65
BÖLÜM-9 SİSTEM HASSASİYETİ
Parametre Değişimlerinin Hassasiyeti
 Belirsiz sistem elemanlarının davranışı
o Parametre değerlerinin hatalı bilgileri
o Çevrenin değişimi
o Yaşlanma vb nedenlerle bozulma
 Kapalı döngülü kontrol:
o İşlem çıkışında hissedici değişimleri
o Doğru çıkışlar için girişimler
o Değişim için azalan hassasiyet
 Hassasiyeti ölçmek gereklidir
Hassasiyet
Fonksiyon değişim yüzdesi ile onun parametrelerindeki değişim yüzdesi oranıdır.
0 küçük artımlı değişimler için;
Sistem Hassasiyeti
 Sistem transfer fonksiyonundaki değişim ile işlem transfer fonksiyonundaki değişim oranıdır.
66


G(s)H(s) değerinin artması işlem değişimleri için sistem hassasiyetini azaltır.
Geri bildirim olmaksızın (H(s)=0), G(s) deki değişim sistemi doğrudan etkiler (S1).
Geri Bildirim Hassasiyeti


G(s)H(s) arttığında H(s)’deki değişim sistemi doğrudan etkiler (S~1).
Geri bildirim elemanları değişmemelidir.
 işlem Parametresinin Hassasiyeti
Zincir kuralını kullanın:
Daha güvenilir olanı:


0 nominal parametre değeri etrafında hassasiyet konusunda endişe duyulabilir.
0 ‘daki hassasiyeti değerlendirin.
Kütle konum kontrol sistemi
Oransal kontrol:
e(t)=r(t)-y(t)
x(t)=kce(t)
67
Sistem transfer fonksiyonu
Yay sabiti k’nın hassasiyeti
Nominal M, k, c değerlendirin.



kc arttığında hassasiyet azalır.
Hassasiyet s’nin bir fonksiyonudur!
Hassasiyet (daha sonra) giriş frekansı  (sj)’nın bir fonksiyonu olarak gösterilmelidir.
68
Geri bildirim sistemleri birliğindeki hatalar

Geri bildirim birliği: H(s)=1
Kararlı durum hatası

Birim giriş adımı için:
G(0) DC kazancıdır
G(0) >>>1 ise ess çok küçüktür. (yüksek kazanç)
Termal işlem kontrolünde hata
69
Kararlı durum termal kontrol hatası
BÖLÜM-10 SİSTEM CEVABI
Kontrol Sistemlerin Performansı
 Spesifikasyonlar (zaman alanı)
 Tasarımda kullanılan standart giriş sinyalleri
 Bilinmeyen gerçek sinyaller
 Standart test sinyalleri:
Adım, rampa, parabol, etki, vb. sinüs eğrisi (daha sonra frekans cevabı işlenecek)
 Geçiş cevabı
 Kararlı durum cevabı
 Kutuplar ve sıfırların konumları ile ilgilidir.
70
S-düzlemi
S-düzlemi: Karmaşık Kök
S-düzlemi: Karmaşık eşlenik kökler
71
S-düzlemi: Büyüklük ve alternatif açı
A genliğinin giriş adımı
A eğiminin rampa fonksiyonu
72
A direncinin giriş etkisi
Giriş etkisi
 A alanının geniş genlikli, dar enli darbeli bir sistem yaklaşık deneysel olarak göz önüne
alınabilir.
 Bir sistem cevabı için giriş etkisi sistemin basitçe transfer fonksiyonu olarak tanımlanabilir.
1.Dereceden Sistem Modeli


Zaman sabiti , kazanç K ile karakterize edilir.
Transfer fonksiyonu:

Kutup (paydanın kökü)
73
1.Dereceden Sistem Cevabı
1.Dereceden Sistem Rampa Cevabı
1.Dereceden sistem etki cevabı
74
1.Derece sistem kutup yerleşimi
2.Derece sistem modeli
2.Dereceden sistem adım cevabı
75
Adım cevabı ölçümleri
 Yükselme zamanı (geçtiğimiz komutu yükselten zaman)
 Tepe(pik) zamanı (ilk tepe için geçen zaman)
 Aşma yüzdesi
 Yerleşme zamanı (sınır içine yerleşme zamanı)
 Anahtar faktörler
 Cevap (tepki) hızı (yükselme zamanı, tepe zamanı)
 İstenen cevabın yakınlığı (taşma yüzdesi, yerleşme zamanı)
 Genellikle tasarımda uzlaşmaya ihtiyaç duyulur.
Yükselme zamanı, Tr
%10-%90 yükselme zamanı, Tr’
76
Tepe (pik) zamanı, Tp
Aşma yüzdesi, %
Oturma zamanı, Ts
77
2.Dereceden sistem rampa cevabı
2.Dereceden sistem etki cevabı
S-düzlemi: İki gerçek kök
78
S-düzlemi: karmaşık eşlenik kökler
S-düzlemi: Sabit sönümleme çizgileri
S-düzlemi: Sabit d çizgileri
79
S-düzlemi: Sabit n daireleri
BÖLÜM-11 KARARLI DURUM HATASI
Kararlı durum hatasının önemi
 Kararlı durum şartları (değişimsiz)
 Kontrol sistemlerinin düzenlemesi:
 Ayar noktasından sapma (kumanda)
 Daha hassas düzenleme için  küçük hataları
 Servo kontrol sistemleri:
 Yeni kumanda sonrasında geçiş hatası
 Rampa kumandasını takip eden hata
 Sistem “tipi”:
 Şayet kararlı durum sıfır ise sonlu olduğunu gösterir.
Tekli geri besleme sistemlerinde hata
80
Tekli olmayan geri besleme sistemlerinde hata
Sistem tip numarası


Bir sistemin tip numarası s=0’da G(s) H(s) kutbunun derecesine işaret eder.
Diğer bir deyişle tip numarası G(s) H(s) paydasında (S+0)N=sN denklemindeki N gücüdür.
81
0 sistem tipi: Birim adım cevabı
0 sistem tipi: Birim rampa cevabı
1 sistem tipi: Birim adım cevabı
82
1 sistem tipi: Birim rampa cevabı
Kararlı durum hatası-tip numarası
DC motor-yükseltici sistemi
Motor konum kontrol sistemi
Motor-yükseltici modeli
83
Oransal konum kontrolü
Giriş ölçekleme değişimi
Eşdeğer birlik geri bildirim sistemi
Motor konumu: Birim adım cevabı
84
Motor konumu: Birim adım cevabı
Oransal motor kontrolü: adım girişi
Oransal motor kontrolü: rampa girişi
85
Entegral motor kontrol sistemi?
Entegral+sıfır motor kontrol sistemi
86
BÖLÜM-12 KÖKLERİN S-DÜZLEMİNE YERLEŞİMLERİ
S Düzlemine Kök Yerleşimlerinin Önemi
 Geçici cevap, köklerin yerleşimi ile yakından ilgilidir. (kutuplar ve sıfırlar)
 Kök yerleşimlerinin grafiksel gösterimi:
 Kutuplar ve sıfırlar arasındaki ilişkiler
 Etkin ve önemsiz kökler
 Kararlılık
 Tasarım aletleri ve yöntemleri:
 Kök-yer eğrisi (parametrelere karşılık kök değişimleri)
 Kök yerleşimi değişimi için ödünler
Adım Cevabı-S Düzlemi Yerleşimi
1.Dereceden sistemler için bir kutup ekleme
 Bir kutup ile transfer fonksiyonu:

İlave kutup ile transfer fonksiyonu:
87
İlave Kutuplar ile Adım Cevabı
Etkin ve Önemsiz Kutuplar

Gerçek parçalar şiddet derecesinden farklı ise transfer fonksiyonları önemsiz kutuplar (ve
sıfırlar) silinerek basitleştirilebilir.
2. Dereceden sistemler için bir kutup ekleme

İki kutup ile transfer fonksiyonu:
(sönümlenmemiş)

İlave kutup ile transfer fonksiyonu:
88
İlave Kutuplar ile Adım Cevabı
Etkin ve Önemsiz Kutuplar
S-Düzlemi Üzerindeki Özellikler
89
Aşırı Sönümlenmiş Sistem “Özellikleri”
Aşırı Sönümlenmiş Sistem “İç Özellik”
3. Dereceden Sistem “İç Özellik”
90
3.Dereceden Sistem “Dış Özellik”
4.Dereceden Sistem “İç Özellik”
4.Dereceden Sistem “Dış Özellik”
91
BÖLÜM-13 KARARLILIK
Kararlılık Etkileri
 Kararsız bir sistem şunları sergiler:
 Düzensiz, güvensiz davranış
 Muhtemel yıkıcı davranış
(Geçiş cevabı kontrolsüzdür)
 Bir kararlı sistem şunları sergiler:
 Yakınsak, güvenli davranış
 (Geçiş cevabı kontrollüdür)
 Tanımlama: Kararlı bir sistem sınırlı bir giriş için kontrollü bir cevaba sahiptir.
Kararlı ve Kararsız Sistemler
Kararlı ve Kararsız Sistemler
1.Dereceden sistemin etki cevabı
92



Kutup: -a
a>0: üstel azalmalar 0 için (kararlı)
a<0: üstel büyümeler  için (kararsız)
Etki Cevabı
Kararlılık Kriteri

Sistem transfer fonksiyonu:

Kutuplar (paydanın kökleri):

Mutlak kararlılık için:
Sistem karakteristik eşitliği
 Sistem transfer fonksiyonu:
93

Karakteristik eşitlik:
(paydayı sıfıra ayarlayın =0)
• Kutuplar karakteristik eşitliğin kökleridir.
(Sistemin kararlı olabilmesi için tüp kutuplar negatif gerçek eksende olmalıdır.)
Sınırlı Kararlılık

Kutuplardan biri s=0 olduğunda sistem sınırlı kararlıdır. (Diğer kutup kararlı olsa da)
S-Düzleminde Kararlılık
Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri
 Routh kriteri, kökleri bulmadan kararlılık değerlendirmesi için bir yöntemdir.
 Yöntem tablolar halindedir, köklerin gerçek kısımlarını bulur ve birçok kontrol ders notlarında
açıklanmıştır.
 Bu yöntem 1800’lü yılların sonunda bulunmuş olup o zamanlar kökleri bulmak zordu.
 Günümüzde güçlü hesaplama yazılımları mevcut olduğundan bu yöntemin önemi azalmıştır.
94
Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri
Dizaynı yapılan bir sistem her zaman diliminde aynı ve istenilen performansı gösteriyorsa bu sistem
kararlıdır.
Routh-Hurwitz kararlılık kriteri; doğrusal, zamanla değişmeyen, sabit katsayılı karakteristik
denklemlerin kararlılığı hakkında bilgi sağlayan cebirsel bir yöntemdir. Kriter, karakteristik denklem
köklerinden herhangi birinin sağ yan s-düzleminde yer alıp almadığını belirler. Ayrıca jw- ekseni
üzerindeki ve sağ yan s-düzleminde bulunan köklerin sayısını da verir.
Routh-Hurwitz kriteri, sabit katsayılı polinom sıfırlarını, sağ ve sol yarı s-düzlemine göre, denklemi
çözmeden belirleyen bir yöntemdir.
Doğrusal zamanla değişmeyen, tek giriş, tek çıkışlı bir sistemin karakteristik denklemi, tüm katsayılar
gerçek olmak üzere
şeklinde verildiğinde denklemin pozitif gerçek kısımlı kökleri olmaması için aşağıdaki gerek ve yeter
şartları sağlaması gerekir.
1. Denklem katsayılarının tümü aynı işaretli olmalı.
2. Katsayıların hiçbiri sıfır olmamalı.
Bu matematiksel kurallara dayandırılan koşullar yukarıdaki denklemin katsayıları cinsinden şu şekilde
ifade edilebilir:
Buna göre köklerin pozitif gerçek kısımları olmadığı sürece bu oranların tümü sıfırdan farklı ve pozitif
olmalıdır. Denklemin sağ yarı s-düzleminde bulunmamalı koşulu denklemler incelenerek
belirlenebilir. Ancak bu koşullar yeterli değildir, sabit katsayılı bir denklemde katsayıların tümü
sıfırdan farklı ve aynı işaretli olabilir. Buna rağmen köklerin tümü sol yarı s-düzleminde
bulunmayabilir.
95
Çözüm aşamaları:
96
97
Örnek:
Örnek:
98
Elde edilen yardımcı denkleme göre tabloyu tekrar düzenlersek;
Elde edilen yardımcı denkleme göre tabloyu tekrar düzenlersek;
99
Konu ile ilgili örnekler:
Örnek-1:
100
Örnek-2:
Örnek-3:
101
BÖLÜM-14 KÖK YERİ YÖNTEMİ
Kutup Yerleşiminin Önemi
 Bir kutup yerleşimi işlevinin performansı
 Geçiş cevabı
 Mutlak kararlılık (kararlı veya değil?)
 Bağıl kararlılık (nasıl kararlı?)
 Kontrol parametrelerindeki değişime bağlı kutup yer değişimi
 Kontrol kazançları, sıfırları ve köklerinin işlevi
 Hangi değerler “iyi” yerleşimi sağlar?
 Kök yeri (kutupların yeri) kullanılarak tasarım
Geçiş Cevabı
Mutlak Kararlılık
102
Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri
 Routh kriteri, kökleri bulmadan kararlılık değerlendirmesi için bir yöntemdir.
 Yöntem tablolar halindedir, köklerin gerçek kısımlarını bulur ve birçok kontrol ders notlarında
açıklanmıştır.
 Bu yöntem 1800’lü yılların sonunda bulunmuş olup o zamanlar kökleri bulmak zordu.
 Günümüzde güçlü hesaplama yazılımları mevcut olduğundan bu yöntemin önemi azalmıştır.
 Bu noktada onu yüksek seviyede gözden geçireceğiz.
Karakteristik Denklem
Karakteristik Denklemin İşaretleri
Karakteristik denklemin tüm katsayıları:
 Benzer işarete sahip olmak zorundadır
 Sıfır olmamak zorundadır
Mutlak kararlılık için şart (fakat yeterli değildir) gereklidir (Routh’s Kriteri)
Örnekler:
Bağıl Kararlılık
Bir sistem nasıl kararlı olabilir?
 Bir diğer sistem ile karşılaştırılarak
 “kararsızlık” sınırlarına olan mesafesi ile
Bağıl kararlılık ölçütleri
 Her kök ile ilişkili sönümleme
 Köklerin gerçek kısımları
 Kazanç ve faz payları (frekans cevap kavramı: daha sonra açıklanacaktır)
103
Bağıl kararlılık
Sistem 1 ve 2’nin adım cevabı
Kök Yeri
 Tanımlama: Kök yeri, karakteristik denklemin köklerinin s-düzlemine, sistem parametreleri
değişimine bağlı olarak çizilmesi yöntemidir.
 Tasarım: Parametre değerini, s-düzleminde “iyi” alana yerleşecek şekilde seçin. (burada
dinamik gereksinimler geçerlidir)
 Tekrarlama: Şayet s-düzleminde “iyi” alana yerleştirilecek kök yeri kısmı yoksa kontrolün
yapısını değiştirmek üzere kökü değiştirin. Sonra parametre değerini değiştirin.
Kök eğrilerinin temel özellikleri ve sistematik çizilişi ilk kez W. R. Evans tarafından geliştirilmiştir.
Kök eğrilerinin kullanımı kontrol sistemlerinin incelenmesiyle sınırlı değildir. Genelde yöntem
değişken parametreli matematiksel denklemlerin köklerini incelemede de kullanılabilir. Genel kök
eğrisi problemi, karmaşık s değişkenine bağlı olarak aşağıdaki matematiksel denklemle ifade
edilebilir.
F(s) = P(s) + KQ(s) = 0
Burada P(s)
104
şeklinde n’inci mertebeden, Q(s) ise
Şeklinde m’inci mertebeden s’e bağlı bir polinom, n ve m ise pozitif iki tam sayıdır. Başlangıçta n ve
m’nin karşılıklı göreli değerleri ile ilgili herhangi bir sınırlandırma getirilmemektedir. F(s) denkleminde
K gerçek sabiti -? ile +? arasında değişebilir. Ancak a0,a1,……,an-1 ile b0,b1,……,bm-1 sabitlerinin
gerçek ve belirli oldukları varsayılır.
Çok parametre değişkenli kök eğrileri her seferinde bir parametre değiştirilerek incelenebilir. Bu
eğrilere kök çevreleri adı verilir. Benzer şekilde P(s) ve Q(s) ilişkilerinde s yerine z yazmak suretiyle
doğrusal ayrık verili sistemlere ilişkin karakteristik denklemlerin de kök eğrileri oluşturulabilir.
K’nın işaretine ve değişken sayısına bağlı olarak aşağıdaki kök eğri türleri tanımlanır.
PKE (Pozitif kök eğrisi) : Pozitif K değerlerine ilişkin kök yer eğrisi; 0 ? K < +?
NKE (Negatif kök eğrisi) : Negatif K değerlerine ilişkin kök yer eğrisi; -? < K ? 0
KÇ (Kök çevreleri) : Birden fazla parametrenin değiştiği kök eğrileri
KE (Kök eğrisi) : Toplam KE= PKE+NKE kök eğrisini ifade eder. -? <K< ?
Kök Eğrilerinin Temel Özellikleri
Transfer fonksiyonu yukarıdaki gibi olan bir kapalı çevrim sistemin karakteristik denklemi payda
polinomu sıfıra eşitlenerek elde edilir. Buna göre karakteristik denklem kökleri 1 + G(s).H(s) = 0
ilişkisini sağlamalıdır. G(s).H(s) ifadesinde değişken parametre olarak K çarpanının bulunduğunu, P(s)
ve Q(s) polinomlarının aşağıdaki gibi tanımlandığını düşünelim.
Buna göre çevrim transfer fonksiyonun da aşağıdaki gibi tanımlandığını düşünelim.
Bu durumda 1 + G(s).H(s) = 0 denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
Bu denklemin pay polinomu F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 denklemine eşdeğerdir. Öyleyse G(s).H(s) açık
çevrim transfer fonksiyonu KQ(s) / P(s) biçiminde ifade edilebildiği sürece, sistemin kök yer eğrisi,
genel kök eğrisi problemi ile özdeşleşmiş olur. Eğer değişken K parametresi G(s).H(s)’ nin bir çarpanı
olarak düzenlenmezse fonksiyon her zaman
F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 ifadesine eşit olur.
Genlik Koşulu:
Açı Koşulları:
i= 0 , ±1 , ±2 , …..şeklinde herhangi bir tamsayı olmak üzere;
105
G1(s).H1(s) = (2i +1).3,14 , K ? 0 için
= tek sayıda 3,14 radyan ya da 180°’ nin katı
G1(s).H1(s) = 2i 3.14 , K ? 0 için
= çift sayıda 3,14 radyan ya da 180°’ nin katı
s-düzleminde kök eğrilerine ilişkin noktalar yukarıdaki açı koşullarından yararlanılarak belirlenir.
Kök eğrisi bir kez çizildikten sonra eğriye ilişkin K değerleri genlik koşulundan değiştirilir.
Kök eğrilerinin çizimi için, bazı özellikler matematiksel olarak türetilse de genellikle grafiksel bir
temele dayanır. Kök eğrilerini grafiksel çizmek için G(s).H(s) fonksiyonunun kutup ve sıfırlarını bilmek
gerekir. Bu nedenle G(s).H(s)’ nin sıfır ve kutupları öncelikle aşağıdaki denklemle ifade edilmelidir.
Eğer bu denkleme yukarıdaki genlik ve açı koşulları uygulanırsa;
şeklinde ifade edilebilir ve bir kez kök eğrisi çizildikten sonra, kök eğrisi boyunca K değerleri ilişkisi
aşağıdaki gibi hesaplanır.
106
Yer Kök Eğrisi
Kök Yerlerinin Çiziminde Sıra İle İzlenmesi Gereken Kurallar
107
108
3. Dereceden Kök Yeri
=0.707 için k’nın seçimi
k=3.5 için birim adım cevabı
109
BÖLÜM-15 KÖK YERİ YÖNTEMİ KULLANILARAK TASARIM
Kök Yeri Yönteminin Kullanımı
 Aşağıdakiler kapalı döngülü bir sistemin karakteristik denkleminin kök yerleşimleri ile
doğrudan ilişkilidir:
 Geçiş cevabı
 Bağıl kararlılık
 Uygun kök yerleşimleri alabilmek için sistem parametrelerini ayarlamak gereklidir (uygun
geçiş cevabı, kararlılık,…)
 Değişik parametreleri ve tasarımı kullanarak kök yerlerini çizin (seçilmiş değerleri kullanın)
Kök yeri çizim prosedürü (MATLab kullanılarak)
1. Karakteristik denklemi şu şekilde yazın: Buradaki k parametresi ilginçtir.
2. (“x”) pi kutuplarını ve (“0”) zj sıfırlarını çizin.
3. k değeri sıfırdan sonsuza kadar artırılarak karakteristik denklemin köklerini çizin.
3.Dereceden sistemlerin kök yeri
3.Dereceden sistemlerin kök yeri
110
3.Dereceden sistemlerin kök yeri
111
112
2.Dereceden sistemlerin kök yeri
3.Dereceden sistemlerin kök yeri
113
kc’nin fonksiyonu olarak kutup yeri
kc’nin seçimi
Kök yeri tasarım prosedürü
 S-düzleminde istenen baskın kök yerlerini belirleyin.
 İsteğe uygun sx kök yerlerini seçin. (Şayet yoksa sistemi veya karakteristikleri değiştirin)
 sx’e bağlı k değerlerini bulun.
114

Beklentileri karşılayan k ve diğer yerleşimler için kökleri kontrol edin.
2.Dereceden sistemlerin kök yeri
k kazancının belirlenmesi
115
kc’nin belirlenmesi (kp=1)
Sıfır ile kök yerleşimi (s+10)
Sıfır ile kök yerleşimi (s+5)
116
Sıfır ile kök yerleşimi (s+3)
Sıfır ile kök yerleşimi (s+2)
Download

bilgisayar işletmeni / veri hazırlama ve kontrol işletmeni sınavına