2.
MECHANIKA
2.1
KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU
Slouží k popisu pohybu hmotného bodu v definované soustavě souřadnic (vztažné
soustavě).
Používané pojmy, které je třeba znát
Hmotný bod (HB); vztažné těleso; vztažná soustava; relativnost klidu a pohybu tělesa;
kinematický popis pohybu HB; poloha HB; polohový vektor HB; trajektorie HB; dráha HB;
klasifikace pohybů dle tvaru trajektorie (přímočaré a křivočaré); klasifikace pohybů dle
velikosti rychlosti (rovnoměrné a nerovnoměrné).
Rychlost hmotného bodu
y

r

r1

r2
0
x
z
a) průměrná rychlost:
-
velikost průměrné rychlosti:
-
průměrná rychlost je skalár
b) okamžitá rychlost:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗ ̇
⃗ ̇
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ̇
( )
̇
c) velikost rychlosti:
| ⃗|
√
d) směr rychlosti:
-
vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic:
( ⃗ ⃗)
( ⃗ ⃗⃗ )
( ⃗ ⃗)
Okamžitá rychlost je vektor, který má směr tečny k trajektorii v místě, v němž
okamžitou rychlost určujeme, a je orientován ve směru pohybu.
e) jednotka:
7
Zrychlení hmotného bodu

v2

v1

v1
  
v  v2  v1

v2
a) průměrné zrychlení při pohybu přímočarém je skalární veličina:
b) okamžité zrychlení:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
-
⃗ ̈
⃗̈
⃗⃗
⃗
⃗
c) velikost zrychlení:| ⃗|
d) směr vektoru zrychlení:
⃗
⃗ ̈
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ̈
√
vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic:
( ⃗ ⃗)
( ⃗ ⃗⃗ )
( ⃗ ⃗)
e) jednotka:
f) přirozené složky zrychlení (tečné a normálové):
-
velikost tečného (tangenciálního) zrychlení:
rychlosti
-
velikost normálového (dostředivého) zrychlení:
rychlosti
-
celkové zrychlení:
⃗
⃗
⃗
- udává změnu velikosti
- udává změnu směru
√
Grafické vyjádření je na následujícím obrázku a určení směru vektoru zrychlení vzhledem
k rychlosti vyjadřuje úhel .
8
Přímočarý pohyb:
Dělení:
Rovnoměrný přímočarý:
∫
.
Rovnoměrně zrychlený přímočarý:
∫
∫(
∫
;
.
)
Rovnoměrně zpomalený přímočarý:
.
Zastavení:
Nerovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb:
( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
.
Volný pád: rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v tíhovém poli Země
=0 ;
∫
.
Kruhový pohyb
Trajektorie je kružnice a zavádějí se úhlové veličiny.
a) Úhlová dráha:(úhel opsaný průvodičem):
(
̇;
b) Úhlová rychlost:
; jednotka: rad
)
; jednotka:
⃗⃗⃗
⃗⃗
-
směr: leží v ose rotace
-
orientace: na tu stranu, ze které vidíme směr otáčení kladně
⃗
⃗⃗
⃗
rychlost ⃗ nazýváme rychlostí obvodovou (postupnou)
c) Úhlové zrychlení: ⃗
-
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
;
jednotka:
směr: totožný se směrem úhlové rychlosti
⃗
⃗⃗
( ⃗⃗
⃗)
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗
9
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
-
tečné zrychlení:
-
normálové zrychlení:
d) Perioda T: čas jednoho oběhu po kružnici
e) Frekvence f: počet oběhů za 1 s;
; jednotka:
; jednotka:
Dělení:
Rovnoměrný pohyb po kružnici:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
∫
Rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∫
∫
Nerovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ( )
∫ ( ) .
PŘÍKLADY:
2.1-1.
Při silném kýchnutí zavře člověk oči na
. Jakou dráhu urazí auto za tuto dobu
jedoucí rychlostí
, jakou auto pohotovostní záchranné služby jedoucí
rychlostí
a kolik metrů uletí stíhačka pohybující se rychlostí
?
Řešení:
Vztah mezi dráhou, rychlostí a časem je dán definicí rychlosti
,
odtud pro dráhu platí
.
10
Po dosazení číselných hodnot
Automobil urazí dráhu
.
, auto záchranné služby
a stíhačka urazila dráhu
Automobil projel první třetinu dráhy stálou rychlostí , další dvě třetiny stálou
rychlostí . Jeho průměrná rychlost po projetí dráhy byla
. Jaká byla
rychlost , víte-li že rychlost v druhé části byla
?
2.1-2
Řešení:
?
První třetinu dráhy projel automobil za čas
za celkový čas
.
Čas
; čas
odtud pro
; čas
, druhou část za čas
, celou dráhu projel
a po úpravě
:
Po dosazení číselných hodnot
⁄
⁄
⁄
Automobil projel první část dráhy rychlostí
2.1-3
.
Stanovte, za jak dlouho a jakou rychlostí by dopadla těžní klec na dno jámy po
přetržení lana ve výšce h nade dnem jámy v případě, že těžní klec
a) sjíždí konstantní rychlostí
b) vyjíždí konstantní rychlostí
do jámy
z jámy
Řešení:
(
a)
11
)
√
√
(
b)
√
√
2.1-4
)
Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru
tak, že pro jeho dráhu
v závislosti na čase platí
. Určete absolutní hodnotu jeho zrychlení
v čase
.
Řešení:
(
( )
(
√
√
)
)
,
,
Zrychlení hmotného bodu ve třetí sekundě je 200,09 m.s-2.
2.1-5
Otáčky setrvačníku klesly z 900 otáček za minutu na 800 otáček za minutu za dobu
. Určete jeho úhlové zrychlení a počet otáček, které za tuto dobu vykonal. Kolik
času uplyne, než se setrvačník zastaví?
Řešení:
(
(
)
(
)
),
(
(
)
)
,
,
12
Velikost úhlového zrychlení setrvačníku je 2,09
a za 45 s došlo k jeho úplnému zastavení.
Vyšetřete pohyb hmotného bodu, jehož polohový vektor ⃗ závisí na čase podle
rovnice ⃗ ⃗
⃗
kde
2.1-6
Určete vektor rychlosti.
Určete velikost rychlosti.
Určete směr vektoru rychlosti pomocí jednotkového vektoru.
Určete vektor zrychlení a jeho velikost.
Určete přirozené složky zrychlení.
Určete, o jaký pohyb se jedná.
Určete poloměr křivosti R .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
)
)
, setrvačník vykonal 70,83 otáček
⃗
( ⃗
⃗
⃗
)
)
)
( ⃗
⃗
)
)
)
[
)
K tonoucímu v řece ve vzdálenosti
vyráží plavec kolmo k břehu rychlostí
. Rychlost proudu řeky je
. Určete velikost a směr rychlosti
plavce vzhledem k rychlosti vody. Jakou vzdálenost musí plavec uplavat, aby se
dostal k tonoucímu?
2.1-7
[
]
Účastník záchranářského cvičení tvrdil, že dopad kamene na dno propasti Macocha
o hloubce
slyšel za
. Rychlost zvuku je
. Měl pravdu?
2.1-8
[
2.1-9
[
]
]
Motor vykonal po vypnutí během
a zastavil se. Určete jeho
zpomalení, předpokládáte-li, že bylo rovnoměrné. Stanovte frekvenci otáček
v okamžiku vypnutí.
]
2.1-10 Automobil hmotnosti
jede po zledovatělé vozovce s kopce o klesání
rychlostí
. Ve vzdálenosti
před automobilem vstoupí kolmo do
vozovky chodec. Reakční doba řidiče je
. Určete minimální rychlost automobilu
v místě možného střetu, je-li maximální rovnoměrné zpomalení pohybu automobilu
určeno třecí silou na styku pneumatiky s vozovkou; součinitel tření je
. (Použijte
hodnotu tíhového zrychlení
a výslednou hodnotu uveďte v
zaokrouhleně na jedno desetinné místo).
[
]
13
2.2 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
Studuje příčiny změn pohybového stavu HB, proč se jeho pohybový stav změnil a za
jakých podmínek se tato změna uskutečnila.
Používané pojmy, které je třeba znát:
Síla: Vektorová veličina charakterizující vzájemné silové působení těles (resp. HB); je
určena velikostí, směrem a působištěm; označuje se ⃗ ; jednotkou je newton:
Hybnost: vektor mající směr totožný se směrem okamžité rychlosti HB; ⃗
je vektor hybnosti, je hmotnost HB a ⃗ je vektor okamžité rychlosti; jednotka:
⃗ kde ⃗
Skládání sil; Interakce (vzájemné silové působení); Účinky silového působení; Volné
těleso; Inerciální vztažná soustava (IVS).
1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti)
„Každé těleso setrvává v relativním klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém,
dokud není přinuceno silovým působením jiných těles tento svůj pohybový stav změnit.“
Za podmínky, že na HB nepůsobí vnější síly, můžeme tedy tuto formulaci pomocí rovnic
zapsat takto:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗
⃗⃗) ⃗
⃗
⃗⃗
Galileův princip relativity:
„Klid a pohyb rovnoměrný přímočarý jsou dva rovnocenné stavy, které lze rozlišit jen
relativně (tj. ve vztahu k okolí).“
„Všechny IVS jsou z mechanického hlediska ekvivalentní, žádným mechanickým
pokusem provedeným uvnitř IVS nelze jednoznačně určit, zda a jakou rychlostí se soustava
pohybuje vzhledem k jiné IVS.“
2. Newtonův pohybový zákon (zákon síly)
„Časová změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle.“
Pomocí rovnice zapíšeme jako:
⃗
⃗
.
V případě konstantní hmotnosti tělesa platí:
⃗
⃗
(
⃗)
⃗
⃗
Mění-li se hmotnost tělesa, tak platí:
⃗
⃗
(
⃗)
⃗
14
⃗
⃗
⃗
Setrvačná hmotnost:
⃗
Je hmotnost tělesa určená na základě zrychlení, které těleso získá po působení určité síly
⃗
Impulz síly (charakterizuje časový účinek síly):
⃗
Jednotkou je
⃗
∫ ⃗
∫⃗
. V případě konstantní síly platí:
⃗∫
⃗
(resp. ⃗
⃗
).
∫ (
⃗)
a dle 2. NPZ platí:
⃗
∫⃗
⃗
∫
[
⃗]
[
⃗]
[
⃗]
⃗
3. Newtonův pohybový zákon (zákon akce a reakce)
„Síly vzájemného působení dvou těles jsou stejně velké, stejného směru, ale opačné
orientace.“
Platí tedy:
⃗
⃗
⃗
⃗
Pozn.: Síly působí na různá tělesa, proto se ve svém účinku neruší (
těleso, atd.)
na první a
na druhé
Zákon zachování hybnosti
Pro izolovanou soustavu obsahující n těles (resp. n HB), které na sebe vzájemně působí
(sráží se, atd.), platí:
⃗⃗
∑⃗
tedy:
∑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
což je zákon zachování hybnosti v izolované soustavě hmotných bodů.
Axiom o nezávislosti silového působení
„Zrychlení tělesa, na které působí současně několik sil, je rovno vektorovému součtu
zrychlení, které tělesu udílejí jednotlivé síly“
15
Newtonova pohybová rovnice pro HB
Dle 2. Newtonova pohybového zákona je:
⃗
∑⃗
kde ⃗ jsou jednotlivé síly působící na HB v dané vztažné soustavě. Tuto vektorovou rovnici
lze nahradit soustavou tří nezávislých rovnic pro souřadnice, tedy:
ve směru x:
ve směru y:
ve směru z:
Pohybové rovnice pro jednotlivé typy pohybů
Pro přímočarý pohyb:
HB setrvává v pohybu rovnoměrném přímočarém
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
HB se pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Pro křivočarý pohyb:
Pro působící sílu použijeme rozklad na tečnou a normálovou sílu, které jsou na sebe
vzájemné kolmé a zapíšeme je jako:
tečná síla:
normálová síla:
Normálová složka má směr do středu křivosti trajektorie a proto se také označuje
jako dostředivá síla (síla nutící HB ke křivočarému pohybu); dle 3. NPZ existuje
reakce na tuto sílu, tj. síla odstředivá.
Tíha G a tíhová síla FG
16
Inerciální vztažné soustavy (IVS)
Soustavy, v nichž platí Newtonovy pohybové zákony; mechanický pohyb se z hlediska
různých vztažných soustav jeví různě; inerciálních vztažných soustav je nekonečně mnoho;
vzájemný mechanický pohyb inerciálních vztažných soustav má nulové zrychlení.
Neinerciální vztažné soustavy (NIVS)
Vztažné soustavy, které se vzhledem k libovolné IVS pohybují s nenulovým zrychlením;
působí zde síly setrvačné nemající původ v reálných tělesech uvnitř NIVS (označujeme je
jako síly zdánlivé, fiktivní); síly setrvačné mají směr proti zrychlení dané soustavy; výsledná
síla působící na těleso je rovna vektorovému součtu sil skutečných a sil setrvačných ( ).
v rotujících soustavách:
PŘÍKLADY:
2.2-1.
Určete velikost a orientaci zrychlení tělesa o hmotnosti
, které se pohybuje bez
tření v horizontální rovině a na něž působí v této rovině síly
síly a svírají v daném pořadí se silou úhly 90° a 180° (obr.
2.2-1.)
Obr. 2.2-1
Řešení:
Postupným skládáním sil ⃗ ⃗ ⃗ dostáváme výslednici ⃗ , pro určení její velikosti
využijeme Pythagorovu větu (viz. obr. 2.2-1.):
√
(
)
√
(
)
Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení
17
, odtud
a po číselném dosazení
Orientaci určíme z polohy vektorů síly (viz. obr. 2.2-1.):
po dopočítání:
Těleso se pohybuje se zrychlením
úhel
.
2.2-2.
orientovaném ve směru svírajícím se silou
Pojízdná stříkačka o hmotnosti
má být posunuta po vodorovné dráze, jeli tření
tíhové síly. Jaké zrychlení stříkačky dosáhnou dva hasiči, působí-li
každý silou
?
Řešení:
Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení
kde
Po číselném dosazení
Stříkačka dosáhne zrychlení
2.2-3.
.
Kámen, který padá volným pádem kolem římsy nevyššího patra domu (bod A)
rychlostí
, na parapet okna (bod B) v přízemí dopadne rychlostí
.
Určete vzdálenost mezi sledovanými body a dobu, za kterou kámen tuto vzdálenost
urazí (obr. 2.2-2).
18
Obr. 2.2-2
Řešení:
Vzdálenost
, to je
Pro dráhu volného pádu platí vztah:
Pro rychlost volného pádu platí vztah:
,
odtud pro t:
,
dosazením časů dostaneme:
.
Doba pádu mezi body A-B
19
.
Vzdálenost mezi sledovanými body je
2.2-4.
a doba pohybu mezi těmito body je
.
S jakým stálým zrychlením se bude rozjíždět autobus o hmotnosti
do svahu
se
a
, jestliže se po vodorovné silnici
stejnou tahovou silou rozjíždí se zrychlením
(obr. 2.2-3)?
Obr. 2.2-3
Řešení:
pro úhel stoupání
je dáno
, odtud
Tahová síla po vodorovné silnici:
Proti pohybu při jízdě do svahu působí (obr. 2.2-3) síla
vztahem:
a síla třecí dána
,
kde
je tíha autobusu.
Síla udělující zrychlení autobusu
(
(
)
),
po úpravě:
(
).
Po dosazení číselných hodnot
(
;
20
)
.
Autobus jede do svahu se stálým zrychlením
2.2-5. Lyžař sjíždí po svahu s úhlem sklonu
. Z místa, v němž byl lyžař původně v klidu,
se rozjíždí se stálým zrychlením a ujede po svahu dráhu . Potom přejede na
vodorovnou pláň, po které ujede až do zastavení opět dráhu l. Určete součinitel tření
mezi lyžemi a sněhem, odpor vzduchu zanedbejte (obr. 2.2-4).
Obr. 2.2-4
Řešení:
Výsledná síla působící na lyžaře při sjezdu je:
,
odtud:
(
).
Dráha zrychleného pohybu a rychlosti lyžaře na konci svahu je dána vztahy:
po úpravě (vyloučení
√
√
) dostaneme:
(
)
Pro zrychlení po pláni (
) dostaneme:
(
)
,
znaménko určuje směr zrychlení, odtud:
√
√
porovnáním rychlostí získáme:
√
upravíme
(
)
√
,
, odtud:
21
Po dosazení číselných hodnot
Součinitel smykového tření mezi skluznicemi lyží a sněhem je 0,087.
2.2-6.
Míč o hmotnosti
narazí na svislou stěnu rychlostí
a odrazí se od
ní rychlostí
. Určete jeho hybnost před dopadem a po odrazu, průměrnou
velikost síly, kterou míč působil na stěnu, víte-li, že doba trvání nárazu byla
.
Řešení:
Hybnost je dána vztahem:
.
Hybnost míče při dopadu je:
po dosazení číselných hodnot:
Hybnost míče po odrazu je:
po dosazení číselných hodnot:
Při určení průměrné síly použijeme vztahů pro impulz síly; důsledku 2. N.P.Z.pro tělesa s
konstantní hmotností a zrychlení:
dosazením a úpravou dostaneme:
̅
|
|
22
po dosazení číselných hodnot:
|
|
Hybnost před dopadem je
, hybnost po odrazu
průměrná síla je
N (orientace síly je proti orientaci vektoru rychlosti
2.2-7.
a
).
Jak veliká síla působí na střelu o hmotnosti
, která proletěla hlavní délky
(pohyb uvažujeme rovnoměrně zrychlený) a dosáhla rychlosti
? Jakou
rychlost měla puška při zpětném rázu, váží-li puška
?
Řešení:
K řešení použijeme následující vztahy mezi veličinami:
po úpravě a dosazení získáme vztah:
po dosazení číselných hodnot:
(
)
Zákon zachování hybnosti pro danou úlohu můžeme napsat ve tvaru:
,
po dosazení číselných hodnot:
.
ů
š
.
23
2.2-8. Konec provazu ležícího na desce je prostrčen otvorem v desce (obr. 2.2-5). Celková
délka provazu je , jeho hmotnost je . V čase
je délka provazu visícího dolů
Vyšetřete
průběh
pohybu
provazu
za
předpokladu,
že
je zanedbáno tření.
.
Obr. 2.2-5
Ř š
:
Hmotnost části provazu délky
( )
pod deskou je:
P.Z.
Pohybová rovnice má tvar:
po úpravě:
je diferenciální homogenní rovnice, která má řešení ve tvaru:
(
kde
)
(
)
√ ⁄ Konstanty
určíme z počátečních podmínek:
odtud plyne po dosazení počátečních podmínek:
Dráha
je dána vztahem:
√
√
(√
)
a pro rychlost pohybu provazu dostáváme:
( )
√
(√
).
24
D
rovnice ( )
(√ ⁄ ) ; rychlost posuvu provazu
(√ ⁄ ) .
√ ⁄
Řidič automobilu o hmotnosti
začne brzdit ve vzdálenosti
od hranice
křižovatky. Třecí síla při brzdění má velikosti
. Určete mezní rychlost, při
které může automobil ještě zastavit na hranici křižovatky.
2.2-9
[
]
2.2-10. Bedna se pohybuje působením vlastní tíhy po nakloněné rovině o sklonu
z bodu A do bodu B. Určete rychlost tělesa v bodě B, je-li vzdálenost bodů
součinitel smykového tření
a rychlost tělesa v bodě A byla nulová.
[
,
]
2.2-11. Auto o hmotnosti
křivosti mostu je
[
se pohybuje po klenutém mostě rychlostí
. Poloměr
Jakou silou auto zatěžuje most při průjezdu jeho vrcholem.
]
2.2-12. Lano vydrží zatížení
S jak velkým zrychlením můžeme zvedat břemeno o
hmotnost
, aniž by se lano přetrhlo.
[
]
2.2-13. Vlak o celkové hmotnosti
stojí na trati. Určete sklon trati, kdy ještě nedojde
k samovolnému rozjetí soupravy, víte-li, že jízdní odpor vlaku je
na jednu tunu
hmotnosti.
[
š
]
2.2-14. Nakreslete schematicky všechny síly, které působí na kabinu výtahu při rozjezdu
výtahu a dojezdu výtahu jak směrem dolů, tak směrem nahoru.
25
2.3
MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE
Mechanická práce
Děj, který je spojen s přenosem a přeměnou energie je spojen s konáním práce.
Mechanická práce je mírou změny energie. Těleso koná mechanickou práci, jestliže působí
silou na jiné těleso, které se působením této síly přemisťuje po určité trajektorii.“
Mechanická práce charakterizuje dráhový účinek síly;
elementární práce:
⃗
⃗
celková práce:
∫ ⃗
⃗
∫
jednotkou je joule, tj.:
Definice 1 J:
Práce vykonaná tehdy, jestliže silou 1 N přemístíme těleso po dráze 1 m ve směru
působící síly.
Výkon
Vyjadřuje “jak rychle se koná práce“;
Průměrný výkon
kde W je celková práce síly v intervalu
.
Okamžitý výkon
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗⃗⃗
jednotkou je watt, tj.:
Účinnost
Je podílem užitečné práce
(skutečně vykonané) a práce
, kterou by stroj měl
vykonat na základě dodané energie. Je tedy podílem užitečného výkonu
a dodaného
výkonu
(příkonu):
26
Kinetická (pohybová) energie (
)
Je skalární veličina charakterizující pohybový stav HB či tělesa vzhledem ke zvolené IVS.
Vyjadřuje schopnost tělesa konat práci, jestliže se nachází v určitém pohybovém stavu.
Pro hmotný bod:
⃗ ⃗
(
⃗)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(
)
za zjednodušených podmínek (konstantní síla působící na HB v klidu jej uvádí do pohybu
rovnoměrně zrychleného přímočarého);
Potenciální (polohová) energie (
)
Je polohovou energií tělesa (HB) v silovém poli jiného tělesa (HB). Předpokládáme, že
v určité oblasti prostoru máme v každém bodě definovánu sílu, která působí na těleso v tomto
bodě, tj. máme definováno silové pole.
tíhová potenciální energie:
(
)
Zákon zachování mechanické energie
Popisuje, že součet kinetické energie tělesa a potenciální energie tělesa neboli jeho
celkové energie, zůstává konstantní. Rovnicemi jej můžeme zapsat jako:
;
;
(
)
Tento zákon platí pro ryze mechanické děje, kdy se neobjevují jiné formy energie; ty však
prakticky neexistují.
Konzervativní síly:
V konzervativním (potenciálovém) silovém poli se zachovává (konzervuje) mechanická
energie.
27
Disipativní síly (nekonzervativní):
Práce vykonaná disipativními silami při pohybu HB je záporná; v poli disipativních sil
nastává částečná přeměna mechanické energie v jiné druhy energie, například síla smykového
tření (
) působící po dráze se mění v teplo; síla valivého odporu (
) působící
po dráze se mění v teplo atd.
Posuvný pohyb tělesa po nakloněné rovině
Pohyb v důsledku vlastní tíhy tělesa. Uvažujeme při něm působení třecí síly, která vzniká
při vzájemném ohybu dvou těles, která jsou v neustálém styku. Smykové tření je dáno
vztahem:
kde je součinitel smykového tření závisející pouze na materiálu tělesa a podložky a na
vyhlazení obou ploch,
je součinitel klidového (statického) tření (
) a je normálová
síla. Dále:
(
∫ d
∫ d
)
(
)
(
)
PŘÍKLADY:
2.3-1.
Hřebík délky
byl zatlučen do trámu pěti údery kladiva o hmotnosti
.
Kladivo mělo dopadovou rychlost
. Jaká je třeba síla k vytažení hřebíku
(tepelnou energii vzniklou třením zanedbáme)?
Řešení:
ů
Předpokládáme, že třecí síla je přímo úměrná délce hřebíku. Při vytažení hřebíku byla
vykonána práce proti odporové síle trámu:
kde
je maximální odporová síla.
28
Vykonaná práce je rovna kinetické energii kladiva, tj.:
odtud:
Po dosazení číselných hodnot:
(
)
.
K vytažení hřebíku je třeba síly
2.3-2.
.
Hydroelektrárna má výkon
. Objemový průtok vody je
výška přepadu je
. Určete účinnost turbogenerátoru.
Řešení:
Objemový průtok je
potenciální energie vody při přepadu
Příkon vody
Pro účinný výkon platí vztah
odtud pro :
Po dosazení číselných hodnot
Účinnost turbogenerátorů je přibližně 89,5 %.
29
,
2.3-3
Řemenice motoru přenáší řemene tahovou sílu
průměr řemenice je
přičemž motor má 1440 otáček za minutu. Vypočítejte výkon elektromotoru.
,
Řešení:
⁄
⁄
V případě, že síla
a rychlost
mají stejný směr, můžeme výkon vyjádřit vztahem:
po úpravě a dosazení můžeme psát
Po dosazení číselných hodnot
.
Výkon motoru je
2.3-4.
.
Jak veliký příkon musí mít motor hoblovky, je-li délka pracovního zdvihu
čas potřebný na jeden zdvih
, řezná síla
a účinnost
?
Řešení:
Příkon odvodíme z definičního vztahu pro účinnost
úpravou dostaneme
kde
je dáno vztahem
30
,
odtud
Po dosazení číselných hodnot
.
Motor hoblovky musí mít příkon
2.3-5.
.
Zjistěte, jakou práci musí vykonat motor, aby součástka o hmotnosti
posuvném pásu délky
, zvýšila během pohybu svoji rychlost z
. Odporová síla působící při pohybu je
.
ležící na
na
Řešení:
Na těleso působí dvě síly, síla udělující tělesu zrychlení a síla třecí. Změna kinetické
energie je rovna práci výsledné síly po dráze. Můžeme psát:
(
)
.
Síla působící po dráze je úměrná změně rychlosti na této dráze, pro rovnoměrné zrychlení
tělesa můžeme psát
(
)
po úpravě můžeme psát
(
)
po dosazení a úpravě můžeme psát
(
)
.
Po dosazení číselných hodnot
[(
)
(
) ]
31
.
.
Motor musí vykonat práci
2.3-6.
.
Lyžař po překonání
výškového rozdílu na
dlouhé sjezdové dráze dosáhl
rychlosti
. Jaká je hodnota součinitele smykového tření pro případ, kdy
neuvažujeme odpor vzduchu?
Řešení:
Dle zákona zachování energie:
.
Dle obr. 3.2-1
,
po dosazení
,
po úpravě
Po dosazení číselných hodnot
(
)
.
Součinitel smykového tření je 0,21.
2.3-7.
Jakou maximální rychlostí může jet nákladní auto o celkové hmotnosti
při
stoupání
, jestliže výkon motoru je
? Součinitel smykového tření je
a odpor prostředí zanedbáme.
Řešení:
32
Rychlost vypočítáme dle vztahu
odtud po úpravě
Tažná síla musí překonat sílu pohybovou -
a sílu třecí -
; viz obr. 2.3-1.
Obr. 2.3-1
Výsledná síla
(
),
dosadíme a dostáváme
(
)
Po dosazení číselných hodnot
(
)
.
Maximální rychlost auta nemůže být větší než
2.3-8.
.
Do jaké vzdálenosti by se odkutálelo kolo o hmotnosti
a průměru
,
kdyby se uvolnilo z ložiska při rychlosti
? Moment setrvačnosti kola je
a třecí síla je
.
33
Řešení:
Součet kinetických energií translační a rotační se musí rovnat energii, která je shodná
s prací třecí síly
po dosazení a úpravě
(
)
Po dosazení číselných hodnot
[
(
)
](
(
)
)
.
Kolo by se odkutálelo do vzdálenosti
Hmotnost vlaku je 80krát větší než hmotnost letadla. Rychlost letadla je 9krát větší
než rychlost vlaku. Porovnejte navzájem jejich kinetické energie.
2.3-9.
[
.
]
2.3-10. Letadlo hmotnosti
pohybující se konstantní rychlostí, vystoupalo za
4 minuty do výšky
. Vypočítejte výkon motoru, jestliže letadlo potřebuje na
výstup
výkonu motoru.
[
]
2.3-11. Vozík rovnoměrně naložený sypkým materiálem 1,2 t pohybující se po kolejích má
čtyři kola o průměru 40 cm. Zjistěte odporovou sílu jednoho kola a práci, kterou je
třeba vykonat při odtlačení vozíku do vzdálenosti 50 m; rameno valivého odporu je
0,5 mm.
[
]
34
2.4
GRAVITAČNÍ POLE
V okolí každého hmotného tělesa existuje gravitační pole, které se projevuje silovým
působením na jiná hmotná tělesa; gravitační pole zprostředkovává silové působení těles, aniž
přitom musí dojít k jejich bezprostřednímu styku; silové působení mezi tělesy je vždy
vzájemné (dle 3. Newtonova pohybového zákona) – tzv. gravitační interakce; vzájemné
přitažlivé síly, které jsou mírou gravitační interakce – tzv. gravitační síly.
Newtonův gravitační zákon
Byl odvozen zobecněním výsledků J. Keplera o kinetice pohybu planet pro dva hmotné
objekty. Každé dvě částice o hmotnostech
a
na sebe vzájemně působí gravitační silou,
jejíž velikost je:
kde je vzdálenost mezi částicemi a
jejíž hodnota byla zjištěna experimentálně.
je gravitační konstanta,
„Každé dva hmotné body se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich
hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.“
Síla ⃗⃗⃗⃗ leží na spojnici hmotných bodů (částic).
Vektorové vyjádření Newtonova zákona
Uvažujme hmotný bod o hmotnosti
v gravitačním poli hmotného bodu o hmotnosti
⃗⃗⃗⃗
kde ⃗⃗⃗⃗
síla).
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⁄ Vektor gravitační síly má opačnou orientaci, než polohový vektor (přitažlivá
Intenzita gravitačního pole
Intenzita je vektorová veličina určená podílem gravitační síly, která v daném místě působí
na hmotný bod o hmotnosti a této hmotnosti:
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Intenzita popisuje pole v každém bodě jednoznačně; závisí pouze na poloze uvažovaného
bodu a na hmotnosti tělesa, které pole vytváří. Jednotka je
Je-li pole
vytvořeno HB nebo homogenní koulí o hmotnosti :
35
Vektorové vyjádření:
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Směr vektoru intenzity ⃗⃗ :
a) do daného hmotného bodu, který je zdrojem tohoto pole
b) do středu stejnorodé koule, která je zdrojem gravitačního pole
... radiální (centrální) gravitační pole.
Gravitační zrychlení
Dle 2. NPZ: gravitační síla při svém působení na tělesa udílí těmto tělesům zrychlení …
tzv. gravitační zrychlení ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Gravitační zrychlení v určitém bodě je rovné intenzitě gravitačního pole v témže bodě (co
do velikosti, směru a orientace):
⃗⃗
⃗
Vektor intenzity gravitačního pole popisuje pole, gravitační zrychlení charakterizuje
pohyb konkrétního tělesa, které se v daném místě pole nachází.
Práce gravitační síly
Hmotný bod o hmotnosti
posuneme o element dráhy
podél průvodiče .
Práce gravitační síly je poté:
⃗
⃗
⃗
Celková práce při přemístění HB o hmotnosti
do vzdálenosti :
∫
[
]
⃗
ze vzdálenosti
(
Gravitační potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti
hmotného bodu o hmotnosti :
36
od HB o hmotnosti
(
))
v gravitačním poli
Práce gravitační síly:
(
)
Gravitační potenciální energie
Skalární veličina, která kvantitativně popisuje chování těles v gravitačním poli jiných
těles. Práce gravitační síly
a tedy gravitační potenciální energie:
∫
kde
je integrační konstanta.
„Potenciální energie je určena prací, kterou vykoná gravitační síla při přenesení hmotného
bodu z daného místa na vztažné místo a nezávisí na cestě, po níž se přenášení děje.“ A tedy:
Potenciál gravitačního pole
Potenciál je skalární veličina charakterizující gravitační pole v určitém bodě závisející
pouze na vlastnostech tohoto pole (nikoli na vlastnostech tělesa v daném bodě umístěného).
Potenciál gravitačního pole v daném bodě prostoru je podíl gravitační potenciální energie,
kterou má v tomto bodě pomocné těleso (HB) o hmotnosti , a této hmotnosti:
Pro gravitační pole HB o hmotnosti
Jednotkou je
zvolíme-li vztažný bon v nekonečnu, platí:
a
Gravitační pole Země
Ve vztahu k jiným vesmírným objektům (planety, družice). Zemi považujeme za
homogenní kouli o poloměru
a hmotnosti
(model Země).
Ve skutečnosti má země tvar blízký rotačnímu elipsoidu s hlavní poloosou (rovníkový
poloměr) 6378 km a vedlejší poloosou (polární poloměr) 6357 km, není homogenní, její
hustota roste směrem od středu, její hmotnost je
a její střední hustota je
Gravitační zrychlení země
Gravitační zrychlení klesá s nadmořskou výškou (zvětšuje se vzdálenost od země).
V nadmořské výšce je vzdálenost od středu Země
(
)
(
37
)
(
)
Pokud je
(
(
)
)
kde
Pozn.: Ve výšce
hladině moře ( ).
je gravitační zrychlení jen o 1 promile menší, než při
Potenciální energie těles v zemském gravitačním poli
Mějme těleso o hmotnosti
, poloměr , pak
ve vzdálenosti od středu Země. Hmotnost Země označíme
na povrchu země je
a ve výšce
nad povrchem Země:
Práce vnější síly potřebná k vyzvednutí tělesa z povrchu Země do výšky
proti gravitační síle):
(
Pro
(přemisťujeme
)
je práce:
(
)
(
)
Použijeme-li vztah
pak práce vnějších sil je dána jako:
(
š
)
Tíhové pole Země
Ve vztahu k tělesům na povrchu resp. v blízkosti povrchu Země. Kromě gravitační síly ⃗
působí na tělesa o hmotnosti m síla setrvačná ⃗ Ta je dána vztahem:
38
kde
Tíhové pole Země je složené z gravitačního pole Země a pole setrvačných (odstředivých)
sil. Výslednice sil působících na těleso na Zemi:
⃗
⃗
⃗
kde ⃗ je tíhová síla, ⃗
⃗ kde ⃗ je tíhové zrychlení. Směr tíhové síly definuje svislý
směr. Tíhová síla
klesá s nadmořskou výškou stejně jako tíhové zrychlení . Tíhové
zrychlení závisí na nadmořské výšce i zeměpisné šířce. Maximální je na zemských pólech a
minimální je na rovníku. Tato závislost je dána nejen tvarem zemského elipsoidu, ale zejména
rotací Země. Tíhové zrychlení je vektorovým součtem gravitačního zrychlení a zrychlení
setrvačného ⃗ ⃗
⃗ .
Pohyby těles v homogenním tíhovém poli země
Pokud jsou parametry trajektorie vrženého tělesa malé ve srovnání s rozměry Země,
tíhové zrychlení je podél celé trajektorie tělesa konstantní.
Pohybová rovnice volného HB:
(
⃗)
⃗
Vyjádřeno pomocí souřadnic:
39
⃗
Pro soustavu souřadnic volíme počátek v poloze HB a vektor počáteční rychlosti leží
v rovině XY. Úhel, který svírá vektor rychlosti s kladným směrem os X je tzv. elevační úhel
(úhel vrhu).
Y

v0

X
O
Souřadnice síly ve zvolené soustavě souřadnic:
Dosazením souřadnic síly do pohybových rovnic:
První integrací těchto rovnic získáme souřadnice rychlosti:
jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počátečních rychlostí:
kde
Druhou integrací pohybových rovnic získáme souřadnice polohy HB:
jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počáteční polohy HB
resp.
pro vodorovný vrh.
kde
Dle počátečních podmínek dostáváme tyto případy:
a)
b)
c)
d)
e)
volný pád
vrh svislý dolů
vrh svislý vzhůru
vrh vodorovný
vrh šikmý vzhůru.
40
PŘÍKLADY:
2.4-1.
Intenzita gravitačního pole na povrchu Země je cca
. Určete velikost
intenzity ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země od jejího povrchu.
Řešení:
Pro intenzitu gravitačního pole platí vztah
Ve výšce
platí:
(
)
(
)
Úpravou a dosazením dostáváme
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
.
Ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země je intenzita gravitačního pole
2.4-2.
.
Určete výšku nad povrchem Země, kde je gravitační síla, která působí na těleso,
poloviční (
).
Řešení:
Gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem
gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem
(
)
Dosadíme
(
)
41
po úpravě dostaneme vztah
Kvadratická rovnice má dva kořeny
√
z nichž vyhovuje ten, pro který vyjde
(√
( √
√
)
kladné:
).
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
(√
)
Gravitační síla je poloviční ve výšce
2.4-3.
.
Doba oběhu první družice kolem Země na palubě s člověkem byla
. Určete
výšku družice nad povrchem Země za předpokladu, že trajektorií byla kružnice
(
).
Řešení
Při oběhu kolem Země je dostředivá síla rovna odstředivé a dostředivá síla je síla
gravitační
(
)
po úpravě
Pro rychlost družice
platí:
(
)
po dosazení do rovnice
a úpravě dostáváme
42
√
(
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
√
(
)
.
m.
.
Výška družice nad povrchem Země byla
2.4-4.
km.
Vypočítejte práci, kterou musely vykonat raketové motory, při vynesení rakety o
hmotnosti
do výšky
nad Zemský povrch. Předpokládejme pohyb rakety
v homogenním gravitačním poli s intenzitou
.
Řešení:
Práce raketových motorů
bodě trajektorie.
je rovna gravitační potenciální energii rakety
v nejvyšším
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
Motory vykonaly práci
2.4-5.
.
Jakou rychlostí vystupuje proud vody z požární hubice směrem svisle vzhůru, jestliže
dosahuje výšky
a za jak dlouho po výtoku dopadne na úroveň hubice?
Řešení:
43
Rychlost v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem
,
kde
je počáteční rychlost.
V nejvyšším bodě (v bodě obratu) se voda “zastaví“, proto
odtud vztah pro rychlost:
Dráha (okamžitá výška) v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem
⁄ a úpravě dostaneme pro počáteční rychlost vztah:
po dosazení
.
√
Celková doba než voda dopadne se skládá ze dvou časů: čas pro let nahoru a čas, kdy
voda padá , potom platí:
.
Čas
určíme z dráhy, kterou voda vykoná při pádu z maximální výšky, to je
z nejvyššího bodu
⁄ a současně po dosazení za
√
po úpravě pro
je
√
odtud
√
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
,
.
√
.
Voda u hubice má rychlost
a dopadne na úroveň hubice za
44
.
2.4-6.
Z vysouvacího požárního žebříku vysokého
stříká hasič vodu vodorovným
směrem, rychlost výtoku vody je
. Za jakou dobu, jakou rychlostí, pod
jakým úhlem s vodorovným směrem a v jaké vzdálenosti od paty kolmice spuštěné
z žebře dopadne voda?
Obr. 2.4-1
Řešení:
;
Pro vodorovný vrh platí vztahy:
a
,
kde je vzdálenost od paty kolmice (obr. 4.2-1 a),
voda dopadne na zem (odpor prostředí zanedbáme).
výška žebříku a je doba, za kterou
Pro dobu dopadu t úpravou z výše uvedených vztahů dostaneme:
√
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
.
Rychlost dopadu je určena vektorovým součtem počáteční rychlosti
dopadu při volném pádu (obr. 4.2-1 b).
Dle Pythagorovy věty platí
√
,
45
a rychlosti
je velikost rychlosti dopadu z výšky , tj.:
kde
,
√
po dosazení dostáváme:
√
.
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
)
√(
,
.
Úhel α, který svírá vektor rychlost
s horizontálním směrem určíme dle obr. 4.2-1b
odtud
Vzdálenost dopadu vody od paty kolmice je
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
.
Voda dopadla za
2.4-7.
, rychlostí
, pod úhlem
a ve vzdálenosti
Vodorovně vystřelený projektil letí počáteční rychlostí
poklesne projektil od vodorovného směru na vzdálenosti
.
, o jakou délku
?
Řešení:
Pro vodorovný vrh platí vztahy:
,
kde je vzdálenost od místa výstřelu,
doletu (odpor prostředí zanedbáme).
délka poklesu od vodorovného směru a je doba
Po úpravě první rovnice a dosazení do druhé rovnice dostaneme:
46
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
(
(
)
)
.
Vystřelený projektil poklesne na vzdálenosti
směru.
2.4-8.
o
od původního vodorovného
Halleyova kometa, která se pohybuje po eliptické trajektorii, se dostává v periheliu
do minimální vzdálenosti
od Slunce. Perioda Halleyovy komety je
roků.
Určete, do jaké největší vzdálenosti od Slunce se dostane.
Obr. 2.4-2
Řešení:
Halleyova kometa společně se Zemí obíhají kolem Slunce. Délku velké poloosy
eliptické dráhy Halleyovy komety (obr. 4.2-2) vypočteme ze třetího Keplerova zákona
odtud
47
√
je astronomická jednotka, platí:
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
(
(
)
)
.
Hledaná maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce podle (obr. 4.2-1) platí:
Maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce je
km.
2.4-9.
Pod jakým elevačním úhlem musíme vrhnout těleso šikmo vzhůru, aby se výška jeho
výstupu rovnala délce doletu?
[
]
2.4-10. Pohyb dělostřeleckého granátu je popsán rovnicemi;
Určete rovnici trajektorie, dobu letu a délku doletu.
[
.
]
2.4-11. Volně padající těleso má v místě A rychlost
; v místě B má rychlost
. Jaká je vzdálenost mezi body
a jaký čas byl třeba k uražení této
vzdálenosti? Řešte pomocí zákona zachování mechanické energie.
[
]
2.4-12. Jakou počáteční rychlost musíme ve vodorovném směru udělit tělesu, aby délka vrhu
byla rovna n-násobku výšky, ze které bylo těleso vrženo?
[
√
⁄ ]
2.4-13. Určete trajektorii materiálu, který opustí ve výšce
pohybujícího rychlostí .
[
]
48
dopravníkový pás vodorovně se
2.5
DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA
Tuhé těleso je těleso, které nelze nahradit hmotným bodem, jeho rozměry a tvar podstatně
ovlivňují pohybový stav tělesa a jeho tvar ani objem se působením vnějších sil nemění
(nedeformovatelné).
a) pohyb posuvný: všechny body tělesa mají v daném okamžiku stejnou rychlost i
zrychlení
b) pohyb otáčivý kolem nehybné osy: všechny body tělesa se pohybují se stejnou
úhlovou rychlostí a opisují soustředné kružnice, roviny kružnic jsou kolmé na osu
otáčení
c) pohyb složený: pohyb složený z translace v prostoru a současné rotace kolem osy
otáčení
Moment síly
Moment síly charakterizuje pohybový účinek síly způsobující otáčivý pohyb tělesa.
Závisí na velikosti síly, jejím směru a působišti. Moment síly je:
kde r je rameno síly (nejkratší vzdálenost vektorové přímky od osy otáčení tělesa),
Těžiště tuhého tělesa (působiště tíhové síly)
∫
pro homogenní těleso (
∫
∫
):
∫
∫
∫
Má-li těleso střed symetrie, je také těžištěm, má-li osu, nebo rovinu symetrie, leží těžiště
na tomto prvku symetrie.
49
Posuvný pohyb tuhého tělesa
Rozdělíme si těleso na elementy o hmotnosti
⃗
. Hybnost každého elementu je:
⃗
Kinetická energie každého elementu je:
Celková hmotnost a hybnost tělesa:
∫
⃗
∫ ⃗
⃗
⃗
Celková kinetická energie pohybujícího se tělesa:
∫
∫
Rotační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy
Elementární části tělesa se pohybují s různou obvodovou rychlostí, mají však stejnou
rychlost úhlovou. Částice tvořící těleso mající vzdálenost od osy otáčení mají v daném
okamžiku rychlost:
Kinetická energie každého elementu je:
Celková kinetická energie tuhého tělesa:
∫
kde ∫
∫
∫
∫
je moment setrvačnosti .
Pohybová rovnice pro pohyb tělesa kolem pevné osy
Dle 2. impulsové věty:
⃗⃗⃗
neboť
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
.
Pro jednotlivé elementy tuhého tělesa:
50
⃗
⃗
Pro celé tuhé těleso:
∫
∫
Vektorově:
⃗⃗
⃗⃗
A po dosazení do druhé impulsové věty:
⃗⃗⃗
( ⃗⃗)
⃗⃗
⃗
Složený pohyb tuhého tělesa
Je složením pohybu translačního s pohybem rotačním. Kinetická energie:
kde
je moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm.
Výpočet momentu setrvačnosti
Pro hmotný bod:
Pro soustavu hmotných bodů:
∑
Pro tuhé těleso:
∫
Jednotkou momentu setrvačnosti je
Pomocí poloměru setrvačnosti tělesa
pro danou osu:
kde
je vzdálenost bodu, ve kterém by musela být soustředěna hmotnost tělesa, aby moment
setrvačnosti byl roven momentu setrvačnosti celého tělesa, tj.:
√
∫
( )
∫
( )
51
Steinerova věta
Pro stanovení momentu setrvačnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy , která
neprochází těžištěm, kde je její vzdálenost od rovnoběžné osy procházející těžištěm:
moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí bodem
(zvolíme-li počátek soustavy souřadnic v těžišti):
rovnoběžné s osou jdoucí těžištěm
je
„Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose je roven momentu setrvačnosti
hmotného bodu v těžišti, jehož hmotnost je rovna hmotnosti tělesa, vzhledem k této ose
zvětšené o moment setrvačnosti tělesa vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm.“
Práce a výkon při rotačním pohybu tuhého tělesa
Při pootočení tělesa o elementární úhel
⃗
vykoná tangenciální složka síly práci:
⃗
vektorově:
⃗⃗⃗
⃗⃗
Celková práce:
⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
Výkon:
⃗⃗
⃗⃗⃗
52
⃗⃗⃗ ⃗⃗
Fyzické kyvadlo:
Každé těleso otáčivé kolem osy, která neprochází těžištěm a není svislá.
Setrvačník:
Těleso otáčivé kolem osy, vzhledem k níž má velký moment setrvačnosti.
Osa roztočeného setrvačníku zachovává svůj směr (př. stálý sklon Země).
Volná osa:
Těleso rotující kolem ní ji nenamáhá žádnou silou ani momentem sil.
Analogie vztahů pro posuvný a otáčivý pohyb
POHYB POSUVNÝ
POHYB OTÁČIVÝ
úhlová dráha: 
dráha:
s
rychlost:
v
úhlová rychlost:   d
dt
ds
dt
2
zrychlení: a  dv  d s
2
2
úhlové zrychlení:   d  d 
dt
dt 2
hmotnost: m
moment setrvačnosti: J

moment síly: M
dt
síla:
hybnost:
dt

F


p  mv

moment hybnosti:



b  J
impuls síly: I   F dt
práce:
 
dW  F dr


impuls momentu síly: L   M dt
práce: dW  M d
výkon:
P
 
dW  
 Fv
dt
výkon: P  dW  M 
dt
kinetická energie: E  1 mv 2
k
2

pohybová rovnice: F  dp  ma
dt

1. impulsová věta:  dp
F
dt
kinetická energie: E  1 J 2
k
zákon zachování hybnosti:
zákon zachování momentu hybnosti:

 
b  konst , pro M  0
2

 db

pohybová rovnice: M

 J
dt

2. impulsová věta: M  db
dt

 
p  konst , pro F  0
53
PŘÍKLADY:
2.5-1.
Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu na jeřábu, je-li hmotnost
kontejneru , délky lan po hák a maximální vzdálenost od konce nosného ramene
jeřábu jsou patrny z obrázku (obr. 2.5-1). Hmotnosti lan jsou zanedbatelné.
Obr. 2.5-1
Řešení:
Předpokládejme, že těleso je homogenní a těžiště je hmotným bodem. Použijeme
rovnoběžníku pro rozklad sil a tíhovou sílu rozložíme do příslušných směrů.
Z obr. 2.5-1 (délky lan musí být zadány v metrech)
( )
√
( )
√
,
( )
√
.
Z rozkladu rovnoběžníku sil
,
√
54
√
√
√
Lano délky
2.5-2.
√
je napínané silou
√
a lano délky b silou
Na homogenním trámu hustoty
dvě děti o hmotnosti
houpačka byla v rovnováze?
.
délky
a průřezu
se houpou
. Ve kterém místě je třeba trám podepřít, aby
Obr. 2.5-2
Řešení:
K řešení využijeme vztahy pro rovnovážný stav tuhého tělesa, musí platit současně
∑
a
;
∑
;
;
.
.
Zvolíme osu otáčení, přirozený bod otáčení je místo podepření a k ose otáčení vztahujeme
velikost ramene otáčení, u kterého bereme v potaz i orientaci momentu dané síly (obr. 2.5-2.).
(
)
(
55
)
,
odtud:
(
)
(
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
(
(
)
)
.
Trám je třeba podepřít ve vzdálenosti
2.5-3.
od konce s dítětem o hmotnosti
.
Kolem o poloměru a hmotnosti je třeba překonat překážku výšky , ale menší
než poloměr obr. 2.5-3. Určete minimální sílu v ose kola a současně ve vodorovném
směru, kterou je potřeba k překonání překážky. Úlohu řešte obecně a po té pro
hodnoty
.
Obr. 2.5-3
Řešení:
Při překonávání překážky výšky se kolo otáčí kolem nehybné osy O (na překážce). Aby
kolo překonalo překážku, musí být moment působící síly vzhledem k ose O větší než
moment síly
vzhledem k téže ose. Pro minimální sílu ve vodorovném směru platí:
.
Rameno síly
můžeme vyjádřit dle obr. 2.5-3
.
56
Rameno síly
můžeme vyjádřit dle obr. 2.5-3 použitím Pythagorovy věty
(
)
odtud:
√ (
).
Po úpravě a dosazení dostáváme
√ (
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
(
)
K překonání překážky je třeba sílu větší než
.
2.5-4. Jakou práci musíme vykonat, abychom překlopili přes hranu žulovou krychli, víme-li,
že hrana je dlouhá
, hustota žuly
a
.
Obr. 2.5-4
Řešení:
57
Při překlopení tělesa z rovnovážné polohy do polohy vratké zvedneme těžiště tělesa a tím
vykonáme práci rovnou změně potenciální energie, kterou získáme změnou polohy těžiště
tělesa (obr. 2.5-4).
(
)
√
odtud po úpravě a dosazení:
(
√
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
(
)
(
√
)
.
K překlopení žulové kostky o hraně
2.5-5.
je třeba energii
.
Jakou rychlost získá kolo kutálející se z kopce vysokého
. Moment setrvačnosti
kola o hmotnosti a poloměru vzhledem k ose procházející středem kola, kolmé
⁄ , tíhové zrychlení
na rovinu kola je
. Tření zanedbejte.
Řešení:
Podle zákona zachování mechanické energie se tíhová potenciální energie
kterou má kolo ve výšce , přemění na kinetickou energii rotační a translační
( )
kterou má kolo v dolní poloze. Platí tedy:
( )
odtud
√
po dosazení
√
√
Po dosazení číselných hodnot
58
,
√
.
Kolo získá rychlost přibližně
.
2.5-6. Určete moment setrvačnosti, víte-li, že otáčky setrvačníku klesly po vykonané práci
z
za minutu na
otáček za minutu.
Řešení:
protože úhlová frekvence je
, bude platit:
odtud
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
(
Moment setrvačnosti setrvačníku je
2.5-7.
)
(
)
.
Setrvačník pohonné jednotky byl roztočen motouzem délky
, na který bylo
působeno silou
. Jakou frekvenci získal setrvačník agregátu s momentem
setrvačnosti
?
Řešení:
Práce, která se vykoná, je rovna kinetické energii otáčivého pohybu
odtud úpravou dostaneme
√
59
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
.
Setrvačník získal frekvenci
2.5-8.
.
Do jaké výšky svahu by vyjelo auto poháněné pouze setrvačníkem s momentem
setrvačnosti
? Setrvačník má frekvenci
otáček za minutu. Hmotnost
automobilu je
. Tření a odpor vzduchu zanedbáme.
Řešení:
?
Platí zákon zachování mechanické energie, který využijeme ve tvaru
,
dosadíme a upravíme, potom
Po dosazení číselných hodnot
(
)
.
Auto by vyjelo do výšky
.
2.5-9.
Dělník zvedá za jeden konec trám o délce
a hmotnosti
. Při určité poloze
svírá osa trámu s vodorovným směrem úhel
. Určete velikost síly , kterou
působí dělník na trám v dané poloze. Síla je kolmá k ose trámu.
[
]
2.5-10. Nosník hmotnosti
, délky
spočívá na dvou podpěrách a je zatížen
břemenem o hmotnosti
zavěšeným ve vzdálenosti
od levého okraje.
Určete síly, jimiž působí podpěry na nosník.
[
]
60
2.5-11. Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu (dle obrázku 2.5-5.), je-li
hmotnost závaží , hmotnosti lan jsou zanedbatelné.
Obr.
2.5-5
[ )
√
)
√
]
2.5-12. Hnací hřídel automobilu se otáčí s frekvencí
Vypočítejte otáčivý moment, který vyvíjí motor.
[
a přenáší výkon
.
]
2.5-13. Rotor elektromotoru hmotnosti
má moment setrvačnosti
koná
otáček za minutu. Jak velikou má kinetickou energii?
[
a
]
2.5-13. Vozík se pohybuje rychlostí po koleji s poloměrem zakřivení Vypočítejte
funkční závislost pro vzdálenost ve směru vodorovném od přirozené osy otáčení
při překlopení vozíku s materiálem v závislosti na výšce těžiště (těžiště vozíku s
materiálem).
√
[
]
61
2.6
MECHANICKÉ KMITÁNÍ
Je nestacionární děj (děj, jehož charakterizují časově proměnné veličiny).
Dělení:
Pohyb HB (soustavy HB nebo tělesa), při němž bod nepřekročí konečnou vzdálenost od
tzv. rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze jsou všechny síly působící na HB navzájem ve
statické rovnováze. Pokud se opakuje průběh kmitavého pohybu po stejném časovém
intervalu (periodě)
kmitavý periodický pohyb.
Charakteristické veličiny lze vyjádřit ve tvaru:
( )
kde
(
)
.
Harmonické kmity: charakteristické veličiny:
( )
(
)
⁄ je frekvence (kmitočet) – udává, kolikrát se kmit nebo jiný periodický děj
opakuje za jednotku času. Jednotka:
Kmitající objekty se nazývají oscilátory.
Nejjednodušší jsou lineární oscilátory, při nichž se HB pohybuje po přímce (např. těleso na
pružině).
Volný netlumený harmonický oscilátor
Zdrojem kmitání je harmonický oscilátor = jednoduchý translační elastický oscilátor.
Charakteristiky oscilátoru jsou: hmotnost závaží , tuhost pružiny (předpokládáme, že
pružina má zanedbatelnou hmotnost oproti závaží, které lze považovat za HB).
y
l0
l 0  l
l

FP

FG

FP
rovnovážná poloha
0
y

FG
62
x
a) dynamický popis kmitů – pohybová rovnice:
Dle 2. Newtonova pohybového zákona (pro m=konst.):
⃗
⃗
⃗
pro -nové souřadnice veličin:
vydělíme m a dostaneme:
kde
kde
je vlastní úhlová frekvence oscilátoru:
√
√
b) kinematický popis kmitů – rovnice výchylky
Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice:
(
)
kde je okamžitá výchylka,
je maximální možná výchylka, tj. amplituda výchylky,
( )
je počáteční výchylka,
je počáteční fáze a
je okamžitá
fáze pohybu.
Rychlost kmitů je:
a
(
)
(
)
je amplituda rychlosti.
Zrychlení kmitů je:
je amplituda zrychlení.
a
c) fázový rozdíl
Mezi různými veličinami popisujícími totéž kmitání, nebo mezi stejnými veličinami
popisujícími dvě různá kmitání.
Je-li
stejná fáze (veličin resp. kmitání).
Je-li
opačná fáze (veličin resp. kmitání).
63
d) grafické vyjádření
Fázor a jeho vlastnosti:
Je to rotující vektor v rovině
mající počátek v počátku soustavy souřadnic. Délka
fázoru odpovídá amplitudě veličiny, kterou představuje. Průmět fázoru do svislé osy ( ) je
roven okamžité hodnotě dané veličiny. Úhel, který svírá fázor s vodorovnou osou je roven
okamžité fázi této veličiny.
e) energie kmitů
U harmonických kmitů se periodicky mění kinetická energie v potenciální energii
pružnosti a naopak. Potenciální energie pružnosti je číselně rovna práci, kterou vykonáme při
vychýlení oscilátoru z rovnovážné polohy.
∫
)
∫(
(
)
U netlumeného oscilátoru platí zákon zachování mechanické energie:
(
[
)
(
(
)
(
)
)]
Tlumený oscilátor
Jeho amplituda kmitů s časem exponenciálně klesá, což odpovídá pohybu v odporujícím
prostředí. Odporová síla prostředí je:
⃗
⃗
a) dynamický popis kmitů – pohybová rovnice:
Dle 2. NPZ:
⃗
⃗
⃗
64
⃗
pro -nové souřadnice veličin:
vydělíme ⁄
a dostaneme:
tedy:
kde
je vlastní úhlová frekvence oscilátoru a
je součinitel tlumení.
b) kinematický popis kmitů – rovnice výchylky
Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice:
(
kde amplituda výchylky je
kmitání:
)
. Při řešení dostaneme úhlovou rychlost tlumeného
√
Nadkritické tlumení (aperiodický děj):
Kritické tlumení (nejrychlejší z aperiodických dějů):
Podkritické tlumení (periodický děj):
c) charakteristické veličiny tlumených kmitů
65
Útlum (konstantní na čase nezávislá hodnota):
(
)
Logaritmický dekrement útlumu:
Relaxační doba amplitudy:
Amplituda klesne na „
“, tj.:
d) perioda tlumených kmitů
√
Pro
dostáváme netlumené kmity s periodou
tlumením prodlužuje.
. Pokud
doba kmitů se
Superpozice harmonických kmitů
Tj. skládání kmitů. U oscilátorů s jedním stupněm volnosti lze realizovat jen skládání
kmitů téhož směru. Řešení jsou analytická (početní), grafická či geometrická (pomocí
časového, resp. fázorového diagramu), nebo experimentální. Izochronní kmity jsou kmity
stejné frekvence a tedy i periody.
Kyvadla
a) fyzické kyvadlo
Je každé zavěšené těleso o hmotnosti , které je otáčivé kolem vodorovné pevné osy a
jeho těžiště je pod osou otáčení ve vzdálenosti . Moment setrvačnosti vzhledem k této ose je
. Je to tzv. gravitační rotační mechanický oscilátor.
V ideálním případě při malých úhlových výchylkách (do 4,5°) produkuje volné netlumené
rotační harmonické kmity.
Dle pohybové rovnice
dostáváme:
kde zlomek na pravé straně rovnice je vlastní úhlová frekvence
Pohybová rovnice fyzického kyvadla pro malé výchylky je:
66
Vlastní doba kmitu:
√
b) matematické kyvadlo
Je model fyzického kyvadla. Jedná se o hmotný bod hmotnosti
nehmotném vlákně délky .
√
zavěšený na
√
Redukovaná délka fyzického kyvadla je taková délka matematického kyvadla, které má
stejnou dobu kmitu jako dané fyzické kyvadlo.
PŘÍKLADY:
Jaká je doba kmitu harmonického oscilátoru, jestliže zavěšené těleso na pružině má
hmotnost
a síla působící při výchylce
je
?
2.6-1.
Ř š
:
⁄ .
Souvislost mezi dobou kmitu a úhlovou frekvencí je určena vztahem
⁄ . Pak použitím obou vztahů je
√ ⁄ . Tuhost pružiny je
Zároveň platí
⁄ dosadíme do
nutno vyjádřit ze vztahu pro sílu pružnosti
. Pak vztah
jmenovatele předchozího zlomku a dostaneme:
√
Po dosazení číselných hodnot
√
.
Harmonický oscilátor má dobu kmitu je
2.6-2.
s.
Těleso hmotnosti
koná netlumený harmonický pohyb. Určete jeho dobu
kmitu, víte-li, že při výchylce
působí na těleso síla
.
67
Ř š
:
Podobně jako u předchozího příkladu
(
)
√
Po dosazení zadaných číselných hodnot je
√
.
Doba kmitu je
K protažení pružiny o
závaží o hmotnosti
závaží po vychýlení.
2.6-3.
Ř š
.
, je třeba vykonat práci
. Na pružinu je zavěšeno
. Určete tuhost pružiny a frekvenci, s jakou bude kmitat
:
Pro práci platí vztah
odtud
kde je velikost výchylky ( ). Síla potřebná k protažení pružiny je dána vztahem
(
)
(
)
Vztah mezi tuhostí pružiny a sílou
kde
je velikost výchylky, odtud
(
)
68
Frekvenci vypočítáme ze vztahu pro úhlovou frekvenci
po dosazení a úpravě dostaneme
(
√
√
)
(
√
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
(
√
)
(
)
Tuhost pružiny je
.
Na nehmotné pružině visí závaží o hmotnosti (
) . Závaží po vychýlení z
rovnovážné polohy o
koná harmonický pohyb s frekvencí
. Určete tuhost
pružiny, sílu, kterou bylo závaží vychylováno a hodnotu kinetické energie závaží.
2.6-4.
Ř š
a frekvence
:
(
)g
cm
(
)
kg
m
Vyjdeme ze základního vztahu pro pohyb tělesa na pružině, jeho úhlovou frekvenci
v tíhovém poli
Po dosazení a úpravě dostaneme
(
)
Pro sílu platí vztah
69
Po dosazení a úpravě dostaneme
,
.
Pro Energie platí
.
Po dosazení a úpravě dostaneme
(
Tuhost pružiny je
⁄
.
, působící síla
a maximální kinetická energie
Sestavte rovnici harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, víte-li, že
maximální zrychlení je
, perioda
a vzdálenost kmitajícího bodu od
rovnovážné polohy je pro čas
rovna
.
2.6-5.
Ř š
)
:
Rovnice harmonického kmitavého pohybu je
(
) ,
úhlová frekvence je definována jako
K určení amplitudy pohybu využijeme vztahu pro maximální zrychlení
odtud
Fázový posuv vypočítáme z počátečních podmínek, dosazením hodnot do rovnice pro
harmonický pohyb
(
).
Po dosazení a úpravě dostaneme:
70
(
(
)
)
,
odtud
,
Po dosazení vypočtených hodnot do rovnice pro harmonický pohyb dostaneme
(
), což je hledaná rovnice.
Hmotný bod (HB) kmitá s amplitudou
. V prvé půlperiodě od počátku v
následném časovém rozmezí
získá dvakrát za sebou hodnotu výchylky
.
S jakou frekvencí hmotný bod kmitá?
2.6-6.
Obr. 2.6-1
Ř š
:
Vztah pro frekvenci odvodíme z definičního vztahu pro úhlovou frekvenci
Okamžitá výchylka HB (obr. 2.6-1) je dána rovnicí
.
Pro
platí
pro
,
71
porovnáním rovnic, úpravou a dosazením dostaneme:
odtud
Pro čas
platí, viz obr. 2.6-1
dostaneme ze vztahu
(
)
odtud
po dosazení do první rovnice, úpravě a dosazení dostáváme:
.
Hmotný bod kmitá s frekvencí
Jaký je logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla délky
li jeho počáteční amplituda výchylky z
za minut na
?
2.6-7.
Ř š
.
:
Doba kmitu matematického kyvadla je dána vztahem
√
logaritmický dekrement vztahem
kde
je koeficient útlumu,
je doba kmitu tlumeného pohybu:
72
, klesne-
kde
√
je počáteční úhlová frekvence a pro pokles amplitudy s časem je roven
.
Po dosazení číselných hodnot a úpravách dostaneme:
√
.
.
√(
( )
)
√(
)
(
)
.
,
.
Logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla je
2.6-8.
.
Mějme matematické kyvadlo o délce (obr. 2.6-2). Je-li hmotnému bodu udělena
v nejnižší poloze rychlost , určete, jak daleko se kyvadlo vychýlí, než se zastaví.
Odpor prostředí neuvažujte.
Obr. 2.6-2
73
Ř š
:
Při řešení tohoto příkladu vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie, a to ze
závěru, že maximální energie kinetická se změní v maximální energii potenciální
,
odtud
Pro maximální výchylku kyvadla z Pythagorovy věty viz obr. 2.6-2 plyne:
(
)
po úpravě a dosazení za
dostáváme
√
Kyvadlo se vychýlí o ( ⁄
) √
.
2.6-9.
Určete frekvenci harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, jestliže se za
dobu
po průchodu rovnovážnou polohou jeho výchylka rovnala polovině
amplitudy. Počáteční fáze je rovna nule.
[
]
2.6-10. Částice kmitá současně dvěma kolmými kmity
dráhu, směr pohybu, rychlost a zrychlení částice v čase
[
]
2.6-11. Logaritmický dekrement útlumu kmitavého pohybu je
Určete frekvenci pohybu, je-li odstraněno tlumení.
[
Určete
a perioda pohybu je
.
]
2.6-12. Jak se změní doba kmitu matematického kyvadla, jestliže jeho délku zkrátíme na
původní délky?
[
]
74
2.7
MECHANICKÉ VLNĚNÍ
Je časově a prostorově proměnný děj v makroskopicky spojitém prostředí. HB se
harmonicky nebo obecně vrací do rovnovážné polohy. Maximální hodnoty výchylek
z rovnovážné polohy jsou konečné a kmitání se šíří v látkovém prostředí, tj. v prostředí
obsahujícím částice, které jsou spojeny vazebnými silami (nelze ve vakuu).
Vznik vlnění: rozkmitáme jednu částici, díky vazbě se kmitavý rozruch šíří postupně
řadou částic.
Vlnění dělíme na postupné a stojaté, dále na podélné a příčné.
a) Postupné vlnění
Kmitavá soustava je otevřená (teoreticky nekonečných rozměrů) a nedochází k odrazu
vlnění. Kmitavý rozruch se šíří od zdroje (generátoru) postupně řadou HB.
b) Stojaté vlnění
Probíhá v uzavřených kmitavých soustavách. Je dáno superpozicí dvou postupných vln
šířících se proti sobě.
c) Příčné vlnění (transverzální)
Body kmitají kolmo ke směru, kterým se vlnění šíří. Vzniká v tělesech pružných při
změně tvaru a vyskytuje se tedy u pevných těles a povrchů kapalin.
d) Podélné vlnění (longitudinální)
Body kmitají ve směru šíření vlny a nastává zhušťování a zřeďování kmitajících bodů
kolem míst, v nichž je okamžitá výchylka bodu nulová. Vzniká v prostředí pružném při
změně objemu. Vyskytuje se u pevných látek, kapalin i plynů.
Mechanické postupné vlny v neabsorbujícím prostředí
Zdrojem je každá kmitající mechanická soustava elasticky spřažená s nosným prostředím.
Kmitání každé částice je zpožděno oproti kmitání částice předchozí.
Fázová rychlost: Rychlost, kterou se šíří kmitavý rozruch (fáze vlnění) k následujícím
bodům kmitavé soustavy. Značíme ji
a jednotkou je
.
Vlnová délka: Vzdálenost, do které se dostane kmitavý rozruch za dobu jedné periody.
Značíme ji a jednotkou je . Je to také vzdálenost dvou nejbližších bodů řady, které kmitají
se stejnou fází.
75
Platí vztah:
A) Jednorozměrné příčné postupné vlnění
Vlnění (příčné) je dostatečně určeno pomocí (příčné) výchylky v kterémkoliv okamžiku
a v jakémkoliv místě o souřadnici :
(
kde funkci
)
nazýváme vlnová funkce.
Odvození vlnové funkce:
Zdroj (generátor) vlnění kmitá v počátku zvolené souřadnicové soustavy a jeho rovnice
výchylky je ve tvaru:
Bod M kmitá se zpožděním:
76
(
(
)
)
(
(
(
(
(
)
(
)
)
(
)
(
kde
)
(
)
)
(
)
)
)
(
)
⁄ což je fázový rozdíl kmitání bodu prostředí vůči kmitání zdroje vlnění.
Fáze vlnění:
(
)
(
)
(
Fázový rozdíl pro dva body prostředí ve vzájemné vzdálenosti
)
x
v daném čase t:
B) Jednorozměrné podélné postupné vlnění
Vlnová funkce (
) má stejný tvar jako pro příčné vlnění.
Vlastnosti postupného vlnění:
Body kmitají se stejnou frekvencí ale různou fází. V neabsorbujícím prostředí kmitají
body se stejnou amplitudou. Dochází k přenosu energie kmitavého pohybu zdroje prostředím,
ale nedochází k přenosu látky!
77
C) Odraz vlnění
K odrazu dochází na konci bodové řady a to buď na pevném konci (poslední bod nemůže
kmitat a reakcí vznikne síla, která změní výchylku posledního bodu v opačnou), nebo na
volném konci (poslední bod řady se vychýlí a kmitání postupuje zpět se stejnou fází).
a)
b)
D) Interference vln v přímé řadě
Je jev podmíněný skládáním vlnění. Nastává, jestliže se prostředím šíří vlnění ze dvou či
více zdrojů, vlnění postupují prostředím nezávisle a v místech, kde se setkávají, dochází ke
skládání jednotlivých vlnění. Kmitání bodu v daném místě je určeno superpozicí okamžitých
výchylek jednotlivých vlnění a výsledné kmitání je dáno vektorovým součtem jednotlivých
fázorů výchylek. Nejjednodušším případem je koherentní vlnění, tj. vlnění mající stejnou
frekvenci a stálý fázový rozdíl
.
Výsledné vlnění můžeme určit:
a) graficky
b) algebraicky
(
)
(
)
V bodě M se skládají izochronní kmitání s různou fází.
78
Jsou-li tato vlnění koherentní:
a výsledné vlnění obecně charakterizuje funkce:
(
)
√
(
)
kde
Fázový rozdíl vlnění je:
(
)
je dráhový rozdíl.
kde
a) je-li:
vlnění se skládá se stejnou fází, tj.:
(
)
(dráhový rozdíl je roven celistvému násobku vln)
kde
b) je-li
(
)
vlnění se skládá s opačnou fází, tj.:
(
)
|
(
kde
79
|
)
Stojaté vlnění
Je vlnění vzniklé superpozicí dvou izochronních postupných vln (podélných nebo
příčných) šířících se proti sobě. V ideálním případě mají vlny stejnou amplitudu A (úplně
stojaté vlnění).
(
)
(
)
Výsledná vlnová funkce je algebraickým součtem
Výsledné vlnění je harmonické, má stejnou frekvenci jako obě vlny a výsledná amplituda
nezávisí na čase, pouze na souřadnici (tj. na poloze daného kmitajícího bodu
od počátku souřadnic).
Šíření vlnění v prostoru
Huygensův – Fresnelův princip:
„Dospěje-li vlnění do nějakého bodu prostoru, tento bod se stává zdrojem elementárního
vlnění.“ Výsledná vlnoplocha je obalovou plochou elementárních vlnoploch ve směru šíření
vlnění.
Popis vlnění v prostoru:
Uvažujme homogenní (stejnorodé) a izotropní (ve všech směrech stejné fyzikální
vlastnosti) prostředí. Vlnění se šíří ve všech směrech stejnou fázovou rychlostí.
Vlnoplocha: Je plocha tvořená body, do kterých vlnění dospělo za určitý časový interval,
tj. množina bodů kmitajících se stejnou fází
Kulová vlnoplocha: Vlnění pocházející z bodového zdroje a).
Rovinná vlnoplocha: Máme-li rovinný zdroj vlnění, resp. studujeme-li vlnění ve velké
vzdálenosti od bodového zdroje b).
Paprsek: Kolmice k vlnoploše a charakterizuje směr šíření vlny.
80
Energie vlnění
Je energií jednotlivých hmotných elementů prostředí, kdy každý element má energii
kinetickou a energii pružnosti (elastickou). Tato energie se přenáší od zdroje postupně
z jednoho elementu prostředí na druhý ve směru šíření vlny.
Přenos energie vyjadřuje kvantitativně tok energie a intenzita vlnění.
I. Tok energie: (výkon přenášený vlněním) libovolnou plochou velikosti
časový interval:
za určitý
Je to energie, která projde zvolenou plochou za jednotku času a jednotkou je watt ( ).
II. Intenzita vlnění:
Je to energie, která prošla za jednotku času jednotkovou plochou postavenou kolmo ke
směru šíření vlny a jednotkou je
III. Stanovení intenzity vlnění pro postupnou harmonickou vlnu:
Dle vztahu pro celkovou energii harmonického oscilátoru:
kmitá-li s touto energií při šíření vlnění každý bod prostředí, potom energie objemové
jednotky je:
Uvedený vztah vyjadřuje hustotu energie vlnění.
Intenzita vlnění souvisí s akustickým tlakem: Tlak vyvolaný vlněním šířícím se hmotným
prostředím, platí:
Absorpce postupného vlnění
Šíří-li se postupná vlna v hmotném prostředí, pak úbytek její amplitudy
úměrný její velikosti:
kde
je přímo
je součinitel absorpce vlnění v homogenním izotropním absorbujícím prostředí.
81
Řešením této rovnice je:
kde
je amplituda pro
Protože
.
tak:
což je Lambertův zákon absorpce.
Odraz a lom vlnění na rozhraní dvou prostředí
Na rozhraní se část energie dopadajícího vlnění odrazí, část projde do druhého prostředí a
část se absorbuje.
I. Zákon odrazu
II. Snellův zákon lomu
kde
a
jsou fázové rychlosti šíření vlnění v 1. a 2. prostředí.
Při přechodu vlnění z prostředí o větší fázové rychlosti do prostředí s menší fázovou
rychlostí se paprsek láme ke kolmici.
Při přechodu vlnění do prostředí o větší fázové rychlosti se paprsek láme od kolmice.
82
Rovina dopadu:
Je určena paprsky dopadajícího vlnění a kolmicí k rozhraní v místě dopadu. Odražený a
lomený paprsek leží v rovině dopadu.
Úplný odraz (totální reflexe):
Dochází k němu při přechodu vlnění z prostředí s menší fázovou rychlostí do prostředí
s větší fázovou rychlostí (při lomu od kolmice).
Vlna se láme do rozhraní pod úhlem 90°, tj.:
Úhel dopadu, pro který platí:
nazýváme mezním úhlem.
Akustické a zvukové vlny
Zvuk:
Je elastické mechanické postupné vlnění vnímatelné lidským sluchovým orgánem. Což
odpovídá mechanickým vlnám s frekvencí 16 Hz – 20 kHz (přibližný rozsah vnímání lidského
sluchového orgánu). Největší amplituda výchylek nuceného kmitání a největší citlivost má
lidský sluchový orgán pro vlnění ve frekvenčním pásmu 500 Hz – 5 kHz. Dolní mez slyšení je
dle uvedeného 16 Hz a horní mez slyšení 20 kHz.
Ucho: Přijímač zvuku reagující na změny akustického tlaku.
Hlasivky: Mechanický zdroj zvuku.
Dutina ústní, nosní, hrtanová a hrudní tvoří rezonanční prostor.
Akustické vlny: Patří mezi ně infrazvuk, zvuk, ultrazvuk a hyperzvuk.
83
Dopplerův jev
Christian Doppler (objev r. 1842)
Objasňuje vliv pohybu zdroje a přijímače detektoru vlnění na pozorovanou frekvenci
zdroje.
„Jestliže se oscilátor, který je zdrojem vlnění a pozorovatel pohybují, pak při vzájemném
přibližování je frekvence přijímaného vlnění vyšší a při vzájemném vzdalování naopak nižší.“
I. Zdroj se pohybuje vzhledem ke klidnému pozorovateli v klidném prostředí:
a) zdroj se přibližuje rychlostí
k detektoru
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
b) zdroj se vzdaluje rychlostí
od detektoru
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
II. Detektor se pohybuje vzhledem ke klidnému zdroji v klidném prostředí:
a) detektor se přibližuje rychlostí
ke zdroji
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
b) detektor se vzdaluje rychlostí
od zdroje
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
III. Detektor i zdroj vlnění se pohybují:
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
Poznámka: Všechny vzorce pro frekvenci
přijímanou detektorem lze odvodit ze vztahu:
Dopplerův jev platí pro všechna vlnění nejen akustická
84
Rezonance
Při rezonanci dochází k největšímu přenosu mechanické energie na oscilátor. Proto lze při
rezonanci vyvolat i poměrně malou vnější silou velké amplitudy – např. malou silou
rozhoupeme i velmi těžký zvon, budeme-li tahat za lano od zvonu v pravidelných časových
intervalech, odpovídajících frekvenci jeho vlastního kmitání.
Zvuky reprodukované hudby jsou výrazně zesilovány bednami, v nichž jsou zabudované
reproduktorové soustavy. Mnohem větší praktický význam má rezonance elektrických kmitů,
na níž je založena většina zařízení pro bezdrátovou komunikaci.
Závažný dopad má rezonanční kmitání mostů a vysokých budov, které vzniká větry a
zemětřeseními. Rezonanci velkých budov se věnuje velká pozornost od události zřícení mostu
Tacoma Narrows Bridge 7. listopadu 1940.
V roce 1850 způsobila rezonance dokonce zřícení celého mostu v jednom francouzském
městě. Po mostě tehdy pochodovala vojenská jednotka a její pravidelný krok byl v rezonanci
s vlastní frekvencí mostu. Vojáci svým krokem rozhoupali most natolik, že to jeho konstrukce
nevydržela a praskla. Zahynulo přitom 219 lidí.
V technické praxi se přihlíží k rezonanci např. při konstrukci továrních hal, strojů a jejich
podstavců, trupů letadel, které by se mohly dostat do rezonance s kmitáním vyvolaným
chodem motorů apod.
PŘÍKLADY:
2.7-1.
( ⁄
⁄ ) Určete periodu
Postupné vlnění je popsáno rovnicí
pohybu libovolného bodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost.
Řešení:
(
Srovnáním se základní rovnicí postupné vlny
(
)
)
určíme amplitudu, periodu a vlnovou délku, tj.:
Výpočtem určíme frekvenci podle vztahu
Fázovou rychlost stanovíme z rovnice
Perioda pohybu libovolného bodu je
rychlost
.
2.7-2.
; frekvence
; vlnová délka
a fázová
Napište rovnici postupné vlny, jestliže vlnění má frekvenci
, amplitudu
výchylky
a postupuje rychlostí
. Dále určete okamžitou výchylku
85
kmitajícího hmotného bodu ležícího ve vzdálenosti
.
od zdroje vlnění v čase
Řešení:
Hz
m
Rovnici postupné vlny určuje vztah
(
)
Jestliže platí
pak
(
Po dosazení dostáváme rovnici ve tvaru
2.7-3.
)
Lidské ucho vnímá frekvence 16 Hz – 20 000 Hz při teplotě 30 C. V jakém
intervalu leží příslušné vlnové délky?
Řešení:
Hz
Hz
°C
Pro rychlost šíření zvuku ve vzduchu platí vztah:
(
)
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
(
) ,
Pro vlnové délky zvuku při daných frekvencích platí:
Příslušné vlnové délky leží intervalu
až
86
.
2.7-4.
Zvuková vlna se vrací do místa rozruchu jakožto ozvěna od kolmé stěny za
Jaká je vzdálenost stěny od zdroje zvuku, je-li rychlost zvuku
.
.
Řešení:
Zvuk se šíří v daném prostředí konstantní rychlostí.
Pak
Doba potřebná k uražení dráhy k překážce je
Pak po dosazení úpravě a dosazení je
Stěna je vzdálená
2.7-5.
.
Jaký bude největší úhel dopadu, víme-li, že relativní index lomu je
?
Řešení:
Vyjdeme ze Snellova zákona:
Největší úhel dopadu bude úhel mezný
, kterému odpovídá úhel lomu
, odtud
,
po výpočtu
.
Největší úhel dopadu, úhel mezný je
2.7-6.
.
Stojaté vlnění vzniklo odrazem postupné vlny s frekvencí 3 kHz o amplitudě 2 mm.
Napište jeho rovnici, víte-li, že vlna se šířila rychlostí 333 m.s-1 a určete jeho
vlnovou délku.
87
Řešení:
Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou vlnění postupujících proti sobě, které mají stejné
frekvence a amplitudy
kde
(
)
(
)
K úpravě součtu použijeme vztah pro součet sinu úhlů
Po úpravě
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
.
.
Vlnovou délku určíme ze vztahu
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
Rovnice stojatého vlnění je
2.7-7.
a vlnová délka je
.
Vlnění o frekvenci
se šíří v nekonečném prostředí. Fázový rozdíl výchylky
dvou bodů nacházející se ve vzdálenosti
jeden od druhého na přímce se
zdrojem rozruch je ( ⁄ ) . Určete rychlost vlnění.
88
Řešení:
Vztah mezi fázovým a dráhovým rozdílem je dán vztahem
,
odtud
Pro rychlost platí
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
( ⁄ )
Rychlost vlnění je
2.7-8.
.
Zvuková intenzita elektrofonické kytary byla zesílená z
. Kolik decibelů představuje zesílení?
na
Řešení:

Hladiny intenzit zvuku jsou dány vztahy
Pak je rozdíl hladin po úpravě:
(
Zesílení představuje
2.7-9.
)
.
Vlny na hladině oceánu pohybují bójkou. Vzdálenost mezi vrcholy vln je
,
sousední vrcholy vln, jenž dorazí k bójce, jsou v časovém rozestupu . Bójka se
klesá a stoupá, její vertikální poloha se mění v rozsahu
. Určete amplitudu vlnění;
89
frekvenci vlnění; vlnovou délku; rychlost šíření a počet vln, které dorazí k bójce za
.
[
]
2.7-10. Pod jakým úhlem musí dopadnout zvuková vlna na rozhraní vzduch-mosazná deska,
aby se od desky úplně odrazila? Rychlost zvuku ve vzduch je
a v mosazi
.
[
]
š
2.7-11. Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou protisměrných vlnění s frekvencí
Vzdálenost sousedních uzlů je
. Jaká je rychlost původního vlnění?
[
]
2.7-12. O kolik procent se musí zvýšit intenzita zvuku, aby hladina intenzity stoupla o
[
.
]
90
?
Download

2.1 r о