2
-P
av
el
M
áš
a
Obvodové rovnice v časové oblasti a v operátorovém (i frekvenčním) tvaru
X3
1
EO
EO2 – Přednáška 5
Pavel Máša
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
ÚVODEM
V předchozím semestru jsme se seznámili s obvodovými rovnicemi v SUS a HUS
áš
a
•
-P
av
el
M
Jak se liší, resp. v čem se shodují obvodové rovnice, zapsané v časové oblasti, resp. v operátorovém tvaru, s rovnicemi v SUS, resp. v HUS?
EO
2
Obvodové rovnice, bez ohledu na použitý matematický aparát, jsou matematickým vyjádřením Kirchhofových zákonů:
X3
1
METODA SMYČKOVÝCH PROUDŮ – 2. Kirchhofův zákon
X
Uk = 0
k
napětí na R, L, C je vyjádřeno z proudu
X
METODA UZLOVÝCH NAPĚTÍ – 1. Kirchhofův zákon
Ik = 0
k
proud, tekoucí R, L, C je vyjádřeno z napětí
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
VZTAH MEZI PROUDEM A NAPĚTÍM
prvek
Obecné časové průběhy
SUS (DC)
HUS (AC) / Fourier
Laplace
M
áš
a
R
-P
av
el
L
2
zkrat
X3
1
EO
C
použití
Řešení přechodných dějů
obvykle potřebujeme i SUS / HUS
rozpojený
obvod
Ustálený stav se stejnosměrným
buzením
HUS – ustálený stav s harmonickým buzením
Fourier
řady – ustálený stav s periodickým buzením
Obecné použití
obsahuje ustálenou i přechodnou složku
transformace – impulsní
buzení
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
POČÁTEČNÍ PODMÍNKY
Energetické počáteční podmínky
– protože energie je spojitá veličina, budou energetické obvodové veličiny spojité
q = Cu
dq
i=
dt
M
duC ( t )
-P
av
el
iC ( t ) = C
áš
a
musí být uC (0¡) = uC (0+) může být iC (0¡) 6= iC (0+)
dt
může být uL(0¡) 6= uL(0+) musí být iL(0¡) = iL(0+)
EO
X3
1
d ΦC
u (t ) =
dt
2
ΦC = Li
uL(0¡)
iL(0¡)
iL(0+)
uL(0+)
Historii kapacitoru charakterizuje náboj v něm uložený œ napětí
Historii induktoru charakterizuje magnetický tok jím protékající œ elektrický proud
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
ZÁKLADNÍ PRAVIDLA – ZNAMÉNKA, …
•
Metoda smyčkových proudů
Metoda uzlových napětí
EO
2
– Napětí v uzlu, pro který sestavujeme rovnici, má vždy kladné znaménko
– Napětí v přilehlých uzlech, s vyjímkou zdrojů napětí, mají vždy záporné znaménko (předpokládáme, že všechny proudy z uzlů vytékají, skutečná orientace vyplyne z řešení soustavy rovnic; napětí obvodového prvku, zapojeného do uzlu je rozdílem potenciálů)
– Napětí zdrojů v přilehlých uzlech mají záporné znaménko, pokud jsou do přilehlého uzlu zapojeny kladnou svorkou (odečítáme je), kladné, pokud jsou do přilehlého uzlu zapojeny zápornou svorkou – Proud z proudového zdroje má kladné znaménko, pokud z uzlu vytéká, záporné, pokud do uzlu vtéká
– Zdroj napětí, který není spojen s referenčním uzlem (zemí) je plovoucí zdroj – obě jeho svorky mají jednu společnou rovnici
X3
1
•
-P
av
el
M
áš
a
– Proud ve smyčce, pro kterou sestavujeme rovnici, má vždy kladné znaménko
– Ostatní proudy tekoucí prvkem, pro kerý vyjadřujeme napětí, mají kladné znaménko při souhlasné orientaci, záporné při nesouhlasné
– Zdroje napětí mají kladné znaménko, pokud proud ve smyčce, pro kterou sestavujeme rovnici teče do kladné svorky a záporné, pokud teče do záporné svorky
– Smyčka, pro kterou sestavujeme rovnici, nemůže vést zdrojem proudu, zdroj ale musíme v uzavřené smyčce započítat
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
Redukce počtu rovnic
SUS
HUS
nelze redukovat
áš
a
Obecné časové průběhy
-P
av
el
M
Laplace
SUS
EO
2
HUS
X3
1
Obecné časové průběhy
Laplace
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
VÁZANÉ INDUKTORY (TRANSFORMÁTOR)
Časová oblast – smyčkové proudy
di2 (t)
di1 (t)
+M
dt
dt
di2 (t)
di1 (t)
u2 (t) = L2
+M
dt
dt
áš
a
u1 (t) = L1
M
Laplaceova transformace – smyčkové proudy
-P
av
el
U1 (p) = pL1 I1 (p) ¡ L1 i1 (0+ ) + pM I2 (p) ¡ M i2 (0+ )
3
U2 (p) = pL2I2(p) ¡ L2 i2 (0+ ) + pM I1 (p) ¡ M i1 (0+ )
1
2
2
EO
U2 (p) + L2 i2 (0+ ) ¡ pM I1 (p) + M i1(0+ )
pL2
X3
1
I2 (p) =
– uzlová napětí
U1 (p) = pL1 I1 (p)¡L1 i1 (0+)+pM
U2 (p) + L2 i2 (0+ ) ¡ pM I1 (p) + M i1 (0+ )
¡M i2(0+ )
pL2
I1 (p) =
L2
M
1
1
i1 (0+ ) 1
1
i1 (0+ )
U1(p) ¡
U2 (p) ¡
= ¡1 U1(p) + ¡M U2 (p) ¡
2
2
p L1 L2 ¡ M
p L1 L2 ¡ M
p
p
p
p
I2(p) =
1
1
i2 (0+ )
¡M U1 (p) + ¡2 U2(p) ¡
p
p
p
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
uC (0)
HUS:
iL (0)
R2
áš
a
Smyčkové proudy – 0 rovnic, napětí na R1 a R2 je dáno ohmovým zákonem
1 ^ ^
(I1 ¡ I) = 0
j!L ^I1 +R2^I1 +
j!C
)
^I
(j!)2 LC + j!R2 C + 1
M
SUS:
C
^I1 =
-P
av
el
Příklad:
L
R1
EO
2
Obecné časové průběhy:
Z
di1 (t)
1 t
+ R2i1(t) +
L
[i1 (¿ ) ¡ i(¿ )] d¿ ¡ uC (0) = 0
dt
C 0
X3
1
Řešení hledáme ve třech krocích:
1. Počáteční podmínka uC(0) ‐ řešíme SUS nebo HUS podle charakteru zdroje v obvodu před změnou
2. Řešíme integro‐diferenciální rovnici – hledáme řešení přechodného děje
3. Pro nalezení ustáleného stavu v obvodu po odeznění přechodného děje musíme opět řešit SUS nebo HUS
Použití – přechodné děje – popisující dění v obvodu
• Po připojení zdroje
• Po odpojení zdroje
• Po změně struktury obvodu
• Po změně některého z obvodových parametrů (odpor, kapacita, indukčnost)
Vždy musíme řešit také SUS nebo HUS
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
Laplace:
pL I1 (p)¡LiL(0) + R2 I1 (p) +
1
uC (0)
[I1(p) ¡ I(p)] ¡
=0
pC
p
I(p)+CuC (0) + pLCiL(0)
)
I1 (p) =
p2 LC + pR2C + 1
áš
a
Řešení hledáme ve dvou krocích:
1. Počáteční podmínka uC(0) ‐ řešíme SUS nebo HUS podle charakteru zdroje v obvodu před změnou
2. Hledáme zpětnou transformaci I1(p) – ta obsahuje jak řešení přechodného děje,
tak ustálený stav po jeho odeznění
X3
1
EO
2
-P
av
el
M
• Před použitím Laplaceovy transformace musíme obvykle obvod řešit také pomocí SUS, nebo HUS,
abychom vypočítali počáteční podmínky
• Zpětná Laplaceova transformace bude odpovídat řešení přechodného děje při připojení zdroje I(p) (je‐li v rovnici uveden), resp.
odpojení zdroje (pak je ustálený stav před odpojením „skryt“ v počátečních podmínkách)
¾ Tento přechodný děj je přirozenou vlastností Laplaceovy transformace, důsledkem omezení času
u(t) = u0 (t)1(t) i(t) = i0 (t)1(t)
‐ každý zdroj je nulový pro t < 0, neboť ,
• Nedělitelnou součástí zpětné Laplaceovy transformace je i ustálený stav po odeznění přechodného děje
• Přes formální podobnost s HUS tak dostáváme odlišné – „kompletnější“ řešení X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
•
•
Nyní uvažujme následující hodnoty součástek: R2 = 1 kΩ, L = 1H, C = 1 μF, R1 = 2 kΩ
SUS – obvod bude napájen ze zdroje proudu I = 10 mA
U2 = R2 I = 1000 ¢ 0:01 = 10 V
HUS – obvod bude napájen z harmonického zdroje proudu i(t) = 10 sin(1000t) mA
Počáteční podmínka je dána – uc(0) = 0
Řešíme integro‐diferenciální rovnici (bude podrobně popisováno na přednášce č. 8)
di1 (t)
1
+ R2i1(t) +
L
dt
C
Z
t
[i1(¿ ) ¡ i(¿ )] d¿ ¡ uC (0) = 0
0
2
1.
2.
-P
av
el
M
Obecné časové průběhy – k obvodu bude v čase t = 0 připojen harmonický zdroj
proudu i(t) = 10 sin(1000t) mA . V čase t < 0 byl obvod bez energie.
a)
Zderivujeme
b)
Řešíme metodou variace konstant
X3
1
•
^I
0:01
¡ ¼2 j
=
=
10e
mA
(j!)2 LC + j!R2 C + 1 (j ¢ 1000)2 ¢ 1 ¢ 10¡6 + j ¢ 1000 ¢ 1000 ¢ 10¡6 + 1
áš
a
^
I1 =
d2 i1 (t)
d i1(t) i1 (t) ¡ i(t)
L
+
=0
+
R
2
dt2
dt
C
R2
1
¸2 + ¸ +
= 0 ) ¸2 + 1000¸ + 106 = 0
L
LC
p
¸1;2 = ¡500 § 5002 ¡ 106 = ¡500 § 866:03j
EO
•
U1 = R1 I = 2000 ¢ 0:01 = 20 V
¼
i1 (t) = [K1 cos(866:03t) + K2 sin(866:03t)] e¡500t + 0:01 sin(1000t ¡ )
2}
|
{z
v¶
y·se ·re·sen¶
y HUS
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
Laplace
0:01¢1000
M
áš
a
106
0:01 ¢ 1000
I(p)
p2 +10002
=
=
I1(p) = 2
p LC + pR2C + 1 p2 ¢ 1 ¢ 10¡6 + p ¢ 1000 ¢ 10¡6 + 1 p2 + 10002 p2 + 1000p + 106
1000 + p
p
= 2
¡
=
p + 1000p + 106 p2 + 106
"
#
p
500 3
1
p
p + 500
p +p
p ¡ 2
= 0:01
(p + 500)2 + (500 3)2
3 (p + 500)2 + (500 3)2 p + 106
2
-P
av
el
· ³
´
´¸
³
³
p
p
1
¼´
¡500 t
cos 500 3t + p sin 500 3t +10 sin 1000 t ¡
i(t) = 10 e
mA
2
3
EO
Nepočítáme žádný HUS, ustálený stav je součástí řešení
X3
1
•
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
uC (0)
U (p)
I1 (p)
C
LiL(0)
iL(0)
uC (0)
p
I2 (p)
Obecné časové průběhy:
Z
1 t
R1 i1 (t) +
[i1 (¿ ) ¡ i2 (¿ )] d¿ + uC (0+) ¡ u(t) = 0
C 0
R2
Z
di2(t)
1 t
L
[i2(¿ ) ¡ i1(¿ )] d¿ = 0
+ R2 i2 (t) ¡ uC (0+ ) +
dt
C 0
Laplace:
1
uC (0)
[I1(p) ¡ I2(p)] +
¡ U (p) = 0
pC
p
pLI2 (p) ¡ LiL(0) + R2 I2 (p) ¡
-P
av
el
R1 I1(p) +
áš
a
L
R1
M
Smyčkové proudy:
uC (0)
1
[I2(p) ¡ I1 (0)] = 0
+
p
pC
Maticový zápis
v·etev 21
HUS:
2
4
1
R1 + j!C
1
¡ j!C
smy·cka I2
X3
1
EO
2
3
2
smy·cka I1
v·etev 12
z }| {
z }| {
7
6
1
1
3
7 "
6R1 +
# 2
u
¡
C (0+ )
7 I1 (p)
6
U (p) ¡ p
pC
pC
7
6
4
5
=
7¢
6
uC(0+) + Li (0 )
6
1
1 7 I2 (p)
L +
7
6 ¡
pL
+
R
+
p
2
5
4
pC
pC
| {z } |
{z
}
3 2 3 " #
^I1
^
U
5¢4 5=
1
^I2
0
j!L + R2 + j!C
1
¡ j!C
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
Uzlová napětí:
U1 (p)
R1
L
U(p)
C
iL (0)
p
R2
Obecné časové průběhy:
Z
du1(t)
u1(t) ¡ u(t) 1 t
+ iL (0) = 0
+
[u1(¿ ) ¡ u2(¿ )] d¿ + C
R1
L 0
dt
Z
u2(t)
1 t
[u2(¿ ) ¡ u1 (¿ )] d¿ +
¡ iL(0) = 0
L 0
R2
áš
a
CuC (0)
U2 (p)
Laplace:
-P
av
el
M
U1(p) ¡ U (p) U1(p) ¡ U2 (p)
iL(0)
+ pCU1 (p) ¡ CuC (0) +
=0
+
R1
pL
p
Maticový zápis
v·etev mezi uzly 2, 1
uzel U2
X3
1
EO
2
U2(p) ¡ U1(p) U2(p) iL (0)
+
=0
¡
pL
R2
p
2
3
v·etev mezi uzly 1, 2
uzel U1
z
}|
{
z }| {
61
7
1
1
3
6
7 "
# 2 U (p)
+
pC
+
¡
iL (0+ )
6 R1
7 U1(p)
pL
pL
R1 + CuC (0+ ) ¡
p
6
7
4
5
=
6
7¢
(0
)
i
6
7
L +
1
1
1
6
7 U2(p)
p
¡
+
4
pL
pL R2 5
| {z }
| {z }
HUS:
2
4
1
R1
+ j!C +
1
¡ j!L
1
j!L
1
¡ j!L
1
j!L
+ R12
3 2 3 2 3
^
U
^1
U
R
5 ¢ 4 5 = 4 15
^2
0
U
Pozor – pokud obvod obsahuje řízené zdroje,
je potřeba doplnit další, komlikovanější pravidla
pro sestavení matic (nulorový model)!!!
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
ZÁPIS SOUSTAVY ROVNIC DO MATICE
9 Lze použít pro SUS, HUS, Laplace
X3
1
EO
2
-P
av
el
M
Nelze použít pro obecné časové průběhy
áš
a
9 Řešení Gaussovou eleminací, Cramérovým pravidlem, Inverzní matice – velmi snadné s použitím matematického software (Matlab, Maple, …)
X31EO2 - Pavel Máša - 5. přednáška
Download

Obvodové rovnice v časové oblasti a v operátorovém (i frekvenčním