FSI VUT v Brně, Energetický ústav
Odbor termomechaniky a techniky prostředí
prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.
TERMOMECHANIKA
16. Přenos tepla vedením
OSNOVA 16. KAPITOLY
● Diferenciální rovnice vedení tepla
● Počáteční a okrajové podmínky
● Metody řešení
úloh vedení tepla
● Exaktní řešení
DR vedení tepla
● Analogie při řešení
DR vedení tepla
● Vizualizace teplotních
polí při vedení tepla
Vedení tepla v rameni
kovacího lisu
1
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA - 1
Odvození diferenciální rovnice (DR) vedení tepla:
A) KARTÉZSKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM
TEPLO Teplo [J] do elementu přivedené
Q*
z
dQz+dz
-3
[Wm ]
dQx
dQ x  dQ y  dQ z
Teplo [J] z elementu odvedené
dQy
dQy+dy
dQ x d x  dQ y d y  dQ z d z
kde
y
x
dQx+dx dQz
 T 
dQ x    λ
  dy  dz   d τ
x 


dQ x dx
dQ x dx  dQ x 
x
Element
dV = dx.dy.dz
Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru x
dQ x  dQ x dx

  T
dQ x dx   λ
x
x  x

 dx dy dz d τ

2
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA - 2
Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru y
dQ y  dQ y dy

  T
dQ y dy   λ
y
 y  y

 dx dy dz d τ

Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru z
dQ z  dQ z dz

  T 
dQ z dz   λ  dx dy dz dτ
z
 z  z 
CELKOVÉ TEPLO [J], které zůstane v elementu dV v důsledku vedení
   T    T
 λ
dQ1    λ

 x  x  y  y
   T
 
λ
 z  z
TEPLO [J], které zůstane v elementu dV
 * [W.m-3]
v důsledku vnitřních zdrojů Q

 dx dy dz dτ

dQ 2  Q * dx dy dz d τ
ZVÝŠENÍ VNITŘNÍ ENERGIE / ENTALPIE [J] elementu dV za dobu d
dT
dU  m  c v  dT  ρ  c v 
dx dy dz d τ
dτ
3
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA - 3
I. zákon termodynamiky
dQ  dU  dA  dU  0  dQ  dU
dQ1  dQ 2  dU
Po dosazení za dQ1, dQ2, dU, pokrácení dx.dy.dz.d a pro cv = c bude
 T
 λ
 y
kde  = f (x, y, z, T)

x
 T
λ
 x
 

 y
   T  
dT
 
λ
  Q*  c  ρ 
dτ
 z  z 
 = f (x, y, z, T) c = f (x, y, z, T)
Pro , c,  nezávislé na T a pro izotropní látky dostaneme
OBECNOU DR VEDENÍ TEPLA - I. zákon termodynamiky
  2T  2T  2T  Q *
dT
 a  2  2  2  
dτ
y
z  c  ρ
 x
Platí pro homogenní tuhé látky
s vnitřními zdroji (i tekutiny)
a [m2s-1] je teplotová vodivost a platí definice
λ
a
c ρ
4
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA - 4
dT je totální diferenciál, T = f (x, y, z,  ), a proto platí
T
T
T
T
dT 
dτ 
dx 
dy 
dz
τ
x
y
z
dT T T
T
T
kde wx, wy, wz jsou složky


wx 
wy 
wz
rychlostí elementu (tekutiny)
d τ τ x
y
z
Pro tuhá tělesa wx = wy = wz = 0. Obecná DR vedení tepla přejde do tvaru
FOURIEROVY DR VEDENÍ TEPLA
  2T  2T  2T 
T
 a  2  2  2 
τ
y
z 
 x
Platí pro tuhé homogenní látky bez
vnitřních zdrojů
Fourierova DR vedení tepla je I. zákon termodynamiky pro vedení tepla,
nebo také energetická rovnice pro vedení tepla
Řešením DR vedení tepla je T = f (x, y, z,
)
5
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
VEDENÍ TEPLA - 5
B) CYLINDRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM
Fourierova DR vedení tepla - pro tuhé
homogenní látky bez vnitřních zdrojů
  2T 1 T
T
1  2T  2T 
 a  2 
 2
 2 
2
τ
r r r  z 
 r
Řešením je T = f (r,
, z,  )
z

r
C) SFÉRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM
Fourierova DR vedení tepla - pro tuhé homogenní látky bez vnitř. zdrojů
  2T 2 T
T
1

 a  2 
 2
τ
r r r sin Ψ Ψ
 r
Řešením je T = f (r, ,,  )

T
 sin Ψ 
ψ


1
 2T 

  2 2
2 
 r sin Ψ  
6
POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ
PODMÍNKY - 1
● Řešením DR přímých úloh je rozložení teplot v prostoru a čase za
pomocí počátečních (u nestacionárních úloh) a okrajových podmínek.
● Řešením DR nepřímých úloh je určení okrajových podmínek (OP) ze
známého rozložení teplot v různých časových úrovních.
POČÁTEČNÍ PODMÍNKA
● Určuje rozložení teplot na počátku
děje pro  = 0.
Často se používá To = konst
T x, y, z, τ  0   f x, y, z 
OKRAJOVÉ PODMÍNKY
● OP 1. druhu, Dirichletova - Určuje rozložení teplot na povrchu tělesa
(index w), a to v čase.
Tw  f x w , y w , z w , τ
Často se používá Tw = konst


● OP 2. druhu, Neumannova - Určuje rozložení hustot tepelného toku
na povrchu tělesa v čase.
qw  f x w , y w , z w , τ
Často se používá qw  konst


7
POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ
PODMÍNKY - 2
● OP 3. druhu, Newtonova - Určuje rozložení součinitelů přestupu tepla
na povrchu tělesa (a teploty okolí T) v čase.
α  f xw , yw , zw , τ
Často se používá  = konst

Rozdíly mezi OP 2. druhu a 3. druhu
● U podmínky 2. druhu qw  konst
má čárkovaná tečna stále stejný
sklon
T
Tw
R T
/

y
● U podmínky 3. druhu  = konst
prochází čárkovaná tečna řídicím
bodem R, viz důkaz:
 T
 y
- λ 
 T
- 
 y

  α Tw - T  
w
 Tw - T 
 
λα
w
8
POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ
PODMÍNKY - 3
● OP 4. druhu - Ve styku dvou těles
b) Nedokonalý styk těles
a) Dokonalý styk těles
 T 1 
  - λ2
- λ1 
 y w
 T 2 


 y w
1

Tw 1 Tw 2 
qw 
RK
RK [m2.K.W-1]
Tw1
Tw1 = Tw2
Tw2
1
2
1
2
kontaktní tepelný
odpor
Závisí na drsnosti,
materiálu, tlaku
mezi tělesy a druhu
plynu v kontaktu.
RK bývá tabelován
● OP 5. druhu - S fázovou přeměnou látky na povrchu
9
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH
VEDENÍ TEPLA
ROZLIŠUJE METODY:
● Exaktní řešení DR vedení tepla
(pro jednoduché úlohy)
● Analogové metody řešení DR
vedení tepla (pro složitější úlohy,
skládáním jednoduchých úloh)
● Přibližné řešení DR vedení tepla
(předpoklad teplotních profilů
Numerické řešení teplotního
ve tvaru polynomu, splinu, …)
pole při kontinuálním lití
● Numerické řešení DR vedení tepla
doc. Štětina
(i složité úlohy, aplikace počítačů)
● Grafické řešení DR vedení tepla (pro jednoduché úlohy, nepřesné)
● Experimentální řešení vedení tepla (přesné, složité, drahé)
● Teorie podobnosti pro řešení DR vedení tepla (nutná znalost
podobného řešení vyjádřeného pomocí Biotova, Fourierova čísla …)
● Kapacitní metoda řešení DR vedení tepla (založená na tepelné bilanci,
vhodná pro malé objekty) … aj.
10
EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 1
STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA ROVINNOU STĚNOU NEBO TYČÍ
Vyjdeme z DR vedení tepla v kartézském
souřadném systému
Tw1
Tw2
Tw1
0
h
  2T  2T  2T 
T
 a  2  2  2 
τ
y
z 
 x
Q
Pro stacionární 1-D vedení platí:
Tw2
Řešení této DR je přímka
x
d 2T
0
2
dx
T  a 0  a 1x
kde konstanty a0, a1 získáme z OP.
Pro okrajové podmínky 1. druhu
dostaneme teplotní profil ve tvaru
x  0  T TW 1
x  h  T TW 2
Tw 2 Tw 1
T Tw 1 
x
h
11
EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 2
Derivací uvedeného teplotního profilu dle souřadnice x dostaneme
Tw 2 Tw 1
T Tw 1 
x
h
Tw1
Tw2
Q
Tw1
0
Tw2
h
x
Pro tepelný tok platí
Tw 2 Tw 1

Q   λ S 
h
dT Tw 2 Tw 1


dx
h
Q  - λ  S  d T dx
T T
q   λ  w 2 w 1
h
Kratší odvození tepelného toku lze provést
přímo z Fourierova zákona, kam dosadíme za dT
a dx a dostaneme:
dT
TW 2 TW 1
TW 2 TW 1

Q  - λ S 
 - λ S 
 - λ S 
dx
x 2  x1
h
Při tomto kratším odvození tepelného toku nezískáme bezprostředně
informaci, že teplotní profil je přímka.
12
EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 3
STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU
Vyjdeme z DR vedení tepla v cylindrickém
z
souřadném systému
Tw1
r1
r2
Tw2
L
  2T 1 T
T
1  2T  2T 
 a  2 
 2
 2 
2
τ
r r r  z 
 r
d 2T 1 dT
Pro stacionární

0
2
1-D vedení platí:
q
Po substituci
r
u = dT/dr bude:
Dále provedeme integraci, dosadíme
za u a dostaneme:
Teplotní profil má tvar logaritmické křivky
dr
r dr
du 1
 u 0
dr r
r du  u dr  d u r   0
dT
u r  a1
r  a1
dr
T  a 0  a 1 ln r
13
EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 4
Konstanty a0, a1 logaritmického teplotního profilu získáme z OP.
Pro OP 1.
druhu platí:
z
Tw1
r1
r2
Tw2
L
q
r
Pro tepelný tok platí
a po úpravách
r  r 1  TW 1  a 0  a 1 ln r 1
r  r 2  TW 2  a 0  a 1 ln r 2
Po výpočtu konstant a0, a1 bude mít teplotní
profil tvar
Tw 2 Tw 1
Tw 2 Tw 1
T Tw 1 
ln r 1 
ln r
ln r 2 r 1 
ln r 2 r 1 
dT 1 Tw 2 Tw 1

dr r ln r 2 r 1 
dT
Tw 2 Tw 1

Q  λ S 
  λ  2 π  r  L 
dr
r ln r 2 r 1 
2 π  λ  L  Tw 1 Tw 2 

Q
ln r 2 r 1 
Derivace teplotního
profilu dle r bude
14
EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 5
Hustota tepelného toku je na vnitřním a vnějším povrchu trubky různá
(viz obrázek), a proto definujeme
z
Tw1
r1
r2
tepelný tok na 1 m délky trubky Q [W.m-1]
Tw2
L
Q 2 π  λ  Tw 1 Tw 2 

QL  
L
ln r 2 r1 
L
Kratší odvození tepelného toku lze provést
přímo z Fourierova zákona
q
r
2
dT
dT

Q  - λ  S r  
 - λ  2 π  r  L
dr
dr
DR řešíme separací proměnných a dostaneme:
2
dr

Q
1 r  - 1 λ  2 π  L  dT
2 π  λ  L Tw 1 Tw 2 

Q
ln r 2 r1 
r2

 Q  ln   λ  2 π  L Tw 2 Tw 1 
r1
Při tomto odvození nezískáme
informaci o tvaru teplotního profilu.
15
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 1
Mezi veličinami tepelnými a elektrickými existuje analogie, která nám
můžeme pomoci při řešení úloh vedení tepla.
Pro vedení tepla platí
Fourierův zákon
ΔT

q  λ
h
Je zřejmé, že:
● Elektrický proud je analogický
hustotě tepelného toku
● Napětí či rozdíl napětí je
analogický rozdílu teplot
● Elektrický odpor R je analogický
tepelnému odporu R = h / 
Poznatky z řešení elektrických obvodů
můžeme využít při řešení složitějších
úloh vedení tepla, a to skládáním
jednodušších exaktních řešení DR
Pro elektrické obvody
platí Ohmův zákon
U
I 
R
Zapojení sériové
R1
U0
R2
U1
I
R3
U2
U3
Zapojení paralelní
U0
R1
R2
R3
I
U1
16
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 2
STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA SLOŽENOU ROVINNOU STĚNOU
Tw1
Tw2
Tw3
h1 h2
0
Tw1
Tw2
R1
x
Tw3
R2 q
Hustota tepelného toku jednoduchou rovinnou
stěnou je dána vztahem
Tw 1 Tw 2 Tw 1 Tw 2

q

h1
R λ1
λ1
Hustota tepelného toku složenou rovinnou
stěnou s n vrstvami (tepelné odpory jsou
řazeny sériově) je dána vztahem
q 
Tw 1 Tw , n1 Tw 1 Tw , n1
 n
n
hi
R λi


i 1 λi
i 1
Tepelný odpor při vedení rovinnou stěnou
Ri [K.m2.W-1] je dán vztahem
hi
R λi 
λi
17
ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR
VEDENÍ TEPLA - 3
STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA SLOŽENOU VÁLCOVOU STĚNOU
Tepelný tok jednoduchou válcovou stěnou na
;
1 m délky potrubí je dán vztahem
Tw1
r1
r2
r3
0
Tw1
Tw2
Tw3
r
Tw2
R1
Tw3
R2 QL
2π  λ1 Tw 1 Tw 2  Tw 1 Tw 2

QL 

r2
1
r2
ln
ln
r1
2π  λ1 r 1
Tepelný tok složenou válcovou stěnou na
1 m délky potrubí (tepelné odpory jsou řazeny
sériově) je dán vztahem
QL 
Tw 1 Tw , n1
Tw 1 Tw , n1
 n
n
1
r i 1
ln
R λi


ri
i 1 2π  λi
i 1
Tepelný odpor při vedení válcovou stěnou
Ri [K.m.W-1] je dán vztahem
1
r i 1
R λi 
ln
2π  λi
ri
18
VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH
POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 1
Termovizní měření dynamických teplotních polí na povrchu kleští
manipulátoru kovacího lisu šířící se vedením z výkovku.
Sestava
kovacího lisu
při kování
Termogram
kleští
při kování
Kleště
manipulátoru
s výkovkem
Termogram
kleští
po kování
19
VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH
POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 2
Vedení tepla umožňuje s využitím termovizní kamery identifikovat
činnost a skryté závady různých zařízení.
Termogram soustavy kompresorů
chladicího zařízení
Termogram holicího strojku
s vadným kontaktem
20
VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH
POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 3
Aplikace termovizní kamery v chemickém průmyslu umožňuje díky
vedení tepla efektivně, bezdotykově a na dálku zjišťovat stav a činnost
různých zařízení. Zdroj: InfraTec
Identifikace výšky hladiny
v zásobníku
Detekce aktivního potrubí
s rozvodem přehřáté páry
21
VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH
POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 4
Příklady termogramů monitorujících činnost transformátoru, kde vedení
tepla stěnou identifikuje výšku hladiny oleje a tepelný stav zařízení.
Zdroj: InfraTec
Termogram teplotního pole
transformátoru při optimálních
pracovních podmínkách
Termogram transformátoru při
nízké hladině oleje - žebra jsou
chladná, zařízení se přehřívá
22
Download

Přenos tepla vedením - Odbor termomechaniky a techniky prostředí