Podobnost, Pythagorova věta
Příklady
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Stín věže je dlouhý 55 m a stín tyče vysoké 1,25 m má v tutéž dobu délku 150 cm. Vypočtěte výšku věže.
Určete měřítko mapy, jestliže obdélníkové pole o rozměrech 600 m x 450 m je na mapě zakresleno jako
obdélník o rozměrech 8 mm x 6 mm (1 : 75 000).
Na katastrální mapě s měřítkem 1 : 2 500 je zakreslen obdélníkový pozemek s rozměry 4 cm a 7 cm. Jaká je
jeho skutečná výměra v metrech čtverečných a v hektarech?
Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Určete
délku nejdelší strany podobného trojúhelníku.
Úsek, který se ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu zakreslen úsečkou délky 1 cm. Kruh na plánu má
poloměr 2,5 cm. Kolika kroky se obejde po obvodu skutečný kruh?
Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou v poměru 4 : 3, má přeponu dlouhou 20 m. Jaké jsou odvěsny?
Určete obsah obdélníka, jehož délka a = 84 cm, má-li jeho úhlopříčka délku o 72 cm větší než je jeho šířka.
Pozemek má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o pouhé čtyři metry. Pozemek protíná po úhlopříčce cesta
dlouhá 116 metrů. Určete rozměry pozemku.
Kolik kroků ušetříte (zaokrouhlete na desítky), přejdete-li čtvercový pozemek úhlopříčně, místo abyste jej
obcházeli po dvou stranách jeho obvodu celkem čtyřmi sty kroky?
Vypočtěte obsah pravoúhlého lichoběžníka (a = 98 cm, c = 50 cm), je-li jeho kosé rameno o 24 cm delší než
jeho rameno kolmé k základně.
Vypočtěte velikost základny rovnoramenného trojúhelníka, má-li jeho výška na základnu velikost 16 cm a
poměr velikosti základny k velikosti ramene je 6 : 5.
Vypočtěte základny rovnoramenného lichoběžníku, jestliže jsou v poměru 13 : 5, rameno b = 34 cm, výška
v = 30 cm.
Vypočtěte délku tětivy v kružnici k (S; 8 cm), je-li vzdálenost středu S od tětivy rovna 3,5 cm.
Poloměr kružnice k má velikost 58 cm, její tětiva 84 cm. Určete vzdálenost tětivy od středu kružnice k.
Teorie
Měřítko
Měřítko mapy vyjadřuje poměr velikosti na mapě ku velikosti ve skutečnosti.
Měřítko 1 : 50 000 znamená, že vzdálenost na mapě 1 cm odpovídá ve skutečnosti vzdálenosti 50 000 cm, tedy 500
m.
Měřítko plánu může být tvaru např.:
1 : 10 – obrazec na plánu je desetkrát zmenšen
10 : 1 – obrazec na plánu je desetkrát zvětšen.
Podobnost
Jsou dány dva podobné obrazce:
k
k ... koeficient podobnosti
Pro podobný obrazec (vpravo) platí:
vše, co je v délkových jednotkách (strany, výšky, obvod, ...) je k – krát větší
obsah je k2 – krát větší
Řešení
1)
Využijeme podobnosti obou trojúhelníků:
x 1, 25
=
/⋅ 55
55 1,5
x = 45,8 m
x
1,25 m
55 m
150 cm
2)
Vzdálenost ve skutečnosti vydělíme vzdáleností na mapě:
600 m = 600000 mm
450m = 450000 mm
600000 : 8 = 75000
450000 : 6 = 75000
Měřítko mapy je 1 : 75 000
3)
Skutečné rozměry pozemku jsou:
4cm ⋅ 2500 = 10000cm = 100m
7cm ⋅ 2500 = 17500cm = 175m
Skutečná výměra je S = 100 ⋅175 = 17500 m 2 = 1,75 ha
4)
První trojúhelník má obvod o = 8 + 9 + 13 = 30 cm , podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší, tj. 45 cm.
45
Koeficient podobnosti je k =
= 1,5 . Delší strana podobného trojúhelníku je tedy 13 ⋅1,5 = 19,5cm .
30
5)
r = 2,5 cm; o = 2π r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2,5 = 15,7 cm
1 cm .............10 kroků
15,7 cm ........157 kroků
Skutečný kruh se obejde 157 kroky.
6)
Použijeme Pythagorovu větu:
2
2
( 4 x ) + ( 3x ) = 202
16 x 2 + 9 x 2 = 400
20 m
3x
25 x 2 = 400 / : 25
x 2 = 16
x=4
Jedna odvěsna má velikost 4 ⋅ 4 = 16m ; druhá odvěsna má
velikost 3 ⋅ 4 = 12m .
4x
7)
Použijeme Pythagorovu větu:
2
842 + x 2 = ( x + 72 )
7056 + x 2 = x 2 + 144 x + 5184
144 x = 7056 − 5184
x = 13
Obsah obdélníku je S = 84 ⋅13 = 1092cm 2
x+72
x
a = 84 cm
8)
Použijeme Pythagorovu větu:
2
( x + 4 ) + x 2 = 1162
x 2 + 8 x + 16 + x 2 = 13456
116 m
x
2 x + 8 x − 13440 = 0
2
D = b 2 − 4ac = 82 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −13440 ) = 107584
−b + D −8 + 107584
=
= 80
2a
2⋅2
x2 je záporné
Rozměry pozemku jsou 80 x 84 m.
x1 =
x+ 4
9)
Použijeme Pythagorovu větu:
2002 + 2002 = x 2
40000 + 40000 = x 2
x 2 = 80000
x = 282,8
x ≐ 280 (zaokrouhleno na desítky)
Ušetříme 120 kroků.
x
200 kroků
200 kroků
10)
Použijeme Pythagorovu větu:
2
482 + x 2 = ( x + 24 )
2304 + x 2 = x 2 + 48 x + 576
48 x = 1728
x = 36
a+c
98 + 50
S=
⋅v =
⋅ 36 = 2664 cm2
2
2
Obsah lichoběžníku je 2 664 cm2.
c = 50 cm
x + 24
x
48 cm
a = 98 cm
x
11)
Použijeme Pythagorovu větu:
2
2
162 + ( 3x ) = ( 5 x )
256 + 9 x 2 = 25 x 2
256 = 16 x 2
x 2 = 16
x=4
6 x = 6 ⋅ 4 = 24 cm
Velikost základny je 24 cm.
16 cm
5x
3x
6x
12)
Použijeme Pythagorovu větu:
2
302 + ( 4 x ) = 342
c = 5x
900 + 16 x 2 = 1156
16 x 2 = 256
v = 30 cm
b = 34 cm
x 2 = 16
x=4
a = 13 x = 13 ⋅ 4 = 52 cm
c = 5 x = 5 ⋅ 4 = 20 cm
Velikosti základen jsou a = 52 cm a c = 20 cm.
a = 13x
13)
Použijeme Pythagorovu větu:
y 2 + 3,52 = 82
y
y 2 + 12, 25 = 64
y 2 = 51,75
y ≐ 7, 2 cm
Délka tětivy je 2 ⋅ y = 14, 4 cm .
3,5 cm
8 cm
S
4x
14)
Použijeme Pythagorovu větu:
x 2 + 422 = 582
x 2 + 1764 = 3364
42 cm
x = 1600
2
x = 40 cm
x
Vzdálenost tětivy od středu
kružnice je 40 cm.
S
58 cm
Download

Podobnost, Pythagorova věta