;2). Určete m ∈ R tak, aby pro vektor g = (6; m) platilo g − f = 5 .
[2,6]
19) Rozhodněte, zda trojúhelník ABC je pravoúhlý. A[4,3], B[12,9], C [1,7]
20) Rozhodněte, zda čtyřúhelník KLMN je rovnoběžník. K [1,3], L[− 1,9], M [− 2, −4], N [0, −10]
r
r
r
a
=
(
2
,
3
,
−
1
)
,
b
=
(
1
,
−
2
,
3
)
,
c
= (2, −1,1) . Určete souřadnice vektoru xr ,
21) Jsou dány vektory
r r r
r
který je kolmý k a i k b ; x ⋅ c = −6
37
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
39. LINEÁRNÍ ÚTVARY V ROVINĚ
1) Určete parametr m ∈ R tak, aby přímky p a q byly rovnoběžné, pak určete jejich
vzdálenost a dále velikost úhlu, který tyto přímky svírají s osou x. Přitom
p : mx + 2 y − 7 = 0, q : x + 3 y − 3 = 0
2) Vypočítejte odchylku přímek p,q: p = {[2 + t ,5], t ∈ R}, q : x + 3 y − 6 = 0
3) Na přímce p = {[1 − t ;2 + 3t ]; t ∈ R} určete bod C tak, aby jeho vzdálenost od přímky
q :5 x + 12 y − 4 = 0 byla 3.
4) Na přímce p : x − 2 y + 5 = 0 určete body, které mají od počátku soustavy souřadnic
vzdálenost d = 10
5) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek p,q: p : 8 x − 6 y + 3 = 0, q :8 x − 6 y − 3 = 0
6) Určete parametr m ∈ R tak, aby přímky p a q byly rovnoběžné, pak určete jejich
vzdálenost a dále velikost úhlu, který tyto přímky svírají s osou x. Přitom
p : mx + 2 y − 7 = 0, q : x + 3 y − 3 = 0
7

7) V trojúhelníku ABC A[0, −1], B[4,1], C − 1, −  určete
2

a) obecnou rci přímky, na které leží výška vc,
b) souřadnice paty výšky vc
c) velikost výšky vc
d) velikost úhlu β
8) Určete vzájemnou polohu přímek popřípadě i jejich odchylku p: 2 x − 3 y + 4 = 0 a
q: 3 x + 4 y − 11 = 0
9) Určete souřadnice bodu A, který je souměrně sdružený s bodem B [-2, 5] podle přímky
p: 5x - 2y - 9 = 0
10) Na ose y najděte bod Y, který má od bodu A [-4,3] vzdálenost 5.
11) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, znáte-li SAB [0, -3], SCD [2, 5]
12) V trojúhelníku ABC A[2,4], B[4,2], C [4,1] určete
a)
Obecné rovnice přímek v nichž leží o AB , t a , vb , souřadnice těžiště a velikost vb .
b) Obecné rovnice přímek v nichž leží o AC , t b , v c , souřadnice průsečíku výšek a velikost
c) Obecné rovnice přímek v nichž leží o BC , vb a velikost t a
d) Obecné rovnice přímek v nichž leží o AB , v a a velikost t b
13) Jsou dány dvě přímky p : ax + y − 4 = 0, q : x + 2 y + 8 = 0. Určete hodnotu parametru
a ∈ R tak, aby
a) p,q byly navzájem kolmé
b) odchylka přímek p,q byla 45°.
38
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
14) Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A [-6, 5] a je kolmá na přímku
q: x − 2 y + 9 = 0
15) Určete číslo p, tak aby vektor v byl směrovým vektorem přímky AB
A 3 ,1 , B 1,− 3 , v = (1,2 + p )
[ ] [
]
16) Pro přímku p sestavte obecnou rovnici, parametrické rovnice a směrnicový tvar rovnice (
pokud existuje) a určete směrový úhel a vektor přímky:
a) A ∈ p, A[1;2 3 ] a směrový úhel ϕ = 120°
b) p⊥ osu y, A[3,−1]∈ p
c) A[− 2, 4] ∈ p , směrnice přímky k=2
d) p⊥q, q : 2 x − y + 7 = 0 a prochází počátkem soustavy souřadnic
17) V trojúhelníku ABC A[2,4], B[4,2], C [4,1] určete
a) Obecné rovnice přímek v nichž leží o AB , t a , vb , souřadnice těžiště a velikost vb .
b) Obecné rovnice přímek v nichž leží o AC , t b , v c , souřadnice průsečíku výšek a velikost
vc .
c) Obecné rovnice přímek v nichž leží o BC , vb a velikost t a
d) Obecné rovnice přímek v nichž leží o AB , v a a velikost t b
[
] [
18) Zjistěte, zda bod C leží na přímce AB. A[0,3], B − 2 ,3 2 , C 2 + 2 ,0
]
40. LINEÁRNÍ ÚTVARY V PROSTORU
1) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2;1 − t ;4t ], t ∈ R} protíná
[2,04], [2,1,0], neexistuje
souřadnicové roviny.
2) Napište obecnou rovnici roviny σ , víte-li,že v rovině leží body A[3,4,5], B[− 2,1,0] a osa y
je rovnoběžná s rovinou σ .
3) Vypočítejte vzdálenost bodu A od přímky p: A[0,0,5], p = {[2,0, t ]; t ∈ R}
1) Je dána rovina ρ : {[1 + t + k , 2 + 3t − k ,5t + k ]; t , k ∈ R} . Vypočítejte průsečík roviny s osou
x a průsečnice roviny se souřadnicovými rovinami xy a yz.
2) Určete vzdálenost bodu A [5,-6,6] od přímky p = {[− 2 + t , − 5 + t , 4], t ∈ R}
3) Napište obecnou rovnici roviny ρ , ve které leží body A[2,3,0], B[− 1, 2,2] a rovina ρ je
{x + 3 y + 3z − 11 = 0}
kolmá k rovině : 3 x − 2 y + z + 6 = 0
4) Určete souřadnice bodu A' , který je obrazem bodu A[− 3,0, 2] v osové souměrnosti dané
přímkou BC, kde B[0,−2,4], C [− 5,3,−6]
5) Určete souřadnice bodu M', který je s bodem M [1,0, 2] souměrný podle roviny
ρ : x − 2 y − z + 13 = 0
39
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
6) Jsou dány body: A[0, 2,−1], B[1,1,1], C [4,6, 2] . Napište obecnou rovnici roviny určené body
ABC. Vypočtěte souřadnice bodu D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník.
[11x − 5 y − 8 z + 2 = 0, D = [3,7,0]]
7) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a δ . Jsou-li roviny různoběžné, napište rovnice
ρ :x− y +9 = 0
jejich průsečnice a určete jejich odchylku. δ : y − 11 = 0
{[x = 2, y = 1, z = t ], t ∈ R}
8) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a δ . Jsou-li roviny různoběžné, napište rovnice
ρ :x+ y− z−2 = 0
δ : 2x − y + z − 4 = 0
jejich průsečnice a určete jejich odchylku.
9) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a δ . Jsou-li roviny různoběžné, napište rovnice
ρ :x−4 = 0
δ : y−2=0
jejich průsečnice a určete jejich odchylku.
10) Jsou dány body A[− 1,4,5], B[2,−2,−1], C [0, −1, −3] . Na ose z určete bod Z tak, aby jeho
vzdálenost od roviny určené body A, B, C byla 5.
11) Na přímce p: x = 4 + t , y = 3 + 2t , z = −2 − t , t ∈ R určete bod C, který má stejnou
C [8,11,−6], 251
vzdálenost od bodů A[1,2,5]a B[− 1,0,1] .Vypočtěte tuto vzdálenost.
12) Je dána přímka p = {[1 + 3t ;2 − t ;4t ], t ∈ R}. Vypočítejte odchylky přímky p od
souřadnicových os.
13) Je dána přímka ; p = {[2 + k ;1 − k ;1 − k ], k ∈ R}. Na ose x určete bod X tak, aby jeho
vzdálenost od přímky p byla 2.
{19°28¨}
14) Vypočítejte odchylku osy z od roviny ρ : 2 x − 2 y + z + 11 = 0
15) Je dána přímka p = {[2 + k ,1 − k ,1 − k ], k ∈ R} . Na ose x určete bod X tak, aby jeho
3 ± 6 ,0,0
vzdálenost od přímky p byla 2.
{[
]}
16) Na přímce p = {[k ,3 + k ,2 + 4k ].k ∈ R}určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od roviny
τ : 2 x + y − z + 12 = 0 byla
{[1,4,6], [25,28,102]}
.
17) Napište obecnou rovnici roviny ρ , která prochází body A[− 1,0,1], B[2,3,0]a je
{y + 3 z − 3 = 0}
a) rovnoběžná s osou x
b) prochází osou y a bodem A
{x + z = 0}
c) Je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou yz a prochází bodem A
{x + 1 = 0}
40
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
18) Určete průsečnici rovin: δ : 2 x − y − z − 1 = 0, ρ : x + y + 2 z − 3 = 0
{[1 − t ,−5t ,1 + 3t ]t ∈ R}
19) Určete kolmý průmět A bodu B[− 7,8,12] do přímky p, je-li p:
x + 2 y + z − 33 = 0
2 x + y − z + 12 = 0
{[− 5,12,14]}
20) Pro která c má rovina 3 x + y + z + c = 0 neprázdný průnik s úsečkou AB, A[1,0, 2], B[0,1,5]
− 5,−6
21) Napište obecnou rovnici roviny σ , víte-li,že v rovině leží body A[3,4,5], B[− 2,1,0] a osa y
je rovnoběžná s rovinou σ
22) Je dána rovina ρ : {[1 + t + k , 2 + 3t − k ,5t + k ]; t , k ∈ R} . Vypočítejte průsečík roviny s osou
x a průsečnice roviny se souřadnicovými rovinami xy a yz.
23) Dokažte, že body A [2, 1, 6], B [0, -1, -6], C [-1, 2, 0] určují rovinu a na pište její
parametrické rovnice.
a) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina ABC protíná osu x,osu y a osu z
b) Danou rovinu znázorněte ve zvolené soustavě souřadnic
c) Rozhodněte, zad body K [2, 4, 15], L [-3, 2, 6] leží v rovině ABC
d) Vypočítejte z ∈ R tak, aby bod M [-2, 1, z] ležel v rovině ABC
24) Určete hodnotu parametru m ∈ R tak, aby přímky p,q byly různoběžné. Potom vypočítejte
souřadnice průsečíku přímek p = {[2 + k, 3 - 2k, 4] k ∈ R , q = {[1 - 4t, m + t, 1 - 3t]} t ∈ R
25) Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K [2, 4, 1] a je rovnoběžná
s osou z. Přímku q nakreslete.
26) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2, 1 - t, 4t] t ∈ R protíná souřadnicové
roviny.
27)
28) Je ána přímka ; p = {[2 + k ;1 − k ;1 − k ], k ∈ R}. Na ose x určete bod X tak, aby jeho
vzdálenost od přímky p byla 2.
29) Určete souřadnice bodu A' , který je obrazem bodu A[− 3,0, 2] v osové souměrnosti dané
přímkou BC, kde B[0,−2,4], C [− 5,3,−6]
30) Přímka p = {[2 + 2t, - 1 - t, 5], t ∈ R } je kolmá k rovině ρ. Bod M [2, 0, -3] leží v rovině ρ.
Napište obecnou rovnici roviny ρ.
31) Napište obecnou rovnici roviny υ, víte –li, že rovina υ prochází počátkem soustavy
souřadnic, bodem A [1, 2, 3] a rovina υ je kolmá k souřadnicové rovině dané osami x a y.
32) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a δ . Jsou-li roviny různoběžné, napište rovnice
ρ :x−4 = 0
jejich průsečnice a určete jejich odchylku. δ : y − 2 = 0
41
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
33) Je dána přímka p = {[1 + 3t ;2 − t ;4t ], t ∈ R}. Vypočítejte odchylky přímky p od
souřadnicových os.
34) Jsou dány body A[− 1;4;5], B[2;−2;−1], C [0;−1;−3] . Na ose z určete bod Z tak, aby jeho
vzdálenost od roviny určené body A, B, C byla 5.
35) Určete souřadnice bodu M', který je s bodem M [1,0, 2] souměrný podle roviny
ρ : x − 2 y − z + 13 = 0
36) Určete průsečnici rovin ρ: x − 2 y + 3 z − 4 = 0 , σ: 2 x − y + 2 z − 8 = 0
37) Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny ρ a vypočítejte jejich odchylku:
p = {[1 + t;2 − t; t ]}, t ∈ R ; ρ ↔ABC, kde A [1, 0, 2], B [1, 4, 4], C [3, -5, 1]
38) Určete kolmý průmět A bodu B [ -7, 8, 12] do přímky p, je-li p: x + 2y + z - 33 = 0
39) Vypočítejte vzdálenost bodu A [0, 0, 5] od přímky p = {[2, 0, t], t ∈ R
41. KRUŽNICE A ELIPSA
1) Nalezněte délku nejkratší tětivy kružnice x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 procházející bodem
M = [4,−3] .
2) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě S [− 5, 4] a dotýká se přímky
{(x + 5)
p : 3x − 4 y + 6 = 0
2
}
+ ( y − 4) = 25
2
3) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy y v bodě Y [0, −4] a osu x protíná v bodě
2

13 
169 
2
x
−
 + ( y + 4) =


3
9 

M [6,0]
4) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p : 3x + 4 y − 15 = 0 , její střed leží na
přímce q : x + 2 y + 6 = 0 a má poloměr 5.
{(x − 2)
2
}
+ ( y + 4 ) = 25, ( x − 52 ) + ( y + 29) = 25
2
2
2
5) Napište rovnici kružnici, která se dotýká osy x i osy y. Střed kružnice leží na přímce
p : x + 3y − 4 = 0
6) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p : 2 x − y − 4 = 0 v bodě P[3,2] a má
(x − 7 )2 + y 2 = 20, (x + 1)2 + ( y − 4 )2 = 20
poloměr r = 2 5 .
{
}
7) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy y a prochází bodem M [3,−6] .
{(x − 15)
2
}
+ ( y + 15) = 225, ( x − 3) + ( y + 3) = 9
2
2
2
8) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímek p1 : x = −2, p 2 : y = 1 a prochází bodem
M [1,−5]
{(x − 13)
2
2
2
2
9) Napište rovnici kružnice, která prochází bodem M [1,1] a se dotýká přímek
p1 : x + y − 6 = 0, p 2 : x + y + 2 = 0
}
+ ( y + 14) = 225, ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9
{(x − 3)
2
}
+ ( y + 1) = 8, ( x + 1) + ( y − 3) = 8
42
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
2
2
2
Maturitní opakování.doc
10) Kružnice k1 s poloměrem r1 = 2 5 a kružnice k 2 s poloměrem r2 = 3 5 se dotýkají
v bodě T [3, 4], jejich společná tečna v tomto bodě má směrový vektor s = (− 1,2 ) . Napište
rovnice obou kružnic, mají-li v bodě T vnitřní dotyk, resp. vnější dotyk.
St 130/15c
11) Napište rovnici elipsy, jsou-li její osy rovnoběžné se souřadnicovými osami a víte-li, že
elipsa se dotýká osy x v bodě A[− 4,0] a osy y v bodě B[0,3]
12) Napište rovnici elipsy, která prochází bodem M(4,-1) a dotýká se přímky t: x+4y-10=0
42. PARABOLA A HYPERBOLA
13) Určete všechny charakteristické údaje následujících křivek a jejich vrcholovou nebo
středovou rovnici:
a) y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0
b) 9 x 2 − 4 y 2 + 8 y + 32 = 0
c) 9 x 2 − 4 y 2 + 54 x − 8 y + 41 = 0
d) x 2 +4 x + 2 y + 2 = 0
e) 4 y 2 − x + 3 = 0
14) Dokažte, že x2 – 4y2 – 6x – 16 – 11 = 0 je rovnicí hyperboly, určete její střed, vrcholy,
ohniska a asymptoty.
15) Napište rovnici hyperboly, která se dotýká přímky o rovnici 5x – 6y – 8 = 0 a jejíž
x
x
asymptoty mají rovnice y = , y = − .
2
2
16) Napište rovnici hyperboly, je-li délka hlavní poloosy a = 12 a ohniska jsou body
[-10,2],[16,2].
17) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází
a/ body A[5,-5], B[-2,-12], C[1,3]
b/ bodem A[0,-60] a má vrchol V[-2,-64]
18) Napište rovnici hyperboly, je-li délka hlavní poloosy a=12 a ohniska jsou body [-10,2],
16,2].
19) Je dána hyperbola x 2 − 4 y 2 − 6 x − 16 y − 11 = 0 . Určete její střed, vrcholy, ohniska,
asymptoty a danou hyperbolu zakreslete. Napište rovnice přímek, které mají s danou
hyperbolou společný právě jeden bod
T [5, y 0 ] .
 ( x − 3)2 ( y + 2 )2
1
7
−
= 1, S [3,−2], a = 2, b = 1, e = 5 , F 3 ± 5 ,−2 , a : y = ± x − 

4
1
2
2


T [5, −2], x = 5, y = 1 x − 9 , y = − 1 x + 1



2
2
2
2
[
]
2
2
20) Bodem A[2,1]veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou danou rovnicí x − 2 y = 2
jediný společný bod.
43
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
2
2
21) Určete charakteristické údaje kuželosečky s obecnou rovnicí 2 x − 3 y − 8 x + 6 y − 1 = 0 ,
dále napište rovnici její tečny v jejím bodě T [x0 ,3] .
2
22) Hyperbola je dána středovou rovnicí ( x − 3) − 4 y = 1 . Najděte její průsečíky s osou y a
rovnice tečen v těchto bodech.
2
2
23) Určete charakteristické údaje kuželosečky s obecnou rovnicí − x + 2 x − 2 y + 5 = 0 , dále
napište rovnici její tečny v jejím bodě T [0, y 0 ].
24) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska F1 [− 2,1], F [6,1] a hlavní vrchol A[4,1].
25) Napište rovnici tečny hyperboly ( x − 4 ) −
2
1
( y − 3)2 = 1 v jejím bodě [?,6] .
3
26) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko F [3,−1] a řídící přímku x = 7 . Najděte tečnu
této paraboly v bodě dotyku T [3, y 0 ]
27) Parabola je dána rovnicí x 2 − 2 x − y + 4 = 0 . Které její tečny procházejí počátkem
soustavy souřadnic?
43. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY
1) Napište rovnici tečny elipsy o rovnici 9 x 2 + 25 y 2 = 225 , která je rovnoběžná s přímkou
p : 4x + 5y − 7 = 0
2) Napište rovnice tečen z bodu M[0,-1] k parabole y + 1 = ( x − 2 ) .
2
3) Parabola (x – 3)2 = 2p(y + 2) má tečnu t: x + y + 2 = 0. Určete parametr p a bod dotyku
4) Napište rovnici tečny paraboly dané rovnicí x2 – 2x + y –3 = 0, která je rovnoběžná
s přímkou a: x + 2y + 1 = 0
5) Napište rovnici tečny z bodu A[0,1] k parabole y2 – 4x – 2y + 13 = 0
6) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x dotýká v bodě T [3,0] a prochází bodem
M [0,1]. Napište rovnici tečny v bodě M.
2
7) Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu M [0,1] ke kružnici ( x − 2 ) + y = 1 .
Určete souřadnice bodů dotyku a úhel, který obě tečny svírají.
2
8) Napište rovnici přímky, která prochází počátkem soustavy souřadnic a je tečnou kružnice
k : x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 8 = 0 . Určete souřadnice dotykového bodu.

14 2  
 p1 : x − y = 0, p 2 : x + 7 y = 0, T1 [2,2], T2  ,−  
 5 5 

2
2
9) Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí k : x + y + 4 x − 10 y − 140 = 0 v jejích
průsečících s přímkou q : x = 3 . Určete společný bod obou tečen a poláru tohoto bodu
vzhledem ke kružnici k.
M [2,1] tečny ke kružnici s rovnicí ( x − 5) + ( y − 10 ) = 9
2
10) Veďte bodem
44
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
2
Maturitní opakování.doc
11) Určete tečny ke kružnici ( x − 1) + ( y − 2 ) = 16 procházející bodem dotyku T [3, t 2 ] .
Určete odchylku těchto tečen. x + 3 y − 2 3 − 9 = 0, x − 3 y + 2 3 − 9 = 0, γ = 60°
2
2
2
12) Najděte tečnu paraboly, která má rovnici y − 4 y − 6 x + 22 = 0 rovnoběžnou s přímkou
p: y = x
13) Napište rovnici elipsy, která prochází bodem M [4,−1]a dotýká se přímky
[x
t : x + 4 y − 10 = 0
2
]
+ 64 y 2 = 80, x 2 + 4 y 2 = 20
14) Je dána elipsa: x 2 + 4 y 2 − 16 a přímka 2 x − 3 y + c = 0 , určete hodnotu reálného
parametru c, tak aby přímka p byla
a) sečnou
b) tečnou
c) vnější přímkou
44. BINOMICKÁ VĚTA
10
2

1) V binomickém rozvoji výrazu  3 x −  určete člen, který obsahuje x2 , a dále určete,
x

+
pro která x∈R je tento člen větší nebo roven –5.
3

2) Určete absolutní člen binomického rozvoje výrazu:  2 x 2 − 
x

6
n
1 

3) V rozvoji výrazu  x ⋅ x + 4  je součet prvních tří koeficientů roven 67. Určete
x 

absolutní člen rozvoje. (Člen, který neobsahuje x).
14
6
1

4) Který člen rozvoje  2 x −  obsahuje x ? Vypočítejte jeho koeficient.
x

5) Umocněte podle binomické věty:
 1
1
6) V rozvoji 
− 
2 x 2
10
(
2 −i 2
)
6
určete x ∈ R tak, aby pátý člen rozvoje byl 105.
7) Umocněte podle binomické věty: (1 + i )
7
8) Vypočítejte 10. člen binomického rozvoje (2a + b ) .
15
9) Určete z ∈ R tak, aby 7. člen binomického rozvoje
( 1+ z +
3
6
1− z
)
9
byl roven 63
10) Najděte všechny členy binomického rozvoje , které jsou racionálními čísly:
(
11) Určete n ∈ N tak, aby koeficient u y 8 v binomickém rozvoji 1+ 2 y 2
12) Pomocí binomické věty vypočítejte 1,02 5 .
45
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
)
n
(
)
6
5 +1 .
byl roven 240.
Maturitní opakování.doc
15

1
13) Zjistěte, který člen binomického rozvoje výrazu  x + 3  , x > 0 neobsahuje
x

15 
proměnnou x.
Po98/177 k = 10,   = 5005
9
14) Pro které x ∈ R je sedmý člen binomického rozvoje výrazu
168?
(
3
4 − 2x + 6 3 − 2x
)
9
roven
{1}
45. FAKTORIÁL KOMBINAČNÍ ČÍSLA, PASCALŮV TROJÚHELNÍK
 n + 6
 n   n + 3

 < 93 − 
1) Najděte všechna n∈N, pro která platí:   + 
 2 
 2   n + 1
{2,3,4}
2) Vypočtěte:
a)
1
1
1
−
−
=
n! (n − 1)! (n − 2)!

 3
, n ∈ N , n ≥ 4


 (n − 3)!
n
1
−
b)
(n − 3)! (n − 4 )!
c)
n
1
−
=
(n + 1)! (n − 1)!
d)
n2
3n
2
−
+ =
(n + 2)! (n + 1)! n!
3) Řešte v N: (n!) − 7 n!+6 = 0
2
 x −1 
 x − 2
 ≤ 4 − 

4) Řešte v N 
1 − 3 
 x − 4
5) Řešte rovnici v oboru přirozených čísel (neznámá je zde x):
 n − 1  n − 2 
 + 
 = 9
a) 
 n − 3  n − 4 
b)
(n − 1)!+2(n − 1)!+........n(n − 1)! (n + 1)!
=
n! n!
4x
n!+ + + .......
2 4
{5}
 x   x + 1
 = 25
c) :   + 
 2  2 
 x + 1  5   x + 1  4   x + 1
 +   ⋅ 
 −   ⋅ 
 = 1
d) 
 x + 1  3   x   3   x − 1
 x + 8  x 
 x   x + 1  x 
 −   = 2 ⋅   ⋅ 
 ⋅ 

e) 5 ⋅ 
 x + 7  1
 0   x   x − 1
46
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Výsledky
jsou
podezřelé,
moc bych
jim
nevěřila.
{5}
{5}
Maturitní opakování.doc
2
f)
{5}
 x − 1  x − 2   x − 3 
 x 
 ⋅ 

 + 
  − 11 = 2 ⋅ 
1
1
2
0









 

{5}
 x   x + 1  1  3  7 
 = ⋅  x −  
 + 
g) 
−
x
−
3
x
2
 4 
 3 
 

6) Řešte rovnici s neznámou n ∈ N :
a)
b)
(2n + 1)! + (3n )! = (n + 1)! + 50
(2n )! (3n − 1)! 2n!
(n + 6 )! − n (n − 4 )! = 5n + 80
(n + 4)! (n − 5)!
{1}
{5}
7) Řešte nerovnice s neznámou x ∈ _ N
{8,9,10...}
a) 72!< (n − 2)!
b)
n!
+ 24 ≥ 10n
(n − 2)!
c)
16
1
1
−
≥
(n + 1)! (n − 1)! n!
{2,3,4...}
{1,2,3}
46. PRAKTICKÉ APLIKACE KOMBINATORIKY
K,N∈N
Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků.
Počet:
P(n) = n!
Variace – k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se
v ní každý vyskytuje nejvýše jednou.
n!
Počet:
Vk ( n ) =
= n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ; k ≤ n; n, k ∈ N
(n − k )!
Kombinace – k-členná kombinace z n prvků je k-prvková podmnožina množiny těmito
n prvky určené
 n
n!
Počet
C k (n) =   =
; k ≤ n; n, k ∈ N
 k  (n − k )!k!
Permutace s opakováním
P ′(n) = n n
Variace s opakováním
Vk′ (n) = n k
k ≤ n; n, k ∈ N
Kombinace s opakováním
 n + k − 1

C k′ (n) = 
 k

k ≤ n; n, k ∈ N
1) Zvětší-li se počet prvků o 5, zvětší se počet variací druhé třídy bez opakování vytvořených
{115}
z těchto prvků o 1170. Určete původní počet prvků.
2) Zmenší-li se počet prvků o 27, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování
vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků.
47
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
{46}
Maturitní opakování.doc
3) Při přípitku na oslavě narozenin se ozvalo 15 ťuknutí. kolik lidí bylo na oslavě, jestliže si
{6}
přiťukl každý s každým?
4) Je dáno 10 různých bodů v prostoru. Zjistěte kolik rovin tyto body určují, jestliže:
a) žádné čtyři body neleží v téže rovině
b) právě 6 bodů leží v téže rovině
5) Zjistěte dále kolik přímek tyto body určují, jestliže:
a) žádné tři body neleží v téže přímce
b) čtyři body leží v jedné přímce a jiné tři body leží v druhé přímce.
6) Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel dělitelných čtyřmi v nichž se vyskytují
pouze číslice 0,1,3,4,7?
a) Kolik z nich je sudých?
b) Kolik z nich (všech) je větších než 30 000?
c) Rozlište případy, kde se cifry v sestavovaných zápisech mohou či nemohou
opakovat.
7) Kolik přirozených čísel větších než 300 můžeme napsat pomocí číslic 1, 2, 3, 4 ?
a) jestliže se žádná číslice neopakuje
b) jestliže se mohou opakovat
c) kolik z jich je dělitelných čtyřmi?
8) Počet pětičlenných variací n prvků je 36 krát větší než počet tříčlenných kombinací
z n prvků. Určete počet prvků n.
{n=6}
9) Kolik různých trikolor lze sestavit z prvků spektrálních barev?
{7.6.5=210}
10) Sportovní soutěže zúčastní 8 družstev. Kolik různých umístění může být na prvních třech
{V (3,8) = 8.7.6}
místech?
11) Kolika způsoby lze postavit 20 žáků do řady při nástupu na tělocvik?
{20!}
12) Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva
 4 8
  ⋅  
tak, aby v každém družstvu byla 2 děvčata a 4 chlapci?
 2  4
13) Kolika způsoby lze rozdělit 20dětí do tří skupin tak, aby v první skupině bylo 10 dětí, ve
 20  10 
  ⋅  
druhé skupině bylo 6 dětí a ve třetí zbytek?
 10   6 
14) Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování
vytvořených z těchto prvků o 30. Určete původní počet prvků.
15) Zvětší-li se počet prvků o 15, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování
vytvořených z těchto prvků třikrát. Určete původní počet prvků.
{6}
{21}
16) Kolik značek Morseovy abecedy lze sestavit z teček a čárek, vytváříme-li skupiny o
jednom až čtyřech prvcích?
17) Kolik přímek je určených 10 různými body v rovině, jestliže:
48
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
a) žádné tři neleží v jedné přímce
b) právě čtyři z nich leží na jedné přímce a žádné další již neleží na jedné přímce.
18) Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky na šachovnici?
 64 
16!
  ⋅
 16  2!⋅2!⋅2!⋅8!
19) V cukrárně mají pět druhů dortů v dostatečném množství. Kolika způsoby můžete koupit
12 
K ′(8,5) =   = 495
8
8 dortů?
20) V cukrárně mají pět druhů dortů, mají už poslední tři rakvičky a pět větrníků, ostatní
zákusky mají v dostatečném množství. Kolika způsoby můžete koupit 6 dortů?
10   5 
K ′(6,5) − K ′(2,4 ) − K ′(1,4) − 2 =   −   − 4 − 2 = 94
 6   2
47. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Jev – podmnožina množiny možných výsledků.
m( A)
, 0≤P(A)≤1;
jev nemožný, jev jistý, opačný jev
Pravděpodobnost jevu A: P( A) =
m
P(A)+P(A´) = 1
m(A) – počet příznivých výsledků, m – počet všech možných výsledků
- vylučující se jevy
Sjednocení dvou jevů:
P( A ∪ B) = P( A) + P( B )
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
nevylučující se jevy
Nezávislé jevy:
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
P( A ∩ B)
Podmíněná pravděpodobnost P( A / B)
P( B)
1) Student si losuje 3 otázky z 10, připraven je na 5 z nich.Určete pravděpodobnost, že si
vylosuje:
 5  5 
  ⋅  
1  2 = 5
12
10 
 
3
a) Právě jednu, kterou umí
b) Právě dvě, které umí
5
12
c) Žádnou, kterou umí
1
12
d) Aspoň jednu, kterou umí
11
12
2) Kolikrát je třeba hodit kostkou, aby pravděpodobnost , že aspoň jednou padne šestka byla
log 3,3
větší než 70%?
Po 108/70 p = 7, p >
log 1,2
49
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
3) S jakou pravděpodobností padne při jednom hodu dvěma rozlišitelnými kostkami
5
36
součet 8?
4) Máme tři stejná osudí. V prvním jsou 3 bílé a 5 černých koulí, ve druhém 4 bílé a
2 červené koule a ve třetím 7 bílých koulí. Z náhodně voleného osudí vytáhneme jednu
 1  3 4 7 
kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá?
St107/15   + + 
 3  8 6 7 
5) V urně je 5 bílých koulí. Kolik musíme přidat černých koulí, aby pravděpodobnost, že při
náhodném tahu dvou koulí budou obě vytažené koule černé, byla alespoň 0,5. Vytažené
koule nevracíme.
st107/14 alespoň{13}
6) Určete pravděpodobnost, že při hodu 6 kostkami padnou alespoň 4 šestky.
 6 2 6
  ⋅ 5 +   ⋅ 5 + 1
1
 2
= 0,0087
6
6
po 110/83
7) V zásilce je 18 dobrých výrobků a 2 vadné. Náhodně vybereme 5 výrobků. Určete
pravděpodobnost, že z nich
po 106/56
18 
 
5
 20 
 
5
a) všech 5 výrobků je dobrých
b) 4 výrobky jsou dobré a 1 je vadný
18   2 
  ⋅  
 4   1
 20 
 
5
c) 3 výrobky jsou dobré a 2 vadné
18   2 
  ⋅  
 3   2
 20 
 
5
8) V hodině matematiky mají být ze 30 žáků vyzkoušeni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že
 29 
 
3
mezi nimi nebude určitý žák?
po 108/761 −   0,87
 30 
 
4
9) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybrané dvojciferné přirozené číslo je dělitelné
45 30 60
dvěma nebo třemi.
po 111/92
+
−
= 067
90 90 90
10) Z 12 mužů a 14 žen se losují 3 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou
1004/37)
50
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
(Po
Maturitní opakování.doc
14 
 
3
P( A) = 
 26 
 
3
a) samé ženy?
b) 2 ženy a 1 muž
12  14 
  ⋅  
1 2
 26 
 
2
c) alespoň 1 muž
1-P(A)
11) Ve třídě je 32 žáků, z nichž je připraveno pouze 10. V hodině budou 3 žáci zkoušeni.
určete pravděpodobnost, že
a) ani jeden není připraven
b) právě jeden je připraven
c) alespoň dva jsou připraveni
12) Ze 4 studentů a 6 studentek, mezi nimiž je student A a studentka B, mají být vylosováni
tři pro účast na jisté akci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vylosovanými bude student A
 9   9  8
  +   −  
2
2
1
nebo studentka B?
po 111/95       = 0,53
10 
 
3
13) Hodíme 4 kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou buďto samá sudá čísla nebo
samá čísla větší než 3?
14) Z úplné hry 32 karet vytáhneme 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že budou všechny
červené nebo všechny esa?
15) V prodejně pánské obuvi zaznamenávali velikosti prodaných párů během dne s tímto
výsledkem:41,41, 41, 42, 41, 39, 41, 45, 41, 42, 38, 40, 39, 98, 41, 41, 38, 42, 39, 44, 43,
44, 39, 39, 43, 43, 40, 42, 43, 42, 41, 41, 43, 40, 40, 40, 42, 42, 41, 70, 42.
a) Určete rozsah souboru
b) Vypočtěte absolutní a relativní četnosti znaku „velikost“
c) Vyjádřete relativní četnosti v procentech
d) Určete modus a medián
48. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST
Posloupnost je zobrazení všech přirozených čísel do množiny všech reálných čísel
∞
(nekonečná posloupnost reálných čísel) {a n }n=1 = a1 , a 2 ,...a n ,... .
Posloupnost je zobrazení prvních n přirozených čísel do R (konečná posloupnost R)
{a n }kn=1 = a1 , a 2 ,...a k .
51
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
Posloupnost rostoucí: r < s ⇔ a r < a s
Posloupnost klesající: r < s ⇔ a r > a s
r, s ∈ N
r, s ∈ N
(a n )∞n =1 je aritmetická posloupnost
⇔ ∃d ∈ R, ∀n ∈ N : a n +1 = a n + d , d – diference
pro členy platí:
a n = a1 + (n − 1)d
a s = a r + ( s − r ) d ; s, r ∈ R
n
součet prvních n členů:
s n = (a1 + a n )
2
1) Nalezněte aritmetickou posloupnost, v níž součet prvních tří členů je 27 a součet jejich
druhých mocnin je 275. Kolik je součet prvních deseti členů?
2) Součin po sobě tří následujících členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu.
13
d=
3
Určete tyto tři členy, je-li diference posloupnosti
3) Mezi čísla a1 = 3 a an = -9 vložte tolik členů aritmetické posloupnosti, aby jejich součet
byl sn = -33. Kolik členů je nutno vložit?
4) Kolik členů aritmetické posloupnosti, kde a1 = 3, d = 2, je nutné minimálně sečíst, aby
jejich součet byl alespoň 120?
5) Zjistěte, zda existuje vypuklý n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost 126° a
každý další vnitřní úhel má velikost o 4° větší než úhel předchozí.
6) Zjistěte, zda existuje vypuklý n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost 126° a
každý další vnitřní úhel má velikost o 4° větší než úhel předchozí.
7) Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer
vrstvy dolní. Do kolika vrstev se 102 roury, má-li nejvrchnější vrstva 3 roury? Kolik rour
má nejspodnější vrstva?
8) V podniku měli v lednu při výrobě součástek 20 kusů závadných. Počet těchto závadných
součástek se každý měsíc pravidelně zmenšoval o 2 kusy. Kdy (ve kterém měsíci) bylo
všech závadných kusů dohromady 98?
9) Posloupnost je zadána rekurentně. Napište několik členů. Posloupnost zapište vzorcem
pro n-tý člen a1 = 5, a 2 = 3, a n+ 2 = 2(a n − 3) − a n+1
10) V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, platí-li : s5 = 60 , s10 = 170 .
11) Součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti je 210, součet následujících deseti
členů této posloupnosti je 610. Určete a1 , d .
12) V aritmetické posloupnosti je první člen a1 = 10 a diference d = -2. Vypočítejte člen, který
je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích.
13) Určete všechny členy konečné aritmetické posloupnosti (a k )k =1 , víte-li, že součet prvních
čtyř členů je 68, součet posledních čtyř je -36 a součet všech jejích členů je 68.
17
(Po26/71, (a k )k =1 , a k = 22 − 2k
n
14) Vypočtěte 10. člen aritmetické posloupnosti (a n )n =1 , je-li součet prvních n členů
∞
s n = 3n 2 − 5n
(52)
52
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
15) Určete součet prvních 20 členů aritmetické posloupnosti (a n )n =1 , je-li
∞
a6 + a9 + a12 + a15 = 20
(Po27/70,100)
16) Kolik zaplatíme za vyvrtání studny 9 m hluboké, jestliže vyvrtání prvního metru stojí
60 Kč a za každý další vyvrtaný metr se zaplatí o 15 Kč více než za metr předchozí?
17) Určete aritmetickou posloupnost (a n )n =1 , v níž součet prvních n členů je roven
∞
Po27/66 (8n − 4)n =1 , a1 = 4, d = 8
∞
čtyřnásobku druhé mocniny jejich počtu.
18) Určete součet prvních 13 členů aritmetické posloupnosti, v níž součet prvních šesti členů
se sudými indexy je 90.
Po26/65
49. GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST
(a n )∞n =1 je geometrická posloupnost
pro členy platí:
⇔ ∃q ∈ R, ∀n ∈ N : a n +1 = a n ⋅ q , q – kvocient q =
a n +1
an
a n = a1 ⋅ q n −1
as = ar ⋅ q s − r ; s, r ∈ R
a n = a n −1 ⋅ a n +1
součet prvních n členů:
Úročitel: r = 1 + p ,
q = 1; s n = na1
qn −1
q ≠ 1; s n = a1
q −1
p přírůstek (%)
Pravidelný růst: a n = ar n , a počátek
Růst s příspěvky: a n = ar n + b ⋅
r n −1
,
r −1
b příspěvky
Jednoduché úrokování (vkládáme po měsíci): a n = n ⋅ a + a ⋅ p ⋅ 121 ⋅
Složité úrokování (roční): a n = a ⋅
n(1 + n )
2
r n −1
r −1
1
1) V geometrické posloupnosti a1 = 16 ,q = 2. Vypočítejte s5, pro který člen platí že
a n + a n+1 = 768 ?
2) Mezi čísla 5 a 640 vložte tolik čísel, aby vznikla geometrická posloupnost se součtem
vložených členů 630.
3) Součet prvních čtyř po sobě následujících členů geometrické posloupnosti je 80. Určete ji,
jestliže a4 = 9a2.
4) V geometrické posloupnosti určete kvocient q a členy a n −1 , a n + 3 , jestliže a n = 6; a n + 2 =
53
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
3
.
2
Maturitní opakování.doc
5) V geometrické posloupnosti určené n-tým členem a n =
x ⋅ 210
určete člen an+1,
(x − 1)n +1
kvocient q a množinu všech x ∈ R ; pro která platí q < 1.
6) V geometrické posloupnosti platí: s 6 = 9s3 . Určete a1 , q .
7)
sin
V geometrické posloupnosti (
n +1
x
)
∞
n =1
určete všechna x ∈ R , pro něž platí q < 1.
8) Vkladatel uložil na počátku roku na terminovaný vklad na 4 roky částku 12 500 Kč. Roční
úroková míra je 12,75% daň z úroků je 15%. Jak vysokou částku bude mít na konci
čtvrtého roku, jestliže nevybíral žádné úroky a úrokovací období je půl roku?:
9) Urči, jak velký je ostrý úhel , tvoří-li sin α , tg α ,
1
tři po sobě jdoucí členy
cos α
geometrické posloupnosti.
10) Bakterie se množí dělením, ke kterému dochází vždy jednou za půl hodiny. Kolik bakterií
vznikne za 12 hodin z jedné bakterie.
11) V geometrické posloupnosti (a n )n =1 s kvocientem q = −
∞
a součet prvních p členů s p =
pro obecné n ∈ N
1
1
pro p ∈ N je p-tý člen a p =
2
8
11
. Určete toto p, první člen a1 a vyjádření n-tého členu a n
8
n −1
Po31/94,( p = 5, a1 = 2, a n = (− 1) ⋅ 2 2− n
12) Kolik zaplatíme za vyvrtání studny 9 m hluboké, jestli-že vyvrtání první prvního metru
stojí 60 Kč a za každý další vyvrtaný metr se zaplatí o 15 Kč více než za metr předchozí?
(Po36/121,1080 Kč)
13) Bakterie se množí půlením tak, že k tomuto dělení dochází za příznivých podmínek vždy
jednou za půl hodiny. Kolik bakterií vznikne z jedné bakterie za 10 hodin?
(Po37/1271048576)
14) V geometrické posloupnosti platí: a1 = 2, q = 3, s n = 80 . Určete n, a n .
15) V geometrické posloupnosti platí: s 6 = 9s 3 , a3 = −12 . Určete a1 , q, a6 , s 6 .
16) Občan si založil na konci roku 1992 osobní konto s roční úrokovou mírou 11,75% a
s pololetním úrokovacím obdobím. Na konto uložil 6000 Kč a stejnou částku pak
pravidelně ukládal koncem každého kalendářního období. Jak vysoká částka byla na jeho
kontě na konci roku 1994?
17) Kolik peněz musí pan Spořil uložit, aby při ročním úročení 8,5% měl za pět let 25 5000
Kč? (Daně z úroků jsou 15%)
18) Určete první člen, kvocient a součet prvních osmi členů v geometrické posloupnosti, ve
a4
= 64 a a3 = 5
a
1
které platí:
54
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
19) Určete kvocient a první a čtvrtý člen součet prvních osmi členů geometrické posloupnosti,
ve které platí: a1 + a 2 = 240 ∧ a 2 + a 3 = 60
20) Určete první člen, kvocient a součet prvních 10 členů posloupnosti, ve které
a + a3 = 60
platí: 2
a1 + a 4 = 252
21) Za pět let se počet obyvatel ve městě X zvýšil o 12%. Jaký byl roční přírůstek? (Počítejte
s přesností na setiny.)
1
182
22) V geometrické posloupnosti platí: q = − , s 6 =
. Určete a1 , a3 , a 6 .
3
9
[2b]
23) Stroj ztrácí každý rok 10% své hodnoty. Jaká byla jeho nákupní hodnota jestliže po 13
letech měl hodnotu 10 168 Kč.
24) Teplota Země přibývá do hloubky přibližně o 1°C na 33 metrů. Jaká je teplota na dně dolu
1015 metrů hlubokého, je-li v hloubce 25 metrů teplota 9°C?
25) Pan Spořil uložil počátkem roku na termínovaný vklad na 2 roky částku 6000 Kč. Roční
úroková míra je 9%, úrokovací období je půl roku.Jak vysokou částku bude mít v bance
na konci druhého roku, jestliže nevybíral úroky. (Daně z úroků jsou 15%)
26) Cena stroje po 12 letech klesne v důsledky opotřebování o 90% kupní ceny. Kolik procent
ceny stroje v předchozím roce je třeba každoročně odepisovat?
50. VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ, LIMITA POSLOUPNOSTI
Nekonečná posloupnost – fce, Df=N
∞
Posloupnost (a n )n =1 je rostoucí ⇔ ∀n ∈ N je an < an+1
Posloupnost (a n )n =1 je klesají ⇔ ∀n ∈ N je an > an+1
∞
Posloupnost (a n )n =1 shora omezená ⇔ ∃h ∈ R : ∀n ∈ N je a n ≤ h .
∞
Posloupnost (a n )n =1 zdola omezená ⇔ ∃d ∈ R : ∀n ∈ N je a n ≥ d .
Posloupnost je omezená ⇔ je omezená shora i zdola.
∞
Číslo a se nazývá limita posloupnosti (a n )n =1 právě tehdy, když
∞
∀ε ∈ R + , ∃n0 : ∀n ∈ N , n ≥ n0 platí a n − a ≤ ε ⇒ posloupnost je konvergentní
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Každá konvergentní posloupnost je omezená.
Věty o limitách
∞
 1 
1) Zjistěte,zda posloupnost 
 rostoucí či klesající.
 n(n + 1)  n =1
2) Určete limitu posloupnosti:
n 2 − n3
n →∞ (3n − 2)(1 − n 2 )
a) lim
(
b) lim n − n 2 + n
n →∞
)
55
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) n 
c) lim 
− 
n →∞
n +1
3

n4 +1
3
d) n→∞ n + 2n + 3
lim
 3n − 2 
e) lim 

n →∞ 4 n + 1


2
9
16
3) Vypočítejte limity posloupností:
a)
b)
lim n 2 + n − n
n→
lim
n →∞
1 + 2 + 3 + ..... + n n
−
n+2
2
∞
 nx 
4) Pro která čísla x ∈ R je posloupnost 
 rostoucí a pro která klesající?
 n + 1  n =1
51. NEKONEČNÉ ŘADY
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
n
sn = a1 + a2 + a3 +... an =
∑a
k =1
n
s1, s2, s3, s4, - posloupnost částečných součtů nekonečné řady
neexistuje lim s n = s, s ∈ R - řada je divergentní
n →∞
∞
existuje lim s n = ∑ a n = s , s ∈ R - řada je konvergentní, s – součet nekonečné řady
n →∞
n =1
Každá aritmetická nekonečná řada je divergentní.
Geometrická nekonečná řada
∞
∑a q
n =1
n −1
je konvergentní je-li: a1 ≠ 0; q < 1 a s =
1
a1
1− q
je divergentní, je-li a1 ≠ 0; q ≥ 1
1) Nad výškou rovnostranného trojúhelníka je sestrojen rovnostranný trojúhelník,nad jeho
výškou další atd. Jak velký je součet obsahů všech trojúhelníků?
2) Řešte v R
3−
a)
4 16 64
2x + 1
+ 2 + 3 + ... =
x x
1x − 1
x
1 − tg x + tg 2 x − tg 3 x + .. =
b)
tg 2 x
1 + tg 2 x
(
)
x+2
x
x −1
x−2
c) 2 ⋅ 3 − 135 = 2 3 + 3 + 3 + ..
d) 1 + log x + (1 + log x ) + (1 + log x ) ... = −6 log x
2
3
56
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
2
e) 1 + 3 x + 9 x + ... = 10
∞
f)
∑ ( x + 2)
=
2i
i =1
∑ (2 )
∞
g)
x n
1
3
=1
n =1
∞
h)
3
 
∑
n =1  x 
n −1
=
4
x−4
3) Zjistěte pro které hodnoty parametru x ∈ R jsou dané nekonečné řady konvergentní
geometrické řady a určete jejich součty
∞
a)
∑ x 2n
s=
n =1
∞
 2
− 
∑
3x 
n =1 
b)
n −1
s=
x2
, x ∈ (− 1,1)
1− x2
3x
2 2 

, x ∈  − ∞, −  ∪  , ∞ 
3x + 2
3 3 

4) Určete součet nekonečné řady (pokud existuje).
1 1 1
1
− +
− + ...
a) 3 9 29 81
∑ (− 1) ⋅ ( 2 )
∞
b)
n
n
n =1
1 1 1
1
− + − +
− ...
3 6 12 24
c)
1 1
5 +1 + +
+ ...
5 25
d)
3+
3 3 3 3
+ + + + ...
2 4 8 16
1−
3 9 27 81
+ −
+
− ...
4 16 64 256
e)
f)
1 1 1 1 1 1
+ + + + +
+ ...
g) 2 3 4 9 8 27
(
5 −2+(
) + (3 − 2 ) + ...
5 − 2 ) + ( 5 − 2 ) + ..
h) 3 − 2 + 3 − 2
i)
2
3
2
3
4
8
j) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ...
5) Do rovnostranného trojúhelníku o straně a je vepsán kruh, nad tento kruh další kruh, pak
znovu další atd. Vypočtěte součet obsahů všech těchto kruhů.
6) Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve
středech stran daného čtverce°takto vzniklému čtverci je opět vepsán čtverec s vrcholy ve
středech předchozího čtverce atd.
57
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
7) Určete součet obvodů všech čtverců
8) Určete součet obsahů všech čtverců
9) Nekonečná spirála se skládá z polokružnic, poloměr první polokružnice je 6cm, poloměr
1
každé další polokružnice je o 3 menší než poloměr kružnice předcházející. Vypočítejte
délku spirály.
∑ (2 )
∞
10) Řešte rovnici s neznámou x ∈ R : n =1
x n
=1
11) Do čtverce o straně a je vepsán kruh, do tohoto kruhu je vepsán čtverec, do čtverce opět
kruh atd. Určete součet obsahů všech kruhů a součet obsahů všech čtverců takto
vytvořených. Určete součet obvodů všech kruhů a součet obvodů všech čtverců takto
πa 2
vytvořených
, 2a 2 , πa 2 + 2 , 4a 2 + 2
2
(
) (
)
52. KOMPLEXNÍ ČÍSLA – GEOMETRICKÉ ZNÁZORNĚNÍ
imaginární jednotka i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 =i ...
komplexní číslo: z = a + bi, a reálná část, b – imaginární část
_
komplexně sdružené číslo: z = a – bi
_
absolutní hodnota: z = z ⋅ z = a 2 + b 2
komplexní jednotka: z = 1
Gausova rovina
Goniometrický tvar: z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) ,ϕ = argument,
a
cos ϕ =
, sin ϕ =
b
a2 + b2
a2 + b2
Vzorce:
z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 ⋅ [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 + ϕ 2 )]
z1
z1
=
⋅ [cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 − ϕ 2 )]
z2
z2
1) Určete graficky:
a)
(2 − i ) cos 5π
b)
−1 + i
1+ i

2) 1) z −
6
+ i sin
5π 

6 
1 − 2i
1 − 2i
≤ z+
- znázorni geometricky
i
i
3) z = 3 2 − 3i 2 - převeď na goniometrický tvar
školní sešit
3π
3π 

z = 6 cos
+ i sin

2
2 

z = π (cos 0 + i sin 0)
4) z = π - převeď na goniometrický tvar
58
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
5) Nakreslete obrazy komplexních čísel z1 = 1 + 2i , z 2 = 3 − i . Potom graficky určete :
a)
z = z1 + z 2
Petáková 135/17.3/14
b) z = z1 − z 2
6) Převeď na algebraický i goniometrický tvar
3
3 

z = 2 − 2  cos π + i sin π 
8
8 

3
3
a) z = 1 + cos π + i sin π 4
4
105
105 

π + i sin
π
7) Převeď na algebraický i z = 2  cos
4
4 

8) V Gausově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro která platí:
a)
z −i = 2
b)
z −1 ≥ z +1
c)
z = z+z
d)
z−2
≥4
z+2
e) 1 < z − 1 ≤ 3
a)
z −1 = z − i = z −1 − i
9) Napište všechna komplexní čísla z = z1 + z2i , pro která platí:
a)
z = 1 a zároveň z1 ⋅ 3 = z 2
b) z = z . Vyjádřete je v goniometrickém tvaru.
53. KOMPLEXNÍ ČÍSLA – MOIVREOVA VĚTA
n
n
Moivreova věta: [ z ⋅ cos ϕ + i sin ϕ ] = z ⋅ (cos nϕ + i sin nϕ ) , n- přirozené číslo
Komplexní odmocnina n a = z ⇔ a = z n , n ∈ N , a, z ∈ C
1) Vypočítejte z10, jestliže
a)
(1 + i )10
b) z =
1+ i 3
1− i 3
2) Vypočtěte:
 2
2 
a) 
−
i
2 
 2
b)
(
3 −i
4
)
−8
59
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
z = 1+ i
Maturitní opakování.doc
3) Vypočtěte a5. a =
15 − 5i 1 − 3i
−
+ (3 + i ) ⋅ (−1 + 2i)
1 + 2i
i
4) Vypočtěte v oboru komplexních čísel:
π π 5π 7π 3π 11π 
St135/7 cos ϕ + i sin ϕ , ϕ ∈  , , ,
, ,

6 2 6 6 2 6 
a)
6
−1
b)
3
8i
c)
4
− 8 + 8i
d)
4
81
{ 3 + i ,−
{ 3 + i ,−1 + i
3 + i,−2i
3,− 3 − i,1 − i 3
}
}
{3,−3,3i,−3i}
5) Pomocí výpočtu třetí mocniny komplexních čísel vypočtěte:
60
1
1
3 
3 
a)  +
i  +  −
i
2 2 
2 2 
60
30
 3 1 
 3 1 
+ i  + 
− j 
b) 
2
2
2
2 



=
Po83/26 (− 1) + (− 1) = 2
=
i 20 + (− i ) = 1 − 10
20
30
10
10
54. ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL.
1) V oboru komplexních čísel řešte rovnici:
a) z5 + z4 + z3 +z2 + z + 1 = 0
2) V oboru komplexních čísel řešte rovnici:
a) 2x5 – x4 – 4x3 – 4x2 – x + 2 = 0
b) 5x4 – 6x3 + 6x – 5 = 0
3) Určete pro které hodnoty reálného parametru p má rovnice (p + 10) x2 + 6x – p = 0
s neznámou x dva komlexně sdružené kořeny.
4) V oboru komplexních čísel řešte rovnici:
a) z − z = 1+ 2i
b)
z+z = z−z
()
c) − z = z
2
_
d) z = z 2
e) z = z + z
5) Nakreslete v Gausově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí:
a) 1 < z + 3i − 2 ≤ 4
b) z + i + z + 1 − i = 4
6) V oboru komplexních čísel řešte rovnici:
a) (1 + 2i )z = 2 z − i (2 + i )
c) z 2 = z + z
1+ i
d)
z = (1 − i )( z − 1)
1
()
e) − z = z
2
60
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
f) x 3 + 27 = 0
g) ix 2 + 2 x − 5i = 0
7) V oboru komplexních čísel řešte rovnici:
a) x 3 + 27 = 0
b) x 2 − 6ix − 8 = 0
c) x 2 − 2 x − 2ix + 2i = 0
3
d) z 2 − zi + 1 = 0
2
6
e) x − 1 = 0
f) ix 2 + 2 x − 5i = 0
g) x 3 − 64i = 0
h)
(2 + i )3 − 1 − i = x − 4 yi − y
i)
1
1+ i 
i−
 = 1−
z
1− i 
j)
z ( z − 4 ) − 1 = 8i
i
2
k)
l)
z ∈C
(1 + i )z − 3ω = −7 − 6i
2 z + (2 + i )ω = 6 + 5i
m) x 2 − 20 = ix (2i − x )
n) x 2 + (i − 3)x + 2 − 2,5i = 0
o)
(ix )4 +
3 −i = 0
55. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
1) Vypočítejte limity funkcí v daných bodech:
a)
lim x
x →2
2
x−2
− 6x + 8
b)
1 − cos 2 x + tg 2 x
lim
x sin x
x→0
c)
4 x 3 − 2 x + 18
lim
3x 2 + 1
x →∞
d)
1 − 2x 2
lim
3
x → −∞ 4 x − 4 x
e)
5x 2 − x + 1
lim
7 − 2x
x →∞
f)
lim
x →∞
x +1
10 + x − 3
61
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
g)
x 2 + 3x − 1 − x
lim
x → −∞
h)
lim x ⋅ cot gx
x→0
i)
x
lim sin 4 x
x→0
j)
2x −1
lim
x
x →∞
k)
2x −1
lim
x
x→0
l)
lim
x2 +1 −1
x3
1 
Po143/15  
2
3
x2 +1 −1
x2
1 
 
Po143/15  3 
3
1+ x − 3 1− x
x
x→0
lim
m)
x→0
n) lim
x→0
Po142/15
{0}
o) lim x 2 + 1 − x
x →∞
p) lim
x → −∞
{− 1}
x
x +1
2
(
q) lim x x 2 + 1 − x
x → −∞
y=
2
3
)
{− ∞}
x3 − x2
x ⋅ x −1
2) Je dána funkce:
. Určete její definiční obor a načrtněte graf. Rozhodněte, ve
kterých bodech nespojitosti existuje limita funkce a vypočítejte ji.
56. DERIVACE FUNKCE
1) Najděte rovnice tečen funkce, které s osou x svírají daný úhel. Znázorněte situaci
graficky.
x
π
y=
,α=
x +1
4
2) Vypočítejte první derivaci následujících funkcí:
a) g ( x ) = x − 1
1 + sin x
b) h( x) =
cos x
x
c) f ( x ) = tg 2
2
2 cos x + cos x ⋅ sin 2 x
d) m( x) =
3
62
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
x
2
3) Vypočítejte první a druhou derivaci následujících funkcí:
f ( x ) =3 2 x
g ( x) = (3e) x
e) y = − cot g 2
h( x) = log( x 2 + 2 x + 1)
m( x) = e sin x
ex
1 − x2
Napište rovnici tečny a normály v bodě T křivky, která je grafem funkce f(x)
1
a) f ( x ) = x 2 − 3x + 5, T [2,1]
2
π 
b) f ( x) = x − tg x, T  , ?
3 
−x
c) f ( x) = e ⋅ cos 2 x, T [0, ?]
sin x − cos x  π 
d) f ( x) =
, T ,?
sin x + cos x  4 
Napište rovnici tečny a normály ke křivce, která je grafem funkce f ( x) = x 2 − 2 x + 3
v takovém bodě, aby směrnice tečny byla k = -1.
Je dána funkce f ( x ) = x ln x . V oboru R řešte nerovnici f ′( x) ≤ 0 .
Pod jakým úhlem protíná přímka o rovnici 2 y − 1 = 0 graf funkce f ( x ) = cos x
n( x) = ln
4)
5)
6)
7)
57. ÚLOHY O EXTRÉMECH.
1) Nádrž na vodu o objemu 32 m3 má tvar hranolu se čtvercovou podstavou. Jaké
rozměry musí mít, aby spotřeba dlaždiček na obložení stěn a dna byla minimální?
2) Určete, který bod křivky x2 – y2 +4 = 0 má od bodu M[1,0] nejmenší vzdálenost. O
jakou křivku se jedná?
3) Určete globální extrémy funkce f(x) = x4 – 2x3 + 1 v množinách
M 1 = − 2,3), M 2 =(−2,3 , M 3 = (−1,3 .
4) Určete lokální extrémy funkcí
x2 − 3
a) y = 9 ⋅
x2
ex
b) y = ln
1− x2
58. VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
1) Df, Hf, sudá, lichá, periodická
2) Body, ve kterých funkce není definována, ale má v nich limity ( i jednostranné), výpočet
těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti
3) Průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot
4) Výpočet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých není definována 1.
derivace
5) Lokální extrémy, intervaly monotónosti
63
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
6) Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých není 2. derivace
definována
7) Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti
8) Asymptoty
9) Obor hodnot
10) Graf funkce
Vyšetřete průběh funkce f(x) a načrtněte její graf:
a)
f ( x) = x 3 - 3x 2 - 9x
b)
f ( x) =
c)
f ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 13 x 2
d)
f ( x) = x +
e)
x3
f ( x) =
(x − 1)2
f)
f ( x) =
g)
f ( x ) = x ⋅ ln 2 x
h)
f ( x) = cos 2 x + cos x
i)
f ( x ) = x ⋅ ln 2 x
j)
y=
12( x + 2)
x2
1
x
x2
x−2
x
x −1
Po191/51
k) y = x + e − x
Po191/51
2
ex
x +1
Po191/51
m) y =
x
ln x
Po191/51
n) y =
1
1 + x2
Pe159/54
o) y =
2x
x −4
Pe159/54
p) y =
1
−x
x2
Pe159/54
l)
y=
2
q) y = x 3 − 2 x 2 − 4 x
Pe159/52
64
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
59. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Vypočtěte:
(
)
x −1
x
2
1)
∫
2)
∫ sin
3)
∫  x − x
4)
∫
5)
∫ cos 2 dx
6)
∫ 3x
7)
∫ cos
8)
∫x
9)
∫ (1 − sin x )
10)
∫
11)
∫ 1 + cos 2 x
2
dx
x dx
1
1 
dx
3 

dx
2x −1
x
2
1 + x 2 dx
2
x dx
sin x dx
2
2
sin 5 x 2 sin 3 x
−
+ sin x + C
5
3
⋅ cos dx
dx
C + 2x − 1
2x −1
1
dx
x ⋅ (ln x − 1) + C
12) ∫ ln x dx

5 
13) ∫ x x 1 +
 dx
x x

2
x
x

14) ∫  sin + cos  dx
2
2

15) ∫ tg 2 x dx
16)
x5
∫ x + 2 dx
17) ∫ sin 4 x ⋅ cos 3 xdx
18) ∫ xe x dx
65
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
1 x
e (sin x − cos x ) + c
2
1) Určete funkci f, jejíž graf prochází bodem B, má-li tečna grafu funkce f v libovolném
bodě směrnici k.
a) B[2,2], k = x − 3
π 
b) B  , 2 , k = cos x + sin x
2 
1
c) B[0,1], k = ⋅ e x − e − x
2
d) B[− 4,5], k = 2 x + 14
19) ∫ e x sin xdx
(
)
60. URČITÝ INTEGRÁL
1) Vypočtěte
4
dx
a) ∫ 2
1 x
2
b)

1
∫  x + x  dx
−2
2
c)
∫x
4 − x 2 dx
0
π
2
d)
∫ sin
3
x dx
0
a)
π
2
π
−
2
0
π
2
π
4
1
∫ (sin x − cos x )dx
b)
∫
c)
∫
4
1
d)
dx
sin 2 x
(
)
x 1 + 2 x dx
∫ (x + 3)
1
−2
2
21
dx
2) Určete hodnotu parametru c ∈ R tak, aby pro funkci g ( x ) = x 2 + c platilo
∫
3
0
3) Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí o rovnicích:
a) f ( x ) = 2 x + 1, g ( x) = 4 x 2 − 8 x + 5
2
4
b) f ( x) = x 2 +4 , g ( x ) = x 2 + 2
9
9
c) f ( x ) = ln x, g ( x) = 0, x ∈ e, e 2
d) y = x, y = x − 2
e)
f ( x ) = x 3 − x ∧ x ∈ − 1;1
66
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
g ( x ) dx = 15
Maturitní opakování.doc
4) Vypočtěte obsah rovinného útvaru, který je omezen křivkami: y = e x , y = e − x a přímkami:
x = 1, x = −1
[2b]
5) Vypočtěte objem tělesa vytvořeného rotací rovinného obrazce ohraničeného křivkami o
rovnicích kolem osy x:
a) y 2 = 2 x, y = 0, x = 4
b) y = 1 − x 2 , y = x 2
c) xy = 4, y = 0, x ∈ 1,4
,
d)
6) Odvoďte vzorec pro výpočet:
a) objemu V rotačního válce s výškou v a poloměrem podstavy r
b) objemu V komolého kužele s výškou v a poloměrem podstav r1, r2.
7) Určete objem a povrch tělesa, které vznikne rotací pravidelného šestiúhelníku o straně
délky a kolem přímky, v níž leží delší úhlopříčka šestiúhelníku.
61. APLIKACE DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU
1) Určete rozměry a obsah pravoúhelníku, který je vepsaný do kruhu o daném poloměru r a
má maximální obsah.
Po192/61
2) Jaké rozměry musí mít rotační válec daného povrchu S, má-li jeho objem být co největší?
Po192/62
3) Na grafu funkce f : y =
4
určete takový bod p, jehož vzdálenost od počátku kartézské
x
soustavy souřadnic je nejmenší.
2, 2
[
]
4) Odvoďte vzorec pro výpočet:
a) obsahu kruhu o poloměru r
b) objemu rotačního válce s výškou v a poloměrem podstavy r
c) objemu rotačního kužele, je-li poloměr podstavy r a výška v
d) objemu koule o poloměru r
5) Závislost dráhy na čase je :
1
a) pro pohyb rovnoměrně zrychlený:s = s0 +v0t + at2
2
b) pro kmitavý pohyb:s = r sin(ωt + ϕ)
Určete pro oba pohyby okamžitou rychlost,zrychlení a sílu působící na hmotný bod v čase t.
6) Určete velikost okamžité rychlosti přímočarého pohybu tělesa, pro jehož dráhu v čase t
platí vztah s = −5t + 200t + 12 ( v metrech), kde t je čas od začátku pohybu
(v sekundách). Ve kterém okamžiku těleso zastaví?
67
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
7) Jakou rychlostí se mění tlak plynu v závislosti na objemu pro reálný plyn?Tlak a objem
A
spojuje Van der Waalsova rovnice:
(p + 2 ) (V-b) = k
V
8) Najděte rovnici pro rychlost a zrychlení pohybu v závislosti na čase t, je-li dráha pohybu
1
dána rovnicí s (t ) = s 0 + v 0 t + gt 2
2
9) Najděte rovnici dráhy s tělesa v závislosti na čase t, platí-li pro jeho rychlost:
v(t ) = sin t ∧ s (0) = 0
68
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
Maturitní okruhy z matematiky 2004
1. Základy výrokové logiky. .............................................................................................1
2. Množiny a operace s nimi.............................................................................................4
3. Číselné množiny, elementární teorie čísel ....................................................................3
4. Matematické důkazy. ...................................................................................................3
5. Matematická indukce ...................................................................................................3
6. Algebraické výrazy .......................................................................................................7
7. Lineární rovnice a nerovnice (absolutní hodnota) ......................................................8
8. Kvadratické rovnice a nerovnice .................................................................................9
9. Rovnice s neznámou pod odmocninou .........................................................................9
10.
Nerovnice s neznámou pod odmocninou................................................................10
11.
Soustavy rovnic a nerovnic.....................................................................................11
12.
Lineární rovnice a soustavy s parametrem............................................................12
13.
Kvadratické rovnice s parametrem........................................................................13
14.
Funkce – základní pojmy, vlastnosti ......................................................................14
15.
Funkce lineární ( s absolutní hodnotou) ................................................................16
16.
Funkce lineární lomené ( s absolutní hodnotou)....................................................16
17.
Funkce kvadratické (s absolutní hodnotou)...........................................................17
18.
Funkce mocninné ( s absolutní hodnotou) .............................................................17
19.
Funkce exponenciální a logaritmické.....................................................................18
20.
Exponenciální a logaritmické rovnice....................................................................19
21.
Exponenciální a logaritmické nerovnice ................................................................20
22.
Definiční obor složené funkce.................................................................................21
23.
Inverzní funkce .......................................................................................................22
24.
Funkce goniometrické ............................................................................................23
25.
Goniometrické vzorce.............................................................................................23
26.
Goniometrické rovnice ...........................................................................................24
27.
Goniometrické nerovnice........................................................................................26
28.
Trigonometrie – řešení trojúhelníka ......................................................................27
29.
Planimetrie – geometrické útvary v rovině............................................................27
30.
Konstrukční úlohy 1 (Množiny všech bodů dané vlastnosti.)................................28
31.
Konstrukční úlohy 2- Základní geometické konstrukce .......................................29
32.
Shodná zobrazení....................................................................................................29
33.
Podobná zobrazení..................................................................................................30
34.
Polohové vlastnost přímek a rovin, řezy ................................................................31
35.
Metrické vlastnosti přímek a rovin ........................................................................33
36.
Mnohostěny a rotační tělesa ...................................................................................35
37.
Vektorová algebra ..................................................................................................36
38.
Lineární útvary v rovině.........................................................................................38
39.
Lineární útvary v prostoru.....................................................................................39
40.
Kružnice a elipsa.....................................................................................................42
41.
Parabola a hyperbola..............................................................................................43
42.
Vzájemná poloha přímky a kuželosečky................................................................44
43.
binomická věta ........................................................................................................45
44.
Faktoriál kombinační čísla, Pascalův trojúhelník .................................................46
45.
Praktické aplikace kombinatoriky k,n∈N ............................................................47
46.
Pravděpodobnost a statistika .................................................................................49
47.
Aritmetická posloupnost.........................................................................................51
48.
Geometrická posloupnost .......................................................................................53
49.
Vlastnosti posloupností, limita posloupnosti..........................................................55
69
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Maturitní opakování.doc
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

Nekonečné řady ......................................................................................................56
Komplexní čísla – geometrické znázornění............................................................58
Komplexní čísla – Moivreova věta .........................................................................59
Řešení rovnic v oboru komplexních čísel. ..............................................................60
Limita a spojitost funkce ........................................................................................61
Derivace funkce ......................................................................................................62
Úlohy o extrémech. .................................................................................................63
Vyšetřování průběhu funkce ..................................................................................63
Primitivní funkce ....................................................................................................65
Určitý integrál.........................................................................................................66
Aplikace diferenciálního a integrálního počtu.......................................................67
70
PDF vytvořeno zkušební verzí pdfFactory Pro www.fineprint.cz
Download

Maturitní opakování