TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA
sin 2α = 2sin α cos α
2tgα
tg 2α =
1 − tg 2α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
ctg 2α − 1
ctg 2α =
2ctgα
2tgα
.
1 + tg 2α
( uvek možemo dodati 1 u imeniocu )
Primer 1. Dokazati da je sin 2α =
sin 2α = 2sin α cos α
sin 2α =
2sin α cos α
2sin α cos α
=
=
1
sin 2 α + cos 2 α
izvučemo i gore i dole zajednički cos 2 α
2sin α
2tgα
2tgα
cos α
=
= 2
=
2
 sin α
 tg α + 1 1 + tg 2α
2
cos α ⋅ 
+ 1
2
 cos α

cos 2 α ⋅
1 − tg 2α
.
1 + tg 2α
cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α opet izvučemo i gore i
2
2
2
=
=
cos 2α = cos α − sin α =
1
cos 2 α + sin 2 α dole zajednički cos α
Primer 2. Dokazati da je cos 2α =
 sin 2 α 
cos α ⋅ 1 −
2
2

2
 cos α  = 1 − tg α = 1 − tg α
=
 sin 2 α
 tg 2α + 1 1 + tg 2α
2
cos α ⋅ 
+ 1
2
 cos α

2
što je trebalo i dokazati
Primer 3. Odredi vrednosti trigonometrijskih funkcija dvostrukog ugla ako je
4
 3π

cos α = a α ∈  , 2π  .
5
 2

Prvo ćemo izračunati sin α .
16
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin 2 α = 1 −
25
9
sin 2 α = 1 − cos 2 α
sin 2 α =
25
2
9
4
sin 2 α = 1 −  
sin α = ±
25
5
sin α = ±
3
5
Pošto je ugao u IV kvadrantu uzimamo
sin α = −
3
5
Sada je:
24
 3 4
sin 2α = 2sin α cos α = 2 ⋅  −  ⋅ = −
25
 5 5
2
2
7
 4   3  16 9
2
2
−
=
cos 2α = cos α − sin α =   −  −  =
 5   5  25 25 25
24
−
sin 2α
24
tg 2α =
= 25 = −
7
cos 2α
7
25
1
1
7
ctg 2α =
=
=−
tg 2α − 24
24
7
Primer 4. Dokazati da je sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
sin 3α = sin ( 2α + α ) = (sad koristimo formulu za sinus zbira)
= sin 2α cos α + cos 2α sin α = (a sada formule za dvostruke uglove)
= ( 2sin α cos α ) ⋅ cos α + ( cos 2 α − sin 2 α ) ⋅ sin α =
= 2sin α cos 2 α + sin α cos 2 α − sin 3 α =
= 3sin α cos 2 α − sin 3 α =
sada ćemo iz sin 2 α + cos 2 α = 1 izraziti cos 2 α = 1 − sin 2 α
= 3sin α (1 − sin 2 α ) − sin 3 α =
= 3sin α − 3sin 3 α − sin 3 α =
= 3sin α − 4sin 3 α
Primer 5. Odredi vrednosti trigonometrijskih funkcija dvostrukog ugla ako je
 π
sin α = 0,6 a α ∈  0,  .
 2
Prvo ćemo naći cos α
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos 2 α = 0,64
cos 2 α = 1 − sin 2 α
cos 2 α = ± 0,64
cos 2 α = 1 − ( 0,6 )
cos 2 α = 1 − 0,36
cos 2 α = ±0,8
cos 2 α = +0,8
4 3 24
sin 2α = 2sin α cos α = 2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,6 = 2 ⋅ ⋅ =
5 5 25
2
2
7
 4   3  16 9
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α =   −   =
−
=
 5   5  25 25 25
2
24
sin 2α 25 24
tg 2α =
=
=
7
cos 2α
7
25
ctg 2α =
Primer 6. Dokazati da je sin15° ⋅ cos15° =
1
1
7
=
=
tg 2α 24 24
7
1
4
sin15° ⋅ cos15° = (trik je da pomnožimo izraz sa
2
)
2
2sin15° cos15°
= (u brojiocu je formula sin 2α = 2sin α cos α )
2
1
sin 30° 2 1
=
= =
2
2 4
=
Zadaci za vežbu:
Zadatak 1. Izračunaj trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla ako je:
a) cos α = −
5
i sin α > 0
13
 3π

b) cos α = 0,6 i α ∈  , 2π 
 2

Zadatak 2. Dokazati da je:
a) cos 2α = 2cos 2 α − 1
1 − cos 2α
2
Zadatak 3. Dokazati da je:
b) cos 2α = 1 − 2sin 2α
c) sin 2 α =
d) cos 2 α =
1 + cos 2α
2
a) cos3α = 4cos 3 α − 3cos α
b) sin 3 α =
3sin α − sin 3α
4
cos3α + 3cos α
4
Zadatak 4. Dokazati da je:
c) cos 3 α =
a) ( cos5° + sin 5° ) = 1 + sin10°
2
c) 1 − 4sin 2 5° cos 2 5° = cos 2 10°
b)
cos 4°
= cos 2° + sin 2°
cos 2° − sin 2°
Download

Тригонометријске функције двоструког угла