1. Odrediti jednačinu elipse, čije su žiže F 1,2 ±5, 0 i dužina male ose je 24.
Rešenje:
c=5 , 2 b=24 ⇔b=12
a 2=b2c 2=12252 =14425=169
x2
y2
Jednačina elipse:

=1
169 144
2. Napisati jednačinu hiperbole, ako su njene dve tačke A(5, 4) i B(-3, 0).
Rešenje:
x2 y2
Jednačina hiperbole: 2 – 2 =1
a b
{
52 4 2
– =1
1
1
a 2 b2
, zamena promenljivih: 2 =u , 2 =v ,
2
2
−3 0
a
b
– 2 =1
2
a
b
{
{
25
1
– 16 v =1
v=
25 u – 16 v=1
25 u – 16 v=1 ⇔
9 ⇔ a=9
⇔ 9
⇔
1
u=
9 u=1
1
1
b=9
u=
u=
9
9
9
{
{
Jednačina hiperbole:
{
x2 y2
– =1
9 9
3. Odredi jednačinu tangente elipse
8
x2
 y 2=1 u njenoj tački A , y0 .
5
4
Rešenje:
2
Tačka A pripada elipsi:
8 3
A , 
5 5

8
64
5
25
16
9
3
 y 2=1 ⇔
 y 2=1⇔  y 2=1⇔ y 2 = ⇔ y=±
4
4
25
25
5
8
x
5
3
2
3
Jednačina tangente: x 0 x
 y 0 y=1⇔
 ⋅y=1⇔ x y=1
4
4 5
5
5
2 x 3 y – 5=0
4. Odredi jednačinu tangente hiperbole
Rešenje:
x2 y2
– =1 koja je normalna na pravu 3 x3 y−7=0 .
5 3
3
Koeficijent pravca date prave: k 1=− =−1
3
1
Uslov normalnosti: k =− =1 .
k1
Jednačina tražene tangente ima oblik: y=k xn , odnosno y=x n .
Uslov da prava bude tangenta hiperbole: a 2 k 2 – b 2=n2
5⋅12 – 3=n 2 ⇒ n2 =2 ⇒ n=± 2 .
Jednačine tangenata: y=x  2 i y=x –  2 .
5. a) Naći jednačinu parabole oblika y 2=2 p x čija je jedna tangenta 2 x −7 y – 14=0 .
b) Odredi žižu i diretkrisu nađene parabole i skiciraj njen grafik.
Rešenje:
2
2
a) Jednačina tangente u eksplicitnom obliku: y= x7 , k = , n=7
7
7
2
Uslov da prava bude tangenta parabole: 2 k n= p , tj. p=2⋅ ⋅7=4
7
2
y =8 x
p
,0 , tj. F  2 , 0  .
b) Žiža: F
2
p
Direktrisa: x=− , tj. x=−2
2
 
Download

1. Odrediti jednačinu elipse, čije su žiže F1,2±5, 0 i dužina male