TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
1
Primer 1: Odrediti nominalni napon smicanja tn i po potrebi izvršiti osiguranje armaturom
pravougaonog preseka opterećenog momentima torzije MTg i MTp usled stalnog,
odnosno povremenog opterećenja. Podaci za proračun:
MTg = 40 kNm
b = 50 cm
MB 30
MTp = 25 kNm
d = 60 cm
GA 240/360
S obzirom na ograničenje t n £ 5t r , presek u granično stanje dospeva otkazom armature,
pa se primenjuju minimalni koeficijenti sigurnosti (slučaj ea ≥ 3‰):
d
a
a
MTu = 1.6 ´ 40 + 1.8 ´ 25 = 109 kNm
d0
Ab0
a
d
d0
Ab0
a
d
d
a
b0
a
b
a
b0
a
b
Usvojeno je da je rastojanje težišta podužne torzione armature od ivice betona a = 4 cm.
Sledi:
b0 = b - 2 a = 50 - 2 ´ 4 = 42 cm
; d 0 = d - 2 a = 60 - 2 ´ 4 = 52 cm
- površina i obim dela preseka obuhvaćenog srednjom linijom računskog sandučastog preseka:
Ab0 = b0 ´ d 0 = 42 ´ 52 = 2184 cm 2
Ob0 = 2 ´ (b0 + d 0 ) = 2 ´ (42 + 52 ) = 188 cm
- debljina zida ekvivalentnog tankozidnog profila:
d=
d m min .(b0 , d0 ) 42
=
=
= 5.25 cm
8
8
8
- nominalni napon smicanja:
tn =
ì> t = 0.11 kN / cm 2
MTu
109 ´ 10 2
= 0.475 kN / cm 2 í r
=
2 ´ Ab0 ´ d 2 ´ 2184 ´ 5.25
î< 5 t r
Kako je prekoračena računska čvrstoća pri smicanju tr, potrebno je izvršiti osiguranje
armaturom na delu nosača na kome je ova granica prekoračena. Za poznati dijagram
momenata torzije duž nosača, dužina osiguranja l se lako može odrediti, što u ovom
primeru nije moguće (razmatra se samo najopterećeniji presek).
PRIMERI ZA VEŽBE
Preseci napregnuti momentima torzije
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
2
Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i horizontalnom - podužnom armaturom.
Potrebna površina uzengija se sračunava iz redukovanog (MTRu) a površina podužne
armature iz neredukovanog (MTu) momenta torzije.
t n > 3 t r Þ MTbu = 0
; MTRu = MTu - MTbu = MTu
Kako su uzengije po pravilu vertikalne (a = 90°), izraz za određivanje potrebne površine
poprečnog preseka šipke se može napisati u obliku:
au( 1 ) =
MTRu
MTRu
1
´
´ eu =
´ tan q ´ eu
2 ´ Ab0 ´ sv (cos a + sin a ´ cot q)
2 ´ Ab0 ´ sv
au(1 ) =
109 ´ 10 2
´ 1.0 ´ eu = 0.104 ´ eu
2 ´ 2184 ´ 24
0.503
ü
= 4.83 cm ï
0.104
ïï
0.785
= 7.55 cm ý Þ usv . UØ10 / 7.5 cm
UØ10 Þ eu =
0.104
ï
1.13
UØ12 Þ eu =
= 10.88 cm ï
ïþ
0.104
Þ eu =
UØ8
- površina ukupne podužne armature:
åA
a
=
å Aa =
MTu
MTu
´ (cos a + sin a ´ cot q) ´ Ob 0 =
´ cot q ´ Ob0
2 ´ Ab0 ´ sv
2 ´ Ab0 ´ sv
109 ´ 10 2
´ 1.0 ´ 188 = 19.55 cm 2
2 ´ 2184 ´ 24
Þ
14Ø14 (21.55 cm2)
Smanjenje količine poprečne, uz istovremeno povećanje količine podužne armature, moguće je uz
smanjenje usvojenog ugla nagiba pritisnutih dijagonala q. Na primer, za usvojeno q = 35º sledi:
109 ´ 10 2
0.785
´ tan 35° ´ eu au(1 ) = 0.073 ´ eu Þ eu =
= 10.79 cm
2 ´ 2184 ´ 24
0.073
usvojeno:
UØ10/10
109 ´ 10 2
2
å A a = 2 ´ 2184 ´ 24 ´ cot 35° ´ 188 = 27.92 cm
2
usvojeno:
14Ø16 (28.15 cm )
au( 1 ) =
varijanta 1
varijanta 2
4
4Ø16
2Ø16
2Ø14
2Ø16
UØ10/7.5
4x13=52
2Ø14
60
4x13=52
60
4
4Ø14
UØ10/10
2Ø16
4
4
2Ø14
4Ø14
4
3x14=42
50
PRIMERI ZA VEŽBE
4
4Ø16
4
3x14=42
4
50
Preseci napregnuti momentima torzije
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
Dimenzionisati nosač sistema obostrano uklještene grede, raspona L=6.0 m.
Poprečni presek nosača je pravougaoni, dimenzija b/d = 50/60 cm. Pored
sopstvene težine, nosač je opterećen jednako raspodeljenim stalnim (Dg) i
povremenim (p) opterećenjem, kao i raspodeljenim momentima torzije mTg i
mTp usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja. Podaci za proračun:
mTg = 6 kNm/m
Dg = 16.5 kN/m
MB 30
mTp = 4 kNm/m
p = 4 kN/m
GA 240/360
Analiza opterećenja
- sopstv. težina 0.50×0.60×25
stalno opterećenje:
g, p
Dg
= 16.5 kN/m
g
= 24.0 kN/m
mTg
= 6.0 kNm/m
povremeno opterećenje: p
mTg, mTp
600
= 4.0 kN/m
= 4.0 kNm/m
M pO =
4 ´62
= 12 kNm
12
M
MO
mTp
MO
- dodatno stalno opt.
= 7.5 kN/m
MP
Primer 2:
1
Tg =
24 ´ 6
= 72 kN
2
MTg =
6 ´6
= 18 kNm
2
4 ´62
M =
= 6 kNm
24
P
p
Tp =
4 ´6
= 12 kN
2
MTp =
MT
MT
24 ´ 6 2
M =
= 36 kNm
24
P
g
T
T
24 ´ 6 2
= 72 kNm
12
MT
M gO =
T
Presečne sile
4 ´6
= 12 kNm
2
Kontrola glavnih napona zatezanja
MTu = 1.6 ´ 18 + 1.8 ´ 12 = 50.4 kNm
usv. a = 4 cm Þ
b0 = 50 – 2×4 = 42 cm
d0 = 60 – 2×4 = 52 cm
Ab0 = b0 ´ d 0 = 42 ´ 52 = 2184 cm 2
Ob0 = 2 ´ (b0 + d 0 ) = 2 ´ (42 + 52 ) = 188 cm
d=
d m 42
=
= 5.25 cm
8
8
Þ
tMnT =
kN
MTu
50.4 ´ 10 2
=
= 0.22
cm 2
2 ´ Ab 0 ´ d 2 ´ 2184 ´ 5.25
Tu = 1.6 ´ 72 + 1.8 ´ 18 = 136.8 kN
a1 = 4.5 cm Þ z » 0.9 ´ h = 0.9 ´ 55.5 » 50 cm
tTn =
Tmu
136.8
kN
=
= 0.055
b ´ z 50 ´ 50
cm 2
Sa računskom čvrstoćom pri čistom smicanju tr se upoređuje UKUPNI napon smicanja:
PRIMERI ZA VEŽBE
Preseci napregnuti momentima torzije
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
2
ì> t = 0.11 kN / cm 2
t n = tTn + tMnT = 0.055 + 0.22 = 0.275 kN / cm 2 í r
î< 5 t r
- dužina osiguranja:
l=
L æ
t ö 600 æ
1.1 ö
´ ç1 ´ çç1 - r ÷÷ =
÷ = 180 cm
2 è
tn ø
2
2.75 ø
è
Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (a=90°) i horizontalnom armaturom. Potrebna
površina uzengija se sračunava iz odgovarajućih redukovanih uticaja (MTRu, odnosno tRu),
posebno za uticaj momenta torzije, odnosno transverzalne sile.
Potrebno je obratiti pažnju da je nužno sračunati uzengije za prihvatanje transverzanih sila, bez
T
obzira što je tn < tr. Kriterijum da li je potrebno osiguranje armaturom ili ne je UKUPAN napon
smicanja, a ne napon smicanja od pojedinačnog uticaja.
potrebne uzengije za prihvatanje transverzalne sile
Tbu
1 tTn
1 0.055
= ´
´ (3 t r - t n ) ´ b ´ z = ´
´ (3 ´ 0.11 - 0.275 ) ´ 50 ´ 50 = 13.8 kN
2 tn
2 0.275
TRu = Tmu – Tbu = 136.8 – 13.8 = 123.0 kN Þ tTRu =
usvojeno:
au(1,T) =
b ´ tTRu
m ´ sv
´
123.0
= 0.049 kN/cm2
50 ´ 50
m = 4 ; a = 90° ; q = 45°
1
50 ´ 0.049
1
´ eu =
´
´ e = 0.026×eu
(cos a + sin a ´ cot q)
4 ´ 24
(0 + 1 ´1) u
potrebne uzengije za prihvatanje torzije
MTbu =
1 tMnT
tMT
´
´ (3 t r - t n ) ´ 2 ´ Ab 0 ´ d = n ´ (3 t r - t n ) ´ Ab 0 ´ d
2 tn
tn
MTbu =
0.22
´ (3 ´ 0.11 - 0.275 ) ´ 2184 ´ 5.25 = 509 kNcm = 5.09 kNm
0.275
MTRu = MTu – MTbu = 50.4 – 5.09 = 45.31 kNm
au(1,M) T =
MTRu
45.31 ´ 10 2
´ tan q ´ eu =
´ 1.0 ´ eu = 0.043×eu
2 ´ Ab0 ´ sv
2 ´ 2184 ´ 24
spoljašnje uzengije:
)
au(1,spolja
= au(1,M) T + au(1,T) = (0.043+0.026)´eu = 0.069×eu
pretp. UØ10 Þ eu ,spolja =
0.785
= 11.4 cm
0.069
Þ
usv.: UØ10/10
0.503
= 19.6 cm
0.026
Þ
usv.: UØ8/20
unutrašnje uzengije:
)
au(1,unutra
= au(1,T) = 0.026×eu
pretp. UØ8 Þ eu ,unutra =
PRIMERI ZA VEŽBE
Preseci napregnuti momentima torzije
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
3
Napominje se da se spoljašnje uzengije, koje prihvataju uticaj torzije, moraju zatvoriti
preklapanjem po čitavoj kraćoj strani preseka, dok se unutrašnje uzengije, koje prihvataju samo
uticaj transverzalne sile, mogu zatvoriti na uobičajen način, oko jedne od ugaonih šipki.
horizontalna armatura
Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:
å Aa =
MTu
50.4 ´10 2
´ cot q ´ Ob0 =
´ 1.0 ´188 = 7.90 cm2
2 ´ Ab 0 ´ sv
2 ´ 2184 ´ 24
Sa aspekta nosivosti preseka, moguće je usvojiti samo četiri ugaone šipke odgovarajuće
površine. Ipak, vodeći računa o graničnom stanju upotrebljivosti, treba izabrati veći broj
tanjih profila i homogeno ih rasporediti po obimu preseka. U konkretnom slučaju, usvojeno
je 14Ø10 (11.0 cm2).
Kako je u preseku u uklještenju "špic" momenta savijanja, to je potrebna površina dodatne
zategnute armature za prihvatanje uticaja transverzalnih sila DAa = 0 .
Dimenzionisanje prema momentima savijanja
MB 30 Þ fB = 2.05 kN/cm2 ; GA 240/360 Þ sv = 24 kN/cm2
presek nad osloncem
M u = 1.6 ´ 72 + 1.8 ´ 18 = 136.8 kNm
Pritisnuta je donja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone pravougaoni, širine b=50 cm:
pretp. a1 = 4.5 cm Þ h = 60 - 4.5 = 55.5 cm
k=
55.5
136.8 ´ 10 2
50 ´ 2.05
Aa ,potr . = 4.490 ´
= 4.804 Þ
eb/ea = 1.106/10‰ ; m = 4.490%
50 ´ 55.5 2.05
´
= 10.64 cm2
100
24
presek u polju
M u = 1.6 ´ 36 + 1.8 ´ 9 = 68.4 kNm
Pritisnuta je gonja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone ili Г ili pravougaoni, širine B:
b + 8 ´ d p = 50 + 8 ´ 12 = 146 cm
ì
ü
ï
ï
B = min. í
0.25
0.25
ý = 85 cm
ïîb + 3 ´ l0 = 50 + 3 ´ 0.7 ´ 600 = 85 cm ïþ
Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči. Sledi:
pretp. a1 = 4.5 cm Þ h = 60 - 4.5 = 55.5 cm
k=
55.5
68.4 ´ 10 2
85 ´ 2.05
= 8.459
Þ
eb/ea = 0.577/10‰ ; m = 1.424% ; s = 0.055
x = 0.055 ´ 55.5 = 2.89 cm < d p = 12 cm
PRIMERI ZA VEŽBE
Preseci napregnuti momentima torzije
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
4
Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se potrebna površina armature
određuje kao:
Aa ,potr . = 1.424 ´
Aa ,min . = m min ´
85 ´ 55.5 2.05
´
= 5.48 cm2
100
24
b´d
50 ´ 60
= 0.25 ´
= 7.5 cm2 > Aa,potr.
100
100
7Ø16
2Ø10
ukupno:
= 13.78 cm2
usvojeno:
7Ø16 (14.07 cm2)
2Ø10
4x13=52
= 10.64 cm2
UØ8/20
UØ10/10
2Ø10
4
za M:
60
za MT: 4Ø10 = 3.14 cm2
12
4
Konačno usvajanje armature
U preseku nad osloncem potrebno je:
4Ø10
4
3x14=42
4
50
PRIMERI ZA VEŽBE
Preseci napregnuti momentima torzije
Download

Dimenzionisanje nosaca za uticaje torzije.pdf