Doporuˇcen´a literatura (jak zachyceno uchem):
Burris: Universal Algebra (A course in...)
B. Davey: Introduction to Latices and Orders
1
22. 2. 2011
(R, +, ·) je tˇeleso, pokud (R, +) je grupa.
Pˇr´ıklad: (R \ {0}, ·) je komutativn´ı grupa.
algebraicky uzavˇren´e = ireducibiln´ı polynomy jsou pr´avˇe line´arn´ı:
f = a(x − c1 )...(x − cn ) ← libovoln´
y polynom
Koneˇcn´e tˇeleso ((Zn , +, ·) n provˇc´ıslo) nem˚
uˇze b´
yt algebraick´e.
(R, +, ·) koneˇcn´e tˇeleso
R = {a1 , ..., an )
(x − a1 )...(x − an ) + 1
p prvoˇc´ıslo, f ireducibiln´ı nad Zp , n = stf
(Zp [x]/(f ), +, ·) je tˇeleso o pn prvc´ıch.
1.1
1.1.1
Symetrick´
e polynomy
Pˇ
repisov´
an´ı
A je koneˇcn´a abeceda, pqr ↔ pq 2 r
p, r ∈ A∗ , q ∈ A+ , u, v ∈ A∗
C´ılem je rozhodnout, zda u ∼ v, ∼ je ekvivalence na →.
an xn + ... + a1 x + a0 , (R, +, ·) tˇeleso, an , ..., a0 ∈ R.
1
Chceme: 1, x, x2 , ... po 2 r˚
uzn´e, x = (0, 1, 0, 0, ...), a = (a, 0, 0, ...), a ∈ R
Z´apis: (a0 , a1 , a2 , ..., an , 0, 0, ...)
Polynomy v´ıce promˇenn´
ych:
R[x, y] := (R[x])[y]
R[x1 , ..., xn ] := (...(R[x1 ])[x2 ]...)[xn ]
x = ((0, 1, 0, 0, ...), (0, ...), ...)
y = ((0, ...), (1, 0, ...), (0, ...), ...)
xy = ((0, ...), (0, 1, 0, ...), (0, ...), ...) = yx
Form´aln´ı ˇrada: (R, +, ·) semiring (napˇr. okruh)
A∗ → R libovoln´e zobrazen´ı
Pro R = {0, 1} se jedn´a o zobecnˇen´ı jazyk˚
u
ϕpolynom : {u ∈ A∗ |ϕ(u) 6= 0} koneˇcn´e, a, b ∈ A, ab 6= ba
Libovoln´e f ∈ R[x1 , ..., xn ] je koneˇcn´
ym souˇctem prvk˚
u tvaru
kl
k1
axi1 ...xil , i1 < ... < il , l ∈ N
pro ˇza´dn´e ˇcleny k1 , ..., kl ∈ N
mn
1 m2
clen stupnˇe m1 + ... + mn
axm
1 x2 ...xn , a ∈ R je ˇ
2
f = 2xy + x2 y + xy 2 m´a ˇcleny 3yx2 , x2 y
m0
m0
bx1 1 ...xn n
(m1 , ..., mn ) 6= (m01 , ..., m0n )
f je homogenn´ı, jsou-li jeho ˇcleny stejn´eho stupnˇe.
f je symetrick´
y, je-li ∀π ∈ Sn f (xπ1 , ..., xπn ) = f
s1 = x1X
+ ... + xn
xj1 ...xji
si =
j1 <...<ji
sn = x1 ...xn
1.2
Hlavn´ı vˇ
eta o symetrick´
ych polynomech
Definujeme ≤ na N0 × ... × N0 :
(k1 , ..., kn ) < (l1 , ..., ln ) ⇔ k1 = l1 , ..., ks = ls , ks+1 < ls+1
∃s ∈ {0, ..., n − 1}
Jedn´a se o lexikografick´e uspoˇra´d´an´ı... z´aroveˇ
n je line´arn´ım uspoˇra´d´an´ım.
Vedouc´ı ˇclen nenulov´eho polynomu je ˇclen, kter´
y je v tomto uspoˇra´d´an´ı pˇrede
vˇsemi ostatn´ımi.
2
Lemma: Vedouc´ı ˇclen souˇcinu dvou polynom˚
u je souˇcinem jejich vedouc´ıch
ˇclen˚
u tˇechto polynom˚
u.
k0
k0
D˚
ukaz: Je-li xk11 ...xknn > x11 ...xnn
l0
l0
xl11 ...xlnn > x11 ...xnn
k0 +l0
k0 +l0
pak x1k1 +l1 ...xknn +ln > x11 1 ...xnn n
1.2.1
Newtonovy vztahy
f ∈ R[x], (R, +, ·) algrebraicky uzavˇren´e tˇeleso
f = xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
f = (x − c1 )...(x − cn )
D˚
ukaz:
f = xn − (c1 + ... + cn )xn−1
+ (...ci cj ...)xn−2
..
.
(−1)n c1 ...xn
= xn − s1 (c1 , ..., cn )xn−1 + ... + (−1)n−1 sn−1 (c1 , ..., cn )x + (−1)n sn (c1 , ..., cn )
sk (c1 , ..., cn ) = (−1)k sn−k , k = 1, ..., n
Lemma: Mnoˇzstv´ı vˇsech symetrick´ych polynom˚
u je podokruhem okruhu (R[x1 , ..., xn ], +, ·)
D˚
ukaz: 0,1 symetrick´e
f, g symetrick´e d´a −f, f + g, f · g symetrick´e
(−f )(x01 , ..., x0n = − f (x01 , ..., x0n )
|
{z
}
f
(f + g)(x01 , ..., x0n ) = f (x01 , ..., x0n ) + g(x01 , ..., x0n )
|
{z
} |
{z
}
g
f
(f g)(...) = ...
Vˇ
eta: Hlavn´ı vˇeta o symetrick´ych polynomech
Necht’ f ∈ R[x1 , ..., xn ] symetrick´
y, (R, +, ·) komutativn´ı, tak ∃!g ∈ R[x1 , ..., xn ]
tak, ˇze f = g(s1 , ..., sn )
Pˇ
r´ıklad: x21 + ... + x2m = (x1 + ... + xn )2 − 2(...xi xj ...) = s21 − 2s2
g = x21 − 2x2
L z okruh˚
u:
3
komutativní okruh
(S, +, ·)
R[x]
.x
R
.t
(R, +, ·) je komutativn´ı okruh, α je homomorfismus. Pak ∃! homomorfismus
R[x] → S vlastn´ı x 7→ t rozˇsiˇruj´ıc´ı α.
D˚
ukaz: an xn + ... + a1 x + a0 7→ α(an )tn + ... + α(a1 )t + α(a0 ). Jinak to nen´ı
homomorfismus. Je to homomorfn´ı zobrazen´ı.
1.2.2
Reformulace hlavn´ı vˇ
ety
R [x1, ..., xn]
.x
.. n
..
. x1
R
R [x1, ..., xn]
RSYM[x1, ..., xn]
.g
α : g(x1 , ..., xn ) 7→ g(s1 , ..., sn ) je to homomorfismus podle indukˇcn´ı vˇety
d : R[x1 , ..., xn ] ⊆ RSY M [x1 , ..., xn ] (je to podokruh)
Reformulace: α je prost´
y homomorfomismus na RSY M [x1 , ..., xn ].
Z vˇety: existence pˇrejde na surjektivitu, jednoznaˇcnost na injektivitu.
D˚
ukaz: (konstruktivn´ı)
f0 = f symetrick´
y s vedouc´ım ˇclenem axk11 ...xknn , a 6= 0
kn−1 −kn kn
ask11 −k2 ...sn−1
sn m´a vedouc´ı ˇclen
ax1k1 −k2 (x1 x2 )k2 −k3 ...(x1 ...xn )kn = axk11 xk22 ...xknn
g1 = axk11 −k2 ...xknn , f1 = f0 − α(g1 ) → symetrick´
y s vedouc´ım ˇclenem za
vedouc´ım ˇclenem polynomu f0 .
4
∃g2 ∈ R[x1 , ..., xn ] : f2 = f1 − α(g2 ) symetrick´
y s vedouc´ım ˇclenem za vedouc´ım ˇclenem polynomu f1 .
Lemma: xk11 ...xknn vedouc´ı ˇclen polynomu f d´a k1 ≥ ... ≥ kn
Pozn´
amka: Kdyby ki < ki+1 : π = (i, i + 1)
..
.
∃gp ∈ R[x1 , ..., xn ] : fp = fp−1 − α(gp ) = 0
Vzhledem k lemmatu to skonˇc´ı. Pak f0 = α(g1 )+...+α(gp ) = α(g1 + ... + gp )
|
{z
}
g
α
Prostota α: f = — + polynom +...+ — 7→ — +...+ —. Polynomy napravo
maj´ı r˚
uzn´e vedouc´ı ˇcleny.
Lemma: α : R → S homomorfismus je prost´y ⇔ (α(x) = 0 ⇒ x = 0)
sk11
|{z}
α(xk1 , ..., xknn ) =
...sknn 7→ k1 − kn ...
kn−1 −kn
k +k2
...xn−1
x1 1
n=4
x31 + x32 + x33 + x33 + x34
Algoritmus: poˇc´ıt´ame zvl´aˇst’ homogenn´ı ˇca´sti, vyp´ıˇseme vˇsechny k1 ≥ k2 ≥
k3 ≥ k4 aby to odpov´ıdalo potenci´aln´ımu vedouc´ımu ˇclenu za x31 , k1 +...+k4 =
3
k1 k2 k3 k4 k1 − k2 k2 − k3 k3 − k4 k4
3 0 0 0
3
0
0
0
2 1 0 0
1
1
0
0
1 1 1 0
0
0
1
0
f = A · s31 + B · s1 s2 + C · s3 , A, B, C ∈ R
dosazovan´ım zjist´ıme A, B, C
A = 1 (x1 + x2 + x3 + x4 )3
x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 1
1 = A · 13 + B · 0 + C · 0
B = ...
C = ...
...atd jin´e volby x1 , ..., x4 .
5
Download

1.1 Symetrické polynomy - algebra2fi