´ partie z matematicke
´
Vybrane
´ zy I – Diferencia
´ ln´ı poc
ˇet
analy
ˇnny
´ ch – Cvic
ˇen´ı
funkc´ı v´ıce prome
Karel Has´ık
Petra Kordulov´
a
a Zdenˇ
ek Koˇ
can
Opava 2013
Hrazeno z prostˇ
redk˚
u projektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174
Inovace bakal´
aˇ
rsk´
ych studijn´ıch obor˚
u se zamˇ
eˇ
ren´ım na spolupr´
aci s prax´ı
Obsah
1 Funkce n promˇ
enn´
ych
6
1.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Reˇ
´
1.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Limita a spojitost
2.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Reˇ
´
2.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
18
23
3 Parci´
aln´ı derivace
3.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Reˇ
´
3.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
25
31
4 Diferenci´
al funkce, Taylor˚
uv polynom
32
4.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Reˇ
´
4.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Parci´
aln´ı derivace sloˇ
zen´
ych funkc´ı
5.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Reˇ
´
5.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
46
52
6 Derivace v dan´
em smˇ
eru
6.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Reˇ
´
6.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
54
58
7 Implicitn´ı funkce
7.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Reˇ
´
7.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
61
71
2
8 Lok´
aln´ı extr´
emy funkc´ı n promˇ
enn´
ych
72
8.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2 Reˇ
´
8.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9 V´
azan´
e extr´
emy
9.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Reˇ
´
9.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
82
96
10 Glob´
aln´ı extr´
emy
10.1 Definice a vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ sen´e pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Reˇ
´
10.3 Ulohy
k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
98
106
ˇ sen´ı ke cviˇ
Reˇ
cen´ım
107
3
Pˇ
redmluva
Tato sb´ırka ˇreˇsen´
ych pˇr´ıklad˚
u doplˇ
nuje uˇcebn´ı text Vybran´e partie z matematick´e anal´
yzy a spolu s n´ım pokr´
yv´a z´akladn´ı problematiku diferenci´aln´ıho
poˇctu funkc´ı v´ıce promˇenn´
ych.
Tento studijn´ı text vznikl jako podp˚
urn´
y materi´al pro studenty Matematick´eho u
´stavu Slezsk´e univerzity v Opavˇe. Jeho u
´ˇcelem je napomoci kvalitnˇejˇs´ımu procviˇcen´ı pˇr´ısluˇsn´e l´atky prob´ıran´e na pˇredn´aˇsk´ach at’ uˇz v r´amci
v´
yuky ve cviˇcen´ıch, a nebo pˇri samostatn´em studiu. Prostudov´an´ı ˇreˇsen´
ych a
propoˇcten´ı neˇreˇsen´
ych pˇr´ıklad˚
u by mˇelo student˚
um umoˇznit l´epe pochopit a
aplikovat z´ıskan´e teoretick´e poznatky, coˇz je nezbytn´
y krok pˇri studiu kaˇzd´e
matematick´e discipl´ıny.
Studijn´ı text je urˇcen posluchaˇc˚
um bakal´aˇrsk´eho studia obor˚
u Matematick´e metody v ekonomice a Aplikovan´a matematika pˇri ˇreˇsen´ı krizov´
ych
situac´ı. Nemus´ı b´
yt tedy zcela postaˇcuj´ıc´ı pro studenty odborn´eho studia
matematiky. Jedn´a se o l´atku, kterou by mˇeli studenti zvl´adnout obvykle
v pr˚
ubˇehu zimn´ıho semestru druh´eho roˇcn´ıku.
Vˇeˇr´ıme, ˇze naˇse snaha pomoci student˚
um l´epe zvl´adnout l´atku z diferenci´aln´ıho poˇctu funkc´ı v´ıce promˇenn´
ych bude u
´spˇeˇsn´a.
4
Struˇ
cn´
y n´
ahled studijn´ı opory
N´ami vytvoˇren´a sb´ırka ˇreˇsen´
ych pˇr´ıklad˚
u pokr´
yv´a z´aklady teorie, kter´a se
prob´ır´a v diferenci´aln´ım poˇctu funkc´ı v´ıce promˇenn´
ych. Pro studium pˇredpokl´ad´ame znalost diferenci´aln´ıho poˇctu funkc´ı jedn´e promˇenn´e a nˇekter´e pojmy z line´arn´ı algebry a geometrie.
Usilovali jsme o to, aby alespoˇ
n do jist´e m´ıry vznikl text, kter´
y by umoˇznil
student˚
um ˇreˇsit u
´lohy bez dalˇs´ıch studijn´ıch pom˚
ucek. Z tohoto d˚
uvodu jsou
na zaˇc´atku kaˇzd´e kapitoly uvedeny z´akladn´ı definice a vˇety, ze kter´
ych pˇri
ˇreˇsen´ı u
´loh vych´az´ıme. Kaˇzd´a kapitola d´ale obsahuje nejdˇr´ıve deset ˇreˇsen´
ych
pˇr´ıklad˚
u, kter´e dostateˇcnˇe ilustruj´ı zp˚
usob, jak´
ym lze aplikovat pˇr´ısluˇsnou
teoretickou l´atku. Prostudov´an´ı tˇechto pˇr´ıklad˚
u by mˇelo student˚
um umoˇznit
l´epe pochopit a aplikovat z´ıskan´e teoretick´e poznatky. D´ale je v kaˇzd´e kapitole uvedeno deset dalˇs´ıch pˇr´ıklad˚
u s v´
ysledky, kter´e slouˇz´ı k n´asledn´emu
samostatn´emu studiu.
5
1
Funkce n promˇ
enn´
ych
1.1
Definice a vˇ
ety
Definice 1.1. Mnoˇzinu
Rn = R × R × · · · × R = {[x1 , x2 , . . . , xn ]; x1 , x2 , . . . , xn ∈ R}
naz´
yv´ame n-rozmˇ
ern´
ym re´
aln´
ym prostorem. Bodem v n-rozmˇern´em
re´aln´em prostoru naz´
yv´ame uspoˇr´adanou n-tici re´aln´
ych ˇc´ısel x1 , x2 , . . . , xn .
P´ıˇseme X = [x1 , x2 , . . . , xn ].
D´ale necht’ M ⊂ Rn . Pak kaˇzd´e zobrazen´ı f : M 7→ R (mnoˇziny M do
mnoˇziny R) naz´
yv´ame re´
alnou funkc´ı n re´
aln´
ych promˇ
enn´
ych. Mnoˇzinu
M naz´
yv´ame definiˇ
cn´ım oborem funkce f a znaˇc´ıme ji symbolem Df .
Definice 1.2. Je-li f funkce dvou promˇenn´
ych definovan´a na mnoˇzinˇe M ,
pak grafem funkce f naz´
yv´ame mnoˇzinu bod˚
u tvaru
G = {[x, y, z] ∈ R3 ; [x, y] ∈ M, z = f (x, y)}.
´
Definice 1.3. Urovˇ
nov´
ymi kˇ
rivkami neboli vrstevnicemi funkce f dvou
promˇenn´
ych rozum´ıme mnoˇziny bod˚
u tvaru:
vk = {[x, y] ∈ Df ; f (x, y) = k},
kde k je dan´a re´aln´a konstanta.
Definice 1.4. Vzd´
alenost´ı (metrikou) v n-rozmˇern´em prostoru naz´
yv´ame
funkci ρ, kter´a libovoln´
ym dvˇema bod˚
um x, y z Rn pˇriˇrazuje nˇejak´
ym zp˚
usobem
jejich vzd´alenost ρ(x, y) tak, ˇze jsou splnˇeny n´asleduj´ıc´ı axiomy:
• ∀ x, y ∈ Rn plat´ı ρ(x, y) ≥ 0, pˇriˇcemˇz ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
• ∀ x, y ∈ Rn plat´ı ρ(x, y) = ρ(y, x);
• ∀ x, y, z ∈ Rn plat´ı ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).
6
Definice 1.5. Mnoˇzinu vˇsech bod˚
u prostoru Rn , jejichˇz euklidovsk´a vzd´alenost
∗
od dan´eho bodu x je menˇs´ı neˇz dan´e ˇc´ıslo δ > 0, naz´
yv´ame δ-okol´ım bodu
x∗ a znaˇc´ıme jej O(x∗ , δ), popˇr. jen O(x∗ ), pokud δ nen´ı podstatn´e.
Mnoˇzinu P(x∗ , δ) = O(x∗ , δ) \ {x∗ } naz´
yv´ame prstencov´
ym (redukovan´
ym, ryz´ım) okol´ım bodu x∗ .
Definice 1.6. Bod x∗ ∈ Rn se naz´
yv´a
• vnitˇ
rn´ı bod mnoˇziny Ω ⊆ Rn , pr´avˇe kdyˇz existuje O(x∗ ) takov´e, ˇze
O(x∗ ) ⊆ Ω;
• vnˇ
ejˇ
s´ı bod mnoˇziny Ω ⊆ Rn , pr´avˇe kdyˇz existuje O(x∗ ) takov´e, ˇze
O(x∗ ) ⊆ Rn \ Ω;
• hraniˇ
cn´ı bod mnoˇziny Ω ⊆ Rn , pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e O(x∗ ) plat´ı
∗
O(x ) ∩ Ω 6= ∅ ∧ O(x∗ ) ∩ (Rn \ Ω) 6= ∅.
Definice 1.7. Mnoˇzina Ω ⊆ Rn se naz´
yv´a
• otevˇ
ren´
a, pr´avˇe kdyˇz kaˇzd´
y jej´ı bod je vnitˇrn´ım bodem;
• uzavˇ
ren´
a, pr´avˇe kdyˇz obsahuje vˇsechny sv´e hraniˇcn´ı body.
Nepr´azdn´a otevˇren´a mnoˇzina Ω ⊆ Rn se naz´
yv´a souvisl´
a, pr´avˇe kdyˇz kaˇzd´e
dva jej´ı body lze spojit lomenou ˇcarou, jej´ıˇz vˇsechny body leˇz´ı v Ω. Mnoˇzinu,
kter´a je nepr´azdn´a, otevˇren´a a souvisl´a, naz´
yv´ame oblast´ı. Uzavˇ
renou
oblast´ı pak naz´
yv´ame mnoˇzinu, kter´a vznikne jako sjednocen´ı oblasti s
mnoˇzinou vˇsech jej´ıch hraniˇcn´ıch bod˚
u.
1.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
√
. Definiˇcn´ı
Pˇ
r´ıklad 1.8. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = 2x+3y−6
y+2
obor zn´azornˇete graficky.
ˇ sen´ı. V´
Reˇ
yraz, kter´
ym je dan´a funkce f , bude m´ıt smysl tehdy, jestliˇze jmenovatel je r˚
uzn´
y od nuly a v´
yraz pod odmocninou je nez´aporn´
y. Definiˇcn´ım
oborem funkce f je tedy mnoˇzina
Df = {[x, y] ∈ R2 ; 2x + 3y − 6 ≥ 0, y 6= −2}.
7
Odtud vid´ıme, ˇze v definiˇcn´ım oboru nebude leˇzet pˇr´ımka y = −2. Dalˇs´ı
vyznaˇcenou pˇr´ımkou, kterou vyuˇzijeme ke grafick´emu zn´azornˇen´ı definiˇcn´ıho
oboru funkce f , je pˇr´ımka y = − 23 x + 2, pˇriˇcemˇz nerovnost 2x + 3y − 6 ≥ 0
vymezuj´ıc´ı definiˇcn´ı obor funkce f je splnˇena pro vˇsechny body leˇz´ıc´ı nad
pˇr´ımkou y = − 23 x + 2 a na n´ı. Jestliˇze z t´eto poloroviny vypust´ıme body,
jejichˇz y-ov´a souˇradnice je r˚
uzn´a od 2, obdrˇz´ıme definiˇcn´ı obor funkce f (viz
obr´azek 1).
Pˇ
r´ıklad 1.9. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = ln sin x. Definiˇcn´ı obor
graficky zn´azornˇete.
ˇ sen´ı. Funkce logaritmus je definovan´a pro hodnoty vˇetˇs´ı neˇz 0. Vztah,
Reˇ
kter´
ym je funkce f d´ana, bude m´ıt tedy smysl tehdy, jestliˇze sin x > 0. Na
z´akladˇe vlastnost´ı funkce sinus v´ıme, ˇze tato nerovnost je splnˇena, jestliˇze
2kπ < x < (2k + 1)π, kde k je cel´e ˇc´ıslo. Hodnoty promˇenn´e y mohou b´
yt
libovoln´e. Definiˇcn´ım oborem je tedy mnoˇzina
Df = {[x, y] ∈ R2 ; 2kπ < x < (2k + 1)π, k ∈ Z}.
Graficky lze mnoˇzinu Df n´azornit pomoc´ı pˇr´ımek x = kπ, k ∈ Z, pˇriˇcemˇz
body leˇz´ıc´ı mezi pˇr´ımkami patˇr´ı do mnoˇziny Df tehdy, jestliˇze je pruh zleva
vymezen pˇr´ımkou x = kπ, kde k je sud´e a zprava pˇr´ımkou x = kπ, kde k je
lich´e (viz obr´azek 2).
y
y = –2/3x+2
y
2
3
–3Π –2Π
x
Obr´azek 1:
cn´ı obor funkce
√ Definiˇ
2x+3y−6
f (x, y) =
y+2
0
Π
2Π
3Π
x
Obr´azek 2: Definiˇcn´ı obor funkce
f (x, y) = ln sin x
8
p
Pˇ
r´ıklad 1.10. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = 2+ x2 − y 2 . Definiˇcn´ı
obor graficky zn´azornˇete.
ˇ sen´ı. V´
Reˇ
yraz, kter´
ym je dan´a funkce f , bude m´ıt smysl tehdy, jestliˇze
je v´
yraz pod odmocninou nez´aporn´
y. Definiˇcn´ım oborem funkce f je tedy
mnoˇzina
Df = {[x, y] ∈ R2 ; x2 − y 2 ≥ 0}.
Nerovnost y 2 ≤ x2 je ekvivalentn´ı s nerovnost´ı −|x| ≤ y ≤ |x|. To znamen´a,
ˇze definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina bod˚
u leˇz´ıc´ıch mezi grafy funkc´ı y = |x| a
y = −|x|, jak je zn´azornˇeno na obr´azku 3.
√
x2 +y 2 −9
. Definiˇcn´ı
Pˇ
r´ıklad 1.11. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) =
y−x
obor graficky zn´azornˇete.
ˇ sen´ı. V´
Reˇ
yraz, kter´
ym je dan´a funkce f , bude m´ıt smysl tehdy, jestliˇze jmenovatel je r˚
uzn´
y od nuly a v´
yraz pod odmocninou je nez´aporn´
y. Definiˇcn´ım
oborem funkce f je tedy mnoˇzina
Df = {[x, y] ∈ R2 ; x2 + y 2 − 9 ≥ 0, y 6= x}.
V definiˇcn´ım oboru nebude leˇzet pˇr´ımka y = x. D´ale v´ıme, ˇze nerovnost
x2 + y 2 ≥ 9 je splnˇena pro vˇsechny body leˇz´ıc´ı vnˇe kruˇznice se stˇredem
v poˇc´atku a polomˇerem 3 a na n´ı. Ve v´
ysledku dost´av´ame mnoˇzinu, kter´a je
zn´azornˇena na obr´azku 4.
y
y
y=x
y=x
3
3
x
x
y = –x
Obr´azek 4:
√ Definiˇcn´ı obor funkce
x2 +y 2 −9
f (x, y) =
y−x
Obr´azek 3: Definiˇ
p cn´ı obor funkce
f (x, y) = 2 + x2 − y 2
9
Pˇ
r´ıklad 1.12.
p Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce, kter´a je pˇredeps´ana vztahem
f (x, y, z) = 1 − x2 − y 2 /4 − z 2 /9. Definiˇcn´ı obor graficky zn´azornˇete.
ˇ sen´ı. V´
Reˇ
yraz, kter´
ym je dan´a funkce f , bude m´ıt smysl tehdy, jestliˇze
je v´
yraz pod odmocninou nez´aporn´
y. Definiˇcn´ım oborem funkce f je tedy
mnoˇzina
Df = {[x, y, z] ∈ R3 ; 1 − x2 − y 2 /4 − z 2 /9 ≥ 0}.
Rovnice x2 + y 2 /4 + z 2 /9 = 1 je moˇzn´a ˇcten´aˇri nˇeˇc´ım povˇedom´a. Mohla
by mu sv´
ym tvarem pˇripom´ınat rovnici elipsy, kdyby ovˇsem neobsahovala
nav´ıc promˇennou z. Uvˇedom´ıme-li si, ˇze pˇrid´an´ım tˇret´ıho rozmˇeru do rovnice kruˇznice (coˇz je speci´aln´ı pˇr´ıpad elipsy) z´ısk´ame rovnici sf´ery, tj. povrchu koule, nen´ı uˇz tak tˇeˇzk´e nahl´ednout, ˇze rovnˇeˇz z rovnice elipsy vznikne
pˇrid´an´ım promˇenn´e z rovnice popisuj´ıc´ı povrch tˇelesa naz´
yvan´eho elipsoid.
Definiˇcn´ı obor n´ami zkouman´e funkce ovˇsem zahrnuje tak´e vˇsechny body
leˇz´ıc´ı uvnitˇr elipsoidu a je zn´azornˇen na obr´azku 5.
z
[0,0,3]
[0,2,0]
y
[1,0,0]
x
Obr´azek 5: Definiˇcn´ı obor funkce f (x, y, z) =
10
p
1 − x2 − y 2 /4 − z 2 /9
Pˇ
r´ıklad 1.13. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y, z) = ln(x + 2y + 3z − 6).
Definiˇcn´ı obor graficky zn´azornˇete.
ˇ sen´ı. V´
Reˇ
yraz, kter´
ym je dan´a funkce f , bude m´ıt smysl tehdy, jestliˇze je
v´
yraz uvnitˇr logaritmick´e funkce kladn´
y. Definiˇcn´ım oborem funkce f je tedy
mnoˇzina
Df = {[x, y, z] ∈ R3 ; x + 2y + 3z > 6}.
Rovnice x + 2y + 3z = 6 je rovnice roviny. To znamen´a, ˇze definiˇcn´ım oborem
funkce f je poloprostor nad touto rovinou, kter´
y ji ale nezahrnuje. Graficky
je situace zachycena na obr´azku 6.
z
[0,0,2]
[0,3,0]
y
[6,0,0]
x
Obr´azek 6: Definiˇcn´ı obor funkce f (x, y, z) = ln(x + 2y + 3z − 6)
Pˇ
r´ıklad 1.14. Nakreslete u
´rovˇ
nov´e kˇrivky funkce f (x, y) = x2 + y 2 pro
hodnoty k = 1, 4, 9, 16. Na z´akladˇe obdrˇzen´eho v´
ysledku se pokuste nakreslit
graf funkce.
11
´ nov´e kˇrivky maj´ı tvar x2 + y 2 = k, k = 1, 4, 9, 16. Jedn´a se tedy
ˇ sen´ı. Urovˇ
Reˇ
o kruˇznice s polomˇery r = 1, 2, 3, 4.
Chceme-li nyn´ı nakreslit graf funkce, tak pˇredevˇs´ım konstatujeme, ˇze
jej´ım definiˇcn´ım oborem je cel´e R2 . D´ale ve tˇr´ırozmˇern´em prostoru zn´azorn´ıme
jednotliv´e kruˇznice v pˇr´ısluˇsn´
ych v´
yˇsk´ach. Kruˇznice o polomˇeru 1 bude tedy
leˇzet ve v´
yˇsce 1, tj. v rovinˇe z = 1, kruˇznice o polomˇeru 2 bude leˇzet v rovinˇe z = 4 atd. Plocha, kter´a pˇredstavuje graf funkce, je vlastnˇe tvoˇrena
nespoˇcetnˇe mnoha kruˇznicemi leˇz´ıc´ımi nad sebou, jejichˇz polomˇer se postupnˇe zvˇetˇsuje, pˇriˇcemˇz v´
yˇska, v n´ıˇz jednotliv´e kruˇznice leˇz´ı, je druhou mocninou jejich polomˇeru. Naz´
yv´ame ji paraboloid. Vrstevnice a graf funkce jsou
zn´azornˇeny na obr´azc´ıch 7, 8.
z
y
1
2 3 4
x
y
x
Obr´azek 7: Vrstevnice
f (x, y) = x2 + y 2
funkce
Obr´azek 8: Graf funkce dan´e vztahem f (x, y) = x2 + y 2
p
Pˇ
r´ıklad 1.15. Nakreslete u
´rovˇ
nov´e kˇrivky funkce f (x, y) = x − y 2 pro
hodnoty k = 0, 1, 2, 3. Na z´akladˇe obdrˇzen´
ych vrstevnic nakreslete graf funkce
f.
ˇ sen´ı. Nejdˇr´ıve poznamenejme, ˇze definiˇcn´ım oborem funkce f = (x, y)
Reˇ
2
2
´ nov´e kˇrivky maj´ı nyn´ı tvar
je
p mnoˇzina Df = {[x, y] ∈ R ; x ≥ y }. Urovˇ
y − x2 = k, neboli y = x2 + k 2 , k = 0, 1, 2, 3. Jedn´a se tedy o soustavu
parabol. Vˇsimˇeme si, ˇze parabola y = x2 vymezuj´ıc´ı definiˇcn´ı obor je z´aroveˇ
n
vrstevnic´ı pro k = 0.
Jestliˇze nyn´ı zn´azorn´ıme v tˇr´ırozmˇern´em prostoru vrstevnici v pˇr´ısluˇsn´e
v´
yˇsce, z´ısk´ame urˇcitou pˇredstavu o tom, jak by mohl vypadat graf n´ami
12
ˇ aˇri ale nemus´ı b´
zkouman´e funkce. Cten´
yt u
´plnˇe zˇrejm´e, ˇze se jedn´a o kvalitativnˇe stejnou plochu jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladu, tj. o paraboloid, pˇresnˇeji
ˇreˇceno o jeho polovinu leˇz´ıc´ı nad rovinou
p xy. Druh´a ˇc´ast paraboloidu by byla
d´ana funkˇcn´ım vztahem f (x, y) = − y − x2 . Vrstevnice a graf funkce jsou
zn´azornˇeny na obr´azc´ıch 9, 10.
y
z
y = x2+ k2
9
4
y
x
1
x
Obr´azek p9: Vrstevnice
f (x, y) = y − x2
funkce
Obr´azek 10: Graf
p funkce dan´e vztahem f (x, y) = y − x2
Pˇ
r´ıklad 1.16. pRozhodnˇete, zda definiˇcn´ı obor funkce pˇredepsan´e vzta(1 − x2 − y 2 /16) je otevˇrenou ˇci uzavˇrenou mnoˇzinou v
hem f (x, y) =
R2 . Urˇcete jej´ı vnitˇrn´ı a hraniˇcn´ı body. Ovˇeˇrte rovnˇeˇz, zda definiˇcn´ı obor
funkce je souvisl´a mnoˇzina.
p
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ım oborem funkce f (x, y) = (1 − x2 − y 2 /16) je mnoˇzina
Reˇ
bod˚
u tvaru
Df = {[x, y] ∈ R2 ; 1 − x2 − y 2 /16 ≥ 0}.
Rovnice x2 + y 2 /16 = 1 je rovnic´ı elipsy se stˇredem v poˇca´tku, jej´ıˇz hlavn´ı
poloosa leˇz´ı na ose y a m´a d´elku 4. Vedlejˇs´ı poloosa leˇz´ıc´ı na ose x m´a d´elku
1. Nerovnost vymezuj´ıc´ı definiˇcn´ı obor funkce d´ale zahrnuje vˇsechny body
leˇz´ıc´ı uvnitˇr t´eto elipsy – viz obr´azek 11. Vybereme-li nyn´ı kter´
ykoli bod
leˇz´ıc´ı vnˇe ˇci uvnitˇr elipsy, jsme schopni k nˇemu nal´ezt bod na elipse, kter´
y
m´a od n´ami zvolen´eho bodu nejmenˇs´ı vd´alenost. Oznaˇc´ıme-li tuto vzd´alenost
d, pak kruˇznice o polomˇeru r < d leˇz´ı cel´a vnˇe, resp. uvnitˇr elipsy. Z v´
yˇse
uveden´eho je jiˇz zˇrejm´e, ˇze vˇsechny body leˇz´ıc´ı uvnitˇr elipsy jsou vnitˇrn´ımi
13
body, zat´ımco body leˇz´ıc´ı vnˇe elipsy jsou vnˇejˇs´ımi body definiˇcn´ıho oboru
funkce f . Samotn´a elipsa je pak mnoˇzinou hraniˇcn´ıch bod˚
u definiˇcn´ıho oboru
naˇs´ı funkce. Protoˇze body leˇz´ıc´ı na elipse patˇr´ı rovnˇeˇz do definiˇcn´ıho oboru
funkce f , je mnoˇzina Df uzavˇren´a. Jej´ı souvislost je zˇrejm´a a jedn´a se tedy
o uzavˇrenou oblast.
y
y
4
1
x
x
y = –x 2
Obr´azek 11:
p Definiˇcn´ı obor funkce
f (x, y) = (1 − x2 − y 2 /16)
Obr´azek 12: Definiˇcn´ı obor funkce
f (x, y) = ln(x2 + y)
Pˇ
r´ıklad 1.17. Rozhodnˇete, zda definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = ln(x2 + y) je
otevˇrenou ˇci uzavˇrenou mnoˇzinou v R2 . Urˇcete jej´ı vnitˇrn´ı a hraniˇcn´ı body.
Ovˇeˇrte rovnˇeˇz, zda definiˇcn´ı obor funkce je souvisl´a mnoˇzina.
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ım oborem funkce f (x, y) = ln(x2 +y) je moˇzina bod˚
Reˇ
u tvaru
Df = {[x, y] ∈ R2 ; y > −x2 }.
Tato mnoˇzina je vymezena grafem paraboly y = −x2 , pˇriˇcemˇz body leˇz´ıc´ı
na t´eto parabole nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce f (x, y). Vnitˇrn´ı body
mnoˇziny Df jsou body leˇz´ıc´ı nad grafem paraboly y = −x2 a vnˇejˇs´ı body
mnoˇziny Df jsou body leˇz´ıc´ı pod grafem funkce y = −x2 .
Jelikoˇz body paraboly y = −x2 jsou hraniˇcn´ımi body mnoˇziny Df , vid´ıme,
ˇze tato mnoˇzina je otevˇren´a. Jej´ı souvislost je zˇrejm´a. Z toho vypl´
yv´a, ˇze definiˇcn´ı obor funkce f je oblast´ı.
14
1.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
2
Cviˇ
cen´ı 1.1. Najdˇete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = ex −y .
p
Cviˇ
cen´ı 1.2. Najdˇete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = 1 − x2 + 3y 2 .
q
Cviˇ
cen´ı 1.3. Najdˇete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) = x−y
.
x+y
Cviˇ
cen´ı 1.4. Najdˇete definiˇcn´ı obor funkce dan´e vztahem f (x, y, z) = 1/xyz.
Cviˇ
cen´ı 1.5. Urˇ
√cete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce dan´e vztax2 +y 2 −4
hem f (x, y) =
.
x
Cviˇ
cen´ı 1.6. Urˇcete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce dan´e vztahem f (x, y) = ln(xy − 3).
Cviˇ
cen´ı 1.7. Urˇcete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce dan´e vztahem f (x, y) = arcsin(x + y).
Cviˇ
cen´ı 1.8. Urˇp
cete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce dan´e vztahem f (x, y, z) = 9 − x2 − y 2 − z 2 .
2 −y 2
Cviˇ
cen´ı 1.9. Graficky zn´azornˇete vstevnice funkce f (x, y) = e−x
.
Cviˇ
cen´ı 1.10. Graficky zn´azornˇete vstevnice funkce f (x, y) = 9x2 + y 2 .
15
2
2.1
Limita a spojitost
Definice a vˇ
ety
Definice 2.1. Necht’ M ⊂ R2 je mnoˇzina a P ∈ R2 je bod.
a) Bod P se naz´
yv´a hromadn´
y bod mnoˇziny M , jestliˇze kaˇzd´e jeho ryz´ı
okol´ı P(P ) obsahuje alespoˇ
n jeden bod mnoˇziny M , tj. P(P ) ∩ M 6= ∅.
b) Bod P se naz´
yv´a izolovan´
y bod mnoˇziny M , jestliˇze existuje jeho okol´ı
O(P ) takov´e, ˇze kromˇe bodu P neobsahuje ˇz´adn´e jin´e body mnoˇziny M , tj.
O(P ) ∩ M = {P }.
ˇ
Definice 2.2. Necht’ f je funkce dvou promˇenn´
ych. Rekneme,
ˇze funkce
f m´a v hromadn´em bodˇe P = [x0 , y0 ] sv´eho definiˇcn´ıho oboru Df limitu
L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu ε > 0 existuje δ > 0 takov´e, ˇze pro kaˇzd´
y
bod X = [x, y], X ∈ P(P ) ∩ Df , plat´ı f (x, y) ∈ (L − ε, L + ε).
P´ıˇseme
lim f (x, y) = L, resp.
x→x0
y→y0
lim
f (x, y) = L, resp. lim f (X) = L. (2.1)
X→P
[x,y]→[x0 ,y0 ]
Vˇ
eta 2.3. Funkce f m´a v bodˇe [x0 , y0 ] nejv´yˇse jednu limitu.
Vˇ
eta 2.4. Necht’
lim
f (x, y) = 0 a funkce g je ohraniˇcen´a v nˇejak´em
[x,y]→[x0 ,y0 ]
ryz´ım okol´ı bodu [x0 , y0 ] (tj., existuje konstanta K ≥ 0 tak, ˇze |g(x, y)| ≤ K
v tomto ryz´ım okol´ı). Pak
lim
(f (x, y) · g(x, y)) = 0.
[x,y]→[x0 ,y0 ]
Vˇ
eta 2.5. Necht’ existuje ryz´ı okol´ı P(x0 , y0 ) bodu [x0 , y0 ] takov´e, ˇze h(x, y) ≤
f (x, y) ≤ g(x, y) pro vˇsechna [x, y] ∈ P(x0 , y0 ). Necht’ existuj´ı limity
lim
h(x, y) a
[x,y]→[x0 ,y0 ]
lim
g(x, y)
[x,y]→[x0 ,y0 ]
a plat´ı, ˇze
lim
[x,y]→[x0 ,y0 ]
h(x, y) =
lim
[x,y]→[x0 ,y0 ]
16
g(x, y) = L.
Potom existuje tak´e limita
lim
f (x, y) a plat´ı
[x,y]→[x0 ,y0 ]
lim
f (x, y) = L.
[x,y]→[x0 ,y0 ]
Vˇ
eta 2.6. Necht’
lim
[x,y]→[x0 ,y0 ]
f (x, y) = L1 ,
lim
[x,y]→[x0 ,y0 ]
g(x, y) = L2
a L1 , L2 ∈ R, [x0 , y0 ] je hromadn´y bod mnoˇziny Df ∩ Dg. Pak pro kaˇzd´e
c, c1 , c2 ∈ R plat´ı
lim
cf (x, y) = cL1 ,
[x,y]→[x0 ,y0 ]
lim
[x,y]→[x0 ,y0 ]
[c1 f (x, y) + c2 g(x, y)] = c1 L1 + c2 L2 ,
lim
[x,y]→[x0 ,y0 ]
[f (x, y)g(x, y)] = L1 L2 .
Je-li L2 6= 0, pak
L1
f (x, y)
=
.
[x,y]→[x0 ,y0 ] g(x, y)
L2
lim
Vˇ
eta 2.7. M´a-li funkce f v bodˇe [x0 , y0 ] ∈ (R∗ )2 vlastn´ı limitu, pak existuje
ryz´ı okol´ı bodu [x0 , y0 ], v nˇemˇz je funkce f ohraniˇcen´a.
ˇ
Definice 2.8. Rekneme,
ˇze funkce f (x, y) je spojit´
a v bodˇe [x0 , y0 ] sv´eho
definiˇcn´ıho oboru Df , plat´ı-li
lim
f (x, y) = f (x0 , y0 ).
[x,y]→[x0 ,y0 ]
Vˇ
eta 2.9. Bud’te funkce f , g spojit´e v bodˇe [x0 , y0 ] ∈ Df ∩ Dg. Pak jsou
v tomto bodˇe spojit´e i funkce f ± g, f · g. Je-li nav´ıc g(x0 , y0 ) 6= 0, pak rovnˇeˇz
f
je spojit´a v bodˇe [x0 , y0 ].
g
Definice 2.10. Mˇejme funkci z = f (u) definovanou na definiˇcn´ım oboru Df
a funkci u = g(x) definovanou na Dg. Pokud pro kaˇzd´e x ∈ Dg je g(x) ∈ Df ,
pak funkci z = F (x) = f (g(x)) (m˚
uˇzeme ps´at i z = f ◦ g) nazveme sloˇ
zenou
funkc´ı.
Vˇ
eta 2.11. Uvaˇzujme sloˇzenou funkci F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)). Bud’te
funkce g, h spojit´e v bodˇe [x0 , y0 ] a necht’ u0 = g(x0 , y0 ), v0 = h(x0 , y0 ). Je-li
17
funkce f spojit´a v bodˇe [u0 , v0 ], pak je sloˇzen´a funkce F spojit´a v bodˇe [x0 , y0 ].
Definice 2.12. Bud’ f : R2 → R funkce dvou promˇenn´
ych, [x0 , y0 ] bod. Pak
limity
lim ( lim f (x, y)) = L1 a lim ( lim f (x, y)) = L2
y→y0 x→x0
x→x0 y→y0
se naz´
yvaj´ı postupn´
e dvojn´
asobn´
e limity.
Vˇ
eta 2.13. Existuj´ı-li vˇsechny tˇri limity L, L1 , L2 , pak jsou si nutnˇe rovny.
D˚
usledek 2.14. Necht’ existuj´ı L1 , L2 a L1 6= L2 . Pak limita L neexistuje.
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
2.2
Pˇ
r´ıklad 2.15. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
6x−3y−5
x3 −y 2
v bodˇe [−1, 5].
ˇ sen´ı. Do zadan´e funkce je moˇzno bod [−1, 5] pˇr´ımo dosadit, protoˇze
Reˇ
funkce je v tomto bodˇe spojit´a. Hodnota limity je rovna funkˇcn´ı hodnotˇe
v tomto bodˇe. Plat´ı tedy
6 · (−1) − 3 · 5 − 5
−6 − 15 − 5
6x − 3y − 5
=
=
= 1.
3
2
3
2
[x,y]→[−1,5]
x −y
(−1) − 5
−26
lim
Pˇ
r´ıklad 2.16. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
x2 −1
y+4
v bodˇe [1, −4].
ˇ sen´ı. K vyˇsetˇren´ı limity nejdˇr´ıve pouˇzijeme metodu postupn´
Reˇ
ych limit.
Plat´ı
0
x2 − 1
L1 = lim lim
= lim
= 0.
y→−4 x→1 y + 4
y→−4 y + 4
x2 − 1
x2 − 1
L2 = lim lim
= lim
⇒ limita L2 neexistuje.
x→1 y→−4 y + 4
x→1
0
Limita L1 existuje, limita L2 neexistuje. Tedy ani limita L neexistuje.
Pro ovˇeˇren´ı limity m˚
uˇzeme pouˇz´ıt i jinou metodu. Pouˇzijeme metodu svazku
pˇr´ımek.
x2 − 1
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim
= lim
=
x→1 k(x − 1) − 4 + 4
x→1
x→1,y=k(x−1)−4 y + 4
k(x − 1)
x+1
2
= lim
= .
x→1
k
k
L∗∗ =
lim
18
Limita L∗∗ z´avis´ı na k, tedy limita neexistuje.
Pˇ
r´ıklad 2.17. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
x3 −y 3
x4 −y 4
v bodˇe [2, 2].
ˇ sen´ı. Po dosazen´ı souˇradnic zadan´eho bodu z´ısk´ame neurˇcit´
Reˇ
y v´
yraz typu
0
,
proto
se
snaˇ
z
´
ıme
pˇ
r
´
ısluˇ
s
n´
y
v´
y
raz
vhodnˇ
e
upravit.
P˚
u
vodnˇ
e
zadan´
a funkce
0
2
f s definiˇcn´ım oborem Df = {[x, y] ∈ R ; x 6= y, x 6= −y} se tˇemito u
´pravami
(x − y)(x2 + xy + y 2 )
x2 + xy + y 2
x3 − y 3
x3 − y 3
=
=
=
x4 − y 4
(x2 − y 2 )(x2 + y 2 )
(x2 + y 2 )(x − y)(x + y)
(x2 + y 2 )(x + y)
2
2
+xy+y
2
zmˇenila na funkci F = (xx2 +y
2 )(x+y) s DF = {[x, y] ∈ R ; x 6= −y, x = y 6= 0}.
Jelikoˇz funkce F je spojit´a v bodˇe [2, 2], m˚
uˇzeme limitu spoˇc´ıst pˇr´ım´
ym
dosazen´ım tohoto bodu. Tedy
x3 − y 3
12
3
x2 + xy + y 2
=
lim
=
= .
4
4
2
2
[x,y]→[2,2] x − y
[x,y]→[2,2] (x + y )(x + y)
32
8
lim
Pˇ
r´ıklad 2.18. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
y 3 −x3 −7
x+y−3
v bodˇe [1, 2].
ˇ sen´ı. K vyˇsetˇren´ı limity pouˇzijeme metodu postupn´
Reˇ
ych limit. Plat´ı
y3 − 8
(y − 2)(y 2 + 2y + 4)
y 3 − x3 − 7
L1 = lim lim
= lim
= lim
=
y→2 x→1 x + y − 3
y→2 y − 2
y→2
y−2
= lim (y 2 + 2y + 4) = (2)2 + 2 · 2 + 4 = 12.
y→2
1 − x3
−(x − 1)(x2 + x + 1)
y 3 − x3 − 7
= lim
= lim
=
= lim lim
x→1 x − 1
x→1
x→1 y→2 x + y − 3
x−1
= − lim (x2 + x + 1) = −(1 + 1 + 1) = −3
L2
x→1
Limity L1 , L2 existuj´ı, ale jsou r˚
uzn´e. Z toho plyne, ˇze dan´a limita neexistuje.
√
Pˇ
r´ıklad 2.19. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
x2 +y 2 +4−2
x2 +y 2
v bodˇe [0, 0].
ˇ sen´ı. Po dosazen´ı souˇradnic bodu [0, 0] z´ısk´ame neurˇcit´
Reˇ
y v´
yraz typu
p
0
2
2
. Limitu najdeme tak, ˇze zlomek rozˇs´ıˇr´ıme v´
yrazem x + y + 4 + 2 a
0
dost´av´ame
p
p
p
x2 + y 2 + 4 − 2
x2 + y 2 + 4 − 2 x 2 + y 2 + 4 + 2
lim
= lim
·p
=
[x,y]→[0,0]
[x,y]→[0,0]
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2 + 4 + 2
19
=
x2 + y 2 + 4 − 4
1
1
p
= lim p
= .
[x,y]→[0,0] (x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 4 + 2)
[x,y]→[0,0]
4
x2 + y 2 + 4 + 2
lim
Je nutn´e si uvˇedomit, ˇze u
´pravami zadan´eho v´
yrazu se tak´e mˇenil definiˇcn´ı
obor.
Limitu m˚
uˇzeme vyˇsetˇrovat tak´e pomoc´ı metody postupn´
ych limit. Plat´ı
!
p
p
x2 + y 2 + 4 − 2
y 2 + 4 − 2 L0 H
=
lim
L1 = lim lim
=
y→0
y→0 x→0
x2 + y 2
y2
1
1
L0 H
=
L2
=
lim
x→0
!
p
√
x2 + y 2 + 4 − 2
x2 + 4 − 2 L0 H
lim
=
lim
=
y→0
x→0
x2 + y 2
x2
1
1
L0 H
=
1
(y 2 + 4)− 2
(4)− 2
1
y(y 2 + 4)− 2
== lim
=
= .
lim
y→0
y→0
2y
2
2
4
1
(x2 + 4)− 2
(4)− 2
1
x(x2 + 4)− 2
= lim
=
= .
lim
x→0
x→0
2x
2
2
4
Obˇe limity L1 , L2 existuj´ı a jsou si rovny. O existenci limity nelze na tomto
z´akladˇe nic soudit. Pouˇzijeme metodu transformace do pol´arn´ıch souˇradnic.
Plat´ı
p
p
(r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 + 4 − 2
x2 + y 2 + 4 − 2
∗
=
lim
=
L =
lim
[x,y]→[0,0]
r→0+
x2 + y 2
(r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2
√
1
1
r2 + 4 − 2 L0 H
(r2 + 4)− 2
1
r(r2 + 4)− 2
= lim+
= lim+
= .
= lim+
2
r→0
r→0
r→0
r
2r
2
4
Zadan´a limita L existuje a je rovna 14 .
2
Pˇ
r´ıklad 2.20. Urˇcete body nespojitosti funkce F (x, y) = √ y2 +x .
x −y−6
ˇ sen´ı. Funkce g(x, y) = y 2 + x, h(x, y) = x2 − y − 6 jsou polynomy dvou
Reˇ
promˇenn´
ych a ty jsou spojit´e v cel´e rovinˇe. Funkce f = √gh je spojit´a v bodech, ve kter´
ych je definov´ana, tj. kde x2 − y − 6 > 0. Tedy sloˇzen´a funkce
2
F (x, y) = √ y2 +x nen´ı spojit´a pro y ≥ x2 − 6. Jin´
ymi slovy body nespojix −y−6
tosti tvoˇr´ı vnitˇrek a okraj paraboly s vrcholem o souˇradnic´ıch V = [0, −6].
20
Pˇ
r´ıklad 2.21. Urˇcete body nespojitosti funkce F (x, y) = 53 x3 sin(x2 +y 2 −4).
ˇ sen´ı. Poloˇzme g(x, y) = 5 x3 , h(x, y) = x2 + y 2 − 4. Jedn´a se o polynomy a
Reˇ
3
ty jsou spojit´e v cel´e rovinˇe. Tak´e funkce sin h je spojit´a v cel´e rovinˇe. Sloˇzen´a
funkce F (x, y) = 35 x3 sin(x2 + y 2 − 4) je spojit´a v kaˇzd´em bodˇe [x, y] ∈ R2 .
Pˇ
r´ıklad 2.22. Necht’ je d´ana funkce F (x, y) =
3y−2x
√
ln
6y 2 −11
. Za jak´
ych podm´ı-
nek je tato funkce nespojit´a?
ˇ sen´ı. Poloˇzme g(x, y) = 3y − 2x, h(x, y) = 6y 2 − 11. Jedn´a se o polynomy
Reˇ
√
dvou promˇenn´
ych a ty jsou spojit´e v cel´e rovinˇe. Funkce ln h je spojit´a
v bodech, ve kter´
ych je definov´ana, tj. kde 6y 2 − 11 > 0. Funkce ln u√v je
spojit´a v bodech, pro kter´e plat´ı 6y 2 − 11 > 0 ∧ 6y 2 − 11 6= 1. V´
ysledkem tedy
√
3y−2x
11
2
√
je, ˇze sloˇzen´a funkce F (x, y) =
a
y
=
±
2.
je
nespojit´
a
pro
y
≤
6
2
ln
6y −11
Pˇ
r´ıklad 2.23. Vyˇsetˇrete, zda je funkce
xy+3y−2x−6
pro
2
2
f (x, y) = y x−4x+2y −8
1 pro
[x, y] 6= [−1, 2],
[x, y] = [−1, 2]
spojit´a v bodˇe [−1, 2].
ˇ sen´ı. Aby byla funkce f spojit´a v bodˇe [−1, 2], musela by m´ıt v tomto
Reˇ
bodˇe limitu rovnu jedn´e. Neˇz zaˇcneme poˇc´ıtat limitu, vhodnˇe si uprav´ıme
zadanou funkci f ,tj.
y(x + 3) − 2(x + 3)
(y − 2)(x + 3)
xy + 3y − 2x − 6
=
=
=
y 2 x − 4x + 2y 2 − 8
y 2 (x + 2) − 4(x + 2)
(y 2 − 4)(x + 2)
x+3
=
.
(y + 2)(x + 2)
Funkce f m´a definiˇcn´ı obor Df = {[x, y] ∈ R2 ; x 6= −2, y 6= −2, y 6= 2} a
x+3
funkce F (x, y) = (y+2)(x+2)
m´a DF = {[x, y] ∈ R2 ; x 6= −2, y 6= −2}. Bod
[−1, 2] ∈ DF a limitu m˚
uˇzeme spoˇc´ıst pˇr´ım´
ym dosazen´ım tohoto bodu
xy + 3y − 2x − 6
x+3
1
=
lim
= .
2
2
[x,y]→[−1,2] y x − 4x + 2y − 8
[x,y]→[−1,2] (y + 2)(x + 2)
2
lim
Limita funkce f v bodˇe [−1, 2] je rovna 12 . Aby zadan´a funkce byla spojit´a, mus´ı platit, ˇze
lim f (x, y) = f (−1, 2), coˇz v naˇsem pˇr´ıpadˇe nen´ı
[x,y]→[−1,2]
21
splnˇeno, jelikoˇz
spojit´a.
1
2
6= 1. Z toho tedy plyne, ˇze funkce f nen´ı v bodˇe [−1, 2]
Pˇ
r´ıklad 2.24. Vyˇsetˇrete, zda je funkce
( 4 2
x y
pro [x, y] 6= [0, 0],
8 +y 4
x
f (x, y) =
0 pro [x, y] = [0, 0]
spojit´a v bodˇe [0, 0].
ˇ sen´ı. Aby byla funkce f spojit´a v bodˇe [0, 0], musela by m´ıt v tomto bodˇe
Reˇ
limitu rovnu nule. Pˇri vyˇsetˇrov´an´ı limity metoda postupn´
ych limit, metoda
svazku pˇr´ımek i metoda transformace do pol´arn´ıch souˇradnic selh´av´a, d´avaj´ı
v´
ysledek nula. Z toho nem˚
uˇzeme o existenci limity ˇci spojitosti nic usuzovat.
D´ale k vyˇsetˇren´ı limity pouˇzijeme metodu svazku parabol, tj.
L∗∗ = lim
x→0
y=kx2
x4 y 2
x4 (kx2 )2
x8 k 2
k2
=
lim
=
lim
=
.
x8 + y 4 x→0 x8 + (kx2 )4 x→0 x8 (1 + k 4 )
1 + k4
Protoˇze limita L∗∗ z´avis´ı na parametru k, zadan´a limita neexistuje. Jelikoˇz
limita nen´ı rovna nule, zkouman´a funkce f v bodˇe [0, 0] nem˚
uˇze b´
yt spojit´a.
Pˇ
r´ıklad 2.25. Naleznˇete ˇc´ıslo c, pro kter´e je funkce f spojit´a v bodˇe [−1, 0]:
xy+2x+y+2
pro [x, y] 6= [−1, 0],
2
2
f (x, y) = xy +y +x+1
c pro [x, y] = [−1, 0]
ˇ sen´ı. Neˇz zaˇcneme poˇc´ıtat limitu, uprav´ıme si zadanou funkci f , tj.
Reˇ
x(y + 2) + y + 2
(x + 1)(y + 2)
y+2
xy + 2x + y + 2
= 2
= 2
= 2
.
2
2
xy + y + x + 1
y (x + 1) + x + 1
(y + 1)(x + 1)
y +1
Definiˇcn´ı obor funkce f je Df = {[x, y] ∈ R2 ; x 6= 1}. Na rozd´ıl od toho
2
definiˇcn´ı obor funkce F = yy+2
e [−1, 0]
2 +1 je Df = R a tedy funkce F je v bodˇ
spojit´a. Nyn´ı m˚
uˇzeme spoˇc´ıst limitu
xy + 2x + y + 2
y+2
0+2
=
lim
= 2
= 2.
2
2
2
[x,y]→[−1,0] xy + y + x + 1
[x,y]→[−1,0] y + 1
0 +1
lim
ˇ ıslo c = 2.
C´
22
2.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 2.1. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) = tan y + 2 cot(x + y) v bodˇe
π π
[ 6 , 6 ].
Cviˇ
cen´ı 2.2. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
x2 +2xy+y 2
y+x
Cviˇ
cen´ı 2.3. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
−y 2
x
v bodˇe [0, 0].
Cviˇ
cen´ı 2.4. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
−x2
y
v bodˇe [0, 0].
Cviˇ
cen´ı 2.5. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
2x−8
y−2
Cviˇ
cen´ı 2.6. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
exy −1
x
Cviˇ
cen´ı 2.7. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
− 1
1
e x2 +y2
x4 +y 4
Cviˇ
cen´ı 2.8. Vypoˇctˇete limitu funkce f (x, y) =
x3 y
x6 +y 2
Cviˇ
cen´ı 2.9. Vyˇsetˇrete, zda je funkce
( 3
x y−xy 3
pro
x2 +y 2
f (x, y) =
0 pro
v bodˇe [−1, 1].
v bodˇe [4, 2].
v bodˇe [0, 2].
v bodˇe [0, 0].
v bodˇe [0, 0].
[x, y] 6= [0, 0],
[x, y] = [0, 0]
spojit´a v bodˇe [0, 0].
Cviˇ
cen´ı 2.10. Vyˇsetˇrete, zda je funkce
( 2
x y+xy 2
pro
x2 +y 2
f (x, y) =
0 pro
[x, y] 6= [0, 0],
[x, y] = [0, 0]
spojit´a v bodˇe [0, 0].
Cviˇ
cen´ı 2.11. Naleznˇete ˇc´ıslo c, pro kter´e je funkce f spojit´a v bodˇe [0, 0]:
(
sin(x2 +y 2 )
pro [x, y] 6= [0, 0],
x2 +y 2
f (x, y) =
c pro [x, y] = [0, 0]
Cviˇ
cen´ı 2.12. Naleznˇete ˇc´ıslo c, pro kter´e je funkce f spojit´a v bodˇe [2, −3]:
xy−2−2y+x
pro [x, y] 6= [2, −3],
x+y+1
f (x, y) =
c pro [x, y] = [2, −3]
23
3
3.1
Parci´
aln´ı derivace
Definice a vˇ
ety
Definice 3.1. Necht’ je funkce f (x, y) definovan´a v bodˇe [x0 , y0 ], kter´
y je
vnitˇrn´ım bodem mnoˇziny Df . Jestliˇze existuje limita tvaru
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
,
h→0
h
lim
naz´
yv´ame ji parci´
aln´ı derivac´ı funkce f (x, y) podle promˇenn´e x v bodˇe
[x0 , y0 ] a znaˇc´ıme ji
fx (x0 , y0 ),
popˇr.
∂f
(x0 , y0 ).
∂x
Analogicky pak limitu tvaru
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
h→0
h
lim
naz´
yv´ame parci´aln´ı derivac´ı funkce f (x, y) podle promˇenn´e y v bodˇe [x0 , y0 ]
a znaˇc´ıme ji
∂f
(x0 , y0 ).
fy (x0 , y0 ),
popˇr.
∂y
Definice 3.2. Necht’ je funkce f (x1 , x2 , . . . xn ) definovan´a v bodˇe [x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ],
kter´
y je vnitˇrn´ım bodem mnoˇziny Df . Jestliˇze existuje limita tvaru
f (x∗1 + h, x∗2 , . . . , x∗n ) − f (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n )
lim
,
h→0
h
naz´
yv´ame ji parci´
aln´ı derivac´ı funkce f (x1 , x2 , . . . xn ) podle promˇenn´e x1
∗
∗
v bodˇe [x1 , x2 , . . . , x∗n ] a znaˇc´ıme ji
fx1 (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ),
popˇr.
∂f ∗ ∗
(x , x , . . . , x∗n ).
∂x1 1 2
Vˇ
eta 3.3. Necht’ maj´ı funkce f (x1 , x2 , . . . xn ) a g(x1 , x2 , . . . xn ) parci´aln´ı
derivace v bodˇe x∗ = [x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ] podle promˇenn´e xi , i = 1 ≤ i ≤ n. Pak
maj´ı v tomto bodˇe parci´aln´ı derivace tak´e funkce c · f , f + g, f − g, f · g a
f /g, pˇriˇcemˇz plat´ı:
24
1. (c · f )xi (x∗ ) = c · fxi (x∗ ),
2. (f + g)xi (x∗ ) = fxi (x∗ ) + gxi (x∗ ),
3. (f − g)xi (x∗ ) = fxi (x∗ ) − gxi (x∗ ),
4. (f · g)xi (x∗ ) = fxi (x∗ ) · g(x∗ ) + f (x∗ ) · gxi (x∗ ),
fx (x∗ ) · g(x∗ ) + f (x∗ ) · gxi (x∗ )
f
(x∗ ) = i
,
5.
g xi
g 2 (x∗ )
g(x∗ ) 6= 0.
Definice 3.4. Necht’ f (x1 , x2 , . . . xn ) je funkce n promˇenn´
ych. M´a-li funkce
∗
∗
∗
∗
fxi (x1 , x2 , . . . xn ) v bodˇe x = [x1 , x2 , . . . , xn ] parci´aln´ı derivaci podle promˇenn´e
xj , naz´
yv´ame ji parci´
aln´ı derivac´ı druh´
eho ˇ
r´
adu funkce f (x1 , x2 , . . . xn )
v bodˇe x∗ podle promˇenn´
ych xi a xj a znaˇc´ıme ji
fxi xj (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ),
popˇr.
∂f 2
(x∗ , x∗ , . . . , x∗n ).
∂xi ∂xj 1 2
Vˇ
eta 3.5. (Schwarzova) Jestliˇze jsou sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace druh´eho
ˇr´adu funkce f (x, y) spojit´e v bodˇe [x∗ , y ∗ ], pak plat´ı
fxy (x∗ , y ∗ ) = fyx (x∗ , y ∗ ).
Vˇ
eta 3.6. Jestliˇze jsou vˇsechny sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace ˇr´adu k funkce
f (x1 , x2 , . . . xn ) spojit´e v bodˇe [x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ], pak jejich hodnota v tomto bodˇe
nez´avis´ı na poˇrad´ı derivov´an´ı, ale pouze na tom, kolikr´at jsme funkci f podle
jednotliv´ych promˇenn´ych derivovali.
3.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 3.7. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce pˇredepsan´e
vztahem f (x, y) = x3 + 4x2 y + 3xy 2 + y 3 v bodˇe B = [1, 2].
ˇ sen´ı. M˚
Reˇ
uˇzeme postupovat dvˇema zp˚
usoby. Prvn´ı spoˇc´ıv´a v tom, ˇze za
promˇennou x, resp. y ihned dosad´ıme pˇr´ısluˇsn´e hodnoty a pak poˇc´ıt´ame
25
uˇz jen s funkcemi jedn´e promˇenn´e podle zn´am´
ych pravidel pro derivov´an´ı.
Dost´av´ame tedy vztah
f (1, y) = 1 + 4y + 3y 2 + y 3 ,
kter´
y d´al derivujeme podle promˇenn´e y, coˇz n´am d´av´a
fy (1, y) = 4 + 6y + 3y 2 ,
odkud n´am po dosazen´ı vyjde hodnota fy (1, 2) = 28.
Obdobnˇe vypoˇcteme
f (x, 2) = x3 + 8x2 + 12x + 8
a po derivaci podle x obdrˇz´ıme
fx (x, 2) = 3x2 + 16x + 12,
a tedy fx (1, 2) = 31.
Pˇri v´
ypoˇctu samozˇrejmˇe nemus´ıme ihned za promˇenn´e x, y dosadit, ch´apeme-li je jako konstanty. To znamen´a, ˇze pˇri derivov´an´ı podle x zach´az´ıme
s promˇennou y jako s konstantou a naopak. Jestliˇze postupujeme takto, dostaneme
fx (x, y) = 3x2 + 8xy + 3y 2
fy (x, y) = 4x2 + 6xy + 3y 2 ,
odkud n´am opˇet vyjde fx (1, 2) = 31, fy (1, 2) = 28.
Je zˇrejm´e, ˇze druh´
y postup m´a v´
yhodu ve sv´e obecnosti, a dojde-li ke
zmˇenˇe bodu, v nˇemˇz m´a b´
yt derivace vypoˇctena, nemus´ıme v´
ypoˇcet opakovat cel´
y, ale staˇc´ı jen dosadit nov´e hodnoty do v´
yraz˚
u ud´avaj´ıc´ıch fx a fy .
V´
yhodou prvn´ıho postupu je skuteˇcnost, ˇze nˇekdy m˚
uˇze v´est ke zjednoduˇsen´ı
v´
ypoˇctu a sn´ıˇzit tak pravdˇepodobnost, ˇze se pˇri v´
ypoˇctu dopust´ıme chyby.
Pˇ
r´ıklad 3.8. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace funkce f (x, y) = ln(xy) + ex/y .
ˇ sen´ı. Postup bude opˇet zaloˇzen na tom, ˇze pˇri v´
Reˇ
ypoˇctu jednotliv´
ych
parci´aln´ıch derivac´ı budeme druhou promˇennou povaˇzovat za konstantu. Nyn´ı
je ovˇsem zapotˇreb´ı vz´ıt nav´ıc v u
´vahu skuteˇcnost, ˇze pracujeme vlastnˇe se
sloˇzen´
ymi funkcemi, a je tedy nutn´e derivovat souˇcin a pod´ıl uvnitˇr logaritmick´e, resp. exponenci´aln´ı funkce. M´ame tedy
26
x
1
1 1
x
1
.y + exp
.
= + exp
,
fx (x, y) =
x.y
y
y
x y
y
1
x
x
x
1
x
fy (x, y) =
.x + exp
. − 2 = − 2 exp
.
x.y
y
y
y y
y
p
Pˇ
r´ıklad 3.9. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace funkce f (x, y) = x2 + y.
ˇ sen´ı. Ch´apeme-li y jako konstantu, dost´av´ame
Reˇ
1
x
fx (x, y) = p
· 2x = p
.
2 x2 + y
x2 + y
Povaˇzujeme-li v dalˇs´ım za konstantu promˇennou x, vyjde n´am
1
1
fy (x, y) = p
·1= p
.
2
2 x +y
2 x2 + y
Pˇ
r´ıklad 3.10. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace funkce f (x, y) = (x2 + y 2 )exy .
ˇ sen´ı. Ch´apeme-li y jako konstantu, m˚
Reˇ
uˇzeme pouˇz´ıt pravidlo pro souˇcin
funkc´ı, coˇz n´am d´av´a
fx (x, y) = 2x · exy + (x2 + y 2 )yexy = (2x + x2 y + y 3 )exy .
V dalˇs´ım m˚
uˇzeme vyuˇz´ıt symetrie zadan´e funkce vzhledem k promˇenn´
ym x
a y k z´ısk´an´ı v´
ysledku pro parci´aln´ı derivaci podle y. Staˇc´ı ve v´
yrazu fx (x, y)
zamˇenit x za y. Ihned tedy dost´av´ame
fy (x, y) = (2y + xy 2 + x3 )exy .
Doporuˇcujeme nicm´enˇe ˇcten´aˇri, aby v´
ypoˇcet v r´amci cviˇcen´ı provedl pˇr´ımo.
Pˇ
r´ıklad 3.11. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vztahem f (x, y) = tg(x2 − y 2 ).
ˇ sen´ı. Ch´apeme-li y jako konstantu, m˚
Reˇ
uˇzeme pouˇz´ıt opˇet pravidlo pro
derivov´an´ı sloˇzen´e funkce, coˇz n´am d´av´a
fx (x, y) =
1
cos2 (x2
−
y2)
27
· 2x =
2x
− y2)
cos2 (x2
a
fy (x, y) =
1
cos2 (x2
−
y2)
· (−2y) =
−2y
.
− y2)
cos2 (x2
Povˇsimnˇete si, ˇze i v tomto pˇr´ıkladˇe jsme mohli vyuˇz´ıt struktury zadan´e
funkce vzhledem k promˇenn´
ym x a y k z´ısk´an´ı v´
ysledku pro parci´aln´ı derivaci
podle y. Staˇcilo ve v´
yrazu fx (x, y) zamˇenit x za −y.
Pˇ
r´ıklad 3.12. Vypoˇctˇete parci´
paln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vzta2
yz 2
hem f (x, y, z) = x z + e + x3 y 2 z.
ˇ sen´ı. Pˇri v´
Reˇ
ypoˇctu parci´aln´ı derivace podle promˇenn´e x povaˇzujeme promˇenn´e y a z za konstanty. Odtud
1
3x2 y 2 z
fx (x, y, z) = 2xz + 0 + p
· 3x2 y 2 z = 2xz + p
.
2 x3 y 2 z
2 x3 y 2 z
Pˇri v´
ypoˇctu parci´aln´ı derivace podle promˇenn´e y povaˇzujeme promˇenn´e x a
z za konstanty. Odtud
x3 yz
1
2
2
· 2x3 yz = z 2 eyz + p
.
fy (x, y, z) = 0 + z 2 eyz + p
2 x3 y 2 z
x3 y 2 z
Pˇri v´
ypoˇctu parci´aln´ı derivace podle promˇenn´e z povaˇzujeme promˇenn´e x a
y za konstanty. Odtud
1
x3 y 2
2
2
fz (x, y, z) = x2 + 2yzeyz + p
· x3 y 2 = x2 + 2yzeyz + p
.
2 x3 y 2 z
2 x3 y 2 z
Pˇ
r´ıklad 3.13. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace funkce f (u, v, w) = uv +v w +wu .
ˇ sen´ı. Nejprve si uvˇedomme, ˇze pˇri v´
Reˇ
ypoˇctu jednotliv´
ych parci´aln´ıch derivac´ı pracujeme vˇzdy se souˇctem mocninn´e, exponenci´aln´ı a konstantn´ı funkce.
Napˇr. pˇri v´
ypoˇctu fu je uv mocninn´a funkce, wu exponenci´aln´ı funkce a v w
je konstanta. Aplikujeme-li n´am zn´am´e vzorce pro derivov´an´ı tˇechto funkc´ı,
dostaneme
fu (u, v, w) = vuv−1 + 0 + wu ln w = vuv−1 + wu ln w.
28
Pˇri v´
ypoˇctu zbyl´
ych derivac´ı fv , fw m˚
uˇzeme opˇet vyuˇz´ıt symetrick´eho v´
yskytu
promˇenn´
ych, a proto uv´ad´ıme jen v´
ysledky. Opˇet doporuˇcujeme ˇcten´aˇri, aby
v´
ypoˇctem ovˇeˇril jejich spr´avnost.
fv (u, v, w) = uv ln u + w.v w−1
fw (u, v, w) = v w ln v + u.wu−1 .
Pˇ
r´ıklad 3.14. Je d´ana funkce f (x, y) = exy sin x cos y. Vypoˇctˇete fxx a fyy .
ˇ sen´ı. Jen pˇripom´ın´ame, ˇze derivujeme-li funkci v´ıce promˇenn´
Reˇ
ych podle
jednotliv´
ych promˇenn´
ych, obdrˇz´ıme jako v´
ysledek opˇet funkci v´ıce promˇenn´
ych.
Opˇetovn´
ym derivov´an´ım tˇechto funkc´ı obdrˇz´ıme parci´aln´ı derivace druh´eho,
pˇr´ıp. vyˇsˇs´ıho ˇra´du. M´ame tedy
fx (x, y) = cos y(yexy sin x + exy cos x),
fy (x, y) = sin x(xexy cos y − exy sin y).
D´ale pak
fxx = cos y(y 2 exy sin x + 2yexy cos x − exy sin x),
fyy = sin x(x2 exy . cos y − 2xexy sin y − exy cos y).
Pˇ
r´ıklad 3.15. Vypoˇctˇete vˇsechny sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu
2
funkce f (x, y, z) = exy xz 3 .
ˇ sen´ı. Jedn´a se o souˇcin spojitˇe diferencovateln´
Reˇ
ych funkc´ı. Pˇri jeho derivov´an´ı vznikne vˇzdy jen spojit´a funkce. Z tohoto d˚
uvodu nemus´ıme poˇc´ıtat
vˇsechny sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu, jestliˇze se odvol´ame na
Schwarzovu vˇetu, kter´a n´am rovnost nˇekter´
ych z nich zaruˇcuje. Dost´av´ame
tedy
2
2
2
fx (x, y, z) = y 2 exy · xz 3 + exy z 3 = z 3 exy (xy 2 + 1).
D´ale m´ame
2
fxz (x, y, z) = fzx (x, y, z) = 3z 2 exy (xy 2 + 1)
a
2
2
fxy (x, y, z) = fyx (x, y, z) = 2xyz 3 exy (xy 2 + 1) + 2xyz 3 exy =
29
2
= 2xyz 3 exy (xy 2 + 2).
Zb´
yv´a vypoˇc´ıtat sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace, kdy derivujeme podle promˇenn´
ych
y a z. M´ame tedy napˇr.
2
fz (x, y, z) = 3exy xz 2
a
2
fzy (x, y, z) = fyz (x, y, z) = 6x2 yz 2 exy .
Pˇ
r´ıklad 3.16. Je d´ana rovnice
x
∂w
∂w
∂w
+y
+z
= nw.
∂x
∂y
∂z
Ovˇeˇrte, ˇze funkce w = (ax + by + cz)n , kde a, b, c jsou konstanty, je ˇreˇsen´ım
t´eto rovnice.
ˇ sen´ı. Abychom ovˇeˇrili platnost rovnice pro danou funkci, vypoˇcteme
Reˇ
nejdˇr´ıve jej´ı parci´aln´ı derivace podle jednotliv´
ych promˇenn´
ych a pak do rovnice obdrˇzen´e v´
ysledky dosad´ıme. Potˇrebn´e vztahy pro dosazen´ı jsou
∂w
= na(ax + by + cz)n−1 ,
∂x
∂w
= nb(ax + by + cz)n−1 ,
∂y
∂w
= nc(ax + by + cz)n−1 .
∂x
Po dosazen´ı do lev´e strany rovnice dost´av´ame v´
yraz
xna(ax + by + cz)n−1 + ynb(ax + by + cz)n−1 + znc(ax + by + cz)n−1 =
= n(ax + by + cz)n−1 (ax + by + cz) = n(ax + by + cz)n = nw.
Vid´ıme tedy, ˇze funkce w dan´e rovnici vyhovuje.
30
3.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 3.1. Vypoˇctˇete hodnotu parci´aln´ıch derivac´ı prvn´ıho ˇra´du funkce
f (x, y) = xe−y + 3y v bodˇe [1, 0].
Cviˇ
cen´ı 3.2. Vypoˇctˇete hodnotu parci´aln´ıch derivac´ı prvn´ıho ˇra´du funkce
f (x, y) = sin(x + y) v bodˇe [π/6, π/3].
Cviˇ
cen´ı 3.3. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vztahem f (x, y) = ex tg(x − y).
Cviˇ
cen´ı 3.4. Vypoˇ
ete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vzta√ ctˇ
4 x
hem f (x, y) = 3y2 +1 .
Cviˇ
cen´ı 3.5. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vzta3x−y
hem f (x, y) = x+2y
.
Cviˇ
cen´ı 3.6. Vypoˇ
aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vzta√ctˇete parci´
y/z
hem f (x, y, z) = 2 xy − ye .
Cviˇ
cen´ı 3.7. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce dan´e vztahem f (w, x, y, z) = w2 u2 − wx3 + xu cos(wz 2 ) + (2y 2 z)4 .
Cviˇ
cen´ı 3.8. V´
ypoˇctem ovˇeˇrte, ˇze pro funkci f (x, y) = e−3x cos y plat´ı rovnost fxy = fyx .
Cviˇ
cen´ı 3.9. V´
ypoˇctem ovˇeˇrte, ˇze pro funkci f (x, y) = ln(x+y) plat´ı rovnost
fxy = fyx .
p
Cviˇ
cen´ı 3.10. Ovˇeˇrte, ˇze funkce u = 1/ x2 + y 2 + z 2 je ˇreˇsen´ım Laplaceovy
rovnice uxx + uyy + uzz = 0.
31
4
4.1
Diferenci´
al funkce, Taylor˚
uv polynom
Definice a vˇ
ety
ˇ
Definice 4.1. Rekneme,
ˇze funkce f : R2 → R definovan´a v okol´ı bodu
P = [x0 , y0 ] je v tomto bodˇe diferencovateln´
a, jestliˇze existuj´ı re´aln´a ˇc´ısla
A, B takov´a, ˇze plat´ı
f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − (Ah + Bk)
√
= 0.
[h,k]→[0,0]
h2 + k 2
lim
(4.1)
Line´arn´ı funkce Ah + Bk promˇenn´
ych h, k se naz´
yv´a tot´
aln´ı (neboli u
´pln´
y)
diferenci´
al funkce f v bodˇe P = [x0 , y0 ]. Oznaˇcujeme df (x0 , y0 )(h, k), pˇr´ıp.
df (P )(h, k) nebo df (x0 , y0 ).
Vˇ
eta 4.2. Je-li funkce f diferencovateln´a v bodˇe P = [x0 , y0 ], pak m´a v tomto
bodˇe parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu a plat´ı A = fx (P ), B = fy (P ), tj.
df (P )(h, k) = fx (P )h + fy (P )k.
(4.2)
Vˇ
eta 4.3. M´a-li funkce f v bodˇe P = [x0 , y0 ] spojit´e parci´aln´ı derivace
prvn´ıho ˇr´adu, pak je v tomto bodˇe diferencovateln´a.
Vˇ
eta 4.4. Je-li funkce f diferencovateln´a v bodˇe P = [x0 , y0 ], pak je v tomto
bodˇe spojit´a.
Pozn´
amka 4.5. Diferenci´al lze vyuˇz´ıt k pˇribliˇzn´emu v´
ypoˇctu funkˇcn´ıch
hodnot
.
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(h, k).
(4.3)
Vˇ
eta 4.6. Teˇcn´a rovina plochy z = f (x, y) v bodˇe T = [x0 , y0 , f (x0 , y0 )]
existuje pr´avˇe tehdy, kdyˇz je funkce f diferencovateln´a v bodˇe P = [x0 , y0 ].
Rovnice teˇcn´e roviny v bodˇe T je d´ana vztahem
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
32
(4.4)
Vˇ
eta 4.7. Norm´ala ke grafu funkce z = f (x, y) v bodˇe T je urˇcena parametrick´ymi rovnicemi
n : x = x0 − fx (x0 , y0 )t,
y = y0 − fy (x0 , y0 )t,
(4.5)
z = z0 + t,
kde t ∈ R.
ˇ
Definice 4.8. Rekneme,
ˇze funkce f : Rn → R definovan´a v okol´ı bodu
x∗ = [x∗1 , . . . , x∗n ] ∈ Rn je v tomto bodˇe diferencovateln´a, jestliˇze existuje
A = (A1 , . . . , An ) ∈ Rn takov´e, ˇze pro h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn dostateˇcnˇe
mal´e plat´ı
f (x∗ + h) − f (x∗ ) − hA, hi
lim
= 0,
(4.6)
h→0
khk
p
Pn
kde khk = h21 + . . . + h2n a hA, hi =
arn´ı souˇcin v Rn .
i=1 Ai hi je skal´
Line´arn´ı funkci df (x∗ )(h) = hA, hi naz´
yv´ame tot´
aln´ım diferenci´
alem
∗
funkce f v bodˇe x .
Definice 4.9. Necht’ funkce f : R2 → R m´a v nˇejak´em okol´ı bodu [x0 , y0 ]
parci´aln´ı derivace aˇz do ˇr´adu m, kter´e jsou v tomto bodˇe spojit´e. Tot´
aln´ım
diferenci´
alem m-t´
eho ˇ
r´
adu funkce f v bodˇe [x0 , y0 ] rozum´ıme homogenn´ı
funkci m-t´eho stupnˇe
m X
m
∂ mf
m
(x0 , y0 )hj k m−j .
(4.7)
d f (x0 , y0 )(h, k) =
j ∂y m−j
j
∂x
j=0
Pozn´
amka 4.10. Pro pˇr´ıpad n promˇenn´
ych je diferenci´al m-t´eho ˇr´adu homogenn´ı funkce n promˇenn´
ych h = (h1 , . . . , hn )
dm f (x∗ )(h) =
X
j1 +...+jn
m!
∂ mf
∗ j1
jn
j1
jn (x )h1 . . . hn .
j
!
.
.
.
j
!
n ∂x1 . . . ∂xn
=m 1
Tento vztah lze form´alnˇe zapsat n´asledovnˇe
m
∂
∂
m
∗
d f (x )(h) =
h1 + . . . +
hn
f (x∗ ),
(4.8)
∂x1
∂xn
ji
pˇriˇcemˇz po norm´aln´ım umocnˇen´ı nahrad´ıme souˇciny ∂x∂ i f (x∗ ) ˇcleny
∂ ji f
∗
j (x ),
∂xi i
i = 1, . . . , n.
33
Vˇ
eta 4.11. Necht’ funkce P (x, y) a Q(x, y) maj´ı spojit´e parci´aln´ı derivace
na jednoduˇse souvisl´e oblasti M ⊂ R2 . Pak v´yraz
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
je tot´aln´ım diferenci´alem nˇejak´e funkce na mnoˇzinˇe M pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı
Py (x, y) = Qx (x, y) pro kaˇzd´e [x, y] ∈ M .
Vˇ
eta 4.12. Necht’ funkce f : Rn → R m´a v nˇejak´em okol´ı O(x∗ ) bodu
x∗ = [x∗1 , . . . , x∗n ] spojit´e parci´aln´ı derivace ˇr´adu m + 1, m ∈ N. Pak pro
libovoln´e dostateˇcnˇe mal´e h = x − x∗ existuje θ ∈ (0, 1) takov´e, ˇze plat´ı
f (x∗ + h) = f (x∗ ) +
+ ... +
kde
Rm (x) =
1
1
df (x∗ )(h) + d2 f (x∗ )(h) +
1!
2!
1 m
d f (x∗ )(h) + Rm (x),
m!
1
dm+1 f (x∗ + θh)(h).
(m + 1)!
(4.9)
(4.10)
Pozn´
amka 4.13. V´
yraz (4.9) naz´
yv´ame Taylor˚
uv vzorec ˇra´du m nebo tak´e
Taylorova formule. Hodnota Rm (x) ze vztahu (4.10) se naz´
yv´a Taylor˚
uv zbytek. Polynom
Tm (x) = f (x∗ ) +
1
1
1 m
df (x∗ )(h) + d2 f (x∗ )(h) + . . . +
d f (x∗ )(h), (4.11)
1!
2!
m!
se naz´
yv´a Taylor˚
uv polynom m-t´eho ˇr´adu funkce f v bodˇe x∗ . V pˇr´ıpadˇe, ˇze
x∗ = [0, . . . , 0], mluv´ıme o vzorci (4.9) jako o Maclaurinovˇe vzorci.
4.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 4.14. Rozhodnˇete, zda je funkce f (x, y) = x2 + y cos x diferencovateln´a v bodˇe [ π2 , 1].
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ım oborem funkce f je Df = R2 . Vyuˇzijeme vˇetu 4.3, kter´a
Reˇ
ˇr´ık´a, ˇze spojit´e parci´aln´ı derivace funkce f v bodˇe P d´avaj´ı diferencovatelnost
34
funkce f v bodˇe P . V naˇsem pˇr´ıpadˇe P = [ π2 , 1]. Spoˇcteme parci´aln´ı derivace
funkce f v bodˇe [ π2 , 1], tj.
fx (x, y) = 2x − y sin x,
fx ( π2 , 1) = π − 1,
fy (x, y) = cos x,
fy ( π2 , 1) = 0.
Tyto funkce jsou spojit´e na cel´em sv´em definiˇcn´ım oboru, tedy i v bodˇe [ π2 , 1].
Funkce f je diferencovateln´a v bodˇe [ π2 , 1].
Pozn´
amka 4.15. Tento pˇr´ıklad lze tak´e ˇreˇsit pomoc´ı definice 4.1, tj. ovˇeˇr´ıme,
(x0 ,y0 )−(Ah+Bk)
√
zda limita lim f (x0 +h,y0 +k)−f
= 0, kde f (x, y) = x2 + y cos x
h2 +k2
a
[h,k]→[0,0]
[x0 , y0 ] = [ π2 , 1].
Pˇ
r´ıklad 4.16. Pomoc´ı tot´aln´ıho diferenci´alu pˇribliˇznˇe vypoˇctˇete
√
3,01 · 0,99.
ˇ sen´ı. Oznaˇcme f (x, y) = √x · y. Zvolme bod [x0 , y0 ] = [3, 1] a spoˇcteme
Reˇ
diference h = x − x0 = 0,01, k = y − y0 = −0,01. Pro v´
ypoˇcet pouˇzijeme
.
vztah f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )(h, k). V bodˇe [3, 1] a s diferencemi
h = 0,01, k = −0,01 m´ame
.
f (3,01, 0,99) = f (3, 1) + df (3, 1)(0,01, −0,01).
Ze vztahu (4.2) dostaneme
y
y
df (x, y)(h, k) = √ h + √ k,
2 xy
2 xy
1
3
1
√ .
df (3, 1)(0,01, −0,01) = √ · 0,01 + √ · (−0,01) = −
2 3
2 3
100 3
Pak dosazen´ım do v´
yˇse uveden´eho vztahu dost´av´ame
p
√
1
299
.
√ =
√ .
3,01 · 0,99 = f (3,01, 0,99) = f (3, 1) + df (3, 1) = 3 −
100 3
100 3
Pˇ
r´ıklad 4.17. Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al funkce f (x, y) = xy ln(x + y)
v obecn´em bodˇe.
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ım oborem dan´e funkce je Df = {[x, y] ∈ R2 ; x > −y}.
Reˇ
Spoˇcteme prvn´ı parci´aln´ı derivace, tj.
fx (x, y) = y ln(x + y) +
xy
(x + y)y ln(x + y) + xy
=
,
x+y
x+y
35
fy (x, y) = x ln(x + y) +
xy
(x + y)x ln(x + y) + xy
=
.
x+y
x+y
Jelikoˇz parci´aln´ı derivace jsou spojit´e v kaˇzd´em bodˇe definiˇcn´ıho oboru Df ,
tot´aln´ı diferenci´al existuje. Dosazen´ım do vztahu (4.2) dostaneme
df (x, y)(h, k) =
(x + y)x ln(x + y) + xy
(x + y)y ln(x + y) + xy
h+
k.
x+y
x+y
Pˇ
r´ıklad 4.18. Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al funkce f (x, y, z) = xy/z v bodˇe
[2, 1, 1].
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ı obor funkce f je Df = {[x, y, z] ∈ R3 ; x > 0, z 6= 0}.
Reˇ
Funkce f m´a spojit´e parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu v libovoln´em bodˇe sv´eho
definiˇcn´ıho oboru, tud´ıˇz diferenci´al existuje. Spoˇcteme prvn´ı parci´aln´ı derivace a dosad´ıme bod [2, 1, 1]
fx (x, y, z) =
yx(y/z)−1
,
z
fx (2, 1, 1) = 1,
fy (x, y, z) =
xy/z ln x
,
z
fy (2, 1, 1) = 2 ln 2,
fz (x, y, z) = −
xy/z y ln x
,
z2
fz (2, 1, 1) = −2 ln 2.
Tot´aln´ı diferenci´al v bodˇe [2, 1, 1] podle vzorce (4.8) je
df (2, 1, 1)(h1 , h2 , h3 ) = h1 + 2 ln 2 h2 − 2 ln 2 h3 .
Pˇ
r´ıklad 4.19. Urˇcete teˇcnou rovinu a norm´alu ke grafu funkce f (x, y) =
1−x+y
v bodˇe [−1, 1].
ln 1+x+y
ˇ sen´ı. Nejdˇr´ıve dopoˇcteme tˇret´ı souˇradnici bodu T :
Reˇ
z0 = f (x0 , y0 ) = f (−1, 1) = ln 3.
1−x+y
Funkce je definov´ana pro 1+x+y
> 0. Spoˇcteme parci´aln´ı derivace prvn´ıho
ˇra´du
−2(y + 1)
2x
fx (x, y) =
, fy (x, y) =
2
2
(y + 1) − x
(y + 1)2 − x2
a urˇc´ıme jejich hodnoty v bodˇe [−1, 1]
4
fx (−1, 1) = − ,
3
2
fy (−1, 1) = − .
3
36
Parci´aln´ı derivace jsou v bodˇe [−1, 1] spojit´e, tud´ıˇz funkce f je v tomto
bodˇe diferencovateln´a a tedy existuje teˇcn´a rovina. Dosazen´ım do rovnice
pro teˇcnou rovinu (4.4) m´ame
4
2
4
2
2
z − ln 3 = − (x + 1) − (y − 1) ⇒ x + y + z + − ln 3 = 0.
3
3
3
3
3
Rovnici norm´aly z´ısk´ame dosazen´ım do vztahu (4.5)
4
n : x = −1 + t,
3
2
y = 1 + t,
3
z = ln 3 + t,
t ∈ R.
p
Pˇ
r´ıklad 4.20. Na grafu funkce f (x, y) = 1 − x2 − y 2 najdˇete bod, v nˇemˇz
je teˇcn´a rovina rovnobˇeˇzn´a s rovinou ρ : 12x + 3y − z = 0.
ˇ sen´ı. Hled´ame bod T = [x0 , y0 , z0 ]. Z analytick´e geometrie v´ıme, ˇze
Reˇ
dvˇe rovnobˇeˇzn´e roviny maj´ı koline´arn´ı norm´alov´
y vektor. Urˇc´ıme si tedy
norm´alov´
y vektor roviny ρ, znaˇc´ıme nρ , teˇcn´e roviny t, znaˇc´ıme nt , a jelikoˇz
jsou tyto vektory rovnobˇeˇzn´e, plat´ı nt = knρ , kde k ∈ R \ {0}. Norm´alov´
y
vektor roviny ρ urˇc´ıme ze zad´an´ı, nρ = (−12, −3, 1). Norm´alov´
y vektor teˇcn´e
roviny t urˇc´ıme pomoc´ı parci´aln´ıch derivac´ı funkce f ,
!
y0
x0
,p
,1 ,
nt = (−fx (x0 , y0 ), −fy (x0 , y0 ), 1) = p
1 − x20 − y02
1 − x20 − y02
a ze vztahu nt = knρ
nt = (−fx (x0 , y0 ), −fy (x0 , y0 ), 1) = k(−12, −3, 1) = (−12k, −3k, k).
Z posledn´ı rovnosti plyne, ˇze k = 1. Porovn´an´ım prvn´ıch dvou sloˇzek norm´alov´
ych vektor˚
u dost´av´ame
x0
p
= −12,
1 − x20 − y02
y0
p
= −3.
1 − x20 − y02
Aby tyto rovnosti byly splnˇeny, mus´ı b´
yt hodnoty x0 , y0 z´aporn´e. Poˇc´ıt´ame
√ 3 , √ 1 ].
a dostaneme T = [− √12
,
−
154
154
154
2
Pˇ
r´ıklad 4.21. Zjistˇete, zda dan´
y v´
yraz (y − sinx2 y )dx + (x +
tot´aln´ım diferenci´alem nˇejak´e funkce. Pokud ano, urˇcete ji.
37
sin 2y
x
+ 1)dy je
ˇ sen´ı. Nejprve ovˇeˇr´ıme, zda je zadan´
Reˇ
y v´
yraz opravdu diferenci´alem. Oznaˇc´ısin 2y
sin2 y
me P (x, y) = y − x2 a Q(x, y) = x + x + 1. Podle vˇety 4.11 mus´ı platit,
ˇze Py (x, y) = Qx (x, y). Spoˇcteme parci´aln´ı derivace
x2 − sin 2y
Py (x, y) =
,
x2
x2 − sin 2y
Qx (x, y) =
x2
a dost´av´ame, ˇze Py (x, y) = Qx (x, y). Zadan´
y v´
yraz je tedy diferenci´alem jist´e
kmenov´e funkce f . D´ale plat´ı
Z sin2 y
sin2 y
y−
dx
=
yx
+
f (x, y) =
+ ϕ(y),
x2
x
kde ϕ(y) je integraˇcn´ı konstantou, nebot’ jej´ı derivace podle x je nulov´a.
Derivov´an´ım funkce f podle promˇenn´e y a dosazen´ım do vztahu fy = Q
dost´av´ame
sin 2y
sin 2y
+ ϕ0 (y) = x +
+ 1.
fy = x +
x
x
Odtud m´ame, ˇze ϕ0 (y) = 1, tedy ϕ(y) = y + c. Spoˇcetli jsme, ˇze zadan´
y v´
yraz
je diferenci´alem funkce
f (x, y) = yx +
sin2 y
+ y + c,
x
c ∈ R.
Pˇ
r´ıklad 4.22. Najdˇete Taylor˚
uv vzorec druh´eho ˇra´du funkce f (x, y) = x3 y 2
v bodˇe [−2, 1].
ˇ sen´ı. Podle (4.11) bude platit
Reˇ
1
f (x, y) = f (−2, 1) + df (−2, 1)(h) + d2 f (−2, 1)(h) + R2 (x, y),
2
kde h = (h1 , h2 ) = (x + 2, y − 1) a R2 (x, y) = 3!1 d3 f (−2 + θh1 , 1 + θh2 )(h1 , h2 ).
Oznaˇcme ν = −2 + θh1 a µ = 1 + θh2 .
Funkce f m´a spojit´e parci´aln´ı derivace aˇz do tˇret´ıho ˇra´du v libovoln´em bodˇe
R2 , nebude tedy z´aviset na poˇrad´ı derivov´an´ı.
fx (x, y) = 3x2 y 2 ,
fy (x, y) = 2x3 y,
fxx (x, y) = 6xy 2 ,
fyy (x, y) = 2x3 ,
fxy (x, y) = 6x2 y,
38
fxxx (x, y) = 6y 2 ,
fyyy (x, y) = 0,
fxxy (x, y) = 12xy,
fxyy (x, y) = 6x2 .
Po dosazen´ı bodu [−2, 1] vyjde
f (−2, 1) = −8,
fy (−2, 1) = −16,
fx (−2, 1) = 12,
fyy (−2, 1) = −16
fxx (−2, 1) = −12,
fyx (−2, 1) = 24.
Diferenci´aly potˇrebn´e k sestaven´ı Taylorova polynomu (4.11) maj´ı tvar:
df (−2, 1)(h) = fx (−2, 1)h1 + fy (−2, 1)h2 = 12(x + 2) − 16(y − 1),
d2 f (−2, 1)(h) = fxx (−2, 1)h21 + 2fxy (−2, 1)h1 h2 + fyy (−2, 1)h22 =
= −12(x + 2)2 + 48(x + 2)(y − 1) − 16(y − 1)2 .
Taylor˚
uv polynom je
1
T2 (x, y) = f (−2, 1) + df (−2, 1)(x + 2, y − 1) + d2 f (−2, 1)(x + 2, y − 1) =
2
= −8 + 12(x + 2) − 16(y − 1) − 6(x + 2)2 + 24(x + 2)(y − 1) − 8(y − 1)2 .
Abychom vyj´adˇrili Taylor˚
uv zbytek podle vzorce (4.10), potˇrebujeme diferenci´al tˇret´ıho ˇr´adu, tj.
d3 f (ν, µ)(h1 , h2 ) = 6µ2 h31 + 3(12νµ)h21 h2 + 3(6ν 2 )h1 h22 .
Pak
1 3
d f (ν, µ)(x + 2, y − 1) =
3!
= µ2 (x + 2)3 + 6νµ(x + 2)2 (y − 1) + 3ν 2 (x + 2)(y − 1)2 .
R2 (x, y) =
Celkovˇe pro funkci f (x, y) dost´av´ame
f (x, y) = T2 (x, y) + R2 (x, y) =
= −8 + 12(x + 2) − 16(y − 1) − 6(x + 2)2 + 24(x + 2)(y − 1) −
− 8(y − 1)2 + µ2 (x + 2)3 + 6νµ(x + 2)2 (y − 1) + 3ν 2 (x + 2)(y − 1)2 .
Pˇ
r´ıklad
√ 4.23. Pomoc´ı Taylorova polynomu druh´eho ˇr´adu pˇribliˇznˇe vypoˇctˇete 3,01 · 0,99.
.
ˇ sen´ı. K v´
Reˇ
ypoˇctu pouˇzijeme vztah T2 (x, y) = f (x, y). Zvol´ıme funkci
√
f (x, y) = x · y, bod [x0 , y0 ] = [3, 1]. Spoˇcteme diference h = x − x0 = 0,01,
39
k = y − y0 = −0,01. Nejdˇr´ıve spoˇcteme poˇzadovan´e parci´aln´ı derivace funkce
√
f (x, y) = x · y, tj.
y
fx (x, y) = √ ,
2 xy
1
fxy (x, y) = √ ,
4 xy
x
fy (x, y) = √ ,
2 xy
fxx (x, y) = −
fyy (x, y) = −
y2
3
4(xy) 2
,
x2
3 .
4(xy) 2
Spoˇcteme hodnoty parci´aln´ıch derivac´ı v bodˇe [3, 1]
1
3
1
fx (3, 1) = √ , fxy (3, 1) = − √ , fxx (3, 1) = − √ ,
2 3
4 3
4 27
3
1
fy (3, 1) = √ , fyy (3, 1) = √ .
2 3
4 3
Vypoˇcten´e hodnoty dosad´ıme do vzorce (4.11)
1
T2 (x, y) = f (3, 1) + df (3, 1)(h) + d2 f (3, 1)(h),
2
kde h = (h1 , h2 ) a h1 = x − 3, h2 = y − 1. Diferenci´aly potˇrebn´e k sestaven´ı
Taylorova polynomu maj´ı tvar:
3
1
df (3, 1)(h) = fx (3, 1)h1 + fy (3, 1)h2 = √ (x − 3) + √ (y − 1),
2 3
2 3
d2 f (3, 1)(h) = fxx (3, 1)h21 + 2fxy (3, 1)h1 h2 + fyy (3, 1)h22 =
3
1
1
= − √ (x − 3)2 − √ (x − 3)(y − 1) + √ (y − 1)2 .
4 27
2 3
4 3
Taylor˚
uv polynom je roven
√
1
3
T2 (x, y) =
3 + √ (x − 3) + √ (y − 1) +
2 3
2 3
1
1
3
1
2
2
+
− √ (x − 3) − √ (x − 3)(y − 1) + √ (y − 1) .
2
4 27
2 3
4 3
Odtud
p
1
3
1
. √
3,01 · 0,99 = 3 + √ 0,01 + √ (−0,01) − √ (0,01)2 −
2 3
2 3
8 27
3
1
− √ · 0,01(−0,01) + √ (−0,01)2 = 1,726 325 . . . .
4 3
8 3
Pˇ
r´ıklad 4.24. Je d´ana funkce f (x, y) = x3 e2y a bod P = [−1, 0].
40
a) Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al tˇret´ıho ˇr´adu funkce f v bodˇe P .
b) Urˇcete Taylor˚
uv polynom tˇret´ıho ˇr´adu funkce f v bodˇe P .
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ı obor je Df = R2 . Spoˇcteme vˇsechny potˇrebn´e parci´aln´ı
Reˇ
derivace aˇz do tˇret´ıho ˇr´adu. Derivace funkce f jsou spojit´e, a tedy nebude
z´aviset na poˇrad´ı derivov´an´ı.
fx (x, y) = 3x2 e2y ,
fy (x, y) = 2x3 e2y ,
fxx (x, y) = 6xe2y ,
fyy (x, y) = 4x3 e2y ,
fxy = 6x2 e2y ,
fxxx (x, y) = 6e2y
fyyy (x, y) = 8x3 e2y ,
fxyx (x, y) = 12xe2y ,
fxyy (x, y) = 12x2 e2y .
Po dosazen´ı bodu [−1, 0] vyjde
fx (−1, 0) = 3,
fy (−1, 0) = −2,
fxx (−1, 0) = −6,
fyy (−1, 0) = −4,
fxy (−1, 0) = 6,
fxxx (−1, 0) = 6,
fyyy (−1, 0) = −8,
fxxy (−1, 0) = −12,
fyyx (−1, 0) = 12.
a) Tot´aln´ı diferenci´al tˇret´ıho ˇra´du v bodˇe [−1, 0] existuje a podle vzorce (4.8)
je
d3 f (−1, 0)(h, k) = 6h3 − 36h2 k + 36hk 2 − 8k 3 .
b) Vypoˇcten´e hodnoty dosad´ıme do vztahu (4.11)
T3 (x, y) = f (−1, 0) +
1
1
1
df (−1, 0)(h) + d2 f (−1, 0)(h) + d3 f (−1, 0)(h),
1!
2!
3!
kde h = (h1 , h2 ) a h1 = x + 1, h2 = y. Diferenci´aly potˇrebn´e k sestaven´ı
Taylorova polynomu maj´ı tvar:
df (−1, 0)(h) = fx (−1, 0)h1 + fy (−1, 0)h2 = 3(x + 1) − 2y,
d2 f (−1, 0)(h) = fxx (−1, 0)h21 + 2fxy (−1, 0)h1 h2 + fyy (−1, 0)h22 =
= −6(x + 1)2 + 12(x + 1)y − 4y 2 ,
d3 f (−1, 0)(h) = fxxx (−1, 0)h31 + 3fxxy (−1, 0)h21 h2 + 3fxyy (−1, 0)h1 h22 +
+fyyy (−1, 0)h32 = 6(x + 1)3 − 36(x + 1)2 y + 36(x + 1)y 2 − 8y 3 .
41
Spoˇcten´e diferenci´aly dosad´ıme do vztahu pro Taylor˚
uv polynom a dost´av´ame
T3 (x, y) = −1 + 3(x + 1) − 2y +
1
[−6(x + 1)2 + 12(x + 1)y − 4y 2 ] +
2!
1
[6(x + 1)3 − 36(x + 1)2 y + 36(x + 1)y 2 − 8y 3 ] =
3!
4
= x3 − y 3 + 4y 2 − 6x2 y + 6xy 2 − 6xy − 2y.
3
+
y
Pˇ
r´ıklad 4.25. Je d´ana funkce f (x, y, z) = x z a bod P = [2, 1, 1].
a) Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al druh´eho ˇra´du funkce f v bodˇe P .
b) Urˇcete Taylor˚
uv polynom druh´eho ˇra´du funkce f v bodˇe P .
ˇ sen´ı. Definiˇcn´ı obor funkce f je Df = {[x, y, z] ∈ R3 ; x > 0, z 6= 0}.
Reˇ
Protoˇze funkce f m´a spojit´e parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu v libovoln´em
bodˇe sv´eho definiˇcn´ıho oboru, diferenci´al existuje. Z pˇr´ıkladu 4.18 zn´ame
hodnoty prvn´ıch parci´aln´ıch derivac´ı. Nyn´ı vypoˇc´ıt´ame parci´aln´ı derivace
druh´eho ˇra´du:
x(y/z)−1 (z + y ln x)
x(y/z)−2 y(y − z)
,
f
(x,
y,
z)
=
,
xy
z2
z2
xy/z ln2 x
yx(y/z)−1 (z + y ln x)
,
f
(x,
y,
z)
=
,
fxz (x, y, z) = −
yy
z3
z2
zxy/z ln(x)(z + y ln x)
fyz (x, y, z) = −
,
z3
y ln(x)xy/z (2z + y ln x)
fzz (x, y, z) =
.
z4
fxx (x, y, z) =
Dosad´ıme bod [2, 1, 1]
fxx (2, 1, 1) = 0,
fxz (2, 1, 1) = −1 − ln 2,
fyz (2, 1, 1) = −2 ln 2 − 2 ln2 2,
fxy (2, 1, 1) = 1 + ln 2,
fyy (2, 1, 1) = 2 ln2 2,
fzz (2, 1, 1) = 4 ln 2 + 2 ln2 2.
a) Tot´aln´ı diferenci´al druh´eho ˇra´du v bodˇe [2, 1, 1] z´ısk´ame dosazen´ım do
vzorce (4.8)
d2 f (2, 1, 1)(h1 , h2 , h3 ) = 2 ln2 2h22 + (4 ln 2 + 2 ln2 2)h23 + 2(1 + ln 2)h1 h2 −
− 2(1 + ln 2)h1 h3 − 2(2 ln 2 + 2 ln2 2)h2 h3 .
42
b) Taylor˚
uv polynom druh´eho ˇra´du v bodˇe [2, 1, 1] z´ısk´ame dosazen´ım do
vzorce (4.11)
1
T2 (x, y, z) = f (2, 1, 1) + df (2, 1, 1)(h) + d2 f (2, 1, 1)(h),
2
kde h = (h1 , h2 , h3 ) a h1 = x−2, h2 = y −1, h3 = z −1. Diferenci´aly potˇrebn´e
k sestaven´ı Taylorova polynomu maj´ı tvar:
df (2, 1, 1)(h) = fx (2, 1, 1)h1 + fy (2, 1, 1)h2 + fz (2, 1, 1)h3 =
= (x − 2) + 2 ln 2(y − 1) − 2 ln 2(z − 1),
d2 f (2, 1, 1)(h) =
+
=
+
−
fxx (2, 1, 1)h21 + fyy (2, 1, 1)h22 + fzz (2, 1, 1)h23 +
2fxy (2, 1, 1)h1 h2 + 2fxz (2, 1, 1)h1 h3 + 2fyz (2, 1, 1)h2 h3 =
2 ln2 2(y − 1)2 + (4 ln 2 + 2 ln2 2)(z − 1)2 +
2(1 + ln 2)(x − 2)(y − 1) − 2(1 + ln 2)(x − 2)(z − 1) −
2(2 ln 2 + 2 ln2 2)(y − 1)(z − 1).
Spoˇcten´e diferenci´aly dosad´ıme do vztahu pro Taylor˚
uv polynom a dost´av´ame
T2 (x, y, z) = 2 + (x − 2) + 2 ln 2(y − 1) − 2 ln 2(z − 1) + ln2 2(y − 1)2 +
+ (2 ln 2 + ln2 2)(z − 1)2 + (1 + ln 2)(x − 2)(y − 1) −
− (1 + ln 2)(x − 2)(z − 1) − (2 ln 2 + 2 ln2 2)(y − 1)(z − 1).
43
4.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 4.1. Pomoc´ı definice ovˇeˇrte, zda df (1, 0)(h1 , h2 ) = 0 pro zadanou
funkci f (x, y) = x2 − 2x + y 2 .
Cviˇ
cen´ı 4.2. Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al funkce f (x, y, z) = yz 2 tg(x + xy )
v bodˇe [ π8 , 1, 2].
x+y
Cviˇ
cen´ı 4.3. Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al funkce f (x, y) = arctg 1−xy
v bodˇe
[−1, 1].
Cviˇ
cen´ı 4.4. V bodˇe [4, 1] urˇcete tot´aln´ı diferenci´al druh´eho ˇra´du funkce
f (x, y) = sin(πxy + ln y).
Cviˇ
cen´ı 4.5. V bodˇe [−4, π3 , 2] urˇcete tot´aln´ı diferenci´al druh´eho ˇra´du funkce
2
f (x, y, z) = ez +x cos y.
Cviˇ
cen´ı 4.6. Urˇcete tot´aln´ı diferenci´al tˇret´ıho ˇr´adu funkce f (x, y) = x ln xy
v obecn´em bodˇe.
Cviˇ
cen´ı 4.7. Zjistˇete, zda dan´
y v´
yraz (y 2 sin 2x)dx + (−y cos 2x − 4)dy je
tot´aln´ım diferenci´alem nˇejak´e funkce. Pokud ano, urˇcete ji.
Cviˇ
cen´ı 4.8. Najdˇete rovnici teˇcn´e roviny a norm´aly ke grafu funkce
f (x, y) = ln(2x3 − 8y 2 ) v bodˇe [2, 1].
Cviˇ
cen´ı 4.9.
uv polynom druh´eho ˇrp
a´du
√ x Spoˇctˇete Maclaurin˚
√ funkce
e + sin 1.
f (x, y) = e + sin 2y a s jeho pomoc´ı pˇribliˇznˇe urˇcete
Cviˇ
uv polynom tˇret´ıho ˇr´adu se stˇredem v bodˇe
√cen´ı 4.10. Spoˇctˇete Taylor˚
[1, 3] pro funkci f (x, y) = arccos √ x2 2 .
x +y
Cviˇ
cen´ı 4.11. Urˇcete Taylor˚
uv polynom druh´eho ˇr´adu se stˇredem v bodˇe
[1, 2, 4] pro funkci f (x, y, z) = x−y
.
z
44
5
5.1
Parci´
aln´ı derivace sloˇ
zen´
ych funkc´ı
Definice a vˇ
ety
Definice 5.1. Necht’ jsou funkce u = g(x, y) a v = h(x, y) definov´any
na mnoˇzinˇe Ω ⊂ R2 , pˇriˇcemˇz mnoˇzina vˇsech pˇr´ısluˇsn´
ych bod˚
u [u, v] leˇz´ı v
2
mnoˇzinˇe Γ ⊂ R , na kter´e je definov´ana funkce z = f (u, v). Pak je na mnoˇzinˇe
Ω definov´ana funkce
z = F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)),
kterou naz´
yv´ame sloˇ
zenou funkc´ı. Funkce g, h naz´
yv´ame jej´ımi vnitˇ
rn´ımi
sloˇ
zkami a funkci f jej´ı vnˇ
ejˇ
s´ı sloˇ
zkou.
Pozn´
amka 5.2. Podobnˇe jako pro funkce dvou promˇenn´
ych m˚
uˇzeme definovat pˇredpisem
w = F (x, y, z) = f (g1 (x, y, z), g2 (x, y, z), g3 (x, y, z))
sloˇzenou funkci tˇr´ı promˇenn´
ych, pˇriˇcemˇz jej´ımi vnitˇrn´ımi sloˇzkami jsou funkce
u1 = g1 (x, y, z), u2 = g2 (x, y, z) a u3 = g3 (x, y, z) a vnˇejˇs´ı sloˇzkou je funkce
w = f (u1 , u2 , u3 ). Obecnˇe je pak pˇredpisem
z = F (x1 , x2 ..., xn ) = f (g1 (x1 , x2 ..., xn ), g2 (x1 , x2 ..., xn ), ..., gm (x1 , x2 ..., xn ))
definovan´a sloˇzen´a funkce n promˇenn´
ych, jej´ımiˇz vnitˇrn´ımi sloˇzkami jsou
funkce uk = gk (x1 , x2 ..., xn ), 1 ≤ k ≤ m a vnˇejˇs´ı sloˇzkou je funkce m promˇenn´
ych z = f (u1 , u2 , ..., um ).
Vˇ
eta 5.3. Necht’ funkce u = g(x, y) a v = h(x, y) maj´ı parci´aln´ı derivace
prvn´ıho ˇr´adu na otevˇren´e mnoˇzinˇe Ω a funkce z = f (u, v) je diferencovateln´a v kaˇzd´em bodˇe otevˇren´e mnoˇziny Γ. Potom za pˇredpoklad˚
u uveden´ych v
pˇredch´azej´ıc´ı definici m´a sloˇzen´a funkce z = F (x, y) = f (g(x, y), k(x, y)) na
mnoˇzinˇe Ω parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu a plat´ı vztahy
∂z ∂u ∂z ∂v
∂z
=
+
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
a
45
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
.
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
Vˇ
eta 5.4. Necht’ jsou funkce u1 = g1 (x1 , ..., xn ),...,um = gm (x1 , ..., xn ) spojitˇe diferencovateln´e na oblasti Ω a funkce z = f (u1 , ..., um ) je spojitˇe diferencovateln´a na oblasti Γ. Potom je sloˇzen´a funkce
z = F (x1 , .., xn ) = f (g1 (x1 , .., xn ), ..., gm (x1 , .., xn ))
na oblasti Ω spojitˇe diferencovateln´a a pro jej´ı parci´aln´ı derivace podle jednotliv´ych promˇenn´ych plat´ı vztahy
∂z
∂z ∂u1
∂z ∂u2
∂z ∂um
=
+
+ ··· +
∂xj
∂u1 ∂xj
∂u2 ∂xj
∂um ∂xj
pro vˇsechna j = 1, ..., n.
5.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
3
2 2
Pˇ
r´ıklad 5.5. Uvaˇzujme funkci z = ex (x−y ) . Navrhnˇete, jak by mohly
vypadat jej´ı vnitˇrn´ı sloˇzky a vnˇejˇs´ı sloˇzka, pokud bychom tuto funkci chtˇeli
ch´apat jako sloˇzenou funkci.
ˇ sen´ı. Chceme-li pˇristupovat k nˇejak´e funkci jako ke sloˇzen´e funkci, je
Reˇ
zapotˇreb´ı si uvˇedomit, ˇze z´avislost promˇenn´e z na promˇenn´
ych x a y bude
”zprostˇredkov´ana” pomoc´ı jin´
ych promˇenn´
ych. Nen´ı pˇritom urˇceno jednoznaˇcnˇe, o jak´
y poˇcet promˇenn´
ych se jedn´a, ani to, jak maj´ı tyto z´avislosti vypadat. M´ame tedy znaˇcnou volnost v tom, jak k u
´loze pˇristoup´ıme. Vyjdˇeme
tˇreba ze skuteˇcnosti, ˇze v exponentu zadan´e funkce se vyskytuje souˇcin dvou
funkc´ı, a poloˇzme
u = g(x, y) = x3
v = h(x, y) = x − y 2 .
T´ım jsme vymezili vnitˇrn´ı sloˇzky a z´aroveˇ
n odtud dost´av´ame, ˇze vnˇejˇs´ı
2
sloˇzkou je funkce z = f (u, v) = euv .
Pokud bychom provedli volbu vnitˇrn´ıch sloˇzek ve tvaru
u = g(x, y) = x3
v = h(x, y) = (x − y 2 )2 ,
mˇela by pak vnˇejˇs´ı sloˇzka sloˇzen´e funkce tvar z = f (u, v) = euv .
Jak´e dalˇs´ı moˇznosti v´as napadaj´ı?
46
Pˇ
r´ıklad 5.6. Uvaˇzujme funkci z = x4 y 6 cos(x3 + y 3 ). Navrhnˇete, jak by
mohly vypadat jej´ı vnitˇrn´ı sloˇzky a vnˇejˇs´ı sloˇzka, pokud bychom tuto funkci
chtˇeli ch´apat jako sloˇzenou funkci.
ˇ sen´ı. Ve svˇetle u
Reˇ
´vah prov´adˇen´
ych v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe m˚
uˇzeme napˇr.
poloˇzit
u = g(x, y) = x4 y 6
v = h(x, y) = x3 + y 3 .
Odtud dost´av´ame, ˇze vnˇejˇs´ı sloˇzkou je funkce z = f (u, v) = u cos v.
M˚
uˇzeme ale tak´e zvolit
u = g(x, y) = x2 y 3
v = h(x, y) = x3 + y 3 .
Pak by vnˇejˇs´ı sloˇzka sloˇzen´e funkce mˇela tvar z = f (u, v) = u2 cos v.
Jak´e dalˇs´ı moˇznosti v´as napadaj´ı?
√
Pˇ
r´ıklad 5.7. Vypoˇctˇete derivaci sloˇzen´e funkce z = u 1 + v 2 , kde u = e2x ,
v = e−x .
ˇ sen´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe je promˇenn´a z funkc´ı promˇenn´e x. M´ame tedy
Reˇ
vypoˇc´ıtat obyˇcejnou derivaci funkce jedn´e promˇenn´e pomoc´ı pravidla pro
derivov´an´ı sloˇzen´e funkce. Vyuˇzijeme vztahu
∂z du ∂z dv
dz
=
+
,
dx
∂u dx ∂v dx
kter´
y v naˇsem pˇr´ıpadˇe d´av´a
uv
dz √
= 1 + v 2 · 2e2x + √
· (−e−x ) =
2
dx
1+v
=
(1 + e−2x )2e2x − 1
2e2x + 1
√
=√
.
1 + e−2x
1 + e−2x
Pˇ
r´ıklad 5.8. Vypoˇctˇete derivaci sloˇzen´e funkce z = uv 2 w3 , kde u = sin x,
v = − cos x, w = ex .
ˇ sen´ı. Opˇet se jedn´a o v´
Reˇ
ypoˇcet obyˇcejn´e derivace funkce jedn´e promˇenn´e
pomoc´ı pravidla pro derivov´an´ı sloˇzen´e funkce. Vyuˇzijeme vztahu
dz
∂z du ∂z dv
∂z dw
=
+
+
,
dx
∂u dx ∂v dx ∂w dx
47
kter´
y nyn´ı d´av´a
dz
= v 2 w3 · cos x + 2uvw3 · sin x + 3uv 2 w2 · ex =
dx
3
= e3x cos x(cos2 x−2 sin2 x+3 sin x cos x) = e3x cos x(cos2 x−2 sin2 x+ sin 2x).
2
Pˇ
r´ıklad 5.9. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace sloˇzen´e funkce z = sin u cos v,
kde u = (x − y)2 , v = x2 − y 2 podle promˇenn´
ych x a y.
ˇ sen´ı. Pro v´
Reˇ
ypoˇcet vyuˇzijeme vztah˚
u ve vˇetˇe 5.3, podle kter´
ych m´ame
nejdˇr´ıve
∂z ∂u ∂z ∂v
∂z
=
+
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
a odtud
∂z
= cos u cos v · 2(x − y) + (− sin u sin v) · 2x =
∂x
= 2x cos(u + v) − 2y cos u cos v.
Parci´aln´ı derivaci podle y vypoˇcteme podle vtahu
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
=
+
.
∂y
∂u ∂y ∂v ∂y
Dost´av´ame
∂z
= cos u cos v · (−2)(x − y) + (− sin u sin v) · (−2y) =
∂x
= 2y cos(u − v) − 2x cos u cos v.
Pˇ
r´ıklad 5.10. Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace
sloˇzen´e funkce w = yz 2 − x3 ,
√
r−t
ych r, s a t.
kde x = e , y = ln(r + 2s + 3t) a z = rs + t podle promˇenn´
ˇ sen´ı. Pro v´
Reˇ
ypoˇcet vyuˇzijeme vztah˚
u ve vˇetˇe 5.4, kdy m = n = 3. M´ame
∂w
∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
=
+
+
= −3x2 · er−t + z 2 ·
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂z ∂r
48
1
r + 2s + 3t
+
rs + t
+ s ln(r + 2s + 3t).
r + 2s + 3t
∂w
∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
2
2
2
=
+
+
= −3x · 0 + z ·
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
r + 2s + 3t
r
2(rs + t)
√
+2yz ·
=
+ r ln(r + 2s + 3t).
r + 2s + 3t
2 rs + t
∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
3
∂w
2
r−t
2
=
+
+
= −3x · (−e ) + z ·
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
r + 2s + 3t
1
3(rs + t)
√
+2yz ·
= 3e3(r−t) +
+ ln(r + 2s + 3t).
r + 2s + 3t
2 rs + t
+2yz ·
s
√
2 rs + t
= −3e3(r−t) +
Pˇ
r´ıklad 5.11. Je d´ano g(x, y) = f (x2 − y 2 , y 2 − x2 ), pˇriˇcemˇz o funkci f
pˇredpokl´ad´ame, ˇze je diferencovateln´a. Ukaˇzte, ˇze funkce g vyhovuje rovnici
y
∂g
∂g
+x
= 0.
∂x
∂y
ˇ sen´ı. Poloˇzme u = x2 − y 2 a v = y 2 − x2 . Potom na z´akladˇe pravidla pro
Reˇ
derivov´an´ı sloˇzen´e funkce obdrˇz´ıme
∂g
∂f ∂u ∂f ∂v
∂f
∂f
=
+
=
· 2x +
(−2x),
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u
∂v
∂f ∂u ∂f ∂v
∂f
∂f
∂g
=
+
=
· (−2y) +
(2y).
∂y
∂u ∂y
∂v ∂y
∂u
∂v
Odtud vypl´
yv´a
∂g
∂g
y
+x
=
∂x
∂y
∂f
∂f
∂f
∂f
2xy
− 2xy
+ −2xy
+ 2xy
= 0.
∂u
∂v
∂u
∂v
Pˇ
r´ıklad 5.12. Je-li d´an tlak v kilopascalech, objem v litrech a teplota ve
stupn´ıch Kelvina jednoho molu ide´aln´ıho plynu, pak jsou tyto tˇri veliˇciny
sv´az´any vztahem P V = 8,31T . Urˇcete, jak rychle se mˇen´ı v dan´em okamˇziku
49
tlak, jestliˇze st´avaj´ıc´ı teplota 300 K nar˚
ust´a rychlost´ı 0,2 K/s a st´avaj´ıc´ı objem 100 l nar˚
ust´a rychlost´ı 0,3 l/s.
ˇ sen´ı. M´ame vypoˇc´ıtat dP , pˇriˇcemˇz P = 8,31 T .
Reˇ
dt
V
∂P dT
∂P dV
8,31
8,31T
dP
1,662 2,493T
=
+
=
· 0,2 −
−
· 0,3 =
.
2
dt
∂T dt
∂V dt
V
V
V
V2
Vypoˇcteme-li hodnotu t´eto derivace v zadan´em bodˇe, dostaneme
dP
1,662 2,493 · 300
(300, 100) =
−
= −0,05817 kPa/s.
dt
100
1002
Pˇ
r´ıklad 5.13. Polomˇer podstavy rotaˇcn´ıho kuˇzelu nar˚
ust´a rychlost´ı 6 mm/s,
zat´ımco jeho v´
yˇska roste rychlost´ı 9 mm/s. Jak rychle roste jeho objem,
jestliˇze je d´ano r = 13 mm a h = 20 mm?
ˇ sen´ı. M´ame vypoˇc´ıtat dV , pˇriˇcemˇz V = 1 πr2 h.
Reˇ
dt
3
dV
∂V dr ∂V dh
2
1
=
+
= πrh · 4 + πr2 · 9 =
dt
∂r dt
∂h dt
3
3
= 4πrh + 3πr2 .
Vyˇc´ısl´ıme-li hodnotu t´eto derivace v zadan´em bodˇe, dostaneme
dV
(13, 20) = π(4 · 13 · 20 + 3 · 132 ) = 1547π mm3 /s.
dt
Pˇ
r´ıklad 5.14. Uvaˇzujme funkci z = f (u, v), kter´a m´a spojit´e parci´aln´ı
∂2z
derivace druh´eho ˇra´du. D´ale je d´ano u = (x2 + y 2 ) a v = 2xy. Vypoˇctˇete ∂x
2.
ˇ sen´ı. Vyjdeme ze vtahu
Reˇ
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v
∂z
∂z
=
+
=
(2x) +
(2y).
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u
∂v
Nyn´ı na tento vztah aplikujeme pravidlo o derivaci souˇcinu funkc´ı, ˇc´ımˇz dostaneme
∂
∂z
∂z
∂z
∂ ∂z
∂ ∂z
∂ 2z
=
2x
+ 2y
=2
+ 2x
+ 2y
. (5.1)
∂x2
∂x
∂u
∂v
∂u
∂x ∂u
∂x ∂v
50
V dalˇs´ım aplikujeme
znovu pravidlo pro derivov´an´ı sloˇzen´e funkce na v´
yrazy
∂z
∂
∂z
∂
a ∂x ∂v . Obdrˇz´ıme vztahy
∂x ∂u
∂ ∂z
∂ ∂z ∂u
∂ ∂z ∂v
∂ 2z
∂ 2z
=
+
=
· 2y,
·
2x
+
∂x ∂u
∂u ∂u ∂x ∂v ∂u ∂x
∂u2
∂u∂v
∂ ∂z
∂ ∂z ∂u
∂ ∂z ∂v
∂ 2z
∂ 2z
=
+
=
· 2x + 2 · 2y.
∂x ∂v
∂u ∂v ∂x ∂v ∂v ∂x
∂u∂v
∂v
Dosad´ıme-li tyto vztahy do v´
yraz˚
u v rovnici 5.1, pak s vyuˇzit´ım Schwarzovy vˇety, kter´a zaruˇcuje rovnost sm´ıˇsen´
ych derivac´ı druh´eho ˇra´du, z´ısk´ame
poˇzadovan´
y vztah ve tvaru
∂z
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
=2
+ 2x 2x 2 + 2y
+ 2y 2 =
+ 2y 2x
∂x2
∂u
∂u
∂u∂v
∂u∂v
∂v
=2
∂z
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
+ 4x2 2 + 8xy
+ 4y 2 2 .
∂u
∂u
∂u∂v
∂v
51
5.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 5.1. Vypoˇctˇete derivaci funkce z = f (x, y) = arctg(v/u), kde u =
cos 3x, y = sin 5x.
Cviˇ
c√en´ı 5.2. Vypoˇc√
tˇete derivaci funkce z = f (x, y) = ln(x + y 2 ), jestliˇze
x = 1 + t, y = 1 + t.
Cviˇ
c√en´ı 5.3. Vypoˇctˇete derivaci funkce z = f (x, y) = e−x
y = t.
2 −y 2
, kde x = t,
Cviˇ
cen´ı 5.4. Vypoˇctˇete ∂w
, ∂w , je-li d´ano w = f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 ),
∂s ∂s
√
x = s − t, y = s + t, z = st.
p
∂w
,
,
je-li
d´
a
no
w
=
f
(x,
y,
z)
=
x2 + y 2 + z 2 ,
Cviˇ
cen´ı 5.5. Vypoˇctˇete ∂w
∂s
∂t
2
2
t
x = s r, y = r s, z = 4e .
Cviˇ
cen´ı 5.6. Vypoˇctˇete ∂w
,
∂r
x = rst, y = rs/t, z = 1/rst.
∂w ∂w
, ∂t ,
∂s
je-li d´ano w = f (x, y, z) = x2 y + yz 2 ,
xy
, ∂w
, ∂w
, je-li d´ano w = f (x, y, z) = e z , kde
Cviˇ
cen´ı 5.7. Vypoˇctˇete ∂w
∂r
∂s
∂t
2
2
2
2
2
2
x=r +t , y =s −t , z =r +s .
Cviˇ
cen´ı 5.8. Uvaˇzujme funkci z = f (x, y), kde x = r cos φ, y = r sin φ.
Vypoˇctˇete ∂z
, ∂z .
∂r ∂φ
Cviˇ
cen´ı 5.9. Jestliˇze z = f (x − y), rozhodnˇete, zda plat´ı
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 0.
Cviˇ
cen´ı 5.10. Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´a funkce tvaru z = f (x + at) + g(x − at) je
2
∂2z
ˇreˇsen´ım rovnice ∂∂t2z = a2 ∂x
2.
52
6
6.1
Derivace v dan´
em smˇ
eru
Definice a vˇ
ety
Definice 6.1. Necht’ je funkce f (x, y) definovan´a na oblasti Ω, ve kter´e leˇz´ı
bod [x0 , y0 ], a necht’ ~u = (u1 , u2 ). Jestliˇze existuje limita tvaru
f (x0 + hu1 , y0 + hu2 ) − f (x0 , y0 )
,
h→0
h
naz´
yv´ame ji smˇ
erovou derivac´ı funkce f (x, y) ve smˇeru vektoru ~u v bodˇe
[x0 , y0 ] a znaˇc´ıme ji
f~u (x0 , y0 ).
lim
Pozn´
amka 6.2. Obdobn´
ym zp˚
usobem je moˇzn´e definovat pojem smˇerov´e
derivace pro funkci tˇr´ı a v´ıce promˇenn´
ych v bodˇe [x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ], tj. jako
limitu tvaru
f (x∗1 + hu1 , x∗2 + hu2 , . . . x∗n + hun ) − f (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n )
=
lim
h→0
h
= f~u (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ).
Vˇ
eta 6.3. Je-li funkce f (x, y) diferencovateln´a v bodˇe [x0 , y0 ], pak m´a v
tomto bodˇe smˇerovou derivaci ve smˇeru libovoln´eho vektoru ~u = (u1 , u2 ) a
plat´ı vztah
f~u (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )u1 + fy (x0 , y0 )u2 .
Definice 6.4. Necht’ je funkce f (x, y) diferencovateln´a v bodˇe [x0 , y0 ]. Gradientem funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] naz´
yv´ame vektor, jehoˇz souˇradnicemi
jsou parci´aln´ı derivace fce f v tomto bodˇe a znaˇc´ıme jej
∇f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 , fy (x0 , y0 )).
Vˇ
eta 6.5. Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f je v bodˇe [x0 , y0 ] diferencovateln´a a
plat´ı ∇f (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Pak je hodnota smˇerov´e derivace funkce f ve smˇeru
vektor˚
u o stejn´e nenulov´e d´elce maxim´aln´ı pro vektor, kter´y m´a stejn´y smˇer
jako gradient.
53
6.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 6.6. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y) = xy 2 v bodˇe
[4, −1] ve smˇeru vektoru ~u = (2, 3).
ˇ sen´ı. Podle vˇety (6.3) staˇc´ı vypoˇc´ıtat parci´aln´ı derivace funkce f (x, y)
Reˇ
v dan´em bodˇe. M´ame tedy
fx = y 2 ,
tj. fx (4, −1) = 1
a
fy = 2yx,
tj. fy (4, −1) = −8
a po dosazen´ı do pˇr´ısluˇsn´eho vztahu dost´av´ame
f~u (4, −1) = 1 · 2 + (−8) · (3) = −22.
Pˇ
r´ıklad 6.7. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y) = y 2 ln x v bodˇe
[1, 4] ve smˇeru jednotkov´eho vektoru dan´eho u
´hlem π/6.
ˇ sen´ı. Derivaci budeme poˇc´ıtat ve smˇeru vektoru (cos(π/6), sin(π/6)).
Reˇ
Jestliˇze d´ale vypoˇcteme
fx = y 2 /x,
tj. fx (1, 4) = 16
a
fy = 2y ln x,
tj. fy (1, 4) = 0,
dost´av´ame po dosazen´ı do pˇr´ısluˇsn´eho vztahu
√
√
1
3
f~u (1, 4) = 16 ·
+ 0 · = 8 3.
2
2
3
Pˇ
r´ıklad 6.8. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y, z) = x ln y − exz
v bodˇe [−5, 1, −2] ve smˇeru vektoru ~u = (1, −1, 3).
ˇ sen´ı. Analogick´
Reˇ
y vztah jako ve vˇetˇe (6.3) plat´ı i pro funkce tˇr´ı a v´ıce
promˇenn´
ych. Nejdˇr´ıve je zapotˇreb´ı vypoˇc´ıtat parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu
funkce f (x, y, z) v dan´em bodˇe. M´ame tedy
3
fx = ln y − z 3 exz ,
a
fx (−5, 1, −2) = 8e40 ,
3
fz = −3xz 2 exz ,
fy = x/y,
fy (−5, 1, −2) = −5
fz (−5, 1, −2) = 60e40
a po dosazen´ı do pˇr´ısluˇsn´eho vztahu dost´av´ame
f~u (−5, 1, −2) = (8e40 ) · 1 + (−5) · (−1) + (60e40 ) · 3 = 5 + 188e40 .
54
Pˇ
r´ıklad 6.9. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y, z) = z − ex sin y
v bodˇe [ln 3, 3π/2, −3] ve smˇeru vektoru ~u = (2, 3, 6).
ˇ sen´ı. Opˇet je zapotˇreb´ı vypoˇc´ıtat parci´aln´ı derivace funkce f (x, y, z)
Reˇ
v dan´em bodˇe. M´ame tedy
fx = −ex sin y,
tj. fx (ln 3, 3π/2, −3) = 3,
fy = −ex cos y,
tj. fy (ln 3, 3π/2, −3) = 0
a
fz = 1,
tj. fz (ln 3, 3π/2, −3) = 1.
Po dosazen´ı do pˇr´ısluˇsn´eho vztahu dost´av´ame
f~u (ln 3, 3π/2, −3) = 3 · 2 + 0 · 3 + 1 · 6 = 12.
Pˇ
r´ıklad 6.10. Vypoˇctˇete gradient funkce f (x, y) =
p
x3 y − y 3 v bodˇe [2, 2].
ˇ sen´ı. Sloˇzkami gradientu funkce f v dan´em bodˇe jsou parci´aln´ı derivace
Reˇ
funkce f v tomto bodˇe. M´ame tedy
∇f (2, 2) = (fx (2, 2), fy (2, 2)).
Ze vztah˚
u
3x2 y
fx = p
2 x3 y − y 3
a
x3 − 3y 2
fy = p
2 x3 y − y 3
plyne
1
6
∇f (2, 2) = (fx (2, 2), fy (2, 2)) = ( √ , − √ ).
2
2
Pˇ
r´ıklad 6.11. Vypoˇctˇete gradient funkce f (x, y, z) = x2 z 2 sin(4y) v bodˇe
[−2, π/3, 1].
ˇ sen´ı. Sloˇzkami gradientu funkce f v dan´em bodˇe jsou parci´aln´ı derivace
Reˇ
funkce f v tomto bodˇe. M´ame tedy
∇f (−2, π/3, 1) = (fx (−2, π/3, 1), fy (−2, π/3, 1), fz (−2, π/3, 1)).
Ze vztah˚
u
fx = 2xz 2 sin(4y),
fy = 4x2 z 2 cos(4y)
55
a
fz = 2x2 z sin(4y)
plyne
√
√
∇f (−2, π/3, 1) = (2 3, −8, −4 3).
Pˇ
r´ıklad 6.12. Najdˇete maxim´aln´ı hodnotu smˇerov´e derivace funkce dan´e
2
vztahem f (x, y) = 2x2 y + xey v bodˇe [1, 0] pro vektory d´elky 1 a jednotkov´
y
vektor, pro kter´
y toto maximum nast´av´a.
ˇ sen´ı. Parci´aln´ı derivace funkce f jsou d´any vztahy
Reˇ
fx = 4xy + ey
2
2
fy = 2x2 + 2xyey ,
a
coˇz n´am d´av´a
∇f (1, 0) = (1, 2).
Jednotkov´
y vektor, kter´
y m´a stejn´
y smˇer jako gradient, m´a √
tedy souˇradnice
( √15 , √25 ). Maxim´aln´ı hodnota smˇerov´e derivace pak vych´az´ı 5.
Pˇ
r´ıklad 6.13. Najdˇete maxim´aln´ı hodnotu smˇerov´e derivace funkce dan´e
vztahem f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )−1 v bodˇe [1, 2, −3] pro vektory d´elky 1 a
jednotkov´
y vektor, pro kter´
y toto maximum nast´av´a.
ˇ sen´ı. Parci´aln´ı derivace funkce f jsou d´any vztahy
Reˇ
fx = −
2y
2z
2x
,
f
=
−
a
f
=
−
,
y
z
(x2 + y 2 + z 2 )2
(x2 + y 2 + z 2 )2
(x2 + y 2 + z 2 )2
coˇz n´am d´av´a
1
1 3
∇f (1, 2, −3) = − , − ,
.
98 49 98
Jednotkov´
y vektor,
y m´a stejn´
y smˇer jako gradient, m´a tedy souˇradnice
kter´
√
1
2
3
− √14 , − √14 , √14 . Maxim´aln´ı hodnota smˇerov´e derivace pak vych´az´ı 14/98.
Pˇ
r´ıklad 6.14. Teplota vyhˇr´ıvan´eho kovov´eho pl´atu v bodˇe [x, y] je ve
stupn´ıch Celsia d´ana vztahem
T (x, y) =
300
,
x2 + y 2 + 3
pˇriˇcemˇz hodnoty x a y jsou ud´av´any v centimetrech. Jak´
ym smˇerem se m´ame
pohybovat z bodu [−4, 3], jestliˇze chceme sledovat nejprudˇs´ı n´ar˚
ust teploty
v pl´atu? Jak´
y je okamˇzit´
y n´ar˚
ust teploty, pokud se z bodu [−4, 3] vyd´ame
t´ımto smˇerem?
56
ˇ sen´ı. V´ıme, ˇze k nejrychlejˇs´ımu r˚
Reˇ
ustu funkˇcn´ıch hodnot doch´az´ı ve smˇeru
gradientu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe m´ame
Tx = −
600x
(x2 + y 2 + 3)2
a
Ty = −
600y
.
(x2 + y 2 + 3)2
Gradientem funkce T v bodˇe [−4, 3] je tedy vektor
2400 1800
,−
.
∇T (−4, 3) =
784
784
Jednotkov´
y vektor ~u maj´ıc´ı stejn´
y smˇer jako gradient m´a tedy souˇradnice
~u = (4/5, 3/5). Maxim´aln´ı hodnota smˇerov´e derivace ve smˇeru gradientu,
resp. vektoru ~u, uvaˇzujeme-li vektory jednotkov´e d´elky, je 375
. To znamen´a,
98
375
ˇze okamˇzit´
y n´ar˚
ust teploty v bodˇe [−4, 3] je 98 ≈ 3,83 stupˇ
n˚
u Celsia na
jeden centimentr vzd´alenosti.
Pˇ
r´ıklad 6.15. Stoj´ıte na kopci, jehoˇz tvar je pops´an funkc´ı f (x, y) = 500 −
0, 003x2 −0, 004y 2 . Vaˇse poloha je d´ana bodem [−100, −100, 430]. Jak prudk´e
stoup´an´ı v´as ˇcek´a, jestliˇze se vyd´ate na severoz´apad?
ˇ sen´ı. M´ame-li se pohybovat severoz´apadn´ım smˇerem, odpov´ıd´a to v kart´ezReˇ
sk´e soustavˇe souˇradn´e smˇeru, kter´
y je d´an u
´hlem 3π/4 neboli 135◦ . To znamen´a, ˇze m´ame vypoˇc´ıtat smˇerovou derivaci ve smˇeru vektoru ~u = (− √12 , √12 ).
Parci´aln´ı derivace v bodˇe [−100, −100] maj´ı hodnoty
fx (−100, −100) = −0, 6 a
fy (−100, −100) = −0, 8.
Hodnota poˇzadovan´e smˇerov´e derivace ˇcin´ı
1
1
f~u (−100, −100) = 0, 6 · (− √ ) + 0, 8 · √ ≈ 0, 14.
2
2
Pˇri cestˇe severoz´apadn´ım smˇerem n´as tedy ˇcek´a ˇctrn´actiprocentn´ı stoup´an´ı.
57
6.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 6.1. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y) =
[5, 1] ve smˇeru vektoru ~u = (12, 5).
√
x − y v bodˇe
Cviˇ
cen´ı 6.2. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y) = ex cos y v bodˇe
[1, π/6] ve smˇeru vektoru ~u = (1, −1).
Cviˇ
cen´ı 6.3. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y) = x2 y 3 + 2x4 y
v bodˇe [1, −2] ve smˇeru jednotkov´eho vektoru dan´eho u
´hlem π/6.
Cviˇ
cen´ı 6.4. p
Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce, kter´a je dan´a vztahem
f (x, y, z) = 1/ x2 + y 2 + z 2 v bodˇe [−1, 2, 3] ve smˇeru vektoru ~u = (1, −1, 1).
p
Cviˇ
cen´ı 6.5. Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y, z) = x2 y + 2y 2 z
v bodˇe [−2, 2, 1] ve smˇeru z´aporn´e poloosy z.
Cviˇ
cen´ı 6.6. Vypoˇctˇete gradient funkce f (x, y) = arctg( xy ) v bodˇe [1, −2].
Cviˇ
cen´ı 6.7. Vypoˇctˇete gradient funkce tˇr´ı promˇenn´
ych, kter´a je dan´a vzta√
hem f (x, y, z) = 2 xyz v bodˇe [3, −4, −3].
Cviˇ
cen´ı 6.8. Najdˇete minim´aln´ı hodnotu
p
psmˇerov´e derivace funkce dan´e vztahem f (x, y) = tg(x2 +y 2 ) v bodˇe [ π/6, π/6] pro vektory jednotkov´e d´elky
a vektor, pro kter´
y toto minimum nast´av´a.
Cviˇ
cen´ı 6.9. Najdˇete maxim´aln´ı hodnotu smˇerov´e derivace funkce dan´e
vztahem f (x, y) = x2 + 4xz + 2yz 2 v bodˇe [1, 2, −1] pro vektory jednotkov´e
d´elky a vektor, pro kter´
y toto maximum nast´av´a.
Cviˇ
cen´ı 6.10. Teplota vyhˇr´ıvan´eho kovov´eho pl´atu v bodˇe [x, y] je ve stupn´ıch
Celsia d´ana vztahem
400
,
T (x, y) = 2
x + y2 + 2
pˇriˇcemˇz hodnoty x a y jsou ud´av´any v centimetrech. Jak´
ym smˇerem se m´ame
pohybovat z bodu [1, 1], jestliˇze chceme sledovat nejprudˇs´ı n´ar˚
ust teploty
v pl´atu? Jak´
y je okamˇzit´
y n´ar˚
ust teploty, pokud se z bodu [1, 1] vyd´ame
t´ımto smˇerem?
58
7
Implicitn´ı funkce
7.1
Definice a vˇ
ety
Definice 7.1. Necht’ F je funkce dvou promˇenn´
ych, Ω mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı
rovnice F (x, y) = 0 a necht’ [x0 , y0 ] ∈ Ω je bod. Jestliˇze existuje okol´ı O =
(x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − ε, y0 + ε) bodu [x0 , y0 ] takov´e, ˇze mnoˇzina Ω ∩ O je
totoˇzn´a s grafem funkce y = f (x), x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), ˇrekneme, ˇze funkce f
je v okol´ı bodu [x0 , y0 ] definov´ana implicitnˇ
e rovnic´ı F (x, y) = 0.
Vˇ
eta 7.2. Necht’ F (x, y) je funkce dvou promˇenn´ych a m´a tyto tˇri vlastnosti:
• m´a na okol´ı O = (x0 − δ, x0 + δ) × (y0 − ε, y0 + ε), δ > 0, ε > 0, bodu
[x0 , y0 ] spojit´e parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu,
• v bodˇe [x0 , y0 ] je F (x0 , y0 ) = 0,
• parci´aln´ı derivace Fy (x0 , y0 ) 6= 0.
Pak je rovnic´ı F (x, y) = 0 v okol´ı O([x0 , y0 ]) bodu [x0 , y0 ] implicitnˇe definov´ana pr´avˇe jedna funkce y = f (x) takov´a, ˇze
• m´a graf proch´azej´ıc´ı bodem [x0 , y0 ], tj. y0 = f (x0 ),
• F (x, f (x)) = 0,
• je spojit´a v okol´ı bodu x0 , tj. (x0 − δ, x0 + δ),
• m´a spojitou prvn´ı derivaci, pro niˇz plat´ı
y 0 (x) = −
Fx (x, y)
Fy (x, y)
pro x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
(7.1)
Pozn´
amka 7.3.
(x,y)
1. Vzorec y 0 (x) = − FFxy (x,y)
m˚
uˇzeme tak´e ps´at ve tvaru y 0 = − FFxy nebo
(x,y)
f 0 (x) = − FFxy (x,y)
.
59
2. Je-li funkce y = f (x) d´ana rovnic´ı F (x, y) = 0 a funkce F (x, y) je
jedenkr´at spojitˇe diferencovateln´a, m˚
uˇzeme pouˇz´ıt pravidla pro derivovan´ı sloˇzen´e funkce a dostaneme
Fx
dy
dx
+ Fy
=0
dx
dx
⇒
dy
Fx
= y0 = −
dx
Fy
pro Fy 6= 0. T´ımto zp˚
usobem m˚
uˇzeme odvodit i vyˇsˇs´ı derivace funkce
y = f (x) dan´e implicitnˇe, coˇz formuluje n´asleduj´ıc´ı vˇeta.
Vˇ
eta 7.4. Necht’ jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.2 a funkce F m´a
v okol´ı bodu [x0 , y0 ] spojit´e parci´aln´ı derivace do ˇr´adu k, k ∈ N. Pak
implicitnˇe dan´a funkce y = f (x) m´a spojit´e derivace do ˇr´adu k. Jejich
vzorce dostaneme opakovan´ym derivov´an´ım vztahu (7.1).
3. Bez ztr´aty na obecnosti uvaˇzujeme rovnici F (x, y) = 0, jelikoˇz obecnou
rovnici G(x, y) = H(x, y) lze vˇzdy upravit a vˇsechny jej´ı ˇcleny pˇrev´est
na levou stranu, tedy G(x, y) − H(x, y) = 0. Pak staˇc´ı poloˇzit F =
G − H.
Definice 7.5. O funkci dvou promˇenn´
ych z = f (x, y) ˇrekneme, ˇze je v okol´ı
bodu [x0 , y0 y0 ] ∈ Ω implicitnˇ
e zad´ana rovnic´ı F (x, y, z) = 0, jestliˇze je
mnoˇzina Ω v okol´ı bodu [x0 , y0 y0 ] totoˇzn´a s grafem funkce z = f (x, y), tj.
v okol´ı bodu [x0 , y0 y0 ] plat´ı F (x, y, f (x, y)) = 0 a f (x0 , y0 ) = z0 .
Vˇ
eta 7.6. Necht’ F (x, y, z) je funkce tˇr´ı promˇenn´ych a m´a tyto tˇri vlastnosti:
• m´a na okol´ı O = (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) × (y0 − δ2 , y0 + δ2 ) × (z0 − ε, z0 + ε),
δ1 > 0, δ2 > 0, ε > 0, bodu [x0 , y0 , z0 ] spojit´e parci´aln´ı derivace prvn´ıho
ˇr´adu,
• v bodˇe [x0 , y0 , z0 ] je F (x0 , y0 , z0 ) = 0,
• parci´aln´ı derivace Fz (x0 , y0 , z0 ) 6= 0.
Pak je rovnic´ı F (x, y) = 0 v okol´ı O([x0 , y0 , z0 ]) bodu [x0 , y0 , z0 ] implicitnˇe
definov´ana pr´avˇe jedna funkce z = f (x, y), kde
f : (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) × (y0 − δ2 , y0 + δ2 → (z0 − ε, z0 + ε),
takov´a, ˇze
60
• identicky vyhovuje rovnici F (x, y, z) = 0, takˇze F (x, y, f (x, y)) = 0,
• proch´az´ı bodem [x0 , y0 ], takˇze z0 = f (x0 , y0 ),
• je spojit´a na okol´ı bodu [x0 , y0 ] a m´a spojit´e prvn´ı parci´aln´ı derivace
fx (x0 , y0 ) = −
Fx (x0 , y0 , z0 )
,
Fz (x0 , y0 , z0 )
fy (x0 , y0 ) = −
Fy (x0 , y0 , z0 )
.
Fz (x0 , y0 , z0 )
(7.2)
Vˇ
eta 7.7. Necht’ jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.6 a funkce F m´a v okol´ı
bodu [x0 , y0 , z0 ] spojit´e parci´aln´ı derivace do ˇr´adu k, k ∈ N. Pak implicitnˇe
dan´a funkce z = f (x, y) m´a spojit´e derivace do ˇr´adu k. Jejich vzorce dostaneme opakovan´ym derivov´an´ım vztahu (7.2).
7.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 7.8. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice xy − y x = 0, x > 0, y > 0, zad´av´a v bodˇe
[1, 1] implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). Vypoˇc´ıtejte jej´ı prvn´ı derivaci a
vyˇc´ıslete jej´ı hodnotu v bodˇe [1, 1].
ˇ sen´ı. Oznaˇcme F (x, y) = xy −y x , [x0 , y0 ] = [1, 1]. Ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou splnˇeny
Reˇ
pˇredpoklady vˇety 7.2. Plat´ı F (1, 1) = 1 − 1 = 0 a
Fy (x, y) = xy ln x − xy x−1
⇒
Fy (1, 1) = −1 6= 0.
Pˇredpoklady vˇety 7.2 jsou splnˇeny, tud´ıˇz je rovnic´ı xy − y x = 0 v okol´ı bodu
[1, 1] urˇcena implicitnˇe pr´avˇe jedna funkce y = f (x) takov´a, ˇze f (1) = 1.
Derivov´an´ım F (x, y) podle x dost´av´ame
Fx (x, y) = yxy−1 − y x ln y
Odtud
y0 = −
⇒
yxy−1 − y x ln y
Fx (x, y)
=− y
Fy (x, y)
x ln x − xy x−1
Fx (1, 1) = 1.
⇒
y 0 (1) = 1.
M´ısto pouˇzit´ı vzorce (7.1) m˚
uˇzeme pouˇz´ıt alternativn´ı pˇr´ıstup. Zderivujeme
rovnici xy − y x = 0 podle x. Derivace d´av´a
y
x
(xy − y x )0 = (ey ln x − ex ln y )0 = ey ln x (y 0 ln x + ) − ex ln y (ln y + y 0 ) = 0,
x
y
61
yxy−1 + y 0 xy ln x − y x ln y − xy 0 y x−1 = 0,
odtud vyj´adˇren´ım y 0 dost´av´ame
y0 =
y x ln y − yxy−1
xy ln x − xy x−1
y 0 (1) = 1.
⇒
Pˇ
r´ıklad 7.9. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice exy +sin y +y 2 = 1+π 2 zad´av´a v bodˇe [0, π]
implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). Vypoˇc´ıtejte jej´ı prvn´ı derivaci a spoˇctˇete
jej´ı hodnotu v dan´em bodˇe.
ˇ sen´ı. Oznaˇcme F (x, y) = exy + sin y + y 2 − 1 − π 2 , [x0 , y0 ] = [0, π]. Funkce
Reˇ
F m´a spojit´e parci´aln´ı derivace v R2 . Pˇri v´
ypoˇctu budeme vych´azet z vˇety
7.2. Nejdˇr´ıve ovˇeˇr´ıme, ˇze F (0, π) = 0. Skuteˇcnˇe e0·π + 0 + π 2 − 1 − π 2 = 0.
D´ale Fy (0, π) 6= 0, tj.
Fy (0, π) = (xexy + cos y + 2y)|[0,π] = −1 + 2π 6= 0.
Podle vˇety 7.2 je rovnic´ı exy + sin y + y 2 − 1 − π 2 = 0 v okol´ı bodu [0, π]
implicitnˇe d´ana funkce y = f (x) maj´ıc´ı derivace vˇsech ˇra´d˚
u a plat´ı pro ni
f (0) = π.
Derivaci y 0 si spoˇcteme dvˇema zp˚
usoby:
0
1. y vypoˇc´ıt´ame dosazen´ım do vzorce (7.1). Budeme potˇrebovat parci´aln´ı
derivace funkce F podle promˇenn´e x a y v bodˇe [0, π],
Fx (0, π) = (yexy )|[0,π] = π,
Fy (0, π) = (xexy + cos y + 2y)|[0,π] = −1 + 2π.
Dosadit do vzorce (7.1) dost´av´ame
y 0 (x) = f 0 (x) = −
yexy
xexy + cos y + 2y
⇒
f 0 (0) = −
π
.
−1 + 2π
2. Tot´eˇz m˚
uˇzeme z´ıskat pomoc´ı derivace sloˇzen´e funkce, tj. v rovnici exy +
2
sin y + y = 1 + π 2 bereme y za funkci promˇenn´e x a rovnici derivujeme podle
x. Pak dost´av´ame
yexy + xy 0 exy + y 0 cos y + 2yy 0 = 0.
Z t´eto rovnice vyj´adˇr´ıme y 0 ,
y0 =
−yexy
,
xexy + cos y + 2y
62
dosad´ıme bod [0, π] a dost´av´ame
y 0 (0) = −
π
.
−1 + 2π
Pˇ
r´ıklad 7.10. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice x2 + xy 2 − y 2 = 1 zad´av´a v bodˇe [−2, 1]
implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). Vypoˇc´ıtejte jej´ı prvn´ı a druhou derivaci
a napiˇste Taylor˚
uv polynom T2 (x) se stˇredem v bodˇe −2.
ˇ sen´ı. Oznaˇcme F (x, y) = x2 + xy 2 − y 2 − 1, [x0 , y0 ] = [−2, 1]. Ovˇeˇr´ıme, ˇze
Reˇ
jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.2. Funkce F m´a spojit´e parci´aln´ı derivace
v R2 . Jelikoˇz F (−2, 1) = (−2)2 − 2 − 1 − 1 = 0 a
Fy (x, y) = 2xy − 2y
⇒
Fy (−2, 1) = −6 6= 0,
jsou pˇredpoklady vˇety 7.2 splnˇeny. Rovnic´ı x2 + xy 2 − y 2 − 1 = 0 je v okol´ı
bodu [−2, 1] urˇcena implicitnˇe funkce y = f (x) maj´ıc´ı derivace vˇsech ˇra´d˚
u,
pro niˇz plat´ı, ˇze f (−2) = 1. Protoˇze
Fx (x, y) = 2x + y 2
⇒
Fx (−2, 1) = −3,
je podle (7.1)
y 0 (x) = f 0 (x) = −
Fx (x, y)
2x + y 2
=−
Fy (x, y)
2xy − 2y
⇒
1
f 0 (−2) = − .
2
Druhou derivaci y 00 (x) spoˇcteme podle vˇety 7.4 derivov´an´ım prvn´ı derivace a
dostaneme
0
2x + y 2
00
0 0
=
y = (y ) = −
2xy − 2y
(2 + 2yy 0 )(2xy − 2y) − (2x + y 2 )(2y + 2xy 0 − 2y 0 )
=
= −
(2xy − 2y)2
2
= −
= −
2
2
2x+y
2x+y
2x+y
(2 − 2y 2xy−2y
)(2xy − 2y) − (2x + y 2 )(2y − 2x 2xy−2y
+ 2 2xy−2y
)
(2xy − 2y)2
−4y 2 − 3y 4 + 4x2
.
y(2xy − 2y)2
Hodnota druh´e derivace y 00 (x) v bodˇe −2 je
y 00 (−2) = f 00 (−2) = −
−4 − 3 + 4(−2)2
9
1
=− =− .
2
(2(−2) − 2)
36
4
63
=
Jelikoˇz jsme spoˇcetli prvn´ı i druhou derivaci, m˚
uˇzeme funkci y = f (x) nahradit Taylorov´
ym polynomem druh´eho ˇra´du se stˇredem v bodˇe x0 = −2.
Taylor˚
uv polynom T2 (x) m´a tvar
1
T2 (x) = f (−2) + f 0 (−2)(x + 2) + f 00 (−2)(x + 2)2 ,
2
tud´ıˇz
1
1
T2 (x) = 1 − (x + 2) − (x + 2)2 .
2
8
Pˇ
r´ıklad 7.11. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice y − 21 sin y = x zad´av´a v bodˇe [π, π]
implicitnˇe jedinou funkci y = f (x), a najdˇete rovnice teˇcny a norm´aly ke
grafu t´eto funkce v bodˇe [π, π].
ˇ sen´ı. Ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.2 pro funkci F (x, y) =
Reˇ
y − 21 sin y − x a pro [x0 , y0 ] = [π, π]. Funkce F m´a spojit´e parci´aln´ı derivace
v R2 . Plat´ı F (π, π) = π − 21 sin π − π = π − 0 − π = 0 a
Fy (x, y) = 1 −
1
cos y
2
⇒
Fy (π, π) =
3
6= 0.
2
Pˇredpoklady vˇety 7.2 jsou splnˇeny, takˇze rovnic´ı y − 21 sin y − x = 0 je
v okol´ı bodu [π, π] urˇcena implicitnˇe pr´avˇe jedna funkce y = f (x) pro niˇz
plat´ı f (π) = π. Hled´ame teˇcnu k implicitnˇe dan´e funkci. Budeme vych´azet
z rovnice teˇcny t ke grafu funkce y = f (x) v bodˇe [x0 , y0 = f (x0 )], tj.
y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). Dosad´ıme do rovnice za f 0 vzorec (7.1) a dost´av´ame
y − y0 = −
Fx (x0 , y0 )
(x − x0 ).
Fy (x0 , y0 )
Parci´aln´ı derivaci Fy jiˇz spoˇctenou m´ame, dopoˇcteme parci´aln´ı derivaci Fx
Fx (x, y) = −1
⇒
Fx (π, π) = −1.
Derivace f 0 v bodˇe x = π je
f 0 (π) = −
Fx (π, π)
−1
2
=− 3 = .
Fy (π, π)
3
2
Rovnice teˇcny t je
2
y − π = (x − π)
3
⇒
64
2
1
x − y + π = 0.
3
3
Norm´ala n je pˇr´ımka kolm´a k teˇcnˇe, vyuˇzijeme faktu, ˇze smˇerov´
y vektor teˇcny
je stejn´
y jako norm´alov´
y vektor norm´aly. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je norm´alov´
y
y vektor teˇcny st = (1, 32 ) je totoˇzn´
y
vektor teˇcny nt = ( 23 , −1), smˇerov´
s norm´alov´
ym vektorem norm´aly n. Tud´ıˇz rovnice norm´aly n je dan´a rovnic´ı
x + 32 y − 35 π = 0.
Pozn´
amka 7.12. Hodnota − 35 π se dopoˇcte dosazen´ım norm´alov´eho vektoru
norm´aly nn = (1, 23 ) a bodu [π, π] do obecn´e rovnice pˇr´ımky v rovinˇe.
Pˇ
r´ıklad 7.13. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice y − 12 sin y = x zad´av´a v bodˇe [ π−1
, π2 ]
2
implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). Rozhodnˇete, zda graf t´eto funkce dan´e
, π2 ] pod teˇcnou nebo nad teˇcnou.
implicitnˇe leˇz´ı v okol´ı bodu [ π−1
2
ˇ sen´ı. Ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.2 pro funkci F (x, y) =
Reˇ
y − 12 sin y −x a pro [x0 , y0 ] = [ π−1
, π2 ]. Funkce F m´a spojit´e parci´aln´ı derivace
2
π
π
1
π−1
= π2 − 12 − π−1
=0a
v R2 . Plat´ı F ( 2 , 2 ) = 2 − 2 sin π2 − π−1
2
2
1
π−1 π
Fy (x, y) = 1 − cos y ⇒ Fy
,
= 1 6= 0.
2
2
2
Pˇredpoklady vˇety 7.2 jsou splnˇeny, takˇze rovnice y − 12 sin y − x = 0 v okol´ı
, π2 ] urˇcuje implicitnˇe pr´avˇe jednu funkci y = f (x) maj´ıc´ı derivace
bodu [ π−1
2
) = π2 . K tomu, abychom urˇcili, zda bod [ π2 , π2 ]
vˇsech ˇra´d˚
u takovou, ˇze f ( π−1
2
leˇz´ı pod nebo nad teˇcnou, mus´ıme spoˇc´ıst druhou derivaci podle x. Budeme
urˇcovat, zda implicitnˇe urˇcen´a funkce je v bodˇe x = π−1
konvexn´ı nebo
2
1
nme si,
konk´avn´ı. Derivujeme-li rovnici y − 2 sin y − x = 0 podle x (pˇripomeˇ
ˇze uvaˇzujeme y jako funkci promˇenn´e x), dost´av´ame
1 0
π−1
0
0
= 1.
y − y cos y − 1 = 0 ⇒ y
2
2
Dalˇs´ım derivov´an´ım podle x (s vyuˇzit´ım vˇety 7.4) obdrˇz´ıme
1
1
y 00 − y 00 cos y + (y 0 )2 sin y = 0
2
2
a odtud
y 00 =
− 21 (y 0 )2 sin y
.
1 − 12 cos y
65
, π2 ], dostaneme y 00 ( π−1
) = − 21 . To
Dosad´ıme-li do tohoto vztahu bod [ π−1
2
2
π−1 π
znamen´a, ˇze kˇrivka leˇz´ı v okol´ı bodu [ 2 , 2 ] pod teˇcnou, nebot’ implicitnˇe
urˇcen´a funkce je v bodˇe x = π−1
konk´avn´ı (druh´a derivace v dan´em bodˇe je
2
z´aporn´a).
Pˇ
r´ıklad 7.14. K rovnici −x2 + y 2 − 2xy + y = 0 najdˇete body, v nichˇz jsou
splnˇeny pˇredpoklady vˇety o implicitn´ı funkci 7.2 a kter´e jsou stacion´arn´ımi
body takto implicitnˇe definovan´
ych funkc´ı jedn´e promˇenn´e. Rozhodnˇete, zda
jsou v tˇechto bodech lok´aln´ı extr´emy.
ˇ sen´ı. Oznaˇcme F (x, y) = −x2 + y 2 − 2xy + y. Hled´ame body, kter´e vyReˇ
hovuj´ı rovnici F (x0 , y0 ) = 0 a plat´ı pro nˇe Fy (x0 , y0 ) 6= 0. Potom z vˇety 7.2
vypl´
yv´a, ˇze v okol´ı kaˇzd´eho takov´eho bodu je rovnic´ı F (x, y) = 0 urˇcena
jedin´a implicitn´ı funkce y = f (x). D´ale poˇzadujeme, aby x0 byl stacion´arn´ım
bodem t´eto funkce, tedy aby
f 0 (x0 ) = −
Fx (x0 , y0 )
=0
Fy (x0 , y0 )
⇒
Fx (x0 , y0 ) = 0.
Hledan´e body z´ısk´ame vyˇreˇsen´ım soustavy rovnic F (x, y) = 0 a Fx (x, y) = 0.
V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy
F (x, y) = −x2 + y 2 − 2xy + y = 0 a Fx (x, y) = −2x − 2y = 0.
Z druh´e rovnice m´ame y = −x. Dosazen´ım y = −x do prvn´ı rovnice dost´av´ame
x(2x−1) = 0 a odtud x1 = 0, x2 = 12 , y1 = 0, y2 = − 21 . M´ame dva stacion´arn´ı
body: P = [0, 0], Q = [ 12 , − 21 ]. Nyn´ı mus´ıme ovˇeˇrit, zda v tˇechto bodech plat´ı
Fy (x, y) 6= 0. Spoˇcteme Fy (x, y) = 2y − 2x + 1 a dosad´ıme body P , Q, tj.
Fy (P ) = 1 6= 0,
Fy (Q) = 3 6= 0.
Jak v okol´ı bodu P , tak v okol´ı bodu Q je rovnic´ı F (x, y) = 0 urˇcena implicitnˇe funkce jedn´e promˇenn´e f1 (x), resp. f2 (x).
Abychom mohli extr´emy v nalezen´
ych bodech urˇcit, mus´ıme spoˇc´ıst druh´e
derivace implicitnˇe dan´e funkce. Derivace spoˇcteme pomoc´ı vˇety 7.4, tj. Derivujeme zadanou rovnici podruh´e podle x,
((1 − 2x + 2y)y 0 = 2x + 2y)0 ⇒ (−2 + 2y 0 )y 0 + (1 − 2x + 2y)y 00 = 2 + 2y 0 .
Odtud
y 00 =
2 + 4y 0 − 2(y 0 )2
.
1 − 2x + 2y
66
Postupnˇe dosad´ıme stacion´arn´ı body P , Q do y 00 :
f100 (0) = 2 > 0 ⇒ minimum,
1
f200 ( ) = −2 < 0 ⇒ maximum.
2
Funkce f1 (x) m´a v bodˇe 0 lok´aln´ı minimum a funkce f2 (x) m´a v bodˇe
lok´aln´ı maximum.
1
2
Pˇ
r´ıklad 7.15. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice ln x2 z 3 = ez cos y − 1 zad´av´a v okol´ı bodu
[−1, π2 , 1] implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y). Vypoˇctˇete jej´ı parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇra´du a urˇcete jejich hodnotu v dan´em bodˇe [−1, π2 , 1].
ˇ sen´ı. Pro F (x, y, z) = ln x2 z 3 − ez cos y + 1 a bod [x0 , y0 , z0 ] = [−1, π , 1]
Reˇ
2
ovˇeˇr´ıme, zda jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.6. Plat´ı
π F −1, , 1 = ln 1 − e0 + 1 = 0 − 1 + 1 = 0.
2
D´ale
π
3
− ez cos y cos y ⇒ Fz (−1, , 1) = 3 6= 0.
z
2
2 3
z cos y
Rovnic´ı ln x z − e
+ 1 = 0 je v okol´ı bodu [−1, π2 , 1] implicitnˇe zad´ana
funkce z = f (x, y) takov´a, ˇze f (−1, π2 ) = 1. Parci´aln´ı derivace zx , zy vypoˇcteme
ze vzorce (7.2), tj.
Fz (x, y, z) =
zx = fx = −
zy = fy = −
2
Fx
x
= −3
Fz
− ez cos y cos y
z
Fy
ez cos y z sin y
= −3
Fz
− ez cos y cos y
z
⇒
⇒
π 2
zx −1,
= ,
2
3
π
1
zy −1,
=− .
2
3
Tot´eˇz m˚
uˇzeme spoˇc´ıst i jin´
ym zp˚
usobem. Budeme hledat zx , zy podle n´ıˇze
popsan´eho postupu. Nejdˇr´ıve spoˇcteme zx , tj. v rovnici F (x, y, z) = 0 budeme
uvaˇzovat y jako konstantu a z bude funkc´ı x, y. Rovnici zderivujeme podle
x a vyj´adˇr´ıme derivaci zx . Tent´
yˇz postup plat´ı i pro urˇcen´ı derivace zy jen
s t´ım rozd´ılem, ˇze v rovnici F (x, y, z) = 0 budeme uvaˇzovat promˇennou x
jako konstantu a rovnici derivujeme podle y.
(ln x2 z 3 )x = (ez cos y − 1)x ⇒
2xz 3 3x2 z 2 zx
+
= ez cos y zx cos y.
x2 z 3
x2 z 3
67
Odtud vyj´adˇr´ıme zx ,
zx =
(ln x2 z 3 )y = (ez cos y − 1)y ⇒
Odtud vyj´adˇr´ıme zy ,
zy =
2
x
ez cos y
−
3
z
.
3x2 z 2 zy
= ez cos y zy cos y − ez cos y z sin y.
x2 z 3
−ez cos y z sin y
.
3
− ez cos y cos y
z
Pˇ
r´ıklad 7.16. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice z + ez = xy + 2 zad´av´a v okol´ı bodu
[−1, 1, 0] implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y), a vypoˇc´ıtejte prvn´ı a druh´e
parci´aln´ı derivace t´eto funkce f v dan´em bodˇe.
ˇ sen´ı. Oznaˇcme F (x, y, z) = z+ez −xy−2, [x0 , y0 , z0 ] = [−1, 1, 0]. Ovˇeˇr´ıme,
Reˇ
zda jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety 7.6. Je F (−1, 1, 0) = 0 + e0 − (−1) − 2 =
1 + 1 − 2 = 0. D´ale
Fz (x, y, z) = 1 + ez
⇒
Fz (−1, 1, 0) = 2 6= 0.
Pˇredpoklady vˇety 7.6 jsou splnˇeny a rovnice z + ez − xy − 2 v okol´ı bodu
[−1, 1, 0] implicitnˇe zad´av´a pr´avˇe jednu funkci z = f (x, y) pro niˇz plat´ı
f (−1, 1) = 0. Protoˇze funkce F m´a spojit´e parci´aln´ı derivace libovoln´eho
ˇra´du, plat´ı tot´eˇz podle vˇety 7.7 i pro funkci f . Nejdˇr´ıve budeme poˇc´ıtat
parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇra´du, tj. zx , zy , podle vzorce (7.2). Tedy
−y 1
Fx =−
= .
zx (−1, 1) = fx (−1, 1) = − z
Fz [−1,1,0]
1 + e [−1,1,0] 2
Fy −x 1
zy (−1, 1) = fy (−1, 1) = − .
=−
=
−
Fz [−1,1,0]
1 + ez [−1,1,0]
2
Alternativnˇe m˚
uˇzeme prvn´ı derivaci podle x resp. y spoˇc´ıst derivac´ı rovnice
F (x, y, z) = 0 podle x resp. y. Pˇri derivaci rovnice podle x uvaˇzujeme, ˇze z
je funkce dvou promˇenn´
ych x, y a y povaˇzujeme za konstantu, tj.
y
(z + ez )x = (xy + 2)x ⇒ zx + ez zx = y ⇒ zx =
,
1 + ez
dosad´ıme bod [−1, 1] a m´ame zx (−1, 1) = 21 . Stejn´
y postup plat´ı pro derivaci rovnice podle y s t´ım rozd´ılem, ˇze nyn´ı za konstantu budeme uvaˇzovat
promˇennou x, tj.
x
(z + ez )y = (xy + 2)y ⇒ zy + ez zy = x ⇒ zy =
1 + ez
68
a v bodˇe [−1, 1] dost´av´ame hodnotu zy (−1, 1) = − 12 .
Nyn´ı zb´
yv´a spoˇc´ıst druh´e derivace, tedy zxx , zxy a zyy . Podle vˇety 7.7 k jejich
v´
ypoˇctu vyuˇzijeme jiˇz spoˇcten´e prvn´ı derivace a budeme je derivovat jeˇstˇe
jednou bud’ podle x nebo podle y. Mˇejme na pamˇeti, ˇze uvaˇzujeme z jako
funkci dvou promˇenn´
ych x, y. Pˇri derivaci podle x vystupuje y jako konstanta
a obr´acenˇe. Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıt´ame derivaci zxx , tj. derivujeme zx podle x,
(zx + ez zx )x = yx ⇒ zxx + ez (zx )2 + ez zxx = 0 ⇒ zxx = −
ez (zx )2
.
1 + ez
Hodnota zxx v bodˇe [−1, 1] je zxx (−1, 1) = − 81 .
D´ale poˇc´ıt´ame derivaci zxy , tj. derivujeme zx podle y,
(zx + ez zx )y = yy ⇒ zxy + ez zy zx + ez zxy = 1 ⇒ zxy =
1 − ez zy zx
.
1 + ez
Hodnota zxy v bodˇe [−1, 1] je zxy (−1, 1) = 58 .
Zb´
yv´a spoˇc´ıst derivaci zyy , tj. derivujeme zy podle y,
(zy + ez zy )y = xy ⇒ zyy + ez (zy )2 + ez zyy = 0 ⇒ zyy = −
ez (zy )2
.
1 + ez
Hodnota zyy v bodˇe [−1, 1] je zyy (−1, 1) = − 81 .
S ohledem na Schwarzovu vˇetu nen´ı potˇreba poˇc´ıtat derivaci zyx .
Jelikoˇz jsme spoˇcetli prvn´ı i druh´e parci´aln´ı derivace, m˚
uˇzeme funkci z =
f (x, y) nahradit Taylorov´
ym polynomem druh´eho ˇra´du se stˇredem v bodˇe
[x0 , y0 ] = [−1, 1]. Taylor˚
uv polynom T2 (x, y) m´a tvar
T2 (x, y) = f (−1, 1) + fx (−1, 1)(x − 1) + fy (−1, 1)(y − 1)+
1
+ [fxx (−1, 1)(x − 1)2 + 2fxy (−1, 1)(x − 1)(y − 1) + fyy (−1, 1)(y − 1)2 ],
2
tud´ıˇz
1
1
T2 (x, y) =
(x + 1) − (y − 1) +
2
2
1
1
5
1
2
2
+
− (x + 1) + (x + 1)(y − 1) − (y − 1) .
2
8
4
8
Pˇ
r´ıklad 7.17. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice x2 + y 2 + z 2 + xyz = 20 zad´av´a v okol´ı
bodu [1, 2, 3] implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y), a najdˇete rovnici teˇcn´e
roviny ke grafu funkce z v tomto bodˇe.
69
ˇ sen´ı. Pro funkci F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + xyz − 20 a [x0 , y0 , z0 ] = [1, 2, 3]
Reˇ
ovˇeˇr´ıme pˇredpoklady vˇety 7.6. Plat´ı F (1, 2, 3) = 1 + 4 + 9 + 6 − 20 = 0. D´ale
Fz (x, y, z) = 2z + xy
⇒
Fz (1, 2, 3) = 8 6= 0.
Rovnice x2 + y 2 + z 2 + xyz − 20 = 0 v okol´ı bodu [1, 2, 3] implicitnˇe zad´av´a
pr´avˇe jednu funkci z = f (x, y) takovou, ˇze f (1, 2) = 3. Rovnice teˇcn´e roviny
k funkci z = f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] m´a tvar
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
Urˇc´ıme parci´aln´ı derivace funkce z derivov´an´ım funkce F (x, y, z) = x2 + y 2 +
z 2 + xyz − 20 podle x, y a podle z pomoc´ı vztahu (7.2), tj.
zx = fx = −
Fx
Fy
2x + yz
2y + xz
, zy = fy = −
.
=−
=−
Fz
2z + xy
Fz
2z + xy
Hodnoty parci´aln´ıch derivac´ı v bodˇe [1, 2] tedy jsou
2x + yz zx (1, 2) = fx (1, 2) = −
= −1,
2z + xy [1,2,3]
7
2y + xz =− .
zy (1, 2) = fy (1, 2) = −
2z + xy [1,2,3]
8
Vypoˇcten´e hodnoty derivac´ı v bodˇe [1, 2] dosad´ıme do vzorce pro teˇcnou
rovinu a z´ısk´av´ame
7
z − 3 = −(x − 1) − (y − 2),
8
po u
´pravˇe
7
23
x+ y+z−
= 0.
8
4
70
7.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 7.1. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice xy ln(x + y) = 0 zad´av´a v okol´ı bodu [2, −1]
implicitnˇe jedinou funkci y = f (x), a vypoˇc´ıtejte y 0 t´eto funkce y v dan´em
bodˇe [2, −1].
2
Cviˇ
cen´ı 7.2. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice esin x + esin xy − 2y = 2 zad´av´a v okol´ı bodu
[0, 0] implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). V bodˇe [0, 0] vypoˇc´ıtejte jej´ı prvn´ı
derivaci.
Cviˇ
cen´ı 7.3. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice sin xy + cos xy = −1 zad´av´a v okol´ı bodu
[1, π] implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). Vypoˇc´ıtejte je´ı prvn´ı a druhou
derivaci a napiˇste jej´ı Taylor˚
uv polynom T2 (x) se stˇredem v bodˇe 1.
Cviˇ
cen´ı 7.4. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice ecos x + sin y 2 + x2 y 3 + y − 1 = 0 zad´av´a
v okol´ı bodu [ π2 , 0] implicitnˇe jedinou funkci y = f (x). Vypoˇc´ıtejte jej´ı prvn´ı.
Cviˇ
cen´ı 7.5. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice xy + ln y − 1 = 0 zad´av´a v okol´ı bodu [1, 1]
implicitnˇe jedinou funkci y = f (x), a napiˇste rovnice teˇcny a norm´aly ke
grafu t´eto funkce v bodˇe [1, 1].
Cviˇ
cen´ı 7.6. K rovnici x2 + 2y 2 − 2xy + 2x + 1 = 0 najdˇete body, v nichˇz
jsou splnˇeny vˇsechny pˇredpoklady vˇety o implicitn´ı funkci a kter´e jsou stacion´arn´ımi body takto implicitnˇe definovan´e funkce jedn´e promˇenn´e. Rozhodnˇete, zda jsou v tˇechto bodech lok´aln´ı extr´emy.
+ ln(z 2 − 3) + 13 = 0 zad´av´a v okol´ı bodu
Cviˇ
cen´ı 7.7. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice z−x
y
[1, −3, 2] implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y). Vypoˇctˇete prvn´ı parci´aln´ı
derivace t´eto funkce z a urˇcete jej´ı hodnotu v bodˇe [1, −3, 2].
Cviˇ
cen´ı 7.8. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice arctg x + arctg y + arctg z − 5x = 0 zad´av´a
v okol´ı bodu [0, 0, 0] implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y). Spoˇctˇete jej´ı prvn´ı
parci´aln´ı derivace.
z
Cviˇ
cen´ı 7.9. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice y x − 2 = 0 zad´av´a v okol´ı bodu [1, 2, 1]
implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y). Spoˇctˇete jej´ı prvn´ı a druh´e parci´aln´ı
derivace a napiˇste Taylor˚
uv polynom T2 (x, y)(1, 2).
Cviˇ
cen´ı 7.10. Ovˇeˇrte, ˇze rovnice 2z + z 2 − x4 + 2x2 y + xy + y 2 − 7 = 0
zad´av´a v okol´ı bodu [1, 0, 2] implicitnˇe jedinou funkci z = f (x, y). Napiˇste
rovnici teˇcn´e roviny ke grafu t´eto funkce z v bodˇe [1, 0, 2].
71
8
Lok´
aln´ı extr´
emy funkc´ı n promˇ
enn´
ych
8.1
Definice a vˇ
ety
Definice 8.1. Kvadratickou formou n promˇ
enn´
ych naz´
yv´ame polynom
druh´eho stupnˇe n argument˚
u, kter´
y lze ps´at v n´asleduj´ıc´ım tvaru
Φ2 (x1 , x2 , . . . xn ) =
n
X
aii x2i
i=1
+2
n
X
aij xi xj ,
i,j=1,i<j
kde aij = aji .
Definice 8.2. Kvadratick´a forma n promˇenn´
ych se naz´
yv´a
• kladnˇ
e definitn´ı, jestliˇze v bodech r˚
uzn´
ych od poˇc´atku nab´
yv´a pouze
kladn´
ych hodnot;
• z´
apornˇ
e definitn´ı, jestliˇze v bodech r˚
uzn´
ych od poˇca´tku nab´
yv´a pouze
z´aporn´
ych hodnot;
• kladnˇ
e semidefinitn´ı, jestliˇze v bodech r˚
uzn´
ych od poˇca´tku nab´
yv´a
pouze nez´aporn´
ych hodnot;
• z´
apornˇ
e semidefinitn´ı, jestliˇze v bodech r˚
uzn´
ych od poˇc´atku nab´
yv´a
pouze nekladn´
ych hodnot;
• indefinitn´ı, jestliˇze v nˇekter´
ych bodech r˚
uzn´
ych od poˇca´tku nab´
yv´a
kladn´
ych hodnot, zat´ımco v jin´
ych bodech r˚
uzn´
ych od poˇc´atku nab´
yv´a
z´aporn´
ych hodnot.
Vˇ
eta 8.3. Necht’ D1 , D2 ,..., Dn jsou z´akladn´ı hlavn´ı minory determinantu
D kvadratick´e formy Φ. Pak je tato forma
• kladnˇe definitn´ı, pr´avˇe kdyˇz jsou vˇsechny jej´ı z´akladn´ı hlavn´ı minory
kladn´e;
• z´apornˇe definitn´ı, pr´avˇe kdyˇz je kvadratick´a forma −Φ kladnˇe definitn´ı.
72
ˇ ık´ame, ˇze funkce n promˇenn´
Definice 8.4. R´
ych f (x1 , . . . xn ) m´a v bodˇe x∗ =
∗
∗
∗
[x1 , x2 , . . . , xn ] sv´eho definiˇcn´ıho oboru lok´
aln´ı maximum, popˇr. lok´
aln´ı
minimum, jestliˇze existuje okol´ı O(x∗ ) ⊆ Df takov´e, ˇze plat´ı
f (x) ≤ f (x∗ ),
popˇr.
f (x) ≥ f (x∗ )
pro kaˇzd´
y bod x ∈ O(x∗ ). Jsou-li uveden´e nerovnosti splnˇeny pro x 6= x∗
ostˇre, hovoˇr´ıme o ostr´
em lok´aln´ım maximu, popˇr. minimu.
Souhrnnˇe naz´
yv´ame maxim´aln´ı a minim´aln´ı hodnoty funkce f jej´ımi extrem´
aln´ımi hodnotami, struˇcnˇe jen extr´emy.
Vˇ
eta 8.5. (Fermatova) Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f (x1 , . . . xn ) m´a lok´aln´ı
extr´em v bodˇe x∗ = [x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ] a ˇze v bodˇe x∗ existuje parci´aln´ı derivace
funkce f podle promˇenn´e xi , 1 ≤ i ≤ n. Pak plat´ı
fxi (x∗ ) = 0.
Definice 8.6. Bod x∗ , ve kter´em jsou vˇsechny parci´aln´ı derivace prvn´ıho
ˇra´du funkce n nulov´e, naz´
yv´ame stacion´
arn´ım bodem funkce f .
D˚
usledek 8.7. Necht’ m´a funkce f v bodˇe x∗ , ve kter´em existuj´ı vˇsechny
parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´adu funkce f , lok´aln´ı extr´em. Pak x∗ je stacion´arn´ım bodem funkce f .
Vˇ
eta 8.8. Necht’ x∗ = [x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ] je stacion´arn´ı bod funkce, v jehoˇz
okol´ı m´a funkce f spojit´e vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. Uvaˇzujme
kvadratickou formu Φ, kterou pˇredstavuje diferenci´al druh´eho ˇr´adu funkce f
v bodˇe x∗ , tj. kvadratickou formu tvaru
d2 f (x∗ ) = (h1
∂
∂ 2
∂
+ h2
+ · · · hn
) f (x∗ ) = Φ(h1 , h2 , . . . , hn ).
∂x1
∂x2
∂xn
V bodˇe x∗ nast´av´a lok´aln´ı extr´em, a to
• ostr´e lok´aln´ı maximum, je-li Φ z´apornˇe definitn´ı forma,
• ostr´e lok´aln´ı minimum, je-li Φ kladnˇe definitn´ı forma.
Je-li Φ indefinitn´ı forma, pak v bodˇe x∗ lok´aln´ı extr´em nenast´av´a.
73
8.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 8.9. Vyˇsetˇrete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 +y 2 −3x+2y+18.
ˇ sen´ı. Nejprve je nutn´e naj´ı stacion´arn´ı body funkce f . Vypoˇcteme tedy
Reˇ
parci´aln´ı derivace podle promˇenn´
ych x, y a poloˇz´ıme je rovny nule. Dost´av´ame
fx (x, y) = 2x − 3
a
fy (x, y) = 2y + 2.
Tyto parci´aln´ı derivace jsou rovny 0, jestliˇze x = 1, 5 a y = −1. To znamen´a,
ˇze vyˇsetˇrovan´a funkce m´a pouze jeden stacion´arn´ı bod. K tomu, abychom zjistili, zda se jedn´a o lok´aln´ı maximum ˇci minimum, potˇrebujeme zn´at parci´aln´ı
derivace druh´eho ˇra´du. Snadno vid´ıme, ˇze
fxx = 2,
fyy = 2
a
fxy = 0.
Ze vztah˚
u fxx = 2 > 0 a fxx fyy − (fxy )2 = 4 > 0 vypl´
yv´a, ˇze se jedn´a o bod
lok´aln´ıho minima.
V pˇredch´azej´ıc´ım postupu nebylo nutn´e vyuˇz´ıt parci´aln´ıch derivac´ı druh´eho ˇra´du. Zadan´a funkce m´a jednoduch´
y tvar a je moˇzn´e ji n´asledovnˇe upravit
f (x, y) = (x − 1, 5)2 + (y + 1)2 + 14, 75.
Nyn´ı d´ıky nerovnostem (x − 1, 52 ) ≥ 0 a (y + 1)2 ≥ 0 snadno nahl´edneme,
ych x a y. Bod [1,5,-1] je
ˇze f (x, y) ≥ 14( 43 ) pro libovoln´e hodnoty promˇenn´
tedy skuteˇcnˇe lok´aln´ım minimem zkouman´e funkce.
Pˇ
r´ıklad 8.10. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x3 − 6xy + y 3 .
ˇ sen´ı. Budeme postupovat obvykl´
Reˇ
ym zp˚
usobem, kter´
y spoˇc´ıv´a v nalezen´ı
stacion´arn´ıch bod˚
u pomoc´ı parci´aln´ıch derivac´ı. Dost´av´ame
fx (x, y) = 3x2 − 6y
a
Ze vztahu x2 − 2y = 0 dost´av´ame y =
3y 2 − 6x = 0 obdrˇz´ıme rovnici
fy (x, y) = 3y 2 − 6x.
x2
2
a po dosazen´ı za y do rovnice
3
x(x3 − 8) = 0.
4
74
ˇ sen´ım t´eto rovnice jsou hodnoty x1 = 0 a x2 = 2. Dosad´ıme-li z´ıskan´e
Reˇ
hodnoty do rovnice x2 − 2y = 0, abychom vypoˇcetli y-ov´e souˇradnice stacion´arn´ıch bod˚
u, dost´av´ame y1 = 0, y2 = 2. Zkouman´a funkce m´a tedy dva
stacion´arn´ı body B1 = [0, 0], B2 = [2, 2].
Nyn´ı pˇristoup´ıme ke zkoum´an´ı charakteru bod˚
u B1 , B2 a k tomu je zapotˇreb´ı vypoˇc´ıtat parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. Obdrˇz´ıme
fxx = 6x,
fxy = −6
a
fyy = 6y.
Protoˇze fxx (0, 0) · fyy (0.0) − [fxy (0, 0)]2 = −36 < 0, vid´ıme, ˇze bod B1 je
sedlov´
ym bodem funkce f (x, y).
Analogick´
ym postupem ze vztah˚
u fxx (2, 2)·fyy (2, 2)−[fxy (2, 2)]2 = 108 >
0 a fxx (2, 2) = 12 > 0 dost´av´ame, ˇze bod B2 je bodem lok´aln´ıho minima
funkce f (x, y).
Pˇ
r´ıklad 8.11. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce tˇr´ı promˇenn´
ych dan´e vztahem
3
3
3
f (x, y, z) = x + y + z − 3(xy + xz).
ˇ sen´ı. Vyjdeme opˇet z parci´aln´ıch derivac´ı finkce f (x, y, z), kter´e maj´ı tvar
Reˇ
fx = 3x2 − 3y − 3z,
fy = 3y 2 − 3x
a
fz = 3z 2 − 3x.
Poloˇz´ıme-li obdrˇzen´e parci´aln´ı derivace rovny nule, dost´av´ame soustavu rovnic
x2 − y − z = 0
y2 − x = 0
z 2 − x = 0.
D´ale lze dosadit y 2 za x do prvn´ı a tˇret´ı rovnice, coˇz d´av´a vztahy
y4 − y − z = 0
z 2 − y 2 = 0.
Z rovnosti z 2 = y 2 m´ame z = y nebo z = −y.
Uvaˇzujme nejprve pˇr´ıpad z = y. Dosad´ıme-li za z do rovnice y 4 −y−z = 0,
dost´av´ame
y(y 3 − 2) = 0.
√
Z obdrˇzen´eho vztahu vypl´
yv´a, ˇze y1 = 0 nebo y2 = 3 2. D´ale ihned vid´ıme√ˇze
tˇemto hodnot´am odpov´ıdaj´ı hodnoty promˇenn´e z ve tvaru z1 = 0, z2 = 3 2.
75
√
Z rovnosti x = z 2 pak vypoˇcteme x1 = 0 a x2 = 3 4. Obdrˇzeli jsme tedy dva
stacion´arn´ı body
√
√
√
3
3
3
B1 = [0, 0, 0] a B2 = [ 4, 2, 2].
Vyˇsetˇr´ıme-li nyn´ı pˇr´ıpad z = −y, dost´av´ame po dosazen´ı za promˇennou
z do rovnice y 4 − y − z = 0 rovnost y 4 = 0, coˇz n´am d´av´a koˇren y3 = 0. Pak
ale tak´e z3 = 0 a x3 = 0. V tomto pˇr´ıpadˇe jsme tedy neobdrˇzeli ˇz´adn´
y dalˇs´ı
stacion´arn´ı bod, kter´
y by byl r˚
uzn´
y od bod˚
u B1 a B2 .
Pro parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu dostaneme
fxx = 6x, fyy = 6y, fzz = 6z, fxy = −3, fxz = −3, fyz = 0.
Chceme-li nyn´ı vyˇsetˇrit kvadratickou formu, kterou pˇredstavuje diferenci´al
druh´eho ˇra´du, pracujeme vlastnˇe s determinantem
6x −3 −3 D = −3 6y 0 .
−3 0 6z Uvaˇzujeme-li bod B1 = [0, 0, 0], dostaneme
0 −3 −3 0 .
D = −3 0
−3 0
0 0 −3 je z´aporn´
Ihned vid´ıme, ˇze hlavn´ı minor D2 = y, coˇz znamen´a, ˇze
−3 0 pˇr´ısluˇsn´a kvadratick´a forma je indefinitn´ı a poˇca´tek je tedy sedlov´
ym bodem
funkce f (x, y, z). √ √ √
V bodˇe B2 = [ 3 4, 3 2, 3 2] m´ame
√
6 3 4 −3 −3 √
D = −3 6 3 2 √
0 −3
0
632 √
√
√
a vid´ıme, ˇze D1 = 6 3 4 > 0, D2 = 36 · 2 − 9 > 0, D3 = 216 3 16 − 108 3 2 > 0.
Kvadratick´a forma je tedy pozitivnˇe definitn´ı a bod B2 je v d˚
usledku toho
bodem lok´aln´ıho minima funkce f (x, y, z).
76
Pˇ
r´ıklad 8.12. Najdˇete nejkratˇs´ı vzd´alenost bodu B = [1, 1, 1] od roviny
3x + y + z = 2.
ˇ sen´ı. Vzd´alenost libovoln´eho bodu [x, y, z] od bodu B = [1, 1, 1] je d´ana
Reˇ
vztahem
d=
p
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 .
Pokud ovˇsem bod [x, y, z] leˇz´ı v rovinˇe 3x + y + z = 2, m˚
uˇzeme vyj´adˇrit
nˇekterou z promˇenn´
ych x, y, z pomoc´ı zbyl´
ych dvou. M´ame tedy napˇr´ıklad
z = 2 − 3x − y, coˇz znamen´a, ˇze je zapotˇreb´ı naj´ıt extr´emn´ı hodnoty funkce
d=
p
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (1 − 3x − y)2 .
Uˇziteˇcn´
ym trikem, kter´
y se pˇri minimalizaci vzd´alenosti pouˇz´ıv´a, je umocnˇen´ı funkˇcn´ıho vztahu, ˇc´ımˇz odstran´ıme odmocninu a zjednoduˇs´ıme tak vztahy, kter´e obdrˇz´ıme pˇri v´
ypoˇctu parci´aln´ıch derivac´ı minimalizovan´e funkce.
Budeme tedy hledat extr´em funkce.
d2 = f (x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (1 − 3x − y)2 .
Dost´av´ame
fx = 2(x − 1) − 2(1 − 3x − y).(+3) = 20x + 6y − 8
,
fy = 2(y − 1) − 2(1 − 3x − y) = 4y + 6x − 4
. V´ıd´ıme, ˇze funkce d2 m´a jedin´
y kritick´
y bod
8 6 4 4 8
2
=
x = =
44
11
20 6 6 4 20 8 6 4 8
32
=
y = = .
44
11
20 6 6 4 2 8
Z povahy u
´lohy vypl´
yv´a, ˇze nalezen´
y bod [ 11
, 11 ] je bodem lok´aln´ıho i
2
glob´aln´ıho minima funkce d , protoˇze v rovinˇe 3x + y + z = 2 mus´ı leˇzet bod,
77
kter´
y je nejb´ıˇz k bodu B = [1, 1, 1]. Tyto u
´vahy uˇz jen form´alnˇe potvrd’me
v´
ypoˇctem, kdy ze vztah˚
u fxx = 20, fyy = 4, fxy = 6 vypl´
yv´a
2
= 44 > 0,
fxx · fyy − fxy
2 8
a to znamen´a, ˇze bod [ 11
, 11 ] je skuteˇcnˇe bodem lok´aln´ıho minima zkouman´e
funkce. Zb´
yv´a urˇcit hodnotu nejkratˇs´ı vzd´alenosti bodu B = [1, 1, 1] od roviny 3x + y + 2 = 2. Je d´ana vztahem
s √
2 2
2
9
3
6
8
3 11
+
+ 1−
−
=
.
d=
11
11
11 11
11
Pˇ
r´ıklad 8.13. Obd´eln´ıkov´a dˇrevˇen´a bedna bez v´ıka m´a objem Cdm3 , kde
C je kladn´a konstanta. Jak´e maj´ı b´
yt rozmˇery bedny, jestliˇze chceme minimalizovat spotˇrebu dˇreva potˇrebn´eho k jej´ı v´
yrobˇe. Pˇri v´
ypoˇctu zanedbejte
tlouˇst’ku stˇen bedny.
ˇ sen´ı. Oznaˇc´ıme-li d´elky jednotliv´
Reˇ
ych stran bedny pomoc´ı promˇenn´
ych x,
y a z, pak je objem bedny d´an vztahem
V = xyz = C.
Naˇs´ım u
´kolem je minimalizovat plochu stˇen bedny, pˇriˇcemˇz celkov´
y obsah je
d´an vztahem
S = xy + 2xz + 2yz.
Obsah minimalizovan´e plochy je tedy obecnˇe funkc´ı tˇr´ı promˇenn´
ych. VyuˇziC
uˇzeme n´aˇs probl´em redukovat na hled´an´ı
jeme-li ale skuteˇcnosti, ˇze z = xy , m˚
extr´emu funkce dvou promˇenn´
ych tvaru
S = xy +
2xC 2yC
2C 2C
+
= xy +
+
.
xy
xy
y
x
Parci´aln´ı derivace funkce S podle promˇenn´
ych x a y maj´ı tvar
Sx (x, y) = y −
2C
x2
a
Sy (x, y) = x −
2C
y2
a jsou rovny nule, jestliˇze
y=
2C
x2
a
x=
2C
,
y2
neboli
78
yx2 = 2C = xy 2 .
Z posledn´ıho vztahu dost´av´ame rovnici xy(x − y) = 0, jej´ımˇz ˇreˇsen´ım je
vzhledem k poˇzadavku nenulovosti
ych bod, pro kter´
y plat´ı x = y.
√ promˇenn´
Odtud d´ale dost´av´ame x = y = 3 2C. Z povahy u
´lohy a ze skuteˇ
cnosti,
ˇze
√
√
3
3
funkce S m´a pouze jedin´
y stacion´arn´ı bod, vypl´
yv´a, ˇze bod [ 2C, 2C] je
bodem lok´aln´ıho minima
funkce
S.
Podot´
y
k´
a
me
jeˇstˇe, ˇze tˇret´ı rozmˇer z je
√
3
2C
d´an vztahem z = 2 .
79
8.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 8.1. Najdˇete vˇsechny body grafu funkce, kter´a je dan´a vztahem
f (x, y) = x2 + y 2 − 6x + 2y + 5, v nichˇz je teˇcn´a rovina funkce rovnobˇeˇzn´a s
rovinou xy.
Cviˇ
cen´ı 8.2. Najdˇete vˇsechny body grafu funkce, kter´a je dan´a vztahem
f (x, y) = 3x2 + 12x + 4y 3 − 6y 2 + 5, v nichˇz je teˇcn´a rovina funkce rovnobˇeˇzn´a
s rovinou xy.
Cviˇ
cen´ı 8.3. Vyˇsetˇrete stacion´arn´ı body funkce f (x, y) = x2 + y 2 + x2 y + 7.
Cviˇ
cen´ı 8.4. Vyˇsetˇrete stacion´arn´ı body funkce f (x, y) = e2x cos y.
Cviˇ
cen´ı 8.5. Vyˇsetˇrete stacion´arn´ı body funkce f (x, y) = 2x sin y.
Cviˇ
cen´ı 8.6. Vyˇsetˇrete stacion´arn´ı body funkce f (x, y) = (4 − x − y)xy.
Cviˇ
cen´ı 8.7. Najdˇete takov´a tˇri kladn´a ˇc´ısla, jejichˇz souˇcet je roven 51, aby
jejich souˇcin byl maxim´aln´ı.
Cviˇ
cen´ı 8.8. Najdˇete bod leˇz´ıc´ı v rovinˇe x + 2y + 3z = 4, kter´
y je nejbliˇzˇs´ı
k poˇca´tku.
Cviˇ
cen´ı 8.9. Najdˇete vˇsechny body na ploˇse dan´e vztahem xyz = 8, kter´e
maj´ı nejkratˇs´ı vzd´alenost od poˇca´tku.
Cviˇ
cen´ı 8.10. Krabice ve tvaru kv´adru m´a m´ıt objem 20 dm3 , pˇriˇcemˇz materi´al urˇcen´
y k v´
yrobˇe boˇcn´ıch stˇen stoj´ı 10 Kˇc na dm2 , materi´al urˇcen´
y
k v´
yrobˇe dna stoj´ı 20 Kˇc na dm2 a materi´al urˇcen´
y k v´
yrobˇe v´ıka stoj´ı 30 Kˇc
na dm2 . Navrhnˇete rozmˇery krabice tak, aby n´aklady na jej´ı v´
yrobu byly
minim´aln´ı.
80
9
9.1
V´
azan´
e extr´
emy
Definice a vˇ
ety
Definice 9.1. Necht’ f : Rn → R a g1 , . . . , gm : Rn → R, kde 1 ≤ m < n,
jsou funkce. Poloˇzme M = {x ∈ Rn ; g1 (x) = 0 ∧ . . . ∧ gm (x) = 0}. Necht’
M ⊂ D(f ), x∗ = [x∗1 , . . . , x∗n ] ∈ M . Existuje-li okol´ı O(x∗ ) bodu x∗ takov´e,
ˇze pro vˇsechna x ∈ O(x∗ ) ∩ M plat´ı f (x) ≥ f (x∗ ), ˇr´ık´ame, ˇze funkce f m´a
ˇ
v bodˇe x∗ lok´
aln´ı v´
azan´
e minimum. Rekneme,
ˇze funkce f m´a v bodˇe
∗
x ∈ M lok´
aln´ı v´
azan´
e maximum, jestliˇze existuje okol´ı O(x∗ ) bodu x∗
takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ O(x∗ ) ∩ M plat´ı f (x) ≤ f (x∗ ). Lok´aln´ı v´azan´a
minima a maxima funkce f se naz´
yvaj´ı lok´
aln´ı v´
azan´
e extr´
emy.
Vˇ
eta 9.2. Necht’ funkce n promˇenn´ych f , g1 , . . . , gm , 1 ≤ m < n, maj´ı spojit´e
parci´aln´ı derivace 1. ˇr´adu v otevˇren´e mnoˇzinˇe U ⊂ Rn a necht’ v kaˇzd´em bodˇe
mnoˇziny U m´a matice
 ∂g1
∂g1 
. . . ∂x
∂x1
n
 ... .. ... 
(9.1)
∂gm
∂gm
. . . ∂xn
∂x1
hodnost m. Bud’ M mnoˇzina vˇsech bod˚
u x = [x1 , . . . , xn ], kter´e vyhovuj´ı
vazebn´ym rovnic´ım g1 (x) = 0, . . . , gm (x) = 0. M´a-li funkce f v bodˇe x∗ =
[x∗1 , . . . , x∗n ] ∈ M lok´aln´ı extr´em vzhledem k M , existuj´ı re´aln´a ˇc´ısla λ1 , . . . , λm
takov´a, ˇze
m
X
∂f ∗
∂gk ∗
λk
(x ) +
(x ) = 0, j = 1, . . . , n.
(9.2)
∂xj
∂x
j
k=1
Oznaˇcme matici (9.1) jako matici G. Matice G je tvoˇrena vektory parci´aln´ıch
derivac´ı funkce gk , tj. gk0 , k = 1, . . . , m.
Vˇ
eta 9.3. Necht’ funkce f , g1 , . . . , gm jsou dvakr´at spojitˇe diferencovateln´e
v bodˇe x∗ , kter´y je stacion´arn´ım bodem funkce f na M a λ1 , . . . , λm jsou
pˇr´ısluˇsn´e Lagrangeovy multiplik´atory, tj. L0 (x, λ) = 0. D´ale necht’ matice
(9.1) m´a v bodˇe x∗ hodnost m. Jestliˇze pro vˇsechna nenulov´a h ∈ Rn splˇ
nuj´ıc´ı
podm´ınku
hG(x∗ ), hi = 0
(9.3)
81
plat´ı
hL00 (x∗ )h, hi > 0,
(9.4)
∗
m´a funkce f v bodˇe x ostr´e lok´aln´ı minimum vzhledem k M . Jestliˇze pro
vˇsechna nenulov´a h ∈ Rn splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3) plat´ı
hL00 (x∗ )h, hi < 0,
(9.5)
m´a funkce f v bodˇe x∗ ostr´e lok´aln´ı maximum vzhledem k M .
Na z´akladˇe vˇety 9.2 a vˇety 9.3 zformulujeme n´avod, jak postupovat pˇri
hled´an´ı v´azan´
ych extr´em˚
u funkc´ı se spojit´
ymi druh´
ymi derivacemi:
1) Zap´ıˇseme vazebn´e rovnice ve tvaru gk (x) = 0, k = 1, . . . , m a urˇc´ıme hodnost matice G.
2) Vytvoˇr´ıme Lagrangeovu funkci L a urˇc´ıme stacion´arn´ı body funkce f
vzhledem k M .
3) Spoˇcteme druhou derivaci Lagrangeovy fukce L ve stacion´arn´ıch bodech.
4) Urˇc´ıme h ∈ Rn .
5) Vyˇsetˇr´ıme definitnost kvadratick´e formy hL00 (x∗ )h, hi.
9.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 9.4. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 4x + 3y − 4 na
mnoˇzinˇe M urˇcen´e rovnost´ı (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1.
´
ˇ sen´ı. Ulohu
Reˇ
budeme ˇreˇsit metodou Lagrangeov´
ych multiplik´ator˚
u s vaz∂g ∂g
bou g(x, y) = (x−1)2 +(y−2)2 −1 = 0. Matice G = ( ∂x
, ∂y ) = (2x−2, 2y−4)
m´a hodnost 1. Hodnost t´eto matice by byla nulov´a pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze
2x − 2 = 0 ⇒ x = 1,
2y − 4 = 0 ⇒ y = 2.
Bod [1, 2] vˇsak nevyhovuje vazebn´e podm´ınce. Sestav´ıme Lagrangeovu funkci
L(x, y, λ) = 4x + 3y − 4 + λ((x − 1)2 + (y − 2)2 − 1),
spoˇcteme jej´ı parci´aln´ı derivace podle promˇenn´
ych x, y a poloˇz´ıme je rovny
nule,
2
λ
3
Ly = 3 + 2λ(y − 2) = 0 ⇒ y − 2 = − .
2λ
Lx = 4 + 2λ(x − 1) = 0 ⇒ x − 1 = −
82
Dosazen´ım vyj´adˇren´
ych hodnot x − 1, y − 2 do rovnice vazby dost´av´ame
2 2
3
5
5
2
+ −
= 1 ⇒ λ1 = − , λ2 = .
−
λ
2λ
2
2
Pro λ1 = − 52 dopoˇc´ıt´ame x1 = 95 , y1 = 13
, dostali jsme tak stacion´arn´ı
5
9 13
5
∗
bod x1 = [ 5 , 5 ]. Pro λ2 = 2 dopoˇc´ıt´ame x2 = 15 , y2 = 57 , dostali jsme tak
stacion´arn´ı bod x∗2 = [ 15 , 75 ].
Sestav´ıme matici druh´
ych parci´aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce L:
2λ 0
Lxx Lxy
00
=
.
L =
0 2λ
Lyx Lyy
Dosad´ıme do L00 stacion´arn´ı body a pˇr´ısluˇsn´e hodnoty λ:
5
5
−5
0
5 0
00 ∗
00 ∗
λ1 = − , L (x1 ) =
, λ2 = , L (x2 ) =
.
0
−5
0 5
2
2
]
Nyn´ı urˇc´ıme h = (h1 , h2 ) splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3). Pro bod x∗1 = [ 95 , 13
5
8 6
∗
dost´av´ame G(x1 ) = ( 5 , 5 ) a
6
3
8 6
8
∗
hG(x1 ), hi =
,
, (h1 , h2 ) = h1 + h2 = 0 ⇒ h1 = − h2 ,
5 5
5
5
4
tj. h = − 34 t, t , t ∈ R. Tedy
3 3
−4t
125 2
−5
0
00 ∗
hL (x1 )h, hi = − t, t
=−
t < 0 pro t 6= 0.
0
−5
t
4
16
V bodˇe x∗1 je podle vˇety 9.3 lok´aln´ı maximum.
Podobnˇe pro bod x∗2 = [ 15 , 75 ] dost´av´ame G(x∗2 ) = (− 85 , − 65 ) a
8
6
3
8 6
∗
hG(x2 ), hi =
− ,−
, (h1 , h2 ) = − h1 − h2 = 0 ⇒ h1 = − h2 ,
5 5
5
5
4
tj. h = − 34 t, t , t ∈ R. Tedy
3 3
−4t
125 2
5 0
00 ∗
hL (x2 )h, hi = − t, t
=
t > 0 pro t 6= 0.
0 5
4
t
16
V bodˇe x∗2 je podle vˇety 9.3 lok´aln´ı minimum.
Vysvˇetleme si geometrick´
y v´
yznam u
´lohy. Grafem funkce f (x, y) = 4x+3y−4
83
je rovina. Vazebn´a rovnice (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 je rovnice kruˇznice se
stˇredem v bodˇe S = [1, 2], polomˇerem r = 1 leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy. Hled´ame
tedy extr´emy v bodech kruˇznice. z-ov´e souˇradnice tˇechto bod˚
u, tj. funkˇcn´ı
hodnoty odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚
um kruˇznice, leˇz´ı na kˇrivce, kter´a vznikne pr˚
unikem
v´alcov´e plochy urˇcen´e touto kruˇznic´ı s danou rovinou. Pr˚
unikovou kˇrivkou je
elipsa. Situace je zn´azornˇena na obr´azku 13.
z
y
M
x
Obr´azek 13: Maximum a minimum funkce f na mnoˇzinˇe M
Pˇ
r´ıklad 9.5. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = 4 ln y − x vzhledem
k podm´ınce x2 = y.
´
ˇ sen´ı. Ulohu
Reˇ
vyˇreˇs´ıme dvˇema zp˚
usoby.
1) Nejdˇr´ıve u
´lohu budeme ˇreˇsit metodou Lagrangeov´
ych multiplik´ator˚
u s vaz∂g ∂g
bou g(x, y) = x2 −y. Matice G = ( ∂x
, ∂y ) = (2x, −1) m´a hodnost 1. Sestav´ıme
84
Lagrangeovu funkci
L(x, y, λ) = 4 ln y − x + λ(x2 − y),
spoˇcteme jej´ı prvn´ı parci´aln´ı derivace podle promˇenn´
ych x, y a poloˇz´ıme je
rovny nule, tj.
1
2λ
4
4
Ly = − λ = 0 ⇒ y = .
y
λ
Lx = −1 + 2xλ = 0 ⇒ x =
Vyj´adˇren´e hodnoty x a y dosad´ıme do rovnice vazby, g(x, y) = x2 − y = 0,
1
2λ
2
−
4
=0
λ
⇒
λ=
1
.
16
1
Pro λ = 16
dopoˇc´ıt´ame souˇradnice x = 8, y = 64, z´ıskali jsme stacion´arn´ı
∗
bod x = [8, 64]. Sestav´ıme matici druh´
ych parci´aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy
funkce L:
2λ
0
Lxx Lxy
00
=
.
L =
0 − y42
Lyx Lyy
Dosad´ıme do L00 stacion´arn´ı bod x∗ = [8, 64] a hodnotu λ =
1
0
00 ∗
8
L (x ) =
.
1
0 − 1024
1
:
16
Nyn´ı urˇc´ıme h = (h1 , h2 ) splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3). Pro bod x∗ = [8, 64]
dost´av´ame G(x∗ ) = (16, −1) a
hG(x∗ ), hi = h(16, −1) , (h1 , h2 )i = 16h1 − h2 = 0
tj. h = (t, 16t), t ∈ R. Tedy
00 ∗
hL (x )h, hi = (t, 16t)
1
8
0
1
0 − 1024
16h1 = h2 ,
t
1
= − t2 < 0 pro t 6= 0.
16t
8
V bodˇe x∗ je podle vˇety 9.3 lok´aln´ı maximum.
85
⇒
´
2) Ulohu
m˚
uˇzeme tak´e ˇreˇsit jednoznaˇcn´
ym vyj´adˇren´ım promˇenn´e y z rovnice
2
vazby x − y = 0. T´ım z´ısk´av´ame y = x2 , kter´e dosad´ıme do zadan´e funkce
f (x, y) = 4 ln y − x, dostaneme funkci jedn´e promˇenn´e
F (x) = 4 ln x2 − x.
Zadanou u
´lohu jsme tedy pˇrevedli na u
´lohu hled´an´ı extr´em˚
u funkce jedn´e
promˇenn´e. Plat´ı
8
F 0 (x) = − 1 = 0 ⇒ x = 8.
x
00
Spoˇcten´ım druh´e derivace F (x) = − x82 a dosazen´ım bodu x = 8 z´ısk´av´ame
hodnotu F 00 (8) = − 81 < 0. Protoˇze je druh´a derivace v bodˇe x = 8 z´aporn´a,
m´a funkce F v tomto bodˇe lok´aln´ı maximum. Dopoˇc´ıt´ame y = 64. Odtud
funkce f (x, y) = 4 ln y − x m´a v bodˇe [8, 64] v´azan´e lok´aln´ı maximum.
Pˇ
r´ıklad 9.6. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 + y na mnoˇzinˇe
urˇcen´e rovnic´ı x2 + y 2 = 1.
´
ˇ sen´ı. Ulohu
Reˇ
budeme ˇreˇsit tˇremi zp˚
usoby.
1) Metoda Lagrangeov´
ych multiplik´ator˚
u. Vazba je g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0.
∂g ∂g
Matice G = ( ∂x , ∂y ) = (2x, 2y) m´a hodnost 1. Hodnost t´eto matice by byla
nulov´a pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze x = y = 0. Tyto hodnoty vˇsak nevyhovuj´ı vazebn´e
podm´ınce. Sestav´ıme Lagrangeovu funkci
L(x, y, λ) = x2 + y + λ(x2 + y 2 − 1),
spoˇcteme jej´ı parci´aln´ı derivace podle promˇenn´
ych x, y a poloˇz´ıme je rovny
nule,
Lx = 2x + 2xλ = 0 ⇒ 2x(1 + λ) = 0 ⇒ x = 0 ∨ λ = −1
1
Ly = 1 + 2yλ = 0 ⇒ 2yλ = −1 ⇒ y = −
2λ
Do rovnice vazby g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 dosad´ıme nejdˇr´ıve x = 0 a
dost´av´ame y = ±1. M´ame tedy stacion´arn´ı body x∗1 = [0, 1] s pˇr´ısluˇsnou
hodnotou λ1 = − 12 a x∗2 = [0, −1] s hodnotou λ2 = 12 . D´ale do rovnice vazby
1
g(x, y)√= x2 + y 2 − 1 = 0 dosad´ıme za y = − 2λ
a λ√ = −1. Dostaneme
√
x = ± 23 . Z´ıskali jsme dalˇs´ı dva stacion´arn´ı body x∗3 = [ 23 , 12 ], x∗4 = [− 23 , 21 ]
86
pro hodnotu λ = λ3 = λ4 = −1.
Sestav´ıme matici druh´
ych parci´aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce L:
Lxx Lxy
2 + 2λ 0
00
L =
=
.
Lyx Lyy
0
2λ
Dosad´ıme do L00 stacion´arn´ı body a pˇr´ısluˇsn´e hodnoty λ:
1
1
1
0
3 0
00 ∗
00 ∗
λ1 = − , L (x1 ) =
, λ2 = , L (x2 ) =
,
0 −1
0 1
2
2
0
0
00 ∗
00 ∗
λ3 = λ4 = −1, L (x3 ) = L (x4 ) =
.
0 −2
Nyn´ı urˇc´ıme h = (h1 , h2 ) splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3). Nejdˇr´ıve vyˇsetˇr´ıme body
x∗1 = [0, 1] a x∗2 = [0, −1]. Dost´av´ame G(x∗1 ) = (0, 2) = −G(x∗2 ) a
hG(x∗1 ), hi = 2h2 = 0
⇒
h2 = 0, tj. h = (t, 0), t ∈ R.
Pro x∗2 m´a h splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3) stejn´
y tvar. Tedy
t
1
0
hL00 (x∗1 )h, hi = (t, 0)
= t2 > 0 pro t 6= 0.
0 −1
0
V bodˇe x∗1 je podle vˇety 9.3 lok´aln´ı minimum.
Podobnˇe pro bod x∗2 .
t
3 0
00 ∗
hL (x2 )h, hi = (t, 0)
= 3t2 > 0 pro t 6= 0.
0 1
0
V bodˇe x∗2 je podle vˇety 9.3
lok´aln´ı minimum.
√
√
3 1
∗
D´ale vyˇsetˇr´ıme bod x3 = [ 2 , 2 ]. Dost´av´ame G(x∗3 ) = ( 3, 1) a
√
√
√ hG(x∗3 ), hi = 3h1 + h2 = 0 ⇒ h2 = − 3h1 , tj. h = t, − 3t , t ∈ R.
Tedy
hL
00
(x∗3 )h, hi
√ 0
t
0
√
= t, − 3t
= −6t2 < 0 pro t 6= 0.
0 −2
− 3t
V bodˇe x∗3 je podle vˇety 9.3
lok´aln´ı maximum.
√
√
3 1
∗
Podobnˇe pro bod x4 = [− 2 , 2 ]. G(x∗4 ) = (− 3, 1) a
√
√
√ hG(x∗4 ), hi = 3h1 + h2 = 0 ⇒ h2 = 3h1 , tj. h = t, 3t , t ∈ R.
87
Tedy
00
hL
(x∗4 )h, hi
√ 0
t
0
√
= t, 3t
= −6t2 < 0 pro t 6= 0.
0 −2
3t
V bodˇe x∗4 je podle vˇety 9.3 lok´aln´ı maximum.
2) Jin´
y zp˚
usob ˇreˇsen´ı u
´lohy spoˇc´ıv´a v jednoznaˇ
√ cn´em vyj´adˇren´ı promˇenn´e y
´
z vazby g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0, tj. y = ± 1 − x2 . Uloha
se tedy rozpad´a
na dvˇe ˇc´asti.
√
(1) Budeme uvaˇzovat y = 1 − x2 . Tento vztah dosad´ıme do zadan´e funkce
f (x, y) = x2 + y a dostaneme funkci jedn´e promˇenn´e
√
√
F (x) = f (x, 1 − x2 ) = x2 + 1 − x2 .
Nyn´ı hled´ame extr´em funkce jedn´e promˇenn´e F (x):
√
√
x
3
3
F 0 (x) = 2x − √
= 0 ⇒ x1 = 0, x2 =
, x3 = −
.
2
2
2
1−x
Do druh´e derivace
x2
1
1
−p
F 00 (x) = 2 − √
=2− p
2
1−x
(1 − x2 )3
(1 − x2 )3
postupnˇe dosad´ıme stacion´arn´ı body. Tedy dost´av´ame
F 00 (0) = 1 > 0 ⇒ lok´aln´ı minimum,
dopoˇcteme y = 1 ⇒ [0, 1] v´azan´e lok´aln´ı minimum,
√
3
00
F (
) = −6 < 0 ⇒ lok´aln´ı maximum,
2
√
dopoˇcteme y = 12 ⇒ [ 23 , 21 ] v´azan´e lok´aln´ı maximum,
√
3
00
F (−
) = −6 < 0 ⇒ lok´aln´ı maximum,
2
√
dopoˇcteme y = 12 ⇒ [− 23 , 21 ] v´azan´e lok´aln´ı maximum.
√
(2) Budeme uvaˇzovat y = − 1 − x2 . Vztah dosad´ıme do zadan´e funkce
f (x, y) = x2 + y a dostaneme funkci jedn´e promˇenn´e
√
√
F (x) = f (x, − 1 − x2 ) = x2 − 1 − x2 .
x1 = 0 ⇒
→
√
3
⇒
x2 =
2
→
√
3
x3 = −
⇒
2
→
88
Hled´ame extr´em funkce jedn´e promˇenn´e F (x):
x
1
0
F (x) = 2x + √
=0 ⇒x 2+ √
= 0 ⇒ x4 = 0.
1 − x2
1 − x2
Do druh´e derivace
1
x2
1
F 00 (x) = 2 + √
+p
=2+ p
1 − x2
(1 − x2 )3
(1 − x2 )3
dosad´ıme za x bod x4 = 0. Dost´av´ame F 00 (0) = 1 > 0, tedy jedn´a se o lok´aln´ı
minimum. Dopoˇcteme y = −1. Odtud zadan´a funkce f m´a v bodˇe [0, −1]
v´azan´e lok´aln´ı minimum.
3) Dalˇs´ı moˇznost´ı jak u
´lohu ˇreˇsit je pomoc´ı parametrizace. Vazba je jednotkov´a kruˇznice, tud´ıˇz m˚
uˇzeme pro parametrizaci pouˇz´ıt pol´arn´ı souˇradnice s
polomˇerem r = 1, pak x = cos t, y = sin t pro t ∈ (0, 2π]. Pol´arn´ı souˇradnice
dosad´ıme do zadan´e funkce f a dostaneme funkci jedn´e promˇenn´e
F (t) = f (cos t, sin t) = cos2 t + sin t.
Ve v´
ypoˇctu pokraˇcujeme d´al jako pˇri hled´an´ı extr´em˚
u funkce jedn´e promˇenn´e.
1
F 0 = −2 cos t sin t + cos t = 0 ⇒ cos t = 0 ∨ sin t = .
2
.
Z prvn´ı rovnosti cos t = 0 dost´av´ame stacion´arn´ı body t1 = π2 , t2 = 3π
2
1
π
5π
Z druh´e rovnosti sin t = 2 m´ame stacion´arn´ı body t3 = 6 , t4 = 6 . Tyto
body nyn´ı dosad´ıme do druh´e derivace
F 00 (t) = 2 sin2 t − 2 cos2 t − sin t.
Tedy v bodˇe
π
2
3π
t2 =
2
π
t3 =
6
5π
t4 =
6
t1 =
⇒ F 00 (t1 ) = 1 > 0 ⇒ lok´aln´ı minimum,
⇒ F 00 (t2 ) = 3 > 0 ⇒ lok´aln´ı minimum,
3
⇒ F 00 (t3 ) = − < 0 ⇒ lok´aln´ı maximum,
2
3
⇒ F 00 (t3 ) = − < 0 ⇒ lok´aln´ı maximum.
2
89
Parametrizac´ı se vr´at´ıme zpˇet k promˇenn´
ym x, y a dost´av´ame
π
⇒
2
⇒
3π
t2 =
⇒
2
⇒
π
t3 =
⇒
6
t1 =
x = cos t1 = 0, y = sin t1 = 1,
[0, 1] v´azan´e lok´aln´ı minimum,
x = cos t2 = 0, y = sin t2 = −1,
[0, −1] v´azan´e lok´aln´ı minimum,
√
3
1
x = cos t3 =
, y = sin t3 = ,
2
2
"√
#
3 1
,
⇒
v´azan´e lok´aln´ı maximum,
2 2
√
3
1
5π
⇒ x = cos t4 = −
, y = sin t4 = ,
t4 =
6
2
2
#
" √
3 1
,
v´azan´e lok´aln´ı maximum.
⇒ −
2 2
Pˇ
r´ıklad 9.7. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = x − y + 3z na
mnoˇzinˇe urˇcen´e rovnic´ı x2 + y 2 + 4z 2 = 4.
ˇ sen´ı. Pˇr´ıklad budeme ˇreˇsit metodou Lagrangeov´
Reˇ
ych multiplik´ator˚
u s vaz∂g ∂g ∂g
2
2
2
bou g(x, y, z) = x + y + 4z − 4 = 0. Hodnost matice G = ( ∂x , ∂y , ∂z ) =
(2x, 2y, 8z) je r˚
uzn´a od 1 pouze v nulov´em bodˇe, kter´
y vˇsak nevyhovuje vazebn´e podm´ınce. P´ıˇseme Lagrangeovu funkci
L(x, y, z, λ) = x − y + 3z + λ(x2 + y 2 + 4z 2 − 4).
Spoˇcteme derivace a poloˇz´ıme je rovny nule,
Lx = 1 + 2xλ = 0 ⇒ x = −
1
2λ
1
2λ
3
Lz = 3 + 8zλ = 0 ⇒ z = − .
8λ
Ly = −1 + 2yλ = 0 ⇒ y =
2
2
2
Vyj´adˇren´
av´ame
√ e x, y, z dosad´
√ ıme do rovnice
√ vazby x + y + 4z = 4 a dost´
17
17
17
λ = ± 8 , tj. λ1 = 8 , λ2 = − 8 . Tomu odpov´ıdaj´ı stacion´arn´ı body
90
ych
x∗1 = [− √417 , √417 , − √317 ], x∗2 = [ √417 , − √417 , √317 ]. Vyj´adˇr´ıme matici druh´
parci´aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce L:

 

Lxx Lxy Lxz
2λ 0
0
L00 =  Lyx Lyy Lyz  =  0 2λ 0  .
Lzx Lzy Lzz
0
0 8λ
Dosad´ıme do L00 stacion´arn´ı body x∗1 , x∗2 a jim pˇr´ısluˇsnou hodnotu λ1 , resp.
λ2 :
 √

17
√
0
0
√
17
 4

17
, L00 (x∗1 ) =  0
,
λ1 =
0
4
√ 
8
0
0
17
 √

17
√
− 4
0
0
√
17


17
, L00 (x∗2 ) =  0
.
λ2 = −
− 4
√ 0 
8
0
0
− 17
Nyn´ı urˇc´ıme h = (h1 , h2 , h3 ) splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3).
4
4
3
∗
√
√
√
Pro bod x1 = [− 17 , 17 , − 17 ] dost´av´ame G(x∗1 ) = (− √817 , √817 , − √2417 ) a
8
24
8
hG(x∗1 ), hi = − √ h1 + √ h2 − √ h3 = 0
17
17
17
tj. h = (t, t + 3p, p), t, p ∈ R. Tedy

√

hL00 (x∗1 )h, hi = (t, t + 3p, p)  0
0
17
4
0
√
17
4
0
⇒
h2 = h1 + 3h3 ,


0
t

t + 3p  =
√ 0 
p
17
1 √ 2 13 √
3√
17 t +
17 p2 +
17 pt.
2
4
2
To je kvadratick´a forma kladnˇe definitn´ı, takˇze v bodˇe x∗1 nast´av´a ostr´e
lok´aln´ı minimum.
Pro bod x∗2 = [ √417 , − √417 , √317 ] dost´av´ame G(x∗2 ) = ( √817 , − √817 , √2417 ) a
=
8
8
24
hG(x∗2 ), hi = √ h1 − √ h2 + √ h3 = 0
17
17
17
91
⇒
h2 = h1 + 3h3 ,
tj. h = (t, t + 3p, p), t, p ∈ R. Tedy

 √

0
0
− 417
t
√


t + 3p  =
hL00 (x∗2 )h, hi = (t, t + 3p, p)  0
− 417
√ 0 
p
0
0
− 17
1 √ 2 13 √
3√
17 t −
17 p2 −
17 pt.
2
4
2
To je kvadratick´a forma negativnˇe definitn´ı, takˇze v bodˇe x∗2 nast´av´a ostr´e
lok´aln´ı maximum.
=−
Pˇ
r´ıklad 9.8. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = x + 2y + 3z na
mnoˇzinˇe urˇcen´e rovnicemi x − y + z = 1, x2 + y 2 = 1.
ˇ sen´ı. Pˇr´ıklad vyˇreˇs´ıme dvˇema zp˚
Reˇ
usoby.
1) Nejprve budeme u
´lohu ˇreˇsit metodou Lagrangeov´
ych multiplik´ator˚
u s vazbami g1 (x, y, z) = x − y!+ z − 1 = 0, g2 (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0. Matice
∂g1
∂g1
∂g1
1 −1 1
∂x
∂y
∂z
=
m´a hodnost 2. Matice nab´
yv´a
G =
∂g2
∂g2
∂g2
2x 2y 0
∂x
∂y
∂z
hodnosti 1 pro x = y = 0, ale tyto hodnoty nesplˇ
nuj´ı vazebn´ı podm´ınku g2 .
Sestav´ıme Lagrangeovu funkci
L(x, y, z, λ1 , λ2 ) = x + 2y + 3z + λ1 (x − y + z − 1) + λ2 (x2 + y 2 − 1).
Spoˇcteme derivace a poloˇz´ıme je rovny nule,
1 + λ1
2λ2
λ1 − 2
Ly = 2 − λ1 + 2yλ2 = 0 ⇒ y =
2λ2
Lz = 3 + λ1 = 0 ⇒ λ1 = −3.
Lx = 1 + λ1 + 2xλ2 = 0 ⇒ x = −
Do vyj´adˇren´
ych x a y dosad´ıme hodnotu λ1 = −3 a z´ısk´av´ame, ˇze x = λ12 ,
y = − 2λ5 2 . Takto vyj´adˇren´e x, y dosad´ıme do rovnice vazby x2 + y 2 = 1
√
√
√
a dost´av´ame λ2 = ± 229 , tj. λ21 = 229 , λ22 = − 229 . Stacion´arn´ı body jsou
x∗1 = [ √229 , − √529 , 1− √729 ], x∗2 = [− √229 , √529 , 1+ √729 ]. Sestav´ıme matici druh´
ych
parci´aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce L:

 

Lxx Lxy Lxz
2λ2 0 0
2λ2 0  .
L00 =  Lyx Lyy Lyz  =  0
Lzx Lzy Lzz
0
0 0
92
Dosad´ıme do L00 stacion´arn´ı body x∗1 , x∗2 a jim pˇr´ısluˇsnou hodnotu λ21 , resp.
λ22 :
 √

√
29 √0 0
29
, L00 (x∗1 ) =  0
λ21 =
29 0  ,
2
0
0 0
√


√
− 29
0
0
√
29
λ22 = −
, L00 (x∗2 ) =  0
− 29 0  .
2
0
0
0
Nyn´ı urˇc´ıme h = (h1 , h2 , h3 ) splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku (9.3). 1
Pro bod x∗1 = [ √229 , − √529 , 1 − √729 ] dost´av´ame G(x∗1 ) =
√4
29
hG(x∗1 ), hi
=
h1 − h2 + h3
√4 h1 − √10 h2
29
29
=
0
0
⇒
5
h1 = h2 ,
2
−1 1
− √1029 0
a
3
h3 = − h2 ,
2
5
t, t, − 23 t
2
, t, ∈ R. Tedy
 √
 5 
t
29 √0 0
2
3
5
29 √ 2
00 ∗



t =
t, t, − t
hL (x1 )h, hi =
29t > 0
29 0
0
2
2
4
− 23 t
0
0 0
tj. h =
pro t 6= 0. V bodˇe x∗1 nast´av´a lok´aln´ı minimum.
Pro bod
x∗2
hG(x∗2 ), hi
=
[− √229 , √529 , 1
=
+
√7 ]
29
h1 − h2 + h3
− √429 h1 + √1029 h2
dost´av´ame
=
0
0
G(x∗2 )
⇒
=
1
− √429
5
h1 = h2 ,
2
−1 1
√10
0
29
a
3
h3 = − h2 ,
2
5
t, t, − 23 t
2
, t, ∈ R. Tedy
 √
 5 
0
0
− 29
t
2
√
5
3
29 √ 2
00 ∗



t =−
hL (x2 )h, hi =
t, t, − t
29t > 0
0
− 29 0
2
2
4
3
−
t
0
0
0
2
tj. h =
pro t 6= 0. V bodˇe x∗2 nast´av´a lok´aln´ı maximum.
´
2) Ulohu
budeme tedy ˇreˇsit jin´
ym zp˚
usobem. Jednoznaˇcnˇe vyj´adˇr´ıme promˇennou
z z rovnice vazby g1 (x, y, z) = x − y + z − 1 = 0, tj. z = 1 − x + y. Tento
93
vztah dosad´ıme do zadan´e funkce f (x, y, z) = x + 2y + 3z a dostaneme funkci
dvou promˇenn´
ych
F (x, y) = f (x, y, 1 − x + y) = x + 2y + 3(1 − x + y) = −2x + 5y + 3
s vazbou g(x, y) = g2 (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0. Nyn´ı hled´ame extr´em funkce
dvou promˇenn´
ych F (x, y) s vazbou g(x, y) = 0. Tuto u
´lohu budeme ˇreˇsit
metodou Langrangeov´
ych multiplik´ator˚
u. Matice G = (2x, 2y) m´a hodnost
1. Hodnost t´eto matice by byla nulov´a v pˇr´ıpadˇe, ˇze x = y = 0. Tyto hodnoty
vˇsak nevyhovuj´ı vazebn´e podm´ınce. Lagrangeovu funkci
L(x, y, λ) = −2x + 5y + 3 + λ(x2 + y 2 − 1)
derivujeme podle promˇenn´
ych x, y a derivace poloˇz´ıme rovny nule,
Lx = −2 + 2xλ = 0 ⇒ x =
1
λ
Ly = 5 + 2yλ = 0 ⇒ y = −
5
.
2λ
√
Vyj´adˇren´e x, y dosad´ıme do rovnice vazby x2 +y 2 =√1 a z´ısk´av´ame λ = ± 229 ,
tedy stacion´arn´ı body b1 = [ √229 , − √529 ] pro λ1 = 229 , b2 = [− √229 , √529 ] pro
√
λ2 = − 229 .
Sestav´ıme matici druh´
ych parci´aln´ıch derivac´ı Lagrangeovy funkce L:
Lxx Lxy
2λ 0
00
L =
=
.
Lyx Lyy
0 2λ
Do L00 dosad´ıme stacion´arn´ı body b1 , resp. b2 a pˇr´ısluˇsn´e hodnoty λ1 , resp.
λ2 :
√
√
29
29 √ 0
00
,
λ1 =
, L (b1 ) =
0
29
2
√
√
29
0
− 29
00
√
λ2 = −
, L (b2 ) =
.
0
− 29
2
Nyn´ı urˇc´ıme h = (h1 , h2 ) splˇ
nuj´ıc´ı podm´ınku Pro bod b1 = [ √229 , − √529 ]
dost´av´ame G(b1 ) = ( √429 , − √1029 ) a
4
10
hG(b1 ), hi = √ h1 − √ h2 = 0
29
29
94
⇒
5
h1 = h2 ,
2
tj. h =
5
t, t
2
, t ∈ R. Tedy
hL00 (b1 )h, hi =
5 √
5
t
29 √ 2
29 √ 0
2
t, t
=
29t > 0 pro t 6= 0.
0
29
2
t
4
V bodˇe b1 je podle vˇety lok´aln´ı minimum.
Dopoˇcteme z = 1 − √729 . Zadan´a funkce f m´a v bodˇe [ √229 , − √529 , 1 −
v´azan´e lok´aln´ı minimum.
Podobnˇe pro bod b2 = [− √229 , √529 ] dost´av´ame G(b2 ) = (− √429 , √1029 ) a
4
10
hG(b2 ), hi = − √ h1 + √ h2 = 0
29
29
tj. h = 52 t, t , t ∈ R. Tedy
00
hL (b2 )h, hi =
⇒
√7 ]
29
5
h1 = h2 ,
2
√
5 5
t
29 √ 2
− 29
0
2
√
t, t
=−
29t < 0 pro t 6= 0.
0
− 29
2
t
4
V bodˇe b2 je podle vˇety lok´aln´ı maximum.
Dopoˇcteme z = 1 + √729 . Zadan´a funkce f m´a v bodˇe [− √229 , √529 , 1 +
v´azan´e lok´aln´ı maximum.
95
√7 ]
29
9.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 9.1. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2x2 + xy + y 2 − 2y
na mnoˇzinˇe urˇcen´e rovnost´ı 2x − y = 1.
Cviˇ
cen´ı 9.2. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 9x2 +16y 2 −64y−36x
na mnoˇzinˇe urˇcen´e rovnost´ı 9x2 + 16y 2 = 144.
Cviˇ
cen´ı 9.3. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = ln(x + y) vzhledem
k podm´ınce xy = 1.
Cviˇ
cen´ı 9.4. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) = xy 2 vzhledem k podm´ınce x2 + y 2 = 1.
Cviˇ
cen´ı 9.5. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = sin(y + 1) + cos x na
mnoˇzinˇe urˇcen´e rovnost´ı y − x = −1.
Cviˇ
cen´ı 9.6. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y) =
k podm´ınce x1 + y1 = 18 .
2
x2
+
2
y2
vzhledem
Cviˇ
cen´ı 9.7. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = xy + 2xz + 2yz na
mnoˇzinˇe urˇcen´e rovnost´ı xyz − 4 = 0.
Cviˇ
cen´ı 9.8. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = xyz na mnoˇzinˇe
urˇcen´e rovnost´ı xy + xz + yz = 8.
Cviˇ
cen´ı 9.9. Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = xy+xz na mnoˇzinˇe
urˇcen´e rovnostmi x2 + y 2 = 1, xz = 1.
Cviˇ
cen´ı 9.10. Urˇcete v´azan´e extr´emy funkce f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 vzhledem k podm´ınk´am 2x + y + z = 2, x − y − 3z = 4.
96
10
10.1
Glob´
aln´ı extr´
emy
Definice a vˇ
ety
Definice 10.1. Necht’ f : Rn → R, M ⊂ D(f ), x∗ = [x∗1 , . . . , x∗n ] ∈ M .
ˇ
Rekneme,
ˇze funkce f m´a v bodˇe x∗ glob´
aln´ı maximum na M , jestliˇze
∗
∀x ∈ M plat´ı f (x) ≤ f (x ).
ˇ
Rekneme,
ˇze funkce f m´a v bodˇe x∗ glob´
aln´ı minimum na M , jestliˇze
∗
∀x ∈ M plat´ı f (x) ≥ f (x ). Jsou-li nerovnosti pro x 6= x∗ ostr´e, mluv´ıme
o ostr´
ych glob´aln´ıch extr´emech. M´ısto term´ınu glob´aln´ı extr´em se pouˇz´ıv´a
ˇcasto pojem absolutn´ı extr´em.
Vˇ
eta 10.2. Necht’ M ⊂ Rn je kompaktn´ı mnoˇzina (tj. uzavˇren´a a ohraniˇcen´a)
a funkce f : M → R je spojit´a na M. Pak f nab´yv´a sv´ych absolutn´ıch extr´em˚
u
bud’ v bodech lok´aln´ıho extr´emu leˇz´ıc´ıch uvnitˇr M nebo v nˇekter´em hraniˇcn´ım
bodˇe.
Pˇredchoz´ı vˇeta poskytuje n´avod pro nalezen´ı glob´aln´ıch extr´em˚
u diferencovateln´
ych funkc´ı na kompaktn´ıch mnoˇzin´ach. Postupovat budeme n´asledovnˇe:
1) Najdeme stacion´arn´ı body leˇz´ıc´ı uvnitˇr mnoˇziny M a urˇc´ıme jejich funkˇcn´ı
hodnoty. Nebudeme ovˇeˇrovat, zda se jedn´a o lok´aln´ı extr´emy. Je to zbyteˇcn´e a
obvykle i pracn´e vyluˇcovat stacion´arn´ı body, v nichˇz extr´em nenast´av´a. T´ım
sice vypoˇcteme funkˇcn´ı hodnoty i v nepotˇrebn´
ych bodech, ale ty se stejnˇe
neuplatn´ı.
2) Vyˇsetˇr´ıme funkci f na hranici mnoˇziny M , tj. urˇc´ıme v´azan´e extr´emy
funkce f . Spoˇcteme funkˇcn´ı hodnoty v nalezen´
ych bodech v´azan´
ych extr´em˚
u.
Pokud je hranice tvoˇrena v´ıce kˇrivkami, je nutno spoˇc´ıst funkˇcn´ı hodnoty i ve
vrcholech hraniˇcn´ıch kˇrivek, tj. v pr˚
unic´ıch r˚
uzn´
ych vazeb.
3) Porovn´ame vˇsechny spoˇcten´e funkˇcn´ı hodnoty. Extr´em s nejvˇetˇs´ı funkˇcn´ı
hodnotou je glob´aln´ı maximum, extr´em s nejmenˇs´ı funkˇcn´ı hodnotou je glob´aln´ı minimum.
Jednou z moˇznost´ı, jak hledat glob´aln´ı extr´em bez splnˇen´ı pˇredpoklad˚
u vˇety
10.2, je nalezen´ı lok´aln´ıch extr´em˚
u a u nich je potˇreba dok´azat, zda se jedn´a
o extr´emy glob´aln´ı ˇci nikoli. K tomu bude jeˇstˇe zapotˇreb´ı n´asleduj´ıc´ı lemma.
97
Lemma 10.3. Necht’ n ∈ N a x1 , . . . , xn jsou kladn´a ˇc´ısla. Potom plat´ı
1
x1
n
+ ··· +
1
xn
≤
√
n
x1 · · · xn ≤
x1 + · · · + xn
.
n
(10.1)
Rovnosti nastanou pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze x1 = · · · = xn , tj. vˇsechna ˇc´ısla jsou
stejn´a.
10.2
ˇ sen´
Reˇ
e pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 10.4. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 + y 2 − xy − 2
na mnoˇzinˇe M dan´e nerovnostmi x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ |x| − 1.
ˇ sen´ı. Mnoˇzina M je kompaktn´ı a funkce f je spojit´a, pak dle vˇety 10.2 na
Reˇ
mnoˇzinˇe M existuje maximum a minimum funkce f . Mnoˇzina M viz obr´azek
14.
y
1
y=-1-x
y=-1+x
M
-1
1
x
-1
Obr´azek 14: Mnoˇzina M
Nejprve hled´ame lok´aln´ı extr´emy funkce f uvnitˇr mnoˇziny M . Spoˇcteme
parci´aln´ı derivace a poloˇz´ıme rovny nule,
fx (x, y) = 2x − y = 0 ⇒ y = 2x,
fy (x, y) = 2y − x = 0 ⇒ x = 2y.
98
Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗1 = [0, 0]. Tento bod leˇz´ı uvnitˇr mnoˇziny M .
D´ale hled´ame body extr´emu funkce f na hranic´ıch mnoˇziny M . Hranice
´
mnoˇziny M je tvoˇrena dvˇemi u
´seˇckami a jednou horn´ı p˚
ulkruˇznic´ı. Uloha
hled´an´ı v´azan´
ych extr´em˚
u funkce f se tedy rozpad´a na tˇri pˇr´ıpady.
a) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = y − x + 1 pro
x ∈ (0, 1). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı promˇenn´e y z rovnice
vazby, tj y = x − 1, pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na
ekvivalentn´ı u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce
F (x) = x2 + (x − 1)2 − x(x − 1) − 2 = x2 − x − 1.
Funkci zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
F 0 (x) = 2x − 1 = 0 ⇒ x =
1
∈ (0, 1).
2
Dopoˇcteme y = − 12 . Nalezli jsme stacion´arn´ı bod x∗2 = [ 12 , − 12 ].
b) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = y + x + 1 = 0
pro x ∈ (−1, 0). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı promˇenn´e y
z rovnice vazby, tj y = −x − 1, pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho
extr´emu na ekvivalentn´ı u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce
F (x) = x2 + (−x − 1)2 − x(−x − 1) − 2 = 3x2 + 3x − 1.
Funkci zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
1
F 0 (x) = 6x + 3 = 0 ⇒ x = − ∈ (−1, 0).
2
Dopoˇcteme y = − 12 . Dost´av´ame stacion´arn´ı bod x∗3 = [− 12 , − 12 ].
√
c) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = y − 1 − x2 = 0
pro x ∈ (−1, 1), tj. uvaˇzujeme horn´ı p˚
ulkruˇznici. Vzhledem √
k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı promˇenn´e y z rovnice vazby, tj. y = 1 − x2 ,
pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na ekvivalentn´ı u
´lohu
nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce
√
√
F (x) = x2 + 1 − x2 − x 1 − x2 − 2 = −x 1 − x2 − 1.
99
Funkci zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
r
r
1
1
2x2 − 1
0
F (x) = √
= 0 ⇒ x1 =
, x2 = −
∈ (−1, 1).
2
2
1 − x2
q
Dopoˇcteme y1 = y2 = 12 . Obdrˇz´ıme tedy dalˇs´ı dva stacion´arn´ı body
h q q i
hq q i
1
1
∗
∗
x4 =
, 2 , x5 = − 12 , 12 .
2
Zb´
yv´a vyˇsetˇrit body A = [−1, 0], B = [0, −1], C = [1, 0], kter´e jsou pr˚
uniky
r˚
uzn´
ych vazeb. Spoˇcteme jednotliv´e funkˇcn´ı hodnoty v nalezen´
ych bodech a
porovn´ame je
7
3
1
5
f (x∗1 ) = −2, f (x∗2 ) = − , f (x∗3 ) = − , f (x∗4 ) = − , f (x∗5 ) = − ,
4
4
2
2
f (A) = f (B) = f (C) = −1,
f (x∗1 )
< f (x∗3 ) < f (x∗4 ) < f (x∗2 ) < f (A) < f (x∗5 ).
h q q i
∗
Funkce f m´a v bodˇe x5 = − 12 , 12 glob´aln´ı maximum a v bodˇe x∗1 = [0, 0]
glob´aln´ı minimum.
Pozn´
amka 10.5. Pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu mohlo b´
yt v bodˇe c) pouˇzito i Lagrangeovy funkce s vazbou g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0, ale muselo by se d´ale
uvaˇzovat, ˇze y > 0.
2
Pˇ
r´ıklad 10.6. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = y 2 − 2y + e−x na
ˇctverci M , kter´
y je urˇcen body A = [−1, 0], B = [1, 0], C = [1, 2], D = [−1, 2].
ˇ sen´ı. Mnoˇzinu M tvoˇr´ı ˇctverec maj´ıc´ı vrcholy v bodech A = [−1, 0],
Reˇ
B = [1, 0], C = [1, 2], D = [−1, 2] a vˇsechny body, kter´e v nˇem leˇz´ı, obr´azek
15. Existence maxima a minima opˇet plyne z vˇety 10.2. Nejprve hled´ame
lok´aln´ı extr´emy funkce f uvnitˇr mnoˇziny M . Spoˇcteme parci´aln´ı derivace a
poloˇz´ıme rovny nule,
2
fx (x, y) = −2xe−x = 0 ⇒ x = 0,
fy (x, y) = 2y − 2 = 0 ⇒ y = 1.
Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗1 = [0, 1]. Tento bod leˇz´ı uvnitˇr mnoˇziny M .
D´ale hled´ame body extr´emu funkce f na hranic´ıch mnoˇziny M . Hranice
100
y
C
D
M
A
B
x
Obr´azek 15: Mnoˇzina M
´
mnoˇziny M je tvoˇrena ˇctyˇrmii u
´seˇckami. Uloha
hled´an´ı v´azan´
ych extr´em˚
u
funkce f se tedy rozpad´a na ˇctyˇri pˇr´ıpady, tj. na jednotliv´e u
´seˇcky zadan´eho
ˇctverce.
a) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = y = 0 pro vˇsechna
x ∈ (−1, 1). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı y = 0 z rovnice
vazby pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na ekvivalentn´ı
2
u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce F (x) = e−x . Funkci zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
2
F 0 (x) = −2xe−x = 0 ⇒ x = 0 ∈ (−1, 1).
Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗2 = [0, 0].
b) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = x − 1 = 0 pro
y ∈ (0, 2). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı promˇenn´e x z rovnice
vazby, tj. x = 1, pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na
u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce F (y) = y 2 − 2y + e−1 . Funkci
zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
F 0 (y) = 2y − 2 = 0 ⇒ y = 1 ∈ (0, 2).
Obdrˇzeli jsme stacion´arn´ı bod x∗3 = [1, 1].
101
c) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = y − 2 = 0 pro
vˇsechna x ∈ (−1, 1). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı y = 2 z rovnice vazby pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na ekviva2
lentn´ı u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce F (x) = e−x . Funkci
zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
2
F 0 (x) = −2xe−x = 0 ⇒ x = 0 ∈ (−1, 1).
Z´ıskali jsme stacion´arn´ı bod x∗4 = [0, 2].
d) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y) = x + 1 = 0 pro
y ∈ (0, 2). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı promˇenn´e x z rovnice
vazby, tj. x = −1, pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na
u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu funkce F (y) = y 2 − 2y + e−1 . Funkci
zderivujeme, derivaci poloˇz´ıme rovnu nule
F 0 (y) = 2y − 2 = 0 ⇒ y = 1 ∈ (0, 2).
Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗5 = [−1, 1].
Zb´
yv´a vyˇsetˇrit vrcholy ˇctverce ABCD, kter´e jsou pr˚
uniky r˚
uzn´
ych vazeb.
Spoˇcteme jednotliv´e funkˇcn´ı hodnoty v nalezen´
ych bodech a porovn´ame je
f (x∗2 ) = f (x∗4 ) = 1, f (x∗3 ) = f (x∗5 ) = −1 + e−1 ,
f (A) = f (B) = f (C) = f (D) = e−1 ,
f (x∗3 ) < f (A) < f (x∗2 ).
Funkce f m´a v bodech x∗2 , x∗4 glob´aln´ı maxima a v bodech x∗3 , x∗5 glob´aln´ı
minima.
2
2
2
Pˇ
r´ıklad 10.7. Urˇcete glob´aln´ı extr´
p emy funkce f (x, y, z) = −x − y + 2z
na mnoˇzinˇe M dan´e nerovnostmi x2 + y 2 ≤ z, z ≤ 3.
ˇ sen´ı. Mnoˇzina M je kompaktn´ı a funkce f je spojit´a, pak dle vˇety 10.2 na
Reˇ
mnoˇzinˇe M existuje maximum a minimum funkce f . Mnoˇzina M viz obr´azek
16.
Nejprve hled´ame lok´aln´ı extr´emy funkce f uvnitˇr mnoˇziny M . Spoˇcteme
parci´aln´ı derivace a poloˇz´ıme rovny nule,
fx (x, y, z) = −2x = 0,
fy (x, y, z) = −2y = 0,
102
fz (x, y, z) = 4z = 0.
z
y
x
Obr´azek 16: Mnoˇzina M
Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗1 = [0, 0, 0]. Tento bod neleˇz´ı uvnitˇr mnoˇziny
M . Nem´a tedy smysl v tomto bodˇe pokraˇcovat v hled´an´ı extr´emu.
D´ale hled´ame stacion´arn´ı body funkce f na hranic´ıch mnoˇziny M
p. Hranice
mnoˇziny M je tvoˇrena rovinou z = 3 a kuˇzelem o rovnici z = x2 + y 2 .
´
Uloha
hled´an´ı v´azan´
ych extr´em˚
u funkce f se tedy rozpad´a na dva pˇr´ıpady.
a) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y, z) = z − 3 = 0
pro x ∈ (−3, 3), y ∈ (−3, 3). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı
promˇenn´e z z rovnice vazby, tj z = 3, pˇrevedeme u
´lohu o hled´an´ı
v´azan´eho extr´emu na ekvivalentn´ı u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho extr´emu
funkce
F (x, y) = −x2 − y 2 + 18.
Spoˇcteme parci´aln´ı derivace a poloˇz´ıme rovny nule,
Fx (x, y) = −2x = 0 ⇒ x = 0 ∈ (−3, 3),
Fy (x, y) = −2y = 0 ⇒ y = 0 ∈ (−3, 3).
Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗2 = [0, 0, 3].
p
b) Hled´ame v´azan´e extr´emy funkce f s vazbou g(x, y, z) = z − x2 + y 2
pro x ∈ (−3, 3), y ∈ (−3, 3). Vzhledem k jednoznaˇcn´emu vyj´adˇren´ı
103
p
promˇenn´e z z rovnice vazby, tj. z =
x2 + y 2 , pˇrevedeme u
´lohu o
hled´an´ı v´azan´eho extr´emu na ekvivalentn´ı u
´lohu nalezen´ı lok´aln´ıho
extr´emu funkce
F (x, y) = −x2 − y 2 + 2x2 + 2y 2 = x2 + y 2 .
Spoˇcteme parci´aln´ı derivace a poloˇz´ıme rovny nule,
Fx (x, y) = 2x = 0 ⇒ x = 0 ∈ (−3, 3),
Fy (x, y) = 2y = 0 ⇒ y = 0 ∈ (−3, 3).
Dopoˇcteme z = 0. Dostali jsme stacion´arn´ı bod x∗3 = [0, 0, 0].
Zb´
yv´a vyˇsetˇrit body A = [3, 0, 3], B = [−3, 0, 3], C = [0, 3, 3], D = [0, −3, 3],
kter´e jsou pr˚
uniky dan´
ych vazeb. Spoˇcteme jednotliv´e funkˇcn´ı hodnoty v nalezen´
ych bodech a porovn´ame je
f (x∗2 ) = 18, f (x∗3 ) = 0,
f (A) = f (B) = f (C) = f (D) = 9,
f (x∗3 ) < f (A) < f (x∗2 ).
Funkce f m´a v bodˇe x∗2 glob´aln´ı maximum a v bodˇe x∗3 glob´aln´ı minimum.
Pozn´
amka 10.8. Pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu mohlo b´
yt v bodech a), b) pouˇzito i
Lagrangeovy funkce s pˇr´ısluˇsnou vazbou g(x, y, z) = 0.
Pˇ
r´ıklad 10.9. Urˇcete rozmˇery n´adrˇze tvaru kv´adru o objemu V = 32 m3
tak, aby dno a stˇeny mˇely co nejmenˇs´ı povrch.
ˇ sen´ı. Oznaˇcme x, y rozmˇery dna a z hloubku n´adrˇze, kde x, y, z > 0.
Reˇ
M´ame spoˇc´ıst minim´aln´ı povrch n´adrˇze S(x, y, z), je-li d´an objem V = 32.
Hled´ame tedy v´azan´e minimum funkce S(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz s vaz´
bou g(x, y, z) = V (x, y, z) = xyz = 32. Ulohu
budeme ˇreˇsit jednoznaˇcn´
ym
vyj´adˇren´ım promˇenn´e x z vazebn´e rovnice g, tj.
g(x, y, z) = xyz − 32 = 0 ⇒ x =
32
.
yz
Tento vztah dosad´ıme do dan´e funkce S(x, y, z) = xy+2xz+2yz a dostaneme
F (y, z) =
32 64
+
+ 2yz.
z
y
104
´
Ulohu
na v´azan´
y extr´em funkce S jsme pˇrevedli na u
´lohu o lok´aln´ıch extr´emech funkce F . vzhledem k mnoˇzinˇe M = {(y, z) ∈ R2 ; y > 0, z > 0}. Tato
mnoˇzina nen´ı uzavˇren´a, ani ohraniˇcen´a, tud´ıˇz v dalˇs´ım v´
ypoˇctu nelze pouˇz´ıt
vˇetu 10.2. Nen´ı tedy zaruˇceno, ˇze hledan´e glob´aln´ı minimum existuje. Pokud
existuje bod nab´
yvaj´ıc´ı glob´aln´ıho minima, pak je tento bod souˇcasnˇe bodem
lok´aln´ıho minima, protoˇze ˇz´adn´
y hraniˇcn´ı bod do mnoˇziny M nepatˇr´ı. V
dalˇs´ım postupu budeme hledat lok´aln´ı extr´emy. Spoˇcteme parci´aln´ı derivace,
poloˇz´ıme je rovny nule a z´ısk´ame soustavu dvou rovnic o dvou nezn´am´
ych.
Plat´ı
32
64
Fy = − 2 + 2z = 0, Fz = − 2 + 2y = 0.
y
z
Z rovnice Fy = − y642 + 2z = 0 vyj´adˇr´ıme z =
32
y2
a jeho dosazen´ım do druh´e
y4
32
= 0. Odtud y = 0 ∨ y = 4. Hodnota y = 0
rovnice dost´av´ame 2y −
nevyhovuje zad´an´ı. D´ale pracujeme pouze s hodnotou y = 4. Dopoˇcteme
z = 2. Nalezli jsme jedin´
y stacion´arn´ı bod [4, 2]. Dopoˇcteme x = 4. Dalˇs´ım
v´
ypoˇctem pomoc´ı druh´
ych derivac´ı funkce F bychom zjistili, zda je bod [4, 2]
bodem lok´aln´ıho minima. Tento v´
ypoˇcet by mohl b´
yt pracn´
y a stejnˇe bychom
se nedozvˇedˇeli, zda v tomto bodˇe je extr´em glob´aln´ı ˇci nikoli.
Dostali jsme, ˇze rozmˇery n´adrˇze jsou 4 × 4 × 2 a povrch S = 48 m2 .
Doposud jsme zjistili, ˇze pokud glob´aln´ı minimum existuje, pak mus´ı b´
yt
v bodˇe [4, 4, 2]. Nyn´ı pouˇzijeme lemma 10.3, abych uk´azali, ˇze skuteˇcnˇe v bodˇe
[4, 4, 2] je glob´aln´ı minimum. Pro n = 3 poloˇz´ıme x1 = xy, x2 = 2xz, x3 = 2yz
a dosad´ıme do prav´e nerovnosti ve vztahu (10.1), tj.
p
3
4x2 y 2 z 2 = (2xyz)2/3 ≤
S
xy + 2xz + 2yz
= .
3
3
Nyn´ı dosad´ıme za objem V = xyz = 32, tedy 48 ≤ S. T´ım jsme ovˇeˇrili, ˇze
bod [4, 4, 2] je glob´aln´ım minimem.
105
10.3
´
Ulohy
k samostatn´
emu ˇ
reˇ
sen´ı
Cviˇ
cen´ı 10.1. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2xy + x2 na ˇctverci
M s vrcholy A = [−1, −1], B = [1, −1], C = [1, 1], D = [−1, 1]
Cviˇ
cen´ı 10.2. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x3 + 2y 2 − y − 3x
na troj´
uheln´ıku s vrcholy A = [−2, 0], B = [1, 0], C = [0, 1].
Cviˇ
cen´ı 10.3. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 y na kruhu o
rovnici x2 + y 2 ≤ 1.
Cviˇ
cen´ı 10.4. Najdˇete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = xy na mnoˇzinˇe M
urˇcen´e nerovnost´ı 9x2 + y 2 ≤ 4.
Cviˇ
cen´ı 10.5. Urˇcete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = (x − 1)2 + (y − 21 )2
na obd´eln´ıku M urˇcen´em body A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 1], D = [0, 1].
Cviˇ
cen´ı 10.6. Na mnoˇzinˇe M urˇcen´e nerovnostmi x2 ≤ y, x ≥ 0, y ≤ 9
najdˇete nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı hodnotu funkce f (x, y) = xy − x + y − 1.
Cviˇ
cen´ı 10.7. Najdˇete glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = x2 + y 2 − 4x − 2y
na mnoˇzinˇe M = {[x, y] ∈ R2 ; x ≥ |y| ∧ x2 + y 2 ≤ 20}.
Cviˇ
cen´ı 10.8. Na mnoˇzinˇe M urˇcen´e vztahem x2 + y 2 ≤ z ≤ 1 najdˇete
nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı hodnotu funkce f (x, y, z) = x + y + z.
Cviˇ
cen´ı 10.9. Na mnoˇzinˇe M urˇcen´e nerovnost´ı x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 najdˇete
glob´aln´ı extr´emy funkce f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 + 2x.
Cviˇ
cen´ı 10.10. Najdˇete glob´aln´ı extr´emy funkce
f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z
na mnoˇzinˇe M urˇcen´e nerovnost´ı x2 + y 2 + z 2 ≥ 16.
106
ˇ sen´ı ke cviˇ
Reˇ
cen´ım
Cviˇ
cen´ı 1.1. R2
Cviˇ
cen´ı 1.2. {[x, y] ∈ R2 ; x2 − 3y 2 ≤ 1}
Cviˇ
cen´ı 1.3. {[x, y] ∈ R2 ; |x| ≥ |y|, x 6= y}
Cviˇ
cen´ı 1.4. {[x, y, z] ∈ R3 ; x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0}
Cviˇ
cen´ı 1.5. {[x, y] ∈ R2 ; x2 + y 2 ≥ 4, x 6= 0}, vˇsechny body leˇz´ıc´ı na a vnˇe
kruˇznice o polomˇeru 2 se stˇredem v poˇc´atku
Cviˇ
cen´ı 1.6. {[x, y] ∈ R2 ; xy − 3 > 0}, vˇsechny body, kter´e leˇz´ı v prvn´ım
kvadrantu nad a ve tˇret´ım kvadrantu pod vˇetv´ı hyperboly xy = 3
Cviˇ
cen´ı 1.7. {[x, y] ∈ R2 ; −1 ≤ x + y ≤ 1}, vˇsechny body, kter´e leˇz´ı na a
mezi rovnobˇeˇzn´
ymi pˇr´ımkami y = −x − 1 a y = −x + 1
Cviˇ
cen´ı 1.8. {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 4}, vˇsechny body leˇz´ıc´ı uvnitˇr a
na povrchu koule o polomˇeru 3 se stˇredem v poˇca´tku
Cviˇ
cen´ı 1.9. kruˇznice se stˇredem v poˇca´tku
Cviˇ
cen´ı 1.10. elipsy se stˇredem v poˇc´atku, jejichˇz hlavn´ı poloosa je tˇrikr´at
delˇs´ı neˇz vedlejˇs´ı a leˇz´ı v ose y
√
Cviˇ
cen´ı 2.1. 3
Cviˇ
cen´ı 2.2. 0
Cviˇ
cen´ı 2.3. 0
Cviˇ
cen´ı 2.4. neexistuje
Cviˇ
cen´ı 2.5. neexistuje
Cviˇ
cen´ı 2.6. 2
Cviˇ
cen´ı 2.7. 0
Cviˇ
cen´ı 2.8. 0
Cviˇ
cen´ı 2.9. ano
Cviˇ
cen´ı 2.10. ano
Cviˇ
cen´ı 2.11. c = 1
Cviˇ
cen´ı 2.12. limita neexistuje
107
Cviˇ
cen´ı 3.1. fx (1, 0) = 1, fy (1, 0) = 2
Cviˇ
cen´ı 3.2. fx (π/6, π/3) = fy (π/6, π/3) = 0
Cviˇ
cen´ı 3.3. fx = ex (tg(x − y) + 1/ cos2 (x − y)), fy = −ex / cos2 (x − y)
Cviˇ
cen´ı 3.4. fx =
√
2
, fy
x(3y 2 +1)
=
√
−24 xy
2
(3y +1)2
7y
, fy
(x+2y)2
7x
= − (x+2y)
2
√
Cviˇ
cen´ı 3.6. fx = √yx , fy = 2 x − yz ey/z − ey/z , fz =
Cviˇ
cen´ı 3.5. fx =
y 2 y/z
e
z2
Cviˇ
cen´ı 3.7. fw = 2wu2 − x3 − xuz 2 sin(wz 2 ), fx = −3wx2 + u cos(wz 2 ),
fy = 128y 7 z 4 , fz = −2wxuz sin(wz 2 ) + 64y 8 z 3
Cviˇ
cen´ı 3.8. fxy = fyx = 3e−3x sin y
Cviˇ
cen´ı 3.9. fxy = fyx = −1/(x + y)2
Cviˇ
cen´ı 3.10. ano
Cviˇ
cen´ı 4.1. Ano, funkce je diferencovateln´a.
Cviˇ
cen´ı 4.2.
Cviˇ
cen´ı 4.3.
df ( π8 , 1, 2)(h1 , h2 , h3 ) =
df (−1, 1)(h1 , h2 ) = 12 h1
16h1 + (4 − π)h2 + 4h3
+ 12 h2
Cviˇ
cen´ı 4.4. d2 f (4, 1)(h1 , h2 ) = 2π h1 h2 − h22
Cviˇ
cen´ı 4.5. d2 f (−4, π3 , 2)(h1 , h2 , h3 ) = 21 h21 − 12 h22 + 9h23 −
√
+ 4h1 h3 − 4 3h2 h3
Cviˇ
cen´ı 4.6. d3 f (x, y)(h1 , h2 ) =
1 3
h
x2 1
√
3h1 h2 +
− 3 y12 h1 h22 + 2 yx3 h32
Cviˇ
cen´ı 4.7. f (x, y) = − 21 y 2 cos 2x − 4y + c
Cviˇ
cen´ı 4.8. teˇcn´a rovina: z = 3x − 2y − 4 + ln 8, norm´ala: x = 2 − 3t,
y = 1 + 2t, z = ln 8 + t, t ∈ R
Cviˇ
cen´ı 4.9. T2 (x, y) = 81 x2 − 12 y 2 − 21 xy + 12 x + y + 1, T2 ( 12 , 21 ) = 49
32
√
√
√
3
3
π
1
2
Cviˇ
cen´ı 4.10. T3 (x, y)√ = 3 − 4 (x − 1) + 4 (y − 3) + 16 (x − 1) +
√
√
√
√
1
1
+ 8 (x − 1)(y − 3) − 163 (y − 3)2 − 18 (x − 1)2 (y − 3) + 24
(y − 3)3
Cviˇ
cen´ı 4.11. T2 (x, y, z) = − 14 + 41 (x − 1) − 14 (y − 2) +
1
1
1
− 64 (z − 4)2 − 16
(x − 1)(z − 4) + 16
(y − 2)(z − 4)
1
(z
16
− 4) −
Cviˇ
cen´ı 5.1. (5 cos 5x cos 3x + 3 sin 5x sin 3x)/(sin2 5x + cos2 3x)
108
√
√
Cviˇ
cen´ı 5.2. (x + y 2 )−1 (1/2 1 + t + y/ t)
Cviˇ
cen´ı 5.3. (−2t + 1)e
Cviˇ
cen´ı 5.4.
Cviˇ
cen´ı 5.5.
∂w
∂s
∂w
∂s
∂w
∂r
=
∂w
∂t
−t2 −t
= 2/(s + t)
= 0, ∂w
= 5et
∂t
Cviˇ
cen´ı 5.6.
= 3r2 s3 t − 1/(r2 st3 ), ∂w
= 3r3 s2 t − 1/(rs2 t3 ),
∂s
∂w
= r3 s3 − 3/(rst4 )
∂t
Cviˇ
cen´ı 5.7. ∂w
= 2r[(s2 − t2 )/(r2 + s2 )]2 w, ∂w
= 2s[(r2 + t2 )/(r2 + s2 )]2 w,
∂r
∂s
∂w
2
2
2
2
2
= 2t[(s − r − 2t )/(r + s )]w
∂t
Cviˇ
cen´ı 5.8.
∂z
∂r
=
∂z
∂x
cos φ +
∂z
∂y
∂z
∂z
sin φ, ∂φ
= − ∂x
r sin φ +
∂z
r cos φ
∂y
Cviˇ
cen´ı 5.9. ano
Cviˇ
cen´ı 5.10. N´avod: poloˇzte u = x + at, v = x − at
Cviˇ
cen´ı 6.1.
7
52
√
Cviˇ
cen´ı 6.2. e( 2−1
)
2
√
Cviˇ
cen´ı 6.3. 7 3 − 16
Cviˇ
cen´ı 6.4. 0
Cviˇ
cen´ı 6.5. −1
Cviˇ
cen´ı 6.6. (2/5, 1/5)
Cviˇ
cen´ı 6.7. (2, −3/2, −2)
p
√
√
Cviˇ
cen´ı 6.8. −8 π/3, (−1/ 2, −1/ 2)
√
√
√
√
Cviˇ
cen´ı 6.9. 2 6, (−1/ 6, 1/ 6, −4/ 6)
√
√
√ ◦
Cviˇ
cen´ı 6.10. (−1/ 2, −1/ 2), 50 2 C/cm
y[(x+y) ln(x+y)+x]
, y 0 (2) = −1
Cviˇ
cen´ı 7.1. y 0 = − x[(x+y)
ln(x+y)+y]
Cviˇ
cen´ı 7.2. f 0 (0) = 0
Cviˇ
cen´ı 7.3. y 0 (1) = π, y 00 (1) = 2π, T2 (x) = π + π(x − 1) + π(x − 1)2
Cviˇ
cen´ı 7.4. y 0 =
−2xy 3 +ecos x
sin x
,
1+3x2 y 2 +2y cos y 2
y 0 ( π2 ) = 1
Cviˇ
cen´ı 7.5. teˇcna x + 2y − 3 = 0, norm´ala 2x − y − 1 = 0
Cviˇ
cen´ı 7.6. x0 = −3 lok´aln´ı minimum, x0 = −1 lok´aln´ı maximum
109
Cviˇ
cen´ı 7.7. zx =
z 2 −3
,
z 2 +2yz−3
Cviˇ
cen´ı 7.8. zx =
(1+z 2 )(4+5x2 )
,
1+x2
1
zx (1, −3) = − 11
,zy =
(z 2 −3)(z−x)
,
y(z 2 +2yz−3)
zy (1, −3) =
1
33
1+z 2
zy = − 1+y2
y)
,
Cviˇ
cen´ı 7.9. zx = xz , zy = − y lnz y , zxx = zxx − xz2 , zxy = zxy , zyy = z(2+ln
y 2 ln2 y
1
2+ln 2
2
T2 (x, y)(1, 2) = 1 + (x − 1) − 2 ln 2 − f rac12 ln 2(x − 1)(y − 2) + 8 ln2 2 (y − 2)
Cviˇ
cen´ı 7.10. 4x + 3y − 6z + 16 = 0
Cviˇ
cen´ı 8.1. [3, −1, −5]
Cviˇ
cen´ı 8.2. [−2, 0, −7], [−2, 1, −9]
√
Cviˇ
cen´ı 8.3. [0, 0] lok´aln´ı minimum, [± 2, −1] sedlov´e body
Cviˇ
cen´ı 8.4. funkce nem´a stacion´arn´ı body
Cviˇ
cen´ı 8.5. [0, kπ] k je cel´e ˇc´ıslo - sedlov´e body
Cviˇ
cen´ı 8.6. [4/3, 4/3] lok´aln´ı maximum, [0, 0], [4, 0], [0, 4] sedlov´e body
Cviˇ
cen´ı 8.7. x = y = z = 17
Cviˇ
cen´ı 8.8. [2/7, 4/7, 6/7]
Cviˇ
cen´ı 8.9. [2,√2, 2], [2, −2, −2], [−2, 2, −2], [−2, −2, 2], vzd´alenost vˇsech
tˇechto bod˚
u je 2 3
Cviˇ
cen´ı 8.10. dno, v´ıko 2x2, v´
yˇska 5
9 1
Cviˇ
cen´ı 9.1. [ 16
, 8 ] - v´azan´e lok´aln´ı minimum
Cviˇ
cen´ı 9.2.
[− 12
, − 12
]
5
5
12 12
[5, 5]
v´azan´e lok´aln´ı maximum,
v´azan´e lok´aln´ı minimum
[1, 1]
v´azan´e lok´aln´ı minimum,
[−1, −1] v´azan´e lok´aln´ı minimum
q i
h q q i h q
[1, 0], − 13 , 23 , − 13 , − 23
v´azan´a lok´aln´ı minima,
q i
hq q i hq
Cviˇ
cen´ı 9.4.
1
1
[−1, 0],
, 23 ,
, − 23
v´azan´a lok´aln´ı maxima
3
3
Cviˇ
cen´ı 9.3.
Cviˇ
cen´ı 9.5. [ π4 + 2kπ, π4 − 1], [ π4 + (2k + 1)π, π4 − 1] v´azan´a lok´aln´ı maxima
110
Cviˇ
cen´ı 9.6. [16, 16]
lok´aln´ı v´azan´e minimum
Cviˇ
cen´ı 9.7. [2, 2, 1] lok´aln´ı v´azan´e minimum
hq q q i
8
, 83 , 83
lok´aln´ı v´azan´e maximum,
3
q
q i
Cviˇ
cen´ı 9.8. h q
− 83 , − 83 , − 83
lok´aln´ı v´azan´e minimum
√
√
[ √12 , − √12 , 2], [− √12 , √12 , − 2] lok´aln´ı v´azan´a minima,
√
Cviˇ
cen´ı 9.9. 1 1 √
[ √2 , √2 , 2], [− √12 , − √12 , − 2] lok´aln´ı v´azan´a maxima
Cviˇ
cen´ı 9.10.
[ 44
, 1 , − 27
]
31 31
31
Cviˇ
cen´ı 10.1.
[1, 1], [−1, −1] glob´aln´ı maxima,
[1, −1], [−1, 1] glob´aln´ı minima
√
lok´aln´ı v´azan´e minimum
√
[ −2−3 22 , 5+3 22 ] glob´aln´ı maximum,
Cviˇ
cen´ı 10.2.
[1, 0] a [−2, 0] glob´aln´ı minima
hq q i h q q i
2
glob´aln´ı maxima,
, 13 , − 23 , 13
3
q i h q
q i
Cviˇ
cen´ı 10.3. hq
2
, − 13 , − 23 , − 13
glob´aln´ı minima
3
√
√ √
√
[ 32√, 2], [− √32 , − 2] glob´aln´ı maxima,
√
√
Cviˇ
cen´ı 10.4.
[− 32 , 2], [ 32 , − 2] glob´aln´ı minima
Cviˇ
cen´ı 10.5.
[0, 0], [2, 0], [2, 1], [0, 1]
[1, 21 ]
glob´aln´ı maxima,
glob´aln´ı minimum
[3, 9] glob´aln´ı maximum,
[ 13 , 19 ] glob´aln´ı minimum
√
√
[ 10, − 10] glob´aln´ı maximum,
Cviˇ
cen´ı 10.7.
[2, 1]
glob´aln´ı minimum
h
i
√1 , √1 , 1
glob´aln´ı maximum,
2
2
Cviˇ
cen´ı 10.8.
[− 21 , − 12 , 12 ] glob´aln´ı minimum
√
√
[1, 3, 0], [1, − 3, 0] glob´aln´ı maxima,
Cviˇ
cen´ı 10.9.
[−1, 0, 0]
glob´aln´ı minimum
Cviˇ
cen´ı 10.6.
Cviˇ
cen´ı 10.10. mnoˇzina M nen´ı kompaktn´ı
111
Download

Vybrané partie z matematické analýzy I – Diferenciáln´ı pocet funkc´ı