Geodézie pro stavitelství
KMA/GES
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
Fakulta aplikovaných věd - KMA
oddělení geomatiky
Ing. Martina Vichrová, Ph.D.
[email protected]
Vytvoření materiálů bylo podpořeno prostředky z projektu FRVŠ č. 584/2011.
Základy teorie chyb a
vyrovnávacího počtu.
TISK
1
Proces měření
 měření určité veličiny = porovnávání této měřené veličiny s jinou veličinou
stejného druhu, která je zvolená za jednotku míry (etalon) - délky, úhly, výšky,
času, …
 přenáší se buď etalon na objekt nebo objekt na etalon
 proces měření pak:
Měření = přenos + porovnání (odečtení) 1. 2. Etalon 3.
 Každé měření v geodézii se vykonává vícekrát, nejméně dvakrát.
možnost získat potřebnou kontrolu měření a určit nejspolehlivější
hodnotu měřené veličiny a míru její přesnosti
 Měření – proces, kdy v určitém časovém intervalu získáváme diskrétní či
spojité hodnoty měřené veličiny.
 Každý měřičský proces se realizuje určitou metodou měření. (Tuto
metodu determinuje přesnost měření, průměrně dosahovaná touto
metodou). Přesnost měření se pak vyjadřuje základní střední chybou
měření m či jednotkovou základní střední chybou m0. Tyto chyby jsou
funkcí citlivosti použitého přístroje a postupu měření.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 4
Proces měření
 měření určité veličiny = porovnávání této měřené veličiny s jinou veličinou
stejného druhu, která je zvolená za jednotku míry (etalon) - délky, úhly, výšky,
času, …
 přenáší se buď etalon na objekt nebo objekt na etalon
 proces měření pak:
Měření = přenos + porovnání (odečtení) 1. 2. Etalon 3.
Jedno měření … …
 Každé měření v geodézii se vykonává vícekrát, nejméně dvakrát.
možnost získat potřebnou kontrolu měření a určit nejspolehlivější
hodnotu měřené veličiny a míru její přesnosti
… … žádné měření!!!
 Měření – proces, kdy v určitém časovém intervalu získáváme diskrétní či
spojité hodnoty měřené veličiny.
 Každý měřičský proces se realizuje určitou metodou měření. (Tuto
metodu determinuje přesnost měření, průměrně dosahovaná touto
metodou). Přesnost měření se pak vyjadřuje základní střední chybou
měření m či jednotkovou základní střední chybou m0. Tyto chyby jsou
funkcí citlivosti použitého přístroje a postupu měření.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 4
2
Proces měření
 Činitelé ovlivňující měřičský proces:
• objekty měření – měřičské značky, jejich signalizační zařízení (např.
jejich nestabilita, nedokonalá funkce, nevhodné tvary…)
• prostředí měřičského procesu – měnící se stav fyzikálních
vlastností ovzduší (teplota, tlak, index lomu …), změna stability podloží
pod přístrojem ale i celým systémem, …
• měřič – např. únava zraku, snížení pozornosti, …
• komplexem měřičských přístrojů, zařízení a pomůcek – např.
nesplnění geometrických podmínek os přístroje, nepřesné dělení
stupnic k odečítání, mechanické změny, …
 Některé faktory způsobují změnu ve výsledcích pouze o hodnotu, která
použitým přístrojem není zaznamenatelná a ve výsledcích se tedy vůbec
neprojeví. Některé faktory však způsobují velice výrazné změny ve
výsledcích. Při opakovaném měření veličiny stejnou metodou za
relativně shodných podmínek dostáváme odlišné výsledky měření.
 Zpracováním výsledků měření se podrobně zabývá:
teorie chyb a vyrovnávací počet.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 4
Opakování měření … různé výsledky???
 Opakování měření stejné veličiny… dostáváme obecně různé výsledky??
 Čím je to způsobeno???
• nedokonalosti našich smyslů a přístrojů
• vliv prostředí
• nedostatečná znalost všech okolností
nevyhnutelné měřické chyby
 Zvýšení přesnosti měření:
• volba vhodného přístroje
• měření za vhodných vnějších podmínek
• zkušený a pečlivý měřič
Pouhé snížení vlivu nevyhnutelných
měřických chyb, ne jejich vyloučení !!!
3
Opakování měření … různé výsledky???
 číselný výsledek měření – náhodná veličina
 vyrovnávacím počtem hledáme „nejspolehlivější hodnotu“ a dostáváme
přesnost měření hodnoty od skutečné pravé hodnoty
ε=x-l
 Při opakovaném měření:
l1 = x – ε1
l2 = x – ε2
…
ln = x – εn
 hodnotu skutečnou x zpravidla neznáme a její odhad nahrazujeme
hodnotnou vyrovnanou
= li + vi
 vyrovnaná hodnota je ovšem pouze statistickým odhadem pravé
(skutečné) hodnoty x
Hrubé chyby, omyly
 hrubé chyby:
• jsou způsobeny pospícháním při měření, měřením za nepříznivých
podmínek (otřesy přístroje větrem, kroucení stativu přístroje sluncem,
vibrace obrazu cílového bodu vlivem proudění vzduchu, …)
• vliv na měřené hodnoty, že výrazně vybočují z řady ostatních měření
vzniká hrubá chyba
 omyly:
• jsou způsobeny nesprávným čtením na stupnici,
• cílením na nesprávný bod,
• neurovnáním a nedostředěním stroje na stanovisku,
• posunem stativu během měření,
• chybným zápisem naměřených hodnoty do zápisníků měření…
 Proti omylům a hrubým chybám se lze bránit kontrolním měřením.
 Pro každý přístroj a metodu měření je stanovena přesnost měření,
v mezích odvozených z této přesnosti jsou měřické chyby považovány za
nevyhnutelné, mimo tyto meze za hrubou chybu nebo omyl.
 Podezřelá měření (odlehlá pozorování) ze souboru měření vylučujeme
nebo musíme měření opakovat.
4
Náhodné a systematické chyby
 nevyhnutelné chyby:
• náhodné
• systematické
 náhodné chyby:
• při měření (stejná veličina, metoda, podmínky měření, pečlivost, …)
vznikají náhodně, mají různou velikost i různá znaménka
• oscilují kolem nuly, jejich střední hodnota je nulová
 systematické chyby:
• při více měřeních téže veličiny zůstávají stálé, nebo se
předvídatelným způsobem mění
• některé lze matematicky z měření vyloučit (volba vhodného
postupu, metody, …)
Chyby při měření vodorovných úhlů
 přístrojové chyby
• chyba alhidádové libely
• úklonná chyba
• kolimační chyba, ….
 měřické chyby
• chyba z nesprávné horizontace
• chyba z nesprávné centrace stroje
• chyba z nesprávné centrace signálu
• chyba z nepevného postavení stroje
• chyba z cílení
• chyba ze čtení stupnice
 vnější chyby (z prostředí)
• refrakce
• vibrace
Jedná se o chyby nevyhnutelné, které mohou mít charakter buď
chyb systematických nebo nahodilých.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
5
Přístrojové chyby
 chyba alhidádové libely
• chyba vzniká jako důsledek nesprávné rektifikace alhidádové libely
• Chyba se nedá vyloučit měřením v obou polohách dalekohledu!
 úklonná chyba je způsobená nekolmostí svislé osy alhidády V k točné
ose dalekohledu H.
• Úklonná chyba se odstraní měřením v obou polohách
dalekohledu.
• v první a druhé poloze má vliv sklonu točné osy opačná znaménka,
aritmetický průměr z obou poloh dalekohledu bude tedy chyby ze
sklonu točné osy dalekohledu zbaven
 kolimační chyba je způsobená nekolmostí záměrné přímky Z k točné ose
dalekohledu H.
• Kolimační chyba se odstraní měřením v obou polohách
dalekohledu.
• V první a druhé poloze má vliv kolimační chyby opačná znaménka,
aritmetický průměr z obou poloh dalekohledu bude tedy kolimační
chyby zbaven.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Přístrojové chyby
 chyba z excentricity alhidády – pokud osa alhidády neprochází přesně
středem limbu.
• Aritmetickým průměrem z odečtení dvou diametrálně
postavených odečítacích pomůcek se vliv chyby z excentricity
alhidády vyloučí.
 nediametrální poloha čtecích zařízení – nejsou-li odečítací indexy
přesně diametrálně.
• Chyby v první a druhé poloze mají opačná znaménka, a proto je
lze vyloučit měřením ve dvou polohách dalekohledu.
 chyba z excentricity záměrné roviny Z – není-li dalekohled umístěn
centricky, neprochází záměrná rovina osou alhidády
• průměr z obou čtení bude tedy zbaven vlivu chyby z excentricity
záměrné roviny
• Při stejně dlouhých záměrách se vliv chyby z excentricity záměrné
roviny na měřený úhel v jedné poloze neprojeví. Se zvětšujícím se
rozdílem v délkách stran se zvětšuje také vliv chyby.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
6
Přístrojové chyby
 chyba z nestejnoměrného dělení kruhu
• Dnešní přístroje mají limby velmi přesně dělené, neboť se zhotovují
automaticky, avšak žádný stroj není dokonalý.
• Vliv chyby způsobené nestejnoměrným dělením kruhu se snižuje
opakovaným měřením a čtením vždy na jiném místě kruhu.
 chyba ze sklonu roviny limbu
• U novějších přístrojů se již s touto chybou prakticky nesetkáme.
• U starších přístrojů se může vyskytnout případ, že se při výrobě
nepodaří vyhovět požadavku kolmosti limbové roviny ke svislé ose
alhidády. Avšak i v tomto případě je vliv chyby nepatrný a tudíž
zanedbatelný.
 runová chyba
• Vzniká tím, že délka stupnice pro jemné čtení neodpovídá délce jí
odpovídajícího intervalu limbu (vlivem nesprávného zvětšení čtecího
mikroskopu). U moderních optických teodolitů je již tato chyba
zanedbatelná.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Chyby prostředí (vnější chyby)
 chyba z refrakce
• Paprsky se šíří přímočaře pouze ve vakuu, v atmosféře dochází při
průchodu paprsku různě hustými vzduchovými vrstvami k lomu světla,
tzv. refrakci.
• horizontální (je menší, projevuje se při měření vodorovných směrů) a
vertikální (je značná, projevuje se při měření svislých úhlů) refrakce
• Refrakční chyba σ má složku systematickou c a složku proměnlivou γ.
• Refrakci nelze z měření zcela nevyloučit!
 chyba z vibrace
• Vibrace způsobuje chvění cílové značky
• Je způsobená prouděním vzduchu (teplejší přízemní vrstvy vzduchu
jsou lehčí než nad nimi ležící vrstvy studenějšího vzduchu, vzniká
stálé stoupání teplých vrstev – vlnění, vibrace. Závisí na vlhkosti půdy
a úpravě povrchu terénu (asfalt).
• Vibrace není nebezpečná, protože je viditelná. Pokud je vlnění silné
a stěžuje cílení, přestaneme měřit. Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
7
Rozbor přesnosti měřených vod. směrů
Základní charakteristikou přesnosti měření vodorovných směrů a
vodorovných úhlů je střední chyba m, která vznikne spolupůsobením
všech chyb přístrojových, měřických a vnějších.
• mi – souhrnná střední chyba všech
přístrojových chyb
• mω - střední chyba vlastního
měření
• ms – střední chyba v centraci
signálu
• mt – střední chyba v centraci
teodolitu
Střední chyba vlastního měření mω zahrnuje chybu z cílení mc a chybu ve
čtení stupnice mo. Střední chyby v centraci nelze uvést průměrnou
hodnotou, neboť jejich velikost a vliv závisí nejen na použitém způsobu
centrace, ale také na vzdálenosti cíle, musíme je tedy uvažovat zvlášť.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Rozbor přesnosti vod. úhlů
Střední chyba úhlu měřeného v jedné poloze dalekohledu
• Úhel je roven rozdílu dvou směrů ω = ψ2 - ψ1 , a tedy střední chyba
Střední chyba směru
měřeného v jedné poloze
dalekohledu
Střední chyba úhlu měřeného v obou polohách dalekohledu, (v s
skupinách)
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
8
Měření svislých úhlů
 přístrojové chyby
• úklonná chyba
• kolimační chyba
• chyba alhidádové libely
• indexová chyba, …
 měřické chyby
• chyba z nesprávné horizontace
• chyba z nesprávného dostředění přístroje
• chyba v cílení a odečtení
• chyba z urovnání indexové libely
 vnější chyby (z prostředí)
• chyba z refrakce
• chyba z vibrace
 Jedná se opět o
chyby nevyhnutelné,
které mohou mít
charakter buď chyb
systematických nebo
nahodilých.
 Abychom mohli vliv
těchto chyb na výsledek
měření vyloučit, nebo
alespoň omezit na
nejmenší míru
(měřickou metodou,
popř. výpočtem), je
třeba znát příčinu jejich
vzniku i vliv na výsledek
měření.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Indexová chyba
 značení „ i “
 vznikne pokud odečítací indexy neleží v základním směru, tj. pokud
spojnice odečítacích indexů není rovnoběžná se záměrnou přímkou
dalekohledu nebo s osou indexové libely (popř. kompenzátoru).
 vztahy pro určení i jsou závislé na typu a směru číslování vertikálního
kruhu.
Indexovou chybu můžeme
eliminovat měřením v obou
polohách dalekohledu.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
9
Rozbor přesnosti měřených svislých úhlů
 Vliv přístrojových chyb na měřený svislý úhel je velice nebezpečný. Je
třeba měřit přístrojem, který je řádně rektifikován a přezkoušen. Zbytkové
chyby po rektifikaci již mají na svislý úhel pouze zanedbatelný vliv.
 Pečlivým měřením se také vyloučí chyby z nesprávného postavení
přístroje.
 Zbylé chyby (chyba v cílení, odečtení a urovnání indexové libely) jsou
nahodilé a na sobě nezávislé.
 Střední chyba v měřeném svislém úhlu m se vypočte podle vztahu:
• mc je střední chyba v cílení
• mo je střední chyba v odečtení
• mi je střední chyba v urovnání indexové libely.
 Pokud se svislý úhel měří v obou polohách dalekohledu je:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Chyby při měření délek pásmem
 chyby systematické
• chyba z nesprávné délky pásma
• chyba ze změny délky pásma vlivem teploty
• chyba z průhybu pásma
• chyba z protažení pásma
• chyba z nevodorovné polohy pásma
• chyba z vybočení pásma ze směru
• chyba z určení sklonu nebo převýšení pásma
 chyby náhodné
• chyba z provážení konce pásma
• chyba z vyznačení kladu pásma
• chyba z přiřazování pásma
• chyba ze čtení
 Nejnebezpečnější
jsou chyby
systematické
(měření se neustále
opakuje).
 Jejich vliv je třeba z
měření vyloučit nebo
alespoň jejich vliv
snížit a to buď
matematickou
opravou nebo
metodou měření.
 O velikosti
náhodných chyb
rozhoduje pečlivost
prováděných úkonů
a znalost zdrojů
těchto chyb.
 chyby hrubé
• chyba ze čtení
• chyba z provážení
• chyba ze špatného přiřazení počátku
• chyba ze špatného počtu kladů
• chyba z překroucení pásma
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 6
10
Rozbor přesnosti měřených délek pásmem
 Celková střední chyba měřené délky m:
• vliv systematických chyb
 Měření n-krát opakujeme, neboť střední chyba
se zmenšuje s dmocninou z počtu měření n:
• vliv náhodných chyb „ v „
 V praxi se často délky měří jen dvakrát, tím získáme tzv. měřickou dvojici.
Velikost rozdílu d nesmí překročit tzv. mezní odchylku.
 střední rozdíl souboru
měřických dvojic:
 střední chyba mi jednoho měření:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 6
Zdroje chyb při nivelaci
 hrubé chyby
• je nutné se jich vyvarovat (zvýšení pečlivosti a soustředěnosti
skupiny měřičů)
• nejčastěji se vyskytující hrubé chyby: záměna směru číslování
laťové stupnice, opomenutí urovnání nivelační libely u libelových
nivelačních přístrojů nebo krabicové libely u kompenzátorových
nivelačních přístrojů, záměna výstupku na podložce, posun
podložky, obrácená lať či odečítání podle dálkoměrné rysky.
 nevyhnutelné chyby
• nevyhnutelné chyby mohou mít charakter buď chyb
systematických nebo nahodilých
• vliv těchto chyb je třeba z měření vyloučit nebo alespoň omezit
ne nejmenší míru
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 11
11
Zdroje chyb při nivelaci
 nevyhnutelné chyby
• chyby systematické
ze zakřivení horizontu (geometrická nivelace ze středu – vyloučení)
ze sklonu záměrné přímky (L – geom. niv., K – jenom zmenšit)
ze svislé složky refrakce (geometrická nivelace ze středu, vhodné podmínky,
minimální výška nad terénem, …)
z nesprávné hodnoty délky laťového úseku (laboratorní komparace latí)
z nesvislé polohy latě (důsledné urovnávání latí, kývání latí)
• nahodilé chyby
z nepřesného urovnání nivelační libely
ze změny výšky přístroje a latě
ze čtení laťové stupnice (vhodná volba délky záměry, technologie a
observačních podmínek)
z nestejnoměrného dělení laťové stupnice a nekolmosti
z přeostření dalekohledu (vyskytuje se při nepřesném rozměření sestav a při
záměrách v blízkosti terénu v nevhodných observačních podmínkách )
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 11
Metody vyrovnání sítí
 Při měření geodetických veličin se mohou vyskytnout dva druhy chyb:
• chyby hrubé,
• chyby nevyhnutelné.
 Hrubé chyby je nutné z měření vyloučit. K tomu nám slouží
opakování měření.
 Chyby nevyhnutelné se vyskytují při každém měření. Dále se dělí na
chyby nahodilé a chyby systematické.
 Chyby systematické zatěžují měření stále stejnou hodnotou jistého
znaménka. Jejich vliv se proto snažíme co nejvíce potlačit zvolenou
metodou měření nebo vhodným matematickým postupem.
 Chyby nahodilé se řídí zákonitostmi náhodného jevu (předpokládáme
velký soubor měření):
• Je pravděpodobnější, že se vyskytne malá chyba než chyba velká.
• Pravděpodobnost výskytu kladné i záporné chyby stejné absolutní
velikosti je stejná.
• Chyby překračující určitou mez se nevyskytují.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
12
Metody vyrovnání sítí
 Plocha mezi křivkou a osou velikosti chyb se nazývá Gaussův klobouk.
 Pravděpodobnost, že se chyba vyskytne na ploše Gaussova klobouku
je rovna 1.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
Metody vyrovnání sítí
 Abychom určili nejpravděpodobnější hodnotu z hodnot naměřených (liší
se v důsledku nahodilých chyb), provádíme měření v nadbytečném
počtu, což nám následně umožňuje naměřené hodnoty vyrovnat. Při
vyrovnání zohledňujeme podmínku metody nejmenších čtverců (MNČ):
 Pokud měření nebyla provedena se stejnou přesností, zavádíme pro
každé měření tzv. váhu měření (číslo, které charakterizuje přesnost
naměřené hodnoty. Tato hodnota je subjektivní – určuje ji měřič – a leží
obvykle v intervalu <0,1>. Platí: čím je měření přesnější, tím je váha větší.)
Potom podmínka MNČ má tvar
Pro jednoduchost lze používat maticový zápis:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
13
Metody vyrovnání sítí
 rozeznáváme vyrovnání trojího druhu (podle způsobu měření):
• vyrovnání měření přímých.
• vyrovnání měření podmínkových.
• vyrovnání měření zprostředkujících.
 zavedení symbolů:
• li naměřená hodnota
• vi oprava naměřené hodnoty
• Īi naměřená hodnota opravená o opravu
• pi váha naměřené hodnoty
• i= 1,.., n index měření (n je počet měření)
 Platí:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
Vyrovnání měření přímých
 nejjednodušší typ vyrovnání
 užijeme, pokud máme změřenu jedinou veličinu nezávisle vícekrát
 veličina může být měřena buď ve všech případech se stejnou přesností
(matice vah P je jednotková) nebo s různou přesností při jednotlivých
měřeních (např. použijí se různě přesné přístroje, měří různí měřiči, atd.).
 Máme naměřeny hodnoty l1,.., ln . Ke každému měření přísluší váha
pi. Nejpravděpodobnější hodnota je vážený aritmetický průměr.
 Opravy získáme ze vztahu
 Střední chyba jednoho měření
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
14
Vyrovnání měření podmínkových
 Mezi naměřenými veličinami platí určité podmínky. Tyto podmínky
musí být navzájem nezávislé.
 Působením nahodilých chyb však naměřené veličiny nesplňují
přesně dané podmínky, proto musíme provést jejich vyrovnání, tak aby
výsledné veličiny opravené o opravy zjištěné v průběhu vyrovnání již
tyto podmínky splňovaly.
 Způsoby stanovení podmínek
 Podmínky vyjadřujeme prostřednictvím podmínkových rovnic.
Jejich počet je roven počtu nadbytečných měření
nadbytečná měření = všechna měření – nutná měření
 základní typy podmínkových rovnic:
• trojúhelníkové,
• stranové,
• závěrové,
• základnové.
Postup
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
Vyrovnání měření zprostředkujících
 Při tomto druhu měření měříme veličiny (zprostředkující), které jsou
ve funkčním vztahu s veličinami, jež chceme zjistit.
 Máme změřeny veličiny l1, ..., ln. . Ke každému měření přísluší váha pi.
Nejprve najdeme funkční vztahy mezi naměřenými veličinami a hledanými
neznámými. Tím získáme zprostředkující rovnice.
Postup
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
15
Prameny a literatura
 Čada Václav. Přednáškové texty z geodézie: kapitoly 4, 5, 6, 7, 11
http://www.gis.zcu.cz/studium/gen1/html/index.html
Děkuji za pozornost …
Dotazy …
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
Fakulta aplikovaných věd - KMA
oddělení geomatiky
Ing. Martina Vichrová, Ph.D.
[email protected]
16
Download

Teorie chyb - Západočeská univerzita v Plzni