Příklady k přednášce
12 - Frekvenční metody
Michael Šebek
Automatické řízení 2015
25-3-15
OL Frekvenční charakteristika a mez CL stability
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
L( s )
• Pro nesoudělný OL přenos L( s ) platí:
T (s) =
1) Je-li s ∈ C pól CL, pak
1 + L( s )

1 + L( s ) =0 → L( s ) =−1 → L( s ) =1, ∠L( s ) =180
2) speciálně, je-li s = jω CL pól na mezi stability,
1 + L( jω ) =0 → L( jω ) =−1 → L( jω ) =1, ∠L( jω ) =180
• Tedy uzavřená smyčka má pól na mezi stability, právě když
Nyquistův graf otevřené smyčky L( jω ) prochází bodem -1
−1
1
0dB
• Pozná se podobně i CL stabilita?
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
2
Cauchyho princip argumentu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
•
•
•
•
•
Funkce komplexní proměnné – komplexní diferencovatelnost
Holomorfní = diferencovatelné (a tedy ∞-krát) na otevřené množině
Analytická = v každém bodě lze vyjádřit konvergentní mocninou řadou
Celistvá = všude holomorfní (např. polynom)
Meromorfní = holomorfní až na izolované póly (např. racionální funkce)
• Věta - Princip argumentu:
Pro funkci f meromorfní uvnitř a na uzavřené orientované křivce C,
která na ní nemá nuly ani póly, zato má uvnitř Z nul a P pólů platí
∫
C
f ′( z )
=
dz 2π j ( Z − P )
f ( z)
• Integrál z tzv. logaritmické derivace vlevo
je úměrný rozdílu mezi počtem nul a pólů funkce uvnitř C
• Souvisí s počtem obkroužení počátku grafem f (C )
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
3
Obkroužení
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Komplexní funkce komplexní proměnné f : z  f ( z )
• Obrazem orientované uzavřené křivky C je uzavřená orientovaná křivka
tzv. konformní zobrazení f (C )
• Obkroužení orientovanou křivkou
Př. 2× proti směru
po směru 2× 1× 0×
-
Proti směru 1× 2× 3×
Princip argumentu
Zobrazení křivky funkcí komplexní proměnné obkrouží počátek
(Z-P)-krát, kde Z je počet nul a P je počet pólů ležících uvnitř křivky
• obkroužení“ se u křivky i jejího zobrazení bere ve stejném smyslu
• Např. je-li uvnitř křivky stejný počet nul a pólů, pak graf zobrazení této křivky
neobkrouží počátek ani jednou
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
4
Příklady
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
H ( x)
• Zobrazení křivky na křivku v komplexní rovině H : x → y =
pól vně křivky
nula vně křivky
x
nula uvnitř křivky
x
y
y
y
PAdemo.m
x
pól uvnitř křivky
y
x
2 nuly uvnitř
nula a pól vně
nula a pól uvnitř
x
x
y
2 nuly a 1 pól uvnitř
y
x
x
y
Michael Šebek
y
Pr-ARI-12-2013
Sledujte postavení
červené křivky vzhledem k
zelenému „kritickému“ bodu
5
Zobrazení křivky racionální funkcí (přenosem)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Do přenosu
( s − z1 )( s − z2 )
( s − p1 )( s − p2 )
• postupně (ve směru hod. ručiček)
dosazujeme body na křivce
• Pro horní obrázek platí
H ( s0 )= v= v e
∠H ( s0 ) = α = θ1 + θ 2 − (φ1 + φ2 )
H (s)
C
s0
H (s) =
jα
Im [ H ( s ) ]
Im s
θ1
φ1
s0
φ2
Re s
θ2
C
s0
φ2
Re [ H ( s)]
H ( s) : C → H (C )
Im [ H ( s ) ]
Im s
θ1
α1
H (s)
s0
φ1
Re s
α1
Re [ H ( s ) ]
θ2
• Jak se s0 posunuje, úhel se mění ale ani při celé otáčce se nezmění o 360 °,
neboť každý z dílčích úhlů se nakonec vrátí do původní velikosti
• Jinak to je (dolní obr.), když nějaký pól leží uvnitř křivky: jeho úhel se po celé
otáčce změní o -360° stejně i celý α proto graf hodnoto obkrouží počátek
• Podobně: je-li uvnitř nula, přispěje její úhel přírůstkem +360 °
• Konečně, je-li uvnitř křivky více nul a/nebo pólů, jejich příspěvky celkovému
úhlu se sčítají (za každou nulu je to +360°, a za každý pól -360°)
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
6
Princip argumentu použitý v řízení
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1) Jako C vybereme křivku, která obkrouží celou
pravou polorovinu ve směru hodinových ručiček
• potom graf H(C) obkrouží 1x počátek
H(s) má 1 pól nebo nulu v pravé polorovině
2) Protože chceme použít zobrazení této křivky
v OL přenosu L(s) pro určení stability CL systému
L( s )
L( s )
T (s) =
1 + L( s )
C = { jω : ω ∈ (−∞, ∞)}
Im s
C
C
Re s
• CL póly jsou nuly funkce 1 + L( s ) =
0
• proto aplikujme princip argumentu na funkci
H ( s ) = 1 + L( s )
H ( s ) = 1 + L( s )
• graf zobrazení křivky C funkcí H(s) , tj. H(C) , obkrouží počátek
graf zobrazení křivky C funkcí L
=
( s ) H ( s ) − 1 , tj. L(C), obkrouží bod -1
• graf L(C) zobrazení křivky C funkcí L(s) je ale Nyquistův graf OL
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
7
Princip argumentu použitý v řízení
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
3) Protože
tak platí
n( s ) m( s ) + n ( s )
H (s) =
1 + L( s ) =
1+
=
m( s )
m( s )
• nuly H(s) jsou póly CL systému
• póly H(s) jsou póly OL systému
pro
n( s )
m( s )
nesoudělné
• Shrnuto:
Nyquistův graf otevřené smyčky obkrouží kritický bod -1
N = Z - P krát, kde
Z … počet ryze nestabilních CL pólů a
P … počet ryze nestabilních OL pólů.
• Jinak řečeno:
CL systém má Z = N + P ryze nestabilních pólů, kde
N … počet bodu -1 Nyquistovým grafem L(s)
P … počet ryze nestabilních OL pólů.
• Pozn.: Obkroužení proti směru hodinových ručiček
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
se počítají záporně
8
Nyquistovo kritérium stability
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Zřejmě je CL systém stabilní, právě když nemá žádné CL nestabilní póly,
tedy právě když Z = 0 . Z toho plyne
• Nyquistovo kritérium stability
CL systém je stabilní
právě když P = -N
• kde -N je počet obkroužení
Nyquistova grafu L(s)
• a
P je počet ryze nestabilních OL pólů.
• Zvláštní případem je stabilní L(s) , tedy OL stabilní systém
• Nyquistovo kritérium stability pro OL stabilní systém
Je-li OL systém (tedy L(s) ) stabilní, pak je i CL systém stabilní
právě když Nyquistův graf L(s) neobkrouží kritický bod -1
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
9
Praktické rady
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1.
Nyquistův graf L(s) nakreslíme tak, že
• nejprve nakreslíme „kladnou větev“ pro
,
=
s jω , ω ∈ [ 0, ωh ]
kde ωh je taková, že pro ω > ωh je velikost L(s) zanedbatelně malá
• Pak dokreslíme větev pro ω ∈ [ −ωh , 0] symetricky podle reálné osy
2.
Počet N obkroužení
kritického bodu -1 nejlépe spočítáme tak, že
• nakreslíme přímku z bodu -1 do ∞ libovolným směrem
• „díváme se“ směrem od -1 do ∞ a počítáme její přechody (zleva
doprava kladně, zprava doleva záporně)
• jsou-li výsledná obkroužení
, vyjde N záporné
3.
Zjistíme počet P ryze nestabilních pólu L(s) (OL nestabilní pólů)
4.
Vypočteme Z (počet CL ryze nestabilních pólů) jako Z= N + P
5.
Pro stabilitu musí být Z = 0
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
10
Jak doplnit větve jdoucí do ∞ ?
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Pól OL v nule?
• Abychom mohli spočítat počet obkroužení
musí být graf uzavřená křivka
ω = 0−
ω =0
oblouk v ∞
• Tou není, má-li OL pól na Im ose
celý pro ω≈0
• Větve jdoucí do ∞ proto
musíme spojit doplněným
„obloukem“
ω =0
ω =0
a nebo
• je správně doplnění
• abychom to zjistili, trochu pozměníme křivku
• změna je malá a neovlivní rozhodování o stabilitě. Použijeme
−
+
+
?
• při pohybu zdola nahoru těsně kolem pólu v
s = 0 se úhel změní z -90º na + 90º ,
tj. o +180º
• protože jde o pól, jeho příspěvek se projeví
záporně a
• úhel na grafu L(s) se změní o -180º
• a oblouk bude ve směru hodinových ručiček
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
11
Doplnění pro vícenásobný pól
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
•
•
•
•
1
Je-li pól v s = 0 dvojnásobný, např. u
L( s ) = 2
2
s
(
s
1)
+
také jeho příspěvek dvojnásobný
takže úhel na grafu L(s) se změní o 2×(-180º) = -360º
kvůli znaménku - zase ve směru hod. ručiček
ω = 0+
oblouk v ∞
celý pro ω ≈ 0
ω = 0−
• podobně pro troj- a vícenásobné póly
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
12
Vícenásobné případy GM a PM
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• když graf protne zápornou Re vícekrát, uvažujeme pro GM jen protnutí
nejbližší bodu -1
• podobně, protne-li graf jednotkovou kružnici vícekrát, vezmeme jako PM
„ta nejmenší“
• Např. L=85*(s+1)*(s^2+2*s+43.25)/s^2/(s^2+2*s+82)/(s^2+2*s+101)
GM = 1.3 = 2 dB
GM =1.3
PM =37°
PM =37°
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
13
Vícenásobné případy GM a PM
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
7.9555 ( 2 − s ) ( s 2 − 0.5403s + 0.1252)
3
L( s ) =
Michael Šebek
( 2s − 1) (s 2 − 4.9511s + 7.3022)
3
Pr-ARI-12-2013
14
Příklad
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
•
•
•
•
Pro soustavu
2−s
P( s) =
2s − 1
uvažme dva regulátory
K (s) = 1
s + 3.3 s + 0.55 1.7 s 2 + 1.5s + 1
C (s) =
3.3s + 1 0.55s + 1 s 2 + 1.5s + 1.7
Pro zelený jsou všechny
„okraje“ (GM i PM)
lepší nebo stejné jako
u modrého
Přesto je zelený graf
blíže kritickému bodu
než modrý
A při současné změně
zesílení i fáze
bude jeho CL stabilita
ohrožena dřív
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
15
Příklad: 2. řád
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• soustava 2. řádu
1
=
G (s) =
, L( s ) KG ( s )
2
s P regulátorem
( s + 1)
a jednotkovou ZV
• CL char. pol. je stabilní pro každé K ∈ [ 0, ∞ )
K
1
( s + 1) 2
cCL ( s ) = ( s + 1) 2 + K = s 2 + 2 s + (1 + K )
• pro K = 1 je OL Nyquistův graf
• pro rostoucí K = 1, 2,3,  je to
• ani při rostoucím K → ∞
neobkrouží bod -1
• ani se mu neblíží
• N = 0 pro každé K > 0
• proto je CL stabilní
pro každé K > 0
• Totéž plyne z RL
Michael Šebek
K↑
Pr-ARI-12-2013
16
Rozsah stabilizujících K
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jak určit rozsah K , pro který je CL systém stabilní
přitom nekreslit mnoho různých grafů pro různá K ?
KG ( s)
Řešení je jednoduché:
• vydělíme OL přenos L( s ) = KG ( s ) parametrem
a nakreslíme Nyquistův graf pro G(s)
• pak místo kritického bodu -1 nakreslíme body -1/K v určitém rozsahu K,
což je jednodušší
• pro zjištění CL stability uvažujeme počet obkroužení bodu -1/K
• To je možné, protože graf G(s) obkrouží bod -1/K právě tolikrát,
•
kolikrát graf L( s ) = KG ( s ) obkrouží bod -1
Minulý příklad:
pro žádné kladné K neobkrouží graf
bod -1/K, protože
K ∈ ( 0, ∞ ) : − 1 K ∈ ( −∞,0 )
−1 K
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
17
Příklad: nestabilní soustava
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• soustava G ( s ) =
s +1
je nestabilní
s (0.1s − 1)
K
s +1
s(0.1s − 1)
cCL ( s=
= 0.1s 2 + ( K − 1) s + K
) s (0.1s − 1) + K ( s + 1)
K =1
• CL je stabilní pro K > 1
ω = 0+
K =1
ω = ± 10
−1
ω= ∞
−1 K s
−1 Kl
ω = 0−
Michael Šebek
Pro velká =
K KL > 1
• Protože teď ale je
• a CL je stabilní
Pro malá =
K KS < 1
• Protože teď ale je
• a CL je nestabilní
Pr-ARI-12-2013
je
N = −1
P = 1, tak Z = N + P = 0
je N = 1
P = 1, tak Z = N + P = 2
18
Rezonanční špička
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
což platí pro ζ ≤ 2 2 ≈ 0.707 , jinak špička není
• Pozor: také se označuje jako M=
M=
MT
p
r
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
20
M (ω ) = T ( jω )
Mp
dB
10
abs
• Používání OL frekvenční charakteristiky je jen pomůcka
• Ve skutečnosti nás zajímá frekvenční charakteristika
uzavřené smyčky, která ukazuje chování výsledného
zpětnovazebního systému
ωn2
• Pro (výsledný) systém 2. řádu T ( s ) = 2
2
+
+
s
s
2
ζω
ω
n
n
existují jednoduché vzorečky
pro vztah mezi přechodovým jevem a frek. Char.
• Zřejmě
ωn2
( jω )
M (ω ) T=
=
(ωn2 − ω 2 ) 2 + 4ζ 2ωn2ω 2
• Derivováním podle ω 2 můžeme odvodit
1
2
Mp =
=
ω
ω
1
−
2
ζ
p
n
2ζ 1 − ζ 2
1
0.7
0
0.1
−20
log ω p
[1 + (2ζ/ωn) jω+ ( jω/ωn)2]-1
19
Vztah mezi špičkou Mp a překmitem
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
)
(
• Předchozí vzoreček =
ω p ωn 1 − 2ζ 2 platí jen pro ζ ≤ 1 2 ≅ 0.707 neboť
• pro větší tlumení (ζ > 0.707 ) špička neexistuje - neplést s překmitem, ten
neexistuje pro ζ ≥ 1
• Spojíme-li vzorec
=
M p 1 (2ζ 1 − ζ )
2
Mp
se vzorcem pro překmit
ζ =
− ln(%OS 100)
π 2 + ln 2 (%OS 100)
dostaneme vztah mezi
špičkou M p a překmitem %OS
• Uvědomte si, že obecně
ω p ≠ ωn
• ale pro malé ζ platí ω p ≈ ωn
• takže je někdy pro malá tlumení pokládáme za rovné
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
%OS
20
PM a tlumení
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Představme si, že přenos uzavřené smyčky vznikl
jednotkovou ZV z přenosu otevřené smyčky
ωn2
ωn2
L( s )
T (s)
=
↔=
s ( s + 2ζωn )
s 2 + 2ζωn s + ωn2
• a vypočtěme z otevřené smyčky
ωn2
L( jω ) =
1
=
2
PM tak, že vyřešíme rovnici
−ω + j 2ζωnω
• Řešením je
ωn2
s ( s + 2ζωn )
ωC = ωn −2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
• Fáze L pro tuto frekvenci je
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
ωC
∠L( jωC ) =
−90 − arctan
=
−90 − arctan
2ζωn
2ζ
• A z toho je
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
PM =∠L( jωC ) − ( −180° ) =90° − arctan
2ζ
2ζ
PM = arctan
Michael Šebek
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
Pr-ARI-12-2013
21
PM a tlumení
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• vzorec
PM = arctan
PM °
2ζ
−2ζ 2 + 1 + 4ζ 4
• Vyneseme do grafu, kde
PM je ve stupních
Příklad:
• Pro jaké PM
nemá CL frekvenční
charakteristiky špičku?
• Je to pro
ζ > 1 2 ≅ 0.707
• Čemuž odpovídá
ς
PM ≥ 1.14 rad = 65.53°
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
22
Šířka pásma pro systém 2. řádu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Ze vztahu
• Plyne
( jω )
=
M (ω ) T=
ωn2
=
(ωn2 − ω 2 ) 2 + 4ζ 2ωn2ω 2
1
2
BW = ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2
• Tedy s rostoucím ζ poměr BW/ωn
monotónně klesá
• BW je přímo úměrné ωn
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
23
Příklad
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
•
Pro soustavu
2−s
P( s) =
2s − 1
•
•
•
uvažme dva regulátory
K (s) = 1
s + 2 1.7 s 2 + 1.5s + 1
Cbad ( s) =
2s + 1 s 2 + 1.5s + 1.7
Pro zelený jsou všechny „okraje“ (GM i PM) lepší nebo stejné jako
u modrého
Přesto je zelený graf
blíže kritickému bodu
než modrý
A při současné změně
zesílení i fáze
bude jeho CL stabilita
ohrožena dřív
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
24
Vliv přidání nuly
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přidáme-li k systému
• nulu ve s = -1/T
ωn2
ωn2
=
↔=
L( s )
T (s)
s ( s + 2ζωn )
s 2 + 2ζωn s + ωn2
ωn2 (1 + Ts )
ωn2 (1 + Ts )
=
L( s )
↔=
T (s)
s ( s + 2ζωn )
s 2 + ( 2ζωn + T ωn2 ) s + ωn2
• Změní se šířka pásma
BW =
b 2 + 4ωn4
, b = 4ζ 2ωn2 + 4ζωn3T − 2ωn2 − ωn4T 2
−b +
2
• Složitý vztah, ale
(až na malé
hodnoty T)
přidání nuly
zvětšuje BW
Michael Šebek
ARI-01-2011
25
Vliv přidání pólu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přidáme-li k systému pól ve s = −1 T
ωn2
ωn2
ωn2
=
L( s )
=
↔ T (s)
=
s ( s + 2ζωn ) (1 + Ts )
s ( s + 2ζωn ) (1 + Ts ) + ωn2 Ts 3 + (1 + 2ζωnT ) s 2 + 2ζωn s + ωn2
• Vznikne systém 3. řádu, který může být i nestabilní
1,=
ζ 0.707
• Pro ω=
n
je stabilní pro všechna T
a různé varianty jsou vykresleny
• Obecně systém s dalším pólem je
• méně stabilní
• a má menší BW
Michael Šebek
Pr-ARI-12-2013
26
Download

Příklady k přednášce 12