Stupeň zobrazení
Martin Rohleder
Úvod
Tento článek pojednává o topologickém stupni spojitých zobrazení a
jeho aplikaci v teorii pevných bodů. Konkrétně, v konečně dimenzionálních
prostorech Rn se zabývám Brouwerovým stupněm zobrazení [1912] a v nekonečně dimenzionálních Banachových prostorech Lerayovým-Schauderovým stupněm zobrazení [1934]. Zmíním se ale i o Heinzově integrálním
stupni zobrazení. Uvedená tvrzení, a zvláště pak konstrukce stupňů zobrazení, uvádím většinou bez důkazů, s ohledem na stručnost, ale i srozumitelnost výkladu. Tyto důkazy či odkazy na ně je možno najít v uvedené
literatuře.
Předpokládejme, že f je zobrazení z otevřené množiny D v Banachově prostoru X do X. Chceme definovat číslo d[f, D, p] (nazvané stupeň zobrazení f ),
které by vyjadřovalo počet řešení rovnice f (x) = p na množině D. Dále požadujeme, aby toto číslo spojitě záviselo na f i p a aby pro malé perturbace f toto
číslo zůstalo konstantní v malém okolí bodu p.
1
1.1
Brouwerův stupeň zobrazení
Existence Brouwerova stupně zobrazení
Definice 1.1 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná množina v Rn a f0 , f1
spojitá zobrazení z D do Rn . Zobrazení f0 a f1 se nazývají homotopická, existuje-li spojité zobrazení h : D × [0, 1] → Rn takové, že pro každé x ∈ D platí
h(x, 0) = f0 (x),
h(x, 1) = f1 (x)
a pro všechna x ∈ ∂D a všechna t ∈ [0, 1] je h(x, t) 6= 0.
Zobrazení h s uvedenými vlastnostmi se nazývá homotopie zobrazení f0 a f1 .
Věta 1.2 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná množina v Rn a f : D →
Rn je spojité zobrazení takové, že f (x) 6= 0 pro každé x ∈ ∂D. Pak existuje jediné
celé číslo d[f, D, 0] tak, že platí:
1
(i) (normalizační vlastnost)1
Je-li 0 ∈ D, pak d[I, D, 0] = 1.
(ii) (existenční vlastnost)
Je-li d[f, D, 0] 6= 0, pak existuje x0 ∈ D takové, že f (x0 ) = 0.
(iii) (vlastnost homotopie (invariance vzhledem k homotopii))
Nechť h : D ×[0, 1] → Rn je spojité zobrazení takové, že pro všechna x ∈ ∂D
a všechna t ∈ [0, 1] je h(x, t) 6= 0. Pak
d[h(x, 0), D, 0] = d[h(x, 1), D, 0].
(iv) (antipodální vlastnost)
Nechť D je symetrická množina2 obsahující počátek3 a zobrazení f je liché
na D 4 . Pak d[f, D, 0] je liché (a tedy nenulové) číslo.
Definice 1.3 Číslo d[f, D, 0] z předchozí věty se nazývá Brouwerův (topologický)
stupeň zobrazení f vzhledem k množině D a bodu 0 nebo krátce stupeň zobrazení
f.
Význam Brouwerova stupně zobrazení f vzhledem k množině D a bodu 0
spočívá v tom, že má-li zobrazení f nenulový stupeň, pak podle vlastnosti (ii)
v předchozí větě plyne, že rovnice f (x) = 0 má alespoň jedno řešení na množině
D. Výpočet stupně konkrétního zobrazení je téměř vyloučen, což bude patrné
z konstrukce stupně zobrazení. O to víc vystupuje do popředí význam vlastností
(i) a (iv). Pokud zobrazení není liché, nabízí se možnost pokusit se o homotopické spojení tohoto zobrazení s identickým nebo nějakým lichým zobrazením a
použít vlastnost (iii). To se provede např. v důkazu následující Brouwerovy věty
o pevném bodě.
V této kapitole symbolem Br značíme otevřenou kouli v Rn o poloměru r se
středem v počátku, tedy
Br = {x ∈ Rn : kxk < r}.
Věta 1.4 (Brouwerova) Nechť f : Br ⊂ Rn → Br je spojité zobrazení. Pak
existuje pevný bod zobrazení f v kouli Br .
1
Symbol I značí identické zobrazení (identitu) na D, tedy I(x) = x pro každé x ∈ D.
Tj. je-li x ∈ D, pak i −x ∈ D.
3
Tj. 0 ∈ D.
4
Tj. platí-li f (x) = −f (−x) pro všechna x ∈ D.
2
2
Důkaz: V případě, že existuje x0 ∈ ∂Br tak, že f (x0 ) = x0 , není co dokazovat.
Předpokládejme proto, že x − f (x) 6= 0 pro každé x ∈ ∂Br . Pak jsou splněny
předpoklady Věty 1.2, a lze tedy definovat stupeň zobrazení d[x − f (x), Br , 0].
Položíme
h(x, t) = x − tf (x)
a dokážeme, že jsou splněny předpoklady vlastnosti (iii) Věty 1.2, což znamená,
že funkce h(x, t) je homotopie zobrazení x a x − f (x). Zřejmě h je spojité zobrazení na Br × [0, 1].
Předpokládejme spor, tedy že existuje x1 ∈ ∂Br a t1 ∈ [0, 1] s vlastností h(x1 , t1 ) =
x1 − t1 f (x1 ) = 0. Jelikož kf (x1 )k ≤ r a kx1 k = r, je
0 = kx1 − t1 f (x1 )k ≥ kx1 k − t1 kf (x1 )k ≥ r(1 − t1 ) ≥ 0.
Odtud dostáváme t1 = 1, a tedy x1 − f (x1 ) = 0. To je však spor s předpokladem
x − f (x) 6= 0 na ∂Br .
Máme tedy splněny předpoklady vlastnosti (iii), odkud s využitím vlastnosti (i)
dostáváme
d[x − f (x), Br , 0] = d[I − f, Br , 0] = d[I, Br , 0] = 1.
Tedy dle (ii) existuje x0 ∈ Br tak, že f (x0 ) = x0 , což se mělo dokázat.
1.2
Konstrukce Brouwerova stupně zobrazení
V celé této podkapitole předpokládáme, že D je otevřená, omezená a neprázdná
množina v Rn .
Definice 1.5 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná množina v Rn , f : D →
Rn , f ∈ C 1 (D) ∩ C(D). Pro p ∈ Rn definujme množinu f −1 (p) = {x ∈ D : f (x) =
p}. Bod x ∈ f −1 (p) nazýváme regulární, jestliže Jf (x) 6= 0, kde Jf (x) je jakobián
zobrazení f .
Jednotlivé části následující konstrukce Brouwerova stupně zobrazení jsou uvedeny bez důkazů. Tyto důkazy je možno nalézt v [2]. Poznamenejme, že zápis
p ∈ Rn \ f (∂D) znamená, že f (x) 6= p pro každé x ∈ ∂D.
1. krok: Konstrukce pro f ∈ C 1 (D) ∩ C(D), p ∈ Rn \ f (∂D), f −1 (p)
obsahuje pouze regulární body
Za těchto předpokladů je množina f −1 (p) konečná. Proto má smysl definovat
stupeň zobrazení f předpisem
X
d[f, D, p] =
sgn Jf (x).
x∈f −1 (p)
3
Poznamenejme, že pro f −1 (p) = ∅ je d[f, D, p] = 0.
2. krok: Konstrukce pro f ∈ C 1 (D) ∩ C(D), p ∈ Rn \ f (∂D)
Zde již f −1 (p) nemusí obsahovat pouze regulární body. V tomto případě existuje
posloupnost {pk } ⊂ Rn taková, že limk→∞ pk = p a množina f −1 (pk ) obsahuje
jen regulární body pro každé k ∈ N. Dále existuje k0 ∈ N tak, že pro každé
k ≥ k0 platí d[f, D, pk0 ] = d[f, D, pk ]. Stejně tak, pokud je {qk } ⊂ Rn obecně
jiná posloupnost než {pk }, pro niž platí limk→∞ qk = p a f −1 (qk ) obsahuje pouze
regulární body pro každé k ∈ N, tak existuje k1 ∈ N takové, že pro každé k ≥ k1
platí d[f, D, qk ] = d[f, D, pk ]. Tedy posloupnost {d[f, D, pk ]} konverguje a její
limita nezávisí na výběru přípustné posloupnosti {pk }. Položíme-li tudíž
d[f, D, p] = lim d[f, D, pk ],
k→∞
je takto definovaný stupeň zobrazení pro f ∈ C 1 (D) ∩ C(D) a p ∈ Rn \ f (∂D)
dobře definován.
3. krok: Konstrukce pro f ∈ C(D), p ∈ Rn \ f (∂D)
Dle Weierstrassovy věty o aproximaci spojité funkce polynomy existuje posloup/ fk (∂D) a
nost {fk } taková, že pro každé k ∈ N platí fk ∈ C 1 (D) ∩ C(D), p ∈
fk → f stejnoměrně na D. Posloupnost {d[fk , D, p]} konverguje a její limita nezávisí na výběru přípustné posloupnosti {fk }. Proto pro f ∈ C(D) a p ∈ Rn \f (∂D)
můžeme definovat Brouwerův stupeň zobrazení předpisem
d[f, D, p] = lim d[fk , D, p].
k→∞
Poznámka 1.6 Proč nemůžeme stupeň zobrazení definovat také pro p ∈ f (∂D)?
Ilustrujme to na jednoduchém příkladě. Uvažujme identickou funkci f (x) = x na
intervalu D = (0, 1). Potom dle Věty 1.7 z následující podkapitoly musí být
(
1 pro p ∈ (0, 1),
d[f, D, p] =
0 pro p ∈ (−∞, 0) ∪ (1, ∞).
V libovolném okolí bodu p = 0 či p = 1 nabývá tedy stupeň d[f, D, p] jak hodnot
0 tak i 1. Není tedy šance definovat stupeň d[f, D, p] pro p ∈ f (∂D) = {0, 1},
vyžadujeme-li, aby spojitě závisel na p.
1.3
Vlastnosti Brouwerova stupně zobrazení
Věta 1.7 Je-li D je otevřená, omezená a neprázdná podmnožina Rn , potom
(
1 pro p ∈ D,
d[I, D, p] =
0 pro p ∈
/ D.
4
Věta 1.8 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná podmnožina Rn , zobrazení
f : D → Rn je spojité, p ∈ Rn \ f (∂D) a nechť d[f, D, p] 6= 0. Pak existuje x0 ∈ D
tak, že
f (x0 ) = p.
Věta 1.9 (o homotopii) Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná podmnožina Rn , p ∈ Rn , a, b ∈ R. Nechť h : D × [a, b] → Rn je spojité zobrazení takové, že
pro všechna x ∈ ∂D a všechna t ∈ [a, b] je h(x, t) 6= p. Pak funkce d[h(x, ·), D, p]
je na [a, b] konstantní, tzn.
d[h(x, t1 ), D, p] = d[h(x, t2 ), D, p]
∀t1 , t2 ∈ [a, b].
Důsledek 1.10 (Rouchého věta) Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná
podmnožina Rn , p ∈ Rn , f1 a f2 jsou spojitá zobrazení z D do Rn a nechť platí 5
kf1 (x) − f2 (x)k < kf1 (x) − pk
∀x ∈ ∂D.
Potom
d[f1 , D, p] = d[f2 , D, p].
Důsledek 1.11 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná podmnožina Rn ,
nechť f1 a f2 jsou spojitá zobrazení z D do Rn taková, že platí f1 = f2 na
∂D, p ∈ Rn \ f1 (∂D). Pak
d[f1 , D, p] = d[f2 , D, p].
Věta 1.12 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná podmnožina Rn a zobrazení f : D → Rn je spojité. Pak funkce d[f, D, ·] je konstantní na každé komponentě 6 otevřené množiny Rn \ f (∂D).
Věta 1.13 Nechť D1 a D2 jsou disjunktní, otevřené, omezené a neprázdné množiny v Rn , zobrazení f : D1 ∪ D2 → Rn je spojité a p 6= f (x) pro x ∈ ∂D1 ∪ ∂D2 .
Pak
d[f, D1 ∪ D2 , p] = d[f, D1 , p] + d[f, D2 , p].
Věta 1.14 (Borsukova) Nechť D je otevřená, omezená a symetrická množina
v Rn obsahující počátek. Nechť f : D → Rn je spojité zobrazení, které je liché
na ∂D a takové, že f (x) 6= 0 pro každé x ∈ ∂D. Pak d[f, D, 0] je liché (a tedy
nenulové) číslo.
5
V této nerovnosti je již obsažen předpoklad p ∈
/ f1 (∂D) ∪ f2 (∂D), tudíž ho není třeba
explicitně uvádět.
6
Komponentou množiny M rozumíme každou její souvislou podmnožinu, která není vlastní
částí žádné jiné souvislé podmnožiny množiny M . Komponenty množiny jsou tedy její maximální souvislé části.
Je-li M 6= ∅, pak i každá komponenta množiny M je neprázdná. Každá množina je sjednocením
systému všech svých komponent a tento systém je disjunktní. Každá komponenta otevřené,
resp. uzavřené množiny je oblast, resp. kontinuum.
5
Důsledek 1.15 Nechť D je otevřená, omezená a symetrická množina v Rn obsahující počátek. Nechť zobrazení f : D → Rn je spojité a takové, že f (x) 6= 0 pro
každé x ∈ ∂D. Dále nechť
f (−x)
f (x)
6=
kf (x)k
kf (−x)k
∀x ∈ ∂D.
Pak d[f, D, 0] je liché (a tedy nenulové) číslo.
2
Lerayův-Schauderův stupeň zobrazení
2.1
Existence Lerayova-Schauderova stupně zobrazení
Brouwerův stupeň zobrazení lze snadno rozšířit i pro případ spojitých funkcí definovaných na reálném Banachově prostoru konečné dimenze. Je-li ale Banachův
prostor nekonečně dimenzionální, pak nelze definovat stupeň libovolného spojitého zobrazení Banachova prostoru do sebe s vlastnostmi uvedenými ve Větě 1.2
a nelze ani dokázat větu, která by byla analogií Brouwerovy věty. Podstata této
skutečnosti spočívá v tom, že uzavřená jednotková koule v nekonečně rozměrném
Banachově prostoru není kompaktní. Existuje řada příkladů, ve kterých spojitá
funkce homeomorfně zobrazuje jednotkovou kouli na sebe a nemá pevný bod (viz
např. [1]).
Definice 2.1 Nechť X a Y jsou normované lineární prostory. Řekneme, že operátor K : X → Y je kompaktní7 , je-li lineární a zobrazuje každou omezenou
množinu v X na množinu relativně kompaktní v Y .
Pojem Brouwerova stupně zobrazení lze zobecnit pro kompaktní operátory
definované na Banachově prostoru stejnou metodou jako v důkazu Schauderova
principu ([1] – Věta 1.3.5).
Věta 2.2 Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná množina v Banachově prostoru X a K : D → X je kompaktní operátor takový, že Kx 6= x pro každé
x ∈ ∂D. Pak existuje jediné celé číslo d[I − K, D, 0] tak, že platí:
(i) (normalizační vlastnost)
Je-li 0 ∈ D, pak d[I, D, 0] = 1.
7
Někteří autoři používají pojem totálně spojitý. To ovšem může vést k nedorozumění, neboť
jiní autoři (v souladu se značením D. Hilberta) totálně spojitými operátory značí operátory
převádějící slabě konvergentní posloupnosti na silně konvergentní. V tomto případě každý kompaktní operátor je totálně spojitý, ale totálně spojitý operátor být kompaktní nemusí! Ale např.
v reflexivních prostorech totálně spojité operátory s kompaktními splývají.
6
(ii) (existenční vlastnost)
Je-li d[I − K, D, 0] 6= 0, pak existuje x0 ∈ D takové, že (I − K)(x0 ) = 0,
tedy K má pevný bod v D.
(iii) (vlastnost homotopie (invariance vzhledem k homotopii))
Nechť L : D → X je kompaktní operátor takový, že pro všechna x ∈ ∂D a
všechna t ∈ [0, 1] je x − Kx − tLx 6= 0. Pak
d[I − K, D, 0] = d[I − K − L, D, 0].
(iv) (antipodální vlastnost)
Nechť D je symetrická množina obsahující počátek a operátor K je lichý
na D. Pak d[I − K, D, 0] je liché (a tedy nenulové) číslo.
Definice 2.3 Číslo d[I −K, D, 0] z předchozí věty se nazývá Lerayův-Schauderův
(topologický) stupeň zobrazení I −K vzhledem k množině D a bodu 0 nebo krátce
stupeň zobrazení I − K.
Pro kompaktní operátor K se operátor I − K nazývá kompaktní perturbace
identity.
2.2
Konstrukce stupně zobrazení v Banachových prostorech
Jednotlivé části následujících konstrukcí jsou uvedeny stručně a bez důkazů. Tyto
důkazy či odkazy na ně je možno nalézt v [1].
V Rn existují také jiné ekvivalentní definice stupně zobrazení. Z nich nyní uvedeme definici v integrálním tvaru, která se používá v důkazech vlastností stupně
zobrazení a kterou budeme potřebovat v konstrukcích stupně zobrazení v Banachových prostorech.
1. krok: Konstrukce Heinzova integrálního stupně zobrazení v Rn pro
f ∈ C 1 (D) ∩ C(D), p ∈ Rn \ f (∂D), f −1 (p) obsahuje pouze regulární
body
Zde jsou předpoklady stejné jako v 1. kroku konstrukce Brouwerova stupně zobrazení, tedy předpokládáme, že D je otevřená, omezená a neprázdná množina
v Rn . Za těchto předpokladů existuje číslo α > 0 a funkce φ tak, aby platilo8
Z
∞
φ ∈ C[0, ∞) ∩ C (0, ∞),
φ(kxk) dx = 1,
supp φ = [0, α].
Rn
8
Symbol supp značí nosič funkce, tedy supp φ = {x ∈ D(φ) : φ(x) 6= 0}, kde D je definiční
obor funkce φ.
7
Pak sR využitím věty o substituci z teorie Lebesgueova integrálu dostaneme, že
číslo D φ(kf (x) − pk)J(f (x)) dx je rovno Brouwerovu stupni d[f, D, p], a tedy
nezáleží na volbě přípustné funkce φ. Definujeme tedy Heinzův integrální stupeň
zobrazení f předpisem
Z
φ(kf (x) − pk)J(f (x)) dx.
d[f, D, p] =
D
2. krok: Konstrukce stupně zobrazení v n-rozměrném Banachově prostoru X pro f ∈ C(D), f 6= 0 na ∂D
Nechť D je otevřená, omezená a neprázdná množina v X, f : D → X. Nechť
nejprve f ∈ C 1 (D) ∩ C(D). Prostor X je izometricky-izomorfní s prostorem Rn .
Nechť tedy h je nějaké zobrazení, které izometricky a izomorfně zobrazuje X na
Rn . Pak s využitím Heinzova integrálního tvaru stupně zobrazení a věty o substituci obdržíme
Z
−1
φ(kh(f (h−1 (y)))k)J(h ◦ f ◦ h−1 (y)) dy
d[h ◦ f ◦ h , h(D), 0] =
Zh(D)
φ(kf (x)k)J(f (x)) dx.
=
D
Odtud plyne, že levá strana této rovnosti nezávisí na výběru přípustné funkce h.
Proto lze aplikací 2. a 3. kroku konstrukce Brouwerova stupně zobrazení definovat
stupeň zobrazení f ∈ C(D) v konečně rozměrném Banachově prostoru X vztahem
dX [f, D, 0] = d[h ◦ f ◦ h−1 , h(D), 0].
Z této definice plyne, že vlastnosti stupně zobrazení v konečně dimenzionálním
Banachově prostoru jsou tytéž jako vlastnosti Brouwerova stupně v Rn .
3. krok: Konstrukce Lerayova-Schauderova stupně zobrazení v nekonečně rozměrném Banachově prostoru X pro kompaktní operátor
K : D → X, 0 ∈ X \ (I − K)(∂D)
Nechť D je otevřená a omezená množina v X obsahující počátek. Z důkazu Schauderova principu ([1] – Věta 1.3.5) vyplývá, že existuje posloupnost {Kn } kompaktních operátorů z D do X takových, že Kn (D) ⊂ Xn , kde Xn je konečně dimenzionální9 podprostor prostoru X pro každé n ∈ N a dále kKn (x) − K(x)k → 0 stejnoměrně na D 10 . Označme Dn = D ∩ Xn . Pak pro každé n ∈ N je Dn neprázdná
(0 ∈ Dn ), otevřená množina s hranicí ∂Dn ⊂ ∂D. Jelikož (I − Kn )(Dn ) ⊂ Xn
pro každé n ∈ N a posloupnost {dXn [I − Kn , Dn , 0]} je konvergentní a její limita
9
Tedy je to též Banachův prostor.
Tj. pro každé n ∈ N existuje εn > 0 tak, že platí kKn (x) − K(x)k < εn pro každé x ∈ D a
limn→∞ εn = 0.
10
8
nezávisí na výběru aproximací Kn , lze definovat Lerayův-Schauderův stupeň zobrazení I − K vzhledem k množině D a bodu 0 předpisem
d[I − K, D, 0] = lim dXn [I − Kn , Dn , 0].
n→∞
4. krok: Konstrukce Lerayova-Schauderova stupně zobrazení v nekonečně rozměrném Banachově prostoru X pro kompaktní operátor
K : D → X, p ∈ X \ (I − K)(∂D)
Analogicky jako v předchozím kroku lze definovat Lerayův-Schauderův stupeň
zobrazení I − K vzhledem k množině D a bodu p vztahem
d[I − K, D, p] = d[I − K1 , D, 0],
kde K1 x = Kx + p ∀x ∈ X.
Poznámka 2.4 Je-li X = Rn nebo obecněji Banachův prostor konečné dimenze,
pak Brouwerův a Lerayův-Schauderův stupeň zobrazení I − K splývají.
Způsob použití Lerayova-Schauderova stupně zobrazení je stejný jako u Brouwerova stupně.
2.3
Vlastnosti Lerayova-Schauderova stupně zobrazení
Věta 2.5 Nechť X je nekonečně dimenzionální Banachův prostor, D je otevřená
a omezená množina v X obsahující počátek, operátor K : D → X je kompaktní
a p ∈ X \ (I − K)(∂D). Je-li d[I − K, D, p] 6= 0, pak existuje x0 ∈ D tak, že
x0 − Kx0 = p.
Věta 2.6 Nechť X je nekonečně dimenzionální Banachův prostor, D je otevřená
a omezená množina v X obsahující počátek a operátor K : D → X je kompaktní.
Pak
d[I − K, D, p] = 0
pro p ∈ X \ (I − K)(D).
Věta 2.7 (Borsukova) Nechť X je nekonečně dimenzionální Banachův prostor,
D je otevřená, omezená a symetrická množina v X obsahující počátek. Nechť
K : D → X je kompaktní operátor, který je lichý na ∂D a takový, že Kx 6= x pro
každé x ∈ ∂D. Pak d[I − K, D, 0] je liché (a tedy nenulové) číslo.
Důsledek 2.8 Nechť X je nekonečně dimenzionální Banachův prostor, D je otevřená, omezená a symetrická množina v X obsahující počátek. Nechť operátor
K : D → X je kompaktní a splňuje
Kx 6= x,
x − Kx
−x − K(−x)
6=
kx − Kxk
k − x − K(−x)k
Pak d[I − K, D, 0] je liché (a tedy nenulové) číslo.
9
∀x ∈ ∂D.
S využitím vlastností Lerayova-Schauderova stupně zobrazení je možné dokázat následující Lerayovu-Schauderovu větu o pevném bodě. V ní tentokrát budeme symbolem Br značit otevřenou kouli v Banachově prostoru X o poloměru
r se středem v počátku, tedy
Br = {x ∈ X : kxk < r}.
Věta 2.9 (Lerayova-Schauderova věta o pevném bodě) Nechť X je Banachův prostor a K : Br ⊂ X → X je kompaktní operátor takový, že K(∂Br ) ⊂ Br .
Pak existuje pevný bod operátoru K v kouli Br .
Literatura
[1] V. Dolejší, K. Najzar: Nelineární funkcionální analýza, Matfyzpress, Praha,
2010, dostupné z: http://www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/download/
books/dolejsi-najzar_-_nfa.pdf , [citováno 16. 5. 2012].
[2] S. Fučík, J. Milota: Matematická analýza II: Diferenciální počet funkcí více
proměnných, SPN, Praha, 1980.
[3] J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum, Praha, 2003.
[4] Funkcionální analýza – záznam přednášek (ZČU), dostupné z: http://www.
kma.zcu.cz/0000_DATA/eBOOKs/Drabek/FA.pdf , [citováno 16. 5. 2012].
10
Download

Stupeň zobrazení