NIZOVI
Aritmetiˇ
cki niz. Koknaˇcan niz a1 , a2 , a3 , ..., an naziva se aritmetiˇ
ckim ako je razlika njegovih susednih
ˇclanova konstanta, odnosno
ak − ak−1 = d, k = 2, 3, ..., n.
Broj d je razlika ili diferencija aritmetiˇckog niza.
ˇ
Clanovi
niza su oblika
ak = a1 + (k − 1)d, k = 2, 3, ..., n.
Zbir Sk prvih k ˇclanova aritmetiˇckog niza iznosi
Sk =
k
k
(a1 + ak ) = [2a1 + (k − 1)d], k = 1, 2, ..., n.
2
2
Geometrijski niz. Koknaˇcan niz b1 , b2 , b3 , ..., bn naziva se geometrijskim ako je koliˇcnik njegovih susednih ˇclanova konstanta, odnosno
bk : bk−1 = q 6= 0, k = 2, 3, ..., n.
Broj q se naziva koliˇcnik geometrijskog niza.
ˇ
Clanovi
niza su oblika
bk = b1 q k−1 , k = 2, 3, ..., n.
Zbir Sk prvih k ˇclanova geometrijskog niza iznosi
Sk = b 1
1 − qk
, q 6= 1, k = 1, 2, ..., n.
1−q
Zadaci.
1. Napisati aritmetiˇcku progresiju ako je dato:
(a) a7 = −20 i a6 = −17
(b) a5 = 7 i a6 = 10
Reˇ
senje.
(a) d = −3, a1 = −2
(b) d = 3, a1 = −5
2. Izraˇcunati diferenciju d aritmetiˇcke progresije ako je dato:
(a) a1 = 4 i a7 = 22
(b) a2 = 7 i a15 = 58
Reˇ
senje.
(a) d = 3
(b) d = 4
3. Odrediti d i Sn aritmetiˇcke progresije ako je dato:
(a) a1 = 4 i S16 = 19
(b) a1 = −6 i S27 = −84
Reˇ
senje.
(a) d = 1, S16 = 184
(b) d = −3, S27 = −1215
4. Izraˇcunati zbir prvih 18 ˇclanova aritmetiˇcke progresije ako je a5 = 6 i a12 = −15.
Reˇ
senje. S18 = −135
10
5. Zbir tre´ceg i sedmog ˇclana aritmetiˇcke progresije iznosi 24, a razlika ˇsestog i ˇcetvrtog je 4. Kako glasi
progresija?
Reˇ
senje. a1 = 4, d = 2
6. Na´ci aritmetiˇcku progresiju ako njeni ˇclanovi zadovoljavaju relacije:
(a) a3 + a6 = 20
a9 − a2 = 14
(b) 2a4 + a6 = 48
5a5 − 7a2 = 29
Reˇ
senje.
(a) d = 2, a1 = 3
(b) d = 3, a1 = 5
7. Kod koje aritmetiˇcke progresije je zbir prvih 12 ˇclanova −168, a zbir tre´ceg i osmog ˇclana je −20?.
Reˇ
senje. a1 = 8, d = −4
8. Izraˇcunati sedmi ˇclan geometrijske progresije ako je prvi ˇclan 5, a koliˇcnik 2.
Reˇ
senje. b7 = 320
9. Zbir prvih deset ˇclanova geometrijske progresije je 147620, a koliˇcnik je 3. Kako glasi progresija?
Reˇ
senje. b1 = 5, q = 3
10. Izraˇcunati prvi ˇclan geometrijske progresije i koliˇcnik ako njeni ˇclanovi ispunjavaju slede´ce uslove:
(a) b1 + b3 = −20
b2 + b4 = −40
(b) b1 + b4 = 144
b2 + b3 = 96
Reˇ
senje.
(a) q = 2, b1 = −4
(b) q = 2, b1 = −48
11. Na´ci ˇcetri broja koja obrazuju geometrijsku progresiju, u kojoj je zbir krajnjih ˇclanova 56, a proizvod
srednjih ˇclanova 108.
Reˇ
senje. 2, 6, 18, 54 ili 54, 18, 6, 2
12. Zbir prva ˇcetri ˇclana geometrijskog niza je 3, a narednih ˇcetri 48. Odrediti zbir prvih pet ˇclanova tog
niza.
Reˇ
senje. S5 =
31
5
13. Na´ci ˇcetri broja koja obrazuju geometrijsku progresiju, u kojoj je zbir krajnjih ˇclanova 72, a zbir srednjih
48.
Reˇ
senje. 8, 16, 32, 64 ili 64, 32, 16, 8
11
Download

NIZOVI Aritmeticki niz. Koknacan niz a 1,a2,a3, ..., an naziva se