Logika
1. Dati su iskazi:
5
7
p : 1  2       ,
4
9
1
7
1
q : 3  2      5  1     5  0.2  1  
2
4
4
Odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:
a pq
d  q p
b  p  q
e  p p   q
c  pp   q
rešenje: vp  , vq  
a , b , c , d , e 
2. Dati su iskazi:
1 2
47
p : 2  4       3  
2 5
10
4
5 1
3
10
q :    :     5   
3
9 3
5
3
2
7 
25
1  13

 1
r : 2  
3     
2     6    
       
9
16
5
4
4
3




Odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:
a  p   q
c   r  qp q
b p   qr
rešenje: vp  , vq  , vr  
a , b , c 
3. Odrediti istinitosne vrednosti iskaza
3  2x
2  3x
29
p :      , za x  0.5
3
4
4
q : 35  y  2y  1  1  3y,
za y  2
a zatim odrediti istinitosne vrednosti sledećih iskaza
a p  q  p, b p  q  q,
c  p q q
rešenje: vp  , vq  
a , b , c 
4. Ako su p i q netačni iskazi, odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:
a q   p 
b p  q  p  q  
rešenje: a , b 
5. Data je formula Fp     p  p.
Izračunati: aF  , b F  , c FF  , d FF  
rešenje: a , b , c , d 
6. Sledeće rečenice napisati upotrebom simbola logičkih operacija
a Nije q ili je p
b Nije q i nije p
c Ako nije p onda q
d Iz p sledi nije q
e Ako iz nije q sledi p, onda iz p sledi nije q
 f  p je ako i samo ako nije q
g Nije p ekvivalentno sa nije q
h Ako iz nije p sledi q, onda p ekvivalentno sa q.
rešenje:
a  q  p
e  q pp q
b  q   p
 f  p q
c  pq
g  p q
d p q
h  pq pq
7. Dokazati da su sledeće formule tautologije
a p  qq  p
b  p  q p   q
c  p  q p   q
d p  qr p
e p  qrpr  qr
8. Za koje vrednosti iskaznih slova p, q i r su iskazne formule
a pq  r,
b p  q  r
netačne?
rešenje:
a vp  , vq  , vr  , b vp  vq  vr  
9. Koristeći De Morganove zakone, odrediti negaciju sledećih formula
a  p  q,
b  p  q
rešenje: a p   q, b p   q
10. Formuli  p q ekvivalentna je formula: (zaokružiti tačan odgovor)
a  p   q
b  p   q
rešenje: b
11. Date su sledeće iskazne rečenice:
c   p   q
A1 : pqr
A2 :  r  w
Pokazati da je iskazna rečenica A : p  w logička posledica tih formula.
uputstvo: Treba pokazati da je iskazna formula A1  A2 A tautologija
12. Date su sledeće iskazne rečenice:
A1 : p  qr  w
A2 :  r  u
Pokazati da je iskazna rečenica A :  p  u logička posledica tih formula.
uputstvo: Treba pokazati da je iskazna formula A1  A2 A tautologija
13. Pokazati da je iskazna formula
A : p  qr
logička posledica iskazne formule A1 : pr  qr
uputstvo: Treba pokazati da je iskazna formula A1 A tautologija
Kvantifikatori, skupovi
1. Koristeći kvantifikatore , napisati sledeće rečenice:
a Postoji prirodan broj manji od 5,
b Bar jedan prirodan broj je manji od 5,
c Svaki racionalan broj je realan broj,
d Svaki realan broj je pozitivan ili negativan, ili jednak nuli,
e Svaki realan broj pomnožen sa 1 jednak je samom sebi,
 f  Postoji prirodan broj koji je rešenje jednačine 2x  4  0,
g Svaki realan broj x je rešenje jednačine 0  x  0.
rešenje:
a  x  N x  5
b  x  N x  5
c  x  Q x  R
d  x  R x  0  x  0  x  0
e  x  R x  1  x
 f   x  N 2x  4  0
g  x  R 0  x  0
2. Zapisati upotrebom kvantifikatora sledeće rečenice:
a Zbir ma koja dva prirodna broja je prirodan broj,
b Proizvod svaka dva cela broja je ceo broj,
(c) Od svakog prirodnog broja postoji veće prirodan broj,
d Za svaki ceo broj x postoji tačno jedan ceo broj y, tako da je x  y  5.
rešenje:
a  x  N y  N x  y  N
b  x  Z y  Z x  y  Z
c  x  N y  N y  x
d  x  Z1 y  Z x  y  5
3. Sledeći formalni zapis napisati rečima:
a  x  Nx  1
b  x  Nx  5
c  x  Nx  1 x  5
d  xx  1 x  1
e  xx  Z x  Q
 f   xx  Z  x  N
rešenje:
a Postoji prirodan broj koji je jednak 1,
b Postoji prirodan broj koji je veći od 5,
c Postoji prirodan broj koji je jednak 1 ili veći od 5,
d Svaki broj je jednak 1 ili različit od 1,
e Svaki ceo broj je racionalan broj (ili Za svaki broj x koji je ceo sledi da je x racionalan broj),
 f  Postoji broj koji je ceo i prirodan.
4. Sledeće rečenice zapisati pomoću formula:
a Svaki prirodan broj manji od 4 manji je od 6,
(b) Jednačina 3x  6  0 ima tačno jedno realno rešenje,
(c) Za svaki realan broj x veći od 2 sledi da je x veće od 0.
rešenje:
a  x  Nx  4 x  6
b 1 x  R 3x  6  0
c  x  R x  2 x  0
5. Dati su skupovi A  1, 2, 3, 4, 5, 6, B  2, 1, 0, 1, 2, C  3, 4, 8, 10.
Odrediti sledeće skupove:
a A  B
b A  C
c A  C
e A  B  C
 f  A  B  C  A
g A  B  C
d B  C,
rešenje:
a A  B  1, 2
b A  C  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10
c A  C  1, 2, 5, 6
d B  C  2, 1, 0, 1, 2
e A  B  C  1, 2
 f  A  B  C  A  3, 4, 5, 6, 8, 10
g A  B  C  3, 4
6. Odrediti skupove A i B ako je:
A  B  1, 2, 3, 4, 5, 6, A  B  1, 2, 3, 4, 6  A, 5  B  A
rešenje:
A  1, 2, 3, 4, 5, B  1, 2, 3, 4, 6
7. Odrediti skupove A i B, ako je:
A  B  1, 2, 3, 4, 5, A  B  3, 4, 5, 1  A  B, 2  B  A
rešenje:
A  2, 3, 4, 5, B  1, 3, 4, 5
8. Odrediti elemente skupova A, B, C ako je:
A  B  C  1, 2, 3, 4, 5, 6, A  C  B  C  ,
A  B  1, 3, 5, C  B  2, 4, A  B  C  6
rešenje:
A  1, 3, 5, 6, B  6, C  2, 4
9. Osenčene skupove na sledećoj slici opisati pomoću skupova A, B, C, koristeći skupovne operacije:
rešenje:
a A  B  C
bA  B  C cA  B  C dC  A  B eB  A  C
10. Dati su skupovi:
A  x : x  12  x  N, B  1, 3, 7, C   y : y  N  0  y  9
Odrediti: a A  B, b A  C, cA  B  C, dA  B  A  C, eA  B  A  C
rešenje:
a A  B  1, 2, 3, 4, 6, 7, 12
b A  C  1, 2, 3, 4, 6
c A  B  C  1, 2, 3, 4, 6, 7
d A  B  A  C  1, 2, 3, 4, 6
e A  B  A  C  1, 2, 3, 4, 6, 7, 12
11. Dati su skupovi:
A  a  Z  a2  4  0, B  b  Z  3  b  3, C  c  N  c  7
Odrediti skupove:
a A  B  C
bA  B  C
dA  B  C
eA  B  A  C
cA  B  A  C
rešenje:
a A  B  C  
b A  B  C  2, 1, 0
dA  B  C  2
eA  B  A  C  2
cA  B  A  C  
12. Dati su skupovi:
A  x  Z  x2  16, B  x  N  x  12, C  x  N  2  x  8,
D  x  Z  x  1  x  6
Odrediti skupove:
a A  B, b A  B  C, c A  C  B  D, d A  B  D, eC  B  C  D
rešenje:
a A  B  4
b A  B  C  4, 2, 3, 4, 5, 6, 7
c A  C  B  D  4, 6, 12
dA  B  D  4
eC  B  C  D  2, 3, 4
13. Koje od sledećih formula su tačne?
a A    A
b A  B  A  
c A  B  A
d A  A  B
e A  A  B  A  B
f  AB  B A
g C  A  B  C  A  C  B
rešenje:
Tačne su formule a, b, c, e, g, netačne su formule d,  f .
14. U jednom odeljenju od 30 učenika odgovaralo je: 19 učenika matematiku, 17 učenika fiziku, 11 učenika istoriju,
12 učenika matematiku i fiziku, 7 učenika istoriju i matematiku, 5 učenika fiziku i istoriju i 2 učenika sva tri predmeta.
a Koliko učenika je odgovaralo istoriju, ali ne i matematiku?
b Koliko učenika je odgovaralo dva predmeta od tri moguća?
c Koliko učenika je odgovaralo samo istoriju?
rešenje:
a 4, b18, c1
15. Na jednom kursu stranih jezika svaki polaznik uči bar jedan strani jezik (engleski, francuski i nemački), i to: 18
polaznika uči francuski, 22 polaznika uči engleski, 15 uči nemački, 6 uči engleski i francuski, 11 uči engleski i
nemački, 1 uči sva tri jezika. Koliko polaznika ima na tom kursu, i koliko njih uči samo dva jezika?
rešenje: Ima 38 polaznika, samo dva jezika uči njih 15.
16. U jednom prevodilačkom birou radi 52 prevodioca. Među njima 20 govori ruski, 19 francuski, a 35 engleski. Ruski
i engleski govori njih 11, francuski i ruski njih 7, francuski i engleski 9.
a Koliko prevodilaca govori sva tri jezika?
b Koliko njih govori samo ruski?
rešenje: a5, b7.
17. U jednom odeljenju od 30 učenika svako od njih se bavi bar jednim od sportova: košarkom, odbojkom, rukometom.
Košarkom i odbojkom se bavi 8 učenika, košarkom i rukometom 12 učenika, odbojkom i rukometom 5 učenika.
Odbojkom se bavi 16 učenika, samo košarkom 3 učenika i samo rukometom 1 učenik. Koliko učenika trenira sva tri
sporta?
rešenje: 2 učenika
18. Svaki od učenika jednog odeljenja je pročitao bar jednu od knjiga A,B,C. Knjige A i B pročitalo je 5 učenika,
knjige B i C 6 učenika, knjige A i C 4 učenika. Knjigu A je pročitalo 10 učenika, knjigu B 12 učenika, a knjigu C 14
učenika. Koliko učenika je pročitalo sve tri knjige, ako u odeljenju ima 25 učenika?
rešenje: Sve tri knjige je pročitalo 4 učenika
19. U jednom odeljenju je svaki učenik odgovarao bar jedan od sledećih predmeta: geografiju, engleski, istoriju. Sva
tri predmeta je odgovaralo 2 učenika, geografiju i engleski 5 učenika, geografiju i istoriju 6 učenika. Engleski ali ne
istoriju 10 učenika, istoriju ali ne engleski 7 učenika, geografiju 12 učenika, samo dva predmeta 8 učenika. Koliko
učenika ima u tom odeljenju?
rešenje: 23 učenika
20. U jednom preduzeću svako od zaposlenih govori bar jedan od stranih jezika: francuski, španski, italijanski. Sva tri
jezika govore 2 zaposlena, samo francuski i španski 2, španski ali ne italijanski 7, francuski i italijanski 5, samo dva
jezika 11, samo francuski 5, a italijanski govori 15 zaposlenih. Koliko ima zaposlenih u tom preduzeću?
rešenje: 27 zaposlenih
Download

logika i skupovi zadaci za vežbu 2014.