Vysok´
aˇ
skola polytechnick´
a Jihlava
Katedra matematiky
Sb´ırka ˇ
reˇsen´
ych a neˇ
reˇsen´
ych
pˇ
r´ıklad˚
u z vybran´
ych parti´ı
vysokoˇskolsk´
e matematiky
(urˇ
ceno pro Matematiku obor˚
u Poˇ
c´ıtaˇ
cov´
e syst´
emy a
Aplikovan´
a informatika)
Marie Hojdarov´
a
Miloˇ
s Kraus
ˇcerven 2013
c RNDr. Marie Hojdarov´a,CSc., Mgr. Miloˇs Kraus
ISBN 978-80-87035-74-0
Vytvoˇreno programem LATEX 2013
Obsah
1 Diferenci´
aln´ı poˇ
cet funkc´ı v´ıce promˇ
enn´
ych
ˇ sen´e u
1.1 Reˇ
´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
19
2 Integr´
aln´ı poˇ
cet funkc´ı v´ıce promˇ
enn´
ych
ˇ sen´e u
2.1 Reˇ
´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
34
46
3 Diferenci´
aln´ı rovnice
ˇ sen´e u
3.1 Reˇ
´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
71
4 Laplaceova transformace
ˇ sen´e u
4.1 Reˇ
´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
85
Pˇ
redmluva
V´
aˇzen´ı studenti,
dost´av´
a se v´am do rukou sb´ırka ˇreˇsen´
ych a neˇreˇsen´
ych pˇr´ıklad˚
u z parti´ı matematiky, kter´e jsou
obsaˇzeny v pˇredmˇetu Matematika 2 pro obor Poˇc´ıtaˇcov´e syst´emy a Aplikovan´a informatika.
Nˇekter´e pˇr´ıklady z prvn´ı a tˇret´ı kapitoly pak mohou b´
yt uˇziteˇcn´e i pro studenty oboru Finance.
Pˇri studiu doporuˇcujeme si prostudovat nejprve ˇreˇsen´e pˇr´ıklady, a pot´e si je vyˇreˇsit samostatnˇe.
N´
aslednˇe pak je moˇzno pˇristoupit k poˇc´ıt´an´ı pˇr´ıklad˚
u neˇreˇsen´
ych a konfrontovat v´ami dosaˇzen´
y
v´
ysledek s v´
ysledky uveden´
ymi v z´
avork´ach vˇzdy za jednotliv´
ymi pˇr´ıklady.
Pˇrejeme v´am u
´spˇech ve studiu a vˇeˇr´ıme, ˇze tato sb´ırka pˇr´ıklad˚
u k nˇemu znaˇcnou mˇerou pˇrispˇeje.
M.Hojdarov´a, M.Kraus
4
Ve vˇ
sech obr´
azc´ıch tohoto textu plat´ı n´
asleduj´ıc´ı u
´mluva: Mnoˇ
ziny (dvojrozmˇ
ern´
e)
jsou vyznaˇ
ceny ˇ
srafov´
an´ım, jejich hranice jsou zobrazeny plnou ˇ
carou, pokud patˇ
r´ı
mnoˇ
zinˇ
e a ˇ
c´
arkovanˇ
e, pokud mnoˇ
zinˇ
e nepatˇ
r´ı. Jednotliv´
e body, pokud je to nutn´
e,
jsou vyznaˇ
ceny pln´
ym krouˇ
zkem, pokud patˇ
r´ı mnoˇ
zinˇ
e a pr´
azdn´
ym krouˇ
zkem, pokud
mnoˇ
zinˇ
e nepatˇ
r´ı.
1
Diferenci´
aln´ı poˇ
cet funkc´ı v´ıce promˇ
enn´
ych
Limity funkc´ı hled´
ame v hromadn´
ych bodech A(x0 , y0 ) definiˇ
cn´ıho oboru dan´
e funkce.
Pˇ
resvˇ
edˇ
cte se, ˇ
ze dan´
e body u
´loh´
ach o jsou skuteˇ
cnˇ
e hromadn´
e body.
Podm´ınkou pro existenci tot´
aln´ıho diferenci´
alu v dan´
em bodˇ
e A(x0 , y0 ) je spojitost
vˇ
sech parci´
aln´ıch derivac´ı. Opˇ
et se pˇ
resvˇ
edˇ
cte, ˇ
ze tomu tak v n´
asleduj´ıc´ıch pˇ
r´ıkladech
je.
1.1
ˇ sen´
Reˇ
eu
´ lohy
Derivace sloˇzen´e
funkce
f (x, y) = F (u, v),
kde u = u(x, y),
v = v(x, y)
∂F ∂u ∂F
∂f
=
+
∂x
∂u ∂x
∂v
∂f
∂F ∂u ∂F
=
+
∂y
∂u ∂y
∂v
Teˇcn´a rovina plochy z = f (x, y)
norm´alov´
y vektor
τ : z − f (T ) = fx′ (T )(x − x0 ) + fy′ (T )(y − y0 )
n = (fx′ (T ), fy′ (T ), −1)
v bodˇe
T (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
Tot´aln´ı diferenci´
al
1.ˇr´adu
Tot´aln´ı diferenci´
al
2.ˇr´adu
df (A) =
∂f (A)
∂f (A)
dx +
dy
∂x
∂y
d2 f (A) =
∂f 2 (A)
∂f 2 (A)
∂f 2 (A)
(dx)2 + 2
(dy)2
dx · dy +
2
∂x
∂x∂y
∂y 2
v bodˇe A(x, y)
Taylor˚
uv polynom
1.ˇr´adu
1
T1 (A) = f (A) + df =
1!
1 ∂f (A)
∂f (A)
f (A) +
(x − x0 ) +
(y − y0 )
1!
∂x
∂y
1
1
T2 (A) = f (A) + df + d2 f =
1!
2!
1 ∂f (A)
∂f (A)
f (A)+
(x − x0 ) +
(y − y0 ) +
1!
∂x
∂y
2
1 ∂f 2 (A)
∂f
(A)
(x − x0 )2 + 2
[
(x − x0 )(y −
2! ∂x2
∂x∂y
2
∂f (A)
(y − y0 )2 ]
y0 ) +
∂y 2
v bodˇe A(x0 , y0 )
Taylor˚
uv polynom
2.ˇr´adu
∂v
,
∂x
∂v
,
∂y
Tabulka 1:
5
tzv.
ˇretˇezov´e
pravidlo
Derivace
funkce
f v bodˇe A ve
smˇeru
vektoru
u
=
(u1 , u2 ),
u = (u1 , u2 , u3 )
Gradient funkce f
∂f (A)
∂f (A)
∂f
=
u1 +
u2 ,
∂u
∂x
∂y
∂f (A)
∂f (A)
∂f (A)
d(f, u) =
u1 +
u2 +
u3
∂x
∂y
∂z
∂f
u
= ∇f ·
∂u
|u|
Symbolick´
y
oper´ator
na”
bla“ ∂ ∂
,
,
∇=
∂x ∂y
resp.
∇
=
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
d(f, u) =
∂f ∂f
= ∇f (x, y),
,
grad(f ) =
∂x ∂y
∂f ∂f ∂f
grad(f ) =
= ∇f (x, y, z)
,
,
∂x ∂y ∂z
Stacion´arn´ı bod
funkce f (x, y)
resp. f (x, y, z)
∂f (A)
∂f (A)
=0∧
=0
∂x
∂y
∂f (A)
∂f (A)
∂f (A)
=0∧
=0∧
=0
resp.
∂x
∂y
∂z
bod A(x0 , y0 )
resp.
A(x0 , y0 , z0 )
Sylvestrovo kriterium lok. extr´em˚
u
D1 > 0 ∧ D2 > 0 ∧ D3 > 0 . . . lok´al. minimum
funkce
D1 < 0 ∧ D2 > 0 ∧ D3 < 0 . . . lok´al. maximum
funkce
lok´aln´ı extr´emy
funkce f (x, y)
resp. f (x, y, z)
Tabulka 2:
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.1. Urˇceme definiˇcn´ı obory funkc´ı dvou promˇenn´
ych a zobrazme pˇr´ısluˇsn´e
mnoˇziny:
p
y
y − x2 + 1
.
a) f (x, y) =
ln(1 − x2 − y)
1
y − x2 + 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ x2 − 1
a souˇcasnˇe
1 − x2 − y > 0 ⇒ y < 1 − x2
a souˇcasnˇe
ln(1 − x2 − y) 6= 0 ⇒ 1 − x2 − y 6= 1 ⇒ y 6= −x2
b) f (x, y) =
−1
1
−1
p
(|x| − 1)(|y| − 1).
|x| − 1 ≥ 0 ∧ |y| − 1 ≥ 0 ⇒ |x| ≥ 1 ∧ |y| ≥ 1 ⇒
x ∈ (−∞, −1i ∪ h1, ∞) ∧ y ∈ (−∞, −1i ∪
h1, ∞) ⇒ x ∈ h1, ∞) ∧ y ∈ h1, ∞)
nebo x ∈ h1, ∞) ∧ y ∈ (−∞, −1i
nebo x ∈ (−∞, −1i ∧ y ∈ (1, ∞i
nebo x ∈ (−∞, −1i ∧ y ∈ (−∞, −1i.
nebo |x| − 1 ≤ 0 ∧ |y| − 1 ≤ 0 ⇒
|x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 ⇒
tedy
−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
6
x
y
1
−1
1
−1
x
c) f (x, y) =
y
p
1
+ x2 + y 2 − 1.
arcsin(y − x)
−1 ≤ y − x ≤ 1 ∧ arcsin(y − x) 6= 0 ∧
x2 + y 2 − 1 ≥ 0 ⇒
x − 1 ≤ y ≤ x + 1 ∧ y − x 6= 0 ∧ x2 + y 2 ≥ 1
⇒
• x − 1 ≤ y ≤ x + 1 ∧ y 6= x ∧ x2 + y 2 ≥ 1.
2
1
−1
x
1
−1
−2
d) f (x, y) =
2
ln(4 − x2 − y 2 )
.
(y − x)(y + x)
2
2
y
2
2
4 − x − y > 0 ∧ y − x 6= 0 ⇒
• x2 + y 2 < 4 ∧ y 6= x ∧ y 6= −x.
−2
2
x
−2
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.2. Vypoˇctˇeme limity funkc´ı (snadn´e)
a)
b)
x+y
.
x−y
Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R × R ∧ y 6= x ⇒ (−1, 0) ∈ D(f ) (a nen´ı to izolovan´
y bod) ⇒
−1
x+y
= f (−1, 0) =
= 1. (Obr.a))
lim
−1
(x,y)→(−1,0) x − y
lim
(x,y)→(−1,0)
x2 − y 2
.
(x,y)→(−1,1) x2 + y 2
lim
Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R×R ⇒ (−1, 1) ∈ D(f ) (a nen´ı to izolovan´
y bod) ⇒
f (−1, 1) =
c)
x2 − y 2
=
(x,y)→(−1,1) x2 + y 2
lim
0
= 0. (Obr. b))
2
y
ln(y − x).
x2
Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R × R ∧ y > x ⇒ (−1, 2) ∈ D(f ) (a nen´ı to izolovan´
y bod) ⇒
y
2
lim
ln(y − x) = f (−1, 2) = ln 3 = 2 ln 3. (Obr. c))
(x,y)→(−1,2) x2
1
lim
(x,y)→(−1,2)
7
y
y
2
y
2
−2
2
x
−2
Obr. a)
2
2
x
−2
Obr. b)
2
x
Obr. c)
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.3. Vypoˇctˇeme limity funkc´ı (algebraick´a u
´prava)
a)
b)
c)
sin xy
.
x
Definiˇcn´ı obor: D(f ) = R×R∧x 6= 0 ⇒ (0, π) ∈
/ D(f ) (ale je to hromadn´
y bod definiˇcn´ıho oboru ) ⇒
funkˇcn´ı hodnota v bodˇe (0, π) neexistuje - ale lze prov´e
st snadnoun´
asleduj´ıc´ı algebraickou u
´ pravu:
sin xy
sin xy y
sin xy
sin A
lim
=
lim
·
=
lim
· y = lim
· lim y =
y→π
A→0 A
(x,y)→(0,π)
x
(x,y)→(0,π)
x
y
(x,y)→(0,π)
xy
1 · π = π. (Obr.a))
lim
(x,y)→(0,π)
x − 3y
√
.
√
(x,y)→(3,1)
x√+ y − √
4x − 8y
Z podm´ınky x + y − 4x − 8y 6= 0 plyne, ˇze (3, 1) ∈
/ D(f ) (ale je to hromadn´
y bod definiˇcn´ıho
oboru) ⇒ funkˇcn´ı hodnota v bodˇe (3, 1) neexistuje – ale lze prov´est snadnou n´
asleduj´ıc´ı algebraickou u
´pravu:
√
√
x − 3y
x + y + 4x − 8y
x − 3y
√
√
√
=
lim
√
√
√
=
lim
(x,y)→(3,1)
x + y −√ 4x − 8y√ (x,y)→(3,1) x + y − √4x − 8y √x + y + 4x − 8y
4
x + y + 4x − 8y
(x − 3y)( x + y + 4x − 8y)
=
lim
= − . (Obr.b))
lim
−3x + 9y
(x,y)→(3,1)
−3
3
(x,y)→(3,1)
lim
x2 + y 2
.
(x,y)→(0,0) x + y
Pouˇzijme pol´
arn´ıch souˇradnic. Pro (x, y) → (0, 0) je x = ̺ cos ϕ → 0 ⇒ ̺ → 0, nebotˇ cos ϕ
je omezen´a funkce a obdobnˇe pro y = ̺ sin ϕ → 0 ⇒ ̺ → 0.
̺2
̺
x2 + y 2
=
lim
=
lim
= 0, neJe tedy
lim
(̺,ϕ)→(0,0) ̺(cos ϕ + sin ϕ)
(̺,ϕ)→(0,0) (cos ϕ + sin ϕ)
(x,y)→(0,0) x + y
botˇ (cos ϕ + sin ϕ) je omezen´a funkce.
lim
2
y
y
2
3
−2
2
−2
x
−2
Obr.a)
8
Obr.b)
x
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.4. Ukaˇzme, ˇze n´
asleduj´ıc´ı limita neexistuje
a)
b)
c)
x+y
.
x−y
Zvolme r˚
uzn´e posloupnosti bod˚
u An (xn , yn) konverguj´
ıc´ı k bodu (0, 0):
1 2
.
- Napˇr´ıklad posloupnost An (xn , yn ) = An
,
n n
3
x+y
3
Pak je
lim
= lim n1 = − lim
= −3.
n→∞ 1
n→∞ −
(x,y)→(0,0) x − y
n
1
1
1
x+y
1
1
n2 − n
n −1
=
lim
= −1.
.
Pak
je
lim
,
−
=
lim
- Jin´
a posloupnost Bn
1
1
1
n→∞
n→∞ 2 +
(x,y)→(0,0) x − y
n2
n
n
n
n +1
Existuj´ı tedy (nejm´enˇe ) dvˇe r˚
uzn´e posloupnosti bod˚
u konverguj´ıc´ıch k bodu (0, 0) takov´e, ˇze
posloupnosti pˇr´ısluˇsn´
ych funkˇcn´ıch hodnot konverguj´ı k r˚
uzn´
ym hodnot´
am, limita funkce tedy
neexistuje.
lim
(x,y)→(0,0)
x
.
y2
Obdobn´
y postup jako
redchoz´ım pˇr´ıkladu. Napˇr´ıklad:
v pˇ
1
1 1
x
2
- Posloupnost An
⇒
lim
,
= lim n1 = 1.
2
2
n→∞ 2
(x,y)→(0,0) y
n n
n
1
1 1
x
n3
= lim n3 = ∞.
- Jin´
a posloupnost Bn
⇒
lim
,
=
lim
n→∞
n→∞ 16
(x,y)→(0,0) y 2
n3 n3
n
Dan´
a limita funkce tedy neexistuje.
Pozn´amka: Lze pˇrirozenˇe volit
ı bod˚
mnoho jin´
u konverguj´ıc´ıch k bodu (0, 0),
ych posloupost´
1
1
n
n
n1
napˇr´ıklad posloupnosti Cn
(−1) , 2 , Dn 0 , (−1)
atd. Zkuste sami.
n
2n
n
lim
(x,y)→(0,0)
x2
.
(x,y)→(0,2) (y − 2)2
Je tˇreba naj´ıt posloupnosti bod˚
u konverguj´ıc´ı k bodu (0, 2). Takov´e posloupnosti jsou napˇr´ıklad:
( n1 )2
1
x2
1
- Posloupnost An
= lim
, 2 + (−1)n . Pak je
lim
=
2
n→∞ 1 (−1)n 2
n
n
(x,y)→(0,0) (y − 2)
lim
lim
n→∞ 12
n
1
n2
· (−1)2n
n
= 1.
- Jin´
a posloupnost Bn
lim n2 = ∞.
1
1
, 2 + 3 . Pak je
n2
n
n→∞
( n12 )2
x2
=
lim
lim
= n→∞
1 2
n→∞
(x,y)→(0,0) (y − 2)2
3
lim
n
1
n4
1
n6
=
Dan´
a limita funkce tedy neexistuje. (Zkuste naj´ıt jin´e posloupnosti bod˚
u konverguj´ıc´ı k bodu
(0, 2).)
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.5. Najdˇeme obˇe prvn´ı parci´
aln´ı derivace dan´
ych funkc´ı v bodech A(x, y),
B(0, 0) a C(2, 1):
a) f (x, y) =
x2 + 1
y2 − 1
∂f (A)
−2y(x2 + 1)
1
2x
∂f (A)
−2y
=
,
= fx′ (A) = 2
2x = 2
,
= fy′ (A) = (x2 +1) 2
∂x
y −1
y −1
∂y
(y − 1)2
(y 2 − 1)2
∂f (B)
∂f (C)
∂f (C)
∂f (B)
=
= 0,
= nedef.,
= nedef..
∂x
∂y
∂x
∂y
9
xy + sin(2xy)
x+y
∂f (A)
(y + 2y cos 2xy)(x + y) − (xy + sin(2xy))
′
,
= fx =
∂x
(x + y)2
(x + 2x cos 2xy)(x + y) − (xy + sin(2xy))
∂f (A)
,
= fy′ =
∂y
(x + y)2
∂f (B)
∂f (B)
= nedef.,
= nedef.
∂x
∂y
b) f (x, y) =
1 + 6 cos 4 − sin 4
∂f (C)
=
,
∂x
9
∂f (C)
4 + 12 cos 4 − sin 4
=
∂y
9
√
x+ y+1
√
c) f (x, y) = ln(1 + x + y ) −
y + x −√1
√
1.(y + x − 1) − (x + y + 1). 2√1 x
∂f (A)
2x
′
√
−
,
= fx =
2
∂x
1 + x2 + y 2
√(y + x − 1) √
1
√
x − 1) − (x + y + 1).1
2y
∂f (A)
2 y (y +
√
−
= fy′ =
∂y
1 + x2 + y 2
(y + x − 1)2
∂f (B)
∂f (B)
=
= nedef.,
∂x
∂y
√
∂f (C)
2
∂f (C)
2
7
=
= −
∂x
3
∂y
3
4
2
2
x − 2y
+ sin(2x − y) cos(2x − y)
x + 2y
Je moˇzn´e, nikoliv nutn´e, nejprve upravit goniometrick´
y v´
yraz
1
sin(2x − y) cos(2x − y) = sin(4x − 2y). Pak je derivov´an´ı jednoduˇsˇs´ı:
2
∂f (A)
1.(x + 2y) − (x − 2y).1 1
4y
′
+ cos(4x − 2y).4 =
+ 2 cos(4x − 2y),
= fx =
2
∂x
(x + 2y)
2
(x + 2y)2
−2.(x + 2y) − (x − 2y).2 1
−4x
∂f (A)
+ cos(4x − 2y).(−2) =
− cos(4x − 2y)
= fy′ =
∂y
(x + 2y)2
2
(x + 2y)2
∂f (B)
∂f (B)
= nedef.,
= nedef.
∂x
∂y
1
∂f (C)
1
∂f (C)
= + 2 cos 6
= − − cos 6.
∂x
4
∂y
2
d) f (x, y) =
2
2
e) f (x, y) = ex +y · arcsin(x2 + y 2 )
∂f (A)
1
2
2
2
2
· 2x
= fx′ (A) = ex +y (2x) arcsin(x2 + y 2 ) + ex +y p
∂x
1 − (x2 + y 2 )2
2
2
2
2
1
∂f (A)
= fy′ (A) = ex +y (2y) arcsin(x2 + y 2 ) + ex +y p
· 2y
∂x
1 − (x2 + y 2 )2
∂f (B)
∂f (C)
∂f (C)
∂f (B)
=
= 0,
= nedef.,
= nedef..
∂x
∂y
∂x
∂y
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.6. Najdˇeme vˇsechny druh´e parci´
aln´ı derivace dan´
ych funkc´ı:
x2 + 1
y2 − 1
2x
∂f (A)
= 2
,
Je
∂x
y −1
a) f (x, y) =
∂f (A)
−2y(x2 + 1)
.
=
∂y
(y 2 − 1)2
10
2
∂ ∂f (A)
∂ 2 f (A)
= 2
=
,
∂x2 ∂x ∂x
y −1
∂ 2 f (A)
−2(x2 + 1)(y 2 − 1)2 + 2y(x2 + 1)2(y 2 − 1) · 2y
∂ ∂f (A)
=
=
=
∂y 2
∂y
∂y
(y 2 − 1)4
2
2
2
2
2
(x + 1)[−2(y − 1) + 8y ]
(6y + 2)(x + 1)
=
,
2
3
(y −1)
(y 2 −1)3
2x
∂ ∂f (A)
4xy
∂ 2 f (A)
∂
−2x · 2y
∂ 2 f (A)
=
=− 2
= ... =
.
=
= 2
2
2
2
∂x∂y
∂y
∂x
∂y y − 1
(y − 1)
(y − 1)
∂y∂x
Odtud
2
2
b) f (x, y) = ex +y
∂f (A)
∂f (A)
2
2
2
2
Je
= 2xex +y ,
= 2yex +y .
∂x
∂y
∂ 2 f (A)
2
2
2
2
2
2
= 2ex +y + 2x · 2xex +y = ex +y .(2 + 4x2 ),
Odtud
∂x2
∂ 2 f (A)
2
2
2
2
2
2
= 2ex +y + 2y · 2yex +y = ex +y .(2 + 4y 2 ),
∂y 2
∂ ∂ ∂f (A)
∂ 2 f (A)
2
2
2
2
2
2
=
2xex +y = 2xex +y 2y = 4xyex +y .
=
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.7. (Trochu pracnˇejˇs´ı, ale tak´e uˇziteˇcn´y)
∂2f
∂ 2f
vypoˇctˇeme v´
yraz
+
funkce f (x, y) = sin(x + y) · cos(x − y).
∂x2
∂y 2
f (x, y) = sin(x + y) · cos(x − y).
∂f (A)
= cos(x + y) cos(x − y) − sin(x + y) sin(x − y),
∂x
∂f (A)
= cos(x + y) cos(x − y) + sin(x + y)(− sin(x − y) · (−1)) =
∂y
cos(x + y) cos(x − y) + sin(x + y) sin(x − y).
∂ 2 f (A)
=
∂x2
− sin(x + y) cos(x − y) + cos(x + y)(− sin(x − y)) − [cos(x + y) sin(x − y) + sin(x + y) cos(x − y)] =
− 2 sin(x + y) cos(x − y) − 2 cos(x + y) sin(x − y),
∂ 2 f (A)
=
∂y 2
− sin(x + y) cos(x − y) + cos(x + y)(− sin(x − y).(−1)) + cos(x + y) sin(x − y) +
sin(x + y) cos(x − y).(−1) = −2 sin(x + y) cos(x − y) + 2 cos(x + y) sin(x − y)
∂ 2 f (A)
∂
=
(cos(x + y) cos(x − y) − sin(x + y) sin(x − y)) =
∂x∂y
∂y
− sin(x + y) cos(x − y) + cos(x + y) sin(x − y) − cos(x + y) sin(x − y) + sin(x + y) cos(x − y) = 0.
∂2f
∂2f
Je tedy
+ 2 = −4 sin(x + y) cos(x − y)
2
∂x
∂y
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.8. Urˇceme tot´
aln´ı diferenci´
aly 1.a 2. ˇr´adu n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı v dan´em
bodˇe:
a) f (x, y) = ex
2
+y 2
v bodech A(0, 0), B(−1, 2).
11
∂f
2
2
= 2xex +y ,
∂x
∂2f
2
2
= 4xyex +y .
∂x∂y
Je
∂f
2
2
= 2yex +y ,
∂y
∂2f
2
2
= ex +y .(2 + 4x2 ),
∂x2
∂2f
2
2
= ex +y .(2 + 4y 2 ),
∂y 2
∂ 2 f (A)
∂ 2 f (A)
∂f (A)
∂ 2 f (A)
∂f (A)
=
2,
=
2,
= 0,
= 0,
= 0. Dife∂x
∂y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
2
2
2
renci´
aly v bodˇe A(0, 0) jsou df (A) = 0, d f (A) = 2(dx) + 2(dy) .
2
2
∂f (B)
∂f (B)
∂ 2 f (B)
5 ∂ f (B)
5 ∂ f (B)
V bodˇe B je
=
6e
,
=
18e
,
= −2e5 ,
= 4e5 ,
= −8e5 .
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
Diferenci´aly v bodˇe B(0, 0) jsou:
df (B) = −2e5 dx + 4e5 dy, d2 f (B) = 6e5 (dx)2 − 16e5 dx dy + 18e5 (dy)2 .
Odtud: V bodˇe A je
b) f (x, y) =
x2 + 1
v bodˇe A(π, 0).
y2 − 1
∂f (A)
2x
∂f (A)
−2y(x2 + 1)
= 2
= −2π,
=
= 0,
∂x
y −1
∂y
(y 2 − 1)2
2
2
2
2
2
(6y + 2)(x + 1)
∂ 2 f (A)
∂ f (A(
4xy
∂ f (A)
=
=
=
−2,
= 0.
=
−2,
=− 2
2
2
2
2
3
∂x
y −1
∂y
(y − 1)
∂x∂y
(y − 1)2
Diferenci´aly v bodˇe A(π, 0) jsou tedy df (A) = −2dx, d2 f (A) = −2(dx)2 − 2(π 2 + 1)(dy)2 .
p
c) f (x, y) = ln(x + x2 + y 2 ) v bodˇe (x0 , y0 ) ∈ D(f ).
Zˇrejmˇe je D(f ) = {(x, y); x ≥ 0 ∨ y 6= 0}.
#
"p
∂f
1
x2 + y 2 + x
1
1
2x
p
p
p
=p
1+ √ 2 2 =
.
=
2
2
2
2
2
2
2
2
x
+y
∂x
(x + x + y )
(x + x + y )
x +y
x + y2
1
1
∂f
√ 2y 2 =
√ 2y2 2 =
p
p
=
Obdobnˇe
2
2
+y
2
x
x +y
∂y
(x + x + y )
(x + x2 + y 2 )
y
p
.
x2 + y 2 + x x2 + y 2
1
y0
p
Tot´aln´ı diferenci´
al pak je df (x, y) = p 2
· dx + 2
· dy.
2
2
x0 + y0
x0 + y0 + x0 x20 + y02
Je
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.9. Vypoˇctˇeme n´
asleduj´ıc´ı parci´
aln´ı derivace pomoc´ı ˇretˇezov´eho pravidla:
2
a) f (x, y) = 3 sin(2x − 3y) − ex y .
2
Oznaˇcme u = sin(2x − 3y) v = ex y . Pak je f (x, y) = F (u, v) = 3u − v. Podle ˇretˇezov´eho
pravidla je
∂F ∂u ∂F ∂v
∂f
2
2
=
+
= 3 · 2 cos(2x − 3y) − ex y · 2xy = 6 · cos(2x − 3y) − 2xyex y , a
∂x
∂u ∂x
∂v ∂x
∂F ∂u ∂F ∂v
∂f
2
2
=
+
= 3 · (cos(2x − 3y) · (−3)) − ex y .(x2 ) = −9 · cos(2x − 3y) − x2 ex y .
∂y
∂u ∂y
∂v ∂y
b) f (x, y) = 3u2 + 2uv, je-li u = sin(x − y), v = ln(x2 + y 2 )
∂f
∂F ∂u ∂F ∂v
1
· 2x =
=
+
= (6u + 2v) cos(x − y) + 2u 2
∂x
∂u ∂x
∂v ∂x
x + y2
4x sin(x − y)
,
2[3 sin(x − y) + ln(x2 + y 2 )] · cos(x − y) +
x2 + y 2
∂f
∂F ∂u ∂F ∂v
2y
=
=
+
= (6u + 2v) · (− cos(x − y)) + 2u. 2
∂y
∂u ∂y
∂v ∂y
x + y2
4y
.
− 6 sin(x − y). cos(x − y) − 2 cos(x − y) ln(x2 + y 2 ) + sin(x − y) 2
x + y2
12
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.10. Najdˇeme derivace n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı v dan´em smˇeru
a) f (x, y) = x3 + xy 2 − xy + 1 v bodˇe A(1, 3) ve smˇeru vektoru u = (1, 0).
∂f
∂f (A)
∂f
∂f (A)
Parci´aln´ı derivace
= 3x2 + y 2 − y ⇒
= 9,
= 2xy − x ⇒
= 5.
∂x
∂x
∂y
∂y
∇f = gradf = (9, 5).
u
(1, 0)
∂f
= ∇f ·
= (9, 5) ·
= 9.
∂u
|u|
1
Pozn´
amka: Vˇsimneme si, ˇze nalezen´
a smˇerov´
a derivace je parci´
aln´ı derivace podle x. Je totiˇz vektor
u = (1, 0) smˇerov´
ym vektorem osy x.
p
x2 + y 2 v bodˇe A(1, −2) ve smˇeru vektoru u = (1, 1).
∂f
∂f (A)
2x
1
x
Parci´aln´ı derivace
⇒
= p
= √ ,
= p
2
2
2
2
∂x
∂x
5
2 x +y
x +y
∂f
y
−2
2y
=p
⇒ ∂f (A)∂y = √ .
= p
∂y
5
2 x2 + y2
x2+ y 2
1 −2
∇f = gradf = √ , √ .
5 5
(1, 1)
1
2
1
∂f
u
1 −2
1
·
· √ = −√ .
= ∇f ·
= √ ,√
= √ −√
∂u
|u|
|(1, 1)|
5
5
5
5
2
10
b) f (x, y) =
p
Uk´
azkov´
r´ıklad 1.1.11. Urˇceme (smˇerovou) derivaci funkce f (x, y) = 4 − x2 − y 2 v bodˇe
√ y pˇ
A(1, 1, 2) ve smˇeru gradientu.
√
∂f
∂f (A)
−x
−1
2
⇒
= p
= √ =−
2
2
∂x
∂x
2
2
4−x −y
√
∂f (A)
−y
−1
∂f
2
⇒
= p
= √ =−
.
2
2
∂y
∂y
2
2
4−x −y
!
√
√
2
2
grad(f (A)) = −
.
,−
2
2
√ !
√
2
2
. Je to jednotkov´
y vektor, proto
,−
Vektor ve smˇeru gradientu je v = −
2
2
!
!
√
√
√
√
∂f (A)
2
2
2
2
2 2
· −
= + = 1. Je to velikost nejrychlejˇs´ı=nejvˇetˇs´ı
= ∇f ·v = −
,−
,−
∂v
2
2
2
2
4 4
zmˇeny funkce v bodˇe A, tedy zmˇeny ve smˇeru gradientu.
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.12. Napiˇsme Taylor˚
uv polynom 1. a 2. ˇr´adu dan´e funkce v dan´em bodˇe:
9 1 2
f (x, y) = − (x + y 2 ) v bodˇe A(1, 2). Funkˇcn´ı hodnota f (1, 2) = 2.
2 2
∂f
∂2f
∂2f
∂f
∂2f
Parci´aln´ı derivace:
= −1, 2 = −1,
= −x,
= −y,
=0⇒
2
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x∂y
∂ 2 f (1, 2)
∂ 2 f (1, 2)
∂f (1, 2)
∂ 2 f (1, 2)
∂f (1, 2)
= −1,
= −1,
= −1,
= −2,,
= 0
v bodˇe (1, 2):
2
2
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x∂y
Taylor˚
uv polynom 2. ˇr´adu v bodˇe (1, 2) tedy je:
1
1
T2 (x, y) = 2−(x−1)−2(y−2)+ [−(x−1)2 )−(y−1)2] = 2−(x−1−)2(y−2)− [(x−1)2 )+(y−1)2)],
2!
2!
Taylor˚
uv polynom 1. ˇr´adu je T1 (x, y) =
2 − (x − 1) − 2(y − 2) = −x − 2y + 7. Tot´aln´ı tot´
aln´ı diferenci´
al 1. ˇr´adu je Taylor˚
uv polynom 1.
ˇr´adu, tj. T1 (x, y) = 2 − (x − 1) − 2(y − 2) = df (x, y) a geometricky je zobrazen teˇcnou rovinou v
bodˇe T (1, 1, 2). (Obr.)
13
z
T (1, 2, 2)
b
b
y
x
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.13. Najdˇeme pˇribliˇznou hodnotu dan´eho v´
yrazu V =
Taylorov´
ych polynom˚
u 1. a 2. ˇr´adu.
2, 023
pomoc´ı
0, 992
x3
v bodˇe (x, y) = (2 + 0, 02, 1 − 0, 01). Hodnota f (2, 1) =
y2
2
3
∂f
∂f
−2x3
3x
2
3 −2
=
8.
Parci´
a
ln´
ı
derivace:
,
=
,
=
=
x
·
12
∂x
y2
∂y
y3
y3
2
3
2
2
6x
∂ f
6x
∂ f
−6x2
∂ f
3
−4
2
−3
=
,
=
−2x
·
(−3y
)
=
,
.
=
3x
·
(−2y
)
=
∂x2
y2
∂y 2
y4
∂x∂y
y3
2
2
∂f
∂ f
∂2f
12
∂f
−16
∂ f
V bodˇe (x0 , y0 ) je
=
12,
=
48,
=
= 12,
=
= −16,
= −24.
∂x
1
∂y
1
∂x2
∂y 2
∂x∂y
Taylorovy polynomy:
1
T1 (x, y) = 8 + 12∆x − 16∆y,
T2 (x, y) = 8 + 12∆x − 16∆y + [12(∆x)2 − 48∆x∆y + 48(∆y)2)].
2!
Pˇribliˇzn´e hodnoty v´
yrazu V jsou:
.
V = T1 (x, y) = 8 + 12.0, 02 − 16.(−0, 01) = 8, 40,
1
.
V = T2 (x, y) = 8 + 12.0, 02 − 16.(−0, 01) + [12 · 0, 0004 − 48 · 0, 02 · (−0, 01) + 48 · 0, 0001] = 8, 4096.
2
V´
yraz V je hodnotou funkce f (x, y) =
Nalezen´e v´
ysledky souhlas´ı s pˇresn´
ymi hodnotami na dvˇe resp. tˇri desetinn´
a m´ısta. Taylorovy polynomy
vyˇsˇs´ıch ˇra
´d˚
u by poskytly v´
ysledky s pˇresnost´ı na v´ıce desetinn´
ych m´ıst.
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.14. Najdˇeme teˇcnou rovinu plochy:
p
a) f (x, y) = x2 + y 2 v jej´ım bodˇe T (3, 4, ?).
√
Souˇradnice zT dostaneme dosazen´ım do rovnice plochy f (x, y): z = 32 + 42 = 5.
∂f (T )
2x
3
∂f
2y
4
∂f
∂f (T )
⇒
= p
= ,
= p
= .
Parci´aln´ı derivace
⇒
2
2
2
2
∂x
∂x
5
∂y
∂y
5
2 x +y
2 x +y
3
4
Teˇcn´a rovina je z − 5 = (x − 3) + (y − 4) ⇒ 3x + 4y − 5z = 0.
5
5
b) f (x, y) = sin2 x − cos2 y v jej´ım bodˇe T ( π2 , π2 , ?).
zT = sin2 π2 − cos2 π2 = 1 − 0 = 1.
∂f (T )
∂f
= 2 sin x cos x = sin 2x ⇒
= sin 2 π2 = 0,
Parci´aln´ı derivace
∂x
∂x
∂f
∂f (T )
= 2 cos sin y = sin 2y ⇒
= sin 2 π2 = 0.
∂y
∂y
Odtud teˇcn´a rovina z − 1 = 0.(x − π2 ) + 0.(y − π2 ) ⇒ τ : z = 1.(Interpretujte geometricky.)
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.15. Najdˇeme stacion´arn´ı body a pˇr´ıpadnˇe lok´aln´ı extr´emy funkc´ı:
a) f (x, y) = x2 − xy + y 2 + x − y + 1.
∂f
∂f
= 2x − y + 1,
= −x + 2y − 1 ⇒
Parci´aln´ı derivace
∂x
∂y
1
1
⇒
podm´ınka pro stacion´
arn´ı body 2x − y + 1 = 0 ∧ −x + 2y − 1 = 0 ⇒ x = − , y =
3
3
14
stacion´
arn´ı bod je
1 1
− ,
.
3 3
∂2f
∂2f
∂2f
O extr´emu rozhodneme pomoc´ı Sylvestrovy vˇety:
=
2,
=
2
= −1.
2
∂x
∂y 2
∂x∂y
1 1
2
∂ f (− 3 , 3 )
∂ 2 f (− 13 , 13 )
1 1
jsou
=
2,
=
Parci´aln´ı derivace ve stacion´
arn´ım bodˇe − ,
3 3
∂x2
∂y 2
1 1
∂ 2 f (− , )
2 −1
3 3 = −1. Determinanty D = 2, D =
2,
= 3. Podle Sylvestrovy
1
2
−1 2
∂x∂y
2
1 1
vˇety m´a funkce v bodˇe (− , ) ostr´e lok´aln´ı minimum, fmin = .
3 3
3
b) f (x, y) = x2 − y 2 .
∂f
∂f
= 2x,
= −2y ⇒ podm´ınka pro stacion´arn´ı body 2x = 0∧−2y = 0 ⇒
∂x
∂y
x = 0, y = 0 ⇒ stacion´
arn´ı bod je (0, 0).
∂2f
∂2f
∂2f
=
2,
=
−2
= 0.
O extr´emu rozhodneme pomoc´ı Sylvestrovy vˇety:
∂x2
∂y 2
∂x∂y
2
2
∂ f (0, 0)
∂ 2 f (0, 0)
∂ f (0, 0)
=
2,
=
−2,
Parci´aln´ı derivace ve stacion´
arn´ım bodˇe (0, 0) jsou
= 0.
∂x2
∂y 2
∂x∂y
2 0
Determinanty D1 = 2, D2 =
= −4.
0 −2
Podle Sylvestrovy vˇety nem´
a funkce ve stacion´arn´ım bodˇe (0, 0) lok´aln´ı extr´em, ale tento bod
je sedlov´
y.
Parci´aln´ı derivace
z
z
sedlo
x
min
x
y
y
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.16. Najdˇeme v´azan´e extr´emy dan´
ych funkc´ı s vazbovou podm´ınkou:
a) f (x, y) = e−x
2
−y 2
s vazbovou podm´ınkou g(x, y) = x2 + y − 1 = 0. Dosazovac´ı metoda:
2
2 2
Z vazbov´e podm´ınky vyj´adˇr´ıme y = 1−x2 a dosad´ıme do dan´e funkce : f (x, x) = e−x −(1−x ) =
4
2
e−x +x −1 a hled´
ame extr´em t´eto funkce.
4
2
3
f ′ (x) = e−x +x −1 · (−4x3 + 2x) =
+ 2x = 0 ⇒ x(−4x2 + 2) = 0 ⇒
√ 0 ⇒ −4x √
2
2 ′′
1
4
2
∨x = −
. f (x) = e−x +x −1 · (−4x3 + 2x) · (−4x3 +
x = 0 ∨ x2 = ⇒ x = 0 ∨ x =
2
2
2
4
2
2x) + e−x +x −1 · (−12x2 + 2) =
4
2
e−x +x −1 [(−4x3 + 2x)2 − 12x2 + 2].
Dosazen´ım
15
1) x = 0, dostaneme f ′′ (0) = 2e−1 > 0 ⇒
v bodˇe x√= 0, y = 1 v´azan´e lok´aln´ı minimum
fmin = e−1 .
√
√
1
1
2
2
2
′′
− 43
, y =
dostaneme f (
) = e (−4) < 0 ⇒ v bodˇe x =
, y =
v´azan´e
2) x =
2
2
2
2
2
− 43
lok´aln´ı maximum fmax = e .
√
1
2
, y=
3) Zcela obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe je v bodˇe x = −
2
2
3
v´azan´e lok´aln´ı maximum fmax = e− 4 .
z
max
max
b
b
min
b
y
x
Lagrangeova metoda je v tomto pˇr´ıpadˇe pracnˇejˇs´ı, vede ovˇsem k t´
ymˇz z´
avˇer˚
um. Jen struˇcnˇe:
2
2
L(x, y, λ) = e−x −y + λ(x2 + y − 1) ⇒
2
2
∂L
= −2xe−x −y + 2xλ =
∂x
2
2
∂L
= −2ye−x −y + λ =
∂y
x2 + y − 1 =
0,
0,
0
(1.1.1)
Odtud (ˇreˇsen´ım soustavy rovnic) tˇ√
ri moˇznosti:
√
1
1
1
2
2
−1
−1
2
(x = −
(x = 0, y = 1, λ = 2e ),
(x =
, y = , λ = e ),
, y = , λ = e− 2 ).
2
2
2
2
[trojice (λ = 0, x = 0, y = 0) nevyhovuje]. V´
ypoˇctem druh´
ych parci´
aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce
a s pouˇzit´ım Sylvestrovy vˇety dojdeme k t´
ymˇz v´
ysledk˚
um jako pˇredchoz´ım dosazovac´ım zp˚
usobem.
2
2
b) f (x, y) = 2 − x − y (rovina σ), vazba g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 (kruˇznice).
3
3
Lagrangeova metoda:
Lagrangeova funkce L(x, y, λ) =
2
2
2 − x − y + λ(x2 + y 2 − 1) ⇒
3
3
2
∂L
= − + 2xλ = 0,
∂x
3
2
∂L
= − + 2yλ = 0,
∂y
3
x2 + y 2 − 1 = 0.
Z prvn´ıch dvou rovnic
ım do tˇret´ı rovnice dost´av´
ame
√ je x = y a dosazen´
√
2
2
2x2 = 1 ⇒ x = ±
a 2y 2 = 1 ⇒ y = ±
.
2
2
ˇ sen´ım jsou dvojice
Reˇ
√ √
√
2
2
2
A(
,
), λ =
2
2
3
16
√
√
√
2
2
2
a B(−
,−
), λ = −
(moˇzn´e v´azan´e extr´emy).
2
2
3
Bod A :
√
√
2 2 ∂2L
2 2
∂2L
= 2λ =
= 2λ =
,
,
∂x2
3 ∂y 2
3
2
∂ L
= 0.
∂x∂y
Determinanty:
√
2 2
√
0
2 2
8
3
√
D1 =
, D2 =
= .
2
2
3
9
0
3
D1 > 0 ∧ D2 > 0 ⇒ v bodˇe A m´a funkce f v´azan´e lok´aln´ı minimum fmin
√
2 2
.
Analogicky v bodˇe B je v´azan´e lok´aln´ı maximum fmax = 2 +
3
z
√
2 2
=2−
.
3
B
b
σ
A
b
y
x
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 1.1.17. Najdˇeme glob´aln´ı extr´emy dan´
ych funkc´ı na dan´
ych mnoˇzin´
ach:
∂f
a) Funkce f (x, y) = x2 + xy + y 2 na mnoˇzinˇe M : y ≥ x2 , y ≤ 1. 1) Lok´aln´ı extr´emy:
=
∂x
∂f
= x + 2y. Soustava rovnic
2x + y,
∂y
2x + y
=0
x + 2y
= 0.
⇒ stacion´
arn´ı bod x = 0, y = 0.
∂2f
∂f 2
∂2f
= 2,
= 2,
=1.
2
2
∂x
∂y
∂x∂y
2 1
Determinanty: D1 = 2, D2 =
= 3. Bod A(0, 0) ∈ M , podle Sylvestrovy vˇety je v
1 2
bodˇe A lok´aln´ı minimum f (0, 0) = 0.
2) Hranice mnoˇziny M (dosazovac´ı metoda) : pˇr´ımka y = 1 ... v´azan´e extr´emy na mnoˇzinˇe
bod˚
u pˇr´ımky:
f (x, x) = x2 + x2 + x2 = 3x2 ⇒ f ′ = 6x = 0 ⇒ x = 0, y = 1 ⇒ bod B(0, 1), f (B) =
f (0, 1) = 1.
parabola y = x2 ....v´
azan´e extr´emy na mnoˇzinˇe bod˚
u paraboly:
f (x, x) = x2 +x3 +x4 ⇒ f ′ = 2x+3x2 +4x3 = 0 ⇒ x(2+3x+4x2 ) = 0 ⇒ x = 0∨2+3x+4x2 =
0 − nen´ı re´
aln´e ˇreˇsen´ı . Bod C(0, 0) - viz bod A(0, 0) v´
yˇse.
3) Hroty - vrcholy“.
”
D(−1, 1) ⇒ f (D) = f (−1, 1) = 1,
17
E(1, 1) ⇒ f (D) = f (1, 1) = 1.
Z´
avˇer: ze vˇsech kandid´at˚
u na absolutn´ı extr´em na mnoˇzinˇe M vych´
az´ı absolutn´ı maximum v
bodech B, D, E je max = 1, absolutn´ı minimum v bodˇe A je min = 0.
y
D
B
E
1
−1 A ≡ C
1
x
b) Funkce f (x, y) = 5 − x2 − xy − y 2 na mnoˇzinˇe M = h0, 1i × h0, 1i. 1) Stacion´arn´ı bod
A(0, 0), f (A) = 5.
2) Hranice mnoˇziny M :
• x = 0 ⇒ f (y, y) = 5 − y 2 ⇒ f ′ = −2y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 0, y = 0. Bod A′ (0, 0) ≡
A f (A′ ) = f (A) = 5.
• x = 1 ⇒ f (y, y) = 5 − 1 − y 2 ⇒ f ′ = −2y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 1, y = 0. Bod
B(1, 0), f (B) = 4
• y = 0 ⇒ f (x, x) = 5 − x2 ⇒ f ′ = −2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0, y = 0. Bod
B ′ (0, 0) ≡ A f (B ′ ) = f (A) = 5
• y = 1 ⇒ f (x, x) = 5 − 1 − x2 ⇒ f ′ = −2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0, y = 1. Bod
C(0, 0) ≡ A, f (C) = 5
3) Hroty - vrcholy“
”
Body A, B, C - viz v´
yˇse. Zb´
yv´a bod D(1, 1)′ f (D) = f (1, 1) = 2.
Kandid´aty na extr´emn´ı hodnoty funkce jsou body A, B, C, D. Zˇrejmˇe je absolutn´ı maximum v
bodˇe A a to fmax = 5 a absolutn´ı minimum v bodˇe D a to fmin = 2.
z
A-max
C
B
D-min
x
y
18
1.2
Cviˇ
cen´ı
1) Stanovte a nakreslete definiˇcn´ı obory funkc´ı:
√
a) f (x, y) =
x+y−
√
y−x
b) f (x, y) = ln(x − y) −
c) f (x, y) =
y2
x
−x
1
d) f (x, y) = p
x2 + y 2 − 1
1
y−x
e) f (x, y) =
x2 − y 2
log(x2 − y 2 )
f) f (x, y) = ln[(4 − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 1)]
a){(x, y) ∈ R × R, x ≤ y ≤ −x},
b){(x, y) ∈ R × R, y > x}, c){(x, y) ∈ R × R, y 2 6= x}
2
2
d){(x, y) ∈ R × R, x + y > 1}
e){(x, y) ∈ R × R, −|x| < y < |x| ∧ y 2 6= x2 − 1}, f ){(x, y) ∈ R × R, 1 < x2 + y < 4}
a) f (x, y) =
√
√
x+y− y−x
b) f (x, y) = ln(x − y) −
y
1
y−x
c) f (x, y) =
y2
x
−x
y
y
2
x
x
3
x
−2
1
d) f (x, y) = p
2
x + y2 − 1
2
e) f (x, y) =
x2 − y 2
log(x2 − y 2 )
f) f (x, y) = ln[(4 − x2 −
y 2 )(x2 + y 2 − 1)]
y
y
2
y
1
x
2
−2
−2
−2
x
2
−2 −1
−1
−2
19
1
2
x
2) Stanovte a nakreslete definiˇcn´ı obory funkc´ı:
x−y
x · ln y
x+y
e) f (x, y) = p
x2 + y 2 + 2xy
1
f) f (x, y) =
log2 (x − y)
a) f (x, y) = arctg y + arccotg x
b) f (x, y) = arcsin
c) f (x, y) =
d) f (x, y) =
1
1
+ arccos
x
y
arccotg x
arctg y
[ a){(x, y) ∈ R × R}, b){{(x, y) ∈ R × R}, x ∈ h1, ∞i ∪ (−∞, −1i ∧ y ∈ h1, ∞i ∪ (−∞, −1i}]
[ c){(x, y) ∈ R × R} \ {(x, 0)}, d){(x, y) ∈ R × R, x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ y > 0}]
[ e){(x, y) ∈ R × R, y 6= −x}, f ){(x, y) ∈ R × R, y 6= x − 1 ∧ y < x}.]
a) f (x, y) = arctg y+arccotg x
b) f = arcsin
y
1
1
+ arccos
x
y
c) f (x, y) =
arctg x
arctg y
y
y
2
x
−2
2
x
x
−2
d) f (x, y) =
x−y
x · ln y
x+y
e) f (x, y) = p
x2 + y 2 + 2xy
f) f (x, y) =
1
log2 (x − y)
y
2
y
y
1
x
x
x
−2
3) Vypoˇctˇete z(1, 0), z(0, 54 ), z(1, 1) funkce z = f (x, y) =
4) Urˇcete f (1, xy ) funkce f (x, y) =
p
1 − x2 − y 2 .
a) 0, b) 35 , c) nedef.
2xy
.
+ y2
x2
20
f (x, y) = f (1, xy )
5) a) Urˇcete koeficienty a, b ∈ R tak, aby na grafu funkce z = ax + by, leˇzely body A(1, 2, 10),
B(3, 0, 21).
2
b) Urˇcete koeficienty a, b ∈ R tak, aby na grafu funkce z =
+ 5 leˇzely body A(1, 1, 6),
ax + by
B(2, 1, 8).
3
6
a) a = 7, b = , b) z =
+5
2
−4x + 10y
6) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce z(x, y):
x2
,
y
√
√
d) z = x + y
a) z = x + y,
1
,
b) z =
x+y
e) z =
c) z =
p
2x − x2 − y 2
f) z = ln[12 − 3(x2 + 4y 2 )]
[a) rovina R × R, b) rovina R × R s vylouˇcen´ım pˇr´ımky y = −x]
[c) rovina R × R s vylouˇcen´ım osy ox , d) I. kvadrant vˇcetnˇe hraniˇcn´ıch polopˇr´ımek]
[e) uzavˇren´
y kruh se stˇredem S(1, 0) a polomˇerem r = 1]
[f ) vnitˇrek elipsy se stˇredem S(0, 0) a s poloosami a = 2, b = 1]
7) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce f (x, y):
√
√
x+5+ y
√
b) z = 1 − x2 − ln(y 2 − 4)
a) z =
c) z =
p
9 − x2 − y 2
d) z = ln(x2 + y 2 − 16)
[a) prav´
yu
´hel vymezen´
y podm´ınkami x ≥ −5 ∧ y ≥ 0 vˇcetnˇe hraniˇcn´ıch polopˇr´ımek ]
[b) mnoˇzina vymezen´a podm´ınkami x ∈ h−1, 1i ∧ (y > 2 ∨ y < −2)]
[c) uzavˇren´
y kruh S(0, 0), r = 3, d) vnˇejˇsek kruhu S(0, 0), r = 4]
8) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce f (x, y):
p
√
4 − x2 + 16 − x2 − y 2
p
b) ln(x2 + y 2 − 1) + 4 − y 2
p
sin(x2 + y 2 )
a) z =
d) z =
c) z = ln(x − y)
e) arcsin(3 − (x2 + y 2 ))
x
f) arcsin 2
y
[a) pr˚
unik rovinn´eho p´
asu − 2 ≤ x ≤ 2 a kruhu S(0, 0), r = 4, vˇcetnˇe vˇsech hranic]
[b) rovinn´
y p´
as − 2 ≤ y ≤ 2 s vylouˇcen´ım vnitˇrku kruhu S(0, 0), r = 1]
[c) polorovina vymezen´a pˇr´ımkou y = x pod touto pˇr´ımkou a s jej´ım vylouˇcen´ım]
[d) soustava uzavˇren´
ych mezikruˇz´ı S(0, 0), 2kπ ≤ x2 + y 2 ≤ (2k + 1)π, k = 0, 1, 2, . . . ]
[e) uzavˇren´e mezikruˇz´ı vymezen´e kruˇznicemi x2 + y 2 = 2, x2 + y 2 = 4]
[f ) ˇca´st roviny R × R vymezen´a parabolami y 2 = x, y 2 = −x, s vylouˇcen´ım bodu O(0, 0)]
21
9) Urˇcete a nakreslete definiˇcn´ı (existenˇcn´ı) obor funkce f (x, y):
r
s
x+3
2x − y 2 + 4
a) z =
c) z =
1 − x2 − y
x+y−3
1−x+y
b) z = ln
2 + 3x − 2y
4 − x2 − y 2
d) z = ln
x−y+1
e) z =
r
f) z =
r
ln x − 1
y−3
ln x − y
x−3
[a) definiˇcn´ı obor je sjednocen´ım dvou ˇca´st´ı: A tvoˇr´ı vˇsechny body roviny leˇz´ıc´ı pod parabolou
y = 1 − x2 ∧ x > −3, B tvoˇr´ı vˇsechny body roviny leˇz´ıc´ı nad parabolou y = 1 − x2 ∧ x <
−3. bod M (−3, −8) je tedy z defin. oboru vylouˇcen ]
[b) vnitˇrn´ı body dvou ostr´
ych u
´hl˚
u (se spoleˇcn´
ym vrcholem) tvoˇren´
ych pˇr´ımkami y =
x − 1, y = 23 x + 1, c) definiˇcn´ı obor tvoˇr´ı jednak ty vnitˇrn´ı body paraboly y 2 = 2x + 4,
kter´e leˇz´ı nad pˇr´ımkou y = 3 − x, jednak vnˇejˇs´ı body t´eto paraboly, kter´e leˇz´ı pod pˇr´ımkou
y = 3 − x a d´
ale body samotn´e paraboly kromˇe pr˚
useˇc´ık˚
u paraboly s pˇr´ımkou]
[c) definiˇcn´ı obor tvoˇr´ı jednak ty vnitˇrn´ı body paraboly y 2 = 2x +
4, kter´e leˇz´ı nad pˇr´ımkou y = 3−x, jednak vnˇejˇs´ı body t´eto paraboly, kter´e leˇz´ı pod pˇr´ımkou
y = 3 − x, a d´
ale body samotn´e paraboly kromˇe pr˚
useˇc´ık˚
u parabo ly s pˇr´ımkou]
[d) sjednocen´ı dvou ˇca´st´ı: A tvoˇr´ı vˇsechny vnitˇrn´ı body kruhu x2 + y 2 =
4, leˇz´ıc´ı pod pˇr´ımkouy = x + 1, B tvoˇr´ı vˇsechny vnˇejˇs´ı body kruhu x2 + y 2 = 4,
leˇz´ıc´ı nad pˇr´ımkou y = x + 1]
S
[e) polop´as {0 < x ≤ e ∧ y < 3} {x ≥ e ∧ y > 3}]
[f ) sjednocen´ı dvou ˇca´st´ı: A je ˇca´st rovinn´eho p´
asu 0 < x < 3 nad kˇrivkou y =
ln x, B je ˇca´st poloroviny x > 3 pod kˇrivkou y = ln x]
10) Naˇcrtnˇete grafy line´arn´ı funkce dvou promˇenn´
ych
a) z = x − y + 2,
b) z = x + y,
c) z = 5,
d) z = 4 − 2x
[a) grafem je rovina vyt´ınaj´ıc´ı na souˇradn´
ych os´ach u
´ seky − 2, 2, 2]
[b) rovina proch´
azej´ıc´ı poˇca´tkem, se souˇradnicovou rovinou (xz) se prot´ın´a v pˇr´ımce z = x
a se souˇradnicovou rovinou (yz) se prot´ın´a v pˇr´ımce z = y]
[c) rovina rovnobˇeˇzn´a se souˇradnicovou rovinou (xy) ve vzd´
alenosti 5,
d) rovina rovnobˇeˇzn´a s osou y, v souˇradnicov´e rovinˇe (xz) je jej´ı pr˚
useˇcnic´ı pˇr´ımka z = 4−2x]
11) Vypoˇctˇete limity
xy 3 + y 2
(x,y)→(2,1) xy + y x
x3 − y 3
b)
lim
(x,y)→(0,0) x − y
a)
c)
lim
d)
lim
(x sin y − xcos y )
(x,y)→(2,π)
x3 + y 3
(x,y)→(0,0) x + y
lim
22
a) 1, b) 0, c) − 12 , d) 0
12) Vypoˇctˇete limity
tg(xy)
(x,y)→(4,0)
y
x+y
e)
lim
(x,y)→(∞,∞) x2 + y 2
sin(x + y − 1)
(x,y)→(0,1) 2 − 2y − 2x
x2 − y 2
b)
lim
(x,y)→(0,0) x − y
√
1 − 1 − xy
c)
lim
xy
(x,y)→(0,0)
a)
d)
lim
N´
avod: a),d) - substituce, b),e) - pol´arn´ı souˇradnice.
lim
a) − 21 , b) 0, c) 21 , d) 4, 0
13) Ukaˇzte, ˇze n´
asleduj´ıc´ı limity neexistuj´ı.(N´avod: Volte r˚
uzn´e posloupnosti bod˚
u konverguj´ıc´ı
k dan´
ym bod˚
um.)
r
x−1
x−y
.
a)
lim
b)
lim
(x,y)→(1,1) y − 1
x+y
(x,y)→(0,0)
1
1
a) Takov´a posloupnost je napˇr. An (1 + , 1 − 2 ), Najdˇete dalˇs´ı.
n
n
14) Najdˇete aspoˇ
n tˇri vrstevnice n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı a naˇcrtnˇete pomoc´ı nich grafy:
p
a) f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 )
b) f (x, y) = x2 + y 2
a) napˇr´ıklad z = 1 ⇒ x = 0 ∧ y = 0, z = 0 ⇒ x2 + y 2 = 1 a podobnˇe dalˇs´ı
b) napˇr´ıklad z = 1 ⇒ x2 + y 2 = 1 a dalˇs´ı
15) Vypoˇctˇete limity funkce f (x, y) v dan´em bodˇe (x0 , y0 )
ln(x + ey )
p
a)
lim
(x,y)→(1,0)
x2 + y 2
b)
sin xy
(x,y)→(0,a) xy
lim
c)
d)
sin xy
x
(x,y)→(0,a)
lim
e)
lim
(x,y)→(0,0)
2−
√
xy + 4
xy
x2 − y 2
sin(x3 + y 3 )
f)
lim
2
2
x2 + y 2
(x,y)→() x + y
(x,y)→(0,0)
1
a) ln 2, b) 1, c) a, d) neex., e) − , f ) 0
4
lim
16) Vypoˇctˇete limity funkce f (x, y) v dan´em bodˇe (x0 , y0 )
p
3(x2 − y 2 )
x2 + (y − 1)2 + 1 − 1
c)
lim
a)
lim
2
2
(x,y)→(0,0) 2(x − y)
(x,y)→(0,1)
x + (y − 1)
2
2
1
x +y
d)
lim
x sin
b)
lim
xy
y
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
1
a) , b) neex., c) 0, d) 0
2
23
17) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´
aln´ı derivace
x
a) f (x, y) = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
d) f (x, y) = cos
1
−
y2
xy
b) f (x, y) =
x−y
x2 + y 2
sin x + cos y
c) f (x, y) = 2
e) f (x, y) =
x − y2
x2 y 2
−y 2
x2
′
a)fx′ = 3(x − y)2 , fy′ = −3(x − y)2 , b)fx′ =
,
f
=
(x − y)2 y
(x − y)2
4xy
1
x
2xy
x
−4xy 2
′
′
′
,
f
=
d)f
=
−
sin
,
f
=
−
sin
c)fx′ = 2
x
(x − y 2 )2 y
(x2 − y 2 )2
1 − y2
1 − y2 y
(1 − y 2 )2
1 − y2
x cos x − 2 sin x − 2 cos y ′
−y sin y − 2 sin x − 2 cos y
′
e)fx =
, fy =
x3 y 2
x2 y 3
18) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´
aln´ı derivace
d) f (x, y) = ex−y · ey−x+sin(xy)
a) f (x, y) = 3x · y x
x
b) f (x, y) = arcsin
y
c) f (x, y) = (x2 + y 2 )3
e) f (x, y) =
√
x+y
2x − 2y
a)fx′ = (3y)x · ln(3y), fy′ = 3x · (3y)x−1
#
"
−x
1
· sgn y, y 6= 0, fy′ = p
· sgn y, y 6= 0
b) fx′ = p
y 2 − x2
y y 2 − x2
c) fx′ = 6x(x2 + y 2 )2 , fy′ = 6y(x2 + y 2 )2
d) fx′ = y · esin(xy) · cos(xy), fy′ = x · esin(xy) · cos(xy)
−(x + 3y)
3x + y
′
√
√
e) fx′ =
,
f
=
4(x − y)2 x + y y
4(x − y)2 x + y
19) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´
aln´ı derivace dan´
ych funkc´ı podle x a y
a) z(x, y) = xy +
x
y
c) z(x, y) = arctg
x+y
1 − xy
b) z(x, y) = ln(x + y 2 )
x2
y
p
e) z(x, y) = ln x2 + y 2
d) z(x, y) = tg
1
2y
1
1
1
′
′
′
a) zx′ = y + , zy′ = x − xy −2 , b) zx′ =
z
=
,
c)
z
=
,
z
=
x
y
x + y2 y
x + y2
1 + x2 y
1 + y2
"
#
x2
x
2x
y
′
′
′
′
d) zx =
, z = 2
2 , zy =
2 , e) zx =
x2 + y 2 y
x + y2
y cos2 xy
y 2 cos2 xy
20) Vypoˇctˇete prvn´ı parci´
aln´ı derivace dan´
ych funkc´ı podle x a y
c) f (x, y) = (sin x)cos y
√ 2 2
1
d) f (x, y) = 10 x +y arctg
x
a) f (x, y) = xy
x
b) f (x, y) = arccos p
2
x + y2
24
xy
|y|
′
,
f
=
a) fx′ = yxy−1 , fy′ = xy ln x, b) fx′ = − 2
x + y2 y
|y|(x2 + y 2 )
c) fx′ = cos y(sin x)cos y−1 · cos x, fy′ = (sin x)cos y ln sin x(− sin y)
#
"
√ 2 2 −1
√ 2 2
1
x
arctg + 10 x +y 2
d) fx′ = 10 x +y ln 10 p
x
x +1
x2 + y 2
"
#
√ 2 2
1
y
x +y
′
arctg
fy = 10
ln 10 p
x
x2 + y 2
21) Vypoˇctˇete vˇsechny druh´e parci´
aln´ı derivace n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı:
√
e) z = y ln x
g) z = x3 y
c) z = arctg xy
x
x−y
d) z = arctg
h) z = arctg
f) z = sin(x2 + y 3 )
b) z = xy
y
x+y
1
6x
1
12x2
1
9x2
1
′′
′′
′′
a) zxx
= 2 sin 3 , zxy
= − 4 cos 3 , zyy
= 5 cos 3 − 8 sin 3
y
y
y
y
y
y
y
′′
y−2
′′
y−1
′′
y
b) zxx = y(y − 1)x
, zxy = x
(1 + y ln x), zyy = x (ln x)2
2xy 3
1 − x2 y 2
2x3 y
′′
′′
′′
c) zxx = −
,z =
, z =−
(1 + x2 y 2 )2 xy
(1 + x2 y 2 )2 yy
(1 + x2 y 2 )2
x2 − y 2
2xy
y
1 ′′
2xy
′′
′′
′′
′′
′′
,
z
=
,
z
=
,
e)
z
=
−
,
z
=
,
z
=
0
d) zxx
=− 2
xx
(x + y 2 )2 xy
(x2 + y 2 )2 yy
(x2 + y 2 )2
x2 xy
x yy
′
′′
f ) zxx
= 2 cos2 (x2 + y 3 ) − 4x2 sin(x2 + y 3 ), zxy
= −6xy 2 sin(x2 + y 3 )
′′
zyy = 6y cos(x2 + y 3 ) − 9y 4 sin(x2 + y 3 )
#
"
x2
3x2
′′
′
2√
′′
g) zxx = 3x y, zxy = √ , zyy = − p
2 y
4 y3
2xy
x2 − y 2
2xy
′′
′′
′′
h) zxx = − 2
, z = 2
, z = 2
(x + y 2 )2 xy
(x + y 2 )2 ) yy
(x + y 2 )2
a) z = x2 sin
1
y3
22) Vypoˇctˇete vˇsechny druh´e parci´
aln´ı derivace funkce z = xy v bodˇe A(1, 2).
′′
′′
′′
zxx (1, 2) = 2, zyy
(1, 2) = 1, zxy
(1, 2) = 0
23) Ukaˇzte, ˇze funkce z = arctg
∂ 2z
∂2z
y
+ 2 = 0.
splˇ
nuje Laplaceovu rovnici
2
x
∂x
∂y
z
2xy
∂ z(x, y)
=
−
atd.
∂x2
(x2 + y 2 )2
24) Vypoˇctete vˇsechny tˇret´ı parci´
aln´ı derivace funkce f (x, y) = x3 − 3x2 y 2 + xy 3 − 2x + 3y − 1
v bodˇe A(1, 2).
∂3f
∂3f
∂3f
∂3f
=
6,
=
6x,
=
−12x
+
6y,
v
bodˇ
e
A(1,
2)
:
6;
6;
−24;
0
=
−12y,
∂x3
∂y 3
∂x2 ∂y
∂x∂y 2
25
25) Urˇcete derivace n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı f v dan´em bodˇe A ve smˇeru dan´em vektorem u.
a) f (x, y) = x2 − 6xy − y 3 + 1, A(1, −1), u = (2, 1)
−→
b) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + x + y, O(0, 0), u = OA, kde A(5, −3)
p
c) f (x, y) = x2 + y 2 , A(3, −2), ; u sv´ır´
a s osou x u
´hel π6
d) f (x, y, z) = x3 − 2y 2 + z, A(1, 1, 1), u = B − A, B(1, −1, 2). Rozhodnˇete, zda je funkce f
ve smˇeru vektoru u rostouc´ı (klesaj´ıc´ı).
−→
∂f (A)
∂f (A)
= 25, b) OA = (5, −3), ∇f (O) = (1, 1),
=2
a) gradf (A) = ∇f (A) = (8, −9),
∂u
∂u
"
#
√
√
3 ∂f (A)
2 3
∂f (A)
3
c) u = (1,
),
= √ − √ , d) ∇f = (2, −2, 1),
= 5, rostouc´ı
3
∂u
∂u
13
13
1
1
+ .
x y
1
1
b) Vypoˇctˇete gradf funkce f (x, y) = + v bodech A(1, −1), B(1, 0), C(0, −1).
x y
p
c) Najdˇete vˇsechny body (x, y), v nichˇz je |gradf | = 1 pro funkci f (x, y) = (x2 + y 2 )3 .
26) a) Vypoˇctˇete gradf funkce f (x, y) =
d) Urˇcete, ve kter´em smˇeru je derivace funkce f (x, y) = 3x2 − 6xy + y 2 v bodˇe A(− 13 , − 21 )
a) nejvˇetˇs´ı, b) nejmenˇs´ı, c) nulov´a.
N´
avod: Jednotkov´
y vektor zapiˇste v = (cos α, sin α), α ∈ h0, 2πi.
1
1
1
a) gradf = − 2 , − 2 , b) (−1, −1); nedef., nedef., c) kruˇznice x2 + y 2 =
x
y
3
√
√ !#
√ √ !
π
2
2
2
2
5π
d) nejvˇetˇs´ı pro α = ⇒ v =
; nejmenˇs´ı pro α =
,
⇒v= −
,−
4
2
2
4
2
2
"
√ √ !#
2
2
3π
,
nulov´a pro α = 4 ⇒ v = −
2
2
p
27) Vypoˇctˇete gradient funkce z = 4 + x2 + y 2 v bodˇe A(1, 2) a najdˇete velikost nejrychlejˇs´ı
zmˇeny funkce v tomto bodˇe.
"
√ #
1 2
5
grad(z) =
, nejvˇetˇs´ı derivace je ve smˇeru gradientu, a to
,
3 3
3
28) Najdˇete derivaci funkce z = ln(ex + ey ) v poˇca´tku soustavy souˇradnic ve smˇeru vektoru,
kter´
y
"
√ #
1+ 3
sv´ır´
a s kladn´
ym smˇerem osy x u
´hel 60o .
4
√
29) Najdˇete gradient funkce z = x − y v bodˇe M (1, 1) ve smˇeru vektoru ( 3, 1).
3
3
√
3
(1 − 3)
2
x
. Najdˇete u
´hel, kter´
y sv´ıraj´ı gradienty t´eto funkce v bodech A(1, 1), B(3, 4).
30) Funkce z = arcsin
x
+
y
1
arctg tj. pˇribliˇznˇe 8o
7
26
−−→
31) Urˇcete derivaci funkce z = x2 y − 2y 2 + 1 v bodˇe M (3, 2) ve smˇeru vektoru M O = O − M . Bod
O je poˇca´tek soustavy souˇradnic.
38
√
13
3
3
32) Najdˇete gradient funkce z =
√ x + y − 3xy v bodˇe A(2, 1) a urˇcete hodnotu nejvˇetˇs´ı derivace
v tomto bodˇe.
grad(z) = (9, −3), nejvˇetˇs´ı derivace ve smˇeru gradientu je 3 10
33) Najdˇete derivaci funkce z = ln(x2 + y 2 ) v bodˇe M (3, 4) ve smˇeru gradientu funkce z.
2
5
34) Taylorovy polynomy v dan´
ych bodech
a) Taylor˚
uv polynom 3. ˇr´adu funkce f (x, y) = 2x3 − x2 y − y 3 + 1 v bodˇe (0, 2).
1
1
b) Najdˇete Taylorovy polynomy 2. ˇr´adu funkce f (x, y) = + v bodˇe (1, 1).
x y
x2
c) f (x, y) = 2 v bodˇe A(−1, 1)
y
1
d) f (x, y) = y 2 + 3 v bodˇe A(1, 2)
x
a) T3 (x, y) = −7 − 12(y − 2) − 2x2 − 6(y − 2)2 + 2x3 − x2 (y − 2) − (y − 2)3
b) T1 (x, y) = 4 − x − y, T2 (x, y) = 4 − x − y + (x − 1)2 + (y − 1)2
c) T1 (x, y) = −2x − y, T2 (x, y) = −4x − 3y + x2 + 3y 2 + 4xy
[d) T1 (x, y) = 5 − 3(x − 1) + 4(y − 2), ]
T2 = 5 − 3(x − 1) + 4(y − 2) + 6(x − 1)2 + (y − 2)2
35) Vypoˇctˇete pˇribliˇzn´e hodnoty n´
asleduj´ıc´ıch v´
yraz˚
u pomoc´ı u
´pln´eho diferenci´
alu (Taylorova polynomu 1. ˇr´adu - pˇr´ıpadnˇe i vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚
u):
1
, tedy x0 = 2, ∆x = 0, 02, y0 = 1, ∆y = −0, 01
1, 013
1
(N´avod: funkce f (x, y) = x2 + 3 .)
y
√
7, 99
b) V =
+ 2, 01 · 3 7, 99.
2, 012
a) V = 3, 032 +
[a) 10,15, b) 6,9583 ]
36) Vypoˇctˇete tot´
aln´ı diferenci´
al funkce
a) z = exy
b) z = ln(x +
"
p
x2 + y 2 )
1
a) dz = exy (y dx + x dy), b) dz = p
x2 + y 2
27
y dy
p
dx +
x + x2 + y 2
!#
37) Pomoc´ı tot´
aln´ıho diferenci´
alu vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe
a) 1, 042,02
b)
c) arctg
p
1, 023 + 1, 973
1, 02
0, 95
d) sin 29o · tg 46o
[a) 1, 08, b) 2, 95, c) 0, 82, d) 0, 502]
38) Vypoˇctˇete tot´
aln´ı tot´
aln´ı diferenci´
al druh´eho ˇr´adu funkc´ı
c) z = x sin2 y
a) z = x + xy
2 2
b) z = x y
d) z = e
e) z = sin x sin y
xy
f) z = cos(x + y)
[a) d2 z = 2dx dy, b) d2 z = 2(dx)2 + 8xydx dy + 2(dy)2 , c) d2 z = 2 sin 2ydx dy + 2x cos 2y(dy)2 ]
[d) d2 z = exy (y dx + x dy)2 + 2xxy dx dy, ]
e) d2 z = − sin x sin y(dx)2 +2 cos x cos y dx dy−sin x sin y(dy)2 , f ) d2 z = − cos(x+y)(dx+dy)2 ]
39) Vypoˇctˇete tot´
aln´ı tot´
aln´ı diferenci´
al druh´eho ˇr´adu funkc´ı
a) x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0
b) z = x − arctg
y
z−x
−[x2 + (z − 1)2 ](dx)2 + 2xy dx dy + [y 2 + (z − 1)2 ](dy)2
a) d z =
(z − 1)3
2(x − z)(y + 1) · [(x − z)2 + y 2 ]
2
b) d2 z =
(dy)
[(x − z)2 + y(y + 1)]3
2
40) Najdˇete tot´
aln´ı diferenci´
al prvn´ıho ˇr´adu sloˇzen´e funkce z = f (t), kde t = x2 y.
[dz = f ′ (t)(2xy dx + x2 dy)]
41) Najdˇete tot´
aln´ı diferenci´
al tˇret´ıho ˇr´adu funkce z = x3 + y 3 − 3xy(x − y).
[d3 z = 6((dx)3 − 3(dx)2 dy + 3dx(dy)2 + (dy)3 )]
42) Najdˇete d3 z(A) funkce z = x4 y 2 + 3xy 3 + 2x3 + 3y 2 , kde A(1, 2).
[d3 z = 108(dx)3 + 144(dx)2 dy + 132dx(dy)2 + 18(dy)3 ]
43) Najdˇete d3 z(A) funkce z = sin(2x + y), kde A( π2 , 0).
[d3 z = 8(dx)3 + 12(dx)2 dy + 6dx(dy)2 + (dy)3 ]
44) Najdˇete d2 z implicitnˇe zadan´e funkce z = x2 + y 2 + z 2 = a2 , a ∈ R.
1 2
2
2
2
2
2
2
d z = − 3 (x + z )(dx) + 2xydx dy + (y + z )(dy)
2z
28
45) Rozviˇ
nte podle Taylorova vzorce funkci f (x, y) = 3x2 + 2xy − 8y 2 + 10x − 13 v bodˇe A(2, −1).
[f (x, y) = 7 + 20(x − 2) + 20(y + 1) + 3(x − 2)2 + 2(x − 2)(y + 1) − 8(y + 1)2 ]
46) Aproximujte funkci f (x, y) =
stupnˇe.
cos x
v okol´ı bodu O(0, 0) Taylorov´
ym polynomem druh´eho
cos y
f (x, y) ≈ 1 −
1
2
(dx)2 − (dy)2
47) Aproximujte funkci f (x, y) = ln(x + y) v libovoln´em bodˇe (x0 , y0 ) z definiˇcn´ıho oboru
funkce f Taylorov´
ym polynomem druh´eho stupnˇe.
1
1
f (x, y) ≈ ln(x0 + y0 ) +
(dx + dy) −
(dx + dy)2
x0 + y0
2(x0 + y0 )
x
v libovoln´em bodˇe (x0 , y0 ) z definiˇcn´ıho oboru funkce f
y
Taylorov´
ym polynomem druh´eho stupnˇe.
x0
ydx − xdy
−xy(dx)2 + (x2 − y 2 )dx dy + xy(dy)2
f (x, y) ≈ arctg
+
+
y0
x20 + y02
(x20 + y02 )2
48) Aproximujte funkci f (x, y) = arctg
49) Aproximujte funkci f (x, y) =
druh´eho stupnˇe.
p
1 − x2 − y 2 v okol´ı bodu O(0, 0) Taylorov´
ym polynomem
[f (x, y) ≈ 1 −
50) Vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe hodnotu v´
yrazu
1
(dx)2 + (dy)2 ]
2
p
4, 012 + 2, 992 pomoc´ı Taylorova rozvoje 2. stupnˇe.
[5, 002015]
51) Jak se zmˇen´ı (pˇribliˇznˇe) d´elka pˇrepony pravo´
uhl´eho troj´
uheln´ıka s odvˇesnami o rozmˇerech 7, 5
cm a 18 cm, zvˇetˇs´ı-li se obˇe odvˇesny o 1 mm?
[zvˇetˇs´ı se pˇribliˇznˇe o 1, 3 mm]
52) Rotaˇcn´ı v´alec m´a polomˇer podstavy r = 20 cm a v´
yˇsku v = 1 m. Jak se zmˇen´ı (pˇribliˇznˇe) jeho
objem, zvˇetˇs´ı-li se polomˇer r o 2, 5% a zmenˇs´ı-li se v´
yˇska o 2% ? [zvˇetˇs´ı se pˇribliˇznˇe o 1200π cm3 ]
53) M´
a funkce z =
p
3
aln´ı diferenci´
al v bodˇe O(0, 0)?
x2 + y 2 tot´
[ nem´
a]
54) Najdˇete skuteˇcn´
y pˇr´ır˚
ustek ∆z a tot´
aln´ı diferenci´
al dz funkce z = 3x2 +xy −y 2 +1 v bodˇe (1, 2)
(a porovnejte je) v pˇr´ıpadech a) dx = 1, dy = 2, b) dx = 0, 1, dy = 0, 2, c) dx = 0, 01, dy =
0, 02.
[a) ∆z − dz = 1, b) ∆z − dz = 0, 01, c) ∆z − dz = 0, 0001]
55) Derivujte implicitnˇe zadan´e funkce z(x, y)
a) z 3 − 3xyz = 8
b) x2 + y 2 + z 2 − 2xyz − 4 = 0
29
a) zx′ =
xz
yz − x ′
xz − y
yz
, z′ = 2
, b) zx′ =
, z =
z 2 − xy y
z − xy
z − xy y
z − xy
56) Vypoˇctˇete parci´
aln´ı derivace zx′ , zy′ v bodˇe A(1, 1, 1) funkce 4x2 +2y 2 −3z 2 +xy −yz +x−4 = 0.
10 ′
4
zx′ =
, zx =
7
7
p
57) a) Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny (p˚
ul)kulov´e plochy z = f (x, y) = − 4 − x2 − y 2 √
v jej´ım bodˇe
T (1, 1, ?).
[τ : x + y − z 2 − 4 = 0]
b) Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny plochy f (x, y) = sin(x + y) + cos(x − y) v jej´ım bodˇe T ( π2 , π2 , ?).
[τ : x + y + z − π − 1 = 0]
58) Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny a norm´aly dan´
ych ploch z(x, y) v dan´
ych bodech:
y
b) z = arctg , T (1, 1, π4 )
x
a) z = x2 − 2xy + y 2 − x + 2y, T (1, 1, 1)
[a) x − 2y + z = 0, n : x = 1 + t, y = 1 − 2t, z = 1 + t]
b) x − y + 2z − π2 = 0, n : x = 1 + t, y = −t, z = π4 + 2t
59) Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny grafu funkce z =
2x − 3y − z + 9 = 0.
x
tak, aby teˇcn´a rovina byla rovnobˇeˇzn´a s rovinou
y
[τ : 4x − 6y − 2z + 3 = 0]
60) Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny grafu funkce z = x2 − y 2 tak, aby teˇcn´a rovina byla rovnobˇeˇzn´a s
rovinou σ : 4x − y + 2z − 10 = 0.
[τ : 32x − 8y + 16z + 15 = 0]
61) Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny a norm´
aly v dan´em bodˇe T n´
asleduj´ıc´ıch ploch zadan´
ych implicitnˇe:
a) x2 + y 2 + z 2 − 49 = 0 v bodˇe T (2, −6, −3)
b) x2 + y 2 + z 2 − 4x + 6y − 8z − 1 = 0 v bodˇe T (1, 2, 2)
c) 3x4 − 4x3 z + 4xyz 2 − 4y 3 z + 1 = 0 v bodˇe T (1, 1, 1)
[a) 2x − 6y − 3z − 49 = 0, n : x = 2 + 2t, y = −6 − 6t, z = −3 − 3t]
[b) x − 5y + 2z − 5 = 0, n : x = 1 + t, y = 2 − 5t, z = 2 + 2t]
c) 3x − 2y − 2z + 1 = 0 x = 1 + 3t, y = 1 − 2t, z = 1 − 2t]
62) Ukaˇzte, ˇze plochy x2 + y 2 + z 2 = x a x2 + y 2 + z 2 = y jsou ortogon´aln´ı.
63) K n´
asleduj´ıc´ım ploch´
am z(x, y) najdˇete teˇcnou rovinu rovnobˇeˇznou s danou rovinou σ:
b) x2 + 3y 2 + z 2 = 1, σ : 2x + 4y + z = 0
a) xyz = 1, σ : x + y + z = 0
[a) x + y + z − 3 = 0, b) 6x + 12y + 3z ±
30
√
31 = 0]
64) Vypoˇctˇete z ′ (t), je-li z = ex−2y , kde x = sin t, y = t3 .
3
[z ′ (t) = esin t−2t (cos t − 6t2 )]
65) Vypoˇctˇete z ′ (x), je-li z = e2u+3v , kde u = sin x, v = x3 .
3
[z ′ (x) = e2 sin x+3x (2 cos x + 9x2 )]
66) Najdˇete z ′ (x), je-li z = sin(3u + 2v − 4w), kde u = 2x3 , v = 3x2 , w = x4 .
cos(6x3 + 6x2 − 4x4 ) · (18x2 + 12x − 16x3 )]
[z ′ (x) =
67) Najdˇete parci´
aln´ı derivace zx′ , zy′ , je-li z = u2 + v 3 , kde u = x sin y, v = x cos y.
[zx′ = x(2 sin2 y + 3x cos2 y), zy′ = x2 sin y cos y · (2 − 3x)]
68) Zjistˇete, kter´e z bod˚
u B, C v uk´
azkov´em pˇr´ıkladu (1.1.5) jsou stacion´arn´ı body dan´
ych funkc´ı.
[a), e)- bod B]
69) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce
a) f (x, y) = 1 + 6y − y 2 − xy − x2
b) f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − 2y
c) f (x, y) = x3 + y 3 − 18xy + 215
d) f (x, y) = e−x
2
−y 2
(2y 2 + x2 )
e) f (x, y) = 27x2 y + 14y 3 − 69y − 54x
f) f (x, y) = sin x + cos y (trochu obt´ıˇznˇejˇs´ı)
1
1
g) f (x, y) = ln x + ln y + +
x y
[ a) v bodˇe A(4, −2) . . . fmax = 13, b) nen´ı extr´em , c) minimum v bodˇe A(6, 6) . . . fmin = −1]
d) v bodˇe A(0, 0) . . . fmin = 0, v bodech B(0, 14), C(0, −1) . . . fmax = 2e
π
2
[e) v bodˇe A(1, 1) . . . fmin = −82, v bodˇe B(−1, −1) . . . fmax = 82]
π
+
2kπ,
(2l
+
1)π
.
.
.
f
=
2,
lok.
minima
v
bodech
f ) lok. maxima
v
bodech
max
2
+ (2k + 1)π, 2lπ . . . fmin = −2, k, l cel´
a ˇc´ısla, g) lok´aln´ı minimum v bodˇe A(1, 1), fmin = 2
70) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı
a) z = x2 + (y − 1)2
b) z = xy
c) z = 2xy − 3x2 − 2y 2 + 10
d) z = x2 − xy + y 2 − 2x + y
e) z = x2 −xy+y 2 +3x−2y+1
f) z = x3 + y 3 − 3xy
[a) min = (0, 1, 0), b) nen´ı extr´em, c) max = (0, 0, 10), d) min = (1, 0, −1)]
e) min = − 34 , 13 , − 34 , f ) min = (1, 1, −1)
31
71) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı
√
a) z = 3x2 − 2x y + y − 8x + 8
2
e) z = xy +
2
b) z = e−(x +y )
c) z = 3 ln x + xy 2 − y 3
x
d) z = e 2 x + y 2
50 20
+
pro x > 0, y > 0
x
y
f) z = 2x3 − xy 2 + 5x2 + y 2
a) min = (2, 4, 0), b) max = (0, 0, 1), c) nen´ı extr´em , d) min = (−2, 0, − e2 )
[e) min = (5, 2, 30), f ) min = (2, 1, −7)]
72) Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı
√
a) z = x3 −6xy −6x+6y +3y 2 b) z = y x − y 2 − x + 8y
c) z = x2 + y 2 + z 2 = 25
[a) min = (2, 1, −7), b) min = (4, 4, 12), c) max = (0, 0, 5), min = (0, 0, −5)]
73) Najdˇete v´azan´
y extr´em funkce s danou vazbou g(x, y)
a) f (x, y) = xy − x + y − 1, g(x, y) = x + y − 1 = 0
b) f (x, y) = (y − x − 2)2 , g(x, y) = y − 2x = 0
1
1
c) f (x, y) = 4x + 4y − 3, g(x, y) = + − 2 = 0
x y
1
1
d) f (x, y) = x + y, g(x, y) = 2 + 2 − 1 = 0
x
y
e) f (x, y) = ln(xy), g(x, y) = x2 + y 2 − 2 = 0
a) v bodˇe A(− 21 , 23 ), fmax = f (A) = 41 , b) v´azan´e lok. minimum fmin = 0 v bodˇe A(2, 4)
[c) v´azan´e lok. minimum fmin = 5 v bodˇe A(1, 1)]
√
√
√
√ √ √
d) v´azan´e lok. extr´emy fmin = f ( 2, 2) = 2 2 fmax = f (− 2, − 2) = −2 2
√
√
1
e) v´azan´e lok.minimum fmin = − v bodech A( 313 , 23 ), B(− 313 , 32 )
3
74) Najdˇete absolutn´ı extr´emy funkce na dan´e mnoˇzinˇe M .
a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 na mnoˇzinˇe M : y ≥ x2 ∧ y ≤
√
x
b) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x− 3y na mnoˇzinˇe M : x ∈ h−1, 1i∧(y = x∨y = −x) (dvojice navz´
ajem
kolm´
ych u
´seˇcek)
c) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 3y na mnoˇzinˇe M = △P QR, P (−1, 0), Q(1, 0), R(1, 1)
d) f (x, y)
= x − 2y + 1 na mnoˇzinˇe W x ∈ h− π2 , 0i ∧ sin x ≤ y ≤ 0
M = x ∈ h0, π2 i ∧ 0 ≤ y ≤ sin x
[a) fmax = f (1, 1) = 3, fmin = f (0, 0) = 0, b) fmax = f (−1, −1) = 4, fmin = f (1, 1) = −4]
[c) fmin = f (1, 1) = −4, fmax = f (−1, 0) = 2]
i
h
√
√
d) fmax = f (− π3 , 23 ) = − π3 + 3 + 1, fmin = f (− π2 , 1) = − π2 − 1
32
75) Urˇcete rozmˇery (r, v) otevˇren´e v´alcov´e n´
adoby (bez v´ıka) s dan´
ym (konstantn´ım) objemem V0
tak, aby jej´ı povrch S byl minim´
aln´ı.
N´
avod: lze pouˇz´ıt dosazovac´ı metody i metody Lagrangeovy funkce.
"
r #
r
V0
3 V0
, r= 3
v=
π
π
76) Na parabole y = x2 najdˇete bod, kter´
y m´a od bodu M (3, 1) nejmenˇs´ı vzd´
alenost.
N´
avod: Hledejte v´azan´e lok´aln´ı minimu funkce d(x, y) (vzd´alenost dvou bod˚
u) s vazbou g(x, y) =
x2 − y = 0. Pro ˇreˇsen´ı kubick´e rovnice lze pouˇz´ıt napˇr´ıklad program Maple (nebo vhodnou numerickou metodu).
.
[A(1, 371; 1, 879), dmin = 1, 593]
77) Najdˇete v´azan´e lok´aln´ı extr´emy funkc´ı s danou vazbovou podm´ınkou g(x) = 0
a) z = exy , g(x, y) = x + y − 1 = 0
1
1 1
b) z = x + y, g(x, y) = + − = 0
x y 2
c) z = xy, g(x, y) = 4x2 + y 2 − 8 = 0
d) z = x + y, g(x, y) = x2 + y 2 − 4 = 0
e) z = exy , g(x, y) = x2 + y 2 − 2 = 0
f) z = 2x2 + 4y 2 , x2 − y = 0
[a) max = ( 21 , 21 , e1/4 ), b) min = (4, 4, 8), c) max1 = (1, 2, 2), max2 = (−1, −2, 2), min1 =
√
√
√
√ √ √
(−1, 2, −2), min2 = (1, −2, −2), d) max = ( 2, 2, 2 2), min = (− 2, − 2, −2 2)]
[e) max1 = (1, 1, e), max2 = (−1, −1, e), min1 = (1, −1, e−1 ), min2 = (−1, 1, e−1), f ) min =
(0, 0, 0)]
78) Najdˇete glob´aln´ı maximum a minimum n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı z(x, y) na dan´
ych kompaktn´ıch
mnoˇzin´
ach:
a) z = x − 2y − 3, M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
b) z = x2 − xy + y 2 , M : |x| + |y| ≤ 1
c) z = 8x3 + 8y 3 − 6xy − 1, M je ˇctverec ohraniˇcen´
y pˇr´ımkami x = 0, x = 2, y = 1, y = −1
d) z = x − 2y − 3 v mnoˇzinˇe M ohraniˇcen´e pˇr´ımkami x = 0, y = 0, y = 1 − x
π
π
e) z = sin x + sin y + sin(x + y), 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤
2
2
√
[a) zmax = −2, zmin = −5, b) zmax = 1, zmin = 0, c) zmax = 65 + 4 2, zmin = −7]
√
3 3
[d) zmax = −2, zmin = −5, e) zmax =
, zmin = 0]
2
33
2
2.1
Integr´
aln´ı poˇ
cet funkc´ı v´ıce promˇ
enn´
ych
ˇ sen´
Reˇ
eu
´ lohy
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.1. Zobrazte n´
asleduj´ıc´ı oblasti:
1) Ω : x ≤ y ≤ x + 2 ∧ −x ≤ y ≤ − 21 x + 2.
y
√
2) Ω : x ≤ y ≤ x 3 ∧ 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4
y
2
2
−2 −1
1
2
−2 −1
x
1
2
x
−2
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.2. Zobrazte n´
asleduj´ıc´ı oblasti:
2) Ω : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ∧ 2y + x − 2 ≥ 0.
y
1) Ω : x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 ∧ y ≤ 4 − x.
y
4
2
2
−2
2
4
x
2
−2
x
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.3. Zobrazte n´
asleduj´ıc´ı oblasti:
1) Ω = h−1, 1i × h0, 2i.
2) Ω : y ≥ x2 ∧ x2 + y 2 ≤ 2.
y
y
2
−1
1
2
x
34
−2 −1
1
x
2
Element´
arn´ı oblast
Ω typu (xy)
Mnoˇzina bod˚
u [x, y] ∈ R × R takov´a, ˇze
a ≤ x ≤ b ∧ ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x) pro ∀x ∈
ha, bi.
y
3
ψ(x)
ϕ(x)
a
Element´
arn´ı oblast
Ω typu (yx)
Mnoˇzina bod˚
u [y, x] ∈ R × R takov´a, ˇze
c ≤ y ≤ d ∧ ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) pro ∀y ∈
hc, di
3
b
4
x
y
d
c
ϕ(y)
ψ(y)
x
4
Ω = ha, bi × hc, di
obd´
eln´ık
Rb
RR
Rd
f (x, y) dy
f (x, y) dΩ =
a
c
!
Rd Rb
f (x, y) dx dy,
Ω
c
!
y
d
dx =
c
a
a
x
4
b
z
Ω = ha, bi× hc, di×
he, f i
kv´
adr
RRR
Ω
"
f (x, y, z) dΩ
Rb Rd Rf
a
c
=
f (x, y, z) dz
e
!
#
dy dx
a podobnˇe dalˇs´ı moˇzn´a poˇrad´ı integrace.
y
x
Tabulka 3:
y
Dirichletova vˇeta
Ω = ha, bi × hc, di
Je-li f (x, y) = g(x) · h(y), pak
Rd
Rb
RR
f (x, y) dΩ = g(x) dx · h(y) dy
Ω
d
c
c
a
a
x
4
b
z
Dirichletova vˇeta
Ω = ha, bi× hc, di×
he, f i
Je-li f (x, y, z) = g(x) · h(y) · k(y), pak
Rd
Rb
RR
f (x, y, z) dΩ = g(x) dx · h(y) dy ·
Ω
Rf
a
c
k(z) dz
e
Tabulka 4:
35
x
y
Fubiniova vˇeta I
Ω je oblast typu
(xy)
dvojn´
y integr´
al
RR
f (x, y) dx dy =
Rb
a
Ω
ψ(x)
R
y
3
!
dy dx
ϕ(x)
ψ(x)
ϕ(x)
a
Fubiniova vˇeta II
Ω je oblast typu
(yx)
dvojn´
y integr´
al
RR
f (x, y) dx dy =
Rd
c
Ω
ψ(y)
R
3
!
dx dy
ϕ(y)
b
4
y
d
c
ϕ(y)
ψ(y)
4
Fubiniova vˇeta III
Ω je norm´
aln´ı oblast vzhledem k
rovinˇe (xOy)
trojn´
y integr´
al
RRR
f (x, y, z) dx dy dz
Ω
RR
P
ψ(x,y)
R
=
!
f (x, y, z) dz dx dy
̺(x,y)
a podobnˇe vzhledem k rovin´am xOz
resp. yOz.
Tabulka 5:
Jakobi´
an zobrazen´ı
x = f (u, v)
y = g(u, v)
Jakobi´
an zobrazen´ı
x = f (u, v, w)
y = g(u, v, w)
z = h(u, v, w)
J(u, v) =
fu′
gu′
J(u, v, w) =
Tabulka 6:
36
x
fv′
gv′
fu′
gu′
h′u
fv′
gv′
h′v
fw′
′
gw
h′w
x
Velikost oblasti Ω ⊂ R × R
Obsah rovinn´
eho obrazce
|Ω| =
RR
Velikost oblasti Ω ⊂ R × R × R
Objem tˇ
elesa
|Ω| =
RR R
Objem tˇelesa nad“ oblast´ı Ω omezen´eho shora“
”
”
plochou f (x, y)
V =
Hmotnost tˇelesa T omezen´eho oblast´ı Ω ⊂ R × R ×
R s hustotou ̺(x, y, z)
m=
1.dx dy
(Ω)
1.dx dy dz
(Ω)
RR
f (x, y) dx dy
(Ω)
RR R
(Ω)
̺(x, y, z) · dx dy dz
Tabulka 7:
y
Transformace
do
pol´
arn´ıch
souˇradnic
dvojn´
y integr´
al
Transformace
do cylindrick´
ych
souˇradnic
trojn´
y integr´
al
(x, y) (ϕ, ̺)
y
x = ̺ cos ϕ
̺
y = ̺ sin ϕ
ϕ
Jakobi´
an J(̺, ϕ) = ̺
x
oz
x = ̺ cos ϕ
y = ̺ sin ϕ
(x, y, z)
(̺, ϕ, t)
z=t
y
Jakobi´
an J(̺, ϕ, z) = ̺
x
ϕ
ox
Transformace
do
sf´erick´
ych
souˇradnic
trojn´
y integr´
al
x
oy
̺
oz
x = ̺ cos ϕ sin ϑ
y = ̺ sin ϕ sin ϑ
z = ̺ cos ϑ
Jakobi´
an J(̺, ϕ, ϑ) = ̺2 sin θ
Tabulka 8:
37
ϑ ̺
x ϕ
ox
y z)
(x, y,
(̺, ϕ, ϑ)
oy
z
Parabolick´a plocha
s vrcholem (0, 0, 0),
v´
yˇskou v a polomˇerem podstavy
R
v
f (x, y) = (x2 + y 2 )
R
x
y
z
Parabolick´a plocha
s vrcholem (0, 0, v),
v´
yˇskou v a polomˇerem podstavy
R (v rovinˇe (xOy)
.))
v
f (x, y) = v − (x2 + y 2 )
R
x
y
Tabulka 9:
z
Kulov´a plocha se
stˇredem (0, 0, 0),
polomˇerem R
p
− y 2 (”horn´ı”)
f (x, y) =
R2 − x2 p
resp. f (x, y) = − R2 − x2 − y 2
(”doln´ı”)
x
Kuˇzelov´a plocha s
vrcholem (0, 0, 0),
v´
yˇskou v a polomˇerem podstavy
R
y
z
vp 2
f (x, y) =
x + y2
R
x
Kuˇzelov´a plocha s
vrcholem (0, 0, v),
v´
yˇskou v a polomˇerem podstavy
R v rovinˇe (xOy)
z
vp 2
f (x, y) = v −
x + y2
R
x
Tabulka 10:
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.4. Integrujme pˇres dan´e oblasti:
RR
a)
(3 − x − y)dx dy, kde Ω =
(Ω)
38
y
y
h0, 2i × h1, 3i.
Oblast Ω je obd´eln´ık, proto
RR
(Ω)
(3 − x − y)dx dy =
R2 R3
0
1
(3 − x − y) dy
dx =
R2
dx = (2 − 2x) dx = [2x − x2 ]x=2
x=0 = 0.
0
0
R3 R2
RR
Nebo v opaˇcn´em poˇrad´ı:
(3 − x − y)dx dy =
(3 − x − y)dx dy =
R2 3y − xy − 21 y 2
R3 h
1
3x −
2
x
2
− xy
y=3
y=1
ix=2
x=0
1
(Ω)
R3
0
y=3
dy = (4 − 2y) dy = 4y − y 2 y=1 = 3 − 4 + 1 = 0.
1
Vysvˇetlete, proˇc je v´
ysledek I = 0.
RR
b)
(x · sin y)dx dy, kde Ω = h0, 1i × h0, π2 i.
(Ω)
Lze integrovat podobnˇe jako v pˇredchoz´ı u
´loze (dvˇe moˇznosti) nebo podle Dirichletovy vˇety:
π
h 2 i2
π
R2
RR
R2
(x · sin y)dx dy = x dx · sin y dy = x2 · [− cos y]02 = 2.1 = 2.
(Ω)
0
0
0
Geometricky: Objem tˇelesa (zakˇriven´eho hranolu“) s podstavou Ω shora omezen´eho plochou
”
f (x, y) = x · sin y.
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.5. Integrujme pˇres danou oblast
RR
(Ω)
5dx dy, kde Ω : x ≥ 0 ∧
0 ≤ y ≤ 2 ∧ y ≤ 4 − x.
Oblast Ω je typu (yx) - viz
azkov´
y pˇr´ıklad (2.1.2)
! Uk´
2
R2 4−y
R
RR
R2
R2
y2
= 5.6 = 30.
5dx dy =
5 dx dy = 5 [x)]4−y
dy
=
5
(4
−
y
−
0)
dy
=
5
4y
−
0
2 0
0
0
0
0
(Ω)
Geometricky: Objem hranolu s lichobˇeˇzn´ıkovou podstavou Ω a v´
yˇskou 5.
y
4
2
2
4
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.6. Integrujme pˇres dan´e oblasti:
x
RR
(Ω)
0 ≤ y ≤ x ∧ 0 ≤ y ≤ 2 − x.
Oblast Ω je element´
arn´ı oblast typu (yx). Proto
RR
(Ω)
(x2 + y 2 )dx dy, kde Ω : 0 ≤ x ≤ 2 ∧
(x2 + y 2 )dx dy =
R1
0
2−y
R
(x2 + y 2 )dx
y
2−y
R1 x3
+ y2x
dy =
3
0
y
R1 (2 − y)3
y3
8
4 2
4
+ y 2 (2 − y) −
− y 3 dy =, po kratˇs´ım v´
ypoˇctu = − 2 + − = .
3
3
3
3 3
3
0
Lze ˇreˇsit i jinak:
39
!
dy =
Rozdˇel´ıme oblast Ω na dvˇe ˇca´sti a integr´al vypoˇcteme v kaˇzd´e ˇca´sti zvl´aˇst. V oblasti Ω1 : 0 ≤ x ≤ 1
R1 Rx 2
RR 2
R1 2
3
[x y + y3 ]x0 dx =
(x + y 2 )dx dy =
je y ≤ x (typ (xy) i (yx)). I1 =
(x + y 2 )dy dx =
0 0
0
Ω
3
R1
x
1
x3 +
dx = .
3
3
0
R2 2−x
R
RR 2
RR 2
(x + y 2 )dx dy =
I1 =
(x2 + y 2 )dy dx = 1 (po kratˇs´ım v´
ypoˇctu). Nakonec je
(x +
Ω
1
0
(Ω)
1
4
y )dx dy = I1 + I2 = + 1 = .
3
3
Geometricky: Objem hranolu“ s troj´
uheln´ıkovou podstavou Ω shora zakˇrivenou parabolickou
”
plochou f (x, y) = x2 + y 2 .
2
y
1
1
2
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.7. Integrujme pˇres dan´e oblasti:
RR y
a)
x dx dy, kde Ω : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 1 ≤ y ≤ 3.
x
(Ω)
Oblast Ω je norm´
aln´ı oblast typu (xy) i typu (yx).
Integrujme jako oblast typu (yx):
R3 2y+1
R3 R2 y
RR y
R3 xy+1 2
1 R3 y+1
1
1 3
dy =
dy =
x dx dy =
−
x dx dy =
2
dy − [y]1 =
3
2
31
2
1
1
1
1 y+1 1
(Ω)
y+1 3
1
4
1 2
−1=
(24 − 22 ) − 1 =
− 1.
3 ln 2 1
3 ln 2
ln 2
Integrujme jako oblast typu (xy):
R2 x3
R2 R3 y
RR y
R2 xy 3
x
dx. Posledn´ı integr´aly vˇsak
dx =
−
x dx dy =
x dy dx =
ln x ln x
1
1
1
1 ln x 1
(Ω)
neum´ıme element´
arn´ımi prostˇredky vyˇreˇsit.
y
3
2
1
1
40
2
x
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.8. Integrujme pˇres dan´e oblasti:
RRR
a)
1 dx dy dz, kde Ω : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 4 − x − y.
(Ω)
Ω je norm´
aln´ı oblast vzhledem k (xOy).(Obr.)
!
4−x−y
RRR
RR
R
RR
RR
Je tedy
1 dx dy dz =
dz dP =
[z]4−x−y
dP =
(4 − x − y)dP .
0
(Ω)
0
(P )
(P )
(P )
Integr´al pˇres P je snadn´
y:
2
R1
R1 R2
RRR
R1
y2
dx = (6 − 2x)dx = [6x −
4y − xy −
1 dx dy dz =
(4 − x − y) dy dx =
2 0
0
0
0
0
(Ω)
x2 ]10 = 5.
Geometricky: Naˇsli jsme objem zkosen´eho ˇctyˇrbok´eho hranolu s podstavou |Ω|.
z
y
x
b)
RRR
(Ω)
xyz dx dy dz , kde Ω : 0 ≤ z ≤ 2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x + y ≤ 2.
Oblast Ω (trojbok´
y hranol) je norm´aln´ı oblast vzhledem k xOy.
2
RR
RRR
RR R2
RR
z2
dT =
2xy dx dy =
Proto
xyz dx dy dz =
xy
xyz dz dT =
2
0
T
T
T
(Ω)
0
2
R2 2−x
R
R2
R2 x4
x3
4
2xy dy dx = x(2 − x)2 dx =
− 4 + 2x2 = .
4
3
3
0
0
0
0
0
z
rovina z = 2
pˇr´ımka x + y = 2
y
x
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.9. Vypoˇctˇeme hmotnost tˇelesa tvaru kv´adru o hran´
ach a, b, c ve dvou
pˇr´ıpadech:
A) Hustota σ je konstantn´ı, tj. σ(x, y, z) = konst.
Oblast Ω je dan´
y kv´adr o hran´
ach a, b, c, tj. Ω : h0, ai × h0, bi × h0, ci (obr.)
Ra Rb Rc
RRR
RRR
Hmotnost m =
σ(x, y, z) · dΩ = σ
σ(x, y, z) · dx dy dz = σ
dx dy dz =
(Ω)
(podle Dirichletovy vˇety) σ
(Ω)
Ra
0
dx
Rb
0
dy
Rc
0
41
0 0 0
dz = σ[x]a0 · [y]b0 · [z]c0 = σabc.
z
c
x
b
y
a
B) Hustota σ nen´ı konstantn´ı, ale σ(x, y, z) roste line´arnˇe ve smˇeru osy z (tj. hrany c - viz obr.)
tak, ˇze hustota pro z = 0 je σ(0) = σ1 a pro z = c je σ(c) = σ2 . (Viz obr.)
1
Line´arn´ı z´
avislost σ(z) dostaneme snadno dosazen´ım do σ = k·z+q. Je zˇrejmˇe σ = σ2 −σ
·z+σ1 .
c
D´ale obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu a). Hmotnost
Ra Rb Rc σ2 −σ1
RRR
m=
σ(x, y, z) · dΩ =
[ c · z + σ1 ] dz dx dy =
0 0
(Ω)
0
c Ra Rb
(σ2 − σ1 )c
dx dy =
+ σ1 · c
dx dy =
2
0 0
0 0
0 !
b !
Ra
Ra Rb (σ2 − σ1 )c
(σ2 − σ1 )c
dx =
+ σ1 · c] dy dx =
· y + σ1 · c · y
[
2
2
0
0
0
0
a
Ra (σ2 − σ1 )cb
(σ2 − σ1 )cb
+ σ1 · c · b dx =
· x + σ1 · c · bx =
2
2
0
0
σ2 + σ1
(σ2 − σ1 )cba
+ σ1 · c · ba =
abc.
2
2
Ra Rb
σ2 −σ1
c
2
·
z
+ σ1 · z
2
σ
σ=
σ2 −σ1
c
· z + σ1
σ2
σ1
z
c
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.10. Integrujme pˇres dan´e oblasti:
R R −(x2 +y2 )
a)
e
dx dy, kde oblast Ω : x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ x ∧ y ≥ 0.
(Ω)
Protoˇze oblast Ω je ˇca´st kruhu o polomˇeru polomˇeru 1, zvol´ıme transformaci do pol´arn´ıch
souˇradnice. Jakobi´
an je J(̺, ϕ) = ̺. Je tedy I =
R1 Rπ
2
2
2
̺e−̺ (cos ϕ+sin ϕ) · d̺ · dϕ =
̺=0 ϕ= π
4
Rπ R1
̺=0
ϕ= π
4
1
2 (1
2
̺e−̺ · d̺ · dϕ = (*)
π
− 1e ) [ϕ] π =
4
Rπ
ϕ= π
4
3π(e − 1)
.
8e
2
[− 21 e−̺ ]10 dϕ = − 21
Rπ
ϕ= π
4
(*) Integr´
al ˇreˇs´ıme substituc´ı −̺2 = z ⇒ dz = −2̺ · d̺ ⇒
Graf funkce f (x, y) = e−(x
sov´
ych kˇrivek.
2
+y 2 )
R
(e−1 − e0 )dϕ = 21 (1 − 1e )
2
̺e−̺ · d̺ =
R
Rπ
dϕ =
ϕ= π
4
2
ez (− 12 )dz = − 12 e−̺ .
ˇ
je na obr´
azku. fmax = f (0, 0) = 1. Rezov´
e kˇrivky jsou grafy Gaus-
42
z
y
1
−1
1
x
−1
b)
RR
(Ω)
y
x
(x + y + 4) dx dy, kde oblast Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4.
Pol´arn´ı souˇradnice.
1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 4 ⇒⇒ 1 ≤ ̺2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺ ≤ 2.
V pol´
arn´ıch souˇradnic´ıch jsou tedy meze: 1 ≤ ̺ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. (Oblast Ω se tedy transformovala do Ω∗ : ̺ ∈ h1, 2i, ϕ ∈
R Rh0, 2πi).
Odtud uˇz snadn´a integrace:
(x + y + 4) dx dy =
(Ω)
R 2 R 2π
̺(̺
cos
ϕ
+
̺
sin
ϕ
+
4)
dϕ
d̺ =
1
0
R 2 R 2π 2
d̺ =
[̺ sin ϕ − ̺2 cos ϕ + 4̺ϕ]2π
0
1
0
R2 2
R2
̺2
[̺ · 0 − ̺2 · cos 2π + 8π̺ − ̺2 · 0 + ̺2 cos 0 − 0] d̺ = 1 (+8π̺) d̺ = 8π[ ]21 = 12π.
1
2
Geometricky: Objem tlustostˇenn´eho v´alce shora ˇsikmo seˇr´ıznut´eho danou rovinou.
y
y
2
6
Ω
Ω∗
3
−2 −1
1
2
x
1
−2
c)
RR
(Ω)
1 dx dy, kde oblast Ω : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥
2
3
x
1
.
2
Pol´arn´ı souˇradnice. Jakobi´
an J = ̺.
Z podm´ınky x2 + y 2 ≤ 1 plyne ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 1 ⇒ ̺ 6= 1.
1
1
1
Z podm´ınky y ≥ plyne ̺ sin ϕ ≥ ⇒ ̺ ≥
.
2
2
2 sin ϕ
√
√
1
1
3
3
1
2
2
,y = a x = −
, y = . Tˇemto
Pr˚
useˇc´ık kruˇznice x + y = 1 a pˇr´ımky y = je x =
2
2
2
2
2
π
5π
bod˚
um odpov´ıdaj´ı hodnoty ϕ = resp. ϕ =
. Transformovan´a oblast Ω∗ je tedy vymezena
6
6
π
5π
1
podm´ınkami ≤ ϕ ≤
a
≤ ̺ ≤ 1. Odtud integrace:
6 
6
2sin ϕ
5π
5π 5π
5π
RR
R1
R6
1 R6
1 R6
1
1 R6
1


̺ d̺ dϕ =
dϕ =
1 dx dy =
dϕ =
1−
dϕ −
2
2 π
2 π
8 π sin2 ϕ
π
4 sin ϕ
1
(Ω)
6
6
6
6
2 sin ϕ
43
√
5π
√
√
1 5π
3
1
π
π
1
6
6
[ϕ] π + [cotg ϕ] π = + .(− 3 − 3) = −
6
2 6
8
3
8
3
4
y
̺
̺=
Ω
1
y=
√
√
− 23
3
2
−1
1
1
2 sin ϕ
1
1
2
Ω∗
x
π
6
5π
6
ϕ
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.11. Integrujme pˇres dan´e oblasti:
p
RRR
a) Vypoˇctˇeme
1 · dx dy dz. Oblast Ω : z ≤ 1 − x2 + y 2 , z ≥ 0.
(Ω)
Oblast Ω je omezena kuˇzelovou plochou s podstavou v rovinˇe xOy (kruh o polomˇeru 1).
Pouˇp
zijeme transformace
ych souˇradnic.
p do cylindrick´
p Je
1 − x2 + y 2 = 1 − ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ = 1 − ̺2 = 1 − ̺ ⇒ 0 ≤ z ≤ 1 − ̺.
x2 + y 2 ≤ 1 ⇒ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 1 ⇒ ̺2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ̺ ≤ 1.
Oblast Ω se transformovala do oblasti Ω∗ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π; 0 ≤ ̺ ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1 − ̺. Jakobi´
an
J = ̺. Proto
! !
2π
2π
R R1 1−̺
R
RRR
R R1
1−̺
1 · dx dy dz =
̺dz d̺ dϕ =
[̺z]0 d̺ dϕ =
0
(Ω)
2π
R
0
1
R
0
̺(1 − ̺) d̺
0
dϕ =
0
2π
R
0
0
2
3 1
̺
̺
−
2
3
dϕ =
0
2π
R
0
0
1
1
2π
π
dϕ = [ ϕ]2π
=
= .
6
6 0
6
3
Geometricky: Objem tˇelesa vymezen´eho oblast´ı Ω, tj. objem kuˇzele.
b) Vypoˇctˇeme
RR R
(Ω)
1 · dx dy dz. Oblast Ω : z ≤
p
1 − x2 − y 2 , z ≥ 0.
Oblast Ω je omezena p˚
ulkulovou plochou s podstavou v rovinˇe xOy (kruh o polomˇeru 1).
Pouˇzijeme transformace do sf´erick´
ych souˇradnic. Je
z = ̺2 sin2 ϑ cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϑ sin2 ϕ + ̺2 cos2 ϑ = ̺2 (sin2 ϑ + cos2 ϑ) = ̺2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ̺ ≤ 1,
z ≥ 0 ⇒ ̺ cos ϑ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϑ ≤ π2 .
0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Oblast Ω se tedy transformovala do oblasti Ω∗ v uveden´
ych mez´ıch ̺, ϕ, ϑ. Jakobi´
an J =
̺2 · sin ϑ. Proto
1 !
!
2π
2π
R π/2
R R1 2
RRR
R π/2
R ̺3
1 · dx dy dz =
sin ϑ dϑ dϕ =
̺ · sin ϑ d̺ dϑ dϕ =
3
0
0
0
0
0
Ω
0
!
π2
2π
2π
2π
2π
R π/2
R 1
R 1
R
1
1
2π
dϕ =
− cos ϑ
sin ϑ dϑ dϕ =
dϕ =
ϕ
.
=
3
3 0
3
0
0 3
0 3
0
0
Geometricky: Objem tˇelesa vymezen´eho oblast´ı Ω, tj. objem polokoule.
44
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.12. Integrujme a)
RR R
(Ω)
1 · dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 − z ≤ 1, z ≤ 0.
V´
alcov´e souˇradnice: Ω : x2 + y 2 − z ≤ 1 ⇒ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ − z ≤ 1 ⇒ ̺2 − z ≤ 1 ⇒
z ≥ ̺2 − 1 ∧ z ≤ 0. Oblast Ω se tedy transformuje do oblasti Ω∗ : z ∈ h̺2 − 1, 0i, ̺ ∈ h0, 1i,
ϕ ∈ h0, 2πi.
Integrace uˇz je snadn´a":
! #
2π
R R1
R0
RR R
̺ dz d̺ dϕ =
1 · dx dy dz =
0
(Ω)
2π
R R1
0
̺2 −1
2π
R R1
̺ [z]0̺2 −1 d̺ dϕ =
̺(−̺2 + 1)d̺ dϕ =
0
0
1
0
0 4
2π
2π
2π
R 1
R R1
R
1 2π
̺2
π
̺
dϕ = [ϕ]0 =
dϕ =
− +
(−̺3 + ̺)d̺ dϕ =
4
2 0
4
4
2
0
0
0
0
z
y
x
b)
RR R
(Ω)
(x + y) · dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 − z ≤ 1.
Oblast Ω je stejn´a jako v pˇredchoz´ım
adnice.
ypoˇcet integr´alu je
" pˇr´ıkladu, opˇet v´alcov´e souˇr!
# V´
2π
1
0
R R
R
RR R
(̺ cos ϕ + ̺ sin ϕ)̺ dz d̺ dϕ =
obdobn´
y:
(x + y) · dx dy dz =
0
(Ω)
0
̺2 −1
1
2π
R R1
R
2
4
0
(cos ϕ + sin ϕ)(̺ − ̺ ) d̺ dϕ =
(̺ cos ϕ + ̺ sin ϕ)̺[z]̺2 −1 d̺ dϕ =
0
0
0
0
!
3
1
2π
R
R
̺
2 2π
̺5
2
(cos ϕ + sin ϕ)
dϕ =
−
[sin ϕ − cos ϕ]2π
(cos ϕ + sin ϕ) dϕ =
0 = 0
3
5 0
15 0
15
0
RR R
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 2.1.13. Integrujme
1 · dx dy dz, je-li Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, −1 ≤ z ≤ 1,
2π
R
(Ω)
y ≥ 0.
V´
alcov´e souˇradnice: 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺2 cos2 ϕ + ̺2 sin2 ϕ ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺2 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ ̺ ≤ 2
y ≥ 0 ⇒ ̺ sin ϕ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ π Oblast Ω se transformuje do oblasti Ω∗ : ̺ ∈ h1, 2i, ϕ ∈
h0, πi, z ∈ h−1, 1i, jakobi´
an J = ̺.
!
! !
RR R
Rπ
R2
R1
Rπ
R2
Integrace:
1 · dx dy dz =
̺ dz d̺ dϕ =
[̺ · z]1−1 d̺ dϕ =
ϕ=0 ̺=1 z=−1
ϕ=0 ̺=1
(Ω)
!
Rπ
R2
Rπ
Rπ
(
2̺ d̺ dϕ = [̺2 ]21 dϕ = 3 dϕ = [3ϕ]π0 = 3π.
ϕ=0
̺=1
0
0
45
2.2
1)
Cviˇ
cen´ı
x2
RR
x ln y dx dy, Ω : 1 ≤ y ≤ 3, x ≥ 0, x + y ≤ 3.
(Ω)
2)
(Ω)
3)
x
dx dy, Ω : x2 ≤ 2y, y ≤ x.
+ y2
RR
e dx dy,
RR
cos(x + y) dx dy,
RR
(2 + x − y) dx dy , Ω : y ≥ 0, x + y ≤ 2, x − y ≥ 0.
x
y
(Ω)
6)
Ω : 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1.
7)
dx dy, Ω : xy ≤ 1, 4x − y ≥ 0, 4y ≥ x.
RR
xy dx dy
RR
(4 − x − y) dx dy,
(Ω)
8)
Ω : y − x ≤ π, y ≤ π − x, y ≥ 0.
RR
(Ω)
(Ω)
9) a)
RR
xy dx dy, b)
RR
(Ω)
8
3
(Ω)
2 ln 2 +
45
32
[4]
Ω : x ∈ h0, 1i y ∈ h0, 2i.
[5]
x
dx dy,
y+1
je-li Ω : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
RR
[0]
Ω : y 2 − x2 ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 9, y ≥ 0, x ≥ 0.
(Ω)
10)
40
9
ln 3 −
2
9
2
(Ω)
5)
1
2
RR
(Ω)
4)
[ln 2]
1 1
a) , b) (ln 2 − 1)
4 2
1
dx dy, je-li Ω : x − 1 ≤ y ≤ x + 1, −x + 1 ≤ y ≤ −x + 3.
x+y
[ln 3]
11) Vypoˇctˇete dvojn´
asobn´e integr´aly a nakreslete jejich integraˇcn´ı oblasti:
a)
R1
0
b)
Rb
0
R2
dx xydy
0
Ra
√
xy dx
dy
0
c)
R2
π
R2
dx x sin y dy
d)
0
dx
R1
0
46
2
x dy
1 + y2
R1
0
0
1
R1
e)
f)
R2
1
R2
dx (x2 + y 2 )dy
1
dx
√
xR 3
xydy
x
4p
π
8
15
3
a) 1, b)
, e) , f )
(ab)3 , c) , d)
9
2
12
3
4
12) Vypoˇctˇete dvojn´
asobn´e integr´aly a nakreslete jejich integraˇcn´ı oblasti:
a)
R2
0
R2
dx (x2 + 2y 2 − 2x − 4y − 4) dy
b)
0
R2
1
Re
dx x ln y dy
1
3
a) 8, b)
2
13) Proved’te z´
amˇenu poˇrad´ı integrace pro libovolnou funkci z = f (x, y) spojitou a ohraniˇcenou v
pˇr´ısluˇsn´
ych integraˇcn´ıch mez´ıch :
a)
R2
1
R4
dx z dy
b)
3
R2
dx
a)
Re
c)
x
0
"
R2x
z dy
R4
1
R2
R2
dy z dx, b)
3
dx
1
dy
0
Ry
R4
2
z dy
0
z dx + dy
y/2
ln
Rx
R2
z dx, c)
R1
dy
0
y/2
Re
#
z dx
ey
14) Proved’te z´
amˇenu poˇrad´ı integrace pro libovolnou funkci z = f (x, y) spojitou a ohraniˇcenou v
pˇr´ısluˇsn´
ych integraˇcn´ıch mez´ıch :
a)
R1
0
b)
R1
Rx
R2 2−x
R
dx z dy + dx
z dy
0
dx
0

1
c)
0
d)
z dy
a)
0
dy
R1
0
x2
2−y
R
z dx, b)
y
R1
0
dy
dx
√
3
Ry
y2
R1
√
√
1−x
R 2
z dy
0
−1
√
Rx
R1
R1
dy
−
1−y
R
√
1−y 2
R
z dx, c) dy
√
0
−
z dx, d)
1−y 2
z dx
1−y 2
R0
−1
dx
√
− R1−x2
R1
z dy + dx
0
0
1−x
R
0

z dy 
15) Vypoˇctˇete dvojn´e integr´aly pˇrevodem na integr´aly dvojn´
asobn´e pro dan´e integraˇcn´ı oblasti D:
a)
RR
D
b)
RR
D
c)
RR
D
d)
RR
D
e)
RR
D
f)
RR
dx dy
; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h3, 4i ∧ y ∈ h1, 2i}}
(x + y)2
ex+y dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h0, 1i ∧ y ∈ h0, 1i}}
xy 2 dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h1, 2i ∧ y ∈ h0, 2i}}
cos(x + y) dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; 0 ≤ y ≤ x ≤ π}}
yex dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; y 2 ≤ x ≤ y + 2}}
x dx dy; D = ∆OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)
D
g)
RR
D
h)
RR
D
2
ey dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x ∈ h0, 1i ∧ x ≤ y ≤ 1}}
|x| dx dy; D = {(x, y) ∈ R × R; x2 ≤ y ∧ 4x2 + y 2 ≤ 12}}
√
10
e
1
e−1
25
2
3
, h) 4 3 −
a) ln , b) (e − 1) , c) 4 d) − 2, e) (5 + e ), f ) , g)
24
2
6
2
3
47
16) Dvojn´e integr´aly na oblastech D vymezen´
ych dan´
ymi podm´ınkami pˇreved’te na dvojn´
asobn´e
integr´aly.
a) D = {(x, y) ∈ R × R; x ≥ 2 ∧ x ≤ 3 ∧ y ≥ −1 ∧ y ≤ 5}
b) D = {(x, y) ∈ R × R; x + y ≤ 1 ∧ x − y ≤ 1 ∧ x ≥ 0}
c) D = {(x, y) ∈ R × R; y ≥ x ∧ y ≤ 2x ∧ x + y ≤ 6}
d) D = {(x, y) ∈ R × R; x2 + y 2 ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0}
√
e) D = {(x, y) ∈ R × R; y ≥ x2 ∧ y ≤ x}
"
#
√
1−x
1−x
6−x
2x
R3
R5
R1
R1
R3
R
R
R2
R
R 2
a) dx z dy, b) dx
z dy, d) dx
z dy, c) dx z dy + dx
z dy
2
0
−1
x−1
x
0
2
x
0
"
e)
R1
0
dx
0
√
Rx
z dy
x2
#
√
17) Integrujte pˇres oblast Ω : x ≤ y ≤ x 3 ∧ 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4:
a)
RR
1 dx dy
(Ω)
b)
RR
(Ω)
(x2 + y 2 ) dx dy
c)
(Ω)
N´
avod: pol´
arn´ı souˇradnice.
18)
RR
RR
(2−x−y) dx dy
(Ω)
a)
d)
RR
(Ω)
√
√
31
π
5π
π
7 √
, b) , c) − ( 3 − 1), d)
· (3 3 − 2 2)
12
16
4
6
120
xy dx dy, je-li oblast Ω : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ |x|.
"√ #
2
16
N´
avod: srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem 2.1.10c).
19) (Trochu pracnˇejˇs´ı)
√
RR
3
2
2
.
dx dy, je-li Ω : 0 ≤ x + y ≤ 4 ∧ y ≥
x
(Ω)
N´
avod: pol´
arn´ı souˇradnice.
20) Vypoˇctˇete
R R
a)
ln(x2 + y 2 ) dx dy, je-li oblast Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2.
(Ω)
b)
xy 2 dx dy
"
#
√
π
3
−
ln 3
3
2
[π(8 ln 2 − 1)]
4
(x + y) ln(x2 + y 2 ) dx dy, je-li oblast Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ e2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0. (2e3 + 1)
9
(Ω)
R R
21) (Trochu pracnˇejˇs´ı) Je d´
ana oblast Ω : (y − x)2 + x2 ≤ 4.
a) Vypoˇctˇete pomoc´ı dvojn´eho integr´alu velikost |Ω|.
b) Vypoˇctˇete pomoc´ı dvojn´eho integr´alu objem tˇelesa (kolm´eho k rovinˇe xOy), v jehoˇz podstavˇe
je Ω, kter´e je shora omezen´e rovinou f (x, y) = 6 − 2x − 2y.
N´
avod: Oblast si zobraz´ıte u
´pravou na tvar Ω :
48
√
√
√
√
(y − x)2 + x2 ≤ 4 ⇒ y − x = 4 − x2 ∨ y − x = − 4 − x2 ⇒ y = x + 4 − x2 ∨ y = x − 4 − x2 .
Oblast je tedy omezena grafy dvou funkc´ı (Obr.)
[4π; 48π]
y
y =x+
√
2
−2
2
−2
y =x−
4
√
4 − x2
x
4 − x2
22) Urˇcete objem tˇelesa, jehoˇz podstava je ˇctvrtina kruhu x2 + y 2 = 4 (ˇca´st v´alce) a kter´e je shora
avod: pol´arn´ı souˇradnice.
zkoseno rovinou
f (x, y) = 5 − 35 x − 53 y (obr.) N´
16
5π −
5
z
x
y
23) Pomoc´ı transformace do pol´
arn´ıch souˇradnic vypoˇctˇete integr´aly:
a)
Ra
0
√
dy
a2 −y 2
R
2
b)
2
(x + y ) dx
R∞
dy
0
0
"
a)
π/2
R
dϕ
0
Ra
0
R∞
e−(x
2
+y 2 )
π/2
R
R∞
π
πa4
2
, b)
dϕ e−r r dr =
r dr =
8
4
0
0
3
24) Urˇcete objem tˇelesa omezen´eho plochami o rovnic´ıch
1
3
, x = , z = 0, z = 5
2
2
b) x = 0, y = 0, z = 0, z = 48 − 24x − 16y
a) 3x − 2y + 4 = 0, 3x − 2y + 1 = 0, x =
c) z = 9 − x2 , x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 4y = 12
d) z = 3x, x2 + y 2 = a2 , z = 0, (a ∈ R)
49
dx
0
#
a)
15
, b) 4, c) 45, d) V = a3 , tˇeleso v I. oktantu
2
25) Urˇcete objem tˇelesa omezen´eho plochami o rovnic´ıch
a) x2 + y 2 = 1, x + y + z = 3, z = 0,
b) 2x + 3y = 12, z =
y2
, x = 0, y = 0, z = 0,
2
c) z = 1+x+y, x = 0, y = 0, z = 0, x+y = 1,
2
x
d) z =
, x = 2, y = x, xy = 1
y
a) 3π, b) 16, c)
9
5
, d)
6
4
26) Vypoˇctˇete obsahy obrazc˚
u ohraniˇcen´
ych kˇrivkami o rovnic´ıch
a) y = x, 2y = x2 ,
b) y 2 = 4 + x, x + 3y = 0,
c) 4y = x2 −4x, x−y −3 = 0,
d) y = ex , y = e−x , y = 2,
a)
e) y = 2x − x2 , y = x2 ,
f) xy = 4, x + y = 5
125
8
1
15
2
, b)
, c) , d) 4 ln 2 − 2, e) , f )
− 8 ln 2
3
6
3
3
2
27) Vypoˇctˇete obsahy obrazc˚
u ohraniˇcen´
ych kˇrivkami o rovnic´ıch
d) y 2 = 2x, y = x
a) y = ln x, x = 2, y = 0
b) x + y = 1, x = 0, y = 0
c) y 2 = x, y = x2
e) y 2 = 4ax, x + y = 3a, y = 0, a ∈ R
1
1
2
10a2
a) 2 ln 2 − 1, b) , c) , d) , e)
2
3
3
3
28) Dvojn´
ym integr´alem odvod’te vzorec pro obsah kruhu o polomˇeru r.
[πr2 ]
29) Urˇcete tˇeˇziˇstˇe obrazce omezen´eho kˇrivkami
c) y 2 = ax, y = x, a > 0
a) y = 0, y = sin x, x ∈ h0, πi
b) y = x2 , y = 0, x = 4
50
a)
24
2a a
π π
, , b) (3, ), c)
,
2 8
5
5 2
30) Najdˇete tˇeˇziˇstˇe rovnostrann´eho troj´
uheln´ıka o stranˇe d´elky a, kter´
y m´a vrchol v poˇca´tku
souˇradn´e soustavy a v´
yˇsku v kladn´e ˇca´sti osy ox .
" √
!#
a 3
,0
3
31) Najdˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe obrazce omezen´eho kardiodou o rovnici r = a(1 + cos ϕ), a ∈ R, a >
0.
5a
,0
6
32) Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcen´e lemnisk´atou danou rovnic´ı r2 = a2 cos 2ϕ, a ∈ R.
[a2 ]
33) Najdˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe obrazce ohraniˇcen´eho kˇrivkami
a) x2 + y 2 = a2 , y ≥ 0
b) y =
34)
RRR
(Ω)
35)
RRR
(Ω)
36)
c) y 2 = 4(x + 1), y 2 = 2(2 − x)
b√ 2
d) y =
a − x2 , y = 0, a > 0, a ∈ R.
a
3a 3a
2
4b
4a
, b)
, c)
,
, 0 , d) 0,
a) 0,
3π
5 8
5
3π
√
ax, x = a, y = 0, a ∈ R
(x + y + z) dx dy dz, je-li Ω : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 4.
[120]
(xyz) dx dy dz, je-li Ω : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 4.
R RR x+y
dx dy dz, je-li Ω : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 3, x + y ≤ 2.
(Ω) z + 1
37) Integrujme
RR R
(xy 2 ) · dx dy dz, je-li Ω : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, −1 ≤ z ≤ 1, y ≥ 0.
RRR
dx dy dz, Ω : 0 ≥ z ≥
(Ω)
N´
avod: srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem 2.1.13.
38) Vypoˇctˇete
(Ω)
N´
avod: v´alcov´e souˇradnice.
135
2
8
ln 4
3
[0]
p
x2 + y 2 − 1.
h πi
−
3
51
z
y
x
39) p
Vypoˇctˇete objem tˇelesa vymezen´eho plochami f (x, y) =
1 − x2 − y 2 (kulov´a plocha).
p
x2 + y 2 (kuˇzelov´a plocha) a f (x, y) =
ˇ rovinou xOz je na obr.
Oblast Ω tedy je x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ∧ x2 + y 2 − z 2 ≤ 0 . N´
avod: Rez
Pouˇzijte transformaci do v´alcov´
ych souˇradnic.
"
√ #
π(2 − 2)
3
z
z=
1
p
x2 + y 2
rovina z =
z=
−1
1
40) Vypoˇctˇete objem koule o polomˇeru R, tj.
RRR
(Ω)
N´
avod: sf´erick´e souˇradnice.
41) Vypoˇctˇete
√
2
2
p
1 − x2 − y 2
2
x
dx dy dz, kde Ω : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 .
RRR
dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ v, R, v ≥ 0.
RRR
dx dy dz, je-li Ω : x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z, x + y + z ≤ 3, R, v ≥ 0.
(Ω)
[πR2 v]
N´
avod: v´alcov´e souˇradnice.
42) Vypoˇctˇete
(Ω)
4 3
πR .
3
[3πR2 ]
N´
avod: v´alcov´e souˇradnice.
52
3
Diferenci´
aln´ı rovnice
3.1
ˇ sen´
Reˇ
eu
´ lohy
Separovateln´
a
diferenci´aln´ı rovnice 1.
ˇr´adu
Line´
arn´ı difer. rovnice 1.ˇr´adu
Struktura ˇreˇsen´ı
y ′ · f (x) = g(y)
y ′ + a(x) · y = b(x)
y = yh + yp
yh je ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice (nejˇcastˇeji separace promˇenn´
ych)
yp je libovoln´e partikul.ˇreˇsen´ı dan´e rovnice
(variace konstanty)
Homogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice (konst.
koef.)
2. ˇr´adu
y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0
a1 , a2 = konst.
Charakteristick´a rovnice
λ2 + a1 λ + a2 = 0
Koˇreny
charakteristick´e
rovnice λ1 , λ2
Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı
rovnice λ1 6= λ2 ∈ R
λ1 = λ2 ∈ R
λ1 , λ2 ∈
/R
Nehomogenn´ı lin. difer.
rovnice 2. ˇr. (konst. koef.)
Struktura ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice
y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
y = C1 eλ1 x + C2 · xeλ1 x
y = C1 · Re(eλ1 x ) + C2 · Im(eλ1 x )
y ′′ + a1 y ′ + a2 y = g(x)
y = yh + yp
Eulerova formule
a1 , a2 = konst.
yh ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice (charakteristick´a rovnice)
yp libovoln´e partikul´arn´ı
ˇreˇsen´ı dan´e rovnice (variace konstant nebo metoda
neurˇcit´
ych koeficient˚
u)
Tabulka 11:
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.1. Najdˇeme obecn´e a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı (Cauchyovu u
´ lohu) n´
asleduj´ıc´ıch
diferenci´
aln´ıch rovnic.
a) y ′ − y sin x = 0.
dy
dy
= y sin x ⇒
= sin xdx ⇒
dx
y
R dy
R
|y|
|y|
= sin x dx ⇒ ln |y| = − cos x + ln C, C > 0 ⇒ ln
= − cos x ⇒
= e− cos x ⇒
y
C
C
|y| = Ce− cos x , C > 0. Nalezen´e obecn´
e ˇreˇsen´ı lze rozborem v´
yrazu |y| pˇrev´est na tvar
y = Ke− cos x , K 6= 0 libovoln´e re´
aln´e ˇc´ıslo
Je-li d´
ana poˇca´teˇcn´ı podm´ınka napˇr´ıklad y( π2 ) = 1, pak lze naj´ıt konstantu K: 1 = Ke− cos(π/2) =
0
Ke = K ⇒ K = 1 ⇒ y = e− cos x . Nalezen´e partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı s danou poˇca´teˇcn´ı
podm´ınkou je ˇreˇsen´ım Cauchyovy u
´lohy. Na obr´
azku je graf ˇreˇsen´ı i geometrick´
y v´
yznam
Rovnice je separovateln´
a. Proto y ′ − y sin x = 0 ⇒
53
poˇca´teˇcn´ı podm´ınky.
y
4
K=2
K = 1, 5
K=1
2
1
−6
−3
y( π2 ) = 1
π
2
3
6
poˇc´
at. podm.
−2
x
K = −1
Korektnˇ
ejˇs´ı postup separace rovnice y ′ − y sin x = 0:
R y ′ (x)
R
y′
′
= sin x ⇒
dx = sin x dx. Substituce y(x) = u(x) ⇒ du = y ′ (x).dx ⇒
y − y sin x = 0 ⇒
y
y(x)
R y ′ (x)
R
R du
dx = sin x dx ⇒
= − cos x + ln C, C > 0 ⇒ ln |u| = − cos x + ln C atd. (viz v´
yˇse).
y
u
Rozbor v´
yrazu |y|: 1) Je-li y > 0 ⇒ |y| = y ⇒ y = Ce− cos x , C > 0, 2) Je-li y < 0 ⇒ |y| = −y ⇒ −y =
Ce− cos x , C > 0 ⇒ y = −Ce− cos x , −C < 0. Shrnuto: y = Ke− cos x , K ∈ R \ {0}.
b) y ′′ = −1
x2
Bez jak´
ychkoliv pˇredbˇeˇzn´
ych znalost´ı je zˇrejm´e: y ′′ = −1 ⇒ y ′ = −x+C1 ⇒ y = − +C1 x+C2
2
- obecn´
eˇ
reˇ
sen´ı.
Jestliˇze jsou d´
any dvˇ
e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky, napˇr´ıklad y(0) = 2,′ y ′ (0) = 0, pak dosazen´ım
2 = 0 + C1 .0 + C2 , a protoˇze y ′ = −x + C1 ⇒ 0 = 0 + C1 . Z posledn´ıch dvou rovnic tedy je
x2
C1 = 0, C2 = 2 a odtud ˇreˇsen´ı Cauchyovy u
´lohy y = − + 2.
2
4
C1 = −2, C2 = 2
−6
−3
C1 = −1, C2 = 0
y
2
C1 = 0, C2 = 2
3
x
−2
−4
C1 = 1, C2 = −1
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.2. Reˇ
asleduj´ıc´ı (separovateln´e) rovnice:
a) y ′ = y.
R dy R
dy
|y|
|y|
dy
=y⇒
= dx ⇒
= dx ⇒ ln |y| = x + ln C, C > 0 ⇒ ln
=x⇒
=
dx
y
y
C
C
ex ⇒ |y| = Cex .
Rozborem v´
yrazu |y| dostaneme ˇreˇsen´ı y = Kex , K 6= 0, K ∈ R.
y′ = y ⇒
54
b) y ′ = ex−y .
y ′ = ex−y ⇒
dy
= ex · e−y ⇒ dy · ey = ex · dx ⇒ ey = ex + C, C ∈ R ⇒ y = ln(ex + C).
dx
c) y ′ (x2 − x) = y 2 (x + 1) − x − 1.
dy
y ′ (x2 − x) = y 2 (x + 1) − x − 1 ⇒ y ′ x(x − 1) = (x + 1)(y 2 − 1) ⇒
x(x − 1) = (x + 1)(y 2 − 1) ⇒
dx
R
R x+1
x+1
dy
dy
=
dx ⇒ integrac´ı
=
dx.
separace promˇenn´
ych 2
y −1
x(x − 1)
(y + 1)(y − 1)
x(x − 1)
Oba integr´aly vypoˇcteme po rozkladu na parci´
aln´ı zlomky:
1
− 21
1
=
+ 2 ,
(y + 1)(y − 1)
y+1 y−1
−1
2
x+1
=
+
.
x(x − 1)
x
x−1
Nakonec tedy integrujeme
1
1 y − 1 1/2
R
R
−2
dy
1
2
1
.
dy = − 2 ln |y + 1| + 2 ln |y − 1| = ln =
+
(y + 1)(y − 1) y + 1 y− 1
y + 12 (x − 1) R x+1
R −1
2
, C > 0.
= − ln |x| + 2 ln |x − 1| + ln C = ln C · dx =
+
x(x − 1)
x
x−1
x
1/2
2
y − 1
(x − 1) .
Odtud uˇz snadno ˇreˇsen´ı dan´e rovnice ve tvaru = C · y+1
x
y−1
(x − 1)4
Protoˇze zˇrejmˇe x > 0 ∧ y ∈ (1, ∞) ∪ (−∞, −1) , lze ps´at
, K 6= 0 a
= K·
y+1
x2
odtud pˇr´ıpadnˇe vyj´adˇrit y(x) v explicitn´ım tvaru. (Najdˇete sami.)
ˇ sme Cauchyovu u
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.3. Reˇ
´lohu pro rovnici y ′ (x2 − x) = y 2 (x + 1) − x − 1 s
poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y(2) = 2.
(x − 1)4
y−1
. Dosad´ıme
= K·
Obecn´e ˇreˇsen´ı jsme naˇsli v Uk´
azkov´em pˇr´ıkladu (3.1.2c). Je
y+1
x2
4
y−1
4 (x − 1)4
x = 2, y = 2 a dostaneme K = . Je tedy
a odtud partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı v
=
3
y+1
3 x2
4(x − 1)4 + 3x2
explicitn´ım tvaru y = 2
.(Viz obr.)
3x − 4(x − 1)4
teˇcna
y = 92 x − 7
y ′ (2) = 92
y
4
y(x)
y(2) = 2
2
x
1
2
3
−2
−4
Pozn´
amka: Z obr´
azku se zd´
a zˇrejm´e“, ˇze graf
”
4(x − 1)4 + 3x2
m´
a
y(x) =
3x2 − 4(x − 1)4
1) Dvˇe svisl´e “ asymptoty. Jejichˇz rovnice najdeme
”
ˇ sen´ı
z podm´ınky 3x2 − 4(x − 1)4 = 0.(Proˇc?) Reˇ
t´eto rovnice (4. stupnˇe) je dosti obt´ıˇzn´e, ale s pomoc´ı vhodn´eho programu (napˇr´ıklad MAPLE) velmi
rychl´e.
2) Vodorovnou “ asymptotu. Jej´ı rovnici
”
y = kx + q najdeme v´
ypoˇctem k, q pomoc´ı zn´
am´
ych
vzorc˚
u. Snadno dostaneme k = 0, q = −1 ⇒
asymtota: y = −1.
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.4. Reˇ
asleduj´ıc´ı (homogenn´ı) rovnice
a) x2 y ′ = y 2 + xy
Upravme x2 y ′ = y 2 + xy ⇒ y ′ =
y
y
y(x + y)
′
1
+
. Je tedy zˇrejm´e, ˇze rovnice
⇒
y
=
x2
x
x
55
je homogenn´ı. Substituce y = x.z, tj. y ′ = z + xz ′ . Pak z + xz ′ = z(1 + z) ⇒ lze separovat
R dz R dx
dx
1
x
dz
=
⇒
⇒ − = ln |x| + C, C ∈ R ⇒ − = ln |x| + C ⇒
xz ′ = z 2 ⇒ 2 =
z
x
z2
x
z
y
−x
y=
.
C + ln |x|
b) x2 y ′ = y 2
y
y2
=
F
, tzn., ˇze rovnice je homogenn´ı. Proto substituce y = x.z, tj.
x2
x
dz
dx
y ′ = z + xz ′ a pak z + xz ′ = z 2 ⇒ xz ′ = z(z − 1) ⇒
=
⇒ parci´
aln´ı zlomky ⇒
z(z
−
1)
x
R
R 1
1
1
|z − 1|
dz =
−
dx ⇒ ln
= ln(C|x|), C > 0 ⇒ po kratˇs´ım v´
ypoˇctu
z−1 z
x
|z|
x
1
⇒y=
, K ∈ R.
z=
1 + K|x|
1 + K|x|
x2 y ′ = y 2 ⇒ y ′ =
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.5. Reˇ
asleduj´ıc´ı homogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇr´adu s konstantn´ımi
koeficienty
a) y ′ + 2y = 0
Pomoc´ı charakteristick´e rovnice: y ′ + 2y = 0 ⇒ λ + 2 = 0 ⇒ λ = −2 ⇒ y = Ce2x .
R dy
R
dy
dy
= −2y ⇒
= −2dx ⇒
= −2 dx ⇒
Lze ˇreˇsit i separac´ı: y ′ + 2y = 0 ⇒
dx
y
y
|y|
ln |y| = −2x + ln C, C > 0 ⇒ ln
= −2x ⇒ |y| = Ce−2x , C > 0 ⇒ po rozboru v´
yrazu |y|
C
−2x
je y = Ke
, K ∈ R.
b) 2y ′ − 3y = 0
Pomoc´ı charakteristick´e rovnice: 2y ′ − 3y = 0 ⇒ 2λ − 3 = 0 ⇒ λ =
3
2
3
⇒ y = Ce 2 x .
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.6. Reˇ
asleduj´ıc´ı nehomogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇr´adu s konstantn´ımi
koeficienty (metoda neurˇcit´
ych koeficient˚
u nebo variace konstanty)
a) y ′ + 2y = 2x
K1: Vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı rovnici y ′ + 2y = 0. Pomoc´ı charakteristick´e rovnice
λ + 2 = 0 ⇒ λ = −2 je ihned yh = Ce−2x .
K2: Najdeme libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice. Pomoc´ı neurˇcit´
ych koeficient˚
u (prav´a
strana je 2x = e0x .2x) hled´
ame yp = e0x (ax+b) = ax+b. Vypoˇcteme yp′ = a a dosad´ıme do dan´e
1
rovnice : a + 2ax + 2b = 2x. Porovn´an´ım koeficient˚
u je 2a = 2 ⇒ a = 1 ∧ a + 2b = 0 ⇒ b = − .
2
1
Je tedy yp = x − .
2
1
Obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice pak je y = yh + yp = Ce−2x + x − .
2
b) y ′ − 3y = e3x
ˇ sen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice y ′ − 3y = 0 je (separace) yh = C.e3x .
K1: Reˇ
K2: Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e nehomogenn´ı rovnice lze naj´ıt metodou neurˇcit´
ych koeficient˚
ui
variac´ı konstanty.
Hledejme yp ve tvaru yp = C.e3x , kde C = C(x), tedy yp = C(x).e3x . Vypoˇcteme yp′ =
C ′ (x).e3x + C(x).3.e3x a dosad´ıme do dan´e rovnice: C ′ (x).e3x + 3C(x).e3x − 3C(x).e3x = e3x ⇒
C ′ (x) = 1 ⇒ C(x) = x. Je tedy yp = x.e3x .
Obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice pak je y = yh + yp = C.e3x + x.e3x .
56
c) y ′ + y = ex cos x.
ˇ sen´ı pˇr´ısluˇsn´e homogenn´ı rovnice y ′ + y = 0 je (separace) yh = C.e−x .
K1: Reˇ
K2: Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı lze naj´ıt bud’ metodou neurˇcit´
ych koeficient˚
u nebo variac´ı konstanty:
Metoda variace konstanty: Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı yp = C(x)e−x ⇒ yp′ = C ′ (x)e−x − C(x)e−x .
Po dosazen´ı do dan´e rovnice a u
´pravˇe je C ′ (x) = e2x cos x.
e2x
Funkci C(x) dostaneme opakovanou integrac´ı per partes : C(x) =
(sin x + 2 cos x) a parti5
x
e
kul´arn´ı ˇreˇsen´ı pak je yp = C(x)e−x = (sin x + 2 cos x).
5 x
e
−x
Nakonec je obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) = Ce + (sin x + 2 cos x).
5
Pro ilustraci najdˇeme partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı i metodou neurˇcit´
ych koeficient˚
u. Charakteristick´
a rovnice
je λ + 1 = 0 ⇒ λ = −1. Prav´
a strana rovnice je ex cos x, pˇredpokl´
adan´e partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı tedy je
yp = ex (a sin x + b cos x) ⇒ yp′ = ex (a sin x + b cos x) + ex (a cos x − b sin x). Po dosazen´ı do dan´e rovnice
a mal´e u
´pravˇe je 2a sin x − b sin x + a cos x + 2b cos x = cos x a porovn´
an´ım koeficient˚
u u funkc´ı sin,
cos dostaneme soustavu rovnic 2a − b = 0 ∧ a + 2b = 1. Odtud a = 15 , b = 52 partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı je tedy
yp = ex ( 15 sin x + 52 cos x).
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.7. Reˇ
asleduj´ıc´ı homogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇr´adu s nekonstantn´ımi
koeficienty (separace promˇenn´
ych)
y
=0
sin2 x
Separace promˇenn´
ych: y ′ +
a) y ′ +
R dx
R dy
y
dx
y
dy
dy
=− 2 ⇒
=
=
=0⇒
⇒
=
2
2
dx
y
y
sin x
sin x
sin x
sin2 x
cotg x
cotg x
ln |y| = cotg x + ln K, K > 0 ⇒ |y| = Ke
⇒ y = Ce
.
b) y ′ + y ln x = 0
R dy
R
dy
= − ln x dx ⇒
= − ln x dx ⇒ ln |y| =
y
y
−(x ln x − x) + ln K, K > 0 ⇒ |y| = Kex−x ln x ⇒ y = Cex−x ln x , C ∈ R
Separace promˇenn´
ych: y ′ + y ln x = 0 ⇒
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.8. Reˇ
asleduj´ıc´ı nehomogenn´ı line´arn´ı rovnice 1.ˇr´adu s nekonstantn´ımi
koeficienty (variace konstanty)
1
.
sin2 x
dy
cos x
K1: Pˇr´ısluˇsn´a homogenn´ı rovnice y ′ sin x + y cos x = 0, po separaci
=−
dx m´a ˇreˇsen´ı
y
sin x
C
y=
, C ∈ R.
sin x
K2: Variace konstanty:
C ′ (x) sin x − C(x) cos x
C(x)
⇒ yp′ =
⇒
Pˇredpokl´adan´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı yp =
sin x
sin2 x
1
po dosazen´ı a kratˇs´ı u
´pravˇe C ′ (x) =
.
sin2 x
− cos x
C(x)
=
Po integraci C(x) = − cotg x. Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı pak je yp =
a obecn´e ˇreˇsen´ı
sin x
sin2 x
cos x
C
−
.
y(x) = yh + yp =
sin x sin2 x
a) y ′ sin x + y cos x =
57
b) xy ′ − 3y = 12.
ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice xy ′ − 3y = 0 je (separace) yh = Cx3 .
Jen struˇcnˇe: K1: Reˇ
K2: Variace konstanty: Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı yp = C(x)x3 ⇒ yp′ = C ′ (x)x3 + 3C(x)x2 ⇒
4
C ′ (x) = 12x−4 ⇒ C(x) = − 3 . Pak yp = C(x)x3 = −4.
x
Nakonec obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) = yh + yp = Cx3 − 4.
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.9. K dan´
ym diferenci´
aln´ım rovnic´ım 2.ˇr´adu (s konstant. koeficienty)
najdeme pˇr´ısluˇsnou charakteristickou rovnici a vyˇreˇste ji.
a) y ′′ − 6y ′ + 8y = 0
y → λ0 , y ′ → λ1 , y ′′ → λ2 . Pak je charakteristick´a rovnice λ2 − 6λ + 8 = 0, ˇreˇsen´ı λ1 = 4,
λ2 = 2.
b) y ′′ + 3y ′ = 0
Charakteristick´a rovnice λ2 + 3λ = 0, ˇreˇsen´ı λ1 = 0, λ2 = −3
c) y ′′ − 5y = 0
√
ˇ sen´ı λ12 = ± 5
Charakteristick´a rovnice λ2 − 5 = 0. Reˇ
d) y ′′ + 4y = 0
ˇ sen´ı λ12 = ±2i
Charakteristick´a rovnice λ2 + 4 = 0. Reˇ
e) 2y ′′ + 3y ′ + y = 0
ˇ sen´ı λ1 = −1, λ2 = − 1
Charakteristick´a rovnice 2λ2 + 3λ + 1 = 0. Reˇ
2
f) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
ˇ sen´ı λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i
Charakteristick´a rovnice λ2 + 2λ + 5 = 0.Reˇ
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.10. K n´
asleduj´ıc´ım koˇren˚
um rovnic 2. ˇr´adu (charakteristick´
ych rovnic)
najdeme pˇr´ısluˇsn´e diferenci´
aln´ı rovnice
a) λ1 = 5, λ2 = −5
Lze pouˇz´ıt rozkladu kvadratick´eho v´
yrazu na koˇrenov´e ˇcinitele, tj. (λ−5)(λ+5) = 0 ⇒ λ2 −25 =
0⇒
diferenci´
aln´ı rovnice je y ′′ − 25y = 0.
b) λ1 = 3, λ2 = −1
Lze rovnˇeˇz pouˇz´ıt Vietov´
ych vzorc˚
u: −p = λ1 + λ2 = 2 ⇒ p = −2, q = λ1 · λ2 = −3. Pak je
charakteristick´a rovnice λ2 − 2λ + 3 = 0 a diferenci´
aln´ı rovnice y ′′ − 2y ′ + 3y = 0.
c) λ1 = 0, λ2 = 1
(λ − 0)(λ − 1) = 0 ⇒ λ2 − λ = 0 ⇒ y ′′ − y ′ = 0.
d) λ1 = 0, λ2 = 0
λ2 = 0 ⇒ y ′′ = 0.
e) λ1 = 1 − i, λ2 = 1 + i
−p = 1 − i + 1 + i = 2 ⇒ p = −2, q = (1 − i)(1 + i) = 2 ⇒ y ′′ − 2y ′ + 2y = 0.
f) λ1 = 1 + i, λ2 = 1 + 2i
Nen´ı moˇzn´e, vysvˇetlete proˇc.
58
ˇ sme diferenci´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.11. Reˇ
aln´ı rovnice 2.ˇr´adu (srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem(3.1.9).
a) y ′′ − 6y ′ + 8y = 0
Charakteristick´a rovnice λ2 − 6λ + 8 = 0, jej´ı ˇreˇsen´ı λ1 = 4, λ2 = 2
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 e4x + C2 e2x .
b) y ′′ − 5y = 0
√
√
x 5
2
5.
Obecn´
e
ˇ
r
eˇ
s
en´
ı
je
y
=
C
e
+
Charakteristick´
a
rovnice
λ
−
5
=
0,
jej´
ı
ˇ
r
eˇ
s
en´
ı
λ
=
±
1
12
√
C2 e−x 5 .
c) y ′′ + 3y ′ = 0
Charakteristick´a rovnice λ2 + 3λ = 0, jej´ı ˇreˇsen´ı λ1 = 0, λ2 = −3.
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 e0.x + C2 e−3x = C1 + C2 e−3x .
d) y ′′ + 4y = 0
Charakteristick´a rovnice λ2 + 4 = 0, jej´ı ˇreˇsen´ı λ12 = ±2i. Najdeme re´alnou a imagin´arn´ı ˇca´st
v´
yrazu e2ix . Je (Euler˚
uv vzorec) e2ix = cos 2x + i sin 2x. Odtud obecn´e ˇreˇsen´ı y = C1 cos 2x +
C2 sin 2x.
e) 2y ′′ + 3y ′ + y = 0
ˇ sen´ı λ1 = −1, λ2 = − 1 . Pak je obecn´e ˇreˇsen´ı
Charakteristick´a rovnice 2λ2 + 3λ + 1 = 0. Reˇ
2
x
y = C1 e−x + C2 e− 2 .
f) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
Charakteristick´a rovnice λ2 + 2λ + 5 = 0. Jej´ı ˇreˇsen´ı λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i. Napiˇsme
exponenci´
aln´ı v´
yraz e(−1+2i)x . (Staˇc´ı jeden z komplexn´ıch koˇren˚
u). Je e(−1+2i)x = e−x . · e2ix =
−x
−x
−x
e · (cos 2x + i sin 2x) = e cos 2x + i.e sin .2x. Odtud jsou re´aln´
a a imagin´arn´ı ˇca´st zˇrejm´e
a je tedy obecn´e ˇreˇsen´ı y = C1 e−x cos 2x + C2 e−x sin .2x = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x).
Pozn´
amka: V r˚
uzn´
ych fyzik´
aln´ıch, elektrotechnick´
ych a jin´
ych aplikac´ıch b´
yv´
a zvykem nalezen´e ˇreˇsen´ı
uv´
adˇet ve tvaru obsahuj´ıc´ım jedinou goniometrickou funkci, napˇr´ıklad y = Ae−x ·sin(2x+ϕ). Oznaˇc´ımeli totiˇz
C1 =
A. sin ϕ
C2 =
A. cos ϕ,
pak y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) = e−x .(A. sin ϕ cos 2x + A. cos ϕ sin 2x) = A.e−x sin(2x + ϕ) (goniometrick´
y vzorec).
p
Konstanty A, ϕ lze naj´ıtn´
asleduj´
ym postupem: C12 + C22 = A2 ⇒ A = C12 + C22 ,
ıc´ım zˇrejm´
C1
C1
.
= tg ϕ ⇒ ϕ = arctg
C2
C2
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.12. Najdˇeme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u
´lohy pro n´
asleduj´ıc´ı rovnice s poˇca´teˇcn´ımi
podm´ınkami (Srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem ( 3.1.11)c,d).
a) y ′′ + 3y ′ = 0, je-li y(0) = 1, y ′ (0) = −1.
Obecn´e ˇreˇsen´ı y = C1 +C2 e−3x . Konstanty C1 , C2 dostaneme z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek. vypoˇcteme
y ′ = −3C2 e−3x a dosad´ıme. Dostaneme soustavu rovnic
1=
−1 =
Odtud C2 =
C1 + C2
−3C2 .
2
2 1
1
, C1 = a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami je y = + e−3x .
3
3
3 3
59
y
10
5
poˇc´
at. podm. y(0) = 1
x
2
′
poˇc´
at. podm. y (0) = −1
smˇernice teˇcny kt = −1
b) y ′′ + ω 2 y = 0, je-li y(0) = y0 , y ′ (0) = k, y0 , k > 0 konstanty
(Rovnice je matematick´
ym modelem kmitav´eho pohybu (pruˇzina, kyvadlo) bez odporu prostˇred´ı nebo
L-C obvodu )
ˇ sen´ı charakteristick´e rovnice je
Charakteristick´a rovnice je λ2 + ω 2 = 0 ⇒ λ2 = −ω 2 . Reˇ
ω.ix
λ = ±ω.i. Exponenci´
aln´ı v´
yraz e
= cos ωx + i sin ωx. Odtud (sloˇzky komplexn´ıho ˇc´ısla !!)
y(x) = C1 cos ωx + C2 sin ωx.
vypoˇcteme y ′ (x) = −C1 ω sin ωx + C2 ω cos ωx a dosad´ıme z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek:
y(0) = y0 ⇒ y0 = C1 ,
y ′ (0) = 0 ⇒ 0 = C2 .ω1 ⇒ C2 = 0.
Je tedy C1 = y0 , C2 = 0 a ˇreˇsen´ı Cauchyovy u
´lohy pak je y(x) = y0 . cos ω.x.
y0
y
π
2
π
3π
2
x
2π
c) 16y ′′ + 8y ′ + 17y = 0, je-li y(0) = 2, y ′ (0) = 0
(Rovnice je matematick´
ym modelem kmitav´eho pohybu (pruˇzina, kyvadlo) s odporem prostˇred´ı nebo
R-L-C obvodu)
Charakteristick´a rovnice je 16λ2 +8λ+17 = 0. Koˇreny charakteristick´e rovnice jsou λ = − 14 ±i.
Najdeme re´
alnou a imagin´
arn´ı ˇca´st komplexn´ıho ˇc´ısla
1
1
1
1
1
e(− 4 +i)x = e− 4 x .eix = e− 4 x .(cos x + i sin x) = e− 4 x . cos x + ie− 4 x . sin x.
Odtud je jiˇz zˇrejm´e obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
x
x
x
y(x) = C1 e− 4 . cos x + C2 e− 4 . sin x = e− 4 (C1 cos x + C2 sin x).
x
x
vypoˇcteme y ′ = − 41 · e− 4 · (C1 cos x + C2 sin x) + e− 4 (−C1 sin x + C2 cos x) a dosad´ıme z
poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek:
y(0) = 2 ⇒ 2 = C1 + 0
y ′ (0) = 0 ⇒ 0 = − 41 .C1 + C2
1
x
Odtud C1 = 2, C2 = a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı (s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami ) je y = e− 4 (2 cos x +
2
√
17 − x
1
.
sin x), coˇz lze zapsat (viz (3.1.11)) ve tvaru y =
e 4 sin(x + ϕ), ϕ = arctg 4 = 1, 326.
2
2
60
y
y
t k ox ; y ′ (0) = 0
2
1
1
y = e−x/4
x
2
4
x
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−1
y(x)
−2
y(x)
K pˇr´ıkladu 3.1.12c)
K pˇr´ıkladu 3.1.12d)
d) 2y ′′ + 3y ′ + y = 0, poˇca´teˇcn´ı podm´ınky y(0) = −2, y ′ (0) = 0.
Charakteristick´a rovnice 2λ2 + 3λ + 1 = 0 ⇒ λ1 = 21 , λ2 = −1 a z toho partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı y =
C1 e−1/2x + C2 e−x . Vypoˇcteme y ′ = − 12 C1 e−1/2x − C2 e−x . Dosazen´ım poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek
dostaneme soustavu −2 = C1 + C2 ∧ 0 = − 21 C1 − C2 . Odtud C1 = −4, C2 = 2 a partikul´arn´ı
1
ˇreˇsen´ı je y = −4e− 2 x + 2e−x.
ˇ sme diferenci´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.13. Reˇ
aln´ı rovnice 2.ˇr´adu (srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem
(3.1.11) a Tabulkou(11).
Ve vˇsech n´
asleduj´ıc´ıch u
´loh´
ach tohoto pˇr´ıkladu vyˇreˇs´ıme nejprve (krok K1) pˇr´ısluˇsnou (pˇridruˇzenou)
homogenn´ı rovnici (viz Uk´
azkov´
y pˇr´ıklad (3.1.11)) a pak najdeme libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı
dan´e rovnice, a to bud’ metodou neurˇcit´
ych koeficient˚
u - pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı pomoc´ı odhadu Tabulka (11) nebo metodou variace konstant.
a) Rovnice A. y ′′ − 6y ′ + 8y = 10, B. y ′′ − 6y ′ + 8y = e2x .
ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice je v obou pˇr´ıkladech y = C1 e2x + C2 e4x .
Reˇ
A. y ′′ − 6y ′ + 8y = 10
Pˇrepiˇsme pravou stranu rovnice R(x) = 10 = 10.e0x (0. cos 0x + sin 0x). Pak je zˇrejmˇe charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i, kter´e nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice a proto ˇreˇsen´ı hled´
ame
ve tvaru
ν(x) = yp (x) = e0x (A. cos 0x + B sin 0x) = A. Vypoˇcteme ν ′ (x) = 0, ν ′′ (x) = 0 ⇒ 0 − 0 − 8A =
10
5
10 ⇒ A =
⇒ ν(x) = . Obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice tedy je
8
4
5
y(x) = C1 e2x + C2 e4x + .
4
B. y ′′ − 6y ′ + 8y = e2x
Prav´a strana rovnice R(x) = e2x = e2x (A.cos0x + B sin 0x). Charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi =
2 + 0i = 0 je jedenkr´at (r = 1) koˇrenem charakteristick´e rovnice, proto ν(x) = yp (x) =
x1 .e2x (A. cos 0x + B sin 0x) = Axe2x .
Vypoˇcteme ν ′ (x) = Ae2x + 2Axe2x , ν ′′ (x) = 4Ae2x + 4Axe2x a dosad´ıme:
4Ae2x + 4Axe2x − 6(Ae2x + 2Axe2x ) + 8Axe2x = e2x ⇒ −2Ae2x = e2x ⇒
1
1
1
A = − ⇒ ν(x) = − xe2x a obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice je y(x) = C1 e2x + C2 e4x − xe2x .
2
2
2
61
b) Rovnice A. y ′′ + 3y ′ = −1
ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice je y = C1 + C2 e−3x .
Reˇ
A. y ′′ + 3y ′ = −1
Prav´a strana R(x) = −1 = e0x (− cos 0x + sin 0x), charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i = 0 je
jedenkr´at (r = 1) koˇrenem charakteristick´e rovnice, proto ν(x) = yp (x) = x1 .e0x (A. cos 0x +
B sin 0x) = Ax.
vypoˇcteme ν ′ (x) = A, ν ′′ (x) = 0 a dosad´ıme do dan´e rovnice
1
1
0 + 3A = −1 ⇒ A = − ⇒ ν(x) = − .x. Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice pak je
3
3
1
−3x
y(x) = C1 + C2 e
− x.
3
B. Rovnice y ′′ + 3y ′ = sin 3x
Uˇz struˇcnˇeji: R(x) = e0x (0. cos 3x + sin 3x), char. ˇc´ıslo a + bi = 0 + 3i nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice (r = 0), pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı m´a tvar ν(x) = x0 e0x (A. cos 3x + B sin 3x) =
A. cos 3x + B sin 3x. ;
ν ′ (x) = −3A sin 3x + 3B cos 3x,
ν ′′ (x) = −9A cos 3x − 9B sin 3x a dosad´ıme
−9A cos 3x − 9B sin 3x + 3(−3A sin 3x + 3B cos 3x) = sin 3x.
Po kratˇs´ı u
´pravˇe:
sin 3x(−9B − 9A) + cos 3x(−9A + 9B) = sin 3x.
Porovn´
ame koeficienty u stejn´
ych funkc´ı sinus, kosinus:
−9A − 9B
−9A + 9B
Odtud A = −
=1
= 0.
1
1
1
1
, B=−
⇒ ν = − . cos 3x −
sin 3x a obecn´e ˇreˇsen´ı pak je
18
18
18
18
y(x) = C1 + C2 e−3x −
1
1
. cos 3x −
sin 3x.
18
18
Pro srovn´
an´ı ukaˇzme metodu variace konstant pro ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ + 3y ′ = −1.
Homogenn´ı rovnice m´
a ˇreˇsen´ı y = C1 + C2 e−3x . Partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı hledejme ve stejn´em tvaru y =
C1 (x) + C2 (x)e−3x .
vypoˇcteme y ′ (x) = C1′ + C2′ e−3x −3C2 e−3x .
|
{z
}
poloˇ
z´ıme =0
D´
ale tedy je y ′ (x) = −3C2 e−3x ⇒ y ′′ (x) = −3C2′ e−3x + 9C2 e−3x a dosad´ıme do dan´ı rovnice:
−3C2′ e−3x + 9C2 e−3x + 3(−3C2 e−3x ) = −1 ⇒ −3C2′ e−3x = −1. Pro nezn´
am´e funkce (!) C1′ (x), C2′ (x)
m´
ame dvˇe rovnice:
C1′ + C2′ e−3x =
−3C2′ e−3x =
0
−1.
1 3x
1
1
1
e , C1′ (x) = − z toho integrac´ı C2 (x) = e3x , C1 (x) = − x.
3
3
9
3
1
1
Partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı pak je y = C1 (x) + C2 (x)e−3x = − x +
a nakonec obecn´e ˇreˇsen´ı je y(x) =
3
9
1
1
yˇse uveden´
ym v´
ypoˇctem.
C1 +C2 e−3x − x+ , coˇz zˇrejmˇe (aˇz na nepodstatnou konstantu) souhlas´ı s v´
3
9
Odtud C2′ (x) =
c) Rovnice A. y ′′ − 5y = x2 , B. y ′′ − 5y = xex .
√
√
ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice y ′′ − 5y = 0 je y = C1 ex 5 + C2 e−x 5 .
Reˇ
62
A. y ′′ − 5y = x2 .
Prav´a strana R(x) = x2 = e0x (x2 cos 0x + sin 0x). Charakteristick´e ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i nen´ı
koˇren charakteristick´e rovnice. Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı hled´
ame ve tvaru ν(x) = e0x [(ax2 + bx +
2
2
c) cos 0x + (a1 x + b1 x + c1 ) sin 0x)] = ax + bx + c.
vypoˇcteme ν ′ (x) = 2ax + b, ν ′′ (x) = 2a
a dosad´ıme do dan´e rovnice
2a − 5(ax2 + bx + c) = x2 . po kr´
atk´e u
´pravˇe −5ax2 − 5bx + 2a − 5c = x2 . Z toho soustava
rovnic:
−5a =
−5b =
1
0
2a − 5c =
0.
2
1
2
1
a obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y(x) =
Odtud a = − , b = 0, c = − . Pak ν(x) = − x2 −
5√
25
5
25
√
2
1
C1 ex 5 + C2 e−x 5 − x2 − .
5
25
B. y ′′ − 5y = xex .
R(x) = xex = ex (x cos 0x + sin 0x), tvar hledan´eho ˇreˇsen´ı ν(x) = ex [(ax + b) cos 0x + (a1 x +
b1 ) sin 0x] = ex (ax + b).
vypoˇcteme ν ′ (x) = ex (ax + b) + aex ,
ν ′′ (x) = ex (ax + b) + aex + aex a dosad´ıme
ex (ax + 2a + b) − 5ex [ex (ax + b)] = xex ⇒ ex (−4ax + 2a − 4b) = xex ⇒ −4ax + 2a − 4b = x.
Porovn´
an´ım koeficient˚
u
1
1
−4a = 1 ∧ 2a − 4b = 0 ⇒ a = − , b = − .
4
8
1
1
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı je ν(x) = ex − x −
a obecn´e ˇreˇsen´ı
4
8
√
√
1
1
y(x) = C1 ex 5 + C2 e−x 5 + ex − x −
.
4
8
ˇ sme diferenci´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.14. Reˇ
aln´ı rovnici y ′′ − y ′ = sin x.
K1 Vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı rovnici y ′′ − y ′ = 0.
Charakteristick´a rovnice λ2 − λ = 0 m´a koˇreny λ1 = 0, λ2 = 1 a obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice
tedy je yh = C1 + C2 ex .
K2 Libovoln´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice lze naj´ıt bud’ metodou variace konstant nebo metodou neurˇcit´
ych koeficient˚
u. Ukaˇzme pro porovn´an´ı oba zp˚
usoby.
ame ve tvaru yp = C1 (x) + C2 (x).ex .
Variace konstant. Pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı hled´
vypoˇcteme yp′ = C1′ (x) + C2′ (x).ex + C2 (x)ex a poloˇz´ıme C1′ (x) + C2′ (x).ex = 0.
Najdeme druhou derivaci yp . Je yp′′ = C2′ (x)ex + C2 (x)ex a dosad´ıme za yp , yp′ , yp′′ do dan´e rovnice
y ′′ − y ′ = sin x.
Je C2′ (x)ex +C2 (x)ex −C2 (x)ex = sin x. Po kr´
atk´e u
´pravˇe m´ame soustavu dvou rovnic s nezn´
am´
ymi
funkcemi C1′ (x), C2′ (x)
C1′ (x) + C2′ (x).ex =
C2′ (x)ex
=
0
sin x
Soustavu snadno vyˇreˇs´ıme C1′ (x) = − sin x, C2′ (x) = e−x sin x. Odtud integrac´ı ihned C1 (x) =
1
ych
cos x a (opakovanou) metodou per partes C2 (x) = − e−x (sin x + cos x). Dosazen´ım nalezen´
2
63
1
1
hodnot do yp m´ame hledan´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e rovnice yp = cos x − sin x.
2
2
1
1
Nakonec je tedy obecn´e ˇreˇsen´
y y(x) = yh + yp = C1 + C2 ex + cos x − sin x.
2
2
Metoda neurˇcit´
ych koeficient˚
u.
Prav´a strana dan´e rovnice sin x = e0x (0. cos x + 1. sin x). Charakteristick´e ˇc´ıslo diferenci´
aln´ı rovnice je 0 = 0 + 1.i = i nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice. Pˇredpokl´adan´e partikul´arn´e ˇreˇsen´ı
tedy je yp = e0x (A. cos x + B. sin x) = A cos x + B sin x.
Vypoˇcteme yp′ , yp′′ a dosad´ıme do dan´e rovnice:
yp′ = −A sin x + B cos x,
yp′′ = −A cos x − B sin x.
Po dosazen´ı a kratˇs´ı u
´pravˇe je
cos x(−A − B) + sin x(−B + A) = sin x.
Porovn´an´ım koeficient˚
u u t´
ychˇz funkc´ı (sin, cos) na lev´e a prav´e stranˇe je
−A − B = 0
A − B = 1.
1
1
1
1
Odtud A = , B = − , takˇze partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice je yp = cos x− sin x (coˇz se shoduje s
2
2
2
2
v´
ysledkem metodou variace konstant) a obecn´e ˇreˇsen´ı pak je samozˇrejmˇe shodn´e y(x) = yh + yp =
1
1
C1 + C2 ex + cos x − sin x.
2
2
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.15. Najdˇeme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u
´lohy pro n´
asleduj´ıc´ı rovnice s poˇca´teˇcn´ımi
podm´ınkami (Srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem ( 3.1.9)d)
a) Rovnice y ′′ + 4y = cos 2x, je-li y(0) = 2, y ′ (0) = 1.
1
Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ + 4y = cos 2x je y(x) = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x sin 2x.
4
1
1
vypoˇcteme y ′ = −2C1 sin 2x+ 2C2 cos 2x+ sin 2x+ x cos 2x. Pouˇzijeme poˇca´teˇcn´ı podm´ınky
4
2
a dosad´ıme:
2=
1=
Odtud C1 = 2, C2 =
C1 + 0
C2
1
a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami je
2
y(x) = 2 cos 2x +
1
1
sin 2x + x sin 2x.
2
4
y
2
π
2
π
−2
64
3π
2
2π
5π
2
x
3π
b) Rovnice 16y ′′ + 8y ′ + 17y = 17, je-li y(0) = 2, y ′ (0) = 0. (Rovnice je matematick´ym modelem
kmitav´eho pohybu (pruˇzina, kyvadlo) s odporem prostˇred´ı nebo R-L-C obvodu s vnˇejˇs´ı vtiˇstˇenou silou
- konstantn´ı napˇet´ı zdroje)
ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice 16y ′′ +8y ′ +17y = 17 - viz (3.1.12d) je y(x) = e− x4 (C1 cos x+C2 sin x).
Reˇ
Prav´a strana R(x) = 17 = e0x (17 cos 0x + sin 0x), pˇredpokl´adan´e ˇreˇsen´ı m´a tvar ν(x) = A ⇒
ν ′ (x) = 0, ν ′′ (x) = 0. Dosad´ıme do dan´e rovnice: 17A = 17 ⇒ A = 1 ⇒ ν(x) = 1.
x
Obecn´e ˇreˇsen´ı tedy je y(x) = e− 4 (C1 cos x + C2 sin x) + 1.
x
x
Vypoˇcteme y ′ = − 41 e− 4 (C1 cos x+C2 sin x)+e− 4 (−C1 sin x+C2 cos x). Pouˇzijeme-li poˇca´teˇcn´ı
1
podm´ınky, pak po dosazen´ı a snadn´em v´
ypoˇctu je C1 = 1, C2 = a hledan´e ˇreˇsen´ı Cauchyovy
4
u
´lohy je
1
x
y(x) = e− 4 cos x + sin x + 1.
4
y
2
1
x
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
4π
9π
2
c) y ′′ = −1, plat´ı-li y(0) = 2, y ′ (0) = 0.
Charakteristick´a rovnice λ2 = 0 ⇒ λ12 = 0 (dvojn´
asobn´
y koˇren). yh = C1 e0x + C2 xe0x =
0x
C1 + C2 x. Prav´a strana R(x) = −1 = −e . Charakter. ˇc´ıslo a + bi = 0 + 0i = 0 je dvakr´at
(r = 2) koˇrenem charakter. rovnice, proto ν(x) = x2 .A ⇒ ν ′ (x) = 2Ax, ν ′′ (x) = 2A a dosad´ıme
1
do dan´e rovnice: 2A = −1 ⇒ A = − .
2
1
1
Partik. ˇreˇsen´ı ν(x) = − x2 a obecn´e ˇreˇsen´ı dan´e rovnice je y(x) = C1 + C2 x − x2 .
2
2
Konstanty C1 , C2 z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek. vypoˇcteme y ′ = C2 −x a dosad´ıme: 2 = C1 +0∧0 =
C2 − 0 ⇒ C1 = 2, C2 = 0. Cauchyova u
´loha s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami m´a tedy ˇreˇsen´ı
1 2
y(x) = 2 − − x . (Srovnej s Uk´
azkov´
ym pˇr´ıkladem (3.1.1b)).
2
charakteristick´a rovnice
(vlastn´ı ˇc´ısla λ matice A)
v´
ypoˇcet vlastn´ıho vektoru h
v´
ypoˇcet vlastn´ıch vektor˚
u h, h∗
funkce fundament´
aln´ıho syst´emu
funkce fundament´
aln´ıho syst´emu
Uˇ
ziteˇ
cn´
e vztahy
det(A − λE) = 0
(A − λE)h = o
2
(A − λE) h = o
eλx E · h
eλx (E + (A − λE) x] h
Tabulka 12:
65
λ je jednoduch´
y koˇren
λ je dvojn´
asobn´
y koˇren
char. rovnice)
λ je jednoduch´
y koˇren
λ je 2-n´
asobn´
y koˇren
char. rovnice
ˇ sme n´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.16. Reˇ
asleduj´ıc´ı soustavy diferenci´
aln´ıch rovnic eliminaˇcn´ı metodou:
a)
y1′ =
y2′ =
2y1 + 2y2
y1 + 3y2
′ y1
2 2
y1
.
Zapiˇsme soustavu maticovˇe: y’ =
=
y2′
y2
1 3
Je to homogenn´ı soustava.
M˚
uˇzeme ji ˇreˇsit eliminaˇcn´ı metodou: Z druh´e rovnice vyj´adˇr´ıme y1 a dosad´ıme do prvn´ı rovnice: y1 = y2′ − 3y2 ⇒ y2′′ − 3y2′ = 2(y2′ − 3y2 ) + 2y2 ⇒ y2′′ − 5y2′ + 4y2 = 0. Tuto rovnici jiˇz
um´ıme ˇreˇsit: charakter. rovnice λ2 − 5λ + 4 = 0 m´a koˇreny λ1 = 1, λ2 = 4 a obecn´e ˇreˇsen´ı tedy
je y2 (x) = C1 ex + C2 e4x a snadn´
ym v´
ypoˇctem i y1 = −2C1 ex + C2 e4x .
ˇ
Reˇsen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
u matice.
2 2
Vyjdeme z matice soustavy A =
a najdeme jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory.
1 3
2 − λ
2 2
1 0
2 Pro vlastn´ı ˇc´ısla λ plat´ı det(A−λE) = 0 ⇒ det
−λ
=0⇒
=
1 3
0 1
1
3 − λ
0 ⇒ λ2 − 5λ + 4 = 0 ⇒ λ = 1 ∨ λ = 4.
K nalezen´
ym vlastn´
u
m urˇ
h. Pro
nˇe plat´ı(λE− A)h = o.
ım
ˇc´ısl˚
c´ıme vlastn´
ı vektory
−1 −2
1 0
2h1 + 2h2
2 2
h1
= o ⇒
= o ⇒
• Pro λ = 1 je 1 ·
·
−
·
h1 + 3h2
−1 −2
0 1
h2
1 3
−4h1 − 8h2
2h1 + 2h2
= o, coˇz je splnˇeno (napˇr´ıklad) pro h1 = −2, h2 = 1 (nenulov´
y
=
−4h1 − 8h2
h1 + 3h2
−2
vektor!!). K vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1 je tedy vlastn´ı vektor h =
.
1
1
∗
• Zcela obdobnˇe najdeme vlastn´ı vektor k vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 4 . Nakonec je h =
.
1
−2 x
1 4x
Fundament´
aln´ı syst´em dan´e soustavy tedy tvoˇr´ı funkce
e a
e a obecn´e ˇreˇsen´ı je
1
1
1 4x
−2C1 + C2 e4x
−2 x
y1
e =
.
e + C2
= C1
y(x) =
1
C1 ex + C2 e4x
1
y2
b)
y1′ =
y1 + 2y2
y2′
= 2y1 + 4y2
′
1 2
y1
y1
′
, A=
⇒ y′ = A · y
Maticovˇe: y =
, y=
2 4
y2
y2′
1
1
Eliminaˇcn´ı metoda: Z prvn´ı rovnice y2 = (y1′ − y1 ) ⇒ y2′ = (y1′′ − y1′ ) a dosad´ıme do druh´e
2
2
1 ′′
′
′
′′
′
rovnice (y1 − y1 ) = 2y1 + 2 (y1 − y1 ) ⇒ y1 − 5y1 = 0 . Charakter. rovnice λ2 − 5λ = 0 ⇒ l0 =
2
C1
+ 2C2 e5x .
0, λ2 = 5. Obecn´e ˇreˇsen´ı y1 (x) = C1 e0x + C2 e5x = C1 + C2 e5x , y2 (x) = −
2
ˇ sen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
Reˇ
u matice.
1 − λ
1 2
2 1 0
Vlastn´ı ˇc´ısla matice A : det(A−λE) = 0 ⇒ det
−λ
=
= 0 ⇒ 2 4
2
4 − λ
0 1
0 ⇒ λ2 − 5λ = 0 ⇒ λ = 0 ∨ λ = 5.
Vlastn´ı vektory: (λE − A)h = o.
66
1
2
2
1
⇒−
4 2
2
napˇr´ıklad (nenulov´
y !) vektor h =
.
−1
1 0
1 2
h1
• Pro λ = 5 je 5
−
0 1 2 4
h2
1
(napˇr´ıklad) vektor h∗ =
.
2
• Pro λ = 0 je λE − A = −
2
4
0
h1 + 2h2
h1
=
=o⇒
. Vyhovuje
0
2h1 + 4h2
h2
0
4 −2
0
h1
=
⇒
=
. Vyhovuje
0
−2 1
0
h2
2
2
1 5x
Fundament´
aln´ı syst´em dan´e soustavy tedy tvoˇr´ı funkce
e0x =
a
e a obecn´e
−1
−1
2
1 5x
2
2C1 + C2 e5x
y1
e =
+ C2
.
= C1
ˇreˇsen´ı je y(x) =
2
−1
−C1 + 2C2 e5x
y2
c)
y1′ = y1 + y2
y2′ =
y2
′
y
y
1 1
Maticov´
y z´
apis: y′ = 1′ , y = 1 , A =
⇒ y′ = A · y
y2
0 1
y2
Eliminaˇcn´ı metoda:
Z druh´e rovnice pˇr´ımo (charakter. rovnice) λ − 1 = 0 ⇒ λ = 1 ⇒ y2 = C2 ex .
Dosad´ıme do prvn´ı rovnice y1′ = y1 + C2 ex ⇒ y1′ − y1 = C2 ex . To je nehomogenn´ı rovnice
1.ˇr´adu, okamˇzitˇe je y1h = C1 ex a metodou odhadu (neurˇcit´
ych koeficient˚
u ) dostaneme po
kratˇs´ım v´
ypoˇctu y1 = C1 ex + C2 xex .
C1 ex + C2 xex
Obecn´e ˇreˇsen´ı tedy je y(x) =
.
C2 ex
ˇ sen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
Reˇ
u matice.
Vlastn´ı ˇc´ısla matice A podle vztahu det(A − λE) = 0 jsou λ1 = λ2 = 1 . (dvojn´
asobn´
y koˇren).
Vlastn´ı vektory podle vztahu (A − λE)2 h = o :
2 1 1
1 0
0 1
0 1
0 0
2
(λ = 1) A − λE =
−
=
⇒ (A − λE) =
=
a tedy
0 1
0 1 0 0 0 1
0 0
0 0
h1
= 0 jsou (napˇr´ıklad)
dvˇe naz´
avisl´
a a nenulov´a ˇreˇsen´ı rovnice
·
h2
0 0
1
0
h=
a h∗ =
.
0
1
Fundament´
aln´ı syst´em soustavy
tedydostaneme
1 0
1 1
1 0
1
λx
x
(E + (A − λE).x) e · h =
+
−
x · he =
0 1
0 1
0 1
0
funkce: x
1
1 x
1 x
e
pro h =
je to
·
e =
a
0
0
1
0
0 x 0
1 x
0 x
xe
pro h∗ =
je to
·
e =
.
1
0 1
1
ex
x x
xe
C1 ex + C2 xex
e
=
.
+ C2
Obecn´e ˇreˇsen´ı pak je y(x) = C1
ex
C2 ex
0
67
x
· hex dvˇe
1
d)
y1′ =
y2′ =
y2
−y1
′
y
y
0 1
Maticov´
y z´
apis: y′ = 1′ , y = 1 , A =
⇒ y′ = A · y
y2
1 0
y2
Eliminaˇcn´ı metoda: Z druh´e rovnice y1 = −y2′ a dosad´ıme do prvn´ı rovnice (−y2′ )′ = y2 ⇒
y2′′ + y2 = 0.
ˇ sen´ı pak je
Charakteristick´a rovnice λ2 + 1 = 0 ⇒ λ = ±i ⇒ eix = cos x + i sin x. Reˇ
′
y2 (x) = C1 cos x + C2 sin x a ztoho pak
1 = −y2 = C1 sin x −
y
C2 cos x.
y1 (x)
C1 sin x − C2 cos x
Obecn´e ˇreˇsen´ı je tedy y(x) =
=
.
y2 (x)
C1 cos x + C2 sin x
ˇ sen´ı pomoc´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
Reˇ
u matice.
−λ 1 0 1
1 0
=
Vlastn´ı ˇc´ısla matice A : det(A−λE) = 0 ⇒ det
−λ
=0⇒
−1 0
0 1
−1 −λ
0 ⇒ λ2 + 1 = 0 ⇒ λ = i ∨ λ = −i.
Vlastn´ı vektory: (λE − A)h
= o. 0
ih1 − h2
i −1
i −1
h1
=
.
=o⇒
• Pro λ = i je λE − A =
⇒
0
−h1 + ih2
−1 i
h2
−1 i
i
Vyhovuje napˇr´ıklad (nenulov´
y !) vektor h =
.
−1
• Pˇr´ıpad λ = −i nen´ı tˇreba ˇreˇsit. Je zahrnut v pˇredchoz´ım.
Najdeme re´
alnou
arn´ı sloˇzku v´
y
razu
a imagin´
cos x
i
i cos x − sin x
− sin x
λx
i·x
+i
he = he =
(cos x + i sin x) =
=
− sin x
−1
− cos x − i sin x
− cos x
| {z }
| {z }
re´
aln´
a sloˇ
zka
Obecn´e ˇreˇsen´ı je tedy y(x) = C1
imagin. sloˇ
zka
− sin x
cos x
−C1 sin x + C2 cos x
+ C2
=
.
− cos x
− sin x
−C1 cos x − C2 sin x
ˇ sme n´
aln´ıch rovnic
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.17. Reˇ
asleduj´ıc´ı nehomogenn´ı soustavu diferenci´
1
0
1
y
1
+
y′ =
r˚
uzn´
ymi metodami.
−2
y
1 0
2 0 1
y1
1
, A=
Oznaˇcme y =
, b(x) =
, y′ (x) = Ay(x) + b(x).
1 0
−2
y2
y1′ = y2 + 1, y2′ = y1 − 2.
Eliminaˇcn´ı metoda: Z druh´e rovnice dosad´ıme y1 = y2′ + 2 do prvn´ı rovnice y2′′ = y2 + 1 ⇒
− y2 = 1.
Tuto nehomogenn´ı rovnici 2. ˇr´adu um´ıme ˇreˇsit. Zˇrejmˇe pˇr´ısluˇsn´a homogenn´ı rovnice m´a charakteristickou rovnici λ2 −1 = 0 ⇒ λ = ±1 ⇒ y2h = C1 ex +C2 e−x . Metodou neurˇcit´
ych koeficient˚
u (odhadu) najdeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice: yp = K ⇒ yp′ = 0, yp′′ = 0 a dosazen´ım
−K = 1 ⇒ K = −1. Partikul. ˇreˇsen´ı yp = −1 a obecn´e ˇreˇsen´ı y2 = yh + yp = C1 ex + C2 e−x − 1.
x
−x
′
y1 dostaneme jiˇz snadno z prvn´ı rovnice dan´e soustavy:
y1 = y2′ + 2 =
(C1 e + C2 e − 1) + 2 =
x
−x
C1 e − C2 e + 2
C1 ex − C2 e−x + 2. Je tedy obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) =
.
C1 ex + C2 e−x − 1
y2′′
68
Metoda vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
u.
ˇ sen´ı je sice patrn´e i z
K1 Nejprve vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı rovnici y′ (x) = Ay(x). Reˇ
pˇredchoz´ıho postupu, ale struˇcnˇe: −λ 1
Vlastn´ı ˇc´ısla matice A: A − λE =
.
1 −λ
−λ 1
det(
) = λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ±1.
1 −λ
Vlastn´ı vektoryz rovnice(A − λE)h = o
−1 1
1
(pro λ = 1 ) je
h = o ⇒ napˇr´ıklad h =
,
1 −1
1
1 1
1
(pro λ = −1 ) je
h = o ⇒ napˇr´ıklad h∗ =
.
1 1
−1
Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy tedy
1
1 x
C1 ex + C2 e−x
−x
e =
e + C2
yh = C1
.
−1
1
C1 ex − C2 e−x
K2 Najdeme libovoln´e pevn´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı dan´e soustavy. Existuj´ı dvˇe metody.
ame ve tvaru obecn´eho ˇreˇsen´ı homogenn´ı souMetoda variace konstant. Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı hled´
stavy,C1 , C2 jsou nezn´
a
m´
e
funkce.
Derivujeme
jej
a dosad´ıme dodan´e soustavy:
′ x
C1 ex + C2 e−x
C1 e + C1 ex + C2′ e−x − C2 e−x
yp =
⇒ y’p =
,
C1 ex − C2 e−x
C1′ ex + C1 ex − C2′ e−x + C2 e−x
Dosad´ıme do dan´e soustavy a porovn´an´ım souˇradnic pˇr´ısluˇsn´
ych vektor˚
u dostaneme soustavu
rovnic:
C1′ ex + C1 ex + C2′ e−x − C2 e−x = C1 ex − C2 e−x + 1
C1′ ex + C1 ex − C2′ e−x + C2 ex = C1 ex + C2 e−x − 2.
Po kr´
atk´e u
´pravˇe je soustava
C1′ ex + C2′ e−x = 1
C1′ ex − C2′ e−x = −2.
1
3
1 R −x
3
3R x
1
e dx = e−x a C2′ = ex ⇒ C2 =
e dx = ex .
a odtud C1′ = − e−x ⇒ C1 = −
2
2
2
2
2
2
Dosazen´ım
ych hodnot C1 (x), C2 (x) do yp m´ame koneˇcnˇe hodnoty partikul´arn´ıch
vypoˇ
cten´
2
funkc´ı yp =
.
−1
Koneˇcnˇe je tedy obecn´e ˇreˇsen´ı soustavy
C1 ex + C2 e−x
2
C1 ex + C2 e−x + 2
y(x) = yh + yp =
+
=
.
C1 ex − C2 e−x
−1
C1 ex − C2 e−x − 1
Metoda neurˇ
cit´
ych koeficient˚
u
Partikul´
arn´
ı ˇreˇs
en´ı hled´
ame metodou neuˇ
cit´
ych koeficient˚
e funkce prav´
u (odhadu), tzn. ve tvaru vektorov´
e
1
A
A
strany b(x) =
. To je konstantn´ı vektor, takˇ
ze yp =
, kde A, B = konst.. Dosad´ıme tedy yp =
,
−2
B
B
0
y′p =
0
0 1
1
do dan´
e rovnice y′ =
.y +
a dostaneme rovnici
1 0
−2
69
0
0
=
0
1
1
A
1
0
B
1
.
+
⇒
=
+
, a z toho uˇ
z snadno A = 2, B = −1.
0
B
−2
0
A
−2
2
Je tedy yp =
−1
Nakonec je obecn´
e ˇreˇsen´ı
C1 ex + C2 e−x
2
C1 ex + C2 e−x + 2
y(x) = yh + yp =
+
=
.
−1
C1 ex − C2 e−x
C1 ex − C2 e−x − 1
ˇ sme Cauchyovu u
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 3.1.18. Reˇ
´lohu pro soustavy


   
2
2 −2
0
1
5 −4  y s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y 0 = −1.
a) y′ =  2
−2 −4 5
1  
 
0 
0
2
−1
Obecn´e ˇreˇsen´ı soustavy je (viz (3.1.16e)) y(x) = C1 e10x −2 + C2 ex −1 + C3 ex 1.
1
0
2
’
Dosad
me
z
poˇ
c
a
´
teˇ
c
n´
ıch
podm´
ınek:
 
 
 
 
1
−1
2
0
−1 = C1 e0x −2 + C2 e0x −1 + C3 e0 1.
1
2
0
1
Dostaneme soustavu
1=
−1 =
1=
Jej´ım ˇreˇsen´ım je C1 =
−C1 + 2C2
−2C1 − C2
2C1
+C3
+C3
2
1
1
, C2 = C3 = partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı pak je
3
3
3
 
 
 
−1
2
0
2
1
1
y(x) = e10x −2 + ex −1 + ex 1 .
3
3
3
2
0
1
0 1
1
0
1
b) y =
y+
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y
=
.
1 0
−2
0
2 x
−x
C1 e + C2 e + 2
Obecn´e ˇreˇsen´ı soustavy je (viz (3.1.17)) y(x) =
.
C1 ex − C2 e−x − 1
Do
dosad´ıme
ˇreˇsen´
ı soustavy
s poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek:
1
C1 e0 + C2 e−0 + 2
=
. Dost´
av´
ame soustavu rovnic
2
C1 e0 − C2 e−0 − 1
′
1 = C1 + C2 + 2
2 = C1 − C2 − 1.
ˇ sen´ım je C1 = 1, C2 = −2 a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı soustavy pak je
Reˇ
x
e − 2e−x + 2
y(x) = x
.
e + 2e−x − 1
70
3.2
Cviˇ
cen´ı
ˇ ste n´
1. Reˇ
asleduj´ıc´ı separovateln´e rovnic
a) y ′ = x(y + 1)
b) xy ′ = y(y + 2)
f)
c) y 2 y ′ = x2
d) (1 + y 2 ) arctg y = xy ′
√
e) y ′ = y
g)
1
y′
=
y−2
x+1
y ′ ex (y + 1)
=1
y
h) y ′ = ex+2y
√
2Cx2
2
3
3 + C, c ∈ R
x
,
c
∈
R,
c)
y
=
a) y = −1 + Cex /2 , C ∈ R, b) y =
2 − Cx2
d) | arctg y| = Cx, C ∈ R, e) y = (x + C)2 , C ∈ R, f ) y = C|x − 1|, C ∈ R
"
#
r
x
C
−
e
g) y + ln |y| = C − e−x , C ∈ R, h) y = − ln
2
ˇ ste Cauchyovu u
2. Reˇ
´lohu pro rovnici
1
y′
=
s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y(0) = 3.
y−2
x+1
b) y ′ = ex+2y s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y(2) = −1.
a)
c) (1 + y 2 ) arctg y = xy ′ s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y(1) = −1.
√
d) y ′ = y s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y(−2) = 2.
#
"
r
πx
πx
3e2 − ex
, c) | arctg y| =
⇒ y = − tg
,
a) y = 3|x − 1| b) y = − ln
2
4
4
2 x √
+ 2+1
d) y =
2
y
y
2
−1
y
2
1
2
3
6
x
−2 −1
−2
1
2
x
3
−2
−8 −6 −4 −2
Obr´azek 3.2.1: 2b)
Obr´azek 3.2.2: 2c)
x
Obr´azek 3.2.3: 2d)
ˇ ste homogenn´ı line´arn´ı diferenci´
3. Reˇ
aln´ı rovnici 1. ˇr´adu (separac´ı, pˇr´ıpadnˇe - pokud je to moˇzn´e
- i jinak)
a) y ′ − xy = 0
b) (1 + x2 )y ′ + xy = 0
a) y = Cex
2
/2
c) xy ′ − y = 0
d) (x + 1)y ′ − y = 0
e) 3y ′ − 2y = 0
f) y ′ − ex y = 0
C
x
2
, c) y = C|x|, d) y = C|x + 1|, e) y = Ce 3 x , f ) y = Cee
, b) y = √
2
1+x
71
4. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı n´
asleduj´ıc´ıch diferenci´
aln´ıch rovnic a nakreslete nˇekolik integr´aln´ıch
kˇrivek.
a) xy ′ − y = 0
b) xy ′ + y = 0
c) yy ′ + x = 0
d) y ′ = y
a) y = Cx, b) xy = C, c) x2 + y 2 = C, d) y = Cex
5. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı n´
asleduj´ıc´ıch diferenci´
aln´ıch rovnic a najdˇete i singul´arn´ı ˇreˇsen´ı, pokud
existuje.
p
√
1 − y 2 dx + 1 − x2 dy = 0
a) x2 y ′ + y = 0
e)
b) 2st2 ds = (1 + t2 )dt
f) y 2 + 1 = y ′
c) (1 + y 2 )dx = −xy dy
g) x2 + 1 + y ′ cos y = 0
h) y ′ = ex+y
d) (1 + y 2 )dx = x dy
t2 − 1 + Ct
2
2
, c) x (1 + y ) = C, d) y = tg(ln Cx)
a) y = Ce , b) s =
t
x3
e) arcsin x + arcsin y = C, sing.ˇreˇs. y = ∓1, f ) y = tg(x + C), g) sin y = C − x −
3
1/x
2
[h) y = − ln(C − ex )]
6. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı dan´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınce.
a) y ′ sin x = y ln y, je-li y( π2 ) = 1
√
c) 2 ydx = dy, je-li y(0) = 1
b) (1 + ex )yy ′ = ex , je-li y(1) = 1
d) (1 + x2 )y ′ = 1 + y 2 , je-li y(0) = 1
π
ex + 1
√
, c) y = x + 1, d) arctg y − arctg x =
a) y = 1, b) y − 1 = 2 ln
e+1
4
2
ˇ ste nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´
7. Reˇ
aln´ı rovnici 1. ˇr´adu (metodou variace konstanty)
a) y ′ sin x + y cos x = −x
b) (1 + x2 )y ′ + xy = −x
c) xy ′ − y = 3x
d) (x + 1)y ′ − y = 2(x + 1)2
e) y ′ = x2 + x2 y
f) y ′ x ln x + y = x
g) xy ′ − y = x
x
h) y ′ − ex y = 2ee
C
x2
C
− 1, c) y = C|x| + 3x ln |x|
−
, b) y = √
| sin x| 2 sin x
1 + x2
x2
C
x3 /3
+
, x>0
d) y = C|x + 1| + 2x(x + 1), e) y = Ce
− 1, f ) y =
ln x 2 ln x
x
x
g) y = C|x| + |x| ln |x|, h) y = Cee + 2xee
a) y =
ˇ ste Cauchyovu u
8. Reˇ
´lohu pro rovnici s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou.
a) y ′ sin x + y cos x = −x s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y( π2 ) = 2.
b) (x + 1)y ′ − y = 2(x + 1)2 s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou y(1) = 2.
16 + π 2
1
x2
a) y =
·
−
, b) y = (x + 1)(2x − 1)
8
sin x 2 sin x
72
4
y
y
4
2
2
π
2
−π
2
−2
π
3π
2
x
−2 −1
Obr´azek 3.2.4: 8a)
1
2
x
3
Obr´azek 3.2.5: 8b)
ˇ ste n´
9. Reˇ
asleduj´ıc´ı line´arn´ı diferenci´
aln´ı rovnice metodou variace konstanty.
a) xy ′ − 3y = x2
b) xy ′ + 2y = e−x
"
2
c) xy ′ + y = ln x + 1
e) y ′ + y cos x = sin 2x
d) (2x + 1)y ′ + y = x
f) y ′ + y = cos x
#
−x2
C
C
−
e
x
−
1
C
, c) y = ln x + , d) y =
a) y = Cx3 − x2 , b) y =
+√
2x2
x
3
2x + 1
1
− sin x
−x
e) y = 2(sin x − 1) + Ce
, f ) y = Ce + (cos x + sin x)
2
10. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı, jehoˇz integr´aln´ı kˇrivka proch´
az´ı dan´
ym bodem A.
a) xy ′ + 2y = 3x, A(0, 0)
b) y ′ + x2 y = x2 , A(2, 1)
1
, pro x = 0 je y = 0,
c) y ′ − y tg x =
cos x
h
a) y = x, b) y = 1, c) y =
d) (1 − x2 )y ′ + xy = 1, je-li y(0) = 1
e) y ′ + y cos x = sin x cos x, A(0, 1)
f) y ′ + yx2 = x2 , je-li y(2) = 1
i
√
x
+ 1, d) y = x + 1 − x2 , e) y = 2e− sin x + sin x − 1
cos x
[f ) y = 1]
11. Najdˇete kˇrivku, jej´ıˇz teˇcna v libovoln´em jej´ım bodˇe vyt´ın´a na ose y u
´ sek, kter´
y je o dvˇe
(jednotky) menˇs´ı neˇz x-ov´a souˇradnice dotykov´eho bodu.
[y = Cx − x ln |x| − 2]
12. Najdˇete rovnici kˇrivky, jej´ıˇz teˇcna sestrojen´a v jej´ım libovoln´em bodˇe prot´ın´a osu y v bodˇe,
jehoˇz y-ov´a souˇradnice je rovna x-ov´e souˇradnici dotykov´eho bodu.
[y = Cx − x ln x]
ˇ ste homogenn´ı rovnice 2. ˇr´adu s konstantn´ımi koeficienty.
13. Reˇ
a) y ′′ − 6y ′ + 5y = 0
c) y ′′ − 3y = 0
b) 2y ′′ + y ′ = 0
d) 4y ′′ − 4y ′ + y = 0
73
e) y ′′ + y = 0
g) 4y ′′ − 4y ′ + 37y = 0
f) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
h) 16y ′′ = 0
h
√ i
√
a) y = C1 ex + C2 e5x , b) y = C1 + C2 e−x/2 , c) y = C1 ex 3 + C2 e−x 3
d) y = C1 ex/2 + C2 xex/2 , e) y = C1 cos x + C2 sin x, f ) y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
g)y = ex/2 (C1 cos 3x + C2 sin 3x), h) y = C1 + C2 x
ˇ ste Cauchyovu u
14. Reˇ
´lohu pro rovnice s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami.
a) 2y ′′ + y ′ = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1
b) y ′′ − 3y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = −1
c) 4y ′′ − 4y ′ + 37y = 0, y(0) = −1, y ′ (0) = 0
"
√
√
#
1
3 x√3
3 −x√3
x
− 12 x
a) y = 3 − 2e
, b) y = −
+
, c) y = e 2 − cos 3x + sin 3x
e
e
6
6
6
y
10
4
y
y
2
2
5
−2
−2
x
Obr´azek 3.2.6: 14a)
2
−2
Obr´azek 3.2.7: 14b)
x
−π
−π
2
π
2
−2
Obr´azek 3.2.8: 14c)
ˇ ste nehomogenn´ı rovnice 2. ˇr´adu (variace konstant nebo metoda neurˇcit´
15. Reˇ
ych koeficient˚
u)
a)
b)
c)
d)
e)
2y ′′ + y ′ = x (variace konstant)
y ′′ − 3y = −1 (metoda neurˇcit´
ych koeficient˚
u)
′′
′
2
4y − 4y + 37y = x (metoda neurˇcit´
ych koeficient˚
u)
y ′′ + 4y = cos 2x (metoda neurˇcit´
ych koeficient˚
u)
y ′′ − 2y ′ + y = ex (obˇe metody)
√
√
1
1
a) y = C1 + C2 e−x/2 + x2 − 2x + 4, b) y = C1 ex 3 + C2 e−x 3 +
2
3
1
264
1
8
c) y = ex/2 − cos 3x + sin 3x + x2 + 2 x − 3
3
37
37
37
1
1
d) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x sin 2x, e) y = C1 ex + C2 xex + x2 ex
4
2
74
x
ˇ ste Cauchyovu u
16. Reˇ
´lohu pro diferenci´
aln´ı rovnici s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami.
a) 2y ′′ + y ′ = x, y(0) = 0, y ′ (0) = 0
b) y ′′ − 2y ′ + y = ex , y(0) = −1, y ′ (0) = 1
1 2
1 2 x
−x/2
x
x
a) y = −4e
+ x − 2x + 4, b) y = −e + 2xe + x e
2
2
17. Najdˇete obecn´
a ˇreˇsen´ı diferenci´
aln´ıch rovnic:
a) y ′′ = x + sin x
b) y ′′ = ln x
1
c) y ′′ =
1 + x2
d) y ′′ − 4y ′ + 3y = 0
g) y ′′ + 10y ′ + 25y = 0
e) y ′′ − 4y = 0
h) y ′′ − 4y ′ + 13y = 0
f) y ′′ − 4y ′ + 4y = 0
i) y ′′ + 4y = 0
3
x2
x3
ln x −
+ C1 x + C2 ,
− sin x + C1 x + C2 , b) y =
a) y =
6
2
2
√
x
2x
2
c) y = x arctg x − ln 1 + x + C1 x + C2 , d) y = C1 e + C2 e , e) y = C1 e2x + C2 e−2x
f ) y = C1 e2x + C2 xe2x , g)y = C1 e−5x + C2 xe−5x , h) y = e2x (C1 cos 3x + C2 sin 3x)
[i) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x]
18. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic splˇ
nuj´ıc´ı dan´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky:
b) y ′′ –2y ′ + 5y = 0, y( π2 ) = 0, y ′ ( π2 ) = −1
a) y ′′ + y ′ –2y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = 1
a) y =
1 2x−π
1
5ex + e−2x , b) y = e 2 sin 2x
3
2
19. Najdˇete integr´aln´ı kˇrivku rovnice y ′′ − y = 0 dot´
ykaj´ıc´ı se v poˇca´tku pˇr´ımky y = x.
ex − e−x
y=
2
20. Najdˇete obecn´
a ˇreˇsen´ı diferenci´
aln´ıch rovnic
e) y ′′ − 2y ′ + y = e2x
a) y ′′ + 3y ′ = 9x
b) y ′′ − 4y = 8x3
f) y ′′ − 3y ′ = xex
c) y ′′ − 2y ′ = x2 − x
g) y ′′ + 3y ′ + 2y = sin 2x + 2 cos 2x
d) y ′′ + y = x2
h) y ′′ − 7y ′ + 6y = sin x
3x2
− x, b) y + C1 e2x + C2 e−2x − 2x3 − 3x
2
3
x
2
x
2x
2x
c) y = C1 + C2 e − , d) y = C1 cos x + C2 sin x + x − 2, e) y = (C1 + C2 x)e + e
6
1
1 x
x
−x
−2x
3x
e g) y = C1 e + C2 e
+ (sin 2x − cos 2x)
f ) y = C1 + C2 e +
−
4 2
4
5 sin x + 7 cos x
6x
x
h) y = C1 e + C2 e +
74
a) y = C1 + C2 e−3x +
75
21. Najdˇete obecn´
a ˇreˇsen´ı diferenci´
aln´ıch rovnic
a) y ′′ +5y ′ +6y = e−x +e−2x , b) y ′′ − 2y ′ + 2y = ex cos 2x,
a) y = C1 e−2x + C2 e−3x +
c) y ′′ + y = x + 2ex
e−x
ex cos 2x
+ xe−2x , b) y = ex (C1 cos x + C2 sin x) −
2
3
[c) y = C1 cos x + C2 sin x + x + ex ]
22. Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı diferenci´
aln´ıch rovnic vyhovuj´ıc´ı dan´
ym poˇca´teˇcn´ım podm´ınk´am.
a) y ′′ –2y ′ + 10y = 2x2 –3, kde y(0) = y ′ (0) = 0
3
b) 4y ′′ + 16y ′ + 15y = 4e− 2 x , kde y(0) = 3, y ′ (0) =
11
2
ex
50x2 + 20x − 81
−3x
−5x
a) y =
(243 cos 3x − 101 sin 3x) +
, b) y = (1 + x)e 2 + 2e 2
750
250
23. Metodou variace konstant ˇreˇste n´
asleduj´ıc´ı diferenci´aln´ı rovnice:
a) y ′′ + 4y =
1
sin 2x
e2x
cos x
c) y ′′ –2y ′ + y =
ex
x2
e) y ′′ + y ′ =
1
tg x
e−2x
x2
x
ln | sin 2x|
a) y = C1 −
cos 2x + C2 +
sin 2x
2
4
2x
2x
b) y = e (C1 + ln | cos x|) cos x + e (C2 + x) sin x, c) y = (C1 − ln |x| + C2 x) ex
d) y = C1 cos x + C2 sin x − cos x · ln tg x2 + π4 1
−x
−x
x
−2x
e) y = y = C1 + C2 e − (1 + e ) ln(1 + e ) + x, f ) y = e
C2 + C1 x +
2x
b) y ′′ –4y ′ + 5y =
d) y ′′ + y = tg x
f) y ′′ + 4y ′ + 4y =
24. Metodou variace konstant ˇreˇste n´
asleduj´ıc´ı diferenci´aln´ı rovnice:
a) y ′′ + y =
ex
c) y ′′ − 2y ′ + y = √
4 − x2
1
cos2 x
b) y ′′ + 4y =
1
sin2 x
d) y ′′ − 3y ′ + 2y =
e3x
1 + e2x
sin2 x − cos2 x
a) y = C1 cos x + C2 sin x +
2 cos x
b) y = (C1 − ln | sin x| cos 2x) + (C2 − x − cotg x2 ) sin 2x
√
c) y = (C1 + 4 − x2 + x arcsin x2 + C2 x)ex
√
d) y = (C1 − ln 1 + e2x )ex + (C2 + arctg ex )e2x
76
ˇ ste soustavy line´arn´ıch diferenci´
25. Reˇ
aln´ıch rovnic eliminaˇcn´ı metodou metodou i metodou
vlastn´ıch ˇc´ısel (resp. variac´ı konstant)
a)
b)
c)
y1′ = −y1 + y2
y2′ = y1 + y2 .
y1′ =
y2′ =
y1′ = 3y1 − y2 + sin x
y2′ =
y1 + y2 .
−y1 + y2
3y1 + y2 .
h
√
√
√ i
√
√
√
a) y1 = C1 ex 2 + C2 e−x 2 , y2 = C1 (1 + 2)ex 2 + C2 (1 − 2)e−x 2
C1 e2x + C2 e−2x
b) y(x) =
3C1 e2x − C2 e−2x



7
1
2x
2x
2x

C1 e + C2 e + C2 xe − 25 sin x − 25 cos x
 c) y(x) = 

3
4
C1 e2x + C2 xe2x +
sin x +
cos x
25
25
ˇ ste Cauchyovu u
26. Reˇ
´lohu pro soustavy line´arn´ıch diferenci´
aln´ıch rovnic s dan´
ymi poˇca´teˇcn´ımi
podm´ınkami
b)
a)
y1′ =
y2′ =
c)
y1′ =
−y1 + y2
y2′ =
y1 + y2 ,
PP: y1 (0) = 1, y2 (0) = −1
y1′ =
−y1 + y2
y2′
3y1 + y2 .
=
3y1 − y2 + sin x
y1 + y2 .
0
1
PP: y
=
0
3
PP: y1 (0) = 1, y2 (0) = 3
√
√
2x #
1 − 2 x√2 1 + 2 −x√2
1 x√2 1 −x√2
e
a) y1 =
+
, y2 = − e
− e
, b) y(x) =
e
e
3e2x
2
2
2
2



7
1
71 2x 45 2x 45 2x
e
−
e
−
xe
−
sin
x
−
cos
x



25
25
c) y(x) =  25 71 25 45 25

3
4
2x
2x
e − xe +
sin x +
cos x
25
25
25
25
"
27. Najdˇete fundament´
aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav diferenci´
aln´ıch rovnic metodou
vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
u:
e)
c)
a)
y1′
y2′
=
=
y1′
y2′
=
=
−14y1 + 12y2
−20y1 + 17y2
= y1
y1′ =
2y1 + y2
= y2
y2′
3y1 + 4y2
3y1
8y1 − y2
d)
b)
y1′
y2′
=
y1′ =
y2′
=
−2y1 + y2
−4y1 + 2y2
a) (1, 2)T e3x , (0, 1)T e−x , b) (1, 0)T ex , (0, 1)T ex , c) (4, 5)T ex , (5, 4)T e2x
, d) (1, 3)T e5x , (−1, 1)T ex , e) (1, 2)T , (1, 2)T x + (1, 3)T
77
28. Najdˇete fundament´
aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav diferenci´
aln´ıch rovnic metodou
vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚
u:
c)
a)
y1′ =
y2′ =
y3′ =
y1 − 3y2 − y3
−3y1 + y2 + y3
y1′ =
y2′
y3′
−y1 + y2 + 5y3
b)
=
=
2y1 + 2y2 − 2y3
2y1 + 5y2 − 4y3
−2y1 − 4y2 + 5y3
d)
y1′ =
y2′ =
5y1 − y2 + 2y3
−y1 + 3y2 − y3
y3′ =
−4y1 + 2y2 − y3
y1′ =
y1 + 2y2 + 3y3
y2′ =
y3′ =
2y1 + 4y2 + 6y3
3y1 + 6y2 + 9y3
e)
y1′ =
6y1 − 7y2 + 4y3
y2′ =
y3′ =
y1 + y3
−2y1 + 3y2
a) (1, 1, 0)T e−2x , (−1, 1, 2)T e6x , (1, −1, 1)T e3x
b) (1, 0, −1)T e3x , (−1, 1, 2)T e2x , (−1, 1, 2)T x + (0, 1, 0)T e2x
c) (−2, 1, 0)T ex , (2, 0, 1)T ex , (1, 2, −2)T e10x , d) (−2, 1, 0)T , (−3, 0, 1)T , (1, 2, 3)T e14x
h
i
2
e) (1, 0, −1)T e2x , (1, 0, −1)T x + (4, 1, 2)T , (1, 0, −1)T x2 + (4, 1, −2)T x + (1, 0, 0)T
ˇ ste soustavu
29. Reˇ
y1′ =
y2′ =
2y1 − 4y2
y1 − 2y2
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = −1
y = (4x, 2x − 1)T
ˇ ste eliminaˇcn´ı metodou nehomogenn´ı soustavy:
30. Reˇ
c)
a)
y1′
y2′
=
y1′ =
2y1 − 4y2
y2′
= y1 − 3y2 + x
=
−5y1 − y2
y1 − 3y2 − 9e2x
d)
b)
y1′ = −2y1 + 2y2 + x
y2′ =
3y1 − y2
y1′ =
y2′ =
−4y1 − 4y2 + 2e2x
6y1 + 6y2 + 2x
h
d) y = C1 (1, −1)T + C2
a) y = C1 (1, 1)T e−2x + C2 (4, 1)T ex (2x + 1, x)T
h
T
T i
b) y = C1 (−1, 1)T e−4x + C2 32 , 1 ex − 41 x + 1, 34 x + 94
h
i
T
c) y = C1 (1, −9)T e4x + C2 (x, −1 − 9x)T e4x + 14 , − 47 e2x
i
T
1, − 23 e2x + (−4x, 6x + 23 )T e2x + (2x2 + 2x, −2x2 − 3x − 21 )T
78
31. Metodou variace konstant ˇreˇste n´
asleduj´ıc´ı soustavy.
a)
d)
y1′
y2′
2x
=
=
y1 + e
2y2 + x2 ex
b)
y1′ =
y2′
y2′
y2′ =
−4y1 − 2y2 + xex
y1 + y2 + xe2x
y1′ =
′
y2 = −y1 + 3y2 + e2x ln x
c)
y1′ =
3y1 + y2 + ex
e)
e2x
2 + ex
y1 − 2y2
3y1 − 6y2 +
=
y1′ =
2y1 + y2 − ln x
= −4y1 − 2y2 + ln x
a) y = C1 ex + e2x , y2 = C2 e2x − (x2 + 2x + 2)ex
[b) y1 = 3C1 ex + 2C2 + 3ex ln(2 + ex ) − 2ex + 4 ln(2 + ex )]
[y2 = C1 ex + C2 + ex ln(2 + ex ) − ex + 2 ln(2 + ex )]
3 2
1 2
c) pro x ∈ (0, ∞) : y1 = C1 + C2 (x + 1) − x ln x + x + x − x ln x
2
4
3 2
2
y2 = −2C1 − C2 (2x + 1) + x ln x − x + x ln x − x
2
7
1
d) y1 = C1 e2x + C2 e−x − ex − xex , y2 = −C1 e2x − 4C2 e−x + 2ex + xex
4
2
1 2 1 3 1 2
x + x − x ln x e2x
e) pro x ∈ (0, ∞) : y1 = C1 e2x + C2 xe2x −
4
6
2
3
1
1
y2 = C1 e2x + C2 (x + 1)e2x − ( x2 + x3 + x2 ln x − x ln x + x)e2x
4
6
2
4
Laplaceova transformace
4.1
ˇ sen´
Reˇ
eu
´ lohy
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.1. Dokaˇzme platnost vzorc˚
u pro Laplaceovu transformaci:
a) Linearita L{af (t) + bg(t)} = aL{f (t)} + bL{g(t)}. R
R
Z
L{af (t) R+ bg(t)} = aL{f (t)}
+ bL{g(t)} = (af (t) + bg(t))e−pt dt = af (t)e−pt dt +
R definice
R
bg(t)e−pt dt = a f (t)e−pt dt + b g(t)e−pt dt = aL{f (t)} + bL{g(t)}.
b) L{t} =
1
.
p2
Z definice L{t} =
R∞
0
te−pt


per partes
dt = u = t; v ′ = e−pt

 ′
u = 1; v = − p1 e−pt
79
h
R 1 −pt i∞
−pe
dt
= −t p1 e−pt −
=
0
Vzor f (t)
Obraz F (p) = L{f (t)}
f (t)
L{f (t)} =
R∞
Transformace
f (t) 7→ F (p)
f (t)e−pt dt
0
definice Laplaceovy
transformace
(4.1.1)
(4.1.2)
af (t)+bg(t), a, b ∈
R
L{af (t) + bg(t)} =
aL{f (t)} + bL{g(t)}
linearita
Laplaceovy transf.
eat · f (t)
L{eat · f (t)} = F (p − a)
posunut´ı obrazu
t · f (t)
L{t · f (t)} = −F ′ (p)
F (p) je obraz f (t)
(4.1.3)
(4.1.4)
Tabulka 13:
h
− p1 · te−pt −
c) L{eat } =
1 −pt
p2 e
i∞
h
= −e−pt 1p · t +
R∞
R∞
1
, p > a.
p−a
Z definice L{eat } =
h
0
i∞
0
eat .e−pt dt =
0
1
p2
i∞
0
e−(p−a)t
=
1
.
p2


subst.
dt = (p − a)t = z;


1
dt = p−a
dz
=
R∞
0
e−z
1
p−a dz
=
1
.
p−a
et − e−t
1
.
. Pˇripomeˇ
nme sinh t =
d) L{sinh t} = 2
p −1
2
Podle vztahu pro linearitu Laplaceovy transformace je
t
t
−t 1 1
e − e−t
e
e
1 1
1
L{sinh t} = L
=L
−L
=
−
= 2
.
2
2
2
2p−1 2p+1
p −1
1
e−z
− p−a
0
=
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.2. Najdˇeme Laplace˚
uv obraz funkce f (t) = sin t.
Lze pouˇz´ıt definice Laplaceovy transformace (cviˇcen´ı) nebo pouˇz´ıt Laplaceova obrazu exponenci´
aln´ı
funkce eat . Je-li a = i (imagin. jednotka), pak
1
1
p+i
p+i
L eit =
=
·
= 2
.
p−i
p−i p+i
p +1
it
Ale e = cos t + i sin t (Euler˚
uv vzorec)
p+i
p
1
⇒ L{cos t + i sin t} = L{cos t} + iL{sin t} = 2
= 2
+i 2
.
p +1
p +1
p +1
p
1
Porovn´an´ım re´
aln´e a imagin´
arn´ı sloˇzky dostaneme L{cos t} = 2
, L{sin t} = 2
p +1
p +1
80
Vzor
Obraz
f (t) = 1
F (p) =
f (t) = eat , a ∈ R
f (t) = tn , n =
0, 1, 2, . . .
f (t) = sin ωt
f (t) = cos ωt
Pozn´
amka
1
, p>0
p
L{2} =
1
, p>a
F (p) =
p−a
F (p) =
pn+1
(4.1.6)
(4.1.7)
ω
F (p) = 2
p + ω2
1
p2 + 1
2
L{sin 2t} = 2
p +4
p
F (p) = 2
p + ω2
p
p2 + 1
p
L{cos(−t)} = 2
p +1
L{sin t} =
(4.1.8)
L{cos t} =
n!
(p − a)n+1
f (t) = eat sin ωt
F (p) =
ω
(p − a)2 + ω 2
f (t) = cosh at
1
p−1
1
L{e−t } =
p+1
L{et } =
1
,
p2
2
L{t2 } = 3
p
F (p) =
f (t) = sinh at
(4.1.5)
L{t} =
n!
f (t) = eat · tn
f (t) = eat cos ωt
2
p
L{e−t t2 }
2
(p + 1)3
(4.1.9)
=
(4.1.10)
(4.1.11)
F (p) =
p−a
(p − a)2 + ω 2
F (p) =
a
p 2 − a2
(4.1.13)
p
, a∈R
p 2 − a2
(4.1.14)
F (p) =
Tabulka 14:
81
(4.1.12)
f ′ (t)
f ′′ (t)
f ′′′ (t)
f (n) (t)
Rt
f (s) ds
0
funkce fT (t) periodick´a s periodou T
F (p) = L{f ′ (t)} = pL{f } − f (0)
Laplace˚
uv
1.derivace
F (p) = L{f ′′ (t)} =
p2 L{f } − pf (0) − f ′ (0)
Laplace˚
uv obraz 2.
derivace
(4.1.16)
F (p) = L{f ′′′ (t)} =
p3 L{f } − p2f (0) − pf ′ (0) − f ′′ (0)
Laplace˚
uv obraz 3.
derivace
(4.1.17)
F (p) = L{f (n) } =
pn L{f }−pn−1 f (0)−pn−2 f ′ (0)−
. . . − f (n−1) (0)
Laplace˚
uv
obraz
n−t´e derivace
(4.1.18)
Rt
F (p) = L{ f (s) ds} =
Laplace˚
uv obraz integr´alu
(4.1.19)
Laplace˚
uv
obraz
periodick´e funkce
(4.1.20)
0 pro t < a,
1 pro t ≥ a.
definice Haevisideovy funkce
(4.1.21)
e−ap
p
Laplace˚
uv
obraz Haevisideovy
funkce
1
L{f (t)}
p
0
F (p)
=
RT
f (t)e−pt dt
L{fT (t)}
=
obraz
(4.1.15)
0
1 − e1−pT
Haevisideova
funkce
H(t − a)
f (t − a) · H(t − a)
H(t − a) =
(
L{H(t − a)} = −
L{f (t−a)·H(t−a)} = e−ap F (p),
je-li F (p) = L{f (t)}
posunut´ı vzoru
Tabulka 15:
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.3. Najdˇeme Laplaceovy obrazy funkc´ı (tabulka obraz˚
u):
a) f (t) = t − 1
L{t − 1} = L{t} − L{1} =
1
1
− .
2
p
p
82
(4.1.22)
(4.1.23)
b) f (t) = 2 − t3 + cos 2t
p
p
3!
2
6
1
= − 4+ 2
.
L{2 − t3 + cos 2t} = L{2} − L{t3 } + L{cos 2t} = 2 − 4 + 2
p p
p +4
p p
p +4
c) f (t) = (t + 1)2
f (t) = (t + 1)2 = t2 + 2t + 1 ⇒ L{t2 + 2t + 1} = L{t2 } + L{2t} + L{1} =
2
1
2
+ 2+
3
p
p
p
d) f (t) = et (t + 1)2
Bud’ pˇr´ımo s pouˇzit´ım v´
ysledku b) a vzorce z tabulky:
2
1
2
t
2
+
+
L{e (t + 1) } =
(p − 1)3
(p − 1)2
p−1
nebo postupnˇe:
2
2
1
L{et (t + 1)2 } = L{t2 et } + L{2t · et } + L{et } =
+
+
.
3
2
(p − 1)
(p − 1)
p−1
e) f (t) = et + e−2t
L{et + e−2t } =
1
1
+
p−1 p+2
f) f (t) = sin t cos t. 1 2
1
1
sin 2t =
= 2
.
L{sin t cos t} = L
2
2 p2 + 4
p +4
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.4. Najdˇeme Laplaceovy obrazy funkc´ı (tabulka obraz˚
u):
1. f (t) = t cos 3t.
Pouˇzijeme vztah (4.1.4) z Tabulky 13. Je L{t cos 3t} = − (L{cos 3t})′ = −
.
p
.
p2 + 9
2. f (t) = t2 sin t.
Pouˇzijeme opakovanˇe vztah (4.1.4) z Tabulky 13. Je
L{t2 sin t} = L{t[(t sin t]} = L{t · g(t)} = −G′ (p), kde G = L{g(t)}, g(t) = t sin t.
′
1
−2p
2p
Ale G = − (L{sin t})′ = −
=− 2
= 2
.
p2 + 1
(p + 1)2
(p + 1)2
′
6p2 + 2
2p
Nakonec je tedy L{t[(t sin t]} = −G′ (p) = −
=
.
(p2 + 1)2
(p2 + 1)3
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.5. K dan´e funkci F (p) (obrazu) najdˇeme zpˇetnou Laplaceovou transfomac´ı jej´ı vzor f (t)
1
.
p2 (p + 1)
Funkce F (p) je ryze racion´aln´ı funkce a existuje proto jej´ı laplaceovsk´
y vzor. Najdeme jej
rozkladem F (p) na parci´
aln´ı zlomky:
B
1
A
C
F (p) = 2
= 2 +
+
. Snadno najdeme A = 1, B = −1, C = 1 a tedy
p (p + 1)
p
p
p+1
1
1
1
F (p) = 2 − +
.
p
p p+1
Odtud pomoc´ı Tabulky 14 (obraz˚
u): f (t) = t − 1 + e−t .
a) F (p) =
83
b) F (p) =
p−3
.
p2 + 4
p−3
p
3
p
1
= 2
− 2
= 2
−3 2
=
p2 + 4
p +4
p +4
p +4
p +4
p
3 2
3
−
a zˇrejmˇe je vzor f (t) = cos 2t − sin 2t.
p2 + 4 2 p2 + 4
2
V tomto pˇr´ıpadˇe staˇc´ı rozepsat F (p) =
c) F (p) =
(p2
p+1
.
+ 1)(p − 2)
p+1
Ap + B
C
= 2
+
dostaneme
+ 1)(p − 2)
p +1
p−2
3
− 3 p − 15
1
3
3 p
1 1
3 1
3
+ 5 =− 2
−
+
.
A = − , B = − , C = . Je tedy F (p) = 52
5
5
5
p +1
p−2
5 p + 1 5 p2 + 1 5 p − 2
3
1
3
Odtud snadno f (t) = − cos t − sin t + e2t .
5
5
5
p
d) F (p) = 2
.
(p + 2p + 5)(p − 2)
Rozloˇz´ıme F (p) na parci´
aln´ı zlomky (v´
yraz p2 + 2p + 5 nem´
a re´aln´e koˇreny):
2
2
8
−
p
−
C
Ap + B
13
13
13
+
. Po v´
ypoˇctu je F (p) =
+
.
F (p) = 2
p + 2p + 5 p − 2
(p + 1)2 + 4 p − 2
N´
asleduj´ıc´ı u
´pravy smˇeˇruj´ı k tomu, abychom mohli pouˇz´ıt vzorc˚
u (4.1.10),(4.1.11) a (4.1.5) v
Tabulce obraz˚
u Laplaceovy tranformace.
2
8
2
p − 13
− 13
p
1
2
8
2 1
+ 13 = −
−
+
=
F (p) =
2
(p + 1) + 4 p − 2
13 (p + 1)2 + 4 13 (p + 1)2 + 4 13 p − 2
1
2 p +1 − 1
8
2 1
−
−
+
=
2
2
13 (p + 1) + 4 13 (p + 1) + 4 13 p − 2
2
p+1
−1
1
2
8
2 1
−
−
−
+
=
2
2
2
13 (p + 1) + 4 13 (p + 1) + 4 13 (p + 1) + 4 13 p − 2
p+1
6
2 1
1·2
2
−
+
=
−
2
2
13 (p + 1) + 4 13·2 (p + 1) + 4 13 p − 2
2
p+1
2
3
2 1
−
−
+
.
13 (p + 1)2 + 4 13 (p + 1)2 + 4 13 p − 2
Rozkladem F (p) na parci´
aln´ı zlomky F (p) =
(p2
Odtud je zˇrejm´e, ˇze vzor k dan´e funkci F (p) je funkce
f (t) = −
2
3
2
cos 2t · e−t −
sin 2t · e−t + e2t .
13
13
13
ˇ sme pomoc´ı Laplaceovy transformace diferenci´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.6. Reˇ
aln´ı rovnice s dan´
ymi
poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami (Cauchyovu u
´lohu). Podle vztah˚
u v Tabulce najdeme nejprve obraz
diferenci´
aln´ı rovnice, vypoˇcteme obraz ˇreˇsen´ı Y (p) a pak zpˇetnou transformac´ı L−1 {F (p)} urˇc´ıme
ˇreˇsen´ı y(t).
a) y ′ − 2y = 1 s podm´ınkou y(0) = 1.
1
.
p
1
p+1
1
.
Obraz dan´e rovnice je pY − 1 − 2Y = ⇒ Y (p − 2) = + 1 ⇒ Y =
p
p
p(p − 2)
p+1
K obrazu Y (p) najdeme vzor y(t) zpˇetnou transformac´ı. Rozloˇz´ıme zlomek
na parci´
aln´ı
p(p − 2)
p+1
1
3
zlomky
=− +
.
p(p − 2)
2p 2(p − 2)
3
1 3
1
a odtud ˇreˇsen´ı y(t) = − + e2t .
Je tedy Y = − +
2p 2(p − 2)
2 2
y(t) 7→ Y (p), y ′ (t) 7→ pY (p) − 1, 1 7→
84
b) y ′′ − 4y = 0 s podm´ınkami y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
Obrazy: y 7→ Y, y ′ 7→ pY − 1, y ′′ 7→ p2 Y − p.1 − 0.
Obrazem dan´e rovnice je p2 Y − p − 4Y = 0 ⇒ Y =
p
a rozklad na parci´
aln´ı zlomky
p2 − 4
p
1
1
1
1
=
+
. Odtud snadno y(t) = e−2t + e2t .
p2 − 4
2(p + 2) 2(p − 2)
2
2
c) y ′′ − 4y ′ + 4y = 1 s podm´ınkami y(0) = 0, y ′ (0) = 1.
Obrazy: y 7→ Y, y ′ 7→ pY − 0, y ′′ 7→ p2 Y − p.0 − 1, 1 7→
y ′′ − 4y ′ + 4y = 1 7→ p2 Y − 1 − 4pY + 4Y =
1
.
p
1
,
p
ˇ s´ıme tedy rovnici (p2 − 4p + 4)Y = 1.
Reˇ
Najdeme Y z posledn´ı rovnice.
1
1
1
1
+
.
+
⇒Y =
Je Y = 2
p − 4p + 4 p(p2 − 4p + 4)
(p − 2)2
p(p − 2)2
A
C
B
1
1
=
+
+
. Dostaneme A = , B =
Rozklad na parci´
aln´ı zlomky
2
2
p(p − 2)
p
(p − 2)
p−2
4
1
1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1
1
3
1
+ · +
−
+ · −
, C = − , takˇze Y =
=
.
2
4
(p − 2)2 4 p 2 (p − 2)2 4 p − 2
2 (p − 2)2 4 p 4 p − 2
3
1 1
S pouˇzit´ım vztah˚
u (4.1.10), (4.1.6) a (4.1.5) m´ame ˇreˇsen´ı rovnice y(t) = tet + − e2t .
2
4 4
ˇ sme pomoc´ı Laplaceovy transformace soustavu diferenci´
Uk´
azkov´
y pˇ
r´ıklad 4.1.7. Reˇ
aln´ıch rovnic
x′ + y ′ =
x′ − y ′ =
sin t
cos t.
nezn´
am´e funkce x = x(t), y = y(t)). Poˇca´teˇcn´ı podm´ınky x(0) = 1, y(0) = −1.
p
1
, cos t 7→ 2
.
x 7→ X, y 7→ Y, x′ 7→ pX − 1, y ′ 7→ pY + 1, sin t 7→ 2
p +1
p +1
pX − 1 + pY + 1 =
pX − 1 − pY − 1 =
1
+1
p
.
p2 + 1
p2
Snadn´
ym v´
ypoˇctem je
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ · 2
+ a Y = ·
− · 2
− .
X= ·
2
2
2 p(p + 1) 2 p + 1 p
2 p(p + 1) 2 p + 1 p
1
1
p
Parci´aln´ı zlomky
= − 2
, takˇze po u
´pravˇe je
p(p2 + 1)
p p +1
3
p
1
1
p
1
X=
−
+
, Y =− −
−
.
2p 2(p2 + 1) 2(p2 + 1)
2p 2(p2 + 1) 2(p2 + 1)
Zpˇetnou Laplaceovou transformac´ı pak dostaneme ˇreˇsen´ı
1
1 1
1
3 1
avnosti se opˇet snadno pˇresvˇedˇc´ıme
x(t) = − cos t+ sin t, y(t) = − − cos t− sin t. (O spr´
2 2
2
2 2
2
dosazen´ım.)
4.2
Cviˇ
cen´ı
1) Z definice Laplaceovy transformace najdˇete obraz funkce f (t):
85
b) f (t) = e−t
a) f (t) = −t
c) f (t) = cos 2t
a) −
d) f (t) = 1 + 2t
1
p
1
2
1
, b)
, c) 2
, d) + 2
2
p
p+1
p +4
p p
2) Pomoc´ı Tabulky (13),(14) urˇcete obrazy funkc´ı:
a) f (t) = t2 − t + 2
b) f (t) = te2t
c) f (t) = sin 2t − 2 cos 3t
d) f (t) = 4 sin 3t · cos 3t
2
1
2
2
1
2p
a) 3 − 2 + , b)
, c) 2
−
,
p
p
p
(p − 2)2
p + 4 p2 + 9
12
d) Pouˇzijte goniom. vzorec pro sin 2α, pak je 2
p + 36
3) K dan´
ym obraz˚
um F (p) najdˇete pomoc´ı zpˇetn´e transformace vzory f (t)
p
1
p+1
e) F (p) = 2
c) F (p) = 2
p
−9
p+2
p − 5p + 6
2p + 3
p+1
b) F (p) = 2
d) F (p) = 2
p +4
p + 2p + 10
3
1
1
1
a) e−2t , b) 2 cos 2t + sin 2t, c) 2e3t − et , d) e−t (cos 3t + sin 3t). e) e3t + e−3t
2
3
2
2
a) F (p) =
4) Urˇcete Laplace˚
uv obraz funkce f (t).
f) f (t) = sin4 t
a) f (t) = (t + a2 t2 )eat
b) f (t) = (1 + 4t + 2t2 )e2t
g) f (t) = 21 (eat + e−at )
c) f (t) = sin 3t cos 3t
d) f (t) = cos 2t(e2t − e−2t )
h) f (t) = (3 − t) sin t − 3t cos t
e) f (t) = sin2 2t − cos2 4t
a)
f)
i) f (t) = e2t (1 + 2 sin 2t)
p2
3
4(p2 − 8)
−p(p2 + 40)
p
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
(p − a)3
(p − 2)3
p2 + 36
p2 + 64
p4 + 80p2 + 1024
24
6 − 2p
p2
p
, h) 2
, i)
, g) 2
2
2
2
2
p(p + 4)(p + 16)
p −a
(p + 1)
(p − 2)(p2 − 4p + 8)
5) S pouˇzit´ım inverzn´ı Laplaceovy transformace najdˇete vzory k funkc´ım L(p).
2
2p + 3
+
p2 + 1 p − 4
2p + 2
b) 2
p + 2p
p2 + 1
c)
p(p + 1)(p + 2)
a)
p
(p + 1)(p2 + 4)
10p
e)
(p − 1)(p2 + 1)
1
f) 3
p + 2p2 + 5p
d)
86
12 − 8p
(p − 1)(p + 1)2
p+7
h)
(p − 2)(p2 − 1)
6
i)
(p2 + 1)(p2 + 4)
g)
5
1
1
2
1
a) 2 cos t + 3 sin t + 2e4t , b) 1 + e−2t , c) − 2e−t + e−2t , d) − e−t + cos 2t + sin 2t
2
2
5
5
5
1
t
−t
−t
t
−t
−t
e) 5(e − cos t + sin t), f ) (2 − 2e cos 2t − e sin 2t, g) e − e − 10te
10
h) 3e2t + e−t − 4et , i) 2 sin t − sin 2t
ˇ ste pomoc´ı Laplaceovy transformace diferenci´
6) Reˇ
aln´ı rovnice (nezn´am´
a funkce y(t))
a) y ′′ + 4y ′ + 3y = 8et s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = 1, y ′ (0) = 1.
b) y ′′ + 4y = 1 s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = y ′ (0) = 0.
c) y ′′′ − y = −1 s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = y ′ (0) = 0 = y ′′ (0) = 0.
d) y ′′′ − y ′′ = sin t s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1.
(
t, t ∈ h0, 1)
′′
e) y = f (t), kde f (t) =
, y(0) = y ′ (0) = 0.
1, t ∈ h1, ∞)
f) y ′ = f (t), y ′ (0) = 0, je-li f (t) = (1 − t)H(t) + (t − 1)H(t − 1).
#
"
√
3
1
1
2
t
a) y(t) = et + e−3t − 2e−t , b) y(t) = − cos 2t, c) y(t) = −1 + et − √ sin
t.e− 2
4 4
2
3



t3


 ,
t ∈ h0, 1) 
 1
d) cos t + 1 sin t − 2 − 2t + 3 et , e) y(t) = 6

 2


2
2
t3
(t − 1)3

 −
, t ∈ h1, ∞)
6
6



2
t


t − , t ∈ h0, 1i


2

f ) y(t) =
2



1
t

3
t − + (t − 1) , t ≥ 1
2
2
7) Pomoc´ı Laplaceovy transformace ˇreˇste n´
asleduj´ıc´ı diferenci´
aln´ı rovnice.
a) y ′′ + y ′ − 2y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 3
g) y ′′ − y ′ = 3(2 − t2 ), y(0) = 1, y ′ (0) = 1
b) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1
h) y ′′ + y = 3 sin 2t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0
d) y ′′ − 3y ′ + 2y = et , y(0) = 0, y ′ (0) = 0
j) y ′′ + 9y = 3t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0
c) y ′′ + y = t3 + 6t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0
e) y ′′ − 2y ′ = 8t + 24, y(0) = 2, y ′ (0) = 2
f) y ′′ + 2y ′ + 2y = 2e−t , y(0) = 1, y ′ (0) = 1
i) y ′′ + y ′ − 6y = 3, y(0) = 0, y ′ (0) = −1
k) y ′′ + 4y ′ + 8y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0
l) y ′′ − 4y ′ + 5y = 5t, y(0) = 0, y ′ (0) = −5
a) y = et − e−2t , b) y = e3t − 2te3t , c) y = t3 , d) y = e2t − tet − et
e) y = 8e2t − 2t2 − 14t − 6, f ) y = e−t (2 − cos t + 2 sin t), g) y = 3t2 + t3 + et
1 2t
h) y = 2 sin t − sin 2t, i) y = − 21 + 52 e−3t + 10
e , j) y = 13 t − 91 sin 3t
2t
k) y = e−2t sin 2t + e−2t cos 2t, l) y = − 54 e2t cos t − 14
5 e sin t
87
ˇ ste pomoc´ı Laplaceovy transformace soustavy diferenci´
8) Reˇ
aln´ıch rovnic (nezn´am´e funkce x(t), y(t)):
a)
x′′ − y ′′ − x′ + y ′
= 1
x′′ + y ′′ + x − y
= 1
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 0, x′ (0) = 1, y(0) = 0, y ′ (0) = 1.
b)
x′ =
y′ =
x − y + 2et
−x + y + et
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 0, y(0) = 3.
c)
x′′ − y ′′ − x′ + y ′
x′′ + y ′′ + x − y
=1
=1
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 0, x′ (0) = 1, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 .
d)
x′ + y ′
x′ − y ′
=x−y
=x+y
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami x(0) = 1, y(0) = 1.
1 2 1 3
1 2 1 3
t
2t
t
t
2t
a) x(t) = t + t + t , y(t) = 1 − e + t + t + 2t, b) x(t) = −e + e , y(t) = 2e + e
2
2
2
2
1 2
1 3
1 2
1 3
t
t
−t
c) x(t) = t + t + t , y(t) = 1 − e + t + t + 2t, d) x(t) = e , y(t) = −e
2
12
2
12
9) Pomoc´ı Laplaceovy transformace ˇreˇste n´
asleduj´ıc´ı soustavy diferenci´
aln´ıch rovnic.
a)
y1′ = 2y1 + 4y2
y2′ =
y1 + 2y2
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 1, y2 (0) = 1.
b)
y1′ = y1 + 3y2 + t
y2′ =
y2 + 1
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = 0.
c)
y1′ =
y2′
−y2
= 2y1 + 2y2
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 1, y2 (0) = 1.
88
d)
y1′ =
y2′ =
−y1 + y2 + et
y1 − y2 + et
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = 0.
e)
y1′ =
y2′ =
−y1 + 3y2
y1 + y2 + e−2t
s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami y1 (0) = 0, y2 (0) = 0.
1 3
1 3
a) y1 = − + e4t , y2 = + e4t , b) y1 = 2 − t − 2et + 3tet , y2 = −1 + et
2 2
4 4
[c) y1 = et cos t − 2et sin t, y2 = et cos t + 3et sin t, d) y1 = et − 1, y2 = et − 1]
3
3
3 2t
3
1
3 2t
e − e−2t − te−t , y2 =
e − e−2t + te−t
e) y1 =
16
16
4
16
16
4
89
Literatura
[1] Berman, G. N., Sbornik zadaˇc po kursu matˇematiˇceskogo analiza, Nauka, Moskva, 1965
[2] Eliaˇs, J., Horv´
ath, J., Kajan, J., Zbierka u
´loh z vyˇsˇsej matematiky, Slovensk´e vydavatel’stvo
technickej literat´
ury, Bratislava,1967
[3] Hamhalter, J., Tiˇser, J.,Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´
ych, CVUT, 1998
[4] Horsk´
y,Z., Diferenci´aln´ı poˇcet,SNTL, 1975
ˇ Praha 1979, 21-514-79
[5] Kamar´
yt, A. a kol. : Cviˇcen´ı z matematiky ll, VSZ
[6] http://matematika.cuni.cz
[7] Miˇcunek, O., Pt´aˇcek, M. : Cviˇcen´ı z matematiky lll, Ostrava 1979, 60-200-79
[8] Nagy, J., Element´
arn´ı metody ˇreˇsen´ı obyˇcejn´
ych diferenci´
aln´ıch rovnic, SNTL, 1978
[9] Nagy, J., Soustavy obyˇcejn´
ych obyˇcejn´
ych diferenci´
aln´ıch rovnic, SNTL, 1980
ˇ
[10] Nˇemec, P., Slav´ık, V. : Matematika lll pro TF, CZU
1999, ISBN 80-213-0522-3
[11] Pt´ak, P.,Diferenci´
aln´ı rovnice. Laplaceova transformace, CVUT,1997
[12] R˚
uˇziˇcka, J. : Sb´ırka pˇr´ıklad˚
u z vyˇsˇs´ı matematiky, SPN Praha, 1973, 17-004-73
[13] Vesel´
y, J., Matematick´a anal´
yza pro uˇcitele, MFF, Matfyzpress, 2001
[14] www.karlin.mff.cuni.cz - Obecn´e line´arn´ı probl´emy
[15] www.karlin.mff.cuni.cz – Laplaceova transformace
90
Download

Sbírka řešených a neřešených příkladů z vybraný..