w
w
w
s
r
.
d
a
r
i
k
ki r
w
w
w
Sadržaj;
r
i
k
s
ar
Ime cjeline
s
r
.
ad
Broj stranice
n
i
m
.se
1. Uvod u pojmove
1.1 Što znači zlatni rez (phi, PHI) u elementarnoj geometriji?……….…………..
w
w
w
1.1.1
Izvod formule za zlatni rez……………………………………….…..…..….
1.1.2
Dokaz valjanosti i obrana relacije za zlatni rez.…………….………...
1.1.3
Konstrukcija točke koja dijeli dužinu u omjeru jednakom phi tj.
zlatnom rezu bez poznavanja postupka izvañanja formule……………………
ww
1.2 Uvod u Fibonaccijevih brojeva….………………………….…………………..……….
s
r
.
d
a
r
i
k
ars
1.4 Lucasovi brojevi………………………………………………………………..…………….
n
i
em
2.1
Primjena Pascalovog trokuta ……………………………………… …………………
2.2
Dobivanje Fibonaccijevog niza iz Pascalovog trokuta…………………………
2.3
Fibonaccijevi brojevi………………………………………………………………………
2.3.1 Fibonaccijevi brojevi, rekurzivan niz………………..……………………..
2.3.2 Veza Lucasovih i Fibonaccijevih brojeva…………………………………..
2.3.3 Binetova formula za dobivanje Fibonaccijevih brojeva………….…..
2.3.4 Zbrajanje i oduzimanje m-tog i n-tog člana Fibonaccijevog niza…
2.3.5 Množenje m-tog i n-tog člana Fibonaccijevog niza……………….…..
2.3.6 Neki algebarski identiteti Fibonaccijevog niza……………………...….
2.3.7 Identiteti sume za Fibonaccijev niz……………………………………..….
2.3.8 Honsbergerovi, Catalan, d'Ocagnes, Cassini, Gelin-Casáro,
kvadratni te nasljednikov izrazi za Fibonaccijev niz………………….
2.3.9 Fibonaccijev kvadrat i krivulja………………………………………………..
Fibonacci je svuda oko nas……………………….…………………………………….
s
r
.
d
a
r
i
k
kir
s
r
.
d
a
1.3 Uvod u Pascalov trokut i osnove numeričkih trokuta………………….………..
2. Fibonacci, Pascal
2.4
ww
w.s
e
s
.
w
4
5
6
6
8
8
11
12
e
s
.
w
13
ww
s
r
.
ad
r
i
k
s
ar
n
i
m
.se
14
14
16
18
20
20
21
22
23
24
25
e
s
.
w
3. Božanska proporcija, zlatni broj, ključ života, ključ svega!
3.1
w
w
w
ww
Božanska proporcija………….……………………………………...……………………
3.1.1 Zanimljiva svojstva broja Phi te izvod vrijednosti……………..……..
3.1.2 Racionalni prikaz broja PHI…………………………………………………..
3.1.3 Prikaz broja Phi sa Fibonaccijevim brojevima kao
koeficijentima…………………………………………………………………....
3.1.4 Phi likovi i krivulje..……………………………………………………….…..…
27
29
30
31
32
35
3.2
Fibonaccijevi brojevi i izvod temeljnog svojstva broja Phi…………………..
3.2.1 Pojednostavljenje Binetove formule…………………………………………
35
36
3.3
Zaključak……………………………………………………………………………….……… 37
s
r
.
d
a
s
r
.
d
kira
s
r
a
in
m
e
s
w.
e
s
.
ww
Recenzent;
Prof. Vedrana Kaciga
© Andrej Novak 2005. Sva prava pridržana!
s
r
.
d
a
r
i
k
ww
2
k
s
r
na
w
s
r
.
irad
w
w
w
s
r
.
d
a
r
i
k
k
1.0
w
w
w
Uvod
r
i
k
s
ar
s
r
.
ad
Oduvek me zanimala svaka pravilnost u prirodi, svaka povezanost i sve
nadnaravno pa čak i ono za šta se često kaže ''iznad čovekovih shvatanja'', pri
tome ne mislim na Boga već na zakone koji su ljudskom mentalnom sklopu
neshvatljivi i nepojmljivi. Ovaj rad kroz sebe uglavnom proteže četiri glavne
niti; Pascalov trougao, Fibonaccijeve brojeve, Lucasove brojeve i Phi. Sve teme
su jako zanimljive same po sebi i kada se povežu jedna s drugom stvar postane
puno više nego samo zanimljiva.
U prvoj celini nalaze se definicije i objašnjenja pojmova koji će biti korišteni za
daljnje proučavanje i dokazivanje.
Druga celina opisuje korisne primjene Pascalovog trougla a kasnije pokušava
objediniti i povezati ova tri pojma sa jedinstvenom formulom tj. formulama.
Treća celina istražuje prisutnost zlatnog broja u nama, oko nas, u našoj prošlosti i
tamo gde ćemo biti u budućnosti.
n
i
m
.se
w
w
w
s
r
.
d
ir a
e
s
.
w
ww
s
r
.
d
ira
k
s
r
ina
m
e
s
w.
e
s
.
w
1.1 Šta znači zlatni presek (phi, PHI) u elementarnoj geometriji?
PHI (Φ)= 1.61803398874989…
ww
ww
''Fi'' ili na engleskom ''fly'' spada u grupu iracionalnih brojeva baš kao π,√2 , √3 i sl. PHI je poseban
zbog svojih neobičnih matematičkih sposobnosti. PHI nalazimo
svakodnevno u životu, dizajnu, građevini, estetici, ekonomiji, fizici, matematici,
svemiru…
s
r
.
d
a
r
i
k
s
r
.
ad
r
i
k
s
ar
n
i
m
.se
Ako neku dužinu AB podelimo na dva dela tačkom T, tako da je
w
w
w
|AB| : |AT| = |AT| : |BT| kažemo da su oni u zlatnom
ww
presek. Dakle
x = |AT|
a = |AB|
s
r
.
d
kira
s
r
.
d
kira
I dobijamo
a : x = x : (a-x)
Ili kada rešimo
proporciju
s
r
.
d
a
r
i
k
s
r
a
in
a
x
=
x a−x
a(a − x) = x 2
m
e
s
w.
ww
e
s
.
w
e
s
.
ww
w
3
k
s
r
na
s
r
.
irad
w
w
w
kir
k
w
w
w
s
r
.
ad
Fibonaccijev niz i broj Phi
r
i
k
s
ar
1.1.1 Izvod formule za zlatni presek
s
r
.
ad
n
i
m
.se
w
w
w
s
r
.
d
ir a
ww
s
r
.
d
ira
k
s
r
ina
Promotrite sliku iznad, zaključujete da prvo moramo dobiti iznos dužine |AC|
m
e
s
.
a
⎛a⎞
a +⎜ ⎟ =
5
2
⎝2⎠
|AC| =
a
2
a
, dakle
2
s
r
.
ad
r
i
k
s
ar
|AC| = x +
Uvrstimo iznos dužine |AC|
n
i
m
.se
w
w
w
a
a
5 =x+
2
2
( 5 − 1)
2
x=a*
Relacija 1.
s
r
.
d
a
ww
2
2
Kako bi dobili x iznosu stranice |AC| moramo oduzeti
iz toga slijedi da je
e
s
.
w
|AC|2 = |AB|2 +
|BC|2
w
w
w
s
r
.
d
a
r
i
k
kir
e
s
.
w
ww
s
r
.
d
kira
ili
Relacija 2.
e
s
.
w
x =a * phi
s
r
a
in
m
e
s
w.
Ove dvie relacije su dokaz za zlatni presek, zlatni proporciju ili božansku
proporciju!
s
r
.
d
a
r
i
k
ww
w
e
s
.
ww
k
s
r
na
s
r
.
irad
Download

6717-Matematika-Fibonacijev niz