Rezultati popravnog kolokvijuma -ALGEBRA 1, MNV smerovi, 24. 12. 2010.
Neka reˇ
senja:
4.(a) Posmatrajte det : GL2 (Z7 ) → (Z7 )× . To je homomorfizam (LA). Onda je SL2 (Z7 ) jezgro tog homomorfizma, a jezgro svakog homomorfizma je normalna podgrupa. Nije bilo potrebno niˇsta raˇcunati.
5. Kad se traˇzi da se napiˇsu sve grupe, nije dovoljno samo navesti po jednu od svagog reda. Dakle sve podgrupe
su {1}, h−1i, hii, hji, hki, Q8 i sve su normalne (ˇsto proveravate direktnim raˇcunom - dovoljno je da konjugujete
sa i, j, k.)
Slede´ci studenti su poloˇzili (popravni) kolokvijum:
1. Milica Tomasevic 49
2. Petar Cukanovic 43
3. Maida Hodzic 42
4. Sanja Pasanjski 39
5. Monika Mladenovic 38
6. Zora Golubovic 36
7. Tijana Spasic 33
8. Marko Krstic 30
9. Marija Minic 30
10. Milica Jovalekic 29
11. Tatjana Dunjic 27
12. Katarina Nikolic 27
13. Natasa Ivetic 25
14. Vuk Milinovic 25
15. Lada Marinkovic 24
16. David Petrovic 23
17. Kristina Todorovic 23
18. Ivana Milic 22
19. Marko Velickovic 22
———————————————
Slede´ci studenti nisu poloˇzili prvi kolokvijum:
20. Marija Milojevic 16
21. Jelena Nikicevic 15
22. Vladimir Zivanovic 13
23. Slobodan Santrac 11
24. Miroslav Krcevinac 0
25. Branka Ciric 0
26. Nina Racic 12
27. Katarina Zivanovic 6
28. Milos Japundzic 7
29. Bogdan Obadic 11
1
Radovi se mogu pogledati u utorak ili petak u januarskoj nedelji pre, posle ili u pauzi mojih veˇzbi.
Na drugi kolokvijum iz Algebre 1, koji ´
ce se odrˇ
zati u
godine u 9.00h pozvani su slede´ci studenti:
subotu 15. januara 2011.
1. Boban Karapetrovic 50
2. Nevena Palic 50
3. Miodrag Antonijevic 45
4. Milica Tomasevic 49
5. Petar Cukanovic 43
6. Maida Hodzic 42
7. Sanja Pasanjski 39
8. Monika Mladenovic 38
9. Zora Golubovic 37
10. Tijana Spasic 33
11. Marko Krstic 30
12. Marija Minic 30
13. Milica Jovalekic 29
14. Tatjana Dunjic 27
15. Katarina Nikolic 27
16. Natasa Ivetic 25
17. Vuk Milinovic 25
18. Lada Marinkovic 24
19. David Petrovic 23
20. Kristina Todorovic 23
21. Ivana Milic 22
22. Marko Velickovic 22
”Program” za drugi kolokvijum:
1. zad- teorijsko pitanje
2. zad- Euklidov algoritam + Bezuova teorema, linearne diofantske jednaˇcine
3. zad- Ojlerova, Mala Fermaova, Vilsonova, kineska...
4. zad- (spoljaˇsnji) direktni proizvodi grupa i (unutraˇsnja) direktna razlaganja grupa; zbirka(Bozovic-Mijajlovic)
glava 5 - Teorema 1.3, zadaci 1.1 - 1.22, 3.1-3.16, 3.18-3.20 -uradite sve ove zadatke - to ´ce biti sasvim dovoljno;
5. zad - unutraˇsnji automorfizmi grupa, Aut(G), Inn(G), Out(G), centralizatori, normalizatori, centri - pogledajte zadatke sa rokova i teoreme sa predavanja vezane za ove koncepte.
P.S. Molim vas, nauˇcite teorijsko pitanje. Mnogi studenti su dobro uradili zadatke, ali su dobili malu ocenu
ili su bili na ivici da padnu jer nisu uradili teorijsko pitanje. Teorijsko pitanje nosi 20% - to su vam ˇcak 2
ocene viˇse. Takođe, svejedno vam to treba za zadatke. Ako nemate vremena, nauˇcite bar formulacije teorema i
osnovne ideje dokaza.
2
Algebra 1, popravni kolokvijum
Kolokvijum nosi ukupno 50 bodova. Svi zadaci vrede 10 bodova. Za prolaz je potrebno bar 25 bodova.
1. (teorijsko pitanje) Prva teorema o izomorfizmima: teorema + dokaz.
2. Neka je a generator cikliˇcne grupe C20 .
(a) Napisati sve elemente grupe C20 i odrediti njihove redove. Koliko među njima ima generatora?
(b) Napiˇsite sve podgrupe grupe C20 .
(c) Da li postoji endomorfizam grupe C20 za koji je f (a6 ) = a5 ? Obrazloˇziti.
(d) Da li postoji automorfizam g grupe C20 za koji je g(a6 ) = a10 ? Obrazloˇziti.
3. Neka su σ = (1, 4, 8, 3)(2, 3, 9)(7, 9, 2, 8, 6) i τ = (3, 7, 4, 9, 1)(7, 2, 6, 5, 1) elementi iz S9 .
(a) Odredite ciklusnu dekompoziciju na disjunktne cikluse permutacija σ i τ .
(b) Odredite znak i red permutacija σ i τ u grupi S9 .
(c) Izraˇcunajte σ 3 τ σ −3 kao i τ 2011 .
(d) Koliko grupa S9 ima elemenata?
(e) Koji je eksponent (NZS redova svih elemenata) grupe S9 ?
4. (a) Dokaˇzite da je SL2 (Z7 ) normalna podgrupa grupe GL2 (Z7 ).
µ
¶
µ
¶
3 1
1 0
(b) Odredite redove elemenata A =
iB=
u grupi SL2 (Z7 ).
4 4
2 1
(c) Odredite centralizator skupa {A, B} u grupi SL2 (Z7 ).
5. Napiˇsite sve podgrupe kvaternionske grupe Q8 . Koje od njih su normalne?
3
Download

Rezultati popravnog kolokvijuma -ALGEBRA 1, MNV smerovi, 24. 12