VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
Fakulta strojní
katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení
MECHANIKA TEKUTIN
Jaroslav Janalík – Pavel Šťáva
Ostrava
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
OBSAH:
1. Úvod .................................................................................................................................................... 4
2. Základní pojmy .................................................................................................................................... 5
2.1. Tekutina ........................................................................................................................................ 5
2.2. Fyzikální vlastnosti tekutin ............................................................................................................ 7
3. Tlakové poměry v kapalině za klidu .................................................................................................. 11
3.1. Tlak a jeho působení................................................................................................................... 11
3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky ..................................................................................................... 12
3.3. Hladinové plochy......................................................................................................................... 15
3.4. Rozloţení tlaku v kapalině .......................................................................................................... 15
3.5. Pascalův zákon ........................................................................................................................... 17
4. Tlakové síly ........................................................................................................................................ 18
4.1. Vodorovné rovinné plochy .......................................................................................................... 18
4.2. Šikmé rovinné plochy .................................................................................................................. 18
4.3. Tlaková síla na křivé plochy ........................................................................................................ 21
4.4. Síly na tělesa ponořená do kapaliny ........................................................................................... 23
5. Relativní pohyb kapaliny.................................................................................................................... 24
5.1. Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený ................................................................................... 24
5.2. Pohyb rovnoměrný, otáčivý ........................................................................................................ 25
5.3. Potenciál intenzity objemových sil .............................................................................................. 28
6. Klasifikace proudění a základní pojmy .............................................................................................. 29
6.1. Základní pojmy............................................................................................................................ 29
6.2. Rozdělení proudění..................................................................................................................... 30
6.3. Druhy proudění skutečných tekutin ............................................................................................ 31
7. Proudění ideální tekutiny ................................................................................................................... 34
7.1. Rovnice kontinuity – spojitosti ..................................................................................................... 34
7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky ................................................................................................ 38
7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu ................................................................................ 40
7.4. Měření místní rychlosti ................................................................................................................ 44
7.5. Měření střední rychlosti a průtoku (průřezová měřidla) .............................................................. 47
7.6. Stacionární proudění ideální tekutiny potrubím .......................................................................... 48
8. Proudění vazké tekutiny .................................................................................................................... 49
8.1. Navierova-Stokesova rovnice ..................................................................................................... 49
8.2. Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu ............................................................................... 50
9. Laminární proudění ........................................................................................................................... 52
9.1. Laminární prudění v kruhovém potrubí ....................................................................................... 52
9.2. Laminární proudění mezi rovnoběţnými deskami ...................................................................... 54
9.3. Laminární proudění ve válcové mezeře-mezikruţí ..................................................................... 56
9.4. Stékání po svislé stěně ............................................................................................................... 57
10. Turbulentní proudění ....................................................................................................................... 59
2
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
10.1. Vznik turbulence ....................................................................................................................... 59
10.2. Charakteristiky turbulentního proudění ..................................................................................... 59
10.3. Matematický popis turbulentního proudění ............................................................................... 61
11. Hydraulický výpočet potrubí ............................................................................................................ 65
11.1. Hydraulické odpory (ztráty) ....................................................................................................... 65
11.2. Třecí ztráty v potrubí ................................................................................................................. 66
11.3. Místní odpory (ztráty) ................................................................................................................ 70
11.4. Gravitační potrubí ..................................................................................................................... 78
11.5. Jednoduché potrubí s nádrţí .................................................................................................... 79
11.6. Sloţené potrubí ......................................................................................................................... 80
11.7. Charakteristika potrubí .............................................................................................................. 80
12. Výtok kapaliny z nádob, přepady .................................................................................................... 83
12.1. Výtok malým otvorem ............................................................................................................... 83
12.2. Výtok velkým otvorem v boční stěně ........................................................................................ 84
12.3. Výtok ponořeným otvorem ........................................................................................................ 85
12.4. Výtok při současném přítoku .................................................................................................... 85
12.5. Vyprazdňování nádob ............................................................................................................... 86
12.6. Přepady ..................................................................................................................................... 87
13. Proudění v rotujícím kanále ............................................................................................................. 88
13.1. Bernoulliho rovnice pro rotující kanál........................................................................................ 88
13.2. Odstředivé čerpadlo .................................................................................................................. 89
14. Neustálené proudění ....................................................................................................................... 93
14.1. Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění ........................................................................... 93
14.2. Hydraulický ráz ......................................................................................................................... 94
15.
Věta o změně hybnosti ............................................................................................................... 97
16. Obtékání těles ............................................................................................................................... 101
16.1. Mezní vrstva ............................................................................................................................ 101
16.2. Odpor těles Fx ......................................................................................................................... 105
17. Proudění v korytech....................................................................................................................... 108
17.1. Rovnoměrný průtok................................................................................................................. 108
17.2. Nerovnoměrný průtok ............................................................................................................. 109
18. Fyzikální podobnost a teorie modelování ...................................................................................... 110
18.1. Hydrodynamická podobnost při proudění tekutin ................................................................... 110
18.2. Dimenzionální analýza (-teorém).......................................................................................... 111
19. Rovinné potenciální proudění ........................................................................................................ 113
19.1. Úvodní poznámky ................................................................................................................... 113
19.2. Základní rovnice ...................................................................................................................... 113
19.3. Vyuţití teorie potenciálového proudění, skládání proudů. ...................................................... 115
20.
Přehled pouţitých označení ..................................................................................................... 121
21.
LITERATURA ........................................................................................................................... 123
3
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
1. Úvod
Mechanika kapalin a plynů je částí obecné mechaniky, stejně jako mechanika tuhých
těles. Zabývá se rovnováhou sil za klidu a pohybu tekutin. Při vyšetřování tohoto pohybu se
pouţívá mnoha poznatků a zákonitostí z mechaniky tuhých těles. Nepřihlíţí se při tom k
„mikrostruktuře“ pohybu skutečné tekutiny, tj. k pohybu jejích molekul, který je předmětem
kinetické teorie kapalin a plynů. Vlastní mechanika kapalin a plynů vyuţívá některých
experimentálních a statistických hodnot výsledků kinetické teorie.
Obdobně jako je v obecné mechanice zaveden pojem hmotného bodu, vystupuje
v úlohách hydromechaniky pojem „elementární objem“ nebo plynu rozumíme objem velmi
malý proti rozměrům proudu kapaliny, ale dostatečně velký vzhledem k délce volné dráhy
molekuly, ţe pro počet molekul obsaţených v tomto objemu platí statistické střední hodnoty
kinetické teorie. Pro tento objem se odvozují tzv. bilanční rovnice umoţňující definovat
základní zákony tj. zákon zachování hmoty resp. energie. Jestliţe objem je tak malý, ţe není
splněn poslední předpoklad, je nutno při řešení jevů probíhajících v těchto „tenkých vrstvách“
vycházet z kinetické teorie kapalin a plynů.
Základním rozdílem mezi tekutinou a tuhým tělesem je pohyblivost molekul kapalin a
plynů. Kapaliny a plyny tečou v proudu omezeném pevnými stěnami nebo tvoří rozhraní
tekutin. Tuhé těleso naproti tomu se pohybuje jako tuhý celek hmotných bodů, nepřihlíţíme-li
k nepatrným deformacím. Kapalina podléhá značně větším volným deformacím.
K určení základních rovnic rovnováhy za klidu a pohybu tekutin jsou postačující dvě
vlastnosti, a to spojitost a stejnorodost (izotropie).
Hydromechanika řeší většinu svých úkolů na elementárních objemech tekutiny, pro
něţ sestavuje rovnice rovnováhy. Tyto základní diferenciální rovnice integruje a pouţitím
okrajových, případně počátečních, podmínek získává řešení. K určení rovnováhy pouţívá
všeobecně platných vět z mechaniky.
Získaný matematický model se pak řeší buď exaktně či hlavně v posledních letech
numericky.
Pokud exaktní řešení bylo z hlediska sloţitosti rovnic nedostupné a téţ
z potřeby verifikace numerického řešení se přistupuje k experimentu ze kterého vyplývá
empirické či poloempirické řešení.
Recenzent: Prof.Ing. Jaroslav Kopáček, CSc.
4
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
2. Základní pojmy
2.1. Tekutina
Při řešení úloh v hydromechanice se vychází z představy tekutiny jako spojitého,
stejnorodého prostředí. Stejnorodostí neboli izotropií rozumíme stejné vlastnosti všech
částeček kapaliny nezávislé na jejich poloze a směru působení sil. Tento předpoklad
umoţňuje výhodně řešit úlohy mechaniky kapalin na zvoleném ,velmi malém objemu
kapaliny, a odvozené zákonitosti rozšířit na celý objem.
Při pohybu kapaliny vnímáme jen její střední pohyby. Ve skutečnosti její pohyb je
sloţitější a porušuje tím izotropii tekutiny, která se však neustálými změnami molekulární
struktury znovu obnovuje.
V hydromechanice je zaveden pojem ideální neboli dokonalé tekutiny, která nemá
vnitřní tření (bez vazkosti) a je nestlačitelná. Tento pojem, ač nevystihuje skutečnost, si
vytvořil člověk, neboť dovoluje odvodit jednodušeji některé zákonitosti. Dokonalá tekutina
můţe být namáhána jen tlakem, zatím co vazká (skutečná) tekutina můţe být vedle toho
namáhána jistou smykovou silou (za pohybu).
Tekutina je látka, která se na rozdíl od tuhých těles vţdy nevratně deformuje. Nemá
vlastní tvar a za působení nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do
pohybu (výjimkou jsou některé anomální – nenewtonské kapaliny).
Tekutiny se dělí na
1. nestlačitelné, které působením tlaku, normálných sil, jen nepatrně mění svůj objem – sem
patří kapaliny. Malé objemy kapalin tvoří kapky. Kapaliny zaujímají tvar nádoby, vyplňují
její spodní část a vytvářejí volnou hladinu
2. stlačitelné tedy i rozpínavé, které vyplňují vţdy celý objem nádoby. Podle toho zda jejich
stav je blízko či daleko bodu zkapalnění jsou to buď páry nebo plyny. Společný název je
vzdušiny.
Stav tekutiny nacházející se v rovnováze můţe být určen tlakem, hustotou a teplotou.
a) Měrný tlak p (v praxi zpravidla označován jen tlak) je roven poměru elementární tlakové
síly dF působící kolmo na elementární plošku dS (viz obr.2.1):
p
dF
dS
[Pa ]
Obr.2.1 Určení lokální hodnoty tlaku
Menší hodnoty tlaků lze měřit pomocí sloupce kapaliny piezometrickou trubicí (obr.2.2)
Obr. 2a Měření tlaku piezometrickou trubicí, je-li v nádobě tlak větší neţ je tlak barometrický
Obr. 2b Schéma měření barometrického tlaku pb rtuťovým barometrem, pnp je tlak
nasycených par
Obr. 2c Absolutní tlak par pa, přetlak a podtlak se odečítají od barometrického tlaku.
Je-li nad hladinou kapaliny v uzavřené nádobě tlak pa větší neţ barometrický tlak pb,
který působí na hladinu kapaliny v otevřeném konci piezometrické trubice, pak hladina
v trubici se ustálí ve výšce h. Působí-li na kapalinu jen gravitační zrychlení, vytvoří se
vodorovná hladina, coţ je současně geometrické místo bodů se stejným tlakem rovným
5
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
barometrickému tlaku. Všechny vodorovné roviny budou také izobarické plochy, ale protoţe
na částice níţe poloţené bude působit svou tíhou částice kapaliny nadcházející se nad nimi,
bude tlak s hloubkou narůstat. Na vodorovné rovině procházející hladinou v nádobě,
obr.2.2a, je všude tlak roven pa současně je tento tlak i v piezometrické trubici v hloubce h
pod hladinou, tj. v místech, kde zmíněná vodorovná rovina protíná. Zde je moţno definovat
podmínky rovnováhy. Uvolněme si nyní tento sloupec kapaliny.
Obr.2.2 Měření tlaku
Z rovnováhy sil působících na sloupec kapaliny o výšce h a o průřezu S nacházející
se v trubici:
pb S  ghS  pa S
plyne, ţe absolutní tlak
pa  pb  gh
( 2.1 )
resp. přetlak
p  pa  pb  gh
( 2.2 )
Absolutní tlak se odečítá od nulové hodnoty tlaku, přetlak a podtlak se odečítají od
barometrického tlaku (obr.2.2c). Na obr.2.2b je naznačeno měření barometrického tlaku
rtuťovým barometrem: vzduch působí na hladinu rtuti v nádobce manometru tlakem a vytlačí
do vakuované trubice rtuťový sloupec do výše h. Nad hladinou rtuti v trubici je tlak roven
jejímu tlaku nasycených par.
b) Hustota  (měrná hmotnost) je rovna poměru hmotnosti elementární částice tekutiny dm
k jejímu elementárnímu objemu dV, obklopujícímu bod, v němţ hustotu určujeme

dm
dV
[kg.m-3]
( 2.3 )
Převratná hodnota hustoty je měrný objem v
v
1


dV
dm
[m3.kg-1]
Hustota kapalin se mění s tlakem a teplotou jen nepatrně a budeme ji povaţovat za
konstantní:
 = konst.
Hustota plynů je funkcí stavových veličin tj. tlaku p a teploty T ( K). Pro její výpočet se bude
pouţívat jednoduchá stavová rovnice ideálního plynu
pv 
p

 r T
( 2.4 )
kde r (J.kg-1.K-1) je měrná plynová konstanta, jejíţ velikost závisí na druhu plynu.
c) Teplota T (C, K). V našem případě se proudění bude povaţovat vţdy za izotermní
T=konst. Údaj teploty bude slouţit jen pro přesné určení parametrů tekutiny jako je hustota a
viskozita.
6
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
2.2. Fyzikální vlastnosti tekutin
Kvantitativní vztahy v hydromechanice se vyjadřují rovnicemi, grafy, diagramy apod.
Veličiny a jejich měrové jednotky jsou určeny Mezinárodní měrovou soustavou SI (Systéme
International d’Unités), kterou uvádí ČSN 01 1300, ČSN 01 1301 a další. Základními
veličinami jsou délka, hmotnost, čas, elektrický proud, termodynamická teplota, látkové
mnoţství, svítivost a doplňkové veličiny rovinný úhel a prostorový úhel. Základními
jednotkami jsou (ČSN 01 1300) metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kandela a
doplňkové jednotky radián a steradián. V mechanice, a tím i hydromechanice, se vystačí při
formulaci poznatků s těmito základními veličinami: délka L [m], hmotnost m [kg], čas t [s].
Ostatní veličiny jsou odvozené veličiny na základě definičních rovnic (ČSN 01 1310).
Základní a odvozené veličiny zaloţené na soustavě definičních rovnic tvoří soustavu veličin.
Veličiny, které určují fyzikální vlastnosti kapalin a s nimiţ se v hydromechanice
nejčastěji počítá jsou tyto:
Objemová stlačitelnost je vlastnost tekutin a těles zmenšovat svůj objem při
zvyšování tlaku. Stlačitelnost se vyjadřuje součinitelem stlačitelnosti , kdy úbytek objemu
vyvolaný stlačením splňuje rovnici

V 1
V p
kde V je úbytek objemu V způsobený tlakem p.
Převrácená hodnota objemové stlačitelnosti  je modul objemové pruţnosti kapaliny
K
1

 V
dp
dV
( 2.5 )
Z předcházejících rovnic vyplývá vztah pro objem kapaliny po stlačení
 p 
V0  V 1 

K 

( 2.6 )
Při stlačování kapaliny se její hmotnost nemění, proto lze psát m =  V = konst.
Diferencováním se dostane .dV + V.d = 0, z čehoţ pro měrnou objemovou změnu vyplývá
dV
d
. Modul objemové pruţnosti kapaliny lze tedy vyjádřit takto

V

dp
K
d
vztah
Rozměr modulu objemové pruţnosti kapalin připomíná modul pruţnosti v tahu tuhých
látek, tj. tlak, který za předpokladu, ţe stlačitelnost je konstantní, nezávisí na tlaku a platí
neomezeně, zmenší původní objem kapaliny na polovinu (analogie Hookeova zákona). Pro
vodu je modul objemové pruţnosti K  2,1109 Pa
Stlačitelnost lze rovněţ charakterizovat rychlostí zvuku a, to je z rychlostí, kterou se
ve stlačitelném prostředí šíří malé změny tlaku. Za předpokladu izoentropické (adiabatické)
stavové změny pro rychlost zvuku platí
a
K


dp
p
   rT
d

( 2.7 )
kde  je izotermický exponent , pro dvouatomovovou molekulu plynu  = 1,4
Teplotní roztaţnost tekutin charakterizuje změnu objemu a hustoty tekutin. Součinitel
objemové roztaţnosti je
( 2.8 )
1  V 
, kde V je Vo-V
 

V  t  p konst
Z této rovnice vyplývá vztah pro objem po zahřátí
V0  V 1 t 
( 2.9 )
7
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Viskozita tekutin se projevuje za pohybu skutečných kapalin. Pohybují-li se sousední
vrstvy kapaliny různými rychlostmi, vzniká na jejich rozhraní smykové tření, které brání
pohybu. Pomalejší vrstva je zrychlována a naopak zase rychlejší zbrţďována. Zmenšení
rychlosti je způsobeno tečnou silou, která je vyvolána vnitřním třením nebo viskozitou či
vazkostí kapaliny.
Poznámka: vazkost lze vysvětlit pomocí kinetické teorie kapalin. Molekuly, kterou se
pohybují postupnou rychlostí, konají vedle hlavního pohybu vlastní pohyby velmi rychlé a
v různých směrech. Dráhy, které proběhnou molekuly sekundárním pohybem jsou velmi
malé, ale postačují k tomu, aby pronikly myšlenou dělící rovinou mezi vrstvami kapaliny.
Další síly, které se při těchto pohybech uplatňují jsou mezimolekulární. Tyto síly brzdí
popsaný pohyb.
U plynů, jejichţ tepelný pohyb molekul převládá nad silami mezimolekulárními,
vzrůstá zvýšením teploty rychlost tepelného pohybu molekul a tím vzroste i viskozita plynu.
Tento poznatek je ve shodě se skutečností.
U kapalin je tomu obráceně. U nich jsou ještě dosti výrazné mezimolekulární síly proti
tepelnému pohybu molekul. Zvýšením teploty dochází k intenzivnější výměně hybností částic
v pohybujících se vrstvách kapalin a tečné napětí se zmenšuje. U kapalin klesá vazkost
s rostoucí teplotou.
Smykové napětí (tečné) od vazkosti nebo zkráceně vazké napětí je určeno klasickou
formulí podle Newtona
 
dv
dy
( 2.10 )
kde  je dynamická vazkost
dv
je gradient rychlosti ve směru kolmém na směr pohybu
dy
V soustavě SI je rozměr koeficientu dynamické vazkosti
   N 2s 
m
( 2.11 )
kg
 Pa  s
ms
Obr.2.3 Smykové napětí od gradientu rychlosti
Ve výpočtech se velmi často vyskytuje výraz

, který je označován jako kinematická

viskozita.



( 2.12 )
8
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Rozměr kinematické viskozity vyplývá z definice
  
kg m 3
 m 2  s 1
m  s kg
( 2.13 )
Rozměr kinematické viskozity neobsahuje jednotky hmotnosti ani síly.
Rozměr dynamické vazkosti obsahuje jednotku síly, proto byla tato vazkost označena
jako dynamická, neboť v dynamice se vyšetřují příčiny pohybu, tj. síly.
Dynamická a kinematická vazkost závisí na druhu tekutiny. Jejich hodnoty jsou pro
většinu tekutin tabelovány. Vazkost kaţdé tekutiny závisí na teplotě a tlaku, tedy na
stavových veličinách. Tyto závislosti jsou dány poloempirickými rovnicemi, tyto jsou uváděny
v odborné literatuře. Vazkost kapalin se měří viskozimetry, z nichţ nejběţnější jsou kapilární,
výtokové,průtokové, rotační, tělískové a jiné.
Jako výtokový viskozimetr se v Evropě nejčastěji pouţívá viskozimetr Englerův.
Měřítkem vazkosti jsou Englerovy stupně E se určí jako poměr výtoku  zkoumané kapaliny o
objemu 200 cm3 při určité teplotě t k výtokové době v vody při 20 C z téhoţ viskozimetru –
neboli E 

. Výtoková doba musí být v rozmezí (50 aţ 52)s, velikost a tvar Englerova
v
viskozimetru jsou dány normou. Pro přepočet Englerových stupňů slouţí empirické vzorce,
např.


   7.31 E 
6.31
m2
6


;



10

s
E 
( 2.14 )
Obr. 2.4 Síly uvnitř kapaliny a poblíţ rozhraní
Povrchové napětí. Kapalina na rozhraní se vyznačuje odlišnými vlastnostmi, příznačnými
pro ostatní objem kapaliny. Rozhraní kapaliny se jeví jako potaţené velmi tenkou a napjatou
vrstvou. Příčinou povrchového napětí jsou síly působící mezi molekulami kapaliny. Uvnitř
kapaliny je kaţdá molekula obklopena ostatními ze všech stran, takţe se jejich přitaţlivé síly
vyrovnávají. U rozhraní jsou molekuly obklopeny jen z jedné strany, jejich síly se
nevyrovnávají z druhé strany, a proto na molekulu působí síla R směřující dovnitř kapaliny.
Poněvadţ působení jednotlivých molekul je omezeno na velmi malou oblast, projevuje se
tato nerovnováha mezimolekulárních sil jen v nepatrné vrstvě kapaliny na hladině. Při
přemístění částečky kapaliny na rozhraní, se vykoná silou R práce. Molekuly na rozhraní
mají vyšší potenciální energie proti molekulám uvnitř kapaliny. Povrchové napětí je poměr
povrchové energie k ploše rozhraní  
Ea
. Povrchové napětí se definuje téţ jako síla,
S
která působí na jednotku délky rozhraní , a to kolmo k této délce, a v rovině povrchu.
Síla, kterou je např. mydlinková blána roztahována v rámečku s posuvnými tyčkami
AB a CD (kaţdá délky l), je dána výrazem F    l , neboť délka namáhaného povrchu je l a
povrchové napětí je . Zvětší-li se povrch blány roztaţením o délku dx, vykoná se práce dA
= F dx =  l dx. Touto prací se zvětší povrchová energie kapaliny. Na jednotku délky rozhraní
připadá tedy síla
9
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
F
dA  ldx



l
l dx
l dx
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
[N.m-1]
( 2.15 )
Obr. 2.5 K definici povrchového napětí
Povrchové napětí určité kapaliny závisí na druhu látek, které tvoří rozhraní. Kapalina
se můţe stýkat s pevnou látkou, kapalinou nebo plynem. Vznik povrchového napětí byl
vysvětlen nerovnováhou molekulárních sil za předpokladu, ţe kapalina s ničím nesousedí.
Ve skutečnosti je vţdy obklopena jinou látkou, ať pevnou, kapalnou, či plynnou, a proto
mezimolekulární síly od vlastní kapaliny se budou vyrovnávat s kvalitativně stejnými silami
sousedního prostředí. Výsledné povrchové napětí bude dáno vektorovým součtem obou
sloţek.
Kapilarita se vyskytuje u trubiček velmi malého průměru – kapilár, nebo v porézním
prostředí. Kdyţ adhezní síly jsou větší neţ kohezní, vystupuje kapalina v kapiláře do výšky h.
V opačném případě, kdy kohezní síly jsou větší neţ adhezní, zůstává kapalina v kapiláře o
výšku h níţe neţ je hladina okolní kapaliny. Příslušné výšky h se dají spočítat z podmínky
rovnováhy mezi gravitačními silami a povrchovými silami:
4

h
d  d 2hg
z čehoţ
( 2.16 )
gd
4
Obr. 2.6 Kapilární elevace a deprese
Poslední vztah se dá pouţít téţ k určení povrchového napětí  .Povrchové napětí vody je  =
0,072 Nm-1 = 0,072 kg s-2.
Tlak nasycených par je hodnota tlaku par nad hladinou kapaliny, přičemţ nastává rovnováha
mezi počtem molekul opouštějících kapalinu a vracejících se zpět. U jednosloţkových
kapalin závisí pouze na teplotě a roste s teplotou. Čím je tlak nasycených par kapaliny při
dané teplotě vyšší, tím je kapalina těkavější. Tlak nad hladinou kapaliny musí být vyšší, neţ
je tlak nasycených par, jinak by mohlo dojít k prudkému odpaření (varu). Klesne-li tlak uvnitř
kapaliny pod hodnotu tlaku nasycených par, dochází ke vzniku kavitace. Tlak nasycených
par pro vodu se dá odečíst z parných tabulek.
10
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
3. Tlakové poměry v kapalině za klidu
3.1. Tlak a jeho působení
Hydrostatika se zabývá rovnováhou sil působících na kapalinu za klidu. Rovnováha
kapaliny za klidu nastane tehdy, kdyţ její částice se vůči sobě nepohybují, to znamená, ţe
tvar objemu kapaliny se nemění. V tom případě je u skutečné kapaliny smykové napětí od
vazkosti nulové a všechny rovnice platí i pro skutečnou kapalinu. Do hydrostatiky patří i
případy relativního klidu, kdy kapalina vůči stěnám je v klidu, ale celá soustava (nádrţ +
kapalina) konají pohyb. Síly, které mohou působit na kapalinu lze rozdělit obecně do dvou
skupin, a to síly plošné a hmotnostní (neboli objemové).
Plošné síly (téţ povrchové) působí na povrch uvaţovaného objemu kapaliny, proto
jejich velikost závisí na velikosti plochy Fp =p. S. Plošné síly jsou např. tlak kapaliny, tření od
vazkosti pohybující se kapaliny, apod. Hmotnostní síly jsou úměrný hmotnosti, (která je
úměrná objemu kapaliny), Fm =a. m=a V. Jsou to např. tíha kapaliny, setrvačná síla,
odstředivá síla apod.
Tlak kapaliny je tlaková síla, působící na jednotku plochy. Je-li tlak rovnoměrně
rozloţen, je dán poměrem
p
F
S
Při nerovnoměrném rozloţení tlaku je dán obecně
p
dF
.
dS
Tlak působí vţdy kolmo na plochu a v určitém místě je ve všech směrech stejný,
nezávisí tedy na sklonu plošky, na kterou působí. Toto tvrzení si nyní dokáţeme. Kdyby
působila na plošku síla dF nikoliv ve směru normály, dala by se rozloţit na sloţku normálnou
a tečnou. Tečná sloţka tlaku by si vynutila pohyb částeček kapaliny, které nekladou
vzájemnému posunutí odpor. Protoţe tekutina je v klidu, musí tlak působit kolmo na plochu.
Obr.3.1 Působení tlakových sil na stěnu nádoby
Z toho plyne, ţe na tekutinu nacházející se ve stavu rovnováţném mohou působit jen
síly normálné, resp. napětí. V technické praxi se bude jednat vţdy o tlak, neboť jen dokonale
čisté a odvzdušněné kapaliny mohou odolávat tahu. Pevnost v tahu speciálně neupravených
kapalin je přibliţně rovna nule a ve výpočtech předpokládáme, ţe k porušení kontinuity
kapaliny dojde v místech, kde tlak klesne pod hodnotu tlaku nasycených par a dojde zde
k varu – změně fáze.
Velikost tlaku v určitém místě uvnitř kapaliny, tj. hydrostatický tlak ph, nezávisí na
směru a je tedy skalární veličinou.
Při odvozování tohoto tvrzení se předpokládá, ţe tlak na stěnách čtyřstěnu ( obr. 3.2)
je různý (px , py , pz). Na šikmou stěnu působí tlak p a tudíţ tlaková síla dF = p dS. Tento tlak
11
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
působí ve směru normály plochy dS , jeţ svírá s osami x, y, z úhly , ,  . Poněvadţ tekutina
je v klidu, musí být splněny statické podmínky rovnováhy sil:
 Fx  0
;
 Fy
0
 Fz  0
;
;
Mx  0
;
My  0
;
 Mz  0
Poněvadţ tlaky na plochu čtyřstěnu jsou konstantní, působí výsledné tlakové síly v těţištích
trojúhelníků. Plochy trojúhelníků dSx , dSy a dSz jsou průměty plochy dS , coţ platí i o jejích
těţištích. Také výsledné tlakové síly se protínají v jednom bodě a momentové podmínky
rovnováhy jsou splněny. Stačí tedy uvaţovat jen zbývající podmínky rovnováhy sil. Ve směru
osy x působí tlaková síla dFx a sloţka tlakové síly dF do směru osy x, tj. dF cos . Ostatní
síly jsou kolmé na osu x , a proto jejich sloţky jsou nulové.
První podmínka statické rovnováhy sil je dána v našem případě rovnicí
( 3.1)
dFx  dF cos  0
Obr.3.2 K odvození zákona o šíření tlaku
Po dosazení dříve uvedených výrazů dostaneme
p x dSx  p dS cos  0
O plochách dS a dSx bylo uvedeno, ţe dSx je průmětem plochy dS , pro který platí
dSx = dS cos . Podmínka rovnováhy sil se upraví pomocí poslední rovnice a dostane se pro
směr osy
( 3.2 )
p  px
Podobně druhé dvě podmínky rovnováhy sil jsou dány rovnicemi
dFy  dF cos   0 ;
py dSy  p dS cos 
dFz  dF cos   0 ;
pzdSz  p dS cos 
; dSy  dS cos  čili
; dSz  dS cos  čili
p  py
p  pz
Vyplývá tedy z podmínek statické rovnováhy sil rovnost tlaků na plochách čtyřstěnu
p  p x  p y  pz
( 3.3 )
Šikmá plocha dS byla zvolena libovolně. Výsledek lze zevšeobecnit: Tlak působí
v daném místě kapaliny všemi směry stejně a nezávisí na sklonu plochy, tzn., ţe tlak je
skalární veličina. Tento zákon platí obecně. Je třeba poznamenati, ţe v jiném místě kapaliny
bude hodnota tlaku obecně jiná, matematicky vyjádřenop = p(x, y, z)
3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky
Obecným úkolem hydrostatiky je určení tlaku v libovolném místě tekutiny, která je
v rovnováze, tj. stanovení skalárního pole p = p(x, y, z). Úkol rozloţíme do etap. Pomocí
Eulerovy rovnice hydrostatiky určíme přírůstek tlaku v nekonečně blízkém bodě a integrací
těchto rovnic podél křivkového integrálu stanovíme pak konečný rozdíl tlaku mezi
počátečním a konečným bodem křivky.
12
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.3.3 K odvození Eulerovy rovnice hydrostatiky
Eulerova rovnice hydrostatiky je obecná podmínka rovnováhy sil působících na kapalinu
v klidu. Na kapalinu nechť působí obecně hmotnostní síla Fo a výslednice tlakových sil Fp.
Rovnováha sil je vyjádřena rovnicí F  Fp  0 . Na jednotku hmotnosti kapaliny působí
Fo
 a , coţ je zrychlení, které se dá rozepsat pomocí sloţek
m
a  iax  jay  kaz . Zvolí se elementární objem kapaliny ve tvaru hranolku o stranách dx, dy
z vnějšku síla
a dz rovnoběţných se zvolenými osami x, y, z. Tlakové síly způsobené Fo působí na povrchu
hranolku, a to ve třech kolmých směrech. Protoţe plošky jsou nekonečně malé, je moţné
povaţovat tlak za konstantní. Na plošku dydz působí tlaková síla ve směru osy x, a proto je
označena dFx. Podobně v ostatních směrech působí tlakové sílu dFy na plošku dxdy a
tlaková síla dFz na plošku dxdz. Podmínka rovnováhy vyplývá opět z obecných podmínek
statické rovnováhy sil. Protoţe všechny síly působící na hranolek procházejí jedním bodem
(těţištěm hranolku), jsou splněny momentové podmínky. Ve směru osy x působí na zvolený
hranolek plošné síly dFx1 a dFx2 na dvě plošky dydz, jejíchţ normály jsou rovnoběţné s osou
x. Tlaková síla na levou plošku dSx1 je určena velikostí plošky dSx1 a tlakem p, čili platí vztah
dFx1 = p dy dz. Na pravou plošku dydz, která je vzdálena od levé plošky o délku dx, působí
tlak p + dpx, neboť obecně je tlak kapaliny funkcí polohy p = p(x, y, z), a tlaková síla je
určena vztahem dFx2 = (p + dpx) dy dz. Tlak dFx2 působí opačným smyslem neţ je kladný
smysl osy x, proto výslednice uvedených tlaků je dFpx = dFx1 – dFx2. Ostatní plošné síly mají
směr kolmý na osu x, proto jejich sloţky jsou nulové a vypočítaná síla dFpx je výslednicí
všech vodorovných sloţek tlakových sil. Kromě plošných sil (tlakových) působí na zvolený
hranolek kapaliny hmotnostní síla. Její sloţka ve směru osy x bude dána vztahem dFox = dm
ax, kde dm je hmotnost hranolku kapaliny a ax je sloţka zrychlení (hmotnostní síla na
jednotku hmoty) ve směru osy x. Hmotnost dm se dá vyjádřit pomocí objemu hranolku dm =
 dV =  dx dy dz, takţe objemová síla dFox =  ax dx dy dz. Pro rovnováhu sil ve směru osy
x musí tedy platit
dFpx  dFox  0 , dFx1  dFx 2  dFox  0
( 3.4 )
p dy dz  p  dpx dy dz   ax dx dy dz  0
13
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
a po úpravě
 ax dx  dpx  0
( 3.5 )
Protoţe tlak kapaliny je obecně funkcí polohy, platí p = p(x, y, z) a přírůstek tlaku je
dp 
p
p
p
dx 
dy 
dz
x
y
z
( 3.6 )
Kaţdý člen pravé strany poslední rovnice udává změnu tlaku při diferenciální změně
příslušných souřadnic. Jejich fyzikální význam je tedy přírůstek tlaku při posunutí ve směru
například osy x, takţe dpx 
dpz 
p
p
dx . Podobně v ostatních směrech platí dpy 
dy a
x
y
p
dz . Pomocí posledních vztahů se upraví odvozená rovnice rovnováhy sil
z
dosazením za dpx takto:
p
dx  0
x
1 p
ax 
0
 x
 ax dx 
( 3.7 )
coţ je hledaná obecná podmínka rovnováhy sil ve směru osy x.
Pro sloţky ve směru os y a z lze psát zcela analogicky rovnice
ay 
1 p
0
 y
( 3.8 )
az 
1 p
0
 z
( 3.9 )
Poslední tři rovnice vyjadřující podmínky rovnováhy kapalin za klidu jsou Eulerovy
rovnice hydrostatiky.
Jestliţe poslední rovnice napíšeme vektorově a sečteme, dostaneme jednu rovnici
a
1

gradp  0
( 3.10 )
kde a je výsledné zrychlení vnějšího silového pole
a  iax  jay  kaz
( 3.11 )
a gradient tlaku určený vztahem
gradp  i
p
p
p
j
k
x
y
z
( 3.12 )
Eulerova rovnice hydrostatiky je základní rovnicí k určení tlaků v poli tlakových sil.
Z Eulerovy rovnice vyplývá, ţe tlak v kapalině závisí na hmotnostních silách. Obecně lze
psáti pro změnu tlaku dříve uvedenou rovnici
dp 
p
p
p
dx 
dy 
dz
x
y
z
Poněvadţ gradienty tlaku ve všech směrech se dají vyjádřit hmotnostními silami
z Eulerových rovnic
p
p
p
 ax ,
 az , je hledaná obecná diferenciální rovnice
 ay ,
z
x
y
pro tlak dána vztahem
dp   ax dx  ay dy  azdz
( 3.13 )
Toto je obecná diferenciální rovnice tlakové funkce p(x, y, z).
14
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Členy v závorce jsou součiny hmotnostních sil a příslušných posunutí ve stejném
směru, takţe jejich fyzikální význam je práce připadající na jednotku hmotnosti. Integrací
poslední diferenciální rovnice se určí tlakové funkce
p    ax dx  ay dy  azdz  px, y, z 
( 3.14 )
3.3. Hladinové plochy
Hladinové plochy jsou místa s konstantní hodnotou skalární veličiny, popřípadě
s tlakem p = konst.. Přírůstek tlaku mezi dvěma body leţícími na stejné hladině musí být
roven nule, coţ platí i pro soumezné body, dp = 0. Dosazením do (rov.3.13) dostaneme
obecnou rovnici hladinových ploch v diferenciálním tvaru
a x dx  a y dy  a z dz  0
( 3.15 )
Hladinové plochy jsou vţdy kolmé k vektoru intenzity hmotnostních sil a . Platí zde
dp=0. Dosazením do (3.13) dp = 0 =  a cos dr plyne, ţe cos = 0, a tedy  =

,S a dr
2
jsou od nuly rozdílné. Tím je dokázáno, ţe tlakové plochy jsou kolmé na výsledné zrychlení,
tedy na výslednou hmotnostní sílu.
Ve směru vektoru a , který je shodný se směrem normály k hladinové roste tlak nejrychleji,
neboť
Obr.3.4 Řez soumeznými hladinovými plochami
dp dp
.

dn drb
( 3.16 )
Hladinové plochy mají v úlohách hydrostatiky velký význam, především však
hladinová plocha rozhraní mezi okolním ovzduším a kapalinou.
3.4. Rozložení tlaku v kapalině
Na kapalinu v nádobě působí z hmotnostních sil jen tíţe zemská. V libovolném místě
kapaliny bude tlak p(x, y, z) určen diferenciální rovnicí (3.13) odvozenou v předchozích
odstavcích
dp   ax dx  ay dy  azdz .


Za působení jen tíţe zemské je ay = -g , ax = az = 0. Zrychlení tíţe zemské je nutno dosadit
se záporným znaménkem, poněvadţ tíţe působí opačným smyslem neţ je zvolený smysl
osy y. Diferenciální rovnice se tedy zjednoduší
dp   gdy
a integrál je
p   gy  konst.
( 3.17 )
Integrační konstanta se určí z okrajové podmínky. Na rozhraní kapaliny je tlak ovzduší.
Pro tuto hladinu platí y = h0 , p = p0. Dosazením do poslední rovnice se vypočte integrační
konstanta:
15
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
p0   gh0  konst
z čehoţ
konst  p0  gh0
a hledaná závislost tlaku je
p   gy  p0  gh0  p0  g h0  y 
a dosazením h = y0 – y se dostane
p  p0  gh
( 3.18 )
kde h je svislá vzdálenost uvaţovaného místa v kapalině od hladiny tlaku ovzduší. Jestliţe
uvaţovaný bod leţí pod hladinou, je h > 0 (kladné); kdyţ je bod výše neţ hladina tlaku
ovzduší je h < 0 (záporné). Uvedený vztah platí pro kapaliny, na něţ působí tíţe zemská, a
to nestlačitelné, neboť při integraci byla měrná hmotnost povaţována za konstantu.
Obr.3.5 Kapalina při působení síly tíţe zemské
Tlakové hladiny v kapalině za působení tíţe zemské jsou vodorovné roviny. Při
odvození rovnic tlakových hladin se předpokládá, ţe nádoba s tekutinou není rozlehlá tak,
aby bylo nutné přihlíţet k zakřivení povrchu zemského. Pro nádoby s malými plochami
vzhledem k zemskému povrchu se tedy předpokládá, ţe gravitace působí svisle dolů, a to ve
všech místech nádoby. Za tohoto předpokladu je rovnice tlakových hladin
 g dy  O ,
( 3.19 )
coţ vyplývá z obecné diferenciální rovnice pro tlakové hladiny po dosazení hmotnostních sil
uvaţovaného případu ay = -g , ax = az = 0. Integrací se dostane rovnice tlakových hladin gy =
konst, coţ jsou rovnice vodorovných ploch: y = konst.
Tlak se dá vyjádřit absolutní nebo relativní hodnotou. Absolutní tlak je vztaţen
k absolutní nule, tj. k vakuu, zatímco relativní tlak je vztaţen od smluvené hodnoty tlaku,
kterým je tlak ovzduší. Platí tedy
pa  p0  pr ,
kde pa je absolutní tlak, pr je relativní tlak, p0 je tlak ovzduší.
Porovnáním s odvozeným výrazem p = p0 + gh, vyplývá, ţe je to absolutní tlak.
Relativní tlak vyvolaný účinkem sloupce kapaliny je dán výrazem p = gh. K označení
absolutní a relativní hodnoty tlaku se nepouţívá indexů a a r, avšak je třeba údaj doplnit, o
který tlak jde. Např. p = 8. 105 Pa abs.; p = 7,1. 104 Pa př. Poněvadţ tlak kapaliny závisí na
výšce sloupce kapaliny a její hustotě: p  .g.h
16
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
lze tlak vyjádřit výškou kapalinového sloupce, tj. stanovit tlakovou výšku. h 
p
g
3.5. Pascalův zákon
Beztíţný stav je charakterizován hodnotou a  0 . Z rovnice ( 3.13 ) dp = 0 a po
integraci p = konst. tj. tlak uvnitř kapaliny je všude stejný. U kapalin – kapiček – to neplatí
přesně, neboť se uplatní povrchové napětí.
Zvýšíme–li v určitém místě tlak, třeba na rozhraní kapaliny s jinou fází zvýší se i
v celém objemu kapaliny, coţ je obsahem Pascalova zákona: tlak v kapalině se šíří
rovnoměrně všemi směry. Toho se vyuţívá např. u hydraulických zvedáků a lisů. Působímeli na malý píst silou F1, vyvoláme na velkém pístu sílu F2 > F1. Tlak v celém objevu kapalin je
konstantní. obecně však p  px, y, z 
F1
F
F
F d 
 p1p.S2  Fv  1  2  1   1 
S1
S1 S2 F2  d2 
2
Obr.3.6 Princip hydraulického lisu.
17
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
4. Tlakové síly
4.1. Vodorovné rovinné plochy
Tlak v kaţdém bodě vodorovného dna nádoby je stejný p =  g h. Je tedy rovnoměrně
rozloţen po celé ploše a výsledná tlaková síla je rovna F = p S =  g h S. Tlaková síla působí
kolmo na plochu.
Obr.4.1 Síla na dno vodorovné nádoby
Součin h S v poslední rovnici představuje objem kapaliny vyznačený v obrázku šrafovaně,
protoţe hS . Lze tedy psát téţ rovnici F =  g V = Fg. Výraz  g V představuje tíhu objemu
V naplněného
kapalinou o měrné hmotnosti . Zatěţuje tedy tíhová síla Fg =  g V plochu S. Těleso o
objemu V představuje tedy zatěţovací obrazec, který je omezen těmito plochami:
1) plochou S, na níţ počítáme tlakovou sílu F
2) tlakovou hladinou tlaku ovzduší p0= konst
3) pláštěm (válce nebo hranolu) vzniklým opsáním přímky rovnoběţné s výslednicí tlaku F
okolo obrysu plochy S.
Jestliţe nádoba má boční stěny jiné neţ svislé, je výsledná tlaková síla na dno dána stejným
výrazem,
Obr.4.2 Hydrostatické paradoxon a zatěţovací obrazec
neboť svislá vzdálenost h plochy od hladiny je konstantní, a tudíţ tlak na dně je
p = gh  konst. Podobně objem zatěţovacího obrazce uvedené definice bude ve všech
případech stejný, takţe výsledná tlaková síla je rovněţ stejná. Nezávisí na tvaru bočních
stěn nádoby, coţ je hydrostatické paradoxon.
4.2. Šikmé rovinné plochy
Na rozdíl od vodorovných ploch je na šikmé rovinné stěně nádoby tlak proměný.
Výslednice tlakových sil se určí integrací elementární tlakové síly na plošce dS . Na zvolenou
plošku dS působí tlaková síla dF =  g h dS . Výslednice je pak dána integrálem
F   g  h dS
( 4.1 )
S
18
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.4.3 Síla na šikmou rovinnou plochu
Pro úsečky h a x platí na celé ploše S vztah
h
 sin a po dosazení do rovnice pro
x
tlakovou sílu je
F   g sin  x dS   g sin My ,
S

neboť M y  x dS je statický moment plochy S k ose y.
S
Osa y je určena průsečnicí hladiny p0 = konst a boční stěny nádoby. Statický moment plochy
S k ose y je tedy určen vztahem My = S xt takţe výraz pro tlakovou sílu se upraví
F =  g sin S xt ;
neboť xt sin = ht , výsledná tlaková síla na šikmou rovinnou plochu dána vztahem
( 4.2 )
F   ght S  pt S
Obr.4.4 Definice zatěţovacího obrazce
V poslední rovnici je ht svislá vzdálenost těţiště plochy S od tlakové hladiny tlaku
ovzduší ; podobně pt je tlak v těţišti plochy. Tlak pt představuje střední hodnotu tlaku na
ploše S. Směr výslednice tlakové síly F je kolmý na plochu S, to znamená, ţe je totoţný se
směrem normály k ploše S. Působiště tlakové síly na šikmou plochu je vyšetřováno později.
Dříve se odvodí výraz pro tlakovou sílu na rovinnou šikmou plochu pomocí objemu
zatěţovacího obrazce. Tlaková síla na element šikmé roviny je dF =  g h dS, jak bylo
uvedeno dříve. Aby součin h dS představoval elementární objem dV, musí být h kolmé na
19
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
dS. Sklopením výšky h do směru normály plochy S se dostane hranolek o základně dS a
výšce h, jehoţ objem je dV. Součet všech objemových elementů nad celou plochou S určuje
objem V, neboť F  g  h dS  g  dV  gV Sklopené výšky h určují sklopenou hladinu
(p0), která je rovinná. K jejímu určení stačí sklopit výšku h v libovolném bodě pod hladinou do
směru normály k ploše. Spojnice tohoto bodu s průsečíkem hladiny a šikmé roviny určuje
sklopenou hladinu x. Plášť zatěţovacího objemu tělesa.
V je vytvořen přímkami
rovnoběţnými s normálou k ploše S, jenţ opíší obrys plochy S.
Pro tlakovou sílu na šikmou rovinnou plochu je tedy moţno psát F = gV .
Objem zatěţovacího obrazce V se vypočte jako objem skoseného válce nebo hranolu a je
určen těmito plochami:
1) plochou S
2) hladinovou plochou (p0 = konst) sklopenou (sestrojí se sklopením výšky h libovolného
bodu plochy S po hladinou do směru normály, tj. do směru výslednice tlaku, a spojením
jejího konce s průsečíkem 0)
3) pláštěm vytvořeným přímkami rovnoběţnými s tlakovou sílou F nad obrysem plochy S
Objem V skoseného hranolu se určí jako součin základny S a výšky ht v těţišti plochy S,
neboli
V = S ht.
Působiště P tlakové síly se dá určit početně. Moment elementárních tlakových sil k ose y je
dán rovnicí dMy = x dF. Výsledný moment těchto elementárních tlakových sil musí být stejný
jako moment výslednice tlakové síly. Platí tedy
My  Fx p   dMy   xdF  g sin  x 2dS  g sinJ y ,
S
S
S
z čehoţ
xp 
gJy sin
F

gJy sin J y

gSy sin M y
( 4.3 )
Jy moment setrvačnosti plochy S k ose y
My statický moment plochy S k ose y
Podle Steinerovy věty je Jy = Jyt + Sxt2, takţe
kde
xp 
J yt  Sxt2
My

J yt
Sy

J
Sxt2
 xt  yt
My
Sxt
Vzdálenost působiště P tlakové síly od těţiště plochy je
x  x p  xt 
J yt
( 4.4 )
My
Protoţe pravá strana rovnice je vţdy kladná, je x p  0 . To znamená, ţe působiště P tlakové
síly na šikmou rovinnou plochu je vţdy pod těţištěm T.
Podobně se určí druhá souřadnice působiště tlakových sil z momentů k ose x:
M x  Fy p   dMx   ydF  g sin  xydS  g sinJ xy
S
yp 
gJ xy sin
F
S

S
gJ xy sin J xy

gSy sin Sy
( 4.5 )
Jxy je deviační moment plochy S k osám x, y,
My statický moment plochy S k ose y.
Někdy je třeba určit sloţky tlakové síly na šikmou rovinnou plochu, a to ve
vodorovném a svislém směru. Tyto sloţky se mohou určit rozkladem výslednice F x = Fsin a
podobně Fy = Fcos nebo se určí přímo, aniţ se počítá výslednice.
kde
20
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Pro elementární svislou sloţku dFy platí
dFy  ghdS cos  ghdSy  gdVy
( 4.6 )
Integrací se dostane Fy = gVy, kde objem Vy zatěţovacího obrazce je podle obrázku určen:
1) plochou S
2) hladinovou plochou p0 = konst
3) pláštěm vytvořeným svislými přímkami (= rovnoběţnými se sloţkou tlakové síly F y) nad
obrysem plochy
Zatěţovací obrazec Vy je zkosené těleso. Působiště svislé sloţky tlakové síly F y je dáno
těţištěm objemu Vy zatěţovacího obrazce. Podobně pro elementární vodorovnou sloţku
tlakové síly dFx platí
( 4.7 )
dFx  ghdS sin  ghdSx  gdVx
Aby součin hdSx představoval elementární objem dVx, musí být výška h a ploška dSx na
sobě kolmé. Proto se výšky sklápějí do vodorovného směru (tj. do směru uvaţované sloţky
Fx).
4.3. Tlaková síla na křivé plochy
Na křivé ploše je tlak kapaliny v libovolném místě určen výrazem p = gh. Na zvolený
plošný prvek působí tlaková síla dF = ghdS ve směru kolmém na dS. Vektorovým součtem
těchto elementárních tlakových sil po celé křivé ploše se dostane výslednice tlakové síly na
křivou plochu. K integraci je zapotřebí analytického vyjádření ploch a rovněţ závislost pro
výšku, coţ vede zpravidla ke zdlouhavým výpočtům.
Obr. 4.5 Sloţková metoda určení sil
Při výpočtu tlakových sil na křivé plochy se pouţívají dvě metody, a to sloţková a metoda
náhradních ploch.
Složková metoda – obr. 4.5 spočívá v tom, ţe se určí nejdříve sloţky ve zvolených
směrech, zpravidla svislá a vodorovná. Na zvolený plošný prvek dS působí elementární
svislá sloţka tlakové síly dFy = dFcos = ghdScos = ghdSy = gdVy. Výsledná svislá
sloţka tlakové síly Fy se dostane integrací
( 4.8 )
F  g hdS  g dV  gV
y

S
y

y
y
S
Svislá sloţka Fy je určena tíhou zatěţovacího obrazce Vy - obr. 4.5A. Jak je patrné z obrázku,
objem Vy je určen stejným způsobem jako u šikmé roviny s tím rozdílem, ţe místo ní je křivá
plocha.
Objem Vy je tedy omezen těmito plochami:
1) křivou plochou S
2) tlakovou hladinou tlaku ovzduší p0 = konst
21
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
3) pláštěm vytvořeným svislými přímkami (= rovnoběţnými se sloţkou tlakové síly F y) nad
obrysem plochy
Působiště svislé sloţky tlakové síly na křivou plochu je v těţišti objemu Vy zatěţovacího
obrazce.
Podobně lze určit vodorovnou sloţku tlakové síly Fx
( 4.9 )
F  dF g hdS cos  g hdS  g dV  gV
x

x
S


S
S

x
x
x
S
Součin hdSx představuje objem dVx, jestliţe výška h je kolmá na průmět plochy dS x. Proto se
v kaţdém bodě křivé plochy sklopí svislá výšky h (= svislá vzdálenost od tlakové hladiny
tlaku ovzduší) do vodorovného směru, čímţ je hdS x . Aby výpočet objemu Vx byl snadnější,
posunou se elementární objemy dVx do libovolně zvolené svislé roviny. Poněvadţ posunutím
se objemy neměnily co do velikosti, je takto upravený objem Vx stejně velký jako původní.
Zatěţovací obrazec tvoří skosený válec nebo hranol. Jejich základnou je průmět křivé plochy
do svislé roviny. Tím se dospělo k velmi důleţitému poznatku o tlakové síle na křivé plochy:
Vodorovná sloţka tlakové síly na šikmou rovinnou plochu je dána integrací, čili
Fx  .g hdSx  .g.Vx ,

s
kde objem Vx zatěţovacího obrazce je dán tělesem skoseným dvěma nerovnoběţnými
rovinami. Působiště vodorovné sloţky tlaku je v těţišti zatěţovacího obrazce o objemu Vx
Tento postup je pracný, dá se dokázat, ţe vodorovná sloţka tlakové síly na křivou
plochu se rovná tlakové síle na její průmět do roviny kolmé na uvaţovanou sloţku síly – obr.
4.5B. Velikost vodorovné tlakové síly na křivou plochu včetně jejího působiště se vypočítá
postupem uvedeným v předcházející kapitole – obr. 4.5. Poněvadţ jsou sloţky na sobě
kolmé, platí v prostoru
( 4.10 )
F  Fx2  Fy2  Fz2 případně pro rovinnou úlohu F  Fx2  Fy2 .
Směr výslednice tlakových sil je dán vztahem tg  
Fy
Fx
. Výslednice tlakové síly F prochází
průsečíkem jejích sloţek Fx, Fy.
Obr. 4.6 Metoda náhradních ploch
Metoda náhradních ploch – obr. 5.6 spočívá v tom, ţe se křivá plocha nahradí
jednou nebo více rovinnými plochami, a to tak, aby s křivou plochou uzavíraly objem V.
Vypočítá se tlaková síla na náhradní plochu Fn. Nahrazením křivé plochy rovinnými plochami
se přidal objem kapaliny V, takţe tíhový účinek tohoto objemu kapaliny je zahrnut v tlakové
síle na náhradní plochu.
Ve skutečnosti tíha kapaliny G = gV nepůsobí na křivou plochu, a proto je třeba ji
odečíst od výsledné tlakové síly na náhradní plochu Fh. V opačném případě, kdy se náhradní
22
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
plochou ubral od zatěţujícího obrazce objem kapaliny V, jehoţ tíha působí na křivou plochu,
je nutno k výslednici tlakové síly na náhradní plochu Fh přičíst tíhový účinek kapaliny G.
Výslednice tlakové síly je dána vektorovým součtem síly na náhradní plochu Fn a tíhy G:
F  Fn  G .
Aby objem V (přidaný nebo ubraný) a tím tíha kapaliny G byla jednoznačně určena, je
třeba správně volit náhradní plochu, aby s křivou plochou uzavíraly obrazec o objemu V.
Náhradní plochy je moţno volit libovolné, jednu nebo více. Volí se tak, aby výpočet sloţek
náhradních tlakových sil byl co nejjednodušší.
4.4. Síly na tělesa ponořená do kapaliny
Na těleso ponořené do kapaliny – obr. 4.7 působí obecně síly ve třech na sobě
kolmých směrech, tj. např. ve svislém směru a ve dvou směrech vodorovných na sebe
kolmých. Poněvadţ vodorovné sloţky tlakové síly na těleso se vypočtou stejně jako
vodorovné sloţky tlakové síly na křivou plochu, určí se nejdříve průměty povrchu
ponořeného tělesa. Protoţe se dostane dvojnásobný průmět z obou stran tělesa, bude
výslednice vodorovných tlakových sil na těleso z obou stran stejně velká, stejného směru,
ale opačného smyslu, takţe se tuhostí tělesa ruší. To platí o obou vodorovných sloţkách
tlakových sil. Ve svislém směru bude působit na zvolený objem dV tělesa, jeţ je váleček,
svislá sloţka tlakové síly, jejíţ velikost je dána součtem tlakových sil na plošky dS y (základny
válečku dV). Na horní část válečku působí tlaková síla dF1 = gh1dSy, podobně na spodní
část dF2 = gh2dSy, takţe výslednice svislé tlakové síly je dFy = dF2 – dF1 = g(h2 – h1)dSy =
ghdSy = gdV = dGk, z čehoţ je patrno, ţe tlaková síla kapaliny ve svislém směru na prvek
tělesa o objemu dV se rovná tíze kapaliny, která je tímto elementem vytlačena. Výsledná
tlaková síla na celé těleso se dostane integrací, coţ je součet elementárních tlakových sil,
neboli Fv = gV = Gk.
Výsledek je známý Archimedův zákon: Na těleso ponořené do kapaliny působí
vztlaková síla rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené.
Obr. 4.7 Vztlak tělesa
Na těleso ponořené do kapaliny působí
dvě síly, a to vztlaková síla Fv v těţišti objemu
vytlačené kapaliny, a vlastní tíha tělesa G,
působící v těţišti tělesa.
Podle výslednice F = Fv – G, která působí na
těleso ponořené v kapalině, mohou nastat obecně
tři případy:
G > Fv – tíha tělesa je větší neţ vztlaková
síla, takţe výslednice působí ve směru svislém
dolů a těleso klesá ke dnu.
G = Fv – tíha tělesa je v rovnováze se vztlakovou
silou, výslednice je nulová a těleso setrvává
v libovolné poloze – vznáší se v kapalině.
G < Fv – vlastní tíha tělesa je menší neţ vztlaková
síla, takţe výslednice působí svisle nahoru a
těleso vznáší k hladině. Vynořením tělesa se
zmenší vztlaková síla aţ nastane rovnováha
s vlastní tíhou tělesa, které plave.
23
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
5. Relativní pohyb kapaliny
Při pohybu nádoby s kapalinou mohou nastat případy, kdy kapalina je vůči stěnám
nádoby v klidu. Na kapalinu působí další hmotnostní síly, a to setrvačná od vlastního pohybu
nádoby s kapalinou, které je nutno zahrnovat do podmínek hydrostatické rovnováhy.
V dalším jsou probrány dva jednoduché příklady relativního klidu kapaliny.
Obr.5.1 Kapalina v relativním klidu, přímočarý, rovnoměrně zrychlený pohyb
5.1. Pohyb přímočarý, rovnoměrně zrychlený
Nádoba se s kapalinou pohybuje přímočaře rovnoměrně zrychleně ve vodorovné
rovině. Na kaţdou částečku kapaliny v nádobě působí ve svislém směru tíţe zemská ay = - g
a ve vodorovném směru setrvačné zrychlení ax = - a. Diferenciální rovnice hladinových ploch
je v tomto případě
( 5.1 )
 adx  gdy  0
a její integrál
ax  gy  konst  y  konst 
a
.x  konst  xtg
g
( 5.2 )
Hladinové plochy jsou roviny skloněné, svírající s vodorovnou rovinou (kladná
poloosa) úhel . Z rovnice hladinových ploch je
( 5.3 )
a
a
tg '    tg 180   '  tg neboli tg  ,    '  180
g
g
Z posledního výrazu vyplývá rovněţ, ţe hladinové plochy jsou kolmé na výslednici
hmotnostních sil působících na kapalinu. Pro stanovení tlaku v kapalině je třeba znát aspoň
v jednom místě (tj. alespoň na jedné hladinové ploše) velikost tlaku. Zpravidla jím bývá
rozhraní kapaliny s ovzduším (p0 = konst), jehoţ poloha je závislá na objemu kapaliny
v nádobě. Není-li nádoba zcela naplněná a nevyteče-li kapalina během pohybu ani částečně,
musí být její objem Vk v nádobě za pohybu stejný jako před pohybem(Vk = konst). Skloněním
hladiny v jedné části (pravé) nádoby ubude kapalina, ve druhé (levé) zase přibude. Celková
změna objemu kapaliny musí být nulová, proto úbytek a přírůstek objemu musí být stejně
velký. V případech, kdy nádoba je válcová nebo má tvar hranolu se základnou symetrickou
k ose kolmé na směr pohybu, protíná se rozhraní kapaliny s ovzduším v polovině délky
nádoby. Poloha hladinové plochy tlaku ovzduší se tedy určí z podmínky Vk = konst.
24
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr. 5.2 Hladinová plocha a její poloha
V případě, kdy zrychlení je velké, vystoupí rozhraní kapaliny s ovzduším (p0 = konst)
nad okraj nádoby a část kapaliny vyteče z nádoby. To vyvolá klesání hladiny. Pokles hladiny
ustane aţ hladina bude procházet hranou, přes níţ kapalina začala vytékat. Hladinová
plocha tlaku ovzduší prochází tedy v tomto případě místem, přes které kapalina začala
vytékat - (Vk  konst).
Tlak kapaliny v libovolném místě se vypočte z diferenciální rovnice tlaková funkce, do
níţ se dosadí dříve uvedené podmínky ax = -a ; ay = -g
( 5.4 )
dp    adx  gdy  ; p    ax  gy   konst
Pro zvolený počátek souřadnic (uprostřed dna nádoby) je integrační konstanta dána
touto okrajovou podmínkou: v místě y = h0 ; x  0, je relativní tlak p = 0; je tedy konst = gh0
a tlak v libovolném místě nádoby je určen tlakovou funkcí

a 
p  g h0  y  x 
g 

( 5.5 )
Protoţe
h   xtg  
je
a
x ; h  h0  y
g
p  g h  h  gh
( 5.6 )
Tento výraz je formálně shodný s tlakem v kapalině, na niţ působí jen tíţe zemská.
Avšak veličina h je svislá vzdálenost uvaţovaného bodu od hladiny tlaku ovzduší, coţ je
skloněná rovina. Tento poznatek se dá zobecnit. Vyšetřením hladiny tlaku ovzduší (rozhraní
kapaliny a ovzduší) stává se relativní klid kapaliny případem hydrostatickým, a lze proto
pouţít všechny dříve odvozené poznatky o výpočtu tlaku, tlakové síle na plochy apod.
5.2. Pohyb rovnoměrný, otáčivý
Válcová nádoba naplněná zčásti kapalinou se otáčí rovnoměrně kolem svislé osy.
Předpokládá se, ţe všechny částečky kapaliny se pohybují unášivou rychlostí odpovídající
poloměru, na kterém se nachází. Při otáčivém pohybu působí na kaţdou částečku kromě
tíţe zemské odstředivé zrychlení(u = r.). I kdyţ jde o prostorový pohyb, lze řešit tento
relativní klid kapaliny v rovině, protoţe je stejný ve všech rovinách, které procházejí osou
rotace. Odstředivé zrychlení působící na částečku kapaliny na poloměru r je ac = r.2. Jeho
velikost se mění s poloměrem, a proto výslednice zrychlení bude na různých válcových
plochách různá jak co do velikosti, tak i směru. Je snadné odhadnout, ţe v tomto případě
hladinové plochy nebudou rovinami.
25
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr. 5.3 Rotující nádoba
Protoţe zrychlení jsou
ar  r 2 , ay = -g
( 5.7 )
je diferenciální rovnice hladinových ploch r2dr – gdy = 0. Její integrál je
r 2 2
 gy  konst ;
2
( 5.8 )
otáčení kol osy nádoby
K určení integrační konstanty je okrajová podmínka
r = 0 , y = h0 , čili konst = - gh0 a rovnice hladinových ploch pro zvolený počátek souřadnic je
r 2 2
 g y  h0   0
2
( 5.9 )
coţ je rovnice paraboly. Hladinové plochy jsou rotační paraboloidy. Výška paraboloidu H
měřená na plášti válcové nádoby, tj. na poloměru r = R se určí z poslední rovnice
H  y R  h0 
R 2 2 uR2

2g
2g
(5.10)
Z téţe rovnice se dostane výška paraboloidu hr na libovolném poloměru r
Obr. 5.4 K určení polohy hladinové plochy
26
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
r 2 2 ur2
h  y r  h0 

2g
2g
( 5.11)
Výška rotačního paraboloidu na určitém poloměru je rovna rychlostní výšce na tomtéţ
poloměru. Hladinová plocha tlaku ovzduší se určí stejně jako v předcházejícím případě.
Jestliţe z nádoby nemůţe kapalina vytékat, musí být objem kapaliny před pohybem a za
pohybu stejný. Před pohybem je v nádobě objem kapaliny Vk = SH0 . Za pohybu je objem Vk
= S(h0+H) – Vp , kde Vp značí objem rotačního paraboloidu, který se rovná polovičnímu
objemu opsaného válce, čili Vp =
SH0  S h0  H  
H0  h0 
1
SH . Z posledních rovnic vyplývá při rovnosti objemů
2
1
SH
2
( 5.12 )
1
H
2
To znamená, ţe původní hladina tlaku ovzduší za klidu půlí výšku paraboloidu H,
představujícího novou hladinu tlaku ovzduší.
Tlak v kapalině se určí z diferenciální rovnice tlakové funkce
dp =  (r2dr – gdy)
Po integraci je tlaková funkce
 r 2 2

p  g 
 y  konst 
 2g

( 5.13 )
Okrajová podmínka, která se stanoví po určení nové hladinové plochy tlaku ovzduší,
pro r = 0, y = h0 je p = 0, čili integrační konstanta je konst = h0. Tlaková funkce je tedy

r 2 2 

p  g  h0  y 
2g 

( 5.14 )
Protoţe výška paraboloidu na poloměru r je
hr =
r 2 2
a h’ = h0 – y ,
2g
upraví se tlak rovnice pro tlak kapaliny
p  g hr  h  gh
( 5.15 )
kde h je opět svislá vzdálenost daného místa od hladinové plochy tlaku ovzduší za rotace.
Tento výsledek je shodný jako v předcházejícím případě pohybu.
Rovnici p = gh je moţno povaţovat za obecný integrál diferenciální rovnice pro tlak
funkci. Pro veličinu h platí dříve uvedená definice. K jejímu správnému určení je nutno
vyšetřit hladinové plochy (odpovídající relativnímu klidu) hlavně hladinovou plochu tvořící
rozhraní
kapaliny
s ovzduším
(p0 = konst). Z toho vyplývá praktický význam hladinových ploch. Je třeba připomenout, ţe
při výpočtu tlakových sil omezuje tatáţ hladinová plocha zatěţovací obrazec.
Můţe-li kapalina během pohybu zčásti vytéci z nádoby, nalezne se poloha hladinové
plochy tlaku ovzduší stejně jak bylo určeno dříve: musí procházet místem, kde kapalina
začala přetékat, tj. horním okrajem nádoby.
27
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
5.3. Potenciál intenzity objemových sil
Chceme-li stanovit tlak v bodě B, při známém tlaku v bodě A, pak integrujeme
Eulerovu rovnici hydrostatiky podle křivky spojující body A a B:
B
B
A
A
 dp  pB  pA    axdx  ay dy  azdz
Z teorie víme, ţe výsledek integrace nezávisí na dráze, je-li výraz v závorce úplným
diferenciálem skalární funkce U(x,y,z)
dU  ax dx  ay dy  azdz 
dp

dU 
U
U
U
dx 
dy 
dz
x
y
z
( 5.16 )
Tuto funkci nazýváme potenciálem intenzity objemových sil (resp. potenciálem relativního
zrychlení).
a) Je-li dána potenciální funkce U = U(x,y,z), pak lze přírůstek stanovit snadno jako
přírůstek potenciálů násobený hustotou, aniţ bychom museli řešit křivkový integrál, neboť
U
pB
B
 dp  pB  pA    dU   UB  U A 
pA
( 5.17 )
UA
Přičemţ se předpokládá, ţe objemové síly se nahradí potenciál fci U, pro niţ platí
ax 
U
;
x
ay 
U
;
y
az 
U
neboli a = gradU
z
( 5.18 )
neboť platí
dU =
dp

= axdx + aydy + azdz
Rovnice
( 5.18 ) dostaneme porovnáním obou posledních rovnic.
b) Jsou-li dány sloţky vektoru intenzity hmotových sil
ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z), az = az(x,y,z)
ptáme se, zda v tomto případě existuje potenciál U(x,y,z). Je-li dU úplným diferenciálem, pak
pro smíšené derivace platí rovnice
 2U
 2U

;
xy yx
 2U
 2U

;
yz zy
 2U
 2U

zx xz
( 5.19 )
Vezmeme-li v úvahu rov.
( 5.18 ) dostáváme pro existenci potenciálu i relativní rovnováhy tyto tři podmínky:
ax ay

;
y
x
ay
z

az
;
y
az ax

x
z
28
( 5.20 )
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Hydrodynamika
Hydrodynamika se zabývá pohybem kapalin neboli prouděním. Hydrodynamika
v uţším smyslu slova řeší teoreticky proudění kapalin matematickými metodami. Aplikovaná
hydrodynamika přihlíţí více na skutečné poměry, opírá se o výsledky experimentálních prací
a vyuţívá teoretické poznatky a je nazývána téţ hydraulikou.
6. Klasifikace proudění a základní pojmy
6.1. Základní pojmy
Proudění se vyšetřuje v prostoru, rovině nebo po křivce buď sledováním pohybu
určité částice kapaliny jako hmotného bodu, nebo se sleduje celý proud v určitém časovém
okamţiku.
Dráha neboli trajektorie je obecně čarou, kterou probíhá částice tekutiny. Za
ustáleného proudění se dráhy částic nemění s časem, zatím co u neustáleného proudění
mohou být v kaţdém časovém okamţiku odlišné – obr.6.1.
Obr.6.1 Dráha částice při
neustáleném proudění
Obr.6.2 Proudnice
Obr. 6.3 Proudnice a sloţky
rychlosti
Proudnice p obr. 6.2 jsou obálkou vektorů rychlostí a jejich tečny udávají směr
vektoru rychlosti. U neustáleného prudění vytvářejí proudnice různé částice a nejsou totoţné
s drahami částic. U ustáleného proudění se nemění rychlosti s časem, a proto mají
proudnice stále stejný tvar a jsou totoţné s drahami částic. Matematické vyšetření proudnice
je moţné řešením diferenciální rovnice,
( 6.1)
dx : dy : dz  v x : y y : v z
která vyplývá z podobnosti trojúhelníků sloţek rychlosti a elementárních drah ve směru
příslušných os obr.6.3.
Proudová trubice je tvořena svazkem proudnic, které procházejí zvolenou uzavřenou
křivkou k. Plášť proudové trubice má stejné vlastnosti jako proudnice –obr. 6.4.
Obr.6.4 Proudová trubice
29
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Protoţe směr rychlosti je dán tečnami k proudnicím, je v kaţdém bodě pláště
proudové trubice normálová sloţka rychlosti nulová vn=0. Nemůţe tedy ţádná částice projít
proudovou trubici. Proudová trubice rozděluje prostorové proudové pole na dvě části.
Jednu tvoří vnitřek proudové trubice. Částice tekutiny nemohou přetékat z jedné části
proudového pole do druhého, a proto platí, ţe všechny částice protékající průřezem
S proudové trubice, musí protékat libovolnými průřezy S1, S2, téţe proudové trubice. Jestliţe
průřez proudové trubice S0, dostane se proudové vlákno. Proudová trubice představuje
pomyslné potrubí.
6.2. Rozdělení proudění
Proudění kapalin je moţno rozdělit podle několika hledisek:
A) Podle fyzikálních vlastností kapalin
1. proudění ideální (dokonalé) kapaliny:
a) potenciální proudění (nevířivé) – obr. 6.5 – částice se pohybují přímočaře nebo
křivočaře
po dráhách tak, ţe vůči pozorovateli se neotáčejí kolem vlastní osy. Natočení
částice na křivé dráze je kompenzováno stejně velkým natočeném částice kolem
vlastní osy, ale v opačném smyslu. Mezi potenciální proudění patří rovněţ
potenciální vír, u něhoţ částice krouţí kolem vírového vlákna potenciálně
s výjimkou částice, která tvoří vlákno.- obr- 6.6.
b) vířivé proudění – částice se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os – obr
6.7
Obr.6.5 Potenciální proudění
Obr. 6.6 Potenciální vír
Obr.6.7 Vířivé proudění
2. proudění skutečných (vazkých) kapalin:
a) laminární proudění – částice se pohybují ve vrstvách (deskách), aniţ se
přemísťují po průřezu – obr. 6.8
b) turbulentní proudění, kde částice mají kromě postupné rychlosti turbulentní
(fluktuační) rychlost, jíţ se přemísťují po průřezu.- obr. 6.9
Obr.6.8 Laminární proudění
Obr.6.9 Turbulentní proudění
B) Podle kinematických hledisek:
1. podle uspořádání proudění v prostoru:
30
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
a) proudění třírozměrné neboli prostorové – 3D- veličiny, např. rychlost, jsou určeny
polohou v prostoru v=v(x,y,z)
b) proudění dvourozměrné neboli rovinné – 2 D - v=v(x,y)
c) proudění jednorozměrné – 1D - v=v(s) – proudění po křivce s
2. podle závislosti na čase:
a) proudění ustálené (stacionární) , které je nezávislé na čase v  v (t);

0
t
b) neustálené proudění (nestacionární ), u něhoţ veličiny jsou závislé na čase – v=
(x,y,z,t); v = v(s,t); v = v(t).
6.3. Druhy proudění skutečných tekutin
Jak jiţ bylo uvedeno dříve, skutečná tekutina můţe proudit buď laminárně nebo
turbulentně. Existenci obou proudění názorně ukazuje Reynoldsův pokus – obr. 6.10. Do
proudící tekutiny v kruhovém potrubí se přivádí tenkou trubičkou obarvená tekutina. Při
malých rychlostech proudu zůstane barevné vlákno neporušeno, z čehoţ vyplývá, ţe pohyb
se děje ve vrstvách a částice tekutiny se nepromíchávají.
Zvětší-li se rychlost nad její kritickou hodnotu, dochází k intenzivnímu míšení částic
následkem jejich podruţných (turbulentních) pohybů ve všech směrech. Částice tekutiny
Obr. 6.10. Reynoldsův pokus
neustále přecházejí z jedné vrstvy do druhé, přičemţ dochází k výměně kinetické energie a
jejich rychlosti po průřezu se značně vyrovnávají. Takové proudění je turbulentní. Protoţe při
přemístění částic dochází téţ ke změně hybnosti, coţ se projevuje brzdícím účinkem, bude
výsledný odpor proti pohybu větší neţ odpovídá smykovému napětí od vazkosti při
laminárním proudění.
Obr. 6.11 Rychlostní profil v potrubí
Obr. 6.12 Závislost pz = f (v)
Oba druhy proudění se liší jak rychlostním profilem tak i velikostí hydraulických ztrát.
U laminárního proudění v potrubí je rychlostní profil rotační paraboloid. U turbulentního
proudění se rychlosti částic vyrovnávají intenzivním přemísťováním spojeným s výměnou
31
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
kinetické energie. Rychlostní profil turbulentního proudu v potrubí se proto více podobá
obdélníku, a to tím více, čím větší je turbulence, tj. čím větší je Re číslo – obr. 6.11.
U laminárního proudění je hydraulický odpor proti pohybu lineárně závislý na
rychlosti, u turbulentního prudění je závislý na druhé mocnině rychlosti – obr. 6.12.
Poměry, při níţ dochází ke kvalitativním změnám rychlostního profilu a závislosti
odporu, tj. při přechodu laminárního proudění v turbulentní, jsou pro určité potrubí a tekutiny
dány kritickou rychlostí. Z pokusů i teorie podobnosti vyplývá, ţe přechod laminárního
proudění v turbulentní je určeno Reynoldsovým kritickým číslem. Reynoldsovo číslo jak
bude odvozeno v kap. 18 je definováno vztahem Re 
vd

, kde v je střední rychlost
tekutiny, d je charakteristický rozměr (např. při proudění v potrubí jeho průměr)  je
kinematická vazkost proudící tekutiny. Pro proudění v kruhovém potrubí kritická hodnota
Reynoldsova čísla je Re = 2320.
Při proudění skutečné tekutiny mezi dvěma rovinnými deskami (obr. 6.13) z nichţ
jedna se pohybuje rychlostí u a druhá stojí, mají částice lpící na povrchu desek jejich
rychlosti. To znamená, ţe na pohybující se desce má částice kapaliny rychlost u, zatímco
na stojící je rychlost částice nulová. Pro ostatní částice kapaliny, které proudí v mezeře
mezi deskami, jsou rychlosti rozloţeny lineárně. Pohybující se částice strhává sousední
částice do pohybu v důsledku vazkého tření. Rychlost částice ve vzdálenosti y od stojící
y
. Smykové napětí od vazkosti je podle Newtona vyjádřeno vztahem
h
( 6.2)
dv
u
 

dy
h
desky bude v  u
Obr. 6.13 Rozloţení rychlosti při laminárním
proudění mezi dvěmi deskami
Obr. 6.14 Rychlostní profil a tečné napětí
Třecí síla Ft, kterou působí vazká kapalina desku o ploše St, a kterou je nutno při
pohybu desky překonat, je určena vztahem Ft=St . V obecném případě je rychlost tekutiny
určena funkcí v = v(y), a smykové napětí v libovolné vzdálenosti od stěny Newtonovým
výrazem. Grafické znázornění průběhu rychlosti v = v(y) je rychlostním profilem - obr. 6.13.
Účinek vazké kapaliny na obtékané plochy je závislý na smykovém napětí od
 dv 
 dv 
vazkosti tekutiny  s   
 . Derivace   je směrnicí tečny k rychlostnímu profilu
 dy  y 0
 dy  y  0
na obtékaném povrchu. Při tomto proudění se předpokládá, ţe nekonečně tenké vrstvy
kapaliny klouzají jedna po druhé, takţe se pohybují ve vrstvách – laminárně (lamina-vrstva).
Závislost smykového napětí od vazkosti  v závislosti na gradientu rychlosti v kolmém
 dv 
 -obr.6.15. Sklon udává dynamickou vazkost
směru na pohyb je vyjádřena v grafu   f 
 dy 
kapaliny. Všechny kapaliny, které vyhovují Newtonovu zákonu viskozity, se nazývají
newtonské. V technické praxi se dosti často vyskytují látky, jejichţ závislost smykového
napětí na gradientu rychlosti se nedá vyjádřit Newtonovým vztahem. Říká se jim
32
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
nenewtonské kapaliny či anomální a jejich reologické vlastnosti jsou vyjádřeny křivkami
v diagramu a popsány matematickými modely.
Obr.6.15. Reologické vlastnosti kapalin
Pro ideálně plastickou látku je znám Binghamův vztah
   p  B
( 6.3)
dv
dy
Pro průběhy nelineární se pouţívají mocninové vztahy
 dv 
   p  K  
 dy 
kde
n
 dv 
;   K 

 dy 
n
( 6.4)
K - součinitel konzistence
n - index toku
33
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
7. Proudění ideální tekutiny
7.1. Rovnice kontinuity – spojitosti
Obr. 7.1 Průtočný průřez a rychlost
Rovnice kontinuity, často nazývaná také rovnice spojitosti, vyjadřuje obecný fyzikální
zákon o zachování hmotnosti. Pro kontrolní objem, kterým proudí kapalina, musí být
hmotnost tekutiny konstantní, a tedy její celková změna nulová. U kontrolního objemu mohou
vzniknout dvě změny hmotnosti, a to lokální v kontrolním objemu samém (tekutina se
stlačuje nebo rozpíná) a konvektivní změna hmotnosti, způsobená rozdílem v přiteklé a
vyteklé hmotnosti z kontrolního objemu. Obě změny musí dávat nulovou změnu hmotnosti,
coţ je moţné jen tehdy, kdyţ jsou obě dílčí změny stejně velké, ale opačného znaménka, tj.
jedna znamená zvětšení a druhá zmenšení hmotnosti. Rovnici kontinuity je moţné definovat
také tak, ţe rozdíl vstupující hmotnosti do kontrolního objemu a vystupující hmotnosti
z kontrolního objemu je roven hmotnosti, která se v tomto kontrolním objemu akumuluje.
V technické praxi se nejčastěji vyskytují případy jednorozměrného proudění, méně časté je
pak proudění rovinné či prostorové.
Rovnice kontinuity pro jednorozměrné proudění
Uvaţuje se jednorozměrné neustálené proudění stlačitelné tekutiny proudovou trubicí
s proměnným průřezem - obr.7.1. Z ní se vytkne elementární část ohraničená vstupním
průřezem S a elementární délkou ds. Elementární kontrolní objem tvoří váleček, jehoţ
základnami protéká tekutina. Plášť kontrolního objemu je tvořen proudnicemi, a proto tok
touto částí kontrolní plochy je nulový, neboť platí vn = 0 na celém plášti. Rozloţení rychlosti
po průřezu proudové trubice uvaţujeme rovnoměrné. Při nerovnoměrném rozloţení rychlosti
po průřezu uvaţujeme její střední rychlost.
Na dráze ds se původní rychlost v změnila na velikost (v 
změnila i hustota (  

S
ds ) a průřez proudové trubice (S 
ds ) .
s
s
v
ds ) , podobně se
s
Hmotnost kapaliny, která přiteče do kontrolního objemu za čas dt, je určena vztahem
dms1 = Svdt
Hmotnost kapaliny, která vyteče z kontrolního objemu za čas dt druhou základnou válečku,
tj. ve vzdálenosti ds, je
dms 2  (  

S
v

ds)(S 
ds)(v 
ds)dt  Svdt  ( Svdt )ds
s
s
s
s
Rozdíl přiteklé a odteklé hmotnosti z elementárního objemu je konvektivní změna hmotnosti
v čase dt, která je určena vztahem
(dms )  dms 2  dms1 

( Svdt )ds
s
34
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Na počátku sledovaných změn hmotnosti je v kontrolním válečku hmotnost tekutiny
dmt 1  Sds .
Tato hmotnost tekutiny v kontrolním objemu za čas dt se změní. Protoţe se jedná o lokální
změnu, pro její velikost platí vztah
dmt  

Sv dt
t
Pro splnění zákona o zachování hmotnosti (m = konst) musí být celková změna hmotnosti
dm nulová, proto platí
dm  dms   dmt  

Svdt ds   Sds dt  0
s
t
V obecném případě jednorozměrného proudění tekutiny se předpokládá stlačitelná tekutina
 = (s, t), proměnný průřez proudové trubice S = S(s, t) (např. pruţná trubice, proudění
v kanálech apod.) a neustálené proudění v = v(s, t).
Protoţe časová změna dt a posunutí ds nejsou na sobě závislé (s, t jsou nezávisle
proměnné), upraví se poslední rovnice takto
( 7.1 )

Sv    S   0 .
s
t
Toto je obecná rovnice kontinuity pro jednorozměrné proudění. Pro tuhé potrubí platí S =
S(s) a rovnice (7.1) se dále upraví
( 7.2 )


s
Sv   S
t
0
Další zjednodušení rovnice je pro ustálené proudění, kdy platí

 0 . V tomto
t
případě je hustota, průřez a rychlost jen funkcí souřadnice s:  = (s); S = S(s); v = v(s) a
rovnice kontinuity se zjednoduší

Sv   d Sv   0
s
ds
Po integraci platí pro jednu a tutéţ proudovou trubici
Qm  Sv  konst .
( 7.3 )
Veličina Qm je hmotnostní průtok, tedy hmotnost tekutiny proteklé za jednotku času – kgs-1.
Protoţe rovnice ( 7.3 ) musí platit pro všechny body proudové trubice, pro rovnici kontinuity
proto platí
( 7.4 )
1S1v1 = 2S2v2 = Sv = konst
Pro nestlačitelné kapaliny je hustota konstantní ( = konst), takţe rovnice se
zjednoduší na známý tvar
Qv = Sv = konst.
Veličina Qv je objemový průtok a udává objem kapaliny proteklý za jednotku času – m3/s.
Při nerovnoměrném rozloţení rychlosti po průřezu se dosazují do rovnice kontinuity střední
rychlosti podle průtoku, určené vztahem
vs 
1
vdS
S S
35
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Rovnice kontinuity pro prostorové proudění
Obr.7.2 Elementární kontrolní objem
Při odvození rovnice kontinuity pro prostorové proudění se vytkne v proudovém poli
tekutiny kontrolní oblast ve tvaru hranolku o stranách dx, dy, dz, jehoţ objem je dV = dx dy
dz obr.7.2. Tímto hranolem protéká tekutina rychlostí, jeţ má sloţky ve směru tří souřadných
os x, y, z, které jsou kolmé na elementární plošky zvoleného hranolu. Kontrolní objem se
zvolil velmi malý - diferenciálních rozměrů, aby se rychlosti průtoku elementárními ploškami
mohly uvaţovat konstantní.
Změny hmotnosti při průchodu elementárním kontrolním objemem se vyšetří
postupně ve směrech os x, y, z. Plochy hranolku jimiţ protéká kapalina ve směru osy x, jsou
stejné, a to dSx = dy dz. Tekutina o hustotě  vtéká do hranolku z levé strany rychlostí vx a


vytéká z něho na pravé straně o hustotě   
v
p 
dx  rychlostí (v x  x dx ) . Přiteče tedy
x
x 
do hranolku za čas dt ve směru osy x hmotnost tekutiny
dmsx1  v x dSx dt
a vyteče
v

 p 

v x dSx dt dx
dmx 2   
dx  v x  x dx dSx dt  v x dSx dt 
x
x
 x 

Rozdíl přiteklé a vyteklé hmotnosti kapaliny z hranolu ve směru osy x je
dmsx   dmsx 2  dmsx1 

v x 
( v x dSx dt )dx 
dVdt ,
x
x
coţ platí za předpokladu, ţe průřez dSx nezávisí na souřadnici x.
Obdobné výrazy se dostanou pro průtok tekutiny ve směru os y, z:
dmsy  
v y 
y
dVdt ; dmsz  
v z 
dVdt ,
z
takţe rozdíl přiteklé a vyteklé hmotnosti tekutiny plochami kontrolního hranolku je dán
součtem
36
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
dms   dmsx   dmsy   dmsz  
v y 
v x 
v z 
dVdt 
dVdt 
dVdt
x
y
z
Je-li hmotnost tekutiny v elementárním objemu (hranolu) dmt1 = dV , potom za čas dt
se tato hmotnost změní a tato změna je
dmt  
dm
  
dt 
dVdt
t
t
Jak jiţ bylo řečeno, musí být celková změna hmotnosti v kontrolním objemu rovna nule
dm  dms   dmt  
v y 
v x 
v z 
 
dVdt 
dVdt 
dVdt 
dVdt  0
x
y
z
t
Po krácení výrazem dVdt se dostane rovnice
v x   v y  v z   



0
x
y
z
t
( 7.5 )
To je obecná rovnice kontinuity pro neustálené prostorové proudění stlačitelné tekutiny.
Protoţe platí
div( v) 
v x  v y  v z  v i 
,



x
y
z
xi
dá se přepsat rovnice kontinuity na tvar

 div( v)  0
t
( 7.6 )
Stejná rovnice v tenzorovém zápisu má tvar
 v i 

0
t
xi
( 7.7 )
Takto vyjádřená rovnice kontinuity platí v pevném kontrolním objemu, který se vzhledem ke
zvolenému pravoúhlému souřadnému systému x, y, z nepohybuje.
Rovnice kontinuity se upravuje i do jiného tvaru. Za tím účelem rozepíšeme derivace
ve výrazu pro divergenci a dostaneme
div( v) 
v

v


v
vx   x 
vy   y 
vz   z
x
x y
y
z
z
Dále napíšeme substanciální derivaci hustoty podle času
D  




vx 
vy 
vz
Dt
t x
y
z
pomocí níţ se rovnice kontinuity upravit takto:
v
 v
D
v  D
   x   y   z  
  divv  0
Dt
y
z  Dt
 x
( 7.8 )
Toto je druhý tvar rovnice pro neustálené prostorové proudění stlačitelné tekutiny,
tedy případ, kdy se kontrolní objem vzhledem ke zvolenému souřadnému systému x, y,
z pohybuje.
Pro ustálené proudění se uvedené rovnice zjednoduší. Při ustáleném proudění se
nemění veličiny v čase, proto musí být

 0 a rovnice kontinuity ( 7.6 ) má tvar
t
div( v)  0.
( 7.9 )
Tato rovnice platí pro proudění stlačitelné i nestlačitelné tekutiny v prostoru.
37
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Další zjednodušení se dostane u nestlačitelných kapalin ( = konst). Rovnice kontinuity je
pak vyjádřena vztahem
divv 
v x v y v z


0
x
y
z
( 7.10 )
Stejná rovnice zapsaná v tenzorovém zápisu má tvar
v i
0
xi
( 7.11 )
7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky
Eulerova rovnice hydrodynamiky vyjadřuje rovnováhu sil hmotnostních (objemových),
které působí na tekutinu z vnějšku, tlakových (působících v tekutině) a setrvačných od
Obr. 7.3 Elementární hranolek
vlastního pohybu částic dokonalé tekutiny. V proudící skutečné tekutině vznikají vedle
normálových napětí, tj. tlaků, i tečná napětí, a to všude tam, kde se tekutina nepohybuje jako
tuhé těleso a dochází tedy k deformaci částic tekutiny, tj. částice se vůči sobě posouvají.
Zanedbáme-li tato tečná napětí vzhledem k tlakům, hovoříme pak o proudění dokonalé
(ideální) tekutiny (tj. model tekutiny s nulovou viskozitou).
V proudu dokonalé tekutiny zvolíme elementární objem dV ve tvaru hranolku –
obr.7.3 o stranách dx, dy, dz. Na tento objem tekutiny působí stejně jako v hydrostatice
tlaková díla dFp a vnější tlaková síla dFm. Podle Newtonova zákona výslednice těchto sil se
rovná setrvačné síle
( 7.12 )
Fm  Fp  FS
V kapitole 3 pro sílu tlakovou a hmotnostní pro 1 kg hmotnosti byly odvozeny tyto výrazy:
Fp  
1

grad p
Fm  a0
Setrvačná síla pohybující se částice tekutiny je
38
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
Fs  m
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Dv
Dt
Při proudění 1 kg tekutiny se tato rovnice zjednoduší
Fs 
Dv
Dt
Dosadíme-li výrazy pro síly do rovnice ( 7.12 ), bude rovnováha sil
Dv
1
 a0  gradp
Dt

( 7.13 )
Substanciální derivaci Dv/Dt je moţné upravit takto:
Rychlost v je obecně funkcí polohy částice a času, tedy v  v(x, y, z, t) . Její diferenciál je
dv 
v
v
v
v
dx 
dy 
dz 
dt
x
y
z
t
a zrychlení částice tekutiny se vyjádří rovnicí
Dv v dx v dy v dz v dt v
v
v
v





vx 
vy 
vz 
Dt x dt y dt z dt t dt x
y
z
t
První tři členy představují konvektivní zrychlení a je moţno je vyjádřit pomocí
gradientu jako skalární součin rychlosti v a jejího gradientu, neboť
 v
v
v  v
v
v
vgrad v  iv x  jv y  kv z . i
j
 k  
vx 
vy 
vz
y
z  x
y
z
 x
v
Člen
představuje lokální (místní) zrychlení.
t
Eulerova rovnice hydrodynamiky má pak tvar
Dv v
1

 vgrad v  a0  grad p
Dt t

( 7.14 )
Stejná rovnice uvedená v tenzorovém zápisu má tvar
v i
v
1 p
 v j i  ai 
t
x j
 xi
( 7.15 )
Tuto pohybovou rovnici dokonalých tekutin odvodil poprvé Leonard Euler v r. 1755.
Rozepsáním poslední rovnice pro sloţky ve směru os x, y a z se dostanou tyto rovnice
v x v x
v
v
1 p

v x  x v y  x v z  ax 
t
x
y
z
 x
v y v y
v y
v y
1 p

vx 
vy 
v z  ay 
t
x
y
z
 y
v z v z
v
v
1 p

v x  z v y  z v z  az 
t
x
y
z
 z
V rozepsaných Eulerových rovnicích hydrodynamiky je celkem pět neznámých, a to
sloţky rychlosti vx, vy, vz, hustota  a tlak p. K určení pěti neznámých je třeba pěti rovnic,
z nichţ tři jsou Eulerovy rovnice (pro tři směry os) a dalšími rovnicemi jsou rovnice kontinuity
a stavová rovnice  = f(p) u stlačitelné tekutiny, popřípadě u nestlačitelné tekutiny je  =
konst. Všech pět uvedených veličin závisí na poloze proudící částečky tekutiny a na čase.
Pro určení soustavy rovnic je třeba zadat okrajové a počáteční podmínky.
Eulerova rovnice hydrodynamiky je nelineární parciální diferenciální rovnice, její
integrace je obtíţná i časově náročná, v současné době se řeší numericky. Eulerova rovnice
hydrodynamiky slouţí k odvození Bernoulliho rovnice.
39
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu
Při proudění dokonalé tekutiny působí na její částečky síly, které při posunutí po elementární
dráze ds konají elementární práci (obr.7.4). Sečtením těchto elementárních prací na konečné
délce po proudnici, tj. integrací, získá se vztah prací neboli energií proudící tekutiny. Aby
bylo moţno provést integraci, předpokládá se, ţe vnější hmotnostní síla na jednotku
hmotnosti (neboli vnější zrychlení), které působí na proudící tekutinu, je potenciální Pak se
dá vyjádřit potenciálem U a platí
a0  gradU
Obr. 7.4 Elementární práce při proudění dokonalé tekutiny
a0  gradU  i
U
U
U
j
k
x
y
z
( 7.16 )
Protoţe a0 = (iax + jay + kaz), potom z předcházející rovnice jsou sloţky zrychlení určeny
vztahy
ax 
U
,
x
ay 
U
,
y
az 
U
z
kde potenciál vnějších sil (na jednotku hmotnosti) neboli zrychlení je funkcí polohy.
Dosadí-li se tento výraz do Eulerovy rovnice hydrodynamiky a určí se elementární práce
skalárním součinem sil a posunutí ds, dostane se
v
1
ds  vgradvds  grad U ds  grad p ds
t

( 7.17 )
Pro další úpravu této rovnice odvoďme velikost skalárního součinu gradientu a diferenciálu
dráhy
ds =idx +jdy +kdz.
 U
U
U 
gradU ds   i
j
k
.idx  jdy  kdz  
y
z 
 x
U
U
U

dx 
dy 
dz  dU
x
y
z
Podobně pro ostatní veličiny platí
1

gradpds 
dp

;
vgradvds  v dv
Integrál upravené rovnice
40
( 7.18 )
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
( 7.17 )
2
2
2
2
v
dp
 t ds   vdv   dU   
1
1
1
1
( 7.19 )
pro libovolný průřez proudové trubice je
v2
2
2
v
ds  konst

t
1
 P U  
( 7.20 )
Tato rovnice platí pro neustálené proudění, a to pro určitý časový okamţik. Konstanta má
obecně v kaţdém čase jinou hodnotu.
Pro ustálené proudění se poslední rovnice zjednoduší, protoţe
v
 0 . Integrál
t
Eulerovy rovnice hydrodynamiky po dráze má v tomto případě tvar
v2
2
 P  U  konst
( 7.21 )
coţ je základní Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu.
Veličina P je tlaková funkce, jiţ určíme integrací výrazu

dp

, kdyţ známe stavovou
změnu a její rovnici  = f(p). Pro nestlačitelnou kapalinu je  =konst a tlaková funkce
P
p

 konst . Působí-li na tekutinu jen tíhové zrychlení, je vnější zrychlení ay = -g.
Znaménko záporné je uvedeno proto, ţe kladný smysl zvolené osy je opačný neţ smysl
působení tíhového zrychlení. Příslušný potenciál silového pole (pro tíhové zrychlení) je tedy
U
 g . Potenciál tíhové síly je funkcí jen jedné proměnné U = U(y), pak platí
y
U dU
, neboli dU = -g dy. Integrací se určí potenciální funkce U = - gy + konst = - gh +

y
dy
ay 
konst.
Pro nestlačitelnou kapalinu za působení tíhového zrychlení a pro ustálené proudění je
Bernoulliho rovnice vyjádřena vztahem
v2 p
  gh  konst
2 
( 7.22 )
Tato rovnice představuje zákon zachování energie. První člen
druhý člen
v2
je kinetická energie ,
2
p
odpovídá tlakové energii, třetí člen gh je roven polohové energii hmotnostní

jednotky kapaliny.
Součet kinetické, tlakové, a polohové energie přestavuje celkovou mechanickou energii
kapaliny. Energie vztaţené na jednotku hmotnosti se nazývají měrné energie e 
E
.
m
Jestliţe se rovnice dělí tíhovým zrychlením g, dostane se
v2
p

 h  konst
2g g
( 7.23 )
Tuto rovnici uvedl poprvé v roce 1738 Daniel Bernoulli. Kaţdý člen rovnice
41
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
( 7.23 ) představuje energii vztaţenou na tíhovou jednotku kapaliny a formálně má
rozměr výšky. První člen je znám jako rychlostní výška, druhý člen je tlaková výška a třetí
určuje polohovou (potenciální) výšku.
Vynásobí-li se rovnice
( 7.23 ) součinem g, dostane se

v2
 p  gh  konst
2
( 7.24 )
Kaţdý člen rovnice přestavuje tlak (kinetický, statický, polohový).
Součet všech energií, tj. kinetické, tlakové a polohové je celková mechanická energie
kapaliny, která podle Bernoulliho rovnice je v kaţdém průřezu jedné a téţe trubice
konstantní. Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon o zachování energie při proudění dokonalé
tekutiny za působení tíhového zrychlení.-obr 7.5
Jednotlivé členy rovnice je moţno znázornit jako úsečky. Součet výšek od libovolně
zvolené vodorovné roviny určuje v diagramu čáru mechanické energie a je roven konstantě
v Bernoulliho rovnici
( 7.17 ).
Obr. 7.5 Grafické znázornění Bernoulliho rovnice
2
v
v12 p1
v2 p
p
  gh1  2  2  gh2  ... 
  gh  gH  Y  konst
2

2

2 
( 7.25 )
Bernoulliho rovnice platí pro proudovou trubici, v jejíchţ průřezech je rychlost
rovnoměrně rozloţena. Při nerovnoměrném rozloţení rychlosti je nutno volit proudovou
trubici velmi malých průřezů, aby rozdíl rychlostí po průřezu proudové trubice byl
zanedbatelný. Jinak je nutno přihlíţet k nerovnoměrnému průběhu rychlosti, coţ vyjadřuje
střední rychlost podle kinetické energie.
Do Bernoulliho rovnic je moţno dosadit absolutní tlaky nebo relativní tlaky, avšak na
obě strany rovnice shodně. Budiţ znovu zdůrazněno, ţe rovnice
( 7.23 ) aţ ( 7.25 ) platí pro dokonalou kapalinu, tedy bez vnitřního tření a
nestlačitelnou. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu psaná pro dva průřezy jedné a
téţe proudové trubice obsahuje šest veličin: p1, v1, h1, p2, v2, h2. Hustota kapaliny  se
povaţuje za známou. Aby se pomocí Bernoulliho rovnice určily parametry proudění, musí být
počet neznámých a počet rovnic stejný. Při řešení nejjednoduššího případu lze tedy z
Bernoulliho rovnice vypočíst jednu neznámou. Ostatní veličiny musí být známé. To je
důleţité pro praktické pouţití Bernoulliho rovnice, neboť v proudové trubici se musí nalézt
jeden průřez, v němţ jsou všechny veličiny (p1, v1, h1) známé. Druhý průřez je nutno volit v
42
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
téţe proudové trubici tam, kde je hledaná veličina (např. rychlost v2) a ostatní veličiny (p2, h2)
jsou známé. Při této volbě průřezů proudové trubice lze vypočíst neznámou veličinu. Bude-li
více neznámých veličin, je nutno pouţít rovnici kontinuity, popřípadě další Bernoulliho rovnici
pro jiný úsek proudové trubice.
Polohová (potenciální) energie proudu kapaliny se určuje k libovolně zvolené
vodorovné rovině. Zpravidla se volí ekvipotenciální plocha nulového potenciálu (U = 0) tak,
aby procházela níţe poloţeným průřezem. Jeho výška je pak nulová. Pro body nad rovinou
U = 0 je polohová výška kladná (pro body pod rovinou U = 0 je záporná).
Pro praktické pouţití Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu je moţno shrnout
postup do těchto pravidel:
1. V proudové trubici se zvolí dva průřezy. V jednom průřezu je nutno znát všechny veličiny
(p1, v1, h1). Druhý průřez se volí v proudové trubici v místě, kde je hledaná veličina, přičemţ
ostatní dvě veličiny jsou známé.
2. Rozhodne se o způsobu dosazování tlaků, a to jejich absolutní nebo relativní hodnoty,
avšak do jedné a téţe rovnice se dosazují oba tlaky shodně.
3. Zvolí se libovolná vodorovná rovina, která se povaţuje za ekvipotenciální plochu
nulového potenciálu. Zpravidla se volí tak, aby procházela jedním z vybraných průřezů, a to
nejčastěji níţe poloţeným. Polohové výšky se určí ke zvolené vodorovné rovině.
Nyní se napíše Bernoulliho rovnice a vypočte neznámá veličina.
Pro plyny, které mají v porovnání s kapalinami malou hustotu, převládá tlaková a
kinetická energie, polohová energie se dá vůči nim zanedbat. U plynů je nutno určit tlakovou
energii s přihlédnutím ke stlačitelnosti tekutiny. Pro rychlé děje je nejbliţší adiabatická
změna, při níţ nedochází k výměně tepla tekutiny s okolím.
Stavová rovnice adiabatické změny
( 7.26)
p
= konst = C; p  C 


se diferencuje
dp   .C  1d
a dosadí do tlakové funkce
2
P
1
dp

2
 C  
 1
d 
1

 1
C
 1
2

1

p
2
 1  1
Bernoulliho rovnice pro adiabatické proudění dokonalého plynu pak je
v12
 p1 v 22
 p2



 konst.
2   1 1 2   1 2
Pomocí stavové rovnice
p

( 7.27)
 rT se Bernoulliho rovnice na tvar
v12

v2


rT1  2 
rT2  konst.
2  1
2  1
( 7.28)
Zavede-li se dále rychlost zvuku
a2  rT
potom Bernoulliho rovnice nabývá další tvar
( 7.29)
v12
a2
v2
a2

 2  2  konst.
2  1 2  1
43
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
7.4. Měření místní rychlosti
Obr. 7.6 Princip měření místní rychlosti Pitotovou trubici
Uvaţujeme proudění kapaliny ve vodorovném potrubí podle obr.7.6. Je-li v potrubí
statický tlak p s , pak kapalina vystoupí v piezometrické trubici připojené k otvoru, navrtanému
ps
. Hladina v Pitotově trubici (trubice zahnutá proti
g
směru proudění potrubí) bude výše a její poloha bude závislá jak na přetlaku v potrubí ps ,
tak i na rychlosti proudící kapaliny v . V ústí Pitotovy trubice je místní rychlost v1  0 , a tedy
tlak p1 bude roven tlaku celkovému pc . Rozdíl těchto tlaků pc  ps  pd .Je roven tlaku
1
dynamickému pd, popř. u kapalin pd  q tlaku kinetickému q  v 2 ,
2
kolmo ke stěně a bez otřepů, do výšky
Z Bernoulliho rovnice psaní pro místa 0 a 1
Obr. 7.8 Měření tlakové diference
Obr. 7.7 Prandtlova trubice
44
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
ps


v 2 p1 v12 p1 pc




;
2
 2


VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
v1  0
Pro rychlost kapaliny v místě 0 odvodíme rovnici
v 2
pc  ps

 2
pd

( 7.30)
 2gh
Pitotova trubice měří celkový tlak a je nutno statický tlak měřit piezometrickou trubicí.
Prandtl navrhl trubici, jeţ měří celkový i statický tlak (obr.7.7). Prandtlova trubice je tvořena
válcovým tělesem s půlkulovým ukončením. V ose trubice je otvor pro odběr celkového tlaku
p c , který je vyveden vnitřní trubicí. Statický tlak p s se snímá v dráţce nebo otvoru na plášti
vnější trubice a je vyveden druhou trubicí. Aby tlak p s byl roven tlaku nerozrušeného
proudu, je odběr statického tlaku umístěn ve vzdálenosti rovnající se třem průměrům trubice
od jejího ústí. Pro Prandtlovu trubici pro rychlost platí stejná rovnice jako pro Pitotovu trubici.
– (7.31).
Při měření rychlosti v potrubí s větším přetlakem se pouţije diferenční tlakoměr, např.
U-trubice, která je naplněna měřicí kapalinou o hustotě m   . Dynamický tlak
pd  pc  ps se určí z měření na U-trubici, tj. tlakovou výškou h (obr. 7.8). Pro rovinu 1-1
platí, ţe tlaky v levém i pravém ramenu U-trubice jsou stejné p1L  p1P , takţe platí
ps  gho  mgh  pc  g ho  h
z čehoţ pro rozdíl tlaků platí
pc  p s  gh m   
Rychlost tekutiny je pak určena vztahem
v 2
Jestliţe
pc  ps

 2gh
m  

( 7.30)
m
1, (např. při proudění plynů) pak se rychlost tekutiny vypočte ze

zjednodušeného vztahu
v  2gh
m

( 7.31)
Odklon Pitotovy trubice od směru proudění do + 6o nemá na výsledek měření
v podstatě vliv. Prandtlova trubice umoţňuje odklon od správného směru do + 15o. Při
správném natočení osy trubice do směru vektoru měřené rychlosti je z rovnice vypočtená
rychlost s přesností větší neţ 1%.
Při měření rychlosti u dvourozměrného proudění se pouţívá válcová sonda – obr. 7.9,
která má tři otvory umístěné symetricky v jedné rovině. Rovina otvorů musí být totoţná
s rovinou prouděné. Otáčením sondy se nalezne poloha, při níţ je v otvorech 2 a 3 stejný
tlak p2  p3  . Na stupnici úhlů se odečte otočení sondy z výchozí polohy a určí směr
rychlosti vzhledem ke zvolené souřadné soustavě. Z tlaku p1 , který je roven celkovému tlaku
p c , se určí rychlost tekutiny. Sonda musí být cejchována, neboť otvory 2 a 3 neměří přesně
statický tlak. Jsou zpravidla odkloněny o 45o od osy hlavního otvoru 1.
Kulová sonda obr. 7.10 slouţí k měření rychlosti proudu. Má pět otvoru
symetricky umístěných v kulovitém tělese. Vţdy dva páry otvorů jsou umístěny souměrně
vzhledem ke střednímu otvoru, a to ve dvou kolmých rovinách. Natáčením sondy kolem její
osy (1-4-5) se nalezne poloha, při níţ je ve dvou symetricky umístěných otvorech 2 a 3
stejný tlak.
45
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.7.9 Schéma válcové sondy
Obr. 7.10 Schéma kulové sondy
Z hodnoty tlaku ve středním otvoru a rozdílu tlaků v otvorech 4 a 5 se z cejchovní křivky
odečte velikost rychlosti a její úhel s rovinou 2-1-3. Pro měření místní rychlosti slouţí řada
dalších sond. Pro měření okamţitých hodnot rychlosti je třeba pouţít metod s malou
setrvačnosti, nejrozšířenější je metoda ţhavého drátku, nebo optický anemometr také
nazývaný Laser Doplerovský anemometr (LDA).
Při jednorozměrném proudění např. v uzavřených kanálech nebo potrubích, při
obtékání těles skutečná tekutina na stěně lpí a následkem viskozity je rychlost na stěně
nulová. V ostatním průřezu je rychlost nerovnoměrně rozloţena po průtočném průřezu.
Pitotovou, popř. Prandtlovou trubicí se určuje rychlost v místě, v němţ je čelo trubice.
Posouváním trubice se změří rychlosti, které jsou závislé na souřadnici. Grafické znázornění
průběhu rychlostí po průtočném průřezu se nazývá rychlostní profil.
Obr. 7.11 Určení střední rychlosti
z rychlostního profilu
Obr. 7.12 Princip Venturiho trubice
Má-li se z naměřeného rychlostního profilu vypočítat střední rychlost, zvolí se
v průtočném průřezu vhodný počet bodů – obr. 7.11, ve kterých se změří rychlost. Střední
rychlost se pak stanoví integrací přes celý průtočný průřez
( 7.32)
1
vs 
vdS
S S
Volba počtu bodů nebo rovin je závislá na konkrétních podmínkách a není moţno proto dát
univerzální návod. Je-li rychlostní profil nesymetrický, případně vzniká zpětné proudění, volí
se počet bodů obvykle větší.
46
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
7.5. Měření střední rychlosti a průtoku (průřezová měřidla)
Velmi často se měření průtoku nebo střední rychlosti převádí na měření tlakového
rozdílu mezi dvěma průřezy, z nichţ jeden je zúţen. Klasickým představitelem těchto měřidel
je Venturiho trubice -obr. 7.12 skládající se ze vstupního konfuzoru, krátké válcové části se
zúţeným průřezem a z delšího difuzoru. Zúţení průtočného průřezu způsobuje zvětšení
rychlosti a tím se vyvolá pokles statického tlaku. Tlakový rozdíl je závislý na průtokové
rychlosti (nebo průtoku) a dá se jednoduše měřit.
Napišme Bernoulliho rovnici mezi průřezy 1 a 2 Venturiho trubice s vodorovnou osou
při průtoku dokonalé kapaliny.
p1


v12 p2 v 22


2

2
Dále napíšeme rovnici spojitosti
v1S1  v 2S2; v1d12  v 2d22
Pro diferenciální manometr platí, ţe rozdíl dvou tlaků p=p1-p2 je určen vztahem
p  p1  p2  ghm   
Řešením těchto tří rovnic pro střední rychlost v1 dostaneme výraz
v1 
2gh
m  
 Kv h


( 7.33 )
 d  4
 1   1
 d 2 

Pro průtok platí rovnice
Obr. 7.13 Schéma clony
Obr. 7.14 Schéma dýzy
Při průtoku skutečné tekutiny bude následkem hydraulických odporů skutečná
rychlost menší. Tento vliv se zahrne v součinitelích Kv , KQ . Praktické provedení Venturiho
trubice se provádí podle ČSN ISO 5167-1, kde jsou uvedeny hodnoty součinitelů Kv , KQ
v závislosti na zúţení m  S1 / S2 a velikosti Reynoldsova čísla Re.
Vedle Venturiho trubice se častěji pro měření střední rychlosti nebo průtoku pouţívá
clona – obr.7.13 nebo dýza – obr- 7.14, jejichţ podrobný výpočet uvádí ČSN ISO 5167-1.
47
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
7.6. Stacionární proudění ideální tekutiny potrubím
Obr.7.15 Výtok tekutiny u uzavřené nádrţe
Při výtoku kapaliny z uzavřené nádrţe potrubím konstantního průřezu je třeba
vypočítat výtokovou rychlost. Tato se určí z Bernoulliho rovnice. Kinetická energie na hladině
v tlakové nádobě je nulová, coţ můţe býti splněno za dvou předpokladů. Buď do nádoby
přitéká stejné mnoţství jako odtéká, nebo je nádoba tak rozlehlá, ţe vyteklé mnoţství
kapaliny způsobí prakticky zanedbatelný pokles hladiny. Potenciální energie se vztahuje
vůči vodorovné rovině, procházející těţištěm výtokového otvoru. To má výhodu, ţe pro tento
průřez je potenciální výška nulová. (jinak je moţno volit libovolnou vodorovnou rovinu za
hladinu nulového potenciálu).
Na hladině v nádrţi je tlak p1 rychlost v1=0. Ve výtokovém průřezu je rychlost v 2 , tlak
ovzduší p 2 a polohová výška h2  0 . Pro průřez 1 a 2 napíšeme Bernoulliho rovnici
p1

 gh1 
p2


v 22
2
Z poslední rovnice je moţno vypočíst výtokovou rychlost

p  p2 
v  v 2  2g  h  1

g 

( 7.34)
Za tlak p1 a p2 se dosadí přetlak nebo absolutní tlak.
Kdyţ tlakový rozdíl p1  p 2 bude roven nule, je výtoková rychlost dána výrazem
v  2gh
( 7.35)
coţ je Torricelliho vzorec, který je zvláštním případem Bernoulliho rovnice a byl odvozen
dříve neţ obecnější rovnice Bernoulliho.
Z rovnice kontinuity se učí objemový nebo hmotnostní průtok kapaliny potrubím
Qv  vS;
Qm  vS  Qv
( 7.36)
Poznámka: v uvedeném případě je uvaţována dokonalá kapalina (bez vnitřního tření –
vazkost). U skutečné kapaliny se v důsledku vazkosti spotřebuje část energie kapaliny na
třecí práci. Skutečná výtoková rychlost bude proto menší. Blíţe je o tom pojednáno v další
stati o výtoku skutečných kapalin z nádob.
48
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
8. Proudění vazké tekutiny
8.1. Navierova-Stokesova rovnice
Rovnováha sil při proudění skutečné tekutiny je vyjádřena Navierovými-Stokesovými
rovnicemi. Kromě sil vnějších, tlakových a setrvačných spojených s vlastním pohybem částic
tekutiny, přistupují u skutečné tekutiny třecí síly, které jsou způsobeny viskozitou tekutiny.
Pro matematické vyjádření třecích sil se pouţije Newtonův vztah   
dv
.
dy
Rovnováha sil při proudění skutečné tekutiny lze zapsat ve tvaru
Fs  F0  Fp  Ft
Při vzájemném pohybu částic vznikají ve skutečné tekutině tečná napětí, která způsobují
úhlovou deformaci částic. Na elementární objem skutečné tekutiny v podobně hranolku o
stranách dx, dy, dz působí na jeho plochách smyková i normálová napětí – obr. 8.1
Obr. 8.1 Napětí na elementárním objemu tekutiny
Stanoví-li se rovnováha všech sil působících na elementární objem, dostane se
Navierova-Stokesova rovnice, která ve vektorovém zápise pro nestlačitelnou tekutinu
v pravoúhlém souřadném systému má tvar
v
1
 v.gradv  a0  gradp  v
t

( 8.1)
Tato rovnice se od Eulerovy rovnice hydrodynamiky liší posledním členem na pravé
straně. Tento člen představuje sílu potřebnou k překonání viskozního tření tekutiny.
Při řešení proudového pole se zpravidla určuje rozloţení rychlostí a tlaků. Vedle
pohybové rovnice (8.1) se uplatní i rovnice spojitosti.
V systému diferenciálních Navierových-Stokesových rovnic a rovnice spojitosti jsou
čtyři neznámé veličiny, tj. sloţky rychlosti vx,vy,,vz a tlak p. Pro řešení těchto rovnic musí být
známé vnější zrychlení ao, hustota tekutiny  a okrajové podmínky.
Navierovy-Stokesovy rovnice patří mezi parciální diferenciální rovnice nelineární a
nejsou obecně řešitelné. Analytické řešení je dostupné pro jednodušší případy laminárního
proudění. V současné době i sloţité případy laminárního proudění jsou řešitelné
numerickými metodami např. metodou konečných objemů (metoda sítí).
49
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
8.2. Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu
Obr. 8.2 Bernoulliho rovnice pro skutečnou tekutinu
Rovnováha sil při proudění skutečných kapalin je vyjádřena Navierovou-Stokesovou rovnicí
v
1
 v grad v  a0  grad p  v
t

( 8.2)
Vynásobíme-li tuto rovnici skalárně vektorem dráhy ds  idx  jdy  kdz a za předpokladu
ţe ao  gradU , rovnice energie má tvar
v
1
ds  v grad v.ds  a0 .ds  grad p.ds  v.ds
t

Její integrací obdrţíme pro ustálené proudění, kdy
v
 0 Bernoulliho rovnici pro skutečnou
t
tekutinu
2
v2 p
  U  v.ds  konst.
2 
1
Výraz
2
 .v.ds e z
( 8.3)
1
představuje práci třecích sil na jednotku hmotnosti proudící tekutiny, coţ je rozptýlená
(disipovaná měrná energie, nebo téţ měrná ztrátová energie spotřebovaná na překonání
hydraulických odporů na úseku 1 – 2 proudové trubice. Tato měrná ztrátová energie
zmenšuje mechanickou energii (tlakovou+kinetickou+polohovou) kapaliny a mění se v teplo.
Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné kapaliny, na kterou působí pouze tíhové
zrychlení - U=-g.h má tedy tvar
p1


v12
p
v2
 gh1  2  2  gh2  ez
2

2
v2
Měrná ztrátová energie e z se můţe vyjádřit jako násobek kinetické energie ez  
nebo
2
p
tlakové energii ez  z , popřípadě ztrátovou výškou ez  ghz . Srovnáním uvedených

vztahů se dostane
50
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
pz  ghz  
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
v2

2
( 8.4)
Poslední rovnice vyjadřuje hydraulický odpor tlakovým rozdílem p z, kterému se
tradičně říká tlaková ztráta. Podobně veličina h z , je označena jako ztrátová výška i kdyţ
nejde o ztrátu, ale neţádanou přeměnu mechanické energie v tepelnou. Obě veličiny h z a
p z jsou mírou rozptýlené (ztrátové) energie. Součinitel  je ztrátový součinitel a závisí na
druhu hydraulického odporu či ztráty.
Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu psaná pro průřezy 1,2 proudové trubice
(obr. 9.1) pomocí měrné ztrátové energie e z  ghz je
p1


v12
p
v2
 gh1  2  2  gh2  ghz
2

2
( 8.5)
Kapalina proudí od průřezu 1 k průřezu 2. Ztrátová výška h z zahrnuje všechny
hydraulické ztráty na úseku mezi průřezy 1-2.
Podobně jako při proudění dokonalé tekutiny (obr. 6.5) je moţné znázornit graficky
také Bernoulliho rovnici pro skutečnou tekutinu. Odečtením ztrátové energie pro jednotlivé
průřezy od konstanty Bernoulliho rovnice Yo  gH 0  se určí mechanická energie kapaliny,
tj.součet tlakové, kinetické a polohové energie v uvaţovaných průřezech, která je
znázorněna v diagramu (obr.8.2) příslušnou čarou. Rozdíl mezi čarou celkové energie a
čarou mechanické energie představuje rozptýlenou (ztrátovou) energii. V tepelně izolované
proudové trubici se veškerá rozptýlená energie jako tepelná předává tekutině, čímţ vzrůstá
její vnitřní energie a stoupá teplota tekutiny.
Člen se ztrátovou výškou v rovnici
( 8.5) narušuje symetrii rovnice. Pro správné napsání Bernoulliho rovnice pro skutečnou
kapalinu je třeba se řídit rovněţ třemi pravidly (odst. 6.3), k nimţ přibývá další:
4. měrná ztrátová energie e z  ghz zahrnuje součet všech hydraulických ztrát na úseku
mezi průřezy 1-2, pro něţ se píše Bernoulliho rovnice, a přičte se na té straně rovnice,
která platí pro průřez proudové trubice ve směru proudění vzdálenější.
51
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
9. Laminární proudění
Laminární proudění je podstatně jednodušší neţ turbulentní, v technické praxi se
vyskytuje tam, kde jsou malé průtočné kanály, větší viskozita kapaliny a menší průtokové
rychlosti. Laminární proudění lze řešit integrací Navierových-Stokesových rovnic, sloţitější
případy proudění se řeší numerickými metodami. Jednodušší případy proudění se dají řešit
exaktně a jsou probrány v dalších kapitolách. Při řešení laminárního proudění se uplatňuje
Newtonův vztah   
dv
, který odpovídá skutečnosti, a proto se dosahuje dobrá shoda
dy
s experimentálními výsledky.
9.1. Laminární prudění v kruhovém potrubí
Obr.9.1 Laminární proudění v potrubí
Ve vodorovném kruhovém potrubí zvolíme elementární objem ve tvaru souosého
válečku, viz obr. 9.1. Na takto zvolený objem kapaliny působí síly plošné a to třecí a tlakové.
Objemové síly se neuplatní, protoţe potrubí je vodorovné a proudění je ustálené. Na čelní
plochu zvoleného válečku působí tlak p , který na dráze dx se změní na (p+dp). Těmto
tlakům odpovídá tlaková síla
Fp1  p. .r 2 a Fp2  p  dp .r 2 .
Na plášti válečku působí třecí síla Ft   .2 .r.dx . Všechny uvedené síly musí být za
ustáleného proudění v rovnováze, neboť setrvačná síla je nulová. Pro rovnováhu sil platí
Fp1  Fp2  Ft  0
Dosazením výrazů za jednotlivé síly dostaneme
p. .r 2  p  dpr 2  2 .rdx  0
z čehoţ
( 9.1 )
1 dp
1 pz
r 
r
2 dx
2 L
dp pz

Předpokládá se ,ţe platí
dx
L
 
Z poslední rovnice je zřejmé, ţe smykové napětí je u laminárního proudění rozloţeno
lineárně viz obr. 9.1.
Dosazením Newtonova vztahu pro smykové napětí   
odvodíme diferenciální rovnici rychlostního profilu
dv 
pz r .dr
L 2
a po integrací obdrţíme rovnici pro rychlost
52
dv
do předcházející rovnice
dr
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
v 
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
1 pz 2
r K
4 L
Integrační konstanta se určí z okrajových podmínek na stěně trubice, kde rychlost částic
kapaliny je nulová. Pro r 
1 pz 2
d
je v=0, z čehoţ integrační konstanta K 
d
2
16 L
Po dosazení do obecného řešení je rychlostní profil laminárního proudění v kruhové
trubici vyjádřen vztahem
v
2

1 pz  d 
2
   r 
4 L  2 

( 9.2 )
Maximální rychlost je v ose potrubí (r = 0), a to
v max 
1 pz 2
d
16 L
( 9.3 )
Grafické znázornění rovnice rychlostního profilu v rovině řezu procházejícího osou trubice je
kvadratická parabola. V prostotu představuje rychlostní profil rotační paraboloid. – obr. 9.1
Průtok trubicí se určí integrací elementárního průtoku kapaliny dQv  2rvdr , který
protéká elementárním mezikruţím na poloměru r o šířce dr tlakovým rozdílem p z na délce
trubice L
d
2
d
2
2

 p2  d 
 pz d 4
2
Qv   v .dS   2r .v .dr 
   r  r .dr 
2 L 0  2 
128 L
S
0

( 9.4 )
Tuto rovnici odvodil v roce 1840-1841 Poiseuille, francouzský lékař, který studoval proudění
krve v ţílách. Uvedený výraz platí přesně pro laminární proudění. Experimentálně ověřil
tento zákon prouděním vody ve skleněných kaplilárách. Nezávisle na něm odvodil uvedený
výraz téţ Němec Hagen v roce 1839. Proto se označuje tato rovnice dosti často jako HagenPoiseuilleova.
Střední rychlost podle průtoku se vypočítá ze vztahu
QV   .
d2
 pz d 4
.v s 
,
4
128 L
z čehoţ
vs 
pz d 2
32L
( 9.5 )
Porovnáním střední rychlosti (9.5) a maximální (9.3) vyplývá vztah
vs
1

v max
2
Je
třeba
připomenout,
ţe
laminární proudění v potrubí nastane při
Re Re k  2320 , coţ je současně
podmínkou platnosti Hagen-Poiseuillova
zákona.
Zákon Poiseuilleův platí jen pro
ustálení
laminární
proudění,
kdy
rychlostní profil v jednotlivých průřezech
Obr.9.2 Rozběhová dráha laminárního profilu
je stejný, coţ nastává po určité dráze od
počátku trubice-obr.9.2.Tekutina po vstupu do trubice má rychlostní profil odpovídající
dokonalé tekutině. V prvém okamţiku mají částečky kapaliny u stěny rychlost stejnou jako
v ostatním proudu kapaliny. Teprve stykem kapaliny se stěnou jsou částečky zbrzděny, čímţ
53
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
vznikají rozdíly v rychlostech částic a vznikají tečná napětí od vazkosti mezi jednotlivými
vrstvami proudu. Tak jsou postupně zbrzďovány další částice, v jádru proudu jsou částice
naopak urychlovány. Dráha na níţ se vyvíjí rychlostní profil, se nazývá rozběhovou drahou
laminárního proudu. Pro rozběhovou dráhu uvádí Boussinesq výraz
xr
 0,065 Re , Schiller
d
xr
 0,025 Re.
d
Je zřejmé, ţe k ustálení rychlostního profilu dojde dosti daleko od vstupního průřezu,
takţe v krátkých trubkách se laminární rychlostní profil nevyvine, a proto u nich zákon
Hagen-Poiseuilleův neplatí.
9.2. Laminární proudění mezi rovnoběžnými deskami
Obr.9.3 Laminární proudění mezi deskami
Mezi rovnoběţnými stěnami je tlakovým spádem p  p1  p2 vyvoláno laminární proudění
ve vodorovném směru (obr. 9.3). Předpokládá se izotermické proudění (t= konst), a tedy i
izoviskózní ( = konst.). Vertikální vzdálenost desek je h. Rovnováha sil je vyjádřena
obdobně jako v předcházejícím případě tlakovými a třecími silami. Na hranolek o jednotkové
šířce b=1 a rozměrech dx, dy působí elementární tlaková síla.
dFp  pb.dy  p  dpbdy
a elementární třecí síly
dFt   .bdx    d bdx
Rovnováha sil je vyjádřena rovnicí dFp  dFt  0 , takţe po dosazení za síly se dostane
 b dp dy  b d dx  0
a po úpravě je
d dp

i
dy dx
Z Newtonova vztahu   
dv
se určí derivováním   konst.
dy
d
d 2v

i
dy
dy 2
Porovnáním posledních dvou výrazů obdrţíme diferenciální rovnici pro rychlostní profil

d 2v
dy 2

dp
dx
( 9.6 )
Tlakový úbytek bude přímo úměrný délce L, proto platí
54
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
p  p2 p z
dp p2  p1

 1

i
dx
L
L
L
Po dvojí integraci rovnice( 9.6) se dostane
v 
pz 2
y  K1y  K 2
2L
( 9.7 )
Integrační konstanty se určí z okrajových podmínek. Na stěnách desek částice kapaliny lpí, a
proto mají nulovou rychlost. Pro y=0 a y=h je v=0, z toho K2 = 0
Po dosazení za K2 =0 do rovnice (9.7) dostaneme

pz h z
 K 1h  0
2L
odkud pro K1 platí
K1 
pz h
2L
Po dosazení do obecného řešení se pro rychlost dostane
v
pz
h  y y
2L
( 9.8 )
Rychlostní profil je kvadratická parabola. Maximální rychlost se určí z podmínky pro
maximum, tj.
v max
dv
h
 0. Maximální rychlost je uprostřed vzdálenosti desek h, čili y 
2
dy
h 2 pz

8 L
( 9.9 )
Průtok se určí integrací elementárního průtoku dQv  v b dy
elementární ploškou b.dy
h
Qv  b  v dy 
0
b pz
2 L
, který protéká
b pz 3
2
 hy  y dy  12 L h
h
0
Střední rychlost podle průtoku je
vs 
Qv Qv
h 2 pz


S
b h 12 L
( 9.10)
Poměr střední a maximální rychlostí je
vs
2

v max
3
Proudění v mezeře můţe být ovlivněno kromě tlakového spádu téţ pohybem jedné ze
stěn rychlostí u (obr. 9.4). Pro tento případ se odvodí rychlostní profil z rovnice (9.7) pro
okrajové podmínky y  0, v  0, y  h, v  u . Pak integrační konstanty jsou
u
u p
K1   , K 2    2 h 2
h
2 8L
a po dosazení do rovnice (9.7) je rychlostní profil určen vztahem
2
pz 2  1  y  
 y 1
v
h       u  
2L  4  h  
 h 2
( 9.11 )
Rychlostní profily jsou znázorněny pro oba smysly unášivé rychlosti u na obr. 9.4.
55
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Jestliţe je proudění vyvoláno jen
unášením, pak
pz
 0 a rychlostní
L
profil je lineární
 y 1
v  u  
 h 2
(
9.12 )
Rychlostní profil sloţeného
proudění (vyvolaného
tlakovým
spádem a unášením stěny) určený
rovnicí (9.11) je sečtením rychlostních profilů pro dílčí proudění.- rov (9.8) a (9.12)
Průtok při sloţeném proudění, jehoţ rychlostní profil je určen rovnicí (9.9), se určí
integrací
Obr.9.4 Rychlostní profily sloţeného proudění
h/2
Qv  b
 pz
 v dy   12L h
3
h / 2
 p
1 
1 
 uh b   z h 2  u bh
2 
2 
 12L
( 9.13 )
Střední rychlost sloţeného proudění v mezeře je
vs 
Qv
p
1
 z h2  u
bh 12L
2
( 9.14 )
9.3. Laminární proudění ve válcové mezeře-mezikruží
V hydraulických strojích a zařízeních se často setkáváme s případy, kdy kapalina
proudí válcovou mezerou (průtočný průřez je mezikruţí)-obr.9.5. Tak je tomu u čerpadel,
turbin, šoupátek, ventilů, kluzných loţisek apod. Proudění ve válcové rovině lze řešit pro
malé hodnoty s / d1 jako rozvinutou válcovou mezeru do roviny, čímţ se případ přivede na
proudění mezi dvěma rovnoběţnými.- viz kap. 9.2. Válcové mezery slouţí k těsnění
nejrůznějších částí hydraulických strojů a zařízení, z nichţ jedna koná vůči druhé relativní
pohyb. Nejjednodušší případ nastane, kdyţ obě části jsou v relativním klidu. Vzájemná
poloha obou částí můţe být buď souosá nebo výstřední. Průtok válcovou mezerou lze určit
jako průtok mezi dvěma deskami. Šířka mezery v tomto případě se rovná obvodu kruţnice,
tedy b  d a vzdálenost desek h odpovídá tloušťka válcové mezery, čili h  s . Po dosazení
se dostane průtok:
Qv 
 pz
d.h3
12 L
( 9.15 )
a střední rychlost
vs 
Qv h 2 pz
,

S 12L
( 9.16 )
kde průtočná plocha válcové mezery
je S  ds .
Proteklé mnoţství válcovou
Obr.9.5 Válcová mezera
mezerou závisí na třetí mocnině její
tloušťky, proto je snahou konstruktérů
docílit co nejmenší vůle, aby objemové ztráty byly minimální.
Podobný vliv má výstřednost. Na průtok má téţ vliv výstřednost mezery, která nastane,
jestliţe osy obou válcových ploch o průměrech d a d1 nebudou totoţné. Maximální
výstřednost je emax 
d1  d
. Průtok mezerou s maximální výstředností je 2,5x větší neţ u
2
souosé válcové mezery.
56
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
9.4. Stékání po svislé stěně
Viskózní kapalina, která ulpívá na svislé stěně, stéká po ní vlivem tíhového zrychlení
(obr. 9.6). Předpokládá se izotermické proudění (t = konst), které je také izoviskózní ( =
konst). Na elementární částicí kapaliny o šířce b a rozměrech dx, dy působí tíhové a třecí
síly ve směru osy y. Předpokládá se ustálené rovnoměrné proudění. Výslednice sil ve
směrech os x , z jsou nulové. Na rozhraní stékající vrstvy kapaliny o tloušťce h s ovzduším
je tlak ovzduší p o . Tlak ve stékající vrstvě je konstantní. Rovnováha sil na zvolený
elementární hranolek je vyjádřena rovnicí
 gb dx dy  b dy    d b dy  0
a po úpravě se dostane diferenciální rovnice
d
  g
dx
jejíţ řešení je
   gx  K o
Obr. 9.6 Stékání po svislé stěně
Tečné napětí na rozhraní kapaliny s ovzduším je téměř nulové, tedy pro x  h je   0 , čili
Ko  gh . Průběh smykového napětí ve stékající vrstvě je dán rovnicí
  g h  x 
( 9.17 )
Tečné napětí se vyjádří Newtonovým vztahem   
v
dv
a integrací se určí rychlostní profil
dx
g
x
 h   x  K1
v
2
Na stěně je rychlost nulová, pak pro x  0 je v  0 a integrační konstanta K1  0 .
Rychlostní profil stékající vrstvy kapaliny po stěně je určen rovnicí
v
g
x
 h  x
v
2
( 9.18 )
57
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Průběh rychlosti ve vrstvě je parabolický (9.6). Maximální rychlost je na rozhraní vrstvy
s ovzduším a vypočte se z podmínky pro x  h je v  v max , čili
v max 
gh2
2
( 9.19 )
Průtok vrstvou kapaliny o šířce b se určí integrací elementárního průtoku ploškou dS  bdx
rychlostí v dle rovnice (9.16)
h
Qv  b  vdx 
0
h
gb 
x
gbh3
h

xdx



v 0 
2
3v
( 9.20 )
Pro daný průtok Qv se určí tloušťka vrstvy
h3
3Qv v
gb
( 9.21 )
Střední rychlost ve vrstvě je
vs 
Qv gh2

b h 3v
( 9.22 )
Porovnáním střední rychlosti s maximální rychlostí vyplývá vztah
vs 
2
v max
3
( 9.23 )
58
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
10. Turbulentní proudění
10.1. Vznik turbulence
Jiţ v polovině minulého století Reynolds zjistil a formuloval, ţe se tekutina můţe
pohybovat dvěma kvalitativně zcela odlišnými typy proudění, které pak byly nazvány
laminární a turbulentní. Rozhraní mezi oběma druhy proudění nám udává Reynoldsovo
kritické číslo. Jeho hodnota je závislá na řadě parametrů např. na geometrii proudu,
tlakovém spádu, atd. Pro potrubí kruhového průřezu je spodní mez asi 2 000. Pro ustálené
laminární proudění je charakteristické, ţe se částice tekutiny pohybují po paralelních
drahách, jednotlivé vrstvy se navzájem nemísí (neuvaţujeme molekulární difůzi). Laminární
proud vytékající z vodovodu má hladký povrch jako skleněná tyč. Pro turbulentní proudění
jsou typické pulsace všech veličin např. rychlostí. Trajektorie částic tekutiny jsou
nepravidelné, dochází k intenzivnímu promíchávání celého objemu proudící tekutiny. Povrch
turbulentního proudu vody vytékajícího z vodovodu je proto nepravidelný, "drsný" a proud je
neprůhledný. Okamţité hodnoty všech veličin neustále kolísají kolem střední hodnoty. Pro
technické výpočty v praxi jsou většinou důleţité střední hodnoty zjištěné za dostatečně
dlouhý časový interval jako např. rychlostní profil - tj. závislost střední rychlosti na
vzdálenosti od stěny potrubí - pro výpočet průtoku. Odchylky okamţitých hodnot od středních
můţeme rozdělit na periodické a nahodilé, které nazýváme fluktuace. Např. fluktuace
rychlosti při vyvinutém turbulentním proudění v potrubí dosahuje asi 10 % střední rychlosti.
Přechod laminárniho proudění do turbulentního je ještě stále studovaný, neuzavřený
problém. Za příčinu vzniku turbulentního proudění se povaţuje nestabilita laminárního
proudění při vyšších Reynoldsových číslech. Je-li Reynoldsovo číslo proudu Re větší neţ
Re, kritické neznamená to však ještě, ţe by laminární proudění nemohlo existovat, ale je
nestabilní a i malé poruchy proudění, vznikající např. ve vstupním průřezu téměř neustále,
mohou být příčinou zhroucení laminárního proudu (analogický jev je štíhlá tyč namáhaná na
vzpěr), neboť tyto odchylky od střední hodnoty exponenciálně narůstají. Je-li Reynoldsovo
číslo menší neţ Re kritické, jsou tyto poruchy viskozitou tekutiny utlumeny.
Při postupném zvyšování Reynoldsova čísla, např. zvyšováním rychlosti proudění v
potrubí, nedochází zpravidla ke změně proudění náhle – skokem, nýbrţ v určitém, i kdyţ
relativně malém intervalu Reynoldsových čísel - v potrubí kruhového průřezu asi od 2 000 do
4 000. Při určitých hodnotách Reynoldsova čísla se v potrubí objevují zprvu krátké úseky
turbulentního proudu vystřídané delšími úseky laminárního proudění (turbulentní
zátky).Tento typ proudění se nazývá intermitentní proudění. S rostoucím Re jsou úseky
turbulentního proudu stále delší a laminárního kratší aţ postupně laminární úseky zcela
zmizí. Při průtoku potrubím se čelo turbulentní zátky pohybuje rychleji neţ její týl a zátka se s
rostoucí vzdáleností od vstupního průřezu stále více prodluţuje, aţ se v dostatečné
vzdálenosti od vstupu do potrubí objevuje jen turbulentní proudění, i kdyţ se Reynoldsovo
číslo proudění nemění.
Při turbulentním proudění je pak propustnost potrubí menší neţ by mohla teoreticky
být při laminárním reţimu. Avšak turbulentní proudění je stabilnější.
S laminárním a turbulentním prouděním se setkáme nejen při průtoku tekutin potrubím, tj. při
vnitřních úlohách mechaniky tekutin, nýbrţ i při obtékání těles, tj. při vnějších úlohách
mechaniky tekutin.
10.2. Charakteristiky turbulentního proudění
Slovo turbulence znamená zmatek, nepokoj, neukázněnost, nepravidelnost,
nahodilost, divokost, bouřlivost. Zatím není jednotná definice turbulentního proudění,
v jednotlivých definicích se zdůrazňují zpravidla jen některé znaky. Turbulentní proudění je
trojrozměrný, časově proměnný pohyb tekutiny, pň němţ kaţdá veličina např. rychlost, tlak,
hustota, teplota ap. (pokud není z některých důvodů konstantní) se mění více méně
nahodile. Náhodné (chaotické, stochastické) rysy turbulentního proudění jsou dominantní.
Nelze však asi definovat turbulentní proudění za "zcela nahodilé", jednak i turbulentní
proudění je popisováno základními rovnicemi pro prostorové proudění, viz kap. 19, jednak
59
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
turbulentní proudění obsahuje uspořádané skupiny vírů zvané "koherentní struktury". K
těmto poznatkům se dospělo během posledních několika desítek let, díky stále se
zdokonalujícím experimentálním metodám. Vyvstává nyní otázka, zda je nahodilost fluktuací
postačující k tomu, aby turbulentní proudění bylo popisováno statistickými metodami, nebo
zda Ize najít, jiné vhodnější metody. V praxi se mohou vyskytnout proudění, u kterých
budeme na rozpacích, zda je zařadit do kategorie turbulentního nebo neturbulentního
proudění. Periodická proudění (např. vlny na vodní hladině) se nepovaţují za turbulentní
proudění.
Pro turbulentní proudění jsou, stručně shrnuto, charakteristické:
1) Fluktuace rychlosti, tlaku a případně dalších veličin.
2) Víry o různých velikostech, od největších s rozměry srovnatelnými s velikostí proudu
tekutiny jako např. poloměrem potrubí, jeţ se deformují, promíchávají a rozpadají aţ po
nejmenší o průměru setin mm, jeţ jsou silně tlumeny viskozitou tekutiny a jejichţ
kinetická energie se přeměňuje ve vnitřní tepelnou energií.
3) Nahodilost (stochastičnost, chaotičnost) změn je dominantní, i kdyţ i ve vyvinutém
turbulentním proudění bylo prokázáno, ţe existují uspořádané skupiny vírových struktur,
vyznačující se náhodnými fluktuacemi fázového posunu.
4) Samobuzení. Jednou vzniklé turbulentní proudění se dále udrţuje samo tím, ţe vytváří
nové víry, které nahrazují víry, jeţ jsou vlivem viskozity disipovány.
5) Promíchávání (difuzivita) je mnohem intensivnější neţ při laminárním proudění
(směšování způsobené pohybem molekul), nebot' turbulentní směšování je způsobeno
velkými víry, pohybujícími se ve všech třech směrech na mnohem větší vzdálenosti, neţ
je střední volná dráha molekul.
Pro měření časově proměnných veličin bylo třeba vyvinout speciální přístroje s malou
setrvačností, neboť spektrum fluktuací se pohybuje od 1 Hz do 100 kHz. Např. pro měření
okamţitých rychlostí, resp. sloţek, nelze pouţít Prandtlovu trubici (měří střední hodnotu),
nýbrţ termoanemometr se ţhaveným drátkem, nebo laserový anemometr. Tyto přístroje
převádějí rychlost na elektricky měřitelné veličiny. Na oscilografu pak získáme např. záznam
okamţitých hodnot sloţek rychlostí ve směru x a y v určitém místě jako funkci času. Průběh
vx a vy povaţujeme za náhodný – obr. 10.1 a můţeme ho charakterizovat těmito veličinami:
Obr.10.1 Časový průběh rychlosti
Střední hodnotou vx resp. vy za čas T např.
T
vx 
1
v x dt
T 0
(10.1)
Okamţitou hodnotu vx lze pak vyjádřit jako součet hodnoty střední v x a fluktuační v x (nyní
povaţujeme periodickou sloţku rovnu nule)
( 10.2 )
v x  v x  v x .
60
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Z rovnice (10.1) plyne, ţe střední hodnota střední hodnoty je rovna střední hodnotě v x  v x
a pak střední hodnota fluktuací je rovna nule
T
1
v x   v x dt  0
T0
( 10.3 )
Intenzita turbulence charakterizuje relativní velikost amplitud fluktuací rychlosti
vzhledem ke
střední hodnotě rychlosti např. pro směr x
x 
v x2
.
vx
( 10.4 )
Intenzita turbulence při vyvinutém proudění v potrubí kruhového průřezu je závislá na směru
- podélné fluktuace jsou větší neţ příčné, v ose mají minimum, maximum je v těsné blízkosti
stěny a na stěně jsou rovny nule. Intenzita turbulence je definována stejně jako variační
koeficienty v matematické statistice – obr. 10.2.
Obr.10.2 Rozloţení turbulence v potrubí, x-ová sloţka je podélná – axiální, y-ová je radiální
U stochastických jevů není jednoznačná závislost mezi dvěma nebo více veličinami, jako je
tomu u deterministických závislostí, coţ se projevuje jako v detailech odlišné výsledky
opakovaných experimentů. Existuje však určitá pravděpodobnost, ţe hodnotě jedné veličiny
odpovídá určitá hodnota druhé veličiny. Tato závislost můţe být těsná nebo volná, případně
ţádná. Stupeň závislosti udává korelační součinitel. Z průběhu korelačních součinitelů lze
pak určit různá měřítka turbulence. Např. délkové makroměřítko charakterizuje efektivní
rozměr vírů, atd.
10.3. Matematický popis turbulentního proudění
Přímé modelování s vyuţitím Navier-Stokesových rovnic, viz kap. 19, bude ještě dlouho
kabinetní záleţitost. Pro praktické pouţití se vyuţívají
1) Statistické teorie. Přenosové jevy v turbulentním proudu mají dominantní náhodný
charakter a bylo přirozené pouţít k jejich popisu nástroje matematické statistiky. Jiţ v
minulém století Reynolds upravil Navierovy - Stokesovy rovnice pro turbulentní proudění
tak, ţe nahradil okamţité hodnoty veličin jejich středními hodnotami a fluktuacemi. Dostal
61
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
tak tři nové rovnice, nazývané po něm Reynoldsovy rovnice, se šesti novými neznámými
typu
( 10.5 )
  v v 
ij
i
j
  je
kde indexy i a j postupně nahradíme symboly pro souřadné osy x, y, z· Výraz viv j
střední hodnota součinu fluktuačních sloţek rychlostí. Pravé strany rovnice ( 10.5 ) mají
rozměr napětí a nazývají se Reynoldsova (zdánlivá) turbulentní napětí. Protoţe nyní počet
neznámých převyšuje počet rovnic, není soustava rovnic uzavřená, a hledají se stále nové
moţnosti uzavření soustavy. Tímto směrem se zde nebudeme více zabývat.
2) Semiempirické modelování středních turbulentních veličin. Tento směr se soustřeďuje na
stanovení veličin jeţ mají význam pro inţenýrskou praxi, jako např. pole středních
rychlostí, tečná napětí, ap. První pokus řešení turbulentního proudění předloţil
Boussinesq (1877), který zavedl zdánlivou (vírovou) viskozitu A , jeţ je analogií
dynamické viskozity tekutiny. Na rozdíl od ní není zdánlivá viskozita látkovou vlastností,
nýbrţ je funkcí souřadnic a je závislá na geometrii a dalších charakteristikách
proudového pole. Pro rovinné turbulentní proudění lze pak zdánlivé tečné napětí vyjádřit
rovnicí
t  A
dv x
dy
( 10.6 )
a výsledné tečné napěti v turbulentním proudu bude rovno součtu
    A
dv x
.
dy
Ve své době měl velký význam model přenosu hybnosti (Prandtl, 1925), vycházející z
analogie s kinetickou teorií plynů. Analogií střední volné dráhy molekul byla tzv. směšovací
délka, kterou bylo nutno určit experimentálně. I tato veličina byla funkcí souřadnic, resp.
geometrie proudového pole. Fluktuace rychlostí, resp. zdánlivé tečné napětí, bylo úměrné
součinu směšovací délky a místního gradientu střední rychlosti. I přes velmi hrubé
předpoklady byl získán významný a dodnes uznávaný výsledek - logaritmický rychlostní
profil, obr. 10.3.
( 10.7 )
v
v z  ln y  K1 ,

kde v *   0  = konst pro daný případ proudění. 0 je tečné napětí na stěně,  je hustota
tekutiny. Druhá odmocnina z podílu těchto dvou veličin má rozměr rychlosti a nazývá se třecí
rychlost v* , y je odlehlost od stěny potrubí,  je tzv. Kármánova konstanta, jejíţ hodnota se
pohybuje kolem 0,4 a K1 je integrační konstanta. Tento tzv. logaritmický zákon neplatí
v blízkosti
stěny,
neboť
na
stěně,
pro
y = 0, dává nekonečně velikou rychlost. Ani integrační konstantu nemůţeme jako obvykle
stanovit z podmínky, ţe na stěně tekutina lpí a rychlost je nulová. Prandtl a Kármán proto
později rozdělili turbulentní proud v blízkosti stěny na tři oblasti, t.j.- obr. 3.10.
a) vazkou podvrstvu, v těsné blízkosti hladké stěny, kde převaţuje viskózní tečné napětí
nad zdánlivým turbulentním napětím, nebot' příčné sloţky fluktuačních rychlostí jsou
stěnou tlumeny. Tato vrstva byla původně nazývána laminární podvrstvou, ale
experimenty bylo prokázáno, ţe se v ní vyskytují fluktuace. Tato vrstva je velmi tenká,
zlomky milimetru, ale má velký význam při přestupu tepla. Rychlostní profil je přímkový.
b) turbulentní jádro proudu, v určité vzdálenosti od stěny uţ tečné napětí způsobené
viskozitou tekutiny je zanedbatelně malé ve srovnání se zdánlivým turbulentním napětím.
V této oblasti platí logaritmický zákon, v této formě zvaný zákon stěny.
c) přechodová vrstva je ta část proudu, kde obě tečná napětí způsobená viskozitou nebo
turbulentním směšovacím pohybem jsou řádově stejně veliká a rychlost plynule přechází
z přímkového na logaritmický zákon.
62
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Na základě experimentů provedených v hladkých trubicích byly stanoveny i neznámé
konstanty v logaritmickém zákoně:
vx
vy
 5,75 log *  5,5 .
v*

( 10.8 )
V literatuře zabývající se turbulencí se zavádí bezrozměrná rychlost
v 
vx
v*
( 10.9 )
a bezrozměrná odlehlost od stěny
y 
v*y
.
v
( 10.10 )
Logaritmický zákon má pak tvar
v   5,75 log y   5,5
Obr.10.3 Turbulentní rychlostní profil
a je znázorněn v semilogaritmických souřadnicích na obr.10.3.
Jestliţe integrační konstantu K1 v rovnici ( 10.7 ) určíme z podmínky pro osu trubice, pro níţ
je odlehlost od stěny rovna poloměru trubice y = r0 a rychlost je zde rovna maximální
rychlosti v x  v max , dostaneme po úpravě rovnici pro tzv. deficit rychlosti (také defekt
rychlosti) v max  v x coţ je úbytek rychlosti vzhledem k rychlosti v ose:
v max  v x
r
 5,75 log 0 .
v*
y
( 10.11 )
Z rovnice vidíme, ţe deficit rychlosti nezávisí na drsnosti, coţ bylo potvrzeno i
experimentálně.
Známe-li rovnice rychlostního profilu středních rychlostí v r  a dokáţeme-li integrací
po průřezu stanovit objemový průtok Qv, střední objemovou rychlost po průřezu v  Qv S a
poměr maximální rychlosti na ose průřezu ku střední objemové rychlosti v, tj. rychlost, kterou
jsme dosazovali do rovnice kontinuity a do Bernoulliovy rovnice a stejně jako dříve ji budeme
63
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
označovat prostým písmenem v, pak můţeme teoreticky odvodit i součinitele třecích ztrát při
turbulentním proudění. Z podmínky rovnováhy psané pro elementární částici tekutiny ve
tvaru válečku o průměru rovném průměru potrubí d a délce dx.
 0ddx  dp
d 4
( 10.12 )
4
(odkud můţeme vypočítat i třecí rychlost jako funkci tlakového spádu dp/dx) a z upraveného
Weisbachova vzorce
dp
v2
,
 
dx
2d
( 10.13 )
kde v je střední objemová rychlost po průřezu, obdrţíme výraz udávající závislost součinitele
třecích ztrát na veličinách jeţ závisí na tvaru rychlostního profilu
8

0

v
2
 v 
 8 
v 
2
( 10.14 )
Poznámka: Místo logaritmického zákona se v turbulentním proudění pouţívá také staršího
empirického mocninového zákona, obr.10.4
1n
y
vx
( 10.15 )
   ,
v max  r0 
kde v max je maximální rychlost tj. rychlost v ose potrubí, jehoţ poloměr je r o. Exponent n
není konstanta, ale mění se s Reynoldsovým číslem od 7 do 10 a s drsností potrubí.
Obr.10.4 Turbulentní rychlostní profil v obyčejných souřadnicích.
Výše uvedené dva modely turbulence mohou poskytnout pouze střední hodnoty
sloţek rychlostí, případně součinitel turbulentních třecích ztrát. Nedokáţí stanovit další
důleţité veličiny, jeţ charakterizují turbulenci jako jsou např. Reynoldsova napětí, kinetická
energie turbulentních fluktuací k  1/ 2 vx2  vy2  vz2 atd. Tyto veličiny však spíše spadají


do problematiky statistických modelů a bude o nich pojednáno v kap. 19.
64
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
11. Hydraulický výpočet potrubí
Hydraulický výpočet potrubí je zaloţen na aplikaci rovnice kontinuity, Bernoulliho
rovnice pro skutečnou kapalinu na určení hydraulických odporů, neboli hydraulických ztrát.
11.1. Hydraulické odpory (ztráty)
Při proudění skutečných tekutin vznikají následkem viskozity hydraulické odpory, tj.
síly, které působí proti pohybu částic tekutiny. Mechanismus hydraulických odporů je sloţitý
jev, který se dosud nepodařilo exaktně vyřešit aţ na jednodušší případy laminárního
proudění. Proto se v hydraulických výpočtech uplatňuje řada poloempirických metod.
Obr.11.1 Tlakový spád a tečné napětí
Práce třecích sil (tečných napětí od viskozity) při proudění skutečných tekutin
způsobuje rozptyl (disipaci) energie, coţ sniţuje mechanickou energii proudící tekutiny.
Rozptýlená energie se mění v teplo (zvětší se vnitřní energie tekutiny, popřípadě okolí), coţ
je nezvratná změna. Tradičně se proto rozptýlená energie nazývá ztrátová, i kdyţ název
neodpovídá zákonu o zachování energie. Rozptýlenou (ztrátovou) energii vztahujeme
obvykle na jednotku hmotnosti, tíhy nebo objemu a platí vztah
ez  Yz 
pz

 ghz  
v2
2
(11.1 )
Pod pojem hydraulické odpory zahrnujeme při proudění skutečné tekutiny všechny
účinky, které způsobují rozptyl energie. Rozptýlená (ztrátová) energie na hydraulických
odporech se projeví buď jako tlakový úbytek (vynucené proudění v potrubí apod.), nebo
úbytkem kinetické energie (výtok z nádob otvory apod., anebo sníţením polohové energie
(proudění v korytech, gravitační potrubí apod.) – obr. 11.1.
Hydraulické odpory se dělí na odpory třecí a místní. Třecí odpory jsou
charakteristické tím, ţe závisí na délce potrubí, kanálu, apod. Ztrátový součinitel třecího
odporu je přímo úměrný délce potrubí L. Místní odpory vznikají v místech, kde se mění
velikost rychlosti (změna průtočného průřezu), směr rychlosti (zakřivené potrubí), popřípadě
velikost i směr rychlosti (armatury) a dochází přitom k odtrţení proudu a vzniku vířivé oblasti.
Ztrátový součinitel  místního odporu závisí na geometrii uvaţovaného místa (změny
průřezu, zakřivení apod.) a na proudění (druh kapaliny, rychlost). Tlaková ztráta p z je rozdíl
tlaků na délce potrubí l (u třecího odporu) nebo rozdíl před místním odporem a za ním.
Fyzikálně představuje rozptýlenou energii objemové jednotky proudící tekutiny. Ztrátová
výška hz představuje rozptýlenou energii vztaţenou na tíhovou jednotku proudící tekutiny.
65
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
11.2. Třecí ztráty v potrubí
Laminární proudění. U laminárního proudění pro Re2320 se velikost tlakové ztráty či
ztrátové výšky dá odvodit analyticky. Při řešení vyjdeme z rovnice (9.2) pro střední rychlost
vs 
pzd 2
32.L
Z rovnice vypočítáme tlakovou ztrátu a provedeme úpravu
32Lv 64 L v 2
64 L v 2




vd d 2
Re d 2
d2
pz 

kde
vd
Re 

  
;
Potom tlakový spád je určen rovnicí
pz  
( 11.2 )
L v2

d 2
kde třecí součinitel je určen vztahem

( 11.3 )
64
Re
Pro ztrátovou výšku platí
hz 
( 11.4 )
pz
L v2

g
d 2g
Výše uvedené rovnice platí pro newtonské tekutiny a s dostatečnou přesností i pro potrubí
s poměrnou drsností do   0,05 . Jak dokázaly experimenty je odchylka od vypočtených
hodnot menší neţ 1%. To ovšem předpokládá vyvinutý rovnoměrný rychlostní profil. Při
nerovnoměrném rychlostním profilu, který je způsoben např. místním odporem, jsou třecí
ztráty větší, a to o 10 aţ 30%, pro třecí součinitel platí modifikovaná rovnice
( 11.5 )
A

Re
kde A = 70 aţ 85. V těchto případech je Rek = 1600.
Turbulentní proudění. U turbulentního proudění je tečné napětí větší a proto jsou ztráty
třením větší neţ u laminárního proudění. Vyjadřuji se stejným způsobem, tj. ztrátovou výškou
hz nebo tlakovou ztrátou pz jako u laminárního proudění ( tzv. Darcy-Weisbachova rovnice)
( 11.6 )
L v2
pz  
d 2

( 11.7 )
pz
L v2
hz 

g
d 2g
Součinitel tření  je závislý na velikosti Reynoldsova čísla Re a relativní drsnosti  
  f Re, 
kde
Re 

k
d
( 11.8 )
vd
- Reynoldsovo číslo
v
k
- relativní drsnost stěny
d
k - je absolutní drsnost stěny potrubí
66
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Rovnice pro třecí součinitel se nedá řešit analyticky, proto musela být stanovena
experimentálně. Pro hladké potrubí k  0 , v roce 1913 odvodil Blasius empirický vztah
( 11.9 )
0,3164
( Rek  Re  8.104 )
 4
Re
Nikuradse pro hladké potrubí udává podle výsledků pokusů vzorec

Re6.10 
1
( 11.10 )
4
2 logRe    0,8
2
Vliv drsnosti potrubí
vyšetřoval
Nikuradse
v letech 1930 aţ 1933.
V experimentech
pouţil
bronzové potrubí kruhového
průřezu
o
různých
průměrech. Nejprve provedl
měření v hladkém potrubí.
Potom měnil drsnost potrubí
nalepením
tříděných
pískových zrn. Výsledky
měření
jsou
uvedeny
v diagramu na obr. 11.2.
Křivky pro různé poměrné
drsnosti kr se odpoutávají od
přímky
Blasiovy,
která
představuje
průběh
Obr. 11.2 Nikuradseho diagram λ =(Re,ε)
součinitele tření pro hladké potrubí. S rostoucím Reynoldsovým číslem přecházejí v soustavu
čar rovnoběţných s vodorovnou osou. Z obr. je patrné, ţe od určitého Reynoldsova čísla,
které závisí na poměrné drsnosti, má součinitel tření hodnotu stálou a nezáleţí na Re.
V této oblasti – zvané vyvinuté turbulentní proudění – vyjádřil Nikuradse součinitel
tření vztahem

1
d


 2 log  1,138 
k


2
k

 Re  191,2  .
d

;
( 11.11 )
Mezi oblastí hydraulických hladkých potrubí a oblasti vyvinutého turbulentního
proudění je oblast přechodová, v níţ součinitel tření  závisí jak na Reynoldsově čísle, tak
na poměrné drsnosti. Pro tuto oblast bylo různými autory odvozeno několik desítek rovnic,
nejčastěji se však pouţívá vzorec, který odvodil Colebrook

1
2

 2,51
2 log
 Re 

;

 2,51
 2 log
 
 Re 
1

k
  0,27  .
d

( 11.12 )

k
  0,27 
d

Tato rovnice je implicitní a  se musí řešit iterací. Proto byly v posledních letech mnoha
autory odvozeny pro  explicitní vzorce. Jako příklad je uvedena rovnice odvozená
Churchillem
1
12

 8 
1
 ,
 
a  b 1,5 
 Re 
12
  8 
( 11.13 )
67
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin

  7  0,9

a   2,457 ln 
  0,27 
  Re 




VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
16
16
 37530 
b
 .
 Re 
Absolutní drsnost potrubí k závisí na druhu materiálu, zpracování a provozních podmínkách
(koroze, eroze). Podle zkušeností různých autorů jsou v tab 1.11 uvedeny drsnosti
vybraných materiálů.
Tabulka 1.11 Absolutní drsnost materiálů potrubí
Absolutní drsnost potrubí k
Materiál potrubí
Původní stav
(mm)
0,0015 aţ 0,003
0,04 aţ 0,1
0,03 aţ 0,12
0,05 aţ 0,1
0,15 aţ 0,5
Taţené trubky mosazné, měděné, hliníkové
Bezešvé trubky ocelové
Taţené trubky ocelové
Svařované trubky ocelové
Pozinkované trubky ocelové
Vodovodní potrubí po 20-ti a více letech
v provozu
Skleněné trubky, trubky z plastů
0,001 5 aţ 0,01
Pryţové hadice
0,01 aţ 0,03
Betonové potrubí
0,3 aţ 6,0
Korodovaný stav
(mm)
0,003 aţ 0,1
0,1 aţ 0,9
0,12 aţ 0,9
0,1 aţ 0,9
0,5 aţ 3,5
0,6 aţ 3,0
Zdrsnění vnitřních stěn potrubí vytvářel Nikuradse uměle tříděným pískem. Tato
umělá drsnost, která je téměř rovnoměrná, se však liší od skutečné drsnosti, která je
nerovnoměrná. Proto průběh součinitele tření v přechodové oblasti se u přirozené drsnosti
odlišuje od průběhu pro umělou drsnost, jak to potvrdily Colebrookovy experimenty. – obr.
11.3.
Obr. 11.3 Třecí odpor v potrubí s přirozenou
a umělou drsností
Obr. 11.4 Druhy drsností
Kromě absolutní velikosti výstupků nerovnosti k má velikost součinitele tření
podstatný vliv téţ tvar těchto výstupků. Rozlišují se dvě drsnosti, a to drsnost, která je
způsobena ostrými a krátkými výstupky a druhá vlnitá drsnost, která je způsobena
zaoblenými nerovnostmi tvaru dlouhých vln – obr. 11.4. U drsnosti prvního druhu závisí
součinitel tření více na poměrné drsnosti a méně na Re-čísle. U vlnité drsnosti závisí
součinitel více na Re-čísle a méně na poměrné drsnosti.
Výsledky měření třecího součinitele  různými autory, především Colebrooka, jsou
na obr 11.5.
68
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.11.5 Moody-Colebrook diagram = f(Re, kr)
Z diagramu   f Re, k r  je patrné, ţe pro turbulentní proudění se křivky pro různé
drsnosti přimykají při niţších číslech Re k Blasiově přímce.
Od určité hodnoty Re se odpoutávají a přibliţují se vodorovné přímce. V turbulentním
proudění se u stěny potrubí vytvoří vazká podvrstva , která přikrývá nerovnosti povrchu –
obr. 11.6.
Z hlediska vlivu drsnosti na součinitel tření
 se rozděluje turbulentní proudění na tři oblasti
1.
Hydrodynamicky hladká stěna – v tomto
případě vazká podvrstva zakryje nerovnosti
povrchu, tyto nemají vliv na ztrátu třením a
v potrubí jsou hydraulické odpory tření jako
v hladkém potrubí. Takový obtékaný povrch se
nazývá hydrodynamicky hladký (obr. 11.6) k  p .
Obr. 11.6 Hydrodynamický hladký
povrch
2. Oblast přechodová – v ní nerovnosti povrchu
začínají vyčnívat z vazké podvrstvy. Tato oblast
je charakterizována tím, ţe součinitel tření je
závislý na Re a poměrné drsnosti -   f Re,   .Tato oblast podle obr. 11.5 leţí mezi
Blasiovou přímkou a vodorovnými přímkami pro různé drsnosti.
3. Oblast vyvinutého turbulentního prudění – v tomto případě je tloušťka laminární podvrstvy
malá, takţe nezakryje nerovnosti obtékaného povrchu. Třecí součinitel  je závislý na
poměrné drsnosti . V obr. 11.5 je tato oblast charakterizována vodorovnými přímkami pro
různou poměrnou drsnost.
Nekruhové průtočné průřezy. Laminární proudění (vzhledem k platnosti Newtonova
zákona pro tečné napětí od viskozity) v nekruhových potrubích se dá řešit matematicky. U
laminárního proudění se třením o stěny potrubí zbrzdí částice v celém průtočném průřezu.
„Mezní vrstva“ vyplňuje celý průtočný průřez a jeho tvar má vliv na rozloţení rychlosti neboli
69
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
rychlostní profil. Proto je nutno pro kaţdý průřez odvodit vztah pro třecí ztráty a nelze je
přepočítat z jednoho průřezu na druhý.
U turbulentního proudění v potrubí se vliv třecích sil na obtékaných stěnách omezí na
podstatně menší vrstvu, která ve srovnání s charakteristickými rozměry průtočného průřezu
je velmi malá. Tloušťka mezní vrstvy u turbulentního proudu závisí především na Re čísle.
Jestliţe tvar průtokového průřezu potrubí nemá v podstatě vliv na součinitel tření, jsou ztráty
třením turbulentního proudění v potrubí nekruhového průřezu určeny stejnými vzorci jako pro
kruhové potrubí. Místo průměru d kruhového potrubí je však třeba dosadit ekvivalent pro
nekruhové průřezy, pomocí něhoţ se vypočte Re-číslo, součinitel tření a ztrátová výška.
Tento ekvivalent se nazývá hydraulický průměr – dh a je určen vztahem
dh  konst
S
O
Konstantu úměrnosti je moţno zvolit. Výhodně se stanoví z podmínky, aby
hydraulický průměr kruhového potrubí dh byl roven jeho průměru d čili dh=d. Protoţe
dh  k
S

a u kruhového potrubí je průtočný průřez S  d 2 a omočený obvod
O
4

dh  k 4
d2
d
k
O  d je
d
4
Z rovnosti d h 0  d vyplývá konstanta k  4 . Je tedy hydraulický průměr definován vztahem
dh  4
S
O
( 11.14 )
Ve výrazu je S průtočná plocha a O je omočený obvod průřezu. Hydraulický průměr
d h je tedy ekvivalent nekruhového průřezu a představuje kruhové potrubí o světlosti d  dh ,
v němţ jsou stejné hydraulické ztráty jako v nekruhovém průřezu. Hydraulický průměr se
můţe dosadit do výrazu pro poměrnou drsnost, do Reynoldsova čísla a do výrazu pro
ztrátovou výšku
hz  
1 v2
;
d h 2g
  f Re, kr ; Re 
vd h
;
v
kr 
k
dh
( 11.15 )
Z toho je patrné, ţe výpočet ztráty třením v nekruhovém potrubí (turbulentní proudění) je
shodný s výpočtem téţe ztráty v kruhovém potrubí. Pro přechod laminárního proudění
v turbulentní v nekruhových průřezech se uvaţuje Re k stejné jako u kruhového potrubí.
11.3. Místní odpory (ztráty)
V kaţdém potrubí bývají vedle rovných úseků i různá kolena, odbočky, armatury,
měřící zařízení, čističe, chladiče apod., kromě toho se můţe měnit průřez potrubí. V těchto
částech potrubí dochází ke změně velikosti i směru rychlosti proudění, coţ vyvolá víření,
popřípadě odtrţení proudu kapaliny spojené s rozptylem energie. Energie proudící kapaliny
se rozptyluje v místě potrubí, kde dochází ke změně vektoru rychlosti, proto je rozptyl
nazván místními ztrátami.
Velikost místních ztrát se vyjadřuje obdobně jako ztráta třením rychlostní výškou a
ztrátovým součinitelem
hzm   m
v2
2g
( 11.16 )
nebo jako měrnou ztrátovou energií
ez  ghz   m
v2
2
( 11.17 )
70
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Ztrátový součinitel  m závisí na druhu místní ztráty, konstrukčních parametrech,
drsnosti stěn, tvaru rychlostního profilu a na reţimu proudění. Vliv Re-čísla se projevuje –
obdobně jako u třecích odporů – především při malých hodnotách Re-čísla.
Při velkých Re-číslech je ztrátový součinitel odporů konstantní. Sloţitost jevů
spojených s vířením v místních odporech způsobuje to, ţe teoretické stanovení ztrátového
součinitele místních odporů je nedostupné (kromě jednoduchých případů). Proto se ztrátový
součinitel  určuje experimentálně. Takto určená závislost ztrátového součinitele platí jen ve
stejných podmínkách, za nichţ byl měřen, nebo ve fyzikálně podobných případech.
Místní odpory v potrubí se mohou vyjádřit ekvivalentní délkou l e potrubí, v němţ je
ztráta třením stejná jako místní ztráta. Z rovnosti ztrátových výšek

v2
l v2
 e
2g
d 2g
se určí ekvivalentní délka potrubí
le 

d

( 11.18 )
Za součinitel tření a průměr se dosadí hodnoty platné pro rovný úsek potrubí. Při
změnách průřezu se mění průtočná rychlost a místní ztráty se mohou vyjádřit v závislosti na
přítokové v1 nebo odtokové rychlosti v 2 - obr. 11.7.
hz   1
v12
v2
 2 2
2g
2g
( 11.19 )
Z této rovnice vyplývá vztah pro přepočet ztrátových součinitelů
2
v 
S 
 1   2  2    2  1 
 v1 
 S2 
2
( 11.20 )
Upravený pomocí rovnice kontinuity S1v1  S 2 v2 . Pro kruhové průřezy platí
4
4
d 
d 
 1   1   2;  2   2   1
 d2 
 d1 
( 11.21 )
Ztráta náhlým rozšířením průřezu.
Obr.11.7 Náhlé rozšíření průřezu
p2t  p1 
v
2

2
1
 v 22

Při náhlém rozšíření
průřezu se odtrhne proud
kapaliny od stěn a vytvoří se
víry obr. 11.7. Na délce
rozšířeného potrubí se proud
kapaliny rozšíří znovu po
celém průřezu. Se změnou
rychlostí je pojena změna
tlaku. Při rozšíření průřezu
klesá střední rychlost, a
proto musí stoupnout tlak.
Pro dokonalou tekutinu, která
by neměla ztráty třením ani
vířením, je dán tlakový rozdíl
Bernoulliho rovnicí
Teoretický tlak v průřezu 2 je označen p 2t a je menší o tlakovou ztrátu spojenou
s rozšířením průřezu. Při proudění skutečné tekutiny v potrubí a kanálech není rozloţení po
71
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
průřezu rovnoměrné, a proto kinetická energie takového proudu je větší, neţ odpovídá
hodnotě vypočítané ze střední rychlosti podle průtoku, jak bylo odvozeno dříve.
Při nerovnoměrném rozdělení rychlostí jsou ztráty při náhlém rozšíření průřezu větší
neţ při rovnoměrném. Následující výpočet se provede pro rovnoměrný rychlostní profil.
K výpočtu hybnosti je třeba správně volit kontrolní objem, který musí zahrnovat celou oblast,
v níţ se mění rychlost proudu. V uvaţovaném případě tvoří kontrolní objem válec omezený
průřezy 1 a 2. Brzdicí síla ve směru proudu je dána rozdílem tlakových sil v průřezech 1 a 2.
Protoţe tlak v průřezu je konstantní, je brzdicí síla, která vyvolá změnu hybnosti, dána
výrazem


F  p2  p1 S2
Tlak v průřezu 1 těsně za rozšířením je stejný jako těsně před rozšířením, protoţe
proud kapaliny se nerozšířil, a tím i tlak se tedy nezměnil. Brzdicí síla F se rovná změně
hybnosti kapaliny proteklé v jednotce času. Hybnost v průřezu 1 je dána výrazem
H1  v12S1, podobně v průřezu 2 je H2  v 22S2 . Průtok kapaliny průřezy 1 a 2 je stejný.
Hybnostní věta F  Qm v má tvar
p2  p1S2  S2v 2 v1  v 2 
Tlakový rozdíl je určen Bernoulliho rovnicí pro skutečnou kapalinu,
p2  p1 
v
2

2
1

 v 22  ghz
Odečtením posledních dvou rovnic se dostane po úpravě výraz pro ztrátou výšku náhlým
rozšířením průřezu při uţití rovnice spojitosti v1 S1  v2 S 2
 S 2
v12  v 22  v 22
2


hz     1  2
v 22  2g
 S1 

Další pravou dostaneme
S
 v 2  S  v 2 v  v 2
hz   2  1 2  1  1  1  1 2
2g
 S1
 2g  S2  2g
2
2
( 11.22 )
Tento vzorec bývá nazýván Bordův (1766) nebo Carnotův. Ztrátový součinitel pro náhlé
rozšíření je určen pro průtokovou rychlost v1 (označen  1 ) a odtokovou rychlost v 2 (označen
 2 ) těmito výrazy:
2
  d 2 

S1 
 1  1    1   1  
  d 2  
 S2 
2
2
 d 2 
 S2

 2    1   2   1
 d1 

 S1

2
( 11.23 )
Ztráta náhlým rozšířením průřezu je způsobena víry v oblasti mezi odtrţenou
S2
je ztráta větší neţ vypočtená hodnota,
S1
neboť se můţe rozptýlit celá rychlostní výška. Vtéká-li kapalina rychlostí v 1 z potrubí do
velké nádrţe, v níţ je rychlost v 2 zanedbatelná, rozptýlí se celá kinetická energie kapaliny.
proudnicí a stěnami. Při velkém poměru průřezů
Ztráta náhlým zúžením průřezu.
K této ztrátě dochází v místě náhlého zúţení průřezu, kde se zúţením vyvolá
zrychlení kapaliny. Proud kapaliny nemůţe následkem setrvačnosti sledovat tvar stěn
potrubí. Matematické řešení ztráty zúţením vychází ze změny hybnosti kapaliny. Postup
odvození je obdobný jako pro náhlé rozšíření. Pro ztrátovou výšku se odvodí rovnice
72
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.11.8 Náhlé zúţení průřezu
 S v2  S  v2
p1  p2 v12  v 22  S1
v2
v2

 
 1 1 1  1  2  2   1 1   2 2
( 11.24 )
g
2g
S1  2g
2g
2g
 S2
 S2 2g 
Ztrátový součinitel  vztaţený na přítokovou rychlost v1 nebo odtokovou rychlost v2 je
hz 
 S1
S
 1 1
 S2
 S2
 1  

S 

1
 2  1  2 
S

Ztráty v difuzorech. Při ztrátě náhlým rozšířením bylo dokázáno, ţe dochází ke značným
ztrátám způsobeným odtrţením proudu a vířením. Ztráty mohou být podstatně zmenšeny,
jestliţe přechod z menšího průřezu na větší bude pozvolný, jak je tomu u difuzoru. Difuzor se
pouţívá hlavně tam, kde je třeba přeměnit kinetickou energii proudu na tlakovou (u
podzvukových rychlostí) s nejmenšími ztrátami. Je známo, ţe velmi malým rozšířením
průřezu se mění znatelně proudění, a to zejména rychlostní profil, který je tím více protaţen
ve směru proudění, čím je úhel rozšíření větší (obr. 11.9). Do úhlu rozšíření   6 aţ 8o
zůstává protaţený rychlostní profil symetrický k ose difuzoru. Při dalším zvětšení úhlu se
proud účinkem tlakového gradientu odtrhne od stěny a symetrie proudu se poruší.
Při úhlech rozšíření
 = 10o aţ 50o nastává
odtrţení proudu zpravidla
od jedné stěny, na níţ je
rychlost
menší.
Proto
nemůţe dojít k odtrţení
proudu na protější stěně.
Rychlostní profil se stane
nesymetrickým.
Nesouměrnost proudu je
často
doprovázena
nestabilním
odtrháváním,
Obr.11.9 Kuţelové potrubí (difuzor)
coţ vyvolá kmitání proudu
(pulsace) a tvoření vírů.
o
o
V difuzorech s většími úhly rozšíření neţ 50 aţ 60 nemůţe proud sledovat stěny
difuzoru a odtrhává se po celém průřezu. Odtrhávání od stěny je doprovázeno menšími
pulsacemi proudu. V rozšiřující se troubě nebo kanále vzrůstá smykové napětí následkem
zvýšení turbulence, coţ způsobuje zvýšení ztrát. Rovněţ pulsace přispívají ke zvýšení ztrát.
Nastává-li odtrţení proudu v difuzoru, jsou ztráty způsobeny převáţně vzniklými víry.
Všechny ztráty mohou doprovázet ztrátu třením v difuzoru. Celkové ztráty v difuzoru je
moţno rozepsat na ztrátu třením a ztrátu spojenou se změnou průřezu, takţe hzd  hzt  hzr .
Skutečný tlakový rozdíl na difuzoru je dán rozdílem tlaků v rozšířeném a počátečním
průřezu a musí splňovat Bernoulliho rovnici pro skutečnou tekutinu čili
v12 p1 v 22 p2



 ghz
2

2

p2  p1  
73
v12  v 22
 ghzd
2
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Protoţe ztrátová výška se dá vyjádřit rychlostní výškou v průřezu 1, je ztrátový součinitel
difuzoru dán výrazem
2
2
2
v 
v 
S 
h
p p
p p
 d 1  zd2  1   2   1   2   2 2 1  1   1   2 2 2 1
v1
v
v1
 v1 
 v1 
 S2 
 1
2g
2
Podobně se určí ztrátový součinitel difuzoru vztaţený na odtokovou rychlost v 2 :
2
d2
2
v 
h
p  p S 
p p
 zd2   1   1  2 2 2 1   2   1  2 2 2 1
v2  v2 
v 2
v 2
 S1 
2g
Pro dokonalou tekutinu (bez ztrát) je tlakový rozdíl mezi průřezy 1 a 2 větší,
p2  p1  
v12  v 22
2
Účinnost difuzoru, s níţ se mění kinetická energie na tlakovou, je dána poměrem skutečného
rozdílu tlaku k teoretickému, to je
d 
p2  p1
p p
2
p2  p1
2
p2  p1
 22 12 

2
2
2
p2  p1
v  v2
v 22
 S1  v1
 S2 
 1
   1
1   
2
 S2 
 S1 
( 11.25 )
Hydraulické ztráty v difuzoru jsou spojeny se změnou průřezu, a proto je lze vyjádřit
v poměru ke ztrátě náhlým rozšířením – rov. 11.22.
r 
hzd
hzd

hzn v1  v 2 2
2g
Součinitel  r se nazývá stupeň rázu. Při rostoucím úhlu rozevření difuzoru, kdy změna
průřezu přechází v náhlou změnu, se stupeň rázu blíţí hodnotě jedna.
Hydraulické ztráty v difuzorech se dají vyjádřit třemi způsoby:
v  v 
v2
v2
  d1 1   d 2 2   r 1 2
2g
2g
2g
2
hzd
( 11.26 )
Ztrátové součinitelé  d 1,  d 2 a stupeň rázu  r se určí měřením. Pro vzájemný přepočet
součinitelů  d1 ;  d 2;  r , slouţí rovnice
2
2
2
 S  S 

S 
 d 1  2   1    2    d 2  1  1   r
 S2   S1 
 S2 
( 11.27 )
nebo
2
2
2
 S  S 
S 
 2   1    2   2   d1   2   r
 S2   S1 
 S1 
( 11.28 )
Kuželové potrubí. Při zuţování průřezu je hydraulická ztráta způsobena rovněţ třením a
lze ji určit integrací na elementární délce kuţelového potrubí. – obr. 11.10. Ztráta třením na
elementárním úseku dx určena vztahem
dhz  
dx v 2
d 2g
Celková ztráta se určí integrací diferenciální rovnice, přičemţ je nutno uvaţovat
změnu průměru a rychlosti po délce kuţelového potrubí. Rovněţ součinitel tření  se mění
74
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
s Re-číslem, avšak v malém rozmezí, takţe se uvaţuje střední hodnota  s jako konstanta.
Průměr d se mění se souřadnicí x podle vztahu
d
d2
d
x  1x;
l2
l1
l 2 d2

;
l1 d1
l2
d2

l d1  d 2
který vyplývá z podobnosti trojúhelníků (obr. 11.10). Z rovnice kontinuity vyplývá pro rychlost
2
2
d 
l 
v  v2 2   v2 2 
d 
x
Dosazením do výrazu pro dhz se dostane
Obr.11.10 Kuţelové potrubí (konfuzor)
dhz 
l
v 22 1 dx
s
d 2 2g l x 5
2
l 25

a po integraci je ztrátová výška v kuţelovém potrubí
hz 
1
l v2  l4  1
l
s 2 2 1  24  = s
4 d 2 2g  l1  4 d1  d2
 d24  v 22
v 22
1  4 


2
 d  2g
2g
1 

( 11.29 )
Z poslední rovnice vyplývá výraz pro ztrátový součinitel ztráty v kuţelovém potrubí
1
l
2  
4 d1  d 2
 d 24 
s
1  4  
 d 

1 

8tg
2
  d 4 
1   2  
  d1  
( 11.30 )
Změna směru proudění. V kaţdém potrubním systému se zpravidla vyskytuje prvek,
v němţ se mění směr rychlosti tekutiny. Tento prvek tvoří zakřivené potrubí, oblouky, kolena
a také kombinace oblouků. V těchto prvcích dochází k rozptylu energie, která se vyjadřuje
místní ztrátou změnou směru proudění.
Obr.11.11 Síly na elementární části proudu v zakřiveném potrubí
75
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
K vytvoření představy proudění v zakřiveném potrubí je uţitečné si povšimnout
proudění dokonalé kapaliny v kruhovém oblouku. Předpokládá se, ţe kapalina přitéká ke
kolenu konstantní rychlostí rozloţenou po celém průřezu 1 –1 rovnoměrně (obr. 11.11).
Následkem zakřivení drah působí na částice kapaliny odstředivá síla, která musí být
v rovnováze s tlakovou silou. Aby vznikla tlaková síla působící do středu křivosti, musí na
větším poloměru r působit větší tlak. Toto lze dosáhnout v souladu s Bernoulliho rovnicí tím,
ţe se rychlost částice sníţí. Pro elementární částicí kapaliny o rozměrech ds, dr , která se
pohybuje ve vodorovné rovině na poloměru r a má jednotkovou šířku, je rovnováha tlakové a
odstředivé síly dFp  dFc vyjádřena rovnicí
dpds 
v2
dm
r
Hmotnost elementární částice je dm   ds dr . Pro všechna vlákna na různých
poloměrech r , která vycházejí z průřezu 1-1, kde rychlosti a tlaky jsou rovnoměrně
rozloţeny, platí Bernoulliho rovnice
v2
 konst
 2
z čehoţ dp   v dv .
p

dp

 v dv  0
Dosazením výrazů pro diferenciály dp a dm do rovnice vyjadřující rovnováhu sil se
úpravě dostane
po
dv dr

0
v
r
Integrací se dostane lnv  ln r  ln k neboli vr  konst.
To je zákon potenciálního víru. Závislost rychlosti v a poloměru r je graficky
znázorněna rovnoosou hyperbolou. – obr. 11.12. V provedené úvaze a výpočtech nejsou
zahrnuty třecí síly od viskozity, které se budou uplatňovat při průtoku skutečné kapaliny.
Z hyperbolického rozloţení rychlostí je patrné, ţe mezi částicemi kapaliny jsou relativní
rychlosti, které u skutečných kapalin vyvolávají tečné napětí úměrné rozdílům rychlostí.
Skutečná tekutina nemůţe tedy protékat kolenem jako dokonalá kapalina, pro niţ byly
odvozeny uvedené výrazy. Částice pomalejší budou brzdit částice
rychlejší, přičemţ u skutečné
kapaliny se částice přemisťují na
větší nebo menší poloměr. Vzniká
sloţitý (spirálový) prostorový pohyb.
Součástí tohoto proudění je vířivé
proudění
v příčném
řezu,
charakteristické
dvěma
víry
opačného smyslu. Proud na vnitřní
hraně kanálu se můţe odtrhnout,
takţe vznikají víry i u stěn (obr.
11.13). Průběh tlaku na vnitřní a
vnější stěně kolena je vyznačen na
obr. 11.13. Čárkovaná přímka
znázorňuje průběh tlaku v přímém
potrubí. V diagramu je vyznačena
tlaková ztráta pz a její sloţky
Obr. 11.12 Rychlostní profil v oblouku
odpovídající třecím ztrátám ( pzt ) a
víření ( pzv ).
76
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.11.13 Proudění v zakřiveném potrubí
Obecně je tedy závislost ztrátového součinitele vyjádřena funkcí
R

,  , Re, geom.t var 
d

o  f 
Obr.11.14 Schéma armatur
Četné výsledky měření ztrátového součinitele jsou uvedeny v literatuře. Jejich
výsledky se dosti rozcházejí, protoţe v zakřiveném potrubí má vliv mnoho parametrů, které
nejsou stejně dodrţeny ve všech experimentech.
Odpory v armaturách. Armatury (ventily, šoupátka, kohouty a klapky) slouţí k uzavření
potrubí nebo k regulaci průtoku či tlaku (obr. 11.14). Při zcela otevřených uzávěrkách mají
být ztráty co nejmenší. Při plném otevření mají nejmenší odpor šoupátka a kohouty. U ventilů
jsou ztráty větší (aţ 25 krát) a závisí na zakřivení proudnic ve ventilovém tělese. Hydraulický
odpor je způsoben jednak třením, ale hlavně vířením. Deskou šoupátka, ventilu, klapky nebo
tělesem kohoutu se zuţuje průtočný průřez. Proud kapaliny nesleduje okrajovými
proudnicemi přesně změny průřezu a dochází k odtrţení proudnic a vniku vířivých oblastí.
Tyto jevy vyvolávají hydraulický odpor spojený s rozptylem energie.
Ztrátový součinitel se zjišťuje měřením. Obecně závisí na konstrukčním provedení
armatury, na jejím poměrném otevření a na Re-čísle. Charakteristický průběh ztrátového
součinitele je znázorněn v diagramu na obr. 11.15. pro šoupátko.Protoţe armatury
představují proměnný odpor – obr. 11.15, pouţívají se velmi často v technické praxi pro
regulaci průtoku tekutin
77
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.11.15 Ztrátový součinitel šoupátka
11.4. Gravitační potrubí
Gravitační potrubí obr. 11.16 spojuje dvě nádrţe A,B se spádem h. Potrubí se
předpokládá dlouhé, a proto převládají hydraulické ztráty třením, ztráty místní se zanedbají.
Uvaţuje se potrubí jednoduché s konstantním průměrem d a délky l. Nádrţe jsou rozlehlé,
rychlosti na hladinách jsou velmi malé, spád h je tedy konstantní. Obě nádrţe a gravitační
potrubí tvoří proudovou trubici, pro kterou můţeme napsat Bernoulliho rovnici, která napsaná
pro průřezy 1 a 2 má tvar
p0

 gh 
po

 ghz
neboli h  hz
Toto je rovnice pro gravitační
potrubí, u kterého se potenciální
energie spotřebuje na překonání
hydraulických ztrát. Protoţe
převládají hydraulické ztráty
třením,
s vyuţitím
DarcyWeisbachovy
rovnice
se
předcházející rovnice upraví
Obr.11.16 Gravitační potrubí
hz  
l v2
h
d 2g
Poměrný spád je určen poměrem
2
h  v2
 Q 
8 Qv2
i 

   2
l d 2g 2gd  S 
 g d5
( 11.31)
Protoţe poměrný spád je malý, proto platí i 
tg  sin   .
78
h h
 , neboť pro malé úhly  je
L l
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Pokud není vliv místních ztrát zanedbatelný, potom Bernoulliho rovnice mezi průřezy
1 a 2 se zapíše ve tvaru
2
l   le  v 2
 l
v
h  hz       

d
2g
 d
 2g
Zde le je ekvivalentní délka potrubí nahrazující místní ztráty (viz kap. 11.3)
11.5. Jednoduché potrubí s nádrží
Pro jednoduché potrubí – (obr. 11. 17) délky l, průměru d, pro průřez 1 a 2
za předpokladu , ţe nádrţ je rozměrná – v10 platí Bernoulliho rovnice
Obr. 11.17 Jednoduché potrubí
2
v2
v2 
l
 v
1   c 
gh 
 ghz 
1       
2
2 
d
 2
V rovnici jsou uvaţovány ztráty třením i ztráty místní -
c  
( 11.32)
  . Celkový ztrátový součinitel
l   le
l
   
d
d
zahrnuje ztráty třením a všechny ztráty místní (vtok do potrubí, oblouky, armatury apod).
Místní ztráty je moţné vyjádřit také pomocí ekvivalentní délky – lek.
Jednoduché potrubí je určeno pro hydraulický výpočet čtyřmi veličinami: délkou
potrubí l, průměrem potrubí d , spádem h a rychlostí v nebo průtokem Q . Současně jsou
známé fyzikální vlastnosti tekutiny, absolutní drsnost stěny potrubí, třecí součinitel  a
ztrátový součinitel všech místních ztrát. Jedna ze čtyř veličin l  d  h  v nebo Q můţe být
určená řešením rovnice (11.33) při čemţ pro třecí součinitel je vhodné volit explicitní rovnici,
aby nebylo nutné  počítat iterací.
Obr. 11.18 Čára tlaku pro jednoduché potrubí
79
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Při návrhu potrubí je nutné vzhledem ke spolehlivé činnosti potrubí dodrţet důleţitou
podmínku a sice, ţe osa potrubí vţdy leţí pod čarou tlaku. Pro definování čáry tlaku
předpokládejme vodorovné potrubí s nádrţí – obr. 11.18.
Odečteme-li od hladiny v nádrţi rychlostní výšku
v2
a spojíme-li takto vzniklý bod
2g
s koncem potrubí dostaneme čáru tlaku. Protoţe u potrubí obvykle
v2
h pak čáru
2g
tlaku dostaneme, jako spojnici hladiny v nádrţi s koncem potrubí – obr. 11.19.
Obr. 11.19 uvádí čáru tlaku u potrubí s místní ztrátou např. armaturou situovanou v obecném
místě potrubí.
Obr. 11.19 Čára tlaku potrubí s armaturou
11.6. Složené potrubí
V technických aplikacích se uţívá velmi často i potrubní sloţení – tzv. potrubní síť obr. 11.20. Sloţení potrubí mohou být větvená nebo okruţní. Okruţní potrubí vznikne tak, ţe
ve větvené síti se dva uzly spojí tzv. diagonálou. U potrubní sítě se předpokládá, ţe odběry
budou pouze v uzlech sítě.
Pro kaţdý uzel sloţeného potrubí
musí platit rovnice spojitosti - Qi  0 .

pro kaţdý úsek (větev) je moţné napsat
rovnici pro tlakový spád (pro jednoduchost
se uvaţují všechny úseky vodorovně)
v
v12  Li
       i
2g  d1
 2g
Pro kaţdý okruh platí  p  0 . Máp   c
li potrubní síť i úseků, j uzlů a k okruhů,
potom celkový počet rovnic popisujících
potrubí je
Obr. 11.20 Schéma potrubní sítě
ni jk
( 11.33 )
Jedná se o soustavu lineárních a kvadratických rovnic. Jejich řešení je nutné provést
numericky s vyuţitím počítače. Je vhodné připomenout, ţe pro numerické řešení se hledají
vhodné algoritmy, které zaručují rychlou konvergenci řešení.
11.7. Charakteristika potrubí
U jednoduchých případů výpočtu potrubí je výhodné pouţít grafické řešení pomocí
charakteristik,- H  f Qv  , které pro rozvinuté turbulentní proudění jsou vyjádřeny
80
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
kvadratickou parabolou. U sloţitých potrubních sítí bude naopak výhodné uţití numerických
metod pomocí počítače.
Uvaţujeme vodorovné potrubí stálého průřezu obr. 11.21. Pro počáteční průřez 1 a
konečný průřez 2 napíšeme Bernoulliho rovnici
p1

Obr. 11.21 Schéma vodorovného potrubního
úseku

v12 p2 v 22


 gh2
2

2
protoţe předpokládáme potrubí konstantního
průřezu, potom z rovnice spojitosti platí
v1  v2 a rovnice se zjednoduší. Po úpravě
dostaneme.
2
p  p2
v2 c  4  2
2
H 1
 c


 Qv  kQQv  kQQv Qv
( 11.34 )
g
2g 2g  d 2 
L
kde  c     
d
Tlaková výška H udává rozdíl tlakových výšek na počátku a na konci potrubí, který je
potřebný pro průtok Q. Závislost H  f Qv  je kvadratická parabola a její grafické znázornění
je charakteristika potrubí – obr. 11.22
Je-li na začátku potrubí
zpětná klapka, která brání
průtoku v opačném smyslu,
potom charakteristika potrubí
ve třetím kvadrantu splyne se
zápornou osou H. Pro potrubí
se stoupáním (se spádem)obr.
11.23
obdobným
způsobem odvodíme rovnici
pro tlakovou výšku.
Obr. 11.22 Charakteristiky vodorovného potrubí
H
p1  p2
 h  kQQv2  h  kQQv Qv
g
( 11.35)
Obr. 11.23 Schéma stoupajícího a klesajícího potrubí
Charakteristika potrubí se stoupáním (klesáním) je rovněţ kvadratická parabola, která
má vrchol paraboly posunut nahoru (dolů) o výšku h.-obr. 11.24.
81
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr. 11.24 Charakteristika šikmého potrubí
Úseky potrubí mohou být řazeny sériově (za sebou) nebo paralelně (vedle sebe). Při
sériovém řazení potrubních úseků je průtok kaţdého úseku stejný, tlakové výšky všech
úseků se sčítají. Při paralelním řazení potrubních úseků jsou tlakové výšky pro všechny
úseky stejné a průtoky ve všech úsecích se sčítají.
82
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
12. Výtok kapaliny z nádob, přepady
12.1. Výtok malým otvorem
Obr.12.1 Výtok z nádoby otvorem ve dně
Uvaţujeme výtok kapaliny otvorem ve dně podle obr.12.1 Protoţe polohová výška je
pro celý otvor konstantní, potom rychlost v otvoru je rovnoměrně rozloţena. Výtoková
rychlost v tomto případě se vypočítá z Bernoulliho rovnice. V obecném případě se uvaţuje
v nádrţi tlak p , který je odlišný od tlaku ovzduší p 0 , do něhoţ vytéká kapalina otvorem o
průřezu S 0 . Nádoba má konstantní průřez S n (válec, hranol) a je naplněna do výšky h (obr.
12.1). Pro skutečnou kapalinu platí Bernoulliho rovnice psaná pro hladinu v nádrţi a pro
výtokový průřez
p


v 02
v2
p
 gh 
 ghz  0
2
2

( 12.1)
Předpokládáme, ţe průřez výtokového otvoru S0 je ve srovnání a průřezem nádrţe Sn
velmi malý potom rychlost poklesu hladiny v o  0
Pro ztrátovou výšku platí známá rovnice
hz   .
v2
2g
Potom z rovnice (12.1) pro výtokovou rychlost platí
v
1
1 


p  p0 
p  p0 
2 gh 
   2 gh 

 
 


( 12.2)
Pro teoretickou výtokovou rychlost   0 dostaneme

p  p0 
v t  2 gh 

 

Poměr skutečné a teoretické rychlosti je rychlostní součinitel

v
1

1
vt
1 
( 12.3)
Při stejném tlaku v nádrţi a ve výtokovém otvoru je výtoková rychlost určena rovnicí
v   2gh
( 12.4)
83
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Pro   1 je teoretická rychlost
v t  2gh
( 12.5)
coţ je známý Torricelliho výraz.
Při výtoku z nádoby nevyplňuje proud kapaliny zpravidla celý výtokový otvor, neboť
proudnice se nemohou náhle zakřivit podle hran otvorů. Setrvačnosti částic kapaliny je
způsobeno zúţení nebo kontrakce paprsku. Vyjadřuje se součinitelem kontrakce
( 12.6)
S

S0
1
Součinitel zúţení závisí obecně na tvaru výtokového otvoru, jeho umístění vůči bočním
stěnám a na Re-čísle.
Skutečný výtok kapaliny otvorem po dosazení rovnice (12.4) a (12.6) je
( 12.7)
Q  v.S   ..S 2gh  S 2gh
v
0
o
kde

Qv
  .  1
Qv t
je výtokový součinitel, který rovněţ závisí na tvaru otvoru či nátrubku a Re-čísle.
Závislost ,  ,   f Re pro ostrohranný otvor podle výsledků měření je uveden na obr.
12.2.
12.2. Výtok velkým otvorem v boční stěně
Obr.12.2 Rychlostní, kontrakční a výtokový
Obr.12.3 Výtok velkým otvorem
součinitel malého otvoru
obecného tvaru
Při relativně velkém otvoru ve svislé stěně je nutno respektovat závislost výtokové
rychlosti kapaliny na hloubce uvaţovaného místa pod hladinou tlaku ovzduší. Skutečná
výtoková rychlost kapaliny je určena vztahem (12.2) nebo (12.4). Výtok kapaliny z nádoby se
určí integrací. Elementem výtokového otvoru dS  bdh (obr. 12.3) vytéká elementární
skutečný průtok kapaliny
dQv  .v.dS  .b 2gh.dh
Výtok rozměrným otvorem je určen obecně integrálem
h2
Qv   dQ    b 2gh dh
S
( 12.8)
h1
84
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Má-li otvor obdélníkový průřez – b  konst. , potom výtok určíme integrací rovnice (12.8)
Qv 
3
3
2
.b 2g  h2 2  h1 2 
3


( 12.9)
12.3. Výtok ponořeným otvorem
Obr.12.4 Výtok ponořeným otvorem
Kapalina vytéká otvorem do prostředí vyplněného rovněţ kapalinou (obr.12.4). Jde
v podstatě o průtok otvorem mezi dvěma nádobami. Otvor je pod oběma hladinami
v nádrţích, proto je označován jako ponořený. Výtoková rychlost otvorem závisí na rozdílu
hladin v nádobách.
K odvození vztahu pro výtokovou rychlost se pomyslně otvor zakryje deskou. Tlak
kapaliny působící na desku z obou stran je přímo úměrný hloubce uvaţovaného místa do
hladiny tlaku ovzduší. Jejich průběh je vyznačen v obrázku přímkami. Tlaky působí proti
sobě, proto výsledný tlak je dán jejich rozdílem, který je po celé stěně smočené z obou stran
konstantní p  gh .
Po odkrytí otvoru začne kapalina přetékat teoretickou výtokovou rychlostí
v t  2gh
Tento výraz je formálně totoţný s Torricelliho výrazem. Protoţe tlakový rozdíl je po celém
průřezu ponořeného otvoru stejný, je výtoková rychlost ve všech místech stejná a nezávislá
na tvaru otvoru S .
Pro objemový průtok proto platí rovnice
( 12.10)
Q  .S 2gh
v
12.4. Výtok při současném přítoku
Z otevřené nádoby vytéká kapalina Qv  otvorem S 0 (obr. 12.5) a současně přitéká
Qvp , přičemţ Qvp  Qv . Výtok při libovolné výšce h hladiny je určen vztahem
Qv  S 0 2 gh
Kdyţ Qvp  Qv ., pak se poloha hladiny v nádobě bude měnit. Při Qvp Qv hladina stoupá,
při Qvp Qv hladina klesá.
Stoupání, popřípadě klesání hladiny trvá tak dlouho, aţ se dosáhne rovnováhy
Qvp  Qv . Tomuto ustálenému stavu odpovídá výška hk, pro níţ platí
Qvp  Qv  S0 2ghk
85
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.12.5 Výtok při současném přítoku
Vyšetříme změnu polohy hladiny v závislosti na čase t . Předpokládá se, ţe
v rovnováţném stavu v čase t  0 je hladina ve výšce h0 . Skokem se změní přítok kapaliny
na hodnotu Qvp  konst. , např. se Qvp zvětší. V libovolném časovém okamţiku t způsobí
rozdíl přiteklé a vyteklé kapaliny za elementární čas dt zvýšení dh hladiny p0 v nádobě o
průřezu Sn .
dt 
Sndh
Sn dh

Qvp  Qv S0 2g hk  h


( 12.11)
Integrací této rovnice se stanoví čas za který hladina stoupne nebo klesne z původní
hodnoty h0 na hodnotu h . V obecném případě je třeba také uváţit, ţe
Sn  f h  a Qvp  f t 
12.5. Vyprazdňování nádob
Jestliţe do nádoby nepřitéká kapalina a tedy Qvp  0 , hladina klesá, aţ se nádoba
vyprázdní h  0 . Čas potřebný k vyprázdnění nádoby se vypočte z diferenciální rovnice
(12.11) do níţ se dosadí Qvp  0 neboli hk  0 . Pak platí
dt  
Sndh
So 2gh
( 12.12)
Z otevřené nádoby s konstantním průřezem S n se dostane integrací doba t potřebná ke
sníţení hladiny p0 z výšky h0 na h
t 
Sn
S0 2g
h
h
1
2dh
h0

2Sn
S0 2g

h0  h

Při úplném vyprázdnění nádoby je konečná výška hladiny rovna h  0 a potřebná doba
vyprázdnění nádoby se vypočte ze vzorce
( 12.13)
2Sh0
Sh0
V0
tv 
kde
S0 2gh0
2
Qvo
2
Qvo
V0 – objem nádrţe
86
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Qv 0  S0 2gh0 je výtok na začátku vyprázdňování
Vypočítaná doba úplného vyprázdnění nádoby při menších výškách hladiny h0 se
můţe lišit od skutečné doby vyprázdnění. To je způsobeno kvalitativními změnami ve výtoku
kapaliny otvorem, neboť při určité výšce hladiny nad otvorem vznikne nálevkovitý vír.
12.6. Přepady
Přepad je výtok nezaplněným otvorem nebo otvorem s neuzavřeným obrysem. (obr.
12.6) Nejniţší místo výtokového otvoru je korunou přepadu. Výška horní hladiny p 0 (před
přepadem) nad korunou přepadu je přepadová výška h .
S přepadem se setkáváme na přehradách, kde zajišťují propuštění při maximálních
průtocích a udrţení hladiny v nádrţi pod maximální úrovní. Přepady mají význam rovněţ pro
měření velkých průtoků, např. v laboratořích.
Podle polohy spodní hladiny se rozlišují přepady dokonalé a nedokonalé. Dokonalý
přepad je takový, při němţ spodní hladina neovlivňuje průtok přepadem. U dokonalého
přepadu je spodní hladina pod korunou přepadu (obr. 12.6.) Nedokonalý přepad má ovlivněn
průtok spodní hladinou, která je výše neţ koruna přepadu (obr. 12.6). Přepadová stěna můţe
být poměrně tenká nebo tlustá, popřípadě se zaoblením.
Průtok dokonalým přepadem s volným proudem se stanoví jako výtok velkým
otvorem ve stěně nádoby –rov. (12.8).
Obr.12.6 Dokonalý a nedokonalý přepad
Qv   2g  b h dh
S
Tato rovnice je rovnice Dubuatova pro obecný tvar přepadu. Součinitel přepadu  je obdobný
výtokovému součiniteli. Je závislý na přepadové výšce h a vlastnostech přepadu -
  (Re,geom.t var)
Pro obdélníkový přepad (obr. 12.6) se šířkou koruny přepadu b je průtok určen
vzorcem pro rozměrný otvor ve svislé stěně (obr. 12.9). Jestliţe se dosadí h1  0 a h2  h ,
pak
( 12.14)
2
Qv 
3
bh 2gh
Pro přepad s ostrou hranou a pro volný proud, který je dobře zavzdušněn (vzduch má přístup
pod přepadající proud), je střední hodnota součinitele přepadu   0,65 , pokud šířka
přepadu b je rovna šířce celého kanálu b0 .
Pro přepady jiných průřezů vztahy pro
průtok je moţné najít v odborné literatuře. Pro měření průtoku se velmi často pouţívá přepad
trojúhelníkový.
87
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
13. Proudění v rotujícím kanále
13.1. Bernoulliho rovnice pro rotující kanál
Obr.13.1 Rotující kanál
Při průtoku kapaliny kanálem, který se pohybuje, se změní energie kapaliny, neboť na
ni působí síly od pohybu kanálu. (obr. 13.1) Např. při rovnoměrné rotaci   konst. působí
na kapalinu odstředivá síla. Práce, kterou tato síla vykoná při proudění kapaliny, má vliv na
její energii. Bernoulliho rovnice jak byla dříve odvozena v obecném tvaru
v2
 U  konst
 2
zahrnuje v potenciálu U práci všech objemových sil, které působí na proudící kapalinu, tedy
p

i odstředivé síly při rotaci kanálu. Na částici kapaliny v rotující proudové trubici působí sloţky
zrychlení
ar  r 2 ; a y   g; a z  0
Uváţíme-li, ţe platí dříve odvozená rovnice, lze zapsat
a0  gradU  ax 
U
U
U
; ay 
;a z 
x
y
z
při čemţ platí
dU  ax dx  ay dy  azdy 
Potom pro svislou osu rotace s vyuţitím výše uvedených rovnic se určí potenciál integrací
88
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
U   dU   ax dx  ay dy   g  dy   2  rdr  gh 
 2r 2
2
 konst
Dosazením do obecné Bernoulliho rovnice dostane se pro rotující kanál tato rovnice
( 13.1)
v2
u2
 gh 
 konst
 2
2
Rychlost v je relativní rychlost kapaliny, jíţ proudí v rotujícím kanále, rychlost u je obvodová
p

neboli unášivá rychlost v uvaţovaném místě rotujícího kanálu. Ostatní veličiny jsou stejné
jako v základní Bernoulliho rovnici.
Při odstředivém průtoku rotujícím kanálem se unášivá rychlost u zvětšuje a energie
kapaliny se zvyšuje. Tak je tomu např. v odstředivých čerpadlech. Obdobně při dostředivém
průtoku unášivá rychlost se zmenšuje a energie kapaliny se sniţuje. To je případ vodních
turbin (např. Francisových).
Přihlíţí-li se k hydraulickým odporům při ustáleném proudění skuteční kapaliny
rotujícím kanálem, platí pro dva průřezy jedné a téţ proudové trubice Bernoulliho rovnice
p1


v12
u2 p
v2
u2
 gh1  1  2  2  gh2  2  ghz
2
2

2
2
13.2. Odstředivé čerpadlo
Čerpadlo dodává kapalině energii, která je obecně vyuţívána na:
a) zvedání kapaliny (zvyšování polohové energie),
b) zvyšování tlakové energie (přemístění kapaliny do prostoru s vyšším tlakem)
c) dopravu kapaliny (přemístění kapaliny z jednoho místa do druhého).
Obr.13.2 Schéma čerpacího zařízení
Na čerpadlo Č – obr.13.2. je napojeno sací SP a výtlačné potrubí VP, která propojují
sací SN a výtlačnou nádrţ VN. Podle obr. 13.3 celou dráhu kapaliny je moţno rozdělit na
čtyři části :
1. sací nádrţ a potrubí – kapalina proudí ve stojícím potrubí z nádrţe k čerpadlu, zpravidla
výše poloţenému,
2. oběţné kolo – kapalina proudí v rotujícím kanále
3. difuzor nebo spirála – kapalina proudí ve stojícím kanále,
4. výtlačné potrubí a nádrţ – kapalina proudí z čerpadla do nádrţe výtlačným potrubím, pro
které platí Bernoulliho rovnice pro stojící kanál.
89
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.13.3 Odstředivé čerpadlo
Bernoulliho rovnice pro sací potrubí – úsek 0,1, psaná pro hladinu ve spodní nádrţi a
vstup do oběţného kola je
p0


p1

 ghs 
c12
 ghzs
2
V rovnici jsou tyto veličiny: hs je geodetická sací výška, hzs jsou hydraulické odpory v sacím
potrubí čerpadla, p0 je tlak na hladinu v sací nádrţi. Veličiny označené indexem l se
vztahují na vstup do oběţného kola čerpadla.
Pro oběţné kolo platí Bernoulliho rovnice pro rotující kanál – úsek 1,2, která je pro
vstupní a výstupní průřez
p1


v12 u12 p2 v 22 u22




 ghzo
2
2

2
2
Rychlosti v1,v 2 jsou relativní. Rychlosti u1,u2 jsou unášivé, index 1 značí vstup do
oběţného kola, index 2 výstup z oběţného kola. Ztrátová výška hz 0 zahrnuje ztráty spojené
s průtokem kapaliny oběţným kolem (hydraulické). Mezi rychlostmi absolutní, relativní a
unášivou platí pro vstup i výstup z oběţného kola vztah c  v  u . Absolutní rychlostí c 2
vystupuje kapalina z oběţného kola a vstupuje do difuzoru, kde se kinetická energie mění
v tlakovou.
Pro difuzor (nebo spirálu) jako stojící kanál platí Bernoulliho rovnice psaná pro
vstupní a výstupní průřez – úsek 2,3.
c22 p3 c32



 ghzd

2

2
p2
Ztráty třením v difuzoru včetně vstupních a výstupních místních ztrát jsou zahrnuty ztrátovou
výškou v difuzoru hzd . Rychlost c3 a tlak p3 jsou shodné s tlakem a rychlostní ve výtlačném
hrdle čerpadla, na které je připojeno výtlačné potrubí nádrţe
Bernoulliho rovnice pro výtlačné potrubí – úsek 3-VN
90
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
p3


VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
c32 pv

 ghv  ghzv
2

Celkové ztráty ve výtlačném potrubí jsou vyjádřeny ztrátovou výškou hzv . Veličiny označené
indexem v se vztahují na výtlačnou nádrţ.
Sečtením všech čtyř rovnic se dostane
pv  po
1 2
2
2
2
2
2( 13.2)
Yt  g hs  hv  

 g hzs  hzv  hzo  hzd  
2
u
2
 u1  v 2  v1  c2  c1

Toto je výraz pro teoretickou měrnou energii čerpadla Yt , případně teoretickou dopravní
výšku čerpadla Ht . Měrná energie Yt představuje energii, která je předána v čerpadle
kaţdému kg hmotnosti kapaliny. Část této energie se spotřebuje v čerpadle, a to
g hzo  hzd   ghzč , coţ představuje hydraulické odpory v oběţném kole a difuzoru
čerpadla.
Skutečná měrná energie čerpadla Yd je
Yd  Yt  ghzč  g hs  hv  
pv  p0

 g hzs  hzv   gHd ; Hd  Ht  hzč
( 13.3)
V rovnici pro skutečnou měrnou energii čerpadla Yd je zahrnuta energie potřebná na
zvedání kapaliny g hs  hv  , zvýšení tlakové energie
pv  p0

a dopravu kapalin, která je
spojena s překonáním hydraulických odporů v sacím a výtlačném potrubí g hzs  hzv  .
Poměr skutečné a teoretické měrné energie čerpadla je hydraulická účinnost
čerpadla, ve které jsou zahrnuty hydraulické ztráty spojené s průtokem kapaliny pracovními
prostory čerpadla. Další ztráty v čerpadle jsou způsobeny zpětným průtokem kapaliny z
výtlaku do sání, netěsnostmi mezi rotujícími a stojícími částmi čerpadla (objemová účinnost
čerpadla 0 ) a ztrátami v loţiskách a ucpávkách (mechanická účinnost čerpadla  m ).
Celková účinnost čerpadla je
( 13.4)
č  h .0.m
Uţitečný výkon čerpadla je
P  Qm .Yd  gQv .Hd
( 13.5)
Příkon čerpadla se určí pomocí celkové účinnosti  č ze vztahu
Pp 
P
č

gQv .Hd pdQv .YdQv


č
č
č
( 13.6)
91
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.13.4 Charakteristika odstředivého čerpadla
Skutečné poměry na čerpadle se zjišťují experimentálně na zkušebně a z výsledků se
sestavuje charakteristika čerpadla, tj. závislost měrné energie Yd na průtoku Qv .
Charakteristika čerpadla bývá doplněna téţ křivkami příkonu, celkové účinnosti, případně
kavitační deprese h - obr. 13.4.
Teoretická měrná energie Yt , jak vyplývá z odvozených rovnic, je dána rychlostními
poměry na vstupu a výstupu z oběţného kola, tj. rychlostmi v1, v 2, c1, c2, u1,u2 v1 v1. které
určují rychlostní trojúhelníky na vstupu a výstupu z oběţného kola – obr. 13.3. Kapalina se
pohybuje v oběţném kole relativní rychlostí v , která svírá s unášivou rychlostí u úhel  . Aby
nedocházelo k rázu, musí lopatky oběţného kola mít směr relativní rychlosti. Určuje tedy
úhel 1 a  2 sklon lopatek na vstupu a výstupu čerpadla. Podobně úhly lopatek v difuzoru
jsou dány směrem absolutních rychlostí c 2 a c3 , jimiţ proudí kapalina stojícím difuzorem.
Podle kosinové věty platí pro vstupní rychlostní trojúhelník – obr. 13.3.
v12  u12  c12  2u1c1 cos1
a podobně pro výstupní rychlostní trojúhelník – obr. 13.3.
v 22  u22  c22  2u2c2 cos 2
Dosazením do výrazu pro teoretickou měrnou energii čerpadla Yt , se dostane po úpravě
gHt  Yt  u2c2 cos 2  u1c1 cos1   u2c2u  u1c1u
( 13.7)
kde c1u a c 2u jsou sloţky absolutní rychlosti do směru unášivé rychlosti u . Pro skutečnou
měrnou energii Yd platí výrazy
Yd  gHd  hgHt  h u2c2u  u1c1u 
Je-li úhel 1  90o
( 13.8)
tzv. kolmý vstup, potom předcházející rovnice se zjednoduší
Yd  h .u2.c2u
92
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
14. Neustálené proudění
14.1. Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění
Integrací Eulerovy rovnice hydrodynamiky byla získána pro dokonalou kapalinu
(nestlačitelnou a bez vnitřního tření) rovnice Bernoulliho
v2 p
v
  gh  
ds  konst ,
2 
t
l
Obr.14.1 Neustálený proud v potrubí
která platí obecně pro neustálené proudění. Pro nejjednodušší případ neustáleného
proudění, kdy
kapalina je nestlačitelná ( = konst, K   ) a potrubí je tuhé (E   ) a stálého průřezu, je
rychlost proudění jen funkcí času v = v(t) a integrál v poslední rovnici se dá vyčíslit
v
dv
 t ds   dt ds  a ds  al
l
l
l
Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny v tuhém potrubí je
v2

 gh  al  konst ,
 2
p
( 14.1 )
kde a je zrychlení sloupce kapaliny v potrubí o délce l. Ostatní veličiny mají stejný význam
jako dříve. Pro průřezy 1 v nádrţi a 2 na konci potrubí, jímţ protéká skutečná kapalina
nestacionárně, platí Bernoulliho rovnice
p0


v 02
p
v2
 gh  2 
 al  ghz .
2

2
Kdyţ se průřez potrubí mění, je v kaţdém úseku potrubí jiná rychlost a zrychlení proudu
kapaliny. Pro kaţdý časový okamţik platí rovnice kontinuity pro libovolné průřezy S 1v1 = S2v2
= Sv = konst. Po uplynutí doby dt se změní rychlosti na v1 + dv1, v2 + dv2, v + dv, pro které
platí obdobně rovnice kontinuity S1(v1 + dv1) = S2(v2 + dv2) = S1(v + dv). Z obou rovnic
spojitosti se dostane odečtením S1dv1 = S2dv2 = Sdv
a po dělení dt je
(
dv1
dv
dv
 a1; 2  a2;
 a)
dt
dt
dt
S1a1  S2a2  Sa  konst ,
( 14.2 )
coţ je druhá rovnice kontinuity pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny v tuhém
potrubí.
93
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
14.2. Hydraulický ráz
Odvození se provede opět na nejjednodušším případě, kdy potrubí je napojeno na
velkou nádrţ, v níţ je hladina kapaliny v konstantní výši a na konci potrubí je uzavírací či
regulační armatura. Předpokládejme náhlé uzavření armatury, čímţ se okamţitě zastaví
výtok kapaliny. Částice kapaliny těsně u armatury se zastaví. Jejich kinetická energie se
spotřebuje na stlačení. Tím se vytvoří prostor, do kterého další částice vtékají. Při nárazu na
zastavenou kapalinu dochází k přeměně kinetické energie na deformační práci spojenou se
stlačením zastaveného sloupce kapaliny. Rozhraní mezi zastavenou (a stlačenou) kapalinou
a pohybující se kapalinou se šíří od místa vzniku rázu, tj. armatury, rychlostí zvuku a (=
rychlost šíření tlakových vln). Zastavená kapalina má větší tlak o hodnotu p. Tlaková
(rázová) vlna, které se říká přímá, se pohybuje rovnoměrně, takţe za čas t 
l
proběhne
a
celý úsek potrubí aţ k nádrţi a sloupec kapaliny v potrubí je stlačen – má vyšší tlak o p.
Obr.14.7 Pohyb přímé a odraţené vlny a jemu odpovídající tlakové poměry v potrubí
94
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Rázová vlna se nemůţe šířit dále do nádrţe, kde je volná hladina. Na počátku potrubí
je v tomto okamţiku rozhraní stlačené a nestlačené kapaliny, coţ je nerovnováţný stav.
Proto stlačená kapalina začne expandovat do nádrţe, deformační energie se přemění opět
v kinetickou (kapalina „odpruţí“) a rozběhne se v opačném smyslu (od uzávěru do nádrţe).
Stoupnutí tlaku p se tím zruší a čelo této vlny, zvané odraţená vlna, se šíří rychlostí zvuku
zpět ke konci potrubí (k armatuře). Při expanzi posledních částic na konci potrubí vznikne
sníţení tlaku o hodnotu p (částice kapaliny mají snahu se odtrhnou od zavřeného uzávěru).
Tato tlaková vlna (sníţení tlaku o p) se opět šíří od uzávěru k nádrţi, kde se odrazí. Přitom
se sníţení tlaku p zruší a kapalina se rozběhne od uzávěru k nádrţi. Tato odraţená vlna
doběhne k uzávěru, na který kapalina narazí, takţe dojde opět k zastavení a zvýšení tlaku.
Ale to se jiţ celý proces šíření tlakové vlny opakuje. U kapaliny bez vnitřního tření nedochází
k útlumu a rázové vlny by se neustále opakovaly. Ve skutečných kapalinách se vnitřním
třením rázové vlny utlumí aţ prakticky zaniknou. Doba, ve které rázová vlna se vrátí do místa
vzniku, tj. k uzávěru, se nazývá doba běhu vlny T a vypočítá se ze vztahu
T 
2L
a
( 14.3 )
kde l je délka potrubí
a je rychlost zvuku.
V kapalinách je rychlost šíření tlakových vln (zvuku) určena výrazem
at 
K
(14.4 )

Je to teoretická rychlost zvuku, která by se dosáhla v dokonale tuhém potrubí. Vzhledem
k pruţnosti potrubí je skutečná rychlost menší
(14.5 )
a  at ,
kde pro tenkostěnné potrubí je

1
Kd
1
Es
(14.6 )
kde K je modul stlačitelnosti kapaliny;
E je modul pruţnosti materiálu potrubí;
Pro tlustostěnné potrubí je

1
K D2  d 2
1 2
E D2  d 2
d
s
je průměr potrubí;
je tloušťka stěn potrubí.
,
kde d je vnitřní poloměr potrubí
D je vnější poloměr potrubí.
Stoupnutí tlaku při hydraulickém rázu se dostane z rovnosti kinetické energie a
deformační práce při stlačení kapaliny v potrubí. Za určitý čas po uzavření armatury se
dostane rázová vlna do vzdálenosti x od uzávěru.- obr. 14.8 Sloupec kapaliny o délce x se
zastaví a jeho kinetická energie
Ek 
1
1
1
mv 2  Sxv 2  Vv 2
2
2
2
( 14.7 )
se přemění na deformační práci potřebnou ke stlačení sloupce x o x
1
1
Fx  pSV
2
2
Z rovnosti Ek  Ed se dostane
Ed 
( 14.8 )
95
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
1
1
V v 2
Vv 2  pV neboli

2
2
V
p
Poměrné objemové stlačení je dáno modulem stlačitelnosti kapaliny
1 V 1
V p
neboli


K
V p
V
K
Z porovnání obou poměrných objemových změn dostane
p v 2

K
p
( 14.9 )
a stoupnutí tlaku při hydraulickém rázu je
p  Kv 2  
K

v  at v
( 14.10 )
Tento výraz odvodil poprvé N.E. Ţukovskij (1897 – 1898).
Skutečné zvýšení tlaku při hydraulickém rázu se vypočte se skutečnou rychlostí zvuku a ,
takţe platí
( 14.11 )
p  av  at v
V tomto případě se veškerá kinetická energie přeměnila v deformační práci. Takovému
hydraulickému rázu se říká úplný nebo totální. Nastane v těch případech, kdy doba uzavírání
t x je kratší nebo rovna době běhu vlny T , čili
tz  T
( 14.12 )
Hydraulický ráz představuje značné zvýšení tlaku. Např. při změně rychlosti vody
v  1m s je při totálním hydraulické rázu stoupnutí tlaku
p  av  K v  103  2  109  1  1,4  106  1,4MPa
Pruţností potrubí je hydraulický ráz sníţen.
Bude-li čas uzavírání t 2 T jedná se o částečný hydraulický ráz, jehoţ řešení vede na
parciální diferenciální rovnice druhého řádu, tzv. vlnové rovnice.
96
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
15. Věta o změně hybnosti
Vedle bilance hmotnosti, to je rovnice kontinuity a bilance energie pro 1 kg proudící
kapaliny – Bernouliho rovnice, lze určit ještě impulzovou větu – větu o změně hybnosti.
V inţenýrské praxi se s výhodou pouţívá všude tam, kde se sleduje jen výsledný silový
účinek tekutiny na stěnu pevného tělesa. Její aplikace na celou řadu případů bude uvedena
dále.
Odvození impulzové věty je následující.
t1
v1
Změna hybnosti
 mdv
je rovna impulsu síly
v2
t
v2
0
v1
 Fdt , coţ je známo z mechaniky
t2
 Fdt   mdv
( 15.1 )
Pro konstantní sílu (F = konst) a hmotnost (m = konst) se dostane po integraci
Ft  mv2  v1  mv
( 15.2 )
Úpravou této rovnice (dělením t ) se získá rovnice
F
m
Δv  QmΔv  Qm v2  v1   H2  H1  ΔH
t
( 15.3 )
která slouţí k výpočtu sil (reakce), kterými působí obtékané plochy na proud kapaliny. Součin
H  Qm.v je průtoková hybnost. Síla F vyvolaná proudící kapalinou (akce) je rovna změně
průtokové hybnosti H2  H1 .
Kapalina, která vtéká do kontrolního objemu V rychlostí v1 a vytéká z něho rychlostí
v 2 vyvolá při průtoku Qv sílu F (obr.15.1).
Obr.15.1 Věta o změně hybnosti při interakci
Obr.15.2 Určení síly ve směru s
proudů kapaliny s tělesem
Pro výpočet sloţky síly ve směru s platí hybnostní věta
( 15.4 )
F  Qm v s  Qm v1s  v2s   Hs
kde v1,v 2 jsou sloţky rychlostí v1,v 2 do směru s .
Hybnostní věta v hydromechanice slouţí k výpočtu sil, které by bylo nutno určit
integrací z Eulerových rovnic hydrodynamiky.
Příkladem aplikace hybností v hydrodynamice je výpočet silových účinků paprsků kapalin na
desky a tělesa.
Paprsek kapaliny dopadající kolmo na rovinnou desku změní směr proudění
(obr.15.3). Změnou hybnosti se vyvolá síla F . Kontrolní objem V se volí tak, aby ve
vstupním průřezu proudu kapaliny byla nenarušená rychlost v 1 , podobně ve výstupním
průřezu musí proud mít směr odtokové rychlosti shodný s povrchem desky. Protoţe paprsek
kapaliny proudí v ovzduší, je tlaková energie konstantní. Rovněţ polohová energie
97
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
vodorovného paprsku se nemění. Neuvaţují-li se hydraulické odpory (po dopadu na desku),
musí být odtoková rychlost v 2 stejná jako přítoková v 1 ( v1  v 2  v vyplývá z Bernoulliho
rovnice).
Obr.15.3 Účinek paprsku na kolmou desku
Obr.15.4 Účinek paprsku na obecnou rotační
plochu
Změna rychlosti ve směru síly F je v F  v1  0 , neboť sloţka v 2F  0v2  F . Hmotnostní
průtok Qm je Qm  Qm , takţe
F  Qv v  Sv 2
( 15.5 )
Aby odtoková rychlost byla rovnoběţná s povrchem desky, musí být deska rozměrná. Při
malé desce se proud kapaliny částečně odkloní.
Paprsek kapaliny dopadající na rotační plochu ve směru její osy vyvolává sílu
(obr.15.4)
F  Qm v ,
kde v  v1  v 2 cos  v1  v1 cos  v11  cos 
Qm  Sv1
F  Sv12 1   cos 
( 15.6 )
Součinitel  (rychlostní) vyjadřuje vliv hydraulických odporů (tření) při obtékání rotační plochy
na rychlost, která se sniţuje.
Na unášenou desku při kolmém dopadu paprsku kapaliny působí síla (obr.15.5)
( 15.7)
F  Qm v
kde změna rychlosti je určena relativní rychlostí dopadu v  u  . Odtoková rychlost má ve
směru síly F nulovou sloţku. Je tedy
Obr.15.5 Účinek paprsku na pohybující se desku
98
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
v  v  u   0  v  u
( 15.8)
Hmotnostní průtok kapaliny, která dopadne na desku je Qm  Sv  u . Silový účinek je
tedy
2
( 15.9)
uv 
F  Sv  u 
Poznámka: Rozdíl mezi hmotnostním průtokem Qm1  Sv , který vytéká z trysky a
hmotnostním
průtokem
Qm  Sv  a ,
který
dopadá
na
desku
je
roven Qm2  Qm1  Qm  Su a spotřebuje se na prodlouţení paprsku.
Pohybující se deska můţe konat silovým účinkem práci. Její výkon je určen výrazem
P  Fu  Sv  u  u
2
uv 
při čemţ platí
( 15.10)
Z rovnice vyplývá, ţe pro u  0 a u  v je výkon P nulový. Musí tedy existovat aspoň
jeden extrém pro rychlost v intervalu 0  v  u.

vyplývá

dP
2
 S  2v  u u  v  u   S v  u v  3u   0
du
Z derivace
u 1
 .
v 3
d 2P
 2S 3u  2v  ,
Protoţe
du 2
u 2
je pro
záporné, jde o maximum. Maximální výkon desky tedy je

v 3
2
v v
4

Pmax  S v  

Sv 3
3  3 27

(15.11)
Podobným způsobem lze určit silový účinek na Peltonovo kolo (obr.15.6), které sestává
z korečků, na něţ dopadá paprsek vody. Na korečku mění proud kapaliny směr proudění a
tím vyvolává silový účinek. Voda dopadá na koreček (pohybující se unášivou rychlostí u )
relativní rychlostí v  u  . V ideálním případě se změní směr proudění o 180o takţe
z korečku odtéká relativní rychlostí  v  u  . Neuvaţují se hydraulické ztráty. Změna
rychlosti v po průtoku korečkem je ve směru síly F (totoţný s unášivou rychlostí u )
určena vztahem
( 15.12)
v  v  u    v  u   2v  u 
Na všechny korečky Peltonova kola dopadne veškerá voda vytékající z trysky, jejíţ
hmotnostní průtok je Qm  Sv . Silový účinek na Peltonovo kolo je
F  Qmv  2Sv v  u 
( 15.13)
a výkon
P  Fu  2Sv v  u u
( 15.14)
I tato funkce má extrém
99
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
v v 1

Pmax  2Sv  v    Sv 3
2 2 2

(15.15)
Silové účinky proudu kapaliny na potrubí (obr.15.7) se
skládají z několika sil. Na úsek potrubí (mezi průřezy 1
a 2) působí síla vyvolaná změnou průtokové hybnosti
kapaliny, a to jak směrem, tak i velikostí rychlosti
( 15.16)
Fh  H1  H2  Qm v1  v2   Fh  Fh2
1
kde
Fh1  Qm v 1
Fh2  Qm v 2
Obr. 15.6 Poměry u Peltonovy
turbíny
( 15.17)
Dále působí na zvolený úsek potrubí tlakové síly.
Účinek kapaliny v pomyslně odstraněném potrubí
v průřezu 1 vyjadřuje tlaková síl
Fp1  p1S1
( 15.18)
Podobně v průřezu 2 působí síla Fp 2 . K určení výslednice sil na zvolený úsek potrubí se
přičte tíha kapaliny Fk , která zaplňuje úsek potrubí a vlastní tíha potrubí Fg . Vektorový
součet sil Fh , Fp , Fk , Fg dává výslednici sil, které působí na úsek potrubí 1-2:
Obr. 15.7 Účinek proudu kapaliny na potrubí
F  Fh  Fp  Fk  Fg
(15.19)
Výslednici sil F musí přenést uchycení nebo zakotvení potrubí.
Poznámka: Vliv hydraulických odporů při proudění skutečné kapaliny je zahrnout v tlakové
síle Fp , nebo´t její sloţka Fp 2 závisí na tlaku p 2 v průřezu 2, který je ovlivněn hydraulickými
odpory, jak vyplývá z Bernoulliho rovnice:
p1


v1
p
v2
 gh1  2  2  gh2  ghz
2

2
100
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
16. Obtékání těles
Při obtékání těles či pohybu tělesa v tekutině vznikají síly a momenty. Výslednou sílu
a moment lze rozloţit obecně na tři sloţky: odpor Fx , vztlak F y a boční sílu Fz a moment
klopivý Mz, klonivý M x a zatáčivý M y , obr.16.1. Při symetrickém obtékání těles pak budou
některé z těchto sloţek rovny nule (boční síla a klonivý a zatáčivý moment).
Obr.16.1 Síly a momenty působící na obtékané těleso
Nachází-li se těleso v rozlehlém proudu tekutiny, nelze jiţ tak snadno určit rychlostní
a tlakové pole kolem tělesa a teoretické stanovení např. odporu a vztlaku je velmi obtíţná
úloha. Jestliţe provádíme výpočet s modelem nevazké tekutiny, dostáváme nulový odpor,
coţ je v rozporu s naší zkušeností (D'Alembertův paradox), neboť i při obtékání těles
vzduchem, který má velmi malou viskozitu, vzniká vţdy odpor, tj. sloţka paralelní s vektorem
rychlosti. Experimentálně bylo zjištěno, ţe při velkých Reynoldsových číslech sahá vliv
viskozity jen do malé vzdálenosti od povrchu tělesa a tato část proudu se nazývá mezní
vrstva; úplav je odplavovaná mezní vrstva, obr.16.2.
Obr.16.2 Mezní vrstva – m.v. na tenké desce
16.1. Mezní vrstva
Uvaţujme nejjednodušší případ - mezní vrstvu na tenké desce paralelní s proudem
tekutiny. Tlak je v celém objemu tekutiny konstantní. Tekutina na stěně lpí v0  0 . Vlivem
viskozity se zabrzdí nejbliţší vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost s odlehlostí od stěny
narůstá aţ na hodnotu rychlosti nenarušeného proudu v  . Tato tloušťka "zabrţděné"
tekutiny  x je u náběţné hrany nulová a na odtokové hraně je maximální. V mezní vrstvě a
oblasti kolem desky nejsou proudnice paralelní přímky, ale tvoří mírně se rozbíhající svazek.
101
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Sloţka rychlosti kolmá k desce vy « v  a lze ji zanedbat. Hranice mezní vrstvy není shodná
s proudnicemi. Mimo mezní vrstvu je všude rychlost téměř konstantní, tedy v / y = 0 a
proto i tečné napětí je zde rovno nule, bez ohledu na viskozitu tekutiny. Mimo mezní vrstvu
můţeme tedy počítat s Bernoulliovou rovnicí pro ideální tekutiny. V mezní vrstvě však
musíme viskozitu uvaţovat a proudění zde můţe být buď laminární nebo turbulentní.
Odvoďme pomocí věty o změně hybnosti vztah udávající růst tloušťky mezní vrstvy
 x se vzdáleností od náběţné hrany x ,
Zvolme kontrolní oblast OAB, ohraničenou deskou, hranicí mezní vrstvy a úsečkou
AB. Uvaţujme jednotkovou šířku desky b. Pro zjednodušení se volí rychlostní profil jako
přímka, jeţ dá pro laminární mezní vrstvu vcelku vyhovující výsledek:
.Obr.16.3 Idealizovaná mezní vrstva na profilu. Uplav je odplavená mezní vrstva.
v  v
y
x
.
( 16.1 )
Ve směru prouděni působí na tekutinu v uvaţované oblasti pouze tření o stěnu:
x
Fx    0dx ,
( 16.2 )
0
kde  0 je tečné napětí na stěně
 dv 
v
 0    
  .
dy
x
  y 0
( 16.3 )
Z kontrolní oblasti vytéká průřezem AB
x
v  x
.
2
QM    vdy  
0
( 16.4 )
Toto mnoţství tekutiny přitéká do kontrolní oblasti plochou OA konstantní rychlostí v  , takţe
hybnost přitékající tekutiny je
H1  QM v  
1 2
v  x .
2
( 16.5 )
Hybnost tekutiny vytékající průřezem AB z kontrolní oblasti
H2 
x
x
0
0
2
 vdQM    v dy 
1 2
v  x .
3
( 16.6 )
Dosadíme-li rov.
( 16.2 ),
( 16.3 ),
102
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
( 16.5 ),
( 16.6 ) do věty o změně hybnosti napsané pro elementární část mezní vrstvy o délce dx :
dF  d H1  H2  
 0dx  
v
x
dx 

H  H2 dx ,
x 1
1 2  x
v 
dx .
6
x
 x
dx  d x ,upraví se diferenciální
x
6
a po integraci
 x d x 
v 
Protoţe
 x2  12

rovnice separací proměnných na tvar
x K,
v
( 16.7 )
coţ je parabola druhého stupně, kde K  0 neboť pro x  0 je  x  0 . Zavedeme-li do
rovnice
( 16.7 ) Reynoldsovo číslo, v němţ charakteristickou délkou bude vzdálenost od náběţné
hrany x :
Rex 
vx

,
( 16.8 )
bude
x 
3,46x
.
Rex
( 16.9 )
Pomocí přesnějších výpočtů potvrzených experimenty dostaneme stejný výraz, jen konstanta
je vyšší: 5,8.
Chceme-li vypočítat odpor, dosadíme z rov.
( 16.3 ) za pouţití rov.
( 16.7 )
L
( 16.10 )
1,15
v2
Fx  b  0dx 
b L  ,

ReL
0
2
tj. odpor jedné strany desky, jejíţ plocha S  b.L . Prvý zlomek se zpravidla označuje
součinitel odporu c x a přesnějším výpočtem dostaneme opět stejný vztah s vyšší
konstantou
cx 
1,33
.
ReL
( 16.11 )
Odpor desky se pak počítá z rovnice
Fx  c x S
v 2
,
2
( 16.12 )
kde v 2 / 2  pd ,tj. dynamický (resp. kinetický) tlak.
Jestliţe nabíhající proud tekutiny je turbulentní, nebo jestliţe je proud laminární, ale
před desku umístíme turbulizátor, např. síto, drát, pak tloušťka mezní vrstvy bude narůstat
rychleji a odpor bude vyšší:
cx 
0,074
ReL
( 16.13 )
5
103
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
x 
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
0,37x
ReL
( 16.14 )
5
(tj. střední hodnota tloušťky, neboť x kolísá s časem), viz obr. 16.4
Obr.16.4 Smíšená mezní vrstva na desce.
Ale i kdyţ je proud laminární a nepouţijeme turbulizátor, pak laminární mezní vrstva
po dosaţení určité tloušťky se stane nestabilní a v určité vzdálenosti od náběţné hrany se
změní v turbulentní a dostane se tzv. smíšená mezní vrstva, obr.16.4.
Obr.16.5 Závislost součinitele odporu tenké desky
V přední části je mezní vrstva laminární, v zadní turbulentní, mezi nimi přechodová
oblast. Okamţitá hranice turbulentní mezní vrstva – plná nepravidelná křivka - se s časem
mění. Střední tloušťka turbulentní mezní vrstvy je zakreslena čárkovaně.
Kritérium pro stanovení tohoto přechodu je opět kritické Reynoldsovo číslo, jehoţ
hodnota se mění se stupněm turbulence proudu. Zpravidla se udává
Rek 
v  xk

 5  105 ,
ale můţe být větší (aţ 2.106) i menší. Součinitel odporu pro smíšenou mezní vrstvu lze
vyjádřit
104
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
cx 
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
0,074
A
,

ReL ReL
( 16.15 )
5
kde pro ReL  5.105 je A  1700 .
Závislost součinitele odporu c x tenké desky na Reynoldsově čísle je na obr.16.5.
Protoţe je diagram vynesen v logaritmických souřadnicích, je závislost součinitele odporu
laminární mezní vrstvy,rov.
( 16.11 ) , znázorněna přímkou L stejně jako součinitele odporu turbulentní mezní
vrstvy pro hladkou desku, rov. (14.13) čárkovanou přímkou T s menším sklonem. Skutečné
hodnoty součinitele odporu v turbulentní mezní vrstvě budou při vyšších hodnotách Re (nad
107) vyšší a jsou v znázorněny plnou křivkou. V turbulentní oblasti je odpor závislý i na
drsnosti desky a s rostoucí drsností roste i součinitel odporu. Křivky pro smíšenou vrstvu S
(je jich více podle velikosti Rek) se asymptoticky blíţí křivkám součinitele odporu turbulentní
mezní vrstvy, neboť při rostoucích Reynoldsových číslech je část plochy desky s laminární
mezní vrstvou stále menší.
16.2. Odpor těles Fx
Při obtékání reálných těles konečné tloušťky, symetrických k vektoru rychlosti v  ,
jsou všechny sloţky sil kromě odporu nulové:
( 16.16 )
v2
Fx  c x S  .
2
Při obtékání těles menšími rychlostmi (aby se neuplatnil vliv stlačitelnosti), si celkový
odpor rozkládáme na odpor třecí (vliv viskozity) daný integrálem tečných sil po povrchu a
tlakový, způsobený nesymetrickým rozloţením tlaku po povrchu tělesa. Podle toho, která
sloţka odporu převládá, coţ závisí na tvaru, můţeme tělesa rozdělit do tří skupin: deskovitá
a paralelní s proudem, deskovitá a kolmá k proudu a spojitě zakřivená s relativně velikou
tloušťkou nebo dobře a špatně obtékaná:
a) ocasní plochy letadel a.p. jsou typickými příklady profilovaných desek, u nichţ převládá
třecí odpor. Do rov. ( 16.16 ) se však obyčejně nedosazuje smočená plocha, jako u tenké
desky, nýbrţ plocha půdorysu, neboť se určí snadněji.
Součinitel odporu závisí na tvaru profilu desky, Reynoldsově čísle, drsnosti povrchu a
turbulenci proudu. Průběh součinitele odporu v závislosti na Reynoldsově čísle je podobný
jako pro tenkou desku, jen o něco větší vlivem malého tlakového odporu. Úplav je malý.
Protoţe přechod laminárního proudění v turbulentní je silně závislý na tlakovém spádu, lze
vhodným tvarováním sníţit odpor v určité oblasti Re. Jedná se o tzv. laminární profily, u
nichţ je maximální tloušťka posunuta do vzdálenosti 40 aţ 60% od náběţné hrany, zatímco
u klasických profilů byla asi 30%.
Obr. 16.6 Obtékání desky kolmé k proudu
105
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
b) U deskovitých těles postavených kolmo k proudu, obr.16.6, nebo u těles s ostrými hranami
na zadní části, dochází k odtrţení proudu na hranách. Proto bod odtrţení nemění svou
polohu.
Před tělesem je přetlak, za tělesem podtlak (nevhodné rozloţení tlaku). Úplav je veliký
Součinitel odporu závisí hlavně na tvaru tělesa, jen pro malá Reynoldsova čísla Re < 103 je
závislý i na Re, nebot' roste vliv viskozity, obr.16.7.
Hodnoty součinitelů při
Re > 103 jsou závislé
hlavně na tvaru, např.
kruhová a čtvercová
deska mají cx = 1,1 ;
obdélníková deska (s
teoreticky nekonečným
rozpětím) cx= 2. Jako
charakteristickou plochu
A dosazujeme v tomto
případě do rov.
( 16.12 ) plochu průmětu
do roviny kolmé k
rychlosti v  - čelní
průmět.
c) pro tělesa spojitě
zakřivená
(koule,
elipsoidy, válce a p.) je
charakteristické, ţe při
určitých
hodnotách
Reynoldsových
čísel
Obr.16.7 Závislost součinitele odporu různých těles na
dochází k pronikavým
Reynoldsově čísle:
změnám
součinitele
odporu cx např. na obr.16.7, při Re  105. Příčinou je posunutí bodu odtrţení mezní vrstvy
směrem dozadu při přechodu proudění v mezní vrstvě z laminárního na turbulentní. To má
za následek zmenšení úplavu i odporu.
K odtrţení mezní vrstvy dochází zpravidla tehdy, kdyţ tekutina proudí do míst s
vyšším tlakem např. na zadní části koule, válce, ale i v difuzoru a podobně. Tlakové a třecí
síly působící proti pohybu částice jsou překonávány setrvačností částice tekutiny, její rychlost
proto klesá, aţ v určitém místě na povrchu tělesa má rychlost nulovou, obr.16.8.
Obr.16.8 Proudění v okolí bodu odtrţení
106
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Rychlostní profil v tomto místě má inflexní bod. Za tímto místem mají rychlosti u stěny
opačný smysl, neţ je tomu u hlavního proudu. U stěny vzniká zpětně proudění
V turbulentní mezní vrstvě mají částice u stěny větší kinetickou energii, protoţe
rychlostní profil je plnější neţ při laminárním proudění. To je příčina posunu bodu odtrţení
dozadu a zmenšení úplavu při přechodu laminárního proudění v mezní vrstvě v proudění
turbulentní. Proto při Reynoldsově kritickém čísle dojde k poklesu součinitele odporu, jak
jsme dříve uvedli. (obr.16.8).
Při velmi malých Reynoldsových číslech, menších neţ 1, převládá vliv vazkých sil nad
tlakovými. U koule a válce je bod odtrţení posunut daleko dozadu - nedochází téměř k
odtrţení. Součinitel odporu je silně závislý na Re. Pro kouli odvodil Stokes
vztah Fx  3v d . Srovnáním s rov.
( 16.12 ) při dosazení S  d 2 4 dostaneme c x  24 Re . Při těchto obtékáních (tzv.
plíţivé proudění) nelze hovořit o mezní vrstvě, neboť vliv viskozity sahá velmi daleko od
tělesa.
U válců dochází v oblasti 40 < Re < 500 k pravidelnému, střídavému odtrhávání vírů
a za válcem vzniká tzv. Kármánova vírová stezka. Tento jev je nutno respektovat u různých
stavebních konstrukcí, a dbát na to, aby nedošlo k rezonanci frekvence odtrhávání vírů a
vlastní frekvence konstrukce. Tento jev je také příčinou "zpívání" telefonních drátů - tzv.
Strouhalových třecích tónů. Do Reynoldsova kritického čísla, jeţ pro kouli nabývá hodnot
Rek 
v d

 1,5 až 4  105
je proudění v mezní vrstvě laminární - podkritické, bod odtrţení mezní vrstvy je ještě před
maximálním průřezem, obr.16.9a. Při nadkritickém obtékání je bod odtrţení za maximálním
průřezem,
obr.16.9b.
Obr.16.9 Odtrţení proudu při obtékání koule
107
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
17. Proudění v korytech
17.1. Rovnoměrný průtok
Při průtoku koryty je kapalina vedena stěnami, které neohraničují celý průtočný
průřez, jen část, takţe vzniká volná hladina. Na této hladině se stýká proud kapaliny
s ovzduším. Můţe jít o průtok neplným potrubím, stokami, umělými otevřenými kanály nebo
přirozenými koryty potoků a řek. Zpravidla jde v těchto případech o turbulentní proudění.
Při ustáleném průtoku mohou nastat dva případy, a to pohyb rovnoměrný, při němţ
se rychlost proudu nemění po délce koryta a pohyb nerovnoměrný při němţ se rychlost
proudu a tím i průtočný průřez (hloubka proudu) po délce koryta, tj. v závislosti na
vzdálenosti mění, avšak nemění se s časem t .
Rovnoměrný průtok nastane v korytě stálého průřezu, jestliţe spád dna z na délce l
je v rovnováze se ztrátovou výškou hz  z , coţ vyplývá z Bernoulliho rovnice
v2
p0 v 2

 g h  z  

 gh  ghz

2

2
p0
Obr.17.1 Rovnoměrný proud v korytě
Hladina vody je v tomto případě rovnoběţná se dnem koryta.
Pro ztráty třením platí vzorec
hz  
l v2
z
d 2g
Poměrný spád koryta je
i
z  v2

l d 2g
Průřez korytem je zpravidla nekruhový, proto se zavádí místo průměru d hydraulický
S
. (je třeba upozornit na rozdíl s dříve uvedeným hydraulickým průměrem d h ,
o
který je definován jako 4-násobek hydraulického poloměru rh a nikoliv 2- násobek).
Dosazením d  dh  4rh se upraví rovnice pro rovnoměrný průtok korytem takto:
poloměr rh 
i
 v2
( 17.1 )
8g rh
Rychlost rovnoměrného průtoku v korytě je
v
8g

irh  C irh
( 17.2 )
coţ je Chezyho rovnice. Rychlostní součinitel C pro střední rychlost rovnoměrného proudu
v korytech je vázán se součinitelem tření vztahem
108
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
C
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
8g
( 17.3 )

z čehoţ plyne, ţe C  f Re, 
Odborná literatura uvádí celou řadu empirických vztahů pro stanovení rychlostního
součinitele C , které byly stanoveny na základě měření. U přirozených toků bývá poměrný
spád i velmi malý. U horských řek je např. 0,002, u velkých řek v níţinách jen 0,0002.
Při návrhu koryt, stok pod. bývá obvykle zadán průtok Qv a volí se rychlost, z čehoţ
se vypočítá průřez S a poměrný spád i . Aby poměrný spád i , který je úměrný ztrátám, byl
co nejmenší, je třeba volit profil nejmenšího odporu, tj. s co největším hydraulickým
poloměrem.
17.2. Nerovnoměrný průtok
V místech, kde se spád koryta mění, takţe z  hz , vzniká pohyb nerovnoměrný. Při
proměnném spádu se průtočná rychlost v a tím i hloubka h mění po délce koryta, nikoliv
však v závislosti na čase – obr. 17.2.
Obr.17.2 Nerovnoměrný proud v korytě
Obr.17.3 Průtočný průřez koryta
Pro změnu výšky hladiny je moţné odvodit diferenciální rovnici ve tvaru, označení
veličin je patrné z obr. 17.3.
Qv2
i 2 2
S C rh
dh 
dx
b Qv2
1
gS 3
(17.4 )
K integraci poslední rovnice je třeba znát tvar koryta a stanovit funkce
S  Sh ,
rh 
S
 f h ;
o
C  Ch ;
b  bh  .
Řešení se dá provést jen v jednoduchých případech exaktně, u sloţitějších profilů koryt se
s výhodou pouţije numerické metody se.
Obr.17.4 Vodní skok
Při zvětšení poměrného spádu koryta se proud zrychluje a jeho hloubka klesá. V opačném případě při
zmenšení poměrného spádu se proud zpomaluje a jeho hloubka stoupá. V druhém případě můţe dojít
k náhlé změně rychlosti a tím hloubky, čemuţ se říká vodní skok.-obr. 17.4.
109
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
18. Fyzikální podobnost a teorie modelování
18.1. Hydrodynamická podobnost při proudění tekutin
Experimentální práce v hydraulické laboratoři je velmi významnou sloţkou výzkumné
práce. Zkoumají se modely nejrůznějších strojů a zařízení, aby se poznaly jejich základní
vlastnosti nebo zjistily a opravily vady, ověřují se teoretické předpoklady návrhu či projektu a
velmi často se pokusně zjišťují vzájemné závislosti zúčastněných veličin.
Výsledky získané na modelu se pak přepočítávají na skutečné zařízení, tzv. dílo.
Prozkoumání jevu na modelu umoţňuje také zavést opravné součinitele do teoreticky
odvozených rovnic, jejichţ řešení bylo zaloţené na zjednodušujících předpokladech (aby se
matematické řešení usnadnilo nebo zjednodušilo), které se však od skutečných poměrů
částečně odchylují. V některých sloţitých případech, které nejsou dosud teoreticky řešitelné,
se experimentem získávají pro praxi potřebné vztahy veličin.
Model se zhotovuje téměř vţdy menší neţ dílo, proto je levnější, lehčí, manipulace
s nimi je snadnější, výroba modelu kratší a lze s ním experimentovat v laboratořích. Menší
náklady umoţňují vyšetřovat na modelu několik alternativ a provádět úpravy během
experimentování.
Výsledky měření na modelu, mají-li splnit svůj úkol, je nutno přepočítat na skutečné
provedení – dílo, coţ se provádí na základě poznatků teorie fyzikální podobnosti. Fyzikální
podobnost stanoví podmínky, za kterých je zkoumaný jev na modelu fyzikálně podobný jevu
ve skutečném provedení – díle. Úplná fyzikální podobnost je splněna tehdy, kdyţ jsou
současně splněny následující tři podmínky:
1. geometrická podobnost. Tato vyţaduje, aby poměr odpovídajících délek na modelu a na
díle byl konstantní a úhly stejné
 L1 
L 
 
  1 
 konst
 L2 Model  L2 Díle
( 18.1)
2. kinematická podobnost. Tato podobnost vyţaduje, aby poměr odpovídajících rychlostí a
zrychlení na modelu a díle byl konstantní
 v1 
v 
    1   konst
 v 2 M  v 2 D
( 18.2)
3. dynamická podobnost. Proudění tekutin je pohyb hmotných částic. Podle klasické
Newtonovy mechaniky jsou příčinou pohybu síly. Proto dynamická podobnost vyţaduje, aby
poměr odpovídajících sil na modelu a na díle byl konstantní
 F1 
F 
    1   konst
 F2 M  F2 D
( 18.3)
Splnění podmínek geometrické a kinematické podobnosti je obvykle snadné, sloţitější bývá
splnění dynamické podobnosti.
V mechanice tekutin se vyskytuje mnoho sil, vyberme ze všech pouze ty, které se
nejčastěji vyskytují a tyto nechť jsou:
Síla tlaková
Fp  p.S  pl 2
Síla třecí
Ft   .S  lv
Síla setrvačná
FS  m.a   l 2v 2
Tíhová síla
FS  mg   gl 3
n
sil je moţno sestavit   kritérií fyzikální podobnosti (poměr dvou sil), z čehoţ
2
polovina je na sobě nezávislá.
Pro n
110
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Kriterium fyzikální podobnosti proudění, ve kterém budou hlavní (dominantní) síly
setrvačné – Fs a třecí – Ft je podle rovnice (16.3) poměr
FSM FtM

 konst , odkud
FSD FtD
 FS 
F 
    S 
 Ft M  Ft D
Po dosazení za jednotlivé síly je-li

  dostaneme

  l 2v 2 
  l 2v 2 

 

 lv 
 lv 

M 
D
 vl 
 vl 
   
  M   D
ReM  ReD
( 18.4 )
Výraz na levé straně je Reynoldsovo číslo na modelu a na pravé straně pak Reynoldsovo
číslo na díle. Podobnost je v tomto případě splněna tehdy, jsou-li stejná Reynoldsova čísla
na modelu a na díle. ReM  ReD
Podobně lze odvodit i další kriteria podobnosti:
Pro hlavní síly – tlaková Fp a setrvačná Fs se dostane
 Fp 
F 
    p 
 FS M  FS D
Po dosazení za jednotlivé síly a po úpravě
 pl 2 
 p.l 2 
 2 2  2 2
l v 



M   l v D
p
Zlomek Eu 
je Eulerovo číslo
 v2
 p 
 p 

   2 
2
  v M  v D
EuM  EuD
(18.5)
Podobnost v tomto případě je splněna, jsou-li stejná Eulerova čísla na modelu a na díle
EuM  EuD .
Jsou-li hlavní síly Fs síla setrvačná a Fg síla tíhová se dostane
 FS 
 
    FS 
 Fg 
 
 M  Fg D
Po dosazení za jednotlivé síly a úpravě
  l 2v 2 
  l 2v 2 





3 
  gl 3 


M  gl D
Zlomek Fr 
v2 
v2 
   
 gl 
 
 M  gl D
FrM  FrD
( 18.6 )
v2
je Froudovo číslo
gl
Podobnost v tomto případě je splněna, jsou-li stejná Froudova čísla na modelu a na díle
FrM  FrD .
18.2. Dimenzionální analýza (-teorém)
Aplikace -teorému bude názornější vysvětlena na následujícím příkladě.
Pro součinitel tření  v potrubí můţeme na základě zkušeností psát, ţe je funkcí čtyř
fyzikálních veličin
111
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
  f v, D, , k  .Tzn. ţe počet proměnných veličin n=4. Tyto čtyři veličiny se dají vyjádřit
pomocí dvou základních rozměrů a sice délka M a čas t.
Počet základních rozměrů tedy je r = 2.
Počet bezrozměrných veličin je
 nr  422
Mohou to být tato bezrozměrná podobnostní čísla:
 1  Re 
2   
vD

- číslo Reynoldsovo
k
- relativní drsnost
D
Závislost třecího součinitele se zapíše ve tvaru
  f Re, 
Pomocí -teovému, se tedy sníţil počet nezávisle proměnných z původních 4 pouze na 2,
coţ představuje významné zjednodušení problému.
112
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
19. Rovinné potenciální proudění
19.1. Úvodní poznámky
Od 18. století je snaha najít matematické modely pro především rovinné úlohy
elektrického pole, z nichţ se vyvinula teorie elektrického potenciálu, která s vyuţitím teorie
funkce komplexní proměnné umoţnila řešit pole pro elektrický proud a napětí v dosti
sloţitých rovinných útvarech. Výsledky byly převzaty pro analogickou úlohu, tj. pro
stacionární rovinné případy proudění nevazké kapaliny. S vyuţitím konformního zobrazení
byly řešeny sloţité úlohy obtékání rovinných útvarů jako leteckých profilů, lopatkových mříţí
či případů proudění u sloţitě tvarovaných kanálů v hydraulických strojích. Analýzou
matematických modelů a výsledků se ukázalo, ţe model nevazké tekutiny neodpovídá vţdy
skutečnosti. Jeden ze závaţných dopadů je v tom, ţe obtékané objekty nevykazují odpor. To
je důsledek toho, ţe základní veličina proudového pole, tj. rychlostní potenciál  a s ním
spojené proudové funkce jsou řízeny Laplaceovou rovnicí a platí tudíţ, ţe rotace rychlosti je
u takto definovaného pole nulová


( 19.1 )
rot v x v  0
Znamená to také, ţe matematický model, z něhoţ byl v pohybové rovnici vypuštěn
vazký člen, nemůţe vytvořit v proudovém poli vír, takţe v tom se odchyluje od fyzikální
reality. Nicméně u štíhlých, dobře obtékaných těles se výsledky získané z potenciálního
proudění příliš neodchylují skutečnosti a byly dobře pouţitelné pro praktické úvahy.
19.2. Základní rovnice
Pro ustálené proudění nestlačitelné kapaliny platí rovnice kontinuity
 v
divv  i  0
xi
( 19.2 )
Pro rovinné proudění platí
( 19.3 )
dv x dv y

0
dx
dy
K úplnému modelu proudění je třeba přidat ještě další rovnici. Je to pohybová
rovnice, Eulerova rovnice hydrodynamiky, která se získá vypuštěním členu s vazkostí
z rovnice Navier Stokesovy, tedy
( 19.4 )
v i
v i
1 p
t
vj
x j
 ai 
 xi
Jak plyne z dalšího, v teorii potenciálového proudění se k určení rychlostního pole
pracuje pouze s rovnicí kontinuity a rovnice Eulerova slouţí k určení tlaku.
Obr. 19.1 Kinematika elementu proudící kapaliny
113
Obr. 19.2 Definice cirkulace
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Další důleţitou veličinou je cirkulace rychlosti. Vyjde se z kinematických vztahů dle
obr.19.1
a definuje se cirkulace rychlosti  jako křivkový integrál na uzavřené křivce viz obr.19.2
Rychlost otáčení elementárního objemu dle obr.19.1 lze charakterizovat cirkulací 
definovanou

( 19.5 )
  v cosds

Kladný smysl obíhání je takový, aby plocha uzavřená křivkou c byla po levé ruce.
Cirkulace pro elementární objem dle obr.19.2 je
v y dx 



v dy 
v dy 
dy   v x  x
d   v x  x
dx   v y 
dx 
y 2 
x 2 
y 2 



v y dx 

 v
v 
dy   y  x dxdy  2dS
  v y 
x 2 
y 

 x
Poslední výraz v rovnici ( 19.5 ) je dán Stokesovou větou   2S
(19.6 )
V literatuře se odvozuje, ţe cirkulace podél uzavřené křivky v proudovém poli je nulová
 vds  0 . Proto je nulový i výraz

 v y v x 

  2  0

y 
 x
( 19.7 )
Tento výraz charakterizuje otáčení částice kol své osy, čili její vířivost.
Potenciálové funkce:
V analogii k teorii elektrického pole zavádí se funkce rychlostního potenciálu, který
splňuje tyto podmínky
( 19.8 )


vx 
x
vy 
y
Dosadí-li se tyto vztahy do rovnice kontinuity ( 19.2 ) dostane se Laplaceova rovnice pro
funkci 
( 19.9 )
 2  2
x 2

y 2
0
Pozn.: Pokud se vyuţije cylindrických souřadnic (r,), definuje se
vr 

r
v 


( 19.10 )
Čáry  = konst. se nazývají ekvipotenciálami.
Proudové funkce:
Definuje-li se analogicky k předchozímu odstavci proudová funkce  jako
vx 

y
vy  

,
x
( 19.11 )
pak rovněţ i proudová funkce splňuje Laplaceovu rovnici
( 19.12 )
 2  2

0
x 2 y 2
Diferenciál proudové funkce
d 


dx 
dy  v y dx  v x dy
x
y
( 19.13 )
umoţní definovat čáru  = konst. z podmínky d = 0.
114
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Tím se definuje proudnice, neboli obálka vektorů rychlosti
 v y dx  v x dy  
( 19.14 )
z podmínky tečny k proudnici
( 19.15 )
dy v y

.
dx v x
Je moţno analogicky definovat pro čáru konstantního potenciálu
( 19.16 )
dy
v
 x .
dx
vy
Z toho plyne, ţe čáry stejného potenciálu a proudnice jsou vzájemně kolmé. Dosazením
vztahů pro  a  do rovnice ( 19.15 ) a ( 19.16 ) dostanou se Cauchy-Riemannovy
podmínky pro  a .
( 19.17 )
 


vx 
x

y
; vy 
y

x
Jsou tedy  a  vzájemně závislé a z jedné funkce lze získat druhou.
Pro technickou praxi je důleţitější funkce proudová , které se vyuţívá i u skutečných
kapalin.
19.3. Využití teorie potenciálového proudění, skládání proudů.
Uvedenou teorii je moţno rozvíjet dvojím způsobem. Je to především řešení
proudového pole v zadané oblasti řešením Laplaceovy rovnice buď pro proudovou nebo
někdy téţ pro potenciálovou funkci. 0bě tyto funkce umoţňují definovat sloţky rychlosti a
následně tlakové pole v oblasti, pomocí Eulerovy rovnice hydrodynamiky. V dnešní době se
řeší tyto úlohy numericky. Integrační oblast je obvykle zadávána tak, ţe je omezena 2-mi
pevnými hranicemi a dvěmi protékanými. Pro tyto hranice je nutno zadat okrajové podmínky
– na stěně v = 0, na protékané hranici se zadává buď rychlostní profil nebo podmínka pro
tlak.
Obr.19.3 Oblast pro řešení potenciálového
proudění
Obr.19.4 Paralelní proud rovnoběţný s
osou x. (a= 1)
V současnosti se tyto úlohy řeší numericky vhodnými softwarovými programy.
V minulosti byly tyto úlohy především vzhledem k tvaru hranice řešeny analogovými
metodami pomocí analogie s odporovými papíry respektive v elektrolytické vaně. Druhá
metoda je metoda skládání proudění.
Spočívá v tom, ţe se definují matematicky jednoduché proudové útvary. Vychází se
pak z teze, ţe pro ustálený stav platí
115
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
n
   i
i 1
resp.  
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
( 19.18 )
n
 i
i 1
Sčítáním proudových funkcí v dané oblasti je moţné určit čáru  = 0, která vytváří za
jistých podmínek obrys potenciálově obtékaného objektu a z okolních vnější proudových čar
je moţné učinit úsudek o proudovém poli takovéhoto tělesa.
Základní případy potenciálního proudění jsou:
a) paralelní proud
b) zdroj a propad
c) potenciální vír
a) Paralelní proud, obr.20.4, je charakterizován rychlostí a stejnou co do velikosti a směru
ve všech bodech proudového pole.
Proudová funkce
(19.19 )
1  ay , a potenciál rychlosti 1  ax .
Rychlost je tedy rovnoběţná s osu x, protoţe platí
 

 a  konst. ,
x y
vy  0 .

Tedy v  v x
vx 
Poté i proudnice = konst. jsou přímky paralelní s osou x , ekvipotenciální čáry  =
konst. jsou přímky paralelní s osou y .
Kterákoli proudnice můţe představovat tuhou stěnu (normálná sloţka rychlosti je rovna
nule).
b) Rovinný pramen (zdroj, zřídlo), obr. 19.5, představuje radiální proudění tekutiny z bodu
do roviny.
Obr.19.5 Rovinný pramen
Obr.19.6 Potenciální vír
Pramen je charakterizován vydatností (mohutností) Q, coţ je objem tekutiny vyteklý za
jednotku času
( 19.20 )
Q = 2vrr = konst.,
odkud plyne pro rozloţeni rychlosti
116
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Q
 konst. ,
2
Rychlostní potenciál  a proudová funkce  pramenu:
Q
Q

.

ln r ,
2
2
vr r 
( 19.21 )
( 19.22 )
Proudnice jsou radiální přímky  = konst., ekvipotenciální čáry jsou soustředné kruţnice.
Tangenciální sloţka vt = 0 a radiální sloţka rychlosti
( 19.23 )
 1 
Q
vr 
r

r 

2r
,
Poznámka: Centrální bod pramene je singulární bod, rychlost je tu nekonečně veliká.
Rovinný propad (nor) se od pramene liší opačným směrem proudění tekutiny.
c) Potenciální vír. obr.19.6 (vírové vlákno).
Částice tekutiny se posouvají po kruhových drahách (soustředných kruţnicích), aniţ by se
otáčely kolem své osy. Částice konají translační pohyb, při kterém se deformují. Částice
tekutiny se po kruhových drahách posouvají (translace a deformace), aniţ by se otáčely
kolem své osy (s výjimkou jádra).
Rychlost otáčení je charakterizována cirkulací , definovanou rovnicí (198.5), která je
u potenciálního víru rovna
( 19.24 )
  2rv t  konst.
odtud dostaneme vztah
vt r 

 konst.
2
( 19.25 )
V ose víru vychází opět rychlost nekonečně veliká (singulární bod). Zavádíme proto
jádro víru o poloměru r0, v němţ se tekutina otáčí jako tuhé těleso, obr.19.6. Rychlostní
potenciál  a proudová funkce potenciálního viru :
( 19.26 )



,

ln r .
2
2
Proudnice, jak jsme jiţ řekli, jsou soustředné kruţnice, ekvipotenciální čáry jsou
radiální přímky. Tangenciální sloţka rychlosti, v oblasti mimo jádro víru, ubývá s poloměrem
( 19.27 )
1 


vt 
r 

r

2r
Obr.19.7 Rovinné polotěleso, rozprostírající se do nekonečna
117
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
a radiální sloţka rychlosti vr = 0.
Rychlostní potenciál  a proudovou funkci  lze u rovinného potenciálního proudění
navzájem zaměnit (jak o tom svědčí poslední dva případy), neboť obě musí vyhovovat
Laplaceově rovnici.
Skládání proudění
Rovinné potenciální proudění je popsáno diferenciální Laplaceovou rovnicí. Známe-li
dvě řešení této diferenciální rovnice  1 a  2 , bude i jejich součet 1   2 novým řešením.
Tímto způsobem lze nalézt řešení sloţitějších případů proudění.
a) Rovinné polotěleso (deska.). Sloţením paralelního proudu a pramene dostaneme
obtékání desky rozprostírající se aţ do nekonečna, obr.19.7.
Proudová funkce je v základním tvaru dána jako
(19.28
Q
  1  2  ay 
 .
)
2
Přechodem do kartézského systému dostaneme vztahy pro vx a vy. Proudová čára =
0 udává obrys obtékaného polotělesa.
b) Rovinný dipól, obr.19.8, dostaneme tak, ţe sloţíme pramen a propad stejné mohutnosti
Q, jestliţe se vzdálenost mezi nimi 2l blíţí nule a mohutnost k nekonečnu tak, aby moment
dipólu měl konečnou hodnotu M  2Ql .
Proudnice jsou kruţnice se středy na ose y a dotýkají se počátku.
Proudová funkce dipólu
( 19.29 )
M
y
M sin
.


2
2
2 x  y
2
r
c) Válec kruhového průřezu. Sloţením paralelního proudu a rovinného dipólu dostáváme
prakticky velmi důleţitý případ obtékání válce kruhového průřezu.
Proudová funkce je rovna R 2  M / 2a

R2 
 sin .
  a r 
r 

( 19.30 )
Poloţíme-li = 0 dostáváme  = 0 tj. osa x a rovnici kruţnice r = R obr.19.9. .Sloţky rychlosti
( 19.31 )
 R2 


v r  a cos  1  2  ,

r 
 R2 
v r  a cos  1  2  .
r 

Na povrchu válce r  R je radiální sloţka nulová a tangenciální
v t  2a sin
( 19.32 )
( 19.33 )
pro  = 0 a  je vt = 0 (stagnační body A a C) maximální rychlosti vt =  2 jsou v bodech
= ±/2 tj. body B a D.
Stanovme rozloţení tlaku na povrchu válce (v nevazké tekutině jsou třecí síly rovny
nule). Napišme Bernoulliovu rovnici mezi bodem v nekonečnu a bodem na povrchu válce
( 19.34 )
a2
v2
p  
 p t .
2
2
Rozloţení tlakového součinitele c p (bezrozměrného tlaku) dostaneme dosazením za v t z rov
(19.33)
118
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
( 19.35 )
2
p  p
v 
cp 
 1   t   1  4 sin2 
2
a
a

2
Ve stagnačních bodech A a C je tlak největší c p  1. V bodech B a D je nejmenší
tlak c p  3 . Rozloţení tlaku je symetrické vzhledem k osám x a y . Integrací tlakových sil
po povrchu válce dostaneme Fx  Fy  0 a výsledná síla je rovna nule (D'Alembertův
paradox). Obtékání válce reálnou tekutinou souhlasí s potenciálním obtékáním pouze na
přední straně válce.
Obr.19.8 Schéma dipólu
Obr.19.9 Potenciální obtékání válce kruhového
průřezu
d) Rotující válec. Sloţením paralelního proudu, dipólu a potenciálního víru dostáváme
rovněţ prakticky důleţitý případ obtékání rotujícího válce, obr.19.10
Potenciální vír má zde opačný smysl otáčení neţ na obr.19.6 a proto se u proudové funkce
víru mění Proudová funkce
( 19.36 )

R2 

 sin 
  a r 
ln r

r
2



Analogicky jako v předcházejícím případě určíme sloţky rychlostí
 R2 
v r  a cos  1  2  ,
r 

( 19.37 )
 R2  
.
v r  a cos  1  2  
r  2r

Na povrchu válce r  R je radiální sloţka vr = 0 a tangenciální sloţka

v t  v  2a sin 
.
2R
( 19.38 )
( 19.39 )
Body nulové rychlosti (stagnační body A, C) leţí nyní pod osou x , viz obr.19.10 (pro
 4Ra ).
119
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
Obr.19.10 Obtékání rotujícího válce a vznik
vztlaku
Obr.19.11 Elementární tlaková síla
působící na povrch válce.
Cirkulace  narušuje symetrii proudění vzhledem k ose x nad osou x , kde jsou výsledné
rychlosti dané vektorovým součtem rychlosti paralelního proudu a potenciálního víru větší
neţ v symetricky leţících bodech pod osou x , budou vzhledem k Bernoulliově rovnici tlaky
menší. Tím vzniká tlaková síla, jeţ působí na rotující válec ve směru kolmém k rychlosti a tj.
vztlak Fy . Abychom mohli vypočítat jeho velikost stanovme nejprve pomocí Bernoulliovy
rovnice rozloţení tlaku na povrchu válce:
( 19.40 )
2
p  p  
a2  
 
   2a sin 
 .
2 2
2R 
Na povrchu válce o jednotkové délce vytkneme elementární plošku, obr.19.11
dA  Rd
a výslednou tlakovou sílu na ni působící dF   pdA rozloţíme na sloţky
dFx  dF cos    pR cos d
(19.41)
dFy  dF sin   pR sind
Integrací po povrchu válce dostaneme po dosazení za p z rov. (19.41)
2
( 19.42 )
Fx   Fx  R  p cos d  0
0
,
tj. nulový odpor, neboť proudění je symetrické vzhledem k ose y a vztlak
2
( 19.43 )
Fy   Fy  R  p sind  0 .
0
Po dosazení za p z rov. ( 19.401 )
2
2
2

a2 
R 
 
  sind 
Fy  R p  

2
a
sin



 sind ,


2
2
2

R



0
0
protoţe
2
 sind  0
0
2
;
3
 sin d  0
2
;
0
 sin
d  
2
0
dostáváme pro vztlak tzv. Kutta-Ţukovského vzorec
Fy  a ,
který tvoří základ teoretické aerodynamiky.
120
( 19.44 )
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
20. Přehled použitých označení
Označení
A
A
C
E
E
F
F0
Fp
Fs
Ft
G
H
H
Jx
Jxy
Jy
K
M
My
P
Q
Qm
Qv
R
S
T
T
U
V
W
Y
Yd
Yt
a
a
c
cx
d
dh
e
ez
g
h
hz
i
i,j,k
k
l
l
le
m
n
p
Měřící jednotka
J
Pa.s
m1/2. s –1
N . m –2
J
N = kg . m . s –2
N
N
N
N
N
kg . m . s –1
m
m4
m4
m4
N . m –2
m4 . s –1
m3
W
J
kg . s –1
m3 . s –1
m
m2
K
s
J . kg –1
m3
J=N.m
J . kg –1
J . kg –1
J . kg –1
m . s –2
m . s –1
m . s –1
1
m
m
J . kg –1
J . kg –1
m . s –2
m
m
Pa.m-1
1
m
m
m
m
kg
1
Pa = N . m –2
Význam
práce
vírová, zdánlivá viskozita
Chézyho součinitel
modul objemové pruţnosti v tahu
energie
síla
objemová síla ( = Fm )
tlaková síla – plošná síla
setrvačná síla
tečná síla, třecí síla
tíha ( = Fg )
hybnost
tlaková výška
moment setrvačnosti průřezu k ose x
deviační moment průřezu
moment setrvačnosti průřezu k ose y
modul objemové pruţnosti tekutiny
moment dipólu
statický moment plochy k ose y
výkon
teplo
hmotnostní průtok
objemový průtok
poloměr
plocha
absolutní teplota
doba běhu vlny
potenciál vnějších sil
objem
práce
měrná energie
skutečná měrná energie čerpadla
teoretická měrná energie čerpadla
zrychlení
rychlost zvuku
rychlost
součinitel odporu
průměr
hydraulický průměr
měrná energie
ztrátová měrná energie ( = er = Yz )
tíhové zrychlení
výška, svislá vzdálenost, hloubka
ztrátová výška
spád tlaku
jednotkové vektory
absolutní drsnost stěny
směšovací délka
délka, vzdálenost
ekvivalentní délka potrubí
hmotnost
index toku
tlak, hydrostatický tlak
121
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
pc
pd
ps
pz
q
r
r
rh
s
t
t
tz
u
v
v
vmax
vs
v*
w
x
y
z
Γ
Φ
Ψ

β
β


δ
δ
ε
ε


ζ
η
ηč
ηh
ηm
ηv


λ
μ
ν
ξ
π
ρ
ζ
ζ

p
φ
Pa
Pa
Pa
Pa
J . kg –1
J . kg –1 . K –1
m
m
m
o
C
s
s
m . s –1
m . s –1
m 3 . kg –1
m . s –1
m . s –1
m. s-1
m . s –1
m
m
m
m 2 . s –1
m 2 . s –1
m 2 . s –1
rad
rad
K –1
rad
N . m –3
m
m 2 . N –1
rad . s –1
1
1
1
1
Pa . s
1
1
1
1
1
1
1
1
m 2 . s –1
1
1
kg . m –3
Pa
N . m –1
Pa, N . m –2
Pa, N . m –2
rad
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
celkový tlak
dynamický tlak
statický tlak
tlaková ztráta
měrné teplo
měrná plynová konstanta
poloměr
hydraulický poloměr
dráha
teplota
čas
doba uzavírání armatury
unášivá, obvodová rychlost
rychlost, relativní rychlost
měrný objem
maximální rychlost
střední rychlost z průtoku
třecí rychlost
rychlost
souřadnice
souřadnice
souřadnice
cirkulace rychlosti
rychlostní potenciál
proudová funkce
úhel, směrový úhel
úhel, směrový úhel
součinitel teplotní objemové roztaţnosti
úhel, směrový úhel
měrná tíha
tloušťka mezní vrstvy
součinitel stlačitelnosti
úhlová deformace
součinitel kontrakce proud
relativní drsnost stěny trubky
intenzita turbulence
ztrátový součinitel
dynamická viskozita
celková účinnost čerpadla
hydraulická účinnost čerpadla
mechanická účinnost čerpadla
objemová účinnost čerpadla
součinitel ( vliv pruţnosti potrubí )
izoentropický exponent
součinitel tření
výtokový součinitel
kinematická viskozita
stupeň rázu
bezrozměrový parametr
hustota ( měrná hmotnost )
normálové napětí
povrchové napětí
tečné ( smykové napětí )
počáteční smykové napětí
úhel
122
JANALÍK,J. - ŠŤÁVA,P.: Mechanika tekutin
φ
ω
1
s –1
VŠB TU Ostrava, Fakulta strojní
rychlostní součinitel
úhlová rychlost
Bezrozměrná čísla:
Eu - Eulerovo
Fr - Froudovo
Gu - Gumbelovo
Ma - Machovo
Ne - Newtonovo
Re - Reynoldsovo
Sh - Strouhalovo
We - Weberovo
Poznámka:
- střední hodnoty značeny pruhem
- fluktuační hodnoty značeny čárkou
- vektory značeny tučně
21. LITERATURA
BIRD,B.R, STEWART,W.E, LIGHTFOOT,E.N.:Přenosové jevy. Academia 1968
JEŢEK,J.,VÁRADIOVÁ,B.: Mechanika tekutin pro pětileté obory. ČVUT Praha,1983, 1991
JEŢEK,J.: Hydromechanika v příkladech. ČVUT Praha, 1975, 1988
KOZUBKOVÁ,M.,DRÁBKOVÁ, S.: Cvičení s Mechaniky tekutin. Sb. příkladů. VŠB-TU
Ostrava 2001
MAŠTOVSKÝ,O.: Hydromechanika. SNTL Praha 1956, 1963
NOSKIEVIČ,J. A KOL.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990
NOSKIEVIČ,J.: Hydromechanika. Skriptum. ES VŠB Ostrava, 1980
NOŢIČKA,J.: Mechanika a termodynamika. ČVUT, Praha 1991
NOŢIŠKA,J.: Analogové metody v proudění. Praha, Academia 1967
SMETANA,J.: Hydraulika, 1. a 2. díl. N ČSAV Praha, 1957
TESAŘ,V.: Mezní vrstvy a turbulence. ČVUT, Praha 1984
ALBRING,W.: Angewandte Strömungslehre, Steinkopf. Dresden 1961, 1966, 1970
PRANDTL,L., OSWATITSCH,K, WIEGHARDT,K.: Fuhrer durch die Strömungslehre Vieweg.
Braunschweig, 1969
SPURK,J.H.: Strömungslehre, Springer, Berlin 1989
FOX,R.W.,MC DONALD,A.T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York,
1994
SCHLICHTING,H.: Grenzschittheorie. Krlsruhe, Verlag A. Braun 1965
STREETER, V.L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971
WHITE, F.M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986
HINZE,J.O.: Turbulentnosť (překlad z angličtiny). Moskva, 1963
KOČIN,N.E., KIBEL,I.A, ROZE,N.V.: Teoretičeskaja gidromechanika. Izd. tech.-teor. lit.
Moskva, 1948
LOJCJANSKIJ, L.G.: Mechanika ţidkosti i gaza. Moskva, Nauka 1987
LOJCJANSKIJ,J.G.: Laminarnyj pograničnyj sloj. Moskva, 1962
GRYBOS, R.: Postavy mechaniky plynow. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998
123
Download

mechanika tekutin - Katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení