Logika a formální sémantika:
5. Modální logika
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik
pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D. ([email protected])
Department of Philosophy, Masaryk University, Brno
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
1
V. Kalkul striktní implikace
- kromě trojhodnotové logiky má modální logika předchůdce v kalkulu striktní
implikace
- tu založil Clarence Irving Lewis v roce 1918 (A Survey of Symbolic Logic; spolu s C.H.
Langfordem (1932): Symbolic Logic)
- C. I. Lewis vyšel z určité kritiky implikace a formuluje striktní implikaci (značena
budiž třeba =>) do podoby "není pravda, aby bylo možné, že A je pravdivé a B
nepravdivé"
- formálně (A=>B) =df ◊(A→¬B) (kde ◊ je znak pro „je možné“)
- z kalkulu striktní implikace (40. léta 20. století) vyšla i modální logička Ruth Barcan
(později Ruth Barcan Marcus)
- literatura např: Marcus, Ruth Barcan (1946): A Functional Calculus of First Order
Based on Strict Implication, Journal of Symbolic Logic 11, 1-16
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
2
V. Modální logika (1.)
- (modal logic)
- první kniha, kde je modální logika uvedena je Lewis, C. I. & Langford, C. H., (1932):
Symbolic Logic, New York: Dover Publications, 1959
- modální logika využila formalizovaného pojmu možnosti a nutnosti k vystavění
celé řady logických systémů (nejpoužívanější jsou systémy mezi S4 a S5)
(box) – „je nutné, že ...“
◊ (diamond) – „je možné, že ...“
- modální operátory se chovají přibližně jako kvantifikátory, avšak vztažené k větám
- aplikujeme-li však modální operátory na predikáty, věc se stane méně samozřejmou
a po formální i výkladové stránce vznikne řada problémů
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
3
V. Modální logika (2
(2.)
- vývoj modální logiky má dvě etapy: první je syntaktická, budují se systémy a
pracuje se jen s intuitivním pojetím možnosti a nutnosti (např. Carnap, R (1947):
Meaning and Necessity), druhá etapa začíná Kripkeho sémantikou modální logiky
na základě pojmu možného světa (1963), viz níže
- přední modální logikové: Ruth Barcan Marcus, Saul Kripke, David Lewis, Frederic B.
Fitch; další: Krister Segerberg, Patrick Blackburn, E.J. Lemmon
- modální logiky má řada úspešných aplikací ve filosofii (zejm. S. Kripke-Naming and
Necessity (1973), Alvin Plantiga-The Nature of Necessity (1974) a D. Lewiskontrafaktuály)
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
4
V. Propoziční modální logika:
logika: systém K
- systém K (podle Saula Kripkeho, ale byl znám již C.I. Lewisovi) je základní systém;
někdy označován T; je příliš slabý
- vznikne tak, že k VL přidáme:
Pravidlo necesiace (Necessitation Rule): Jestliže |-A, tak |- A.
tj. jestliže A je teorémem K, pak také A je teorémem.
Axiom distributivity:
(A∧B) → ( A∧ B).
- možnost je zavedena jako: ◊A =df ¬ ¬ A
- operátory a ◊ se chovají zcela podobně jako kvantifikátory (z A∧B) vyplývá
A∧ B a naopak; avšak z A∨ B sice vyplývá (A∨B), ale není tomu naopak
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
5
V. Propoziční modální logika:
logika: systémy T a B
- systém T - přidání teorému (M) ke K
(M)
A→A
(„cokoli je nutné, je“); není dokazatelný v K
- systém B - (podle Brouwera) přidáním axiomu (B) k M:
(B) ◊A→ ◊A
(„je-li něco možné, je nutné, že to je možné“)
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
6
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
V. Propoziční modální logika:
logika: systémy S4 a S5
systémy S4 a S5
- vzniknou přidáním tzv. iteračních axiomů
- S4 znám již C.I. Lewisovi; - S5 může být formulován i přidáním (B) k S4
(4)
A→
A
(5) ◊A→ ◊A
- v S4:
...
(„je-li něco nutné, je nutné, že to je nutné“)
(„je-li něco možné, je možné, že to je možné“)
=
a ◊◊...◊ = ◊ (sekvence operátorů stejného druhu může být
nahrazena jedním operátorem toho druhu)
- v S5: 00...
=
a 00... ◊ = ◊, kde každé 0 je buď
nebo ◊ (sekvence obsahující jak boxy, tak
diamondy, jsou ekvivalentní sekvenci s jedním operátorem, který byl v nezkrácené sekvenci
posledním)
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
7
V. Sémantika ML na základě pojmu možného světa (1.)
- někdy též kripkeovská sémantika; Saul Aaron Kripke; krom toho se na ní podíleli i
Jaako Hintikka a Arthur N. Prior
- již v Kripke, Saul (1959): A Completness Theorem in Modal Logic, Journal of Symbolic
Logic 24, 1-14 - ale hlavně Kripke, Saul (1963): Semantical Considerations on Modal
Logic, Acta Philosophica Fennica 16, 83-94
- k běžné sémantice na základě teorie modelů přibírá pojem možného světa
- uvažujme možný svět jako bezrozporný maximální soubor faktů, které mohou
platit
- jsou to souhrny vět popisujících svět tak, jak by mohl vypadat (a to případně
odlišně od světa aktuálního)
- aktuální svět (jeden z možných světů) je tedy soubor všech aktuálně platných faktů
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
8
V. Sémantika ML na základě pojmu možného světa (2.)
- valuace v přiřazuje každé propoziční proměnné pravdivostní hodnotu pro každý
možný svět (w), tj. hodnota v pro p ve w se může lišit od hodnoty ve w'
- význam věty je (pod)množina možných světů, což je tedy funkce z možných světů
do pravdivostních hodnot (w->P/N)
- množina všech možných světů se běžně značí W, či K
- v(¬A, w)=pravda právě tehdy, když v(A, w)=nepravda
- v(A→B, w)=pravda právě tehdy, když v(A, w)=nepravda nebo v(B, w)=pravda
- (v( A, w)=pravda právě tehdy, když pro každý možný svět w' ve W, v(A, w')=pravda
- tj. A je pravdivá ve světě w právě tehdy, když A je pravdivá ve všech možných
světech, ◊A je pravdivá ve světě w právě tehdy, když A je pravdivá alespoň v
jednom z možných světů
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
9
V. Sémantika ML na základě pojmu možného světa (3.)
- rámec. angl. frame; někdy též Kripke‘s frame
<W, R>
- dvojice neprázdné množiny W (světů) a binární relace R na W
- R je relace dosažitelnosti či dostupnosti (accessibility)
- je reflexivní, symetrická, tranzitivní
- zajišťuje např. identitu individua skrze různé možné světy, obecně dosažitelnost
mezi světy
- model <F, v> sestává z rámu F a valuace v, která přiřazuje pravdivostní hodnoty
každé atomické větě v každém světě ve W
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
10
V. Kvantifikovaná modální logika
- quantified modal logic (QML)
- přesun kvantifikátorů k symbolům predikátů, což nese hodně potíží s přirozenou
interpretací
- Formule Barcanové (Barcan Formula. BF):
∀x Fx → ∀ xFx
- Konverze formule Barcanové (Converse Barcan Formula, CBF):
∀ xFx → ∀x Fx
- aktualismus (např. Linsky a Zalta 1994): kvantifikujeme pouze přes aktualizovaná
individua; fixní doména (possibilismus)- kvantifikujeme přes všechna (tedy i posibilní)
individua
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
11
V. Temporální logika
- z modální logiky vychází řada logik specializovaných na jiné než tzv. aletické
modality (nutnost a možnost)
- temporální logika
- vlastně propoziční modální logika s relací uspořádání pro časové okamžiky
- zakladatelské práce Prior, A.N. (1959): Time and Modality, Oxford: Oxford UP), Prior,
A.N. (1967): Past, Present and Future, Oxford: Oxford UP
- doaxastic/epistemic logic
- Jaakko Hintikka, Knowledge and Belief 1963, Ithaca
- operátor
je interpretován jako znalost (anebo K je přidán jako další modalita)
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
12
V. Deontická logika
- deontos (řecky): povinný, žádoucí
- jako první rakouský filosof Ernst Mally (ale neintutivní systém)
- finský logiky Georg Henryk von Wright ((1951): Deontic Logic;
- operátory O (obligatory - přikázáno), P (permitted - dovoleno), F
(forbidden - zakázáno) se chovají poněkud jako modální operátory
- v češtině viz např. Kolář, Petr & Svoboda, Vladimír (1997): Logika a etika, Praha:
Filosofia
- Relevance Logic
- Anderson a Belnap (1975); nyní opět relevantní téma
- Counterfactual Logic
- David Lewis (1973): Counterfactuals.
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
13
V. Spor o modální logiku
Je nutné, že 9 větší než 7.
Počet (velkých) planet je 9.
Tudíž je nutné, že počet (velkých) planet je větší než 7.
- nevyplývá, ačkoli jsou zdánlivě možné substituce; musíme odlišit výrazy empirické
a neempirické-matematické
- Willard van Orman Quine stať ((1947): The Problem of Interpretating Modal Logic,
Journal of Symbolic Logic 12, 42-48), Ruth Barcan Marcus ((1962): Modalities and
Intensional Languages, Synthese, 303-322)
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
14
Odkazy
Carnap, Rudolf(1946): Modalities and Quantification, Journal of Symbolic Logic 11,33-64
Carnap, Rudolf (1947): Meaning and Necessity. Chicago: The University of Chicago Press Phoenic Edition.
Cresswell, Max J. (1975): Frames and Models in Modal Logic. In: (eds.), Berlin & Heidelberg &
New York: Springer.
Garson, James W. (2000): Modal logic, http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/
Hintikka, Jaako (1969): Models for Modalities (Selected Essays). Dordrecht: D. Riedel Publishing
Company.
Hughes, G. E. & Cresswell, Max J. (1968): An Introduction to Modal Logic. London: Methuen
Hughes, G. E. & Cresswell, Max J. (1996): A New Introduction to Modal Logic, London: Routledge
Chellas, Brian F. (1980): Modal Logic: An Introduction, New York: Cambridge
Konyndyk, Kenneth (1986): Introductory Modal Logic. Notre Dame: University of Notre Dame
Press.
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Jiří Raclavský (2014): Logika a formální sémantika - 5. Modální logika
15
Kripke, Saul (1959): A Completness Theorem in Modal Logic, Journal of Symbolic Logic 24, 1-14
Kripke, Saul (1963): Semantical Considerations on Modal Logic, Acta Philosophica Fennica 16, 8394.
Marcus, Ruth Barcan (1993): Modalities (Philosophical Essays). Oxford: Oxford UP
Mleziva, Miroslav (1970): Neklasické logiky, Praha: Svoboda.
Montague, Richard (1960): Logical Necessity, Physical Necessity, Ethics and Quantifiers, Inquiry
4, 259-269; repr. In: Montague (1974): Formal Philosophy (Selected Papers of Richard Montague).
New Haven and London: Yale UP, 71-83.
Menzel, Christopher (2000): Actualism, http://plato.stanford.edu/entries/actualism/
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)
Download

Logika a formální sémantika: 5. Modální logika