B5 Úlohy z mechaniky kapalin a plynů
Úloha č. 1
Odvoďte Archimedův zákon:
Obr. 1: Síly působící na těleso ponořené v kapalině
Fyzikální rozbor:
Archimédův zákon pojednává o vztlakové síle, která působí na těleso opačným směrem než
tíhová síla. Můžeme jí určit jako výslednici všech sil, kterými kapalina působí na těleso. Pro
jednoduchost uvažujme těleso ve tvaru krychle. Na boční stěny působí proměnlivý
hydrostatický tlak, nicméně na protější stěny z důvodu symetrie tělesa vyvolá tento tlak stejně
velké síly opačného směru (F 3, F4 ), které se tím pádem vyruší, co se pohybových účinků na
těleso týče (ale v deformačních účincích mohou hrát významnou roli!). Výslednou sílu tedy
určíme jako výslednici sil F 1 a F2 , přičemž F 2 je větší (na spodní podstavu působí větší
hydrostatický tlak):
(
)
Součin plochy podstavy S a výšky tělesa je jeho objem, tedy:
Úloha č. 2
Ve spojených nádobách je nalita voda a neznámá kapalina. Voda vystoupí nad společnou
hladinu do výšky h 1 = 27 cm. Jakou hustotu má neznámá kapalina, je-li její výška nad
společnou hladinou h 2 = 15 cm? Hustota vody je ρ 1 = 1000 kg.m -3.
Obr. 2: Spojené nádoby
Fyzikální rozbor:
Hydrostatický tlak kapaliny je ve všech místech se stejnou výškou (hladinách) od země stejně
velký. Takovou hladinou je i tzv. společná hladin, od které jsou na obr. 2 vyznačeny výšky
kapalinových sloupců. Hydrostatický tlak vodního sloupce nad společnou hladinou je tedy
stejný jako hydrostatický tlak sloupce neznáme kapaliny. Má-li být stejný tlak při různé výšce
sloupce, musí mít kapaliny různou hustotu:
Úloha č. 3
Hustota ledu je 917 kg·m -3 , hustota mořské vody je 1030 kg·m -3. Kolik procent objemu
ledovce je vynořeno nad volnou hladinou?
Obr. 3: Ledová kra částečně ponořená v mořské vodě
Fyzikální rozbor: Při plování těles na hladině nastává rovnováha mezi tíhovou silou působící
svisle dolů a vztlakovou silou působící svislé vzhůru. Tíhová síla je konstantní, zatím
vztlaková odvislá od objemu ponořené části kry. Rovnováha tedy může nastat jen při přesně
definovaném ponoření:
⇒
(
)
(
)
̇
Úloha č. 4
Určete hustotu ρ 1 neznámého tělesa, které při vážení na vzduchu mělo hmotnost m 1 = 12 g a v
kapalině o hustotě ρ = 800 kg·m -3 mělo hmotnost m 2 = 8 g.
Obr. 4: Určování hustoty tělesa pomocí vážení na vzduchu a v kapalině o známé hustotě
Pro oba stavy platí podmínka rovnováhy na rovnoramenných vahách:
Hmotnost tělesa vyjádříme jako
, po dosazení a úpravách dostane soustavu dvou
rovnic:
Po vyjádření
z druhé rovnice a dosazení do první dostaneme:
Z této rovnice vyjádříme
:
Úloha č. 5
Hustoměr ze skleněné trubičky má stálý plošný obsah S = 50 mm2. Trubička o hmotnosti m 1 =
20 g je na spodním konci zatížena olověnými broky o hmotnosti m 2 = 5 g. Jak hluboko se
tento hustoměr potopí ve vodě, jejíž hustota je ρ = 1000 kg·m -3?
Obr. 5: Hustoměr ze skleněné trubičky
Fyzikální rozbor: Konstantní tíhová síla je v rovnováze se vztlakovou silou závislou na
objemu ponořené části hustoměru, která je přímo úměrná hloubce ponoření h.
(
(
)
(
)
)
Úloha č. 6
Průřezy válců hydraulického lisu jsou S1 = 12 cm2 a S2 = 108 cm2. Jakou tlakovou silou
působí kapalina na větší píst, působí-li na menší píst silou F 1 = 100 N? O kolik se posune
velký píst, působí-li síla F1 na malý píst po dráze 12,6 cm? Porovnejte práci vykonanou
malým pístem a práci vykonanou velkým pístem.
Obr. 6: Schéma hydraulického zařízení
Pascalův zákon říká, že tlak vyvolaný v kapalině vnější silou je ve všech místech kapaliny
stejný. Tedy tlak vyvolaný silou F 1 bude tlakem, který bude způsobovat tlakovou sílu F 2 na
větší píst:
Při výpočtu posunutí druhého pístu vyjdeme z toho, že objem kapaliny vytlačené prvním
pístem se rovna objemu, kterým musí „uvolnit“ druhý píst – kapalina je téměř nestlačitelná:
Porovnání prací:
Tedy:
Úloha č. 7
V hloubce h = 5 m pod hladinou byla vypuštěna korková kulička o hustotě ρ t = 250 kg·m-3.
Jak velkou rychlostí vyplave na povrch? Jak vysoko vyskočí nad povrch vody?
Obr. 7: Korková kulička pod hladinou – rozbor situace
Fyzikální rozbor:
Na kuličku působí tíhová a vztlaková síla, která je větší a proto výslednice sil působících na
kuličku bude směřovat svisle vzhůru a podle druhého Newtonova zákona bude způsobovat
zrychlení, se kterým se kulička bude pohybovat směrem vzhůru, než dospěje k hladině, získá
rychlost v0. Následný pohyb a výšku, do které kulička vystoupí, počítáme jako svislý vrh
vzhůru.
(
(
)
(
)
(
)
)
Rychlost při hladině určíme ze známé dráhy a zrychlení rovnoměrně zrychleného pohybu:
√
√
Výška výstupu:
(
)
Download

Úloha z mechaniky kapalin a plynů