Příklady k přednášce
13 - Návrh frekvenčními metodami
Michael Šebek
Automatické řízení 2015
30-3-15
Nastavení šířky pásma uzavřené smyčky
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Na přechodové frekvenci v otevřené smyčce je (z definice) L( jωc ) = 1
• Hodnota
L( jωc )
T ( jωc ) =
1 + L( jωc )
ale ještě závisí na fázi ∠L( jωc ) , tedy na PM
• Pro PM = 90° je L( jωc ) = − j a má fázi - 90°, takže
T ( jω=
c)
−j
=
1− j
1
≅ 0.707
2
• V tomto případě je tedy šířka pásma uzavřené smyčky
právě rovna přechodové frekvenci otevřené smyčky!
ωBW = ωc
• Pro menší PM hodnota T ( jωc ) roste, vzniká rezonanční špička. Tím se
šířka pásma ωBW posouvá doprava, ale obvykle nepřekročí 2ωc
• Je tedy obvykle ωc ≤ ωBW ≤ 2ωc
• Proto nastavujeme ωc (OL !!!) s cílem zajistit požadované ωBW (CL!!!)
Michael Šebek
ARI-13-2013
2
Souvislost ωc a ωBW
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Bodeho graf T ( jω )
s vyznačenou ωc
a hodnotami ωBW
pro různé PM
• Obvykle je
ωc ≤ ωBW ≤ 2ωc
• Pro druhý řád bez nul
je v závislosti na ζ
vynesen v grafu poměr
1
1
ωc ωBW
0.95
0.9
0.85
0.8
ωC
ωBW
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
1 
∈  ,1
(1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2  2 
0.75
0.7
0.65
0.6
ζ
0.55
0.5
Michael Šebek
ARI-13-2013
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1
2
3
Opakování: ustálené chování z Bodeho grafu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
M = 15dB
>> L=(1+s)/(2+s)/(3+s), v=value(L,0),L=L/v*10^(15/20),K=value(L,0),bode(L)
L = 34 + 34s / 6 + 5s + s^2
K = 5.6234
>> KpdB=20*log10(abs(value(L,j*.01))), Kp=10^(15/20)
KpdB = 15.0003, Kp = 5.6234
>> einfty = 1/(1+Kp)
einfty = 0.1510
• počáteční sklon je 0 a tak
systém je typu 0 (bez astat.)
• „počáteční hodnota“ asymptoty
je 15 dB a tak je
=
K p 15d
=
B 1015 20 = 5.623
• ustálená odchyl. na skok je
estep,ss =1 (1 + K p ) = 0.151
• počáteční sklon je 20 dB/dek a
tak systém je typu 1
(s astatismem 1. řádu)
• protažená „počáteční
asymptota“ protíná nulovou
přímku pro frekvenci ω = 10
a tak je
K = 10
L=(1+s)/(2+s)/(3+s)/s,v=value(coprime(s*L),0);L=L/v*10,
L = 60 + 60s / 6s + 5s^2 + s^3
Kv=value(coprime(s*L),0),bode(L)
Kv = 10
ω = 10
v
• ustálená odchylka na rampu je
eramp (∞
=
) 1K
=
0.1
v
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
4
Srovnání časového a frekvenčního chování
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
5
Příklad: Nastavení Kp regulátorem P
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Soustava
G ( s) =
5
s+2
+32dB
log 2.5 8dB
=
K p 2.5,
=
K p ,dB 20
=
=
ess
1
= 0.29
1+ K p
• Chceme
ess ,2 = 0.01 → K p ,2 =
1 − ess ,2
ess ,2
= 99
K p ,2,dB 20
=
=
log 99 40dB
•
K p ,2 99
= = 39.6
K
Použijeme =
2.5
Kp
K dB = K p ,2, − K p ,dB = 40 − 8 = 32dB
(pozor - výsledek je moc rychlý, s velkou špičkou akčního zásahu )
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
6
Příklad: Nastavení Kv regulátorem P
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
58390
má
s ( s + 36 )( s + 100 )
1
= 0.0617
Kv
Chceme-li odchylku na rampu zmenšit 10x, musíme nastavit K v = 162.2
• Soustava
G (s) =
•
• A tedy zvětši zesílení 10x, čímž dostaneme
• Takže
)
K v= 16.22 → eramp (∞=
L( s ) =
583900
s ( s + 36 )( s + 100 )
• ale pozor, výsledek je nestabilní! Tady P regulátor úlohu nevyřeší!
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
7
Příklad: Nastavení zesílení na požadovaný PM
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro systém řízení polohy z obrázku
nastavte zesílení předzesilovače
tak, aby měl výsledný systém
při skoku reference překmit 9.5%
• Z požadavku na překmit vypočteme požadované tlumení (dominantních pólů)
=
ζ
− ln(%OS 100)
=
2
2
π + ln (%OS 100)
− ln(0, 095)
= 0.5996 ≅ 0, 6
2
2
π + ln (0, 095)
a z toho požadované PM
PM= arctan
2ς
= arctan
−2ς 2 + 1 + 4ς 4
2 × 0.6
−2 × (0.6) 2 + 1 + 4 × (0.6) 4
• Přenos otevřené smyčky je s neurčitým K
• Abychom mohli nakreslit Bodeho graf
a navrhovat graficky, musíme zvolit nějakou
hodnotu K. Tak třeba pro K = 3.6 dostaneme
Michael Šebek
= 1.0326 ≅ 59.2°
Pr-ARI-13-2013
L( s ) =
100 K
s ( s + 36 )( s + 100 )
LK =3.6 ( s ) =
360
s ( s + 36 )( s + 100 )
8
Pokračování
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
) 360 ( s ( s + 36 )( s + 100 ) )
• Tedy nakreslíme Bodeho graf LK =3.6 ( s=
• a na něm najdeme frekvenci,
∠L( jω ′) = −180° + 59.2° = −120.8°
pro kterou je fáze
• Z grafu tedy odečteme ω ′ = 14.8 rad s
L(ω ′) = M (ω ′) = 0.0062 = −44.2 dB
• Pro tuto frekvenci je amplituda
a proto musíme zvětšit zesílení
o 44,2 dB, tedy cca 162.2 krát
• Tím dostaneme hledané
−44.2 dB
58390
L( s ) =
s ( s + 36 )( s + 100 )
• Nezbytná simulace ověří
správnost návrhu
• Pro pozdější pokračování příkladu
ještě odměříme
−120.8°
ω ′ = 14.8 rad s
=
K v 16.22 → eramp (=
∞) 0.0617
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
9
Příklad: Nastavení PD
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos soustavy (aircraft attitude)
• Specifikace
G (s) =
4500
s ( s + 361.2 )
eramp , ss ≤ 0.000443 → K v ≥ 1 eramp , ss =
2257
PM ≥ 80
• Nejprve nastavíme Kp = 181.19,
abychom zvýšili Kv,1 = 12.5 na
Kv =2258 a tím zajistili požadovanou
ustálenou odchylku
• Dále budeme hledat složku
×K p
45dB
K v ,1 = 12.5
K v ,2 = 2257
(1 + K D s )
PD regulátoru pro přenos
K PG (s) =
Michael Šebek
815350
s ( s + 361.2 )
Pr-ARI-13-2013
10
Pokračování: Nastavení PD
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vykreslíme Bodeho graf přenosu
L( s ) = K P (1 + K D s ) G ( s )
815350
=
(1 + K D s )
(
)
s s + 361.2
145°
35°
pro Kd = 0
• Najdeme ωD , na které je
PM = požadavek – (fáze regulátoru na ωD )
= 80° - 45° = 35° kde je
tedy fáze = -180°+ 35° = -145°
• To je ωD = 516
• Vypočteme
K=
D
1
=
ωD
ωD = 516
Fáze PD
regulátoru
45°
0.1K P K D
ωD = K P K D
10 K P K D
1
= 0.0019
516
• Výsledné L má Bodeho graf
• Specifikace je splněna: PM = 84.9 °
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
11
Ještě jeden příklad: Nastavení PD
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos soustavy G ( s) =
1.5 ×107
s ( s 2 + 3408.3s + 1204000 )
• Řekněme, že jsme již navrhli KP = 1 a teď nastavme KD v PD regulátoru (1 + K D s )
pro dobré PM
• Nakreslíme Bodeho graf
pro hodnoty
K D = 0, 0.002, 0.005, 0.02
• Nekompenzovaný systém
(Kd = 0) má PM = 7.78°
• Pokud bychom chtěli dosáhnout
PM
= 58.5°
PM = 80°, musel by regulátor
PM
= 47.6°
přidat 72,22° a to na nové ωc
= 25.9°
PM
• Z grafu vidíme, že se to nepodaří,
PM
= 7.78°
protože vyšší zesílení regulátoru
posunuje ωc k vyšším frekvencím,
• Kde fáze nekompenzovaného systému klesá rychleji než ji kompenzátor přidá.
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
12
Příklad: Nastavení PI
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos soustavy
G (s) =
815350
s ( s + 361.2 )
• Najděte PI regulátor, který zlepší z PM = 22.6° na PMnew = 65°
Nakreslíme Bodeho graf
L( s ) =
815350K P ( s + K I K P )
s 2 ( s + 361.2 )
• nejprve pro Kp= 1 a KI = 0
• Z požadavku PMnew =65° najdeme
ωc,new = 170 rad/s a vypočteme
K P 10
=
− G ( jωc ,new ) dB 20
115°
− 21.5 20
0.084
= 10
=
• KI volíme tak, aby byla zlomová
frekvence o dekádu menší než ωc,new
PM new= 65°
ωc ,new = 170
K I K P = ωc ,new 10
PM
= 22.6°
ωc = 868
K I =K P ωc ,new 10 =0.084 ×170 10 ≈ 1.42
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
13
Příklad: Nastavení PI
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro toto K I = 1.42 vypočteme přenos a nakreslíme Bodeho graf
L( s )
815350K P ( s + K I K P ) 68489 ( s + 16.9 )
=
s 2 ( s + 361.2 )
s 2 ( s + 361.2 )
• Naměříme PMnew =59, což specifikaci nesplňuje
• Zkusíme tedy ještě vzít ještě menší KI
(= posunout zlom, frek. ještě více vlevo),
• Např. KI = 0.07 vede na přenos
L2 ( s ) =
68489 ( s + 0.833)
s 2 ( s + 361.2 )
• s PMnew = 64.3
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
14
Příklad: Nastavení PI
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro přenos soustavy
•
815265
s ( s + 361.2 )
Najděte PI regulátor, který zlepší z PM=22.6° na PM=65°
Nakreslíme Bodeho graf
L( s ) =
G (s) =
815265 K P ( s + K I K P )
s 2 ( s + 361.2 )
• nejprve pro Kp= 1 a KI=0
• Z požadavku PMnew = 65° najdeme
ωc,new = 170 rad/s a vypočteme
K P 10
=
− G ( jωc ,new ) dB 20
− 21.5 20
0.084
= 10
=
• Dále vykreslíme Bodeho rafpřenos pro toto
nové Kp a několik různých
KI = 0; 0.008; 0.08;0.8;1.6
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
PM= 65°
ωc ,new = 170
PM
= 22.6°
ωc = 868
15
PID
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Viz doplňkový text
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
16
Příklad: Návrh regulátoru Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Zadání: Pro soustavu
F (s) =
1
s ( s + 2 )( s + 30 )
navrhni Lag regulátor splňující tyto specifikace:
ess ,ramp ≤ 0.05, PM ≥ 45°
Řešení:
1. Najdeme hodnotu zesílení zajišťující požadovanou odchylku:
K
=
L1 ( s ) KF
=
(s)
s ( s + 2 )( s + 30 )
1
1
1
60
60
ess ,ramp =
=
=
=
≤ 0.05 ⇒ K ≥
= 1200
K
0.05
K v lim sL1 ( s )
K
s →0
>> K=1200;F=1/s/(s+2)/(s+30);L1=K*F
2 × 30
L1 = 1200 / 60s + 32s^2 + s^3
Tento OL přenos dává špatné PM a GM
Michael Šebek
ARI-13-2013
>> [GM,PM,om_cp,om_cg]=margin(tf(L1))
GM = 1.6000
PM =
6.6449
om_cp = 7.7460
om_cg = 6.1031
>> GM_dB = 20*log10(GM)
GM_dB = 4.0824
17
Příklad: Návrh regulátoru Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Nakreslíme Bodeho graf L
1200
L1 ( s ) =
s ( s + 2 )( s + 30 )
50
40
System: untitled1
Frequency (rad/s): 1.31
Magnitude (dB): 22.1
30
Magnitude (dB)
2.
20
∆C ( jωc ,new ) dB =
22.1 dB
Z požadovaného PM
vypočteme
−180° + 45° + 10°
potřebnou fázi
= 125°
a na ní najdeme
nové ωc,new = 1.28 rad/s
Na této frekvenci zjistíme
potřebné zeslabení
10
•
0
-10
-90
•
System: untitled1
Frequency (rad/s): 1.28
Phase (deg): -125
Phase (deg)
-135
•
-180
∆C ( jωc ,new ) dB =
−22.1 dB
3.
-225
-1
10
0
(
Vypočteme parametr a z naměřených hodnot
1
∆C ( jωc ,new )
dB
20
a = ∆C ( jωc ,new ) =
10
Michael Šebek
1
10
10
−
22.1
20
=
10
=
0.0785
ARI-13-2013
/ )
nebo z přenosu
>> aa=1/abs(value(L1,j*1.28))
aa = 0.0761
18
Příklad: Návrh regulátoru Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
4.
Vypočteme nulu
=
zc
a pól
ωc ,new
= 0.128
10
=
pc az
=
0.0785 × 0.128 = 0.0101
c
5.
Výsledný regulátor je
=
C
lag ( s )
6.
as + pc 0.0785s + 0.0101
=
s + pc
s + 0.0101
Konečně ověříme splnění specifikací
Michael Šebek
ARI-13-2013
19
Příklad: Návrh regulátoru Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Bode Diagram
6.
100
80
2020rad/s
rad/s
60
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
-40
-60
-80
Phase (deg)
-100
-90
System: untitled3
Phase Margin (deg): 49
Delay Margin (sec): 0.65
At frequency (rad/s): 1.32
Closed loop stable? Yes
-135
49
-180
-225
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
F
( d/ )
>> Kv=value(coprime(s*L2),0), e_ss_ramp=1/Kv
Kv = 20.0000 , e_ss_ramp = 0.0500
Michael Šebek
ARI-13-2013
20
Jiný příklad: Kompenzace Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• V systému řízení polohy bylo předchozí
metodou nastaveno zesílení tak, že
• Výsledný systém má překmit 9.5% a
58390
s ( s + 36 )( s + 100 )
1
)
K v= 16.22 → eramp (∞=
= 0.0617
Kv
L( s ) =
• Přidejte Lag kompenzaci tak, aby ustálená odchylka
na rampu byla 10x menší a přitom se překmit nezhoršil
• Požadavek na ustálený stav vede na K v = 162.2 , takže musíme
• zesílení ještě zvětšit 10×, čímž dostaneme
583900
L( s ) =
s ( s + 36 )( s + 100 )
• Požadavek překmitu 9.5% vede na
ς =0.6 → PM =59.2°
• Protože Lag sníží PM málo, ale přece jen
(počítáme se zhoršením ∆PM = −5° ↔ −12° ) ,
= 59.2° + 10
=
° 69.2°
uvažujeme raději PM
• Najdeme frekvenci ω ′ , pro kterou je fáze
∠L( jω ′) = −180° + 69.2° = −110.8°
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
21
Pokračování: Kompenzace Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Z požadované fáze
−110.8°
• určíme frekvenci
L( s ) =
24 dB
583900
s ( s + 36 )( s + 100 )
ω ′ = 9.8 rad s
• A z ní pak současnou
hodnotu
−110.8°
20 log M (ω ′) = 24 dB
ω ′ = 9.8 rad s
• Protože z definice PM má pro ω ′ být
20 log M (ω ′) = 0 dB
• Musí lag provést na frekvenci ω ′ = 9.8rad s zeslabení −24 dB
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
22
Pokračování: Kompenzace Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nakreslíme asymptotu
pro vysoké frekvence ve
20 log M (ω ′) = −24 dB
−20dB dek
1 αT =
−24dB
0.062 rad s
1 T = 0.98rad s
• Horní rohovou frekvenci ω ′
volíme cca dekádu vlevo od ω ′ = 9.8 rad s , tj. asi 1 T = 0.98 rad s
• Odtud pokračujeme nahoru se sklonem −20 dB dek až k 0dB,
což dosáhneme pro 1 α T = 0.062 rad s
s +1 T
s + 0.98
• Dosazením do dostaneme
=
C (s)
=
s + 1 α T s + 0.062
• To má správný tvar, ale ještě ne zesílení, takže nastavíme DC zesílení
kompenzátoru
0.063 ( s + 0.98 )
KC =
1 α =→
p z DC (0) =
1=
0 dB
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
=
DC ( s ) K=
C C (s)
s + 0.062
23
Pokračování: Kompenzace Lag
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Výsledek je
583900
×
s ( s + 36 )( s + 100 )
Kompenzovaný
systém
Zesílený
nekompenzovaný
systém
0.063( s + 0.98)
=
Lag Kompenzátor
s + 0.062
36787( s + 0.98)
s ( s + 36 )( s + 100 )( s + 0.062 )
Step response
Ramp response
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
24
Příklad: Kompenzace Lead
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Opět se vrátíme k průběžnému příkladu řízení
polohy a navrhněme regulátor dle specifikací:
• OS 20%, Kv = 40, Tp = 0,1s
• Nejprve nastavíme zesílení tak, aby K v = 40
L( s ) =
100 K
s ( s + 36 )( s + 100 )
K v = lim sL( s ) = 0.0278 K = 40 → K = 1440
s →0
• Dosadíme a dále pracujeme dále s přenosem
L( s ) =
144 000
s ( s + 36 )( s + 100 )
• Ze zadaných specifikací vypočteme PM a ωBW:
ζ
− ln(%OS 100)
π + ln (%OS 100)
2
2
ωBW
=
Michael Šebek
=
≅ 0.456 → PM arctan
π
Tp 1 − ζ 2
2ς
−2ς + 1 + 4ς
2
(1 − 2ς ) +
2
≅ 48.1°
4
4ς 4=
− 4ς 2 + 2 46.6 rad s
Pr-ARI-13-2013
25
Příklad: Kompenzace Lead
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nakreslíme Bodeho graf pro
144 000
L( s ) =
s ( s + 36 )( s + 100 )
• Tento nekompenzovaný systém
má PM = 34,1°
• Pomocí kompenzace Lead
zvýšíme PM na požadovanou
hodnotu
• Jelikož Lead také zvyšuje ωC ,
přidáme ještě určitý korekční
faktor,
• abychom kompenzovali nižší
fázi nekompenzovaného systému
pro vyšší ωC
• Faktor zvolíme 10º
• Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
48.1 − 34° + 10
=
° 24.1°
26
Příklad: Kompenzace Lead
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze 48,1° - 34° + 10° = 24,1 °
• Celkem musí mít kompenzovaný systém
PM = 48.1 a ωBW = 46.6 rad s
• Pokud by nebyl výsledek uspokojivý, musíme zopakovat návrh s jiným
korekčním faktorem
24.1° a z toho
• Z požadavku na přírůstek fáze máme φ=
max
β
=
• Dále je
1 − sin φmax
= 0.42
1 + sin φmax
D(ωmax
=
)
1
= 3.76 dB
β
• Když vybereme ωC ,new = ωmax
, tak na této frekvenci musí být amplituda
nekompenzovaného systému -3,76 dB
• Podle toho najdeme ωmax
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2012
27
Příklad: Kompenzace Lead
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Na Bodeho grafu pro
L( s ) =
144 000
s ( s + 36 )( s + 100 )
−3.76dB
• naměříme ωmax = 39 rad s .
• Pak z ωmax a β = 0.42 vypočteme
ωmax =
1
T β
ωmax = 39 rad s
1
1
= 25.3,
= 60.2
T
Tβ
• a z toho nakonec dostaneme hledaný regulátor
1
s+
1
s + 25.3
T
=
2.38
D( s) =
s + 60.2
β s+ 1
βT
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
28
Příklad: Kompenzace Lead
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Výsledek:
Kompenzovaný
systém
Nekompenzovaný
systém
Lead kompenzátor
• Simulace:
OS % = 22.6, PM = 45.5°, ωC = 39 rad s
=
ωBW 68.8=
=
rad s , Tp 0.075s
, K v 40
Michael Šebek
Pr-ARI-13-2013
29
Download

Příklady k přednášce 13 - Návrh frekvenčními metodami