489
Supersymetrie
1) Sjednocení elektromagnetických a slabých interakcí
U(1) symetrie
M jmež Dirac v lagrangián
= iψγ α ∂ aψ − mψψ
( 1741 )
popisující ástice se spinem ½ a hmotností m.
Vlnová funkce ψ je ty spinor, ψ = ψ †ψ 0 , γ α jsou Diracovy matice
4 × 4.
Lagrangián ( 1741 ) je invariantní v i transformaci
ψ → ψ ′ = eiaψ ,
ψ → ψ ′ = e −iaψ ,
a = konst.
( 1742 )
Nech nyní a = a(xα).
Nový lagrangián bude mít tvar
′=
− T β ∂αβ ( xα ) ,
( 1743 )
kde
T β = ψγ βψ ,
( 1744 )
a není tedy v i transformacím
( )
ψ →ψ ′ = e ψ ,
ia xα
ψ →ψ ′ = e
( )ψ ,
− ia xα
( 1745 )
invariantní.
Jak minimáln modifikovat lagrangián aby byl v i ( 1745 )
invariantní, jsme si nazna ili v kapitole o Diracov rovnici.
Vezmeme-li modifikovaný lagrangián ve tvaru
490
1
=
+ eAα ( x ) Tα ( x ) ,
e = konst.
( 1746 )
a požadujeme-li, aby se p i transformaci ( 1745 ) m nily veli iny Aα
podle vztahu
1
Aα → A′α = Aα + ∂α a ( x ) ,
e
( 1747 )
bude
′1 =
+ eAα Tα +
1
,
( 1748 )
nebo
T ′α = T α .
( 1749 )
Abychom dosáhli požadované vlastnosti lagrangiánu, zavedli jsme nové
veli iny Aα(x) s požadovanými transforma ními vlastnostmi ( 1747 ).
Veli iny Aα(x) tvo í vektorové pole a transformace ( 1742 ), ( 1745 )
jsou kalibra ními transformacemi.
Globální kalibra ní transformací je ( 1742 ), lokální kalibra ní
transformací je ( 1745 ).
Po dosazení t chto výsledk do Diracovy rovnice se ukáže, že
1
= iψ γ α ( ∂α − ieAα ) ψ − mψψ .
( 1750 )
Z Diracovy teorie jsme již d íve rozeznali, že Aα(x) je vektorový
potenciál elektromagnetického pole a e je náboj ástice.
Lagrangián ( 1750 ) není ovšem lagrangiánem celého systému „elektron
+ elektromagnetické pole“.
K úplnému lagrangiánu se dosp je snadno, p idáme-li k ( 1750 ) ješt
len s kinetickou energií (tj. len kvadratický v Aα).
Výsledkem je vztah
491
1
Fαβ F αβ ,
4
( 1751 )
Fαβ = ∂α Aβ − ∂ β Aα .
( 1752 )
L=
1
−
Kde
K elektromagnetickému poli jsme tudíž dosp li na základ požadavku
globální symetrie, který jsme poté rozší ili o požadavek symetrie
lokální.
Kalibra ní transformace ( 1745 ), ( 1747 ) závisí na jediném parametru
a, tvo í tedy jednoparametrickou abelovskou grupu U(1).
Uvedený postup se zobec uje na další globální a poté i lokální symetrie
s cílem popsat i jiné, než elektromagnetické interakce.
Symetrie SU(2)
Jako další p íklad uvažujme o dubletu komplexních skalárních polí
ozna ených jako
ϕ=
ϕu
,
ϕd
( 1753 )
a lagrangián pole vezm me ve tvaru
2
1
1
= ∂ aϕ †∂α ϕ − µ 2ϕ †ϕ − λ (ϕ †ϕ ) ,
2
4
( 1754 )
kde λ, µ jsou konstanty.
Uvedený lagrangián je invariantní v i transformaci
i
2
ϕ → ϕ ′ = exp − τ A a A ϕ .
( 1755 )
492
Veli iny aA (A = 1, 2, 3) reprezentují 3 parametry, které tuto
transformaci ur ují a τ A jsou 3 matice (2 × 2), které spl ují komuta ní
relace
τA τB
2
,
2
= iε
τC
ABC
2
,
( 1756 )
kde ε ABC je Levi-Civit v tenzor.
Pro obecnou matici M p itom platí:
∞
e =
M
n =0
Mn
.
n!
( 1757 )
Transformace ( 1755 ) tvo í reprezentaci grupy SU(2).
Požadavek globální symetrie rozší íme tak, že parametry aA budou nyní
funkcemi prostoro asových sou adnic xα :
i
2
ϕ → ϕ ′ = exp − τ A a A ( xα ) ϕ .
( 1758 )
Lagrangián ( 1754 ) v i transformaci ( 1758 ) invariantní není.
Invariantním však m že být u in n zavedením t í nových kalibra ních
polí AαN ( x β ) , N = 1, 2, 3 , do lagrangiánu.
Nejprve nahradíme oby ejné parciální derivace ∂α derivacemi
kovariantními
g
Dα = ∂α + i τ N AαN ( x ) .
2
( 1759 )
Poté zvolíme transforma ní zákon pro Aα p i transformaci ( 1748 )
takový, aby výsledný lagrangián z stal invariantním:
Aα′ = UAα U −1 −
i
U∂α U −1 ,
g
( 1760 )
493
p i emž matice
1
Aα = τ A AαA ,
2
U = exp −i
τA
2
α A = exp ( −ia ) .
( 1761 )
Lagrangián
†
2
1
λ
= ( Dα ϕ ) ( Dα ϕ ) − µ 2 (ϕ †ϕ ) − (ϕ †ϕ )
2
4
poté invariantním již je, nemá však ješt
kalibra ní pole AαN ( x β ) .
( 1762 )
len s kinetickou energií pro
Nejjednodušší volbou je
1
− FαβN FNαβ ,
4
( 1763 )
kde
FαβN = ∂α AβN − ∂ β AαN − gε NPQ Aα P Aβ Q .
( 1764 )
V maticovém ozna ení se zavedením
1
Fαβ = τ A FαβN
2
( 1765 )
pak bude
Fαβ = ∂α Aβ − ∂ β Aα + ig Aα , Aβ
.
( 1766 )
Komplexní a lokáln kalibra ní lagrangián tedy je
L=
.
( 1767 )
494
Popisuje sv t tvo ený dublety hmotných skalárních polí (ϕu , ϕ d ) , která
spolu interagují p es len λ (ϕ †ϕ ) a tripletem nehmotných kalibra ních
2
polí ( Aα1 ( x ) , Aα2 ( x ) , Aα3 ( x ) , ) , která spolu interagují prost ednictvím
posledního lenu v ( 1766 ).
D sledkem formulace lokáln kalibra n invariantních teorií je tedy
objevení se nehmotného kalibra ního pole.
Pro reálný popis interakcí s krátkým dosahem je však t eba hmotného
kalibra ního pole.
Odpovídajícího úsp šného popisu bylo dosaženo a p íslušná jev byl
nazván spontánním narušením symetrie.
Uvažujme o neutrálním a hmotném skalárním poli Φ, které interagují
samo se sebou a jehož lagrangián je
=
1 α
1
1
∂ Φ ) ( ∂α Φ ) − µ 2 Φ 2 − λΦ 4 .
(
2
2
4
( 1768 )
Tento lagrangián je symetrický v i reflexi
Φ → −Φ
( 1769 )
reprezentující velmi jednoduchou transformaci globální symetrie.
R zné tvary potenciálu
V (Φ) =
1 2 2 1
µ Φ + λΦ 4
2
4
jsou pro p ípady µ2 > 0 a µ2 < 0 uvedeny na obr. 48
( 1770 )
495
Obr. 48
V p ípad µ2 > 0 existuje jen jediné minimum funkce V(Φ), a to v bod
Φ = 0.
To odpovídá p ípadu jediného stabilního, nedegenerovaného stavu.
V p ípad µ2 < 0 existují dv minima funkce V(Φ), a to v bodech
Φ = ±Φ 0 ,
µ2
−
λ
12
= Φ0 > 0 .
( 1771 )
Za základní stav je možno vybrat vždy jen jednu z t chto dvou hodnot.
Oba tyto základní vakuové stavy narušují symetrii ( 1769 ).
Všimn me si ešení blízko jednoho stavu, ekn me pro ur itost stavu
+Φ0 > 0.
Zave me novou veli inu
Φ′ = Φ − Φ 0 .
Bod Φ = 0 není bodem stability, bod Φ′ = 0 však ano.
Teorie vztažená k bodu +Φ0 již není symetrická vzhledem
k transformaci ( 1769 ).
Lagrangián ( 1768 ) p epíšeme s pomocí Φ′:
( 1772 )
496
=
1 α
1
2
2
3
′
′
′
′
∂
Φ
∂
Φ
+
µ
Φ
−
λ
Φ
Φ
−
λ Φ ′4 .
(
)
(
)
α
0
2
4
( 1773 )
Pro pole Φ′ se tedy vyno il hmotný len -2µ2 .
Symetrie Φ′ → −Φ′ však již z Lagrangiánu patrná není, a koli stále
existuje - je skrytá, nikoli však ztracená.
V obecném p ípad je globální symetrie spojitou grupou transformací a
ne jen prostou diskrétní transformací ( 1769 ), kterou jsme v našem
p íkladu užili.
Jestliž je taková obecná globální symetrie spontánn narušena, objeví se
ástice se spinem nula a s nulovou hmotností.
Nazývají se Goldsteinovými bosony.
Na semiklasické úrovni je možno vznik Goldsteinových boson
demonstrovat, vyjdeme-li z lagrangiánu dvou reálných polí σ a ρ se
vzájemnou interakcí
V=
1 2 2
µ (σ + ρ 2 ) + λ (σ 2 + ρ 2 ) ,
2
λ >0 .
( 1774 )
Nehmotné Goldsteinovy bosony jsou dob e známy z fyziky pevných
látek.
Dojde-li nap . ke spontánnímu narušení symetrie ve feromagnetu, objeví
se Goldsteinovy bosony ve form magnon .
Jestliže je spontánn narušena symetrie lokální kalibra ní grupy, získají
Goldsteinovy bosony hmotnost.
Tehdy hovo íme o tzv. Higgsov mechanismu :
Uvažujme komplexní skalární pole
Φ′ = Φ1 + iΦ 2
( 1775 )
s lagrangiánem
= ( ∂α Φ
∗
)( ∂ Φ ) + 2 ( Φ Φ ) + λ4 ( Φ Φ ) .
α
µ2
∗
∗
( 1776 )
Tento lagrangián je invariantní vzhledem ke globální transformaci U(1)
497
Φ → e − ia Φ .
( 1777 )
Budeme-li tuto symetrii kalibrovat, tj. budeme-li požadovat invarianci
lagrangiánu také v i lokální U(1) grup :
Φ→e
− ia( x )
Φ ( x),
( 1778 )
musíme uskute nit zám nu
∂α → ∂α + ieAα
( 1779 )
zavedením kalibra ního pole Aα(x), kde e zna í elementární náboj.
Pro U(1)loc je
1
Aα ( x ) → Aα ( x ) − ∂α a ( x )
e
( 1780 )
a nyní již invariantní lagrangián má tvar
1
= ( ∂α + ieAα ) Φ ∗ ( ∂α − ieAα ) Φ − V ( Φ ) − Fαβ F αβ ,
4
( 1781 )
kde
Fαβ = ∂α Aβ − ∂ β Aα .
( 1782 )
Pro µ 2 > 0 jde o skalární elektrodynamiku (fotony a masivní skalární
ástice).
Spontánní narušení symetrie se objeví p i µ 2 < 0.
Minima funkce V ( Φ ) leží na kružnici Φ = Φ 0
µ2
Φ0 =
λ
12
.
( 1783 )
498
Obr. 49
Konkrétní volba minima Φ = Φ 0 definuje základní stav a zavede se op t
fyzikální pole ( 1772 ).
Abychom obdrželi ásticovou formulaci, zavedeme speciální kalibraci, v
níž
Φ′ = h
( 1784 )
kde h > 0 je reálné pole.
To je možno u init práv proto, že lagrangián ( 1781 ) je lokáln
kalibra n invarianní.
Tato operace nám nyní dovoluje dáti fyzikální interpretaci jednotlivým
len m v lagrangiánu.
V uvedené speciální kalibraci má lagrangián ( 1781 ) tvar
499
1
1
1
1
= − Fαβ F αβ + ( ∂α h ) ( ∂α h ) + e 2 Φ 02 Aα Aα + e 2 Aα Aα h ( 2Φ 0 + h ) −
4
2
2
2
1
1
− h 2 ( 3λ 2 Φ 02 + µ 2 ) − λΦ 0 h3 − λ h 4 .
( 1785 )
2
4
Fundamentální pole zde odpovídají ásticím a koeficienty
v kvadratických lenech odpovídají hmotnostem t chto ástic.
Z lagrangiánu ( 1785 ) m žeme po bližší analýze vy íst, že je p ítomna
reálná skalární ástice h s kvadrátem hmoty
mh2 = 3λ 2 Φ 02 + µ 2
( 1786 )
a hmotný vektorový boson An s hmotou
mA = e Φ 0 .
( 1787 )
Narušení U(1) symetrie tak vede k reálnému poli h > 0 (Higgsovo pole)
a ke hmotnému poli Aα(x) vektorových boson .
Elektroslabé sjednocení
V šedesátých letech se ukázalo, že je možné vytvo it teorii, která by
jednotn popisovala elektromagnetickou i slabou interakci.
První výrazný úsp ch na této cest byl zaznamenán p i sjednocování
elektromagnetické interakce a slabé interakce v tzv. elektroslabou
interakci - jedná se o Weinbergovu-Salamovu-Glashowovu teorii.
P ed vznikem konstantního skalárního Higgsova pole H má tato teorie
kalibra ní symetrii SU(2)×U(1) a popisuje elektroslabé interakce ástic
zp sobované vým nami nehmotných vektorových boson .
Po vzniku skalárního pole H se symetrie spontánn naruší až do
podgrupy U(1), odpovídající ást vektorových boson (W+,W−,Z°) získá
hmotnost ( ádu ~ e.H ≈ 102 GeV), p íslušné interakce se stanou
krátkodosahovými → slabé interakce, zatímco další pole Ai z stává
nehmotné → elektromagnetické pole. Poda ilo se tak sjednotit slabé a
500
elektromagnetické interakce do jedné teorie, v níž vystupují jako dva
r zné aspekty téhož jevu.
Problém jednotného popisu elektromagnetické a slabé interakce (tzv.
elektroslabé interakce) je otázkou nalezení symetrie, která obsahuje jak
U(1)loc tak SU(2) symetrii, tj. symetrii elektromagnetické a slabé
interakce. To se poda ilo Stevenu Weinbergovi, Abdusu Salamovi a
Shaldonu Lee Glashowovi, kte í za teorii elektroslabé interakce obdrželi
Nobelovu cenu za fyziku pro rok 1979. Teorie elektroslabé interakce
p edpov d la, že krom fotonu existují ješt další t i vým nné ástice:
intermediální bosony W+, W-, Z0, které odpovídají za slabou interakci.
Intermediální bosony W+, W-, Z0 byly objeveny v CERNu v roce 1983
ve vst ícných proton antiprotonových svazcích o energii 270 GeV. Jejich
objevitelé Carlo Rubbia a Simon van der Meer obdrželi za tento objev
Nobelovu cenu za fyziku pro rok 1984.
Tv rci elektroslabého sjednocení
Sheldon Lee Glashow(1932)
Abdus Salam (1926)
Steven Weinberg (1933)
Objevitelé ástic W a Z
Carlo Rubbia (1934)
Simon van der Meer (1925)
501
V teorii elektroslabé interakce je jeden zásadní problém.
Platí-li symetrie U(1)loc a SU(2) beze zbytku, vyjdou hmotnosti všech
ty intermediálních ástic nulové. Ve skute nosti je nulová jen klidová
hmotnost fotonu (s tím souvisí nekone ný dosah elektromagnetické
interakce) a ástice W± a Z0 mají klidové hmotnosti 80 GeV a 91 GeV (s
tím souvisí krátký dosah slabé interakce). V teorii to znamená, že
symetrie musí být narušena. Tento jev nazýváme spontánní narušení
symetrie. Za narušení symetrie by m ly být odpov dné další ástice,
které nazýváme Higgsovy bosony nebo Higgsovo pole. Tyto ástice jsou
v posledních letech usilovn hledány a je nad je, že bude možné tyto
ástice detekovat na v sou asné dob stav ných urychlova ích. Práv
energie Higgsova pole mohla být jakousi rozn tkou infla ní fáze raného
Vesmíru. Jev analogický spontánnímu narušení symetrie známe i z
b žného života. Postavíme-li jehlu na povrchu stolu na špi ku, m la by
podle klasické teorie spadnout tím pozd ji, ím lépe je jehla na za átku
postavena svisle. P i p esné symetrii (jehla p esn na špi ce) by nem la
spadnou v bec, protože nelze vybrat žádný preferovaný sm r. P esto
dojde k narušení symetrie a jehla v kone ném ase dopadne na povrch
stolu.
Peter Higgs (1929)
S SU(2) symetrií slabé interakce souvisí, podobn jako v
elektromagnetizmu, i ur itý kvantový náboj. Nazýváme ho v n a nejde
o nic jiného než o jiné pojmenování druh kvark . Základní konstanta
interakce je op t s energií ástic prom nná. P i energiích 102 GeV by se
ob interakce m ly chovat jednotn (jako jediná elektroslabá interakce).
P i energiích nižších dojde k narušení symetrie a "odd lení" interakce
502
elektromagnetické od slabé a tyto interakce se chovají r zn . Ve
Vesmíru m ly takové energie ástice v dob 10-10 s po jeho vzniku.
Odpovídající teplota v té dob byla 1015 K.
Weinbergovu-Salamovu teorii elektroslabé interakce lze dnes již
považovat za experimentáln prakticky ov enou, protože v r.1973 byla
v CERNu prokázána existence tzv. slabých "neutrálních proud "
(zp sobujících reakce typu νµ + e → νµ + e), a hlavn v r.1983 byly ve
vst ícných proton-antiprotonových svazcích (270 GeV proti 270 GeV)
collideru velkého protonového synchrotronu v CERN objeveny
intermediální bosony W±,Z°, jejichž hmotnosti (mW ≅ 82 GeV, mZ ≅ 93
GeV) i zp soby rozpadu velmi dob e souhlasí s p edpov dí
Weinbergova-Salamova modelu.
SU(3) symetrie
Všechny t írozm rné unitární unimodulární matice realizují grupu
SU(3).
Každou z nich lze zapsat ve tvaru
U = e iH ,
( 1788 )
kde matice H vyhovuje požadavk m
H† = H ,
Tr H = 0 .
( 1789 )
Existuje práv 8 lineárn nezávislých hermitovských matic 3 × 3
s nulovou stopou.
Lze za n zvolit nap . následující tzv. Gell-Mannovy matice:
503
j
0
,
0
j
≡
4
⋅ ⋅ 1
≡ ⋅ ⋅ ⋅ ,
0
j = 1, 2, 3,
5
⋅ ⋅ −i
≡ ⋅ ⋅ ⋅ ,
1 ⋅ ⋅
6
8
1 ⋅
⋅ ⋅ ⋅
≡ ⋅ ⋅ 1 ,
⋅ 1 ⋅
7
⋅
⋅ ⋅ ⋅
≡ ⋅ ⋅ −1 ,
⋅ i ⋅
1 ⋅ ⋅
≡ ⋅ 1 ⋅ .
⋅ ⋅ −2
( 1790 )
Tyto matice evidentn vyhovují požadavk m
†
a
=
Tr
a
a
,
=0,
a = 1,
( 1791 )
,8.
Ponecháme tená i jako jednoduché cvi ení, aby dokázal, že také platí
Tr
a
b
= 2δ ab ,
a, b = 1,
,8
( 1792 )
a že z posledních dvou relací vyplývá lineární nezávislost všech osmi
matic λa , tj, že libovolnou t írozm rnou unitární unimodulární matici
lze jednozna n ur it pomocí osmi reálných parametr {αa , a = 1, … ,
8} tak, že
U (α ) = exp i
8
a =1
kde
α a ta ,
( 1793 )
504
1
ta = λa .
2
( 1794 )
P ímým výpo tem se lze snadno p esv d it, že platí realce
[
a
,
b
] = 2i
8
f abc
c
,
c =1
{
a
,
b
4
} = δ ab + 2
3
( 1795 )
8
d abc
c
,
c =1
kde koeficienty fabc, resp. dabc jsou antisymetrické, resp. symetrické v i
vzájemné zám n libovolných dvou index a p itom všechny nenulové.
Jsou jednozna n specifikovány následujícími výrazy:
f123 = 1 ,
f147 = f 246 = f 257 = f345 = f516 = f 637 =
f 458 = f 678 =
1
,
2
( 1796 )
3
,
2
d118 = d 228 = d338 = − d888 =
1
,
3
d146 = d157 = d 256 = d344 = d355 =
d 247 = d366 = d377
1
,
2
1
=− ,
2
d 448 = d558 = d 668 = d 778 = −
1
2 3
( 1797 )
.
Povšimn me si, že relace ( 1795 ) lze ekvivalentn vyjád it též ve tvaru
505
a
,
b
8
2
= δ ab +
3
( d abc + if abc )
c
,
( 1798 )
c =1
což je bezprost edním zobecn ním dob e známé relace mezi Pauliho
maticemi
j
,
k
3
= δ jk + i
ε jkl
l
.
( 1799 )
l =1
Díky rovnostem ( 1791 ), ( 1792 ) z t chto relací také okamžit plynou
rovnosti
Trλa [ λb , λb ] = 4if abc ,
Trλa [ λb , λb ] = 4d abc ,
( 1800 )
tj.
Trλa λb λb = 2 ( d abc + if abc ) .
( 1801 )
Z formulí ( 1793 ), ( 1795 ) víme, že koeficienty f abc p edstavují
strukturní koeficienty osmiparametrické Lieovy grupy SU(3), a tedy
ˆ odpovídající generátor m této grupy musí v jakékoliv její
operátory T
a
reprezentaci vyhovovat komuta ním relacím
ˆ ,T
ˆ =i
T
a
b
8
ˆ .
f abc T
c
( 1802 )
c =1
Z vyjád ení ( 1796 ) je z ejmé, že
∀a ≠ j = 1, 2,3 :
a p itom
ˆ ,T
ˆ =0∧ T
ˆ ,T
ˆ ≠0
T
8
j
8
a
( 1803 )
506
3
ˆ ,T
ˆ =i
T
j
k
∀j , k = 1, 2,3 :
ε jkl Tˆ l .
( 1804 )
c =1
Odtud okamžit vidíme, že
1) rank SU(3) je roven dv ma,
ˆ , j = 1, 2,3 realizují generátory SU(2) ⊂ SU(3),
2) operátory T
j
3) bázi prostoru, na kterém je realizována libovolná reprezentace algebry
SU(3), lze vždy zvolit tak, aby ji tvo ily spole né vlastní vektory
operátor
ˆ ≡
Tˆ 3 , T
3
Tˆ j2
2
a
j=1
yˆ =
2 ˆ
T8 .
3
( 1805 )
Výše uvedenou SU(2) ⊂ SU(3) budeme pro ur itost nazývat
izospinorovou podgrupou. Pro další je užite né specifikovat ješt jiné
dv podgrupy SU(2) grupy SU(3).
K tomu nejprve definujme operátory
ˆ ≡ Tˆ ,
U
1
6
ˆ ≡ Tˆ ,
U
2
7
ˆ ≡ Tˆ ,
V
1
4
ˆ ≡ Tˆ ,
V
2
5
(
)
ˆ ≡ 1 −Tˆ + 3 Tˆ ,
U
1
3
8
2
ˆ ≡ 1 Tˆ + 3 Tˆ .
V
3
3
8
2
(
)
( 1806 )
Snadno se lze p esv d it, že komuta ní relace ( 1802 ) z stanou
ˆ →U
ˆ , tak po zám n T
ˆ →V
ˆ , a tedy také
v platnosti jak p i zám n T
ˆ , j = 1, 2, 3 realizují generátory n jaké SU(2) ⊂ SU(3) a
operátory U
j
ˆ .
totéž platí i o operátorech V
j
Práv specifikovanou SU(2) budeme nazývat U-spinovou, resp.
V-spinovou podgrupou.
Z definice ( 1806 ) vidíme, že
ˆ −U
ˆ .
Tˆ 3 = V
3
3
( 1807 )
507
Zave me v trojrozm rném Hilbertov prostoru (≡ U 3) ortonormální
bázi tvo enou vektory j , ( j = 1, 2, 3) a definujme operátory
ˆt a , ( a = 1, , 8 ) tak, že
3
ˆt a
j
≡
k =1
[ta ]( k , j )
k
,
( 1808 )
Kde na pravé stran vystupují elementy matice ( 1794 ).
Libovolný vektor ψ ∈ U 3 lze zapsat ve tvaru
ψ =
3
ψ
j
j
,
( 1809 )
j =1
kde
ψj≡
j
ψ ,
( 1810 )
a tedy
tˆ a ψ =
3
ψ tˆ a
j
j =1
3
j
=
ψ [ta ]( k , j )
j
j ,k =1
3
j
≡
ψ ′j
j
,
( 1811 )
j =1
tj. transformaci
ψ → ψ ′ ≡ tˆ a ψ
( 1812 )
m žeme ekvivalentn vyjád it jako
ψ →ψ ′ ≡
j
3
j
k =1
[ta ]( k , j ) ψ k .
( 1813 )
508
Definice ( 1808 ) automaticky zaru uje, že operátory tˆ a vyhovují
komuta ním relacím
8
tˆ a , tˆ b = i
f abc tˆ c ,
( 1814 )
c =1
a tedy realizují 3-rozm rnou reprezentaci algebry SU(3), která se ve
fyzikální literatu e obvykle ozna uje symbolem {3}.
Z uvedené definice také okamžit vidíme, že pro každý operátor
8
ˆ (α ) ≡ exp i
U
α a tˆ a
( 1815 )
α =1
platí
ˆ (α)
U
3
j
U( k , j ) ( α )
=
k
,
( 1816 )
k =1
kde na pravé stran vystupují elementy matice ( 1793 ).
P itom transformaci
ψ → ψ ′ ≡ Uˆ (α ) ψ
( 1817 )
m žeme ekvivalentn vyjád it jako
ψ →ψ ′ ≡
j
3
j
k
ˆ
U
( k , j ) (α )ψ .
( 1818 )
k =1
Operátory ( 1815 ) realizují ireducibilní reprezentaci {3} grupy SU(3).
V souladu s vžitou konvencí užíváme stejného symbolu k ozna ení
reprezentace Lieovy grupy a odpovídající reprezentace algebry jejích
generátor .
Uvažujme nyní devítirozm rný Hilbert v prostor
509
(3 ,3 ) ≡ U 3 ⊗ U 3 .
2
0
( 1819 )
Je z ejmé, že operátory
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) ≡ U
ˆ (α ) ⊗ U
ˆ (α )
U
2
0
( 1820 )
na n m realizují reprezentaci
{3} ⊗ {3}
( 1821 )
grupy SU(3).
Vzhledem k tomu, že vektory
j1 j2
≡
j1
j2
j1 , j2 = 1, 2, 3
,
( 1822 )
tvo í ortonormální bázi uvažovaného prostoru, m žeme jich využít
k definici „operátoru transpozice“ Pˆ12 tak, že požadujeme, aby
Pˆ12
j1 j2
=
j2 j1
,
∀ j1 , j2 = 1, 2, 3 .
( 1823 )
Z definice ( 1820 ) pak okamžit plynou relace
ˆ ,U
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) = Sˆ , U
ˆ (3 ,3 ) (α ) = A
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) = 0 , ( 1824 )
Pˆ12 , U
2
0
2
0
2
0
kde
(
)
1
Sˆ ≡ 1 + Pˆ12 ,
2
(
)
ˆ ≡ 1 1 − Pˆ .
A
12
2
( 1825 )
Uvážíme-li, že operátor transpozice je unitární a že jeho kvadrát je
operátorem identity, vidíme, že platí
510
( )
†
Pˆ 12
= Pˆ12 ,
Pˆ12
2
=1 ,
( 1826 )
a tedy také
Sˆ † = Sˆ 2 = Sˆ ,
ˆ† =A
ˆ2 =A
ˆ ,
A
( 1827 )
ˆ jsou projek ní.
tj. operátory Sˆ , A
Navíc z jejich definice a z druhé relace ( 1826 ) víme, že
ˆ =1,
Sˆ + A
ˆ = 0.
Sˆ ⋅ A
( 1828 )
ˆ symbolem
Ozna íme-li podprostor, na který projektuje Sˆ , resp. A
2,0
0,1
0,1
, resp.
, potom poslední dv relace íkají, že
je
2,0
ortonormálním dopl kem podprostoru
, Uvažovaný Hilbert v
prostor tak m žeme vyjád it ve tvaru
(3 ,3 ) ≡
2
0
( 2,0 )
⊕
( 0,1)
( 1829 )
a komuta ní relace ( 1824 ) vyjad ují, že podprostor 2,0 redukuje
2 0
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) , a tedy reprezentace ( 1821 ) je úpln
všechny operátory U
reducibilní.
Z formule ( 1828 ) víme, že
(
)
(
)
ˆ U
ˆ ,
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) = Sˆ + A
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) Sˆ + A
U
2
0
2
0
( 1830 )
odkud díky relacím ( 1824 ), ( 1828 ) okamžit dostáváme odpovídající
rozklad operátor ( 1820 ):
511
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) ≡ U
ˆ ( 2,0) (α ) ⊕ U
ˆ ( 0,1) (α ) ,
U
2
0
( 1831 )
kde
ˆ ˆ (3 ,3 ) (α ) Sˆ ,
ˆ ( 2,0) (α ) ≡ SU
U
2
ˆ
U
( 0,1)
0
( 1832 )
ˆ ˆ (3 ,3 ) (α ) A
ˆ.
(α ) ≡ AU
2
0
P itom lze ukázat, že reprezentace grupy SU(3) realizovaná operátory
ˆ ( 2,0) (α ) na prostoru 2,0 je již ireducibilní.
U
ˆ ( 0,1) (α ) na prostoru
Totéž platí o reprezentaci realizované operátory U
0,1
.
Zave me vektory
jj
;[ 2,0] ≡ Sˆ
jj
=
j1 j2
jj
j1 j2
;[ 2,0] ≡ 2 Sˆ
j1 j2
j1 j2
ˆ
;[ 0,1] ≡ 2 A
j1 j2
;[ 2,0] a
j1 j2
;[ 0,1] tak, že
,
1
2
1
=
2
=
j1 j2
+
j2 j1
,
j1 j2
−
j2 j1
.
P itom z jejich definice vidíme, že šestice vektor
tvo í ortonormální bázi prostoru
2,0
j1 ≠ j2 ,
pro
( 1833 )
j1 j2
;[ 2,0] , j1 ≤ j2
a trojice vektor
j1 j2
;[ 2,0] ,
0,1
j1 < j2 tvo í ortonormální bázi prostoru
.
První z výše uvedených ireducibilních reprezentací je tedy šestirozm rná
a druhá je t írozm rná. Ve fyzikální literatu e se k jejich ozna ení užívá
symbolu 6 , resp. 3 .
Rozklad reprezentace ( 1821 ) na reprezentace ireducibilní zapisujeme
ve tvaru
3
3
6
3 .
( 1834 )
512
Proužek u posledního symbolu zd raz uje, že t írozm rná reprezentace
vystupující na pravé stran relace ( 1834 ) není ekvivalentní
s t írozm rnými reprezentacemi, jejichž symboly figurují na stran levé.
Nep ehlédn me, že zatímco každá kone n rozm rná ireducibilní
reprezentace grupy SU(2) je svým rozm rem ur ena (až na ekvivalenci)
jednozna n , v p ípad grupy SU(3) již tomu tak není.
(3 ,3 ) lze samoz ejm vyjád it ve tvaru
2
Každý vektor ψ ∈
ψ =
3
ψ
j1 j2
j1 j2
0
.
( 1835 )
j1 , j2 =1
V obecném p ípad m že mít takovýto vektor nenulovou projekci jak do
2,0
0,1
podprostoru
, tak do podprostoru
.
Je z ejmé, že
ψ ∈
( 2,0 )
( 1836 )
práv tehdy, když pro všechny koeficienty v rozvoji ( 1835 ) platí
ψ
j1 j2
=ψ
j2 j1
.
( 1837 )
Obdobn
ψ ∈
( 0,1)
⇔ψ
j1 j2
= −ψ
j2 j1
.
( 1838 )
Postupem, který nás p ivedl k formuli ( 1818 ), pak m žeme bez potíží
ˆ ( 2,0) (α ) a
nalézt tvar matic odpovídajících vyjád ení operátor U
ˆ ( 0,1) (α ) p i výše nazna ené volb bází p íslušných prostor .
U
Je instruktivní provést tuto konstrukci explicitn zejména v p ípad
reprezentace 3 .
K tomu nejprve p e íslujeme výše uvedené vektory báze tak, že
513
3
j
1
≡
ε jkl
2 k , l =1
kl
;[ 0,1] ,
j = 1, 2,3 .
( 1839 )
Inverzí tohoto vztahu dostáváme
j1 j2
;[ 0,1] =
3
ε jj j
1 2
j
,
( 1840 )
j =1
0,1
a tedy každý vektor z podprostoru
3
ψ =
ψ
j1 j2
j1 j2
3
;[ 0,1] =
j1 , j2 =1
ε j, j , j ψ
1
2
lze zapsat ve tvaru
j1 j2
j
,
( 1841 )
j , j1 , j2 =1
tj.
ψ =
3
ψj
j
,
( 1842 )
j =1
kde
ψj =
3
ε jklψ kl
( 1843 )
k , l =1
Díky antisymetrii ( 1838 ) lze tento vztah invertovat, tj. lze ho
ekvivalentn vyjád it ve tvaru
1
ψ kl =
2
3
ε jklψ j .
( 1844 )
j =1
Pro každý vektor ψ ∈
(3 ,3 ) m žeme transformaci
2
0
514
(3 ,3 ) α ψ
ψ → ψ ′ ≡ Uˆ
( )
2
0
( 1845 )
ekvivalentn vyjád it jako transformaci koeficient vystupujících
v rozvoji ( 1835 )
ψ
j1 j2
→ψ ′
3
j1 j2
ψ
=
j1 j2
U ( j1 ,k1 ) (α ) U ( j2 ,k2 ) (α )ψ k1k2 .
( 1846 )
k1 ,k2 =1
Speciáln pro ψ ∈
( 0,1)
(3 ,3 ) pak transformaci
2
⊂
0
(3 ,3 ) α ψ = Uˆ ( 0,1) α ψ
ψ → ψ ′ ≡ Uˆ
( )
( )
2
0
( 1847 )
odpovídá
ψ j → ψ ′j =
3
ε jj j ψ ′
2 2
3
j1 j2
=
j1 , j2 =1
3
2
1 2
1 2
1
1
2
1
ε jj j U ( j ,k ) (α )U ( j ,k ) (α ) ε kk k ψ k ,
1 2
1
1
2
2
1 2
2 ,k =1
( 1848 )
tj.
ψ ′j =
2
j1 , j2 ,k1 ,k2 =1
1
=
2 j , j ,k ,k
1
ε jj j U ( j ,k ) (α )U ( j ,k ) (α )ψ k k =
3
U ( j ,k ) (α )ψ k ,
( 1849 )
k =1
kde
3
1
U ( j ,k ) (α ) ≡
ε jj j ε kk k U
(α )U ( j2 ,k2 ) (α ) .
2 j , j ,k ,k =1 1 2 1 2 ( j1 ,k1 )
1
2
1
2
( 1850 )
515
Práv nalezený výsledek se stane transparentn jším, zapíšeme-li matici
s t mito elementy ve tvaru
U (α ) = exp i
8
α a ta .
( 1851 )
a =1
Dosadíme-li do pravé strany formule ( 1851 ) vyjád ení ( 1793 )
zjistíme, že do len prvního ádu v αa musí platit
δ jk + i
8
α a ta
3
( j ,k )
a =1
1
=
ε jj j ε kk k ×
2 j , j ,k ,k =1 1 2 1 2
1
2
1
× δ j1k1 + i
2
8
α a [ t a ] ( j ,k ) δ j k + i
1
1
8
2 2
a =1
α b [ t b ] ( j ,k )
2
odkud po jednoduchých úpravách zjistíme, že
ta
( j ,k ) =
2
b =1
− [t a ] (k , j ) .
( 1852 )
( 1853 )
Tedy 3 × 3 matice ta , odpovídající generátor m grupy SU(3)
v reprezentaci 3 souvisejí s maticemi ( 1794 ), odpovídajícími
generátor m této grupy v reprezentaci 3 vztahem
ta = −t Ta .
( 1854 )
Odtud okamžit vidíme, že mezi maticemi ( 1793 ) a ( 1851 )
p i azenými témuž elementu grupy SU(3) v t chto dvou reprezentacích
platí vztah
U (α ) = U T (α )
−1
,
tj. reprezentace 3 je kontragradientní k reprezentaci 3 .
( 1855 )
516
Snadno se p esv d íme, že tyto dv trojrozm rné ireducibilní
reprezentace nejsou navzájem ekvivalentní.
Sta í si uv domit, že pokud by existovala nesingulární matice B:
∀ U (α ) ⊂ SU ( 3 ) : BU (α ) B −1 = U (α ) ,
( 1856 )
potom by platilo
,8 : Bt a B −1 = ta .
∀ a = 1,
( 1857 )
Z vyjád ení ( 1854 ), ( 1794 ) vidíme, že poslední rovnost mj. vyžaduje,
aby
det λa = det Bλa B −1 = det ( −λaT ) = det ( −λa ) .
( 1858 )
Z explicitního vyjád ení ( 1790 ) však vidíme, že
det λ 8 = −
2
3 3
= − det ( −λa ) ,
( 1859 )
a tedy podobnostní transformace ( 1856 ) jist neexistuje.
Ponecháme tená i jako jednoduché cvi ení, aby se p esv d il, že platí
ˆ
U
( 0,1)
(α )
3
j
=
U ( k , j ) (α )
k
k =1
tˆ
3
j
≡
k =1
,
( 1860 )
[t a ]( k , j )
k
,
kde tˆa jsou operátory odpovídající v uvažované reprezentaci
generátor m SU(3).
Uvažujme nyní devítirozm rný Hilbert v prostor (izomorfní s prostorem
( 1819 ))
517
(3 ,3 ) ≡ U 3 ⊗ U 3 ,
1
1
( 1861 )
kde
U3 ≡
( 0,1)
.
( 1862 )
Je z ejmé, že operátory
31 ,31 )
(
ˆ
U
(α ) ≡ Uˆ (α ) ⊗ Uˆ (α ) ,
( 1863 )
kde
ˆ α ≡U
U
( ) ˆ ( 0,1) (α ) ,
( 1864 )
na n m realizují reprezentaci
3
3
( 1865 )
grupy SU(3).
Uvážíme-li, že vektory
≡
j
k
j
( 1866 )
k
tvo í ortonormální bázi tohoto prostoru, a p itom
ˆ ( 3 ,3 ) (α )
U
1
1
3
j
k
U ( j1 , j ) (α ) U ( k1 ,k ) (α )
=
j1
k1
,
( 1867 )
k1 ,k2 =1
okamžit vidíme, že
ˆ ( 3 ,3 )
U
1
1
(α )
3
3
j
j
j =1
=
j1 ,k1 =1
U (α ) U T (α )
( j1 ,k1 )
j1
k1
.
( 1868 )
518
Z relace ( 1855 ) však víme, že
U (α ) U T (α ) = 1 ,
( 1869 )
a tedy
ˆ ( 3 ,3 )
U
1
1
(α )
3
3
=
j
j
j =1
j
j
( 1870 )
j =1
tj. jednorozm rný prostor
zvolit vektor
1
[0,0] ≡
3
,
0,0
, za jehož ortonormální bázi m žeme
3
j
j
,
( 1871 )
j =1
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) .
redukuje všechny operátory U
1
1
Ozna íme-li jeho osmirozm rný ortogonální dopln k symbolem
m žeme prostor ( 1861 ) vyjád it jako
(3 ,3 ) ≡
1 1
(1,1)
⊕
( 0,0 )
.
1,1
( 1872 )
Odpovídající rozklad operátor ( 1863 ) má tvar
ˆ ( 3 ,3 ) (α ) ≡ U
ˆ (1,1) (α ) ⊗ U
ˆ ( 0,0) (α ) .
U
1
1
( 1873 )
ˆ ( 0,0) (α ) se všechny
P itom z formule ( 1870 ) víme, že operátory U
redukují na operátor identity, tj. tyto operátory realizují na prostoru
0,0
triviální jednorozm rnou reprezentaci, která je samoz ejm
ireducibilní.
,
519
ˆ (1,1) (α )
Je možno dokázat, že také reprezentace realizovaná operátory U
je ireducibilní.
Ve fyzikální literatu e se pro n užívá symbolu 1 , resp. 8 , tj.
rozklad reprezentace ( 1865 ) na ireducibilní komponenty se zapisuje ve
tvaru
3
3
8
1 .
Každý vektor ψ ∈
3
ψ =
ψ
j
j
k
k
( 1874 )
(3 ,3 ) lze vyjád it ve tvaru
1
1
.
( 1875 )
j ,k =1
Z formule ( 1871 ) je evidentní, že
(1,1)
ψ ∈
( 1876 )
práv tehdy, když jeho koeficienty mají nulovou stopu, tj. když platí
3
ψ
j
j
j
j
=0 .
( 1877 )
j =1
Jeho koeficienty tedy m žeme zapsat jako
ψ
j
k
= ψ ( j ,k ) ,
( 1878 )
kde na pravé stran stojí elementy tvercové matice ψ s nulovou stopou,
tj.
Trψ = 0 .
( 1879 )
520
Každou takovouto matici lze vyjád it jako lineární kombinaci GellMannových matic, tzn. zapsat ji ve tvaru rozvoje
1
ψ=
2
8
ψ a λa .
( 1880 )
a =1
pro jehož koeficienty dostáváme díky relaci ( 1792 ) výraz
ψa =
1
Trψλa .
2
( 1881 )
Dosazením z formule ( 1875 ) do rozvoje ( 1877 ) vidíme, že libovolný
1,1
vektor ψ ∈ ( ) lze vyjád it ve tvaru
ψ =
8
ψa a ,
( 1882 )
a =1
kde
1
a ≡
2
3
j ,k =1
( λa )( j ,k )
j
k
,
a = 1,
,8 .
( 1883 )
Na základ relací ( 1791 ), ( 1792 ) se tená snadno p esv d í, že platí
relace ortonormality
b a = δ ab ,
( 1884 )
a tedy vektory ( 1883 ) tvo í ortonormální bázi prostoru
Transformaci
ψ → ψ ′ ≡ Uˆ
(3 ,3 ) α ψ
( )
1
1
1,1
.
( 1885 )
521
lze pro každý vektor ψ ∈
rozvoj ( 1875 ) jako
ψ
j
k
→ψ ′
3
j
k
(1,1)
vyjád it v termínech p íslušných
U ( j , j1 ) (α ) U ( k ,k1 ) (α )ψ
=
j1
k1
,
( 1886 )
j1 ,k1 =1
což v p ípad vektor ψ ∈
transformaci
3
1
ψ a → ψ a′ =
2
1
=
2
1
=
2
(1,1)
lze ekvivalentn vyjád it jako
ψ ′ j k ( λa )( k , j ) =
j ,k =1
3
j ,k , j1 ,k1 =1
8
U ( j , j1 ) (α ) U ( k ,k1 ) (α )( λb )( k , j )
1
2
8
b =1
( λb )( j ,k ) ψ b =
1
1
ψ b Tr U (α ) λb U T (α ) λa .
b =1
P itom z formule ( 1855 ) víme, že
U T (α ) = U −1 (α ) ,
( 1887 )
( 1888 )
a tedy
8
U (α ) λb U (α ) =
A
U (( c ,)b ) (α ) λc ,
T
( 1889 )
c =1
kde na pravé stran vystupují elementy matic
U
( A)
(α ) ≡ exp
8
i
a =1
α a t (aA) ,
( 1890 )
522
které realizují regulární reprezentaci, tj. elementy matic t (aA) ,
odpovídajících v této reprezentaci generátor m SU(3), jsou
determinovány strukturními konstantami jako
t (a
A)
≡ −i ⋅ f abc .
( b ,c )
( 1891 )
Tedy
8
8
1
ψ a′ =
ψ b U (Ac ,b ) (α ) tr λc λa =
U (Aa ,b ) (α )ψ b .
2 b ,c=1
b ,c =1
( 1892 )
Uvažujme nyní 3m + n – rozm rný Hilbert v prostor
(3
m
,3n
) ≡U3 ⊗
⊗U 3 ⊗U 3 ⊗
⊗U 3 ,
( 1893 )
kde na pravé stran vystupuje m faktor U 3 a n faktor U 3 .
Je z ejmé, že operátory
ˆ (3
U
m
,3n
) α ≡ Uˆ α ⊗
( ) ( )
ˆ α ⊗
ˆ (α ) ⊗ U
⊗U
( )
ˆ α
⊗U
( )
( 1894 )
realizují na tomto prostoru reprezentaci grupy SU(3).
Každý vektor ψ ∈
ortonormálních vektor
j1
jm
k1
kn
≡
jm
j1
(3
m
,3n
) lze vyjád it jako lineární kombinaci
k1
kn
,
j1
jm
( 1895 )
tj. ve tvaru rozvoje
3
ψ =
j1 ,
, jm ,k1 ,
ψ
, kn = 1
j1
jm
k1
kn
k1
kn
.
( 1896 )
523
Z p edchozího je z ejmé, že všechny vektory, pro jejichž koeficienty
takovéhoto rozvoje jednak platí
ψ
j1
jm
k1
kn
=ψ
ji1
jim
kl1
kln
,
( 1897 )
kde {i1, … , im}, resp. {l1, … , ln} je libovolnou permutací ísel
{1, … , m}, resp. {1, … , n}, a jednak
3
ψ
jj2
jm
jk2
kn
=0 ,
( 1898 )
j =1
tvo í podprostor ( ≡ ( ) ).
Ozna íme-li jeho ortogonální dopln k symbolem
prostor ( 1893 ) vyjád it ve tvaru
m ,n
(3
m
,3n
)
=
( m ,n )
⊕
( m ,n )
⊥
.
( m ,n )
⊥
, m žeme
( 1899 )
V p ípadech, kdy m⋅n = 0, požadavek ( 1898 ) pochopiteln odpadá.
Koeficienty rozvoje ( 1896 ) tvo í spinory grupy SU(3) s m horními a n
dolními indexy.
Vlastnosti ( 1897 ), resp. ( 1898 ) mohou být pak formulovány
spinorovou terminologií jako výrok, že p íslušné spinory jsou úpln
symetrické ve všech horních indexech a ve všech dolních indexech, resp.
že kontrakce kteréhokoliv z jejich horních index s jakýmkoli indexem
dolním dává nulu.
Nech každá z veli in jl, l = 1, … ,m m že nabývat hodnot 1, 2, 3.
Nech Nk(m) je po et t ch m-tic
{ j1 ,
, jm }
( 1900 )
vyhovující podmínce
j1 ≤ j2 ≤
≤ jm ,
( 1901 )
524
pro které je
jm = k ,
k = 1, 2, 3 .
( 1902 )
Snadno lze dokázat, že
N1 ( m ) = N1 ( m − 1) ,
N 2 ( m ) = N1 ( m − 1) + N 2 ( m − 1) ,
( 1903 )
N 3 ( m ) = N1 ( m − 1) + N 2 ( m − 1) + N 3 ( m − 1) .
Z t chto rekurentních vztah plyne, že celkový po et m-tic vyhovujících
podmínce ( 1901 ) je dán výrazem
N (m) =
( m + 1)( m + 2 )
2
.
( 1904 )
Odtud již není složité odvodit, že prostor
N ( m, n ) =
( m + 1)( n + 1)( m + n + 2 )
2
.
( m ,n )
má dimenzi
( 1905 )
Zopakováním p edchozích úvah také snadno zjistíme, že prostor
redukuje všechny operátory ( 1894 ), tj. že platí
ˆ (3
U
m
,3n
) α = Uˆ ( m,n ) α ⊗ Uˆ ( m ,n ) α .
( )
( ) ⊥ ( )
( m ,n )
( 1906 )
Podstatné je, že reprezentace (≡ D(m,n)) realizovaná operátory
ˆ ( m ,n ) (α ) je již ireducibilní.
U
Takovéto reprezentace jsou výše nazna eným postupem dob e
definovány pro jakékoliv celo íselná nezáporné hodnoty parametr m a
n. P itom pod reprezentací D(0,0) definitoricky rozumíme triviální
ˆ ( 0,0) (α )
jednorozm rnou reprezentaci realizovanou operátory U
zavedenými ve formuli ( 1873 ).
525
Navíc je možno dokázat, že
a) každou kone n rozm rnou ireducibilní reprezentaci grupy SU(3)
lze ztotožnit s n kterou z reprezentací D(m,n),
b) reprezentace D(m,n) a D(m′,n′) jsou ekvivalentní práv tehdy, když
m = m′,
n = n ′,
c) reprezentace D(n,m) je kontragradientní k reprezentaci D(m,n).
Jak jsme již d íve uvedli, ve fyzikální literatu e se v tšinou místo
symbolu D(m,n) užívá zjednodušeného zna enízd raz ujícího dimenzi
této reprezentace.
P itom je vžita konvence
{ N ( m, n )} ≡ D ( m, n )
{ N ( m, n )} ≡ D ( m, n )
pro m ≥ n ,
pro m < n
( 1907 )
a v p ípad nutnosti se k rozlišení dalších nezávislých reprezentací téže
dimenze p íslušné ástice dopl ují ješt árkami, nap .
D ( 2,1) = {15} ,
D ( 4,0 ) = {15′} .
( 1908 )
Ireducibilní reprezentaci D(m,n) lze p i adit kterékoliv Youngovo
polyomino s maximáln t emi ádky, v n mž první ádek má o m bun k
víc než ádek druhý, který zase p esahuje o n bun k ádek t etí, jak je
nazna eno na obrázku 50.
Obr. 50
526
Všechny ireducibilní reprezentace obsažené v reprezentaci
D ( m, n ) ⊗ D ( m′, n′ )
( 1909 )
pak obdržíme podle následujících pravidel:
1) Ozna me písmenem a, resp. b bu ku v 1. resp. v 2. ádku
Youngova polyomina D(m′, n′).
2) K Youngovu polyominu D(m, n) p idáváme bu ky z polyomina
D(m′, n′) ozna ené písmenem a tak, že
i)
v žádném sloupci se nevyskytuje symbol a více než
jednou,
ii) vzniklý obrazec je op t Youngovým polyominem
3) Obdobným zp sobem p emís ujeme bu ky z polyomina D(m′, n′)
ozna ené písmenem b, p i emž musí být navíc spln na podmínka
NM ( a ) ≥ NM (b) ,
i)
kde NM(x) je po et symbol x ve výsledném Youngov polyominu
v prvních M p idaných bu kách, po ítáno zprava doleva a shora dol
(nejprve v prvním ádku, potom ve druhém, atd.)
ii) Vynecháme Youngova polyomina o více jak 3 ádcích.
Tak nap . v p ípad reprezentace
D (1,1) ⊗ D (1,1)
( 1910 )
tímto postupem dostáváme:
⊗
=
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
A tedy
D (1,1) ⊗ D (1,1) = D ( 2, 2 ) ⊕ D ( 3,0 ) ⊕ D ( 0,3) ⊕ D (1,1) ⊕ D (1,1) ⊕ D ( 0,0 )
( 1911 )
527
tj.
{8} ⊗ {8} = {27} ⊕ {10} ⊕ {10} ⊕ {8} ⊕ {8} ⊕ {1} .
( 1912 )
Ponecháme tená i jako jednoduché cvi ení, aby ukázal, že z výše
popsaných pravidel bezprost edn plynou nejen d íve uvedené výsledky
( 1834 ), ( 1874 ), ale nap . i rozklady
{6} ⊗ {3} = {10} ⊕ {8} ,
{8} ⊗ {3} = {15} ⊕ {6} ⊕ {3} .
( 1913 )
( 1914 )
Znalost algoritmu rozkladu dvou ireducibilních reprezentací na
reprezentace ireducibilní samoz ejm umož uje nalézt takovéto
rozklady i pro sou iny více ireducibilních reprezentací. Tak nap .
z p edposlední formule spolu s relacemi ( 1834 ), ( 1874 ) okamžit
obdržíme rozklad
{3} ⊗ {3} ⊗ {3} = ({6} ⊕ {3}) ⊗ {3} = {10} ⊕ {8} ⊕ {8} ⊕ {1} . ( 1915 )
Podobn z formulí ( 1874 ), ( 1914 ) vidíme, že
{3} ⊗ {3} ⊗ {3} = ({8} ⊕ {1}) ⊗ {3} = {15} ⊕ {6} ⊕ {3} ⊕ {3} .( 1916 )
Nep ehlédn me, že v rozkladu sou inu dvou ireducibilních reprezentací
grupy SU(3) se m že n která z jejích ireducibilních reprezentací
vyskytovat i více, než jednou. P ipome me, že díky tomu m že
v p ípad této grupy v odpovídajícím Wigner – Eckartov teorému
vystupovat více redukovaných maticových element .
Skute nost, že nic takového nem že nastat u grupy SU(2) je jist
evidentní každému, kdo ješt nezapomn l pravidla skládání
impulsmoment .
528
Grandunifika ní interakce
Máme-li k dispozici teorii silných interakcí (QCD) a teorii
elektroslabých interakcí (Weinberg v-Salam v model), což jsou
všechno kalibra ní teorie, vzniká p irozen snaha spojit tyto teorie do
jedné ješt obecn jší teorie interakcí. Tato další etapa unitarizace se
ozna uje jako velké sjednocení (GUT - Grand Unification Theory).
Grupa kalibra ní symetrie G v tomto velkém sjednocení musí p itom
obsahovat podgrupy SU(3)color × [SU(2) × U(1)]elektroslab ⊂ G ;
nejjednodušší grupou tohoto druhu je SU(5), testují se však i modely s
kalibra ními grupami SO(10), E6 a další.
Grupa SU(5) unitárních unimodulárních matic (5 × 5) p sobících na
vlnové funkce ástic izopentatu (ozna me si je pro názornost a, b, c, d,
e):
γ 11
γ 21
γ 31
γ 41
γ 51
γ 12
γ 22
γ 32
γ 42
γ 52
γ 13
γ 23
γ 33
γ 43
γ 53
γ 14
γ 24
γ 34
γ 44
γ 54
γ 15 ψ a
γ 25 ψ b
γ 35 ψ c .
γ 45 ψ d
γ 55 ψ e
( 1917 )
ímž dostáváme v teorii celkem 50 volných parametr .
Z požadavku unitarity
†
=1
( 1918 )
dostáváme celkem 25 vazebních podmínek a z požadavku unimodularity
det = 1
( 1919 )
další jednu vazbu.
V teorii tak zbývá 24 volných parametr , které odpovídají ty iadvaceti
polím a jim p íslušejícím boson m.
ty i z t chto polí pat í elektroslabé interakci, osm polí tvo í gluony
kvantové chromodynamiky a zbývajících 12 polí tvo í vektorové bosony
529
X a Y zvané leptokvarky, nebo zp sobují vzájemné p episy lepton na
kvarky a naopak. Bosony X a Y jsou p ed narušením symetrie - stejn
jako všechny ostatní vektorové ástice - nehmotné; leptony se p itom
mohou snadno m nit na kvarky a naopak.
Obr. 51 - Možný rozpad protonu. Kvarky se samovoln p em ují na bosony X a Y, které se
následn rozpadají na leptony e+, π0.
První Higgsovské pole narušuje výchozí symetrii SU(5) na SU(3) ×
SU(2) × U(1) - silné interakce popsané grupou SU(3) se odd lují od
elektroslabých popsaných grupou SU(2) × U(1). X a Y-mezony
získávají velikou hmotnost ( ádov mX,Y ~ 1015 GeV), ímž je p em na
kvark v leptony siln potla ena a proton se stává prakticky stabilní.
Další higgsovské pole pak narušuje symetrii mezi slabými a
elektromagnetickými interakcemi stejn jako ve Weinbergov -Salamov
modelu.
Jednou z hlavních p edpov dí grandunifika ních teorií je nestabilita
protonu, který by se m l rozpadat na miony i pozitrony a na jeden
neutrální i dva nabité piony [p → (µ+ nebo e+) + (πo nebo π++π-)] s
dobou života ádov τp ≈ 1035 rok . Tento rozpad by byl zp soben
p em nou kvarku na lepton prost ednictvím bosonu X a vzhledem k
obrovské hmotnosti bosonu X je jeho pravd podobnost nesmírn malá.
Pozorování rozpadu protonu by však bylo velice d ležité, protože by
rozhodujícím zp sobem ukázalo, že grandunifika ní teorie jde správnou
cestou. Experimenty zatím dávají odhady τp > 1033 let.
Tyto pokusy o pozorování rozpadu protonu se provád jí hluboko pod
zemí (z d vodu odstín ní kosmického zá ení), kde jsou umíst ny velké
nádrže s vodou, opat ené mnoha fotonásobi i, které by mohly
zaregistrovat slabé záblesky zp sobené pr chodem rychlých ástic
530
vzniklých jako produkty rozpadu protonu. Nejdokonalejším za ízením
tohoto druhu je Superkamioka v Japonsku, které sice nezaznamenalo
žádný rozpad protonu, ale bylo velice úsp šné p i detekci a
spektrometrii neutrin.
Obr. 52 – Vyprázdn ná nádrž ob ího neutrinového detektoru Superkamioka, se st nami
pokrytými výkonnými fotonásobi i.
Unitární teorie pole
A.Einstein pevn v il, že p íroda, i když doslova hý í rozmanitostí
nejr zn jších struktur a jev , je velice úsporná na základní principy.
V duchu této své vize pracoval po vytvo ení obecné teorie relativity až
do posledních dní svého života na unitárních teoriích pole. Myšlenka
unitární teorie pole je nesmírn hluboká a krásná: podle ní by m lo
existovat jediné, zcela základní a vše zahrnující fyzikální pole, jehož
531
projevem by pak byla všechna pozorovaná pole v p írod (gravita ní,
elektromagnetické, pole silných a slabých interakcí a p íp. další pole
t ebas v subnukleární fyzice). Ve sv t pak neexistuje nic než toto pole,
z n hož je všechno složeno - i hmotné útvary (nap . ástice) jsou jakési
místní "zhušt niny" tohoto pole.
Dosud jsme pevn stáli na pozici zdroj → pole: existuje zdroj (jenž je v
jistém smyslu "prvotní"), který kolem sebe budí pole a úkolem fyziky je
stanovit zákony, podle nichž zdroj toto pole vytvá í. Zdroj je p itom
n co odlišného od pole, je to jakási "substance" - prvek cizorodý teorii
samotného pole. Podíváme-li se na Maxwellovy rovnice Fik;k = 4π j i
nebo na Einsteinovy rovnice Rik − 1/2 gik R = 8π Tik , vidíme že na levé
stran stojí výraz popisující pole a na pravé stran veli ina popisující
zdroj. Porovnáme-li vzájemn charakter obou veli in, m žeme
konstatovat spolu s Einsteinem, že "fenomenologický" zdroj na pravé
stran (tenzor energie-hybnosti Tik nebo ty proud j i) p sobí ve srovnání
s pregnantním výrazem popisujícím pole na levé stran jako "d ev ná
chatr vedle zlatého paláce". V dokonalé teorii pole by žádný takový
dualismus nem l být, zdroj odlišný od pole by nem l existovat; zdroj by
m l být rovn ž "složen" z pole.
Unitární teorie pole tak klasický problém "Jakým zp sobem zdroj kolem
sebe budí pole?" obrací úpln na hlavu a ptá se: "Jakým zp sobem je to,
co považujeme za zdroj, ze svého pole složeno?". Problém buzení pole,
stejn jako problém interakce dalších ástic s tímto polem, pak již
automaticky odpadá - všechno je pole, které se jistým zp sobem (podle
svých vnit ních zákon ) vyvíjí v prostoru a ase. Pouze p i našem
pozorování se nám n které oblasti pole jeví jako "zdroje" a jiné oblasti
jako vzbuzované nebo p sobící "pole".
Po vytvo ení obecné teorie relativity - což je vlastné geometrizace
gravitace - se A.Einstein tém po 40 let usilovn snažil vytvo it
unitární teorii gravita ního a elektromagnetického pole a završit tak
své impozantní životní dílo. Elektromagnetické pole má totiž mnoho
podobných vlastností jako pole gravita ní, takže se p irozen nabízelo
jako nejvhodn jší "kandidát" pro geometrizaci a tím pro sjednocení s již
geometrizovaným gravita ním polem. A jako nejp irozen jší cesta k
zahrnutí elektromagnetismu do gravitace se jevilo zobec ování
geometrických vlastností Riemannova prostoro asu OTR tak, aby nov
vzniklé geometrické struktury n jak popisovaly elektromagnetické pole.
532
Unitární teorie gravita ního-elektromagnetického pole, vytvá ené ve
20.letech Einsteinem a dalšími fyziky nevedly ke kýženému výsledku a
proto o nich u iníme jen zcela stru nou zmínku. Tyto teorie lze rozd lit
zhruba dvou skupin :
a) Zobec ování geometrických vlastností ty rozm rného
prostoro asu
První pokus v tomto sm ru p ísluší H. Weylovi, který v letech 1917-19
zobecnil Riemannovu geometrii v tom smyslu, že p i paralelním p enosu
vektoru kolem uzav ené k ivky se m že zm nit nejen sm r, ale i velikost
vektoru. V této Weylov (konformní) geometrii se grupa obecné
kovariance (používaná v OTR) rozši uje o kalibra ní transformace
metriky gik
gik′ = λ ( x ) ⋅ gik ,
( 1920 )
p i nichž se délky všech vektor v daném bod násobí stejným
libovolným koeficientem λ, který se m že m nit od bodu k bodu. Délka
vektoru l se pak p i nekone n malém paralelním p enosu m ní podle
zákona
δ l = −l ⋅ ϕi dxi .
( 1921 )
Krom fundamentální kvadratické formy ds 2 = gik dx i dx k tedy ve
Weylov geometrii vzniká další lineární diferenciální forma dϕ = ϕi dx i
popisující neintegrabilitu délky vektor . Veli iny ϕ i jsou p itom
komponentami ty vektoru a p i kalibra ních transformacích ( 1839 ) se
transformují podle zákona
ϕi′ = ϕi −
∂
i
ln
λ
x
(
).
∂x i
( 1922 )
Takto vzniklý ty vektor Weyl interpretoval jako elektromagnetický
ty potenciál a ty rozm rnou rotaci Fik = ϕ k;i - ϕ i;k tohoto pole, která je
533
kalibra n invariantní, jako tenzor elektromagnetického pole.
Rovnice elektromagnetického i gravita ního pole by pak m ly vzniknout
z jediného varia ního principu, invariantního jak vzhledem k obecným
transformacím sou adnic, tak v i kalibra ním transformacím ( 1839 ).
To vedlo ke kvadratickému lagrangiánu a tím k diferenciálním rovnicím
4. ádu.
Další zp sob zobecn ní axiomatiky Riemannovy geometrie pro ú ely
unitarizace navrhl a v letech 1946-53 propracoval A. Einstein.
Zobecn ní spo ívá v tom, že místo symetrického tenzoru gik se v
základní form gikdxidxk p ipouští nesymetrický metrický tenzor gik a
rovn ž nesymetrické koeficienty afinní konexe Γikl. Práv
antisymetrickou ást metriky se Einstein pokoušel interpretovat jako
elektromagnetické pole, zatímco symetrická ást popisovala gravitaci
podobn jako v OTR.
b) P tirozm rné unitární teorie
Theodor Franz Eduard Kaluza (1885 – 1954)
Oscar Benjamin Klein (1894 – 1977)
Zcela jiný p ístup k problému sjednocení gravita ního a
elektromagnetického pole vypracovali v letech 1921 – 1925 T. Kaluza
a O. Klein, kte í pro obecný popis fyzikální reality navrhli používat
5-rozm rnou varietu (v níž prostoro as OTR je ur itým 4-rozm rným
podprostorem) v nad ji, že pátý rozm r by mohl vyjad ovat
elektromagnetické pole. Kaluza a Klein se z ejm inspirovali zp sobem,
jakým Minkowski sjednotil v trojrozm rnu odd lené elektrické a
magnetické pole p echodem ke ty rozm rnému prostoro asu.
534
Fyzikální prostoro as pozorujeme jako ty rozm rný, takže
"p ebyte ného" pátého rozm ru (který nemá p ímý geometrický
význam) je t eba se zbavit položením vhodné podmínky na
p tirozm rnou geometrii. Kaluza p vodn zavedl pom rn um lý
požadavek "cylindri nosti", podle n hož v p tirozm rné variet m la
existovat jednorozm rná grupa izometrických transformací; vzniká tak
Killingovo vektorové pole což vede k tomu, že 5-rozm rná geometrická
struktura m že být pln popsána geometrií ty rozm rné hyperplochy.
Pozd ji Einstein, Bergmann a Bargmann navrhli jinou geometrickou
podmínku: uzav enost (kompaktnost) p tirozm rné variety v pátém
rozm ru. P tirozm rná varieta by pak m la topologickou strukturu
M4 × S1, kde M4 je Minkowskiho prostoro as a S1 je kružnice, tj. varieta
by m la tvar tenké trubice. Pokud je polom r této trubice (polom r
kompaktifikace) dostate n malý (subatomových rozm r ), nem že se
žádný makroskopický objekt v pátém rozm ru pohybovat a prostoro as
se efektivn jeví jako ty rozm rný.
Integrál akce obecné teorie relativity v p tirozm rném prostoru se
uvažuje ve tvaru
S5 = −
1
16π G5
g ( ) R( ) d 5 x
5
5
( 1923 )
kde gAB je p tirozm rná metrika, g(5) = det(gAB) a R(5) = gAB⋅RAB je
skalární k ivost p tirozm rného prostoru. Metrika p tirozm rného
prostoru se volí ve tvaru
g AB = ϕ −1 3 ⋅
gik + Ai Akϕ
Akϕ
Aiϕ
ϕ
,
A, B = 0,1, 2,3, 4,5 ,
i, k = 0,1, 2,3
( 1924 )
kde gik je obvyklý metrický tenzor 4-rozm rného prostoro asu, 5. složka
g5k je ztotožn na (až na skalární faktor ϕ) se ty potenciálem
elektromagnetického pole. Za p edpokladu, že metrika gAB nezávisí na
sou adnici x5, dosazením metriky ( 1924 ) do akce ( 1923 ) po integraci
podle x5 dostaneme
535
1
S =−
16π G
R
( 4)
1
1 ϕ, iϕ
+ ϕ Fik F ik +
4
6 2
,i
g( ) d 4x
4
( 1925 )
Pomineme-li skalární pole ϕ, je integrál akce v Kaluzov -Kleinov teorii
roven sou tu Einsteinova gravita ního lenu a U(1)-kalibra ního lenu
daného tenzorem
Fik = Ai ;k − Ak ;i ,
( 1926 )
který lze interpretovat jako Maxwellovo elektromagnetické pole. P itom
kalibra ní transformace
Ai → Ai + ∂λ/∂xi Ai → Ai +
∂λ
∂x i
( 1927 )
je generována speciální transformací sou adnic v 5-rozm rném prostoru:
x′i = x i , x′5 = x 5 + λ ( x i ) .
( 1928 )
V teorii je bez újmy na obecnosti zvolena taková parametrizace metriky
gAB a ozna ení veli in, aby se získaly Einsteinovy a Maxwellovy rovnice
v obvyklém tvaru. Pátá prom nná pole – skalární veli ina ϕ – je v
Kaluzov -Kleinov teorii p ebyte ná a Kaluza ji vylou il tím, že ji
prost položil rovnou jedné. Pozd ji byly in ny pokusy pochopit
význam tohoto skalárního pole a dát mu kosmologický význam; Brans a
Dicke dali toto pole do souvislosti se skalárním polem dalekého dosahu
ve své tzv. skalárn -tenzorové teorii gravitace.
Einstein a Bergman chovali ur itou dobu nad ji, že periodi nost polí
vzhledem k páté zkompaktifikované sou adnici (podél níž by se pole
mohla m nit s periodou rovnou délce kružnice kompaktifikace) by
mohla vysv tlit kvantové jevy a umožnila vytvo it klasické modely
elementárních ástic. Tato podobnost s Bohrovým-Broglieovým
kvantováním se však ukázala jen jako povrchní a p íslušné nad je se
neuskute nily.
536
Jedna z námitek proti Kaluzov -Kleinov teorii spo ívá v tom, že tato
teorie není vlastn v pravém slova smyslu jednotná: gravitace a
elektromagnetismus jsou zde od sebe odd leny invariantním zp sobem jako "olej a voda".
Kaluzova-Kleinova teorie nevedla ke kýženým výsledk m a na dlouhou
dobu upadla prakticky v zapomn ní. V posledních letech však
neo ekávan nastala ur itá "renesance" Kaluzovy-Kleinovy koncepce v
souvislosti se snahami o geometrickou formulaci supergravita ních
teorií. Jedná se o zobecn né Kaluzovy-Kleinovy teorie budované v
superprostorech, kde se zavád jí navíc další rozm ry spinorového
charakteru vyjad ující vnit ní vlastnosti interakcí; ukazuje se, že nap .
11-rozm rná Kaluzova-Kleinova teorie by mohla sjednocovat všechny
známé interakce ástic. Kaluzovy-Kleinovy teorie dále poskytují
zajímavé možnosti model vesmíru o vyšším po tu rozm r .
c) Supersjednocení a supergravitace
Názory na úlohu gravitace ve struktu e elementárních ástic se velice
r zní; rozprostírají se mezi dv ma krajními polohami:
a) Gravitace nemá žádný vliv na strukturu a interakce elementárních
ástic. Tento krajní názor vychází z faktu, že gravita ní interakce
mezi elementárními ásticemi je za všech známých okolností daleko
slabší než ostatní druhy interakcí: nap . pro dva protony nacházející
se v jád e ve vzdálenosti ~10-13 cm jsou gravita ní síly zhruba ~1040krát slabší než elektrické síly a ~1042-krát slabší než silné interakce.
b) Druhý krajní názor zastával A.Einstein a jeho následovníci (nap .
J.A.Wheeler): gravitace jakožto fyzika prostoro asu hraje ur ující roli
ve struktu e elementárních ástic, je jejich nejvlastn jší podstatou.
Podle této koncepce je nutno hledat taková zobecn ní geometrických
vlastností prostoro asu, jejichž p irozenými d sledky by byly vývody
kvantové teorie pole o vlastnostech elementárních ástic.
Pokud lze univerzálnost gravitace extrapolovat až do mikrom ítek
elementárních (subnukleárních) ástic, platila by zcela ur it aspo
první ást druhého krajního názoru b). Lokální hustoty hmoty a energie
537
zde totiž dosahují takových hodnot, že gravita ní interakce by se stala
silnou. Stále sílí názor, že v sou asné dob již nelze od sebe odtrhovat
fyziku elementárních ástic a fyziku gravitace; zdá se dokonce, že bez
zahrnutí gravitace nem že být vytvo ena konzistentní a jednotná teorie
ástic tvo ících hmotu.
Je proto p irozená snaha završit unitarizaci interakcí v kvantové teorii
pole zahrnutím gravita ní interakce, jejím sjednocením s ostatními t emi
druhy interakcí. Tento ambiciózní unitariza ní program se ozna uje jako
supersjednocení nebo supergravitace.
Sjednotit gravitaci s ostatními druhy interakcí v duchu výše zmín ného
schématu unitarizace kalibra ních teorií znamená slou it vnit ní
symetrie s geometrickými, tj. najít spole nou grupu zahrnující jak grupu
transformací prostoro asu (nap . Poincaréovu grupu) charakterizující
gravitaci v OTR, tak i grupy vnit ních (nikoliv prostoro asových)
symetrií slabých, silných a elektromagnetických interakcí. Ukázalo se,
že provést takové sjednocení (netriviálním zp sobem, tj. ne jako pouhý
direktní sou in) nelze v rámci Lieových grup, ale bylo nutné použít nové
algebraické struktury - zobecn né grupy nazývané asto Lieovy
superalgebry nebo graduované Lieovy algebry. Ve zobecn ných grupách
jsou p íslušné algebry ur eny jak komuta ními, tak i antikomuta ními
relacemi mezi jednotlivými generátory. Ty Lieovy superalgebry, které
obsahují jako svoji podalgebru grupu prostoro asových transformací
(nap . Poincaréovu grupu), se ozna ují jako supersymetrické.
Algebra supersymetrie se konstruuje tak, aby obsahovala vedle
oby ejných generátor Poincaréovy grupy (prostoro asových posuv Pk
a rotací Mkj) také spinorové generátory Qi s vhodnými komuta ními
relacemi. Pokud se taková algebra realizuje v prostoru polí, transformují
generátory Qi tenzorová pole na spinorová a naopak. Protože v kvantové
teorii tenzorová pole popisují bosony s celo íselným spinem ( ídící se
Bose-Einsteinovou statistikou) a spinorová pole popisují fermiony s
polo íselným spinem (statistika Fermi-Diracova), operátory Qi vlastn
generují transformace p evád jící fermiony na bosony a naopak.
V supergravitaci je tak odstran na ostrá hranice kladená mezi fermiony a
bosony v dosavadní fyzice. Další charakteristickou vlastností
supergravitace je to, že vedle gravita ního pole, které je kalibra ním
polem v i lokálním transformacím prostoro asu, obsahuje ješt
spinorové pole - kalibra ní pole vzhledem k lokálním supersymetrickým
538
transformacím generovaným Qi; takové pole se ozna uje jako RaritovoSchwingerovo a jeho kvantum se nazývá gravitino (m že mít spin 3/2,
pop . 5/2).
V supersymetrických unitárních teoriích elementárních ástic je ke
každé ástici p i azen její tzv. superpartner - každý boson má svého
fermionového superpartnera a fermion má naopak sv j bosonový
prot jšek. Nej ast ji diskutované supersymetrické ástice jsou zmín ná
gravitina a dále též fotina - slab interagující hmotné ástice se spinem
1/2, zavád né jako supersymetrický partner fotonu. N kdy se diskutují i
supersymetrické ástice k fermion m: sleptony jako superpatne i k
lepton m, nap . selektron, smion, sneutrino (zvané též neutralino m lo by mít vysokou hmotnost desítky GeV), i kvark m – skvark.
Nejjednodušší supergravita ní teorie - tzv. prostá supergravitace
vytvo ená v r. 1976, byla spíše modelovým experimentem, protože
obsahuje minimální množství polí; nezahrnuje ani kvarky a leptony.
Fyzikáln realisti t jší varianty supergravita ních teorií se snaží rozší it
po et spinorových generátor a zavést též generátory vnit ních symetrií.
Vzniká tak rozší ená supergravitace, která obsahuje 4N spinorových
generátor Qαi (α = 1,2,...,N) nesoucích index vnit ní symetrie α.
Omezíme-li se p itom na ástice (pole) se spinem nep esahujícím
hodnotu 2, v prostoro ase dimenze d = 4 jsou možné N-rozší ené
supergravita ní teorie s N = 1,2,...,8. Nejjednodušší rozší enou
supergravita ní teorií je N = 2-supergravitace sjednocující Maxwellovu a
Einsteinovu teorii; k foton m a graviton m jsou zde p i azena dv
gravitina. Maximáln rozší ená N = 8-supergravitace obsahuje: jedno
gravita ní pole (graviton), 8 polí Raritových-Schwingerových (gravitin),
28 vektorových polí (boson ) se spinem 1, 56 spinorových polí
(fermion ) se spinem 1/2 a 70 skalárních polí. Multiplety rozší ených
supergravita ních teorií mají tedy mnohem bohatší strukturu než v
prosté supergravitaci. Avšak p esto, že obsahují nadm rný po et polí,
neobsahují pole n kterých známých ástic, nap . µ-mezonu.
Z unitariza ního schématu 3 vidíme dv na první pohled diametráln
odlišné cesty: Einsteinovu geometrickou cestu kon ící Wheelerovou
geometrodynamikou a cestu kvantových kalibra ních teorií pole vedoucí
k supergravitaci, která nemá s geometrickým charakterem nic
spole ného.
539
Schéma 3
Pád t les
Pohyb planet
Newton v gravita ní zákon
Einsteinova OTR
Elekt ina
Magnetismus
Maxwellova elektrodynamika
Sv tlo
Zá ení erného t lesa
fotoefekt
Unitární teorie pole
Kvantová teorie pole
Kvantová mechanika
Kvantová geometrodynamika
Unitární teorie pole
Kvantová elektrodynamika
Kvantová flavourdynamika
Kvantová chromodynamika
EW sjednocení
SUSY
GUT sjednocení
Protože Einsteinovo pojetí gravitace jako geometrické struktury
prostoro asu vychází z velmi hlubokých a názorných princip , naskytá
se p irozen otázka, zda geometrickými prost edky nelze konstruovat i
supergravita ní teorie. Fyzikáln by to znamenalo, že "náboje" v
supergravita ních teoriích by m ly mít sv j p vod v geometrické
struktu e zobecn ného prostoro asu, podobn jako gravita ní "náboj" v
OTR má p vod v k ivosti prostoro asu.
Zajímavou variantou vícedimenzionální unitární teorie, která se objevila
v posledních desetiletích, je teorie tzv. superstrun. V této teorii se
ástice a kvanta polí interpretují jako vzbuzené stavy kmit
(jednorozm rné) relativistické struny ve vícerozm rném prostoru
(nej ast ji d = 10). Tyto superstruny s charakteristickou délkou ádu
Planckovy délky ≈10-33 cm mohou být jak otev ené (s volnými konci),
tak uzav ené, p i emž interakce superstrun spo ívá bu ve spojení
konc dvou strun (vznikne struna t etí), nebo v roztržení jedné struny na
dv ásti. Za hlavní výhodu teorie superstrun se považují její lepší
renormaliza ní vlastnosti - nevyskytují se zde "ultrafialové" divegence.
O teorii superstrun je stru n pojednáno níže v samostatné pasáži.
540
Skute n se ukázalo, že supergravitace m že být formulována jako
geometrická teorie v superprostoru (superprostor vzniklý rozší ením
Minkowského prostoro asu je obecn zak ivený a má navíc další
rozm ry spinorového charakteru) s použitím aparátu diferenciální
geometrie zobecn ného na situaci, kdy n které ze sou adnic
antikomutují. Jedná se tedy o prostor s torzí, p i emž se ukázalo, že
všechny komponenty k ivosti mohou být vyjád eny pomocí torze a
jejích kovariantních derivací. Torze se tak stává fundamentálním
geometrickým objektem v supergravitaci.
Nejnov jší pokusy o geometrickou formulaci supergravitace tak
vedou k ur ité "renezanci" Kaluzovy-Kleinovy teorie: konstruují se
teorie v mnoharozm rném (d > 4) "prostoro ase", které by za pomoci
spontánní kompaktifikace mohly dát realistickou teorii v prostoro ase
efektivní dimenze d = 4. Mechanismus spontánní kompaktifikace
spo ívá v tom, že se hledá speciální vakuové ešení zobecn ných
Einsteinových rovnic v d-rozm rném prostoro ase, odpovídající
reprezentaci d-rozm rné variety ve tvaru
d
=
4
× Bd-4 ,
( 1929 )
kde 4 je ty rozm rný prostoro as (v tšinou se uvažuje
Minkowského) a Bd-4 je kompaktní "vnit ní" prostor.
Byly studovány zobecn né Kaluzovy-Kleinovy unitární teorie pro r zné
dimenze d > 4. Aby taková teorie byla úplná a realistická, tj. aby
sjednocovala všechny známé interakce ástic, musí obsahovat
fenomenologickou grupu vnit ní symetrie SU(3)×SU(2)×U(1). Jak
nedávno ukázal Witten, aby "vnit ní" prostor Bn m l SU(3)×SU(2)×U(1)
- grupu izometrií, musí být jeho minimální dimenze rovna n = 7 tj.
dimenze výchozí variety Kaluzovy-Kleinovy teorie musí být d = 11, což
se shoduje s výsledkem pro maximální (N = 8)-supergravitaci v (d = 4)prostoro ase.
V nejran jších etapách vývoje vesmíru p i vysokých teplotách, kdy ješt
nenastala spontánní kompaktifikace, prostoro as mohl mít všech svých
11 rozm r . Spontánní kompaktifikace, která potom nastala, mohla vést
v principu ke všem možným vakuovým ešením, takže se mohly vytvo it
"ostrovy", v nichž prostoro as m že mít r znou topologii, po et rozm r
541
i signaturu metriky. Nejran jší vesmír by tak mohl být jakýmsi "oknem"
do vyšších dimenzí zobecn né Kaluzovy-Kleinovy unitární teorie.
Pro ov ení správnosti cesty nastoupené supergravitací by bylo
podstatné, kdyby se poda ilo experimentálné prokázat existenci gravitin,
která jsou pro supergravita ní teorie charakteristická.
Superalgebry a supersymetrie
Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877)
Nejprve si ekn me ješt n co o oby ejných algebrách, nap íklad
o algeb e Poincaré. Jde o Lieovu algebru, generující isometrie
asoprostoru v etn posunutí. Za její basi lze tedy vybrat J µν , tedy
generátory Lorentzovy grupy (resp. oto ení) a pν , generátory posun
(zna ení se kryje s ozna ením momentu hybnosti a hybnosti, a snad již
mnozí z vás poznali, že to není náhoda).
Komuta ní relace budou
pµ , pµ = 0 ,
p µ , Jαβ = i ( g µβ pα − g µν p β ) ,
( 1930 )
J µν , Jαβ = −i ( gνα J µβ − g µα Jνβ + g µβ Jνα − gνβ J µα ) ,
kde g µν je metrický tenzor. Jacobiho identitu m žete zkontrolovat
p ímým výpo tem.
Krom oby ejných algeber se dnes hodn mluví i o graduovaných
algebrách neboli superalgebrách. Ty lze psát jako lineární obal prvk ,
542
kterými již nebudou pouze operátory, které jsou zvyklé s v tšinou
ostatních komutovat, nýbrž také grassmannské operátory, které spolu
typicky navzájem antikomutují ab = -ba (ovšem s negrassmannskými
typicky komutují) a u nichž je tedy lepší hovo it o antikomutátoru
{a, b} = ab + ba . Jednotným jazykem, superkomutátor neboli
graduovaný komutátor dvou operátor
[ a, b]grad
je antikomutátorem,
pokud jsou oba grassmannské, jinak je komutátorem.
Chceme-li transformovat objekty prvkem grupy g blízkým
jednotkovému, napíšeme tento jako g = 1 + d ζ i si , kde d ζ i jsou
infinitesimální parametry a s báze generátoru. Pokud jsou si
grassmannské, musí být grassmannské i d ζ i ; p edstavme si pod nimi
grassmannské “ íselné” parametry, nap . grassmannské operátory, které
komutují se všemi negrassmannskými a antikomutují se všemi
grassmannskými.
Jestliže fyzika pracovala do šedesátých nebo sedmdesátých let jen
s algebrami, p sobením jejichž transformací mohly p echázet elektrony
do neutrin, ervené kvarky do modrých anebo se systémy mohly otá et
nebo posouvat, v posledních dvaceti letech promýšlejí teoretici i tzv.
supersymetrie, pomocí nichž lze transformovat bosony na fermiony a
naopak. Uvedeme jako p íklad supersymetrii na sv telném kuželi
v desetirozm rném asoprostoru, která proti algeb e Poincaré obsahuje
navíc i grassmannské operátory Q a a Q a . Pohle me tedy zb žn na
n které superkomutátory algebry super-Poincaré:
{Q , Q } = 2p + δ
a
b
ab
,
{Q , Q } = 2p − δ ,
{Q , Q } = 2 p ,
a
b
a
b
J i− , Q a =
ab
i
ab
i
2
i
aa
i
( 1931 )
Qa .
(Indexy a resp. a jsou osmizna né spinorové indexy grupy SO(8), γ jsou
Diracovy matice, indexy ± odpovídají kalibraci na sv telném kuželi
543
1 0
v ± v g ) atd.) Všimn te si, že antikomutátor dvou
(
2
supersymetrií je úm rný posunu. To všechno má názorné vysv tlení,
rozší íme-li pojem prostoru na superprostor , který krom komutujících
sou adnic navíc obsahuje i antikomutující, protože v n m je
supersymetrie geometrickou operací.
Supersymetrie zajiš uje teoriím zajímavé vlastnosti: její za len ní do
teorie strun odstraní z této teorie tachyony ( ástice pohybující se
nadsv telnou rychlostí), jelikož nap . {Qi , Qi } = 2p − tj. p − = Qi Qi ,
v± =
operátor Qi je hermitovský a st ední hodnota p − ve stavu ψ je tedy
nezáporná, pon vadž jde o tverec normy ψ Qi Qi ψ vektoru Qi ψ .
Navíc implikuje stejný po et fermionových a bosonových stav na
každé hladin ; každý fermion má svého bosonového partnera a naopak
(fotino, gluino, gravitino, selektron, skvark, …). Supersymetrie
zaru uje v mnoha p ípadech vymizení kosmologické konstanty (hustoty
vakua) a záhadou naopak z stává, pro je kosmologická konstanta podle
pozorování p inejmenším o 120 ád menší než o ekávané náhodné
p ísp vky od r zných polí i v našem sv t , který supersymetrický není
nebo kde je supersymetrie narušena. A za zmínku stojí i fakt, že
supersymetrie klade omezující podmínky na dimenzi asoprostoru.
Již jen poznamenejme, že podobn , jako obecná teorie relativity
požaduje, aby se parametry Lorentzovy transformace mohly m nit od
bodu k bodu, lze tuto lokálnost požadovat od supersymetrie a získáme
tak r zné teorie supergravitace.
Ob í vy atá grupa
Cílem této sekce je ukázat explicitní konstrukci ob í grupy (resp.
odpovídající algebry) E8 provedenou Michaelem B.Greenem, Johnem
H.Schwarzem a Edwardem Wittenem. Pro jí íkáme ob í? Protože má
ze všech prostých vy atých grup nejv tší dimenzi (248) a navíc
(chápeme-li míru symetrie jako pom r dimenze a kvadrátu ranku, aby se
klasické grupy SO(n) asymptoticky touto veli inou blížily konstant ),
dosahuje rekordní hodnoty 31/8.
544
Obr. 53: Superalgebra E8
Konstrukci za neme podalgebrou SO(16), kterou generuje 16⋅15/2=120
operátor J ij = − J ji , spl ujících obvyklé komuta ní relace
J ij , J kl = J ilδ jk − J jlδ ik − J ik δ jl + J jk δ il
( 1932 )
a p idáme k nim 128 generátor Qα (celková dimenze tedy bude
120+128=248), které se transformují jako spinory SO(16) dané
( ekn me kladné) chirality, ímž míníme, že
J ij , Qα = Q β (σ ij )
βα
.
( 1933 )
K dokon ení specifikace algebry musíme dodefinovat zbývající
komutátor Qα , Q β (je to komutátor a ne antikomutátor, protože
usilujeme o definici algebry a nikoli superalgebry). Teorie grupy
SO(16) však tento komutátor až na normalisaci ur uje jednozna n ;
545
Qα , Q β = (σ ij )
βα
J ij .
( 1934 )
Kladný faktor κ , kterým by nám teorie SO(16) dovolila násobit pravou
stranu, lze absorbovat do κ -násobného p eškálování Qα , jejichž
normalizaci totiž žádná z p edchozích formulí neomezovala. I záporné
κ by vedlo k izomorfní algeb e; jeho efekt by byl podobný užití spinoru
druhé (zrcadlové) chirality. Jestliže tedy Lieova algebra E8 s rozkladem
p idružené reprezentace
{248} = {120} ⊕ {128}
( 1935 )
v i její maximální podgrup Spin(16) existuje, na jejích komuta ních
relacích daných prvými t emi vysazenými rovnicemi není co štelovat.
K utvrzení se, že formule opravdu definují Lieovu algebru, je t eba
ov it Jacobiho identitu. (Už její spln ní nám garantuje existenci matic,
které spl ují tytéž relace jako abstraktní operátory Jij a Qα , tj. existenci
reprezentace.) Z cvi ných d vod doporu ujeme explicitní kontrolu JJJ
identity, která pouze vyjad uje, že Jij formují Lieovu algebru, JJQ
identity, která zase potvrzuje, že se Qα opravdu transformují jako
reprezentace SO(16). Ani JQQ identita neklade zvláštní požadavky a její
platnost je podložena zvlášt tím, že σij matice spl ují touž algebru jako
Jij. Opravdu zásadním p ípadem volající po kontrole je identita
Qα , Qβ , Qγ +
Qβ , Qγ , Qα +
Qγ , Qα , Qβ = 0 .
( 1936 )
Rozepsání vede k požadavku
(σ ) (σ )
∀ α , β , γ ,δ :
ij
ij αβ
ij γδ
+ (σ ij )
βγ
(σ )
ij αδ
+ (σ ij )
γα
(σ )
ij βδ
=0
( 1937 )
který máme dokázat pro p ípad, že α, β, γ jsou indexy jedné chirality.
Všimneme si, že produkt dvou spinor m že být rozepsán na kombinaci
úplného systému gamma-matic γ i1 in pro n = 0 … 16, ili nulovost
546
(
poslední formule je ekvivalentní nulovosti jejího zúžení s γ k1
kn
)
αβ
pro
všechna n a k1 … kn . Díky shodné chiralit index α, β se staráme jen
o sudá n a antisymetrie dokazované formule v α, β nám dává možnost
omezit se na p ípad antisymetrických γ k1 kn , což díky elementárním
vlastnostem gamma-matic znamená n = 2, 6, 10, 14. Ve skute nosti nám
vztah
γi
1
ik
=
εi
1
i16
γi
k +1
i16
γ
( 1938 )
(16 − k )!
a fakt, že operátor chirality γ lze vynechat, ú inkuje-li na spinory kladné
chirality, zmenší práci na polovinu. Že nám sta í prohlédnout jen n = 2 a
n = 6 lze spat it už na shodnosti po tu nezávislých len
v antisymetrické kombinaci Qα a Qβ (nalevo)
128 ⋅ 127 16 ⋅ 15 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11
=
+
2 ⋅1
2 ⋅1
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
a sou tu po t nezávislých komponent γ i1
Zúžení se (σ kl )αβ = − (σ kl )αβ dá
− ( Tr+σ klσ ij ) ⋅ (σ ij ) + 2 (σ ijσ klσ ij ) ,
γδ
γδ
( 1939 )
in
pro n = 2 a n = 6.
( 1940 )
což se užitím Diracových identit anuluje; prvý resp. druhý len se
rovnají ±64 (σ kl )γδ . Faktor 64 u druhého lenu vzejde z inventury
kladných a záporných p ísp vk (znaménko podle parity po tu prvk
1
13
pr niku množin index {i, j} a {k , l} ) 2 ⋅ + 14 ⋅ − 14 ⋅ 2 . Kontrakcí
2
2
s γ i1 i6
dostaneme (první len te již nep isp je)
(
(
2 σ ij γ i1
)
αβ
i6
σ ij ) ,
γδ
( 1941 )
547
což op t vymizí: klí ovou je zde rovnost 45⋅1+1⋅15-10⋅6 = 0 p i bilanci
p ísp vk ±γ i1 i6 .
P idání spinoru k p idružené reprezentaci grupy SO(N) vede k nové
Lieov algeb e jen ve t ech p ípadech: krom N = 16, což p ináší E8 , se
dá v úplné analogii sestrojit 52-rozm rná vy atá grupa F4 p idáním
16-rozm rného spinoru k 36-rozm rné p idružené reprezentaci SO(9).
Podobnost je opravdu velkolepá; v 16-rozm rné spinorové reprezentaci
SO(9) lze vzít za úplný soubor matic matice γ i1 in pro n = 0,2,4,6,8 a
antisymetrie nám dovolí omezit se op t na n = 2 a n = 6. Vzorce
z stanou, jen ísla se obm ní; ±8 místo ±64 , osmi ku v druhém lenu
1
6
dostaneme jako 2 ⋅ + 7 ⋅ − 7 ⋅ 2 a místo 45 + 15 – 60 bude krácení u
2
2
2
2
n = 6 vypadat 3 ⋅ + 6 ⋅ − 3 ⋅ 6 .
2
2
T etí možností je p idání osmirozm rného spinoru k p idružené
reprezentaci SO(8), ímž získáme grupu SO(9) zp sobem, který se liší
SO(8) rotací triality od standardn jší a jednodušší konstrukce - totiž
p idání 8-vektoru J i = J i 9 k p idružené reprezentaci SO(8).
Nyní bychom rádi popsali n které podgrupy E8 . Jednu maximální
podgrupu - SO(16) - jsme již uvedli. Ta obsahuje maximální podgrupu
SO(10) × SO(6), v i níž se její p idružená reprezentace rozpadá na
p idružené reprezentace složek a na produkt vektor
{120} = ({45} ⊗ {1}) ⊕ ({1} ⊗ {15}) ⊕ ({10} ⊗ {6}) .
( 1942 )
Jak se v i této podgrup transformuje spinor SO(16) ? Šestnáct γ-matic
1 16 , pomocí nichž definujeme tvar operátor ve spinorové
reprezentaci, se rozpadne na prvních deset
1
10
, které m žeme
považovat za matice SO(10), a posledních šest 11 16 , které zam stnáme
jako matice SO(6). Spinor SO(16) je tedy alespo v prvním p iblížení
sou inem spinor SO(10) a SO(6). Operátor chirality SO(16)
548
=
1 2
( 1943 )
16
je zjevn sou inem operátoru chirality SO(10)
(10 )
=
1 2
( 1944 )
10
a podobného u SO(6)
( 6)
=
11 12
16
,
( 1945 )
tedy
=
(10 ) ( 6 )
.
( 1946 )
Tedy spinor Qα pozitivní chirality grupy SO(16), který p i konstrukci E8
p idáváme k Jij , se rozpadá na dva kusy s vlastními ísly
(10 )
=
( 6)
= +1
( 1947 )
=
( 6)
= −1 .
( 1948 )
resp.
(10 )
Ozna íme-li spinory pozitivní i negativní chirality grupy SO(10) resp.
SO(6) jako {16} i 16 resp. {4} i {4} (dimenze spinorových
{ }
reprezentací jsme již diskutovali), máme rozklad {128} grupy SO(16)
{128} = ({16} ⊗ {4}) ⊕ ({16} ⊗ {4})
( 1949 )
který ve spojení s rozkladem p idružené reprezentace výše, udává
zp sob transformace fundamentální reprezentace E8 (u této grupy je to
tatáž co p idružená) v i této podgrup .
549
Nyní máme tu milou povinnost p edstavit vám grupu E6 jako podgrupu
E8 . Jako p edehru si uv domme, že ve {4} grupy SO(6) jsou generátory
hermitovskými 4 × 4 maticemi, jejichž bezstopost zabezpe uje prostota
grupy SO(6); jsou tedy SO(4) generátory - neboli SO(6) je podalgebrou
SO(4). Post ehnutím shodné dimenze 15 u obou dojdeme k p esv d ení,
že nem že jít o vlastní podalgebru: musí jít o izomorfní algebry. Tato
cesta nás sou asn pou ila, že fundamentální {4} a {4} grupy SO(4) se
chovají v SO(6) jako spinory kladné resp. záporné chirality. Naopak,
fundamentální (vektorová) reprezentace {6} grupy SO(6) je
antisymetrickým tenzorem druhého ranku grupy SO(4), který má
3
dimenzi 4 ⋅ ⋅ 1 = 6 , jak má být. Je jedno, zda bereme {4} ∧ {4} nebo
2
{4} ∧ {4} ; tyto reprezentace jsou ekvivalentní, jelikož je lze p epo ítávat
δ
vγ
pomocí antisymetrického tenzoru Levi-Civitty vαβ = ε αβγδ
.
2
A tak mluvme místo o podalgeb e SO(10) × SO(6) o SO(10) × SU(4).
Dále, SU(4) má o ividnou podgrupu SU(3) × U(1). Zna íme-li horními
3
−1
indexy U(1) náboje, rozkládá se nám {4} grupy SU(4) na {1} ⊕ {3} ,
{6} grupy SU(4) - práv ztotožn ný s antisymetrickým sou inem dvou
{4}, se transformuje jako {3} ⊕ { 3} a p idružená reprezentace SU(4),
2
−2
{4} ⊗ {4} − {1} (-{1} zna í odstran ný singlet - stopu) se
0
−4
−4
0
pod SU(3) × U(1) transformuje jako {8} ⊕ {3} ⊕ {3} ⊕ {1} , kde {8}
což je vlastn
znamená p idruženou SU(3). Kombinací všech fakt docházíme
k vytouženému rozkladu p idružené reprezentace E8 v i podgrup
SO(10) × SU(4) × U(1):
550
{248} = ({45} ⊗ {1})
⊕
⊕
(({16} ⊗ {3})
⊕ ({1} ⊗ {1} ) ⊕ ({16} ⊗ {1} ) ⊕ 16 ⊗ {1}
−1
⊕ ({10} ⊗ {3} ) ⊕ ({1} ⊗ {3} )
0
3
2
({ } { } ) (
1
16 ⊗ 3
({ }
0
⊕ {10} ⊗ { 3}
)
−2
(
⊕ {1} ⊗ { 3}
−4
)
4
)⊕
)
−3
⊕
⊕ ({1} ⊗ {8} ) .
0
( 1950 )
Zvláštní pozornosti zaslouží 78 generátor , které jsou SU(3) singlety.
Neb komutátor dvou SU(3) singlet musí být op t SU(3) singlet, lze
usoudit, že t chto 78 generátor tvo í uzav enou podalgebru (t ch
generátor , které s onou SU(3) komutují, n kdy zvanou centralizátor
grupy SU(3)); je známa jako vy atá Lieova algebra E6 . Evidentní je
maximální subalgebra SO(10) × U(1), v i níž se p idružená
reprezentace E6 rozkládá podle p edpisu
{ }
{78} = {45} ⊕ {16} ⊕ 16
0
3
−3
⊕ {1} .
0
( 1951 )
A co víc, rozklad {248} obsahuje 27 kopií {3} grupy SU(3). Tyto se
musí zobrazovat na sebe p i E6 transformacích , a tak musí mít E6
n jakou 27-rozm rnou reprezentaci s SO(10) × U(1) rozkladem
{27} = {16}
−1
⊕ {10} ⊕ {1} .
−4
2
( 1952 )
Jistotu zvýšíme ov ením, že 16⋅(-1)+10⋅2+1⋅(-4) = 0 – stopa U(1)
generátoru v reprezentaci {27} grupy E6 je nula. To je v souhlase
s faktem, že stopa každého generátoru n jaké prosté Lieovy algebry
vymizí v každé reprezentaci (onen U(1) generátor je jedním ze 78
generátor E6 ). Tím také dokazujeme ireducibilitu, jelikož tato stopa by
se neanulovala po vyškrtnutí n kterých len rozkladu {27}. Komplexn
sdruženou reprezentací jsou { 3}
{ } { }
1
27 = 16 ⊕ {10} ⊕ {1} .
2
4
( 1953 )
551
Poslední vysazené formule nejsou zjevn vzájemn izomorfní, takže
{27} a 27 jsou komplexní reprezentace, neekvivalentní k nim
{ }
komplexn sdruženým. E6 je opravdu jedinou vy atou Lieovou
algebrou, která v bec komplexní reprezentace má. Posbíráním len lze
dojít k rozkladu {248} grupy E8 v i maximální podgrup E6 × SU(3).
{248} = ({78} ⊗ {1}) ⊕ ({1} ⊗ {8}) ⊕ ({27} ⊗ {3}) ⊕ ({27} ⊗ {3}) .
( 1954 )
Užijeme-li maximální podgrupu SU(2) × U(1) grupy SU(3) a ozna ímeli horními indexy U(1) náboj, máme
{248} = ({78} ⊗ {1})
0
⊕ ({1} ⊗ {3} ) ⊕ ({1} ⊗ {2} ) ⊕
−3
0
⊕ ({1} ⊗ {2} ) ⊕ ({1} ⊗ {1} ) ⊕ ({27} ⊗ {1} ) ⊕
3
0
2
({ }
⊕ ({27} ⊗ {2} ) ⊕ 27 ⊗ {1}
−1
( 1955 )
) ({ } { } ) .
−2
⊕ 27 ⊗ 2
1
Posbíráním SU(2) singlet dostaneme 133-rozm rnou p idruženou
reprezentaci další vy até grupy E7 , která se rozkládá pod maximální
podgrupou E6 × U(1) na
{133} = {78}
0
{ }
⊕ {1} ⊕ {27} ⊕ 27
0
2
−2
.
( 1956 )
Shromážd ním dublet (u grupy SU(2) je reprezentace {2} pseudoreálná
a tedy izomorfní { 2} !) získáme fundamentální 56-rozm rnou
reprezentaci E7 s E6 × U(1) rozkladem
{56} = {1}
−3
{ }
⊕ {1} ⊕ {27} ⊕ 27
3
−1
1
( 1957 )
552
a m žeme tedy zapsat rozklad {248} grupy E8 pro maximální podgrupu
E7 × SU(2)
{248} = ({133} ⊗ {1}) ⊕ ({56} ⊗ {2}) ⊕ ({1} ⊗ {3}) .
( 1958 )
Krom E6 , E7 , E8 známe ješt vy até grupy F4 a G2. Zmín nou SO(9)
konstrukci grupy F4 lze vno it do SO(16) výstavby E8 omezením se na
Jij pro i, j = 1 … 9 a výb rem 16 složek spinoru ze {128}, která se v i
SO(9) × SO(7) podgrup SO(16) rozkládá na {16}⊗{8}, stejn jako
{128′′}.
Zajímavý je centralizátor grupy F4 v E8 . Musí jím být kombinace Jij
(spinory Qα sotva donutíme komutovat s ostatními), a to podgrupa
SO(7) (aby komutovala s SO(9) podgrupou F4). Navíc musí zachovávat
náš výb r {16}⊗{1} z {16}⊗{8}, tj. p jde o podgrupu SO(7) fixující
jeden element osmirozm rné spinorové reprezentace. Této grup se íká
G2 a je to sou asn grupa symetrií Cayleyovy malé násobilky, (algebry v
t lese O všech oktonion ). Tedy E8 obsahuje podgrupu F4 × G2.
Mimo jiné, trojindexový antisymetrický invariant lze te získat
z invariantního spinoru sα jako
y mno = sα
m
n
αβ
βγ
o
s ,
γδ δ
( 1959 )
kde i = i 8 jsou gamma-matice SO(7) upravené tak, aby p sobily
uvnit reprezentace, spl ující
{
i
,
j
} = −δ
ij
.
( 1960 )
A o ekávali byste jiný rozpad {248} grupy E8 v i podgrup F4 × G2
než direktní sumu p idružených reprezentací a produktu
fundamentálních ?
{248} = ({52} ⊗ {1}) ⊕ ({26} ⊗ {7}) ⊕ ({1} ⊗ {14}) .
( 1961 )
553
1) Topologická kvantová teorie pole
Geometrodynamika
Elektrické náboje (a jejich proudy) jsou zdroji elektromagnetického
pole, avšak zárove jsou ímsi cizorodým v teorii samotného
elektromagnetického pole – jakási substance odlišná od pole.
V místech kladných elektrických náboj elektrické silo áry za ínají
a vycházejí na všechny strany, do míst záporných elektrických náboj
silo áry ze všech stran vstupují a tam kon í.
Maxwellovy rovnice pole zde neplatí.
Celkový náboj v libovolné ásti prostoru lze podle Gaussovy v ty zjistit
tak, že vyšet ovanou oblast obklopíme myšlenou uzav enou plochou S a
zm íme intenzitu E elektrického pole ve všech místech této uzav ené
plochy – ur íme po et silo ar které jdou dovnit nebo ven.
Nemohou se však silo áry které jdou dovnit n jak nepozorovan dostat
zase ven aniž bychom to zaznamenali na uzav ené ploše tento vnit ek
ohrani ující (nebo podobn silo áry jdoucí ven se dostat zp t dovnit )?
Nakresleme si tuto situaci v dvojrozm rném p ípad .
Místo silo ar použijeme myšlené mravence, které zde budeme
považovat za dvojrozm rné bytosti.
Na obr. 54a má dvourozm rný sv t mravenc obvyklé vlastnosti a
mravenec nacházející se uvnit uzav ené k ivky se skute n nijak
nem že dostat ven aniž by prošel touto hranicí.
Co však když dvourozm rný sv t mravenc vypadá tak, jak je to
znázorn no na obr. 54b ?
Mravenec uv zn ný v oblasti ze všech stran obklopené uzav enou
k ivkou m že projít tunelem a podívat se zven í na svoje v zení.
Z hlediska trojrozm rného okolí, do n hož je tato konstrukce vno ena,
na tom není nic divného – mravenec, i když se pohybuje stále v rámci
své dvourozm rné plochy (svého sv ta), podleze st nu svého v zení tak
íkajíc p es další rozm r.
554
Obr.54. Vliv topologických vlastností prostoru na možnosti pohybu.
a) V ze (mravenec) obklopený ze všech stran st nou v zení se v prostoru (zde dvojrozm rném)
s obvyklými topologickými vlastnostmi nijak nem že dostat ven, aniž projde st nou v zení.
b) V prostoru s vícenásobn souvislou topologií lze opustit uzav ené v zení bez nutnosti projití
jeho st nou. Mravenec m že projít topologickým tunelem a podívat se zvenku na neporušenou
st nu svého v zení.
Z hlediska samotných dvourozm rných mravenc , pro n ž žádný t etí
rozm r neexistuje, se však stal jakýsi zázrak: v ze , ze všech stran
obklopený zdí, se najednou n jakým zp sobem ocitl vn svého v zení.
P í ina je v tom, že uvedený dvojrozm rný prostor má jiné topologické
vlastnosti než na obr. 54a - je vícenásobn souvislý.
Uzav ená k ivka zde již nemusí být hranicí oblasti uvnit .
Lokální geometrické vlastnosti v každém míst p itom mohou být zcela
obvyklé (jen mírné zak ivení).
Když se te vrátíme zp t k elektrickým náboj m, na obr. 55a je
obvyklým zp sobem v dvourozm rném nákresu znázorn n kladný
elektrický náboj.
Z kladného náboje dle dohody silo áry vycházejí a kon í na záporném
náboji.
Obklopíme-li náboj myšlenou uzav enou plochou S, m žeme
„spo ítáním“ silo ar jež vcházejí nebo vycházejí stanovit hodnotu
náboje Q uvnit .
Tam však žádný skute ný elektrický náboj nemusí být.
P i vhodné topologii prostoru, jak je znázorn no na obr. 55b, sice budou
skrze uzav enou plochu S silo áry vstupovat dovnit , tam však nebudou
kon it, alébrž projdou topologickým tunelem do jiného místa prostoru,
kde op t vyv rají na povrch a vracejí se zp t.
555
Obr.55. Klasická a topologická interpretace elektrických náboj .
a) Obvyklé chápání elektrického náboje Q jako "substance"; z níž vycházejí (nebo do níž
vcházejí) silo áry buzeného elelktrického pole.
b) Topologická interpretace elektrického náboje - neexistuje žádný "skute ný" náboj jako
substance, silo áry nikde neza ínají ani nekon í, jsou jen zachyceny a procházejí topologickým
tunelem, jehož hrdla se pak jeví jako "zdánlivé" náboje "Q".
Vn jšímu pozorovateli, m ícímu elektrické pole, se jedno ústí
topologického tunelu jeví jako záporný náboj (-Q - silo áry jdou
dovnit ), druhé hrdlo tunelu jako náboj kladný (+Q - silo áry jdou ven).
Elektrické pole, jehož silo áry procházejí topologickým tunelem, všude
vyhovuje Maxwellovým rovnicím.
V d sledku toho se celkový tok intenzity elektrického pole p es ústí
tunelu nem že m nit s asem, pokud se nem ní topologie.
Nezáleží p itom na prom nnosti elektromagnetického pole, zak ivení
prostoru, zm nách pr ezu topologického tunelu ani vzdálenosti obou
jeho ústí. Tok elektrického pole
Q=
E dS
( 1962 )
S
tedy vyhovuje zákonu zachování elektrického náboje.
Takováto topologická interpretace elektrického náboje je vlastn
nábojem bez náboje. Žádné skute né elektrické náboje neexistují,
elektrické silo áry nemají za átky ani konce. Jsou pouze zachyceny a
procházejí topologickým tunelem prostoru, jehož jednotlivá ústí se pak
jeví jako kladné a záporné náboje. Tedy volné elektromagnetické pole
ve vakuu bez náboj m že vlivem vhodné topologické struktury
prostoru vytvá et efektivní elektrické náboje. Elektrický náboj se
556
v tomto pohledu jeví jako nelokální vlastnost elektrodynamiky bez
náboj ve vícenásobn souvislém prostoru.
Na za átku tohoto odstavce jsme zd raznili neuspokojivost koncepce,
podle níž je pole buzeno zdrojem odlišným od pole. Pro
elektromagnetické pole jako zdroj gravitace byla situace v zásad
úsp šn vy ešena, avšak v klasické fyzice je zdrojem gravitace též
p edevším obecná, blíže nespecifikovaná a nestrukturovaná hmota objekty (t lesa, ástice) mající hmotnost. V p edchozích unitárních
teoriích se ástice pokoušeli interpretovat jako n jaké zvláštnosti
(singularity) v poli, což však vede k ad potíží, nebo jako n jaké spojité
struktury mající své zákony vnit ního pohybu; tyto zákony vnit ního
pohybu však byly zavedeny zven í a nebylo jasné, jak je odvozovat v
rámci uzav ené teorie. Jinak je tomu v geometrodynamice.
Zákony obecné teorie relativity p ipoušt jí existenci objekt s obvyklou
eukleidovskou topologií a bez singularit, chovajících se jako skute ná
hmota (budící gravita ní pole i na toto pole reagující), p i emž tyto
objekty jsou složeny ist ze samotného pole. Ší í-li se prostorem
elektromagnetické vlny, budí kolem sebe gravita ní pole - zak ivují
prostoro as v n mž se ší í, a to nez stává bez vlivu na jejich pohyb.
Podle obecné teorie relativity mohou velmi mohutné elektromagnetické
vlny kolem sebe vytvo it tak silné gravita ní pole, že jím budou nuceny
trvale se pohybovat po uzav ených dráhách. Elektromagnetické vlny si
tak samy vytvá ejí kolem sebe jakýsi gravita ní "vlnovod" ze zak ivené
geometrie prostoro asu (z gravita ního pole), v n mž trvale cirkulují obr.56a.
Takový útvar z elektromagnetických vln, udržovaný pohromad vlastní
gravitací, se nazývá elektromagnetický geon.
Jestliže geon celkové hmotnosti M bude sféricky symetrický, bude
vzbuzovat sféricky symetrické gravita ní pole a prostoro asová metrika
bude analogická ( 489 ). Geon není stabilní, ale pouze metastabilní - ást
energie vln proniká p es odst edivou a gravita ní bariéru, geon se
pomalu rozplývá (tím pomaleji, ím v tší je po et vlnových délek po
obvodu), nebo naopak m že zkolabovat a vytvo it ernou díru. Pro
vzdáleného pozorovatele bude geon vykazovat gravita ní ú inky jako
každá jiná hmota (t ebas planeta) - m žeme nap . na ob žnou dráhu
kolem geonu uvést družici (obr.56b).
557
Obr.56. Mohutné elektromagnetické nebo gravita ní vlny mohou kolem sebe vytvo it tak silné
gravita ní pole (zak ivit prostoro as), že jím budou trvale nuceny cirkulovat v uzav eném
"gravita ním vlnovodu" - vzniká metastabilní hmotný útvar geon.
a) Pr m rné rozložení pole v geonu.
b) Svými gravita ními ú inky se geon chová jako každá jiná hmota (t ebas planeta) - m žeme
nap . na ob žnou dráhu kolem geonu uvést družici.
Taková hmota složená z elektromagnetických vln se nám m že zdát sice
zvláštní, avšak hmotná povaha elektromagnetických vln je dostate n
vžitá. Ješt sugestivn jší obraz dostaneme, když nahradíme
elektromagnetické vlny vlnami gravita ními. Gravita ní vlny rovn ž
p enášejí energii, zak ivují prostoro as (univerzální buzení gravitace) a
podle obecné teorie relativity mohou též vytvo it gravita ní geon, který
se bude navenek svými gravita ními ú inky projevovat jako skute ná
hmota.
Gravita ní vlny jsou však pouhým vln ním gravita ního pole, tedy
fluktuacemi geometrie prázdného prostoro asu. Vn jší pozorovatel se
tak stává sv dkem toho, kterak se vlnící k ivost prázdného prostoro asu
"bez hmoty" navenek projevuje jako hmotný útvar. Gravita ní geon je
tedy názorným modelem jakési "hmoty bez hmoty", hmoty utvo ené
doslova z "prázdnoty" prostoru s vlnící se k ivostí.
Sledujeme-li hmotu bu ve stále menších m ítcích mikrosv ta, nebo
naopak ve stále v tších m ítcích megasv ta, bude hmota postupn
ztrácet n které atributy na n ž jsme zvyklí z b žné zkušenosti našeho
makrosv ta a p ípadn se za nou objevovat atributy nové. Vždy však
z stává základní znak hmoty - být objektivní realitou.
558
Hypotetický geon je jen ur itým extrémním p íkladem konstrukce
hmotného objektu z geometrie prostoro asu; fakticky každá gravita ní
vlna popsaná svým Isaacsonovým tenzorem nelokální energiehybnosti je takovou "hmotou bez hmoty", složenou z "vakua"
chápaného v obvyklém smyslu. To, jak se i v "prázdném" prostoru bez
obvyklých hmotných zdroj objeví jakási efektivní hmota mající
globální gravita ní ú inky, je ostatn podobné situaci v
elektrodynamice, kde se i ve vakuu bez náboj (a proud ) pro
nestacionární elektromagnetické pole objevuje Maxwell v posuvný
proud mající magnetické ú inky stejné jako "skute ný" proud
elektrických náboj .
Kvantová geometrodynamika
Formální základy kvantové geometrodynamiky položil již v roce 1900
Max Planck.
Fyzikální disciplínou se však kvantová geometrodynamika stala až o
mnoho desetiletí pozd ji, p edevším zásluhou J.A.Wheelera, DeWitta a
pozd ji i mnohých dalších.
John Archibald Wheeler (1911 – 2008)
Bryce Seligman DeWitt (1924 – 2004)
Abychom si co nejsrozumiteln ji vysv tlili o se jedná, použijeme
jednoduchý myšlenkový experiment.
Již z Newtonova gravita ního zákona plyne, že dv hmotná t lesa o
hmotnostech m1 , m2 , vzdálená od sebe r, se navzájem p itahují
gravita ní silou o velikosti
559
Fg =
G ⋅ m1 ⋅ m2
r2
( 1963 )
kde G = 6,67259 ⋅ 10 -11 je gravita ní konstanta.
Gravita ní potenciální energie dvou t les hmoty m1, m2 je mírou práce
kterou je nutno vykonat p i p emíst ní t les ze vzdálenosti r1 do
vzdálenosti r2 , tj.
r2
r2
r1
r1
E p = Fg dr = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ r
= G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅
1 1
−
r1 r2
−2
1
dr = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ −
r
r2
=
r1
( 1964 )
.
P i p emíst ní t les ze vzájemné vzdálenosti r2 zp t do vzdálenosti r1
vykonají gravita ní síly stejn velikou práci, takže t leso m2 získá
kinetickou energii
r2
r2
r
v
v
2
2
2
d 2r
dv
dr
Ek = Fg dr = m ⋅ 2 dr = m ⋅
dr = m ⋅
dv = m ⋅ v dv =
dt
dt
dt
r1
r1
r1
v1
v1
v2
= m⋅
2
=
v1
m 2
(v2 − v12 ) ,
2
( 1965 )
kde
m=
v2
m1 ⋅ m2
m1 + m2
( 1966 )
je tzv. redukovaná hmotnost obou t les.
Položíme-li po áte ní vzájemnou rychlost obou t les v1 = 0, a budeme-li
dále p edpokládat, že po áte ní vzdálenost obou t les se blíží
asymptotickému nekone nu, pak srovnáním ( 1964 ) a ( 1965 ),
560
dostáváme pro vzájemnou rychlost v2 obou t les po vzájemném
p iblížení se na vzdálenost r1, vztah
v2 = lim 2 ⋅ G ⋅ (m1 + m2 ) ⋅
r2 →∞
2 ⋅ G ⋅ (m1 + m2 )
1 1
.
−
=
r1 r2
r1
Jestliže mezi hmotnostmi obou t les platí relace m1
( 1967 )
m2 , potom
(m1 + m2) m1 M, a rychlost v padajícího t lesa m2 ve vzdálenosti r
od hmotného st edu gravitujícího t lesa M bude dána jednoduchým
vztahem
v=
2⋅G ⋅ M
.
r
( 1968 )
Uvažujme nyní myšlenkový experiment, v n mž uvnit vlakového
vagónu kmitá foton mezi dv ma planparalelními zrcadly, vzájemn
vzdálenými l, z nichž jedno je umíst no nap . na strop vagónu a druhé
na podlaze, viz obr. 57.
Obr. 57
l = c⋅t = c⋅t′
l
Bude-li vagón v klidu, bude pozorovatel uvnit vagónu pozorovat totéž,
co pozorovatel stojící venku na perón .
Trajektorie paprsku je v tomto p ípad pro každého z pozorovatel
svislou úse kou, která se tudíž jeví ob ma pozorovatel m stejn dlouhá
a proto ji sv tlo p ekoná z hlediska každého z pozorovatel za stejný as
561
t=
l
.
c
( 1969 )
Jakmile se dá vagón do rovnom rného p ímo arého pohybu, celá situace
se radikáln zm ní viz obr. 58.
Obr. 58
v ⋅t
c⋅t′
c ⋅t
v ⋅t
Trajektorie paprsku bude i nyní vzhledem k pozorovateli uvnit vagónu
svislou úse kou délky l, nebo pohyb vagónu nem že mít žádný vliv na
fyzikální procesy v inerciální soustav s ním spojené.
V i pozorovateli stojícímu na perón se však paprsek již nebude
pohybovat svisle.
Ozna íme-li jednotlivé trajektorie dle obr. 58, potom doba kterou fotonu
potrvá pohyb po delší trajektorii bude dána dle Pythagorovy v ty
vztahem
c 2 ⋅ t ′2 = c 2 ⋅ t 2 − v 2 ⋅ t 2 .
( 1970 )
Odtud plyne
c2 − v2
v2
t′ = t
= t ⋅ 1− 2 .
c2
c
( 1971 )
Dosadíme-li rychlost ze vztahu ( 1968 ) do ( 1971 ), dostaneme pro
gravita ní dilataci asu
562
t′ = t 1 −
2⋅G ⋅ M
.
r ⋅ c2
( 1972 )
Vidíme, že as je funkcí hmotnosti a polom ru, která je singulární p i
rg ≤
2⋅G ⋅ M
,
c2
( 1973 )
což je tzv. gravita ní polom r.
Stla íme-li t leso hmoty M pod jeho gravita ní polom r, prostoro as se
okolo n ho úpln uzav e a t leso vypadne ven z tohoto vesmíru.
T leso poté pokra uje v nekontrolovaném samohroucení a neexistuje
zp sob, kterak tento proces zvrátit a vtáhnouti jej zp t do našeho
vesmíru.
Z stane po n m pouze prostoro asová trhlina o polom ru rg, tzv. erná
díra, neboli gravita ní kolapsar.
Vztah ( 1973 ) si kupodivu zachovává svoji obecnou platnost i
v Einsteinov obecné teorii relativity, takže k jeho použití zde jsme pln
oprávn ni.
P edpokládejme nyní, že se budeme snažit neustále zvyšovat rozlišovací
schopnost optického mikroskopu, abychom mohli sledovat stále
jemn jší prostorové detaily.
Rozlišovací schopnost mikroskopu je rovna polovi ní délce vln
použitého zá ení, která souvisí s energií foton vztahem
λ=
c⋅h
.
E
( 1974 )
Jelikož energie závisí na hmotnosti ástice Einsteinovým vztahem
E = M ⋅ c2 ,
( 1975 )
máme
λ=
h
.
M ⋅c
( 1976 )
563
Srovnáme-li vztah pro gravita ní pr m r odvozený z ( 1973 ) s ( 1976 ),
dostáváme
4⋅G ⋅ M
h
.
=
c2
M ⋅c
( 1977 )
ili
c⋅h
.
4⋅G
Mh =
( 1978 )
což je tzv. Planckova hmotnost, udávající maximální hodnotu
hmotnosti jíž m že foton nabývat.
Této hmotnosti odpovídá nejkratší vlnová délka kterou m že foton
získat a která p edstavuje zárove nejkratší prostorový interval, který lze
fyzikáln rozlišit.
Tento interval, který nazýváme Planckovou-Wheelerovou délkou,
fyzikáln reprezentuje elementární kvantum prostoru:
lh =
λmin
2
=
G⋅h
.
c3
( 1979 )
Doba, za kterou sv tlo p ekoná Planckovu-Wheelerovu délku
p edstavuje nejkratší možný rozlišitelný asový interval, a nazývá se
Planck v – Wheeler v as:
th =
lh
G⋅h
=
.
c
c5
( 1980 )
Tato veli ina reprezentuje elementární kvantum asu.
V m ítkách ∼10-10 m s nimiž pracuje atomová fyzika se pohybujeme
v ádu ∼1025 Planckových délek.
Dokonce i pro m ítka ∼10-15 m jaderné fyziky jsou kvantové fluktuace
metriky stále ješt o 20 ád menší, a tedy zcela zanedbatelné.
564
Proto ve všech situacích, s nimiž se zatím setkáváme, m žeme
prostoro as plným právem považovat za hladké kontinuum.
Základní postulát obecné teorie relativity, že prostor je lokáln
eukleidovský, je tedy velmi dob e spln n pokud slovem lokáln
nebudeme myslet m ítka blízká Planckov délce.
Jdeme-li však do stále menších m ítek, kvantové fluktuace stále rostou,
až v oblastech velikosti Planckovy délky ∼10-35 m, jsou fluktuace
metriky prostoro asu již natolik silné, že p er stají ve fluktuace
topologie viz obr. 59.
Obr.59. Ve velmi malých m ítcích mohou kvantové fluktuace metriky prostoru (a,b,c)
spontánn vzr st natolik, že prostor se stane vícenásobn souvislým (d) - p erostou ve fluktuace
topologie.
565
Dynamická evoluce prostoro asu tak vede ke zcela specifickým
zákonitostem na velmi malých vzdálenostech.
V mikrom ítkách ádu Plackových rozm r velmi siln fluktuuje nejen
geometrie, ale i topologie prostoro asu.
P i b žném pohledu se nám prostor jeví jako spojité hladké kontinuum.
Je to podobné, jako když se z vysoko letícího letadla díváme na povrch
oceánu.
Vidíme zcela hladkou hladinu, jen mírn globáln zak ivenou do tvaru
Zem koule.
Sesko í –li však pozorovatel padákem a postupn se blíží k hladin , vidí
stále z eteln ji, že je rozvln ná.
Když nakonec dosedne s gumovým lunem na vodu, uv domí si, jak
daleko má hladina do ideáln rovné a hladké plochy – hladina se prudce
vlní, p ní a st íká - viz obr. 60.
Obr.60. K analogii mezi geometricko-topologickou strukturou prostoro asu a strukturou hladiny
oceánu.
a) P i podledu z výšky n kolika kilometr se hladina oceánu jeví jako ideáln hladká plocha.
b) Z výšky n kolika desítek metr se hladina jeví jako zvln ná, ale jinak hladká.
c) Z bezprost ední blízkosti je vid t, že siln fluktuuje nejen zak ivení hladiny, ale i její
topologická struktura (bubliny, kapky).
V metrových m ítkách siln fluktuuje místní zak ivení hladiny (vlny),
v centimetrových a milimetrových m ítkách fluktuuje dokonce i
topologická struktura hladiny (odd lují se kapky, vznikají bubliny p ny).
566
Podobn i v našem asoprostorovém kontinuu se budou projevovat
kvantové fluktuace geometrie tím výrazn ji, ím menší mikrooblasti
sledujeme.
V m ítkách srovnatelných s Planckovou – Wheelerovou délkou, pak
bude fluktuovat i samotná topologie prostoru.
Budou se nap . vytvá et a op t zanikat topologické tunely, apod. (viz
kapitola 4).
Dle kvantové geometrodynamiky je tedy ono zdánliv prázdné vakuum
d jišt m nejbou liv jších mikrojev .
Prostoro as má v t chto m ítkách p novitou, neustále spontánn
fluktuující mikrostrukturu, plnou prudkých perturbací prostoro asové
geometrie.
Kvantové fluktuace zp sobují, že prostor má krom makroskopické
(gravita ní) k ivosti též mikrok ivost polom ru lh a všude vznikají a op t
zanikají hrdla topologických tunel , jejichž rozm ry a vzájemné
vzdálenosti jsou rovn ž ádov srovnatelné s lh.
Máme-li topologický tunel o pr m ru l a tedy ploše ~ l2, budou zde
kvantové fluktuace intenzity elektrického pole ádov
E≈
⋅c
l
2
,
( 1981 )
takže celkový tok intenzity pole udávající efektivní elektrický náboj
bude ádov
q≈
⋅c ,
( 1982 )
nezávisle na rozm rech tunelu.
Tento geometrodynamický náboj však nemá žádnou p ímou souvislost
s elementárním nábojem ástic, nebo je mnohem v tší a není
kvantován.
Hustota energie ~ hmoty pole v typickém topologickém tunelu dosahuje
fantastických hodnot
E2
ρ= 2 =
≈ 5 ⋅ 1097 kg ⋅ m −3 .
4
c
c ⋅ lh
( 1983 )
567
Tuto hustotu nazýváme Planckova-Wheelerova hustota hmoty, a je
považována za mezní hodnotu koncentrace hmoty elektromagnetického
i gravita ního zá ení v prostoro ase.
Charakteristická energie ~ hmota p ipadající na jeden topologický tunel
je dána vztahem ( 1978 ), což p edstavuje zhruba 2,2 ⋅ 10-5 g, tj. ádov
1028 eV.
To je o 8 ád více, než nejv tší energie ástic zaznamenané doposud
v kosmickém zá ení a o 17 ád více než klidové hmotnosti nejt žších
známých elementárních ástic.
Teoretický model p edpokládá, že po dosažení energie 1028 eV na jednu
ástici, dojde ke sjednocení všech ty fundamentálních fyzikálních
interakcí v jednu jedinou supersymetrickou interakci zvanou též
supergravitace.
Tyto obrovské hodnoty jsou však evidentn v rozporu s velmi nízkou
st ední hustotou energie, kterou pozorujeme v sou asném vesmíru.
Vezmeme-li však v úvahu p ísp vek gravitace k hustot energie a
hmoty, pak dv typická ústí tunelu o hmotnostech m1 ≈ m2 = Mh ,
vzdálená od sebe lh , budou mít p i vzájemné gravita ní interakci
vazbovou energii
Egr = −
G ⋅ m1 ⋅ m2
≈ −c 2 ⋅
r1,2
⋅c
.
G
( 1984 )
Hmotový defekt dvou sousedních ústí topologických tunel
∆mgr =
Egr
c2
=−
⋅c
= −M h .
G
( 1985 )
který je záporný a stejného ádu jako kladná elektromagnetická
hmotnost obou struktur, m že tedy lokáln kompenzovat energie
p íslušných fluktuací.
Takto lokáln vykompenzované fluktuace již nevykazují gravita ní
p itažlivost s ostatními toky hmoty a energie ze vzdálen jších
topologických tunel .
568
Po takovéto celkové kompenzaci obrovských pikofluktuací m že
vakuum vypadat tak, jak jej pozorujeme.
Pozorované elementární ástice, které však z ejm nejsou zdaleka
elementární, jsou z ejm jakýmisi kolektivními excitacemi v mo i
silných fluktuací mikrogeometrie, zahrnujícími obrovské množství
elementárních fluktuací, které se však všude jinde v pr m ru ruší, tvo íc
v makroskopických m ítkách obvyklé vakuum.
Na rozdíl od vztahu ( 1983 ), udávajícího mezní hustotu zá ení, mezní
hustota partonických ástic je rovna hustot partonu, tj. pom ru hmoty
partonu a objemu tzv. elementární bu ky cytoprostoru, tj. krychli ky
o stran jedné Planckovy délky:
ρ=
h
54
−3
≈
10
kg
⋅
m
.
c 2 ⋅ lh 3
( 1986 )
Termodynamika kolapsar - Hawking v efekt.
Stla íme-li hmotu pod její gravita ní polom r rg, daný vztahem ( 1973 ),
úniková rychlost ( 1967 ) na jejím povrchu bude rovna rychlosti sv tla
ve vakuu. To znamená, že ani sv tlo nebude schopno pronikat ven ze
sférické oblasti vymezené gravita ním polom rem, tj. z gravita ního
kolapsaru. Protože žádný signál se nem že v prostoro ase ší it vyšší
rychlostí než je rychlost sv tla ve vakuu, znamená to, že nitro
gravita ního kolapsaru je mohutnou gravitací od íznuto od okolního
regulárního prostoro asu. Zatímco do nitra kolapsaru mohou pronikat
ástice velmi snadno, ven by se dle klasické fyziky, tj. obecné teorie
relativity, nem lo dostat nic. Jedná se tedy o oblast, v níž je
relativistický prostoro as úpln zak iven, tj. zcela uzav en sám do sebe.
Kvantov mechanický rozbor celého problému provedený v roce 1974
Stephenem Hawkingem a Jacobem Bekensteinem však odhalil
pozoruhodnou skute nost, že kolapsary ve skute nosti vyza ují energii,
a koliv je to v rozporu s klasickou fyzikou.
569
Stephen William Hawking (1942)
Jakob David Bekenstein (1947)
Hranice kolapsaru zvaná Schwarzschildova sféra není totiž o nic tlustší
než jedna Planckova délka.
ástice která se vytvo í t sn pod touto hranicí ji m že p ekonat a
proniknout tak do regulárního prostoro asu pouze za p edpokladu, že na
krati ký okamžik bude schopna let t nadsv telnou rychlostí.
Podle kvantové teorie, však tomu v bec nic nebrání.
Heisenbergovy relace neur itosti ( 583 ), ( 584 ) totiž ukazují, že
pr m rná rychlost ástice podléhá na krátkých prostorových a asových
intervalech lokálním fluktuacím.
ástice s tzv. nulovou klidovou hmotností, jež se dle klasické fyziky
musí pohybovat p esn rychlostí sv tla, tedy ve skute nosti musí
dodržovat tuto mezní rychlost pouze v pr m ru, tj. na prostorových a
asových intervalech dostate n dlouhých ve srovnání s Planckovou
délkou a Planckovým asem.
Na vzdálenostech ádov srovnatelných s ší kou Schwarzschildovy sféry
však dochází ke zna ným odchylkám od této st ední hodnoty rychlosti
foton a dalších ástic.
Pokud se zde n které fotony mohou pohybovat nap . podsv telnou
rychlostí, pak jiné fotony tu musí dosahovat naopak lokáln
nadsv telných rychlostí, aby bylo možno zpr m rováním rychlostí
všech foton nakonec dosp t k hodnot velmi blízké rychlosti sv tla.
ástice, které vznikly uvnit kolapsaru v dostate né blízkosti
Schwarzschildovy sféry tedy mají možnost na krátkou dobu p ekonat
rychlost sv tla a uniknout mimo kolapsar.
570
Poté však musí svoji rychlost rychle snížit na podsv telnou hodnotu, aby
jejich pr m rná rychlost nep ekro ila maximální povolenou hodnotu c.
V této fázi mohou být n které ástice, kterým se již poda ilo uniknout
skrze Schwarzschildovu sféru ven z kolapsaru, op t vtaženy do jeho
útrob p sobením mohutných gravita ních sil.
Pravd podobnost že se tak stane je nep ímo úm rná tomu, jak rychle
klesá intenzita gravita ního pole se vzdáleností od Schwarzschildovy
sféry.
Z formule ( 1963 ) vyplívá, že tento pokles intenzity gravita ního pole
sm rem od Schwarzschildovy sféry je nep ímo úm rný tverci polom ru
kolapsaru rg .
Tedy ím je kolapsar menší, tím rychleji vyza uje energii do
asymptotického nekone na.
ím více energie ∼ hmoty vyzá í za jednotku asu, tím více se zmenší
jeho polom r, a tím více energie vyzá í v následujícím okamžiku.
Teoretický výpo et ukazuje, že kolapsar má entropii
S=
k
4π
A,
kde A je plocha horizontu, p i emž vyza uje jako absolutn
zah áté na termodynamickou teplotu
c3
T=
.
8π GMk
( 1987 )
erné t leso
( 1988 )
S postupným vypa ováním se kolapsaru (zmenšováním rg) se intenzita
zá ení a energie emitovaných foton neustále zv tšuje, takže kvantová
evaporace má lavinovitý charakter.
Záv re né okamžiky existence kolapsaru tak završí mohutná kvantová
exploze, p i níž se b hem poslední zhruba jedné desetiny sekundy uvolní
energie ádov 1023 J.
To p ibližn odpovídá sou asné explozi n kolika milion vodíkových
pum.
V samém záv ru svého života emituje kolapsar poslední foton o energii
Eγ = Mh ⋅ c2, což p edstavuje veškerou zbylou energii kolapsaru, takže
571
tento foton bude identický s p vodním kolapsarem, který ve snaze
zbavit se energie kvantovou evaporací, pokaždé znovu a znovu emituje
sám sebe.
Je tedy možné, aby ob í vesmírné kolapsary byly vlastn jakýmisi
„p etloustlými“ fotony?
Wheeler v teorém „ erná díra nemá vlasy“ tvrdí, že vlastnosti
kolapsar skute n , až se zarážející nápadností p ipomínají vlastnosti
elementárních ástic.
Ukazuje se totiž, že všechny kolapsary, a již vznikly t mi
nejrozli n jšími zp soby, z t ch nejrozmanit jších forem hmoty jaké si
jen lze p edstavit (v etn isté gravitace v podob koncentrovaných
gravita ních vln), se navenek makroskopicky projevují vn jším polem
nesoucím pouze 3 elementární informace o vlastnostech hmoty z níž
kolapsar vznikl. T mito informacemi jsou:
celková hmotnost M kolapsaru,
celkový elektrický náboj Q kolapsaru,
vlastní moment hybnosti J kolapsaru,
Všechny ostatní informace jsou horizontem od íznuty od okolního
prostoro asu a jsou tudíž navždy ztraceny z vesmíru.
Ani kvantová evaporace není schopna tato data vytáhnout z pod
horizontu kolapsaru zp t do vesmíru.
Všechny kolapsary, a již nejrozmanit jšího p vodu, jsou od sebe
makroskopicky nerozlišitelné, mají-li stejnou hmotnost, náboj a rota ní
moment hybnosti.
T mito svými vlastnostmi kolapsary p ipomínají elementární ástice,
které se taktéž projevují pouze n kolika základními pozorovatelnými,
jimiž jsou klidová hmotnost, elektrický náboj, vlastní moment hybnosti
(spin) a n kolik dalších kvantových ísel.
Stejn jako kolapsary, i elementární ástice jsou vzájemn nerozlišitelné,
pokud se od sebe neliší ve výše jmenovaných nezávislých
pozorovatelných.
Poznámka: Výsldky teoretického výzkumu strun v posledních letech
ukazují, že informace se v erné dí e ve skute nosti neztrácejí.
Makroskopické informace jsou pouze rozloženy až na jejich vlastní
572
kvantovou podstatu a poté lokalizovány na horizontu, odkud mohou být
op t emitovány zpátky do vesmíru kvantovou evaporací. Blíže o tom
pohovo íme v odstavci o teorii strun (viz holografický princip).
Kolapsar je tedy charakterizován nejen makroskopickými stavovými
veli inami jako je hmotnost, moment hybnosti a elektrický náboj (kterak
p vodn p edpokládali Wheeler a Hawking), ale též mikroskopickými
stavovými veli inami (kvantovými ísly a charakteristikami) veškerých
ástic, které jej vytvo ily.
Superprostor
Feynmanova formulace kvantové teorie se vyzna uje velmi t sným
vztahem ke klasické fyzice vyjád ené pomocí principu nejmenší akce.
V klasické fyzice (mechanice, elektrodynamice, OTR) se mezi daným
po áte ním x1 a koncovým x2 stavem vyšet ovaného systému vždy
x2
uskute ní pouze takový pohyb, pro n jž je integrál akce S = L dt
x1
extremální. Naproti tomu v kvantové fyzice se jak známo uskute nují i
takové procesy, které nevyhovují tomuto principu a jsou podle klasické
fyziky nemožné - nap . tunelovy jev.
P echod od klasické fyziky ke kvantové je zde natolik elegantní a
p ímo arý, že se J.A.Wheeler pomocí tohoto p ístupu snažil p esv d it
A.Einsteina, le bezvýsledn , aby zrevidoval sv j odmítavý postoj ke
stochastickým princip m kvantové mechaniky.
Ve Feynmanov p ístupu se rovnoprávn uvažují všechny trajektorie
vedoucí z po áte ního stavu x1 do kone ného stavu x2 bez ohledu na to,
zda jsou podle klasické fyziky p ípustné nebo nikoliv. Vypo ítá-li se pro
x2
L dt , bude pravd podobnost p echodu
každou trajektorii integrál
x1
soustavy z po áte ního stavu x1 do koncového stavu x2 dána tvercem
veli iny
F ( x1 , x2 ) =
exp
i
x2
L dt ,
x1
( 1989 )
573
získané jako suma vzatá p es všechny trajektorie. Je evidentní, že
nejv tší p ísp vek k této sum dávají ty trajektorie, které mají fázový
i
koeficient
L dt tém stejný (exponenty se s ítají), zatímco pro
trajektorie s velkými rozdíly v
i
L dt se exponenty v sou tu vzájemn
ruší. Nejpravd podobn jší trajektorie (odpovídající blízkým hodnotám
L dt ) bude proto klasická trajektorie s extrémním chováním integrálu
akce. Pod trajektorií se zde rozumí "dráha" v prostoru konfigurací dané
soustavy; pokud se jedná o složitou soustavu popsanou velkým po tem
parametr , bude to trajektorie v mnoharozm rném prostoru. Feynman
ukázal, že tato formulace je ekvivalentní obvyklému Schrödingerovu a
Heisenbergovu pojetí kvantové mechaniky. Podobn jako u klasického
principu nejmenší akce se v praxi nehledá bezprost edn extrém
integrálu L dt , ale odvozují se Lagrangeovy pohybové rovnice, ani
p i použití Feynmanovy metody se p ímo nepo ítá celková suma p es
všechny trajektorie. Feynmanova procedura se spíše používá jako
prost edek pro odvozování a rozpracování kvantových teorií, jakož i
jejich fyzikální interpretace.
Wheeler a DeWitt se pokusili použít Feynmanovy koncepce pro
kvantování "nejklasi t jšího" objektu jaký si dovedeme p edstavit:
vesmíru jako celku. Zavedli tzv. superprostor - nekone n rozm rný
prostor, jehož "body" p edstavují všechny možné geometrie prostoru
(stavy vesmíru). ára (trajektorie) v tomto superprostoru pak
reprezentuje ur itou variantu evoluce vesmíru. Je jasné, že praktické
použití superprostoru je možné pouze za velmi zjednodušujících
p edpoklad . Misner proto navrhl studovat evoluci uzav eného
homogenního vesmíru (zobecn ných Kasnerových model ), pro popis
jehož stavu sta í t i parametry; nekone n rozm rný superprostor se zde
redukuje na trojrozm rný "minisuperprostor". Superprostor
Fridmanových homogenních izotropních vesmír je dokonce
jednorozm rný - všechny prostorové ezy jsou charakterizovány
hodnotou parametru a(x°). V rámci superprostoru lze matematicky
formulovat i Wheelerovu kvantovou geometrodynamiku.
574
2) Teorie superstrun
Jedním z výchozích pojm fyziky je pojem hmotného bodu idealizovaného objektu, jehož hmotnost (i ostatní parametry) jsou
soust ed ny do jediného geometrického bodu prostoru. Trajektorie,
kterou probíhá hmotný bod v prostoru je k ivka, jejíž každý bod lze
charakterizovat prostorovými sou adnicemi a asem. Dynamika
hmotného bodu v klasické mechanice je dána Newtonovými rovnicemi,
v relativistické mechanice je popsána pohybem po sv to á e ve
ty rozm rném rovinném prostoro ase STR, nebo v zak iveném
prostoro ase OTR. V kvantové mechanice je dynamika ástice popsána
Schrödingerovou rovnicí; trajektorie, spojující po áte ní a koncový stav
ástice v prostoru, jsou východiskem i p i kvantování pomocí
Feynmanových intergrál p es trajektorie.
V klasické mechanice byl pojem hmotného bodu pouhou idealizací
skute ných t les, výhodnou pro analýzu jejich pohybu. Speciální teorie
relativity však posílila d ležitost pojmu hmotného bodu: žádný
elementární (fundamentální) objekt nem že mít kone né prostorové
rozm ry, nebo žádný signál i interakce se nem že ší it nadsv telnou
rychlostí. P i srážce dvou t les nenulových rozm r nemohou všechny
ásti reagovat ihned, z ehož plyne, že t leso je složeno z
elementárn jších objekt : elementární objekt musí být bodový.
Bodový charakter fundamentálních objekt - zdroj pole - však vede k
závažným problém m v teorii pole: p i limitních p echodech k nulovým
rozm r m vznikají matematicky divergující výrazy vedoucí k
nekone ným hodnotám. T chto divergencí je t eba se zbavit (v
podstat ad hoc) metodami renormalizace - provést t ebas vhodnou
kalibra ní transformaci tak, aby se výsledky výpo tu shodovaly
s experimentálními hodnotami.
Poda ilo se však najít zp sob, jak se t mto nep íznivým matematickým
divergencím vyhnout systematicky - jsou to teorie, v nichž namísto bod
jsou elementárními objekty jednorozm rné áry i smy ky nenulové
délky - tzv. struny.
asoprostorová historie struny je popsána funkcemi x µ (σ ,τ ) , které
zobrazují dvourozm rnou ''sv toplochu'' struny do asoprostoru. Krom
x µ jsou na sv toploše i další pole, popisující další stupn volnosti, jako
575
nap íklad stupn spojené se supersymetrií nebo kalibra ními symetriemi.
P ekvapiv , klasická dynamika teorie strun (odpovídající klasické teorii
pole s nekone n mnoha poli) je popsána konformn invariantní 2D
kvantovou teorií pole
1
S=
Lstr
2
dσ dτ L ( x µ ,
).
( 1990 )
Co povyšuje struny nad vícerozm rné analogie je to, že tato 2D teorie je
renormalizovatelná. (Objekty s p dimenzemi, p-brány, mají p+1rozm rný sv toobjem.) Poruchovou kvantovou teorii strun lze
formulovat metodou Feynmanova integrálu p es historie. To obnáší
zam stnat Riemannovu plochu s g otvory jako g-smy kový Feynman v
diagram. P itažlivými rysy tohoto p ístupu je, že (pro orientované
uzav ené struny) je práv jeden diagram v každém ádu poruchové
teorie, reprezentující elegantní (a komplikovaný) matematický výraz,
který je ultrafialov kone ný. Hlavním nedostatkem je, že nedává
žádnou radu, jak jít za poruchovou teorii.
Abychom m li nad ji být realisti tí, šest dimenzí se musí svinout do
malé geometrické variety, jejíž rozm ry jsou pravd podobn srovnatelné
s Lstr . Jelikož prostoro asová geometrie je ur ena dynamicky (tak jako
v obecné relativit ), jsou povoleny pouze geometrie spl ující tyto
dynamické rovnice ( Rµν = 0 ). HE teorie, svinutá na konkrétní druh
variety, zvaný Calabiho-Yauova varieta, má mnoho kvalitativních
vlastností p i nízkých energiích, které imitují standardní model: lehké
fermiony se sdružují do rodin, jejichž po et je dán topologií CY variety.
T chto úsp ch bylo dosaženo v poruchovém rámci a jsou nutn
p inejlepším kvalitativní, protože neporuchové jevy jsou podstatné pro
pochopení narušení supersymetrie a jiné d ležité detaily.
576
Popis pohybu volné struny
Volná (relativistická) ástice o klidové hmotnosti mo v prostoro ase
(d = 4) se popisuje integrálem akce
S0 = m0 ds = m0
dx i dxi
dτ
dτ dτ
( 1991 )
kde s je prostoro asový interval a τ vlastní as ástice. Tato akce S0
(index "0" zde vyjad uje, že se jedná o bodovou, tj. 0-rozm rnou ástici)
je úm rná délce sv to áry ástice (relativistickému intervalu s) - obr. 61
vlevo. Varia ní princip nejmenší akce δS = 0 pak vede k Lagrangeovým
rovnicím, z nichž plynou pohybové rovnice relativistické mechaniky ve
STR ( 333 ), resp. ( 35 ) v OTR. Tento postup lze zobecnit i na jiný
po et dimenzí než d=4.
Obr. 61:
Vlevo: Trajektorie "0-rozm rné" volné ástice v prostoro ase je 1-rozm rná
sv to ára, kterou lze parametrizovat délkou intervalu s nebo vlastním asem τ.
Vpravo: Trajektorií, kterou 1-rozm rná struna prob hne v prostoro ase, je
2-rozm rná sv toplocha, kterou lze parametrizovat vlastním asem τ
a dalším parametrem σ, charakterizujícím polohu bodu na k ivce znázor ující strunu.
577
P irozené zobecn ní integrálu akce z hmotného bodu na strunu vede k
tomu, že akce struny bude úm rná velikosti sv toplochy, kterou struna
projde p i svém pohybu (evoluci) v prostoro ase - obr. 61 vpravo:
S1 = T
det ( hαβ )dσ dτ ,
( 1992 )
kde hαβ (α,β = 1,2) je dvourozm rná metrika na sv toploše; T popisuje
"nap tí" struny, dané hmotností struny na jednotku délky.
Teorie strun v silné interakci
P edstava jednorozm rných objekt - strun - se zrodila na konci 60. let
p i jednom z pokus o popis silných interakcí. Studium srážek hadron
(p edevším π-mezon ) p i vysokých energiích vedlo k tzv. Venezianov
modelu, který amplitudy ú inných pr ez kvantifikuje pomocí sou in
a podíl Γ-funkcí, jejichž argumentem jsou druhé mocniny sou t
ty hybností interagujících ástic a ástic výsledných. Ukázalo se, že
spektrum Venezianova modelu je identické se spektrem normálních
mod "vibrace" jednorozm rného kvantovaného objektu - relativistické
struny. A Feynmanovy diagramy, popisující interakce dvou ástic, lze
sjednotit do jednoho diagramu, v n mž 4 interagující ástice
(2 vstupující a 2 vystupující) jsou znázorn ny jako otev ené struny
(lineární útvary topologicky ekvivalentní úse ce); stejn tak lze
znázornit i vým nné ástice zprost edkující interakci. Každá struna
p itom m že "vibrovat" r zným zp sobem a podle toho se jevit jako
ástice ur itého druhu (elektron, foton, ...) - ástice jsou vzbuzenými
stavy "vibrace" struny.
Poznámka: Velikost superstrun se zde uvažovala v ádu 10-13 cm,
odpovídající charakteristickému dosahu silné interakce.
Podrobná matematická analýza ukázala, že kvantová teorie bosonové
struny je konzistentní (nap . ve smyslu konformní invariance) jen tehdy,
je-li dimenze prostoro asu d = 26. To dramaticky p evyšuje pozorovaný
po et dimenzí d = 4 našeho prostoro asu. Tento nesoulad je možné
vy ešit hypotézou o "svinutí" neboli kompaktifikaci p ebyte ných
dimenzí do malých uzav ených (kompaktních) variet, jak to bylo
zmín no výše v souvislosti se zobecn nými Kaluzovými-Kleinovými
578
unitárními teoriemi.
Dalším nedostatkem p vodní teorie strun je, že ve spektru volné
bosonové struny (které obsahuje pouze transverzální mody) základní
stav odpovídá ástici se záporným kvadrátem hmotnosti, tj. ástici s
imaginární hmotností - tachyonu. Druhý excitovaný stav je již
p ízniv jší - odpovídá kvantu s nulovou klidovou hmotností a se spinem
2, které lze ztotožnit s gravitonem, viz níže.
V poloviv 70. let byla vytvo ena kvantová chromodynamika (byla
stru n zmín ná výše), která silné interakce interpretuje pomocí kvark
a gluon , jež na sebe p sobí prost ednictvím tzv. "barevného náboje".
Velký úsp ch kvantové chromodynamiky odsunul dosavadní strunové
modely na více než 10 let do pozadí.
N kte í fyzikové si ale v té dob zjednodušen p edstavovali, že kvarky
v hadronech jsou spojeny strunami (gluonovými trubicemi), které je drží
pohromad jako "gumová vlákna".
Supersymetrická teorie strun
Jak bylo výše v pasáži o supergravitaci nastín no, pokusy o sjednocení
gravita ní interakce s ostatními typy interakcí v rámci kalibra ních
kvantových teorií pole vedly k pojmu supersymetrie. Tato teorie
spojuje bosony a fermiony: ke každému bosonu p edpovídá
"superpartnera" kterým je fermion, a naopak. Aplikace t chto nových
symetrií, vyjád ených geometricky (komuta ními i antikomuta ními
relacemi v prostoro ase) na teorii strun vedla ke snížení pot ebného
po tu rozm r prostoro asu z p vodních d = 26 na d = 10 (a
neobsahovala již žádné tachyony). Vznikla tak supersymetrická teorie
strun, neboli teorie superstrun. Vedle bosonové struny zde jako její
partner vystupuje fermionová struna, neboli superstruna, která má další,
spinorovou prom nnou.
Ve spektru excitací relativistické kvantované struny se vyskytuje ástice
s nulovou klidovou hmotností a spinem s = 2, kterou lze identifikovat s
gravitonem - kvantem gravita ních vln. To p ivedlo J.Sherka a
J.Schwarze v r.1974 k myšlence, že i když teorie strun není vhodná pro
popis silných interakcí, mohla by se stát vhodným nástrojem k budování
kvantové teorie gravitace. P itom však velikost t chto hypotetických
strun je nutno z p vodn uvažovaných 10-13 cm radikáln zmenšit na
579
rozm ry 10-33 cm Planckovy-Wheelerovy délky, charakteristické pro
kvantovou gravitaci.
Excitace superstrun mohou být "vibra ní", "rota ní", i excitace
"vnit ních stup volnosti" - vnit ní symetrie, supersymetrie. R zné
kvantové excitace (normální mody superstruny) se interpretují jako
spektrum elementárních ástic. Toto spektrum se ukazuje být natolik
bohaté, že m že generovat nejen všechny stavební prvky standardního
modelu elementárních ástic, ale zahrnovat i kvantovou gravitaci.
Úsp šné dokon ení koncepce superstrun by tak p edstavovalo jednotný
p ístup k r znorodému sv tu elementárních ástic a všech jejich
interakcí.
Základní principy teorie strun
Vlastnosti a základní principy strunové teorie si ukážeme nejprve na
p íkladu teorie bosonových strun, která má mnoho spole ných vlastností
s teorií superstrun. Uvažujme jednodimenzionální útvar - strunu, která
p edstavuje ástici a ší í se na pozadí plochého Minkowskiho
prostoro asu M obecné dimenze D. Z matematického hlediska se jedná o
vložení Lorentzovské dvourozm rné variety N tvo ené sv toplochou
pohybující se struny do M. Nech ξ a = (τ, σ) jsou sou adnice na N a
nech vložení je dáno rovnicemi
X α = X α (τ ,σ ) .
( 1993 )
Zde Xα jsou sou adnice zadané v Minkowskiho prostoro ase a ecké
indexy nabývají hodnot α = 0, ... ,D, zatímco latinské indexy hodnot
a = 0,1.
O podvariet Σ získané tímto vložením p edpokládáme, že je
orientovatelná, takže se jedná o tzv. Riemannovu plochu. Topologie Σ je
z ejm ízena charakterem vložení ( 1993 ). Rozeznáváme dva typy
bosonové strunové teorie. Jsou-li prostorové ezy E kompaktní, mluvíme
o teorii uzav ených strun, v opa ném p ípad pak o strunách otev ených.
Budeme se zabývat pouze uzav enými strunami.
V analogii s ú inkem pro volnou ástici v relativistické mechanice,
který je dán vlastní délkou oblouku sv to áry této ástice, je ú inek pro
580
strunu dán plochou její sv toplochy (Nambuova-Gotoova akce)
S=
1
2πα ′
γ d 2ξ ,
( 1994 )
Σ
kde α′ je konstanta tzv. inverzní strunové tenze a γ je determinant
indukovaného metrického tenzoru γab na Σ, daného jako
γ ab = ∂ a X α ∂ b X βηαβ .
( 1995 )
Konstanta α′ má roli Planckovy konstanty v kvantové mechanice a
zejména je parametrem, v i n muž se provádí mocninný rozvoj. Je-li
dán ú inek ( 1994 ), lze již konstruovat Feynmanovy diagramy podobn
jako v kvantové elektrodynamice, s tím rozdílem, že diagramy jsou nyní
nikoli jednorozm rné, ale dvourozm rné, a musíme v nich uvážit
všechny možné topologie Riemannových ploch reprezentujících
sv toplochu. Pomocí vzorce ( 1995 ) lze ú inek ( 1994 ) p epsat ve tvaru
(Polyakovova akce)
S=
1
2πα ′
γ d 2ξγ ab ∂ a X α ∂ b X βηαβ .
( 1996 )
Σ
Ve vztahu ( 1996 ) pro ú inek si lze povšimnout t í význa ných
principiálních symetrií. První symetrií je invariantnost ( 1996 )
vzhledem k tzv. Poincarého transformaci v D-dimenzionálním
Minkowskiho prostoro ase. Druhou symetrií je invariance vzhledem k
sou adnicovým transformacím na sv toploše struny. Kone n za t etí je
( 1996 ) invariantní vzhledem ke konformní transformaci
γ ab → e 2φ (τ ,σ )γ ab ,
( 1997 )
což je tzv. Weylova symetrie.
Dalším úkolem je odvodit ze zadané akce pohybové rovnice.
Variací ( 1996 ) podle metriky na sv toploše obdržíme podmínku na
581
vymizení tenzoru energie a hybnosti (energie-impulzu) Tabsheet této
sv toplochy
1
Tabsheet = ∂ a X α ∂ b X βηαβ − γ ab ∂ c X α ∂ d X β γ cdηαβ .
2
( 1998 )
Variace ( 1996 ) podle Xα pak dává vlnovou rovnici pro tyto veli iny
γ αβ ∇ a ∇b X α = 0 ,
( 1999 )
kde ∇a zna í kovariantní derivaci podle ξ a. Jestliže nyní p edpokládáme,
že sv toplocha struny má tvar válce, lze na ní zvolit sou adnice
σ ∈ 0;2π) a t ∈ (-∞;∞) spolu s plochou metrikou γab . N kdy se též
ukazuje výhodným zavést izotropní sou adnice ξ + a ξ - vztahem
ξ ± = σ ± τ . V nich se systém ( 1999 ) redukuje na soustavu
jednoduchých dvoudimenzionálních vlnových rovnic, jež je možné
separovat a získat ešení
X α = f α (σ − τ ) + g α (σ + τ ) ,
( 2000 )
s obecnými funkcemi fα a gα ídícími doleva a doprava se pohybující
strunové excitace.
Skute nost, že hustota Lagrangeovy funkce nezávisí na derivacích
γab , ur uje primární vazbu, kdy je moment konjugovaný k γab nulový.
Aby tato vazba platila ve všech asech, požadujeme spln ní sekundární
vazby, kterou lze vyjád it podmínkou, aby se tenzor energie-impulzu
( 1998 ) rovnal nule. A koli tenzor energie-impulzu strunové
sv toplochy má jednoduché vyjád ení pomocí jednotlivých polí, p ímé
kvantování iní technické obtíže. Tento tenzor má dv nezávislé složky
a pro kvantování sekundární vazby se s výhodou užívá Fourierova
rozvoje jeho složek T++sheet a T−−sheet v sou adné bázi (ξ+, ξ-). Koeficienty
tohoto rozvoje se nazývají Virasorovy koeficienty.
Následujícím cílem v budování teorie strun se p irozen stává
kvantování. Obvyklý postup sestává ze sestavení rozvoje sou adnic Xα
do Fourierovy ady a ur ení jejich netriviálních Poissonových závorek.
582
V tomto stadiu ale stále z stává jistá kalibra ní volnost, jak m žeme
uvid t z následující úvahy. Uvažme sou adnicovou zm nu v
sou adnicích Xα. Pokud tato zm na zobrazí body ze sv toplochy struny
op t na tuto sv toplochu, lze ji chápat jako sou adnicovou transformaci
na E, tedy jako nefyzikální stupe volnosti. Pokud ale zm na Xα
posouvá body sv toplochy mimo ni samotnou, jedná se o fyzikální
deformaci této sv toplochy. Jednou z výhodných metod fixování této
volnosti je zavedení dvou izotropních sou adnic podél sv telného
kužele. P esn ji, kalibrace sv telného kužele spo ívá ve zvolení dvou
izotropních sm r v Minkowského prostoro ase za sou adnicové k ivky
nových sou adnic, zpravidla nazývaných X+ a X-. Jako kalibraci klademe
podmínku, aby v sou adnicích ( X+, X-, XI ), kde I = 1,... , D – 2,
sou adnice X+ závisela pouze lineárn na τ (rovnom rný p ímo arý
pohyb), a dále, aby byly spln ny vazebné rovnice vyplývající z anulace
Virasorových koeficient . Nyní lze p ímo a e kvantovat, a to
nahrazením Poissonových závorek komutátory a nahrazením
Fourierových koeficient p íslušnými krea ními a anihila ními
operátory.
Další v cí je, že musíme zaru it platnost sekundárních vazeb.
Klasicky jsou tyto vazby vyjád eny anulováním všech Virasorových
koeficient . Aby sekundární vazba platila i po kvantování, tak
dostáváme z analogického požadavku neoby ejn d ležitý výsledek,
totiž fyzikální stavy (teorie). Jak si za chvíli ukážeme, teorie obsahuje
tachyon, dále obsahuje (D - 2)2 nehmotných stav a nekone n mnoho
hmotných stav . Zastavme se blíže u nehmotných stav . Každou
obecnou matici (D – 2) × (D – 2) m žeme rozložit na její stopu, což je
skalár, na její symetrickou ást, která má D(D – 3)/2 komponent, a na
antisymetrickou ást s (D – 2)(D – 3)/2 složkami. Tomuto rozkladu
odpovídá nehmotný skalár zvaný dilaton, nehmotná ástice se spinem 2,
interpretovaná jako graviton, a nehmotná ástice s potenciálem
tvo eným antisymetrickým tenzorem druhého ádu.
Úvahy doposud provád né nejsou zajisté obecn kovariantní.
Abychom jejich kovarianci zajistili, lze využít tzv. Fad jevovaPopovova p ístupu ke kvantování. Jestliže vyšet ujeme algebru tvo enou
Virasorovými operátory, zjistíme, že obsahuje ur itou anomálii,
respektive p ídavný len. Tato anomálie závisí na dimenzi D
Minkowského prostoro asu a musí být nulová, protože o ekávaná
583
hodnota homogenní ásti Virasorovy algebry vymizí. Jak zanedlouho
poznáme, je tento požadavek spln n pouze tehdy, je-li dimenze
prostoro asu rovna 26.
V teorii bosonové struny zjiš ujeme, že operátor tverce hmotnosti
stringu má tvar
M
∞
n =1
α −i nα ni + ( D − 2 )
n
,
2
( 2001 )
kde faktor M závisí na výb ru jednotkové hmotnosti (nap . M = 8), α − n
resp. α n jsou krea ní resp. anihila ní operátory a podle zdvojeného
indexu i se s ítá v souladu s Einsteinovou suma ní konvencí od jedné do
(D – 2) (p es ryze prostorové sou adnice). Teorie je lorentzovsky
invariantní (relativistická) jen když je dimenze asoprostoru 26.
P sobením α ni na energeticky nejnižší hladinu dostaneme nulu, ale
p esto nám ve výrazu pro m2 zbude sou et len nutných k hermicit
∞
n
operátor M ( D − 2 )
, což je divergentní suma, která má zápornou
n =1 2
zobecn nou hodnotu. tverec hmotnosti základního stavu je tedy
záporný, hmotnost imaginární, což odpovídá ástici, která se pohybuje
nadsv telnou rychlostí (proto zvaná tachyon) a nebyla nikdy
pozorována. A pokud alespo trochu v íme v kauzalitu a v teorii
relativity, nikdy pozorována nebude.
M žeme dokonce jednoduše vysv tlit, pro bosonové stringy v jiné
dimenzi než 26 nemohou fungovat. Uvažujeme-li energetickou hladinu
hned nad tachyonem (nejmén vzbuzenou, v p ípad otev ených strun
jednou, u uzav ených dvakrát), vidíme, že tato má pouze
(D – 2)-násobnou degeneraci. Uvažujeme-li o takto vzbuzeném stringu
s vektorem energie-hybnosti v ist asovém sm ru, zdá se nemožné
z t chto stav vytvo it multiplet grupy SO(D – 1) rotací fixujících tento
sm r (u ješt vyšších hladin, kde je degenerace vyšší, se to nemožné
nezdá). Máme však jednu záchranu: vektor nep jde namí it do ist
asového sm ru a tedy argument neobstojí, bude-li tato hladina
nehmotná. Požadujeme tedy, aby
584
m =M
2
( D − 2)
∞
n
+1 = 0.
2
n =1
( 2002 )
Naším úkolem bude nyní ur it dimenzi D, vyhovující této rovnosti.
Riemannova zeta funkce
Definujme ji s parametrem s, oby ejn nulovým
ζ s ( x) =
∞
n =1
(n + s)
−x
.
( 2003 )
Pro nás zajímavý sou et je ζ 0 ( −1) . Poznamenejme, že pro n > 1 je
funkce dob e definována, nap . ζ 0 ( 2 ) =
π2
(p esn ). Funkci, která je
6
v ur itém oboru komplexních ísel dob e definována a jde jednozna n
analyticky rozší it, prodlužme, všimnuv si, že
ζ1 ( x) = ζ 0 ( x) −1 ,
( 2004 )
(p i p echodu od s = 0 k s = 1 pouze vynecháme první s ítanec).
Rozepišme funkci do Taylorovy ady v okolí s = 0, zajímaje se o s = 1.
ζ 0 ( x) −1 = ζ1 ( x) =
∂
1 ∂2
1 ∂3
= ζ 0 ( x) + ζ s ( x) +
ζ s ( x) +
ζ x
2
3 s( )
∂s
∂
∂
2!
s
3!
s
s =0
s =0
s =0
( 2005 )
Derivace zeta funkce podle prom nné s však lze lehce vypo ítat:
∂
ζ s ( x) =
∂s
∞
n =1
( n + s )(
− x −1)
( − x ) = ( − x ) ζ s ( x + 1)
a obecn m-tá derivace je:
( 2006 )
585
∂m
ζ s ( x ) = ( − x − 1)( − x − 2 )
m
∂s
( − x − m + 1) ζ s ( x + m ) .
( 2007 )
Ode teme-li ζ 0 ( x ) od obou stran rovnice ( 2005 ) a zohledníme-li
poslední vztah pro derivaci, máme
−1 = ( − x ) ζ 0 ( x + 1) +
+
( − x )( − x − 1) ζ
( − x )( − x − 1)( − x − 2 )
3!
2!
0
( x + 2) +
( 2008 )
ζ 0 ( x + 3) +
Dosadíme do této rovnice x → 0 . Vzhledem k tomu, že pro x > 1 má
zeta funkce kone nou hodnotu, kterou zde násobíme íslem jdoucím
k nule, vliv má jen první len. To jest
lim xζ 0 ( x + 1) = 1 .
x →0
( 2009 )
Dosadíme-li x → −1 , máme
−1 = ζ 0 ( 0 ) +
1
( − x − 1) ζ 0 ( x + 2 ) .
2!
( 2010 )
Ale
lim ( − x − 1) ζ 0 ( x + 2 ) = −1,
x→−1
( 2011 )
a proto
1
2
ζ 0 ( 0) = − .
( 2012 )
A nakonec dosazením x → −2 zbudou v rovnici jen leny
−1 = 2ζ 0 ( −1) +
2
2
ζ 0 ( 0 ) + ( − x − 2 ) ζ 0 ( x + 3) ,
2!
3!
což po úprav dává
( 2013 )
586
−1 = 2ζ 0 ( −1) −
1 1
− ,
2 3
( 2014 )
a tedy
ζ 0 ( −1) = −
1
.
12
( 2015 )
Zajisté, existuje-li limita u bodu -1, chápeme ji p ímo jako funk ní
hodnotu. Všimn me si, že všechny provedené operace byly platné (a
sumy konvergentní) alespo v n jakém kruhu v komplexní rovin .
Rovnice ( 2002 ) je tedy spln na pro dimenzi D = 26.
(Argumentace byla trošku zjednodušená, protože první hladina nad
základní by nešla namí it asovým sm rem, ani kdyby byla tachyonová.
Ale intuice radí, že podmínky pro spln ní požadovaných komutátor
grupy Poincaré vedou k rovnici (s jedním ešením D = 26) a nikoli
k nerovnici.)
Východisko z tachyonové zhouby spo ívá v tom, že krom oby ejných
rozm r x1 až x24 a x- v daném ase x+ (po ítáme v kalibraci na
x 0 + x 25
+
sv telném kuželi – light-cone gauge – ili náš '' as'' x =
)
2
p idáme antikomutující prom nné, ímž se zbavíme fluktuací v základní
hladin , která se stane nehmotnou (jako je t eba foton). Kritický rozm r
se zm ní ze šestadvaceti na deset a struna se stane superstringem.
Podobné triky jako ty, které jsme využili pro výpo et
n , se však
hojn využívají také v kvantové elektrodynamice, teorii silných nebo
slabých interakcí a ve standardním modelu. P inášejí p edpov di, jež
jsou v perfektním souladu s experimentem. Užívána je nap íklad
rozm rová renormalizace, v níž p edpokládáme, že asoprostor má
obecnou dimensi d, zjistíme, že pro ur itá d vycházejí kone né
výsledky, a ty analyticky prodloužíme na nám zajímavé D = 4.
587
fyzikální oprávn ní t chto postup obecn není známo. Lze si nap íklad
jen obtížn p edstavit, jak v rámci sou asných teorií ospravedlnit
nap íklad dimenzionální regularizaci. Pro n které specielní p ípady
regularizace to známo je, ale konkrétn v kvantové elektrodynamice
nikoliv. Dokážeme matematicky napsat regulátory, podle kterých to
vyjde v souladu s experimentem, ale nevíme pro .
To vede adu fyzik k názoru, že QED, i obecn ji kvantová teorie pole,
je ve skute nosti jen efektivní teorií, za kterou se skrývá n co hlubšího,
co dost možná nov definuje spojitý prostoro as jako nízkoenergetickou
limitu ehosi fundamentáln jšího.
Superstruny
U i me ješt krátkou poznámku o superstrunách. V tomto p ípad
existuje díky supersymetrii ke každému Xα jeho superpartner, spinor ψ a
definovaný na sv toploše struny. Superstruny nemají ve svém spektru
tachyon a obsahují bosony i fermiony. Dimenze prostoro asu je rovna
10. Výsledky studia superstrun vedou k p edstav jednotné teorie
nazývané M-teorie.
Podobn jako u d ív jších kvantových teorií pole a vícedimenzionálních
unitárních teorií, i zde se nabízejí zajímavé hypotézy astrofyzikálních a
kosmologických d sledk teorie superstrun. Jak uvidíme ihned
v následujících kapitolách, zajímavé astrofyzikální aspekty teorie
superstrun byly studovány v souvislosti s termodynamikou a kvantovou
evaporací erných d r (Hawking v efekt). Pomocí metod teorie strun se
poda ilo odvodit vzorec pro entropii erné díry, a to nezávisle na
Hawkingov a Bekensteinov p ístupu. To umož uje lépe proniknout
jak do podstaty kvantov -gravita ních proces , tak do úlohy horizont a
erných d r v unitární teorii pole.
Zajímavé mohou být i kosmologické d sledky zobecn né teorie
superstrun. V pojetí duálních p-brán by vesmír mohl být
3-dimenzionální bránou (3-bránou), vyvíjející se na pozadí 11-rozm rné
variety s vhodnými kompaktifikacemi. A vznik vesmíru velkým t eskem
by mohl být zp soben srážkou dvou p-brán. R zná ešení teorie
superstrun mohou p edpovídat r zné vesmíry s r znými vlastnostmi
(dimenzemi, hodnotami fyzikálních konstant i spektry hmotností
588
elementárních ástic); k reflexi t chto možností a jejich selekci možná
ekne své i antropický princip.
M-teorie, 11-rozm rná teorie strun
Další vývoj teorie superstrun pokra oval výzkumy M.Grena, J.Schwarze
a E.Wittena, kte í nalezli takové kalibra ní grupy, aby teorie superstrun
byla pln kovariantní v prostoro ase (v duchu OTR). Bylo nalezeno p t
takových model teorie superstrun, z nichž nejzajímav jší se jevily dv
tzv. heterotické teorie s kalibra ními grupami SO(32) a E8 × E8.
Zbývajícími 3 teoriemi jsou teorie typu I, typu IIA, typu IIB. Ob teorie
typu II mají dv supersymetrie v desetirozm rné e i, ostatní jen jednu.
Teorie prvního typu je založena na neorientovaných strunách otev ených
i uzav ených, ostatní pouze na orientovaných uzav ených.
Významnou úlohu v teorii superstrun v té dob sehrála analýza
matematické (a z toho následn plynoucí i fyzikální) ekvivalence neboli
duality mezi r znými modely superstrun. Tyto duality p edstavují nové
typy symetrií, sjednocující r zné modely, které mohou mít na první
pohled odlišnou formu, avšak vedou k rovnocenným fyzikálním
výsledk m.
Ve druhé polovin 90. let 20. století se lidé pou ili, že struny jsou jen
první mezi rovnými (jelikož p ipoušt jí poruchový rozvoj), ovšem
podobn d ležité pro tuto teorii jsou i objekty všech ostatních dimenzí,
zvané p-brány, kde p ozna uje dimenzi.
Konkrétn se ukázalo, že heterotická teorie SO(32) s vazebnou
konstantou g je ekvivalentní teorii strun typu I (která má stejnou
kalibra ní grupu SO(32)) s vazebnou konstantou 1/g.
Tomuto vztahu dvou teorií se íká S-dualita a je jím vysv tleno chování
t í teorií z p ti p i velkém g. Podobn strunová teorie typu IIB je Ssamoduální.
P edpokládejme nyní, že teorie A,B jsou S-duální. Ozna uje-li g
vazebnou konstantu a f n jakou veli inu, znamená to, že
f A ( g ) = f B (1 g ) . Tato dualita, jejíž rozpoznání tvo ilo první krok druhé
revoluce, zobec uje elektro-magnetickou dualitu Maxwellových rovnic.
Vtip je v tom, že Diracova kvantovací podmínka nutí magnetické
589
náboje, aby byly celými násobky p evrácené hodnoty kvanta
elektrického náboje (p i správné normalizaci), což je vazebná konstanta.
Krom S-dualit byly objeveny tzv. T-duality, v nichž je svinutí jedné
teorie na varietu o typickém rozm ru R ekvivalentní svinutí druhé teorie
na varietu o typickém rozm ru 1/R (p esn ji Lstr2/R, kde Lstr je délka
superstruny). Díky svinutí vzniknou dva nové typy excitací. Struna
m že mít kvantovaný impuls n/R ve sm ru svinuté dimenze, což je
excitace známá už z oby ejných bodových Kaluza-Kleinových teorií.
2
n
Tento impuls p isp je ke kvadrátu energie struny výrazem
.
R
Jedním d sledkem je, že na krátkých vzdálenostech b žná geometrie
p estává fungovat a je nahrazena “kvantovou geometrií”, matematicky
popsanou 2D konformní teorií pole. Také nás vede k zobecn ní
Heisenbergovy relace neur itosti, podle které je neur itost ∆x >
∆p
, ale
také než strunové m ítko délky Lstr .
T-dualita spojuje fyziku velkého prostoro asu s fyzikou malého.
P edstavme si zak ivený prostoro as jako válec. Struna ovinutá kolem
tohoto válce má dva druhy energetických stav . Jedny vznikají z vln této
struny, t m budeme íkat vibra ní módy.
Jestliže je válec tlustý, pak tyto vibrace mají dlouhou vlnovou délku a
tudíž malou energii. Energie odpovídající r zným po t m vln po obvodu
válce leží tedy blízko sebe.
Je-li válec tenký, je vlnová délka vibra ních mód malá a tyto stavy
mají tedy velikou energii a jednotlivé energetické hladiny budou ležet
daleko od sebe.
Struna však také m že být okolo válce ovinuta vícekrát.
Jestliže je válec op t tlustý, pak je struna více napjatá a tudíž má i vyšší
energii.
R zné po ty ovinutí kolem válce nazýváme navíjecími módy.
uzav ená struna m že m-krát ovinout kružnici, kteréžto obtá ení p idává
ke tverci energie ( 2π RmT ) , kde T = ( 2π L2str ) je nap tí struny. Dva
2
−1
d ležité p íklady dvojic T-duálních teorií jsou IIA/IIB a HE/HO.
(V posledním p ípad je ješt t eba p idat tzv. Wilsonovy áry,
narušující symetrii.) Tyto dvojice jsou také ekvivalentní pro g = 0, což je
590
další d vod, pro jsme je spojili v obrázku 66. P vodní bosonová teorie
strun v 26 rozm rech je T-samoduální, což se pro samoduální polom r
projeví zv tšením kalibra ní grupy z U(1)2 na SU(2)2.
Energie odpovídající r zným navíjecím mód m tedy v p ípad tlustého
válce budou ležet daleko od sebe, zatímco u tenkého válce budou
hladiny blízko.
Pro makroskopického pozorovatele však r zný p vod vibra ních a
navíjecích stav není z ejmý.
Oba válce, jak tlustý, tak i tenký, poskytují nakonec stejné energetické
hladiny, které strunoví fyzikové interpretují jako ástice.
Totožnost mezi energiemi strun ve vesmírech s kruhovou dimenzí o
polom rech R a 1/R pramení matematicky z faktu, že energie mají tvar
v
+ wR ,
R
( 2016 )
kde v je vibra ní íslo a w je navíjecí íslo.
Obr. 62: Pláš válce znázor uje dv dimenze prostoru zkompaktifikované na kružnici. Struna
nalevo má navíjecí íslo nulové, kdežto struna napravo má bu w = 1, nebo w = -1, v závislosti
na své orientaci
Tento výraz se nezm ní p i kombinované zám n
R↔
1
, v ↔ w.
R
( 2017 )
V oby ejné kvantové mechanice bodových ástic jsou totiž vzdálenost a
impuls svázány Fourierovou transformací.
591
Konkrétn vlastní stav x polohy na kružnici o polom ru R lze vyjád it
jako
x =
eixp p ,
( 2018 )
ν
kde a p je vlastní stav impulsu s vlastní hodnotou
p=
ν
R
.
( 2019 )
V teorii strun však m žeme zkonstruovat ješt další reprezentaci
vlastního stavu operátoru polohy:
x =
eixp p ,
( 2020 )
w
kde p je vlastní stav operátoru navíjecího ísla s vlastní hodnotou
p = wR .
( 2021 )
Z toho je okamžit vid t, že x je periodická prom nná s periodou 2πR,
zatímco x má periodu 2π /R, což znamená, že x je poloha na kružnici o
polom ru R, zatímco x je poloha na kružnici o polom ru 1/R.
Podobn to lze popsat rovn ž i z hlediska energie a asu.
Budou li nyní vektory x a x reprezentovat dv vlnová klubka
startující z po átku soustavy sou adné, pak jelikož se stav o energii E
vyvíjí s fázovým faktorem Et, okamžit vidíme, že spot ebovaný as, a
tedy i polom r, je úm rný
t
1
E
R
pro módy vibra ní, a
( 2022 )
592
t
1
E
R
( 2023 )
pro módy navíjecí.
Takže subkvantová m ítka prostoro asu mohou nakonec poskytovat
stejnou fyziku, jako kosmologická m ítka našeho vesmíru.
Pozd ji byla diskutována i tzv. U-dualita, vzniklá kombinací
S a T-duality. Tím bylo vysv tleno chování t í z p ti superstrunových
teorií p i velikém g.
Obr. 63
Pokusy o objasn ní chování zbývajících dvou p inesly další p ekvapení.
Edward Witten nejprve ukázal, že teorie typu IIA pro veliké g vytvá í
novou, jedenáctou dimenzi, svinutou na kružnici o obvodu úm rném
g2/3. Limitou pro nekone né g je tedy teorie v jedenáctirozm rném
prostoro ase.
Studium strunových dualit ukázalo, že všechny stávající teorie
superstrun lze slou it do jedné obecn jší teorie, zvané M-teorie
(ozna ení "M" pochází z názvu membrane, n kte í auto i jej dávají do
souvislosti s p ívlastky matrix, mystery, magic a pod.).
Do roku 1984 byla velmi populární teorie jedenáctirozm rné
supergravitace. Jedenáct je maximální dimenze, ve které lze lokáln
supersymetrickou teorii vytvo it. Práv superstruny vzaly 11-rozm rné
supergravitaci její prvenství, co se oblíbenosti tý e. Jejich
nízkoenergetickou limitou jsou supergravitace v dimenzi 10 (a p ípadn
nižší), eventuáln interagující se super-Yang-Millsovým polem.
Superstruny tedy vysv tlují existenci t chto supergravita ních teorií.
Jedenáctirozm rná supergravitace z stávala výjimkou, protože nešla
593
odvodit z žádné superstrunné teorie. Mnohým se zdála z estetického
hlediska nep ijatelná p edstava, že by existence 11-rozm rné
supergravitace byla náhodou.
A m li pravdu. Nízkoenergetickou limitou této teorie se ukázala být
práv jedenáctirozm rná supergravitace.
Nejtvrdší o íšek, totiž chování heterotické teorie E8 × E8, se do kal
vysv tlení až ve slavném lánku Edwarda Wittena a Petra Ho avy.
Auto i ukázali, že také tato teorie vytvá í jedenáctou sou adnici, jejíž
délka je úm rná g2/3, avšak sou adnice nemá tentokrát tvar kružnice,
alebrž úse ky.
Obr. 64: Otev ená membrána napnutá mezi konci sv ta v heterotické M-teorii se v limit malých
vzdáleností mezi sv tobránami stává heterotickou strunou E8 × E8 .
Kalibra ní grupa heterotické E8 × E8 se skládá z dvou stejných faktor a
je tedy ekvivalentní M-teorii na pásu jedenáctirozm rného prostoro asu,
p i emž každý ze dvou faktor E8 kalibra ní grupy žije na jedné ze dvou
hranic tohoto pásovitého sv ta.
Petr Ho ava pokra uje v pilné práci a p išel s návrhem na ešení záhady
kosmologické konstanty. Náš sv t je podle n ho vhodné popisovat v e i
M-teorie se šesti sou adnicemi svinutými na Calabi-Yauovu varietu
a jednou sou adnicí svinutou na úse ku. Na jednom jejím okraji (tj.
jednom okraji sv ta) žije grupa E8 , která zodpovídá za narušení
supersymetrie. Na druhém okraji žije ''naše'' grupa E8 , narušená do
grupy standardního modelu. Ho ava ukázal, že lokáln všude (v etn
okraj sv ta) z stává teorie supersymetrická, což by m l být d vod pro
vymizení kosmologické konstanty. Sv t se jeví supersymetrickým
pozorovateli kratšímu, než je délka úse ky. Ovšem globáln teorie
supersymetrická není, protože oba okraje sv ta požadují jiný skok
parametru supersymetrické transformace.
594
Obr. 65: M-teorie a všechny superstrunové teorie jsou vzájemn propojeny dualitami.
Obr. 66: Šipky znázor ují poruchové rozvoje kolem g = 0. S1 zna í kompaktifikaci na dlouhou
kružnici, I1 svinutí na dlouhou úse ku.
595
Dalším d sledkem dualit a sjednocení superstrunových model je
rozší ení vlastní dimenze strun z p vodní D = 1 na objekty s jiným
(vyšším) po tem p prostorových rozm r , nap . 2-rozm rné objekty membrány. Takovéto vícerozm rné objekty se již nenazývají
superstruny, ale p-brány: pro p = 0 se jedná o bod, pro p = 1 je to
struna, pro p = 2 membrána, atd.
Edward Witten (1951)
Další zajímavý princip pro M-teorii objevil E.Martinec a D.Kutasov.
Zjistili, že všechny známé teorie strun je možné generovat pomocí tzv.
(2,1) heterotických strun. Podobn , jako je obvyklá (1,0) heterotická
teorie sm sí vpravojdoucí 10D superstruny (1) a vlevojdoucí 26D
bosonové struny (0), je (2,1) teorie sm sí vpravojdoucí N = 2
superstruny a vlevoujdoucí N = 1 superstruny. Liší se v tom, že vede jen
ke kone nému množství stav , protože kritická dimenze N = 2 strun je
D = 2 (ob sou adnice jsou ovšem jistým zp sobem zdvojeny) a
neobsahuje tedy žádné p í né polarizace. (Parametr N udává stupe
supersymetrie na sv toploše. Krom hodnot 0,1,2 s kritickými
dimenzemi 26,10,2 se promýšlela i hodnota 4, která ovšem vede ke zcela
nepoužitelné kritické dimenzi D = -2.)
N=2 superstruna obsahuje dv asové a dv prostorové sou adnice.
Kv li skloubení s 9+1 sou adnicemi vlevojdoucími je t eba k nim p idat
a poté zase odhodit 1+1 sou adnici. (2,1) teorie tedy generuje teorii pole
ve 2+2 rozm rech. Takovou membránu s 2 asovými sou adnicemi
nazvali auto i ''M-bránou''. Z 2+2 sou adnic se efektivn 0+1 nebo 1+1
odhodí, proto nám zbude teorie v 1+1 rozm rech (podle volby
okrajových podmínek dostaneme r zné teorie strun - bosonovou, teorii
596
typu II, heterotickou apod.) nebo v 2+1 rozm rech, kandidát pro
konzistentní teorii membrán.
Výklad M-teorie by si zasloužil rozsáhlý text a proto zde odkážeme na
vynikající práci v novanou tomuto tématu:
http://www.sytoprostor.euweb.cz/docs/Text.pdf .
P eci jen si však uve me n kolik základních údaj .
Hamiltonián tohoto kvantového modelu je velmi jednoduchý
(maximáln supersymetrická Yangova – Millsova teorie s grupou U(N)
v 9 + 1 dimenzích, redukovaná do 0 + 1 dimenzí) a popisuje N
základních ástic zvaných D0-brány.
Každá D0-brána nese jednu jednotku hybnosti ve sm ru kolmém na
plochu, do níž chceme informaci uložit.
Fyzikální systém s 9 páry matic X, P rozm ru N × N (a jejich 16
antikomutujícícmi partnery, které však pro jednoduchost zanedbejme),
jejichž maticovými elementy jsou operátory
(x ) , ( p )
( x ) ,( p )
i
i
mn
i
i
kl
mn
mn
,
i = 1,
=i δ δ δ
ij
kn
m, n = 1,
, 9,
lm
, N,
( 2024 )
.
na Hilbertov prostoru tedy popisuje sektor stav M-teorie s hybností
N/R ve sm ru zvolené dimenze x-.
Tato dimenze je práv oním sm rem kolmým ke zvolené rovin
hologramu.
Její hamiltonián vypadá takto:
p 2 + m2
−
ˆ
H= p =
=
+
2p
M 116
1
= R ⋅ Tr Π i Π i −
Xi , X j
2
16π 2
2
M 113
−
Γ 0 Γ i [ Xi ,
4π
]
( 2025 )
.
kde Xi , i = 1, … , 9 jsou hermitovské matice N × N, Πi jsou jejich
kanonické duály a λ jsou hermitovské fermionová matice jež mají 16
komponent formujících elementy grupy Spin(9).
597
D-brány (dirichletické brány, kde D ozna uje dimenzi) jsou zvláštní a
velmi d ležitou t ídou brán. Nesou jméno podle Dirichletových
okrajových podmínek pro sou adnice na koncích strun, které na
D-bránách mohou kon it.
Obvyklé otev ené struny mají Neumannovy okrajové podmínky na
koncích (derivace je rovna nule), ovšem T-dualita má za následek
existenci duálních otev ených strun, které mají Dirichletovy okrajové
podmínky (ur ena hodnota sou adnice na konci struny) pro
T-dualizované sou adnice. Obecn ji, v teoriích druhého typu m žeme
uvažovat otev ené struny s
∂x µ
∂σ
=0,
( µ = 0,1,
, p ) ; xµ
σ =0
σ =0
= x0µ ,
( µ = p + 1,
,9 ) .
( 2026 )
Taková volba pro konstanty x0 naruší Lorentzovu invarianci, díky
emuž lidi tak dlouho odpuzovala. ešení zdánlivého paradoxu spo ívá
v tom, že konce strun leží na dynamickém p+1-rozm rném objektu - na
D-brán . D-brány se studovaly už pár let, ovšem jejich význam vysv tlil
až Joe Polchinski v roce 1996. Jsou d ležité proto, že umož ují studovat
excitace brány pomocí renormalizovatelné dvojdimenzionální kvantové
teorie pole, namísto sv toobjemové teorie D-brány samotné, která
renormalizovatelná není. Tímto zp sobem se stalo možné po ítat
neporuchové jevy užitím poruchových metod! Mnohé z d íve
nalezených p-brán jsou D-bránami. Další jsou spojeny s D-bránami
symetriemi duality, takže i tyto lze dostat pod matematickou kontrolu.
Sou adnice t chto N D0-brán netvo í uspo ádanou N-tici, jak jsme
zvyklí, ale celou matici N × N, která odpovídá vektorovému potenciálu
v Yangov – Millsov teorii s grupou U(N).
µ
598
Obr. 67: Calabi – Yauova (C – Y) varieta
Obr. 68: Otev ené struny ukotvené na membrán C – Y variety
599
Pokud jsou D-brány daleko od sebe, matici lze s velkou p esností
diagonalizovat (vlnová funkce je zanedbatelná v bod odpovídajícím
klasické konfiguraci siln nekomutujících matic díky potenciálnímu
lenu v hamiltoniánu Tr Xi X j
2
a diagonální elementy nám íkají, jaké
jsou klasické polohy t chto ástic.
ísla kolem diagonály ve skute nosti nejsou p esn nulová, ale mohou
kolem nuly fluktuovat.
Tyto fluktuace nediagonálních element matic p edstavují virtuální
efekty, které jsou dimenzionální redukcí vektorových boson , ovšem
v kontextu maticového modelu jsou nelokálními veli inami a odpovídají
za veškeré interakce mezi D0-bránami.
Matic sou adnic t chto D0-brán je však o jednu mén , než je
prostorových sou adnic (konkrétn ji jich je 9).
P esto tato teorie popisuje d ní v p vodním prostoru, který má 10 + 1
dimenzí.
Jedna D0-brána má pozici v posledním desátém prostorovém sm ru
zcela neur itou.
Ovšem pokud máme D0-brán veliké množství, m žeme do jejich po tu
s pomocí Fourierových ad zakódovat i poslední desátou sou adnici.
To tedy znamená, že d vod, pro se cítíme býti trojrozm rnými bytostmi
a nikoli dvourozm rným obrazem je ten, že se skládáme z velkého
množství D-brán.
M-teorie ukazuje holografický princip na mnoha místech.
Nap . p í ná velikost objektu složeného z D-brán roste tak, že celková
plocha (v p ípad M-teorie devítirozm rná) je úm rná po tu D-brán.
Výpo ty vlastností erných d r v M-teorii tento záv r pln podporují.
erná díra se p i malé hodnot vazebné konstanty jeví jako soustava
vibrujících strun a brán, na kterých se mohou struny zachytit svými
konci.
Strominger a Vafa (a následn mnozí další) ukázali, že D-brán lze použít
pro získání po tu kvantových mikrostav spojených s klasickými
konfiguracemi erných d r. Nejjednodušší p ípad, který byl studován
nejd íve, je statická extrémní nabitá erná díra v p ti dimenzích.
Strominger a Vafa spo ítali, že pro velké hodnoty náboje souhlasí
entropie (definovaná jako S = log N , kde N je po et kvantových stav ,
600
ve kterých systém m že být) s Bekenstein-Hawkingovou p edpov dí
( 1988 ). Výsledek byl zobecn n i pro erné díry ve 4D, stejn jako pro
tém extrémní (a správn vyza ující) nebo rotující. Posléze bylo
propo ítáno mnoho dalších erných d r, nejprve tém extrémních,
posléze ale také nap . schwarzschildovských.
Ukázalo se, že stupn volnosti reprezentované D0-bránami (jakési
základní ástice tvo ící sv t a také v této souvislosti nazývané partony)
jsou v erné dí e skute n rozptýleny po povrchu, jelikož její entropie
(kterou lze interpretovat jako veli inu úm rnou po tu stup volnosti i
logaritmu po tu možných konfigurací) je úm rná jejímu povrchu, a
nikoli objemu, jak jsme zvyklí z klasické termodynamiky.
Zárove erná díra reprezentuje t leso, v n mž je entropie soust ed na
nejefektivn jším možným zp sobem – plocha jejího horizontu je
nejmenším možným povrchem oblasti, ve které se hmota s danou
entropií m že vyskytovat.
To p ivedlo holandského fyzika Gerarda ´t Hoofta a amerického fyzika
Lennyho Susskinda k hypotéze, že všechny stupn volnosti, v nichž je
uložena informace o všem na sv t , se dají lokalizovat na povrch
prostoru, v n mž žijí.
Celá situace je velmi podobná hologramu v tom smyslu, že plocha
udržuje informaci o celém prostoru, a proto se uvedenému principu íká
holografický.
Díky principu ekvivalence musí tento princip platin nejen pro ernou
díru, ale úpln všechny fyzikální systémy, nebo dynamika jakéhokoli
fyzikálního systému vypadá úpln stejn jako dynamika systému
padajícího do ohromné erné díry, jejíž geometrie na horizontu je tém
plochá.
Jsme tudíž vedeni k záv ru, že všechny stupn volnosti celého vesmíru
(partony) jsou projektovány na dvourozm rnou plochu obklopující
vesmír. Hloub ji se tomuto problému budeme v novat v mé p íští knize,
v nované m.j. fyzice Blandria.
601
Obr. 69
602
Z termodynamiky erných d r tak plyne, že by kolem každého objemu
m la jít nakreslit myšlená uzav ená plocha taková, že všechny informace
o objektech uvnit by m ly jít popsat pouze fyzikou na povrchu této
plochy (z toho, že entropie erných d r je úm rná povrchu a ne objemu a
že urychlení pozorovatelé vnímají horizonty událostí na prakticky
libovolných místech - podle zvoleného zrychlení a polohy pozorovatele
- a ty rovn ž vyza ují zá ení obdobné Hawkingovu - Unruhovo zá ení).
Navíc to vypadá, že ne každý pozorovatel m že m it na systému totéž.
Velice p kn to ilustruje nap íklad informa ní paradox erných d r:
Z hlediska padajícího pozorovatele se na horizontu nestane nic
zvláštního - jde jen o normální bod relativn plochého asoprostoru.
Z hlediska vn jšího pozorovatele ale každého padajícího pozorovatele
musí spálit Hawkingovo zá ení. Dá se ukázat, že paradox je
neroz ešitelný naší sou asnou fyzikou - každý pozorovatel který by cht l
narazit na rozpor, by musel nutn zažít Planckovu teplotu, která je mimo
náš dosah.
Z t chto indicií usuzujeme, že k dokon ení kvantové gravitace není
pot eba nic menšího, než p edefinování kvantového stavu tak, aby
zahrnoval existenci horizont událostí a toho, že n které informace jsou
pro n které pozorovatele nedostupné a r zní pozorovatelé na stejnou
otázku mohou dostat r znou odpov , pokud ji v principu nemají jak
porovnat.
I z toho, jak s gravitonem zacházejí superstruny je vid t, že jde o n co
jiného, než zbylé 3 interakce - graviton je jediná ástice tvo ená
uzav enou strunou. Dalším problémem by mohlo být, že gravitace
obsahuje mnoho stup volnosti - stejn jako sou asné teorie pole, kde
mohou být za našich nízkých teplot n které stupn volnosti zamrzlé a
ástice vypadají jako body. Za vysokých teplot ale m že každý bod
asoprostoru být nezávislý.
V sou asné dob existuje dostatek indicií k tomu, že naše fyzika je
pom rn nekompletní na základní úrovni, což nám chybí k popisu
gravitace. Ten m že být nakonec o dost odlišný od toho, co dosud
známe.
603
Strunové prostoro asy
Zkoumejme strunu ší ící se na pozadí, v n mž n která ze strunových
polí mají klasické o ekávané hodnoty. Rozší ení akce ( 1996 ), kdy
bereme do úvahy t i základní pole - graviton, popsaný symetrickým
tenzorem se složkami gαβ , antisymetrický tenzorový potenciál Bαβ a
dilaton Φ, je dáno takto
S=
1
γ d 2ξ gαβ ( X ) ∂ i X α ∂ j X β γ ij −
4πα ′
1
− α ′RΦ ( X ) + Bαβ ( X ) ∂ i X α ∂ j X β ε ij ,
2
( 2027 )
kde εij ozna uje Levi-Civit v tenzor na sv toploše a R je skalární k ivost
po ítaná pro metriku γab . Protože dilatonový len je ádu O(a'2), je akce
( 2027 ) konformn invariantní pouze do ádu O(a'), což znamená, že v
obecném ádu je ztracena jedna ze základních symetrií strunové teorie.
Ve vztahu ( 2027 ) je explicitn vyzna ena závislost gab , Bab a Φ na
prostoro asových sou adnicích, a tedy Xα již nejsou volná pole. Z
konformní teorie pole vyplývá, že p i kvantování interagujících
konformn invariantních polí je obecn ztracena konformní invariance.
Proto, aby byla zachována konformní invariance, nezbývá než
požadovat, aby byla zachována v každém ádu a'.Odtud vyplývají
fundamentální pohybové rovnice, které musí gab, Bab a Φ spl ovat.
1
Rαβ − ∇α ∇ β Φ + H αγδ H βγδ = O (α ′ ) ,
4
∇α H αβγ + ∇α ΦH αβγ = O (α ′ ) ,
2 D − 26
1
+ − R + ∇α Φ∇α Φ + 2∇α ∇α Φ + H αβγ H αβγ = O (α ′ ) .
3 α′
12
( 2028 )
V rovnicích ( 2028 ) jsou komponenty Hαβγ antisymetrického tenzoru
t etího ádu H, definované vn jší derivací z Bαβ , dále R a Rαβ jsou
skalární k ivost a Ricciho tenzor po ítané z metriky gαβ . Tyto rovnice
604
jsou strunovou verzí Einsteinových rovnic, a tedy leny obsahující α' lze
chápat jako strunové korekce. Zd razn me ješt jednou, že rovnice
( 2028 ) byly odvozeny ist z podmínky zachování konformní symetrie.
Po konformní transformaci 9ab → exp {-2Φ/(D – 2)}gab je akce systému
( 2028 ) dána vztahem
S = d D x −g
2 D − 26
2Φ
exp −
−R
′
3 α
D−2
1
1
4Φ
+
∇α Φ∇α Φ + exp −
H2 ,
D−2
12
D−2
( 2029 )
kde jsme ozna ili H2 = Hαβγ Hαβγ.
P ed zakon ením tohoto oddílu se zmíníme o další p esné symetrii ve
strunové teorii. Nazývá se T-dualitou a jejím základním d sledkem je to,
že dva r zné prostoro asy jsou popsány jednou a toutéž strunovou teorií.
P edpokládejme, že v daném strunovém prostoro ase je definováno
Killingovo vektorové pole ζ = ∂/∂X0 vyjad ující symetrii prostoro asu
v i posunutí ve sm ru sou adnice X0, a tedy lze zvolit adaptované
sou adnice, v nichž gab, Bab a Φ nezávisí na sou adnici X0. Pak m že být
dokázáno, že nová metrika, definovaná vzorci
gˆ 00 =
1
,
g 00
gˆ 0α =
B0α
,
g 00
gˆ αβ = gαβ −
( 2030 )
g 0α g 0 β − B0α B0 β
g 00
,
ˆ a
tvo í spolu s p íslušn transformovanými veli inami, potenciálem B
αβ
ˆ , strunový (a T-duální) prostoro as ekvivalentní s
dilatonem Φ
p vodním. Výsledkem dvojnásobné T-dualizace je op t výchozí
prostoro as.
605
Bránové sv ty
V tomto odstavci budeme hovo it o bránových sv tech. Ve své
nejjednodušší verzi tento termín v souvislosti s relativistickou
kosmologií poukazuje na fyzikální obraz prostoro asu, v n mž je náš
ty rozm rný prostoro as asupodobnou nadplochou v p tirozm rném
prostoro asu 5 . Fyzikální hmota je omezená na náš vesmír 4 .
Situaci znázor uje obr. 70.
Obr. 70 - Schematické znázorn ní 3-brány v p tidimenzionálním prostoro asu. S vývojem 3brány v ase vzniká ty rozm rná nadplocha, na obrázku znázorn ná šedou barvou.
Obecn ji p-bránou nazýváme p-dimenzionální prostorupodobnou
podvarietu n jakého D-dimenzionálního (D > p + 1) prostoro asu D ,
který budeme dále nazývat prostor sv t (v angli tin bulk). Toto je
dosti obecná definice; dále se omezíme na fyzikáln opodstatn ný
p ípad, kdy dimenze prostoru sv t je rovna D = p + 2. Sou adnice
xa (a = 1, ... , p + 2) na prostoru sv t sestávají z asové sou adnice t,
prostorových sou adnic xµ (µ = 1, ... , p) na p-brán a z jedné
transverzální (tzv. extra) sou adnice Z.
podle teorie strun jsou konce otev ených strun fixovány na
asupodobné p-dimenzionální plochy. Matematická formulace spo ívá v
položení Dirichletových hrani ních podmínek na p íslušné sou adnice
konc otev ené struny. Odtud též pochází název D-brány, kde D
poukazuje na povahu t chto bran, tj. na souvislost s Dirichletovými
podmínkami. Protože v dalším výkladu budeme uvažovat pouze D-
606
brány, bude písmeno D vynecháno a symbol p-brána znamená pdimenzionální D-bránu.
Náš 4-rozm rný prostoro as je vložen jako asupodobná nadplocha
do 5-rozm rného prostoro asu. Samotný 3-rozm rný prostor je pak
3-bránou. V obecném D-rozm rném prostoro ase m že být obecn
libovolný po et p-brán, z nichž alespo jedna, náš vesmír, zahrnuje
standardní model isti ové fyziky (jako dob e ov enou teorii
elementárních ástic). Sektor otev ených strun generuje fyzikální pole
vázaná na p-bránu, nebo struny jsou p iloženy svými konci na
sv toplochu brány. Uzav ené struny se mohou ší it v prostoru sv t .
Protože ve spektrech uzav ených strun se nachází graviton, není gravitace omezena na p-bránu, nýbrž naopak zprost edkovává interakce
mezi nimi, viz obr. 71.
Obr. 71: Otev ené struny musí být vždy ob ma koci ukotveny na D-bránách, v hyperprostoru
(prostoru sv t ) se mohou voln pohybovat pouze uzav ené struny, jako jsou nap . gravitony.
Historicky prvním modelem bránového sv ta byl model ArkaniHameda, Dimopoulose a Dvaliho, kte í studovali (4 + d)-dimenzionální
plochý prostor sv t , v n mž d dimenzí má toroidální geometrii.
Pozoruhodný pokrok p inesly práce Randallové a Sundruma. V nich byl
nalezen zak ivený prostor sv t tvo ený ezem anti-de Sitterova (AdS)
prostoro asu.
5-dimenzionální akce, s níž budeme dále pracovat, je dána analogicky
607
jako v 4-dimenzionální gravitaci výrazem
S = − d 5 x − g ( 5)
R
+ Λ 5 + Spole ,
2κ 52
( 2031 )
v n mž κ5 je 5-dimenzionální gravita ní vazebná konstanta, Λ5 je
kosmologická konstanta v prostoru sv t a Spole p edstavuje akci
veškerých dalších polí. Gravita ní vazebnou konstantu lze v jednotkách
= c = 1 vyjád it i pomocí fundamentální (tj. definované v prostoru
sv t ) Planckovy škály M5 jako
κ 52 =
8π
.
M 53
( 2032 )
Einsteinovy rovnice v prostoru sv t , které získáme variováním akce
( 2031 ), jsou
1
Gab ≡ Rab − g ab R = −κ 52Tab + g ab Λ 5 ,
2
( 2033 )
kde tenzor energie-impulzu je definován prost ednictvím variace akce
polí vzhledem k metrice stejn jako v klasickém p ípad .
P ijm me zjednodušující podmínku, že všechna hmota je soust ed na
na brán . P edpokládejme dále, že 5-dimenzionální metrika v prostoru
sv t má reflexní symetrii v extra dimenzi, Z → -Z, a metrika bránového
sv ta disponuje asovou reflexí a prostorovou paritou, tj. t → -t
a xI → -xI, (I = 1,2,3).
Protože prostor sv t by nem l záviset na sou adnicích na brán , lze
jeho metriku zapsat ve tvaru
ds2 = e2A(t,z) [dt2 - D2(t, z)d(xI)2] - C2(t, z) dz2 .
( 2034 )
Pokud navíc požadujeme, aby 5-dimenzionální metrika byla statická a
spl ovala Poincarého (SO(3, 1)) symetrii, m žeme ji psát ve tvaru
608
ds 2 = e2 A( Z )η µν dx µ dxν − dZ 2 .
( 2035 )
Studujeme-li expandující bránu, lze 5-dimenzionální metriku psát jako
dr 2
ds = a b ( dt − dZ ) − a
+ r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 ϑ dϑ 2 ,
2
1 − Kr
( 2036 )
s obvyklými hodnotami K = ±1 nebo K = 0 v závislosti na tom, zda je
3-brána (náš prostor) topologicky 3-sféra, hyperbolický prostor, nebo
zda je plochý. Metrika ( 2036 ) je konzistentní s homogenitou a izotropií
na brán lokalizované v Z = 0. Funkce a a b závisí pouze na
sou adnicích t a Z.
2
2 2
2
2
2
Kovariantní popis gravitace bránových sv t
Uvažujme (3+1)-dimenzionální nadplochu v 5-rozm rném prostoru
sv t . Ozna me n její normálové vektorové pole. Snadno se ukáže, že
projek ní tenzor, daný jako
h=g–n⊗n,
( 2037 )
je metrikou na zadané nadploše. P ipome me si definici vn jší k ivosti
K ab = hac hbd ∇ c nd .
( 2038 )
V diferenciální geometrii se odvozuje vztah mezi k ivostí variety a
k ivostí do ní vložené nadplochy. Tento vztah je znám jako Gaussova
rovnice a je dán takto
( )
Rabcd
= haj hbk hcl hdm R jklm − 2 K a[c K d ]b .
4
( 2039 )
V Gaussov rovnici ( 2039 ) je 4-dimenzionální Riemann v tenzor
konstruován z metriky hub stejným zp sobem, jako je Riemann v
tenzor prostoru sv t konstruován z metriky gab.
Dalším d ležitým vztahem je Codazziho rovnice, která vztahuje
609
ty divergenci vn jší k ivosti s Ricciho tenzorem prostoru sv t
4
4
∇ (b ) K b a − ∇ (a ) K = n c hb a Rbc .
( 2040 )
Lze ukázat, že pokud je na zadané nadploše lokalizován tenzor energieimpulzu Tab a prostor sv t má reflexní symetrii Z → -Z, pak je vn jší
k ivost vyjád ena jako
K ab = κ 2 −Tab +
1
(T − σ ) hab .
3
( 2041 )
Definujme skok funkce [f] p edpisem
f (Z + ε ) − f (Z − ε )
[ f ] = εlim
→+0
.
( 2042 )
Z rovnice ( 2041 ) vyplývá, že skok vn jší k ivosti je
1
K ab = −κ 52 Tab − habT .
3
( 2043 )
Rovnice ( 2043 ) tvo í navazovací podmínky na zadané nadploše.
Tenzor energie-impulzu Tab = τab – σ – hab jsme rozložili na ást od
povídající klasickému tenzoru energie-impulzu τab a ást, která odpovídá
tenzi brány σ. Využitím (2039 ), ( 2040 ), ( 2043 ) a 5-dimenzionální
prostorupodobné varianty tzv. elektrické ásti Weylova tenzoru
Eab = Cacbd nc n d pak získáme 4-dimenzionální Einsteinovy gravita ní
rovnice
( 4)
Gab
= 8π Gτ ab − Λ 4 hab + κ 54π ab − Eab ,
( 2044 )
kde πab je tenzor definovaný jako
π ab =
1
1
1
1
bττ ab − τ acτ bc + habτ cdτ cd − τ 2 hab .
12
4
8
24
( 2045 )
610
Mezi tenzí brány, Newtonovou gravita ní konstantou G, efektivní
kosmologickou konstantou bránového sv ta Λ4 a fundamentální
kosmologickou konstantou v prostoru sv t Λ4 platí vztahy
8π G =
Λ4 =
κ 54
κ 52
2
6
σ,
Λ5 +
κ 54
6
( 2046 )
σ2 .
V teorii bránových sv t se tedy Einsteinovy rovnice ( 2044 ) liší od
své verze známé z klasické relativistické kosmologie, a to o dodate né
zdrojové leny. Je to tenzor πab , kvadratický v tenzoru energie-impulzu
a reprezentující korekce p i vysokých energiích. Gravita ní vliv prostoru
sv t na bránu je popsán elektrickým Weylovovým tenzorem, který
vystupuje v roli efektivního tenzoru energie-impulzu. Bianchiho identity
a zákony zachování implikují diferenciální identitu
κ 54∇ aπ ab = ∇ a Eab ,
( 2047 )
která platí na brán . Odvozené Einsteinovy rovnice ( 2044 ) jsou obecné
a platí pro libovolnou nadplochu bez p edpokladu speciálních symetrií.
Randallové-Sundrum v statický bránový sv t typu II
Lisa Randall (1962)
Raman Sundrum ( 1963 )
611
Nyní se budeme zabývat p ípadem bránového sv ta, který byl poprvé
publikován v pracích Randallové a Sundruma. Jedná se o vložení
Minkowského bránového sv ta, popsaného metrikou ( 2035 ), do
5-dimenzionálního AdS, viz obr. 72.
Budeme p edpokládat, že prostor sv t je vypln ný pouze vakuovou
negativní energií, tj. Λ5 < 0. Fyzikálním zdrojem metriky je bránový sv t
umíst ný v Z = 0, popsaný bránovou tenzí σ. Tento model je obvykle
nazýván Randallové-Sundrum v bránový sv t typu II. Einsteinovy
5-dimenzionální rovnice lze odvodit z akce, která je v tomto
jednoduchém p ípad sou tem Einsteinovy-Hilbertovy akce a bránové
akce
R
( 4)
4
d
x
g
+
Λ
+
−
( −σ ) .
5
2
2κ 5
( 2048 )
Einsteinovy rovnice se redukují na soustavu dvou rovnic
S = SEH + SBrána = − d 5 x − g ( 5)
3 A′′ = κ 52σδ ( Z ) ,
6 ( A′ ) = −κ 52 Λ 5 .
2
( 2049 )
Obr. 72 - Vno ení Minkowského bránového sv ta do 5-dimenzionálního AdS v Poincarého
sou adnicích.
612
Vylou íme-li exponenciáln rostoucí ešení, je výsledná metrika dána
formulí
ds 2 = e
−2 k Z
η µν dx µ dxν − dZ 2 ,
( 2050 )
kde konstanta
k= −
κ 52
6
Λ5 .
( 2051 )
Integrací druhé z rovnic ( 2049 ) podle Z od -ε do ε a využitím reflexní
symetrie obdržíme vztah
Λ5 = −
κ 52
6
σ 2.
( 2052 )
Získané ešení ( 2050 ) je singulární pro Z = ±∞.
Sou adnicová transformace exp {-kZ} = y a p eškálování x µ = kx µ
p evádí ( 2050 ) do tvaru
ds = k
2
−2
dy 2
y η µν dx dx − 2
y
2
µ
ν
.
( 2053 )
Je zajímavé, že singularita v y = 0 m že být považována za horizont
3-brány, který má nulový polom r. Tenzor energie-impulzu má tvar
TIIab =
6k
κ
2
5
δ ( Z ) δνµ δ µaδ bν ,
( 2054 )
což p esn odpovídá skute nosti, že hmota je s kladnou konstantní
hustotou lokalizovaná na brán . V tomto p ípad jsou metrické fluktuace
v extra sm ru nulové, tj. δ g ZZ = 0 , a tenzor energie-impulzu lze odvodit
z rovnice
613
ab
TBrána
=
(
δ σ − g ( 5)
2
−g
( 5)
δ g ab
)
δ (Z ) .
( 2055 )
δ g ZZ =0
5-dimenzionální akce p íslušející bránové tenzi je dána rovnicí
SII =
6k
κ 52
∞
d x dZ − g ( 5) δ ( Z ) .
4
( 2056 )
−∞
Všimn me si, že uvedené navazovací podmínky jsou podmínkami
jemného lad ní, nebo celá hmotová akce ( 2056 ) je ur ena pouze
charakteristikami prostoru sv t - fundamentální (definovanou v
prostoru sv t ) Planckovou škálou M5 a kosmologickou konstantou v
prostoru sv t A5. Jak vyplývá z ( 2056 ) a ( 2052 ), efektivní
kosmologická konstanta 3-brány je nulová.
Oproti sou adnicovým singularitám v Z = ±∞ existuje fyzikální
singularita v Z = 0, což odpovídá hmot , kterou jsme p idali na bránu.
To je patrné z Kretschmannova skaláru, daného výrazem
{
Rabcd R abcd = 8k 2 3k 2 + k − 2δ ( Z )
2
}.
( 2057 )
Randallové-Sundrum v bránový sv t typu I
Na rozdíl od Randallové-Sundrumova modelu typu II, kde Z leželo v
intervalu -∞ ≤ Z ≤ ∞, v Randallové-Sundrumov bránovém sv t I je
extra sou adnice Z kompaktní. Tedy krom reflexní symetrie Z → -Z
navíc p edpokládáme i její periodi nost, viz obr. 73. Nyní p idáme
hmotu nejenom na bránu v po átku Z = 0, ale i na druhou bránu, která je
umíst na v Z = π rc , kde rc je polom r kompaktifikace. Ke vzorci
( 2056 ) tak analogicky dostáváme
614
SI = SI
+ SI
Z =0
Z =π rc
=
6k
κ
2
5
π rc
d 4x
dZ − g (
5)
δ ( Z ) − δ ( Z − π rc ) .
−π rc
( 2058 )
Odpovídající tenzor energie-hybnosti nabývá tvaru
TIab =
6k
κ
2
5
δ ( Z ) − δ ( Z − π rc ) δνµδ µaδ bν .
( 2059 )
Zatímco brána v Z = 0 má kladnou hustotu hmoty, brána v Z = π rc ji
má zápornou.
Obr. 73: Metrická funkce exp {-2AI(Z)} pro Randallové-Sundrum v kompaktifikovaný model
typu I.
Metrika Randallové-Sundrumova bránového sv ta je
ds 2 = e −2 krcϕη µν dx µ dxν − rc2 dϕ 2 ,
0≤ϕ ≤π .
( 2060 )
Kretschmann v skalár je dán výrazem
Rabcd R
abcd
{
= 8k 3k + k − 2 (δ ( Z ) − δ ( Z − π rc ) )
2
2
2
},
( 2061 )
Bránová akce ( 2058 ) je ur ena pouze fundamentálním m ítkem a
kosmologickou konstantou v prostoru sv t . Dále je jemné nastavení
615
manifestováno skute ností, že hmotové akce obou brán mají stejné
velikosti, ale opa né znaménko
SI
Z =0
V4
=−
SI
Z =π rc
V4
M 53
=
,
8π
( 2062 )
kde V4 je (formální) objem každé brány, V4 = d 4 x , a gravita ní
vazebná konstanta je vyjád ena pomocí fundamentální škály energie M5.
To je také d vodem, pro má brána v po átku Z = 0 pozitivní tenzi,
zatímco brána v Z = π rc má negativní tenzi. Efektivní kosmologická
konstanta vymizí na obou bránách.
Newtonovská gravitace z Randallové-Sundrumova modelu typu II
Standardním postupem p i odvození Newtonova gravita ního zákona je
uvažovat linearizovanou teorii gravitace. V tomto odstavci budeme
postupovat analogicky, tj. budeme se zabývat malými fluktuacemi na
pozadí bránové metriky vzniklé p idáním bodové hmoty na bránu.
P edpokládáme-li malé perturbace hµν , omezené na bránový sv t,
m žeme psát
ds 2 = e −2 krcϕη µν − hµν ( x, Z ) dx µ dxν − dZ 2 .
( 2063 )
Využijme asté kalibrace, kdy je stopa a divergence tenzoru hµν
nulová, tj. hµµ = 0 a ∂ µ hµν = 0 . Variace Einsteinových rovnic
δ Gµν = δ ( −κ 52Tµν + Λg µν )
( 2064 )
v této kalibraci nabývá tvaru
(e
2k Z
)
∂ ρ ∂δ − ∂ 2Z hµν − 4kδ ( Z ) hµν + 4k 2 hµν = 0 .
( 2065 )
616
Po separaci prom nných hµν ( x ρ , Z ) = ψ ( Z ) Φ ( x ρ ) obdržíme rovnice
∂ µ ∂ µ Φ ( x ρ ) = −m2Φ ( x ρ ) ,
m2 ≥ 0 ,
m2 2k Z 1 2
−
e
− ∂ Z − 2 kδ ( Z ) + 2 k 2 ψ ( Z ) = 0 .
2
2
( 2066 )
( 2067 )
Pokud se budeme zabývat statickým rota n symetrickým p ípadem
nulového módu, tj. m = 0, vidíme, že ψ spl uje Laplaceovu rovnici a je
dáno
ψ (r ) = −
B
r
( 2068 )
kde integra ní konstanta B je rovna G ml m2, abychom obdrželi správný
výraz pro newtonovskou gravita ní sílu mezi dv mi ásticemi.
Pro funkci ψ(Z) získáme p i m = 0 ešení
ψ ( Z ) = ψ 0 e−2 k Z ,
( 2069 )
kde ψ je integra ní konstanta.
Na záv r se stru n zmi me o nenulových módech, kdy m ≠ 0 (tzv.
Kaluzovy-Kleinovy módy). Tehdy obdržíme korekci ádu r -3 k
Newtonov gravita nímu zákonu.
Kalibra ní hierarchie z Randallové-Sundrumova modelu typu I
Pojednání o Randallové-Sundrumov bránovém sv tu typu I by nebylo
úplné, kdybychom se nezmínili o tzv. problému kalibra ní hierarchie,
který je znám ze standardního modelu elementárních ástic
vycházejícího z principu spontánního narušení symetrie.
Nap íklad u elektroslabých interakcí prob hlo toto narušení p i
energiích kolem energetické škály ME ∼ 103 GeV. Naproti tomu efekty
strunové teorie jsou zcela signifikantní p i škálách energie okolo
617
Planckovy energie, což je p ibližn MP ∼ 1019 GeV. Dostáváme o 16
ád vyšší hodnotu, než je energie p i spontánním narušení symetrie.
Standardní ásticový model doposud ztroskotával p i objasn ní
takové energetické diskrepance. Na ilustrativním p íkladu se podívejme,
jak lze problém hierarchie vysv tlit v rámci Randallové-Sundrumova
modelu typu I.
P edpokládejme že žijeme na brán lokalizované v Z = π rc a
prove me dimenzionální redukci Einsteinovy gravitace na 3-brán z
5-rozm rné gravitace na 4-rozm rnou gravitaci v Z = π rc . Píšeme-li
( 5) a b
ds 2 = g ab
dx dx = e
−2 k Z
g µν dx µ dxν − dZ 2
( 2070 )
postupn dostáváme
M 53
5
S5 = −
d 5x g( ) R =
16π
M 53
=−
d 4 x det g µν
16π
3
5
π rc
dZe
−2 k Z
−π rc
( R( ) + ) =
4
(
)
M
4
=
1 − e −2 kπ rc d 4 x det g µν R ( ) +
16π
M P3
d 4 x det g µν R ( 4) +
=−
= S4 + .
16π
=−
(
)
(
( 2071 )
)
P i odvození ( 2071 ) jsme použili g ( ) = exp ( −8k Z ) det g µν a
5
R=e
2k Z
g µν Rµν +
=e
2k Z
R( ) +
4
.
( 2072 )
Porovnáním získáváme vztah
MP =
1
1 − e −2 kπ rc M 53 .
k
(
)
( 2073 )
Rovnice ( 2073 ) nám dává velmi d ležitý výsledek, podle n hož MP
618
závisí pouze slab na rc v limit , když je sou in krc velký.
Obdobn jako rovnici ( 2073 ) lze odvodit i další d ležitý vztah mezi
hmotovým parametrem m0 , definovaným ve fundamentálním
5-dimenzionálním prostoru sv t , a odpovídající fyzikální hmotou m,
m enou pozorovatelem na 3-brán ,
m = e − kπ rc m0 .
( 2074 )
Ze vztahu ( 2074 ) vidíme, že pokud je hodnota m0 blízko Planckovy
škály, pot ebujeme krc ≈ 50, aby jí z hlediska pozorovatele na brán
odpovídala fyzikální hmota m s korektní hodnotou elektroslabé škály
ME. Odtud vyplývá, že nastavením rc na dostate nou hodnotu lze
obdržet velmi vysokou hierarchii mezi elektroslabou a Planckovou
škálou. A koli exponenciela ve vzorci ( 2073 ) má velmi malý vliv na
ur ení Planckovy škály energie, hraje podstatnou roli v ur ení
viditelných hmotných škál ( 2074 ).
Je zapot ebí d razn upozornit, že p edložené vysv tlení není
skute ným ešením, nebo vyžaduje spln ní podmínky jemného lad ní.
Nicmén se problém hierarchie stává mnohem jasn jším.
Friedmann v bránový sv t
Zabývejme se situací, kdy je bránový sv t p edstavován prostoro asem
typu FRW a je vložen do AdS. Bránový sv t FRW je nejp irozen jší
volbou, která odráží skute nost, že náš vesmír expanduje. Protože o
kosmologii FRW bylo pojednáno v p edchozích kapitolách, zmíníme se
p edevším o odlišnostech, kterými se vyzna uje bránový sv t FRW od
standardní kosmologie FRW.
P edpokládejme metriku prostoru sv t ve tvaru ( 1923 ). A koli pro
jednoduchost uvažujeme ploché prostorové ezy (tj. parametr K v
( 1923 ) je 0), lze výsledky p ímo a e zobecnit i na p ípady K = ±1.
Rozložíme-li celkovou hustotu energie ρ na ást pocházející z hmoty
ρm a na bránovou tenzi a zavedeme-li kosmický as ab dt = dτ, po
dosazení do ( 1931 ) a úprav obdržíme
619
H2 =
ρ
Λ
8π G
µ
ρm 1 + m + 4 + 4 ,
3
2σ
3 a
ρ
dH
= −4π G ( ρ m + pm ) 1 + m ,
dτ
σ
( 2075 )
kde H je Hubbleova konstanta H = a -1(da/dτ). Vztahy ( 2075 ) jsou
bránové verze Friedmannovy a Raychaudhuriho rovnice. Veli ina µ v
( 2075 ) je integra ní konstanta a len µ / a 4 popisuje temné zá ení.
Vlastnosti tohoto lenu lze vyvodit z detailní analýzy rovnic v prostoru
sv t .
Nejd ležit jší zm na ve Friedmannov rovnici spo ívá v p ítomnosti
lenu úm rného ρ m2 , pocházejícího z tenzoru πab. To znamená, že v
režimu, kdy je hustota hmoty podstatn vyšší než bránová tenze,
ρ m σ , je Hubbleova konstanta úm rná ρm , a nikoli ρm , jak je tomu
v klasické kosmologii FRW. Míra expanze je ve scéná i bránových
sv t vyšší. Pouze pokud je hustotaenergie hmoty zanedbatelná v i
ρ m . Tato d ležitá
bránové tenzi, dostáváme obvyklou úm ru H
modifikace Friedmannovy rovnice není omezena jen na RandallovéSundrum v bránový sv t, ale platí v širší t íd ešení. Navazovací
rovnice ( 1930 ) pak reprodukuje standardní zákon zachování
ρ +3
a
( ρ + p) = 0 .
a
( 2076 )
Na záv r pojednání o kosmologii FRW shr me základní myšlenku
bránového sv ta FRW. Podle klasické kosmologie FRW náš vesmír
expanduje do "ni eho". Pokud je obraz bránových sv t správný, je z
fundamentálního hlediska naprosto p ijatelné tvrzení, že náš vesmír
expanduje do AdS prostoru sv t . Bránový sv t FRW je znázorn n na
obr. 74.
620
Obr. 74 - Vložení bránového sv ta FRW do 5-dimenzionálního AdS v Poincarého sou adnicích.
Záv rem
Teorie superstrun je v sou asné dob ve stádiu intenzívního rozvoje.
Krom pr kopník J.Schwarze, M.Greena, E.Wittena, na ní pracuje
n kolik stovek fyzik (p edevším mladší generace) a ada výzkumných
skupin. Z našich fyzik se teorii superstrun velmi aktivn a úsp šn
v nují zejména P.Ho ava a L.Motl, M. Schnabl, M. Fabinger, J. Kluso
a další.
Matematicky konzistentním formalismem strunové teorie je samoz ejm
M-teorie, jejímž spoluzakladatelem je rovn ž náš krajan prof. Luboš
Motl. Jedná se o grupový uzel U(N), což není nic jiného, než naše stará
známá C-Y varieta. Každý prostorový rozm r je definován jedním z
devíti pár matic N × N, kde N je po et nula-brán, což je rank kalibra ní
grupy. D vod, že M-teorie, objev nejv tšího mozku teoretické fyziky,
prof. Edwarda Wittena spolu s naším slavným krajanem, prof. Petrem
Ho avou, má o jeden rozm r více než-li teorie superstrun, tkví práv v
U-dualit , protože po et rozm r je spjat skrz rank grupy s mírou
kvantového rozmazání prostoro asu.
621
Petr Ho ava
Luboš Motl
Michal Fabinger
Martin Schnabl
D sledkem U-duality je práv rovnoprávnost objekt libovolné
prostorové dimenze a rovn ž objev dalšího strunového velmistra, prof.
Cumruna Vafy, tzv. F-teorie – 12-rozm rné duální teorie, který umožnil
konstruovat velké nové t ídy neporuchových vakuí superstrun typu IIB.
Záv r je takový, že v teorii superstrun existují matematicky konzistentní
prostoro asy s libovolnou mírou kvantového rozmazání (ozna ovanou
tzv. vazebnou konstantou), p i emž topologický tvar m že nabývat
jakéhokoli matematicky konzistentního tvaru.
Hodnota vazebné konstanty je exponencielou skalárního pole, tzv.
dilatonu. Toto pole tvo í samotnou strukturu našeho prostoro asu a
samoz ejm zásadním zp sobem závisí na jeho topologii. Brány nejsou
nic jiného než uzly uvázané na tomto skalárním poli. Za t mito pojmy se
skrývá mohutný matematický aparát, klasifikující možné kondenzáty
dilatonu, K-teoretické grupy p íbuzné grup homotopií C-Y variety
(uzlu). Topologie C-Y variety (p esný tvar kompaktifikovaných rozm r
spole n s našimi rozm ry) p esn determinuje po et rodin
elementárních ástic.
622
Obr. 75 – 3-dimenzionální model 11-ti rozm rné C – Y variety
Dr. Martin Schnabl studuje mechanismus uvazování vakuových uzl .
Nap . na uvázání skalárního pole inflatonu se m žeme dívat, jak ukázal
p ed 20 lety prof. Andrei Linde, práv jako na velký t esk, fluktuaci
jedné nestabilní U-duální brány (jednoho libovoln rozm rného a
libovoln kvantov rozmazaného, jakkoli matematicky konzistentn
uvázaného uzlu).
Dr. Schnabl již analyticky dokázal dv ze t í d ležitých dom nek prof.
Ashoke Sena. První dom nka vztahuje potenciál na tachyonovém poli a
nap tí brány (vazebná konstanta determinující nap tí brány, (1042 kg)
visících na jednorozm rné brán , je exponencielou skalárního pole).
Tachyonové vakuum Dr. Schnabl definoval pomocí tzv. Bernoulliho
ísel, jenž mají úzký vztah k Riemannov zeta funkci, která definuje
strukturu prvo ísel. Platonisticky p emýšlejícího struna e pot ší
podobný netriviální vztah mezi atomy ísel a atomy vakua. Bernoulliho
ísla se samoz ejm hojn objevují v topologické teorii strun (teorii
strun zam ující se pouze na topologické stupn volnosti). Rovn ž sílí
poznání, že Riemannova zeta funkce definuje vlastní hodnoty v
maticových formulacích topologické teorie strun.
Dodejme, že tachyonovými uzly se ve svých pracích zabývá také náš
další krajan Dr. Josef Kluso . Druhá dom nka íká, že existuje jedna
nestabilní brána vypl ující prostoro as (p esn ji algebraickou grupovou
vakuovou varietu) a mén rozm rné brány jsou pouhými jejími
fluktuacemi, jakýmisi defekty v jejím kalibra ním poli.
T etí Seanova dom nka, kterou Dr. Schnabl dokázal spolu s Dr. Ianem
Ellwoodem íká, že na pravém tachyonovém vakuu nejsou uvázané
623
žádné uzly. V tachyonovém poli tedy neexistují žádné brány s žádnými
kalibra ními symetriemi. Nejsou-li uvázané žádné uzly, nemáme žádné
elementární ástice, protože elementární ástice jsou reprezentací
kalibra ní grupy vakuového uzlu.
Vakuový uzel je bodem v abstraktní krajin , kde je lokáln nejnižší
energie. Uzel je v celku stabiln usazený, protože už existuje v
konkrétním topologickém tvaru n jakých 14 miliard let. Pokud by se
uzel nalézal v bod mimo minimum energie, z n hož by spadl ádov v
Planckov ase na základní hladinu, tak by se p i pádu a jakémkoli
následném pohybu v modulární krajin nep edstaviteln divoce
p evazoval. D ležité je to, že potenciálnímu minimu na tachyonové
krajin odpovídá naopak práv divoká kondenzace (uzlování) vakua, to
se d je nap íklad p iblíží-li se brána k antibrán (opa n orientované
brán ) blíže než na planckovskou délku, poté pár brána - antibrána
anihiluje. Dochází k topologicky netriviální operaci: rozvázání uzlu.
Spolu s tím se odpovídajícím zp sobem m ní kalibra ní symetrie. Pokud
je na p vodním páru brána - antibrána uvázaný n jaký tachyonový uzel,
tak se p i anihilaci nem že úpln rozvázat a výsledkem je brána nižší
dimenze (podle K-teoretické grupy klasifikující všechny možné náboje
brán). Tím se dostáváme ke druhé domn nce.
Kvantov rozmazaný uzel generující prostoro as je holograficky duální
k hrdlu erné brány (hrdlu erné díry libovolného rozm ru). Strukturu
hrdla m žeme studovat prost ednictvím tzv. automorfních forem
grupové variety definující celou krajinu. Zbývá už jen dokázat, že
parti ní funkce erné díry (definovaná pomocí topologické parti ní
funkce) p esn koresponduje se strukturou prvo ísel.
Náš zatím nejmladší struna Michal Fabinger studuje vliv Casimirova
jevu na dynamiku ervých d r a vývoj p-brán v etn kosmologických.
V posledních letech se rovn ž v nuje výzkumu multidimenzionálního
Hallova jevu.
Superstrunová teorie je mnohými fyziky považována za nejnad jn jšího
kandidáta na úplnou unitární teorii pole, sjednocující všechny 4 typy
interakcí, na toužebn o ekávanou "teorii všeho". ada fyzik je však k
teorii superstrun zdrženliv jší. Poukazují na nejednozna nost jejích
záv r , nepr hlednost a p ílišnou matematickou komplikovanost,
p edevším pak na obtížnost, ba nemožnost experimentálního ov ení v
dohledné budoucnosti.
624
3) Smy ková kvantová gravitace
Standardní model
Fyzika elementárních ástic ud lala nepochybn v posledních
desetiletích nesmírný experimentální a technický pokrok. Po et ástic
pozorovaných v ohromných urychlova ích se stále rozmnožuje
a zárove se na teoretické úrovni poda ilo uskute nit dalekosáhlé
sjednocení fyzikálních p edstav o struktu e hmoty a o základních
interakcích v p írod . Takzvaný standardní model obsahuje jen pom rn
málo základních kamen : leptony a kvarky, z nichž se skládají t žší
ástice. K tomu p istupují intermediální ástice zprost edkující ty i
známé síly i interakce. Tak standardní model uspokojuje sou asné
pot eby fyziky elementárních ástic a dává jí teoretickou výzbroj
k vysv tlení sv ta od nejmenších dnes dostupných velikostí (~10-18 m)
až do m ítka metr .
Teoretickým základem standardního modelu je kvantová teorie pole
(KTP), podle níž jsou základními veli inami spojité funkce v prostoru
a v ase - "pole". Pole p íslušející elementárním ásticím se pohybují
prostorem a asem, a ástice se objevují jako kvanta energie p íslušného
pole - jsou tedy lokalizovány jen p ibližn , kdežto v klasické teorii byly
ástice bodovými útvary. Obrazn lze íci, že v kvantové teorii pole jsou
ástice rozpušt ny do vlnových balí k . Starý spor mezi "atomisty"
a "energetisty" o diskrétní i spojitou povahu hmoty, který byl na
za átku našeho století do asn rozhodnut ve prosp ch prvních, je tak
v kvantové teorii pole vy ešen opa n .
Gravitace jako "zdánlivá síla"
Co však do standardního modelu za lenit nelze, je tvrtá základní
interakce - gravitace. Protože je ve srovnání s jinými silami p írody
daleko nejslabší, hraje zdánliv roli jen ve velkých rozm rech,
v planetárním systému i v celém vesmíru, a její teorie je od kvantové
teorie pole naprosto odlišná. Obecná teorie relativity (OTR) vykládá
gravita ní sílu pomocí k ivosti ty rozm rného prostoro asu. Zak ivené
a zrychlené pohyby zp sobené gravitací vznikají podle ní podobn , jako
když se koule valí po nerovné podložce a "sama od sebe" sleduje její
625
k ivost. Z tohoto hlediska je gravitace "zdánlivou silou". Podle
Einsteinových rovnic platných v obecné teorii relativity, zak ivuje
prostoro as každý druh energie, která je v n m rozložena. Obecná teorie
relativity je klasická teorie, jež nezná pojem zprost edkujících ástic.
ástice gravitace analogické foton m - gravitony - v ní proto
nevystupují.
Co se tý e experiment , není gravitace v bec patrná ani v t ch
nejv tších urychlova ích. Sjednocená teorie proto není pot ebná pro
výklad žádného dosud pozorovaného jevu a graviton také zatím nikdo
nikde nepozoroval. Pro porozum ní experimentálním skute nostem jsou
standardní model a obecná teorie relativity úpln dostate né. Zatím je to
spíše estetická pot eba harmonie a úplnosti, která teoretické fyziky už po
mnoho desetiletí podn cuje, aby hledali jednotnou teorii ty základních
interakcí, pop ípad kvantovou teorii gravitace. Taková teorie m že
nabýt fyzikálního významu tam, kde je gravitace velmi silná: v blízkosti
erných d r, v centru galaxií, v raném vesmíru.
P i snahách o kvantovou teorii gravitace se nejprve zdálo rozumné
považovat k ivost prostoru - tj. jeho odchylku od plochého prostoru
v každém míst - za dynamické pole na nezm nitelném, plochém
pozadí. Kvantový formalizmus by nám m l ukázat, jaká je energie
t chto odchylek "zabalená" v gravitonech. Avšak gravitony jako balí ky
energie p sobí zp tn na prostor a dále jej zak ivují. Jak lze
matematicky dokázat, na rozdíl od jiných p ípad "samointerakce" není
b žný formalizmus kvantové teorie pole schopen tuto komplikaci vy ešit
pro p ípad obecné teorie relativity. Výsledky b žné kvantové teorie pole
jsou nepoužitelné, protože dávají fyzikálním veli inám nekone né
hodnoty. Nástroje kvantové fyziky, které jsou jindy velmi úsp šné,
vyvolávají závažné problémy, jako jsou absurdní nekone na,
pravd podobnosti v tší než 1 ("jevy jist jší než jisté") a další.
Kvantování prostoro asu
Kvantová teorie a Einsteinova obecná teorie relativity byly každá
zvláš skv le experimentáln potvrzeny - ale žádný pokus nezkoumal
situaci, kdy ob teorie p edpovídají významné efekty. Potíž tkví v tom,
že ke kvantovým jev m dochází tém výhradn v malých rozm rech,
zatímco ú inky obecné teorie relativity se projevují p i obrovských
626
hmotnostech, takže je t žké spojit ob tyto mimo ádné podmínky
dohromady.
S touto mezerou v experimentálních údajích je spojen obrovský
problém: Einsteinova obecná teorie relativity je veskrze klasická, tedy
nekvantová. Pro logickou souvislost fyziky jako celku je pot ebná teorie,
která n jakým zp sobem spojí kvantovou mechaniku s obecnou teorií
relativity. Touto dlouho hledanou teorií je kvantová teorie gravitace.
Protože se obecná teorie relativity zabývá geometrií asoprostoru, bude
kvantová teorie gravitace navíc i kvantovou teorií asoprostoru.
Fyzici vyvinuli pozoruhodnou sbírku matematických postup k
p echodu od klasické teorie na kvantovou. Mnoho teoretických fyzik a
matematik pracovalo s využitím t chto technik v obecné teorii
relativity. Rané výsledky p inášely zklamání. Podle výpo t z 60. a 70.
let se zdálo nemožné ob teorie úsp šn spojit. Vypadalo to, že je nutné
požadovat n co zcela nového, nap íklad nové postuláty i pravidla, která
nejsou ani v kvantové teorii ani v obecné teorii relativity, nebo n jaké
nové ástice i pole, p ípadn zcela nové entity. Správné dodatky nebo
nová matematická struktura by snad umožnily vyvinout teorii
kvantového charakteru, která by úsp šn aproximovala obecn relativistické chování v nekvantovém režimu. K zachování úsp šných
p edpov dí kvantové teorie a obecné teorie relativity bylo zapot ebí, aby
se nové prvky celkové teorie projevovaly jen p i experimentech v
mimo ádných podmínkách, kdy jsou silné jak ú inky kvantové teorie tak
obecné teorie relativity. V tomto sm ru byla vyzkoušena celá ada teorií,
jako nap íklad tzv. teorie twistor , nekomutativní geometrie a
supergravitace.
Planckova délka
Mezi nejd ležit jší fyzikální konstanty pat í nepochybn :
gravita ní konstanta G = 6×10-11 m3/kg.s2,
rychlost sv tla ve vakuu c = 3×108 m/s,
Planckova konstanta = 1×10-34 kg.m2/s.
tená si m že snadno ov it, že sou inem mocnin t chto konstant lze
sestavit jedinou veli inu o rozm ru délky
627
Lp =
Gh
≈ 10−35 m ,
2
c
( 2077 )
což je Planckova délka, ke které jsme d sledn ji dosp li v p edchozím
oddílu. M. Planck ji zavedl ve snaze dosp t k p irozené soustav
jednotek. Pozd ji se však ukázalo, že tato veli ina má význam nejmenší
délky, o níž má smysl ješt hovo it. Ukázali jsme, že p i Planckov
délce naroste k ivost natolik, že se body ocitnou uvnit erné díry. Pokus
o m ení tak malých vzdáleností proto principieln nedosp je k svému
cíli. P edstava o zak iveném, ale spojitém prostoro ase tak ztrácí smysl.
Planckova délka je považována za veli inu, u níž kon í platnost obecné
teorie relativity a fyzikální procesy za nou být ovládány kvantovou
teorií gravitace.
Na úrovni reality v Planckov škále existuje p esná a bohatá diskrétní
struktura. Tato vzdálenost je o 20 ád menší, než jsme schopni
detekovat v dnes nejlepších urychlova ích ástic. V tomto m ítku
Einsteinova obecná teorie relativity, která se zabývá vztahy
prostoro asu, hmoty a energie, již neplatí, protože její veli iny nabývají
nekone ných hodnot a její geometrie obsahuje singularity. Jak prohlásil
americký fyzik John Archibald Wheeler, obecná teorie relativity sama v
sob obsahuje semínko sebedestrukce - meze své platnosti. Toto
omezení je na druhé stran výhodou, protože fyzikové se nemohou
vyhnout hledání lepší a úpln jší teorie pro zákony p írody na
fundamentální úrovni reality. Fyzika pot ebuje teorii kvantové gravitace,
která by vysv tlila chování vesmíru na všech jeho úrovních, od kvark
až po kvasary. Proto teoreti tí fyzikové hledají novou "teorii všeho",
která by obsahovala všechny fundamentální zákony p írody.
Mnoho pokus v této oblasti u inili ásticoví fyzikové, když
p edpokládali plochý prostoro as na pozadí. Matematik a fyzik
Oxfordské university Roger Penrose tento postup kritizoval. Pokud z
Einsteinovy krásné teorie odstraníme život tím, že použijeme lineární
rovnice a plochý prostoro as, nem žeme nic nového získat tím, že se
teorii gravitace pokusíme spojit s kvantovou teorií. Rovnice popisující
chování gravitace za kvantových podmínek nejsou ešitelné, p estože
mají smysl a jsou konsistentní. Jsou jako palác, který nemá žádné dve e.
628
Relativisti tí fyzikové v tšinou p istupují k tomuto problému z
geometrického hlediska. John Archibald Wheeler již v 50. letech 20.
století vyslovil hypotézu, že v nejmenším m ítku prostoro as není
spojitý, ale spíše "p novitý". Je jasné, že kvantová gravitace vyžaduje
zásadní zm ny našeho pohledu na vesmír. Naše p edstavivost op t bude
muset p ekro it hranice b žného vnímání sv ta kolem nás.
Diskrétní povaha prostoru
Na po átku 80. let minulého století se Abhay Ashtekar z Pennsylvánské
státní univerzity, Ted Jacobson z Marylandské univerzity a Carlo
Rovelli, nyní p sobící na Marseilleské univerzit , rozhodli znovu
prov it, zda je možné pomocí standardních metod souvisle spojit
kvantovou mechaniku s obecnou teorií relativity. V d li, že negativní
výsledky ze 70. let mají d ležitou mezeru. P i t chto výpo tech se
p edpokládalo, že geometrie prostoru je spojitá a hladká, bez ohledu na
to, v jak malém rozm ru ji zkoumáme - p esn tak se nahlíželo na
hmotu, dokud nebyly objeveny atomy. Bylo z ejmé, že pokud je tento
p edpoklad nesprávný, nelze se spolehnout ani na staré výpo ty.
Výše jmenovaní teoretici za ali zkoumat, jak provád t výpo ty bez
toho, aby p edpokládali, že je prostor hladký a spojitý. Zásadn
nep edpokládali nic, co by se vymykalo experimentáln d kladn
ov eným princip m obecné teorie relativity a kvantové teorie. V
základech svých výpo t se drželi dvou základních princip obecné
teorie relativity.
První z nich je známý jako nezávislost na pozadí. Tento princip íká,
že geometrie asoprostoru není dána jednou provždy. Naopak, podle
tohoto pravidla se vyvíjí a je dynamickou veli inou. K nalezení této
geometrie je t eba vy ešit rovnice, které zahrnují všechny ú inky hmoty
a energie. Jak jsme se mohli p esv d it v p edchozím oddílu, teorie strun
ve své dnešní podob není nezávislá na pozadí; rovnice popisující struny
jsou p izp sobeny p edem ur enému klasickému (tedy nekvantovému)
pozadí.
Druhý princip, známý pod názvem invariance diffeomorfismu se
vztahuje k sou adnicím. K výpo t m v zak iveném asoprostoru se
používá systém sou adnic, zobecn ný na ty i rozm ry zak iveného
asoprostoru. Tento princip íká, že rovnice teorie jsou stejné v
629
libovolném dob e se chovajícím systému sou adnic, který si vybereme.
Jde o velice silný princip, který byl hlavním vodítkem Einsteinovi p i
jeho p vodním vývoji obecné teorie relativity.
Pe livým spojením t chto dvou princip za použití standardních
metod kvantové mechaniky byl vyvinut matematický jazyk, který
umožnil provést výpo ty pot ebné ke zjišt ní, zda je prostor spojitý i
zda má diskrétní povahu. Tyto výpo ty prozradily, že prostor je
kvantován. Byly položeny základy nové teorie smy kové kvantové
gravitace, LQG (loop quantum gravity).
výpo ty zopakovali mnozí fyzikové a matematici, kte í p i tom použili
adu nejr zn jších metod. B hem let se studium LQG stalo živým polem
v deckého výzkumu s p isp vateli z celého sv ta. Díky spole nému úsilí
byla získána d v ra v takový obraz asoprostoru, jaký bude popsán v
následujících ádcích.
Teorie smy kové kvantové gravitace je kvantovou teorií struktury
asoprostoru v nejmenším m ítku jeho velikosti; proto se k jejímu
vysv tlení musíme zam it na to, co p edvídá pro malou oblast nebo
objem. Když se zabýváme kvantovou fyzikou, je nezbytné p esn
specifikovat, jaké fyzikální veli iny se mají m it. K tomuto ú elu
bereme v úvahu oblast, která je vyzna ena svou hranicí B (viz obrázek
76). Tato hranice m že mít materiální povahu, nebo m že být ur ena
samotnou geometrií asoprostoru, jako je tomu v p ípad horizontu
erné díry.
Obr. 76
Úst ední p edpov LOG teorie se vztahuje k objem m a plochám.
Podle klasické nekvantové fyziky by mohl být objem vyjád en
libovolným kladným reálným íslem. Teorie LOG však íká, že existuje
nenulový absolutní minimální objem cca. Lp3 = 10-99 cm3, a tento objem
630
omezuje soubor v tších objem na diskrétní adu ísel. Podle této teorie
je tedy v každém krychlovém centimetru prostoru 1099 atom objemu.
Základní kvantum objemu je tak nepatrné, že v jednom krychlovém
centimetru je t chto "atom " objemu více, než kolik je krychlových
centimetr v celém viditelném vesmíru.
Podobn musí být plocha povrchu alespo 10-66 cm2 ( tverec Planckovy
délky), další plochy jsou pak jejím násobkem. Diskrétní spektrum
povolených kvantových ploch a objem (obr. 77 uprost ed) je zna n
podobné diskrétním kvantovým energetickým hladinám atomu vodíku
(obr. 77 vpravo).
Obr. 77
631
Kvantování prostoru
Z p edchozí ásti víme, že n kte í teoreti tí fyzici pracujících v oblasti
elementárních ástic zkouší vyvíjet a zobec ovat standardní model, aby
tak dostali "teorii všeho" v etn gravitace - teorii strun. Stejn jako
standardní kvantová teorie pole se teorie strun odehrává na daném
prostorovém pozadí, v tšinou plochém, které má však ve všech
variantách teorie více než ty i rozm ry. Relativisté se naopak snaží
nejprve kvantovat samotnou obecnou teorii relativity. Zatímco
teoretikové strun vyzbrojují prostor dodate nými rozm ry, aby získali
kone né, dob e definované výsledky, tato skupina si z neúsp chu
dosavadních snah o kvantování gravitace vyvodila jiné pou ení. Podle
nich by bylo rozšt pení prostoru na ploché pozadí a "dynamické vln ní"
vzhledem k obecné teorii relativity krokem zp t. Nem že proto jít
o dobré východisko ke kvantové teorii gravitace. Namísto toho se hledá
kvantová teorie prostoru jako celku. Otázkou je, na jakém pozadí má být
matematické lešení teorie vystav no. Prvním návrhem byl již
v šedesátých letech "prostor všech geometrií t írozm rného prostoru"
(J. Wheeler, B. DeWitt). Kvantová teorie by m la p edpov d t rozložení
pravd podobnosti, kde se práv nachází v tomto abstraktním prostoru
reálný prostor, v n mž žijeme. To by vedlo k asovému vývoji vesmíru
nebo n jakého jeho podsystému, nap . galaxie, který by byl postižen
jistým stupn m kvantové neur itosti. Tak by se zárove vytvo il most ke
kvantové kosmologii. Bohužel je "superprostor trojrozm rných
geometrií" nekone n rozm rná obluda, a proto se na této cest daleko
nedosp lo, dokud nep išel A. Ashtekar s nápadem použít pro popis
geometrie prostoru nové prom nné. Fyzikáln znamená výb r ur itých
prom nných pouze volbu jedné z mnoha možností (srovnatelnou
s užitím r zných soustav jednotek nebo r zných sou adnic). Ale p i
výpo tu to p sobilo takové zjednodušení, že se b hem minulých
desetiletí poda ilo redukovat nekone né rozm ry a sestavit formáln
konzistentní kvantovou teorii trojrozm rných geometrií. Je to kvantová
teorie na variet místo na prostoro ase. Varieta je jak víme hladký
souvislý útvar, p vodn bez metriky, takže pojem vzdálenosti dvou
bod zde neexistuje p edem. Vzdálenost, obsah, objem, jsou ve zde
spíše dynamické veli iny teorie, která p edpovídá, s jakou
pravd podobností tyto veli iny nabývají jistých hodnot.
632
Kvantová p na
Skute n se poda ilo zkonstruovat kvantový operátor objemu a obsahu.
Na první pohled m že takové konstatování p sobit nep itažliv .
Jaký má smysl formulovat nejvšedn jší a nejnázorn jší v ci tak složit ?
D sledky jsou však nedozírné. Teorie íká, že možné hodnoty obsahu
a objemu jsou v m ítku Planckovy délky diskrétní. Tak se dostáváme
od obecné teorie relativity, jíž se ídí pohyb galaxií, k výpov di
o nejmenších možných velikostech. Jako jiné kvantové teorie pole
generují diskrétní kvanta (totiž elementární ástice) v prostoru, který je
pokládán za spojitý, v kvantové teorii gravitace vzniknou "kvanta
prostoru" na abstraktní, hladké variet bez metrické struktury. Podle této
teorie neexistují menší vzdálenosti než Planckova délka, mluví se proto
o "kvantové p n ". Tento výsledek, bude-li potvrzen, m že mít velký
význam i pro jiné kvantové teorie pole, a koliv vychází z kvantování
samotné obecné teorie relativity. Energie libovolných kvant je totiž
nep ímo úm rná vlnové délce p íslušného vlnového balí ku.
Nemohou-li být vlnové délky menší než ur itá dolní mez, protože kratší
délka neexistuje, pak je energie omezena shora a kvanta s nekone nou
energií jsou p edem vylou ena. P estože problém odstran ní t chto
kvant byl v tšinou ešitelný i v jiných teoriích, vyžádal si matematicky
ne zcela regulerní dodate nou úpravu teorie - tzv. renormalizaci.
Ashtekarovy prom nné
Na rozvinutí shora zmín ných myšlenek o diskrétní povaze
prostoro asu, založil profesor Abhay Ashtekar, editel St ediska pro
gravita ní fyziku a geometrii na Pennsylvánské státní univerzit , své
výpo ty kvantové gravitace. Teorie vznikla a rozvíjela se od po átku
80. a let 20. století a spolu s Ashtekarem na ní pracují L.Smolin,
C.Rovelli, J.Baez, Ch.Isham, M.Bojowald a další pr kopníci.
První pilí mostu mezi obecnou teorií relativity a kvantovou teorií
položil Abhay Ashtekar v roce 1986. Byl inspirován lánkem o pohybu
elektronu v gravita ním poli, který napsal Amitabha Sen, tehdy student
na Univerzit v Chicagu. Ashtekar vyvinul nový geometrický jazyk, v
n mž bylo možno Einsteinovy rovnice pole formulovat odlišným, avšak
matematicky ekvivalentním zp sobem. Tento matematický aparát brzy
633
získal všeobecné uznání. S jeho pomocí zformulované rovnice
elektroslabé interakce a Maxwellovy rovnice byly snadn ji použitelné a
rovnice gravita ní interakce získaly p ízniv jší tvar. Ashtekar v
matematický aparát umožnil elegantním zp sobem popsat body, oblasti,
pohyb a síly bez d íve nezbytné metriky. Další veli iny již byly v
u ebnicích ozna ovány jako "Ashtekarovy prom nné".
Prof. Abhay Ashtekar (1949)
Po náro né a podrobné práci byla Ashtekarova verze Einsteinových
rovnic pole rozší ena takovým zp sobem, že tyto rovnice bylo možno
kvantovat. Lee Smolin a italský fyzik Carlo Rovelli v letech 1988 až
1990 vykonali rozhodující pr kopnickou práci a od roku 1992 oba za ali
spolupracovat s Ashtekarem. Na této úrovni popisu již prostor není
homogenní, ale má jemnozrnnou strukturu. Skládá se z malých kroužk
a je tvo en bezpo tem vzájemn propojených prstenc ("smy ek") o
pr m ru Planckovy délky. Takto se zrodila "smy ková kvantová
gravitace" (loop quantum gravity).
Pokud bychom atom zv tšili na velikost naší Galaxie, pak kvantová
smy ka by nebyla v tší než lidská bu ka. Proto není p ekvapením, že se
nám prostoro as jeví zcela spojitý.
Klí ovým zdrojem inspirace byla tzv. Willsonova smy ka ve svazové
kalibra ní teorii (lattice gauge theory) kvantové chromodynamiky.
Tuto teorii nezávisle na sob vypracovali americký fyzik Kenneth
Wilson a ruský fyzik Alexander Polyakov. Kvantová chromodynamika
nepoužívá spojitý prostor, ale algebraickou strukturu svazu, neb
teoretický fyzik, který pracuje bez svaz , riskuje vždy nebezpe í
634
chybného kroku s nedozírnými d sledky. Ve fyzice jsou takovými
katastrofami nekone né hodnoty veli in a absurdní matematické výrazy.
K tomu však dochází pouze v kvantových teoriích, které jsou založeny
na spojitém prostoro asu.
Po m sících nadšení se ovšem objevilo postupné zklamání. Matematika
za ala být nejasná a ve výpo tech se znovu objevily nekone né hodnoty
n kterých veli in. Smy ky proto nelze považovat za fundamentální
reprezentaci reality. Mohou být užite ným popisem, podobn jako
Wheelerova kvantová p na, avšak nepoda ilo se dosáhnout správných
matematických základ . V teoretické fyzice asto se m nící paradigma
vyžaduje nové matematické nástroje. Newtonova mechanika a teorie
gravitace pot ebovala diferenciální a integrální po et. Maxwellova
elektrodynamika pot ebovala parciální diferenciální rovnice a analýzu.
Einsteinova obecná teorie relativity pot ebovala diferenciální geometrii
a kvantová mechanika pot ebovala Hilbertovy prostory a operátorovou
algebru.
Abhay Ashtekar se proto nevzdal. Nejd íve pomocí nových prom nných
vyjád il metriku 3-rozm rného prostoru pomocí formalismu SU(2)
(nebo SO(3)) symetrií kalibra ního pole. Jeho spolupracovníci pak
ukázali, že Hilbert v prostor kvantovaného SU(2) kalibra ního pole lze
generovat tzv. spinovými sít mi, vycházejícími z twistorové teorie
kterou navrhl nezávisle na Ashtekarových prom nných již o desetiletí
d íve R. Penrose.
635
Obr. 78: Grafy twistovaných pás vno ených do S3 topologie
V dalších p ti obtížných letech byli Ashtekarovými spolupracovníky
Jerzy Lewandowski, John Baez, Chris Isham, Thomas Thiemann a další.
Spole n vytvo ili nástroje pro kvantovou geometrii, v níž d ležitou roli
sehrává teorie uzl (knot theory). Hlavními pojmy jsou spinové sít a
grafy, jako spoje a pr se íky smy ek, a spiny, které p edstavují typ a
po et t chto spoj . Ashtekarovi a jeho koleg m se poda ilo odstranit
nep íjemná nekone na. Vzniklý matematický formalismus je natolik
ú inný, že jej lze použít nejen v obecné teorii relativity, ale také v teorii
supergravitace. Podle Rovelliho se tak poda ilo dosáhnout prvního
úsp šného spojení obecné teorie relativity a kvantové teorie.
Spinová sí a smy ková kvantová gravitace
Kanonické kvantování OTR za íná rozkladem prostoro asu na
trojrozm rnou prostorovou varietu Σ a na as tak, že struktura je Σ × R.
Pak se definují kanonické prom nné gravita ního pole na Σ.
Na první pohled jsou indukované metriky na Σ a kanonicky sdružené
veli iny p irozené prom nné.
636
Sdružené impulsy jsou pr m ty kovariantní derivace normálového
vektoru k Σ (vn jší k ivost vložené podvariety Σ ). V t chto prom nných
je však hamiltonovská vazba velmi složitá a nazývá se Wheelerovou –
DeWittovou rovnicí.
V Ashtekarov nových prom nných se vazba výrazn zjednoduší.
V tomto formalismu fungují složky konexe A(x) jako konfigura ní
prom nné a sdruženými impulsy jsou triády E(x), tj. ortonormální báze
v te ných prostorech bod variety Σ.
Konfigura ní prom nné jsou veli iny, které hrají roli gravita ní síly
v geodetické rovnici.
V dalším postupu jsou konfigura ní a impulsové prom nné prohlášeny
za operátory kanonickými komuta ními relacemi.
Kvantové stavy gravita ního pole v konexní reprezentaci jsou
funkcionály konexe, formalismus ale vyžaduje regularizaci.
Výsledkem je, že fyzikální stavy nezávisí na konexi v každém bod (tj.
na poli A(x)), nýbrž na operátoru paralelního p enosu vektor po
uzav ených k ivkách (smy kách) γ, tj. na holonomii h[A,γ].
Z toho se vyvodil název smy ková kvantová gravitace.
Ortonormální báze v Hilbertov prostoru s vhodn definovaným
skalárním sou inem se skládá z funkcí holonomií k ivek, které jsou
spojené v uzav ené síti obsahující tzv. hrany a vrcholy.
Obr. 79 znázor uje nejjednodušší p ípad tvorby spinové sít .
Obr. 79 Vytvo ení sít ze dvou smy ek a osmi ky. Výsledná sí má dva vrcholy vi a t i hrany ei .
D vodem je lineární závislost mezi dv mi smy kami a osmi kou.
Tento konkrétní bázový vektor je funkcí t í holonomií
ψ ( h [ A, e1 ] , h [ A, e2 ] , h [ A, e3 ]) .
( 2078 )
637
Velkou výhodou této konstrukce je skute nost, že každý takový
funkcionál, i když je sí rozsáhlá, má jen kone n mnoho argument
(na rozdíl od nekone ného po tu stup volnosti pole A(x)).
Operátory holonomie p sobí na triády tak, že zachovávají ortonormalitu.
Z toho d vodu se sí , na které je definovaný stavový funkcionál, nazývá
spinovou sítí.
Obr. 80: Konstrukce virtuálních uzl a virtuálních spojení mezi n-mocnými uzly, tvo ících
„barevnou“ spinovou sí . Rozdílné uzlové rozklady dávají odlišné ortogonální báze.
Obr. 81: Spinová sí
638
V duchu OTR kvantuje tato procedura zárove s gravita ním polem i
geometrii prostoru.
K tomu se dosp je následujícím zp sobem: Z klasického výrazu pro
objem trojrozm rné oblasti R
V = d 3 x det g (
3)
( 2079 )
R
kde g(3) je trojrozm rná indukovaná metrika, a z klasického výrazu pro
obsah plochy G
S = d 2 x det g (
2)
( 2080 )
G
kde g(2) je dvojrozm rná indukovaná metrika, dostaneme pomocí triád
ˆ a Sˆ .
operátory V
Obr- 82: Obsah plochy je ve smy kové kvantové gravitaci ur en spojením topologické kvantové
teorie pole s Crane-Yetterovým difeomorfn invariantním modelem kvantové teorie pole.
639
Základní veli iny jsou tedy reprezentovány kvantovými operátory.
Konstrukce operátoru délky je v rámci teorie také možná.
Takové kvantování geometrie vede k tomu, že varieta Σ má význam
pouhé pomocné konstrukce, nikoliv fyzikálního prostoru.
Teprve tehdy, když známe stav gravita ního pole ve tvaru superpozice
funkcí spinových sítí, nabude oblast G vlastního obsahu plochy. Obr. 83
znázor uje mechanismus vzniku plošného obsahu pro p ípad jednoho
bázového stavového vektoru.
Obr. 83:
a) Plocha P s operátorem plošného obsahu.
b) Operátor po ítá pr nik graf γ s plochou P.
Ploše P ve variet Σ je p i azen operátor, který „umí po ítat“.
Když je stav gravita ního pole zadán funkcionálem na základ jednoho
grafu, operátor s ítá p ísp vky jednotlivých k ivek, které protínají
plochu P.
Z teorie vyplívá, že p ísp vky jsou úm rné
lP2 ji ji +
1
2
,
( 2081 )
kde ji je 1/2 po tu jednotlivých smy ek podél i-té k ivky.
V p ípad objemu oblasti R se skládá o ekávaná hodnota z p ísp vk
uzl sít uvnit R.
Nejd ležit jším výsledkem je, že geometrie je diskrétní v m ítku
Planckovy délky – v teorii existují jakési atomy prostoro asu.
640
Diagramy zvané spinové sít , se využívají ke znázorn ní kvantových
stav prostoru v nepatrném m ítku. N které z t chto diagram
odpovídají objem m mnohost n . Nap íklad krychle (a) na obr. 84
sestává z objemu uzav eného šesti tvercovými st nami. P íslušná
spinová sí (b) obsahuje te ku neboli uzel, který p edstavuje objem, a
šest ar, které p edstavují p íslušných šest st n. Úplná spinová sí má u
uzlu íslo, které udává objem krychle, a íslo u každé áry udává plochu
odpovídající st ny (c). Na našem obrázku iní objem uzlu 8 krychlových
Planckových délek a plocha každé z šesti st n iní ty i tvere ní
Planckovy délky. (Pravidla LQG omezují povolené objemy a plochy na
specifická množství; na arách a uzlech jsou povoleny jen ur ité
kombinace ísel).
Obr. 84
V p ípad jehlanu usazeného na horní st n krychle by ára
p edstavující tuto plochu ve spinové síti spojovala uzel krychle s uzlem
jehlanu (d). áry odpovídající ty em volným st nám jehlanu a p ti
volným st nám krychle by vycházely z p íslušných uzl .
641
Obr. 85
e) Jedno kvantum plochy
f) V tší plocha
g) Jedno kvantum objemu
h) V tší objem
642
Obecn je ve spinové síti jedno kvantum plochy znázorn no jedinou
arou (e), zatímco plochu složenou z mnoha kvant p edstavuje mnoho
ar (j). Podobn je jediné kvantum objemu znázorn no jediným uzlem
(g), zatímco v tšímu objemu odpovídá více uzl (h).
Obr. 86
Spinová sí je tedy množina vrchol (bod ) spolu se spojnicemi
(hranami), které jsou ozna eny n jakou ireducibilní reprezentací grupy v tomto p ípad SU(2) - a ve vrcholech jsou spojeny pomocí n jakých
singlet SU(2). Tato "kostra", vno ená do asoprostoru (avšak
potenciáln existující nezávisle na n m), slouží jako model asoprostoru,
který se tímto stává diskrétním. Nap íklad dvourozm rný povrch n jaké
plochy je koncentrován v pr se ících této plochy s hranami spinové sít ,
a každý pr se ík zhruba e eno p ispívá celo íselným násobkem
(p esn ji j ( j + 1) ) renormalizované Planckovy plochy.
643
Spinové sít jsou fundamentáln jším pojmem než mnohost ny: každé
uspo ádání mnohost n m že být znázorn no ve spinové síti, ale platné
spinové sít p estavují kombinace objem a ploch, které nemohou být
zakresleny jako mnohost ny. Takové spinové sít bychom mohli najít v
prostoru zak iveném silným gravita ním polem, nebo v rámci
kvantových fluktuací geometrie prostoru v Planckov m ítku.
Vznik obsahu a objemu v kvantové geometrii
Obsah dvojrozm rné plochy S jakožto útvaru v t írozm rné variet není
definován. Fyzikální stav gravita ního pole je charakterizován spinovou
sítí. Obsah plochy je ur en stavem jako sou et ur itých výraz , které
jsou v tomto stavu p i azeny hranám, p es všechny pr se íky hran sít
s danou plochou (na obrázku 87 jsou to pr se íky p1, ., p6). V jiném
stavu mohou být sí , jí p i azená ísla, po et pr se ík , a tedy i plošný
obsah úpln jiné.
Obr. 87
Co zjistíme p i m ení objemu oblasti? Jaké výsledky umož uje jak
kvantová teorie tak invariance diffeomorfismu? Pokud je geometrie
asoprostoru spojitá, m lo by být výsledkem m ení objemu jakkoli
malé i velké oblasti kladné reálné íslo, které by se mohlo zcela
libovoln p ibližovat nulovému objemu. Je-li však geometrie zrnitá
(diskrétní), pak by se m l výsledek m ení skládat jen z diskrétní sady
ísel a nem že nabýt menší hodnoty, než jakou má nejmenší možný
644
objem. Tato otázka je podobná otázce, jakou energii mají elektrony,
které obíhají kolem atomového jádra. Klasická mechanika p edpokládá,
že elektron m že nabývat libovolných hodnot energie. Naproti tomu
kvantová mechanika p ipouští výskyt jen ur itých hodnot energie
(energie mezi t mito hodnotami se nevyskytují) – viz obr. 77. Rozdíl je
stejný jako mezi m ením n eho, co nep etržit plyne, jako voda v
pojetí 19. století, a n ím, co se dá po ítat, jako jsou atomy v této vod .
Protože podle teorie LQG je i prostor složen z podobných "atom ",
existuje jen omezený soubor ísel, která m žeme p i m ení objemu
získat. Objem tak p ichází v p esn vymezených kvantech. Prostor není
spojitý, ale vyskytuje se jen ve specifických kvantovaných jednotkách
plochy a objemu.
Obr. 88
Jak tyto kvantové stavy plochy a objemu vypadají? Skládá se prostor z
mnoha malých krychli ek nebo koulí? Není to tak jednoduché, m žeme
však nakreslit grafy, které p edstavují kvantové stavy objemu a plochy.
Abychom vid li, jak tyto diagramy fungují, p edstavme si, že máme
kus prostoru ve tvaru krychle, jak je ukázáno na obrázku 84. V našem
obrázku jsme znázornili takovou krychli jako te ku s šesti vy nívajícími
arami, které p edstavují šest st n krychle. K te ce pot ebujeme p ipsat
íslo, abychom up esnili množství objemu, a na každou áru napíšeme
íslo, kterým specifikujeme velikost plochy, kterou daná ára
p edstavuje.
V dalším kroku p edpokládejme, že na vrchní st nu krychle postavíme
ty boký jehlan, tedy útvar ve tvaru pyramidy. Tyto dva mnohost ny,
sdílející spole nou st nu, budou vyzna eny jako dv te ky (dva objemy)
645
spojené jednou z ar (spole nou st nou obou útvar ). Krychle má p t
dalších st n (dalších 5 vycházejících ar) a jehlanu zbývají ješt ty i
další st ny (další 4 vycházející áry). Je z ejmé, o co složit jší diagram
bychom dostali, kdybychom ve svém p íkladu pracovali i s jinými
mnohost ny, než jen s krychlemi a jehlany, p i emž každý objem by se
stal bodem neboli uzlem a každá st na povrchu mnohost nu by byla
znázorn na árou, p i emž by tyto áry spojovaly body stejn , jako
spole né st ny spojují mnohost ny v prostoru. Matematici nazývají
takové diagramy grafy.
Nyní p išel as, abychom ve své teorii opustili kresby mnohost n a
zam ili se pouze na grafy. Matematici, kte í popisují kvantové stavy
objemu a plochy, nám poskytují soubor pravidel, která nám íkají, jak
mohou být uzly a áry spojené a jaká ísla jim lze v diagramu p ipisovat.
Každý kvantový stav odpovídá jednomu diagramu a každý stav, který se
ídí p íslušnými pravidly, odpovídá jednomu kvantovému stavu. Teorie
graf je pohodlným zkráceným zápisem pro všechny možné kvantové
stavy prostoru.
Grafy jsou lepším znázorn ním kvantových stav než mnohost ny.
Zvlášt proto, že n které grafy jsou pospojovány podivným zp sobem,
který nem že být snadno p eveden do úhledného obrázku s mnohost ny.
Kup íkladu v zak iveném prostoru nám v žádném obrázku nebudou
mnohost ny na sebe p esn navazovat, ale graf m žeme po ád snadno
nakreslit. M žeme vzít graf a z n ho spo ítat, nakolik je prostor
zak iven. A protože práv zak ivení prostoru je tím, co vytvá í gravitaci,
formují práv takto grafy samotnou teorii gravitace.
Pro jednoduchost si asto kreslíme grafy ve dvou rozm rech, ale je
lepší si je p edstavit v trojrozm rném prostoru, nebo práv ten
znázor ují. Práv tady však na nás íhá koncep ní past: áry a uzly
grafu nežijí v ur itých místech prostoru. Každý graf je definován jen
zp sobem, jakým jsou jeho prvky pospojovány a jaký vztah mají k
dob e definovaným hranicím, jako nap íklad k hranici B z obrázku 76.
Spojitý trojrozm rný prostor, který v našich p edstavách grafy vypl ují,
jako samostatná entita neexistuje. Vše, co existuje, jsou spojnice a uzly
grafu, ty jsou prostorem a zp sob, jakým se spojují, definuje jeho
geometrii.
T mto graf m se íká spinové sít , protože velké množství z nich se
vztahuje k veli in zvané spin. Roger Penrose z Oxfordské univerzity na
646
po átku 60. let jako první vyslovil domn nku, že by spinové sít mohly
hrát roli v teoriích kvantové gravitace. V roce 1994 se ukázalo, že p esné
výpo ty jeho intuici potvrzují.
Jednotlivé uzly a hrany diagram p edstavují extrémn malé oblasti
prostoru: uzel obvykle zaujímá objem jedné krychlové Planckovy délky,
a hranou je obvykle ploška o obsahu jedné tvere ní Planckovy délky.
V zásad však neexistuje žádné omezení pro velikost a složitost
spinových sítí. Kdybychom mohli nakreslit podrobný obrázek kvantového stavu našeho vesmíru, tedy geometrii jeho prostoru, jak je
zak ivená a deformovaná gravitací galaxií, erných d r a všeho ostatního
- dostali bychom obrovskou spinovou sí nep edstavitelné složitosti,
která by obsahovala asi 10184 uzl .
Spinové sít popisují geometrii prostoru. Ale co se vší hmotou a energií,
která se v tomto prostoru nachází? Jak znázorníme ástice a pole
zaujímající polohy a oblasti v prostoru? ástice odpovídají ur itým
typ m uzl , které si znázorníme tak, že k n kterým uzl m p idáme navíc
zvláštní zna ky. Pole, nap íklad elektromagnetické, jsou znázorn na
p ídavnými zna kami na hranách grafu. ástice a pole pohybující se
prostorem znázor ujeme t mito zna kami, které se diskrétními kroky
pohybují v grafech.
Matematika vytvo ená speciáln pro tento ú el umož uje nahlédnout za
scénu tém všech jev ve vesmíru a m že objasnit samotné základy
naší reality. Pomocí smy kové kvantové gravitace se Ashtekar p iblížil k
napln ní Einsteinova snu a snad také k zodpov zení základních otázek
fyziky, které se týkají záhad velkého t esku a erných d r.
Kvantová gravitace tedy p ináší další revolu ní pohled na vesmír:
prostoro as je kvantován podobn jako hmota.
Otázka, pro se žádný objekt nem že vt snat do polovi ního objemu,
než jaký má nejmenší bu ka prostoru, z pohledu t chto "prostorových
atom " ztrácí význam. Vychází totiž z nesprávného p edpokladu
absolutního prostoru, v n mž jsou umíst ny všechny objekty od
elementárních ástic až po kupy galaxií. Prostor a as však nejsou zcela
fundamentálními entitami, ale jsou složeny ze základn jších struktur.
Ashtekar p irovnává spinové sít , matematicky popsané jako grafy, ke
stavebnici z jednorozm rných vláken podobných polymer m. Pokud
bychom mohli p írodu pozorovat s nejv tším možným zv tšením,
prostor a as by se rozpustil a vystoupila by spinová sí , p esn ji e eno
647
kvantov mechanické superpozice všech možných konfigurací t chto
entit. Mezi t mito grafy je "prázdno". Spinové sít neexistují v n jakém
prostoru, ale samy prostor vytvá ejí. Nejsou ni ím jiným, než abstraktn
definovanými vztahy, které ur ují, jak se spojují hrany dohromady a jak
se vzájemn protínají.
Skute nost, kdy prostor není homogenní, si lze demonstrovat na
p íkladu obrazu na plazmové obrazovce, který se rovn ž skládá z
malých pixel , které z v tší vzdálenosti nelze rozpoznat. Na jediné
stránce této knihy by se m lo protínat 1068 kvantových vláken.
Koncové body t chto otev ených graf p edstavují fermiony (tedy
kvarky a leptony), z nichž je složena veškerá hmota, a Higgsovy bosony,
které hmot dávají její hmotnost. Bosony, které zprost edkovávají silové
interakce mezi fermiony, jako fotony, vektorové bosony W z Z, gluony a
gravitony, jsou projevem ur itých excitovaných stav spinové sít , jako
jsou zm ny "barvy" nebo váhy hran graf . Podle Ashtekara n co
p edstavuje geometrii a n co jiného p edstavuje pole. Hmota m že
existovat pouze tam, kde je geometrie excitována. Fyzikáln nemá smysl
se ptát, co leží mezi hranami t chto graf . Gravitony a další bosony
nejsou fundamentálními entitami, ale pouze produktem spinových sítí.
Naše obvyklá p edstava kauzality nemá ve spinových sítích žádný
smysl. Dokonce as je d sledkem variací excitovaných stav a spojnic
ve spinových sítících. V jistém smyslu tedy as je stejnou iluzí jako
prostor.
Celá íše reality pochází ze superpozic fluktuujícího pletiva spinových
sítí na submikroskopické úrovni. My sami a všechno, co víme, jsou
pouze obrazce ve spinových sítích.
Spinová p na
ástice a pole nejsou jedinými v cmi, které se kolem nás pohybují.
Podle obecné teorie relativity se geometrie prostoru m ní v ase. Záhyby
a k ivky prostoru se m ní podle toho, jak se hmota a energie pohybuje, a
samotným prostorem mohou procházet vlny stejn jako po hladin
jezera. V LQG jsou tyto d je znázorn ny zm nami v grafech. Vyvíjejí se
v ase adou ur itých "pohyb ", p i kterých se m ní propojenost
samotných graf .
648
Když fyzici popisují jev v pojmech kvantové mechaniky, po ítají
pravd podobnosti r zných d j . My budeme p i popisu jev s pomocí
teorie LQG postupovat stejn , a už p jde o ástice a pole pohybující se
ve spinových sítích nebo o samotnou geometrii prostoru, která se m ní v
ase. Thomas Thiemann z Perimeter lnstitute for Theoretical Physics ve
Waterloo v Ontariu odvodil p esné kvantové pravd podobnosti pro
pohyby spinové sít . T mito pravd podobnostmi je teorie zcela
specifikována: máme k dispozici dob e definovaný postup výpo tu
pravd podobnosti jakéhokoli d je, ke kterému m že dojít ve sv t ,
ídícím se pravidly této teorie. Zbývá jen provést výpo ty a vypracovat
p edpov di, co bychom mohli pozorovat p i r zných experimentech.
Einsteinova speciální a obecná teorie relativity spojují prostor a as do
jediného celku, zvaného asoprostor. Spinové sít , které v teorii LQG
p edstavují prostor, se p edstav asoprostoru p izp sobují p em nou na
tzv. "spinové p ny". P idáním dalšího rozm ru - asu - hrany spinových
sítí narostou do podoby dvojrozm rných povrch , zatímco uzly se zm ní
v hrany (viz obr. 90). P echody, kde se spinové sít m ní jsou nyní
znázorn ny uzly, kde se áry stýkají v p n . P nový model asoprostoru
navrhli krom jiných Carl Rovelle, Mike Reisenberger (Univerzita v
Montevideu), John Barrett z Univerzity v Nottinghamu, Louis Crane
z Kansaské státní univerzity, John Baez z Kalifornské univerzity a Fotini
Makropoulou z Perimeter Theoretical Physics Institute.
V asoprostorovém vnímání sv ta se momentka ur itého asu podobá
ezu asoprostorem. Takovým ezem spinovou p nou získáme spinovou
sí . Bylo by však chybou si tento ez p edstavovat ve spojitém pohybu,
podobném hladkému toku asu. Místo toho - protože je prostor
definován jako diskrétní geometrie spinové sít - je as ur en sledem
vymezených pohyb , které p estavují sí , jak je ukázáno na obrázku 91.
Tímto zp sobem se as také stává diskrétní veli inou.
649
Obr. 89
Zm ny v podob prostoru, které nastávají nap íklad p i pr chodu
hmoty nebo energie a s tím spojeném vysílání gravita ních vln, jsou
znázorn ny diskrétními zm nami uspo ádání nebo pohyby spinové sít .
V p ípad (a) na obr. 89 se propojená skupina t í objemových kvant
slévá v jediné kvantum objemu; m že nastat i opa ný d j. V p ípad (b)
se dva objemy v prostoru odd lí a nadále jsou spojeny jiným p sobem.
V p ípad mnohost n by se dva mnohost ny nejprve spojily splynutím
jedné st ny, aby se vzniklý útvar pozd ji znovu rozd lil, p i emž rovina
št pení by se nacházela jinde než rovina, ve které splynuly st ny
p vodních dvou mnohost n . K takovým pohyb m ve spinové síti
dochází nejen p i velkorozm rových zm nách v geometrii prostoru, ale
také p i kvantových fluktuacích v Planckov m ítku. P idáním
asového rozm ru ke spinové síti, dostaneme spinovou p nu (obr. 90).
Provedeme-li v n jakém asovém okamžiku ez spinovou p nou,
získáme op t spinovou sí ; ada ez v r zných okamžicích nám
poskytne rámec filmu zachycujícího evoluci spinové sít v ase
(obr. 91). Všimn te si ale, že evoluce, která se na první pohled zdá být
hladkou a spojitou, je ve skute nosti opravdu nespojitá. Všechny
spinové sít , které zahrnují ervenou áru p edstavují navlas stejné
uspo ádání prostoru. Délka ervené áry nehraje roli - vše, co má pro
geometrii význam, je zp sob spojení ar a jaké íslo popisuje každou
áru. Práv to ur uje, jak jsou kvanta objemu a plochy uspo ádána a jak
jsou velká.
650
Obr- 90: Každá spojnice ve spinové síti je asociována s kvantovým íslem plochy, zvaným
„spin“, udávaným v jednotkách souvisejících s Planckovou délkou. Spinová sí typu (dole) se
t emi spojnicemi nesoucími spiny j, k, l se vyvíjí ve dvou krocích do spinové sít nesoucí spiny
o, p, q, j, k, l, m, n, s (naho e).
Inicia ní spinová sí má dva uzly, v nichž se potkávají 3 spojnice. Dále pak vertikální
linie jejichž uzly definují hrany spinové p ny.
První vrchol – podobný vrcholu Feynmanova diagramu – leží v míst , kde se levá hrana
rozv tvuje, v kterémžto bod je formována intermediální spinová sí se spiny o, p, q, j, k, l .
Hranu na pravém v tvení v druhém interak ním uzlu jsme zv tšili.
Povrchy spinové p ny tvo í plochy opsané spojnicemi pohyblivými v ase. Toto rozší ení
ukazuje, že k vrcholu jsou p ipojeny 4 hrany a 6 ploch s asociovanými spiny j, k, l, m, n, s .
Spinová p na jako taková, pak m že být chápána coby nespojitý kvantový prostoro as.
651
Tak v diagramu na obr. 91 z stává geometrie na prvních t ech obrázcích
konstantní, s t emi kvanty objemu a šesti kvanty povrchové plochy.
Potom se geometrie nespojit m ní v jedno kvantum objemu a t i kvanta
povrchové plochy, jak ukazují poslední dva snímky. V tomto pojetí se
as - definovaný spinovou p nou - vyvíjí adou náhlých diskrétních
pohyb , a nikoli spojitým tokem. A koli nám p ipodobn ní k filmovým
polí k m významn pom že p i vizualizaci celého jevu, mnohem
p esn jší cestou k chápání evoluce geometrie je p edstava diskrétních
tik hodin. P i jednom tiku je ervené kvantum plochy p ítomno, a v
dalším tiku vlastn samo zmizení erveného kvanta tento "tik" definuje.
Doba, která uplyne mezi ob ma "tiky" je p ibližn rovna jednomu
Planckovu asu, tedy 10-43 sekundy. Ale mezi ob ma tiky žádný as
neexistuje: není tam žádné "mezi", stejn jako není žádná další vodní
molekula mezi dv ma sousedícími molekulami vody.
Obr. 91
as
652
Ani as tedy neubíhá jako voda v ece, nýbrž jako tikot hodin, p i emž
každý "tik" trvá jednu Planckovu periodu: 10-43 sekundy. Nebo p esn ji,
as v našem vesmíru odm uje tikot nes etných hodin - v tom smyslu,
že v každém míst spinové p ny, kde dochází ke kvantovému "pohybu",
místní hodiny jednou "tiknou".
Astrofyzikální d sledky smy kové kvantové gravitace
K Ashtekarov práci významn p isp l Ashtekar v bývalý doktorand
Martin Bojowald, který dnes p sobí v Ústavu Maxe Plancka pro
gravita ní fyziku v Postupimi. Ukázal totiž, jak spinová sí mohla
zažehnout velký t esk. Martin Bojowald se zabývá aplikacemi
Ashtekarova formalismu na kvantovou kosmologii a na singularity v
asoprostoru. Spojení mezi velkým t eskem a vnit kem erné díry však
existuje celá ada a v tšinou nejsou spojeny se jménem Bojowalda.
Lee Smolin vyslovil hypotézu, že singularita v erné dí e je "velký
t esk", z n hož se narodí nový vesmír, potomek toho p vodního, a díky
p edpokládané "mutaci" lze pak aplikovat zákony evolu ní teorie.
Lee Smolin (1955)
Martin Bojowald (1975)
Když se nám poda í zkoncentrovat hmotu zcela ur itým zp sobem,
m že vzniknout kolapsar jehož prostoro asová geometrie odpovídá
nap . Reissnerovu – Nordströmovu, i Kerrovu ešení, nebo jejich
vzájemné kombinaci (tzv. Kerrova - Newmanova geometrie). Všechna
tato ešení Einsteinových rovnic gravita ního pole obsahují erví díry,
jakožto tunely spojující jednak r zné oblasti našeho vesmíru (tzv.
vícenásobná souvislost prostoro asu) a jednak ústící i do vesmír jiných.
653
Obr. 92: erví díry vážící r zné vesmíry samy se sebou tzv. uchy a k jiným vesmír m tzv. hrdly.
Práv možnost vyfouknutí nového vesmíru skrze um le nebo p irozen
vytvo enou erví díru vede k velmi lákavé myšlence, že dce inné
vesmíry mohou po vesmírech mate ských zd dit jejich fyziku. To vedlo
v minulosti k formulaci velice zajímavé hypotézy evoluce vesmír
vyslovené v 80. letech minulého stol. rovn ž nap . Andrejem Lindem autorem teorie chaotické inflace - dosud nejp ijíman jšího infla ního
scéná e vzniku vesmíru, ale i dalšími autory, nezávisle na sob .
Andrej Linde (1948)
Tato hypotéza v podstat íká, že vesmíry, jejichž fyzika dovoluje vznik
velkého množství erných a potažmo i ervích d r, jsou zárove
mimo ádn p íznivé pro vznik života. Mají dostate nou hustou hmoty,
654
ale nesmí být zas moc veliká, nebo by pak m ly p íliš malou životnost
a tedy nedostatek asu pro tvorbu velkého množství ervích d r. Musejí
mít také p esn 3 velké prostorové dimenze a jednu asovou, atd.
Zkrátka, pouze vesmír, který má velké p edpoklady stvo it inteligentní
život, má shodou okolností zárove nejvyšší „fitness“ v Darwinovském
smyslu tohoto slova, tj. nejvyšší schopnost plodit potomky a p edávat
svoje „geny“ – svoji fyziku – dce iným vesmír m. To vede k domn nce,
že a je fyzika práv našeho vesmíru (v té zm ti nep eberných možností
které si vesmír p i svém zrodu mohl zvolit) velice málo pravd podobná,
m že být tento model p esto v superprostoru tím v bec nejrozší en jším,
nebo vede k nejvyššímu po tu identických, nebo velmi podobných
kopií. A práv jen tento model ( i ješt n kolik málo jeho subspécií) je
zárove jediný slu itelný se vznikem biologického života (srov.
antropický princip).
Co se tý e energie-hmoty vesmíru, ta s hmotností oné po áte ní erné
díry nikterak nesouvisí. Celková energie jakéhokoliv vesmíru (i toho
našeho) je nula, takže i kvantová erví díra m že na druhém konci
expandovat do ob ího vesmíru jako je ten náš, aniž by byl p i tom
porušen n jaký zákon zachování. To, co se z oné erví díry primárn
vyfoukne je de facto pouze samotný prostoro as. Hmota se v n m objeví
až coby d sledek zákon zachování celkové energie (tj. klidové a
vazebné) v kvantových polích.
erné díry jsou úst edním tématem pro testování kvantové geometrie.
Zvlášt jejich termodynamika je nepochybn klí ovým p edm tem
studia kvantové gravitace. Ashtekar již v minulosti úsp šn p isp l k
jejich lepšímu pochopení v kontextu obecné teorie relativity. Nyní
objevil, jak erné díry rostou. Avšak kvantová geometrie je schopna
vysv tlit více, nap íklad jak se znovu smrš ují. V roce 1974 zjistil
Stephen Hawking, že erné díry kvantov vyza ují, ímž ztrácejí
energii/hmotu.
Již Albert Einstein poukázal, že existuje taková možnost. Po átkem 20.
století objevil, že hmota a zá ení nejsou dv odlišné entity, ale že se
mohou navzájem p em ovat. Kvanta zá ení a hmoty jsou v podstat
totéž. Albert Einstein také ukázal, že geometrie je fyzikální entita
podobn jako hmota. Proto se zá ení a hmota mohou p em ovat v
geometrii a naopak.
655
K matematickému úsp chu teorie se p idává i úsp ch "fyzikální" p edpov entropie ili informace spolykané ernými dírami. Entropie
by byla spojena s teplotou r znou od nuly a to by skute n znamenalo
zá ení erné díry - v rozporu s naprostou erností vyplývající z klasické
teorie. Toto zá ení, musí být tedy ist kvantový jev. J. Bekenstein a
S. Hawking toto zá ení p edvídali již v 70. letech minulého století na
základ jiných úvah. Spojovali je s vytvá ením dvojic ástic ( ástice +
anti ástice) silnou gravitací v bezprost ední blízkosti erné díry. Známý
Hawking v jev byl tehdy odvozen semiklasickým postupem: Silná
k ivost prostoro asu (klasická p ísada) povzbuzuje zá ení n jakého
p ítomného kvantového pole. Takovéto p edb žné, v jistém smyslu
ned sledné úvahy nejsou ve fyzice ni ím neobvyklým. Pomáhají
p edvídat výsledky, které jednou p inese dosud neexistující d sledn jší
teorie. Je proto velmi významné, že nová teorie potvrzuje Hawking v
jev na fundamentáln jší úrovni.
Základním principem kvantové geometrie je tvrzení, že existují kvanta
geometrie. To je p esn ten kousek skláda ky, která Stephenu
Hawkingovi chyb la, protože uvažoval klasický prostoro as obecné
teorie relativity. Ashtekar íká, že Hawking zcela nenaplnil Einsteinovu
vizi, protože se kvantov zabýval pouze hmotou a energií. V kvantové
geometrii je však také horizont událostí erné díry kvantován. M žeme
si jej p edstavit jako povrch složený z elementárních bun k nul a
jedni ek. Každá tato nepatrná bu ka odpovídá "vláknu" spinové sít ,
která protíná horizont událostí. V p ípad erné díry o hmotnosti Slunce
77
existuje 1077 takových vláken a proto 1010 r zných kvantových stav ,
které p edstavují ohromnou entropii erné díry. Zvláštní lokální
charakteristiky této spinové sít tento horizont událostí definují. Když se
erná díra kvantov vypa uje, tato vlákna se postupn ztrácejí. P i
Hawkingov radiaci se kvanta horizontu erné díry p em ují na kvanta
hmoty a energie.
656
Obr. 93
Podle Ashtekara jde p esn o napln ní Einsteinovy p edstavy, podle níž
geometrie má fyzikální význam. Dokonce se p em uje v hmotu.
Tento proces neprobíhá spojit , ale v celistvých krocích, protože je
kvantován. erná díra se proto nesmrš uje spojit , ale chová se spíše
jako excitovaný atom, který ztrácí energii po kvantech.
Kvantová geometrie má ješt jeden d sledek, který Ashtekar a jeho
kolegové teprve zkoumají. Umož uje se vyhnout singularitám uvnit
erných d r a velkého t esku. Snad také vy eší známý paradox
informace. Martin Bojowald tvrdí, že informace, která dopadá na ernou
díru, se neztrácí, ale znovu se objevuje v dce inném vesmíru.
Spole ným jmenovatelem ady problém se singularitami a nekone ny
v nekvantové i kvantové teorii pole, jsou limitní p echody typu r→0,
x→0, t→0 a pod., p i nichž hodnoty polí (nebo i metriky prostoro asu)
asto divergují. Tyto limitní p echody jsou umožn ny spojitou povahou
prostoro asu, v n mž m žeme chování fyzikálních polí vyšet ovat v
principu až do nekone n malých m ítek geometrického bodu.
V kvantové geometrii s diskrétní strukturou prostoro asu neexistují
657
limitní p echody k nulovým prostorovým vzdálenostem a asovým
interval m, takže by nem ly vznikat nekone né divergující hodnoty polí
a singularity prostoro asu.
Poznámka: S kvantovou strukturou prostoro asu jsme se setkali již
v knize Inverze lineárního asu, v rámci kvantové geometrodynamiky.
Tam se ale jednalo o "indukovanou" kvantovou strukturu vzniklou
použitím zákonitostí kvantové fyziky na gravitaci jakožto zak ivený
prostoro as. Zde však jde o primární, axiomaticky postulovanou
diskrétní strukturu prostoro asu (tak íkajíc "od Boha").
Smy ková kvantová kosmologie
Aplikace na Friedmann v model vesmíru vede k tomu, že škálový faktor
a je škálovým faktorem triády, a tak záporné hodnoty a neznamenají
zásadní problém – záporné a ozna uje pouze jinou orientaci triády.
I problém singularity má v kvantové geometrii p irozen jší ešení.
Ve standardní kosmologii nebylo možné najít Hilbert v prostor
vlnových funkcí, které by byly nulové v singulárním bod a = 0.
V kvantové geometrii zd dí i škálový faktor a diskrétnost metrických
veli in.
Hamiltonovská vazba se dá vyjád it operátorem objemu, operátory aˆ a
ˆ mají stejné vlastní funkce n
V
aˆ n
ˆ n
V
n n ,
( 2082 )
n −1 n n +1
lP3
2
2
2
.
( 2083 )
Vlnovou funkcí vesmíru je pak superpozice stav n , kde koeficienty
závisí na hmotném zdroji gravitace, nap . na kvantovém skalárním poli
Φ.
Stavovou funkcí vyhovující hamiltonovské vazb , je tedy
sn ( Φ ) n ,
s, Φ =
n
( 2084 )
658
kde s ozna uje stav geometrie, Φ stav skalárního pole.
Hamiltonovská rovnice vazby nabývá tvaru rovnice diferen ní namísto
rovnice diferenciální.
Problém singularity je ešen tím, že koeficient singulárního stavu 0
v p íslušné rovnici je roven nule, takže singulární stav v ešení v bec
nevystupuje.
Volbou uspo ádání operátoru v hamiltonovské vazb se dá modelovat
inflace vesmíru.
Vyhnutí se singularit je podstatným rozdílem ve srovnání se
semiklasickým modelem standardní kvantové kosmologie.
Pro velká n se oba modely klasickému chování blíží.
Dalším výsledkem smy kové kvantové kosmologie je existence
minimální energie, ádov rovné Planckov energii Ep v po áte ním
stavu, když je pr m r vesmíru v okolí hodnoty Planckovy délky.
Perspektiva smy kové kvantové gravitace
V KQG dosud z stává neobjasn na úloha graviton v teorii a asový
vývoj. Zatímco v teorii strun se gravitony objevily již v jejích po átcích
(70. léta), LQG se až dosud zabývala jen t írozm rným prostorem, který
se stal "p novitým". Dokud tento problém nebude vy ešen, nelze tvrdit,
že byla vytvo ena kvantová verze obecné teorie relativity, pop ípad
úplná kvantová teorie gravitace. as není - v duchu obecné teorie
relativity - vn jší pojem nezávislý na prostoru. Z mnoha možných
geometrických veli in je nutno vybrat jednu, která by sloužila jako míra
asu. U jednoduchých kosmologických model se pro tuto roli nabízí
nap íklad polom r vesmíru. Uspo ádaná posloupnost kvantových
prostor odpovídajících rostoucím nebo klesajícím polom r m ( i jiným
vhodným asovým parametr m) pak m že vést k ty rozm rnému
prostoro asovému modelu. Zda z toho skute n vyjde náš p ibližn
plochý prostoro as není dosud jasné, a stejn tak je problémem jeho
stabilita. I kdyby se poda ilo zjistit, že náš prostoro as má mezi jinými
nefyzikálními možnostmi velkou pravd podobnost, bylo by ješt t eba
dokázat, že je stabilní v i malým poruchám (doufejme všichni, že tomu
tak je). P i vyšet ování malých odchylek pozoroval L. Smolin (1997), že
659
poruchy mají podobu uzav ených smy ek v prostoru a že jejich asový
vývoj se shoduje s tím, který nastává u jednoduchých strunových
model . Budoucnost ukáže, zda n který z uvedených postup anebo
n jaké sjednocení obou povede k úsp chu. Poslední slovo bude pat it
p írod . Jisté nápov di mohou p inést kosmické experimenty
s gravita ními vlnami, které se již dnes p ipravují.
Následující velký cíl spo ívá ve spojení známé fyziky nízkých energií s
fundamentální fyzikou spinových sítí. Technickým mostem mohou být
stínové stavy. Tím je mín n ur itý druh projekce fyzikálních stav do
graf . Bylo by ohromným úsp chem, pokud by se poda ilo známou
fyziku podrobn odvodit z kvantové geometrie. Avšak ani to není
všechno. Ashtekar nyní pracuje na nové formulaci kvantové teorie s
cílem ješt více ji zobecnit tak, aby byla slu itelná s obecnou teorií
relativity a aby ešila n které problémy své interpretace.
Avšak zásadní test kvantové geometrie by m l spo ívat v jiném
extrému, v popisu velkého t esku a erných d r. Kvantová fyzika nemizí
velkým t eskem. Klasický prostoro as sice blízko velkého t esku zaniká,
avšak spinová sí existuje dále. P edstavuje v ur itém smyslu v nost.
Vesmír tedy nevzniká z "ni eho", protože "nic" jednoduše neexistuje. V
tomto smyslu kvantová geometrie poskytuje filozofickou výhodu p i
ešení zdánliv ne ešitelných problém . Její síla spo ívá v nezávislosti
na metrice prostoro asu na pozadí. Hmota a geometrie prostoro asu totiž
vznikají spole n kvantov mechanicky.
erné díry a velký t esk jsou velmi exotické stavy. Snad však existuje
možnost, jak testovat kvantovou geometrii pozorováním za mén
extrémních podmínek. Giovanni Amelino-Camelia z Univerzity La
Sapienza v ím navrhl studovat fotony s velmi vysokou energií, které
se pohybují vesmírem na velké vzdálenosti, jako jsou výtrysky zá ení
gama nebo zá ení z roentgenových galaxií. V zá ení se mohou
vyskytovat malé odchylky dráhy, které by mohly mít p í inu v rozptylu
sv telných vln na diskrétních uzlech kvantové geometrie. Podobn jako
spektrum atomu, také spektrum prostoro asu není spojité, ale diskrétní.
Dokud nejsou k dispozici žádná m ení, z stává kvantová geometrie
arénou teoretických fyzik . V sou asnosti se základy kvantové
geometrie zabývají asi dv desítky výzkumných skupin na celém sv t a
bylo publikováno asi 2000 odborných lánk . Úsp ch kvantové
gravitace je zna ný, avšak p esto malý ve srovnání s úsp chem teorie
660
superstrun a M-teorie. Pro srovnání, jen na serveru "e-Print archive"
Národní laborato e v Los Alamos se objevují stovky odborných lánk o
teorii superstrun a M-teorii m sí n . Zájem o kvantovou geometrii však
postupn roste. LQG získává stále v tší popularitu a je pouze otázkou
asu, zda bude plodná nebo nikoliv.
Teorie superstrun interpretuje ástice jako oscilující struny a na rozdíl od
kvantové geometrie popisuje všechny ty i silové interakce.
Její nevýhodou však je, že ji lze formulovat pouze v 10-rozm rném nebo
11-rozm rném prostoru. P itom p edpokládá metriku klasického
prostoro asu obecné teorie relativity. Dodate ný vícerozm rný
prostoro as však není kvantován, což je vlastnost, která je o ekávána od
úplné kvantové gravitace. Zde kvantová geometrie m že zvít zit.
Roger Penrose je p esv d en, že ze všech formulací kvantové gravitace,
je Ashtekarova verze nejslibn jší. Teorie superstrun p es všechny své
teoretické úsp chy vyžaduje p íliš mnoho složitých p edpoklad , jako
jsou dodate né rozm ry a supersymetrie, pro které nejsou žádné
teoretické d vody. Navíc tato teorie neposkytuje p íliš mnoho ur itých a
jednozna ných p edpov dí pro budoucí experimenty. Podle Rovelliho
nastal as zkusit alternativní cestu. Francouzský spisovatel Marcel
Proust kdysi napsal: "Nejlepší objevy nevznikají v neprobádaných
územích, ale tehdy, když se na sv t díváme jinýma o ima."
P edpov di a testy
Na rtl jsem, co má teorie LQG vypovídat o prostoru a asu v Planckov
m ítku, ale v n m nem žeme asoprostor zkoumat p ímo, abychom
tuto teorii ov ili. Takové rozm ry jsou pro nás p íliš malé. Jak tedy
m žeme tuto teorii prov it? D ležitým testem je to, zda je možné
odvodit klasickou obecnou teorii relativity jako aproximaci teorie LQG:
jinými slovy, pokud jsou spinové sít podobné vlákn m v kusu látky, je
tento test analogický zkoumání, zda m žeme ur it elastické vlastnosti
tkaniny tak, že zpr m rujeme vlastnosti tisíc vláken, z nichž je složena.
Popisují však spinové sít po zpr m rování p es mnoho Planckových
délek skute n geometrii prostoru a jeho vývoj zp sobem, který se
zhruba shoduje, s "hladkou tkaninou" Einsteinovy klasické teorie?
Jde o složitý problém, ale nedávno výzkumníci ud lali významný
661
pokrok v n kterých specifických p ípadech, ekn me "v ur itých
uspo ádáních materiálu". Nap íklad gravita ní vlny s velkou vlnovou
délkou, které se ší í v jinak plochém prostoru, mohou být popsány jako
vzruchy specifických kvantových stav , které popisuje teorie LQG.
Dalším plodným testem je zjišt ní, co m že teorie LQG íci k
dlouholetým tajemstvím gravita ní fyziky a kvantové teorie:
termodynamice erných d r, a zvlášt jejich entropii, která je vztažena k
neuspo ádanosti. Fyzikové spo ítali p edpov di, týkající se
termodynamiky erných d r, s použitím hybridní p ibližné teorie, která
nahlíží kvantov -mechanicky na hmotu, ale nikoli na asoprostor.
Pln kvantová teorie gravitace, jakou je t eba LQG, by m la být schopna
tyto p edpov di reprodukovat. V 70. letech usoudil Jacob D. Bekenstein,
nyní inný na Hebrejské univerzit v Jeruzalém , že erným dírám musí
být p ipsána entropie p ímo úm rná ploše jejich povrchu. Krátce poté
Stephen Hawking odvodil, že erné díry musí vyza ovat na teplot
( 1989 ). Analýza entropie p íslušných kvantových stav na horizontu
erné díry, provedená za pomoci LQG potvrdila p esn Bekensteinovu a
Hawkingovu p edpov .
Významnou p edpov dí LQG, je nepatrn rozdílná rychlost ší ení
elektromagnetického zá ení r zné frekvence ve vakuu, v d sledku
diskrétnosti prostoru, který je protkán periodickou strukturou spinových
sítí.
Radiace z dalekých kosmických explozí, p i nichž se v d sledku
vzájemné srážky neutronových hv zd, kvarkových hv zd, i erných d r
uvolní v krátkém okamžiku až 1050 J energie zá ení gama na r zných
frekvencích, by nám mohla poskytnout zp sob, kterak otestovat
správnost LQG. Erupce zá ení gama se odehrávají ve vzdálenostech
mnoha miliard sv telných let a každý emitovaný foton se musí prodrat
hustým tkanivem gravita ních smy ek spinové sít vesmíru. Diskrétní
povaha prostoru p sobí, že vysokoenergetické paprsky gama se
pohybují nepatrn pomaleji, než paprsky s nízkou energií. Tento efekt je
zanedbatelný, ale b hem dlouhé cesty sv tla prostorem se neustále
zv tšuje.
Ješt donedávna chyb la k potvrzení takto slabého efektu dostate n
citlivá technika. V srpnu roku 2007 však výzkumníci pracující na
projektu gama teleskopu MAGIC pod vedením J. Alberta, ohlásili první
662
experimentální potvrzení tohoto jevu p edpov zeného dosud pouze
teoriemi s diskrétní strukturou prostoro asu, jako je LQG, i teorie
cytoprostoru, o které pojednáme dále. Teleskop studoval metodou
Monte Carlo zá ení gama v rozmezí energií ádov 1010 eV až 1017 eV
vyza ované vzdálenou galaxií Markarian 501 a zaznamenal index lomu
prázdného prostoru indukovaný kvantovou gravitací.
Tento výsledek samoz ejm vyžaduje korekci Einsteinovy teorie
relativity, která p edpovídá univerzální rychlost ší ení sv tla nezávisle
na frekvenci. N kolik teoretik , mezi n ž pat í Giovanni Amelino
Camelia z ímské univerzity, Joao Magueijo z Královské koleje v
Londýn a Lee Smolin z Perimeter lnstitute for Theoretical Physics ve
Waterloo v Ontariu, vyvinulo upravené verze Einsteinovy teorie, která
bere v úvahu vysokoenergetické fotony cestující r znými rychlostmi. V
t chto teoriích se p edpokládá, že univerzální rychlostí ve vesmíru je
rychlost nízkoenergetických foton .
Obr. 94: Radiace z dalekých kosmických explozí, zvaných erupce zá ení gama, nám nabízí
zp sob, kterak otestovat správnost teorie smy kové kvantové gravitace. Erupce zá ení gama,
odehrávající se ve vzdálenosti mnoha miliard sv telných let, emitují b hem velice krátké doby
ohromné množství foton tvrdého zá ení gama. Podle p edpov di teorie kvantové smy kové
gravitace zaujímá každý foton v každém okamžiku malou oblast spojnic ve spinové síti, jenž
tvo í prostor, kterým se foton pohybuje (ve skute nosti se jedná o ohromný po et ar, ale pro
jednoduchost jsme jich zde znázornili jen 5). Diskrétní povaha prostoru p sobí, že
vysokoenergetické fotony se pohybují nepatrn pomaleji, než fotony s ádov nižší energií.
Tento efekt, a zcela nepatrný, se b hem nep edstaviteln dlouhé cesty foton od svého zdroje až
k Zemi, neustále znásobuje. Pokud fotony dorazí k Zemi s malým le m itelným asovým
rozdílem odpovídajícím rozdílu v jejich energii, bude to znamenat klí ovou podporu teorii
smy kové kvantové gravitace. P ístroje, uvedené do provozu po roce 2006, mají již pro takový
experiment dosta ující citlivost a první výsledky vycházejí velice slibn na podporu teorie.
663
Obr. 95: Gama teleskop MAGIC (Major Atmospheric Gamma-ray Imaging Cherenkov)
664
Další možný efekt diskrétního asoprostoru zahrnuje kosmické ástice
o velmi vysoké energii. P ed více než 30 lety výzkumníci p edpov d li,
že protony kosmického zá ení s energií v tší než 3⋅1019 elektronvolt
budou významn interagovat s reliktním pozadím, v d sledku ehož
budou pom rn rychle ztrácet energii. O to v tší záhadou bylo, když
japonský experiment AGASA zachytil více než 10 kosmických ástic s
energií n kolik ád nad tímto limitem. To by ukazovalo na blízký
intragalaktický p vod t chto ástic, který by byl ovšem na základ
našich soudobých znalostí astrofyziky velmi obtížn vysv tlitelný.
Diskrétní struktura prostoru však m že zvyšovat energii pot ebnou k
interakci, a tak umožnit i intergalaktickým proton m z kosmických
paprsk o vyšší energii dolet t až na Zemi. Pokud se pro výsledky pozorování AGASA nenajde jiné vysv tlení, m že to znamenat, že jsme již
detekovali diskrétní povahu prostoru.
Krom toho, že teorie LQG dokáže init p edpov di týkající se
specifických jev , nap íklad vysokoenergetických kosmických paprsk ,
nám také otev ela okno, skrze které m žeme studovat základní otázky
kosmologie, nap íklad p vod našeho vesmíru. M žeme teorii použít ke
studiu samých prvopo átk asu, hned po velkém t esku. Obecná
relativita p edpovídá, že existoval první asový moment, ale tento záv r
nebere v úvahu kvantovou fyziku (protože obecná relativita je
nekvantovou teorií). Nedávné výpo ty LQG, které provedl Martin
Bojowald z Max-Planckova ústavu pro gravita ní fyziku v Golmu v
N mecku ukazují, že velký t esk by mohl být vlastn velkým odrazem
po p edchozím velkém smršt ní vesmíru. Teoretici nyní usilovn
vyvíjejí p edpov di pro raný vesmír, které by mohly být ov eny p i
budoucích kosmologických pozorováních. Není vylou eno, že se ješt
osobn dožijeme d kazu existence asu p ed velkým t eskem.
Podobn závažná otázka se týká kosmologické konstanty - kladné
nebo záporné hustoty energie, která by mohla prostupovat "prázdný"
prostor. Nedávná pozorování vzdálených supernov a mikrovlnného
kosmického pozadí siln nazna ují, že tato energie existuje a že je
pozitivní, což urychluje rozpínání vesmíru. Již v roce 1989, p itom
Hideo Kodama z Tokijské univerzity odvodil z LQG rovnice popisující
p esný kvantový stav vesmíru, který má kladnou kosmologickou
konstantu.
665
V LQG z stává ješt nevy ešeno mnoho otázek. Je t eba objasnit
n které technické problémy a také bychom rádi porozum li tomu,
jak - pokud v bec - musí být speciální relativita v oblastech extrémn
vysokých energií upravena.
A kone n , rádi bychom pochopili, zda má LQG co íci ke sjednocení
teorií: jsou r zné síly, v etn gravitace, jen r znými projevy jediné
základní síly? Teorie strun je založena na ideji sjednocení, odborníci
pracující na LQG se rovn ž pokouší dosáhnout tohoto sjednocení.
LQG zaujímá velmi d ležité místo ve vývoji fyziky. Je to, velmi
nad jná cesta ke kvantové teorii obecné relativity, protože ne iní žádné
zvláštní p edpoklady krom základních princip kvantové teorie a teorie
relativity. Pozoruhodný sm r, kterým se tato teorie vyvíjí,
s p edpokladem nespojitého asoprostoru popisovaného spinovými
sít mi a spinovými p nami, spíše vyplývá z matematiky samotné teorie,
než aby byl do ní v le ován zvláštním postulátem.
Download

Unitární teorie pole - Úvod do teorie Cytoprostoru