4 - Vlastnosti systému:
Stabilita, převrácená odezva,
řiditelnost a pozorovatelnost
Michael Šebek
Automatické řízení 2015
25-2-15
Stabilita obecně
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Stabilita – obecně schopnost zotavit se z perturbací
(nenulové pp. nebo krátká porucha)
Rozlišuj mezi definicí a větou (testem)
• Nelineární systém: stabilita řešení (ekvilibria),
které může být stabilní, nestabilní, neutrální
• Lineární systém: jen jedno ekvilibrium, proto „stabilita systému“
Definice: Říkáme, že LTI systém je (vnitřně) stabilní právě když
každý jeho počáteční stav odezní do nuly.
• Pokud některý počáteční stav do nuly neodezní (stav zůstane
nenulový, osciluje nebo diverguje), pak systém vnitřně stabilní není
• U spojitého LTI stavy odeznívají asymptoticky (exponenciálně),
proto se tato stabilita nazývá asymptotická
• Vnitřní stabilita je vlastnost systému ne přenosu
Věta: Spojitý LTI systém je (vnitřně) stabilní právě když má jeho
charakteristický polynom všechny kořeny v levé polorovině.
Michael Šebek
ARI-04-2015
2
Proč zrovna v levé polorovině?
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Odezva na počáteční
podmínky / stav
(an s n −1 +  + a1 ) y (0− ) +  + an y ( n −1) (0− )
y(s) =
a( s)
1
x( s )
adj( sI − A) x(0− )
=
a( s)
• Po rozkladu na parciální zlomky
každému reálnému kořenu si = ai
e ai t , te ai t , , t k −1e ai t
násobnosti k odpovídají módy
ai ± jbi
• a každé komplexní dvojici kořenů s=
i
násobnosti l odpovídají
eait sin bi t ,
e ait cos bi t ,
te ait sin bi t , te ait cos bi t ,

t l −1eait sin bi t , t l −1e ait cos bi t
mez stability patří do
nestabilní oblasti
Im
Re
• Všechny tyto průběhy (a každý zvlášť)
Re {si }= ai < 0
odezní do nuly
stabilní nestabilní
• Polynom s kořeny „jen vlevo“ se nazývá stabilní v Hurwitzově smyslu
Michael Šebek
ARI-04-2015
3
BIBO Stabilita
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jiný pojem je stabilita typu BIBO (Bounded Input Bounded Output)
Definice: Přenos je BIBO stabilní právě když odezva na každý
omezený vstupní signál je také omezená
• Pokud nějaký omezený vstupní signál vyvolá na výstupu neomezenou
odezvu, pak přenos BIBO stabilní není
• BIBO stabilita je vlastnost přenosu (ze vstupu na výstup), ne systému
• Interně stabilní syst. má všechny přenosy BIBO stabilní, opačně to neplatí
• Opačně to platí jen když jsou všechny módy systému vidět v přenosu
• Příklady – systémy BIBO stabilní, ale vnitřně nestabilní
1
s
nestabilní část není
zvenku pozorovatelná
Michael Šebek
Přenos je
BIBO
stabilní, ale
některé
počáteční
podmínky
nevymizí
ARI-04-2015
1
s
nestabilní část
není řiditelná
vstupní signál se
do ní nedostane
4
Jak se odhadne stabilita polynomu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Nutná podmínka stability polynomu (A. Stodola):
Stabilní polynom p( s ) = s n +  + a0 má všechny koeficienty kladné
• Pro druhý stupeň je to nejen podmínka nutná, ale i postačující:
Polynom p( s ) =s 2 + a1s + a0 je stabilní, právě když a1 , a0 > 0
• Vysvětlení (pro stupně 1 a 2 platí oběma směry):
p1 ( s )= s + a
p2,real ( s ) = ( s + a )( s + b ) = s 2 + (a + b) + ab, (a + b) > 0 & ab > 0 ⇔ a, b > 0
p2,complex ( s ) = ( s + c + jd )( s + c − jd ) = ( s + c) 2 + d 2 = s 2 + 2cs + c 2 + d 2
2c > 0 & ( c 2 + d 2 ) > 0 ⇔ c > 0
• Pro vyšší stupně je to jen nutné:
Násobením členů 1. a 2. řádu s kladnými koeficienty už nekladné
koeficienty nevzniknou
2
3
2
p
(
s
)
=
s
+
1
s
+
1
=
s
+
s
+ s +1
(
)
(
)
3
• Ale není to postačující,
s1,2 = ± j
viz protipříklad:
Michael Šebek
ARI-04-2015
5
Jak se testuje stabilita polynomu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Výpočet kořenů, případně rovnou jejich zobrazení
• v minulosti se neumělo (Maxwell), dnes je to nečastější
• moderní SW a numerická matematiky to rychle vypočtou
• Dost přesné vyjma případu vícenásobných kořenů,
což ale pro test stability většinou nevadí
• Matlab: roots, v toolboxech často předefinováno, dále
• Symbolic Math Tbx: solve (pozor na Abela)
• Control Systems Tbx: pzplot
• Polynomial Tbx: zpplot
• Speciální metody
• Hurwitzova metoda (hlavní minory Hurwitzovy matice > 0)
• Routh-Hurwitzův test stability - mechanická rutina
Dnes se užívá pro jiné účely, k testování stability zřídka
Naučte se ji sami z učebnic (např. Franklin 5/e s 132-133)
Michael Šebek
ARI-04-2015
6
Hurwitzova matice
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
p( s ) = s n + an −1s n −1 +  + a1s + a0
Pro polynom
• je Hurwitzova matice čtvercová n × n matice tvaru
 an −1 an −3 an −5 
 1 a
an − 4 
n−2

 0 an −1 an −3 an −5
H ( p) = 
1 an − 2 a n − 4
 0
 0
0
0
1

0
0
0
 0













 a0 
• Hurwitzův test stability: p( s) je stabilní, právě když H ( p) má
všechny hlavní minory kladné – Jasné, ale nepraktické:
naučte se variantu Routh-Hurwitzovu – viz Čtení
• Orlandovo lemma: H ( p) singulární, právě když má p( s)
dva kořeny symetrické podle imaginární osy
Michael Šebek
ARI-04-2015
7
Proč je stabilizace obtížná
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Hurwitzův test stability je založen na Hurwitzově matici:
Polynom je stabilní právě když jsou všechny hlavní minory kladné
• Pro polynom třetího stupně p( s ) =s 3 + a2 s 2 + a1s + a0 to je
 a2
H ( p ) =  1
 0
a0
a1
a2
0
0 
a0 
a2 > 0
a2 a1 > a0
a0 a1a2 − a02 > 0
a2 , a1 , a0 > 0
a2 a1 > a0
• Podmínky stability jsou „v koeficientech nelineární,“ proto oblast stability
„v koeficientech“ není tak jednoduchá jako „v kořenech“
a1
a1
[X Y]=meshgrid(0.01:.001:.1,0.01:.05:3);
Z=Y./X; surf(X,Y,Z)
a1
stabilní
nestabilní
a0
stabilní
a2
stabilní
a0
a2
a2
nestabilní
a0
• Při návrhu regulátorů bohužel častěji pracujeme s koeficienty, proto je vyjma
trivialit většina úloh složitá, nekonvexní, nelineární, ….
Michael Šebek
ARI-04-2015
8
Pozor na nestabilní soustavy
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Odstrašující příklad
≈ e at
• Jaký mód/pól odpovídá průběhu výkonu?
Michael Šebek
ARI-04-2015
a=?
9
Vliv nestabilní nuly - Převrácená odezva
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Když k systému y ( s ) = g ( s )u ( s ) přidáme nestabilní nulu v s = 1 ,
jeho odezva se změní na
y ( s) =
(1 − s ) y ( s ) =
y ( s ) − sy ( s )
(1 − s ) g ( s)u ( s) =
• tedy se od původní odezvy odečte její derivace (ta má typicky stejné
znaménko jako odezva, a tak jde odečtení proti původnímu průběhu)
• Např. ze skokové odezvy
y ( s )= (1 − s ) y ( s )
y(s) =
1
1
( s + 2) 2 + 9 s
y(s)
• odečtením derivace − sy ( s ) dostaneme
1− s
y (s) =
(1 − s ) y ( s ) = 2
( s + 2) + 9
− sy ( s )
odezva na
skok je zpočátku
„převrácená“
• Systém zpočátku reaguje opačně
a později to napraví – nejde tedy o změnu polarity!
• Souvisí to s pojmem neminimální fáze, proto se v literatuře místo
„nestabilní nula“ někdy říká nula „neminimálně fázová“
Michael Šebek
ARI-04-2015
10
Systém s minimální fází
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Minimální fáze = systém i jeho inverze jsou ryzí a stabilní /pro spojité LTI
=
f (s)
b( s )
a( s)
=
f ( s ) finv ( s ) 1
, finv ( s )
,=
a( s)
b( s )
• Pak jsou ve frekvenční oblasti amplituda
a fáze vázány Hilbertovou transformací
1 ∞ g (ω )
H {g (ω )} = ∫
dτ .
−∞
π ω −τ
• Tedy a ( s ), b( s ) stabilní a
deg a( s ) = deg b( s )
arg f ( jω ) = −H
{ln
f ( jω ) }
ln=
f ( jω ) ln f ( j∞) + H
def
H ( jω ) = eα (ω )+ jφ (ω )
{arg f ( jω )}
φ (ω ) = −H {α (ω )}
α (ω ) = α (∞) + H {φ (ω )}
• Obecně mezi nimi žádný vztah není
• Systém s minimální fází má mezi systémy se stejnou amplitudovou
charakteristikou minimální přírůstek fáze při přechodu ω : 0 → ∞
• Systém s maximální fází = všechny kořeny čitatele nestabilní,
maximální přírůstek fáze při ω : 0 → ∞
• Mezi tím: smíšená neboli neminimální fáze
Michael Šebek
ARI-04-2015
11
Co můžeme vybudit a co se projeví na výstupu
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Řiditelnost (controllability)
• vstupním signálem můžeme ovlivnit jen tu část systému, která se dá řídit
(nějak vybudit vstupním signálem) = řiditelná část systémů
• pokud můžeme vstupem vybudit všechny části (módy) systému,
říkáme že systém je (plně) řiditelný
Pozorovatelnost (observability)
• zkoumáme-li výstup systému, vidíme z něj jen to, co se na výstupu
může pozorovat (co se tam nějak projeví) = pozorovatelná část systému
• pokud se na výstupu mohou projevit všechny části (módy) systému,
• říkáme že systém je (plně) pozorovatelný
Z toho plyne, že
• odezvu na počáteční podmínky a/nebo na vstupní signál ovlivňuje jen
pozorovatelná část (módy) systémů
• odezvu na vstupní signál ovlivňuje jen ta část (módy) systémů, která je
současně pozorovatelná a řiditelná
Michael Šebek
ARI-04-2015
12
Možnost dělat se systémem co chci: Řiditelnost
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Definice: matice řiditelnosti
=
C B
AB … A n−1B 
řiditelnost
není vlastností
přenosu, ale
stavové realizace
Následující tvrzení jsou ekvivalentní
• systému je úplně řiditelný
• systém nemá neřiditelnou (divnou) část
• všechny módy systému můžeme vybudit akčním zásahem
• každý stav systému lze řídit (třeba do nuly)
• stavový popis lze převést do normální formy řiditelnosti
• matice řiditelnosti má plnou hodnost (u SISO je nesingulární)
• platí
rank [ sI − A, B ] = n ∀s ∈ C
• při výpočtu přenosu se nic nekrátí mezi
adj( sI − A)B
( sI − A) −1 B =
det( sI − A)
• stavovou ZV můžeme libovolně posouvat póly systému
Michael Šebek
ARI-04-2015
13
Neřiditelný systém
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• když předchozí tvrzení neplatí, tak máme problém
Důvody
• špatný model (např. stavový popis zbytečně vysokého řádu)
• systém opravdu nejde dobře řídit a musíme ho „předělat“
(přemístit nebo přidat aktuátor apod.)
• sami jsme neřiditelnost způsobili nevhodným spojením podsystémů
Neřiditelnost
• nemusíme poznat z přenosu (někdo už ho mohl vykrátit)
• nemusí být ještě úplný průšvih, pokud je „neřiditelná část“ systému stabilní pak je systém alespoň stabilizovatelný
Mezi tím je špatná řiditelnost
• matice řiditelnosti je „skoro singulární,“ přenosy „skoro soudělné“
• špatně se řídí, špatná dynamika, velká spotřeba energie
Michael Šebek
ARI-04-2015
14
Možnost vidět, co se v systému děje: Pozorovatelnost
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Definice: matice pozorovatelnosti je
 C 
 CA 

O=
  

n -1 
CA


Následující tvrzení jsou ekvivalentní
• systému je úplně pozorovatelný
• každý stav systému lze zpětně pozorovat (vypočítat)
• všechny módy systému můžeme v principu pozorovat na výstupu
• systém nemá nepozorovatelnou (divnou) část
• stavový popis lze převést do normální formy pozorovatelnosti
• matice pozorovatelnosti je nesingulární
T
T
T

• pro každé komplexní s platí rank ( sI − A )
C  =n
• při výpočtu přenosu se nic nekrátí mezi
pozorovatelnost
C adj( sI − A)
není vlastností
C( sI − A) −1 =
přenosu, ale
det( sI − A)
stavové realizace
• můžeme libovolně navrhnout tzv. pozorovatele
Michael Šebek
ARI-04-2015
15
Download

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a