Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: KLIKA|TUSEK|KORVASOVA
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01RMF – varianta A
pondělí 18. listopadu 2013, 13:20–15:20
➊ (6 bodů)
b s čistě bodovým spektrem, jehož definičním oborem je L2 (G). UnNechť je dán integrální operátor K
P
foldovaným spektrem tohoto operátoru nechť je soubor σunf = (λ1 , λ2 , λ3 . . .) , pro nějž platí, že ∞
`=1 |λ` |
konverguje. Nechť B = ϕ1 (~x), ϕ2 (~x), ϕ3 (~x) . . . , kde pro všechna ` ∈ N platí Dom(ϕ` ) = G, je asociovaný
b Dokažte, že integrální jádro takového operátoru
systém ortonormalizovaných vlastních funkcí operátoru K.
P∞
může být přepsáno do tvaru K (~x, ~y) = `=1 λ` ϕ` (~x)ϕ` (~y).
➋ (8 bodů)
Ve třídě D 0 (R) vypočítejte limitu
lim
n→∞
(x − µ)n
arctg2 [n(x − µ)2 ].
1 + n2 (x − µ)4
➌ (5 bodů)
b definovaného
Z definice hermiticity operátoru odvoďte podmínku pro jádro K (~x, ~y) integrálního operátoru K
b
na L2 (G) postačující pro to, aby K byl hermiteovský.
➍ (6 bodů)
Ve třídě D 0 (R) maximálně zjednodušte výraz
1
P
x
!00
x2 .
➎ (9 bodů)
Řešte parciální diferenciální rovnici
4x2
2
∂2 u
∂2 u
∂u
2∂ u
+
y
+
4xy
−y
= 8u(x, y).
∂x∂y
∂y
∂x2
∂y2
➏ (7 bodů)
Metodou postupných aproximací řešte integrální rovnici
Z x
ϕ(x) = µ
x2 yϕ(y) dy + x2 .
0
Tvar `−tého přiblížení prověřte detailně matematickou indukcí! Odlišná metoda řešení je nepřípustná!
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: KLIKA|TUSEK|KORVASOVA
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01RMF – varianta B
pondělí 18. listopadu 2013, 13:20–15:20
➊ (9 bodů)
Ve třídě dvojrozměrných zobecněných funkcí vypočtěte limitu
lim
ε→0+
x2 +4y2
1 2
2 3/2 − ε2
(x
+
4y
)
e
.
ε5
➋ (5 bodů)
b definovaného
Z definice hermiticity operátoru odvoďte podmínku pro jádro K (~x, ~y) integrálního operátoru K
b byl hermiteovský.
na L2 (G) postačující pro to, aby K
➌ (9 bodů)
Řešte parciální diferenciální rovnici
x2
2
∂u
∂2 u
∂2 u
2∂ u
− x + u(x, y) = 0.
+
4y
+
4xy
2
2
∂x∂y
∂x
∂x
∂y
➍ (6 bodů)
b s čistě bodovým spektrem. Pro unfoldované spektrum σunf =
Nechť je na L2 (G) dán integrální operátor K
P
(λ1 , λ2 , λ3 . . .) tohoto operátoru nechť platí, že ∞
x), ϕ2 (~x), ϕ3 (~x) . . .
`=1 |λ` | konverguje. Označme B = ϕ1 (~
b Dokažte, že integrální jádro výše uvepřidružený systém ortonormalizovaných vlastních funkcí operátoru K.
P∞
deného operátoru může být přepsáno do tvaru K (~x, ~y) = `=1 λ` ϕ` (~x)ϕ` (~y).
➎ (8 bodů)
Metodou iterovaných jader (tj. pomocí rezolventy) řešte integrální rovnici
Z
ϕ(x) = µ
0
x
1
y3
ϕ(y) dy + 2 .
2
x
x
Tvar `−tého iterovaného jádra ověřte detailně indukcí! Odlišná metoda řešení je nepřípustná!
➏ (4 body)
Ve třídě D 0 (R) maximálně zjednodušte výraz
x · sin(x) · δ00 0 .
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: KLIKA|TUSEK|KORVASOVA
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01RMF – varianta N
čtvrtek 4. prosince 2013, 9:20–11:20
➊ (8 bodů)
Metodou iterovaných jader (tj. užitím rezolventy) řešte Volterrovu integrální rovnici
Z x 2
y ϕ(y)
ϕ(x) =
dy + e x .
x2
0
Tvar `−tého iterovaného jádra ověřte detailně indukcí! Odlišná metoda řešení je nepřípustná!
➋ (7 bodů)
Ve třídě zobecněných funkcí D 0 (R) maximálně zjednodušte výraz
!
1 d sin2 (λx) 1
lim
P .
λ→∞ λ dx
x
x
➌ (5 bodů)
Vyslovte definici konvergence posloupnosti testovacích funkcí ϕk (x) ∈ D(Rn ) k funkci ϕ(x) ∈ D(Rn ). Poté pro
a , 0 a b ∈ R dokažte, že jestliže ϕk (x) konverguje superstejnoměrně k ϕ(x) v D(R), pak také ϕk (ax + b)
konverguje superstejnoměrně k ϕ(ax + b) v D(R).
➍ (9 bodů)
Řešte parciální diferenciální rovnici
4xy
∂2 u
∂u
∂2 u
∂2 u
∂u
+ 4x2 2 + y2 2 − 8x − 5y + 8u(x, y) = 0.
∂x∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
➎ (5 bodů)
Nechť H je Hilbertův prostor. Nechť fn (~x) ∞
n=1 je posloupnost funkcí z H taková, že
limnorm fn (~x) = f (~x) ∈ H.
n→∞
Nechť dále g(~x) ∈ H. Dokažte, že za daných předpokladů platí rovnost
lim fn |g = f |g .
n→∞
Za jakých předpokladů platí také rovnost
lim b
L( fn )|g = b
L( f )|g ?
n→∞
Dokažte!
➏ (7 bodů)
Nechť
fε (x, y) = Θ(x, y)
x2 y2 − x+y
e ε .
ε6
Nechť e
fε je zobecněná funkce, jejímž generátorem je funkce fε (x, y). Vypočtěte limitu limε→0+ e
fε ve třídě
dvojrozměrných zobecněných funkcí.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01RMF – varianta A
pondělí 6. ledna 2014, 13:00–15:00
➊ (8 bodů)
Nechť a, b > 0. Pro klasickou Cauchyovu úlohu
∂u
∂u
∂2 u
− a2 2 − b
= f (x, t),
∂t
∂x
∂x
u(x, 0) = %(x)
nalezněte (bez použití Laplaceovy transformace) fundamentální řešení příslušného operátoru.
➋ (6 bodů)
Přímými úpravami a užitím faktu F[1] = (2π)r δ(~x) maximálně upravte výraz
FF? [ f (~x)],
kde f (~x) leží ve Schwartzově prostoru.
➌ (8 bodů)
Ve třídě zobecněných funkcí D 0 (R2 ) maximálně zjednodušte výraz
lim e x sin(cy) δ(x − µ) ⊗
c→∞
Užijte faktu, že
R
R
sin2 (βx)
dx
x2
!
sin(cy)
1
·P .
cy
y
= π |β|.
➍ (8 bodů)
Laplaceovou transformací řešte integrodiferenciální rovnici
Z x
00
y + y − 10
y(ξ) dξ = x − 5x2 − 3,
y(0) = 0 & y0 (0) = −4.
0
Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují!
➎ (3 body)
Nechť µ ∈ R je zvoleno pevně. Užitím definice konvoluce (tj. bez použití odvozených vět) maximálně
zjednodušte výraz
δ(x − 2µ) ? δ(x − 3µ).
➏ (8 bodů)
Na intervalu G = (1, 2) nalezněte Greenovu funkci Sturmovy-Liouvilleovy okrajové úlohy pro parametry
p(x) =
e−x
,
x4
q(x) = −2
e−x
(3 + x)
x6
a podmínky 3u(1) − u0 (1) = 0, u(2) − u0 (2) = 0. Nápověda: Diferenciální rovnici řešte metodou snížení řádu.
Download

Zápočtové písemky z loňského roku