Zakřivené pruty - určování VVÚ
2. příklad
Je dán uzavřený zakřivený prut podle obrázku 1. Proveďte částečné uvolnění, zapište deformační podmínku a určete průběhy VVÚ.
Obrázek 1: Zadání příkladu 2
Řešení
1. Rozbor
Jedná se o uzavřený zakřivený prut, který je symetrický a je i symetricky zatížen. Je
potřeba nejprve správně částečně uvolnit s využitím symetrie, poté určit deformační podmínku a s její pomocí určit průběhy VVÚ. Prut je volný a je ve statické rovnováze.
2. Částečné uvolnění
Využijeme symetrie a uvolníme polovinu prutu. Zavedeme symetrické VVÚ, kterými jsou
ohybové momenty MA a MC a normálové síly (momenty neznáme, ale normálovou sílu
určíme z podmínky statické rovnováhy, součet normálových sil v obou bodech A a C se
musí rovna F1 ). Pro každý bod A i C také platí deformační podmínka φA = φC = 0.
Částečné uvolnění je na obrázku 2.
Obrázek 2: Částečné uvolnění poloviny uzavřeného prutu.
Prut je i nadále souměrný, takže abychom získali méně neznámých parametrů, uvolníme
1
ještě čtvrtinu prutu - viz obrázek 3. Deformační podmínku máme tedy jenom jednu, a to
φA = 0.
Obrázek 3: Částečné uvolnění čtvrtiny uzavřeného prutu.
3. Uvolnění řezu a psaní rovnic pro VVÚ
K uvolněné čtvrtině prutu se chováme jako ke klasickému zakřivenému
prutu. Potřebujeme
⟨ π⟩
jednu řídící souřadnici ϑ a stačí nám jediný interval ϑ ∈ 0; 2 . Neznámý moment MA
F1
F2
· cos ϑ −
· sin ϑ
2
2
F1
F2
T (ϑ) = − · sin ϑ −
· cos ϑ
2
2
F1
F2
Mo (ϑ) = MA −
· (R − R · cos ϑ) −
· R · sin ϑ
2
2
N (ϑ) =
určíme pomocí Castiglianovy věty a podmínky φA = 0. (Pozor, nezapomínejme, že ds =
R · dϑ).
φA =
∂W
=
∂MA
∫
ψ
π
dMo
Mo
·
ds =
E · Jy dMA
∫2
0
Mo
· 1 · R · dϑ
E · Jy
)
∫ (
F2
F1
· R (1 − cos ϑ) −
· R sin ϑ
MA −
2
2
0
[
] π2
R
F1
F2
F2
=
· MA · ϑ −
·R·ϑ+
· R · sin ϑ +
· R · cos ϑ
E · Jy
2
2
2
0
π
2
R
=
·
E · Jy
2
(
)
R
π F1
π F1
F2
=
· MA · −
·R· +
·R·1+0 −
·R=0
E · Jy
2
2
2
2
2
Z této rovnice dostaneme
R
· (F2 − F1 ) + F1 · R
π
A pokud budeme pro další výpočty uvažovat, že F1 = F2 , pak dostaneme
MA =
MA = F1 · R
4. Zakreslení průběhu VVÚ
Nyní můžeme vykreslit průběhy VVÚ pro jednu čtvrtinu prutu - viz obrázek 4.
Obrázek 4: Průběhy VVÚ pro čtvrtinu prutu a pro případ F1 = F2
Průběh VVÚ po celém obvodu zakřiveného uzavřeného prutu získáme pouhým zrcadlením průběhů u souměrných složek, tj. ohybového momentu a normálové síly. Smyková
síla má antimetrický charakter – musí se zrcadlit a obrátit znaménko. Celkové průběhy
jsou na obrázku 5.
3
Obrázek 5: Průběhy VVÚ pro celý prut a pro případ F1 = F2
5. Závěr
Závěrem můžeme říct, že dominantním namáháním je ohybový moment. Pozor, při vykreslování VVÚ jsme uvažovali F1 = F2 . V případě, že F1 ̸= F2 , průběhy budou jiné.
4
Download

Zakřivené pruty