T.C.
SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN
OPTĐMĐZASYONU
Bekir KARAGÜL
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ
MAKĐNA ANABĐLĐM DALI
KONYA 2010
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OPTĐMĐZASYONU
BEKĐR KARAGÜL
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Makine Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Ziya ŞAKA
2010, 47 Sayfa
Jüri: Prof. Dr. Ziya ŞAKA
Doç. Dr. Hacı SAĞLAM
Yrd. Doç. Dr. Hüseyin ĐMREK
Endüstriyel hidrolik sistemlerde hem pompa hem de motor olarak kullanılan
gerotorlar, akışkanları devir sayısı ile doğru orantılı olarak aktaran mekanizmalardır.
Bu çalışmada episikloid esaslı gerotor profillerinin optimum olarak tasarımı
amaçlanmıştır. Bunun için önce gerotor geometrisi ele alınarak profillerin denklemi
parametrik olarak elde edilmiştir. Profilde oluşacak en büyük Hertz basıncını
belirlemek üzere minimum eğrilik yarıçapı formüle edilmiş ve sayısal olarak
bulunabileceği gösterilmiştir. Gerotor debisini bulmak için bir devirde süpürülen
alan matematiksel olarak hesaplanmıştır. Değişik boyutlardaki gerotor profilleri için
minimum eğrilik yarıçapı ve süpürülen alan değerleri sayısal olarak bulunmuştur. Bu
değerler üç boyutlu grafiklerde gösterilerek izin verilebilecek en küçük eğrilik
yarıçapına ve en büyük debiye sahip optimum gerotor profilleri belirlenmeye
çalışılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Gerotor, Episikloid, Hertz Basıncı, Minimum Eğrilik
Yarıçapı, Gerotor Debisi
i
ABSTRACT
Master Thesis
OPTIMIZATION OF GEROTOR PROFILES
BEKĐR KARAGÜL
Selçuk University Institue of the Natural and Applied Scienses
Department of Mechanical Engineering
Supervisor: Prof. Dr. Ziya ŞAKA
2010, 47 Page
Jury: Prof. Dr. Ziya ŞAKA
Assoc. Prof. Dr. Hacı SAĞLAM
Assist. Prof. Dr. Hüseyin ĐMREK
The gerotors used as pump or motor on the industrial hydraulic systems are
the mechanisms transferred fluids proportionally with the angular velocity. In this
study, it is purposed optimal design of epicycloid based gerotor profiles. For this
purpose, at first by considering geometry of gerotor, it is obtained equations of
profile parametrically. Minimum radius of curvature has been formulated to
determine maximum Hertzian stresses occured on the profile, it is shown to be able
calculating numerically. In order to determine flowrate of the gerotor, the area swept
in one revolution is mathematically calculated. Minimum radius of curvature and
swept area values for different dimensions of gerotor profiles are found numerically.
By plotting these values on the three dimensional graphics, it is tried to determine the
optimal gerotor profiles having permitted minimum radius of curvature and
maximum flowrate.
Key words: Gerotor, Epicycloid, Hertzian stress , minimum radius of
curvature, gerotor flowrate
ii
ÖNSÖZ
Tez çalışmam sırasında beni yönlendiren ve değerli katkılarını esirgemeyen
danışman hocam Prof. Dr. Ziya ŞAKA’ya teşekkürlerimi sunarım.
Konya, 2010
Bekir KARAGÜL
iii
ĐÇĐNDEKĐLER
ÖZET……………………………………………………………………………...... i
ABSTRACT………………………………...……………………………………… ii
ÖNSÖZ…………………………………………………………..………………… iii
ĐÇĐNDEKĐLER……………………………………………………………………..iv
SĐMGELER LĐSTESĐ……………………………………………………………....v
1.GĐRĐŞ…………………………………………………………………………….. 1
2. KAYNAK ARAŞTIRMASI……………………………………………………. 3
3. GEROTORLARIN TASARIM METOTLARI………………………………. 5
3.1. Episikloid Esaslı Gerotorlar……………………………………………………. 5
3.2. Zarf Teorisi…………………………………………………………………….. 9
4. GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OLUŞTURULMASI…………………...….. 13
5. EĞRĐLĐK YARIÇAPI ANALĐZĐ……………………………………………... 18
6. HERTZ BASINCI……………………………………………………………… 23
7. GEROTOR DEBĐSĐ……………………………………...…………………… 26
8. OPTĐMĐZASYON……………………………………………………………… 33
8.1 Gerotor Profilinin Optimizasyonu………………………………………….…...33
9. SONUÇ VE ÖNERĐLER………………………………………………………..42
9. KAYNAKLAR…………………………….. ………………………………….. 44
EK-1………………………………………………...……………………………... 46
EK-2………………………………………………...……………………………... 47
iv
SĐMGELER
Simge
Açıklama
Birim
A
Alan
mm2
c
Parametre
e
Eksantriklik
mm
E
Elastisite modülü
N/mm2
EE, EF
Eliptik integral
f, h, k
Fonksiyon
F
Kuvvet
N
g
Pim Yarıçapı
mm
H
Kalınlık
mm
K
Eğrilik
1/mm
l
Uzunluk
mm
p
Ofset Mesafesi
mm
PH
Hertz Basıncı
N/mm2
r
Yuvarlanan Daire Yarıçapı
mm
R
Temel Daire Yarıçapı
mm
Re
Eşdeğer Eğrilik Yarıçapı
mm
Rm
Profildeki Maksimum Yarıçap
mm
x
Kartezyen Koordinat
mm
y
Kartezyen Koordinat
mm
z
Diş Sayısı
ρ
Eğrilik Yarıçapı, Kutupsal Koordinat
mm
θ
Kutupsal Koordinat, Açı
(°)
α, β, γ, θ
Açı
(°)
v
1
1. GĐRĐŞ
Gerotor, bir akışkanı devir sayısı ile orantılı olarak taşıyan pozitif
deplasmanlı bir pompa mekanizmasına verilen isimdir. En yaygın kullanım şekli olan
hidrolik pompa özelliğinin yanı sıra hidrolik motor olarak da yaygın bir şekilde
kullanılmaktadır. Ayrıca, sikloid profilli çarklar da genel olarak “gerotor” olarak
adlandırılır. Bu kelime Hill (1927) tarafından “GEnerated ROTOR” ifadesinden
türetilmiştir.
Gerotor pompa mekanizması iki elemandan oluşur: Đç rotor (rotor) ve dış
rotor (çark). Đç rotorun ekseni dış rotorun eksenine göre bir miktar kaçıktır. Đç rotor
motordan aldığı dönme hareketiyle dış rotoru da döndürür. Đç rotorun diş sayısı her
zaman dış rotorunkinden bir diş eksiktir. (Şekil 1.1). Bu sayede dişler arasında emme
ve basma hacimleri meydana gelir. Rotorlar dönmeye başladığı zaman bir tarafta
artan hacim, diğer tarafta ise azalan hacim oluşur. Artan hacimde emme, azalan
hacimde ise basma işlemi gerçekleşir. Eksik dişin oluşturduğu bu hacim (Şekil 1.2),
her devirde pompalanan akışkanın hacmini belirler. Diş sayısı pompalanacak akışkan
hacmine, hıza ve pompa gövdesine bağlı olarak değişebilir.
Đç Rotor
Dış Rotor
Şekil 1.1 Gerotor pompa mekanizması
2
Birbirlerine göre eksantrik ve sabit merkezli rotorlar dönünce, iç ve dış
rotorların dişleri arasındaki boşluk her devirde yaklaşık olarak 180° lik bir dönüşle
maksimum boyuta kadar artar. (Eksik dişin hacmine eşit oluncaya kadar.) Yarım tur
boyunca giderek artan boşluğa, emme ve kısmi vakumla sıvı aktarılır. Bunu takip
eden 180° lik dönüş boyunca dişlerin birbiri içine girmesi ile boşluk giderek azalır ve
akışkan, boşaltma kapağından çıkmaya zorlanır. Bu sırada iç ve dış rotor belli
noktalarda birbiriyle sürekli temas halindedirler. (Şekil 1.2) Gerotor, hidrolik motor
olarak kullanıldığı zaman ise bu olay tersine gerçekleşir.
Azalan Hacim
Artan Hacim
Şekil 1.2 Đç ve dış rotor arasındaki hacim
Đç ve dış rotorun birbiriyle sürekli olarak temas etmesi sebebiyle, temas
noktalarında Hertz basınçları oluşur. Basıncın şiddeti temas kuvveti ile doğru
orantılı, eğrilik yarıçapı ile ters orantılıdır. Eğrilik yarıçapının artması Hertz basıncını
azaltır, fakat boyutları büyütür ve debiyi azaltır. Basıncın artması aşınmayı artırır, bu
da gerotorun ömrünü azaltır. Uzun ömürlü bir mekanizma için debiyi çok
azaltmayacak, fakat minimum eğrilik yarıçapının makul değerlerde olmasını
sağlayacak bir optimum bir çözüm bulunabilir.
3
2. KAYNAK ARAŞTIRMASI
Gerotorların geçmişi 1900’ lü yıllara kadar dayanmaktadır. Hill (1927),
gerotorlarla ilgili ilk çalışmasını yapmış ve 1906’ dan 1921’ e kadar bütün zamanını
gerotoru geliştirmek için harcamıştır. Bunlarla ilgili geometrik teoriyi geliştirmiş,
gerotor kelimesini “GEnerated ROTOR” kelimelerinden türetmiş ve gerotorlarla
ilgili temel patentleri almıştır.
Stryczek (1990), gerotor profillerinin oluşum mekanizmasını açıklamıştır.
Episikloid ve hiposikloid esaslı gerotor profillerinin zarf teorisi yardımıyla
parametrik denklemlerini elde etmiştir. Đç ve dış zarf teorisini ayrıntılı olarak
açıklayarak, episikloid ve hiposikloid esaslı gerotor profillerinin nasıl elde
edilebileceğini göstermiştir.
Stryczek (1993), gerotor hidrolik motor ve pompalarda kullanılan episikloid
ve hiposikloid esaslı profillerin karakteristik parametrelerini ele alarak bunların
hidrolik akış üzerindeki etkilerini incelemiştir. Episikloid ve hiposikloid esaslı
profillerin etkilerini karşılaştırarak aralarındaki farkları belirtmiştir.
Beard, Hall ve Soedel (1991), episikloid ve hiposikloid esaslı gerotor
profillerini ele alarak tasarım parametrelerine göre matematiksel denklemlerini elde
etmişlerdir. Bunlara bağlı olarak debi ve sıkıştırma oranı gibi değişik çalışma
karakteristikleri arasında karşılaştırma yapmışlardır.
Kwon, Kim ve Shin (2008), gerotorlarda aşınmayla ilgili çalışmalarında önce
profil denklemleri yardımıyla, alttan kesmeyi önlemek için gerekli minimum eğrilik
yarıçapını bulmuşlardır. Daha sonra hidrodinamik etkiyi dikkate almaksızın iç ve dış
rotor arasındaki Hertz basınçlarının değişimini incelemişlerdir. Bu sonuçlara bağlı
olarak yarı statik ve kuru şartlarda geçerli bir aşınma faktörü ifadesi önermişlerdir.
Maiti
(1993),
episikloid
esaslı
gerotorlarda
tork
karakteristiklerini
mekanizmanın temel geometrisi ve kinematiği ışığında teorik olarak inceledikten
sonra,
bir
deney
seti
oluşturarak
deneysel
sonuçlarla
teorik
sonuçları
karşılaştırmıştır. Ani tork değişimlerini inceleyerek sürtünme ve diğer dirençlerle
torktaki dalgalanmaları ve etkileşimleri araştırmıştır.
4
Kim, Won, Burris, Holtkamp, Gessel, Swanson ve Sawyer (2005), metalmetal temaslı eğrisel yüzeyli parçalarda Hertz basınçlarını sonlu elemanlar
yöntemiyle analiz etmişler ve buldukları sonuçları deneysel sonuçlarla karşılaştırarak
yorumlamışlardır.
Mimi, Bonandrini, Rottenbacher (2007), episikloid esaslı pompaların teorik
performansını geometrik boyutlarının bir fonksiyonu olarak ele almışlardır.
Boyutlarla ilgili üç boyutlu parametre tanımlayarak pompa performansını bunlara
bağlı olarak incelemişler ve genel sonuçlar elde etmeye çalışmışlardır.
5
3. GEROTORLARIN TASARIM METOTLARI
Gerotor profillerinin belirlenmesi için başlıca iki yöntem mevcuttur:
1. Dış Zarf Eğrisi Metodu
2. Đç Zarf Eğrisi Metodu
Eğer dış zarf metodu tatbik edilirse, önce dış dişli şeklindeki sikloid profilli
ana çark (rotor) tasarlanır. Bu şekilde tasarlanan rotor, bir dış dişli olarak iç dişli
şeklindeki dış rotor yani çark ile birlikte çalışır. Gerotor olarak adlandırılan ve
sistemin ana elemanını oluşturan rotorun profili sikloid eğri ailesi esaslı bir zarf
eğrisidir veya onun uyarlanmış (modifiye edilmiş) formudur. Đç zarf eğrisi yöntemi
dış zarf eğrisi yönteminin tersine çevrilmiş halidir.
Gerotor tasarımı yapılırken birbiri ile eş çalışan dış dişli şeklindeki rotor ve iç
dişli şeklindeki çark beraberce tasarlanır. Çarkların ölçüleri ve şekli üzerinde ana
çarkın profili belirleyicidir, ana çarkın (rotorun) profilinden bütün profil ortaya çıkar.
Sikloid profil konstrüksiyonu için kullanılan sikloid eğrileri (episikloid veya
hiposikloid) iki temel koşulu yerine getirmek zorundadır.
1.
Her iki çark tam sayıda diş sayısına sahip olduğu için, profili oluşturan
eğriler kapalı olmalıdır.
2.
Çark
profilinde girişim olmaması
için
eğriler
kendi
kendini
kesmemelidir.
Bu koşulları sağlayan eğriler, dalgalı episikloidler ve dalgalı ve basit
hiposikloidlerdir.
Episikloid eğrilerin kullanılması durumunda episikloid esaslı dişliler;
hiposikloid eğrilerin kullanılmasıyla da hiposikloid esaslı dişliler oluşur. Sikloid
esaslı dişlilerin konstrüksiyonu için ilmikli sikloidler kullanılmamalıdır, çünkü
bunlar kendi kendini kesen eğrilerdir.
3.1. Episikloid Esaslı Gerotorlar
Bir dairenin bir doğru üzerinde kaymadan yuvarlanması esnasında, daire
üzerindeki bir noktanın çizdiği eğriye sikloid eğrisi denir. Daire, bir doğru üzerinde
6
değil de başka bir dairenin dışında kaymadan yuvarlanıyorsa episikloid eğrisi, içinde
kaymadan yuvarlanıyorsa hiposikloid eğrisi meydana gelir.
Gerotorların büyük çoğunluğunda episikloid esaslı profiller kullanılmaktadır.
(Stryczek 1990). Bu yüzden burada bu tip gerotor profili ele alınmıştır.
Yukarıdaki birinci koşulun sağlanması için, temel daire yarıçapının
yuvarlanan dairenin yarıçapına oranı tam sayı olmalıdır. Aksi halde episikloid eğrisi
kapalı olmaz. (Şekil 3.1) Yuvarlanan dairenin hareket düzlemi üzerindeki herhangi
bir noktanın çizdiği eğrinin genel adı da episikloiddir.
Y
Yuvarlanan Daire
O'
R
θ
r
p
β
U
θ
O
X
Temel Daire
Şekil 3.1 Episikloid eğrisinin oluşumu
Şekil 3.1’ de görüldüğü gibi, R yarıçaplı temel daire üzerinde kaymadan
yuvarlanan r yarıçaplı daire, kesikli çizgi ile gösterilen başlangıç konumundan
itibaren şekilde görülen konuma gelmiş olsun. Kaymadan yuvarlanma şartından,
yuvarlanan dairenin dönme miktarı β aşağıdaki gibi bulunur.
7
Rθ = r β,
β=
R
θ
r
(3.1)
Bu dairenin hareket düzlemi üzerinde merkezden p kadar uzaklıktaki U
noktasının, temel dairenin merkezindeki OXY eksen takımındaki koordinatları şu
şekilde yazılabilir:
x = ( R + r ) cos θ − p cos (θ + β )
(3.2)
y = ( R + r ) sin θ − p sin (θ + β )
(3.3)
Bu ifadelerde β yerine konur ve düzenlenirse,
 R
 R
x = r 1 +  cosθ − p cos 1 +  θ
r
r


(3.4)
 R
 R
y = r 1 +  sin θ − p sin 1 +  θ
r
r


(3.5)
şeklinde episikloid eğrisinin genel parametrik denklemleri elde edilmiş olur.
Söz konusu nokta yuvarlanan dairenin üzerinde olursa (p = r hali) klasik
episikloid eğrisi oluşur. Başlangıçta, bu dairenin temel daireye temas ettiği noktada
(A) ve kaymadan yuvarlanarak tekrar temas ettiği noktalarda (A', A''…) eğri, bir
büküm noktasından geçer. (Şekil 3.2) Bu büküm noktalarında eğrilik yarıçapı sıfırdır
ve süreksizlik oluşur. Bu yüzden bu eğri gerotor profilinin oluşturulmasında
kullanılamaz.
A
A'
Şekil 3.2 Klasik episikloid eğrisi
8
Alınan nokta yuvarlanan dairenin dış ında olursa (p > r hali) ilmikli episikloid
oluşur. (Şekil 3.3) Đlmikli episikloidde eğri kendini kestiği için, yukarıdaki ikinci
koşulda belirtildiği gibi profilde girişime sebep olacağından yine gerotor profillerinin
oluşturulmasında kullanılamaz.
Şekil 3.3 Đlmikli episikloid
Alınan nokta yuvarlanan dairenin içinde olursa (p < r hali) dalgalı episikloid
oluşur.(Şekil 3.4) Dalgalı episikloidde yukarıda belirtilen sakıncalar oluşmayacağ ı
için, eğri gerotor profillerinin oluşturulmasında kullanılabilir.
Şekil 3.4 Dalgalı episikloid
9
3.2. Zarf Teorisi
Bir eğri ailesi verildiğinde her noktasında bu eğri ailesinin bir eğrisine
dokunan eğri, zarf eğrisi olarak adlandırılır. Böylece zarf eğrisi eğri ailesindeki tüm
eğrilere en az bir noktada teğet olmuş olur.
Bir parametreli eğri ailesi f (x,y,c) = 0 gibi bir denklemle belirlidir. Bu
denklemde c değişken parametre olup her c değerinde eğri ailesinin bir eğrisi elde
edilir.
Eğri ailesinde bulunan bir eğrinin herhangi bir noktasında eğimi:
∂f
dy
= − ∂x
∂f
dx
∂y
(3.6)
Bu denklemden
∂f
∂f
dx +
dy = 0
∂x
∂y
(3.7)
bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı aynı zamanda:
∂f dx ∂f dy
+
=0
∂x dc ∂y dc
(3.8)
olarak yazılabilir. Eğim denkleminden elde edilen bu ilişki eğri ailesi içinde bulunan
her eğri için geçerli olacaktır. Eğer bir başka eğri (zarf eğrisi) bu eğri ailesini
oluşturan bütün eğrilere teğet ise, o eğrinin de aynı bağıntıyı sağlaması gerekir.
f (x,y,c) = 0 fonksiyonunun toplam türevi:
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dc = 0
∂x
∂y
∂c
(3.9)
∂f dx ∂f dy ∂f
+
+
=0
∂x dc ∂y dc ∂c
(3.10)
veya
10
olacaktır. Eğim denkleminden elde edilmiş olan bağıntı (3.8)’ de fonksiyonun toplam
türevinde kullanıldığında:
∂f
= fc = 0
∂c
(3.11)
olur. Öyle ise bu eğri ailesinin zarfı f (x, y, c) = 0 denklemini sağlaması gerektiği gibi
fc=0 kısmi türevinin sıfır olmasını da sağlamalıdır. Bu iki denklemden c
parametresinin yok edilmesi ile elde edilen g (x, y) = 0 eğrisi eğri ailesinin zarfıdır.
Bazı durumlarda bir eğri ailesi parametrik olarak da ifade edilebilir. Yani,
eğri ailesi:
x = h (s, c)
y = k (s, c)
şeklinde verilebilir. Burada s eğri parametresi, c ise eğri ailesi parametresidir. Zarf bu
denklemlerden ve:
∂h ∂k ∂h ∂k
−
=0
∂s ∂c ∂c ∂s
(3.12)
denkleminden c parametresinin yok edilmesi ile elde edilir (veya zarf eğrisi
koordinatları c parametresine göre elde edilebilir).
Örnek 1:
Şekil 3.5
11
f (x, y, c) = (x −c)2 + y2 −1 = 0
denklemi ile verilen eğri ailesinin zarfını bulalım. Şekil 3.5’ de gösterildiği gibi, eğri
ailesi merkezi x = c, y = 0 ve yarıçapı bir birim olan dairelerdir. Her c değeri için
ailenin bir eğrisi elde edilir. Denklemin c parametresine göre türevi:
fc= −2(x −c) = 0
f = 0 ve fc= 0 denklemlerinden c parametresi yok edildiğinde:
y=±1
elde edilir. Daire ailesinin zarfı, dairelere teğet, y = +1 ve y = −1 yatay doğrularıdır.
Örnek 2: (Söylemez 2007)
γ
Şekil 3.6
Bir ucu duvara dayalı, bir ucu yerde duran bir merdivenin sürtünmenin az
olmasından dolayı düşerken yaptığı hareketi ele alalım. (Şekil 3.6) Merdivenin farklı
konumları bir eğri demetini oluşturacaktır. Bu sırada oluşturulan zarfı bulalım:
Parametrik olarak merdivenin denklemi:
y = − x tan γ + l sin γ
γ merdiven ile yatay arasında kalan açı, l ise merdiven uzunluğudur. Bu
denklemi:
12
f ( x, y, γ ) = y + x tan γ − l sin γ = 0
şeklinde yazabiliriz. Denklemin γ ya göre kısmi türevi ise:
f γ ( x, y, γ ) =
1
x − l cos γ = 0
cos2 γ
olacaktır. Bu iki denklemden x ve y için çözüm yapıldığında:
x = l cos3 γ
y = l sin 3 γ
bulunur. Bu iki denklem zarf eğrisini parametrik olarak tanımlamaktadır ve zarf bu
denklemlerle çizilebilir. Eğer γ parametresini bu iki denklemden yok edersek:
x
2
3
+y
2
3
=l
2
3
denklemi elde edilir (bu astroid eğrisidir).
13
4. GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OLUŞTURULMASI
Gerotor tasarımı yapılırken birbiri ile eş çalışan dış dişli şeklindeki rotor ve iç
dişli şeklindeki çark beraberce tasarlanır. Pratikte kullanılan gerotor pompa ve
motorlarda imalat kolaylığı açısından iç diş li şeklinde düşünülen çarkın diş profili
dairesel olarak düşünülür ve rotorun profili buna göre belirlenir. Dairesel profilli
dişler ya gövde ile birlikte bir bütün olarak imal edilir (Şekil 4.1), ya da dairesel
kesitli pimler şeklinde gövde üzerine bağlanır (Şekil 4.2). Gerotorların büyük
çoğunluğu bu iki şekilde imal edilmekte ve kullanılmaktadır. Böylece dış çarkın
imalatı tamamen basitleştirilmiş olmakta ve iç rotorun imalatı önem kazanmaktadır.
Dairesel profilli dış
çark
Şekil 4.1
Dairesel kesitli pim
Şekil 4.2
14
Dış çarka ait dairesel profiller bir eğri ailesi olarak düşünülürse rotorun profili
bu eğri ailesine ait zarf eğrisi olarak ortaya çıkar. Rotor profili bu dairelerin her
birine bir noktada teğet olmak zorundadır. Mekanizmanın çalış ması sırasında da bu
durum böyledir, teğet olunan nokta sürekli yer değiştirir, fakat teğet sürekliliğ i
devam eder.
Gerotor mekanizması çalışırken iç rotor döner ve dış rotoru da döndürür.
Gerotor profilini oluşturan doğurucu eğri, Şekil 4.3 te kesikli çizgi ile gösterilen eğri
olsun. Dış çarkı oluşturan dairesel profillerin iç rotora göre izafi hareketinde,
merkezleri bu eğri üzerinde olmak üzere çevrede döndürüldüğü zaman dairelerin
zarfı iç rotor profili olacaktır.
(xe,ye)
(x,y)
Şekil 4.3
Doğurucu eğri olarak Bölüm 3.1.’ de sözü edilen dalgalı episikloid eğrisi
kullanılır, elde edilen profil episikloid esaslı gerotor profili olur. Dairelerin iç rotora
göre izafi hareketi onun etrafında yaklaşarak ve uzaklaşarak dönmeleridir. Yani
dairelerin merkezleri bu eğri üzerinde hareket ettirilerek, bunların zarfı olan eğri
şeklinde rotor profili oluştuğuna göre, eğri üzerindeki her bir nokta, eğri ailesindeki
bir daire merkezi koordinatı olur. Eğri denklemindeki (denklem 3.1) R/r oranı
pratikte iç rotorun tamsayı olan diş sayısına eşittir. Buna göre diş sayısına z denilirse,
denklem 3.4 ve 3.5’ den,
15
xe = r (1 + z ) cosθ − p cos (1 + z ) θ
(4.1)
ye = r (1 + z )sin θ − p sin (1 + z ) θ
(4.2)
Buna göre dairelerin oluşturduğu eğri ailesinin denklemi, her bir dairenin
yarıçapı g ise aşağıdaki gibi olur:
f ( x, y, θ ) = ( x − xe ) 2 + ( y − ye ) 2 − g 2 = 0
(4.3)
Bu denklemin yanı sıra zarf teorisine göre denklemdeki θ parametresine göre
türev de sıfır olmalıdır. (Denklem 3.11)
∂f
=0
∂θ
( x − xe )
∂xe
∂y
+ ( y − ye ) e = 0
∂θ
∂θ
∂xe
= xe′ ve
∂θ
∂ye
= y′e
∂θ
(4.4)
denilirse,
( x − xe ) xe′ + ( y − ye ) ye′ = 0
(4.5)
Denklem 4.3 ve 4.5 den ara işlemler yapılarak,
( y − ye ) = −
( x − xe ) x′e
ye′
(4.6)
 x′ 
( x − xe )2 + ( x − xe )2  e  = g 2
 ye′ 
(4.7)
  x′  2 
( x − xe ) 1 +  e   = g 2
  ye′  
(4.8)
2
Buradan x ve benzer şekilde y çözülerek zarf eğrisinin parametrik
denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir:
16
x = xe −
y = ye +
g y′e
(xe′ )2 + ( y′e )2
g xe′
(xe′ )2 + ( y′e )2
(4.9)
(4.10)
Burada
xe′ = − r (1 + z ) sin θ + p (1 + z ) sin (1 + z ) θ
(4.11)
y′e = r (1 + z )cosθ − p (1 + z ) cos (1 + z ) θ
(4.12)
4.9 ve 4.10 denklemlerinde zarf eğrisinin dışbükey olarak elde edilmesi için
ilkinde (-) işareti ve ikincisinde (+) işareti alınmalıdır. Böylece gerotor iç rotorunun
profili için, zarf teorisi yardımıyla parametrik denklemler elde edilmiştir. Bu
denklemler yardımıyla episikloid esaslı olmak üzere farklı boyutlara sahip tüm
gerotor profilleri çizilebilir veya sayısal olarak hesaplanabilir. Bu sayısal veriler
yardımıyla CNC tezgahlarında profili imal etmek mümkündür. Đki adet sayısal örnek
Şekil 4.4 ve Şekil 4.5’ de görülmektedir.
Şekil 4.4 Gerotor profilinin oluşumu (R = 35, r = 5, p = 4, g = 7,2)
17
Şekil 4.5 Gerotor profilinin oluşumu (R = 25, r = 5, p = 4,2, g = 9)
18
5. EĞRĐLĐK YARIÇAPI ANALĐZĐ
Denklemi parametrik olarak verilen bir eğrinin herhangi bir noktasındaki
eğrilik yarıçapı aşağıdaki bağıntıyla verilir. (Adams 2003)
[(x′) + ( y′) ]
2
ρ=
2
3/ 2
x′y′′ − x′′y′
(5.1)
Düzlemsel eğri x = x(θ) ve y = y(θ) şeklinde θ parametresi cinsinden
verilmişse ( ' ) sembolü θ’ ya göre bir türevi gösterir. Bir gerotor için buradaki x ve y,
gerotor profilini parametrik olarak veren denklem 4.9 ve 4.10 daki ifadelerdir.
Denklemdeki türevler θ parametresine göre alınıp yerine konur ve eğrilik yarıçapı
ifadesi elde edilir.
Eğrilik yarıçapının minimum ve maksimum olduğu noktalar denklem 5.1 den
elde edilen eğrilik yarıçapı ifadesinin θ ya göre türevinin sıfıra eşitlenmesiyle
bulunur.
dρ
=0
dθ
(5.2)
Đfade oldukça uzun olduğu için Ek 1 de verilmiştir.
Eğrilik yarıçapının maksimum olduğu noktalar Şekil 5.1’ den de
görülebileceği gibi, bir gerotor lobunun simetri ekseni üzerindeki A noktasıdır.
Minimum olduğu noktalar ise A noktasının sağında ve solunda birbirine göre
simetrik olarak bulunurlar.(B ve B’ noktaları) Bu noktaların açısal konumları
Denklem 5.2’ den sayısal olarak hesaplanabilir.
19
y
B
A
B'
α
α
θ
x
Şekil 5.1 Gerotor profilinde eğrilik yarıçapının minimum ve maksimum
olduğu noktalar
Ek 1’ de verilen ifade oldukça uzun ve karışık olduğundan bu noktaların
analitik olarak hesaplanması bir hayli zordur. Bu nedenle minimum eğrilik yarıçapı
ve oluştuğu açısal konum sayısal olarak bulunmuştur. Örnek olarak, boyutları
R = 35, r = 5, p = 3.7, g = 11 olan bir gerotor profilinde eğriliğin (k = 1/ρ) bir lobdaki
değişimi Şekil 5.2’ de görülmektedir. Buradaki iki tepe noktası, şekildeki B ve B'
noktalarına, bunlar arasındaki minimum nokta da A noktasına karşılık gelir.
k
θ
Şekil 5.2: Yukarıdaki sayısal örnekte eğriliğin (1/ ρ) değişimi
20
Bu sayısal değerlere göre θ = 10º açısal konumundaki B' noktasında
minimum eğrilik yarıçapı yaklaşık ρmin ≈ 2.7 mm. olmaktadır. (Şekil 5.1)
Yukarıdaki sayısal örnekte, belli bir g değeri için, p parametresinin değişimi
ile minimum eğrilik yarıçapının değişimi Şekil 5.3’ te görülmektedir. Değişim
doğruya oldukça yakın bir parabol şeklindedir. Belli bir p değeri için, g
parametresinin değişimi ile minimum eğrilik yarıçapının değişimi de Şekil 5.4’ te
görülmektedir. Bu değişim oldukça doğrusaldır.
ρmin
p
Şekil 5.3 p’nin değişimi ile minimum eğrilik yarıçapının değişimi. (R = 35,
r = 5, g = 10 mm)
ρmin
g
Şekil 5.4 g’nin değişimi ile minimum eğrilik yarıçapının değişimi. (R = 35,
r = 5, p = 3.6 mm)
21
R = 35, r = 5 mm ölçüleri sabit bir gerotor profilinde, p ve g parametreleri
değiştirilerek oluşan minimum eğrilik yarıçapının değişimi üç boyutlu olarak Şekil
5.5’ teki grafikte gösterilmiştir. Eğrisel yüzeyin oluşturulması için kullanılan noktalar
grafikte görülmektedir. g ve p parametreleri şekilde gösterilen aralıkta değiştirilerek
denklem 5.2’ den sayısal olarak bulunan ρmin değerleri şeklinde elde edilen bu
noktalar Tablo 1’ de verilmiştir.
ρmin
p
g
Şekil 5.5 p ve g parametrelerinin değişimi ile ρmin’ in değişimi
Grafikte görüldüğü gibi g ve p parametrelerinin artmasıyla minimum eğrilik
yarıçapı azalmaktadır.
22
p
2.4
2.8
3.2
3.6
4
g
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
ρmin
9.8673
8.8673
7.8673
6.8673
5.8673
8.8739
7.8739
6.8739
5.8739
4.8739
7.6494
6.6494
5.6494
4.6494
3.6494
6.1341
5.1341
4.1341
3.1341
2.1341
4.2202
3.2202
2.2202
1.2202
0.2202
Tablo 1 Şekil 5.5’ teki grafiğin elde edilmesi için kullanılan noktalar
23
6. HERTZ BASINCI
Herhangi bir eğrisel yüzeye sahip iki makine elemanı arasındaki teorik temas,
noktasal veya çizgisel olduğu takdirde, dış kuvvetlerin etkisi altında meydana gelen
şekil değiştirme sonucunda teorik temas noktası dairesel veya elips, teorik temas
çizgisi ise dikdörtgen şeklini alır. Teknikte bu çeşit temaslara rulmanlarda, dişli
çarklarda, sürtünme çarklarında ve kam mekanizmalarında çok rastlanır. (Kim ve
ark. 2005). Temas yüzeyindeki basınçlar ve deformasyonlar Hertz teorisine göre
hesaplanır. Bu teori şu kabulleri yapmaktadır:
-
Temas yüzeylerinin boyutları temas eden parçaların diğer boyutlarına
oranla oldukça küçüktür.
-
Deformasyonlar, malzemelerin elastiklik sınırı içindedir.
-
Gerilme ve şekil değiştirmeler için Hooke kanunu geçerlidir.
-
Temas yüzeylerinde kayma gerilmesi yoktur.
Birbirine bir F kuvveti ile bastırılan eğrisel yüzeyli iki silindirik cisim
arasındaki Hertz basıncı aşağıdaki bağıntı ile verilir (Akkurt 1996, Dijk 2001):
PH =
FE
2 π H Re
(6.1)
Burada H cisimlerin kalınlığı, E eşdeğer elastiklik modülü, Re eşdeğer eğrilik
yarıçapıdır. E ve R aşağıdaki bağıntılarla hesaplanır:
1 1 1
1 
=  + 
E 2  E1 E2 
(6.2)
1
1
1
=
+
Re ρ1 ρ 2
(6.3)
Burada E1 ve E2 sırayla iki cismin malzemelerinin elastiklik modülü, ρ1 ve ρ2
ise temas noktasındaki eğrilik yarıçaplarıdır. Eğrilik yarıçapı; dışbükey durumda
pozitif, içbükey durumda negatif olarak dikkate alınır. Gerotorlarda iç ve dış rotorun
24
kalınlığı her yerde aynıdır, yani bunlar silindirik olarak göz önüne alınıp Hertz
basınçları denklem 6.1 deki ifade yardımıyla hesaplanmalıdır.
Gerotorlarda iç ve dış rotor sürekli olarak birbirleriyle temas halinde oldukları
için temas noktalarında Hertz basınçları oluşur. Her iki rotorun da malzemeleri
büyük çoğunlukla aynı olduğu için elastiklik modülleri aynıdır. Dış rotor dairesel bir
kesite sahip olduğu için eğrilik yarıçapı değişmez, pim yarıçapına eşittir. Đç rotor
profilinde ise, Şekil 6.1’ de görüldüğü gibi pimlerle temas halindeki profil
noktalarının eğrilik yarıçapları farklı farklıdır, yani rotor profilinde eğrilik yarıçapı
değişkendir. Rotora etki eden Hertz basıncı hesaplanırken en büyük değeri önemlidir,
bu da denklem 6.1’ den de görülebileceği gibi Re’nin en küçük değerinde meydana
gelir. Denklem 6.3’ de ρ1 sabit olduğuna göre ρ2 nin en küçük değerinde Re minimum
olur, dolayısıyla Hertz basıncı maksimum değerini alır. Buna göre gerotor profili
üzerinde eğrilik yarıçapının minimum olduğu nokta bulunarak bu noktada
hesaplanacak Hertz basıncının dikkate alınması ve gerotor büyüklüğünün buna göre
belirlenmesi gerekmektedir.
g
e
Şekil 6.1 Rotor profili ve pimlerin temas noktaları
Đç ve dış rotor malzemelerinin aynı olduğu düşünülerek eşdeğer elastiklik
modülü E olarak alınır ve eşdeğer eğrilik yarıçapı Re denklem 6.’3 den hesaplanarak
denklem 6.1’ de yerine konulursa Hertz basıncı için aşağıdaki ifade bulunur.
25
PH =
F E ( g + ρ min )
2 π H g ρ min
(6.3)
Burada g pim yarıçapı, ρmin profildeki minimum eğrilik yarıçapıdır.
26
7. GEROTOR DEBĐSĐ
Gerotor bir defa döndüğü zaman bir diş boşluğu kadar hacmi aktarır. Debi bu
düşünceye göre hesaplanabilir. Şekil 7.1’ de görülen taralı alanın gerotor kalınlığı ile
çarpımı bir devirde süpürülen teorik hacmi, bu değerin de devir sayısı ile çarpımı
teorik debiyi verir. Kalınlık her yerde aynı olduğuna göre taralı alanın hesaplanması
yeterlidir. Bu alan iki kısımdan oluşmaktadır. Birincisi dış rotora ait iki pim arasında
kalan alan(A1), ki bu alan sabittir ve geometrik olarak kolayca hesaplanabilir. Đkincisi
gerotor profili ile pimlerin teğet dairesi arasında kalan alandır(A2), bu alan ancak bir
integral yardımı ile hesaplanabilir. Bir devirde süpürülen toplam alan bu iki alanın
toplamına eşittir.
A = A1+A2
(7.1)
Pimlerin teğet dairesi
g
A1
Rg
A2
Şekil 7.1 Bir devirde süpürülen alan
27
Denklemi kutupsal olarak verilen bir eğri ile çevrili bir alanı veren integral
aşağıdaki gibidir. (Adams 2003)
A=
1 θ2 2
ρ dθ
2 ∫θ 1
(7.2)
C'
A2
A3
C
α
θ1
θ2
x
Rm
Şekil 7.2 A2 alanı
Şekil 7.1 deki A2 alanı, Şekil 7.2 deki α açısının gördüğü daire diliminden,
denklem 7.2’ deki integralle hesaplanacak A3 alanının farkına eşittir. A3 alanı şekilde
görüldüğü gibi gerotor profilinin, iki lobunun tepe noktaları olan C ve C' arasında
kalan kısmının sınırladığı alandır.
A2 = π Rm2
α
360
− A3
(7.3)
Burada α açısı, C ve C' tepe noktalarını gören merkez açıdır, yani (θ2 − θ1) farkına
eşittir. Rm ise profilin en uç noktalarından geçen dairenin yarıçapıdır. (Rm=R+r+p)
(Şekil 7.2)
28
Denklem 7.2 deki ρ = ρ(θ) ifadesi gerotor profilinin kutupsal koordinatlardaki
denklemidir ve aşağıdaki gibi yazılabilir.
ρ = x 2 + y 2 , ρ2 = x2 + y2
(7.4)
x ve y ifadeleri gerotor profilini parametrik olarak veren 4.9 ve 4.10 nolu
denklemlerden yerine yazılarak, ara işlemlerden sonra aşağıdaki kutupsal profil
denklemi elde edilir:
ρ 2 = u 2 r 2 + p 2 + g 2 − 2upr cos zθ −
2g
[ur 2 + p 2 − pr (1 + u ) cos zθ ] (7.5)
K
burada,
u = 1+z,
K = r2 + p2 − 2 p r cos(zθ)
ρ2 ifadesi yerine konarak denklem 7.2 deki integral hesaplanırsa A3 alanı için
aşağıdaki ifade bulunur:
1
A3 = 0.5(u 2 r 2 + p 2 + g 2 )(θ 2 − θ1 ) − upr (sin zθ 2 − sin zθ1 )
z
g
−
[EF (DG − CH ) − EE (DG + DH )] θθ12
Hz G + H
(7.6)
burada,
C = ur2 + p2
D = pr (1 + u)
G = p2 + r2
H = 2pr
Denklemdeki EE ve EF, sayısal olarak hesaplanabilen E ve F tipinde eliptik
integrallerdir. Bunların açık ifadeleri Ek 2 de verilmiştir.
A1 alanı Şekil 7.3 de görüldüğü gibi geometrik olarak şu şekilde
hesaplanabilir:
29
Ardışık iki pim merkezini gören γ merkez açısına sahip daire dilimi, yani
şekildeki COD diliminin alanı hesaplandıktan sonra, OCF ve OGD eşit üçgenleri ile
OFG üçgeninin alanları bundan çıkartılacak olursa CFGD alanı bulunmuş olur. COD
daire diliminin alanından BOE daire diliminin alanını ve şekildeki gibi pim
merkezinden α açısının gördüğü BCF ve GDE daire dilimleri ile yukarıdaki gibi
hesaplanan CFGD alanını çıkartırsak BFGE alanını yani A1 alanını bulmuş oluruz.
Alanlar harflerle gösterilirse bu işlemler aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
A1 = BFGE = OCD−OBE−EGD−BCF− (OCD−CFO−OGD−OGF)
(7.7)
Parantez içerisindeki alanın CFGD alanı olduğu açıktır. Bütün bu alanların
hesabı için gerekli olan γ, α, β açıları ve OB, BC ve OF uzunlukları gerotor
geometrisinden kolayca bulunabilir. Hesaplama için kosinüs teoremi, sinüs teoremi
ile üçgen ve daire ile ilgili geometrik bağıntılar kullanılmıştır.
A2
C
B
α
β
F
A1
γ γ'
β
G
O
α
E
D
Şekil 7.3 A1 alanı ve ilgili diğer alanlar
30
Sayısal bir örnek olarak R = 35 , r = 5, p = 3.7, g = 10 (mm) değerleri için
z = 7 olur. Denklem 7.6 deki integralin sınırları, Şekil 7.3’ te profilin tepe noktaları
olan B ve E noktalarına karşılık gelen merkez açılar olmak üzere θ1 = 2π/14 ve
θ2= 2π/14+2π/7 olarak yazılır. Bu sayısal değerlerle A1 ve A2 alanları aşağıdaki gibi
hesaplanmıştır:
A1 = 118.6770 mm2
A2 = 56.9404 mm2
Buna göre bir devirde süpürülen alan,
A = A1 + A2 = 175.6174 mm2 olur.
A
g
Şekil 7.4 g nin değiş imi ile süpürülen alanın değişimi (R = 35 , r = 5, p = 3.6 mm)
A
p
Şekil 7.5: p nin değişimi ile süpürülen alanın değişimi (R = 35 , r = 5, g = 10 mm)
31
R = 35, r = 5, g = 10 mm değerleri için p parametresinin değişimi ile
süpürülen alanın değiş imi Şekil 7.4’ de görülmektedir. Değişim oldukça doğrusaldır.
R = 35 , r = 5, p = 3.6 mm değerleri için g parametresinin değişimi ile
süpürülen alanın değişimi de Şekil 7.5’ de görülmektedir. Bu değişim doğruya
oldukça yakın bir parabol şeklindedir.
R = 35, r = 5 ölçüleri sabit, p ve g ölçüleri değişken olan bir gerotor
profilindeki süpürülen alanın değişimi Şekil 7.6’ daki üç boyutlu grafikte
gösterilmiştir. Eğrisel yüzeyin oluşturulması için kullanılan noktalar grafikte
görülmektedir. g ve p parametreleri şekilde gösterilen aralıkta değiştirilerek
yukarıdaki denklemlerden sayısal olarak bulunan alan değerleri şeklinde elde edilen
bu noktalar Tablo 2’ de verilmiştir. Grafikte görüldüğü gibi g’ nin artmasıyla A
yaklaşık lineer olarak azalırken, p’ nin artmasıyla A artar.
A
g
p
Şekil 7.6 p ve g parametrelerinin değişimi ile süpürülen alanın (A) değişimi
32
p
2.4
2.8
3.2
3.6
4
g
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
A
146.8751
136.4975
126.4458
116.6751
107.1521
168.2501
155.3673
142.9128
130.8244
119.0568
189.0155
173.3634
158.2589
143.6184
129.3814
209.0885
190.3669
172.3319
154.8728
137.9109
228.2368
206.0887
184.7896
164.1946
144.2025
Tablo 2 Şekil 7.6’ daki grafiğin elde edilmesi için kullanılan noktalar
33
8. OPTĐMĐZASYON
Genel bir tasarım sürecinde önce tasarım problemi tanımlanır, geliştirilir ve
çözülmeye çalışılır. Böylece daha iyiyi, daha ucuza elde etme yolları aranır.
Geçmişten
günümüze
problemlerinin
geliştirilen
çözümünde
optimizasyon
teknikleri,
kullanılagelmektedir.
birçok
Özellikle
tasarım
bilgisayar
teknolojisindeki geliş melere paralel olarak bu uygulamalar çok daha kolaylaşmış ve
yaygınlaşmıştır.
Optimal tasarım, mümkün tasarımların en iyisi olarak tanımlanabilir.
Optimizasyon, arzulanan bir özelliğin maksimum yapılırken; arzulanmayanların
minimum yapılması işlemi olarak tanımlanabilir. Genel bir optimizasyon sürecinde
tasarımcı, bağımsız parametrelerin sayısal değerleri ile sabit olmayan genel kısıtlar
oluşturur. Bağımsız değişkenler cinsinden tasarımın özelliklerini tanımlayan bir
amaç fonksiyonu saptanır. (Börklü 2008)
Yaygın amaç fonksiyonları; maliyet, ağırlık, güvenilirlik ve üretilebilirlik gibi
istekler olabilir. Amaç fonksiyonu, belirli kısıtlayıcılar tarafından sınırlandırılır.
Sınırlayıcılar, fiziki kanunlar ve sınırlandırmalar veya bağımsız değişkenler
üzerindeki uyumluluk şartlarından çıkmaktadır.
Genelde optimizasyon problem formülasyonunda bazı özellikler amaç
fonksiyon olarak seçilirken; diğer bazı özellikler, kısıtlayıcılar konumuna dahil edilir.
Kısıtlar ve amaç fonksiyonu matematiksel olarak ifade edilip, genellikle bilgisayar
ortamında çeşitli yöntemlerle çözülür. Çözüm yöntemi optimizasyon probleminin
lineer veya nonlineer olmasına göre farklılık ve çeşitlilik gösterir.
8.1 Gerotor Profilinin Optimizasyonu
Gerotor pompa veya motor mekanizmasının çalışması esnasında iç ve dış
rotorun birbiriyle sürekli olarak temas etmesi sebebiyle, temas noktalarında Hertz
basınçları oluşur. Basıncın şiddeti denklem 6.3’ de görüldüğü gibi temas kuvveti ile
doğru orantılı, eğrilik yarıçapı ile ters orantılıdır. Küçük eğrilik yarıçapları, profilde
sivriye yakın köşeler oluşmasına ve Hertz basıncının artmasına sebep olur. Eğrilik
yarıçapının artması Hertz basıncını azaltır, fakat boyutları büyütür ve debiyi azaltır.
34
Ayrıca Hertz basıncının artması aşınmayı artırır (Kim ve ark. 2005), bu da gerotorun
ömrünü azaltır. Uzun ömürlü bir mekanizma için debiyi azaltmayacak, fakat
minimum eğrilik yarıçapının da makul değerlerde olmasını sağlayacak optimum bir
çözüm bulunabilir.
Gerotor tasarımı yapılırken önce iç rotorun diş sayısı belirlenir. Bazı
avantajlarından dolayı diş sayısı çoğunlukla tek sayı olarak seçilmektedir. (Dijk
2001) Dış rotorun diş sayısı da iç rotor diş sayısının bir fazlası olarak ortaya çıkar.
Bundan sonraki aşama, seçilen diş sayısına bağlı olarak temel daire ve yuvarlanan
daire yarıçapları R ve r nin belirlenmesidir. Bu değerler genellikle gerotor debisine
ve diş sayısına bağlı olarak belirlenir ve diş sayısı değiştirilmedikçe bunların
değişmesi söz konusu değildir. Bundan sonra p ve g parametrelerinin uygun olarak
seçilip profilin oluşturulması gerekmektedir. Bu noktada optimizasyon problemi
ortaya çıkmaktadır. Karşılaşılan en önemli kısıtlardan biri minimum eğrilik yarıçapı
sınırlamasıdır. Diğer bir kısıt ise izin verilebilecek maksimum Hertz basıncı
değeridir. Bu iki kısıt aslında birbirinden tamamen bağımsız değildir. Denklem 6.3’
te görüldüğü gibi maksimum Hertz basıncı (PH) değeri kullanılan malzemelere ve
çalışma basıncına bağlı olarak belirlendikten sonra profilde izin verilebilecek en
küçük eğrilik yarıçapı ρmin hesaplanabilir. Fakat ifadede pim yarıçapı g’ de olduğu
için, debi de göz önünde tutularak g değeri belirlenmek zorundadır.
Profildeki en küçük eğrilik yarıçapı denklem 6.3’ ten hesaplanacak ρmin
değerinden büyük olmak zorundadır, bu ilk kısıt olarak yazılabilir.
ρ > ρmin
(8.1)
Đkinci sınırlayıcı faktör, gerotorun debisidir. Debinin belli bir değerden küçük
olmaması gerekir. Yukarıda 7. bölümde bulunan alan ifadesi gerotorun temel tasarım
parametrelerinin (R, r, p, g) oldukça karışık bir fonksiyonudur. Sayısal bir debi
değerinden bu parametreleri tahmin etmek oldukça zordur. Bu nedenle önce diş
sayısı z ile R belirlenip p ve g parametreleri uygun şekilde alınarak debi hesaplanır.
Arzu edilen debi değeri elde edilinceye kadar birkaç deneme yapmak gerekir. Seçilen
temel boyutsal parametrelerle maksimum debi miktarının elde edilmesi bir amaç
fonksiyonu olarak öne sürülebilir. Bu parametrelerin belli sayısal değerleri için
35
istenilen debi değeri elde edilmiş olsa bile bunun optimum bir çözüm olup
olmadığını anlamak için debiyi veren alanın ve minimum eğrilik yarıçapının
değişimini görmek gerekir. ρmin ve A parametrelerinin her ikisi de p ve g ye bağlı
olarak değiştikleri için değiş im yüzeyi Bölüm 5 ve 7 de gösterildiği gibi üç boyutlu
bir eğri olarak ortaya çıkar. Bu iki yüzeyin kesişmesi ile ortaya çıkan arakesit eğrisi
optimum çözümleri verir. Debi eğrisi amaç fonksiyonunun, minimum eğrilik yarıçapı
eğrisi ise kısıt fonksiyonunun değişimini göstermektedir. Dolayısıyla bu iki eğrinin
arakesiti optimum çözüm eğrisi olacaktır.
Örnek olarak Şekil 5.5 ve 7.6’ daki grafiklerde sözü edilen aynı boyutsal
parametrelere sahip gerotoru ele alalım. Bu iki grafiği aynı ölçekle ölçeklendirerek
bir araya getirirsek Şekil 8.1’ deki grafiği elde ederiz. Yukarıdaki 8.1 denklemi bu
grafikte kırmızı renkle gösterilen ρmin yüzeyinin üst kısmını ifade eder. Eğrinin
altındaki bölgede ρ < ρmin olacağı için burası uygun olmayan bölgedir. Yeşil renkle
gösterilen eğri p ve g değerlerine göre alanın değişimini göstermektedir. Đki yüzeyin
arakesiti olan üç boyutlu eğri uygun çözümleri gösterir. Bu eğrinin sağ tarafında
kalan noktalarda, alan, yani gerotor debisi artmasına karşın minimum eğrilik yarıçapı
hızlı bir şekilde düşmektedir. Bu durum Hertz basıncının artmasına, yani gerotor
ömrünün azalmasına neden olacağı için bu bölgenin uygun çözümler içermediğ i
açıktır. Soldaki bölgede ise minimum eğrilik yarıçapı artmasına rağmen, alan yani
debi azalmaktadır. Böylece arakesit eğrisi üzerindeki noktaların optimum çözümleri
verdiği söylenebilir.
Şekil 8.1’ deki arakesit eğrisinin başlangıç noktası olan C noktasında sayısal
olarak p = 3.05 ve g = 8 mm dir. Bu değerler için A = 181.3028 mm2 ve ρmin = 8.13
mm olarak hesaplanır. Arakesit eğrisinin bitiş noktası olan D noktasında sayısal
olarak p = 2.75 ve g = 12 mm değerleri için A = 117.6523 mm2 ve ρmin = 5.01 mm
olarak hesaplanır. Eğer gerotor mekanizması bir pompa olarak kullanılacaksa, ilk
çözüm alanın ve dolayısıyla debinin yüksek olması ve minimum eğrilik yarıçapının
ve dolayısıyla Hertz basıncının düşük olması nedeniyle tercih edilebilir. Mekanizma
bir hidrolik motor olarak kullanılacaksa ikinci çözüm debinin düşük olması
nedeniyle, minimum eğrilik yarıçapının da ilk çözüme göre bir miktar küçük olması
göz ardı edilerek uygun bir çözüm olarak düşünülebilir. Boyutsal parametreleri C
noktasındaki gibi olan gerotor profili Şekil 8.2 de ölçekli olarak görülmektedir.
36
D
ρmin
A
C
g
p
Şekil 8.1 p ve g parametrelerine göre süpürülen alanın (A) ve minimum
eğrilik yarıçapının (ρmin) değişimi
Şekil 8.2 Örnek 1 de elde edilen optimum gerotor profili
37
Arakesit eğrisi dış ındaki çözümlere bir örnek verilecek olursa;
p = 3.6 ve g = 9 mm değerleri için A = 190.3669 mm2 ve ρmin = 5.13 mm
olarak bulunur. Burada C noktasındaki değerlere göre debi sadece % 5 artmış
olmasına karşın minimum eğrilik yarıçapı ise % 36.9 oranında azalmıştır ve Hertz
basıncı % 23.38 oranında artmıştır. Bu durum Hertz basıncı açısından hiç uygun bir
çözüm değildir. Arakesit eğrisi dışındaki diğer noktalarda da benzer bir durumun
oluşacağı görülebilir.
F
ρmin
A
E
g
p
Şekil 8.3 p ve g parametrelerine göre süpürülen alanın (A) ve minimum
eğrilik yarıçapının (ρmin) değişimi (R = 45 mm, r = 9 mm)
Đkinci bir sayısal örnek olarak R = 45 mm, r = 9 mm ve z = 5 şeklinde
boyutsal parametrelere sahip olan gerotoru ele alalım. Bu gerotor için de örnek 1
deki üç boyutlu grafikleri çizip aynı ölçekle ölçeklendirerek bir araya getirirsek Şekil
8.3’ deki grafiği elde ederiz. Kırmızı renkli eğrisel yüzeyin altındaki bölge benzer
38
şekilde uygun olmayan bölgedir. Yeşil renkle gösterilen eğri p ve g değerlerine göre
alanın değişimini gösterir. Burada da iki yüzeyin arakesiti olan üç boyutlu eğri uygun
çözümleri gösterir. Bu eğrinin sağ tarafında kalan noktalarda, alan, yani gerotor
debisi artmasına karşın minimum eğrilik yarıçapı hızlı bir şekilde düşmektedir.
Sonuç olarak arakesit eğrisi üzerindeki noktaların optimum çözümleri verdiğ i
söylenebilir.
Şekil 8.4 Örnek 2 de elde edilen optimum gerotor profili
Şekil 8.3 deki arakesit eğrisinin başlangıç noktası olan E noktasında sayısal
olarak p = 6.05 ve g = 11 mm dir. Bu değerler için A = 752.9370 mm2 ve ρmin =
14.0813 mm olarak hesaplanır. Arakesit eğrisinin bitiş noktası olan F noktasında
sayısal olarak p = 5.7 ve g = 15 mm değerleri için A = 575.2913 mm2 ve ρmin =
11.2172 mm olarak hesaplanır. Gerotor mekanizması bir pompa olarak
kullanılacaksa, yukarıdakine benzer olarak ilk çözüm alanın ve dolayısıyla debinin
yüksek olması ve ayrıca minimum eğrilik yarıçapının ve dolayısıyla Hertz basıncının
39
düşük olması nedeniyle tercih edilebilir. Mekanizma bir hidrolik motor olarak
kullanılacaksa ikinci çözüm debinin düşük olması nedeniyle, minimum eğrilik
yarıçapının da ilk çözüme göre bir miktar küçük olması göz ardı edilerek uygun bir
çözüm olarak düşünülebilir. Bu örnek için boyutsal parametreleri F noktasındaki gibi
olan gerotor profili Şekil 8.4’ de ölçekli olarak görülmektedir.
Arakesit eğrisi dışındaki çözümlere bir örnek olarak p = 6.8 ve g = 13 mm
değerleri için A = 758.6490 mm2 ve ρmin = 9.1927 mm olarak bulunur. Burada E
noktasındaki değerlere göre debi sadece % 0.75 artmış olmasına karşın minimum
eğrilik yarıçapı % 34.71 oranında azalmış ve Hertz basıncı % 12.81 oranında
artmıştır. Bu durumun Hertz basıncı açısından uygun bir çözüm olmadığı açıktır. Bu
örnekte de arakesit eğrisi dışındaki diğer noktalarda da benzer bir durumun oluşacağ ı
görülebilir.
Diş sayısı daha fazla olan üçüncü bir sayısal örnek olarak R = 121 mm, r = 11
mm ve z = 11 şeklinde boyutsal parametrelere sahip gerotoru ele alalım. Bu gerotor
için de örnek 1 deki üç boyutlu grafikleri çizip aynı ölçekle ölçeklendirerek bir araya
getirirsek Şekil 8.5’ deki grafiği elde ederiz. Kırmızı renkli eğrisel yüzeyin altındaki
bölge benzer şekilde uygun olmayan bölgedir. Yeşil renkle gösterilen eğri p ve g
değerlerine göre alanın değişimini gösterir. Burada da iki yüzeyin arakesiti olan üç
boyutlu eğri optimum çözümleri gösterir. Bu eğrinin sağ tarafında kalan noktalarda,
alan, yani gerotor debisinin artmasına karşın minimum eğrilik yarıçapının hızlı bir
şekilde düştüğü görülmektedir. Sonuç olarak arakesit eğrisi üzerindeki noktaların
optimum çözümleri verdiği söylenebilir.
Şekil 8.5’ deki arakesit eğrisinin başlangıç noktası olan K noktasında sayısal
olarak p = 7.2 ve g = 12 mm dir. Bu değerler için A = 1137.6358 mm2 ve ρmin =
24.6920 mm olarak hesaplanır. Arakesit eğrisinin bitiş noktası olan L noktasında
sayısal olarak p = 6.6 ve g = 20 mm değerleri için A = 819.0685 mm2 ve ρmin =
18.8263 mm olarak hesaplanır. Gerotor mekanizması bir pompa olarak
kullanılacaksa, yukarıdakine benzer olarak ilk çözüm alanın ve dolayısıyla debinin
yüksek olması ve ayrıca minimum eğrilik yarıçapının ve dolayısıyla Hertz basıncının
düşük olması nedeniyle tercih edilebilir. Mekanizma bir hidrolik motor olarak
kullanılacaksa ikinci çözüm debinin düşük olması nedeniyle, minimum eğrilik
40
L
ρmin
A
K
g
p
Şekil 8.5 p ve g parametrelerine göre süpürülen alanın (A) ve minimum
eğrilik yarıçapının (ρmin) değişimi (R = 121 mm, r = 11 mm)
Şekil 8.6 Örnek 3 için elde edilen optimum gerotor profili
41
yarıçapının da ilk çözüme göre bir miktar küçük olması göz ardı edilerek uygun bir
çözüm olarak düşünülebilir.
Arakesit eğrisi dış ındaki çözümlere bir örnek verilecek olursa;
p = 6 ve g = 16 mm değerleri için A = 855.2210 mm2 ve ρmin = 24.6774 mm
olarak bulunur. Burada K noktasındaki değerlere göre debi sadece % 24.82 azalmış
olmasına karşın minimum eğrilik yarıçapı ise hemen hemen aynı kalmış ve Hertz
basıncı bir miktar azalmıştır. Bu durum debi açısından uygun değildir. Eğrilik
yarıçapı aynı kaldığına göre debinin büyük olduğu çözüm tercih edilir. Bu nokta
yukarıdaki iki örnekten farklı olarak Şekil 8.5’ te de görülebileceği gibi arakesit
eğrisinin solunda alınmıştır. Đlk iki örnekte olduğu gibi eğrinin sağında bir nokta
alınırsa sonuç diğer örneklerdeki gibi olacaktır. Yine yukarıdaki iki sayısal örnekte
de arakesit eğrisinin solunda bir nokta alınırsa bu örnekteki sonuca benzer bir sonuç
elde edilmiştir. Böylece arakesit eğrisi dışındaki noktaların uygun çözümler
vermediği görülmektedir.
42
9. SONUÇ VE ÖNERĐLER
Pozitif deplasmanlı bir pompa veya motor mekanizması olarak yaygın bir
şekilde kullanılan gerotorların profilleri diğer hidrolik mekanizmalara nazaran
farklılık arzeder. Bu çalış mada öncelikle zarf teorisi yardımıyla gerotor profili
analitik olarak elde edilmiştir. Bu formülasyon yardımıyla profildeki minimum
eğrilik yarıçapının nasıl bulunacağı gösterilmiştir. Gerotor geometrisi de göz önüne
alınarak debi hesabına esas teşkil eden alan formülasyonu da yapılmıştır.
Hidrolik pompa ve motor olarak kullanılan gerotorlara ait boyutsal
parametreler, esas olarak aktaracakları akışkanın hacmine göre tespit edilir.
Aktarılacak akışkan hacmi yani debi belirlendikten sonra boyutsal parametreler
kısıtlayıcılara bağlı olarak belirlenir. Gerotorlarda olduğu gibi birbiri ile sürekli
temas halinde kalarak çalışan yüzeylerde sürekli bir aşınma sözkonusu olduğu için,
sistemin uzun ömürlü olabilmesi adına bu aşınmayı oluşturan faktörleri mümkün
olduğunca azaltmak gerekir. Gerotorlarda iç ve dış rotorun temas noktalarında oluşan
Hertz basınçları eğrilik yarıçapıyla doğrudan ilgili olduğu için, bu basıncın
azaltılabilmesi gerekir. Eğrilik yarıçapının küçük olması, Hertz basıncının artmasına
ve dolayısıyla aşınmanın artmasına ve sistem ömrünün azalmasına yol açar. Eğrilik
yarıçapının artması Hertz basıncının ve aşınmanın azalmasını sağlar, fakat sistemin
boyutlarını büyütür ve debiyi azaltır.
Hem debinin istenilen seviyelerde olmasını sağlamak, hem de Hertz
basıncının makul seviyelerde tutulmasını sağlamak için yapılan bu optimizasyon
çalışmasında öncelikle gerotorun temel boyutsal parametreleri belirlenmiştir. Daha
sonra gerotor profillerinin minimum eğrilik yarıçapları ve debiye esas teşkil eden
alan hesapları yapılmış ve bunların değiş imi üç boyutlu grafiklerde üç boyutlu
yüzeyler olarak gösterilmiştir. Debi değişimini ve minimum eğrilik yarıçapı
değişimini gösteren bu iki yüzeyin kesiş imi ile oluşan arakesit eğrisinin optimum
çözüm eğrisi olduğu belirlenmiştir.
Sonuçlar özetlenirse;
1. Bir gerotor için iki esas boyutsal parametre temel daire yarıçapı (R) ve
yuvarlanan daire yarıçapı (r) dir. Bunlar belirlendikten sonra değiştirilmeleri
43
mümkün değildir, değiştirilebilecek iki parametre pim yarıçapı (g) ve ofset mesafesi
(p) dir.
2. Profildeki minimum eğrilik yarıçapı ve debiye esas teşkil eden alan bu iki
parametreye göre ortaya çıkmaktadır.
3. Gerotor debisi bir amaç fonksiyonu olarak düşünülebilir. Bunu kısıtlayan
faktör ise minimum eğrilik yarıçapıdır.
4. Debinin ve minimum eğrilik yarıçapının g ve p parametrelerine göre
değişimini ifade eden üç boyutlu yüzeylerin arakesit eğrisi optimum çözüm bölgesi
olarak ortaya çıkmaktadır.
5. Bu arakesit eğrisi üzerinde amaca göre bir nokta seçilerek optimum gerotor
profili elde edilir.
Daha ileri çalışmalarda optimal boyutları elde edilen bu profillere sahip
gerotorların imal edilip, deneysel olarak debi, aşınma ve ömür açısından
değerlendirilmesi düşünülebilir.
44
KAYNAKLAR
Hill, M. F. 1927. The Kinematics of Gerotor. Philadelphia.
Beard, J. E. 1985. Kinematic analysis of gerotor type pumps, enginees and
compressors. Ph. D. Dissertaion, Purdue Univ.
Stryczek, J.,1990. Projektieren der Zykloidenverzahnungen Hydraulischer
Verdrängermaschinen, Mech. Mach. Theory Vol. 25. No. 6, s. 597-610
Stryczek,
J.,1992.
Charakteristische
Parameter
Hydraulischer
Verdrängermaschinen mit Zykloidenverzahnungen, Mech. Mach. Theory Vol. 28.
No. 1, s. 97-112.
Kwon, S. M., Kim, M. S., Shin, J. H. 2008 Analytical wear model of a
gerotor pump without hydrodynamic effect. J. of Advanced Mec. Des. Syst. and.
Manufacture. Vol.2, no:2
Gamez. M., Javler, P., 2003. Contact stress in a gerotor pump, Universitat
Politecnica de Catalunya, 08222 Terrassa, Spain, s. 65-71.
Tsay, C,B., Yu, C,Y.. 1989. Mathematical model for the profile of gerotor
pumps. Natl Chiao Tung Univ, Hsinchu, Taiwan, s. 41-47.
Beard, J.E., Hall, A.S., Soedel, W.. 1991. Comparison of hypotrochoidal and
epitrochoidal gerotors. Louisiana State Univ, Baton Rouge, LA, USA s. 133-141.
Söylemez, E., 2007. Mekanizma Tekniği. Birsen Yayınevi.
Akkurt, M., Kent, M. 1979. Makine Elemanları. Birsen Yayınevi, s. 111-115
45
Irwin, E. 2003. What Is a Gerotor, Vian Enterprises, Inc.
(http://www.vianenterprises.com/Gerotor.htm)
Adams, R.A., 2003. Calculus, Fifth Edition, Addison Wesley Longman.
Maiti, R. 1993. Torque characteristics of epitrochoid generated orbital rotary
piston type hydraulic motors. Mech. Mach. Theory Vol. 28. No. 2, s. 225-231
Kim, N.H., Won, D., Burris, D., Holtkamp, B., Gessel, G.R., Swanson, P.,
Sawyer,W.G. 2005. Finite element analysis and experiments of metal/metal wear in
oscillatory contacts. Wear, Vol. 258 s.1787–1793
Dijk, P.V., 2001. Contact Spots. ICEC Conf., s. 123-129
Mimi, G., Bonandrini, G., Rottenbacher C., 2007. Theoretical analysis of
internal lobe pumps. 12th IFToMM World Congress, Besançon
Download

T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ