Kvadratická rovnice I.
MAT-2.r.-1-Kvadratická rovnice I.
autor: Zbyšek Hergesell, leden 2012
Střední lesnická
škola a SOU,
Křivoklát-Písky
CZ.1.07/1.5.00/34.0750
inovace výuky na SLŠ Křivoklát
Kvadratická rovnice, nerovnice, soustavy
Lineární rovnice nám při řešení některých úloh nebudou stačit, proto
použijeme znalost rovnic kvadratických:
kvadratická rovnice je rovnice, v níž se vyskytuje neznámá ve
druhé mocnině
příklad: Určete rozměry obdélníku, jehož obsah je 24 cm2 a obvod 20
cm.
označíme si x delší stranu v obdélníku (v cm).
potom kratší strana bude: obvod obdélníka 2 . (a + b) = 20
a + b = 10
pokud x je delší strana, kratší je (10-x):
x + b = 10 .. b = 10 – x
obsah je: a . b = 24 tedy x . (10 – x) = 24
po úpravě:
x2 – 10x + 24 = 0
tuto rovnici vyřešíme
tak, že kvadratický trojčlen rozložíme na součin, tzn. že hledáme dvě
celá čísla r a s, jejichž součet je 10 a součin 24.
(x - r) . (x - s) = x2 - 10x + 24
x2 – 10x + 24 = 0
r.
(x-6) . (x-4) = 0
s=
24
součin je roven nule, pokud alespoň jeden z činitelů je roven nule:
r+
x–4=0
s= x–6=0
x=6
x=4
10
r= rovnice jsou tedy čísla x1=6 a x2=4
kořeny
6;
Zkouška:
zadání vyhovuje pouze číslo 6 (tj. delší strana, kratší je 10-x=4)
s=
odpověď: rozměry obdélníka jsou 6 cm a 4 cm.
4
po
to
m
(x6)
.
(x-
Obecná kvadratická rovnice
obecná kvadratická rce je taková rovnice, kterou lze upravit na
tvar:
ax2 + bx + c = 0
kde a; b; c ε R a a≠0
tento tvar se také nazývá anulovaný nebo základní
ax2 + bx + c
…. kvadratický trojčlen
absolutní člen, koeficient c
lineární člen (obsahuje x v první mocnině), koef. b
kvadratický člen (obsahuje x ve druhé mocnině),
koef a
následující postup umožní určit kořeny každé kvadratické rovnice (v
anulovaném, základním tvaru) pouze za použití koeficientů a; b; c
výpočet kv. rce pomocí vzorců pro kořeny:
k tomuto výpočtu budeme používat výraz zvaný Diskriminant:
D = b2 – 4ac
na diskriminantu záleží, zda rovnice má,
či nemá kořeny (řešení)
pokud:
D < 0 … rovnice nemá v R žádné řešení


D = 0 … rovnice má jeden, dvojnásobný kořen x = −
kde a, b jsou
koeficienty rovnice
D > 0 … rovnice má dva kořeny: x1 =
−+ 

a
vzorce pro kořeny často píšeme do jednoho výrazu:
x1,2 =
− ∓ 

x2 =
− − 

vypočítejte kořeny rovnice:
x2 = 5x – 6
nejprve ekvivalentními úpravami uvedeme do základního anulovaného
tvaru:
x2 – 5x + 6 = 0
nyní vypočítáme diskriminant:
D = b2 – 4ac
v této rci a=1; b=-5; c=6
D = (-5)2 – 4 . 1 . 6 = 25 – 24 = 1
D > 0 … rce má dva kořeny
x1,2 =
− ∓ 
2
=
− −5 ∓ 1
2.1
x1 =
=
rovnice má dva kořeny: x1=3 a x2=2
5 ∓1
2
=
5+1
2
x2 =
=3
5−1
2
=2
vypočítejte rci:
x2 + 4x + 4 = 0
rovnice je v základním tvaru, proto můžeme vypočítat diskriminant:
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4 . 1 . 4 = 0
D = 0 … rovnice má jeden dvojnásobný kořen:
a=1; b=4; c=4
x=
−

=
−4
2
= −2
vypočítejte:
5x = -(4 + 2x2) nejprve převedeme na základní tvar:
2x2 + 5x + 4 = 0 a=2; b=5; c=4
D = 52 – 4 . 2 . 4 = 25 – 32 = -7
D < 0 … rovnice nemá v R žádné řešení
Vypočítejte pomocí diskriminantu:
x2 + x -20 = 0
2x2 = 6 – 4x
x2 – 3x + 9 = 0
4x2 – 12 = -2x
2x2 = 12x – 18
Použitá literatura:
• Z. Vošický, Matematika v kostce (2007/11), ISBN 978-80-253-01913
• E. Calda, Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU 1. díl
(1996), ISBN 978-80-7196-020-1
• www.matweb.cz
• www.priklady.eu/cs/Matematika/
Download

Kvadratická rovnice I. - Střední lesnická škola a Střední odborné