skripta MZB1.doc
8.9.2011
1/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
2/81
Obsah
Obsah ...................................................................................................................................................................... 2
Zlomky .................................................................................................................................................................... 3
Dělitelnost v množině přirozených čísel ................................................................................................................. 5
Trojčlenka ............................................................................................................................................................... 9
Výrazy s mocninami s celočíselným exponentem (5) ........................................................................................... 11
Výrazy s mocninami s racionálním exponentem .................................................................................................. 15
Vzorce ................................................................................................................................................................... 19
Mnohočleny .......................................................................................................................................................... 22
Výrazy ................................................................................................................................................................... 24
Lomené výrazy...................................................................................................................................................... 26
Vlastnosti funkce .................................................................................................................................................. 29
Definiční obor funkce ........................................................................................................................................... 38
Inverzní funkce ..................................................................................................................................................... 48
Graf funkce ........................................................................................................................................................... 53
Lineární funkce ..................................................................................................................................................... 60
Lineární funkce a lineární funkce s absolutní hodnotou ....................................................................................... 62
Lineární rovnice .................................................................................................................................................... 66
Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ........................................................................................................ 68
Lineární rovnice s absolutní hodnotou .................................................................................................................. 70
Soustava lineárních rovnic o 2 neznámých ........................................................................................................... 72
Soustava lineárních rovnic o 3 neznámých ........................................................................................................... 74
Lineární nerovnice ................................................................................................................................................ 76
Soustavy lineárních nerovnic ................................................................................................................................ 78
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou .............................................................................................................. 80
 Mgr. Václav Horský, 2006
skripta MZB1.doc
8.9.2011
3/81
Zlomky
1. Úprava na společný jmenovatel
1) Vypočtěte:
5
1
2
2  0,8  6  3 
VH:  152
2) Vypočtěte:
3
5
1
4  3  6  0,5 
VH: 34
3) Vypočtěte:
0,3  15  32  54 
VH: 14
4) Vypočtěte:
5
3
1
6  1,5  4  8 
VH:  241
 13  52  34 
VH:  607
Vypočtěte:
 12  13    52  34  
Běloun:  247
Vypočtěte:
1
1
2 3 
2  3 5  4 
23
Běloun: 60
Vypočtěte:
 12  13   52  34 
Běloun:  125
Vypočtěte:
5 1
3
1
5  3 2  4 
VH: 607
Vypočtěte:
15  53    12  34  
VH:  116  1 56
Vypočtěte:
5
1
1 3 
5  3 2  4 
1
2
2)
3)
4)
5)
6)
7)
2. Uspořádání zlomků podle velikosti
1) Uspořádejte zlomky od nejmenšího k
53
VH:  113
60  1 60
největšímu:
8) Vypočtěte:
4 5 39 11
3 , 4 , 24 , 8
15  53   12  34 
VH: 54 , 43 , 118 , 39
24
VH: 601
9) Vypočtěte:
2) Uspořádejte zlomky od nejmenšího k
6
3 4
3
5  25  4 
největšímu:
13 2 5
6
VH:  34
30 , 5 , 12 , 10
6
10) Vypočtěte:
VH: 52 , 125 , 13
30 , 10
 65  32    54  34  
3
3) Uspořádejte zlomky od nejmenšího k
VH:  200
největšímu:
11) Vypočtěte:
49 14 5 22
6
3
,
,
,
18 6 2 9
4 3 
5  2 5  4 
49
VH: 146 , 229 , 52 , 18
VH: 89  1 18
12) Vypočtěte:
4) Uspořádejte zlomky od nejmenšího k
 65  32   54  34 
největšímu:
99
VH:  100
17 4 7 3
20 , 5 , 8 , 4
13) Vypočtěte:
7
VH: 34 , 54 , 17
20 , 8
3
5
1 2 
4  4 4  5 
3. Mat. operace a závorky
1) Vypočtěte:
15
VH: 16
14) Vypočtěte:
 32  13   141  34 
skripta MZB1.doc
Sb-MM:  23
15) Vypočtěte:
1
 13 :  14  125  
2
Sb-MM: 0
16) Vypočtěte:
1
 14 :  23  14  
2
VH: 225
17) Vypočtěte:
1
 16 :  34  13  
2
VH: 269
18) Vypočtěte:
3
2
2 1 
2  3 : 3  2 
13
VH: 14
19) Vypočtěte:
3  14  121 : 23 
Sb-MM: 85
20) Vypočtěte:
7 5
3 2
8 : 6  2 4  5  0,3 
VH: 14
4. Úprava složených zlomků
1) Vypočtěte:
7
4
3  5

1  113
Sb-MM: 401
2) Vypočtěte:
4
11
3  6

2  89
VH:  209
3) Vypočtěte:
13
4
5  10

1  85
VH:  43  1 13
4) Vypočtěte:
2
1
7  2

3  34
8.9.2011
4/81
2
Běloun:  21
5) Vypočtěte:
1  56

1  65
Běloun:  56
6) Vypočtěte:
3
1
8  4

3
4
5  15
Běloun: 158  1 78
7) Vypočtěte:
1
2
5  3

1
2
4  5
1
Běloun: 28
9  39
5. Krácení ve zlomku
1) Vypočtěte:
3
7
 56  34  :  14  23  83  127 
4  8
5
SOŠ: 33
2) Vypočtěte:
3
1
6  4
  12  56  :  23  14  
5
11
8  12
SOŠ: 325  6 52
3) Vypočtěte:

4
5

5
6
: 
1
3
 103
  

 158
2
5
2
3
1
2
VH: 12
4) Vypočtěte:
5
1
2  12
  52  63  :  43  65  
3
2

6
4
7
VH:  27
20  1 20
skripta MZB1.doc
8.9.2011
5/81
Dělitelnost v množině přirozených čísel
1. Prvočísla
1) Z daných čísel zakroužkujte prvočísla:
16, 47, 15, 49, 29, 21, 8, 13, 31, 27, 39, 6, 44, 30, 25
V: 16, 47, 15, 49, 29, 21, 8, 13, 31, 27, 39, 6, 44, 30, 25
2) Z daných čísel zakroužkujte prvočísla:
18, 37, 9, 50, 2, 22, 45, 48, 27, 33, 12, 49, 39, 21, 41
V: 18, 37, 9, 50, 2, 22, 45, 48, 27, 33, 12, 49, 39, 21, 41
3) Z daných čísel zakroužkujte prvočísla:
43, 23, 10, 7, 25, 48, 49, 32, 17, 4, 36, 15, 22, 26, 42
V: 43, 23, 10, 7, 25, 48, 49, 32, 17, 4, 36, 15, 22, 26, 42
4) Z daných čísel zakroužkujte prvočísla:
14, 20, 35, 46, 9, 16, 3, 33, 11, 39, 19, 42, 5, 27, 18
V: 14, 20, 35, 46, 9, 16, 3, 33, 11, 39, 19, 42, 5, 27, 18
5) Vypište všechna prvočísla menší než 50.
V: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
(53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101)
2. Dělitelnost v N pro nerovnost
1) Zapište všechna přirozená čísla x, která jsou násobkem čísla 3 a platí:
105  x  126
Běloun: 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123
2) Najděte všechna přirozená čísla dělitelná čtyřmi, pro která platí:
116  x  132
Běloun: 120, 124, 128, 132
3) Zapište všechna přirozená čísla x, která jsou násobkem čísla 3 a platí:
213  x  228
V: 213, 216, 219, 222, 225
4) Najděte všechna přirozená čísla dělitelná čtyřmi, pro která platí:
204  x  224
V: 208, 212, 216, 220, 224
3. Dělitelnost v N - doplňování
1) Doplňte vynechanou číslici tak, aby
vzniklo číslo, které je dělitelné čtyřmi. Je-li3)
více možností, zapište všechny.
24
Běloun: 0, 2, 4, 6, 8
2) Doplňte vynechanou číslici tak, aby
vzniklo číslo, které je dělitelné čtyřmi. Je-li4)
více možností, zapište všechny.
13
Běloun: 2, 6
Doplňte vynechanou číslici tak, aby
vzniklo číslo, které je dělitelné čtyřmi. Je-li
více možností, zapište všechny.
13
Běloun: NŘ
Doplňte vynechanou číslici tak, aby
vzniklo číslo, které je dělitelné čtyřmi. Je-li
více možností, zapište všechny.
skripta MZB1.doc
8.9.2011
582
Běloun: 1, 3, 5, 7, 9
5) Najděte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo násobkem čísla devět. Je-li více
možností, uveďte všechny.
24
Běloun: 3
6) Najděte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo násobkem čísla devět. Je-li více
možností, uveďte všechny.
18
Běloun: 0, 9
7) Najděte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo násobkem čísla devět. Je-li více
možností, uveďte všechny.
30
Běloun: 6
8) Najděte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo násobkem čísla devět. Je-li více
možností, uveďte všechny.
21
Běloun: 6
9) Doplňte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo dělitelné šesti. Uveďte všechny
možnosti.
24
Běloun: 0, 6
10) Doplňte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo dělitelné šesti. Uveďte všechny
možnosti.
73
Běloun: NŘ
11) Doplňte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo dělitelné šesti. Uveďte všechny
možnosti.
50
Běloun: 1, 4, 7
12) Doplňte chybějící číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo dělitelné šesti. Uveďte všechny
možnosti.
37
Běloun: 2, 8
4. Prvočíselný rozklad
1) Určete prvočíselný rozklad čísla:
1620
Sb-MM: 1620 = 2.2.3.3.3.3.5
2) Určete prvočíselný rozklad čísla:
1288
Sb-MM: 1288 = 2.2.2.7.23
3) Určete prvočíselný rozklad čísla:
14850
Sb-MM: 14850 = 2.3.3.3.5.5.11
4) Určete prvočíselný rozklad čísla:
1728
V: 1728 = 2.2.2.2.2.2.3.3.3
5) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2430
V: 2430 = 2.3.3.3.3.3.5
6) Určete prvočíselný rozklad čísla:
4050
V: 4050 = 2.3.3.3.3.5.5
7) Určete prvočíselný rozklad čísla:
1215
V: 1215 = 3.3.3.3.3.5
8) Určete prvočíselný rozklad čísla:
1400
V: 1400 = 2.2.2.5.5.7
9) Určete prvočíselný rozklad čísla:
1188
V: 1188 = 2.2.3.3.3.11
10) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2646
V: 2646 = 2.3.3.3.7.7
11) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2025
V: 2025 = 3.3.3.3.5.5
12) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2100
V: 2100 = 2.2.3.5.5.7
13) Určete prvočíselný rozklad čísla:
9000
V: 9000 = 2.2.2.3.3.5.5.5
14) Určete prvočíselný rozklad čísla:
8100
V: 8100 = 2.2.3.3.3.3.5.5
15) Určete prvočíselný rozklad čísla:
3510
V: 3510 = 2.3.3.3.5.13
16) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2736
V: 2736 = 2.2.2.2.3.3.19
17) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2754
V: 2754 = 2.3.3.3.3.17
18) Určete prvočíselný rozklad čísla:
8125
V: 8125 = 5.5.5.5.13
19) Určete prvočíselný rozklad čísla:
6/81
skripta MZB1.doc
2625
V: 2625 = 3.5.5.5.7
20) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2070
8.9.2011
V: 2070 = 2.3.3.5.23
21) Určete prvočíselný rozklad čísla:
2880
V: 2880 = 2.2.2.2.2.2.3.3.5
5. D(a,b), n(a,b)
1) Určete:
D(4,6),
n(4,6)
V: 4=2.2, 6=2.3, D(4,6)=2, n(4,6)=12
2) Určete:
D(8,20),
n(8,20)
V: 8=2.2.2, 20=2.2.5, D(8,20)=4, n(8,20)=40
3) Určete:
D(12,18),
n(12,18)
V: 12=2.2.3, 6=2.3.3, D(12,18)=6, n(12,18)=36
4) Určete:
D(28,42),
n(28,42)
V: 28=2.2.7, 42=2.3.7, D(28,42)=14, n(28,42)=84
5) Určete:
D(60,24),
n(60,24)
V: 24=2.2.2.3, 60=2.2.3.5, D(28,42)=12, n(28,42)=120
6) Určete:
D(60,315),
n(60,315)
V: 315=3.3.5.7, 60=2.2.3.5, D(60,315)=15, n(60,315)=1260
7) Určete:
D(90,315),
n(90,315)
V: 315=3.3.5.7, 90=2.3.3.5, D(90,315)=45, n(90,315)=630
8) Určete:
D(60,126),
n(60,126)
V: 126=2.3.3.7, 60=2.2.3.5, D(60,126)=6, n(60,126)=1260
9) Určete:
D(315,126),
n(315,126)
V: 126=2.3.3.7, 315=3.3.5.7, D(315,126)=63, n(315,126)=630
10) Určete:
D(72,126),
n(72,126)
V: 126=2.3.3.7, 72=2.2.2.3.3, D(72,126)=18, n(72,126)=504
11) Určete:
D(72,60),
n(72,60)
V: 60=2.2.3.5, 72=2.2.2.3.3, D(72,60)=12, n(72,60)=360
12) Určete:
D(72,90),
n(72,90)
V: 90=2.3.3.5, 72=2.2.2.3.3, D(72,90)=18, n(72,90)=360
13) Určete:
D(72,315),
n(72,315)
V: 315=3.3.5.7, 72=2.2.2.3.3, D(72,315)=9, n(72,315)=2520
14) Určete:
D(144,126),
n(144,126)
V: 126=2.3.3.7, 144=2.2.2.2.3.3, D(144,126)=18, n(144,126)=1008
15) Určete:
7/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
D(144,180),
n(144,180)
V: 180=2.2.3.3.5, 144=2.2.2.2.3.3, D(144,180)=36, n(144,180)=720
16) Určete:
D(126,180),
n(126,180)
V: 180=2.2.3.3.5, 126=2.3.3.7, D(126,180)=18, n(126,180)=1260
17) Určete:
D(315,180),
n(315,180)
V: 180=2.2.3.3.5, 315=3.3.5.7, D(315,180)=45, n(315,180)=1260
18) Určete:
D(72,88),
n(72,88)
V: 88=2.2.2.11, 72=2.2.2.3.3, D(72,88)=8, n(72,88)=797
19) Určete:
D(144,132),
n(144,132)
V: 132=2.2.3.11, 144=2.2.2.2.3.3, D(144,132)=12, n(144,132)=1584
20) Určete:
D(180,132),
n(180,132)
V: 132=2.2.3.11, 180=2.2.3.3.5, D(180,132)=12, n(180,132)=1980
21) Určete:
D(315,210),
n(315,210)
V: 210=2.3.5.7, 315=3.3.5.7, D(315,210)=105, n(315,210)=630
8/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
9/81
Trojčlenka
1. Spotřeba vozidla
1) Určete průměrnou spotřebu automobilu na 100 km jestliže na ujetí 450 km spotřebuje 25,2 litrů paliva.
VH: 5,6 l/100 km
2) Průměrná spotřeba motocyklu je 3,4 l/100 km. Jakou vzdálenost by měl dojet jestliže v nádrži zbývá 11,9
litrů paliva.
VH: 350 km.
3) Automobil s průměrnou spotřebou 8,6 l/100 km dojel do vzdálenosti 250 km. Kolik litrů paliva bylo v
nádrži?
VH: 21,5 l
4) Průměrná spotřeba auta je 8,8 l/100 km. Jakou vzdálenost by měl dojet jestliže v nádrži zbývá 57,2 litrů
paliva.
VH: 650 km.
2. Měřítko mapy
1) Na mapě s měřítkem 1: 75 000 je vzdálenost dvou míst 8,4 cm. Jaká je skutečná vzdálenost těchto míst?
VH: 6,3 km
2) Na mapě délce 12,2 cm odpovídá skutečná vzdálenost 6,1 km. Určete měřítko mapy.
VH: 1: 50 000
3) Mapa má měřítko 1: 200 000. Vzdálenost dvou míst je 35 km. Jaká délka odpovídá této vzdálenosti na
mapě?
VH: 17,5 cm
4) Na mapě s měřítkem 1: 400 000 je vzdálenost dvou míst 5,4 cm. Jaká je skutečná vzdálenost těchto míst?
VH: 21,6 km
5) Na automapě s měřítkem 1: 400 000 je přímá vzdálenosti Hradce Králové od Jičína 10,5 cm. Určete
skutečnou vzdálenost.
VH: 42 km
3. Slevy a zdražení
1) Cena kola byla zlevněna o 30 %. Kolik činila sleva jestliže nová cena je 10 220 Kč?
VH: 14 600 - 10 220 = 4 380 Kč.
2) Cestovní kancelář zdražila zájezd o 15 %. Nová cena zájezdu je 25 760 Kč. Kolik Kč činilo zdražení?
Nydl: 25 760 - 22 400 = 3 360 Kč
3) Letecká společnost zlevnila letenky o 15 %. Nová cena letenky je 12 240 Kč. Kolik Kč činilo zlevnění?
Nydl: 14 400 - 12 240 = 2 160 Kč
4) Cena pronájmu byla zdražena o 20 %. Kolik činilo zdražení jestliže nová cena je 19 440 Kč?
VH: 19 440 - 16 200 = 3 240 Kč.
5) Paní A. si koupila letní sandály. Po reklamaci jí bylo vráceno 15% původní ceny. Týden nato byly tytéž
sandály zlevněny o 10%. V sezónním výprodeji byly sandály prodávány s další slevou 15%. Paní B. si
koupila sandály ve výprodeji a zaplatila 765 Kč. Kolik zaplatila za sandály pani A.
VUT FP: 580 Kč.
4. Poměry procent
1) M je 30 % z Q, dále Q je 40 % z P a také N je 6 % z P. Čemu je roven zlomek
Nydl:
1
2
2) M je 30 % z Q, dále Q je 50 % z P a také N je 20 % z P. Čemu je roven zlomek
Nydl:
3
4
3) U je 10 % z V, V je 60 % W a také T je 30% z W. Kolik je zlomek
VH:
1
5
N
?
M
U
?
T
M
?
N
skripta MZB1.doc
8.9.2011
4) M je 30% z Q, dále Q je 50% z P a také N je 20% z P. Čemu je roven zlomek
Nydl:
10/81
N
?
M
4
3
5) M, N, P, Q jsou ceny čtyř druhů zboží a platí: M je 30 % ceny Q, Q je 20 % ceny P, N je 50 % ceny P.
Potom čemu je roven poměr
Nydl:
NP
?
M
25
1
5. Různé
1) Obdélník má strany a, b. O kolik procent se zmenší obsah, jestliže se a zmenší o 40 % a b o 20 %.
Nydl: 52 %
2) Obdélník má strany a, b. O kolik procent se zmenší obsah, jestliže se a zmenší o 30 % a b o 10 %.
VH: 37 %
3) Zvětšíme délku strany rovnostranného trojúhelníka na dvojnásobek. Kolikrát se zvětší jeho obsah.
Nydl: 4x
4) Jestliže zkrátíme hranu krychle o 20 %, kolik procent se zmenší její objem?
Nydl: 48,8 %
5) Bezúročná půjčka bude splacena ve třech splátkách jejichž hodnoty klesají a jsou v poměru 5 : 3 : 1. Kolik
procent činí druhá splátka z celkové částky?
Nydl: 33,3333 %
6) Jestliže zvětšíme délku strany rovnostranného trojúhelníka na dvojnásobek, o kolik procent se zvětší jeho
obsah?
Nydl: 300 %
7) Hrubá mzda pana Pažouta je 16 400 Kč. Kolik činí čistá mzda jestliže na daních zaplatí 35 %?
VH: 10 660 Kč.
6) V krátkém období obchodník měnil dvakrát cenu zboží. Nejdříve ji zvýšil o 20 %, posléze však tuto novou
cenu snížil o 10 %. Výsledná cena byla pak 9 180 Kč. Určete původní cenu zboží.
Nydl: 8 500 Kč
7) V krátkém období obchodník měnil dvakrát cenu zboží. Nejdříve ji zvýšil o 10 %, posléze však tuto novou
cenu snížil o 20 %. Výsledná cena byla pak 8 360 Kč. Určete původní cenu zboží.
Nydl: 9 500 Kč
skripta MZB1.doc
8.9.2011
11/81
Výrazy s mocninami s celočíselným exponentem (5)
1. Pravidla pro mocniny
Nutný základ pro úpravy výrazů se součinem jsou tyto pravidla pro mocniny:
1)
a0  1
4)
a r  a s  a r s
7)
a  br
2)
a1  a
5)
ar
 a r s
as
8)
ba r  ba
3)
a 1 
6)
9)
ba 1  ba 1
1
a
a 
r s
 a r s
 a r  br
r
r
2. Násobení a krácení mocnin, mocnina součinu
1) Vypočtěte:
m4  m 3  m
a)

m  2  3
b)
2  x  y 
4

x2  y5
VH: a) m8
b)
16 x 2
y
2) Vypočtěte:
m  m 2  m 4
a)

m 3   2
b)
2  y  x 
3

y2  x6
VH: a) m 9
b)
8y
b)
32 x
y2
b)
64 y 4
x
x3
3) Vypočtěte:
m  m 5  m 6
a)

m 2   4
b)
2  y  x 
5
y7  x4
VH: a) m10

4) Vypočtěte:
m5  m  m 4
a)

m  2  4
b)
2  x  y 6
x7  y 2
VH: a) m10
5) Vypočtěte:

10)
n
m
xm  x n
skripta MZB1.doc
a)
b)
8.9.2011
m 3  m  m 2
m 2   5
3  x  y  3
x2  y5
VH: a) m12


3. Mocniny zlomků
1) Vypočtěte:

27 x
y2
b)
 

 34   23   34  13   127 
VH: 64
25
4
3
1
2) Vypočtěte:

2
2
1
 
2
 
1
 13   127   32  23   125
VH: 499
3
4
1
3) Vypočtěte:

2

2


 12   95   54  23   125 
VH: 16
49
4
3
2
4) Vypočtěte:

2
 
 18   34 
VH: 94
3
4
1
2
5) Vypočtěte:

 23   125
VH: 1
5
4
1
4
3
 12   23
  
2
2
1
3
4

2
 13   127
1


2

4. Mocniny záporných čísel
1) Vypočtěte:
- 33 - (-2)5 + (-7)1 + 60 + (-4)2 - 52 =
VH: -10
2) Vypočtěte:
- 25 - (-3)3 + 80 + (-5)2 + (-6)1 - 42 =
VH: -1
3) Vypočtěte:
- 62 + (-9)1 + (-3)3 - (-2)4 + 40 + (-8)2 =
VH: -23
4) Vypočtěte:
12/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
- 52 + 90 + (-4)1 - (-2)5 - 33 + (-6)2 =
VH: 13
5) Vypočtěte:
- 25 + (-5)2 + 33 + (-1)4 + 70 + (-8)1 =
VH: 14
5. Úpravy mocnin
1) Vypočtěte:
x 3  2   y 6  1 x 2  y 1
:

y0 x
x  y 2   2
VH: xy1
2) Vypočtěte:
 x 2  3   y 1  6  x 2  y 3  1
:

x0  y2
 x  y 3  2
VH:
1
x2 y
3) Vypočtěte:
 x 5  1   y 2  2  x  y 2  1
:

 x 2  y 3 y 3  x 0
VH:
x2
y2
4) Vypočtěte:
 x 2  2   y 5  1  x  y 2  1
:

 x  y 2  2 y 3  x 0
VH:
1
xy 2
5) Vypočtěte:
 x 7  1   y 4  2  x  y 2
:
 x 3  y 2  2 y 0  x 3
VH:
1
x2 y2
6) Vypočtěte:
x   y 
3 5
1 3
x 2  y 2
LT:

:
x
3
 y2


y 0  y 7  x  y 2
x8
y1 4
6. Mocniny prvočísel
1) Vypočtěte:
3
 4  2 2  33   35  5 1 
 2 3    2 2 
 5  2   5 8 
3
21 5
2) Vypočtěte:
6
2

3

13/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
(8) 5 103 12
9 4  6 4  (10) 3
13
Sb-rce: 231 1 …str. 42/4.1.15 – 1)
3) Vypočtěte:
24 2  (27) 2
(12) 3 18 2
Sb-rce:  232 …str. 42/4.1.15 – 2)
4) Vypočtěte:
(12) 4  (45) 3  70 2
(60) 3 182  (75) 4
2 2
Sb-rce: 23576 …str. 42/4.1.15 – 3)
7. Mocniny zlomků
1) Vypočtěte:
2 2  2 0
 12 2  5(2) 2   23 2
Sb-rce: 14 …str. 43/4.1.16 – 5)
2) Vypočtěte:
(0,6) 0  (0,1) 1
      
3 1
23
3 3
2
1 1
3
Sb-rce:  32 …str. 43/4.1.16 – 6)
3) Vypočtěte:
 32 2  30(3) 2  13 2
30  3  2
VH: 112
4) Vypočtěte:
      
23
3
1
2 3
3
1
3 1
2
0
(0,1)  (0,4)
VH:  815
5) Vypočtěte:
0
5 5  0,1 4   17   5 1
(2) 2   12    12 
Sb-rce: 2 …str. 43/4.1.16 – 7)
4
1
14/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
Výrazy s mocninami s racionálním exponentem
8. Mocniny prvočísel
1) Zjednodušte:
15  27 
25  9 
 12 3
1
3
1
8
1
4
2
3
:
9
3 4 27
3
Prošková, SOŠ, G-Pe:
1) Zjednodušte:
317
4
3
10 3  8 2 
3

 : 2 4
2
1
1
3
 5 4  4 8 
24 4


1
1
3
VŠE, Prošková:
28
53
2) Zjednodušte:
10  8 
25  4 
 12
1
3
1
8
1
4
3
2
23 4
:
248
3
SOŠ: 4 215
3) Zjednodušte:
15  27 
25  9 
 12 2
1
2
1
8
1
4
2
3
:
3
9
3 4 27
VH : 4 311
4) Zjednodušte:
7
1
 1213 3 19 4  16
3

3

 : 3
  
8
3
1
Prošková: 3 9
5) Zjednodušte:
    :   3  
1
2
1
3
1
2
1
3
2
1
2
1
1 2
3
SMP, VŠE, Prošková:
1
1
32
9. Odmocniny v Q
1) Zjednodušte:
3
 3 b  b 1 



b 

VH: 8 b 7
2) Zjednodušte:
4
2
 m  m 2 
5 

 m 13



VŠE, Prošková:
15
m11
15/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
3) Zjednodušte:
5
 a  a 1 


 3a 


3
SOŠ: a
4) Zjednodušte:
 4 y  y 2 

3 


y


3
VH: y
5) Zjednodušte:
3
4
a 2 a 3
a 4 a 3
VŠE, Prošková:
1) Zjednodušte:
3
3
a5
a  3 a 2  4 a3
12
a5
Prošková: a 3
2) Zjednodušte:
a a 3 a
 1
2
5
a4 3 a2 a
Prošková: 5 a 7
3) Zjednodušte:
a1 x  3 a1 x
a 5 x 1
Prošková: a1 x
6) Zjednodušte:
6
a
b
3
a2
b2
4
a3
b3
VŠE, Prošková: 24  ba 29
10. Základní úpravy
1) Zjednodušte:
4
53
5 3
5
VH: 12 5
2) Zjednodušte:
3
25
2 2
JH: 2
3) Zjednodušte:
3
16/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
7 7
4
7
3
JH: 7
4) Zjednodušte:
4 3
3  6 34
3 4
3
VH: 12 313
4) Zjednodušte:
3
75
7 7
JH: 7
5) Zjednodušte:
3
45  3 42  43
JH: 12
6) Zjednodušte:
3
3
25  53
3
5 5
JH: 5 5
7) Zjednodušte:
x 3 x 3 x x
6
x7
12
a 23
VŠE, Prošková:
8) Zjednodušte:
4
a3  3 a 2  a
VŠE, Prošková:
9) Zjednodušte:
a
b
 3
3
a
b3
1
SOŠ: a 6 b 0  6 a
10) Zjednodušte:

a 1 1  a12
 1  a 
1
2
2
1
2
Prošková: 1
11) Zjednodušte:
6
a 5  b  3 b 1
6
ab
2
Prošková: a 3 b 0  3 a 2
12) Zjednodušte:
3
y 2  x3 : x  3 y 1
5
Prošková: y 6 x 0  6 y 5
17/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
13) Zjednodušte:
a3 b 3
b
a a
1
Prošková: b 2 a 0  b
14) Zjednodušte:
y
 13
4
y3  a 3 y
a y
3
1
Prošková: a 6 y 0  6 a
11. Různé
1) Zjednodušte:
1

1
4


 a 2  :  2a
 2 a   4 2a 4
 

G-Pe: a
2) Zjednodušte:
4
a




1
2
1
  4 52

   3 a  6a  2
6
 
27
 
a2  4 2
3  6a


2
3  8 a5

2
G-Pe: a
3) Zjednodušte:
2


9 a  b  : 4 a  b 3 a  b

a b a b
a 2  b 2 

G-Pe: 18 aabb
4) Zjednodušte:
4
3
 3
8

10
5

x

y

  x  y 
5
G-Pe:
x  y 2
2
5
 x y 2





1
18/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
19/81
Vzorce
2
1) a  b 
3
2) a  b 
3) a  b a  b 
1. Úprava pomocí vzorců
1) Vypočtěte:
a  12  4a  12  6a  1a  1
Sb-rce:  9a 2  10a  3
2) Vypočtěte:
m  12  3m  12  5m  1m  1
Sb-rce:  m 2  4m  9
3) Vypočtěte:
2
2
24  3 y   3 y  1  4 y  5 y  5
VH: 19 y 2  54 y  71
4) Vypočtěte:
2
2
23u  23u  2  51  u   3u  4
VH: 10u 2  14u  61
5) Vypočtěte:
2
2
 3  x   51  x   31  x 1  x 
Sb-rce: 7 x 2  16 x  7
6) Vypočtěte:
2
2
 2  b  81  b  51  b1  b
Sb-rce:  14b 2  20b  7
VH: x  32  1 12
6) Řešte v R rovnici:
2
x4  x  2  3x   2 x  12  5x 
VH: x   72
3. Lineární rovnice s kubickým
dvojčlenem
1) Řešte v R rovnici:
x  23  xx  42  7 x  13  2 x  23
VH: x  23
2) Řešte v R rovnici:
x  23  2x  13x  2  xx  12  2x 2
VH: x  1 12
3) Řešte v R rovnici:
x  33  xx  12  11x  12  x  5
VH: x  203  6 23
4) Řešte v R rovnici:
x  33  3x  13x  1  xx  52  10x2  x
VH: x  14
5) Řešte v R rovnici:
2. Lineární rovnice s užitím vzorců
x  13  x  13  6x 2  x  1
1) Řešte v R rovnici:
Sb-rce: x   23
2
2x  58x  1  4x  3  12x  1  7 6) Řešte v R rovnici:
Sb-MM: x  12
x  13  x  13  6x  2x  1  9x  1  9x  1
2) Řešte v R rovnici:
2
2 x25  x   21  4 x  32 x  41  5x 
Sb-MM: x   2
3
VH: x  76  1 16
3) Řešte v R rovnici:
2
32 x  3  25  3x 1  2 x   152  4 x
VH: x  132  6 12
4) Řešte v R rovnici:
2
6x  31  3x   2 x  4  2 x4  11x 
VH: x  12
5) Řešte v R rovnici:
x  12  5x  1x  1  3  x 2  3x  12
7) Řešte v R rovnici:
2
3
3
3x  1  x  4  101  x  3
Sb-rce: x  5
skripta MZB1.doc
4. Výrazy s absolutní hodnotou
1) Určete hodnotu výrazu jestliže x  4 .
x  2  1  3  2x
Nydl: 0
2) Určete hodnotu výrazu jestliže x  2 .
x  2  1  3  2x
Nydl: 2
3) Určete hodnotu výrazu jestliže x  6 .
x  2  1  3  2x
Nydl: -2
4) Určete hodnotu výrazu jestliže x  5 .
8.9.2011
20/81
x  2  1  3  2x
Nydl: -1
5) Určete hodnotu výrazu pro m  4 .
m  2m  2   m  2  2m
Nydl: 2
6) Určete hodnotu výrazu pro m  3 .
m  2m  2   m  2  2m
Nydl: 0
skripta MZB1.doc
8.9.2011
21/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
22/81
Mnohočleny
12. Dělení dvojčlenem beze zbytku
1) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(8x3 - 14x2 - 17x + 5) : (2x - 5)
4x2 + 3x - 1
2) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(8x3 - 6x2 - 13x - 3) : (4x + 3)
2x2 - 3x - 1
3) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x3 + 7x2 - 14x + 15) : (2x + 5)
3x2 - 4x + 3
4) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x3 + x2 + 3x - 20) : (3x - 4)
2x2 + 3x + 5
5) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(4x3 - 8x2 - 11x - 3) : (2x + 1)
2x2 - 5x - 3
6) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(10x3 - 11x2 + 13x - 6) : (5x - 3)
2x2 - x + 2
7) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(4x3 - 10x2 + 2x + 6) : (2x - 3)
2x2 - 2x - 2
8) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(12x3 - 8x2 + 9x - 4) : (2x - 1)
6x2 - x + 4
9) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(x4 + x3 + x2 + x - 30) : (x - 2)
x3 + 3x2 + 7x + 15
13. Dělení dvojčlenem se zbytkem
1) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(4x3 + 3x2 - 22x + 13) : (4x - 5)
x2 + 2x - 3 - 2/(4x - 5)
2) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x3 + 5x2 - 12x + 2) : (3x - 2)
2x2 + 3x - 2 - 2/(3x - 2)
3) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x3 - 7x2 - 11x - 7) : (2x + 1)
3x2 - 5x - 3 - 4/(2x + 1)
4) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(3x3 + 5x2 - 7x + 12) : (x + 3)
3x2 - 4x + 5 - 3/(x + 3)
14. Dělení trojčlenem beze zbytku
1) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(10x4 - x3 + 20x2 + 7x + 4) : (2x2 - x + 4)
5x2 + 2x + 1
2) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(5x4 - 7x3 - 15x2 - 8x - 2) : (5x2 + 3x + 1)
x2 - 2x - 2
3) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(9x4 - 9x3 + 8x2 - 5x - 3) : (3x2 - 2x - 1)
3x2 - x + 3
4) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x4 + 7x3 - 3x2 - 2x - 4) : (2x2 + x + 1)
3x2 + 2x - 4
15. Dělení trojčlenem s úpravou
1) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(3x3 - 6x + 2x4 - 2x2 + 3) : (1 + 2x2 - 3x)
x2 + 3x + 3
2) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(13x- 12 + 4x4 + 4x3 - 5x2) : (3x + 2x2 - 4)
2x2 - x + 3
3) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(4 - 18x + 3x4 - 13x3 - 3x2) : (1 + x2 - 5x)
3x2 + 2x + 4
4) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(9x2 + x + 4x4 + 19x3 - 1) : (4x2 + 1 + 3x)
x2 + 4x - 1
5) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(8x + 3 + 8x4 - 2x3 - 17x2) : (4x2 - 3x - 1)
2x2 + x - 3
16. Dělení trojčlenu úpravou
1) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(x3 – 8) : (x – 2)
x2 + 2x + 4
2) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(x3 + 8) : (x + 2)
x2 - 2x + 4
3) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(x3 – 27) : (x – 3)
x2 + 3x + 9
4) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(x3 + 27) : (x + 3)
x2 - 3x + 9
skripta MZB1.doc
17. Dělení dvojčlenů
1) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(4x + 1) : (2x + 1)
2 - 1/(2x + 1)
2) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x - 4) : (2x - 2)
3 + 2/(2x - 2)
3) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(3x - 8) : (x - 3)
3 + 1/(x - 3)
4) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(6x - 3) : (3x - 2)
2 + 1/(3x - 2)
5) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(2x - 3) : (2x - 1)
1 - 2/(2x - 1)
6) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(2x + 1) : (x + 2)
2 - 3/(x + 2)
7) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(x + 7) : (x + 4)
1 + 3/(x + 4)
8) Dělte mnohočlen mnohočlenem:
(2x + 5) : (2x + 3)
1 + 2/(2x + 3)
18. Rozklad v součin závorek
6) Rozložte v součin závorek:
x2 - 5x + 6
x2 - 3x - 4
x2 - 3x - 10
x2 - 5x + 4
x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)
x2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)
x2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)
x2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1)
7) Rozložte v součin závorek:
x2 + 5x + 6
x2 - 5x - 14
x2 + 9x + 8
x2 - 10x + 9
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)
x2 + 9x + 8 = (x + 8)(x + 1)
x2 - 10x + 9 = (x - 9)(x - 1)
8) Rozložte v součin závorek:
x2 - x - 2
x2 + 8x + 12
x2 - x - 12 =
8.9.2011
x2 - 8x + 15
x2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
x2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)
x2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)
x2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)
9) Rozložte v součin závorek:
x2 + 2x - 8
x2 + 5x + 4
x2 - 8x + 7
x2 + 7x + 12
x2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)
x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
x2 - 8x + 7 = (x - 7)(x - 1)
x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
10) Rozložte v součin závorek:
x2 - 11x - 12
x2 + 8x + 15
x2 + x - 20
x2 - 12x + 20
x2 - 11x - 12 = (x - 12)(x + 1)
x2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3)
x2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5)
x2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)
11) Rozložte v součin závorek:
x2 + 7x + 6 =
x2 - 4x + 3 =
x2 + 5x - 14 =
x2 - 6x - 16 =
x2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1)
x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)
x2 + 5x - 14 = (x - 2)(x + 7)
x2 - 6x - 16 = (x - 8)(x + 2)
12) Rozložte v součin závorek:
x2 + 3x + 2
x2 - 7x + 12
x2 + 6x + 8
x2 - 7x - 8
x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)
x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
x2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)
13) Rozložte v součin závorek:
x2 + x - 6
x2 + 3x - 4
x2 - 7x + 10
x2 - 5x - 6
x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
x2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
x2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)
x2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)
23/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
24/81
Výrazy
1. Rozklad a vytýkání
1) Upravte:
x3  2 x 2  15 x
x 2  25
x( x  3)
VH:
, x  5
x5
2) Upravte:
x 2  3x
2 x2  8x  6
x
VH:
, x  1, x  3
2( x  1)
3) Upravte:
x3  2 x 2
x3  7 x 2  10 x
x
VH:
, x  5, x  2
x5
4) Upravte:
3x 2  3x  6
x3  4 x
3( x  1)
VH:
, x  2, x  0
x( x  2)
3. Opakované vytýkání
1) Rozložte:
3ax  bx  3ay  by
Sb-rce: (3a  b)( x  y)
2) Rozložte:
5ax  ay  5bx  by
VH: (5x  y)(a  b)
3) Rozložte:
a 3  3a 2  3a  9
Sb-MM: (a  3)(a 2  3)
4) Rozložte:
2a  6  a 3  3a 2
VH: (a  3)(2  a 2 )
5) Rozložte:
x 2  xy  3x  3 y
Sb-MM: ( x  y)( x  3)
6) Rozložte:
15ru  6us  5rv  2sv
Sb-rce: (5r  2s)(3u  v)
7) Rozložte:
5cm  cn  15dm  3dn
Sb-rce: (c  3d )(5m  n)
8) Rozložte:
2ab  bx  4ay  2 xy
Sb-rce: (b  2 y)(2a  x)
2. Vytýkání upravené závorky
1) Rozložte:
(2 x  3)(4 x  5)  4(3  2 x)  (2 x  3)2
VH: 2(2 x  3)( x  2)
2) Rozložte:
4.
2(2 x  1)  (1  2 x)(5x  12)  (2 x  1) 2
1)
VH: 3(2 x  1)( x  3)
3) Rozložte:
(6 x  1)(3x  1)  (3x  1)2  3(1  3x)
VH: 3(3x  1)( x  1)
4) Rozložte:
2)
2(3x  2)  (3x  2)2  (2  3x)(7 x  6)
VH: 2(3x  2)(2 x  1)
5) Rozložte:
(4  x)(2 x  3)  (2 x  3)2  5(3  2 x)( x  1)
3)
Sb-rce: 2(2 x  3)(1  3x)
Užití vzorců a vytýkání
Upravte:
a 2  25 a 2  10a  25
:
a 2  3a
a 3
a 5
Sb-MM:
, a  0, a  3, a  5
a(a  5)
Upravte:
a 2  3a
2a  6
: 2
2
a  6a  9 a  9
a
VH: , a  3,
2
Upravte:
b 2  8b  16 b3  4b 2
: 2
3b  12
b  16
skripta MZB1.doc
b4
, b  0, b  4,
3b 2
Upravte:
2b  10
b 2  5b
:
b 2  25 b 2  10b  25
2
VH: , b  0, b  5,
b
Upravte:
9a 2  12ab  4b 2
9a 2  4b 2
3a  2b
VH:
, 3a  2b
3a  2b
Upravte:
4b 2  12ba  9a 2
4b 2  9a 2
2b  3a
VH:
, 2b  3a
2b  3a
Upravte:
9u 2  4v 2
9u 2  12uv  4v 2
3u  2v
VH:
, 3u  2v
3u  2v
Upravte:
4v 2  9u 2
4v 2  12vu  9u 2
VH:
4)
5)
6)
7)
8)
8.9.2011
25/81
2v  3u
, 2v  3u
2v  3u
9) Upravte:
a 2  25 a 2  5a
:
a 2  3a a 2  9
Sb(a  3)(a  5)
rce:
, a  0, a  3, a  5
a2
10) Upravte:
u 2  2uv u 2  uv
.
u  v u 2  4v 2
u2
VH:
, u  v, u  2v, u  2v
u  2v
11) Upravte:
1 x2

(1  x) 2
1 x
Sb-MM:
, x 1
1 x
12) Upravte:
1 x 2

(1  x) 2
1 x
VH:
, x  1
1 x
VH:
skripta MZB1.doc
8.9.2011
26/81
Lomené výrazy
1. Úprava na spol. jmenovatel
1) Upravte:
x( x  13) 4  2 x 2  3x


1 x
1 x
x2 1
2
VH:
; x  1
x 1
2) Upravte:
3  2 x 2  3x x(16  x)

 2
2x
2 x
x 4
1
Sb-rce, VSP:
; x  2 (str. 29/3)
x2
3) Upravte:
1  2 x x( x  19) 2  3x
 2

3 x
3 x
x 9
1
VH:
; x  3
x3
4) Upravte:
3  4 x 1  3x x( x  22)

 2
4 x 4 x
x  16
2
VH:
; x  4
x4
5) Upravte:
6a
8a  a  4
 2a

 2

:
 a  2 6  3a a  4  a  2
G-Pe: 0; a  2
6) Upravte:
a  
a 2  b2 
a2



b
1 
a  b 
b 
ba
 a b 
G-Pe:
b2
; a  b, b  0
ba
2. Násobení výrazů
1) Upravte:
1 
 2a

 2
1 
 a  1 a  1 
1

a
2)
3)
4)
5)
6)
7)
1
VH: ; a  0, a  1
a
Upravte:
4  2 
 1
 2

  1
 b  2 b  4  b 
1
VH: ; b  0, b  2
b
Upravte:
6 
3
 1
 2

1  
a
 a  3 a  9 
1
VH: ; a  0, a  3
a
Upravte:
1  4 
 2b

 2
1  
 b  16 b  4  b 
1
VH: ; b  0, b  4
b
Upravte:


x 2  x 2
1  2  2
 1
2
y  y  x


Sb-rce: 1; y  0, y   x (str. 32/3)
Upravte:
x 
3x 
 x 1


 x 

x 1
 x  2 x  1 
x
Sb-rce: 2
; x  1, x  2 (str. 32/5)
x 1
Upravte:
6
a  3  4a 2  4
 a 1




2
3
 2a  2 2a  2 2a  2 
20
Sb-rce: ; a  1 (str. 32/6)
3
3. Násobení výrazů s vytýkáním mínus
1) Upravte:
2a  1 
 1
 2

  1
 a  1 a  1  a 
skripta MZB1.doc
8.9.2011
27/81
2) Upravte:
1
Sb-rce, VŠE, FES: ; a  0, a  1 (str.
1 x 1 x
a

32/4)
1 x 1 x
2) Upravte:
1 x
1
1  2 
 4
1

x

 2
  1
2
 b  4 b  2  b 
SMP:
; x  1, x  1
1
1 x
VH:  ; b  0, b  2
3) Upravte:
b
1
1
3) Upravte:

1 x 1 x
1  3 
 6

 2
1  
1
1
 a  9 a  3  a 

1 x 1 x
1
VH: ; a  0, a  3
1
a
Sb-rce: ; x  1, x  0 (str. 36/5)
x
4) Upravte:
4)
Upravte:
2b  4 
 1
 2

  1
1
1
 b  4 b  16  b 
x 1
1
1
VH: ; a  0, a  4
1
b
x 1
x 1
4. Dělení výrazů
VH:
; x  1, x  0
x 1
1) Upravte:
5) Upravte:
1  a
 1
x2 x2


:

a  2 a 2 a  2
x2 x2
2
8
Sb-MM:
; a  0, a  2 (str. 22/6.5
a2
4  x2
f)
Sb-MM:  x; x  2 (str. 22/6.5 h)
2) Upravte:
6) Upravte:
x  1 x

1

:
a
b



 1 x  1 x
ab ab
1
a
b
Sb-rce:
; x  1 (str. 34/2)

1 x
ab ab
3) Upravte:
Sb-rce: 1; a  b (str. 36/4)
3x  1  x
 x
7) Upravte:
 2

:
 x 1 x 1 x 1
x
x 1

x 1
x 1
x
VH:
; x  1, x  0
x
x
x 1

x 1
x
5. Úprava složeného zlomku I.
x 1
Sb-rce:
; x  0, x  1 (str. 36/6)
1) Upravte:
x 1
x
8) Upravte:
1
x2
x y x y

x
1
x y x y
x2
x y
1

; x  2; x  1
SMP:
y x
x 1
skripta MZB1.doc
Sb-rce:
2 xy
;
x  y2
2
8.9.2011
x  0, x   y, y  0 (str.
36/8)
6. Úprava složeného zlomku II.
1) Upravte:
1
1+
1
2
1
3
x
10 x  3
1
Sb-rce:
; x  0, x   (str. 36/9)
7x  2
3
2) Upravte:
x
1
x
x
x
1 x
x3
Sb-rce: 3
; x  1, x  0 (str.
x  x 1
36/10)
3) Upravte:
1
1
1 a
2a 2  1
a 1
a 1
1
FES: ; a  0, a  1
a
4) Upravte:
1
1
a2
1  a 1  2  12 
 a a 
1
FES:
; a  0, a  1
1 a
5) Upravte:
1
a
1
2a 2
1 a 
1 a
1  a2
G-Pe:
; a  1,
1 a
6) Upravte:
28/81
1 x
1 x

2
1  x  x 1  x  x2
1 x
1 x

2
1  x  x 1  x  x2
1
VŠE, G-Pe: 3 ; x  1, x  0
x
7) Upravte:
a 4  b 4  b 2  2a a 2 
: 1  1 
 
a 2b 2  a 2 
b b 2 
ab
; a  b, ab  0
a b
8) Upravte:
a b a b

a b a b
a2  b2
a2  b2
4
P-Zr: ; a  b, ab  0
ab
9) Upravte:
a b a b
1  b2

2
a b a b 
b
2
2
1 2
a b
 1
1 2
2
b2 b
a b
P-Zr: 2a; a  b, b  0
G-Pe:
7. Úprava (x4 - y4)
1) Upravte:
x4  y 4
x y
 2
2
2
x  2 xy  y x  xy
VŠE: x x y ; x  0, x   y
2) Upravte:
x3 x 2

x y
y2 y
x2 y2

y2 x2
2
2
FES: xx y ; x   y, x  0, y  0
2
skripta MZB1.doc
8.9.2011
29/81
Vlastnosti funkce
1. Definice pojmů
1) Definice funkce:
VH: Funkce je předpis y = f(x), který číslu x přiřadí právě jedno číslo y, kdy x je
proměnná, y je funkční hodnota.
2) Definice definičního oboru funkce:
VH: D(f) je množina všech proměnných x.
3) Definice oboru hodnot funkce:
VH: H(f) je množina všech funkčních hodnot y.
4) Definice grafu funkce:
VH: Graf funkce je množina bodů v rovině o souřadnicích [x, y], kde x je proměnná, y je
její funkční hodnota.
5) Definice asymptoty:
VH: Asymptota je přímka, ke které se blíží graf funkce.
6) Definice rostoucí funkce:
VH: Funkce y = f(x) je rostoucí v intervalu,
jestliže pro všechna x1  x2 z intervalu platí y1  y2.
7) Definice klesající funkce:
VH: Funkce y = f(x) je klesající v intervalu,
jestliže pro všechna x1  x2 z intervalu platí y1  y2.
8) Definice konstantní funkce:
VH: Funkce y = f(x) je konstantní v intervalu,
jestliže pro všechna x1  x2 z intervalu platí y1 = y2.
9) Definice prosté funkce:
VH: Funkce y = f(x) je prostá,
jestliže pro všechna y existuje právě jedno x.
10) Definice maxima funkce:
VH: Funkce y = f(x) má v bodě [x1; y1] maximum, jestliže pro všechna y z oboru hodnot
platí: y ≤ y1.
11) Definice minima funkce:
VH: Funkce y = f(x) má v bodě [x2; y2] minimum, jestliže pro všechna y z oboru hodnot
platí: y ≥ y2.
12) Definice horní meze:
VH: Funkce y = f(x) je shora omezená číslem h, jestliže pro všechna y z oboru hodnot
platí: y ≤ h, kdy číslo h je nejmenší z množiny čísel s touto vlastností.
13) Definice dolní meze:
VH: Funkce y = f(x) je zdola omezená číslem d, jestliže pro všechna y z oboru hodnot
platí: y ≥ d, kdy číslo d je největší z množiny čísel s touto vlastností.
14) Definice funkce sudé:
VH: Funkce y = f(x) je sudá, jestliže pro všechna x1 = – x2 z definičního oboru platí
y1 = y2 .
15) Definice funkce liché:
VH: Funkce y = f(x) je lichá, jestliže pro všechna x1 = – x2 z definičního oboru platí
y1 = – y2 .
skripta MZB1.doc
8.9.2011
2. Vlastnosti funkcí
1) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
3
VH:
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
-2
-3
30/81
D( f )   ; 
H ( f )   2; 2
rost  ; 
kles  není
JE prostá; h  2; d  2
MAX  není ; MIN  není
lichá
2) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
4
VH:
NENÍ FUNKCE
VH:
NENÍ FUNKCE
VH:
NENÍ FUNKCE
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
3) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
-2
5
-3
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
-2
-3
-4
-5
-6
4) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
4
3
2
1
0
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
5) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1 0
1
2
3
4
-2
-3
-4
7) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
3
VH:
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
31/81
D( f )   1; 
H ( f )  0; 
rost  1; 
kles  není
JE prostá; h  není ; d  0
MAX  není ; MIN  není
nic
D( f )   ; 
H ( f )   3; 3
rost  není
kles  ; 
JE prostá; h  3; d  3
MAX  není ; MIN  není
lichá
D( f )   ; 
H ( f )   1; 2
rost
0; 
kles
 ; 0
NENÍ prostá; h  2; d  1
MAX  není ; MIN  0;  1
sudá
-2
8) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
4
VH:
D( f )   3; 3
H ( f )  0; 3
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
rost
 3; 0
kles
0; 3
NENÍ prostá; h  3; d  0
MAX  0; 3; MIN   3; 0, 3; 0
sudá
skripta MZB1.doc
8.9.2011
9) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
32/81
D( f )   2; 2
H ( f )   2; 0
rost
0; 2
kles
 2; 0
-1
-2
NENÍ prostá; h  0; d  2
MAX  není ; MIN  0;  2
sudá
-3
10) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
2
1
D( f )   ; 
H ( f )   ; 1
0
-1
0
1
2
3
4
rost
5
-1
kles
-2
-3
NENÍ prostá; h  1; d  není
MAX  2;1; MIN  není
nic
-4
11) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
12) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
1
VH:
0
-1
0
1
2
3
D( f )   ; 
H ( f )  0; 
rost
1; 2 ; 3; 
kles
 ; 1 ;
4
D( f )   ; 
H ( f )   4; 
rost
1; 
kles
 ; 1
-1
-2
-3
-4
-5
2; 3
NENÍ prostá; h  není ; d  0
MAX  není ; MIN  1; 0, 3; 0
nic
5
-1
-2
 ; 2
2; 
NENÍ prostá; h  není ; d  4
MAX  není ; MIN  1;  4
nic
skripta MZB1.doc
8.9.2011
13) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-4
14) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
15) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
-1
16) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2
17) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-2
 1; 
kles
 ;  1
D( f )   ; 
H ( f )   1; 1
rost
 1  2k ;1  2k , k  Z
kles
1  2k ; 3  2k , k  Z
D( f )   ; 
H ( f )   ; 
rost  ; 
kles  není
JE prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
nic
D( f )   ; 
H ( f )   1; 1
rost
 2  2k ; 0  2k , k  Z
kles
0  2k ; 2  2k , k  Z
NENÍ prostá; h  1; d  1
MAX  0  4k ;1; MIN  2  4k ;  1
sudá
-3
-3
rost
NENÍ prostá; h  1; d  1
MAX  1  4k ;1; MIN  3  4k ;  1
lichá
-2
-2
D( f )   ; 
H ( f )   3; 
NENÍ prostá; h  není ; d  3
MAX  není ; MIN   1;  3
nic
-3
-4
33/81
-1
0
-1
-2
1
2
3
D( f )   ; 
H ( f )   1; 
rost  ; 
kles  není
JE prostá; h  není ; d  1
MAX  není ; MIN  není
nic
skripta MZB1.doc
8.9.2011
18) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
19) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
2
1
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
20) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
2
1
34/81
D( f )   ; 
H ( f )  0; 
rost  není
kles  ; 
JE prostá; h  není ; d  0
MAX  není ; MIN  není
nic
D( f )  1; 
H ( f )   ; 
rost 1; 
kles  není
JE prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
nic
D( f )   ; 
H ( f )   2; 1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
rost
4
-1
kles
-2
NENÍ prostá; h  1; d  2
MAX  0;1; MIN  není
sudá
-3
21) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
22) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
1
0
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
 ; 0
0; 
1
2
D( f )   ; 1
H ( f )   ; 
rost  není
kles  ; 1
JE prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
nic
D( f )   ; 
H ( f )   3; 
3
rost
0; 
kles  ; 0
NENÍ prostá; h  není ; d  3
MAX  není ; MIN  0;  3
sudá
skripta MZB1.doc
8.9.2011
23) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
3
VH:
2
35/81
D( f )   ; 
H ( f )   ; 2
1
rost
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
kles
-1
NENÍ prostá; h  2; d  není
MAX   2; 2; MIN  není
nic
-2
24) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
 ;  2
 2; 
3
4
-1
-2
-3
D( f )   ; 0  0; 
H ( f )   ; 0  0; 
rost  ; 0; 0; 
kles  není
JE prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
lichá
-4
25) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
26) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 0
1
2
-2
-3
-4
-5
-6
27) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
D( f )   ; 0  0; 
H ( f )   ; 0
rost 0; 
kles  ; 0
NENÍ prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
sudá
D( f )   ;  2   2; 
H ( f )   ;  1   1; 
rost  není
kles  ;  2;  2; 
JE prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
nic
D( f )   ; 1  1; 
H ( f )  0; 
rost  ; 1
kles 1; 
NENÍ prostá; h  není ; d  0
MAX  není ; MIN  není
nic
skripta MZB1.doc
8.9.2011
28) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
36/81
D( f )   ; 
H ( f )   ; 
rost  ; 
kles  není
JE prostá; h  není ; d  není
MAX  není ; MIN  není
lichá
-3
-4
29) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
D( f )   4; 4
H ( f )   3; 3
3
2
1
rost
 2; 2
kles
 4;  2 ; 2; 4
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
-2
NENÍ prostá; h  3; d  3
MAX  2; 3; MIN   2;  3
lichá
-3
-4
30) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
3
2
D( f )   ; 
H ( f )   2; 2
1
rost
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
kles
-2
 2; 2
 ;  2 ;
NENÍ prostá; h  2; d  2
MAX  2; 2; MIN   2;  2
lichá
-3
31) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
4
VH:
NENÍ FUNKCE
VH:
NENÍ FUNKCE
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
32) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
2; 
1
2
3
skripta MZB1.doc
8.9.2011
33) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
4
3
37/81
D( f )   ; 
H ( f )  1; 
2
rost
1
-4
-3
-2
-1
 3; 2
konst
0
-5
2; , kles  ;  3
0
1
2
3
4
NENÍ prostá; h  neni; d  1
MAX  není ; MIN    3; 2 ;1
nic
34) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
3
2
1
rost
0
-4
-3
-2
-1
D( f )   ; 
H ( f )   ; 2
0
1
2
3
4
5
-1
3; 
 2; 3
konst
-2
NENÍ prostá; h  2; d  není
MAX    2; 3 ;2; MIN  není
nic
35) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
3
VH:
2
D( f )   ; 
H ( f )  0; 
rost
1
1; 
kles 0;1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
NENÍ prostá; h  není ; d  0
MAX  není ; MIN  1; 0
nic
-1
36) Z grafu dané funkce určete vlastnosti:
VH:
7
6
5
4
D( f )   ; 
H ( f )  0; 
rost
0; , kles  není
konst
 ; 0
3
2
1
NENÍ prostá; h  není ; d  0
0
-5
 ;  2 , kles
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
MAX  není ; MIN   ; 0 ;0
nic
skripta MZB1.doc
8.9.2011
Definiční obor funkce
6. D(f) Zlomek
1) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
2x  3
Sb-MM: D( f )   ;  32    32 ;  …str.56/5.1-b)
2) Určete definiční obor funkce:
x 1
f : y 2
x  6 x  16
Sb-MM: D( f )   ;  2   2; 8  8;  …str.56/5.1-e)
3) Určete definiční obor funkce:
x 1
f : y 2
x  5x  6
Lib: D( f )   ; 2  2; 3  3; 
4) Určete definiční obor funkce:
x3
f : y
2x  3
VH: D( f )   ; 32    32 ; 
5) Určete definiční obor funkce:
x 2  6 x  16
f : y 2
x  3x  2
VH: D( f )   ; 1  1; 2  2; 
7. D(f) Odmocnina
1) Určete definiční obor funkce:
f : y  5x  x 2
VŠE: D( f )  0; 5
1) Určete definiční obor funkce:
f : y  2x  3
Sb-MM: D( f )   32 ;  …str.56/5.1-c)
2) Určete definiční obor funkce:
f : y  x 2  3x  2
VŠE: D( f )   ; 1  2; 
3) Určete definiční obor funkce:
f:
y  x2  2x  3
VŠE: D( f )   ;  3  1; 
4) Určete definiční obor funkce:
f : y  x2  4x  3
UO: D( f )   ; 1  3; 
5) Určete definiční obor funkce:
38/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
f : y  x 2  6x  8
Nydl: D( f )   ;  4   2; 
2) Určete definiční obor funkce:
f : y  x2  5 x
Sb-MM: D( f )  2; 5 …str.56/5.1-g)
3) Určete definiční obor funkce:
f : y  x 1  x  3  x
Nydl: D( f )  1; 3
6) Určete definiční obor funkce:
f : y  x( x  4)
Radl: D( f )   ; 0  4; 
7) Určete definiční obor funkce:
f : y  1  x2
Radl: D( f )   1; 1
8) Určete definiční obor funkce:
f : y  ( x  1)( x  4)
Radl: D( f )   ;  4  1; 
8. D(f) Logaritmus I.
1) Určete definiční obor funkce:
h : y  log 21  4 x  x 2
FIM: D(h)   7; 3
2) Určete definiční obor funkce:
f : y  log x  x 2
VŠE: D( f )  0; 1
3) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 2 x  x 2
VŠE: D( f )  0; 2
4) Určete definiční obor funkce:
f : y  log x 2  18x  80
UO: D( f )   ; 8  10; 
5) Určete definiční obor funkce:
f : y  log x 2  x  6
UO: D( f )   ;  2  3; 
6) Určete definiční obor funkce:
f : y  log x2  1
Radl: D( f )   ;  1  1; 
7) Určete definiční obor funkce:
f : y  log( x  2)( x  4)
Radl: D( f )   ; 2  4; 
8) Určete definiční obor funkce:












39/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
f : y  log(1  x)(1  x)
Radl: D( f )   1; 1
9) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 4  x2
Radl: D( f )   2; 2
10) Určete definiční obor funkce:




f : y  ln x 2  1
ČZU: D( f )  0; 2
9. D(f) Zlomek a odmocnina I.
1) Určete definiční obor funkce:
x 5
f : y
x 1
Sb-MM: D( f )   ; 1  5;  …str.56/5.1-f)
9) Určete definiční obor funkce:
x2
f : y
x3
Radl: D( f )   ;  3  2; 
10) Určete definiční obor funkce:
x
f : y
x2
Radl: D( f )   ;  2  0; 
2) Určete definiční obor funkce:
5 x
f : y
3x  2
FEK: D( f )   23 ; 5
3) Určete definiční obor funkce:
2x
f : y
3x  3
FEK: D( f )   1; 2
4) Určete definiční obor funkce:
3 x
f : y
3x  3
VH: D( f )  1; 3
5) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
2
x  3x  2
VŠE: D( f )   ; 1  2; 
6) Určete definiční obor funkce:
4
f : y
2
x  6x  8
40/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
Nydl: D( f )   ; 2  4; 
7) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
2x  3
Sb-MM: D( f )   32 ;  …str.56/5.1-d)
8) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
2
x  2x  3
VŠE: D( f )   ;  3  1; 
9) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
x2  x  2
Lib: D( f )   ;  2  1; 
10. D(f) Zlomek a odmocnina II.
1) Určete definiční obor funkce:
x2  4
f : y
x6
Sb-MM: D( f )   ;  2  2; 6  6;  …str.56/5.1-h)
2) Určete definiční obor funkce:
x2  9
x4
VH: D( f )   ;  3  3; 4  4; 
3) Určete definiční obor funkce:
f:
y
x 2  25
x7
VH: D( f )   ;  5  5; 7  7; 
4) Určete definiční obor funkce:
f:
y
x2 1
x2
VH: D( f )   ;  1  1; 2  2; 
5) Určete definiční obor funkce:
1 x
f : y
x2
Nydl: D( f )   ;  2   2; 1
6) Určete definiční obor funkce:
x
f : y 2
x 4
Nydl: D( f )  0; 
7) Určete definiční obor funkce:
f:
y
41/81
skripta MZB1.doc
x
x 4
Nydl: D( f )  0; 2  2; 
8) Určete definiční obor funkce:
f :
y
2
x2 1
x2 1
VŠE: D( f )   ;  1  1; 
9) Určete definiční obor funkce:
f : y
x 2 1
3x 2  2
VŠE: D( f )   ;  1  1; 
10) Určete definiční obor funkce:
f : y4
x 2 1
4x 2  2
VŠE: D( f )   ;  1  1; 
11) Určete definiční obor funkce:
f : y8
x2  4
7x2  2
VŠE: D( f )   ;  2  2; 
12) Určete definiční obor funkce:
f : y6
1 x2
x2 1
VŠE: D( f )   1; 1
f : y4
11. D(f) Zlomek a logaritmus I.
1) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
ln x
Lib: D( f )  0; 1  1; 
2) Určete definiční obor funkce:
x 1
f : y
ln x
ČZU: D( f )  0; 1  1; 
3) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
log 5 x
VH: D( f )  0; 1  1; 
4) Určete definiční obor funkce:
1 x
f : y
log 3 x
VH: D( f )  0; 1  1; 
8.9.2011
42/81
skripta MZB1.doc
12. D(f) Zlomek a logaritmus II.
1) Určete definiční obor funkce:
x4
f : y  log
x 1
UO: D( f )   ;  1  4; 
2) Určete definiční obor funkce:
x 1
f : y  log
x2
Radl: D( f )   ;  2  1; 
3) Určete definiční obor funkce:
x2
f : y  log
x4
Radl: D( f )   ;  4  2; 
4) Určete definiční obor funkce:
x 1
f : y  log
6 x
Radl: D( f )   1; 6
5) Určete definiční obor funkce:
x3
f : y  log
x2
VH: D( f )   ;  3   2; 
6) Určete definiční obor funkce:
x5
f : y  log
x2
VH: D( f )   ;  5  2; 
7) Určete definiční obor funkce:
x
f : y  log
x 1
VH: D( f )   ; ´0  1; 
13. D(f) Odmocnina a logaritmus
1) Určete definiční obor funkce:
f : y  2  log 6 x
JH: D( f )  0; 36
2) Určete definiční obor funkce:
f : y  1  log x
UO: D( f )  0; 10
3) Určete definiční obor funkce:
f : y  3  log 3 ( x  1)
VH: D( f )  1; 28
4) Určete definiční obor funkce:
f : y  2  log 2 ( x  2)
VH: D( f )  2; 6
8.9.2011
43/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
5) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 7 x  5
JH: D( f )  6; 
6) Určete definiční obor funkce:
f : y  log(  x 2  3x  1)
VŠE: D( f )  1; 2
7) Určete definiční obor funkce:
f : y  log(  x 2  5x  5)
VŠE: D( f )  2; 3
8) Určete definiční obor funkce:
f : y  log( x 2  5x  3)
VŠE: D( f )   ;  2   1; 
9) Určete definiční obor funkce:
f : y  log(  x 2  2 x  4)
VŠE: D( f )   3; 1
10) Určete definiční obor funkce:
f : y  log(  x 2  x  3)
VŠE: D( f )   2; 1
11) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 1 (4  x)
4
VŠE: D( f )   ; 3
14. D(f) Absolutní hodnota I.
5) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 2 1  3  x 
VŠE: D( f )  2; 4
6) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 3 2  5  x 
VŠE: D( f )  3; 7
7) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 4 1  4  x 
VŠE: D( f )  3; 5
8) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 5 3  5  x 
VŠE: D( f )  2; 8
9) Určete definiční obor funkce:
f : y  log 1  x  1  1
2
FIM: D( f )   ; 0  2; 
44/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
15. D(f) Absolutní hodnota II.
1) Určete definiční obor funkce:
f : y  16  x 2  log x  2
VŠE: D( f )   4; 2  2; 4
2) Určete definiční obor funkce:
f : y  9  x 2  log x  1
VŠE: D( f )   3; 1  1; 3
3) Určete definiční obor funkce:
f : y  4  x 2  log(  x  1)
VŠE: D( f )   2;  1
4) Určete definiční obor funkce:
f : y  81  x2  log( 5  x)
VŠE: D( f )   9;  5
5) Určete definiční obor funkce:
f : y  8  x 2  log(1  x)
VŠE: D( f )   2 2 ; 1
6) Určete definiční obor funkce:
f : y  1  2x  x  1  3
VŠE: D( f )   ;  1  5; 
7) Určete definiční obor funkce:
f : y
2x  6  2x  4  3
VŠE: D( f )   ; 54
8) Určete definiční obor funkce:
f : y
2x  4  6  2x  3
VŠE: D( f )   54 ;
5
4

16. D(f) Absolutní hodnota III.
1) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
2  x 1
VŠE: D( f )   1; 3
2) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
x 1  3
VŠE: D( f )   ;  2  4; 
3) Určete definiční obor funkce:
45/81
skripta MZB1.doc
f : y
8.9.2011
1
1 x  2
VŠE: D( f )  1; 3
4) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
3 x  2
VŠE: D( f )   1; 5
5) Určete definiční obor funkce:
1
f : y
4  x 1
VŠE: D( f )   3; 5
6) Určete definiční obor funkce:
f : y
x 5
5 x
ČZU: D( f )   ; 5
17. D(f) Exponenciální nerovnice
1) Určete definiční obor funkce:
1
f : y x
2  4  2 x  3
UO: D( f )   ; 2  2; 
2) Určete definiční obor funkce:
1
f : y x
4  6  2x  8
UO: D( f )   ; 1  1; 2  2; 
3) Určete definiční obor funkce:
1
f : y x
4  4  2x
UO: D( f )   ; 2  2; 
4) Určete definiční obor funkce:
cos x
f : y  x 1
5  3  5 x  50
UO: D( f )   ; 2  2; 
5) Určete definiční obor funkce:
f : y  3x  9 x
UO: D( f )   ; 0
6) Určete definiční obor funkce:
f:
y  9 x  3  3x
UO: D( f )  1; 
7) Určete definiční obor funkce:
46/81
skripta MZB1.doc
f:
8.9.2011
1
y
3  2 x  12
UO: D( f )  2; 
18. D(f) Bez podmínky
1) Určete definiční obor funkce:
2)
3)
4)
5)
6)
f : y  x2  3
VH: D( f )   ; 
Určete definiční obor funkce:
f : y  log 5 ( x 2  5)
VH: D( f )   ; 
Určete definiční obor funkce:
f : y  log( x2  2)
VH: D( f )   ; 
Určete definiční obor funkce:
f : y  2x  3
Sb-MM: D( f )   ;  …str.56/1.5-a)
Určete definiční obor funkce:
f : y  x 2  6x  8
VH: D( f )   ; 
Určete definiční obor funkce:
f : y  2x  8  2
VH: D( f )   ; 
7) Určete definiční obor funkce:
f : y  e 3 x
Lib: D( f )   ; 
8) Určete definiční obor funkce:
f : y  3 x 1
VH: D( f )   ; 
9) Určete definiční obor funkce:
f : y   12 
VH: D( f )   ; 
10) Určete definiční obor funkce:
f : y  3 1 x
Lib: D( f )   ; 
11) Určete definiční obor funkce:
1
f : y x
2
Lib: D( f )   ; 
x
47/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
48/81
Inverzní funkce
3. Základní pojmy PTP
Úvodem připomeňme několik základních definic:
Funkce je předpis y = f(x), který číslu x přiřadí právě jedno číslo y, kdy x je proměnná, y
je funkční hodnota.
Definiční obor – D(f) je množina všech proměnných x.
Obor hodnot – H(f) je množina všech funkčních hodnot y.
Prostá funkce na daném intervalu I je, pokud každá funkční hodnota y má právě jednu
proměnnou x.
Dále budeme používat při zobrazovaní do souřadných os označení kvadrantů. První kvadrant
je vpravo nahoře, druhý vlevo nahoře, třetí vlevo dole a čtvrtý vpravo dole viz obrázek níže.
4
3
II. kvadrant
I. kvadrant
2
1
3
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
-1
III. kvadrant
-2
IV. kvadrant
1
-3
-4
0
-4
-3
-2
-1
-1
-1
0
1
2
3
4
-1
Inverzní funkce k dané prosté funkci f je funkce f , pro -2kterou platí: D(f ) = H(f) a
zároveň každému y  D(f -1) je přiřazeno právě to x  D(f ),-3 pro které je f(x) = y
Def:
Určení inverzní funkce se provádí tak, že v daném předpisu f: y = f(x) prohodíme proměnnou
x a funkční hodnotu y, a vyjádříme y. Takto vznikne nový předpis, který je funkcí inverzní f -1:
y = g(x)
Věta: Graf inverzní funkce je osově symetrický k původní funkci podle osy prvního a třetího
kvadrantu.
Podle výše uvedených definic funkce f přiřadí číslu x právě jedno číslo y. Inverzní funkce f -1
je cesta zpátky, to znamená, že přiřadí číslu y právě jedno číslo x.
Proto je nutnou podmínkou prostost původní funkce f tak, aby existovala jednoznačná
cesta zpět. Uveďme příkladem, neprostou funkci kvadratickou: f : y  x 2
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
Pokud načrtneme graf funkce f, a podle výše uvedené věty i graf
inverzní funkce do jednoho obrázku podle osové symetrie vidíme,
že inverzní „funkce“ nemůže být funkcí. Není totiž splněna
podmínka, že proměnné x přiřadí právě jednu funkční hodnotu y.
Například číslu x = 1 přiřazuje hodnotu y = 1 a zároveň y = – 1.
skripta MZB1.doc
8.9.2011
49/81
4. Lineární funkce
10) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
f : y  2x  3
f 1 : y  12 x  32
4
3
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: Px  32 ; 0; Py  0;  3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
D( f 1 )   ;  ; H ( f 1 )   ;  
-2
Px   3; 0; Py  0; 32 
-3
-4
11) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
h : y  12 x  1
h 1 :
y  12 x  32
4
3
D(h)   ;  ; H (h)   ;  
VH: Px   2; 0; Py  0;1
2
1
0
-4
-3
-2
-1
D(h )   ;  ; H (h )   ;  
1
0
1
2
3
4
-1
1
-2
Px  1; 0; Py  0;  2
-3
-4
12) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
m: y  x  2
m 1 : y  x  2
4
3
2
D(m)   ;  ; H (m)   ;  
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
VH: Px   2; 0; Py  0; 2
-2
-3
D(m 1 )   ;  ; H (m 1 )   ;  
-4
Px  2; 0; Py  0;  2
13) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
k : y  2 x  2
k 1 :
y   12 x  1
4
3
D(k )   ;  ; H (k )   ;  
VH: Px   1; 0; Py  0;  2
D(k )   ;  ; H (k )   ;  
1
1
Px   2; 0; Py  0;  1
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
50/81
5. Lomená funkce
1) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
1
f : y  1
x
1
f 1 : y 
x 1
D( f )   ; 0  0;  ; H ( f )   ;  1   1;  
VH: Px  1; 0; Py  není
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
D( f 1 )   ;  1   1;  ; H ( f 1 )   ; 0  0;  
-2
Px  není ; Py  0;1
2) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
1
g: y
x 1
1
g 1 : y   1
x
D( g )   ; 1  1;  ; H ( g )   ; 0  0;  
VH: Px  není ; Py  0;  1
-3
-4
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
D( g 1 )   ; 0  0;  ; H ( g 1 )   ; 1  1;  
-2
-3
Px   1; 0; Py  není
3) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
1
h: y 
x2
1
h 1 : y   2
x
D(h)   ;  2   2;  ; H (h)   ; 0  0;  
-4
3
2
1
VH: Px  není ; Py  0; 12 
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
D(h 1 )   ; 0  0;  ; H (h 1 )   ;  2   2;  
-3
-4
Px  12 ; 0; Py  není
-5
4) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
1
m: y  3
x
1
m 1 : y 
x3
D(m)   ; 0  0;  ; H (m)   ; 3  3;  
6
5
4
3
2
1
VH: Px   ; 0; Py  není
1
3
D(m 1 )   ; 3  3;  ; H (m 1 )   ; 0  0;  
Px  není ; Py  0;  13 
0
-2
-1
0
-1
-2
1
2
3
4
5
6
skripta MZB1.doc
8.9.2011
51/81
6. Kubická funkce
1) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
f : y  x3  1
f 1 :
y  3 x 1
4
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: Px  1; 0; Py  0;  1
2
1
0
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
1
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
1
-2
Px   1; 0; Py  0;1
-3
-4
2) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
g : y  x3  1
g 1 :
y  3 x 1
4
D( g )   ;  ; H ( g )   ;  
VH: Px   1; 0; Py  0;1
2
1
0
D( g )   ;  ; H ( g )   ;  
1
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
1
-2
Px  1; 0; Py  0;  1
-3
-4
3) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
k : y  ( x  2)3 ;
k 1 :
y3 x 2
4
3
D(k )   ;  ; H (k )   ;  
VH: Px  2; 0; Py  0;  8
2
1
0
-4
-3
-2
-1
D(k )   ;  ; H (k )   ;  
1
0
1
2
3
4
-1
1
-2
Px   8; 0; Py  0; 2
-3
-4
4) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
a : y  ( x  1)3 ;
a 1 :
y  3 x 1
4
3
D(a)   ;  ; H (a)   ;  
VH: Px   1; 0; Py  0;1
Px  1; 0; Py  0;  1
1
0
-4
D(a )   ;  ; H (a )   ;  
1
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
52/81
7. Něco navíc
1) Pro zadanou funkci určete funkci inverzní a do jednoho obrázku načrtněte oba grafy, u
obou funkcí určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami:
g : y  3x  3
g 1 :
y  13 x  1
4
3
D( g )   ;  ; H ( g )   ;  
VH: Px   1; 0; Py  0; 3
D( g 1 )   ;  ; H ( g 1 )   ;  
Px  3; 0; Py  0;  1
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
53/81
Graf funkce
8. Základní funkce
6) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : yx
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
Px  0; 0; Py  0; 0
7) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y x
Px  0; 0; Py  0; 0
9) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x3
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
Px  0; 0; Py  0; 0
10) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  1x
D( f )   ; 0  0;  ;
VH: H ( f )   ; 0  0;  , k  ; 0; 0;  
2
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
-2
7
6
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
5
4
3
VH: k  ;  
13) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
1
4
4
VH: r  ;  
Px  není ; Py  0;1
0
3
-4
Px  není ; Py  není
11) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  6x
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
Px  není ; Py  0;1
12) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
x
f : y  13 
2
-3
Px  0; 0; Py  0; 0
8) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x2
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
VH: r 0;  ; k  ; 0 ;
1
-2
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
VH: r 0;  ; k  ; 0 ;
0
-1
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
skripta MZB1.doc
8.9.2011
f : y  log 4 x
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
VH: r 0;  
Px  1; 0; Py  není
54/81
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
3
4
-1
-2
-3
-4
14) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 1 x
4
2
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
3
2
1
VH: k 0;  
0
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
Px  1; 0; Py  není
-2
-3
-4
9. Mínus před funkcí
1) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
Px  0; 0; Py  0; 0
2) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y x
-3
-4
4
3
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
2
1
VH: r 0;  ; k  ; 0 ;
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
Px  0; 0; Py  0; 0
3) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x 2
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
-3
-4
2
1
0
-3
-2
-1
0
VH: r 0;  ; k  ; 0 ;
1
2
3
-1
-2
Px  0; 0; Py  0; 0
-3
-4
4) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x3
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
-2
Px  0; 0; Py  0; 0
5) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y   1x
-3
-4
-5
5
4
D( f )   ; 0  0;  ;
3
2
1
VH: H ( f )   ; 0  0;  , k  ; 0; 0;  
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
Px  není ; Py  není
-4
-5
6) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
55/81
f : y  5 x
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
VH: r  ;  
Px  není ; Py  0;1
7) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  0,4 x
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
VH: k  ;  
2
1
0
-4
-3
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
-2
-3
-4
Px  není ; Py  0;1
8) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y   log 7 x
-5
-6
-7
4
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
VH: r 0;  
-2
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
-1
Px  1; 0; Py  není
-2
-3
-4
9) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y   log 1 x
4
3
2
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
VH: r 0;  
2
1
0
-2
-1
0
1
0
1
0
1
-3
-4
10. Číslo za funkcí – posunutí dle osy y
1) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : yx4
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
1
0
-4
-3
-2
-1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Px  4; 0; Py  0;  4
2) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x 3
-5
-6
-7
2
1
0
-4
-3
-2
-1
2
3
4
-1
VH: r 0;  ; k  ; 0 ;
-2
-3
-4
Px1   3; 0; Px2  3; 0; Py  0;  3
-5
-6
3) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x2  2
D( f )   ;  ; H ( f )  2;  
6
5
4
3
VH: r 0;  ; k  ; 0 ;
Px  není ; Py  0; 2
4) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
3
-2
Px  1; 0; Py  není
D( f )   ;  ; H ( f )   3;  
2
-1
2
1
0
-3
-2
-1
0
-1
-2
1
2
3
skripta MZB1.doc
8.9.2011
56/81
f : y  x3  1
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
-2
Px   1; 0; Py  0;1
5) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  1x  2
-3
-4
-5
5
4
D( f )   ; 0  0;  ;
3
2
1
VH: H ( f )   ;  2   2;  ,
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
k  ;  2;  2;  Px  12 ; 0; Py  není
6) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  3x  3
D( f )   ;  ; H ( f )   3;  
VH: r  ;  
-3
-4
-5
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
0
1
-1
-2
Px  1; 0; Py  0;  2
7) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  0,4 x  2
D( f )   ;  ; H ( f )  2;  
VH: k  ;  
-3
-4
8
7
6
5
4
3
2
Px  není ; Py  0; 3
8) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 7 x  1
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
4
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
VH: r 0;  
-1
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
-1
Px  7; 0; Py  není
-2
-3
-4
9) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 0,3 x  2
4
3
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
VH: k 0;  
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
-1
Px  0,9; 0; Py  není
-2
-3
-4
11. Číslo u x – posunutí dle osy x
1) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x4
7
6
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
5
4
3
VH: r  4;  ; k  ;  4 ;
Px   4; 0; Py  0; 4
2) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
2
1
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
skripta MZB1.doc
f:
8.9.2011
57/81
y   x  2
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
2
6
5
4
3
VH: r  2;  ; k  ;  2 ;
2
1
0
Px   2; 0; Py  0; 4
3) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
3
f : y  x  3
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
-5
-4
-3
-2
2
3
5
4
3
2
1
0
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
VH: H ( f )   ; 0  0;  ,
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
k  ;  1;  1;  , Px  není ; Py  0;1
5) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  2 x 2
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
VH: r  ;  
-3
-4
-5
7
6
5
4
3
2
1
0
Px  není ; Py  0; 14 
6) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
x3
f : y   12 
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
2
3
4
5
6
2
3
4
4
5
6
-2
7
6
D( f )   ;  ; H ( f )  0;  
5
4
3
VH: k  ;  
2
1
Px  není ; Py  0; 8
7) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 3 ( x  3)
0
-2
-1
-1
0
1
-2
4
3
D( f )   3;  ; H ( f )   ;  
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
Px   2; 0; Py  0;1
8) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 1 ( x  1)
-2
-3
-4
4
4
3
D( f )  0;  ; H ( f )   ;  
Px  2; 0; Py  není
1
-2
D( f )   ;  1   1;  ;
VH: k 0;  
0
-1
Px  3; 0; Py  0;  27
4) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x11
VH: r  3;  
-1
2
1
0
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
skripta MZB1.doc
8.9.2011
58/81
12. Obecná úprava
1) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x 1  2
D( f )   ;  ; H ( f )   2;  
VH: r 1;  ; k  ; 1 ;
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
-1
-2
Px1   1; 0; Px2  3; 0; Py  0;  1
-3
-4
2) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  3 x
4
D( f )   ;  ; H ( f )   ; 3
VH: r  ; 0 ; k ; 0;  
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
Px1   3; 0; Px2  3; 0; Py  0; 3
-3
-4
3) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
2
f : y  x  1  2
D( f )   ;  ; H ( f )  2;  
7
6
5
4
VH: r 1;  ; k  ; 1 ;
Px  není ; Py  0; 3
4) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
2
f : y  x  1  4
D( f )   ;  ; H ( f )   ; 4
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
7
6
5
4
VH: r  ; 1 ; k ; 1;  
Px1   1; 0; Px1  3; 0; Py  0; 3
5) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
3
f : y   x  2  1
D( f )   ;  ; H ( f )   ;  
VH: r  ;  
Px   3; 0; Py  0; 9
6) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  x 1 2  2
D( f )   ; 2  2;  ;
VH: H ( f )   ;  2   2;  ,
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
2
1
0
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
-4
k  ; 2; 2;  , Px  2,5; 0; Py  0;  2,5
7) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  5x 1  1
D( f )   ;  ; H ( f )   1;  
-5
-6
7
6
5
4
3
VH: r  ;  
Px   1; 0; Py  0; 4
-1
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
-2
0
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
59/81
8) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
x 1
f : y  0,2  2
D( f )   ;  ; H ( f )  2;  
VH: k  ;  
8
7
6
5
4
3
2
Px  není ; Py  0; 7
9) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 5 ( x  1)  2
1
0
-2
-1
0
1
5
6
2
3
4
5
6
7
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-2
-3
-4
4
3
3
D( f )  2;  ; H ( f )   ;  
Px  73 ; 0; Py  není
4
3
Px   24
; 0; Py  0; 2
25
10) Načrtněte graf dané funkce a určete vlastnosti:
f : y  log 1 ( x  2)  1
VH: k 2;  
3
4
D( f )   1;  ; H ( f )   ;  
VH: r  1;  
2
2
1
0
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
60/81
Lineární funkce
1. Graf lineární funkce
1) Pro danou funkci načrtněte graf, určete
monotonii a průsečíky s osami:
f : y  2x  6
2) Pro danou funkci načrtněte graf, určete
monotonii a průsečíky s osami:
g : y  2 x  4
3) Pro danou funkci načrtněte graf, určete
monotonii a průsečíky s osami:
h : y  3x  3
4) Pro danou funkci načrtněte graf, určete
monotonii a průsečíky s osami:
m : y  2 x  2
5) Pro danou funkci načrtněte graf, určete
monotonii a průsečíky s osami:
f : y  2x
2. Průsečíky s osami a monotonie
1) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
f : y  0,5x  1,5
VH: Px=[3; 0], Py=[0;  32 ], rostoucí
2) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
g : y  2,5x  1,5
VH: Px=[  53 ; 0] , Py=[0; 32 ], rostoucí
3) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
h : y  2,5x  0,5
VH: Px=[  15 ; 0] , Py=[0;  12 ], klesající
4) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
m : y  1,5x  2,5
VH: Px=[ 53 ; 0] , Py=[0; 52 ], klesající
5) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
f : y   23 x  72
VH: Px=[  21
; 0], Py=[0;  72 ], rostoucí
4
6) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
g : y  34 x  12
VH: Px=[ 23 ; 0] , Py=[0;  12 ], rostoucí
7) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
h : y  52 x  43
VH: Px=[  103 ; 0] , Py=[0; 43 ], klesající
8) U zadané funkce vypočtěte průsečíky s
osami a určete monotonii:
m : y   52 x  76
VH: Px=[ 157 ; 0] , Py=[0; 76 ], klesající
3. Graf konstantní funkce
1) Načrtněte graf funkce:
f : y  3
2) Načrtněte graf funkce:
g: y2
3) Načrtněte graf funkce:
h : y  4
4) Načrtněte graf funkce:
m: y 1
4. Určení předpisu z bodů
1) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body A=[3; -3] a B=[2; -5].
VH: y  2 x  9
2) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body C=[2; 5] a D=[3; 2].
VH: y  3x  11
3) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body E=[2; 1] a F=[3; -3].
VH: y  4 x  9
4) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body G=[-1; 1] a H=[1; 7].
VH: y  3x  4
5) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body I=[2; 4] a J=[4; 6].
VH: y  x  2
6) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body K=[3; 6] a L=[2; 3].
VH: y  3x  3
skripta MZB1.doc
8.9.2011
7) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body M=[-4; 5] a N=[2; -1].
VH: y   x  1
8) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body O=[1; -2] a P=[-2; -8].
VH: y  2 x  4
9) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body R=[-3; 2] a S=[-5; 6].
VH: y  2 x  4
10) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body T=[4; 1] a U=[6; -5].
VH: y  3x  13
11) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body U=[4; 1] a V=[2; -3].
VH: y  2 x  7
12) Určete předpis lineární funkce, která
prochází body X=[-3; 1] a Y=[-1; -5].
VH: y  3x  8
61/81
6. Určení předpisu z grafu
1) Z grafu určete předpis funkce.
y
1
1
VH: y  2 x  2
2) Z grafu určete předpis funkce.
y
1
1
5. Základní pojmy
1) Co je to funkce?
Co je to graf funkce?
Napište obecný předpis lineární funkce,
popište co znamenají jednotlivé symboly.
-
x
x
VH: y  2 x  3
3) Z grafu určete předpis funkce.
y
1
1
x
VH: y  3x  1
4) Z grafu určete předpis funkce.
y
1
1
VH: y   x  3
x
skripta MZB1.doc
8.9.2011
62/81
Lineární funkce a lineární funkce s absolutní hodnotou
1. Lineární funkce v omezeném D(f) - liché
1) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   4; 4
f : y  0,5x
VH: H ( f )   2; 2 , Px=[0; 0], Py=[0; 0]
2) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( g )   4; 4
g : y  0,5x
VH: H ( g )   2; 2 , Px=[0; 0], Py=[0; 0]
3) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(h)   4; 4
h: y  x
6
5
4
3
2
1
0
-6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 -1 0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-2
-3
-4
-5
-6
5
4
3
2
1
0
-6
VH: H (h)   4; 4 , Px=[0; 0], Py=[0; 0]
4) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(m)   4; 4
m : y  x
VH: H (m)   4; 4 , Px=[0; 0], Py=[0; 0]
5) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(k )   2; 2
k : y  2x
VH: H (k )   4; 4 , Px=[0; 0], Py=[0; 0]
-5
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
-2
-3
-4
-5
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
-6
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
-6
2. Lineární funkce v omezeném D(f) - s nekonečnem
1) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   3; 
f : y  2 x  2
5
4
3
2
1
0
-6
VH: H ( f )   ; 4 , Px=[-1; 0], Py=[0; -2]
2) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(g )  2; 
g : y  2x  4
VH: H (g )  0;  , Px=[2; 0], Py=není
3) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(h)   ;  1
h : y  2 x  4
VH: H (h)   2;  , Px=[-2; 0], Py=není
4) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(k )   5; 
k : y  2 x  6
VH: H (k )   ; 4 , Px=[-3; 0], Py=[0; -6]
5) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(m)   ; 1
m : y  3x  3
VH: H (h)   ; 6 , Px=[-1; 0], Py=[0; 3]
6) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   6; 
f : y  0,5x  1
VH: H ( f )  2;  , Px=[-2; 0], Py=[0; 1]
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
-1 -1 0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
7
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
7
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
5
4
3
2
1
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
skripta MZB1.doc
8.9.2011
63/81
3. Lineární funkce v omezeném definičním oboru
1) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   4; 6
f : y  0,5x  2
VH: H ( f )   1; 4 , Px=[4; 0], Py=[0; 2]
2) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   4; 4
f : y  0,5x  3
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
VH: H ( f )   5;  1 , Px=není, Py=[0; -3]
3) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   2; 1
f : y  2x  2
VH: H ( f )   2; 4 , Px=[-1; 0], Py=[0; 2]
4) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   1; 2
f : y  2 x  2
VH: H ( f )   2; 4 , Px=[1; 0], Py=[0; 2]
5) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(h)   4; 0
h : y  2x  4
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
5
-2
-3
-4
-5
-6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
-1
-2
-3
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
VH: H (h)   4; 4 , Px=[-2; 0], Py=[0; 4]
6) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )  0; 3
f : y  2 x  4
VH: H ( f )   2; 4 , Px=[2; 0], Py=[0; 4]
7) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D(m)   5;  2
m : y  2x  6
VH: H (h)   4; 2 , Px=[-3; 0], Py=není
8) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
D( f )   4;  1
f : y  3x  6
VH: H ( f )   6; 3 , Px=[-2; 0], Py=není
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
3
1
2
4
5
6
-2
-3
-4
-5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
4. Lineární funkce s absolutní hodnotou
1) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h : y  x  2 1
VH: V=[2; 1], Px=není, Py=[0; 3]
2) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h : y  x  3 1
VH: V=[3; -1], Px=[2; 0], Px=[4; 0], Py=[0; 2]
3) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h: y  x  2 3
VH: V=[-2; -3], Px=[-5; 0], Px=[1; 0], Py=[0; -1]
4) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h : y  x 1 1
VH: V=[-1; 1], Px=není, Py=[0; 3]
2
-1
0
3
4
5
6
skripta MZB1.doc
8.9.2011
64/81
5) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h : y   x 1  2
VH: V=[1; 2], Px=[-1; 0], Px=[3; 0], Py=[0; 1]
6) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h: y  x3 3
VH: V=[-3; 3], Px=[-6; 0], Px=[0; 0], Py=[0; 0]
7) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h : y   x  4 1
VH: V=[4; -1], Px=není, Py=[0; -5]
8) Pro zadanou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h: y  x 2
VH: V=[0; 2], Px=[-2; 0], Px=[2; 0], Py=[0; 2]
5. Lineární funkce v absolutní hodnotě
6) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
f : y  2x  6
VH: V=[3; 0], Px=[3; 0], Py=[0; 6]
7) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
g : y   2x  4
VH: V=[2; 0], Px=[2; 0], Py=[0; 4]
8) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
h : y  3x  3
VH: V=[1; 0], Px=[1; 0], Py=[0; 3]
9) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
m : y  2x  2
VH: V=[-1; 0], Px=[-1; 0], Py=[0; 2]
10) Pro danou funkci načrtněte graf, určete vlastnosti:
f : y  2x
VH: V=[0; 0], Px=[0; 0], Py=[0; 0]
6. Lineární funkce s absolutními hodnotami
1) Sestrojte graf a popište vlastnosti funkce:
h : y  x 1  x  2
Sb-MM: …str.64/1.10-h)
4
3
2
1
0
-4
2) Sestrojte graf a popište vlastnosti funkce:
h : y  1  x  2x
Sb-MM: …str.64/1.10-f)
-3
-2
-1
0
1
2
2
1
0
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
3) Sestrojte graf a popište vlastnosti funkce:
h : y  2x  4  1  x  2
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
skripta MZB1.doc
8.9.2011
65/81
Sb-MM: …str.64/1.10-i)
4) Sestrojte graf a popište vlastnosti funkce:
h : y  x  1  2x  2
VH:
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
5) Sestrojte graf a popište vlastnosti funkce:
g : y  2x  2  x  1
VH:
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
6) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
k : y  x2  x3 4
VH:
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
7) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
g : y  x  2  x 3 3
VH:
0
2
3
4
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
8) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
g : y  x 2  x  2 3
VH:
2
3
4
5
7
6
5
4
3
2
1
0
-5
9) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
g : y  x 1  x  1
VH:
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
10) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
g : y  x  5  x 1  x  2  5
VH:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
11) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
g : y  x  5  x 1  x  2
VH:
2
3
4
5
6
7
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-6
12) Načrtněte graf funkce a určete vlastnosti:
g : y  x  3  x 1  x 1  3
VH:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
7
8
6
4
2
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
-6
-8
1
2
3
4
5
skripta MZB1.doc
8.9.2011
66/81
Lineární rovnice
1. Jedno řešení
1) Řešte v R danou rovnici:
6  27 x
2x 8
 ( x  1) 

15
3 5
VH: x = 3/2
2) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 10 = (x + 5)2
VH: x = - 3/2
3) Řešte v R danou rovnici:
3x2 = (2x - 1)2 + 7 - (1 + x)2
x = 7/6
4) Řešte v R danou rovnici:
2(3x 2  x)  (3x  2) x 2  ( x  1)2
VH: x = 2/5
5) Řešte v R danou rovnici:
3  2x 2x  2

 2  x
5
2
VH: x = 4
6) Řešte v R danou rovnici:
5  27 x
2x 8
 ( x  1) 

15
3 5
VH: x = 2
7) Řešte v R danou rovnici:
2 x  1 3x  2 x

  x 1
3
6
2
VH: x = 3
8) Řešte v R danou rovnici:
5(x - 1) - x(7 - x) = x2
VH: x = -5/2
9) Řešte v R danou rovnici:
1  2 x 2  x  1  x  22 x  3
VH: x = -1
10) Řešte v R danou rovnici:
7 = (x - 4)2 - (x + 1)2
VH: x = 4/5
11) Řešte v R danou rovnici:
(2 - x)2 - x(10x - 13) = 2 - (3x - 2)2
VH: x = 2
12) Řešte v R danou rovnici:
15 - (3 - x)2 = (2x + 3)2 - 5x(x - 1) - 7x
VH: x = -3/4
13) Řešte v R danou rovnici:
(x - 1)(1 + 3x) - (1 - 2x)2 = - 4 - x2
VH: x = -1




14) Řešte v R danou rovnici:
(x - 3)2 = 2x2 - 6x + 13 - (x + 1)2
VH: x = 3/2
15) Řešte v R danou rovnici:
12  x x  1  2  xx  3  6 x
VH: x = 1
16) Řešte v R danou rovnici:
2
1
( x  2)  (2 x  3)  x
3
5
x=1
2. Nekonečně mnoho řešení
1) Řešte v R danou rovnici:
28  14 x
3x x  1
 (3  2 x)  
8
4
2
VH: x  R
2) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 16 = (x + 4)2 - 8x
VH: x  R
3) Řešte v R danou rovnici:
(3x - 1)2 + 8 - (3 - x)2 = 8x2
VH: x  R
4) Řešte v R danou rovnici:
(2 x  3) x 2  ( x  2)2  8x2  4( x  3)
VH: x  R
5) Řešte v R danou rovnici:
47 - 2(5 - x)2 = (2x - 1)(3 - x) + 13x
VH: x  R
6) Řešte v R danou rovnici:
6  25 x
2x 7
 ( x  1) 

15
3 5
xR


3. Nemá řešení
1) Řešte v R danou rovnici:
3x 7 x  5 16 x  13


 ( x  2)
2
6
12
VH: NŘ
2) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 6 = (x + 3)2 - 6x
VH: NŘ
3) Řešte v R danou rovnici:
3x2 - 6x = (2x - 1)2 + 7 - (1 + x)2
skripta MZB1.doc
8.9.2011
VH: NŘ
4) Řešte v R danou rovnici:
(1  2 x) ( x  5)2  x 2  4(4  10 x  5x 2 )
VH: NŘ
5) Řešte v R danou rovnici:
15 - (3 - x)2 = (2x + 3)2 - 5x(x - 1) - 11x
VH: NŘ
6) Řešte v R danou rovnici:
(x - 3)2 = 2x2 - 4x + 13 - (x + 1)2
VH: NŘ
7) Řešte v R danou rovnici:
(2 - x)2 - x(10x - 13) = 2 - 3x - (3x - 2)2
VH: NŘ


4. Nula
1) Řešte v R danou rovnici:
28  12 x
3x x  1
 (3  2 x)  
8
4
2
67/81
VH: x = 0
2) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 16 = (x + 4)2
VH: x = 0
3) Řešte v R danou rovnici:
(3 - 2x)2 + 7 - (4 - x)2 = 3x2
VH: x = 0
4) Řešte v R danou rovnici:
3(5x  3)  (3x  1) ( x  3)2  x 2  18x 2
VH: x = 0
5) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 9 = (x + 3)2
x=0
6) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 25 = (x + 5)2
x=0
7) Řešte v R danou rovnici:
x2 + 36 = (x + 6)2
x=0


skripta MZB1.doc
8.9.2011
Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
1. Splňující podmínku
1) Řešte v R rovnici:
x
3x  10

5
2x  6
x3
VH: x  2
2) Řešte v R rovnici:
x4
5x  2
3
2
x 1
1 x
VH: x  1
3) Řešte v R rovnici:
3x  8
x2
1  2x


x
2
x  2x x  2 x  2
VH: x  4
4) Řešte v R rovnici:
5
2
11

 2
x  4 x  1 x  3x  4
VH: x  2
5) Řešte v R rovnici:
12
1  3x 1  3x


2
1  3x 3x  1
1  9x
Sb-rce: x  1
6) Řešte v R rovnici:
x 1 5
 2
3x  2 2
VH: x  0
7) Řešte v R rovnici:
2x
1
 1
x3 2
VH: x  1
8) Řešte v R rovnici:
6
x2
x2

 2
0
x2 2 x x 4
VH: x  8
9) Řešte v R rovnici:
2x  1 2x  1
8

 2
0
2x  1 1  2x 4x  1
VH: x  1
10) Řešte v R rovnici:
1
1
x2  2


1
x2  x x2  x x2  1
VH: x  2
2. Nesplňující podmínku
1) Řešte v R rovnici:
3
5 x
5

3x  12 x  4
Sb-MM: x  4  NŘ
2) Řešte v R rovnici:
x2
7
2
1
5 x
x5
VH: x  5  NŘ
3) Řešte v R rovnici:
3
x4
x 2  2x
 2

x
x  2 x  2x
x2
VH: x  2  NŘ
4) Řešte v R rovnici:
4
7
4

 2
x  2 x  3 x  5x  6
SMP: x  2  NŘ
5) Řešte v R rovnici:
x 1
2
6

1 2
x 1 x  2
x  x2
Sb-rce: x  1  NŘ str. 68/1.3-4)
6) Řešte v R rovnici:
1
1
x2  2


1
x2  x x2  x x2  1
VŠE: x  0  NŘ
7) Řešte v R rovnici:
x 1
2
4
 1
x3
3 x
VH: x  3  NŘ
3. Nemá řešení
1) Řešte v R rovnici:
5
10  3x
3
2x  8
x4
VH: NŘ.
2) Řešte v R rovnici:
3x  2
x4
1 3 
x3
3 x
VH: NŘ.
3) Řešte v R rovnici:
x2
x
2x 2  1
x

x 1
x 1 x2  x
68/81
skripta MZB1.doc
Sb-MM: NŘ.
4) Řešte v R rovnici:
3
4
7x  1

 2
x  2 x  5 x  3x  10
VH: NŘ.
4. Reálná čísla krom podmínek
1) Řešte v R rovnici:
3x  10
8  4x
4
x3
4 x  12
VH: x  ( ; 3)  (3 ; )
2) Řešte v R rovnici:
4x  1
5x  3
 2 1
x2
2x
Sb-MM: x  ( ; 2)  (2 ; )
8.9.2011
3) Řešte v R rovnici:
5 x
3x
2  x2
 2

x
x 1 x  x
x 1
VH: x  ( ; 0)  (0 ; 1)  (1 ; )
4) Řešte v R rovnici:
1
7
8 x  13

 2
x  1 x  6 x  7x  6
VH: x  ( ; 1)  (1 ; 6)  (6 ; )
5) Řešte v R rovnici:
3  4x
3
x
1 
2
x x 1
x x
Sb-rce, Radl:
x  ( ;  1)  (1 ; 0)  (0 ; ) str.
68/1.3-5)
69/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
70/81
Lineární rovnice s absolutní hodnotou
1. Lineární rovnice s jednou absolutní 2)
hodnotou
1) Řešte v R rovnici:
3)
13 + |5 - x| = 2x
VH: x  6, x = 8, {8}
2) Řešte v R rovnici:
4)
13 + |3 - x| = 3x
VH: x  4, x = 5, {5}
3) Řešte v R rovnici:
5)
10 + |2 - 2x| = 4x
VH: x  2, x = 4, {4}
4) Řešte v R rovnici:
11 + |4 - x| = 2x
VH: x  5, x = 7, {7}
3.
5) Řešte v R rovnici:
11 + |1 - x| = 5x
1)
VH: x  2, x = 5/2, {5/2}
6) Řešte v R rovnici:
1 - |2 - x| = 2(x + 3)
2)
VH: x  -1, x = -7, {-7}
7) Řešte v R rovnici:
2x - |x + 3| + 3 = 0
3)
VH: x  -2, x = 0, {0}
8) Řešte v R rovnici:
9 + |2x + 3| = x
4)
VH: x  2, x  -12, 
9) Řešte v R rovnici:
|2x + 3| = 4 -x
5)
VH: {1/3; -7}
10) Řešte v R rovnici:
x + |2 - 3x| = 4
6)
Sb-rce: {-1; 3/2} str. 80/3.1.1-6)
11) Řešte v R rovnici:
|x - 4| = 2x - 3
7)
Sb-MM: x  -1, x = 7/3, {7/3} str. 26/6.2 a)
12) Řešte v R rovnici:
|x - 1| + 2x = 2
8)
SOŠ: x = 1, x = 1, {1}
13) Řešte v R rovnici:
2 - 2|3x - 1| + 3x = 0
9)
VH: {0; 4/3}
SMP: <3; ∞)
Řešte v R rovnici:
7 + |x - 2| = x + 5
VH: <2; ∞)
Řešte v R rovnici:
3 + |x - 4| = x - 1
VH: <4; ∞)
Řešte v R rovnici:
2 + |x - 5| = x - 3
VH: <5; ∞)
Řešte v R rovnici:
1 - |x -3| = x - 2
VH: (-∞; 3>
Lineární rovnice s dvěma
absolutními hodnotami a minusem
Řešte v R rovnici:
|3x - 1| - |2x + 3| = 8
VH: {-4; 12}
Řešte v R rovnici:
|3x + 2| - |2x - 1| = 6
VH: {-9; 3}
Řešte v R rovnici:
|2x + 1| - |3x - 2| = -6
VH: {-3; 9}
Řešte v R rovnici:
|2x - 3| - |3x + 1| = -8
VH: {-12; 4}
Řešte v R rovnici:
|3x - 1| - |2x + 3| = 0
VH: {-2/5; 4}
Řešte v R rovnici:
|-x + 2| + |x - 2| = 1
VH: {3/2; 5/2}
Řešte v R rovnici:
|x + 1| + |x + 2| = 2
Sb-rce: {-1/2; -5/5} str. 80/3.1.2-4)
Řešte v R rovnici:
|x - 3| +3|x - 1| = 2x +1
VH: {5/6; 7/2}
Řešte v R rovnici:
|x + 1| + |2x - 6| = 5
Sb-MM: {2; 10/3} str. 26/6.2 b)
10) Řešte v R rovnici:
2. Lineární rovnice s jednou absolutní
|2x + 1| + |2x - 1| = 3
hodnotu a intervalem
Sb-rce: {-3/4; 3/4} str. 80/3.1.2-10)
1) Řešte v R rovnici:
11) Řešte v R rovnici:
1 + |x - 3| = x - 2
|x| = |2x + 3| + x - 1
skripta MZB1.doc
VH: {-1/2}
12) Řešte v R rovnici:
|x| - |x - 1| = 2
Sb-rce:  str. 80/3.1.2-1)
13) Řešte v R rovnici:
|x - 1| - |x - 2| = 1
Sb-rce: <2; ∞) str. 80/3.1.2-5)
4.
1)
2)
3)
4)
8.9.2011
71/81
|x - 3| + |x + 1| = 4
VH: <-1; 3>
5) Řešte v R rovnici:
|x + 1| + |4 - 2x| + x = 5
Sb-MM: <-1; 3> str. 26/6.2 c)
5. Lineární rovnice s třemi absolutními
hodnotami
Lineární rovnice s dvěma
1) Řešte v R rovnici:
absolutními hodnotami a intervalem
|x + 5| - |x - 2| = |x| - x + 7
Sb-rce: <2; ∞) str. 81/3.1.5-3)
Řešte v R rovnici:
2) Řešte v R rovnici:
|x + 2| + |x - 1| = 3
|x + 3| - |x - 4| + 2|x - 6| = 1
Sb-rce: <-2; 1> str. 80/3.1.2-2)
Řešte v R rovnici:
VH: 
|x| + |x + 1| = 1
3) Řešte v R rovnici:
Sb-rce: <-1; 0> str. 80/3.1.2-3)
|x + 1| + |2 - x| - |x + 3| = 4
Řešte v R rovnici:
VH: {-2; 8}
|x| + |x - 2| = 2
4) Řešte v R rovnici:
VH: <0; 2>
|x| = |x + 2| - |x + 1| + 3
Řešte v R rovnici:
VH: {-2; 4}
skripta MZB1.doc
8.9.2011
72/81
Soustava lineárních rovnic o 2 neznámých
1. Soustava 2 lineárních rovnic
1) Řešte soustavu rovnic:
(x + 5)(y - 2) = (x + 2)(y - 1)
(x - 4)(y + 7) = (x - 3)(y + 4)
Sb-rce: x = 7, y = 5, str. 91/4.1.1 - 20)
2. Soustava 2 lineárních rovnic s nulou
1) Řešte soustavu rovnic:
(x + 2)(y + 5) = (x - 2)(y - 3)
(x + 2)(y - 4) = (x - 2)(y + 6)
VH: x = 0, y = -1
2) Řešte soustavu rovnic:
3x  2 y 5 x  3 y

 x 1
5
3
2x  3y 4x  3y

y
3
3
Sb-rce: x = 3, y = 2, str. 92/4.1.2 - 5)
2) Řešte soustavu rovnic:
4x  2 y 2x  5 y

 x 1
4
5
5x  7 y 2 x  5 y

2
2
2
VH: x = 0, y = -2
3) Řešte soustavu rovnic:
3(y + x) - 12 = 3x - 9
2x - 2y + 3 = x - (3y + x) - 4
SOŠ: x = -4, y = 1
3) Řešte soustavu rovnic:
3(x - 2y) + 1 = x + 13
-2(x + y) = 3(x - y) - 2
SOŠ: x = 0, y = -2
4) Řešte soustavu rovnic:
1
1
11
x y
3
5
5
3
1
7
x y
2
6
2
VH: x = 3, y = -6
4) Řešte soustavu rovnic:
1
1
4
x y
3
4
3
1
4
2
x y
6
3
3
VH: x = 4, y = 0
5) Řešte soustavu rovnic:
2(x - y) + 3 = x - 3(y - 2) + 2
3x - y = 12 - (x + y)
SOŠ: x = 3, y = 2
5) Řešte soustavu rovnic:
3( x  2 y)  4( x  3 y)  1
2( x  3 y)  5( x  2 y)  7( x  y)
6) Řešte soustavu rovnic:
(x + 4)(y - 2) = (x - 5)(y + 4)
(x + 6)(y - 1) = (x - 1)(y + 2)
Sb-rce: x = 8, y = 4, str. 91/4.1.1 - 18)
7) Řešte soustavu rovnic:
(x + 3)(y + 5) = (x + 1)(y + 8)
(2x - 3)(5y + 7) = 2(5x - 6)(y + 1)
Sb-rce: x = 3, y = 1, str. 91/4.1.1 - 19)
8) Řešte soustavu rovnic:
( x  1) 2  ( y  2) 2  ( x  2) 2  ( y  1) 2
( x  4)( y  2)  xy
VH: x = -2, y = -1
VH: x = 1, y = 0
6) Řešte soustavu rovnic:
7x - 3y = -6
3x + y = 2
VH: x = 0, y = 2
3. Soustava 2 lineárních rovnic - NŘ
1) Řešte soustavu rovnic:
(x + 4)(y - 1) = (x + 3)(y - 2)
(x + 4)(y + 2) = (x + 5)(y + 3)
VH: (x + y = -2, x + y = -7) =>NŘ
2) Řešte soustavu rovnic:
3x  2 y 2 x  4 y

x2
3
4
skripta MZB1.doc
6 x  4 y 3x  2 y

3
5
5
VH: (3x - 2y = 12, 3x - 2y = 15) NŘ
3) Řešte soustavu rovnic:
2(x + y - 1) + 1 = 5y + 4
-(x + 3y) + 8 = -3(x - 3)
SOŠ: (2x - 3y = 1, 2x - 3y = 5) NŘ
4) Řešte soustavu rovnic:
3
1
5
x y
4
6
4
3
1
4
x y
2
3
3
VH: (9x + 2y = 15, 9x + 2y = 8) NŘ
8.9.2011
73/81
1
4
2
x y
6
3
3
VH: x = 125 , y =  15
2) Řešte soustavu rovnic:
1
2
x y2
2
3
1
2
x y0
6
3
?: x = 3, y = 34
5) Řešte soustavu rovnic:
(x - 3)(y + 5) = (x + 1)(y + 8)
(2x - 3)(5y + 5) = 2(5x - 6)(y + 1)
?: x = 53 , y = 1
4. Soustava 2 lineárních rovnic - NMŘ
6. Soustava 2 lineárních základní
1) Řešte soustavu rovnic:
1) Řešte soustavu rovnic:
(x - 2)(y + 3) = (x + 5)(y - 4)
x + y =8
(x - 1)(y + 2) = (x + 4)(y - 3)
3x - 5y = 0
VH: x = t, y = 2 + t <=NMŘ
VH: x = 5, y = 3
2) Řešte soustavu rovnic:
2) Řešte soustavu rovnic:
2 x  6 y 3x  y

x4
3x - y = 9
2
3
2x + 4y = -8
5x  4 y 2 x  4 y

3
VH: x = 2, y = -3
4
4
VH: NMŘ
3) Řešte soustavu rovnic:
3x - 2y = 2
3) Řešte soustavu rovnic:
x - 3y = -11
x - 2 = 2(1 - 2y) + 1
VH: x = 4, y = 5
5x + 3(y + 1) = 4(x + 2) - y
SOŠ: x =5 - 4t, y = t <=NMŘ
4) Řešte soustavu rovnic:
4x + 3y = 6
4) Řešte soustavu rovnic:
2x + y = 4
1
3
1
VH: x = 3, y = -2
x y
4
5
4
5) Řešte soustavu rovnic:
1
6
1
x y
4x + 3y = -10
2
5
2
3x - 2y = 1
VH: NMŘ
VH: x = -1, y = -2
5. Soustava 2 lineárních rovnic zlomky
1) Řešte soustavu rovnic:
1
1
3
x y
3
4
4
6) Řešte soustavu rovnic:
4x + 3y = -6
3x + 5y = 1
VH: x = -3, y = 2
skripta MZB1.doc
8.9.2011
74/81
Soustava lineárních rovnic o 3 neznámých
7. Soustava 3 lineárních rovnic
1) Řešte soustavu rovnic:
9)
x + 2y - 3z = -8
-3x + y + 2z = 10
2x - 3y + 2z = 5
Sb-rce: x = 3, y = 5, z = 7 str. 95/4.1.6 - 12)
3x - y + 2z = 7
SPŠ: x = 1, y = -2, z = 1
Řešte soustavu rovnic:
x + 2y = 9
3y - 3z = -5
- x + 5z = 14
?: x = 2, y = 1, z = -1
2) Řešte soustavu rovnic:
10) Řešte soustavu rovnic:
x + 2y + 3z = 5
x + y - 2z = 0
2x - y - z = 1
x - y - 8z = 0
x + 3y + 4z = 6
3x + 5y + 4z = 4
Sb-MM: x = 1, y = -1, z = 2 str. 31/2.4 – a)
?: x = 5, y = -3, z = 1
3) Řešte soustavu rovnic:
11) Řešte soustavu rovnic:
3x + y + z = 6
x+y-z=0
x + 3y + z = 4
2x + y - z = 1
x + y + 3z = 0
4x + 2y - 3z = 0
SMP: x = 2, y = 1, z = -1
?: x = 1, y = 1, z = 2
4) Řešte soustavu rovnic:
12) Řešte soustavu rovnic:
x + y - z = 11
x-y-z=5
x-y+z=1
-x+y-z=1
y+z-x=5
- x - y + z = -15
Sb-rce: x = 6, y = 8, z = 3 str. 95/4.1.6 - 8)
?: x = 7, y = 5, z = -3
5) Řešte soustavu rovnic:
13) Řešte soustavu rovnic:
x  2y  z  2
x + y - z = 11
2x  y  z  7
x-y+z=1
x y z6
-x+y+z=5
SMP: 1; 2; 3
?: x = 6, y = 8, z = 3
6) Řešte soustavu rovnic:
5x - 2y + z = 12
3x - y - 3z = -4
- x + y + 4z = 9
SPŠ: x = 1, y = -2, z = 3
7) Řešte soustavu rovnic:
5x + 2y + 3z = 9
x - 2y - z = 5
3x - y + 7z = 15
SPŠ: x = 2, y = -2, z = 1
8) Řešte soustavu rovnic:
7x + y - 3z = 2
2x + 2y = -2
8. Soustava 3 lineárních rovnic - NŘ
1) Řešte soustavu rovnic:
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 3
3x + y - z = 1
Sb-MM: NŘ str. 31/2.4 – e)
2) Řešte soustavu rovnic:
x + 2y + 3z = 4
2x + y - z = 3
3x + 3y + 2z = 10
Sb-MM: NŘ str. 31/2.4 – b)
3) Řešte soustavu rovnic:
skripta MZB1.doc
2x - y - z = 1
5x - 3y + 2z = 5
4x - 3y + 7z = 0
Sb-MM: NŘ str. 31/2.3 – b)
8.9.2011
4) Řešte soustavu rovnic:
2x + y + 17z = 4
x - y + 4z = 1
y + 3z = 4
?: NMŘ
75/81
9. Soustava 3 lineárních rovnic - NMŘ
1) Řešte soustavu rovnic:
10. Soustava 3 lineárních rovnic x + 2y + 3z = 4
zlomky
2x + 3y + 4z = 5
3x + 4y + 5z = 6
14) Řešte soustavu rovnic:
Sb-MM: NMŘ str. 31/2.3 – c)
2x - 3y + 4z = 5
3x + 4y - 2z = 0
2) Řešte soustavu rovnic:
-4x + 2y + 3z = 8
x + 2y + 5z = 1
! Sb-rce: x = 0, y = 1, z = 2 str. 95/4.1.6 3x + 4y + 7z = 2
13)
5x + 6y + 9z = 3
Sb-MM: NMŘ str. 31/2.4 – c)
15) Řešte soustavu rovnic:
x  2 y  3z  3
3) Řešte soustavu rovnic:
2x  4 y  6z  2
2x + 3y - z = 3
1
x  y  3z 
4x - y + z = 11
2
2x - 4y + 2z = 8
1; 12 ; 13 
Sb-MM: NMŘ str. 31/2.4 – f)
skripta MZB1.doc
8.9.2011
76/81
Lineární nerovnice
5. Nerovnice v N s ostrou nerovností
1) Řešte v N danou nerovnici:
2 x 8 5  27 x
 
 ( x  1)
3 5
15
VH: ! x  2; x   1 
2) Řešte v N danou nerovnici:
x  22  x 2  16
VH: ! x  5; x  1, 2, 3, 4
3) Řešte v N danou nerovnici:
(2 - x)2 - x(10x - 13) > 2 - (3x - 2)2
VH: ! x  2; x   1 
4) Řešte v N danou nerovnici:
( x  2) 2  x 2 (1  2 x)  4(2 x 2  5)
VH: ! x  2; x   1 
5) Řešte v N:
2
x 2  20  x  2
VH: ! x  4  1, 2, 3
6) Řešte v N:
x  32  x  x  1  11
VH: ! x  4  1, 2, 3
7) Řešte v N:
x  12  x 2  5
VH: ! x  3  1, 2


6. Nemá řešení
1) Řešte v Z danou nerovnici:
28  14 x
3x x  1
 (3  2 x) 

8
4
2
VH: 0 < 0, NŘ
2) Řešte v Z danou nerovnici:
x2 + 16 < (x + 4)2 - 8x
VH: 0 < 0, NŘ
3) Řešte v Z danou nerovnici:
(3x - 1)2 + 8 - (3 - x)2 < 8x2
VH: 0 < 0, NŘ
4) Řešte v Z danou nerovnici:
(2 x  3) x 2  ( x  2) 2  8x 2  4( x  3)
VH: 0 < 0, NŘ
5) Řešte v R danou nerovnici:
15 - (3 - x)2  (2x + 3)2 - 5x(x - 1) - 11x
VH: 0  3, NŘ
6) Řešte v R danou nerovnici:
(x - 3)2  2x2 - 4x + 13 - (x + 1)2


VH: 0  3, NŘ
7) Řešte v R danou nerovnici:
(2 - x)2 - x(10x - 13)  2 - 3x - (3x - 2)2
VH: 0  - 6, NŘ
8) Řešte v R danou nerovnici:
x x5 x 3 x2



2
3
2
3
Sb-MM: 0  - 15, NŘ, str. 27/1.1 – c)
7. Nekonečně mnoho řešení
1) Řešte v R danou nerovnici:
3x 7 x  5 16 x  13


 ( x  2)
2
6
12
VH: 0  1, x  R
2) Řešte v R danou nerovnici:
x2 + 6  (x + 3)2 - 6x
VH: 0  3, x  R
3) Řešte v R danou nerovnici:
3x2 - 6x  (2x - 1)2 + 7 - (1 + x)2
VH: 0  7, x  R
4) Řešte v R danou nerovnici:
(1  2 x) ( x  5) 2  x 2  4(4  10 x  5x 2 )
VH: 0  -9, x  R
5) Řešte v R danou nerovnici:
47 - 2(5 - x)2  (2x - 1)(3 - x) + 13x
VH: 0  0, x  R
6) Řešte v R danou nerovnici:
6  25 x
2x 7
 ( x  1) 

15
3 5
VH: 0  0, x  R
7) Řešte v R danou nerovnici:
5 x  3 3x  5
x

8
8
Sb-MM: 0  0, x  R, str. 27/1.1 – d)


8. Nula
1) Řešte v R danou nerovnici:
3x x  1 28  12 x


 (3  2 x)
4
2
8
VH: ! x  0; x  0; 
2) Řešte v R danou nerovnici:
x2 + 16  (x + 4)2
VH: ! x  0; x   ; 0
3) Řešte v R danou nerovnici:
(3 - 2x)2 + 7 - (4 - x)2  3x2
skripta MZB1.doc
8.9.2011
VH: ! x  0; x   ; 0
4) Řešte v R danou nerovnici:
3(5x  3)  (3x  1) ( x  3) 2  x 2  18x 2

VH: ! x  0; x   ; 0
5) Řešte v R danou nerovnici:
x2 + 9  (x + 3)2
VH: ! x  0; x   ; 0
6) Řešte v R danou nerovnici:
x2 + 25  (x + 5)2
VH: ! x  0; x   ; 0
7) Řešte v R danou nerovnici:
x2 + 36 > (x + 6)2
VH: ! x  0; x   ; 0

10. Nerovnice v R
1) Řešte v R danou nerovnici:
3  2x 2x  2

 2  x
5
2
VH: ! x  4; x  4; 
2) Řešte v R danou nerovnici:
2 x  1 3x  2 x

  x 1
3
6
2
VH: ! x  3; x  3; 
3) Řešte v R danou nerovnici:
5(x - 1) - x(7 - x) < x2
VH: ! x   52 ; x   52 ; 
4) Řešte v R danou nerovnici:
1  2 x 2  x  1  x  2 2 x  3
VH: ! x  1; x   1; 
5) Řešte v R danou nerovnici:
7 < (x - 4)2 - (x + 1)2
VH: x  54 ; x   ; 54 
6) Řešte v R danou nerovnici:
15 - (3 - x)2 < (2x + 3)2 - 5x(x - 1) - 7x
VH: ! x   34 ; x   34 ; 
7) Řešte v R danou nerovnici:
(x - 1)(1 + 3x) - (1 - 2x)2 < - 4 - x2
VH: x  1; x   ;  1
8) Řešte v R danou nerovnici:
(x - 3)2 < 2x2 - 6x + 13 - (x + 1)2
VH: x  32 ; x   ; 32 
9) Řešte v R danou nerovnici:
12  x x  1  2  x x  3  6 x
VH: ! x  1; x  1; 
10) Řešte v R danou nerovnici:
2
1
( x  2)  (2 x  3)  x
3
5
VH: ! x  1; x  1; 
11) Řešte v R danou nerovnici:
5( x  1)
2( x  1)
1 
6
3
Sb-MM: x  15; x  15;  , str. 27/1.1 –
a)
12) Řešte v R danou nerovnici:
x 1
3( x  1)
3
 2
4
8
7
Sb-MM: ! x  5 ; x   ; 75 , str.
27/1.1 – b)

9. Nerovnice v Z
1) Řešte v Z danou nerovnici:
6  27 x
2x 8
 ( x  1) 

15
3 5
VH: x  32 ; x  ....  1; 0; 1
2) Řešte v Z danou nerovnici:
(x + 5)2  x2 + 10
VH: x   32 ; x  ...  4;  3;  2
3) Řešte v Z danou nerovnici:
3x2  (2x - 1)2 + 7 - (1 + x)2
VH: x  76 ; x  2; 3; 4....
4) Řešte v Z danou nerovnici:
2(3x 2  x)  (3x  2) x 2  ( x  1)2
VH: x  52 ; x  ...  2;  1; 0
5) Řešte v Z:
x1
3(x  1)
3
2
4
8
VH: x  7 / 5  ,  1, 0, 1
6) Řešte v Z:
4 x
3x  1
1 2 
3
5
VH: x  4 / 7  ,  3,  2,  1
7) Řešte v Z:
7x  1
5  3x
65
3
2
VH: x  11 / 5  3, 4, 5, 
8) Řešte v Z:
6  x  3
x 1
 4 1
5
2
VH: x  9 / 7  ,  1, 0, 1

77/81


skripta MZB1.doc
8.9.2011
78/81
Soustavy lineárních nerovnic
1. Složené nerovnice v R
1) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x
5
5<3
3
Sb-MM:  15;  3 , str. 29/5.2 - a)
2) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x  1
1 
3
5
VH:  2; 8
3) Řešte v R soustavu nerovnic:
3x
4 
1  5
4
VH:  4; 8
4) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x  3
5 
1
5
VH:  11; 4
5) Řešte v R soustavu nerovnic:
3x  1
 2x  3  6  x
2
Sb-MM:  5; 1 , str. 29/5.2 - c)
6) Řešte v R soustavu nerovnic:
3  2x
2
1
5
Sb-MM:  1; 132  , str. 29/5.2 - b)
7) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x  4
2
 x  4 x
3
VH:  52 ; 2
8) Řešte v R soustavu nerovnic:
x
4x 1
5
2 
1   x
2
3
4
1
VH:  4;  4 
9) Řešte v R soustavu nerovnic:
3x  1
4
 x 1
4
VH: ! 5;   ! 3;   5; 
10) Řešte v R soustavu nerovnic:
x5
6  2  4x 
2
VH:  ;  1  ! 1;   NŘ
2. Soustava nerovnic s průnikem
1) Řešte v R soustavu nerovnic:

3x  8  2(2 x  5)
5x  2  9(1  x)
Sb-MM: ! 2;    12 ;   2;  ,
str. 28/5.1 - b)
2) Řešte v R soustavu nerovnic:

2 x  16  5(2  x)
5x  2  3( x  1)
VH: !  ; 2   ; 52   ; 2
3) Řešte v R soustavu nerovnic:

4 x  7  3( x  2)
2(3  x)  2  5x
VH:
 ;  1  !  ; 43    ;  1
4) Řešte v R soustavu nerovnic:

3( x  3)  x  3
4 x  10  2(2  3x)
VH:  3;   ! 3;   3; 
5) Řešte v R soustavu nerovnic:
7x
3  4x
3 
4

2
5
5
x  5(4  x)  2(4  x)
3
Sb-MM: ! 3;   ! ; 9  3; 9 ,
str. 28/5.1 - a)
6) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x
x 1

1  x
  2x  1
3
2 5
Sb-MM:  ;  3   54 ;   NŘ
3. Soustava nerovnic, kde jedna nemá
řešení
1) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x
3x  1 2 x  3
<

1 x
3
3
2
VH:
!  ;  3  0  11  NŘ  NŘ
2) Řešte v R soustavu nerovnic:
skripta MZB1.doc
8.9.2011
79/81
2
2
2 x  3 3x  1
2x  4
2 x 2  x  3  x  2  2 x
>

2 x
2
3
4
5x  3 x  2
x

1
VH: 0  7  NŘ  2;   NŘ
8
4
2
3) Řešte v R soustavu nerovnic:
VH: R a 7 / 3;   pak 7 / 3;  
4 x  1 3x  1
3x  9


 1  x 5) Řešte v R soustavu nerovnic:
4
3
6
5 x  11 19  2 x

 2x 
VH: 0  7  NŘ   1;   NŘ
4
2
4) Řešte v R soustavu nerovnic:
2x  5 4x  1

3x  4 4 x  1
3x
3
6
2 x


27
27
Sb-MM: R a  10 ;   pak  10
;   , str.
5
3
4
VH:
28/5.1 - e)
!  ;  5  0  19  NŘ  NŘ
5. Soustava 3 nerovnic
5) Řešte v R soustavu nerovnic:
1) Řešte v R soustavu nerovnic:
(2 x  1) 2  4 x 2  3

5x  7  3( x  1)  x  121  13 ( x  1) 
3x  1 2 x  3
<
3  2x  9  x
3
2
Sb-MM:
Sb-MM:
 ; 5  83 ;   !  2;   83 ; 5
1
;   0  11  NŘ  NŘ , str.
2
, str. 29/5.3 - a)
28/5.1 - d)
2) Řešte v R soustavu nerovnic:
 2 x  1  3x  3
4. Soustava nerovnic, kde jedna má
 3x  2  x  4
řešení v R
 3x  1  8 x  2
1) Řešte v R soustavu nerovnic:
2
2
Sb-rce:
2 x x  1  x  2  x  3
!  ; 4  1;   !  53 ;    1;  53 
x  3 2  x  2 x

 1
, str. 106/1.6 - 1)
2
3
2
3) Řešte v R soustavu nerovnic:
VH: 0 < 13 R a   ; 11 / 4 pak
4(3  x)  16  2 x  5x  2  3( x  3)
  ; 11 / 4
 2(3x  1)  3x  5
2) Řešte v R soustavu nerovnic:
VH:
2
2
2  2  x   x  4  2 x x  2
!  2;    ; 72    1;    1; 72 
x  5 x 1

2x
4) Řešte v R soustavu nerovnic:
3
2
VH: R a   ; 19 / 5 pak   ; 19 / 5
 6  2 x  2(5  3x)
3) Řešte v R soustavu nerovnic:
 5(1  2 x)  6  8x
2
2
x  1  x 3x  2  2x  1  4
 4(3  2 x)  6 x  6
3x  5 3x  5
VH:
1


 2  x
 ; 1  !  12 ;    3;    12 ; 1
8
2
2

VH: R a 23 / 7;   pak 23 / 7;  
4) Řešte v R soustavu nerovnic:
skripta MZB1.doc
8.9.2011
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou
1. Jedna abs hodnota - 2 intervaly
1) Řešte v R danou nerovnici:
3 x 6
VŠE:  ;  3  9; 
2) Řešte v R danou nerovnici:
1 x  5
VH:  ;  4  6; 
3) Řešte v R danou nerovnici:
2 x 1
VH:  ; 1  3; 
4) Řešte v R danou nerovnici:
4 x  2
VH:  ; 2  6; 
5) Řešte v R danou nerovnici:
x3 5
Sb-rce:  ;  2  8; 
6) Řešte v R danou nerovnici:
2x  3  9
Sb-rce:  ;  6  3; 
7) Řešte v R danou nerovnici:
2x  4  6
VH:  ;  1  5; 
2. Jedna abs hodnota - R
1) Řešte v R danou nerovnici:
x  2 1 x
Sb-rce:  ; 
2) Řešte v R danou nerovnici:
x 1  x  2
VH:  ; 
3) Řešte v R danou nerovnici:
x  x 3  4
VH:  ; 
4) Řešte v R danou nerovnici:
x 3  x 2
VH:  ; 
3. Jedna abs hodnota - NŘ
1) Řešte v R danou nerovnici:
3x  2  6
VH: NŘ
2) Řešte v R danou nerovnici:
3x  1  3
VH: NŘ
3) Řešte v R danou nerovnici:
2 x  3  4
VH: NŘ
4) Řešte v R danou nerovnici:
2 x  1  2
VH: NŘ
4. Dvě abs hodnoty - 1 intervaly
1) Řešte v R danou nerovnici:
x  x 1
VŠE:  ; 12
2) Řešte v R danou nerovnici:
x  x 1
Sb-rce: 12 ;  
3) Řešte v R danou nerovnici:
x  x3
VH:  ; 32
4) Řešte v R danou nerovnici:
x  x 5
VH: 52 ;  
5) Řešte v R danou nerovnici:
x  x 1
Sb-rce:  ; 12 
6) Řešte v R danou nerovnici:
x2  x2
Sb-rce: 0;  
7) Řešte v R danou nerovnici:
x  2  2 x 1
VH: 0; 43
8) Řešte v R danou nerovnici:
3 x  1  3x  2  0
80/81
skripta MZB1.doc
8.9.2011
Sb-rce:  ;  56 
5. Jedna abs hodnota - 1 interval
1) 5  2 x  1
Sb-rce: 2; 3
5) Řešte v R danou nerovnici:
x3 5
Sb-rce: 1; 5
6) Řešte v R danou nerovnici:
x  2x  2
Sb-rce:  23 ;  
7) Řešte v R danou nerovnici:
2 x  8  3x  12
Sb-rce: 4;  
8) Řešte v R danou nerovnici:
5x  7  10 x  13
Sb-rce:  ;
4
3

6. Dvě abs hodnoty - 2 intervaly
1) Řešte v R danou nerovnici:
x  x 1  2
VŠE, Sb-MM:  ;  12  32 ; 
2) Řešte v R danou nerovnici:
x  5  2x  1
Sb-rce:  ;  43   6; 
3) Řešte v R danou nerovnici:
3x  1  x  2  1  0
Sb-rce:  ;  1  0; 
7. Dvě abs hodnoty - R
1) Řešte v R danou nerovnici:
1  x  x  1
81/81
VŠE:  ; 
2) Řešte v R danou nerovnici:
x  x  2 1
Sb-rce:  ;  
3) Řešte v R danou nerovnici:
x  2x  1  x  2
Sb-rce:  ;  
8. Dvě abs hodnoty - NŘ
1) Řešte v R danou nerovnici:
x  2x  1  x
Sb-rce: NŘ
9. Složené nerovnice
1) Řešte v R danou nerovnici:
2 x4 3
VŠE: 1; 2  6; 7
2) Řešte v R danou nerovnici:
2 x3 3
Sb-rce:  6;  5   1; 0
3) Řešte v R danou nerovnici:
1  x 1  4
VH:  3; 0  2; 5
4) Řešte v R danou nerovnici:
1 x2  3
VH:  5;  3   1; 1
5) Řešte v R danou nerovnici:
x  2  3  2x  x  4
SMP:  13 ; 13  5; 7
6) Řešte v R danou nerovnici:
x  2  x  2x
SMP: 1;  
Download

1) Vypočtěte: