Fakultet Organizacionih Nauka
Laboratorija za Statistiku
TEORIJA VEROVATNOĆE
Priprema za II kolokvijum 2014/2015
1. Iz skupa {1, 2,3} slučajno se bira broj X . Nakon toga se baca homogena kocka X puta i pri
tome je broj pojavljivanja šestica jednak Y . Odrediti σ 2 ( X / Y = 2) .
2. Neka je slučajna promenljiva Y
koja ima normalnu raspodelu takva da važi
P(Y > 16) = 0.08 i P(Y < 4) = 0.03 . Izračunati verovatnoću P(8 < Y < 13) i E (Y 2 ) .
3. Verovatnoća da je slučajno izabrana osoba visa od 180 cm je 0.27. Odrediti verovatnoću da
se u grupi od 1200 osoba nalazi manje od 300 osoba koje su više od 180 cm.
4. Funkcija gustine verovatnoća slučajne promenljive X je
cx, x ∈ [3, 6]
f ( x) = 
 0, x ∉ [3, 6 ]
Odrediti:
a) Konstantu c
b) E (2 X − 3)
c) σ 2 (−2 X + 5)
d) Modus i Medijanu
e) P ( X ∈ [ a , b ]), gde je [ a, b ] ⊂ [3, 6 ]
f)
P(5 < X < 7)
g) P ( X 2 − 9 X + 20 ≥ 0)
5. Odrediti
a. P (63 < X < 117) , ako je X : B (900, 0.1)
b. konstante a i b, ako je P ( a < X < b) = 0.6 i P ( X > a ) = 0.9 , za X : χ 222
c. konstantu b, ako je P ( X > b) = 0.91 , za X : t17
d. konstantu b, ako je P ( X > b) = 0.01 , za X : F8,20
Fakultet Organizacionih Nauka
Laboratorija za Statistiku
6. Dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) data je funkcijom gustine:
c
f ( x, y ) =
,
−∞ < x, y < ∞
2
1 + x + y2 + x2 y2
a. odrediti vrednost konstante c
b. odrediti verovatnoću da slučajna tačka (X,Y) padne u kvadrat S : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
c. pokazati da su X i Y nezavisne slučajne promenljive
7. Data je funkcija gustine slučajne promenljive ( X , Y )
Cx 2 y,
za
0< y< x<2
f ( x, y ) = 
 0, za ostale vrednosti x i
y
a) odrediti vrednost nepoznate konstante C
b) odrediti P ( X > 1 / Y > 1)
1
c) odrediti P ( X > 1/ Y = )
2
8. U svakom gađanju strelac pogađa cilj sa verovatnoćom p. Ima tri metka i kada ih utoši,
dobija još onoliko metaka koliko je pogodaka postigao u prvoj seriji, koje takođe ispaljuje u
metu. Ako je X slučajna promenljiva koje predstavlja ukupan broj pogodaka, odrediti njen
zakon raspodela verovatnoća. Kolika je verovatnoća da je cilj pogođen bar jednom ?
9. Slučajna promenljiva X ima normalnu raspodelu N (10, σ 2 ) . Ako je verovatnoća
P {10 < X < 20} = 0.3 , kolika je verovatnoća da X upadne u interval (0,10). Slučajna
promenljiva X ima normalnu raspodelu N ( µ ,16) . Naći vrednost parametra µ tako da je
P {2 + µ < X < 2µ + 4} = 0.2835 .
10. Dnevni pazar jedne prodavnice je slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom
N (260000, 70000 2 ) . Kolika je verovatnoća da u toku pet dana dnevni pazar bude:
a) tri dana veći od 290000
b) bar jednog dana veći od 290000 ?
Fakultet Organizacionih Nauka
Laboratorija za Statistiku
11. Data je funkcija gustine slučajne promenljive ( X , Y )
C , za x 2 ≤ y ≤ x i 0 ≤ x ≤ 1
f ( x, y ) = 
 0, za ostale vrednosti x i
y
a. odrediti vrednost nepoznate konstante C
b. odrediti marginalne gustine za X i Y
c.
odrediti regresionu krivu za Y u odnosu na X
d. da li su veličine X i Y nezavisne ?
12. U kutiji se nalazi po jedna bela i jedna crna kuglica. Izvlači se jedna po jedna kuglica. Ako je
izvučena kuglica bela, ona se vraća u kutiju i dodaju se još dve bele kuglice, a zatim se
izvlačenje ponavlja. Izvlačenje se prekida ako se izvuče crna kuglica ili najduže posle šestog
izvlačenja. Neka je X slučajna promenljiva koja predstavlja broj izvlacenja. Odrediti:
a. zakon raspodele slučajne promenljive X
b. matematičko očekivanje i disperziju za X
c. E (3 X + 6) i σ 2 (3 X − 7)
d. verovatnoću P ( X ≤ E ( X ))
13. Slucajna promenljiva (X,Y) ima funkciju gustine koja je proporcionalna sa e
0<y< ∞ , a za ostale vrednosti x i y funkcija gustine f(x,y)=0.
a. odrediti funkciju gustine za (X,Y)
b. odrediti marginalne gustine za X i Y
c. izracunati koeficijent korelacije izmedju X i Y
d. izracunati verovatnocu P(Y>X)
− x−
y
2
za 0<x< ∞ ,
14. Date su dve nezavisne slučajne veličine X i Y koje imaju normalnu raspodelu: X ima N(2,4), a
Y ima N(-3,16). Odredtiti:
a) P( X − 3 < 1)
b) E (3 X + 2Y )
c) σ 2 (3 X − 4Y )
d) P (2 X − Y < 4)
15. Homogena numerisana kocka se baca dva puta. U slučaju da oba puta padne paran broj,
kocka se baca još jednom. Ako je X broj pojavljivanja dvojke, a Y broj pojavljivanja šestice u
svim bacanjima, odrediti zakon raspodele verovatnoća dvodimenzionalne slučajne
promenljive (X,Y).
Download

ovde - Laboratorija za Statistiku