Příklady k procvičení
Křivkový integrál II. druhu (vektorového pole)
1. pro orientovanou křivku v R3 zadanou parametricky:
x1 = ϕ1 (t), x2 = ϕ2 (t) , x3 = ϕ3 (t), t ∈ hα, βi
Z
F~ d~s =
Γ
+
−
Z X
3
Γ
Fi dxi = ±
i=1
Z βX
3
α
Fi · ϕ˙ i (t) dt
i=1
→ souhlasná orientace křivky s danou parametrizací
→ nesouhlasná orientace křivky s danou parametrizací
2. pro explicitně zadanou křivku v R2 : y = g(x), x ∈ ha, bi
Z
F~ d~s =
Γ
Z
Γ
Zb
F1 (x, y) dx + F2 (x, y) dy = ± (F1 (x, g(x)), F2 (x, g(x))) · (1, g′ (x)) dx =
a
Rb
= ± (F1 (x, g(x)) + F2 (x, g(x)) · g′ (x)) dx.
a
+
−
→ souhlasná orientace křivky s danou parametrizací
→ nesouhlasná orientace křivky s danou parametrizací
Aplikace
Z
F~ d~s = A = práce síly F~ po křivce Γ.
Γ
Greenova věta:
Nechť Ω je jednoduše souvislá oblast s hranicí Γ, kladně orientovanou vzhledem k Ω a funkce
∂Q ∂P
,
jsou spojité v Ω.
P (x, y), Q(x, y),
∂x ∂y
I
ZZ ∂Q ∂P
Pak platí:
P dx + Q dy =
−
dx dy.
∂x
∂y
Γ
Ω
Příklady
1.
Z
(x2 − 2xy) dx + (y 2 − 2xy) dy, kde Γ je část paraboly y = x2 s počátečním bodem
Γ
[−1, 1] a koncovým [1, 1].
2.
Z
14
−
15
(x2 − 2xy) dx + (y 2 − 2xy) dy, kde Γ je část grafu y = |x| s počátečním bodem [−1, 1]
Γ
a koncovým [1, 1].
[2]
1
Příklady k procvičení
3.
Z
Γ
(x + y) dx + (x − y) dy
p
, kde Γ je kladně orientovaná kružnice v rovině xy se středem
x2 + y 2
v počátku a poloměrem r.
Z
4.
(x − y) dy, kde Γ je orientovaný obvod △ABC; A[0, 0], B[1, 0], C[0, 1].
[−2πr]
1
2
Γ
5.
Z
Γ
−y 2 dx + x2 dy
5
3
x +y
5
3
2
2
2
, kde Γ je čtvrtina asteroidy o rovnici x 3 + y 3 = a 3 , a > 0,
ležící v I. kvadrantu s počátečním bodem [a, 0] a koncovým [0, a].
6.
Z
9x2 y 2 dx − 6x3 y dy, kde Γ je kladně orientovaná kružnice x2 + y 2 = x.
Γ
2
"
4
3πa 3
16
#
[0]
Download

Křivkový integrál II. druhu (vektorového pole)