VYSOKÁ ŠKOLA BÁÒSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
JEDNOTA ÈESKÝCH MATEMATIKÙ A FYZIKÙ, poboèka Ostrava
KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE VŠB-TU Ostrava
Sborník z 20. semináøe
Moderní matematické metody v inenýrství
30.5. - 1.6. 2011
Dolní Lomná
Hlavní sponzor semináře
ISBN 978-80-248-2517-5
2
Vážené a milé kolegyně a kolegové,
Jubilejní dvacátý ročník mezinárodního semináře Moderní matematické
metody v inženýrství je úspěšně za námi. Organizaci si v souladu s tradicí vzala na
starost ostravská pobočka Jednoty českých matematiků a fyziků a Katedra
matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - TU Ostrava. Do Rehabilitačního a
rekreačního střediska odborů Dolu ČSA v Dolní Lomné u Jablunkova přijelo letos 41
účastníků, z toho 5 zahraničních (4 z Polska, 1 ze Slovenska). Také letos převládaly
mezi účastníky mladší ročníky, což nás všechny potěšilo.
Cyklus tří přednášek z historie matematiky s názvem Algebra v období 1890
až 1931 všechny zaujal. Přednášky velmi poutavým a osobitým způsobem přednesl
pan doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. z Matematicko – fyzikální fakulty Univerzity
Karlovy v Praze.
Bylo předneseno celkem 19 referátů a komentováno 10 posterů zaměřených
odborně
(matematické
modelování,
simulace,
kódování,
statistika,
aplikace
matematiky v geologii, geodézii, ekonomice) i metodicky (analýza náročnosti studia
na technice, přijímací testy).
Letos poprvé nedostáváte do rukou sborník v tradiční tištěné podobě. Po
úvaze a delším rozhodování jsme se rozhodli šetřit naše (už tak dost zdevastované)
lesy a vydat sborník na CD, ze kterého si pak každý v případě potřeby vybere a
vytiskne, co ho zaujme. Upozorňujeme, že publikované příspěvky byly dodány ve
formě camera ready a neprošly proto ani odbornou ani jazykovou korekturou.
Upřímně děkujeme všem sponzorům, kteří svými finančními příspěvky
pomáhají udržet na přijatelné úrovni výši vložného a umožňují tak účast širokému
okruhu zájemců, včetně doktorandů.
Závěrem si Vás dovolujeme pozvat na příští, 21. ročník semináře Moderní
matematické metody v inženýrství, který proběhne v termínu 4. – 6. června 2012.
Za organizační a programový výbor Jarmila Doležalová, editor.
3
OBSAH
♦ Robert Baron, PS Gliwice
Ocena zasadności wdrożenia procesu podziemnego zgazowania węgla przy
wykorzystaniu analizy SWOT ............................................................................................6
♦ Robert Baron, PS Gliwice
Ocena skuteczności i efektywności procesu podziemnego zgazowania węgla (OSEP)
jako narzędzie wspomagające przy wyborze decyzji ......................................................11
♦ Boháč, Zdeněk – Doležalová, Jarmila – Kreml, Pavel, VŠB – TU Ostrava
Elektronické učební opory na katedře MDG VŠB-TU Ostrava po třech letech ...............16
♦ Dlouhá, Dagmar, VŠB – TU Ostrava
Optimalizace procesu rozpojování s pomocí znalosti rozvalu a snížení počtu nožů na
rozpojovacím orgánu .......................................................................................................22
♦ Dobrakovová, Jana – Záhonová, Viera, STU Bratislava
Systémy diferenciálnych rovníc trochu inak ....................................................................27
♦ Gajdowska, Maria, PS Gliwice
Badanie efektu katalizy w modelu ekonometrycznym .....................................................32
♦ Korban, Zygmunt, PS Gliwice
Wykorzystanie metody Promethee II w procesie decyzyjnym – studium przypadku.......36
♦ Kováčová, Monika, STU Bratislava
On the Border Between Science and Art: webMathematica Visualization in Random
Walking – Koch Snowflakes ............................................................................................42
♦ Kowalik, Stanisław – Kowalik, Leszek, PS Gliwice
Optymalizacja wielokryterialna z wykorzystaniem procedur Matlaba..............................51
♦ Magiera, Janina, PS Gliwice
Wielkości charakteryzujące hałas w środowisku pracy ...................................................56
♦ Manowska, Anna, PS Gliwice
Wykorzystanie modeli autoregresyjnych w prognozowaniu ............................................61
♦ Morávková, Zuzana – Vrbický, Jiří – Drápala, Jaromír – Madaj, Michal,
VŠB – TU Ostrava
Výpočet polytermických řezů v ternárních systémech slitin ............................................66
♦ Navrátil, Vladislav – Novotná, Jiřina, MU Brno
Microhardness of Some Pure Metals Measured by Instrumented Indentation................71
♦ Polcerová, Marie, VUT Brno
Učební texty v distančním vzdělávání .............................................................................79
♦ Rabasová, Marcela, VŠB – TU Ostrava
Porovnání výsledků laparoskopických a otevřených operací kolorekta ..........................84
♦ Salač, Petr, TU Liberec
Sensitivity Analysis for Plunger Cavity ............................................................................89
4
♦ Schreiberová, Petra, VŠB – TU Ostrava
Návrh modelu údržby dynamického systému s využitím Petriho sítí...............................96
♦ Smetanová, Dana, UP Olomouc – Volná, Jana, UTB Zlín – Volný, Petr,
VŠB – TU Ostrava
Neholonomní mechanika...............................................................................................101
♦ Šimko, Milan, TU Liberec
Implementation of a Mathematical Model of the Electrospinning Process ....................106
♦ Štěpánová, Martina, UK Praha
Změna paradigmatu v teorii matic .................................................................................111
♦ Tužilová, Michaela – Krček, Břetislav, VŠB – TU Ostrava
Ohyb nosníku z pohledu základních kurzů matematiky – teoretická část .....................116
♦ Krček, Břetislav – Tužilová, Michaela, VŠB – TU Ostrava
Ohyb nosníku z pohledu základních kurzů matematiky – numerická realizace ............121
♦ Lukáš Vízek, UK Praha
Josef Úlehla a jeho učebnice Počet infinitesimální........................................................125
♦ Záhonová, Viera, STU Bratislava
Môžu študenti zvládnuť Matematiku na SjF STU v Bratislave?.....................................132
♦ Zajaczek, Stanislav – Kijonka, Jaromír – Chrobáček, Karel – Orság, Petr,
VŠB – TU Ostrava
Využití e-learningových prvků ve výuce ........................................................................137
Seznam účastníků .........................................................................................................140
Celý sborník ke stažení
Fotogalerie (na webu konference)
5
OCENA ZASADNOŚCI WDROŻENIA
PROCESU PODZIEMNEGO ZGAZOWANIA
WĘGLA PRZY WYKORZYSTANIU ANALIZY
SWOT
Robert Baron
Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Politechnika Śląska
ul. Akademicka 2, 44 – 100 Gliwice, Polska
e–mail: [email protected]
Abstrakt: Analiza SWOT jest efektywną metodą identyfikacji słabych i mocnych stron
przedsięwzięcia oraz badania szans i zagrożeń jakie stoją przed jego realizacją.
Wykorzystując analizę SWOT dla czynników charakteryzujących proces podziemnego
zgazowania można poddać ocenie zasadność podejmowanych decyzji w aspekcie
opisywanego przedsięwzięcia. Wyniki analizy umożliwiają formułowanie prognoz
i planów dotyczących dalszych działań w procesie podziemnego zgazowania.
Abstract: SWOT analysis is an effective method of identifying the advantages and
disadvantages of the project and investigating the opportunities and risks of its
implementation. Making use of SWOT analysis of the factors characteristic to the
process of underground gasification, the justifiability of the decisions made in the aspect
of the described project, can be evaluated. The results of analysis enable to make
predictions and plans relating to further activities in the process of underground
gasification.
1. Wstęp
Analiza SWOT jest efektywną metodą identyfikacji słabych i mocnych stron
przedsięwzięcia oraz badania szans i zagrożeń jakie stoją przed jego realizacją.
W pracy zastosowano interpretację wykładni: słabe i mocne strony to zalety i wady
stanu obecnego procesu, a szanse i zagrożenia to spodziewane zjawiska przyszłe tego
przedsięwzięcia.
2. Wyznaczenie czynników strategicznych
W tablicy 1 przedstawiono najważniejsze czynniki strategiczne charakteryzujące proces
podziemnego zgazowania węgla dla analizy SWOT [1 – 11].
6
ZAGROŻENIA
SZANSE
WADY
ZALETY
Podziemne zgazowanie węgla
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
brak ryzyka zagrożenia zdrowia i bezpieczeństwa człowieka,
eksploatacja zasobów węgla nieopłacalnych ekonomicznie tradycyjnymi metodami,
niższe koszty w porównaniu ze zgazowaniem naziemnym,
uzyskane produkty zgazowania alternatywą dla obecnych nośników energii,
ochrona środowiska poprzez pozostawienie odpadów gazyfikacji pod ziemią,
możliwość lokowania innych odpadów w kawernach pogazyfikacyjnych.
niemożliwość uzyskania gazu o stałych parametrach,
uzyskiwany gaz posiada niską wartość opałową,
możliwość wystąpienia zawałów zgazowywanych złóż,
złożoność technologii,
proces gazyfikacji w ściśle określonych warunkach geologiczno – górniczych,
brak wpływu człowieka na relacje zachodzące podczas procesu.
przyszłościowa metoda pozyskiwania energii,
wykorzystanie technologii na skalę przemysłową,
prowadzenie badań w zakresie technologii spowoduje jej znaczny rozwój,
sekwestracja CO2 w pustkach powstałych po zgazowaniu,
uniezależnienie się od dostaw nośników energii z innych krajów,
sposób na redukcję emisji gazów cieplarnianych.
problemy związane z bezpieczeństwem całego procesu,
zapadanie nadkładu do strefy zgazowywanej,
możliwość zanieczyszczenia wód podziemnych,
brak akceptacji społeczeństwa,
brak możliwych lokalizacji dla zastosowania technologii na skalę przemysłową ze względu
na negatywne kryteria dotyczące kwalifikacji pokładów węgla,
brak finansowania badań i projektów pilotażowych.
Tablica 1. Najważniejsze czynniki strategiczne charakteryzujące proces podziemnego zgazowania
węgla dla analizy SWOT [opracowanie własne]
Identyfikacja czynników to pierwszy krok do przeprowadzenia sprawnej analizy
SWOT. Następnym etapem jest ocena. Należy stworzyć odpowiednią skalę ocen
i przyporządkować je każdemu czynnikowi. Najprostszą metodą jest zastosowanie skali
od 0 (najsłabszy) do 3 (najsilniejszy). Taka skala została zastosowana w niniejszej
pracy. Każdemu elementowi przyporządkowuje się odpowiednią ilość punktów
w zależności od jego znaczenia. Ze względu na podstawę odniesienia ocen autor
zastosował w tym przypadku analizę normatywną. Analiza normatywna to zestawienie
aktualnych danych przedsięwzięcia z oczekiwanymi wynikami.
Analiza SWOT to instrument, który ułatwia proces planowania strategicznego.
Prawidłowe rozpoznanie mocnych i słabych stron planowanego przedsięwzięcia oraz
diagnoza zagrożeń i szans dla tego przedsięwzięcia pozwolą na precyzyjne
zaprojektowanie strategii rozwoju całego procesu. Przeprowadzenie analizy SWOT
zmusza do śledzenia zmian zachodzących w danym obszarze oraz wykorzystania
wszelkich dostępnych źródeł informacji. Na ich podstawie możliwe jest formułowanie
prognoz i planów dotyczących przyszłej inwestycji.
Tablica 2 przedstawia najważniejsze czynniki strategiczne charakteryzujące proces
podziemnego zgazowania węgla sklasyfikowane w cztery grupy. Klasyfikacja ta jest
konieczna do przeprowadzenia końcowej oceny.
7
Tablica 2. Czynniki strategiczne charakteryzujące proces podziemnego zgazowania węgla –
narzędzie do analizy SWOT
Następnym krokiem jest przeprowadzenie oceny wpływu
przedsięwzięcie. Do oceny zastosowano następującą skalę:
czynników
0 - brak wpływu, zależności
1 - niewielki wpływ, zależność
2 - duży wpływ, zależność
3 - bardzo duży (kluczowy) wpływ, zależność
W wyniku przeprowadzonej oceny uzyskano (tablica 3):
Tablica 3. Analiza SWOT dla procesu podziemnego zgazowania – ocena końcowa
8
na
3. Omówienie wyników analizy
Najsilniejsze relacje występują pomiędzy zależnością WADY – ZAGROŻENIA.
Należy zwrócić uwagę na te czynniki, które jesteśmy w stanie wyeliminować, bądź też
zminimalizować ich wpływ na całe przedsięwzięcie. Uzyskiwanie gazu o zmiennym
składzie chemicznym oraz o niskiej wartości opałowej mogą spowodować problemy
z efektywnością całego procesu. Proces ten nie dość, że musi być prowadzony
w odpowiednich warunkach geologiczno – górniczych to jeszcze mimo tego istnieje
możliwość zapadania się skał stopowych w miejsce zgazowanego złoża. Deformacje na
powierzchni terenu mogą stać się przyczyną do niezadowolenia społeczeństwa i tym
samym do braku akceptacji dla takiego sposobu pozyskiwania surowca. Ponadto
złożoność samego procesu potęguje fakt, iż człowiek ma niewielki wpływ na reakcje
zachodzące podczas zgazowania węgla w złożu. Jednakże najistotniejszym czynnikiem
wpływającym na przyszłość takiego sposobu pozyskiwania surowca jest fakt, że brakuje
lokalizacji dla podziemnego zgazowania spełniającej warunki kwalifikacji pokładów do
tego procesu.
Najsłabsze relacje zachodzą natomiast pomiędzy zależnością ZALETY – SZANSE oraz
WADY – SZANSE.
Wynika to z faktu, iż zarówno obecne zalety jak i wady procesu podziemnego
zgazowania mogą stać się szansami w przyszłości dla tego procesu pod warunkiem
efektywnego ich wykorzystania. Podziemne zgazowanie węgla może stać się
przyszłościową metodą pozyskiwania surowca do różnego rodzaju zastosowań poprzez
niższe koszty w porównaniu ze zgazowaniem na powierzchni. Także bezpieczeństwo
pracowników będzie wyższe w porównaniu z tradycyjnymi technikami wydobywania
węgla, gdyż po pierwsze liczba zatrudnionych pracowników na instalacjach będzie
nieporównywalnie mniejsza, a po drugie pracownicy nie mają możliwości dostania się
do miejsc związanych z wydobyciem jak to ma miejsce w tradycyjnych technikach
górniczych. Ważnym aspektem jest również aspekt ekologiczny związany
z pozostawieniem odpadów powstałych w procesie gazyfikacji pod ziemią, sposób na
redukcję emisji gazów cieplarnianych (sekwestracja CO2) a także możliwość
składowania w kawernach poeksploatacyjnych innych odpadów. Ponadto podziemne
zgazowanie węgla może się stać jednym ze sposobów uniezależnienia się od dostaw
innych nośników energii eksportujących do naszego kraju, a powstałe w wyniku
procesu produkty – alternatywą dla obecnych.
Jeżeli w odpowiednim momencie uda się wykorzystać i przeobrazić wady procesu
podziemnego zgazowania w szanse owocujące w przyszłości wówczas możemy
powiedzieć, że ów proces jest jak najbardziej efektywny ekonomicznie. Poprzez
finansowanie badań nad rozwojem tej technologii będzie można poznać mechanizmy
zachodzących reakcji, znaleźć uzasadnienie ekonomiki procesu, a przede wszystkim
spowodować, iż proces podziemnej gazyfikacji węgla nie będzie tak złożony jak to ma
miejsce obecnie.
9
4. Wnioski
Wykorzystanie analizy SWOT w ocenie zasadności zastosowania podziemnego
zgazowania węgla dla wybranych części pokładów:
• Najsilniejsze relacje występują pomiędzy zależnością WADY –
ZAGROŻENIA,
• Najsłabsze relacje zachodzą pomiędzy zależnością ZALETY – SZANSE
oraz WADY – SZANSE.
Literatura
[1]
Bednarczyk J.; Rozwój technologii podziemnego zgazowania węgla
i perspektywy jej przemysłowego wdrożenia; Górnictwo i Geoinżynieria,
Kwartalnik AGH 2007, Kraków; T. 31; nr 2; s. 87 – 104
[2]
Białecka B.; Przegląd koncepcji podziemnego zgazowania węgla; Prace
naukowe GIG, Górnictwo i Środowisko 2006, Katowice; nr 4; s. 5 – 15
[3]
Dubiński J., Stańczyk K.; Podziemne zgazowanie węgla – doświadczenia
światowe i eksperymenty prowadzone w KD Barbara; Szkoła Eksploatacji
Podziemnej 2010, Kraków; s. 15 – 23
[4]
Fergusson K.J.; Clean coal of the future; World Coal 2008, Londyn UK; T. 17;
nr 8; s. 37 – 41
[5]
Kasztelewicz Z., Polak K., Zajączkowski M.; Szanse i zagrożenia
podziemnego zgazowania węgla w złożu; Przegląd Górniczy 2009, Katowice;
nr 1 / 2; s. 8 – 11
[6]
Petela R.; Technologia paliw: Odgazowanie, zgazowanie, spalanie; Skrypty
uczelniane nr 237, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1969
[7]
Stańczyk K., Kapusta K.; Podziemne zgazowanie węgla; Karbo 2007,
Katowice; nr 2; s. 98 – 102
[8]
Tengler Sz.; Niekonwencjonalne metody chemicznej przeróbki węgla;
Wydawnictwo Wyższej Szkoły Pedagogicznej, Kielce 1978
[9]
Tengler Sz.; Współczesne metody chemicznej przeróbki węgla; Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1981
[10]
Tomeczek J.; Zgazowanie węgla; Skrypty centralne nr 1551/4, Wydawnictwo
Politechniki Śląskiej, Gliwice 1991
[11]
Zarębska K., Pernak – Miśko K.; Zgazowanie węgla – perspektywa dla
gospodarki wodorowej; Polski Kongres Górniczy 2007. Sesja 9: Nowe szanse
węgla. Zeszyt specjalny, Kraków; nr 3; s. 243 – 255
10
OCENA SKUTECZNOŚCI I EFEKTYWNOŚCI
PROCESU PODZIEMNEGO ZGAZOWANIA
WĘGLA (OSEP) JAKO NARZĘDZIE
WSPOMAGAJĄCE PRZY WYBORZE
DECYZJI
Robert Baron
Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Politechnika Śląska
ul. Akademicka 2, 44 – 100 Gliwice, Polska
e–mail: [email protected]
Abstrakt: Program OSEP jest prostym narzędziem informatycznym, za pomocą
którego można dokonać wstępnej oceny wybranej lokalizacji pod kątem
ekonomicznym. Program ten składa się z modułów pozwalających na wybór
odpowiedniej lokalizacji dla procesu podziemnego zgazowania węgla, określenie
parametrów techniczno – technologicznych dla procesu, określenie wskaźników
efektywności ekonomicznej procesu oraz przeprowadzenie analizy porównawczej.
Abstract: Program The evaluation of effectiveness and efficiency of underground
coal gasification process, is a simple software tool which can be used for initial
evaluation of selected location, from economic point of view. The program consists of
modules enabling to choose an appropriate location for underground coal gasification,
defining technical-technological parameters of the process, as well as conducting the
comparative analysis.
1. Wprowadzenie
Efektywność eksploatacji zasobów dla procesu podziemnego zgazowania węgla zależy
przede wszystkim od parametrów geologicznych i zastosowanej technologii
prowadzenia procesu. Również parametry jakościowe węgla znajdującego się
w pokładzie są ważnym zagadnieniem z punktu widzenia efektywności procesu [2].
Aby przeprowadzić analizę skuteczności i efektywności eksploatacji zasobów dla
procesu podziemnego zgazowania węgla powstał autorski program komputerowy do jej
wyznaczenia – Ocena skuteczności i efektywności procesu podziemnego zgazowania
węgla (OSEP).
11
Powstał on w oparciu o literaturę oraz wyniki przeprowadzonych badań
w instalacjach doświadczalnych [1],[3]. Składa się on z 4 następujących modułów:
1. wybór odpowiedniej lokalizacji dla procesu podziemnego zgazowania,
2. określenie parametrów techniczno – technologicznych dla procesu,
3. określenie wskaźników efektywności ekonomicznej procesu,
4. analiza porównawcza.
2. Przykładowe rozwiązania z wykorzystaniem programu OSEP
Na samym początku pracy z programem wyświetla się strona startowa.
Rys. 1. Strona startowa programu
Wybieramy z zakładki Plik/Nowy i otrzymujemy moduł Wyboru odpowiedniej
lokalizacji dla procesu podziemnego zgazowania. Należy zwrócić uwagę, aby wszystkie
pola zostały wypełnione. Jest to warunek konieczny dla przejścia do następnego modułu
programu.
Wybieramy pierwszą lokalizację.
Oceniamy wybraną lokalizację przez kliknięcie przycisku Oceń.
Rys. 2. Wybór lokalizacji
12
W module Określenie parametrów techniczno – technologicznych dla procesu
podziemnego zgazowania można wybrać odpowiedni parametr za pomocą rozwinięcia
przy danym czynniku.
Rys. 3. Moduł Określenie parametrów techniczno – technologicznych dla procesu podziemnego
zgazowania
Rys. 4. Wybór parametrów techniczno – technologicznych dla lokalizacji pierwszej
13
Następnym etapem jest otworzenie modułu Określenie wskaźników efektywności
ekonomicznej procesu poprzez kliknięci przycisku Dalej.
Rys. 5. Wybór wskaźników efektywności ekonomicznej procesu dla lokalizacji pierwszej
Przy wyborze drugiej i trzeciej lokalizacji postępujemy analogiczne jak wyżej.
Ostatnim etapem jest analiza porównawcza. Wybieramy z zakładki Plik/Porównanie
i otrzymujemy moduł Analizy porównawczej dla procesu podziemnego zgazowania
wybranych lokalizacji.
Rys. 6. Strona startowa programu – analiza porównawcza dla wybranych lokalizacji
Wyświetla się moduł Analizy porównawczej.
14
Rys. 7. Analiza porównawcza dla wybranych lokalizacji w ujęciu ekonomicznym
3. Omówienie uzyskanych wyników
Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, iż na skuteczność i efektywność
procesu podziemnego zgazowania pokładów węgla ma wpływ wiele czynników, które
powodują złożoność samego procesu, nie mówiąc już o dokładnej ocenie ekonomicznej.
Program Ocena skuteczności i efektywności procesu podziemnego zgazowania węgla
(OSEP) stanowi jedynie proste narzędzie informatyczne do wstępnego ocenienia
wybranej lokalizacji pod kątem ekonomicznym.
Po pierwsze. Ilość zasobów węgla mogąca wziąć udział w procesie podziemnej
gazyfikacji zależy od wymiarów danego złoża.
Po drugie. Czas eksploatacji zależy od ilości zasobów, rodzaju użytego czynnika
zgazowującego oraz prędkości przepływu czynnika zgazowującego przez pokład
węgla.
Po trzecie. Efektywność procesu zależy od wymiarów złoża poddanego zgazowaniu,
a także od ilości węgla poddanej zgazowaniu w jednostce czasu.
W opisywanym przykładzie koszty inwestycyjne, koszty związane z zatrudnieniem
pracowników, koszty energii, pozostałe koszty, a także cena zbytu gazu pozostały na
niezmienionym poziomie dla wszystkich trzech lokalizacji tylko po to, aby pokazać jak
istotnymi czynnikami wpływającymi na efektywność i skuteczność procesu są wielkość
złoża oraz wszelkie zagadnienia związane z czynnikiem zgazowującym.
Literatura
[1]
Białecka B.: „Podziemne zgazowanie węgla
decyzyjnego”, Wydawnictwo GIG, Katowice 2008.
[2]
Palarski J., Wirth H., Karaś H.; Koncepcja eksploatacji złóż węgla
brunatnego z zastosowaniem technologii zgazowania termicznego; Szkoła
Eksploatacji Podziemnej 2009, Kraków; s. 41 – 53
[3]
Programowanie w języku C# - www.csharp.pl
15
–
podstawy
procesu
ELEKTRONICKÉ STUDIJNÍ OPORY
NA KATEDŘE MDG VŠB-TU OSTRAVA
PO TŘECH LETECH
Zdeněk Boháč, Jarmila Doležalová, Pavel Kreml
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava
17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail : [email protected], [email protected], [email protected]
Abstrakt: V rámci projektu Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty
teoretického základu studia, který byl řešen na Vysoké škole báňské – Technické univerzitě
Ostrava a v partnerských organizacích v letech 2006-2008, bylo vytvořeno 20 elektronických
studijních materiálů [1, 2]. Vyhodnocení jejich účinnosti jsme zjišťovali formou dotazníku,
který obsahuje celkem 10 otázek s volitelnými odpověďmi. V akademickém roce 2010/11
jsme pomocí téhož dotazníku ověřovali, jaký je dopad uvedených materiálů po třech letech od
jejich vzniku.
Abstract: The project Study supports with prevailing distance factors for subjects of the
theoretical base for study was solved at the VSB – Technical university of Ostrava and the cooperating organizations from 2006 to 2008. Within the project, 20 e-learning materials were
produced [1, 2]. The evaluation of their efficiency was investigated in the form of a
questionnaire which contains a total of 10 questions with optional answers. In the academic
year 2010/11, we were using the same questionnaire to verify, what the impact of these
materials is after three years since their inception.
1 Úvod
Projekt Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického
základu studia si vytýčil jako cíl vytvořit takové učební materiály, které nahradí nedostatečný
počet kontaktních hodin pedagoga se studenty a současně zohlední individuální tempo studia
podle úrovně znalostí studenta. Předpokládal využívání vytvořených elektronických učebních
materiálů i v následujících letech.
V akademickém roce 2010/11 se autoři tohoto příspěvku rozhodli zjistit, do jaké míry
studenti používají elektronické studijní opory v předmětech, které vyučují, to je Matematika II
(prezenční studium - PS), Matematika III (prezenční a kombinované studium – PS, KS),
Algoritmizace a datové struktury (PS, KS), Statistika (PS, KS).
Využití studijních opor a jejich akceptování studenty jsme zjišťovali pomocí původního
dotazníku, který obsahuje celkem 10 otázek s volitelnými odpověďmi. Přitom první a devátá
otázka umožňovaly v odpovědi zvolit více možností, zbývající otázky pouze jedinou možnost
[3, 5]. Dotazník studenti vyplňovali zásadně anonymně, a to vždy před zkouškou.
- 16 -
Ze získaných údajů jsme vytvořili 2 agregované soubory, jeden pro prezenční studium,
označený PS (551 respondentů) a druhý pro kombinované studium, označený KS (203
respondentů).
2 Využití studijních opor
Zabývat se detailní analýzou výsledků rozsah tohoto příspěvku neumožňuje. Uvedeme
proto pouze některé základní výsledky, a to ve formě grafů. Pro snadné porovnání jsou
všechny výsledky uvedeny zásadně v procentech, 0 na vodorovné ose označuje otázku bez
odpovědi.
V první otázce dotazníku jsme zjišťovali, které části studijních opor studenti využívali
nejvíce (obr. 1). Potvrdilo, že studenty z elektronických opor nejvíce zajímají řešené příklady.
Oproti školního roku 2007/08, kdy preference řešených příkladů činily 70% [3, 5], jejich
obliba ještě vzrostla.
85
90
76
80
PS
KS
70
60
48
50
50
55
34
40
30
27
37
15
20
15
20
15
10
0
celý text
výklad
řešené
příklady
úlohy k sam. kontr. otázky
práci
kontr. testy
Obr. 1 Přehled využití studijních opor a jejich jednotlivých částí
Celý text prostudovala téměř polovina studentů kombinovaného studia, což je o 21%
více než u studia prezenčního. V souvislosti s dalšími výsledky však vyvstává otázka, co si
někteří představují pod pojmem prostudovat.
V ostatních kategoriích nejsou rozdíly mezi formami studia výrazné. Neudivuje už
poměrně nízký počet studentů, kteří se zabývali kontrolními otázkami (15%) a kontrolními
testy (20% PS, 15% KS). Obdobně nízký zájem o kontrolní otázky a testy totiž vykázalo
předchozí testování [3]. Tyto části opor přitom autoři opor zamýšleli jako závěrečnou fázi
přípravy ke zkoušce. Zřejmě se na ně už studentům nedostávalo sil a času.
3
Hodnocení studijních opor
Druhá otázka zkoumala hodnocení studijních opor z pohledu jejich uživatelů jednak
jako celku (obr. 2), jednak jejich jednotlivých částí. Studenti k nim přistupovali kriticky,
přesto autoři mohou být spokojeni, obdobné hodnocení získali i v předchozí evaluaci.
Připomínkami k jednotlivým materiálům se příslušní autoři trvale zabývají a postupně
materiály upravují.
17
60
PS
50
50
KS
39
40
30
30
25
21
19
20
9
10
5
0
0
0
1
2
3
4
0
Obr. 2 Hodnocení studijních opor jako celku
Z jednotlivých částí byly nejlépe oznámkovány řešené příklady (obr. 3), ve kterých
studenti dlouhodobě hledají návod k řešení příkladů a které také u velké většiny z nich
představují největší podíl v přípravě na zkoušku. Výborně a velmi dobře ohodnotilo řešené
příklady celkem 86% studentů prezenčního a 82% kombinovaného studia. Přestože se autoři
snažili řešení příkladů objasnit vždy krok za krokem, někteří studenti (zejména KS)
požadovali ještě detailnější rozbor (většinou z učiva střední, případně základní školy).
60
50
50
PS
49
KS
36
40
33
30
20
7
6
10
10
7
1
1
0
1
2
3
4
0
Obr. 3 Hodnocení řešených příkladů
V souvislosti s tímto poznatkem jsme zjišťovali, zda počet řešených příkladů je
vyhovující (obr. 4). Z grafu vidíme, že spokojena je zhruba polovina respondentů. Počet
řešených příkladů by bylo vhodné rozšířit. Výsledky šetření ukazují, že by stačilo zveřejnit
podrobné řešení kontrolních testů.
18
PS
60
50
50
45
KS
46
43
40
30
20
10
5
4
4
2
0
dostatečný
mohlo jich být více
nedostatečný
0
Obr. 4 Počet řešených příkladů
Rovněž zbývající části studijních opor získaly většinou hodnocení výborně (kolem
25%) a velmi dobře (kolem 40%). Nevyhovující hodnocení bylo jen ojedinělé (v rozmezí 0 –
1%).
Členění studijních materiálů zkoumala třetí otázka, viz obr. 5. Také zde studenti
vyjádřili ve velké většině spokojenost. Nadpoloviční většina respondentů označila texty jako
přehledné.
70
60
60
PS
KS
56
50
40
26
30
20
11
17
24
10
2
2
0
velmi
přehledné
přehledné
většinou
přehledné
málo
přehledné
0
0
nepřehledné
1
0
0
Obr. 5 Přehlednost studijních opor
Zajímalo nás rovněž, do jaké míry se vytvořené elektronické učební materiály podílely
na celkové přípravě studentů na zkoušku. Obr. 6 potvrzuje známou skutečnost, že studenti to
v současné době s přípravou na zkoušky až na výjimky nijak nepřehánějí [5]. Studenti
kombinovaného studia přistupují k přípravě na zkoušku zodpovědněji a věnují jí více času.
Příprava pomocí vytvořených elektronických opor mírně převažuje nad ostatními formami.
Z komentářů vyplývá, že studenti ve velké míře používali opory jako doplněk poznámek
z přednášek a cvičení.
19
60
47
50
40
PS
KS
48
33
26
30
20
14
13
10
10
4
2
2
0
0-10
11-25
26-30
více
0
Obr. 6 Počet hodin přípravy na zkoušku pomocí studijních opor
Předměty vyučované pedagogy katedry matematiky a deskriptivní geometrie jsou
v obecném povědomí považovány za náročné. Potvrzují to jasně grafy na obr. 7. Více než
70% studentů považuje předměty za obtížné až velmi obtížné. Maximálně pro 1% studentů
jsou tyto předměty snadné.
60
50
44
PS
48
KS
40
31
30
28
26
17
20
10
1
0
3
1
0
velmi obtížný
obtížný
zvladatelný
snadný
0
Obr. 7 Obtížnost testovaných předmětů
4 Závěr
Vytvořené studijní opory jsou od akademického roku 2006/07 užívány ve výuce na VŠBTU Ostrava a podle ohlasů také na jiných vysokých školách.
Z dotazníků jednoznačně vyplývá převaha pozitivních názorů na vytvořené studijní
materiály. Vzhledem k náročnosti uvedených předmětů pro studenty jsou pro ně elektronické
učební opory cennou pomůckou v přípravě na výuku a zejména na zkoušku. Velkou výhodou
pro studenty je rovněž uložení všech studijních opor na adrese www.studopory.vsb.cz [6],
která umožňuje v případě potřeby snadno a rychle nalézt scházející poznatky mezi dalšími
studijními oporami.
Jedním ze základních požadavků kladených na projekty ESF je jejich trvale udržitelný
rozvoj. Zkušenosti potvrzené evaluačními dotazníky ukazují, že studijní opory vytvořené
v rámci projektu Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického
základu studia R.č. CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 jsou stále intenzivně využívány a to nejen na
20
VŠB – TU Ostrava, ale i na jiných vysokých školách, o čemž svědčí řada kladných ohlasů od
uživatelů mimo VŠB – TUO. Autoři navíc vytvořené materiály neustále doplňují a podle
připomínek upravují. Z tohoto pohledu je rozvoj výstupů z projektu zajištěn.
Literatura
[1] BOHÁČ, Z. – DOLEŽALOVÁ, J.: Informace o projektu ESF řešeném na Katedře
matematiky a deskriptivní geometrie VŠB – TU Ostrava. Sborník Mez. Konf. Moderní
matematické metody v inženýrství, s. 13-15, Dolní Lomná 2006, ISBN 80-248-1224-X.
[2] BOHÁČ, Z. – DOLEŽALOVÁ, J.: Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro
předměty teoretického základu studia. Sborník Mez. Konf. INFOTECH 2007, Olomouc
2007, ISBN 978-80-7220-301-9.
[3] BOHÁČ, Z. – DOLEŽALOVÁ, J. – KREML, P.: Statistická analýza I výsledků projektu
ESF Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu
studia. Sborník 17. Mez. Konf. Moderní matematické metody v inženýrství, s. 19-24,
Dolní Lomná 2008, ISBN 978-80-248-1871-9.
[4] BOHÁČ, Z. – DOLEŽALOVÁ, J. – KREML, P.: Využití elektronických studijních
materiálů z matematiky v prezenčním a kombinovaném studiu. 8th International
Conference APLIMAT, str. 653-662, Bratislava 2009, ISBN 978-80-89313-31-0.
[5] BOHÁČ, Z. – DOLEŽALOVÁ, J. – KREML, P.: Statistical Analysis II of Results of
Project ESF Study Supports with Prevailing Distance Factors for Subjects of the
Theoretical Base for Study. 9th International Conference APLIMAT, str. 723-728,
Bratislava 2010, ISBN 978-80-89313-47-1.
[6] www.studopory.vsb.cz
21
OPTIMALIZACE PROCESU ROZPOJOVÁNÍ
S POMOCÍ ZNALOSTI ROZVALU A SNÍŽENÍ
POČTU NOŽŮ NA ROZPOJOVACÍM ORGÁNU
Dagmar Dlouhá
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava
17. listopadu, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail : [email protected]
Abstrakt: Tento příspěvek se zabývá využitím možností programu „Řezné schéma“ pro
získání optimální konfigurace nožů na rozpojovacím orgánu důlního kombajnu.
Abstract: In this paper we use program „Cutting Pattern“ to achieve optimal configuration
of cutters fixed on cutterheads of winning machines.
1 Program „Řezné schéma”
„Řezné schéma” bylo vyvinuto jako evoluce TOOLHEAD JVJS, který slouží
k matematickému modelování subsystému rozpojovací orgán – rozpojovaná hornina. Nový
program umožňuje mnohem flexibilněji specifikovat geometrii nožů a přesnější
ohodnocení řezného schématu: v potaz není brán pouze tvar nožů, ale i míra pokrytí (tj.
část řezného schématu, která je pokryta 1-,2-,3-násobně atd. nebo není vůbec pokryta).
Tento druh informace je vhodným základem heuristické funkce: plochy, které nejsou
vůbec pokryty nebo jsou silně pokryty, jsou ohodnoceny zápornými body, vhodně pokryté
plochy pak kladnými. Simulované ochlazování (metoda Monte Carlo používána pro
minimalizaci funkce více proměnných) bylo implementováno tak, že použivá součet
záporných a kladných bodů jako svou heuristickou funkci, a k tomu byly definovány
povolené způsoby modifikace atributů nožů (nožem může být do určité míry nahýbáno,
může se pohybovat vůči své spirále atd.). Tato heuristická funkce byla použita pro
optimalizace již existujících konfigurací rozpojovacích orgánů.
2 Určení předpokládaného rozvalu dobývané horniny
K určení předpokládaného rozvalu se využila měření měrné energie, která byla
prováděna v Ústavu geoniky Akademie věd České republiky v Ostravě.
Měrná energie S E vyjadřuje velikost spotřebované energie na jednotku rozpojené
horniny. Dá se vypočítat z parametrů procesu rozpojování ( obr.1) .
22
Obr.1 Schématický náčrtek znázorňující parametry procesu rozpojování, které jsou
potřebné k výpočtu spotřeby energie S E .
Pro měření řezných sil byl vyvinut a vyroben tlakový pluh ÚGN (obr.2).
Obr.2 Tlakový pluh ÚGN
23
Na tomto zařízení se provádí měření na předem upravených vzorcích horniny o
rozměrech 300x300x300mm. Na stejné hornině se vždy provádějí řezy třemi typy nožů .
Naměřené hodnoty jsou digitálně sbírány a zpracovány. Každé měření je
dokumentováno záznamem měření rozpojitelnosti, videozáznamem a fotografií řezu
(obr.3).
Objem rozpojené horniny se určuje tak, že se pomocí plasteliny přesně vymezí
začátek a konec řezu a vyřezaná drážka se vyplní skleněnými mikrokuličkami o rozměru
200 – 300 mikrometrů. Po srovnání povrchu do roviny stěny kvádru se kuličky vysypou a
zváží se.
Šířka rozvalu se určila jako střední hodnota funkce, která se získala ohraničením
rozvalu řezu na fotografii.
Obr.3 Měření měrné energie
S
E
3 Optimalizace procesu rozpojování s pomocí znalosti rozvalu a snížení počtu nožů na
rozpojovacím orgánu
Protože nám program „Řezné schéma“ dovoluje sestavit nejen řezné schéma
rozpojovacího orgánu, ale pro daný nůž nám přiřazuje i předpokládaný rozval pro danou
horninu, můžeme si namodelovat předpokládané využití rozpojovacích nástrojů a podle
potřeby optimalizovat potřebný počet nástrojů na rozpojovacím orgánu.
24
Cílem optimalizace je, aby pro daný rozpojovaný materiál byl zvolen rozpojovací
orgán s co nejmenším počtem nožů, ale bez zhoršení kvality rozpojování horniny.
Pomocí programu „Řezné schéma“ byl tangenciálnímu noži přiřazen
předpokládaný rozval (obr.4)
Obr.4 Zobrazení nože a rozvalu
.
Jestliže porovnáme řezné schéma pro nůž (obr.5) a pro rozval (obr.6), je jasně vidět
rozdíl v pokrytí. Po přiřazení rozvalu je mnoho bodů řezného schématu pokryto
dvojnásobně, trojnásobně a čtyřnásobně. Je zde tedy špatné pokrytí.
Obr.5 Řezné schéma pro nůž
25
Obr.6 Řezné schéma pro rozval
V místech, ve kterých byly dva i tři nože v zákrytu, bylo vyřazeno pět nožů a
provedla se optimalizace metodou simulovaného ochlazování.
Výsledkem optimalizace je nové rozložení řezných nástrojů na rozpojovacím
orgánu, kterému odpovídá požadované pokrytí řezného schéma podle předem zadaných
kritérií (obr.7).
Obr. 7 Řezné schéma optimalizovaného rozpojovacího orgánu
Tímto způsobem můžeme určit efektivní počet řezných nástrojů na daném
rozpojovacím orgánu pro konkrétní rozpojovaný materiál.
Literatura
1. Dlouhá, D. : Disertační práce, VŠB – TU Ostrava, 2004.
2. Přibík, V. : Směrování zpráv v sítích picoradio, ČVUT, 2004.
3. Vašek, J. : Optimalizace procesu rozpojování razícími a dobývacími kombajny.
Technologická studie, VVUÚ Ostrava – Radvanice, 1983.
4. Slavík, J. : Programový systém SDK. Příručka pro uživatele, VVUÚ Ostrava –
Radvanice, 1986.
26
Systémy diferenciálnych rovníc trochu inak
Jana Dobrakovová, Viera Záhonová
Ústav matematiky a fyziky, SjF STU
Námestie slobody 17, 812 31 Bratislava, Slovenská republika
[email protected]
[email protected]
Abstrakt: V tomto príspevku sa zaoberáme niektorými stránkami a aspektmi vyučovania
lineárnych diferenciálnych systémov s podporou programového systému MATHEMATICA,
zvlášť tým, ako redukovať rutinné a zdĺhavé výpočty pre všetky typy vlastných hodnôt
charakteristickej matice daného diferenciálneho systému.
Abstract: In this contribution we deal with some features and aspects of teaching Linear
Differental Systems with the aid of the programming system MATHEMATICA, especially we
discuss how to reduce routine and lengthy calculation procedures for all types of eigenvalues
of characteristic matrix for given differential system.
1. Úvod
Systémy diferenciálnych rovníc majú veľa dôležitých technických aplikácií. Napríklad,
často pomocou nich modelujeme mechanické, elektrické a iné systémy, ktoré sú kombináciou
jednoduchších systémov, popísaných jednotlivými diferenciálnymi rovnicami. Je teda
prirodzené, že sú súčasťou učebných osnov príslušných predmetov na všetkých technických
univerzitách.
Na našej fakulte sme sa v minulosti tejto problematike venovali už v základnom
štvorsemestrovom predmete Matematika I – IV, ktorý naši študenti absolvovali v prvom a
druhom ročníku štúdia. Po istých úpravách a reorganizáciach (ktoré bohužiaľ boli do istej
miery na úkor rozsahu vyučovania matematiky) táto problematika zo súčasného programu
dvojsemestrového predmetu Matematika I – II vypadla. Systémy diferenciálnych rovníc sa
teraz vyučujú v rámci viacerých predmetov, podľa potreby toho-ktorého odborného
zamerania.
V tomto príspevku by sme sa chceli zaoberať niektorými aspektmi a špecifikami vyučovania
tejto problematiky v predmete Vybrané kapitoly z matematiky v treťom ročníku bakalárskeho
štúdia na študijnom programe Automobily, lode a spaľovacie motory, predovšetkým
v súvislosti so zapojením výpočtovej techniky. Už niekoľko rokov, nielen v tomto predmete,
používame programový systém MATHEMATICA ([1] - [4]). Konkrétne, každé druhé cvičenie
máme v počítačovej učebni, kde tento systém využívame okrem vizualizácie danej
problematiky, najmä na časovo náročné výpočty, nutné pri riešení väčšiny problémov.
27
2. Základné pojmy
Dôležitým a v rôznych aplikáciach najčastejšie sa vyskytujúcim špeciálnym prípadom
systému diferenciálnych rovníc je lineárny diferenciálny systém. Je to systém diferenciálnych
rovníc prvého rádu nasledujúceho tvaru.
y1 ' = a11 ( x ) y1 + a12 ( x ) y2 +" + a1n ( x ) yn + f1 ( x )
y2 '
"
= a21 ( x ) y1
"
+ a22 ( x ) y2
"
+" + a2 n ( x ) yn
"
"
+
f2 ( x )
"
yn ' = an1 ( x ) y1 + an 2 ( x ) y2 +" + ann ( x ) yn + f n ( x )
Je známym faktom, že i keď za istých predpokladov vieme povedať niečo o vlastnostiach
riešení takéhoto systému, na druhej strane, nielenže neexistuje žiadna analytická metóda ako
tento systém obecne riešiť, ale ani kritérium, pomocou ktorého by sme vedeli odpovedať na
otázku, či daný systém vôbec nejaké riešenie má. S tým súvisí aj skutočnosť, že dokonca
i v prípade, keď sa jedná o systém dvoch rovníc, ktorý pri daných začiatočných podmienkach
má jediné riešenie, programový systém „zlyháva“. Zlyháva v to zmysle, že príkaz DSolve
nám toto riešenie nie je schopný nájsť. Ukážme to na nasledujúcom príklade.
Hľadajme partikulárne riešenie lineárneho diferenciálneho systému
y
y1 ' = 1 + y2 − 2 x
x
y2 ' = 3 y1 − xy2 + 3
ktoré na intervale ( 0,∞ ) vyhovuje začiatočným podmienkam y1 (1) = 1, y2 (1) = 3 .
Ak postupujeme štandardnou metódou, z výsledku je zrejmé, že systém MATHEMATICA vie
tento diferenciálny systém riešiť iba numericky, riešenie vyjadruje pomocou interpolačných
funkcií:
Pritom ľahko sa možno presvedčiť, že hľadané partikulárne riešenie je reprezentované
dvojicou funkcií y1 ( x ) = x 2 , y2 ( x ) = 3 x , pričom z vlastností lineárnych diferenciálnych
systémov vyplýva, že je jediné.
3. Lineárne systémy dvoch rovníc s konštantnými koeficientmi
Z vyššie uvedených dôvodov sa v predmete Vybrané kapitoly z matematiky zaoberáme len
lineárnymi diferenciálnymi systémami s konštantnými koeficientmi pozostávajúcimi z dvoch
rovníc, teda systémami tvaru
y1 ' = a11 y1 + a12 y2 + f1 ( x )
,
y2 ' = a21 y1 + a22 y2 + f 2 ( x )
pričom aij sú reálne čísla (koeficienty) a fi ( x ) sú reálne funkcie reálnej premennej,
definované na nejakom intervale J.
Pri ich štúdiu začíname systémami homogénnymi, pre ktoré platí f1 ( x ) = f 2 ( x ) = 0 , teda
tvaru
28
y1 ' = a11 y1 + a12 y2
y2 ' = a21 y1 + a22 y2
Na prednáškach sa študentom vysvetlí obecná metóda riešenia takýchto systémov, založená
na pojmoch charakteristickej matice, resp. charakteristickej rovnice daného systému, na jej
vlastných číslach a im odpovedajúcich vlastných vektoroch. Táto metóda sa precvičí na
takzvaných „teoretických“ cvičeniach, pričom študenti si uvedomia špecifické tvary
fundamentálnych systémov a všeobecných riešení takéhoto diferenciálneho systému
v závislosti od typu koreňov príslušnej charakteristickej rovnice.
Každé druhé cvičenie je v počítačovej učebni, kde má každý študent k dispozícii vlastný
počítač, na ktorom samostatne pracuje. Precvičuje sa riešenie danej problematiky s použitím
systému MATHEMATICA. Ilustrujme si tento postup na nasledujúcich príkladoch.
Situácia je najjednoduchšia v prípade, že existujú dve rôzne reálne vlastné čísla príslušnej
charakteristickej matice:
Uvažujme nasledujúci systém:
y1 ' = 7 y1 + 6 y2
y2 ' = 2 y1 + 6 y2
Po zadefinovaní tohto systému a jeho charakteristickej matice:
na nájdenie jej vlastných čísel a príslušných vlastných vektorov môžeme použiť príkaz
Eigensystem:
Výstup ktorý sme dostali hovorí, že vlastné čísla sú 10 a 3 a k nim prislúchajúce vlastné
vektory sú ( 2 ,1) a ( −3, 2 ) . Tieto výsledky sa pochopiteľne zhodujú s výsledkami, ktoré si
študenti vedia ľahko nájsť aj „ručne“, teda si ich môžu overiť a skonštruovať všeobecné
riešenie daného systému v tvare
y1 = 2c1e10 x − 3c2 e3 x
y2 = c1e10 x + 2c2 e3 x
kde c1 , c2 sú ľubovoľné konštanty.
V prípade, že na riešenie tohto systému použijeme priamo príkaz DSolve, dostaneme
všeobecné riešenie v trochu odlišnom tvare.
Keďže tu vystupujú opäť ľubovoľné konštanty, označené počítačom ako C[1] a C[2], študenti
sa presvedčia, že tvar všeobecného riešenia, ako aj fundamentálneho systému riešení nie je
daný jednoznačne. O tom, že sa jedná o tú istú nekonečnú množinu riešení sa možno
presvedčiť napríklad tak, že do získaného všeobecného riešenia dosadíme
C [1] = 2c1 − 3c2 , C [ 2] = c1 + 2c2 :
29
Prípadne tým, že pri tých istých začiatočných podmienkach dostaneme z oboch tvarov riešení
to isté partikulárne riešenie. Napríklad
O niečo komplikovanejší je prípad, keď charakteristická rovnica má dvojicu komplexne
združených koreňov.
y1 ' = −7 y1 + y2
y2 ' = −2 y1 − 5 y2
Pri štandardnom postupe, ak napríklad k vlastnému číslu −6 + i nájdeme vlastný vektor
s komplexnými zložkami, v čo najjednoduchšom tvare (1, 1 + i ) a v odpovedajúcom
komplexnom riešení systému oddelíme reálnu a imaginárnu zložku, dostaneme všeobecné
riešenie, ktoré rozpísané po zložkách má tvar
y1 =
e −6 x ( c1 cos x + c2 sin x )
y2 = e −6 x ( c1 ( cos x − sin x ) + c2 ( cos x + sin x ) )
Pri použití príkazu DSolve dostaneme všeobecné riešenie opäť v trochu odlišnom tvare
ktorý však preznačením ľubovoľných konštát pomocou C [1] = c1 , C [ 2] = c1 + c2 ľahko
pretransformujeme do tvaru „ručne“ získaného všeobecného riešenia.
Zostáva posledný prípad, keď charakteristická rovnica má jeden dvojnásobný reálny koreň.
y1 ' = 2 y1 − y2
y2 ' = y1 + 4 y2
30
Vidíme, že jediné vlastné číslo je v tomto prípade 3 a k nemu prislúchajúci vlastný vektor je
napríklad vektor ( −1,1) . Riešme tento systém najprv pomocou DSolve.
Tento tvar všeobecného riešenia môže na prvý pohľad študentov prekvapiť, pretože pri
štandardnom postupe, v prípade dvojnásobného vlastného čísla, zvykneme vyjadrovať
všeobecné riešenie v tvare lineárnej kombinácie jedného riešenia tvaru súčinu príslušnej
exponenciálnej funkcie a vlastného vektora, pričom druhé riešenie je v tvare súčinu
exponenciálnej funkcie a vektora, ktorého zložky nie sú čísla, ale polynómy prvého stupňa.
Na základe výstupu príkazu Eigensystem teda máme prvé riešenie y1 = −e3 x , y2 = e3 x ,
druhé môžeme pomocou metódy neurčitých koeficientov nájsť napríklad v tvare
y1 = ( x − 1) e3 x , y2 = − xe3 x .
Takto sme dostali všeobecné riešenie
y1 = −c1e3 x + c2 ( x − 1) e3 x
y2 =
c1e3 x − c2 xe3 x
Tento tvar môžeme dostať opäť malou modifikáciou všeobecného riešenia, ktoré nám našiel
programový systém.
4. Záver
V tomto príspevku sme chceli poukázať na jednu z možností použitia výpočtovej techniky,
menovite programového systému MATHEMATICA vo výučbe, nielen kvôli odbúraniu
zdĺhavých numerických výpočtov, ale konkrétne ukázať, ako pri riešení lineárnych
diferenciálnych systémov, aj použitie tohto systému pomáha študentom pochopiť pojem
všeobecného riešenia. Pochopiť, že sa jedná o nekonečný systém všetkých možných riešení,
pričom pre jeho nájdenie je podstatné nájsť hociktorú dvojicu (obecne n-ticu) lineárne
nezávislých riešení a utvoriť ich lineárnu kombináciu. Keďže takýchto dvojíc (n-tíc) je
nekonečne veľa, aj všeobecné riešenie môže byť vyjadrené nekonečne veľa spôsobmi, pričom
je to ale stále tá istá množina riešení.
5. Literatúra
[1] DOBRAKOVOVÁ J., ZÁHONOVÁ V.: Diferenciálne rovnice so systémom MATHEMATICA.
6. konference o matematice a fyzice na vysokých školách technických s mezinárodní účastí , Brno
(2009), 79-85
[2] DOBRAKOVOVÁ J., ZÁHONOVÁ V.: Krivkové integrály a MATHEMATICA, 24. mezinárodní
kolokvium o řízení osvojovacího procesu, Brno (2006)
[3] DOBRAKOVOVÁ J., ZÁHONOVÁ V.: Plošné integrály s pomocou systému MATHEMATICA,
25. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu, Brno (2007)
[4] DOBRAKOVOVÁ J., ZÁHONOVÁ V.: Fourierove rady a systém MATHEMATICA, 26.
mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu, Brno (2008)
31
BADANIE EFEKTU KATALIZY W MODELU
EKONOMETRYCZNYM
Maria Gajdowska
Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Politechnika Śląska
ul. Akademicka 2, 44-100 Gliwice, Polska
E-mail: [email protected]
Abstrakt: Dobierając zmienne do modelu ekonometrycznego należy zwrócić szczególną
uwagę na tak zwany efekt katalizy, który oznacza silnie skorelowanie zmiennej objaśnianej ze
zmiennymi objaśniającymi. W pracy przedstawiono wykrywanie i usuwanie katalizatorów
w modelu na konkretnym przykładzie.
Abstract: When you choose the variables for the econometrical model you need to pay
particular attention to so called catalysis effect which means strong corelation of the variable
explained with explaining variables. The work presents detecting and erasing catalysts in the
model on a particular example.
Miarą dopasowania modelu ekonometrycznego do danych empirycznych jest
współczynnik determinacji R2. Jednak zdarzyć się może, że informacja jaką niesie o modelu,
może być fałszywa, jeśli w modelu wystąpią zmienne, które nazwane są katalizatorami.
Należy takie zmienne wyeliminować z modelu.
Efet katalizy w liniowym modelu ekonometrycznym oznacza silnie skorelowanie
zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi w sensie: wysoka wartość współczynnika
korelacji wielorakiej spowodowana silnym skorelowaniem zmiennych objaśniających między
sobą [2] mimo, że charakter i siła powiązań zmiennych objaśniających i zmiennej objaśnianej
nie uzasadniają takiego wyniku [3].
Tworzymy wektor R0 = {ri } współczynników korelacji między zmienną objaśnianą
Y a zmiennymi objaśniającymi X1, ... Xk. Następnie tworzymy macierz korelacji R = {rij }
pomiędzy zmiennymi objaśniającymi.
Jeśli dla każdego i = 1, 2, ..., k współczynniki korelacji ri w wektorze R0 są dodatnie
oraz uporządkowane niemalejąco, to para (R, R0 ) nazywa się regularną parą korelacyjną. Dla
takiej pary macierz Q o postaci:
32
1
1
q
Q = 21
L
q k1
L q1k
L q2k
,
L L
L 1
q12
1
L
qk 2
(1)
w której:
qij =
a dla i>j
ri
rj
(i ≤ j)
(2)
q ij = qji
nazywa się macierzą neutralną. Wielkość qij jest wartością neutralną współczynnika korelacji
rij = r (X i , X j ) .
Jeśli dla każdego i, j = 1, 2, ..., k (i ≠ j ) spełniona jest nierówność:
rij2 < qij2
(3)
to R2 > rk2 . W tym wypadku każda ze zmiennych objaśniających dostarcza pewien zasób
informacji o zmiennej objaśnianej.
W wypadku nierówności:
rij2 > qij2
(4)
również następuje wzrost kwadratu współczynnika korelacji wielorakiej w stosunku do
maksymalnej wartości prostego współczynnika korelacji rk , ale wzrost ten jest spowodowany
wystąpieniem efektu katalizy. Tak więc efekt katalizy wystąpi wówczas, gdy:
rij < 0 lub gdy rij >
ri
rj
(5)
Zmienna X i nazywa się zmienną katalityczną lub katalizatorem [2].
Badanie występowania efektu katalizy można przeprowadzić za pomocą miary zwanej
natężeniem efektu katalizy określonej wzorem:
U l = R l2 − H l
(6)
gdzie:
l – numer kombinacji zmiennych objaśniających modelu,
H l – wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej l – tej kombinacji zmiennych [2].
Wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej wyliczyć można z poniższego wzoru:
H l = ∑ hkj
(7)
j
hkj =
r j2
∑r
i∈I k
(8)
ij
gdzie:
I k = {i : X i ∈ K k } - zbiór indeksów (numerów) zmiennych wchodzących w skład k- tej
kombinacji tj. kombinacji Kk
33
2
hkj - indywidualna pojemność informacyjna j- tej zmiennej w k-tej kombinacji,
r j - współczynnik korelacji j-tej zmiennej objaśniającej ze zmienna objaśnianą,
rij - współczynniki korelacji j-tej zmiennej ze zmienną objaśniającą wchodzącą w skład
kombinacji,
∑ rij - suma bezwzględnych wartości współczynników korelacji j- tej zmiennej
i∈I k
objaśniającej z pozostałymi, występującymi w danej kombinacji [1].
Natężenie efektu katalizy wskazuje na rozbieżność pomiędzy dwiema miarami jakości
modelu ekonometrycznego, jakimi są wspołczynnik determinacji oraz pojemność integralna
i może być interpretowane jako błąd zawarty w ocenie jakości modelu za pomocą
współczynnika determinacji [3].
Wygodnie jest, ze względu na interpretację i możliwość porównania różnych modeli,
określić względne natężenie efektu katalizy określanej wzorem [3]:
Wl =
Ul
⋅ 100%
R2
(9)
Przykład:
Wektor współczynników korelacji między zmienną objaśnianą Y i potencjalnymi
zmiennymi objaśniającymi X 1 , X 2 , X 3 oraz macierz współczynników korelacji między
potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi są następujące:
0,60
R0 = 0,75
1
0,30 0,79
R = 0,30
1
0,45
0,81
0,79 0,45
1
Należy zbadać czy występują katalizatory.
r1 0,60
=
= 0,80
r2 0,75
r
0,60
q13 = 1 =
= 0,74
r3 0,81
r
0,75
q 23 = 2 =
= 0,93
r3 0,81
q12 =
Macierz neutralna przyjmuje więc postać:
1
0,80 0,74
Q = 0,80
1
0,93
0,74 0,93
1
Rozpatrujemy kombinacje C1 = ( X 1 , X 3 ) dla której otrzymujemy:
34
3
R01 =
Dla powyższych zmiennych
0,60
0,81
R1 =
1
0,79
0,79
1
r1,3 = 0,79 i q1,3 = 0,74 zachodzi nierówność r1,3 > q1,3 =
r1
r3
zatem wystapił efekt katalizy. Oznacza to, że zmienna X 1 jest katalizatorem.
Wskaźnik integralenj pojemności i współczynnik korelacji wielorakiej dla kombinacji
C1 wynoszą:
H 1 = 0,568 , R 1 = 0,813
zatem wartość wskaźnika U 1 wynosi:
U 1 = R12 − H 1 = (0,813) 2 − 0,568 = 0,093
Względne natężenie efektu katalizy:
0,093
⋅ 100% = 14,07%
0,8132
Względne natężenie efektu katalizy wynosi 14,07% co daje podstawę do przypuszczenia, że
ocena jakości modelu obarczona jest sporym błędem.
Następnie rozpatrujemy drugą kombinacje C 2 = ( X 2 , X 3 ) dla której:
W1 =
R02 =
0,75
0,81
R2 =
1
0,45
0,45
1
r2
zatem
r3
nie ma podstaw do stwierdzenia, że w modelu wystąpił efekt katalizy. Współczynnik korelacji
wielorakiej i wskaźnik pojemności integralnej wynoszą odpowiednio: R 2 = 0,918
i H 2 = 0,840 . Zatem wartość wskaźnika mierzącego natężenie efektu katalizy wynosi
U 2 = 0,002 .Względne natężenie efektu katalizy W2 = 0,24% . Jest to wielkość bardzo mała
co potwierdza wcześniejsze przypuszczenie, iż nie wystąpił efekt katalizy.
Dla tych zmiennych r2,3 = 0,45 a q 2,3 = 0,93 nie zachodzi nierówność r2,3 > q 2,3 =
Powyższy przykład pokazuje jak myląca może być ocena zgodności dopasowania
modelu ekonometrycznego, do danych empirycznych, oparta na interpretacji współczynnika
determinacji.
Literatura
1. Goryl, Z. Jędrzejczak, K. Kukuła, J. Osiewalski, A. Walkosz: „Wprowadzenie do
ekonometrii w przykładach i zadaniach”, PWN, Warszawa 1999
2. E. Nowak: „ Zarys metod ekonometrii”, PWN, Warszawa 2002
3. M. Gruszczyński, M. Podgórska: „Ekonometria“, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa
2004
35
4
WYKORZYSTANIE METODY
PROMETHEE II W PROCESIE
DECYZYJNYM – STUDIUM PRZYPADKU
Zygmunt Korban
Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa
i Geologii, Politechnika Śląska ul. Akademicka 2, 42 – 100 Gliwice, Polska
E-mail: [email protected]
Abstrakt: Artykuł przedstawia możliwości zastosowania jednej z wielokryterialnych
metod dyskretnych w projektowaniu inżynierskim. Na przykładzie omówiony został
sposób wykorzystania metody Promethee II w procesie oceny cech jakościowych
opisujących środki techniczne, których zakup jest brany pod uwagę w związku
z planowanym uruchomieniem nowego rejonu kopalni.
Abstract: The article presents the possibility of one of the multicriteria discrete
methods in engineering design. On this example was discussed how to use the method
Promethee II in the process of evaluating the quality characteristics which describe the
technical measures, the purchase of which is taken into consideration in connection with
the planned launch of the new area of the mine.
1. Wprowadzenie
Wybór układu techniczno – organizacyjnego zaliczyć należy do klasycznych
problemów decyzyjnych. W procesie tym zastosowana może być zarówno ocena
jednokryterialna (oparta np. na idei granicznego czasu zwrotu różnicy nakładów), jak
i ocena wielokryterialna (zbiór kryteriów oceny ustalony zostaje np. na podstawie
sondażu opinii ekspertów), w przypadku której powszechnie wykorzystywane są m. in.
formuły mierników odległości (Haminga, Euklidesa, Braya – Curtisa, Clarka itp.) [2].
Do wielokryterialnych metod decyzyjnych zaliczana jest także metoda Promethee II,
w której decydent definiuje skończony zbiór wariantów decyzyjnych, spośród których
36
chce pozyskać wariant najlepiej odpowiadający jego preferencjom. W metodzie tej
rozpatrywane są kryteria maksymalizowane a same warianty decyzyjne (a, b, c, ...n)
porównywane parami ze względu na i – te kryterium. Preferencje decydenta określane
są na podstawie otrzymanych różnic, tzn. tworzone są funkcje preferencji określane
jako uogólnione kryterium związane z i – tym kryterium 1 . Powszechnie w praktyce
wykorzystywanych jest sześć typów uogólnionych kryteriów (rys. 1) w ramach których
definiowane są następujące parametry:
‰ próg
indyferencji q - jeżeli dla rozpatrywanego kryterium próg ten zostanie
określony i δ i (a, b) ≤ qi, oznacza to, że różnica ocen ze względu na to kryterium
jest zbyt mała, by decydent preferował większą z tych wartości;
‰ próg
ścisłej preferencji p - jeżeli dla rozpatrywanego kryterium próg ten zostanie
określony i δ i (a, b) > pi, oznacza to, że różnica ocen ze względu na to kryterium
jest na tyle istotna, że decydent ze względu na to kryterium preferuje wariant a nad
wariant b;
‰ parametr
‰ różnica
przyjmowany (deklarowany) o wartości pomiędzy q i p (s);
pomiędzy dwoma wariantami decyzyjnymi ze względu na rozpatrywane
kryterium ( δ ) [1].
2. Przykład zastosowania metody Promethee II w procesie decyzyjnym
Załóżmy, że w związku z planowanym uruchomieniem eksploatacji w nowym rejonie
kopalni planowany jest zakup środków transportowych umożliwiających transport ludzi
i materiałów w przedmiotowy rejon. W ramach wstępnej oceny, tj. po przeanalizowaniu
parametrów technicznych dostępnych na rynku maszyn i urządzeń transportowych oraz
po
przeprowadzonej
i
użytkowaniem
wstępnej
kalkulacji
poszczególnych
kosztów
wariantów
związanych
wyposażenia
z
zakupem
technicznego
wyselekcjonowane zostały trzy alternatywy: zakup kolejki spągowej KS –650 (Becker
– Pioma) – wariant a; zakup kolejki podwieszanej spalinowej (Schaff – DZ 1500)
– wariant b; zakup kolejki podwieszanej z napędem linowym (KSP – 32) – wariant c, w
stosunku do których zdefiniowanych zostało sześć kryteriów: łatwość montażu (f1);
dostępność części zamiennych (f2); bezpieczeństwo (f3); uniwersalność (możliwość rozbudowy)
(f4); warunki gwarancyjne i serwis (f5) i marka (producent) (f6).
1
- wartości preferencji mieszczą się w przedziale [0; 1]; wartość 1 (lub zbliżona do 1) świadczy o silnej
preferencji jednego wariantu w stosunku do drugiego; wartość 0 (lub wartości zbliżone do 0)
– o znikomej preferencji.
37
P
1
TYP 1
⎧0
P 1 (δ ) = ⎨
⎩1
δ ≤0
δ >0
⎧0
P 2 (δ ) = ⎨
⎩1
δ ≤q
δ >q
δ
0
P
1
TYP 2
δ
q
0
P
1
TYP 3
δ
p
0
P
1
TYP 4 1/2
q
0
p
δ
⎧ 0
⎪
P 3 (δ ) = ⎨ δ
p
⎪
⎩ 1
δ ≤0
0<δ ≤ p
δ>p
⎧0
⎪
P 4 (δ ) = ⎨ 1
2
⎪1
⎩
δ ≤0
q <δ ≤ p
δ>p
P
1
⎧ 0
⎪⎪ δ − q
P 5 (δ ) = ⎨
⎪p−q
⎪⎩ 1
TYP 5
q
0
p
δ
δ ≤0
q <δ ≤ p
δ>p
P
1
0
⎧
2
⎪
P 6 (δ ) = ⎨1 − exp⎛⎜ − δ
⎜ 2s 2
⎪⎩
⎝
TYP 6
s
0
δ
⎞
⎟⎟
⎠
δ ≤0
δ >0
Rys. 1. Sześć uogólnionych (najczęściej stosowanych) typów kryteriów w metodzie
Promethee II [1].
Po
przeprowadzeniu badań sondażowych w gronie ekspertów (pracowników działu
gospodarki materiałowej, osób dozoru ruchu działu energo – mechanicznego oraz
pracowników oddziału transportu dołowego) kolejnym kryteriom przyporządkowano
współczynniki ważności:w1 = 0,3; w2 = 0,2; w3 = 0,2; w4 = 0,1; w5 = 0,1; w6 = 0,1 przyjmując
6
ponadto, że
∑w
i =1
i
= 1.
38
Tabela 1 przedstawia oceny branych pod uwagę wariantów ze względu na zdefiniowane
kryteria (skala ocenowa dla każdego z kryteriów w zakresie od 0 do 20).
Ocena wariantów wyposażeniowych ze względu na przyjęte kryteria
Tabela 1
Warianty
a
b
c
f1
15
14
17
Kryterium
f3
f4
10
5
15
3
11
8
f2
10
12
9
f5
4
7
6
f6
2
4
3
W pierwszej kolejności porównujemy ze sobą warianty a i b – odpowiednio (a, b)
i (b, a)
Kryterium f1 (typ 1).
δ 1 (a, b) = f1 (a) - f1 (b) = 15-14 = 1
δ 1 (b, a) = f1 (b) - f1 (a) = 14-15 = -1.
Ponieważ δ 1 (a, b) > 0 ⇒ P1 [ δ 1 (a, b)] = 1;
δ 1 (b, a) ≤ 0 ⇒ P1 [ δ 1 (b, a)] = 0
Kryterium f2 (typ 2).
Decydent ustalił wartość q = 3 (próg indyferencji)
δ 2 (a, b) = f2 (a) - f2 (b) = 10-12 = -2
δ 2 (b, a) = f2 (b) - f2 (a) = 12-10 = 2.
Ponieważ δ 2 (a, b) < 3 ⇒ P2 [ δ 2 (a, b)] = 0;
δ 2 (b, a) < 3 ⇒ P2 [ δ 2 (b, a)] = 0
Kryterium f3 (typ 3).
Decydent ustalił wartość p = 6 (próg ścisłej preferencji)
δ 3 (a, b) = f3 (a) - f3 (b) = 10-15 = -5
δ 3 (b, a) = f3 (b) - f3 (a) = 15-10 = 5.
Ponieważ δ 3 (a, b) ≤ 0 ⇒ P3 [ δ 3 (a, b)] = 0;
5
0 < δ 3 (b, a) ≤ p ⇒ P3 [ δ 3 (b, a)] = ≅ 0,833
6
Kryterium f4 (typ 4).
Decydent ustalił wartość q = 1 i p = 7
δ 4 (a, b) = f4 (a) - f4 (b) = 5-3 = 2
δ 4 (b, a) = f4 (b) - f4 (a) = 3-5 = -2.
1
2
δ 4 (b, a) ≤ 0 ⇒ P4 [ δ 4 (b, a)] = 0
Ponieważ q < δ 4 (a, b) ≤ p ⇒ P4 [ δ 4 (a, b)] =
Kryterium f5 (typ 5).
Decydent ustalił wartość q = 1 i p = 3
δ 5 (a, b) = f5 (a) - f5 (b) = 4-7 = -3
δ 5 (b, a) = f5 (b) - f5 (a) = 7-4 = 3.
Ponieważ δ 5 (a, b) ≤ 0 ⇒ P5 [ δ 5 (a, b)] = 0
39
q < δ 5 (b, a) ≤ p ⇒ P5 [ δ 5 (b, a)] =
δ −q
p−q
=
3 −1
=1
3 −1
Kryterium f6 (typ 6).
Decydent ustalił wartość s = 2
δ 6 (a, b) = f6 (a) - f6 (b) = 4-7 = -3
δ 6 (b, a) = f6 (b) - f6 (a) = 7-4 = 3.
Ponieważ δ 5 (a, b) ≤ 0 ⇒ P6 [ δ 6 (a, b)] = 0
δ 6 (b, a) > 0 ⇒ P6 [ δ 6 (b, a)] = 1 - e
−
δ2
2s 2
=1-e
−
9
8
≅ 0,6753.
Na analogicznych zasadach porównujemy parami warianty (a, c) i (c, a) oraz warianty
(b, c) i (c, b). Następnie sporządzamy zestawienie wartości różnic δ 1 - δ 6 i P1 - P6
(tabela 2 i 3).
Wartości różnic δ 1 - δ 6 dla kolejnych kryteriów
δ1
a
b
c
δ2
a
b
c
δ3
a
b
c
δ4
a
b
c
δ5
a
b
c
δ6
a
b
c
0
-1
1
1
0
3
0
-3
0
a
b
c
0
2
-1
-2
0
-3
1
3
0
a
b
c
0
5
1
-5
0
-4
-1
4
0
a
b
c
0
-2
3
2
0
5
-3
5
0
a
b
c
0
3
2
-3
0
-1
-2
1
0
a
b
c
Wartości różnic kryteriów P1 - P6
P1
a
b
c
a
0
0
1
b
1
0
1
c
0
0
0
P2
a
b
c
a
0
0
0
b
0
0
0
c
0
0
0
P3
a
a
0
b 0,833
c 0,167
b
c
0
0
0 0,667
0
0
P4 a
b
a 0 0,5
b 0
0
c 0,5 0,5
c
0
0
0
P5 a
a 0
b 1
c 0,5
Tabela 2
a
b
c
0
3
1
-3
0
-1
-1
1
0
Tabela 3
b
0
0
0
c
0
0
0
P6
a
a
0
b 0,674
c 0,118
b
c
0
0
0 0,118
0
0
W dalszej kolejności dla każdej pary wariantów x i y obliczamy zagregowane indeksy
k
k
j =1
j =1
preferencji: Π ( x, y ) = ∑ w j Pj ( x, y ) i Π ( y, x) = ∑ w j Pj ( y, x) przy czym liczba Π ( x, y )
określa w jakim stopniu wariant x jest preferowany w stosunku do wariantu y
jednocześnie ze względu na wszystkie kryteria. W kolejności uzyskujemy:
Π ( a, b) = 0,35; Π (a, c) = 0,0; Π (b, a ) = 0,3341; Π (c, a ) = 0,445; Π (b, c) = 0,1452;
Π (c, b) = 0,35. Dla każdego wariantu decyzyjnego x (x ∈ A ) obliczamy przepływy
preferencji: dodatni Φ + ( x) =
1
1
( x, y ) i ujemny Φ − ( x) =
∑∏
∑∏ ( y, x)
n − 1 y∈ A
n − 1 y∈ A
dla n = 3, a następnie obliczamy przepływy netto:
Dla kolejnych wariantów przepływy netto wynoszą:
Φ(a) = Φ + (a) − Φ − (a) = 0,35 – 0,7791 = -0,429;
Φ(b) = Φ + (b) − Φ − (b) = 0,4793 – 0,7 = -0,2207;
40
Φ( x) = Φ + ( x) − Φ − ( x) .
Φ(c) = Φ + (c) − Φ − (c) = 0,795 – 0,1452 = 0,6498.
Tak więc najlepiej ocenianym wariantem jest wariant c, tj. zakup kolejki podwieszanej
z napędem linowym (KSP – 32).
Zakończenie
Silna konkurencja na rynku oraz dążenie do uzyskania jak najlepszych wyników
ekonomicznych coraz częściej skłania przedsiębiorstwa do stosowania nowoczesnych
rozwiązań techniczno – organizacyjnych. By podołać nowym wyzwaniom już na etapie
projektowania i planowania wykorzystywane są więc m. in. metody badań
operacyjnych, gdzie stopień osiągnięcia zamierzonego celu jest mierzony przez funkcję
celu (funkcję kryterium) – ze względu na złożoność zadań (liczbę rozpatrywanych
kryteriów) obok zadań jednokryterialnych mamy do czynienia z metodami
wielokryterialnymi. Przedstawiona w artykule metoda Promethee II jest jedną z tzw.
wielokryterialnych
metod
dyskretnych
stosowanych
w
odniesieniu
do
cech
jakościowych – decydent określa skończony zbiór wariantów decyzyjnych (trzy
alternatywne rozwiązania w zakresie zakupu środków transportowych) oraz skończony
(w przykładzie 6 - elementowy) zbiór kryteriów, co pozwala na wygenerowanie jednego
wariantu najlepiej odpowiadającego jego preferencjom.
Literatura
1.
2.
Figueira J., Greco S., Ehrgott M. – Multiple Criteria Decision Analysis. State of the Art.
Surveys, Springer Science + Business Media Inc. 2005.
Praca zb. Pod red. Naukową Mynarskiego S. – Badania przestrzenne rynku i konsumpcji.
Przewodnik metodyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa, 1992.
41
On the Border Between Science and Art: webMathematica Visualization in Random Walking – Koch snowflakes Monika Kováčová Institute of Mathematics and Physics, Faculty of Mechanical Engineering Slovak University of Technology in Bratislava [email protected] 1. Seven states of randomness The ability to generate pseudorandom numbers is important for simulating events, estimat‐
ing probabilities and other quantities, making randomized assignments or selections, and numerically testing symbolic results. Such applications may require uniformly distributed numbers, non‐uniformly distributed numbers, elements sampled with replacement, or ele‐
ments sampled without replacement. In ordinary language, the word random is used to express apparent lack of purpose or cause. This suggests that no matter what the cause of something, its nature is not only un‐
known but the consequences of its operation are also unknown. In most technical senses, randomness has an additional positive meaning related to some of the statistical properties of the observed. Thus, the landing location of water droplets from a waterfall will be random in the ordinary sense as it's impossible to determine just what forc‐
es have applied to this or that droplet causing it to fall where it does. But in a statistical sense, and depending on the scale of observation, droplet landing spots are not distributed randomly at all. All droplets are confined to a relatively small area about the base of the fall, and within that area have a distinctly non‐uniform distribution. On the other hand, the in‐
stantaneous sound intensity at any chosen frequency of an electrical circuit noise is techni‐
cally random as well as conventionally random. The seven states of randomness in probability theory, fractals and risk analysis are exten‐
sions of the concept of normal distribution. These seven states were first introduced in by Benoît Mandelbrot in his 1997 book Fractals and scaling in finance which applied fractal analysis to the study of risk and randomness. These seven states build on earlier work of Mandelbrot in 1964, titled The two stages of indeterminism in which he argued that most statistical models approached only a first stage of dealing with indeterminism in science, and that they ignored many aspects of real world turbulence, in particular, most cases of finan‐
cial modeling. Intuitively speaking, Mandelbrot argued that the traditional normal curves do not properly capture empirical and "real world" distributions and there are other forms of randomness that can be used to model extreme changes in risk and randomness. He observed that ran‐
domness can become quite "wild" if the requirements regarding finite mean and variance 42
are abandoned. Wild randomness corresponds to situations in which a single observation or a particular outcome can impact the total in a very disproportionate way. The seven states are: 






Proper mild randomness Borderline mild randomness Slow randomness with finite delocalized moments Slow randomness with finite and localized moments Pre‐wild randomness Wild randomness Extreme randomness Traditional normal distributions are at the mild end of the scale within this categorization. Using elements of this theory, in March 2006, a year before the Financial crisis of 2007–
2010, and four years before the Flash crash of May 2010, during which the Dow Jones Indus‐
trial Average had a 1,000 point intraday swing within minutes, Mandelbrot and Nassim Taleb published an article in the Financial Times arguing that the traditional "bell curves" that have been in use for over a century are inadequate for measuring risk in financial mar‐
kets, given that such curves disregard the possibility of sharp jumps or discontinuities. Con‐
trasting this approach with the traditional approaches based on random walks, they stated: We live in a world primarily driven by random jumps, and tools designed for random walks address the wrong problem. 2. History of randomness In ancient history, the concepts of chance and randomness were intertwined with that of fate. Many ancient peoples threw dice to determine fate, and this later evolved into games of chance. At the same time, most ancient cultures used various methods of divination to attempt to circumvent randomness and fate. The Chinese were perhaps the earliest people to formalize odds and chance 3,000 years ago. The Greek philosophers discussed randomness at length, but only in non‐quantitative forms. It was only in the sixteenth century that Italian mathematicians began to formalize the odds associated with various games of chance. The invention of modern calculus had a positive impact on the formal study of randomness. In the 19th century the concept of entropy was introduced in physics. The early part of the twentieth century saw a rapid growth in the formal analysis of random‐
ness, and mathematical foundations for probability were introduced, leading to its axio‐
matization in 1933. At the same time, the advent of quantum mechanics changed the scien‐
tific perspective on determinacy. In the mid to late 20th‐century, ideas of algorithmic information theory introduced new dimensions to the field via the concept of algorithmic randomness. Although randomness had often been viewed as an obstacle and a nuisance for many centu‐
ries, in the twentieth century computer scientists began to realize that the deliberate intro‐
duction of randomness into computations can be an effective tool for designing better algo‐
43
rithms. In some cases, such randomized algorithms are able to outperform the best deter‐
ministic methods. Randomness should not be confused with unpredictability which is a related idea in ordinary usage, but unconnected mathematically, and for many purposes in physics. For instance, deterministic chaos deals with random phenomena which exhibit organized features at some levels. As another example, the increase of the world human population is quite pre‐
dictable on average, but individual births and deaths cannot be accurately predicted with any precision in many cases; this small‐scale randomness is found in almost all real‐world systems, if not as strikingly. Sensibly dealing with randomness is a seriously hard problem in modern science, mathema‐
tics, psychology, art and philosophy. Merely defining it adequately for the purposes of this or that discipline has been quite difficult. Distinguishing between apparent randomness and actual randomness has been no easier, and additionally assuring unpredictability, especially against a well motivated party (in cryptographic parlance, the "Adversary"), has been harder still. Random numbers are useful for a variety of purposes, such as generating data encryption keys, simulating and modeling complex phenomena and for selecting random samples from larger data sets. Many of these have existed since ancient times, including dice, coin flipping, the shuffling of playing cards, the use of yarrow stalks (by divination) in the I Ching, and many other techniques. They have also been used aesthetically, for example in literature and music, and are of course ever popular for games and gambling. Because of the mechanical nature of these techniques, generating large amounts of sufficiently random numbers (important in statis‐
tics) required a lot of work and/or time. Thus, results would sometimes be collected and distributed as random number tables. With the advent of computers, programmers recognized the need for a means of introducing randomness into a computer program. This need appears also in art concept especially in visualizing the un‐realistic art objects, scenes or in transformation process between stand‐
ard mathematical algorithms and art visualization for these algorithms. However, surpris‐
ing as it may seem, it is difficult to get a computer to do something by chance. A computer follows its instructions blindly and is therefore completely predictable. This way is contro‐
versially to art’s desire to create some unique based on mathematical algorithm. 3. Back to SCIENAR During the 2008 – 2010 years were realized the project Scienar supported by EU Culture Programme. The Project SCIENAR takes into account the links existing between Science and Art; it used the innovative possibilities that new media and ICT offer for a better Visualiza‐
tion and Communication. Visualizing and Communicating theoretical achievements of pre‐
sent Culture are by no means simple; moreover, presenting them in an innovative way is a fascinating challenge dictated by new trends of Society. ICT allow us to explore and repre‐
sent these fruitful relationships in a way unthinkable before. The project Scienar which takes into account the common European cultural heritage and was profoundly based on the links existing between Science & Art, from the very beginning 44
of Greek Culture, through Renaissance, until present time, built an interdisciplinary approach using mainly digital technologies. It aims were to explore the present day interactions of these two facets of our culture, bringing together both communities of “Human Culture” and “Scientific Culture”. The starting and leading idea is that these two facets are NOT separate entities – as they frequently happen to be considered – but just two facets of the SAME Culture, which en‐
compasses all human endeavors to understand, represent and transcend the whole of our know‐ledge of “reality” in which we live. Two facets are share a common past, a common present and a common future; two facets share the mutual interrelationships of which are profound and extremely important. As it was stated in the declaration of SCIENAR, Mathematics has evolved along with our way of conceiving, perceiving, experimenting and representing “reality”; while Art devel‐
ops the means to harmonize, describe, represent aesthetically, transcend and transfigure the World of our sensations and perception. A completely analogous pathway is recogniza‐
ble in other forms of Visual Art, in Architecture, in Music, in all forms of “modern and con‐
temporary Art”, from Photography to Film, up to Digital Art. The project SCIENAR explicitly aims in particular to create an interactive environment for both Scientist and Artists, where Scientists can explore the role that Mathematics plays in understanding and making Art, as well as produce mathematical objects that are useful in Art; while Artists can found mathematical structures and forms that they can directly use, without needing the subtleties of Mathematics, to inspire and produce their artworks. In this paper we will refer on one part of general concept on the border between science and Art – random walking, especially about random number generators and the possibility to transform their potential to the graphic form and inter alia on the results created by art‐
ists based on the random walking mathematical concept. We will refer also on web‐
Mathematica techniques suitable for fulfilling the previous main goals and ideas. 4. webMathematica visualization techniques WebMATHEMATICA is a new web technology that allows the generation of dynamic web content with Mathematica. It integrates Mathematica with a web server. webMATHEMATI‐
CA harnesses the full range of Mathematica technology to build sophisticated web applica‐
tions, especially in creating dynamical web art objects, or the graphical objects for teaching. WebMATHEMATICA provide immediate access to the technical computing software with very firm abilities especially in Mathematica graphics from any web browser. It allows incor‐
porate also dynamical possibilities to creating graphics objects, so the graphics are live, in‐
teractive and responsive to user needs. In Scienar project there are these special webMath‐
ematica abilities used as a tool to produce new artistic works. WebMATHEMATICA is the clear choice for adding interactive calculations to the web. This unique technology enables the user to create web sites that allow users to compute and visualize results directly from a web browser. This approach can be used in teaching fun‐
damentals of computer graphics or geometry, but also as a tool for artists. Based on the world's leading technical computing software and Java servlets, a proven server technology, 45
webMATHEMATICA is fully compatible with Mathematica and state‐of‐the‐art dynamic web systems. These techniques allow to users, e.g. artists, to create artistic works and to better explore how mathematical algorithms work. They do not need to know the algorithms for creation Penrose tiling, they should experiment and use their sense for beautiful works in creating process. They do not need to install nor special programs, or special working space, only web browser is need. It is very advantageous for artists, due to they need no special tools and techniques. WebMATHEMATICA allows a site to deliver HTML pages that are enhanced by the addition of Mathematica commands. When a request is made for one of these pages, the Mathe‐
matica commands are evaluated and the computed result is inserted into the page and de‐
livered to the client browser. This is done with JavaServer Pages (JSP), a standard Java tech‐
nology, making use of custom tags. After the initial setup, all that you need to write webMATHEMATICA application is a basic knowledge of HTML and Mathematica. webMATH‐
EMATICA is based on two standard Java technologies: Java Servlet and JSP. Servlets are spe‐
cial Java programs that run in a Java‐enabled web server. webMathematica allows a site to deliver HTML pages that are enhanced by the addition of Mathematica commands. When a request is made for one of these pages, the Mathematica commands are evaluated and the computed result is inserted into the page. This is done with a standard Java technology, JSP, making use of custom tags. We will show in this section not only the programming capabilities of Mathematica, but also the technical capabilities of webMathematica. We will present one of jsp files (available on Scienar website) for generation Penrose tilings and several results produced by these tech‐
niques. Here is shown an implementation. 5. webMathematica likes Koch snowflakes As a part of Scienar experiments were created several random experiments on the border between pseudo random number generators and graphical objects. First of all very simple concepts for generating artistic objects had used, then more complicated algorithm were prepared and webMathematica applications. Here are some of them included with artist’s works inspired by these random algorithms. One of the main concepts in randomness was used Koch's snowflakes. A fractal, also known as the Koch island, which was first described by Helge von Koch in 1904. It is built by starting with an equilateral triangle, removing the inner third of each side, build‐
ing another equilateral triangle at the location where the side was removed, and then re‐
peating the process indefinitely. The Koch snowflake can be simply encoded as a Lin‐
denmayer system with initial string "F‐‐F‐‐F", string rewriting rule "F" ‐> "F+F‐‐F+F", and angle. The zero‐th through third iterations of the construction are shown above. The fractal can also be constructed using a base curve and motif, illustrated below. 46
Let N n be the number of sides, Ln be the length of a single side, tn be the length of the pe‐
rimeter, and An the snowflake's area after the nth iteration. Further, denote the area of the initial n  0 triangle  , and the length of an initial n  0 side 1. Then we have N n  3.4n , n
n
1
4
Ln    , tn  N n . Ln  3.   and 3
3
An  An 1 
1
1 4
N n Ln 2   An 1   
4
3 9 
n 1
 n
1
4 
Solving the recurrence equation with A0   gives An  8  3     , so 5 
 9  
8
as n   , A   . (Mandelbrot 1983, p. 43). 5
The following implementation with Mathematica and web‐Mathematica techniques was used in creation artistic objects. It is not the shortest possible implementation, but probably it is very understandable. The following module was used RandomSpike[line_List] :=
Module[{d, normD, perp, normPerp,
d = line[[2]] - line[[1]];
(*
normD = Sqrt[d.d];
(*
perp = {d[[2]], -d[[1]]};
(*
normPerp = Sqrt[perp.perp];
(*
ra},
the chosen line segment
its length
the normal vector
its length
*)
*)
*)
*)
ra = 2 Random[Integer, {0, 1}] - 1;
(* a random number in (0, 1) -> (-1, 1) with y = 2x - 1) *)
(* the four new segments *)
{{line[[1]], line[[1]] + d/3}, {line[[1]] + d/3,
line[[1]] + d/2 + perp/normPerp Sqrt[3] normPerp/7 ra},
(* the 7 serves to prevent self-intersections *)
{line[[1]] + d/2 + perp/normPerp * Sqrt[3] normPerp/7 ra,
line[[1]] + 2d/3}, {line[[1]] + 2d/3, line[[2]]}} // N]
We start with equilateral triangle startTriangle =
{{{-1, 0}, {1, 0}}, {{1, 0}, {0, Sqrt[3]}},{{0, Sqrt[3]}, {-1, 0}}} // N Then iteration process follows 47
st[1] = startTriangle;
Do[st[i] = Flatten[RandomSpike /@ st[i - 1], 1], {i, 2, 5}];
Show[GraphicsArray[
Map[Graphics[Line /@ #]&, {st[2], st[3], st[4], st[5]}, {1}]]];
The next pictures shows 48 random versions of iteration stage 4. Snowflakes looks like the results of very randomness process. These pictures was created as a part of Scienar artist's works in working with prepared web‐Mathematica tools. Here the various iteration stages for a single curve are stacked on top of each other. Some beautiful tiling, a few examples of which are illustrated above, can be made with itera‐
tions toward Koch snowflakes. 48
Another beautiful modification of the Koch snowflake involves inscribing the constituent triangles with filled‐in triangles, possibly rotated at some angle. You can check these tools on Scienar web ‐Mathematica site and create your own snow‐
flakes. You can find there also some galleries of realized works. 49
Conclusion In our days Science in general, and Mathematics in particular, play a direct and explicit role in several forms of Art (visual, plastic and musical). Very well known is, for example, the ex‐
istence of methods to generate Art and Music by means of computers and electronic devic‐
es. It follows that Mathematics is not only an essential tool for Science and Technology, but also for Humanities and, in particular, for Art. More webMathematica applications should reader find on the project web‐pages – http://www.webmathematica.eu/Scienar1/index.php On this dynamical web‐pages are available jsp files for creation several random application, random walking applications, simple fractals, Lindenmayer systems, fractal plants, fractal flames, rosettes and other applications concern to e.g. random walking processes. References 1. BENNETT Deborah J.: Randomness, Harvard University Press, 1998. ISBN 0674107454 2. F.J. DAMERAU, M. FRAME, and K. McCAMY : Gaussian Self‐Affinity and Fractals by Benoit Mandelbrot, 2001 ISBN 0387989935, page 20 3. KOVÁČOVÁ M.: Dynamical MATHEMATICA, STU Press, Bratislava, 2008, ISBN: 978‐80‐
89313‐11‐2, pp. 346. 4. KOVÁČOVÁ M.: webMathematica – Dynamical Mathematica Web Pages and their Bene‐
fits for Teachers, In: XXVII International Colloquium on the Management of Educational Process, Brno, 2009, 9 pages, on CD‐ROM, ISBN: 978‐80‐7231‐650‐2 5. LESLEY Adkins: Handbook to Life in Ancient Rome, 1998, ISBN 0195123328, p. 279 6. MANDELBROT Benoît: Fractals and scaling in finance, 1997 ISBN 0387983635 pages 136‐
142 7. WICKHAM‐JONES T.: webMathematica 3, A User Guide, Wolfram Research Inc. 8. http://en.wikipedia.org/wiki/Random_number_generation 50
OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA
Z WYKORZYSTANIEM PROCEDUR
MATLABA
Stanisław Kowalik
Katedra Zarządzania i Inżynierii bezpieczeństwa, Politechnika Śląska
Akademicka 2, 44-100 Gliwice, Polska
e-mail: [email protected]
Leszek Kowalik
Wydział Automatyki, Elektroniki Informatyki, Politechnika Śląska
Akademicka 16, 44-100 Gliwice, Polska
e-mail: [email protected]
Abstrakt: W pracy przedstawiono krótkie wprowadzenie do optymalizacji
wielokryterialnej a następnie podano opis użycia funkcji „attgoal”. Podano też program
komputerowy w Matlabie i przykład ilustrujący zastosowanie tej funkcji dla dwóch
minimalizowanych kryteriów. Praca zawiera rysunki ilustrujące rozważane zagadnienie.
Abstract: Short introduction in this work was introduced to multi-criterion
optimization. Next the description of use „attgoal” function was show. Pass the
computer programme also in Matlab and the example illustrating use of this function
for two minimalized criterions. This work contains illustrating drawings considered
question.
1. Wprowadzenie
W zagadnieniach optymalizacyjnych najczęściej mamy do czynienia ze
znajdywaniem ekstremum jednej funkcji (może być ona wielu zmiennych). Występują
jednak przypadki w podejmowaniu decyzji, gdzie musimy uwzględnić większą liczbę,
nieraz sprzecznych ze sobą kryteriów [1], [2], [3], [4].
W rozpatrywanych zagadnieniach optymalizacyjnych dokonuje się wyboru
z pewnego zbioru obiektów (rozwiązań) charakteryzujących się pewnym zestawem
cech. Te cechy (mogą być wszystkie lub niektóre) albo ich funkcje stanowią kryteria
wyboru [1], [4]. Wartości parametrów jak i kryteriów mogą być ciągłe lub dyskretne.
Określając kryteria przenosimy problem z przestrzeni parametrów do przestrzeni
51
kryteriów, to znaczy do układu, w którym współrzędnymi elementów są wartości
poszczególnych kryteriów. Elementy różniące się parametrami, ale o identycznych
wartościach funkcji kryterialnych, są w niej nierozróżnialne [2], [3], [4]. Ilustruje to
rysunek 1.
W rozważaniach przyjmiemy, że poszczególne kryteria będą minimalizowane.
Optymalizacja wielokryterialna przyjmuje wtedy postać:
min{f1 ( x ), f 2 ( x ), ..., f k ( x )}
x
g i ( x ) = 0,
i = 1, ..., p
g i ( x ) ≤ 0,
i = p + 1, ..., m
xu ≤ x ≤ xv
gdzie
x – jest to zmienna niezależna (wektor), wartości tej zmiennej należą do zbioru
obiektów,
f1(x), f2(x), ..., fk(x) – funkcje kryterialne,
g1(x), g2(x), ..., gm(x) – funkcje ograniczeń,
xu, xv – ograniczenia (wektory) na wartości zmiennych niezależnych [4].
Jeżeli poszczególne funkcje kryterialne przyjmują wartości ekstremalne dla
różnych należących do rozłącznych zbiorów wartości x, to zadanie nie ma
jednoznacznego rozwiązania.
2. Metoda programowania celowego
Do najbardziej zaawansowanych metod optymalizacji wielokryterialnej należy
metoda programowania celowego (ang. goal attainment method). Polega ona na
zastąpieniu zadania wielokryterialnego zadaniem postaci [4]:
min γ
x,γ
f1 ( x ) − w1γ ≤ c1
f 2 (x) − w 2 γ ≤ c2
...
f m (x ) − w m γ ≤ cm
gdzie:
c1, c2, ..., cm – współrzędne wektora C określającego cel poszukiwań,
w1, w2, ..., wm – współrzędne wektora W określającego kierunek poszukiwań.
Po takim przekształceniu zadanie zostaje sprowadzone do poszukiwania punktu ze
zbioru rozwiązań dopuszczalnych, w którym wartości kryteriów są najbliższe pewnym
idealnym (często nieosiągalnym) wartościom określonym przez wektor {c1, c2, ..., cm}.
Poszukiwania są prowadzone w przestrzeni kryteriów, poczynając od punktu
odpowiadającemu idealnym wartościom kryteriów w kierunku określonym przez
wektor współczynników w1, w2, ..., wm. Rozwiązanie stanowi punkt prostokąta o
bokach równoległych do osi układu, lewym dolnym rogu w punkcie C o współrzędnych
c1, c2, ..., cm i przekątnej równoległej do wektora W współrzędnych w1, w2, ..., wm.
Dobór współrzędnych punktu C stanowi formę określenia „aspiracji”
podejmującego decyzje a dobór elementów wektora W decyduje w pewnym stopniu o
ważności poszczególny kryteriów. Metoda programowania celowego pozwala osiągnąć
dowolny punkt zbioru i zapewnia dosyć naturalny sposób określania parametrów, dzięki
52
którym następuje wybór pojedynczego rozwiązania z tego zbioru [4]. Zilustrowane jest
to na rysunku 2.
Rys. 2. Interpretacja graficzna metody
programowania celowego. Pokazane zostały
dwa rozwiązania s1 i s2 uzyskane dla jednego
punktu C i dwóch wektorów W1, W2 [4]
Rys. 1. Przestrzeń obiektów i przestrzeń
kryteriów
Trzy spośród kilku możliwych wywołań funkcji „attgoal” podano poniżej:
x=attgoal(fun,x0,c,w),
x=attgoal(fun,x0,c,w,options),
x=attgoal(fun,x0,c,w,options,vlb,vub).
Funkcja „attgoal” poszukuje znajduje rozwiązanie problemu wielokryterialnego
metodą programowania celowego. Argument fun zawiera ciąg znaków będący nazwą
funkcji zwracającej wektor wartości funkcji kryterialnych: f=fun(x). Argument x0
określa punkt początkowy poszukiwań. Argumenty c i w określają cel i kierunek
poszukiwań. Elementy wektora options określają dodatkowe wymagania czy
informacje. Można je znaleźć w pracy [4]. Argumenty vlb i vub są wektorami, których
elementy określają dodatkowe, odpowiednio dolne i górne, ograniczenia narzucone na
wartości zmiennych niezależnych x.
3. Przykład wykorzystania funkcji „attgoal”
Podamy teraz przykład zastosowania programowania celowego dla równoczesnej
minimalizacji dwóch kryteriów. Funkcje kryterialne są następujące:
f1=sin(1.7⋅x1)+((x2-6)/5)^2+2;
f2=((x1-9)/3.5)^2+cos(x2);
Obszar określoności zmiennych x1 i x2 jest określony przez nierówności: 6≤x1≤10,
6≤x2≤7.
Wykres funkcji kryterialnej f1 w tym obszarze przedstawiony jest na rysunku 3, a
wykres funkcji kryterialnej f2 przedstawiony jest na rysunku 4.
53
Rys. 3. Wykres funkcji kryterialnej f1(x1,x2)
Rys. 4. Wykres funkcji kryterialnej f2(x1,x2)
Przestrzeń kryteriów zilustrowana jest na rysunku 5.
W pierwszym przypadku jako cel przyjęto punkt C(0.8, 1.2). Na rysunku 5 cel
zaznaczono gwiazdką. Jak widać cel nie należy do przestrzeni kryteriów. Kierunek
poszukiwań został określony przez wektor W(1, 1). Jest on zaznaczony linią ciągłą.
Jako punkt startowy przyjęto X0(6, 6) (minimalne wartości zmiennych x1 i x2).
Rys. 5. Przestrzeń kryteriów
{f1(x1,x2), f2(x1,x2)}. Cel=(0.8, 1.2),
Rys. 6. Przestrzeń kryteriów
{f1(x1,x2), f2(x1,x2)}. Cel=(1.2, 0.75),
kierunek W=(1,1).
kierunek W=(1,2).
Program komputerowy w Matlabie przedstawia się następująco:
CEL=[0.8, 1.2]; W=[1,1]; X = [6,6];
VLB=[6,6]; VUB=[10,7];
OPTIONS(15) = 2;
[X,OPTIONS]=attgoal('attg4',X,CEL,W,OPTIONS,VLB,VUB);
X
attg4(X)
function f=attg4(x)
f(1)=sin(1.7⋅x(1))+((x(2)-6)/5)^2+2;
f(2)=((x(1)-9)/3.5)^2+cos(x(2));
W wyniku obliczeń tego programu otrzymano: X=[6.6068, 6.0000], a cel dla tego
X ma wartość C=[1.0277, 1.4277]. Ten cel w przybliżeniu równa się celowi
założonemu na początku. Nie pokrywa się z nim, ponieważ cel założony na początku
54
nie należał do przestrzeni kryteriów. Na rysunku 5 leży on na przecięciu linii
przerywanych i jest na brzegu przestrzeni kryteriów.
W drugim przypadku jako cel przyjęto punkt C(1.2, 0.75). Na rysunku 6 cel
zaznaczono gwiazdką. Jak widać cel nie należy do przestrzeni kryteriów. Kierunek
poszukiwań został określony przez wektor W(1, 2). Jest on zaznaczony linią ciągłą.
Jako punkt startowy przyjęto X0(10, 7) (maksymalne wartości zmiennych x1 i x2).
W wyniku obliczeń otrzymano: X=[9.7975, 7.0000], a cel dla tego X ma wartość
C=[1.2279, 0.8058]. Ten cel w przybliżeniu równa się celowi założonemu na początku.
Nie pokrywa się z nim, ponieważ cel założony na początku nie należał do przestrzeni
kryteriów. Na rysunku 6 leży on na przecięciu linii przerywanych i jest na brzegu
przestrzeni kryteriów.
4. Zakończenie
Do rozwiązywania zadań wielokryterialnych służą różne metody np. metoda sum
ważonych i metoda epsilon ograniczeń [4]. Wykorzystuje się też do tego sieci
neuronowe. Stosuje się też optymalizację wielokryterialną.
Praca miała na celu zilustrowanie zastosowanie funkcji „attgoal” w optymalizacji
wielokryterialnej. W zagadnieniach praktycznych te kryteria mogą być ze sobą
sprzeczne i punkt w przestrzeni wielowymiarowej będący rozwiązaniem zagadnienia
jest pewnym kompromisem między różnymi kryteriami. W pracy przedstawiono
przykład optymalizacji dla zmiennej dwuwymiarowej i dla dwóch niezależnych funkcji
kryterialnych f1 i f2. Zdecydowano się na zmienną dwuwymiarową, aby można było na
rysunkach zilustrować omawiane zagadnienie. Przedstawiono program komputerowy w
Matlabie napisany dla rozpatrywanego przykładu. Program jest krótki i łatwy do
napisania. Główna bowiem część obliczeń optymalizacyjnych przypada na gotową
funkcję „attgoal”. Oprócz samego programu musi być zdefiniowana procedura
zawierająca funkcje kryterialne. W tym przypadku jest to „function f=attg4(x)”. Należy
zwrócić uwagę na fakt, że funkcja „attgoal” w swoim wywołaniu zawiera wartość
startową (początkową) rozwiązania x. Uwaga praktyczna dotycząca zastosowania tej
funkcji jest taka, że dobrze jest wybierać wartość startową w obszarze bliskim
przewidywanemu rozwiązaniu końcowym zagadnienia. Może okazać się tak, że w
trakcie obliczeń optymalizacyjnych mogą występować pewne minima lokalne
(w przypadku, gdy przestrzeń kryteriów będzie skomplikowana) i funkcja „attgoal”
wskaże nie na ekstremum globalne, ale na ekstremum lokalne bliższe wartości
startowej.
Literatura
1. Ameliańczyk A.: Optymalizacja wielokryterialna w problemach sterowania i
zarządzania. Zakład Naukowy im. Ossolińskich, Wrocław 1984.
2. Gałdys Z.: Optymalizacja wieloaspektowych decyzji inżynierskich w przypadku
jednakowo ważnych kryteriów. Praca doktorska na Politechnice Warszawskiej,
Płock 2003.
3. Ogryczak W.: Wielokryterialna optymalizacja liniowa i dyskretna. Wydawnictwo
Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 1997.
4. Zalewski A., Cegieła R.: Matlab – obliczenia numeryczne i ich zastosowania.
Wydawnictwo Nakom, Poznań 1997.
55
Wielkości charakteryzujące hałas
w środowisku pracy
Janina Magiera
Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa i Geologii
Politechnika Śląska, Ul. Akademicka 2, 44-100 Gliwice, Polska
email: [email protected]
Abstrakt: W pracy przedstawiono wybrane zagadnienia dotyczące wielkości
charakteryzujących hałas w środowisku pracy. Podano przykład danych dla badanego
rejonu. Ponadto uwzględniono skutki negatywne oddziaływania hałasu na organizm
ludzki.
Abstract: This article presents selected issues concerning the quantities characterizing
the noise in the workplace. An example of data for the investigated area was given. In
addition, this article describes negative impact of noise effects on the human body.
1. Wprowadzenie
Jako hałas rozumiemy wszelkie niepożądane, nieprzyjemne, dokuczliwe, uciążliwe
lub szkodliwe dźwięki oddziałujące na narząd słuchu i inne zmysły oraz części
organizmu człowieka. Natomiast z fizycznego punktu widzenia dźwięki to drgania
mechaniczne ośrodka sprężystego tj. gazu, cieczy lub ośrodka stałego, które mogą być
rozpatrywane jako oscylacyjny ruch cząsteczek ośrodka względem położenia
równowagi, wywołujący zmianę ciśnienia ośrodka w stosunku do wartości ciśnienia
statycznego (atmosferycznego). Zaburzenie równowagi ośrodka przenosi się w postaci
następujących po sobie lokalnych zagęszczeń i rozrzedzeń cząstek ośrodka w przestrzeń
otaczającą źródło drgań, tworząc falę akustyczną [3].
Ciśnieniem akustycznym p wyrażanym w paskalach (Pa), nazywamy różnicę
między chwilową wartością ciśnienia w ośrodku przy przejściu fali akustycznej,
a wartością ciśnienia statycznego. Poziom ciśnienia akustycznego L oblicza się
ze wzoru (1) przedstawionego poniżej, w którym zastosowano skalę logarytmiczną ze
względu na szeroki zakres zmian wartości ciśnienia akustycznego [7].
56
(1)
gdzie:
L – poziom ciśnienia akustycznego, w dB,
p – wartość skuteczna ciśnienia akustycznego, w Pa,
po – progowa wartość skuteczna ciśnienia akustycznego, w Pa (zwana ciśnieniem
odniesienia i równa 20µPa jako wartość umowna).
Progowa wartość skuteczna ciśnienia akustycznego po ze wzoru (1) jest to wartość
umowna odpowiadająca ciśnieniu akustycznemu dla tonu (drgania sinusoidalnego)
o częstotliwości 1000 Hz, przy którym powstaje wrażenie słuchowe, tzw. próg słyszenia
[4].
Poniżej wypunktowano wielkości charakteryzujące zjawiska akustyczne, których
określenie jest potrzebne do właściwego zastosowania środków technicznych
w zwalczaniu hałasu, są nimi [3]:
•
•
•
•
•
poziom ciśnienia akustycznego L oraz jego pochodne LAmax, LCpeak, LEX,8h,
LEX,w,
prędkość rozchodzenia się fali akustycznej tzw. prędkość dźwięku c,
okres drgań akustycznych T,
częstotliwość drgań akustycznych tzw. częstotliwość dźwięku f,
długość fali akustycznej λ.
Nie można nie wspomnieć o poziomie mocy akustycznej LN, który jest podstawową
wielkością charakteryzującą emisję hałasu z jego źródła. W celu wyznaczenia poziomu
mocy akustycznej LN należy skorzystać ze wzoru (2) [1].
(2)
gdzie:
LN – poziom mocy akustycznej, w dB,
Na – moc akustyczna źródła, w W.
Jak widać z powyższego wzoru (2) podobnie jak w przypadku ciśnienia
akustycznego, ze względu na szeroki przedział zmienności wartości mocy akustycznej
zastosowano skalę logarytmiczną [3].
2. Wielości charakteryzujące hałas w środowisku pracy
Wielkości charakteryzujące hałas w środowisku pracy to: maksymalny poziom
dźwięku A, szczytowy poziom dźwięku C i poziom ekspozycji na hałas odniesiony do
8 – godzinnego dnia lub tygodnia pracy. Wielkości te są pochodnymi poziomu ciśnienia
akustycznego [5].
Maksymalny poziom dźwięku A (LAmax), oznacza największą wartość skuteczną
poziomu dźwięku występującą w czasie obserwacji. Szczytowy poziom dźwięku C
(LCpeak) jest natomiast największą wartością chwilową poziomu dźwięku występującą
w czasie obserwacji. Wielkości te służą do oceny hałasów krótkotrwałych
i impulsowych o dużych poziomach [3].
57
Poziom ekspozycji na hałas odniesiony do 8 – godzinnego dobowego wymiaru
pracy (LEX,8h) lub tygodnia pracy (LEX,w) jest wielkością stosowaną do
scharakteryzowania hałasu zmieniającego się w czasie lub zmiennej ekspozycji na
hałas. Definiowany jest jako równoważny, uśredniony energetycznie poziom dźwięku
A, w dB, wyznaczony dla czasu ekspozycji na hałas równego znormalizowanemu
czasowi pracy tj. dla 8 – godzinnego dnia pracy lub tygodnia pracy. Do obliczenia LEX,8h
i LEX,W należy użyć poniższych wzorów (3) i (4) [4].
(3)
(4)
gdzie:
LEX,8h - poziom ekspozycji na hałas odniesiony do 8 – godzinnego dobowego wymiaru
czasu pracy, w dB,
LEX,w - poziom ekspozycji na hałas odniesiony do tygodniowego czasu pracy
w dB,
LAeq,Te – równoważny poziom dźwięku A wyznaczony dla czasu ekspozycji Te, w dB,
Te – czas narażenia na hałas, w s,
To – czas odniesienia, w s (dzień roboczy 8 godzin = 480 minut = 28 800 s),
i – kolejny dzień roboczy w rozważanym tygodniu,
n – liczba dni roboczych w rozważanym tygodniu (może być różna od 5).
Bardzo cenną informacją dla pracodawcy są wartości poziomu hałasu dopuszczalne
ze względu na ochronę słuchu, które wynoszą [5]:
•
•
•
•
85 dB dla LEX,8h,
85 dB dla LEX,w,
115 dB dla maksymalnego poziomu dźwięku LAmax,
135 dB dla szczytowego poziomu dźwięku LCpeak.
2.1 Przykład danych
Poniżej, w tabeli numer 1, przedstawiono wartości niektórych wielkości
charakteryzujących hałas w badanej Kopalni „X” w Polsce, gdzie A, B, C, D, E i F
oznaczają konkretne obszary pracy w wyrobiskach.
Dzięki danym zebranym z badanych rejonów otrzymaliśmy poniższe wartości
końcowe dla poszczególnych wielkości tj.: poziomu ekspozycji na hałas
w odniesieniu do 8 – godzinnego czasu pracy (LEX,8h), maksymalnego poziomu dźwięku
(LAmax) i szczytowego poziomu dźwięku (LCpeak).
58
Wartości wielkości charakteryzujących hałas w badanych obszarach Kopalni „X” [8]
Tabela 1
Wielkości
charakteryzujące
hałas [dB]/
badany obszar
LEX,8h
LAmax
LCpeak
A
B
C
D
E
F
89,611
104,20
111,30
89,490
104,20
111,40
89,585
105,50
113,10
89,511
104,20
112,50
89,494
104,20
113,10
89,579
104,20
111,80
Jak widać z powyższych danych, wartości maksymalnego poziomu dźwięku (LAmax)
i szczytowego poziomu dźwięku (LCpeak) mieszczą się w granicach normy, natomiast
wartości poziomu ekspozycji na hałas w odniesieniu do 8-godzinnego czasu pracy
(LEX,8h) przekraczają założoną normę, która wynosi 85 dB (dane przedstawione w
rozdziale 2). Oznacza to, że chwilowe przebywanie w obszarach A do F jest bezpieczne
dla słuchu, natomiast pracownicy przebywający w nich długotrwale powinni stosować
środki ochrony indywidualnej, np. ochronniki słuchu. W przypadku zaniechania
powyższych działań pracownik jest narażony na negatywne skutki, które zostały
pokrótce omówione w rozdziale numer 3 poniżej.
3. Skutki oddziaływania hałasu na organizm człowieka
Oddziaływanie hałasu na organizm człowieka w warunkach narażenia zawodowego
można podzielić na [1]:
• wpływ hałasu na narząd słuchu,
• pozasłuchowe działanie hałasu na organizm w tym na podstawowe układy
i narządy oraz zmysły człowieka.
Negatywne skutki oddziaływania hałasu na organizm człowieka można podzielić
na skutki funkcjonalne i skutki zdrowotne. W pierwszej grupie wyróżniamy skutki
dotyczące jakości wykonywanej pracy w kategorii: poczucia niezależności, poczucia
bezpieczeństwa, poziomu komfortu, porozumiewania się i orientacji w środowisku.
W drugiej grupie występują skutki dotyczące chorób (schorzeń) w obszarze: sprawności
psycho – motorycznej, stanu psychicznego i emocjonalnego, ogólnego stanu zdrowia,
stanu somatycznego i narządu słuchu [2].
Skutki wpływu hałasu na organ słuchu dzieli się na [3]:
• uszkodzenia struktur anatomicznych narządu słuchu (perforacje, ubytki błony
bębenkowej), będące zwykle wynikiem jednorazowych i krótkotrwałych
ekspozycji na hałas o szczytowych poziomach ciśnienia akustycznego powyżej
130 – 140 dB,
• upośledzenie sprawności słuchu w postaci podwyższenia progu słyszenia,
w wyniku długotrwałego narażenia na hałas, o równoważnym poziomie dźwięku
A przekraczającym 80 dB.
59
Rozwój trwałego ubytku słuchu ujawniają badania audiometryczne. Obustronny
trwały ubytek słuchu typu ślimakowego spowodowany hałasem, wyrażony
podwyższeniem progu słyszenia o wielkości co najmniej 45 dB w uchu lepiej
słyszącym, obliczony jako średnia arytmetyczna dla częstotliwości audiometrycznych
1,2 i 3 kHz, stanowi kryterium rozpoznania i orzeczenia zawodowego uszkodzenia
słuchu jako choroby zawodowej [6].
4. Zakończenie
Ciągły rozwój w środowisku pracy wiąże się z powstawaniem nowych źródeł
hałasu. Wzrost świadomości społecznej dotyczącej zagrożenia jakim jest hałas
przyczynił się do podejmowania działań w zakresie ograniczania nie tylko szkodliwego,
ale również uciążliwego oddziaływania tego czynnika na człowieka. Bardzo dużą rolę
w zwalczaniu i zapobieganiu hałasu pełnią osoby na stanowiskach decyzyjnych
w danym przedsiębiorstwie, które mogą podjąć skuteczne kroki zapobiegawcze celem
ograniczenia powstawania chorób zawodowych związanych z ubytkiem słuchu. Do nich
między innymi należy odpowiedzialność za zdrowie pracowników.
Literatura
1. Bezpieczeństwo pracy i ergonomia. T. 1 pod redakcją Danuty Koradeckiej. CIOP Centralny Instytut Ochrony Pracy, Warszawa 1999.
2. Engel Z.: Ochrona środowiska przed drganiami i hałasem. PWN, Warszawa 2001.
3. Ocena ryzyka zawodowego. T. 1, Podstawy metodyczne, pod redakcją Wiktora M.
Zawieski. CIOP - Centralny Instytut Ochrony Pracy, Warszawa 2004.
4. Rączkowski B.: BHP w praktyce. Wydanie XIII. Stan prawny na 1.02.2010 r.
Wydawnictwo Oddk, Gdańsk 2010 r.
5. Rozporządzenie Ministra Pracy i Polityki Społecznej z dnia 29 listopada 2002 r.
w sprawie najwyższych dopuszczalnych stężeń i natężeń czynników szkodliwych
w środowisku pracy. Dz. U. 2002 nr 217, poz. 1833.
6. Rozporządzenie Rady Ministrów z dnia 30 lipca 2002 r. w sprawie wykazu chorób
zawodowych, szczegółowych zasad postępowania w sprawach zgłaszania
podejrzenia, rozpoznawania i stwierdzenia chorób zawodowych oraz podmiotów
właściwych w tych sprawach. Dz. U. nr 132, poz.1115.
7. Szlązak J., Szlązak N.: Bezpieczeństwo i higiena pracy. Wydanie drugie.
Wydawnictwo AGH, Kraków 2010 r.
8. Własne materiały
60
WYKORZYSTANIE MODELI
AUTOREGRESYJNYCH
W PROGNOZOWANIU
Anna Manowska
Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa
i Geologii, Politechnika Śląska ul. Akademicka 2, 42 – 100 Gliwice, Polska
E-mail:[email protected]
Streszczenie: Artykuł prezentuje wykorzystanie modeli autoregresyjnych do prognozowania wielkości
sprzedaży węgla kamiennego z uwzględnieniem zużycia substytucyjnych nośników energii. Model ten
przedstawiono jako bardzo praktyczne i wiarygodne podejście uzyskania wartości teoretycznych, które po
wnikliwej analizie można wykorzystać w procesie prognozowania zmian ekonomicznych na rynku węglowym.
Abstract: The paper presents utilization of autoregressive model for forecasting activity of largeness of sale
of coal with taking into consideration expenditure carrier an alternative source of energy. This model present as
very practical and reliable approach of obtainment of theoretical value, it is possible to take advantage which after
discerning analysis in process of forecasting activity of economic change on carbon market.
1. Wprowadzenie
Substytucyjnymi nośnikami energii względem węgla kamiennego są: ropa
naftowa, gaz ziemny, węgiel brunatny, energia jądrowa i energia ze źródeł naturalnych.
Nośniki te są ze sobą silnie skorelowane, gdyż wzrost zużycia jednego z nich powoduje
spadek zużycia innych. W oparciu o powyższe założenie podjęto próbę prognozowania
wielkości sprzedaży węgla kamiennego w oparciu o historię tej sprzedaży i dodatkowo
o wielkość zużycia gazu ziemnego i ropy naftowej. Z analizy literaturowej
zdecydowano, że adekwatnym modelem do prognozowania wielkości objaśnianej jest
grupa modeli autoregresyjnych.
2. Metoda prognozowania modelem autoregresyjnym z zewnętrznym
wejściem
Dany jest wektor zmiennej objaśnianej Yr, którego elementami yrτ są roczne
wartości sprzedaży węgla kamiennego, o postaci
.
Do prognozowania rocznej wielkości sprzedaży węgla kamiennego wykorzystano
macierz zmiennych objaśniających Zrg, której elementami zrgij są wartości rocznego
zużycia gazu ziemnego i ropy naftowej, o następującej strukturze:
61
1
gdzie:
wiersze macierzy odpowiadają poszczególnym latom, a kolumny macierzy odpowiadają odpowiednio:
kolumna pierwsza zawiera zużycie ropy naftowej, a kolumna druga zużycie gazu ziemnego,
i,j – są indeksami elementów macierzy i zmieniają się w zakresie j=1,..,J oraz i=1..I, gdzie J=2, a I=12
Trudnością w długoterminowym prognozowaniu jest uzależnienie zmiennej
objaśnianej od zmiennych objaśniających. Trudność wynika z faktu, że do
prognozowania wielkości sprzedaży węgla kamiennego należałoby zaprognozować
również zużycie ropy naftowej i gazu ziemnego. Dużym utrudnieniem przy wyborze
metody prognozowania tych wielkości stanowi mały zbiór informacji statystycznych,
z tego względu podjęto decyzję o wyznaczeniu tendencji rozwojowej zużycia ropy
naftowej i gazu ziemnego regresją liniową i wyznaczeniu dolnego i górnego przedziału
ufności.
Analizując wszystkie trzy przebiegi wyznaczono współczynniki korelacji dla
układu węgiel kamienny – ropa naftowa oraz węgiel kamienny – gaz ziemny według
wzoru [1], [2], [3]:
rwęgiel gaz= -0,76052931
rwęgiel ropa= -0,9469015
Do wyznaczenia optymalnego zbioru zmiennych objaśniających, które zostaną
wprowadzone do modelu wykorzystano algorytm pojemności integralnych. Wskaźnik
ten mierzy wielkość informacji jaką wnosi zmienna objaśniająca o zmiennej objaśnianej
w ω-tej kombinacji. W związku z tym
wzrasta, jeżeli współczynnik korelacji rξ
wzrasta, a maleje im bardziej zmienna objaśniająca jest skorelowana z pozostałymi
zmiennymi objaśniającymi. Największa integralna pojemność występuje dla kombinacji
H2, którą jest kombinacja sprzedaż węgla kamiennego jako zmienna objaśniana
i wybrano zmienną objaśniającą, którą jest zużycie ropy naftowej.
62
2
2.1. Charakterystyka zbudowanego modelu autoregresyjnego
Przyjęto hipotezę, że właściwym modelem do opisu analizowanego ciągu
czasowego jest model autoregresji z zewnętrznym wejściem określony wzorem [4]:
Podstawą identyfikacji takiego modelu jest empiryczna funkcja autokorelacji
oraz empiryczna funkcja autokorelacji cząstkowej. Zgodnie z regułą, że
(gdzie J
jest liczbą elementów wektora Yr) wyznaczono wartości tych funkcji dla opóźnienia:
Korelację cząstkową wyznaczono z zależności Yule’a-Walkera.
Wartości empirycznej funkcji autokorelacji analizowanego ciągu czasowego
k
rk
1
2
3
0,6579
0,3106
0,1029
Źródło: opracowanie własne
Wartości empirycznej funkcji autokorelacji cząstkowej analizowanego ciągu czasowego
k
φkk
1
2
3
0,6579
-0,2157
-0,0067
Źródło: opracowanie własne
W rozpatrywanym przypadku wielomian A jest stopnia pierwszego, gdyż jest to
największa wartość korelacji cząstkowej przekraczająca odpowiedni pojedynczy błąd
standardowy.
Współczynnik kierunkowy prostej regresji dla zużycia ropy naftowej oznacza,
że średnio co roku zużycie będzie wzrastało o 440 tys. Mg. Zatem tendencja rozwojowa
zużycia ropy naftowej jest określona następującą zależnością yropa = 440,43 x – 864 020
Do wyboru stopnia wielomianu B wykorzystano te same reguły jak przy
wyborze stopnia wielomianu A. W rozpatrywanym przypadku wielomian B jest stopnia
pierwszego, gdyż jest to największa wartość korelacji cząstkowej przekraczająca
pojedynczy błąd standardowy.
63
3
Wartości empirycznej funkcji autokorelacji analizowanego ciągu czasowego
k
1
2
3
rk
0,6533
0,2627
0,0446
Źródło: opracowanie własne
Wartości empirycznej funkcji autokorelacji cząstkowej analizowanego ciągu czasowego
k
1
2
3
φkk
0,6533
-0,2863
0,0208
Źródło: opracowanie własne
Do wyznaczenia parametru przesunięcia wstecz „d” wykorzystano współczynnik
korelacji wzajemnej, który określa relację między dwoma ciągami (Yr, Zr) o wzorze [5]:
Za wartość parametru przesunięcia wstecz „d” przyjęto numer opóźnienia
o najwyższej wartości współczynnika korelacji wzajemnej opóźnianego wektora Zr
względem wektora Yr. Maksymalną wartość parametru przesunięta wstecz ustawiono na
2 ze względu na zasadę oszczędności. Celem jest zatem otrzymanie modelu nie tylko
adekwatnego ale i oszczędnego [6].
Wartości współczynnika korelacji
d
0
1
2
rd
-0,9469
-0,9122
-0,8559
Źródło: opracowanie własne w programie Matlab 5.3
Zatem przyjęto parametr przesunięcia wstecz d=0.
Zależność matematyczna pomiędzy substytucyjnymi nośnikami energii jest
zapisana przy pomocy równania:
Zestawienie rocznych prognoz do roku 2010
Rok
2008
[tys. Mg]
2009
[tys. Mg]
2010
[tys. Mg]
Prognoza
sprzedaży węgla
85 827
85 255
84 942
64
4
3. Wnioski końcowe.
Z przeprowadzonego doświadczenia wynika, że roczna sprzedaż węgla
kamiennego w roku 2008 będzie wynosić 85 827 tys. Mg. Prognozowany wynik jest
zbieżny z prognozą zużycia węgla kamiennego zawartą w Strategii działalności
górnictwa węgla kamiennego na lata 2007 – 2015. Ze względu na niskie współczynniki
dopasowania modeli regresji liniowej do danych rzeczywistych zużycia ropy naftowej
wyznaczono górny i dolny przedział ufności na poziomie 95%. Prognoza przedziałowa
rocznej wielkości sprzedaży węgla kamiennego zostanie wyznaczona ze wzoru [7]:
Statystyka u zostanie odczytana z rozkładu t-Studenta dla 3 stopni swobody
i poziomu istotności α=0,05.
Z przeprowadzonego doświadczenia wynika, że sprzedaż w roku 2008 będzie na
poziomie 85 827 tys. Mg, a rzeczywista wartość zawiera się w przedziale od 74 701
do 96 953 tys. Mg, w roku 2009 sprzedaż nieznacznie spadła do wartości 85 255 tys.
Mg, a rzeczywista wartość zawiera się w przedziale 74 129 do 96 381 tys. Mg, w roku
2010 jest dalszy spadek do poziomu 84 942, a rzeczywista wartość zawiera się
w przedziale 73 816 do 96 068 tys. Mg. W analizie w wynikami rzeczywistymi model
ten różni się do rzeczywistego przebiegu zmiennej średnio o 3% (względna statystyka
ex post).
LITERATURA:
[1] Kowalik S.: Wybrane zagadnienia z matematyki. Wykłady dla doktorantów. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej.
Gliwice 2002
[2] Kowalik S.: Podejmowanie decyzji w górnictwie w warunkach niepewności, Zeszyty Naukowe
Politechniki Śląskiej, Gliwice 1996
[3] Kowalik S.: Nowoczesne metody optymalizacyjne w zastosowaniach górniczych
[4] Bielińska E.: Identyfikacja procesów, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1997
[5] Kurzeja J: Sekwencyjna prognoza energii sejsmicznej generowaną eksploatacją pokładu węgla, Prace
naukowe Głównego Instytutu Górnictwa, Katowice 2005
[6] Box G. E. P., Jenkins G.M.: Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie. Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, s.28
[7] Zielaś A., Pawełek B., Wanat S.: Prognozowanie ekonomiczne, teoria, przykłady, zadana.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003, s. 257
65
5
´ poc
ˇet polytermicky
´ ch r
ˇez˚
´ rn´ıch
Vy
u v terna
´
systemech slitin
Zuzana Mor´
avkov´
a1 , Jiˇ
r´ı Vrbick´
y1 , Jarom´ır Dr´
apala2 , Michal Madaj2
1
2
Katedra matematiky a deskriptivn´ı geometrie
Katedra neˇ
zelezn´
ych kov˚
u, rafinace a recyklace
ˇ
VSB-TU
Ostrava, 17. listopadu, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail: [email protected]
Abstrakt: V ˇcl´anku uk´aˇzeme vyuˇzit´ı B-splajnov´
y ploch k modelov´an´ı ploch likvidu
a solidu v tern´arn´ıch syst´emech slitin. D´ale pop´ıˇseme v´
ypoˇcet kˇrivek polytermick´
ych
ˇrez˚
u. Na z´avˇer uk´aˇzeme konkr´etn´ı syst´em Ag-Au-Pd.
Abstract: The B-spline surface is used for modelling liquidus and solidus surfaces in
the equilibrium ternary systems. The computation and the projection of polytherms
is described. The example of Ag-Au-Pd ternary system is shown in this article.
1
´
Uvod
F´azov´e rovnov´ahy ve slitinˇe tˇr´ı prvk˚
u A-B-C (tern´arn´ım syst´emu) lze charakterizovat
plochami likvidu a solidu, kter´e budeme modelovat B-splajnov´
ymi plochami.
Na osu x, resp. y se vyn´aˇsej´ı hodnoty pˇr´ımˇesi B, resp. C a na osu z teplota t´an´ı.
Pro grafick´e zobrazen´ı syst´emu se pouˇzivaj´ı vrstevnicov´e grafy (izotermick´e ˇrezy) a
tak´e tzv. polytermick´e ˇrezy, tato problematika je pops´ana v [2].
Tyto polytermick´e ˇrezy ukazuj´ı z´avislost teploty t´an´ı likvidu a solidu dan´eho tern´arn´ıho
syst´emu A-B-C na koncentraci jednoho z tˇechto prvk˚
u, pˇriˇcemˇz je pˇredem d´an pomˇer
koncentrac´ı zb´
yvaj´ıc´ıch dvou prvk˚
u.
66
2
B-splajnov´
a plocha
Nechˇt je d´ana s´ıˇt ˇr´ıdic´ıch bod˚
u Pij = (xij , yij , zij ) ∈ R3 , i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m.
Uvaˇzujeme b´azov´e funkce {Ni,p (u)}ni=0 , resp. {Ni,p (v)}m
e nad uzlov´
ym
j=0 definovan´
vektorem:
U = (0, . . . , 0, up+1 , . . . , un , 1, . . . , 1) , resp. V = (0, . . . , 0, up+1 , . . . , um , 1, . . . , 1) .
Pak B-splajnov´a plocha je zadan´a parametricky:

n X
m
X



x=
Ni,p (u)Nj,p (v)xij




i=0
j=0


n X
m
n X
m

X
X
y=
Ni,p (u)Nj,p (v)yij
S(u, v) =
Ni,p (u)Nj,p (v)Pij ⇔


i=0
j=0
i=0 j=0


n X
m

X



Ni,p (u)Nj,p (v)zij

 z=
i=0 j=0
Kde Ni,p (u), Nj,p (v) jsou b´azov´e funkce, jejichˇz konstukce je pops´ana v [1].
3
Newtonova metoda pro soustavu neline´
arn´ıch
rovnic
Pˇripomeˇ
nme si Newtonovu metodu pro ˇreˇsen´ı soustavy dvou neline´arn´ıch rovnic.
M´ame soustavu dvou rovnic ve tvaru
F(X) = O
F1 (X1 , X2 )
kde X = (X1 , X2 ) jsou nezn´am´e a d´ale F(X) =
.
F2 (X1 , X2 )
Zvol´ıme vhodnˇe poˇca´teˇcn´ı aproximaci X(0) a dalˇs´ı aproximaci spoˇc´ıt´ame ze vztahu:
X(k+1) = X(k) − J −1 (X(k) )F(X(k) ) ,
kde J −1 (X(k) ) je hodnota inverzn´ı matice k Jakobi´anu J v bodˇe X(k) , kter´
y m´a tvar:


∂F1 ∂F1
 ∂X1 ∂X2 

J =
 ∂F2 ∂F2  .
∂X1 ∂X2
(k)
V´
ypoˇcet ukonˇc´ıme tehdy, je-li X − X(k−1) menˇs´ı neˇz poˇzadovan´a pˇresnost.
Metoda konverguje pro regul´arn´ı Jakobi´an a poˇc´ateˇcn´ı aproximaci dostateˇcnˇe bl´ızko
pˇresn´emu ˇreˇsen´ı.
67
4
V´
ypoˇ
cet hodnoty na ploˇ
se
Pˇri urˇcov´an´ı polytermick´
ych ˇrez˚
u a jin´
ych aplikac´ıch je ˇcasto potˇreba pro zvolen´e
hodnoty x˜, y˜ naj´ıt hodnotu na B-splajnov´e ploˇse.
Pˇripomeˇ
nme, ˇze B-splajnov´a plocha je pops´ana parametrick´
ymi rovnicemi:
Pn Pm
x = Sx (u, v) = i=0 j=0 Nip (u)Njp (v)xij
P P
y = Sy (u, v) = ni=0 m
Nip (u)Njp (v)yij
Pn Pj=0
m
z = Sz (u, v) = i=0 j=0 Nip (u)Njp (v)zij
kde u, v ∈ h0, 1i jsou parametry a Nip jsou polynomy p-t´eho stupnˇe.
Probl´em nalezen´ı hodnoty z˜ ke zvolen´
ym hodnot´am x˜, y˜ vede na soustavu neline´arn´ıch rovnic:
x˜ = Sx (u, v)
(?)
y˜ = Sy (u, v)
ˇ sen´ı t´eto rovnice oznaˇc´ıme u˜, v˜ a po dosazen´ı do vztahu
Reˇ
z˜ = Sz (˜
u, v˜)
dostaneme poˇzadavanou hodnotu.
Soustavu (?) budeme ˇreˇsit Newtonovou metodou.
K v´
ypoˇctu Jakobi´anu budeme potˇrebovat parci´aln´ı derivace:
Pn Pm
∂Sx
0
(u, v) =
i=0
j=0 Nip (u)Njp (v)xij
∂u
Pn Pm
∂Sx
0
(u, v) =
j=0 Nip (u)Njp (v)xij
i=0
∂v
Pn Pm
∂Sy
0
(u, v) =
i=0
j=0 Nip (u)Njp (v)yij
∂u
Pn Pm
∂Sy
0
(u, v) =
i=0
j=0 Nip (u)Njp (v)yij .
∂v
Jakobi´an J m´a tvar:


∂Sx
∂Sx
 ∂u (u, v) ∂v (u, v) 
.
J(u, v) = 
 ∂S

∂Sy
y
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
−1
Inverzn´ı matice J k Jakobi´anu m´a tvar:

∂Sy
∂Sx
(u,
v)
−
(u, v)
 ∂v
1
∂v

J −1 (u, v) =
det J(u, v)  ∂Sy
∂Sx
−
(u, v)
(u, v)
∂u
∂u
68


.

Poˇc´ateˇcn´ı aproximace
u0
v0
zvol´ıme jako aritmetick´
y pr˚
umˇer hodnot v uzlech s´ıtˇe
v pˇr´ısluˇsn´em intervalu.
Dalˇs´ı aproximaci spoˇc´ıt´ame ze vztahu:
k+1 k Sx (uk , v k ) − x˜
u
u
−1 k
k
− J (u , v )
=
vk
Sy (uk , v k ) − y˜
v k+1
5
Pˇ
r´ıklad Ag-Au-Pd
Plochy likvidu a solidu syst´emu slitiny Ag-Au-Pd jsme aproximovali B-splajnovou
plochou tˇret´ıho stupnˇe.
Na Obr.1. je zobrazen polytermick´
y ˇrez likvidu a solidu pro pomˇer Ag:Pd=1:1,
kter´
y je spoˇc´ıt´an v´
yˇse uveden´
ym zp˚
usobem.
Na Obr.2. je pro srovn´an´ı zobrazen tent´
yˇz graf z knihy Handbook of Ternary Alloy
Phase Diagram.
Obr 1.: Vypoˇc´ıtan´e polytermick´e ˇrezy.
69
Obr 2.: Zadan´e polytermick´e ˇrezy.
Podˇ
ekov´
an´ı
ˇ 6198910013 ,,Procesy pˇr´ıpravy a vlastnosti
Problematika je ˇreˇsena v projektu MSM
vysoce ˇcist´
ych a strukturnˇe definovan´
ych speci´aln´ıch materi´al˚
u“.
References
[1] L.Pliegl, W.Tiller: The NURBS Book, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1997.
[2] Z.Mor´avkov´a,J. Vrbick´
y, J. Dr´apala, M. Madaj: Vyuˇzit´ı B-splajnov´ych ploch
v tern´arn´ıch syst´emech slitin, sborn´ık konference Modern´ı metody v inˇzen´
yrstv´ı,
Ostrava, 2010.
70
MICROHARDNESS OF SOME PURE METALS MEASURED BY
INSTRUMENTED INDENTATION
NAVRÁTIL Vladislav, (CZ), NOVOTNÁ Jiřina, (CZ)
Abstract. Indentation testing is a common method to investigate mechanical
properties of solids near their surface. The elastoplastic properties such as
microhardness and Young modulus may be determined from the curves load –
depth of penetration (Depth Sensing Indentation - DSI). In our work basic
mathematical elements of DSI theory used for explanation and interpretation of
experimental results for some pure metals are presented.
Key words: microhardness, instrumented indentation, pure metals, tin, cadmium,
copper, nickel
1
Introduction
Material science is a discipline nearly as old as mankind. Over a long period (up to 30th last
century) it had been developed only empirically but from that time many new physically
based methods have been introduced and intensively developed. For example the hardness
methods were established by the end of 19th century (Mohs scale (1898), Brinell hardness test
(1900), Mayer test (1908), Rockwell test (1914), Vickers test (1924) and Knoop test (1939)).
In the second half of the 20th century a new approach to mechanical properties of material
investigation has began. The founders of such approach were H. Hertz, D. Tabor, Sneddon
and especially Bulychev and Alekin who published an analysis of continuous conical and
spherical indentation, later called “Instrumented indentation”, or “Depth Sensing Indentation”
(DSI). Instrumental indentation in micro- and nanoscale is now very popular technique for
measuring the mechanical properties of surface of bulk materials and thin films [1 - 3]. This
method provides to record the load penetration curves during the loading and unloading
process. According to Doerner and Nix [4] and Oliver and Pharr [5] many important
parameters such as hardness, and Young modulus can be determined especially from
unloading curves.
2
Instrumented indentation
It has been observed that sharp indenters (Vickers, Berkovich, Knoop) deform material both
elastically and plastically and that the indenter is shelded by a hydrostatic core and plastic
zone. The final model is based on the similarity to the processes in radial expansion of a
spherical cavity under internal pressure [3] (Fig.1)
71
Fig.1. Expanding cavity model [6]
Fig.2. Contact mechanics [7]
The rudiments of micro- and nanoindentation begin with study of contact mechanics between
solid bodies, which were done by H.Hertz at the end of 19th century. Hertz [8] determined that
the radius of the circle of contact a could be calculated in terms of load P, radius R and elastic
modulus E* by the relation (Fig.2)
a3 =
3 P.R
4 E∗
(1)
where E* is the combined elastic modulus of the indenter and specimen:
(1 − υ12 ) (1 − υ 22 )
1
=
+
E1
E2
E∗
(2)
( ν1 resp. ν2 is Poisson´s ratio of material resp. indenter and E1, resp. E2 is Young modulus of
material, resp. indenter). For radius R we have (see Fig.2):
1
1
1
=
+
R R1 R2
(3)
(for flat specimen R1→∞).
For an rigid spherical indenter the profile of deformed surface can be expressed ([7], Fig.3) as
2
2
⎛ 3 ⎞ P
δ =⎜ ∗⎟
⎝ 4E ⎠ R
3
(4)
And finally with using (1):
1
3
4
P = E∗R 2 h 2
3
and contact area A = 2πRhc
(hc is the depth of the circle of contact).
72
(5)
a)
b)
Fig 3. To evaluation of P for round a) and conical b) indenter [7]
Analogous considerations give for conical indenter [7]:
P=
2
π
E ∗ h 2 tgα
(6)
and
A = π .hc2 tg 2α
(where α is the indenter cone half – angle)
For Berkovich indenter:
P = 2 a.E ∗ h
(7)
and
A = 3 3 hc2 tg 2 Θ = 24.49 hc2
(where θ = 65,270 and α = 70,2960)
For Vickers indenter:
P = 2 a.E ∗ h
(8)
and
A = 4hc2 tg 2 Θ = 24,504 hc2
(where θ = 680 and α = 70,30)
For Knoop indenter:
P = 2 a.E ∗ h
(9)
and
A = 2hc2 tgΘ1tgΘ 2 = 108,24.hc2
(where θ1 = 86,250, θ2 = 650, α = 77,640)
And for cube corner indenter:
P = 2 a.E ∗ h
(10)
and
A = 3 3 hc2 tg 2 Θ = 2,60hc2
(where θ = 35,260, α = 42,2780)
73
2.1.
Contact Stiffness
The elastic contact between cone and flat specimen is done by the equation (6):
P=
2
π
E ∗ h 2 tgα
(6a)
Taking the derivation of P with respect to h we obtain:
dP
⎡2
⎤
= 2 ⎢ E ∗ tgα ⎥ h
dh
⎣π
⎦
(11)
And after substitution to the (6a) we have:
P=
1 dP
h
2 dh
(12)
which means that the slope of the load – displacement curve for an elastic loading at any
particular point on the curve is twice that given by the ration P/h.
For r = 0 is the relation between the displacement of the indenter and the radius of the circle
of contact done by the equation
h=
π
2
a. cot gα
(13)
Since A = π.a2, we have
dP
= 2E ∗ a
dh
3.
(14)
Experimental procedure.
The equipment. The Fischerscope H100 Xyp is a computer controlled microindentation
system by Fischer Technology. Its main characteristics are:
- Load range 0,4 ~ 1000 mN,
- Depth sensitivity ± 1μm,
- Maximal indentation depth 700 μm.
The equipment is located in Laboratory of Mechanical Properties of Thin Solid Films,
Institute of Physical Electronics, Masaryk University Brno. The calibration of equipment was
performed on certified standard samples with well known mechanical properties and without
any work hardening. These samples are usually carried out by massive planparallel blocks of
boron silicate glass with small surface roughness. Typical schematical load – indentation
depth curve with parameters commonly measured is shown on Fig.4.
74
Fig.4. Typical load – indentation depth curve and Vickers indent.
Measured materials. The samples of polycrystalline tin, cadmium, copper and nickel
(purity of 99,99 %) were mechanically grained and chemically polished to remove Beilby´s
layer. In order to find the possible influence of the layer on microhardness both measurements
were provided on samples with and without Beilby´s layer [9]. The microindentation
experiments were performed by using Vickers indenter tips. All experimental results are
shown on Figs 5 - 8.
4.
Results and discussion.
According to our measurements, the Beilby´s layer does not influence significantly
microhardness of pure tin, cadmium, copper and nickel polycrystals (Figs. 5 - 8). It can be
explained either as a consequence of a small thickness of the layer (~ 100 nm) or as a result of
similar mechanical properties of Beiby´s layer and bulk material under it. The answer can be
confirmed by nanoindentation measurements because nanoindents penetrate only this layer
unlike microindents which are much more greater (micrometers).
polished
only grained
Fig. 5. Microhardness vs. load for pure tin. Results for polished (red dots)
and only grained samples (blue dots) show the occurence of ISE.
75
polished
only grained
Fig.6. Microhardness vs. load for pure cadmium. Results for polished (red
dots) and only grained samples (blue dots) show the occurence of ISE.
polished
only grained
Fig.7. Microhardness vs. load for pure copper. Results for polished (red dots)
and only grained samples (blue dots) do not show occurence of ISE.
76
polished
only grained
Fig.8. Microhardness vs. load for pure nickel. Results for polished (red dots)
and only grained samples (blue dots) do not show occurence of ISE.
Second result of our measurements confirm existence of the Indentation Size Effect (ISE),
i.e. dependence of the microhardness on the load (or on the indentation depth) [10,11].
According to many authors the explanation of ISE can be done by
- abroaded surface layers and oxides,
- chemical contamination,
- inadequate measurement capability of small areas of indents,
- elastic recovery of indents,
- indenter-specimen friction.
- occurrence of the geometrically necessary dislocations.
As we can see from the Figs.5 and 6, the ISE for pure tin and cadmium is considerable unlike
for pure copper, nickel and titanium (Figs 7 and 8), where was not observed. The explanation
of that difference can be done by existence of geometrically necessary dislocations. The
structure of tin and cadmium is hexagonal (h.c.p)., unlike copper and nickel (f.c.c.). It means
that in copper and nickel there is at the beginning of indentation more working slip systems
than in tin and cadmium i.e. for small indents is mechanical resistence (hardness) of tin and
cadmium comparatively higher than that for copper and nickel..
77
References
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
Bucaille, J.L., Stauss, S., Felder, E., Michler,J.: Acta materialia, Vol.51, pp.
1663 – 1678, 2003.
Zeng, K., Chin,C.: Acta materialia, Vol.49, pp. 3539 – 3551, 2001.
Ford, I.J.: Thin Solid Films, pp. 245 – 122, 1994.
Doerner, M.F., Nix, W.D.: J. Mater. Res., 1:601, 1986.
Oliver, W.C., Pharr, G.M.: J. Mater. Res.,Vol.7.,pp 1564, 1992.
Fischer-Cripps, A.C.: Nanoindentation. Springer-Verlag, 2002.
Fischer-Cripps, A.C.: The IBIS Handbook of Nanoindentation. Fischer Crips
Laboratories 2009.
Tabor, D.: The Hardness of Metals. Clarendon Press, Oxford 1951.
Dušek, J.: PhD. Thesis, Masaryk University Brno 2009.
Iost, A., Bigot, R.: J. Mater. Sci., Vol. 31, pp. 3573, 1996.
Gong, J., Wu, J., Guan, Z.: J. Mater. Sci. Lett., Vol. 17, pp 473, 1998.
Acknowledgements.
We would like to thank Dr. V. Buršíková and Dr. J. Dušek for helpful discussions.
Current address
Navrátil Vladislav, prof. RNDr.,CSc.
Faculty of Education, Masaryk University,
Poříčí 31, 603 00 Brno.
Tel.: 549495753
e-mail: [email protected]
Novotná Jiřina, PhDr., Ph.D.
Faculty of Education, Masaryk University
Poříčí 31, 603 00 Brno.
Tel.: 549491663
e-mail: [email protected]
78
UČEBNÍ TEXTY V DISTANČNÍM
VZDĚLÁVÁNÍ
Marie Polcerová
Ústav fyzikální a spotřební chemie, Fakulta chemická, VUT v Brně,
Purkyňova 118, 612 00 Brno
E-mail: [email protected]
Abstrakt: Příspěvek se zabývá různými typy učebních textů, které studující
kombinované formy studia na Chemické fakultě Vysokého učení technického v Brně
využívají ve výuce matematiky. Podle svého charakteru byly tyto učební texty
rozděleny na statické, dynamické, specifické a programy. Článek tyto učební texty
charakterizuje, hodnotí jejich klady i zápory a zároveň přináší první zkušenosti s jejich
využíváním.
Abstract: The conference paper deals with the education of subject Mathematics II has
run before and after the transition to three degrees education and how these changes
determined not only forms and methods in this subject, but also what impact they had
on quantity of students and their successfulness.
Kombinované studium
Kombinované studium na Fakultě chemické Vysokého učení technického v Brně je
studujícím nabízeno od samotného znovuobnovení fakulty v akademickém roce
1996/97. Délka studia i obsah učiva jsou totožné jako u prezenčního studia. Bakalářské
studium trvá tři roky a magisterské další dva roky. Hodinová dotace přímé výukové
činnosti bývala zkrácena přibližně na polovinu a výuka probíhala každý pátek. Na závěr
semestru bývalo týdenní soustředění, ve kterém studující absolvovali laboratoře.
Protože studující měli čím dál větší potíže s docházkou na páteční výuku, tak
v akademickém roce 2009/2010 výuka probíhala vždy jednou za dva týdny a to v pátek
a v sobotu a na závěr semestru opět probíhalo týdenní soustředění. Od akademického
roku 2010/2011 celá povinná výuka, včetně laboratoří, probíhá jednou za dva týdny
pouze v sobotu a řídí se Rozhodnutím děkana.
První sobotu v semestru vždy probíhá setkání všech přednášejících povinných
předmětů (dle přiloženého rozvrhu) se studujícími. Každý přednášející má jednu
vyučovací hodinu tj. 50 minut na představení svého předmětu, studijní literatury,
seznámení s podmínkami hodnocení, stanovení způsobu sjednávání a realizace
konzultací atd. Ve zbylém čase pak může upozornit na klíčové a nejproblematičtější
pasáže učiva, případně může probrat některou úvodní pasáž vlastního učiva.
Předpokládá se forma prezentace (v Power Pointu), kterou vyučující následně
studujícím zpřístupní na e-learningu.
Další soboty pak probíhá výuka seminářů a cvičení povinných předmětů. Vyučující
upraví výběr látky tak, aby se probrali a procvičili nejnáročnější úlohy a příklady,
protože časová dotace je v porovnání s prezenčním studiem přibližně třetinová.
V průběhu cvičení si vyučující rovněž smluví se studenty systém konzultací. Výuku
cvičení musí vyučující podporovat využitím e-learningu a průběžné kontroly práce
studentů mezi jednotlivými termíny s rozvrhovanou výukou. Volba způsobu výuky a
79
využití rozvrhovaných jednotek je zcela v kompetenci garanta předmětu. Studující
kombinované formy studia však musí pro úspěšné absolvování splňovat stejné
podmínky, jako studenti prezenční formy, tedy například zápočtový test musí mít
stejnou obtížnost. Studujícím kombinované formy však může být umožněn větší počet
pokusů o jeho absolvování. V každém dni s rozvrhovanou výukou budou studující
v každém cvičení psát kontrolní test. Účast na cvičení není na rozdíl od prezenční formy
povinná, každý studující však musí napsat všechny testy. V případě nepřítomnosti
umožní vyučující napsání testu v náhradním termínu (dle dohody i v pracovní dny).
Laboratorní cvičení povinných předmětů jsou rozvrhována v nepracovních dnech po
skončení semestru. V případě, že se vyučující domluví se studujícími a všichni studující
ve skupině budou souhlasit, může se praktikum konat i v pracovních dnech, a to podle
dohody blokově nebo periodicky. Taková dohoda však musí být sjednána nejpozději do
měsíce od začátku semestru, aby mohla být výuka technicky zabezpečena. Hodinová
dotace odpovídá přibližně polovině dotace v prezenčním studiu. Vyučující podle této
skutečnosti provedou výběr úloh a jejich úpravy. Pro získání zápočtů platí stejná
ustanovení, jako v případě seminářů.
Povinně volitelné předměty nejsou rozvrhovány. Garanti jednotlivých předmětů
sestaví podle formuláře a nařízených pravidel Návrh organizace výuky v kombinované
formě studia. Vyučující jej sestavuje na základě individuální konzultace se studujícími,
kteří mají předmět zapsán a odevzdává jej řediteli ústavu, který jej do konce prvního
měsíce daného semestru předkládá přímo děkanovi.
Učební texty
Využívání e-learningu, e-mailů a vhodných učebních textů je v takto koncipované
výuce nutností. Na fakultě se využívá LMS systém MOODLE, ve kterém studující
naleznou téměř všechny elektronické podpory jednotlivých předmětů. Každému
předmětu je vyčleněn jeden kurz, za jehož naplnění je zodpovědný garant předmětu.
Studující zde zpravidla naleznou sylabus předmětu, požadavky na zápočet a zkoušku,
harmonogram přednášek, cvičení a konzultací, průběžné a závěrečné hodnocení, zadání
písemných prací a pokyny k jejich vypracování, příklady k řešení, k procvičení
i k přípravě na testy, zkušební testy, různé učební texty atd. Protože učební texty do jisté
míry nahrazují kontaktní výuku, tak jsou na ně kladeny mnohem větší nároky. Většinu
učebních textu lze rozdělit do čtyř různých kategorií a to na texty statické, dynamické,
specifické a programy.
Mezi statické učební texty zařazujeme klasické učební texty, které se od tištěných
materiálů liší pouze v tom, že jsou studujícím zpřístupněny v elektronické podobě. Patří
sem tedy například klasická skripta, která jsou psána přesně podle sylabů jednotlivých
předmětů. Dále sem můžeme zařadit učební texty, které, například v matematice, slouží
k procvičení učiva ve cvičeních. Před cvičením je zde uvedena osnova celého cvičení a
zadání příkladů, které se budou řešit. Po cvičení zde studující naleznou nezbytné
definice a věty, na jejichž základě jsou jednotlivé příklady vzorově vyřešeny metodou
„krok za krokem“ tak podrobně, že si studující nepotřebují dělat žádné dodatečné
poznámky či výpočty vedle na papír, nebo do počítače. Každý krok je podrobně
vysvětlen a některé příklady jsou dokonce řešeny více různými způsoby, takže si pak
studující mohou vybrat, který postup jim bude nejvíce vyhovovat. Tato cvičení jsou
psána pro hodinovou dotaci kontaktních cvičení u prezenčního studia a tak se
u studujících v kombinované formě zpravidla proberou pouze ty nejzákladnější, nebo
nejproblematičtější příklady a řešení všech ostatních pak naleznou právě v těchto
textech. S výhodou je používají i studující v prezenčním studiu, a to nejčastěji když
chybí, nebo v případě, kdy se všechny příklady nestačí probrat. Výhodou všech těchto
80
učebních textů je několik. Tyto, můžeme říci, klasické učební texty mají dlouhou tradici
a jejich metodika je důkladně rozpracovaná do nejmenších detailů. Protože jsou
zveřejňovány v elektronické podobě, tak jsou lehce modifikovatelné, rychle lze reagovat
na požadavky studujících i změny v obsahu výuky. Nevýhodou je, že je nelze
individualizovat podle znalostí jednotlivých studujících. Dosavadní zkušenosti jsou
takové, že studující nejvíce oceňují již vyřešená cvičení, podle kterých se dokonce učí.
Klasická elektronická skripta si většinou vytisknou, ale studují z nich převážně studující
kombinované formy, studující prezenční formy dávají přednost vyřešeným cvičením.
Mezi dynamické učební texty můžeme zařadit tzv. návody „Jak vypracovat průběh
funkce“ a „Jak vypracovat semestrální práci“. Tyto učební texty jsou hypertextovými
dokumenty, které obsahují spoustu různých odkazů. Ve výše uvedených návodech je
normální text psán barvou černou; teorie (definice a věty) barvou zelenou; příkazy
barvou růžovou; otázky a upozornění (Jak? Proč? Pozor!) barvou červenou;
hypertextové odkazy jsou podtržené a jsou psány modře a tučně; důležitý text je modrý;
další příklad je barvou švestkovou; příkazy MATLABu jsou modře, ale typem písma
Courier New; m-soubory modře, tučně a kurzívou a poznámky barvou oranžovou. Toto
barevné rozlišení velice pomáhá v rychlé orientaci v textu. Studující je většinou
dotázán, zda ví, co je to například bod nespojitosti a má na výběr jednu ze dvou
možností. Jestliže si zvolí odpověď ANO, tak se posouvá dále, jestliže si zvolí odpověď
NE, tak se mu objeví definice tohoto pojmu, podrobné vysvětlení a ukázkové příklady
jednotlivých druhů bodů nespojitosti. Formou otázek a odpovědí studující procházejí
celým učebním textem a výstupem je vypracování jejich průběhu funkce a jejich
semestrální práce. Výhodou těchto učebních textů je, že každý studující jimi prochází
svým vlastním tempem, svou vlastní „cestou“, kterou si sám řídí podle svých znalostí,
nebo momentálních časových možností. Může zpočátku i spoustu informací přeskočit a
dodatečně se k nim zpět vrátit a postupovat pomaleji. Nevýhodou těchto učebních textů
je, že jsou velice pracné a není k nim vypracována téměř žádná konkrétní metodika, což
ale ani není dost dobře možné. Aby tyto učební texty měly význam, tak musí být úzce
zaměřeny na jeden rozsáhlejší problém, ke kterému jinak studující obtížně hledají
potřebné informace v různých učebnicích. Takto v jednom dokumentu naleznou
definice, věty, příklady, ukázky, vysvětlení, grafy atd. S těmito texty máme velice dobré
zkušenosti, studující si je pochvalují a hodně je využívají. Jejich vypracování bylo ale
velice zdlouhavé a pracné.
Mezi specifické učební texty můžeme zařadit tzv. distanční texty. Tyto studijní texty
jsou tvořeny podle zásad doporučené struktury distančních materiálů, aktivizují
studujícího prostřednictvím interaktivních prvků v textu a efektivně využívají popisný
sloupec. V popisném sloupci se užívají ikony, které slouží k upozornění na určitá
(obvykle se opakující) místa v textu, například průvodce textem, shrnutí, úkol,
upozornění, varování, poznámka, příklad atd. Tyto ikony musejí být v úvodu studijního
materiálu dostatečně vysvětleny. Hlavní sloupec obsahuje hlavní výukový text a je
rozdělen na tyto části:
a) studijní cíle - tj. jasné formulování toho, co bude studující po nastudování příslušné
kapitoly umět, co bude schopen dělat,
b) požadované vstupní znalosti - tj. konkrétní vymezení znalostí, jimiž by měl
studující disponovat před zahájením studia dané kapitoly,
c) vlastní látka ke studiu - tj. výkladová část, ve které byste se měli řídit těmito
zásadami: „text čleňte na krátké odstavce, věty musí být krátké, vyhýbejte se více
negativům v jedné větě, používejte obvyklá a dobře známá slova, každou ucelenou
část textu srozumitelně označte, snažte se častěji využívat nelineárního textu (výčty,
odrážky, schémata), všechny prvky distančního textu očíslujte, využívejte spíše
81
induktivního postupu, styl psaní volte přátelský, veďte dialog „já“ a „ty“, používejte
kontrasty, řečnické otázky, aktivizujte čtenáře, snažte se využít i neformálního stylu
a vyjadřovat se s přiměřenou mírou obtížnosti. Nezapomínejte, že studijní text by
měl být přehledný, srozumitelný, „čitelný“ a „čtivý“, že studující pracují v jistém
osamocení od autora, a proto musí být možné studijní materiál studovat i bez
prezenční části studia.“
d) text pro zájemce, literatura pro zájemce - tj. text a literatura určená zájemcům
o širší nebo hlubší studium dané problematiky, tento text je vždy doplněn speciální
ikonou,
e) shrnutí - tj. zopakování klíčových bodů,
f) průvodce studiem - tj. výkladové upozornění, poskytnutí metodické pomoci, nebo
podání důležité informace ke studiu, opět je vždy označen speciální ikonou,
g) prvky podporující aktivitu studenta - tj. otázky, které přitahují pozornost,
kontrolní otázky vyžadující i nevyžadující písemnou odpověď, testy,
korespondenční úkoly atd.
Takto vypracovaná skripta „MATLAB - Počítačová cvičení z matematiky“ obsahují
celkem třináct kapitol. Každá kapitola odpovídá jednomu klasickému cvičení
v prezenční formě studia. Nejprve je vždy uvedena osnova cvičení, po které následují
studijní cíle, požadované vstupní znalosti, čas potřebný k prostudování dané kapitoly,
průvodce textem a pak vlastní učební text, který obsahuje jak základní učivo, tak učivo
pro zájemce. V tomto textu je spousta řešených příkladů, upozornění, varování,
poznámek, tipů, otázek k zamyšlení, grafů, úkolů atd. Na závěr je zařazen
korespondenční úkol, nebo autotest (nebo obojí), shrnutí, další zdroje a klíčová slova.
Tato skripta byla publikována na CD nosiči, protože již samotný počet číslovaných
stránek všech třinácti kapitol je 506 a to nejsou počítány součásti, jako je: obálka,
poděkování, titulní list, obsah, úvod, seznam ikon, používané symboly a rejstřík.
Protože na CD nosič se samozřejmě vejde mnohem více materiálu, tak studenti zároveň
obdrželi všechny další zdroje, které jsou jinak umístěny na e-learningu a část z nich i na
www stránkách http://www.fch.vutbr.cz/~polcerova/pc/index.html.
Výhodou těchto textů je, že je mohou používat jak studenti prezenční, tak
kombinované formy studia, že z nich mohou studovat samostatně a dobu studia mohou
přizpůsobit jak svým pracovním povinnostem a časovým možnostem, tak i svým
znalostem. Přesně vědí, co je učivo základní, co rozšiřující a naleznou zde vzorově
vyřešené všechny dílčí úlohy, které musí během semestru vypracovat a odevzdat.
Nevýhodou je, stejně jako u předchozích návodů, obrovská časová náročnost na jejich
tvorbu a to, že je možné je vypracovat až po několikaleté výuce, aby bylo možno
předvídat reakce studujících a jejich dotazy, upozorňovat na nejčastější chyby, kterých
se dopouštějí, varovat před ukvapenými závěry, doporučit vhodné tipy a zařadit
adekvátní úkoly a autotesty. I když tento učební text mají studující k dispozici teprve
jeden semestr, tak máme velice kladné ohlasy a často slyšíme „ano, to již vím kde je, to
si najdu“, což svědčí o tom, že text opravdu využívají. Také jsme zaznamenali vyšší
úspěšnost při odevzdávání dílčích úloh, což je velice potěšující a také jeden z hlavních
důvodů, proč byla tato skripta vytvářena. Tím nejhlavnějším samozřejmě byl fakt, že
v garantované třetinové hodinové dotaci není možné adekvátně studující kombinované
formy studia seznámit ani se základním učivem předmětu Počítačová cvičení
z matematiky a studující by tak museli své úlohy mnohokrát přepracovávat.
Mezi programy můžeme zařadit nejen komerční programy, které se ve výuce, a to
nejen matematiky, používají, ale i programy speciálně vytvořené vyučujícími, které
usnadňují řešení konkrétních úkolů. Na naší fakultě mezi běžně používané programy
patří Word (pro psaní protokolů, semestrálních, seminárních, bakalářských a
82
diplomových prací), Excel (pro zpracování naměřených dat), Power Point (pro
vytváření prezentací), ChemSketch (pro tvorbu chemických vzorců), Adobe Acrobat
(pro vytvoření formátu vhodného pro tisk prací) a MATLAB (pro matematické výpočty
jak symbolické, tak numerické). Studenti v matematice a v počítačových cvičeních
z matematiky běžně pracují s programy Word a MATLAB. Navíc mají k dispozici přes
400 m-souborů, které jim pomáhají zobrazovat kvadratické plochy, kuželosečky,
hranatá tělesa, vytvářet cykly, popisovat grafy atd. Studenti se s těmito m-soubory
průběžně seznamují během semestru a mají je k dispozici na každé vyučující hodině.
Navíc jsou podrobně okomentovány ve výše zmíněných skriptech „MATLAB Počítačová cvičení z matematiky“, kde také naleznou v rejstříku jejich přehled se
stručným popisem i rejstřík jednotlivých použitých příkazů MATLABu se stručným
popisem a m-souborem, kde je příkaz vzorově použit. Studenti s těmito programy běžně
pracují a využívají je nejen při vypracovávání svých dílčích úloh a semestrální práce,
ale i při psaní tzv. vědomostního testu. Když studujícím bylo nabídnuto vykonat tento
test v jiné učebně, ve které by tyto m-soubory neměli k dispozici, tak tuto možnost
jednomyslně zamítli. Mezi největší výhody těchto m-souborů beze sporu patří to, že
studující si nemusí pamatovat přesnou syntaxi příkazů a některé matematické vzorce.
Nevýhodou je, že na to mnohdy spoléhají a pak chybují.
Závěr
S radikálním omezením přímých kontaktních hodin v kombinované formě studia se
využívání e-learningu, e-mailu a specifických učebních textů stalo přímo nezbytností.
Na fakultě využíváme ve výuce matematiky a v počítačových cvičeních z matematiky
jak klasické statické učební texty, tak i texty dynamické, specifické a programy. Při
vypracovávání individuálně zadávaného průběhu funkce studující nejvíce oceňují tzv.
návod „Jak vypracovat průběh funkce“, který byl zařazen mezi dynamický učební text.
Při řešení jednotlivých dílčích úloh do Počítačových cvičení nejvíce oceňují výše
uvedená skripta, která jsou zařazena pod specifickým učebním textem. Pokud se učí na
písemnou část zkoušky z matematiky, tak nejvíce oceňují řešená cvičení, která jsou
zařazena pod statické učební texty a snad nejvíce oceňují m-soubory, které využívají jak
pro vypracování své individuálně zadané semestrální práce, tak i ve vědomostním testu
a jsou samozřejmě zařazeny mezi programy.
Studující kombinované formy studia by velice přivítali podobný specifický učební
text, pomocí kterého by si ještě před začátkem zimního semestru mohli zopakovat
požadované učivo střední školy. Mnoho věci zapomněli a nestačí si v průběhu zimního
semestru současně doplnit učivo staré a naučit nové.
Literatura
[1] POLCEROVÁ M.: MATLAB Počítačová cvičení z matematiky, Vysoké učení
technické v Brně, Fakulta chemická, Brno 2010, ISBN 978-80-211-4236-8
[2] POLCEROVÁ M., BAYER J.: Analytická geometrie v příkladech, Vysoké učení
technické v Brně, Fakulta chemická, Brno 2004, ISBN 80-214-1793-5
[3] EGER L., BARTOŇKOVÁ H.: Studijní texty v distančním vzdělávání, Univerzita
Olomouc, Olomouc 2003
83
POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ
LAPAROSKOPICKÝCH A OTEVŘENÝCH
OPERACÍ KOLOREKTA
Marcela Rabasová
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava
Tř. 17.listopadu 15, 708 33, Ostrava-Poruba
[email protected]
Abstrakt:
Cílem této studie bylo porovnat výsledky dvou typů operačních technik, používaných
při operacích tlustého střeva a konečníku, z hlediska střednědobého přežívání.
Zdrojovými daty pro tuto práci byly údaje o pacientech, kteří v letech 2001-2009
podstoupili kolorektální operaci ve Fakultní nemocnici Ostrava. Problém byl řešen
pomocí Kaplan-Meierova odhadu křivky přežití.
Abstract:
The main aim of this study was to compare results of two operation techniques that are
used in colorectal surgery with the view of mid-term survival. The source data file
contains information about patients who underwent colorectal surgery in 2001-2009 at
the Faculty Hospital Ostrava. The problem was solved by the Kaplan-Meier survival
curve.
1. Formulace problému
Kolorektální chirurgie je podobor chirurgie zabývající se chorobami tlustého střeva a
konečníku. Významnou část těchto onemocnění tvoří kolorektální karcinom (v
analyzovaném souboru je jeho podíl 82%), jen menší část zaujímají benigní
onemocnění.
Chirurgické zákroky v oblasti kolorekta se provádí dvěma způsoby - otevřeně nebo
laparoskopicky. U laparoskopických výkonů nedochází k otevření břišní dutiny
klasickým řezem, jen několika otvory se pomocí trokarů do dutiny břišní zavedou
nástroje, zdroj světla a kamera spojená s televizní obrazovkou a videem. Operatér
sleduje televizní obrazovku a pomocí nástrojů, které ovládá mimo břišní dutinu, provádí
příslušný výkon. Dokonalý peroperační přehled v dutině břišní je zajištěn jejím umělým
naplněním oxidem uhličitým (tzv. kapnoperitoneem). Plyn zaváděný insuflátorem
nadzvedává břišní stěnu a vytváří místo pro volný pohyb laparoskopických nástrojů.
Obecně je miniinvazivní chirurgie spojována s menším operačním stresem a
příznivějším pooperačním průběhem, což v praxi znamená nižší spotřebu analgetik,
rychlejší rekonvalescenci a kratší dobu hospitalizace a tím i nižší finanční náklady ve
srovnání s otevřenou chirurgií. Velkou předností laparoskopických operací je dokonalý
peroperační přehled docílený kamerou zavedenou do dutiny břišní.
Na druhé straně existuje celá řada negativních faktorů, které s sebou použití
laparoskopických technik přináší. Jsou to například možné komplikace při zakládání
kapnoperitonea a zavádění prvního trokaru, kdy existuje riziko poranění velkých cév a
84
1
dutých orgánů, rizika kaponperitonea samotného nebo vliv extrémního polohování
pacientů u některých typů operačních výkonů. Některé studie rovněž uvádí delší
operační časy laparoskopických operací ve srovnání s operacemi otevřenými, což je sice
významný rizikový faktor, nicméně v žádné z těchto studií nebyla u těchto operací
prokázána významně vyšší morbidita (výskyt komplikací) nebo mortalita (úmrtnost) než
u operací otevřených.
Je tedy snahou vybrat pro konkrétního pacienta podstupujícího operaci v oblasti
kolorekta tu nejvhodnější operační metodu. K tomuto rozhodování může napomoci
mimo jiné i srovnání výsledků a úspěšnosti jednotlivých operačních technik v minulosti,
což je právě cílem této studie.
2. Použitá statistická metoda
2.1. Křivka přežití
V reálných situacích nás často zajímá doba výskytu určité události. Touto událostí
může být například úmrtí pacienta. Zajímat nás pak může podíl pacientů, kteří přežijí
aspoň jeden měsíc, aspoň dva měsíce atd. Tuto informaci můžeme získat z takzvané
funkce přežití S (t ) definované vztahem
S (t ) = P(T > t ) ,
kde T je náhodná veličina určující dobu přežití. Hodnota této funkce v bodě t tedy
určuje pravděpodobnost, že pacient bude žít déle než do okamžiku t.
Navzdory svému názvu se funkce přežití užívá i v případech, kdy očekávanou událostí
není zrovna úmrtí, může jí být například recidiva onemocnění nebo čas, kdy začne
účinkovat aplikovaný lék. Své uplatnění však nenachází jen v medicíně, ale také
v průmyslu, kde může demonstrovat poruchovost zařízení nebo jejich součástek, a
v mnoha dalších odvětvích lidské činnosti.
Odhad křivky přežití se provádí na základě studie, ve které se u pozorovaných
jednotek (v našem případě pacientů) zaznamenávají časy výskytů zkoumané události (v
našem případě úmrtí). Téměř vždy se ale ve studii najdou „problémoví“ pacienti, kteří
se buď rozhodnou studii opustit před jejím ukončením (víme např., že přežili tři měsíce,
pak s nimi ale ztratíme kontakt), nebo naopak v době, kdy studie končí, oni ještě žijí.
Tyto pacienty ale nechceme ze studie vyřadit, protože i oni přináší o zkoumané události
cennou informaci. Jestliže tedy u ostatních pacientů máme k dispozici dobu úmrtí, u
těchto pacientů zaznamenáme dobu, kdy se ztratili ze sledování nebo byli vyjmuti ze
studie, a tato pozorování označíme jako cenzorovaná.
2.2. Kaplan-Meierův odhad křivky přežití
Pro výpočet odhadu křivky přežití se užívá tzv. Kaplan-Meierova metoda ([1]). Pro její
odvození zaveďme následující označení:
t1 < t2 < t3 < ... - cenzorované i necenzorované doby výskytů události,
t0 = 0
- začátek studie,
- konec studie,
tk
di
- počet necenzorovaných výskytů události v čase ti, i = 0, ..., k
ci
- počet cenzorovaných výskytů události v čase ti, i = 0, ..., k
ni
- počet objektů setrvávajících ve studii v čase t ∈ (ti −1 , ti ) , i = 1, ..., k
- počet objektů na začátku studie.
n0
85
2
Zřejmě platí, že
d0 = 0,
c0 = 0,
ni = ni-1 - di-1 - ci-1.
Nechť náhodná veličina T určuje dobu do výskytu události. Je-li sledovanou událostí
úmrtí, pak výraz P (T > ti ) , jehož hodnota nás zajímá, představuje pravděpodobnost
přežití časového okamžiku ti. Tu lze vyjádřit pomocí podmíněné pravděpodobnosti jako
P(T > ti ) = P (T > ti | T > ti −1 ) × P (T > ti −1 ) .
Přepíšeme-li podle stejného pravidla i P (T > ti −1 ) , dostáváme
P (T > ti ) = P (T > ti | T > ti −1 ) × P (T > ti −1 | T > ti −2 ) × P (T > ti −2 )
a analogicky můžeme pokračovat až do obdržení vztahu
(1)
P(T > ti ) = P (T > ti | T > ti −1 ) × P (T > ti −1 | T > ti −2 ) × ... × P (T > t 0 ) ,
s jehož pomocí již vypočteme pravděpodobnost P (T > ti ) snadno, neboť
d
P(T > ti | T > ti −1 ) = 1 − i , ∀i = 0, ..., k
ni
a P (T > t 0 ) = 1 , jelikož pacienty, kteří jsou v čase t0 již po smrti, do studie samozřejmě
nezařazujeme. Vztah (1) tedy můžeme zapsat jako
i ⎛
d ⎞
P (T > ti ) = ∏ ⎜1 − j ⎟ , ∀i = 1, ..., k .
⎜ n ⎟
j =1 ⎝
j ⎠
Kaplan-Meierova křivka přežití má pak typický schodový graf, jelikož v každém
intervalu (ti , ti+1 ) , i = 0, ..., k − 1 , má konstantní průběh s hodnotou P (T > ti ) . Z grafu
lze tedy vyčíst pravděpodobnost přežití v každém časovém okamžiku t ∈ t0 , t k .
Chceme-li porovnat dvě skupiny pacientů podrobujících se dvěma různým léčebným
metodám z hlediska přežití, můžeme k tomu použít křivky přežití sestrojené pro obě
skupiny. Větší mezery mezi křivkami ve vertikálním směru pak znamenají, že pro daný
časový okamžik má jedna skupina výrazně větší podíl přeživších pacientů než druhá.
Bude-li křivka příslušná první skupině ležet téměř celá nad druhou, lze předpokládat, že
první léčebná metoda přináší z hlediska přežívání lepší výsledky. Je-li tento rozdíl
statisticky významný lze ověřit pomocí Mantel-Coxova testu, někdy též nazývaného
log-rank test ([2]), nebo zobecněného Wilcoxonova testu, známého pod názvem
Breslowův test ([3]).
3. Analýza dat
3.1. Popis analyzovaného souboru
Zdrojovými daty pro tuto studii byly údaje o 1177 pacientech chirurgického oddělení
Fakultní nemocnice Ostrava, kteří zde v letech 2001-2009 podstoupili operaci v oblasti
tlustého střeva a konečníku. Nejčastějším důvodem operace byl karcinom, který se
vyskytoval u 82% případů. Operováno bylo 689 mužů a 488 žen ve věkovém rozmezí
18-97 let, 526 operací bylo provedeno otevřenou metodou, 651 laparoskopicky. Cílem
studie bylo porovnat výsledky obou operačních technik z hlediska střednědobého
přežívání pacientů.
86
3
Z monitorovaných údajů byly pro naši studii podstatné: datum operace, datum
poslední kontroly a informace, zda pacient zemřel či nikoliv. Pacienti, u nichž některý
z těchto údajů chyběl, nemohli být do studie zařazeni. Z celkového počtu 1177
pozorování tak bylo použito jen 931, z nichž 406 odpovídalo otevřeným a 525
laparoskopickým operacím.
3.2. Výsledky analýzy
Ze vstupních dat zadaných v excelovském soboru bylo nejprve vyčleněno zmíněných
931 pacientů s kompletními údaji, ze kterých byla u každého pacienta vypočtena a
zaznamenána délka přežití od operace (ve dnech) a rovněž informace o tom, zda je tento
údaj cenzorovaný či nikoliv. K dalším výpočtům byl již použit statistický software
SPSS verze 18 (PASW Statistics 18).
V Tabulce 1 vidíme počty pacientů operovaných otevřeně (406) a laparoskopicky
(525) a také počty a procenta cenzorovaných údajů v jednotlivých skupinách.
Case Processing Summary
typ operace
Censored
(laparoskopie=1)
Total N N of Events
N
Percent
0
406
205
201
49,5%
1
525
175
350
66,7%
Overall
931
380
551
59,2%
Tab.1
V Tabulce 2 jsou uvedeny mediány a střední hodnoty doby přežití u obou skupin. Již
zde je patrné, že pacienti operovaní laparoskopicky přežívají déle (průměrně 1855 dní
od operace) než pacienti operovaní otevřeně (průměrně 1612 dní). Ještě markantnějšího
rozdílu si můžeme všimnout u mediánů obou skupin, jejichž hodnoty jsou 1302 (dní) u
otevřených a 1822 (dní) u laparoskopických operací.
typ
operace
(laparoskopie=
1)
Estimate
Means and Medians for Survival Time
Meana
Median
95% Confidence
95% Confidence
Interval
Interval
Std.
Std.
Lower
Upper
Lower
Upper
Error
Estimate
Error
Bound
Bound
Bound
Bound
0
1611,968
73,878 1467,166 1756,769 1302,000
1
1854,576
74,035 1709,467 1999,684 1822,000
Overall 1762,740
54,516 1655,889 1869,592 1427,000
a. Estimation is limited to the largest survival time if it is censored.
101,232
250,262
117,482
1103,585
1331,487
1196,736
1500,415
2312,513
1657,264
Tab.2
Ještě jasnější představu o dobách přežívání pacientů obou skupin získáme z optického
porovnání jejich křivek přežití, viz. Graf 1. Jelikož křivka přežití pro skupinu 1 laparoskopie, leží výrazně nad křivkou přežití pro skupinu 0 - otevřené operace,
můžeme konstatovat, že laparoskopické operace v oblasti kolorekta dosahují z hlediska
střednědobého přežívání mnohem lepších výsledků než operace otevřené. Že je rozdíl
mezi nimi opravdu významný, bylo potvrzeno jak Mantel-Coxovým tak Breslowovým
testem, jejichž výsledky můžeme najít v Tabulce 3.
87
4
Obr.1
Overall Comparisons
Chidf
Sig.
Square
Log Rank (Mantel-Cox)
8,015
1
,005
Breslow (Generalized Wilcoxon)
5,558
1
,018
Test of equality of survival distributions for the different
levels of typ operace.
Tab.3
4. Závěr
Pomocí Kaplan-Meierových křivek přežití byly porovnány výsledky otevřených a
laparoskopických operací kolorekta prováděných v letech 2001-2009 ve Fakultní
nemocnici Ostrava. Bylo zjištěno, že z hlediska střednědobého přežívání dosahují
laparoskopické operace statisticky významně lepších výsledků než operace otevřené.
Literatura:
[1] Hosmer D., Lemeshow, S.: Applied Survival Analysis (2nd Edn.). Wiley series in
probability and statistics, 2008; ISBN 978-0-471-75499-2.
[2] Kalbfleisch, J.D., Prentice, R.L.: The Statistical Analysis of Failure Time Data.
John Wiley & Sons, Inc.1980, ISBN 0-471-05519-0.
[3] Breslow, N.E.: Covariance analysis of censored survival data. Biometrics, 1974;
30: 89-99.
88
5
SENSITIVITY ANALYSIS FOR
PLUNGER CAVITY
Petr Salač
Department of mathematics and didactic of mathematics, TU of Liberec
Studentská 2, 461 17 Liberec 1
E-mail: [email protected]
Abstract: The article steps from [3], where we changed plunger cavity surface to
optimize temperature distribution along working outward surface of the plunger. In
this work we present sensitivity analysis results for this problem based on homeomorphism of heat transfer. We introduce numerical approximations of curve integrals
representing heat flux to give approximate value of shift and convenient direction of
moving cavity boundary points.
INTRODUCTION
Aim of this problem of shape optimization is to achieve optimal constant distribution
of temperature on the working outward surface of the plunger. If this surface is too
hot or too cold, then glass production of less quality is made.
Formulation of the problem
We denote
0
for x ∈ [0, xe2 ]
e
F2 (x) =
e
f2 (x) for x ∈ [xe2 , 1]
,
(1)
where xe2 ∈ [smin , 1], (smin > 0 is fixed constant given by the minimal thickness of the
plunger wall), f2e ∈ C (0),1 ([xe2 , 1]), f2 (xe2 ) = 0 and 0 < f2e (x) < f1 (x) for x ∈]xe2 , 1],
where f1 is fixed given increasing function, which represents outward shape of the
plunger.
Further we define the set of admissible functions as
e
Uad
= { F2e (x) ∈ C (0),1) ([0, 1]) ; (i. e. Lipschitz functions), defined in (1)} ,
where the function F2e represents inner shape of the plunger.
We assume the region Ωe , which depends on design function F2e (x) defined by
the formula
Ωe = {(x, r) ∈ R2 ; F2e (x) < r < f1 (x), 0 ≤ F2e (x) < f1 (x) for x ∈ [0, 1]} .
Denote Θ the set of all admissible regions Ωe ⊂ R2 with Lipschitz boundaries.
We define convergence on the set Θ.
We say that the sequence Ωne ∈ Θ converges to region Ωe ∈ Θ if, and only if, the
sequence of functions nF2e(x) converges uniformly to the function F2e (x) in [0,1].
89
We will solve the problem of stationary heat conduction in the system mould,
glass, plunger and canal of plunger.
We consider the union of four planar regions ΩS = Ωe ∪ Ω1 ∪ Ωe2 ∪ Ω3 , where
Ω1 , Ω3 represent glass moulded piece and mould, the region Ωe2 represents cooling
canal inside of modified plunger and Ωe represents modified plunger.
Γ7
Ω3
Γ6
Γ3
Γ1
Ωe
Ω1
Γe2
Ωe2
Γ5
Γ9
Γ8
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Γ4
Figure 1: Scheme of the system mould, glass piece, plunger, canal of plunger and
supply tube.
We denote by Γ1 external boundary of plunger Ωe surrounded by glass Ω1 and
boundary of plunger Ωe with cooling cavity Ωe2 . Further we denote Γ3 part of
boundary connecting mould, glass piece and plunger with presser and we extend
denotation Γ4 to axis of symmetry (see figure 1). Further we denote Γ5 part of
boundary formed by the tube feeder cooling water into cooling canal of the plunger,
Γ6 part of boundary between glass Ω1 and mould Ω3 , Γ7 outward boundary of mould,
which is surrounded by external environment, Γ8 part of boundary, where water is
coming to the cooling cavity Ωe2 and Γ9 part of boundary, where water is living.
Γe2
In the three dimensional region Ge2 , which is created by rotation of Ωe2 around x axis,
we assume axisymmetric planar stationary flow of water in planes involving x axis.
Velocity field of flowing water u = (u1 , u2 .u3 ) is given as a solution of the system of
Navier-Stokes equations (see [2])
u gradu −
1
µ
∆u = f − gradp ,
̺
̺
(2)
where f = (f1 , f2 , f3 ) is density of body forces, µ dynamic viscosity, ̺ density and p
pressure of flowing water and the continuity equation for incompressible liquid (see
[2]) in the form
divu = 0 .
(3)
The solution satisfies the boundary conditions
3D
u=0
on Γ3D
2 ∪ Γ5 ,
u=h
on Γ3D
8 ,
u2 = u3 = 0, p = 0
on Γ3D
9 ,
(4)
(5)
(6)
3D
3D
3D
where Γ3D
2 , resp. Γ5 , resp. Γ8 , resp. Γ9 , denote parts of boundary created by
e
e
e
e
rotation of Γ2 , resp. Γ5 , resp. Γ8 , resp. Γ9 , around x axis.
90
We put this solution u∗ to variational formulation of energy equation in GS , which
is created by rotation of ΩS around x axis. It allows us to define the state problem
based on the energy equation, which has in three dimensions the form
k
1
cv gradϑ.u − ∆ϑ = 2µ|D(u)|2 + q ,
̺
̺
(7)
where cv specific heat upon constant volume, ϑ absolute temperature, k coefficient
of thermal conductivity, ̺ density of flowing liquid, µ dynamic viscosity,
1 ∂ui ∂uj
3
(8)
+
D(u) = (dij )i,j=1,
dij =
2 ∂xj
∂xi
strain velocity tensor and q density of heat sources.
We put u = 0 in Ge , G1 and G3 (regions created by rotation of Ωe , Ω1 and Ω3
around x axis) because of there is no flowing liquid inside. Further we consider
q = 0 in Ge , Ge2 and G3 (there is no heat sources inside).
We divide the notion for searched function ϑ representing distribution of temperature
in the system to the sum of four functions as
ϑ = ϑ0 + ϑ1 + ϑ2 + ϑ3 ,
where
ϑi =
ϑ|Ωi in Ωi
0
in ΩS \ Ωi
for i = 0, 1, 2, 3 ,
(9)
(Ω0 ≡ Ωe , Ω2 ≡ Ωe2 ).
Further we denote by ϑi |Γj the trace of solution ϑi on the boundary Γj for i, j if Γj
is a boundary of Ωi .
We consider axisymmetric planer stationary flow of water in planes involving x
axis. We assume the existence of unique solution u∗ = (u∗1 , u∗2 .u∗3 ) of the problem (2)
to (6). We can transform the problem (2) to (6) to cylindrical coordinates r, ϕ, z
and apply rotational symmetry to reduce the problem to two dimensions r, z. By
this way we obtain two dimensional solution w e = (w1 , w2 ) by relations
w1 = u∗1 ,
p
w2 =
(u∗2 )2 + (u∗3 )2 .
To define the state problem in cylindrical coordinates we denote
Z ∂ϑ2
∂ϑ2
velo
w1 +
w2 ψr dΩ ,
EnergyΩ (ϑ, w, ψ) = cv ̺2
∂x
∂r
Ωe2
Z ∂ϑ0 ∂ψ ∂ϑ0 ∂ψ
cond
EnergyΩ (ϑ, ψ) = k0
r dΩ +
+
∂x ∂x
∂r ∂r
Ωe
Z ∂ϑ1 ∂ψ ∂ϑ1 ∂ψ
r dΩ +
+
+ k1
∂x ∂x
∂r ∂r
Ω1
Z ∂ϑ2 ∂ψ ∂ϑ2 ∂ψ
+ k2
r dΩ +
+
∂x ∂x
∂r ∂r
Ωe2
Z ∂ϑ3 ∂ψ ∂ϑ3 ∂ψ
r dΩ ,
+
+ k3
∂x ∂x
∂r ∂r
Ω3
91
(10)
(11)
(12)
(13)
EnvironmentΩ (ϑ, ψ) =
Z
Γe2
α2 (ϑ0 |Γe2 − ϑ2 |Γe2 )ψr dΓ +
Z
α4 (ϑ3 |Γ7 − ϑ4 )ψr dΓ ,
Z
q1 ψr dΩ + 2ν̺2
SourceΩ (w, ψ) = ̺1
|D(w)|2 + w22 ψr dΩ ,
Ωe2
Ω1
Z
Z
β6 ψr dΓ .
β1 ψr dΓ +
CoeffΩ (ψ) =
+
Z
(14)
Γ7
(15)
(16)
Γ6
Γ1
We define weighted Sobolev space Hr1 (ΩS ) with norm
Z
1
∂w 2
∂w 2
+
+ w 2 ]r dΩ 2 .
[
kwk1,r,ΩS =
∂x
∂r
ΩS
(17)
We denote the set
ΩH = ΩS ∪ Γ8 ∪ Γ9 ∪ Γe2 ∪ Γ3
and
H2D = {v ∈ C ∞ (ΩH ); v|Γ8 ∪Γ9 ∪Γe2 ∪Γ3 = 0 } .
Let V02D (ΩS ) be the closer of the set H2D according to the norm k k1,r,ΩS .
To satisfy the boundary conditions for temperature we assume the existence of
function ϑeΓ ∈ Hr1 (ΩS ) such that
ϑeΓ = 288
ϑeΓ = hout
ϑeΓ = h3
on Γ8 ,
on Γ9 ,
on Γ3 ,
(18)
(19)
(20)
where h3 ∈ C(Γ3 ) is given function representing stagnation temperature on the
boundary Γ3 with presser and hout ∈ C(Γ9 ) is given function representing distribution of temperature on exit from plunger cavity Γ9 .
We use the variational formulation of energy equation to formulate
the State Problem:
We look for the function ϑ ∈ Hr1 (ΩS ) such that
cond
∗e
Energyvelo
Ω (ϑ, w , ψ) + EnergyΩ (ϑ, ψ) + EnvironmentΩ (ϑ, ψ) =
= SourceΩ (w∗e , ψ) + CoeffΩ (ψ) ∀ψ ∈ V02D (ΩS ) , (21)
ϑ − ϑeΓ ∈ V02D (ΩS ) ,
(22)
where w ∗e is associated flow pattern.
We are going to solve the problem of shape optimization of cooling cavity of plunger.
We define the cost functional in the form
J S (F2e ) = kϑΓ (F2e ) − Kk20,r,Γ1 ,
(23)
where ϑΓ (F2e ) is trace of solution ϑ(F2e ) of state problem (21), (22) in the region Ωe ,
K before chosen fixed constant corresponding to optimal temperature of plunger
surface.
92
The Optimal Design Problem for Cooling Cavity of the Plunger:
e
We look for optimal design FOpt ∈ Uad
such that
J S (FOpt ) ≤ J S (F2e )
e
∀ F2e ∈ Uad
.
(24)
Theorem 1. (existence and uniqueness of solution of the state problem)
e
The problem (21), (22) has a unique solution ϑ(F2e ) for each F2e ∈ Uad
and associated
∗e
flow pattern w .
Theorem 2. (existence of solution of the optimal design problem)
The problem (24) has at least one solution for each solution ϑ(F2e ) of the problem
(21), (22).
Sensitivity analysis
Aim of sensitivity analysis is to decide how to modify boundary of plunger cavity
to reach minimization of cost functional (24). The sensitivity analysis is based on
the homeomorphism of outward plunger boundary Γ1 on plunger cavity boundary
Γe2 representing physical foundation of heat transfer in the plunger.
Definition. (homeomorphism of heat transfer)
Homeomorphism S : Γ1 → Γe2 is called homeomorphism of heat transfer, if it
holds:
for each surroundings Γn1 ⊂ Γ1 it holds that the heat, which comes to region Ωe
through this surroundings flow away from Ωe through surroundings S(Γn1 ) ⊂ Γe2 .
Γ1
b
b
Ωe
b
b
b
Γn1
b
b
b
Γe2
b
S(Γn1 )
b
Γ5
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Figure 2: Heat fall lines determine point mapping, which defines the homeomorphism
of heat transfer.
Remark
The homeomorphism of heat transfer satisfies identity
Z
Z
∂ϑ0
∂ϑ0
dΓ = R2
dΓ ,
R1
∂n
∂n
S(Γn
Γn
1)
1
(25)
where R1 is the second coordinate of center of curve gravity Γn1 and R2 is the
second coordinate of center of gravity of image S(Γn1 ) of the curve Γn1 in case of
homeomorphism of heat transfer.
93
Theorem 3.
Let time independent density of heat sources f (x, r) be given in the region Ω1 and
let steady speed field of cooling water w with constant temperature at input Γ8 be
given in the region Ωe2 . Then unique homeomorphism of heat transfer S : Γ1 → Γe2
exists.
The condition (25) allows us to compute local amount of heat transfer in each
part Γe2 , which we need to cool down origin of this part in Γ1 as
Z
Z
∂ϑ0
R1
∂ϑ0
dΓ =
dΓ .
(26)
∂n
R2 Γn1 ∂n
S(Γn
1)
We use this fact for sensitivity analysis.
We chose division of control points A0 , A1 , . . . , Am on the boundary Γ1 and use heat
fall lines to find to these points theirs images in the homeomorphism of heat transfer
B 0 , B 1 , . . . , B m such that S(Ai ) = B i , i = 0, 1, . . . , m.
An+1
Γ1
Bn
B n+1
S(Γn1 )
Γe2
An
b
b
Ωe
b
n−1
A
b
b
Γn1
b
b
b
B
b
b
n−1
Γ5
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Figure 3: Illustration of numerical approximation of homeomorphism of heat transfer.
For the reason of numerical approximation of the problem we use approximations
s
2 2
Z
∂ϑ0 n
rAn−1 − rAn+1
xAn−1 − xAn+1
∂ϑ0
dΓ ≈
(A )
+
(27)
∂n
∂n
2
2
Γn
1
and
Z
S(Γn
1)
∂ϑ0
∂ϑ0 n
dΓ ≈
(B )
∂n
∂n
s
xBn−1 − xBn+1
2
2
+
rBn−1 − rBn+1
2
2
where An = [xAn , rAn ] and B n = [xBn , rBn ] for n = 0, 1, . . . , m.
We put them to (26) and get relation
r
2 2
xAn−1 −xAn+1
rAn−1 −rAn+1
rA n
+
2
2
∂ϑ0 n
∂ϑ0 n
r
(B ) =
(A ) .
2
2 ∂n
∂n
xBn−1 −xBn+1
rBn−1 −rBn+1
+
rB n
2
2
,
(28)
(29)
0
(An ) amount of heat, which we need transport from
We put to (29) instead of ∂ϑ
∂n
the boundary Γ1 in the surroundings of the point An . We get amount of heat, which
94
we have to take away from surroundings of the point B n of the boundary Γe2 to get
"convenient" cooling. We compare this amount of heat with really conduct away
amount, which is set down from the solution of problem (21) - (22).
If local amount of heat, which we need to get "convenient" cooling, is higher than
really conducted away amount locally from the point B n , then we move the point
B n to the region Ωe (plunger) in the direction of temperature fall line, if it is lower,
then we move the point B n to the region Ωe2 (plunger cavity) in the same direction.
We compute the magnitude of shift of the point B n in the direction of vector
v~n = An − B n from the formula
ϑ0 (An ) − K
P os = ∂ϑ0 n
,
(B )
∂n
(30)
where ϑ0 denotes solution of state problem (21) - (22) and K temperature, which the
plunger surface is optimized on. Positive value of P os means shift in the direction
of vector v~n , i. e. to the region Ωe (plunger) and negative value of P os shift in the
direction of vector −v~n , i. e. to the region Ωe2 (plunger cavity).
Acknowledgement
This work was supported by the Research plan No. MSM 4674788501 funded by
Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic.
References
[1] Kufner, A.: Weighted Sobolev spaces. John Wiley & Sons, New York, 1985. ISBN
0471 90367 1.
[2] Pironneau, O.: Finite Element Methods for Fluids. John Wiley & Sons, New
York, 1989. ISBN 0 471 92255 2 (Wiley), ISBN 2 225 81863 0 (Masson).
[3] Salač, P.: Problem of shape optimization of cooling canal of the plunger in glass
forming. Sborník z 17. semináře, Moderní matematické metody v inženýrství,
Dolní Lomná, 2008. ISBN 978-80-248-1871-9.
95
NÁVRH MODELU ÚDRŽBY DYNAMICKÉHO
SYSTÉMU S VYUŽITÍM PETRIHO SÍTÍ
Petra Schreiberová
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava
17. listopadu, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail : [email protected]
Abstrakt: Cílem příspěvku je představení nástroje Petriho sítí k modelování
dynamického chování systému s opravitelnými komponentami. Navrhla jsem dva
způsoby řešení údržby - po poruše a preventivní údržbu. K vytvoření modelů údržby
jsem využila Petriho sítí a vytvořené sítě jsem postupně zakomponovala již do
vytvořeného PN-modelu systému s neopravitelnými komponentami a použila jako
vstupní schéma do simulací, pomocí kterých jsem určila spolehlivost opravitelného
systému. Na základě zjištěných hodnot distribučních funkcí jsem posoudila klady
a zápory obou způsobů řešení návrhu údržby.
Abstract: This article aims to present Petri nets tools for modeling of dynamical
behavior for systems with repairable components. I proposed two approaches for
solution of maintenance - "after the failure" and "preemptive maintenance". The used
models were created using Petri nets and the nets I created were composed into an
existing PN-model system with unrepairable components. This model was then used as
an input schema for the simulations I used to determine the reliability of the repairable
system. Based on values received from distribution functions I compared positives and
negatives of both solutions for maintenance.
1 Úvod
Většina průmyslových systémů je dynamických, a proto otázka spolehlivosti
takovýchto systémů je velmi důležitá. V dnešní době, kdy je důležité přemýšlet i nad
ekonomickou stránkou věci, je nutné se zamyslet, jak efektivně a s nízkými náklady
navrhnout typ údržby a opravy technických systémů. Podle požadavků na údržbu
systému rozlišujeme více typů údržby - po poruše, preventivní a prediktivní. Jednou z
možností, jak simulovat vliv údržby na spolehlivost systému je vytvoření modelu
daného systému s navrhovaným typem údržby a výpočet spolehlivosti. Jelikož u
dynamického chování nelze oddělit fyzikální chování od pravděpodobnostního, je
většina známých metod nevhodná. Jednou z možností je využití nástroje stochastických
Petriho sítí, které toto modelovat umožňují.
96
2 Petriho sítě
Petriho sítě jsou grafický nástroj pro formální popis systému. Spojují pojem
stavu a pravidla pro změnu stavu tak, že jim umožňují zachytit statické a zároveň
dynamické charakteristiky systému.
Petriho síť je orientovaný bipartitní graf. Má dva typy uzlů - přechody a místa,
které jsou propojeny hranami. Tyto objekty definují strukturu sítě. Místa využíváme pro
popis stavů systému. Přechody definují události, které mohou modifikovat stav systému
a hrany specifikují vztah mezi stavy a událostmi. Dalším důležitým prvkem je token.
Tokeny jsou značky v místech a slouží ke specifikaci stavu sítě. Teorii o Petriho sítích
je možno nalézt např. v Reisig, 1985, Češka, 1994.
Zobecněná stochastická Petriho síť (GSPN) je rozšířením Petriho sítě obsahující
také časované přechody, jejichž čas provedení je určen náhodnou veličinou (Balbo,
1987), tzn. že časový a logický vývoj systému lze popsat jedním modelem.
3 Popis systému
Zkoumaným systémem je benchmark převzatý z literatury (Marseguerra, Zio,
1996). Konkrétně se jedná o přepouštěcí nádrž, která je široce užívaná v systémech
různých průmyslových odvětví.
Zkoumaný opravitelný systém (Obr.1) je složen z nádrže s kapalinou, dvou
pump (hlavní -P1 a rezervní -P2), které slouží k plnění nádrže a ventilu (V). Dále je
součástí systému kontrolér monitorující výšku hladiny (h), která je procesní proměnnou
systému, a působící na komponenty systému. Jedná se tedy o dynamický systém s
jednou procesní proměnnou.
Obr.1. Schéma systému
Každá z komponent může být ve stavu ON, OFF a STUCK. Pravděpodobnost
výskytu poruchy komponent se řídí podle exponenciálního rozdělení s intenzitami
poruch: λ1=0,00457 (P1), λ2=0,005714 (P2) a λ3=0,003125 (V). Může dojít ke dvěma
nechtěným stavům: vysušení (h<4m) a přetečení (h>10m). K selhání celého systému
dojde v případě výskytu alespoň jedné nechtěné události.
Výška hladiny h v nádrži se musí pohybovat mezi hodnotami (h0-1) a (h0+1) –
tzn. korektní činnost systému, kde h0 = 7 metrů je úroveň hladiny v t=0 (tato situace je
řízena podle pravidel v Tab.1).
výška
h ≤ h0-1
h ≥ h0-1
P1
P2
ON
ON
OFF
OFF
Tab.1 Řídící pravidla
97
V
OFF
ON
Korektní činnost systému je řízena právě použitím hardwarových komponent. Příčinou
kolísání teploty je výskyt poruchy jedné z komponent.
4 Návrh údržby
Po analýze systému jsem se rozhodla navrhnout a porovnat dva typy údržby.
První způsob bude spočívat v návrhu opravy po poruše a druhým návrhem bude
preventivní údržba.
4.1 Údržba po poruše
Návrh opravy po poruše spočívá v tom, že k opravě dojde až v situaci, kdy se
jedna z komponent porouchá. Model opravy bude vytvořen pomocí Petriho sítí a
zakomponován do již vytvořeného modelu systému s neopravitelnými komponentami.
Pro tvorbu modelu opravy je nutno přidat novou komponentu "controller" (místo
22 v modelu), která detekuje možnou poruchu komponenty systému pozorováním
změny výšky hladiny. Pokud se výška nenachází v korektní oblasti předpokládá, že
došlo k poruše a spustí proces opravy.
Obr.2. GSPN pro opravu po poruše
Na Obr.2 je GSPN-model pro údržbu po poruše. V případě podezření z přetečení
(je uschopněn přechod start_pump a v místě controller se objeví token) se spustí oprava
porouchané komponenty (v případě hlavní pumpy bude označeno místo P1_s a
P1_stuck). Doba trvání opravy je pro všechny tři komponenty totožná. Po opravě přejde
komponenta do stavu OFF (místo P1_off bude označeno). Analogicky v případě
poruchy rezervní pumpy či ventilu.
4.2 Preventivní údržba
Druhou alternativou je návrh preventivní údržby (Obr.3). Spočívá v tom, že
komponenta "controller" periodicky po určité době (intenzita obnovy) kontroluje, zda je
některá z komponent porouchaná. K tomuto bylo použito tří stochastických přechodů
(p1_s, p2_s a v_s). Jakmile zjistí, že je některá z komponent nefunkční (místo P1_s,
P2_s nebo V_s je označeno), spustí proces opravy (doba opravy je stejná jako u opravy
po poruše).
98
Obr.3. GSPN-model preventivní údržby
5 Simulace a porovnání výsledků
Vytvořené PN-modely opravitelného systému byly využity jako vstupní
schémata do simulací. Cílem simulací bylo určení distribuční funkce (cdf) pro obě
uvažované události vedoucí k poruše systému. Určit hodnoty cdf znamenalo spočítat
pravděpodobnost výskytu tokenu v místě PNs charakterizující daný stav. Výsledky byly
určeny pro simulační čas v rozpětí 0-1000 h.
cdf preventivní údržba
0,1
0,09
0,08
0,07
cdf
0,06
vysušení
0,05
0,04
přetečení
0,03
0,02
0,01
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000
t
Obr. 4. vývoj cdf pro systém s preventivní údržbou
cdf po poruše
0,6
0,5
cdf
0,4
vysušení
0,3
přetečení
0,2
0,1
90
0
10
00
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
30
0
20
0
10
0
0
t
Obr. 5. vývoj cdf pro systém s údržbou po poruše
99
6 Závěr
Důležitou úlohou v teorii spolehlivosti je problém údržby. Tento problém jsem
úspěšně vyřešila a namodelovala dvěma přístupy. Po porovnání výsledků jsem zjistila,
že pro spolehlivost systému je vhodnější využití preventivní údržby. Pravděpodobnost
poruchy systému se snížila na minimum, jelikož se poruše předejde. Nevýhodou ale je,
že musíme počítat se značnými náklady na plánované opravy. Výhodou údržby po
poruše je ta, že vyžaduje malé náklady během provozu. Nevýhodou je časová ztráta, a
tím i ztráta zisku během výpadku systému.
Pro ověření správnosti vytvořeného modelu jsem porovnala výsledky s výsledky
dosaženými jiným přístupem (např. Barevné Petriho sítě - Škňouřilová, Briš,2006).
Literatura
[1] REISIG, W.: Petri Nets, An Introduction. Springer Verlag. 1985.
[2] ČEŠKA, M.: Petriho sítě. Akad.nakl. CERM, Brno 1994.
[3]
BALBO, G. et al.: Generalized stochastic petri nets for the performance evaluation
of fms. Proc. Int.Conf. on Robotics and Automation. 1987, s.1013-1018.
[4]
MARSEQUERRA, M., ZIO, E.: Monte Carlo approach to PSA for dynamic
process systems. Reliability Eng. and System Safety. 1996, vol.52, s.299-310.
[5]
ŠKŇOUŘILOVÁ, P., BRIŠ, R.: Using Colored Petri Nets to solve a dynamic
reliability problem with two process variables. ESREL 2006, s.173-179.
100
NEHOLONOMN´I MECHANIKA1
Dana Smetanov´
a† , Jana Voln´
a‡ , Petr Voln´
y♯
†
Katedra algebry a geometrie, Univerzita Palack´
eho
17. listopadu 12, 771 46 Olomouc
E-mail: [email protected]
‡´
Ustav matematiky, Univerzita Tom´
aˇ
se Bati
Nad Str´
anˇ
emi 4511, 760 05 Zl´ın
E-mail: [email protected]
♯
ˇ
Katedra matematiky a deskriptivn´ı geometrie, VSB-TU
Ostrava
17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail: [email protected]
Abstrakt: V pˇr´ıspˇevku prezentujeme u
´vod do geometrick´e teorie mechanick´
ych
syst´em˚
u podroben´
ych neholonomn´ım vazb´am.
Abstract: An introduction to the geometrical theory of mechanical systems subject
to nonholonomic constraints is presented.
´
1. Uvod
Poˇc´atky variaˇcn´ıho poˇctu m˚
uˇzeme vysledovat do druh´e poloviny 19. stolet´ı v pracech
Eulera a Lagrange [9]. V souvislosti s neholonomn´ımi vazbami se ve 30. letech
minul´eho stolet´ı objevila pr´ace Chetaeva [2]. Bylo zn´amo, ˇze pro holonomn´ı vazby
(omezuj´ıc´ı podm´ınky reprezentovan´e funkcemi z´avisej´ıc´ımi pouze na ˇcase a prostorov´
ych souˇradnic´ıch)
i
∂f
i
1
m
f (t, q , . . . , q ) = 0, 1 ≤ i ≤ k, rank
= k,
(1)
∂q σ
je dynamika mechanick´eho syst´emu s lagrangi´anem L podroben´eho tˇemto vazb´am
pops´ana n´asleduj´ıc´ım syst´emem pohybov´
ych rovnic
f i = 0,
∂L
d ∂L
−
= λi gradf i .
σ
∂q
dt ∂ q˙σ
(2)
1
Prvn´ı autorka dˇekuje za podporu v´
yzkumn´emu z´
amˇeru MSM 6198959214. Vˇsichni autoˇri dˇekuj´ı
ˇ 201/09/0981 a sv´
za podporu grantu GACR
ych pracoviˇst’.
101
Chetaev [2] zobecnil tento pˇr´ıstup pro syst´em neholonomn´ıch vazeb s vyuˇzit´ım tzv.
lagrangeov´
ych multiplik´ator˚
u, neholonomn´ı vazby jsou reprezentov´any funkcemi, ve
kter´
ych nav´ıc naskoˇc´ı z´avislost na rychlostech,
i
∂f
i
1
m 1
m
= k,
(3)
f (t, q , . . . , q , q˙ , . . . , q˙ ) = 0, 1 ≤ i ≤ k, rank
∂ q˙σ
pohybov´e rovnice maj´ı tvar
f i = 0,
d ∂L
∂f i
∂L
−
=
λ
.
i
∂q σ dt ∂ q˙σ
∂ q˙σ
(4)
Rovnice (4) naz´
yv´ame deformovan´e rovnice, λi jsou lagrangeovy multiplik´
atory. Geometrick´
y pˇr´ıstup k problematice neholonomn´ıch vazeb je zaloˇzen na faktu, ˇze vazby
generuj´ı jistou podvarietu, tzv. vazebnou podvarietu. Mechanick´
y syst´em je ch´ap´an
jako tˇr´ıda diferenci´aln´ıch forem [5]. Pro detailnˇejˇs´ı pˇrehled literatury odkazujeme na
[3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11].
2. Jetov´
a struktura
Fibrovan´e variety a jejich jetov´a prodlouˇzen´ı umoˇzn
ˇuj´ı efektivnˇe studovat a modelovat mechanick´e syst´emy podroben´e neholonomn´ım vazb´am. Prezentujeme struˇcn´
y
u
´vod do t´eto problematiky.
Surjektivn´ı submerzi π : Y → X naz´
yv´ame fibrovanou varietou s b´az´ı X,
dim X = 1, a konfiguraˇcn´ım prostorem Y , dim Y = m + 1, zobrazen´ı π je lok´alnˇe
projekce. Souˇradnice na varietˇe X oznaˇcujeme ϕ = (t), na varietˇe Y ψ = (t, q σ ),
1 ≤ q ≤ m. Mnoˇzina π −1 (t) se naz´
yv´a fibr nad bodem t.
S1 × R
π −1 (t)
M2
π −1 (t)
π −1 (t)
t
π
S1
π
S1
R
π
t
t
Obr´azek 1: Pˇr´ıklady fibrovan´
ych variet
Zobrazen´ı γ : X → Y takov´e, ˇze π ◦ γ = idX se naz´
yv´a ˇrez fibrovan´e variety π.
ˇ
Zvolme bod y ∈ Y a oznaˇcme Γt,y mnoˇzinu vˇsech hladk´
ych ˇrez˚
u γ(t) = y. Rezy
γ1 ,
γ2 maj´ı kontakt s-t´eho ˇra´du v bodˇe t ∈ X, jestliˇze plat´ı
γ1 (t) = γ2 (t),
Dk (q σ γ1 ϕ−1 )(ϕ(t)) = Dk (q σ γ2 ϕ−1 )(ϕ(t)),
1 ≤ k ≤ s.
(5)
Mnoˇzinu ˇrez˚
u, kter´
e maj´ı v bodˇe t kontakt s-t´eho ˇra´du s ˇrezem γ znaˇc´ıme Jts γ,
S
yv´ame s-t´e jetov´e prodlouˇzen´ı fibrovan´e variety π.
mnoˇzinu J s Y = t∈X Jts γ naz´
Zcela pˇrirozenˇe pak vznikaj´ı n´asledn´e kanonick´e projekce πs,r : J s Y → J r Y . Uvaˇzujeme pouze prvn´ı π1 : J 1 Y → X a druh´e π2 : J 2 Y → X jetov´e prodlouˇzen´ı fibrovan´e
variety π. Souˇradnice na J 1 Y a J 2 Y budeme znaˇcit (t, q σ , q˙σ ) resp. (t, q σ , q˙σ , q¨σ ).
102
J 2Y
(t, q σ , q˙σ , q¨σ )
J 2 γ(t)
J 2γ
π2,1
π2
J 1Y
(t, q σ , q˙σ )
J 1 γ(t)
J 1γ
π1 π1,0
Y
(t, q σ )
γ(t)
π
γ
X
(
t
(t)
)
Obr´azek 2: Jetov´a prodlouˇzen´ı fibrovan´e variety π
ˇ δ
Varietˇe J 1 Y ˇr´ık´ame f´azov´y prostor, prostor, ve kter´em se realizuje dynamika. Rez
1
fibrovan´e variety π1 se naz´
yv´a holonomn´ı, jestliˇze δ = J γ.
Vektorov´e pole ξ na Y se naz´
yv´a π-vertik´aln´ı, jestliˇze T π · ξ = 0 (T π je teˇcn´e
zobrazen´ı k π), a π-projektabiln´ı, jestliˇze T π · ξ = ξ0 , kde ξ0 je vektorov´e pole na X.
Diferenci´aln´ı forma η na J 1 Y se naz´
yv´a π1 -horizont´aln´ı, jestliˇze iξ η = 0 pro kaˇzd´e
π1 -vertik´aln´ı pole ξ, resp. kontaktn´ı, jestliˇze J 1 γ ∗ η = 0 pro kaˇzd´
y ˇrez γ fibrovan´e
variety π. Tento koncept lze pˇrirozenˇe zobecnit i na vyˇsˇs´ı ˇra´d fibrovan´e variety.
3. Lagrangeovsk´
e syst´
emy
Lagrangi´
anem λ budeme rozumˇet n´asleduj´ıc´ı horizont´aln´ı 1-formu na J 1 Y , λ =
L(t, q σ , q˙σ )dt. Poincar´eova-Cartanova 1-forma asociovan´a s t´ımto lagrangi´anem m´a
vyj´adˇren´ı
∂L
(6)
θλ = L dt + σ ω σ ,
∂ q˙
ω σ = dq σ − q˙σ dt jsou kontaktn´ı 1-formy, 1 ≤ σ ≤ m. D´ale je s lagrangi´anem λ
asociov´ana tzv. Eulerova-Lagrangeova 2-forma Eλ na J 2 Y , v souˇradnic´ıch je d´ana
v´
yrazem Eλ = Eσ (t, q ν , q˙ν , q¨ν )dq σ ∧ dt, kde
Eσ =
∂L
d ∂L
−
.
∂q σ dt ∂ q˙σ
(7)
Funkce Eσ na J 2 Y jsou afinn´ı v promˇenn´
ych q¨ν , tedy
Eσ = Aσ + Bσν q¨ν ,
Bσν = −
∂ 2L
,
∂ q˙σ ∂ q˙ν
Aσ =
∂L
∂ 2L
∂ 2L ν
−
−
q˙ .
∂q σ ∂t ∂ q˙σ ∂q ν ∂ q˙σ
(8)
Dalˇs´ı objekt asociovan´
y s lagrangi´anem λ je tzv. Eulerova-Lagrangeova distribuce,
∆λ = span{iξ dθλ ; ξ je libovoln´e vertik´aln´ı vektorov´e pole na J 1 Y }.
(9)
Distribuce je zobrazen´ı na varietˇe, kter´e kaˇzd´emu bodu variety pˇriˇrazuje vektorov´
y
podpostor v teˇcn´em vektorov´em prostoru v dan´em bodˇe. M˚
uˇze b´
yt generov´ana bud’
syst´emem vektorov´
ych pol´ı, a nebo nepˇr´ımo pomoc´ı syst´emu diferenci´aln´ıch forem.
103
Geometrick´
y tvar pohybov´
ych rovnic (Eulerovy-Lagrangeovy rovnice) je d´an
vztahem
J 1 γ ∗ iξ dθλ = 0,
(10)
ˇ
pro kaˇzd´e π1 -vertik´aln´ı vektorov´e pole ξ na J 1 Y , [1, 4]. Rezy
γ, kter´e jsou ˇreˇsen´ımi
rovnice (10), se naz´
yvaj´ı extrem´
aly.
Eulerovu-Lagrangeovu formu lze pouˇz´ıt pro ekvivalentn´ı z´apis rovnic (10),
J 1 γ ∗ iξ α = 0 pro kaˇzd´e vertik´aln´ı vektorov´e pole ξ na J 1 Y,
(11)
kde α je libovoln´a 2-forma na J 1 Y takov´a, ˇze plat´ı p1 α = Eλ , p1 je zobrazen´ı, kter´e
diferenci´aln´ı formˇe pˇriˇrad´ı jej´ı 1-kontaktn´ı ˇc´ast [7]. Dost´av´ame
α = dθλ + F = dθλ + Fσν ω σ ∧ ω ν = Aσ ω σ ∧ dt + Bσν ω σ ∧ dq˙ν + Fσν ω σ ∧ ω ν . (12)
Kontaktn´ı formy se anuluj´ı pod´el prodlouˇzen´ı ˇrez˚
u, coˇz znamen´a, ˇze rovnice (11)
se nezmˇen´ı pˇrid´an´ım kontaktn´ı formy F . Reprezentace mechanick´eho syst´emu nen´ı
citliv´a na volbu kontaktn´ı formy a vznik´a tak tˇr´ıda diferenci´aln´ıch forem liˇs´ıc´ıch se
aˇz na nˇejakou kontaktn´ı ˇc´ast. Takovou tˇr´ıdu budeme oznaˇcovat symbolem [α].
4. Neholonomn´ı lagrangeovsk´
e syst´
emy.
Neholonomn´ı vazba (3) generuje podvarietu Q ⊂ J 1 Y , tzv. vazebnou podvarietu
fibrovanou nad Y , tj. π1,0 |Q : Q → Y . Oznaˇcme ι : Q ֒→ J 1 Y vloˇzen´ı variety Q do
J 1 Y , codim Q = k. Varietu Q lze popsat pomoc´ı rovnic (3) v tzv. norm´aln´ım tvaru
q˙m−k+i = g i (t, q σ , q˙1 , . . . , q˙m−k ),
1 ≤ i ≤ k.
(13)
Syst´em (13) naz´
yv´ame syst´emem neholonomn´ıch vazeb. Definujeme tzv. Q-pˇr´ıpustn´y
ˇrez γ¯ jako lok´aln´ı ˇrez fibrovan´e variety π takov´
y, ˇze J 1 γ¯ (t) ∈ Q pro kaˇzd´e t ∈ dom¯
γ.
Na varietˇe Q vznik´a distribuce C, naz´
yv´a se kanonick´a distribuce, nebo tak´e
Chetaev˚
uv bandl [5]. Je generovan´a bud’ n´asleduj´ıc´ım syst´emem k nez´avisl´
ych diferenci´aln´ıch 1-forem
i
ϕ =−
m−k
X
l=1
∂g i l
ω + ι∗ ω m−k+i ,
∂ q˙l
1 ≤ i ≤ k,
(14)
a nebo pomoc´ı syst´emu vektorov´
ych pol´ı
k
∂g a X
∂c
∂
∂
ga −
≡
+
◦ ι q˙l
,
l
m−k+a
∂t
∂t a=1
∂ q˙
∂q
k
X ∂g a ∂
∂
∂c
≡
+
◦ι
,
s
s
s
m−k+a
∂q
∂q
∂
q
˙
∂q
a=1
∂
,
∂ q˙s
1 ≤ s ≤ m − k,
(15)
1 ≤ s ≤ m − k.
Formy (14) se naz´
yvaj´ı kanonick´e vazebn´e formy. Ide´al I ve vnˇejˇs´ı algebˇre forem
na Q generovan´
y anihil´atorem C 0 kanonick´e distribuce C naz´
yv´ame vazebn´ym ide´
alem,
jeho prvky jsou pak vazebn´e formy. Necht’ [α] je lagrangeovsk´
y syst´em, pro kaˇzd´e
α ∈ [α] klademe
αQ = ι∗ α mod I(C 0 ) = ι∗ dθλ + F¯ + Φ,
(16)
104
F¯ je 2-kontaktn´ı 2-forma na Q a Φ ∈ I je vazebn´a forma. Vzniklou tˇr´ıdu [αQ ]
naz´
yv´ame v´azan´y lagrangeovsk´y syst´em. V souˇradnic´ıch
¯ls ω
αQ = A¯l ω
¯ l ∧ dt + B
¯ l ∧ dq˙s + F¯ls ω
¯l ∧ ω
¯ s + Φ, kde
¯ i
∂g j dg
∂g i
¯
◦ ι,
Al = Al + Am−k+i l + Bl,m−k+i + Bm−k+j,m−k+i l
∂ q˙
∂ q˙
dt
i
i
j
i
∂g
∂g
∂g
∂g
¯ls = Bls + Bl,m−k+i
+ Bs,m−k+i l + Bm−k+i,m−k+j l s ◦ ι,
B
∂ q˙s
∂ q˙
∂ q˙ ∂ q˙
¯
∂
∂
d
=
+ q˙σ σ .
l, s = 1, 2, . . . , m − k; i, j = 1, 2, . . . , k;
dt
∂t
∂q
(17)
Rovnice pro Q-pˇr´ıpustn´e ˇrezy γ¯
J 1 γ¯ ∗ iξ αQ = 0 pro kaˇzd´e vertik´aln´ı vektorov´e pole ξ ∈ C,
(18)
se naz´
yvaj´ı v´azan´e Eulerovy-Lagrangeovy rovnice, t´eˇz redukovan´e pohybov´e rovnice
v´azan´eho syst´emu [αQ ].
Literatura
[1] H. Goldschmidt and S. Sternberg, The Hamilton–Cartan formalism in the calculus of
variations, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 23 (1973) 203–267.
[2] N.G. Chetaev, On the Gauss principle, Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obsc. 6 (1932-33),323–
326 (in Russian).
[3] D. Krupka, Lepagean forms in higher order variational theory, Modern Developments
in Analytical Mechanics I: Geometrical Dynamis, Proc. IUTAM-ISIMM Symposium,
Torino, Italy (1982), edited by S. Benenti, M. Francaviglia, and A. Lichnerowicz (Accad. delle Science di Torino, Torino, 1983) 197–238.
[4] D. Krupka and J. Musilov´
a, Hamilton extremals in higher order mechanics, Arch.
Math. (Brno) 20 (1984) 21–30.
[5] O. Krupkov´
a, Mechanical systems with nonholonomic constraints, J. Math. Phys. 38
(1997) 5098–5126.
[6] O. Krupkov´
a, Partial differential equations with differential constraints, J. Differential
Equations, 220 (2006) 354–395.
[7] O. Krupkov´
a, The Geometry of Ordinary Variational Equations, Lecture Notes in
Mathematics 1678, Springer, Berlin, 1997.
[8] O. Krupkov´
a and P. Voln´
y, Differential equations with constraints in jet bundles:
Lagrangian and Hamiltonian systems, Lobachevskii Journal of Mathematics 23 (2006)
95–150.
[9] J. J. Lagrange, M´ecanique analytique, Vols. 1, 2, Gauthier-Villars, Paris (1853), 4th
ed., (1888–1889); Russian transl., GITTL, Mocsow (1950).
[10] D.J. Saunders, The Geometry of Jet Bundles, London Math. Soc. Lecture Notes Series
142, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
[11] P. Voln´
y, Nonholonomic systems, Ph.D. thesis, Olomouc, 2004.
105
IMPLEMENTATION OF
A MATHEMATICAL MODEL OF
THE ELECTROSPINNING PROCESS
ˇ
Milan Simko
TU of Liberec
Studentsk´
a 2, 461 17 Liberec 1
e–mail: [email protected]
Abstract:
This article deals with a numerical and computer implementation
of a mathematical model which describes a whipping instability of an electrically
charged liquid jet. The whipping instability, but not only this, is observed during
the course of the electrospinning process. Electrospinning is a simple method for the
production of polymer nanofibers. This polymer nanofibers are fibers with diameter
under one micrometer and huge surface area. Therefore these properties give fibers
opportunities to use mainly in filtration and medical applications.
1
Introduction
In year 1934, Anton Formhals patented1 an experimental equipment for the
production of polymeric fibers by using the electrostatic forces. Preparation of fibers
in this way is called electrospinning. In other words, electrospinning is a process
when the nanofibers are formed by the creation and elongation of an electrically
charged jet of a polymer solution or a polymer melt [2].
The path of the electrically charged liquid jet starts on a surface of the polymer
solution which is often, but not necessarily, bounded by a syringe needle [3]. Then
it continues through the Taylor cone tapering in a straight segment called “stable
zone” and gradually turns into an “unstable zone” which is characterized by an
observed whipping instability.
Over the past few years electrospinning of the polymer solutions received much
attention mainly as an inexpensive and simple method for the production of
polymer nanofibers [7]. The polymer nanofibers are used, or beginning to be
used, for filtration, production of protective clothings, biomedical applications, drug
delivery systems, tissue engineering and, not least, as a reinforcement of composite
materials [4].
1
U. S. Patent 1 975 504.
106
2
Numerical implementation
A mathematical model of the electrified jet is described in detail in [5]. It is often
convenient to find a numerical solution of governing equations in non–dimensional
form [6]. This usually leads to better numerical stability of used algorithms because
it reduces rounding errors and underflows data type due to computation with very
small numbers. To find the approximate solution the forward Euler’s method with
adaptive step–size was used.
Non–dimensional form of governing equations
For a modeling of the viscoelastic behavior of the polymer solution Maxwell’s
rheological model was used. Constitutive equation of this model is given by formula
∗
dσi,i+1
(r ∗i − r ∗i+1 ) • (v ∗i − v ∗i+1 )
∗
− σi,i+1
,
(1)
=
∗2
dt∗
li,i+1
where σ ∗ is the dimensionless normal stress, t∗ is the dimensionless time, r ∗ and v ∗
are the dimensionless radius vector and the dimensionless actual velocity vector of
the charged mass point and l∗ is the dimensionless length of the element of the ideal
rectilinear electrically charged jet.
Based on the forces analysis acting on the i–th charged mass point can be
according to Newton’s second law to write the following equation of motion
dr ∗i
= v ∗i
dt∗
∗
n−1
X
r ∗i − r ∗j
σi−1,i r ∗i−1 − r ∗i
dv ∗i
1
∗
∗ ∗
∗
E
+
K
=
K
+
K
+
C
E
M
∗
∗ 2
∗
∗
∗
∗
∗
dt∗
|
r
−
r
|
|
r
−
r
|
l
|
r
−
r
|
i
j
i
j
i−1,i
i−1
i
j=n
(2)
0
j6=i
∗
σi,i+1
r ∗i+1 − r ∗i
∗
∗
+ KD∗ (li−1,i
+ li,i+1
) v ∗i ,
(3)
∗
∗
∗
li,i+1 |r i+1 − r i |
where E ∗ is the dimensionless electrostatic field intensity and
τ 2 q02
τ 2 q0
τ η π d20
τ ηair Cp L
∗
∗
∗
KC∗ =
,
K
=
,
K
=
,
K
=
−
, (4)
E
M
D
4 π ε0 εr m0 L3
m0 L
4 m0 L
2 m0
where τ and η is the relaxation time and the viscosity of the polymer solution, q0 is
the initial charge, ε0 is the permittivity of free space, εr is the relative permittivity,
m0 is the initial mass of the charged point, L is the length scale factor, d0 is the
initial diameter of the element of the ideal rectilinear electrically charged jet, ηair
is the air viscosity and Cp is the pressure drag coefficient [for a laminar air flow is
Cp = 12 (see e. g. [1])].
3
Computer implementation
A self–developed computer program written in C++ language includes a parallel
computational kernel making use of a shared–memory standard OpenMP2 , that it
implements the mathematical model of the electrified liquid jet [see Eqs. (1), (2),
2
Project homepage http://openmp.org.
107
Fig. 1: Graphical user interface
(3)]. Because numerical computations are demanding on a processor performance
thus the computational kernel is running in a separated thread.
A graphical user interface depicted in Fig. 1 was designed by using a cross–
platform toolkit Qt3 . The interface allows easy setup of all input parameters of the
mathematical model, a numerical simulation and a visualization.
The computed path of the electrically charged jet was visualized by using a
standard for high performance graphics OpenGL4 which is accessible as the Qt
module. A visualization widget implements methods that enable to rotate with
the viewing scene or show it in the directions of the coordinates axes. That makes
possible to observe the whipping instability of the jet for various angles thus gives
a better spatial imagination.
4
Numerical experiments
The computer program provides two approaches to calculate the path of the
electrically charged liquid jet. The first, “static approach” describes temporal part
of the perturbation. The paths of the jet computed by this approach are shown
in Fig. 2(a) and Fig. 2(c). The second, “dynamic approach” describes spatial part
of the perturbation. The paths of the electricaly charged jet computed by this
approach are depicted in Fig. 3(a) and Fig. 3(c).
In Fig. 2(b), Fig. 2(d), Fig. 3(b) and Fig. 3(d) are shown the predicted deposition
of the nanofibers on the grounded collector.
3
4
Project homepage http://qt.nokia.com.
Project homepage http://opengl.org.
108
(a) isometric view; N = 67
(b) top view of the target; N = 67
(c) isometric view; N = 100
(d) top view of the target; N = 100
Fig. 2: The paths of the electrically charged jet computed by “static approach”.
∗
Simulation parameters: KC∗ = 50, KE∗ = 40, KM
= 50, Kλ∗ = 1, h∗ = 100 and t∗ = 1.
(a) isometric view; N = 67
(b) top view of the target; N = 67
(c) isometric view; N = 100
(d) top view of the target; N = 100
Fig. 3: The paths of the electricaly charged jet computed by “dynamic approach”.
∗
Simulation parameters: KC∗ = 12, KD∗ = 0.4, KE∗ = 2, KM
= 12, Kω∗ = 100,
∗
∗
∗
h = 100, (a) and (b) t = 37.4, (c) and (d) t = 56.6.
109
5
Conclusion
This article presents modeling of the whipping instability of the electrically charged
liquid jet and suggests the mathematical model for its description. Compared to the
mathematical models known in literature, e. g. Reneker–Yarin’s model, this model
provides more precision and besides the computations of the paths of the electrified
jets can also predicts the orientation of deposited nanofibers.
The result of this work is also the computer program which provides a user–
friendly interface for visualizing the electrospinning process. This program allows
easy to compare numerical simulations with the experiment.
Acknowledgments
Support for this article was provided by ESF project No. CZ.1.07/2.3.00/09.0155
“Constitution and improvement of a team for the demanding technical computations
on parallel computers at TU of Liberec”.
References
[1] MOTT, R. L. Applied Fluid Mechanics. 3rd edition. Columbus : Merrill, 1990.
645 s. ISBN 0–02–946320–3.
[2] RAMAKRISHNA, S. et al. An Introduction to Electrospinning and Nanofibers.
1st edition. Singapore : World Scientific Publishing, 2005. 396 s. ISBN
978–981–256–415–3.
[3] RENEKER, D. H. – YARIN, A. L. Electrospinning jets and polymer nanofibers.
Progress In Polymer Science. May 2008, vol. 49, iss. 10, s. 2 387 – 2 425.
[4] RENEKER, D. H. et al. Bending instability of electrically charged liquid jets
of polymer solutions in electrospinning. Journal of Applied Physics. May 2000,
vol. 87, num. 9, s. 4 531 – 4 547.
ˇ
[5] SIMKO,
M. Modeling of bending instability in the electrospinning process.
In Modern´ı matematick´e metody v inˇzen´yrstv´ı. Sborn´ık pˇr´ıspˇevk˚
u ze semin´aˇre
poˇr´adan´eho 31. kvˇetna – 2. ˇcervna 2010 v Doln´ı Lomn´e u Jablunkova, 1. vyd., s.
ˇ ISBN 978–80–248–2118–4.
83 – 89, Ostrava, 2010. VSB.
[6] TANNEHILL, J. C. – ANDERSON, D. A. – PLETCHER, R. H. Computational
Fluid Mechanics and Heat Transfer. 2nd edition. Washington : Taylor & Francis,
1997. 792 s. ISBN 1–56032–046–X.
[7] THERON, S. A. et al. Multiple jets in electrospinning: experiment and modeling.
Progress In Polymer Science. April 2005, vol. 46, iss. 9, s. 2 889 – 2 899.
110
ZMĚNA PARADIGMATU
V TEORII MATIC
Martina Štěpánová
Katedra didaktiky matematiky, MFF UK Praha
Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
E-mail: [email protected]
Abstrakt: Příspěvek je věnován postupnému přijímání teorie matic světovými matematiky,
které proběhlo během druhé poloviny 19. století a především až v první polovině 20. století.
Do té doby vyjadřovala většina matematiků své výsledky, které dnes řadíme do teorie matic,
v řeči determinantů nebo v řeči bilineárních a kvadratických forem. Velmi zajímavě se změna
paradigmatu projevila ve způsobu vyjadřování vztahů, v používané terminologii a symbolice.
Abstract: The paper deals with the process of gradual acceptance of the matrix theory by
mathematical community. This process began in the second part of the 19th century and
continued till the second part of the 20th century. Until then, a majority of mathematicians
formulated their results, which are presently well-incorporated in the matrix theory, in terms
of determinants, bilinear and quadratic forms. The process resulted in new ways of expressing
these results, requiring new terminology, new symbolism.
Teorie matic, kterou na počátku 21. století považujeme za jednu z klíčových oblastí lineární
algebry a která je běžně používána v mnoha vědních, nejen matematických oborech, je
relativně mladou disciplínou. Její vznik je datován rokem 1858, kdy britský matematik Arthur
Cayley (1821–1895) publikoval v časopise Philosophical Transactions of the Royal Society of
London článek A memoir on the theory of matrices [4]. Podněty ke zrodu teorie matic
přicházely z více směrů, především ze studia soustav lineárních rovnic, 1 lineárních
transformací a substitucí, z teorie invariantů, teorie bilineárních a kvadratických forem
a z teorie determinantů. Mnohé výsledky teorie matic byly dokázány již před jejím vznikem,
byly však formulovány jazykem jiné disciplíny.
Přestože dnes definujeme pojem determinant až po zavedení pojmu matice, neboť matici
k zavedení determinantu přímo využíváme, historický vývoj šel v opačném pořadí. Zrod
1
Právě při řešení soustav lineárních rovnic se pracovalo s obdélníkovými schématy v prehistorii teorie matic
poprvé. Stalo se tak již před dvěma tisíci lety, kdy počtáři ve staré Číně používali k řešení soustav lineárních
rovnic s regulární maticí algoritmus fang čcheng, který je analogií dnes používané Gaussovy eliminační metody.
Poté však nastalo velmi dlouhé období, v němž nebyla obdélníková schémata téměř vůbec používána. Další
nacházíme až v pracích Carla Friedricha Gausse (1777–1855), jeho žáka Ferdinanda Gottholda Maxe Eisensteina
(1823–1852), Jamese Josepha Sylvestera (1814–1897) či již zmíněného Artura Cayleyho. Bližší informace
o prehistorii teorie matic viz [1] či ve stručnosti [9].
111
teorie determinantů totiž předcházel vzniku teorie matic, a to o více něž sto let. Starší z teorií
je datována rokem 1750, ve kterém bylo zveřejněno Cramerovo pravidlo v rozsáhlé
monografii Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, jejímž autorem je
švýcarský matematik Gabriel Cramer (1704–1752). Právě determinantům (a dále bilineárním
a kvadratickým formám) byla matematiky v době vzniku teorie matic věnována značná
pozornost. Teorie determinantů byla jedním z pilířů, které byly nápomocny vzniku teorie
matic, a také oborem, s nímž se nově vznikající teorie matic úzce prolínala. Jistým způsobem
však blízké propojení obou disciplín zpozdilo uznání maticového aparátu a přístupu.
Pojem (obdélníkové) matice a termín matrix byl zaveden J. J. Sylvesterem roku 1850 v článku
Additions to the articles "On a new class of theorems", and "On Pascal's theorem".
Paradoxně se jedná o práci věnovanou převážně subdeterminantům.
For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement
of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent
a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of
determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the
squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order. ([8] díl I.,
str. 150)
Roku 1853 Sylvester publikoval článek značného rozsahu, k němuž připojil slovníček pojmů.
Rovněž zde (stejně jako v předchozí ukázce) byla pro Sylvestera výchozím pojmem matice
a determinant byl tvořen až z dané matice. Zmíněný přístup byl v té době zcela ojedinělý.
Jak již bylo řečeno, v roce 1858 vyšel Cayleyův článek A memoir on the theory of matrice [4].
Je psán maticovou řečí, pod pojmem matice je však takřka v celé práci myšleno pouze
čtvercové schéma prvků. V textu jsou definovány základní maticové operace a uvedeny jejich
vlastnosti, zavedeny některé speciální typy matic, popsán vzájemně jednoznačný vztah mezi
kvaterniony a maticemi druhého řádu a publikována Cayleyova-Hamiltonova věta. Násobení
matic je motivováno skládáním lineárních substitucí, proto se jedná o násobení matic dle
dnešních zvyklostí. Násobit řádky první matice se sloupci druhé matice nebylo v té době vždy
zvykem. Matematikové násobili matice rovněž „po řádcích“ či „po sloupcích“. Problém
nejednotného násobení se táhne jako Ariadnina nit mnoha matematickými monografiemi,
učebnicemi a články až do dvacátých let 20. století. Tato skutečnost je potvrzením většího
zájmu matematiků o teorii determinantů, neboť ve větě o násobení determinantů je vzhledem
k rovnosti determinantů navzájem transponovaných matic zcela lhostejné, jakým způsobem
matice násobíme.
Význam Cayleyho článku [4] je často přeceňován. 2 Po jeho publikování k akceptování teorie
matic celosvětovou matematickou komunitou totiž nedošlo. Disciplína byla poměrně brzy
přijata některými britskými a americkými matematiky, ale na evropském kontinentě zůstala
jednadvacetistránková Cayleyho práce v podstatě ignorována a teorie matic se zde v maticové
podobě až na výjimky takřka nestudovala. Nejvýraznější výjimkou byl pražský matematik
Eduard Weyr (1852–1903), kterého lze řadit mezi čtyři nejvýraznější osobnosti, kteří se v té
době vyjadřovali řečí matic. Třemi zbývajícími máme na mysli Artura Cayleyho, Jamese
Josepha Sylvestera a Artura Buchheima (1859–1888), který však předčasně zemřel. Z dalších
2
K označení článku za počátek teorie matic zřejmě přispěl jednak jeho název, ve kterém bylo použito spojení
theory of matrices, a dále jeho podpora J. J. Sylvesterem, který byl v té době uznávanou autoritou.
112
matematiků využívali aparát teorie matic v druhé polovině 19. století např. Henry Taber
(1860–1936), Andrew Russell Forsyth (1856–1942), Thomas Muir (1844–1934), Charles
Lutwidge Dodgson (1832–1898) či Edmond Nicolas Laguerre (1834–1886).
Eduard Weyr publikoval v osmdesátých letech 19. století sedm prací věnovaných přímo teorii
matic. 3 Ve čtyřech z nich byla představena tzv. Weyrova teorie charakteristických čísel, která
je postavena na pojmu nulita matice, což je pojem definovaný jen pro čtvercové matice (nulita
je rovna rozdílu jejího řádu a hodnosti). Podrobně je teorie vysvětlena v knížce O theorii
forem bilineárných [10]. Čtenáře možná překvapilo, že knížku s tímto názvem řadíme mezi
práce z teorie matic. Celý spis je skutečně psán řečí matic, pojem bilineární forma se
vyskytuje pouze v první definici a poté v jediné další kapitole. Otázka, jaký důvod vedl autora
ke zvolení názvu spisu, nebude zřejmě nikdy zodpovězena. Možná byla autorova volba
snahou o zvětšení zájmu o práci, neboť pojem bilineární forma byl (na rozdíl od matice)
českým matematikům dobře znám a titul spisu tak dával na vědomí, která část matematiky je
v něm obsažena. Problematika však byla vyložena pro (nejen) českého čtenáře v nové
symbolice a terminologii, která se mu vyjevila až po otevření knihy. Nesoulad náplně práce
s jejím názvem okomentoval roku 1930 i uznávaný historik determinantů (a matic) skotského
původu Thomas Muir v práci Contributions to the History of Determinants 1900–1920 [7].
The title of the paper might thus well have been The theory of matrices with an application
to bilinear forms and an application to linear differential equations. ([7], str. 3–4)
Eduard Weyr tak byl jedním z prvních matematiků na světě, který se snažil o propojení teorie
bilineárních a kvadratických forem s teorií matic. Zmíněná kniha je toho důkazem.
Pro přijetí daného aparátu je do značné miry rozhodující, zda jej používají uznávané osobnosti
oboru. Jednou z největší postav teorie matic byl Georg Ferdinand Frobenius (1849–1917).
Tento velikán světové matematiky používal po dlouhou dobu řeč determinantů a forem,
teprve od publikování práce Über vertauschbare Matrizen roku 1896 začal své výsledky
vyjadřovat maticovou řečí a přijal maticový aparát. Pro uvědomění si změny paradigmatu
v jeho vyjadřování uveďme pět náhodně vybraných názvů Frobeniových prací vydaných před
rokem 1896 následovaných pěti jeho publikacemi z let pozdějších:
Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen, Theorie der linearen Formen mit ganzen
Coefficienten, Ueber die Elementarteiler der Determinanten, Ueber die congredienten
Transformationen der bilinearen Formen, Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen – Über
Matrizen aus positiven Elementen, Über Matrizen aus nicht negativen Elementen, Über die
mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen, Über unitäre MatrizenI, Über den Rang einer
Matrix.
Zpomalení přijetí teorie matic jejím propojením s teorií determinantů je jasně zřetelné
v problematice hodnosti matice a následně i v otázce řešení soustav lineárních rovnic. Pojem
hodnost matice byl již od svého prvopočátku budován na základě nulovosti a nenulovosti
3
Maticové výsledky lze nalézt rovněž ve Weyrově práci Sur la théorie des quaternions z roku 1884, která je
primárně zaměřena na teorii kvaternionů, nicméně je v ní definována exponenciální funkce a přirozený
logaritmus s maticovým argumentem. V roce 1887 Eduard Weyr publikoval článek Note sur la théorie des
quantités complexes formées avec n unités principales, jež sice není věnován teorii matic, ale jeho výsledky lze
do řeči matic přeložit. To také Weyr v jiných pracích učinil.
113
subdeterminantů. Jak jsme se již zmínili, G. F. Frobenius preferoval až do roku 1896
formulaci „maticových výsledků“ v řeči bilineárních a kvadratických forem či determinantů.
Takto se tedy zachoval i v roce 1879, kdy ve dvou článcích Über homogene totale
Differentialgleichungen a Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten zavedl
pojem hodnost. V prvním textu definoval hodnost determinantu. Jedná se – z dnešního
pohledu – o definici hodnosti čtvercové matice. Ve druhém článku pak zavedl hodnost
obdélníkového schématu, což je pojem analogický hodnosti obdélníkové matice.
Wenn in einer Determinante alle Unterdeterminanten (m+1)ten Grades verschwinden, die
mten Grades aber nicht sämmtlich Null sind, so nenne ich m den Rang der Determinante.
([6], díl I., str. 435)
Gegeben sei ein endliches System A von Grössen aαβ (α = 1, … m; β = 1, … n), die nach
Zeilen und Colonnen geordnet sind. Wenn in demselben alle Determinanten (l+1)ten Grades
verschwinden, die lten Grades aber nicht sämmtlich Null sind, so heisst l den Rang des
Systems. ([6], díl I., str. 484)
Zavedení hodnosti matice pomocí nulovosti a nenulovosti jejích subdeterminantů velmi
zkomplikovalo formulaci jasné a stručné podmínky pro řešitelnost soustav lineárních rovnic. 4
Tuto podmínku lze nalézt (nikoli však v příliš srozumitelné formě) v knize Elementary
treatise on determinants with their application to simultaneous linear equations and
algebraical geometry [5] z roku 1867, kterou napsal Ch. L. Dodgson. Věta Frobeniova by
tedy měla nést spíše jméno Dodgsona. Frobenius se teorií soustav lineárních rovnic také
zabýval, ale stručnou podmínku řešitelnosti vyjádřil, a to v maticové řeči, až začátkem
20. století, kdy již byli někteří matematikové v této problematice mnohem dále. Nejvýraznější
posun ve vyjádření podmínky řešitelnosti soustavy lineárních rovnic bez aparátu teorie
determinantů zaznamenali italští matematikové Alfredo Capelli (1855–1910) a Giovanni
Garbieri (1847–1931). Její moderní, stručná a jasná formulace pomocí hodnosti matice se
vyskytla v roce 1892 v Capelliově článku Sopra la compatibilità o incompatibilità di più
equazioni di primo grado fra più incognite [3].
Pozvolné přijímání nového oboru se samozřejmě projevilo v literatuře. Obecně lze říci, že do
přelomu století se matice v literatuře vyskytovaly jen místy, a to nejčastěji v souvislosti
s jinými pojmy (bilineární forma, lineární transformace, operátor, soustava lineárních
rovnic, …). V první polovině 20. století se situace pomalu měnila. První učebnicí, v níž je
maticím věnována velká pozornost, je Introduction to higher algebra [2] z roku 1907, kterou
napsal americký matematik Maxime Böcher (1867–1918). I v ní však byl pojem determinantu
považován za obecně známý, zatímco pojem matice bylo nutné přesně definovat. Slovo
matice se v názvu knihy poprvé objevilo u třídílné monografie Matrices and determinoids,
kterou sepsal Cuthbert Edmund Cullis (1875?–1954). Její jednotlivé díly vyšly v letech 1913,
1918, 1925. Rozsáhlé dílo však nemělo vzhledem ke složité terminologii velký ohlas.
Z nejstarších a nejvýraznějších monografií plně věnovaných teorii matic a psané jejím
jazykem jmenujme alespoň tyto: Herbert Westren Turnbull (1885–1961): The theory of
determinants, matrices and invariants (1928), H. W. Turnbull a Alexander Craig Aitken
(1895–1967): An introduction to the theory of canonical matrices (1932), Cyrus Colton
MacDuffee (1895–1961): The theory of matrices (1933) a Joseph Henry Maclagen
Wedderburn (1882–1948): Lectures on Matrices (1934).
4
I v této oblasti značně předběhl o několik desetiletí svou dobu Eduard Weyr. Vyjádření hodnosti pomocí počtu
lineárně nezávislých sloupců, resp. řádků matice zapsal v již roku 1889 ve zmíněném spisu [10].
114
Po přelomu století začala být teorie matic a její symbolika stále více uznávána. Maticový
aparát byl využíván stále větším okruhem matematiků, výsledky teorie bilineárních
a kvadratických forem byly překládány do maticové řeči, teorie matic pronikala do ostatních
disciplín. Například fyzika přijala maticový aparát až po roce 1925, kdy Werner Karl
Heisenberg (1901–1976) publikoval práci Über quantentheoretische Umdeutung
kinematischer und mechanischer Beziehungen. Pohyb částic popsal pomocí pozorovatelných
fyzikálních veličin, které vyjádřil soubory komplexních čísel závisejících na čase. Dále zavedl
násobení těchto souborů, které odpovídá dnešnímu násobení matic. Jeho přístup zaujal
několik dalších fyziků (M. Born, P. Jordan a další), kteří začali v krátkém čase teorii matic
úspěšně využívat.
Během popsaného období se tak zvolna rodila nová matematická disciplína, která nebyla
dlouhou dobu širší světovou matematickou komunitou akceptována. Obavy z jejího přijetí
však byly postupně překonávány a přibližně od třicátých let 20. století je teorie matic zcela
samostatným a uznávaným vědním oborem.
Literatura
[1] Bečvář J., Z historie lineární algebry, edice Dějiny matematiky, 35. svazek, Matfyzpress,
Praha, 2007.
[2] Böcher M., Introduction to Higher Algebra, The Macmillan Company, New York, 1907.
[3] Capelli A., Sopra la compatibilità o incompatibilità di più equazioni di primo grado fra
più incognite, Rivista di Matematica 2(1892), 54–58.
[4] Cayley A., A memoir on the theory of matrices, The Philosophical Transactions of the
Royal Society of London 148 (1858), 17–37.
[5] Dodgson C. L., Elementary Treatise on Determinants with Their Application to
Simultaneous Linear Equations and Algebraical Geometry, MacMillan and Co., London,
1867.
[6] Frobenius G., Gesammelte Abhandlungen I.–III., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,
New York, 1968.
[7] Muir T., Contributions to the History of Determinants 1900–1920, Blackie & Son Ltd.,
London and Glasgow, 1930.
[8] Sylvester J. J., The Collected Mathematical Papers I.–IV., Cambridge University Press,
Cambridge, 1904–1912, reprint: Chelsea Publishing Company, New York, 1973.
[9] Štěpánová M., Od metody fang čcheng k teorii matic, in Doležalová J. (ed.): Sborník
z 19. semináře Moderní matematické metody v inženýrství, VŠB-TU Ostrava, Ostrava, 2010.
[10] Weyr E., O theorii forem bilinearných. Spisův poctěných jubilejní cenou Královské
české společnosti nauk v Praze č. II, Praha, 1889.
Poděkování
Práce vznikla díky podpoře grantu GA ČR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky
a rozvojového projektu Doktorské studium oboru M8.
115
OHYB NOSN´IKU Z POHLEDU
´
´ICH KURZU
˚
ZAKLADN
´ C
ˇ AST
´
MATEMATIKY - TEORETICKA
Michaela Tuˇ
zilov´
a, Bˇ
retislav Krˇ
cek
ˇ
Katedra matematiky a deskriptivn´ı geometrie, VSB-TU
Ostrava
17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail: [email protected], [email protected]
Abstrakt: Pˇr´ıspˇevek je zamˇeˇren na zv´
yˇsen´ı z´ajmu student˚
u technick´
ych obor˚
u o
studium matematiky. Na modelov´e u
´loze ohybu nosn´ıku uk´aˇzeme praktickou moˇznost
vyuˇzit´ı znalost´ı z´ıskan´
ych v z´akladn´ıch kurzech matematiky.
Abstract: Bending of a beam from basic math-courses point of view - theoretical
part. A practical application of knowledge obtained in basic courses of mathematic
is presented on the problem of bending of a beam to motivate students of technical
branches for further study of mathematic.
´
Uvod
Vˇetˇsina student˚
u v˚
ubec nevid´ı souvislost mezi u
´lohami technick´e praxe a konkr´etn´ım vyuˇzit´ı sv´
ych znalost´ı ze z´akladn´ıch kurz˚
u matematiky k jejich ˇreˇsen´ı. Mnoz´ı
tak povaˇzuj´ı studium matematiky za zcela zbyteˇcn´e. Pˇr´ıspˇevek je proto zamˇeˇren na
studenty technick´
ych obor˚
u pro zv´
yˇsen´ı jejich motivace ke studiu matematiky.
V ˇcl´anku se budeme zab´
yvat modelovou u
´lohou ohybu dokonale vetknut´eho
nosn´ıku, jehoˇz pr˚
uhyb je za zjednoduˇsen´
ych podm´ınek ˇreˇsen´ım obyˇcejn´e diferenci´aln´ı
rovnice ˇctvrt´eho ˇra´du. Jak z´ıskat ˇreˇsen´ı t´eto okrajov´e u
´lohy uk´aˇzeme aplikac´ı dvou
metod - metody s´ıt´ı (viz napˇr. [5]) a metody koneˇcn´
ych prvk˚
u (viz napˇr. [4]). Uveden´e metody se sice v z´akladn´ım kurzu matematiky neprob´ıraj´ı, s diferenci´aln´ımi
rovnicemi se vˇsak studenti setk´avaj´ı jiˇz v pr˚
ubˇehu prvn´ıho roku studia. Pouˇzit´ım
tˇechto metod pˇrevedeme ˇreˇsen´ı naˇs´ı u
´lohy na ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic, kde
jiˇz mohou studenti vyuˇz´ıt sv´
ych znalost´ı z line´arn´ı algebry.
V tomto pˇr´ıspˇevku se omez´ıme pouze na teoretickou pˇr´ıpravu pro ˇreˇsen´ı v´
yˇse uveden´eho probl´emu. Numerick´a realizace uvaˇzovan´e u
´lohy je zpracov´ana v navazuj´ıc´ım
pˇr´ıspˇevku [1].
116
Matematick´
a formulace probl´
emu
Necht’ je d´an nosn´ık koneˇcn´e d´elky l, Young˚
uv modul pruˇznosti materi´alu E,
moment setrvaˇcnosti pr˚
uˇrezu J a vertik´aln´ı zat´ıˇzen´ı nosn´ıku f . Pˇriˇcemˇz uvaˇzujeme
f, E, J: h0, li → R. Rovnice pr˚
ubybu nosn´ıku v z´avislosti na materi´alu, tvaru pr˚
uˇrezu
a zat´ıˇzen´ı je d´ana obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnic´ı ˇctvrt´eho ˇra´du
(E(x)J(x)u00 (x))00 = f (x),
ˇ sen´ı v´
kde x ∈ h0, li, funkce u reprezentuje pr˚
uhyb nosn´ıku. Reˇ
yˇse uveden´e rovnice
mus´ı splˇ
novat jist´e okrajov´e podm´ınky z´avisej´ıc´ı na zp˚
usobu uchycen´ı nosn´ıku.
V naˇsem pˇr´ıpadˇe budeme uvaˇzovat pouze dokonale vetknut´
y nosn´ık, tj. jde o tyto
okrajov´e podm´ınky:
u(0) = u0 (0) = u(l) = u0 (l) = 0,
(1)
tedy pr˚
uhyb nosn´ıku a jeho derivace v krajn´ıch bodech mus´ı b´
yt nulov´e. Pro jednoduchost se v t´eto modelov´e u
´loze omez´ıme na nosn´ık s konstantn´ımi hodnotami J a
E. Dostaneme tak n´asleduj´ıc´ı rovnici
EJu(4) (x) = f.
(2)
Pro rovnomˇern´e zat´ıˇzen´ı f po cel´e d´elce nosn´ıku a v´
yˇse uvaˇzovan´e okrajov´e podm´ınky
(1) je pˇresn´
ym ˇreˇsen´ım rovnice (2) kˇrivka 4. stupnˇe n´asleduj´ıc´ıho tvaru
u(x) =
f x2 (l − x)2
.
24EJ
Nyn´ı zformulujeme dan´
y probl´em matematicky.
a) klasick´
a formulace
Necht’ je d´ano f ∈ C(h0, li), E ∈ C(h0, li), J ∈ C(h0, li). Pak klasick´ym ˇreˇsen´ım
naˇs´ı u
´lohy nazveme funkci u vyhovuj´ıc´ı probl´emu (P ):

nuje n´asleduj´ıc´ı podm´ınky:
 Nal´ezt u ∈ C 4 ((0, l)), kde u splˇ
1. (E(x)J(x)u00 (x))00 = f (x)
∀x ∈ (0, l),
(P )

0
0
2. u(0) = u (0) = u(l) = u (l) = 0,
b) variaˇ
cn´ı (slab´
a) formulace
Slab´ym ˇreˇsen´ım probl´emu (P) nazveme funkci u, vyhovuj´ıc´ı probl´emu (P)
(P)
kde
Z
a(u, v) =
Nal´ezt u ∈ V = H02 ((0, l)) :
a(u, v) = F (v) ∀v ∈ V,
l
E(x)J(x)u00 (x)v 00 (x)dx, F (v) = (f, v).
0
117
(3)
Protoˇze forma a je symetrick´a, m˚
uˇzeme probl´em (P) ekvivalentnˇe pˇrev´est na probl´em
minimalizace kvadratick´eho funkcion´alu J potenci´aln´ı energie nosn´ıku, kter´
y definujeme n´asledovnˇe
1
J(v) = a(v, v) − (f, v).
2
ˆ kter´
Dost´av´ame tedy probl´em (P),
y nazveme variaˇcn´ı formulac´ı u
´lohy (P).
ˆ
(P)
Nal´ezt u ∈ V :
J(u) ≤ J(v)
∀v ∈ V,
D´ıky vlastnostem funkcion´alu J a biline´arn´ı formˇe a, kter´a je nav´ıc symetrick´a,
ˆ
V −eliptick´a a omezen´a na V , m´ame zaruˇcenu existenci a jednoznaˇcnost u
´lohy (P)
(viz napˇr. [2], [3]).
Metoda s´ıt´ı
Vyjdˇeme z rovnice (2) s okrajov´
ymi podm´ınkami (1). Pro rozdˇelen´ı intervalu
h0, li, reprezentuj´ıc´ıho d´elku nosn´ıku, pouˇzijeme ekvidistantn´ı s´ıt’ uzl˚
u xi s krokem
s´ıtˇe h = xi − xi−1 (xi = ih, pro i = 0, . . . , n + 1), kde n je poˇcet vnitˇrn´ıch uzl˚
u s´ıtˇe.
(4)
Oznaˇcme ui = u(xi ), fi = f (xi ). V rovnici (2) nahrad´ıme v´
yraz u (x) v jednotliv´
ych
uzlech s´ıtˇe xi , pro i = 1, n pomoc´ı pˇetibodov´e formule numerick´e derivace
(4)
ui =
ui−2 − 4ui−1 + 6ui − 4ui+1 + ui+2
.
h4
(4)
Z okrajov´
ych podm´ınek u(0) = u(l) = 0 pˇr´ımo plyne u0 = un+1 = 0. Pouˇzijeme-li
pro aproximaci okrajov´
ych podm´ınek u0 (0) = 0 a u0 (l) = 0 dvoubodov´e formule
numerick´e derivace
u1 − uˆ1
uˆn − un
u00 =
,
u0n+1 =
,
(5)
2h
2h
pˇrejde p˚
uvodn´ı u
´loha (P ) na ˇreˇsen´ı soustavy n line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´
ych ui
pro i = 1, n, kter´e reprezentuj´ı hledan´
y pr˚
uhyb nosn´ıku v jednotliv´
ych uzlech s´ıtˇe
xi . Tedy Au = f , kde matice soustavy A je matic´ı pˇetidiagon´aln´ı (viz [1]).
Metoda koneˇ
cn´
ych prvk˚
u
Uvaˇzujme ekvidistantn´ı syst´em dˇelen´ı {Dh }, h → 0+ intervalu h0, li na subintervaly Tk(h) = hxk−1 , xk i, kde k = 1, . . . , n(h), h je d´elka intervalu Tk(h) .
P
Definice: Koneˇcn´ym prvkem Ek nazveme trojici (hxk−1 , xk i, P3 (hxk−1 , xk i),
P k ),
kde P3 (hxk−1 , xk i) je prostor kubick´
ych funkc´ı definovan´
y
ch
na
hx
,
x
i,
k−1
k
k =
P
{p(xi ), Dp(xi ), i = k − 1, k, p ∈ P3 (hxk−1 , xk i)}, tj. k je mnoˇzina bod˚
u xk−1 , xk
v nichˇz zad´av´ame funkˇcn´ı hodnoty a jejich derivace.
D´ale kaˇzd´emu Dh pˇriˇrad´ıme koneˇcnˇedimenzion´aln´ı prostor Vh ⊂⊂ H02 ((0, l)), definovan´
y vztahem
Vh = {vh ∈ C 1 (h0, li) : vh |Tk(h) ∈ P3
∀Tk(h) ∈ Dh , vh (0) = vh (l) = vh0 (0) = vh0 (l) = 0}.
Prostor Vh je tedy prostor obsahuj´ıc´ı po ˇca´stech kubick´e funkce splˇ
nuj´ıc´ı pˇr´ısluˇsn´e
okrajov´e podm´ınky naˇs´ı u
´lohy.
118
´
Ulohu
(P) nahrad´ıme posloupnost´ı u
´loh
Hled´ame uh ∈ Vh :
(Ph )
a(uh , vh ) = (f, vh )
∀vh ∈ Vh ,
(6)
kde uh ∈ Vh je pˇribliˇzn´ym ˇreˇsen´ım (P).
Opˇet m˚
uˇzeme pˇrev´est danou u
´lohu na ekvivalentn´ı u
´lohu minimalizace kvadratick´eho funkcion´alu
1
(7)
J(vh ) = a(vh , vh ) − (f, vh ) na Vh .
2
To znamen´a, ˇze ˇreˇs´ıme probl´em
Nal´ezt uh ∈ Vh :
(Pˆh )
J(uh ) ≤ J(vh )
∀vh ∈ Vh
Necht’ {Φi }, i = 1, . . . , 2(n(h) − 1) je b´aze prostoru Vh . Pro b´azov´e fce {Φi } volen´e
metodou koneˇcn´
ych prvk˚
u plat´ı
Φ2i−1 (xj ) = δij ;
Φ02i−1 (xj ) = 0;
Φ2i (xj ) = 0;
Φ02i (xj ) = δij .
Odtud Hermitovskou interpolac´ı dost´av´ame n´asleduj´ıc´ı tvar b´azov´
ych funkc´ı

x 6∈< xi−1 , xi+1 >
 0
x−xi 3
x−xi 2
1 + 2( h ) − 3( h )
x ∈< xi−1 , xi >
Φ2i−1 (x) =

x−xi 2
i 3
)
−
3(
)
x ∈< xi , xi−1 >,
1 + 2( x−x
h
h
Φ2i (x) =


 0


(x−xi )3
h2
(x−xi )3
h2
+
−
2
i)
−2 (x−x
+ (x − xi )
h
(x−xi )2
2 h + (x − xi )
x 6∈< xi−1 , xi+1 >
x ∈< xi−1 , xi >
x ∈< xi , xi−1 >,
kde h je d´elka jednoho prvku.
Je zˇrejm´e, ˇze kaˇzd´e vh ∈ Vh lze ps´at ve tvaru line´arn´ı kombinace b´azov´
ych funkc´ı
vh =
N
X
ck Φk (x),
k=1
kde ck ∈ R a N = 2(n(h) − 1).
Dosad´ıme-li odtud za vh do (7), dostaneme algebraickou podobu u
´lohy (Pˆh ).
J(vh ) = J(
X
k
=
X
X
1 X
ck ϕk ) = a(
ck ϕ k ,
cj ϕj ) − (f,
ck ϕk ) =
2
j
k
k
X
1 XX
1
ck cj a(ϕk , ϕj ) −
ck (f, ϕk ) = (c, Ac) − (Fˆ , c),
2 k j
2
k
kde
119
(8)
A =
(akj )N
k,j=1
je matice tuhosti,
Fˆ
=
(f1 , . . . , fN )
je vektor zat´ıˇzen´ı,
c =
(c1 , . . . , cN )
je vektor parametr˚
u deformace
obsahuj´ıc´ı pr˚
uhyby a natoˇcen´ı,
akj
fi
= a(ϕk , ϕj ),
=
(f, ϕi ).
Derivac´ı funkcion´alu J podle promˇenn´e c sestroj´ıme soustavu line´arn´ıch rovnic
Ac = Fˆ ,
ˇ sen´ım t´eto soustavy dostanekde matice soustavy A je blokovˇe diagon´aln´ı (viz [1]). Reˇ
me vektor c, kter´
y obsahuje sloˇzky hledan´eho ˇreˇsen´ı u a jeho derivace, jejichˇz interpolac´ı z´ısk´ame aproximaci hledan´eho pr˚
uhybu nosn´ıku.
Z´
avˇ
er
Z v´
yˇse uveden´eho je vidˇet, ˇze pomˇernˇe n´aroˇcn´
y matematick´
y probl´em lze pouˇzit´ım
zvolen´
ych metod pˇrev´est na ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic, pˇriˇcemˇz matice soustavy je nav´ıc speci´aln´ıho tvaru, coˇz jistˇe stoj´ı za povˇsimnut´ı. V t´eto f´azi by jiˇz mˇeli
b´
yt studenti sami schopni bez vˇetˇs´ıch probl´em˚
u aplikac´ı sv´
ych znalost´ı z´ıskan´
ych
pˇredevˇs´ım v oblasti line´arn´ı algebry doj´ıt ke k´
yˇzen´emu c´ıli. Samozˇrejmˇe pro lepˇs´ı
pˇredstavivost a motivaci je zde na m´ıstˇe dan´e v´
ysledky zpracovat i graficky. Numerick´
ym a grafick´
ym zpracov´an´ım v´
yˇse uveden´e u
´lohy se proto zab´
yv´a navazuj´ıc´ı
pˇr´ıspˇevek [1].
Reference
[1] Krˇcek B., Tuˇzilov´a M.: Ohyb nosn´ıku z pohledu z´akladn´ıch kurz˚
u matematiky
- numerick´a realizace, Sborn´ık z 20. semin´aˇre Modern´ı matematick´e metody
ˇ
v inˇzen´
yrstv´ı, Ostrava, VSB-TUO
2011.
´
[2] Bobkov´a M.: Ulohy
ohybu nosn´ıku, diplomov´a pr´ace, PˇrF UP Olomouc, 1997.
[3] Lions J. L., Stampacchia G.: Variational Inequalities, Comm. Pure Appl. Math.
XX, 1967.
[4] Haslinger J.: Metoda koneˇcn´ych prvk˚
u pro ˇreˇsen´ı eliptick´ych rovnic a nerovnic,
Praha, SPN 1980.
[5] Kobza J.: Numerick´e metody, skritpa UP Olomouc, 1988.
120
OHYB NOSNÍKU Z POHLEDU ZÁKLADNÍCH
KURZŮ MATEMATIKY – NUMERICKÁ
REALIZACE
Břetislav Krček, Michaela Tužilová
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava
17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail : [email protected] , [email protected]
Abstrakt: V článku je na konkrétním příkladě ukázáno, že pokud je i matematicky
poměrně náročná úloha rozdělena na vhodné fáze, mohou studenti např. jen pomocí
lineární algebry ze základního kurzu matematiky získat některé zajímavé výsledky, což
by je mohlo motivovat k dalšímu studiu.
Abstract: Bending of a beam from basic math-courses point of view – numerical
realization. Practical problem can be presented to students as a problem of linear
algebra so that they could use their knowledge of basic courses of mathematic to obtain
some interesting results. It can be motivation for their further study of mathematic.
Úvod
Značná část studentů vysokých škol technického směru má méně kladný vztah
k matematice a její výuku považují do značné míry za zbytečnou. Často to zdůvodňují
tím, že nevidí souvislost mezi učební látkou v matematice a v odborných předmětech.
V základních kurzech matematiky např. za ryze matematické, a proto i zbytečné,
obvykle považují některé části lineární algebry, zejména pak teorii matic. Tento
příspěvek je proto zaměřen na jeden technický, z matematického hlediska poměrně
obtížný problém, který je možno studentům předložit tak, že přispěje k objasnění mnoha
matematických pojmů a že studentům umožní získat některé praktické výsledky
pouhým užitím toho, co se učí v základním kurzu matematiky.
Jedná se konkrétně o výpočet ohybu jednoduchého dokonale vetknutého nosníku,
jehož průhyb je za zjednodušených podmínek řešením obyčejné diferenciální rovnice
čtvrtého řádu. Řešení této okrajové úlohy, jak je popsáno v [1], je možno získat např.
metodou sítí nebo metodou konečných prvků. Uvedené metody se sice v základním
kurzu matematiky neprobírají, a i s diferenciálními rovnicemi se studenti obvykle
seznamují až v druhé polovině tohoto kurzu, ale pro přiblížení uvedených metod stačí
poznatky z počátku kurzu. Např. numerickou derivaci je možno studentům přiblížit
pomocí geometrického významu první derivace, stačí jim ukázat, že směrnice tečny
v bodě konkávního nebo konvexního oblouku je stejná jako směrnice sečny ve
121
vhodných blízkých bodech, příp. přímo ukázat odvození vzorce pro numerickou
derivaci z příslušného Taylorova polynomu tak, aby bylo zřejmé, že v rovnici, která
zjednodušeně popisuje stav v některém uzlu nosníku, se budou vyskytovat jen
souřadnice několika málo sousedních uzlů.
Metoda sítí
Soustava n lineárních rovnic o n neznámých, zmíněná v [1] za vztahy (5), pro
rovnici A.u = f získaná dělením intervalu 〈0, l〉 na n+1 stejných dílů má maticový tvar:
1
 7 −4
  u1   f1 

    
6 −4
1
− 4
    
 1 −4
    
6 −4
1

    
1 −4
6 −4
1

    
EJ 
 ⋅ M  =  M  ,
O O O O O
3 
    
h

    
1 −4
6 −4
1

    
1 −4
6 −4
1    


1 −4
6 − 4    

    
1 −4
7   un   f n 

kde ui = u(xi), fi = f(xi) (značení je rovněž převzato z [1]).
Matice soustavy rovnic popisujících stav v přirozeně uspořádané posloupnosti
ekvidistantních uzlových bodů je čtvercová, symetrická, pásová, konkrétně
pětidiagonální a lze ji vyjádřit jako součin vhodné konstanty a matice celočíselné.
Na maticovém zápisu uvedené soustavy lineárních rovnic lze demonstrovat nejen
uvedené pojmy, ale i postupy jak ze základního, tak i z navazujících kurzů matematiky.
Konkrétně tato soustava je velmi vhodná též pro řešení LU-rozkladem, který se však
obvykle v základním kurzu neprobírá.
V základním kurzu matematiky je možno uvedenou soustavu využít nejen
k demonstraci uvedených pojmů a probíraných způsobů řešení, ale lze na ní názorně
ukázat i vazbu na řešený problém. Např. pro nehmotný a nezatížený nosník se jedná o
homogenní soustavu, která má jen triviální řešení. V případě nezatíženého
homogenního hmotného nosníku lze zase ukázat, že řešení bude souměrné podle středu
nosníku. Při výpočtech průhybu jednoho nosníku pro různá zatížení se jedná o řešení
soustav rovnic se společnou maticí soustavy, a má tedy smysl soustavy řešit obecně
neefektivním způsobem pomocí inverzní matice. Při změně zatížení se společná
inverzní matice násobí jen jiným vektorem zatížení. Lze také jednoduše ukázat, jaké
těžkosti by přinášelo řešení soustavy Cramerovým pravidlem.
I když uvedená celočíselná matice je poměrně jednoduchá, má smysl soustavu
řešit bez užití počítače s vhodným programovým vybavením jen pro velmi malý počet
uzlů. Vzhledem k současnému softwarovému vybavení škol se jako velmi výhodný jeví
zejména Matlab, pomocí kterého byla získána i řešení pro tento příspěvek. Přestože
Matlab nabízí více možností pro řešení soustav lineárních rovnic, byla s ohledem na
122
znalosti studentů ze základního kurzu matematiky důsledně používána metoda
využívající inverzní matici.
Ve výuce je možno využít i skutečnost, že pro průhyb hmotného nezatíženého
nosníku je známo i analytické řešení, k jehož ověření stačí studentům jen znalost
derivací. Pro studenty může být především zajímavé srovnání analytického řešení
s numerickým řešením zakresleným jak vypočteným polygonem, tak i křivkou, která se
získá z vypočtených bodů standardní funkcí Matlabu pro kubický spline.
Ohyb vetknutého nosníku
0
nehmotný nosník
hmotný nosník (metoda sítí)
hmotný nosník (presne)
nosník zatížený (uprostred)
-//- (polygon)
←ohyb u(x)
-0.01
Metoda sítí pro n = 9
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x→
Obr. 1.
Na obr. 1. je 5 grafů, které postupně vyjadřují nehmotný nosník (přímka), hmotný
nosník (výpočet metodou sítí pro n = 9), analytické řešení hmotného nosníku (graf
prakticky shodný s numerickým řešením) a nosník zatížený uprostřed (čárkovaně
příslušný polygon, plně vyhlazená křivka). Při vizuálním porovnání výsledků získaných
pro různá n je možno poukázat na skutečnost, že v daném případě lze dostatečně přesné
výsledky získat již jen pro n = 7.
Ohyb vetknutého nosníku s pohybujícím se zatížením
nehmotný nosník
hmotný nosník
postupné ohyby
aktuální ohyb
0
-0.005
Metoda sítí pro n = 7
ohyb u(x)
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
Obr. 2.
Programově poměrně nenáročná a pro studenty zřejmě velmi zajímavá je animace
tvaru nosníku, po kterém se (dostatečně pomalu) pohybuje zátěž o konstantní velikosti
(stačí s vhodným krokem opakovaně přemazat „staré“ řešení a nakreslit „nové“). Pro
123
potřebu článku je efektní animace nahrazena jen posloupností několika postupných
ohybů (obr. 2.).
Metoda konečných prvků
V [1] je popsán postup, pomocí kterého se řešený problém dokonale vetknutého
nosníku opět převede na soustavu lineárních rovnic, kde ale na rozdíl od metody sítí
vektor neznámých obsahuje nejen složky hledaného řešení u, ale i složky příslušné
derivace u′. Tentokrát půjde o soustavu 2(n-1) lineárních rovnic o 2(n-1) neznámých.
U metody sítí symbol n vyjadřuje obvykle počet vnitřních uzlů, u metody
konečných prvků zase tradičně počet všech prvků.
Soustava odvozená metodou konečných prvků má tvar:
 24 0 -12 6h
 0 8h2 -6h 2h2

 -12 -6h 24 0

2
0 8h 2
 6h 2h

0 -12 -6h
EJ 
6h 2h 2
4 
h 
O







0
-12
-6h
24
0
O
0
6h
2h 2
0
8h 2
O
-12
6h
0
-12 6h
-6h 2h2 0
O O O O
-6h 24 0 -12
2h2 0 8h 2 -6h
0 -12 -6h 24
6 h 2h 2 0
  u1 
2
  u′ 
0
 1 
 


2


 


0


 
 f  

⋅ M  =  M  .
 2 



 
6h  

0

2
2h 2  

 
0
0   un −1 



 
8h2   un′ −1 
2
Programování této úlohy je již poněkud náročnější, získané grafy se prakticky
shodují s grafy získanými metodou sítí, obrázky zde proto nejsou uváděny.
Závěr
Uvedená úloha je vhodná především pro studenty stavebních a strojních fakult, ale
i studentům dalších technických oborů může ukázat souvislost učiva v základních
kurzech matematiky s technickou praxí a může tak podnítit jejich zájem o studium
matematiky. Určitě by proto stálo zato hledat i další technické problémy, jejichž řešení
by rovněž pomohlo zlepšit vztah studentů technických oborů k matematice.
Literatura
[1]
Tužilová M., Krček B.: Ohyb nosníku z pohledu základních kurzů matematiky –
teoretická část. In.: Sborník z 20. semináře Moderní matematické metody
v inženýrství. Ostrava, VŠB-TUO 2011.
124
JOSEF ÚLEHLA A JEHO UČEBNICE
POČET INFINITESIMÁLNÍ
Lukáš Vízek
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze
Sokolovská 83, 186 75 Karlín  Praha 8
Email: [email protected]
Abstrakt: Josef Úlehla (18521933) byl český učitel obecných a měšťanských škol.
Jeho hlavními obory byla matematika a přírodní vědy, ale jeho odborný rozhled
přesahoval i do jiných oblastí, o kterých také psal. Tento text přibližuje Úlehlův
životopis a rozebírá jeho učebnici Počet infinitesimální v dobovém kontextu a z pohledů
recenzí na ni.
Abstract: Josef Úlehla (18521933) was Czech teacher of primary and secondary
schools. His subject was mainly mathematics and nature sciences, but he interested in
many other areas and also wrote about them. This text describes Úlehla’s biography and
analyzes the context, historical background as well as reviews of his calculus textbook
titled Počet infinitesimální.
1. Úvod
Josef Úlehla byl významným učitelem národních a měšťanských škol, uznávaným
pedagogem a jedním z průkopníků nových pedagogických směrů u nás. Jeho působení
sahá do druhé poloviny 19. století a počátku 20. století.
Narodil se 16. března 1852 v Podivíně. Byl žákem několika obecných škol na
Hodonínsku a Uherskohradišťsku, od září roku 1865 pokračoval na piaristickém
gymnáziu ve Strážnici a o tři roky později na slovanském gymnáziu v Brně. Studia
ukončil v létě roku 1872 na učitelském ústavu v Brně, získal oprávnění k výuce na
obecných školách s českým vyučovacím jazykem.
Během své pedagogické kariéry působil na mnoha obecných a měšťanských školách
na Moravě. V Kloboukách se roku 1897 stal ředitelem měšťanské školy. Stejné místo
zastával ještě půl roku v Jaroměřicích nad Rokytnou (1905) a ve Strážnici (také 1905),
odkud dne 1. října 1912 odešel do důchodu. Do první světové války vykonával ještě
funkci inspektora českých škol spolku Komenského ve Vídni (1912 až 1914).
V prvorepublikovém období se dočkal důstojného věku, přesto se angažoval v Lipově
při zřizování nové měšťanské školy. Josef Úlehla zemřel 22. prosince 1933.1
1
O Úlehlově životě a díle viz [2], [4], [7] nebo [10].
125
Josef Úlehla po celý život působil „jen“ jako učitel národních a měšťanských škol,
na vysokou školu se ve své kariéře nedostal. Přesto během profesního života publikoval
150 článků z oblasti didaktiky a pedagogiky, psal recenze, překládal práce anglických
reformních pedagogů Herberta Spencera nebo Alexandra Baina, pro měšťanské školy
vydával učebnice matematiky a přírodopisu. Věnoval se i historii svých oborů, napsal
obsáhlou dvoudílnou monografii Dějiny mathematiky.2
2. Počet infinitesimální
Koncem 19. století se Josef Úlehla zasloužil o zřízení oblíbené a úspěšné edice
Encyklopaedická knihovna „Dědictví Komenského“, pod jejíž hlavičkou vyházela řada
pedagogických spisů i monografií. On sám v ní vydal didaktickou práci Listy
paedagogické,3 v níž shrnul některé své starší myšlenky, a již zmíněnou knihu Dějiny
mathematiky. Roku 1906 pod stejnou hlavičkou publikoval právě učebnici Počet
infinitesimální, která se dočkala druhého vydání v roce 1944.
2.1. První české učebnice infinitesimálního počtu
Vydávání česky psaných učebnic matematiky bylo u nás podmíněno vyučováním
v češtině na středních a vysokých školách; to bylo možno po zrovnoprávnění českého
a německého jazyka v roce 1848.
Nejstarší ucelené středoškolské učebnice matematiky vznikaly od 60. let 19. století.
První a zároveň jedinou knihou tohoto druhu o kalkulu je Přídavek k algebře pro vyšší
gymnasia4 Václava Šimerky (1819), vyšla v roce 1864 jako dodatek ke středoškolské učebnici Algebra čili počtářství obecné pro vyšší gymnasia5 stejného autora. Na
nevelikém rozsahu (56 stran) popisuje základy infinitesimálního počtu, k výuce na
středních školách však učebnice nebyla užívána. Na tomto stupni vzdělávání se tehdy
diferenciální a integrální kalkulus nevyučoval, k tomu došlo až po přijetí tzv.
Marchetovy reformy v roce 1909.6
První vysokoškolské studijní texty matematické analýzy vydal František Josef
Studnička (18361903) a Eduard Weyr (1852). František Josef Studnička
vyučoval od roku 1864 na pražské polytechnice, na tomto působišti vydal vlastním
nákladem trojdílnou knihu Základové vyšší mathematiky.7 Učebnice vyniká názorností
výkladu a množstvím aplikací látky v technických disciplínách, na druhou stranu
postrádá přesnost ve vyjadřování a pojmy vykládá spíše intuitivně, čímž odráží své
vzory z první poloviny 19. století. Až do počátku 20. století však jiné učebnice
k dispozici nebyly, přes své původní určení byl Studničkův text užíván i pro studenty
univerzity.8
2
Úlehla J.: Dějiny mathematiky. Dědictví Komenského, Praha, I. díl, 1901 a II. díl, 1913. Tuto knihu
rozebírá článek Vízek L.: Josef Úlehla (18521933) a jeho Dějiny mathematiky, in J. Bečvář,
M. Bečvářová (ed.): 32. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíčko, 26. 8. až 30. 8. 2011,
Matfyzpress, Praha, 2011, str. 275284.
3
Úlehla J.: Listy paedagogické. Dědictví Komenského, Praha, 1899.
4
Šimerka V.: Přídavek k algebře pro vyšší gymnasia. Dr. E. Grégr, Praha, 1864.
5
Šimerka V.: Algebra čili počtářství obecné pro vyšší gymnasia. Dr. E. Grégr, Praha, 1863.
6
Toto téma rozebírá např. Potůček J.: Vývoj vyučování matematice na štředních školách v období 1900–
1945. Pedagogická fakulta ZČU, Plzeň, 1992.
7
Studnička F. J.: Základové vyšší mathematiky. Nákl. vl., Praha, III. díl, 1867, I. díl, 1868 a II. díl, 1871.
8
První díl knihy byl vydán v roce 1878 podruhé. O Studničkově životě a díle viz Němcová M.: František
Josef Studnička 18361903. Prometheus, Praha, 1998.
126
Eduardovi Weyrovi vyšly o matematické analýze nejdříve litografované přednášky
Výklady o mathematice,9 jenž k tisku uzpůsobil jeho tehdejší asistent Antonín Vaňourek
(18661932). Z dalších Weyrových učebnic analýzy jmenujme Počet differenciální,10
který byl napsán proto, aby nahradil v té době již zastaralé Studničkovy texty. Weyrova
učebnice se nesetkala s nejlepším ohlasem. Na řadu nedostatků v této knize se snesla
kritika od Jana Viléma Pexidera (18741914), která přerostla v ostrý spor známý ve své
době i mimo matematické kruhy.11
2.2. Rozbor Úlehlova Počtu infinitesimálního
O pracích předchůdců Josef Úlehla věděl, v předmluvě knihy je stručně zhodnotil,
čímž nastínil motivace k sepsání své vlastní učebnice:12
V literatuře naší není dosud
elementární knihy, která by stručně
učila základům počtu diferenciálního a integrálního. Šimerkův Přídavek k algebře jest příliš stručný,
učebnice Studničkova a Weyrova
jsou nesnadny pro začátečníky.
Autor chtěl usnadnit studium na
vysokých školách absolventům
učitelských ústavů, kde se podle
jeho vlastní zkušenosti studium
matematiky zanedbávalo. Knihu
proto koncipoval pro samouky, což
ovlivnilo způsob výkladu látky.
2.2.1. Počet differenciální
Josef Úlehla publikaci rozdělil
do dvou částí nadepsaných Počet
differenciální a Počet integrální.
V první se zabýval zavedením derivace reálné funkce jedné proměnné, svůj přístup vysvětlil
v předmluvě, porovnal jej se zmiňovanými staršími tituly:13
Počtu differenciálnímu učím podle Leibnizovy metody infinitesimální; o differenciálu a integrálu tak, jak základní ty pojmy určil a vymezil sám původce jejich Leibniz.
V tom se odlišuje moje kniha od učebnic (Weyrovy, Studničkovy, Šimerkovy), kde se učí
tomuto počtu methodou limitní, která vzrostla z Newtonovy methody fluxionové.
9
Weyr E.: Výklady o mathematice. Dle přednášek vydal A. Vaňourek, Praha, I. díl, 1891 a II. díl 1892.
Weyr E.: Počet differenciálný. Jednota českých mathematiků, Praha, 1902.
11
O Pexiderově a Weyrově sporu viz např. Bečvář J. (ed.): Jan Vilém Pexider 18741914. Prometheus,
Praha, 1997.
12
1. vydání, str. 1.
13
1. vydání, str. 3.
10
127
V jednotlivých kapitolách Počtu differenciálního Josef Úlehla popsal pravidla
počítání s derivacemi, výsledky derivování různých algebraických výrazů a zmínil
Maclaurinovu, Newtonovu a Taylorovu řadu. Zabýval se také vyšetřením průběhu
funkcí. Popsal nalezení asymptot funkce a určení konvexity či konkavity. Ke hledání
extrémů funkce napsal:14
Jest velmi důležitý úkol vyšší mathematiky vypočítati, kdy f(x) nabývá největší nebo
nejmenší hodnoty, vypočítati její maximum a minimum.
To určíme, když položíme ( )
a vypočtenou hodnotu vložíme do ( ).
Na základě druhé derivace stručně vysvětlil, jedná-li se o maximum nebo minimum.
Jednotlivé závěry zpravidla neodůvodňoval, svůj text napsal jako „návod“ k počítání,
předkládaná pravidla takřka nezdůvodnil, nedokazoval obecnou platnost uvedených
postupů. K popisu maxima a minima bezprostředně připsal:
Nemůžeme-li určit při některém úkolu maxima nebo minima, pak musíme vyšetřiti
nejprv povahu křivky, která patří odvozené funkci ( ).
Tímto pravděpodobně mínil „nulovost“ první derivace v inflexním bodě; tomu se
ovšem v předvedených výpočtech vyhnul.
2.2.2. Počet integrální
V úvodu druhé části Počet integrální Josef Úlehla stručně konstatoval, že derivování
a integrování jsou opačné úkony, a prohlásil:15
Není obecných pravidel pro integrování, jsou jen pravidla zvláštní, jednotlivá.
Pokračoval přehledem primitivních funkcí k jednotlivým elementárním funkcím
(opět bez důkazu). Dále uvedl řadu konkrétních příkladů výpočtů neurčitých integrálů,
kterým předeslal vysvětlením potřebných „mechanismů“. Seznámil čtenáře se
substituční metodou a metodou per partes (v tehdejší terminologii označované jako
integrování počástečné).
Nejrozsáhlejší pasáž druhé části učebnice tvoří užití integrálního počtu. Nejdříve je
vyložen určitý integrál jako takový, následuje popis výpočtu délky křivek, obsahu
plochy pod grafem funkce, povrchu rotačních těles, objemu rotačních těles nebo těžiště.
Druhá část končí stručným pojednáním o diferenciálních rovnicích prvního řádu, jejich
aplikacích pro hledání předpisů křivek s předem danými vlastnostmi a jejich užitím ve
fyzikálních úlohách. Tuto, poslední část připojil k rukopisu František Nachtikal.16 Na
závěr celého studijního textu je zařazen krátký přídavek o obecném řešení algebraických rovnic třetího stupně a soupis analytických vyjádření některých zvláštních křivek.
2.2.3. Recenze
Na první vydání učebnice infinitezimálního počtu byly napsány tři recenze. První,
nepodepsaná vyšla v časopisu Komenský,17 zbývající jsou signovány iniciálou K. B.
14
1. vydání, str. 42; 2. vydání, str. 52.
1. vydání, str. 53; 2. vydání, str. 63.
16
František Nachtikal (18741939) byl český fyzik a pedagog, v době vydání Úlehlovy učebnice působil
na C. K. německé vyšší státní průmyslové škole v Brně.
17
Komenský 35(1907), č. 8 ze dne 14. 3. 1907, str. 123–124.
15
128
a byly otištěny ve Škole měšťanské18 a v Pedagogických rozhledech,19 podle podobnosti
textu se jedná pravděpodobně o téhož autora. V časopisu Komenský recenzent knihu
pouze stručně popsal a svůj text zakončil výčtem kapitol:
Obsah spisu vysvitne nejlépe z kapitol, jež spis zahrnuje: Počet diferenciální
(diferenciál a diferenciální poměr, logaritmy, funkce trigonometrické, funkce
hyperbolické, které úkoly se řeší počtem diferenciálním, křivky a jejich geometrie).
Počet integrální (integrování) daných integrandů, které úkoly se řeší počtem
integrálním: rektifikace, délky dané křivky, plošný obsah, povrch těles rotačních,
krychlový obsah tělesa rotačního, těžiště, křivka řetězová; diferenciální rovnice, které
úkoly se řeší diferenciálními rovnicemi, příklady z fysiky, jež zpracoval prof. Frant.
Nachtikal. Stručným příkladem o řešení rovnic stupně třetího a vyššího spis ukončen.
Ve zbývajících recenzích autor připomněl Úlehlovu vstřícnost ke čtenáři, vyzdvihl
názornost a jednoduchost výkladu a srozumitelnost textu. V recenzi z Pedagogických
rozhledů je napsáno:
Na všech výkladech řed. Úlehly je patrno, že je psal zkušený učitel a samouk, který
z blízka poznal obtíže soukromého studia a který proto hledí, aby své žáky, čtenáře
knihy, jich ušetřil.
Všechny recenze reagovaly na učebnici pozitivně, pozastavily se pouze nad několika
tiskovými chybami. Konkrétně je neuvedly, s optimismem však nechaly jejich opravu
na čtenáři, jak dokládají poslední věty z kritiky ve Škole měšťanské:
Přes pečlivou korrekturu zůstalo v knize přece trochu tiskových chyb, jak ostatně je
pochopitelno při díle, jež se hemží mathematickými vzorci a výpočty. Chyby ty však
pozorný čtenář snad si opraví.
2.2.4. Druhé vydání
Vstřícný přístup Úlehlova textu vedl ke značné oblibě učebnice v příslušném okruhu
čtenářů. Za druhé světové války, během uzavření českých vysokých škol, se zvedla
poptávka právě po studijních textech určených samoukům. Úlehlův smysl pro
srozumitelnost, který citované recenze vyzdvihují, vedl k tomu, že učebnice svého
autora „přežila“. Ke druhému vydání došlo až po Úlehlově smrti. Pod názvem Vyšší
matematika bez učitele se dočkala vytištění v březnu 1944; k vydání ji připravili
František Navara a Miroslav Litomiský.20
Text druhého vydání je obsahově totožný s původním, je ovšem vysázen znovu,
nejedná se tedy o pouhý reprint. Redaktoři opravili tiskové chyby z prvního vydání
a také některé pasáže přizpůsobili soudobé terminologii. Například zmiňované
integrování počástečné nazývají integrací po částech21 apod.
18
Škola měšťanská 9(1907), č. 7 ze dne 4. 4. 1907, str. 21–22.
Pedagogické rozhledy 20(1906−1907), č. 8, květen 1907, str. 614−616.
20
Pro české studenty, kteří nemohli za německé okupace studovat na vysokých školách, vydával učební
texty také Bohumil Bydžovský (18801969), Vojtěch Jarník (18971970) nebo Vladimír Kořínek
(18991981). Viz např. Bečvář J., Kohoutová Z.: Vladimír Kořínek (18991981). Ústav pro soudobé
dějiny AV ČR, Praha, 2005.
21
1. vydání, str. 62; 2. vydání, str. 72.
19
129
Editoři knihu doplnili o seznam
doporučené literatury podobného
zaměření, za originální Úlehlovu
předmluvu zařadili nové úvodní
slovo:22
Vydáváme nyní toto dílo z novu,
ale ne především z piety k autorovi.
„Počet infinitesimální“ je totiž také
první česká publikace svého druhu,
napsaná pro široké kruhy zájemců
o hlubší
studium
matematiky,
tohoto duchovního nástroje logiky,
a má tedy nemalou cenu kulturně
historickou.
Vydavatelé vyzdvihli klady
původní práce, především názorný
výklad. V dalším odstavci napsali:
Od původního úmyslu, doplnit
knihu zevrubnými důkazy všech
pouček v ní uvedených, upustili
jsme jednak proto, aby její rozsah
příliš nevzrostl, jednak, aby nebyl
porušen její svéráz.
Ponecháním stručnosti textu se také redaktoři ztotožnili s Úlehlovým konceptem:
učebnice jako „návod“ k počítání. Důkazy nebo hlubší vysvětlení některých partií
k textu nepřipojili, zvolili původní jednoduchost vhodnou pro tehdejší čtenáře, kterým
se ve válečných letech nedostávalo studia na vysokých školách. O jejich uzavření za
německé okupace se však nezmiňují. Ovšem v samotném názvu druhého vydání Vyšší
matematika bez učitele tehdejší neutěšenou situaci mezi řádky můžeme vytušit.
3. Hodnocení a závěr
Kladné stránky Úlehlovy učebnice byly výše popsány, obrací se k nim i uváděné
recenze. O případných negativech je však třeba se také zmínit. Po obsahové stránce
nezůstane bez povšimnutí, že se Josef Úlehla ani v nejmenším nezabývá soudobým
zpřesňováním matematické analýzy. Nové chápání a definování funkcí, jejich vlastnosti
a především pojetí limit a derivací pomocí „ a  aritmetiky“ Úlehlova učebnice vůbec
nezmiňuje. Autor v podstatě pracuje pouze se závěry, demonstruje postupy výpočtu na
jednotlivých příkladech. Důkazy a širokou teorii stojící pod nimi nevysvětluje.
Josef Úlehla sledoval především jiné cíle, chtěl předvést širokému okruhu čtenářů
výpočty a užití infinitezimálního kalkulu. S určitou povrchností v některých příkladech
nebo neúplností bychom ale polemizovat mohli. Například ve zmiňovaném popisu
nalezení extrémů funkce odkazuje Josef Úlehla na další čtenářovo studium, přitom
celkově v knize neuvádí použitou literaturu.
22
2. vydání, str. 10.
130
Přes uvedené nedostatky je Počet infinitesimální nejen inspirativním odrazem svého
tvůrce, ale může být i určitým vodítkem v současné výuce kalkulu. Kniha představuje
způsob výkladu látky pro samouky, předkládá mnoho řešených příkladů a zajímavých
aplikací kalkulu. Právě aplikacemi by mohly být současné sbírky obohaceny, tato
učebnice může přispět k výuce základů matematické analýzy v prvním semestru
vysokoškolského studia a může být pro studenty a pedagogy motivující vstupní branou
do infinitezimálního světa.
Literatura
[1]
Bečvářová M.: Česká matematická komunita v letech 1848 až 1918. Matfyzpress,
Praha, 2008.
[2]
Bečvářová M.: Josef Úlehla. Učitel matematiky 13(2004), str. 3948.
[3]
Komenský, časopis paedagogický. Orgán spolku moravských učitelů v Olomouci,
Olomouc, 1873 a dále
[4]
Kopáč J.: Josef Úlehla a moravské učitelstvo. Universita J. E. Purkyně v Brně,
Brno, 1967.
[5]
Pedagogické rozhledy. Dědictví Komenského, Praha, 1887 až 1932.
[6]
Škola měšťanská. Zemská ústředí jednota učitelstva měšťanských škol českých,
Praha, 1905 až 1941.
[7]
Táborský F.: Několik listů Josefa Úlehly. Radhošť, Praha, 1934.
[8]
Úlehla J.: Počet infinitesimální. Dědictví Komenského, Praha, 1906.
[9]
Úlehla J.: Vyšší matematika bez učitele. Česká grafická unie, Praha, 1944.
[10] Vízek L.: Josef Úlehla (18521933) a jeho Dějiny mathematiky, in J. Bečvář,
M. Bečvářová (ed.): 32. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíčko,
26. 8. až 30. 8. 2011, Matfyzpress, Praha, 2011, str. 275284.
Poděkování
Práce vznikla díky podpoře grantu GA ČR P401/10/0690 Prameny evropské
matematiky, rozvojového projektu Doktorské studium oboru M8 a projektu
Specifický vysokoškolský výzkum 2011-261-315.
Adresa
Mgr. Lukáš Vízek
Katedra didaktiky matematiky MFF UK
Sokolovská 83
186 75 Praha 8
e-mail: [email protected]
131
Môžu študenti zvládnuť Matematiku
na SjF STU v Bratislave?
Viera Záhonová
Ústav matematiky a fyziky, SjF STU
Námestie slobody 17, 812 31 Bratislava, Slovenská republika
E-mail: [email protected]
Abstrakt: Počet hodín venovaných výučbe matematiky na stredných školách sa neustále
znižuje a v súvislosti s tým aj vedomosti z matematiky u študentov, ktorí prichádzajú na SjF
STU v Bratislave. Príspevok je venovaný dopadu povinne voliteľného predmetu Doplnkové
cvičenia z Matematiky I na získanie zápočtu a skúšky z predmetu Matematika I.
Abstract: The number of lessons devoted to teaching mathematics on high schools continues
to diminish and consequently the mathematical knowledge in students that come to SjF STU
in Bratislava is reduced as well. This contribution is devoted to impact of compulsory elective
subject Supplementary Exercises in Mathematics I on acquiring credit and exam in the
subject Mathematics I.
1. Úvod
Počet hodín matematiky na stredných priemyslových a odborných školách výrazne
poklesol, niekde zo 14 hodín na 6 hodín týždenne počas celého štúdia. Na Strojníckej fakulte
viac ako 50% študentov je práve z týchto škôl. V dôsledku nízkej výmery hodín matematiky
na strednej škole, títo študenti nemôžu maturovať z matematiky, pretože odporúčaná týždenná
dotácia pre maturitu je 12 hodín. Tiež treba podotknúť, že hodinová dotácia z matematiky je
už znížená aj na základných školách. Napriek tomu sa títo študenti hlásia na vysoké školy
technického zamerania a tu, hlavne v prvom semestri, im chýbajú základné vedomosti
a zručnosti z matematiky.
2. Úbytok študentov v Matematike I a Matematike II
Základné vedomosti z matematiky určite ovplyvňujú zvládnutie predmetu Matematika I a
neskôr aj Matematika II.. Nasledujúce grafy ilustrujú absolvovanie predmetov Matematika I.
a Matematika II. V grafoch na poslednom mieste sa výrazne zväčšil stĺpec označený „bez
ukončenia:“ Po viacročných skúsenostiach sme neudelili zápočet tým študentom, ktorí
z cvičení v predmete Matematika I nezískali 13 zo 40 bodov a v Matematike II 10 z 30 bodov.
Prvý stĺpec v grafoch znamená počet zapísaných študentov v prvom ročníku na začiatku
školského roka.V daných predmetoch prevažuje hodnotenie E, hodnotenie A sa v Matematike
I objavuje zriedka.
132
Matematika I
600
500
Zapísaní
400
Úspešne ukončení
300
Neúspešne ukončení
200
Bez ukončenia
100
0
2007/08
2008/09
2009/10
2010/2011
Matematika II
600
500
Zapísaní
400
Úspešne ukončení
300
Neúspešne ukončení
200
Bez ukončenia
100
0
2007/08
2008/09
2009/10
Z grafov je zrejmé, že tí študenti, ktorí zvládnu Matematiku I, zvládnu aj Matematiku II. Sú
však aj študenti, je ich zanedbateľný počet, ktorí aj keď nemajú skúšku z Matematiky I,
zvládnu Matematiku II, ktorá sa dá absolvovať aj bez úspešného ukončenia predmetu
Matematika I.
3. Vstupný test z matematiky
Vzhľadom na uvedené skutočnosti už v šk. roku 2008/09 na prvom cvičení z Matematiky I
študenti písali veľmi jednoduchý test, kde mali štyri odpovede, pričom iba jedna z nich bola
správna. Celkový počet otázok bol 11, prvých osem bolo za 1 bod, zvyšné tri boli za 2 body,
teda počet bodov, ktoré mohol študent získať z testu bol 14. Aby sme si vedli predstaviť
obtiažnosť otázok, tak napríklad jednobodové otázky boli:
• Výraz
x 2 + 4 možno upraviť na tvar ...
• Koľko riešení na intervale 0,π má rovnica sin x =
1
?
2
• Rovnica x 2 + y 2 = 4 je rovnicou...
Na takéto otázky by mal úspešne skončený stredoškolák odpovedať bez výpočtov. Výpočet bol však
nutný pri niektorých dvojbodových otázkach. Tu sú príklady:
• V kvadratickej rovnici x 2 + x + q = 0 je jeden koreň x1 = 2 . Určte parameter q a druhý koreň
x2 .
• Ktoré z uvedených tvrdení o funkcii y = cos
133
x
je pravdivé?
2
Taký istý test písali aj študenti, ktorí nastúpili na štúdium v školskom roku 2010/11. Na nasledujúcom
obrázku sú výsledky testov.
Vstupný test (2008)
Vstupný test (2010)
11%
15%
34%
0-6 bodov
42%
7-11 bodov
0-6 bodov
7-11 bodov
12-14 bodov
12-14 bodov
47%
51%
Ak porovnáme tieto dva vstupné testy, vidíme, že úroveň vedomostí v roku 2010 je nižšia ako
v roku 2008. Pokiaľ porovnáme výsledky podľa tématických celkov dostaneme
80
69
65
68
60
48
35
Priem.úspeš.(%) 40
58
52
42
32
31
áno
nie
20
.g
eo
m
.
an
al
yt
fu
nk
ci
a
ro
vn
ic
ein
é
ro
v.
kv
ad
r.
vý
ra
zy
0
Jednotky učiva
Vidíme, že 52 % prijatých študentov neovláda funkcie a 58% má dosť veľké nedostatky
z analytickej geometrie. Nemôžeme byť spokojní ani s ostatnými výsledkami, pretože
vzhľadom na náročnosť testu, ideálne by bolo, keby odpovede sa pohybovali v rozmedzí
12 – 14 bodov.
4. Doplnkové cvičenia z Matematiky I
V školskom roku 2010/2011 po prvýkrát si študenti na SjF STU zapísali do indexov
povinne voliteľný predmet Doplnkové cvičenia z Matematiky I, ktorý je ukončený zápočtom.
Na základe vstupného testu bol povinným pre všetkých, ktorí na teste dosiahli 6 a menej
bodov, teda pre 42% študentov. Ostatní predmet mohli a nemuseli navštevovať. Nízka
hranica bodov bola určená z kapacitných dôvodov. Študenti boli rozdelení do deviatich
skupín. Cvičenia v týchto skupinách viedli doktorandi odborných ústavov. Títo sa každý
týždeň pravidelne stretávali s učiteľom matematiky, ktorý im podrobne vysvetlil učivo na
cvičenia a preriešil príklady. Učiteľ tiež pripravil aj dostatočné množstvo príkladov
s výsledkami na samostatnú prácu študentov, ktoré boli dostupné v AIS. Obsahom cvičení
134
bolo doplnenie vedomostí zo strednej školy, a to hlavne úprave algebrických výrazov,
riešeniu rovníc a nerovníc, analytickej geometrii v rovine (vyjadrenie priamky
a kužeľosečiek) a funkcii (definičný obor, graf, vlastností funkcií, základné elementárne
funkcie).
Na konci semestra, študenti, ktorí sa zúčastňovali Doplnkových cvičení z Matematiky I opäť
písali test tej istej úrovne ako na začiatku. Malo sa ho zúčastniť 183 študentov, 28 sa ho však
nepísalo. Úspešnosť výstupného testu je na nasledujúcom grafe.
Úspešnosť - výstupný test
15%
nepísali
16%
3 - 6 bodov
7-14 bodov
69%
Vidíme, že na základe kritérií pri vstupnom teste 69% študentov test napísalo.
5. Vplyv Doplnkových cvičení z Matematiky I na zápočet a skúšku
183 študentov navštevovalo Doplnkové cvičenia z Matematiky I. Už počas semestra 30
z nich prestalo navštevovať predmet Matematika I. Z tých, ktorí ostali, 95 získalo 13 bodov
zo 40 z cvičení z Matematiky I, teda získali aj zápočet. Bohužiaľ 58 študentov nezískalo
zápočet, pričom 6 z nich ani nevyužilo možnosť získať zápočet v náhradnom termíne, 43
z nich urobilo aj skúšku. Nasledujúci graf porovnáva výsledky študentov, ktorí „napísali“
(mali 7 a viac bodov zo 14) vstupný test a tých, ktorí mali povinné Doplnkové cvičenia
z Matematiky I. Graf nezohľadňuje počet tých, ktorí zanechali štúdium počas prvého
semestra. Prvý stĺpec je počet všetkých študentov (bez doplnkových cvičení alebo čo mali
povinné doplnkové cvičenia), druhý počet tých, ktorí získali zápočet a nakoniec sú tí, ktorí aj
urobili skúšku.
Zápočet a skúška z MI
300
250
200
240
183
179
150
Počet
Z
v
104
95
100
S
43
50
0
bez DCv
DCv
135
6. Záver
Z posledného grafu je zrejmé, že študenti, ktorí mali povinné doplnkové cvičenia a mali
veľmi slabé základy z matematiky, boli schopní aj za pomoci doktorandov a učiteľov tieto
základy si doplniť, získať zápočet a tiež aj skúšku z Matematiky I. Takto mali zabezpečený
postup do letného semestra. Počet kreditov potrebných na postup do ďalšieho semestra je 10,
a to je aj počet kreditov, ktorý študent získa za úspešné ukončenie predmetu Matematika I. Aj
keď percentuálny počet tých, ktorí majú skúšku v skupine tých čo absolvovali doplnkové
cvičenia je nižší ako u zvyšných študentov, aj tak si myslíme, že doplnkové cvičenia sú
prínosom a môžu pomôcť tým, ktorí majú skutočný záujem o štúdium. V budúcnosti by sme
boli radi, keby sa nám podarilo získať viac doktorandov na výučbu a vytvoriť viac skupín.
Potom by sa mohla aj posunúť bodová hranicu vyššie a viac študentov by mohlo zvládnuť
matematiku v prvom semestri. Na záver je snáď vhodné ešte raz poznamenať, že študenti,
ktorí úspešne absolvujú Matematiku I vo väčšine už nemajú problémy s matematikou
v druhom semestri.
136
VYUŽITÍ E-LEARNINGOVÝCH PRVKŮ VE
VÝUCE
Stanislav Zajaczek, Jaromír Kijonka, Karel Chrobáček, Petr Orság,
Katedra elektrotechniky, VŠB-TU Ostrava
17. listopadu, 708 33 Ostrava-Poruba
E-mail : [email protected],
[email protected],
[email protected], [email protected]
Abstrakt: Příspěvek se zabývá využitím e-learningových prvků ve výuce přechodných jevů. Zavádíme, mimo
jiné, tak zvané „virtuální laboratoře“, které studentům umožňují rozšíření poznatků dané problematiky a
především rozvíjí jejich samostatné myšlení. Velký důraz klademe rovněž na práci v týmech.
Abstract: This paper deals with the use of e-learning elements in the teaching of transient phenomena. We
introduce, among other things, the so-called "virtual labs" that allow students to spread the knowledge of the
issue and, in particular developing their independent thinking. Great emphasis is also to work in teams.
1.
Úvod
Na základě odezvy několika velkých firem na naše absolventy, bylo zjištěno, že studentům,
kteří ukončí bakalářské či magisterské studium, nechybí ani tak znalosti, jako spíše schopnost
prezentovat jak sebe, tak také svou práci. Velmi se cení také schopnost pracovat v malých
týmech. Toto zjištění nás vedlo k tomu, že jsme vytvořili pro studenty týmový experiment, ve
kterém by si měli osvojit právě tyto požadavky.
Dalším problémem, se kterým se pravděpodobně potýkají všechny vysoké školy je rozdílná
úroveň znalostí studentů, přicházejících z různých středních škol, např.: Střední odborné
školy, gymnázia. A právě jednou z možných cest, jak se vypořádat s těmito rozdíly, je
zavádění e-learningových prvků do výuky.
2.
Organizace týmového experimentu
Týmový experiment se dá rozdělit na dvě základní části. První část probíhá v laboratořích a
druhá část závisí na dohodě studentů. Po příchodu do laboratoře jsou studenti vyučujícím
vyzváni, aby si sami vytvořili 4-5 členné týmy. Počet studentů v týmu odpovídá aktuálnímu
počtu studentů ve skupině. Před samotným započetím práce musí studenti odevzdat
pedagogovi jmenný seznam s vyznačeným vedoucím týmu, kterého si sami ze svých řad volí.
Vedoucí týmu má zvláštní úkoly:
1. Ve výuce - koordinuje vytváření pracovních týmů s ostatními vedoucími týmů, před
zahájením experimentu odevzdá pedagogovi seznam studentů pracovního týmu, koordinuje
sběr dat na konci experimentu od pracovních skupin;
137
2. Při zpracování protokolu a přípravě prezentace – vymezuje náplň protokolu, rozsah
aplikace virtuální laboratoře, koordinuje témata prezentací jednotlivých studentů, přičemž ani
jeden student v rámci jednoho pracovního týmu nemůže prezentovat totéž, co jiný student.
Řídí rozdělení prezentací všech studentů pracovní skupiny, tak aby pokryly celou řešenou
oblast a garantuje rozdělení;
3. Při prezentaci – vedoucí pracovní skupiny zahajuje prezentaci tím, že na začátku uvede
seznam autorů s názvy prezentací jejich dílčích prací. Prezentace všech studentů musí být
realizovány v průběhu jedné vyučovací hodiny po odevzdání protokolu týmového
experimentu.
Jak je vidět z úkolů vedoucích je týmový experiment dále dělen na tři části:
a) Měření
b) Výpočty a vypracování protokolu o měření
c) Prezentace výsledků
3.
Části týmového experimentu
V první části měří studenti podle zadání a návodu laboratorní úlohu. Rozdělí se v rámci své
skupiny na dvě menší podskupiny po dvou, případně třech studentech, každá z těchto
podskupin měří samostatně. Mají tedy k dispozici dvoje naměřené hodnoty, které se mohou
lišit v závislosti na nastavených parametrech prvků.
Hodnoty parametrů si určí každý tým sám. Za koordinaci a sběr dat odpovídá, jak již bylo
zmíněno, vedoucí týmu. Další část experimentu je již zcela na jednotlivých týmech.
Jako pomůcky při výpočtech a vypracování protokolu slouží studentům řada e-learningových
prvků. Jedním z nich jsou animace, které pomáhají studentům pochopit základní principy a
postupy při výpočtu diferenciálních rovnic druhého řádu. Další pomůckou jsou natočené
instruktážní videa. Ve videích jsou studentům popsány a ukázány postupy měření, včetně
postupů při samotném zapojení. Tím si mohou studenti dopředu promyslet jak a co chtějí
měřit. Nespornou výhodou jsou tato videa především pro kombinovanou formu výuky, která
má pouze omezený přístup do měřících laboratoří. Jako obrovský přínos pro studenty se jeví
další možnost, a to virtuální laboratoře. Jedná se o laboratoře vytvořené v prostředí MS Excel,
tento program byl zvolen pro jeho dostupnost. Do těchto virtuálních laboratoří zadají studenti
naměřená, případně vypočtená data. Po stisknutí jediného tlačítka se zobrazí grafy okamžitých
hodnot napětí, proudu, výkonu a energií v daném obvodu. Tyto hodnoty, zvláště výkony a
energie, jsou mimo tuto virtuální laboratoř jen velmi těžko zobrazitelné.
Díky této virtuální laboratoři mají studenti možnost lépe pochopit podstatu problému.
Nezabývají se již pouze běžnými výpočty, tak jak tomu bylo doposud, ale mohou zaměřit
svou pozornost na konkrétní jev, který je zajímá a následně jej vyhodnotit. Všechny změřené,
simulované a vypočtené hodnoty poté týmy zpracují do protokolu. Protokol studenti
odevzdávají jeden za celý tým.
Posledním úkolem, který stojí před studenty je vytvořit prezentace a odprezentovat je před
celou studijní skupinou. Každý člen skupiny musí odprezentovat část z týmového
experimentu. Body získají studenti je tehdy, pokud prezentují výpočty všichni členové týmu.
138
4.
Zhodnocení
Požadavky z praxe a rozdílná úroveň studentů si vyžádali přechod z klasického pojetí výuky
k modernějšímu, především k jeho e-learningovým formám. Přinese-li tento typ výuky tížené
ovoce v podobě pochopení základních principů studenty, ukáže až čas. Nicméně budoucnost
takového typu výuky spatřujeme v tom, že se studentům nenutí striktní zadání, studenti se
sami mohou rozhodnout co vypracují a jak, a tím se vlastně sami i ohodnotí. Učitel jim
v tomto případě nabídne pouze možnost volby. Na studenty se tedy přenáší odpovědnost se
sám rozhodnout a nést za toto rozhodnutí následky v podobě bodového ohodnocení.
139
Seznam účastníků
Inž. Robert Baron
PS Gliwice
[email protected]
Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc.
MFF UK Praha
[email protected]
Ing. Josef Bednář, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
Doc. RNDr. Zdeněk Boháč, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Jiří Bouchala, CSc.
KAM VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Dagmar Dlouhá, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Milan Doležal, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Ing. Hana Doležalová, Ph.D.
ÚGN AV ČR Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Jarmila Doležalová, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Jana Hoderová, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
Doc. Dr. Mgr. Ivan Kolomazník
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Dr. Inž. Zygmunt Korban
PS Gliwice
[email protected]
Mgr. Petr Kovář, Ph.D.
KAM VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Prof. Dr. Hab. Inž. Stanisław Kowalik
PS Gliwice
[email protected]
Mgr. Inž. Leszek Kowalik
PS Gliwice
[email protected]
RNDr. Břetislav Krček, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Pavel Kreml, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Ing. Petr Kundrát, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Prof. RNDr. Vladislav Navrátil, CSc.
PdF MU Brno
[email protected]
Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D.
PdF MU Brno
[email protected]
Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
RNDr. Marie Polcerová, Ph.D.
FCH VUT Brno
[email protected]
Mgr. Marcela Rabasová
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Petr Salač, CSc.
FS TU Liberec
[email protected]
Ing. Petra Schreiberová, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
140
RNDr. Dana Smetanová, Ph.D.
PřF UP Olomouc
[email protected]
Ing. Milan Šimko
FP TU Liberec
[email protected]
Mgr. Martina Štěpánová
MFF UK Praha
[email protected]
Ing. Eva Tomášková, Ph.D.
PF MU Brno
[email protected]
RNDr. Michaela Tužilová, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Ing. Jan Unger
FEI VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Petr Vašík, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
Mgr. Lukáš Vízek
MFF UK Praha
[email protected]
Mgr. Petr Vodstrčil, Ph.D.
KAM VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Petr Volný, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Viera Záhonová, CSc.
SjF STU Bratislava
[email protected]
Ing. Stanislav Zajaczek, Ph.D.
FEI VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Jitka Zatočilová, Ph.D.
FSI VUT Brno
[email protected]
141
Název:
Sborník z 20. semináře
Moderní matematické metody v inženýrství
Místo, rok, vydání:
Ostrava, 2011, I. vydání
Počet stran:
143
Vydala:
VŠB - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
Katedra:
matematiky a deskriptivní geometrie
Náklad:
60 ks
Neprodejné
ISBN 978-80-248-2517-5
Download

pdf, 143 pages - 3mi - Vysoká škola báňská