Biblioteka Sigma
d-r Aleksa Mal~eski
d-r Vesna Manova-Erakovi}
d-r Risto Mal~eski
d-r \or|i Markoski
d-r Sla|ana Brsakoska
Sigmina riznica
(konkursni zada~i 1-192)
Sojuz na matemati~ari na Makedonija
Skopje 2011 godina
Izdava~: Sojuz na matemati~ari na makedonija
Ul.bul.Aleksandar Makedonski bb
Skopje, Republika Makedonija
Recenzenti
Velinov Daniel,
Grade`en fakultet-Skopje
m-r Misajleski Zoran, Grade`en fakultet-Skopje
m-r Zoran Trifunov,
profesor vo gimn. Ko~o Racin-Veles
CIP - Каталогизација во публикација
Национална и универзитетска библиотека "Св. Климент Охридски", Скопје
51(075.3)(076)
МАЛЧЕСКИ, Алекса
Сигмина ризница : (конкурсни задачи 1-144) / Алекса Малчески,
Весна Манова-Ераковиќ, Ристо Малчески. - Скопје : Сојуз на
математичари на Македонија, 2011. - 68 стр. : илустр. ; 24 см. (Библиотека Сигма. Сигмина ризница)
ISBN 978-9989-646-17-1
1. Манова-Ераковиќ, Весна [автор] 2. Малчески, Ристо [автор] 3.Алекса Малчески [автор]
а) Математика - Здачи за средно образование
COBISS.MK-ID 88848394
PREDGOVOR
Zada~ite {to sleduvaat se od rubrikata Zada~i od na{eto spisanie SIGMA.
Standardna rubrika koja izleguva treat godina nanazad.
Izdavaweto na zbirkata e prodol`enie na osnovnata ideja na urednicite i
rakovodstvoto na SMM {to podolgo vreme e prisutna, da masa nestandardni
zada~i se soberat na edno mesto za prosto da ne se izgubat I da ne padnat vo
zaborav na vremeto.
Predlo`enite zada~i se prirodno prodol`enie na zada~ite od prethodnite
Sigmini riznica-Rubrika zada~i 001-505,Rubrika zada~i 506-1005 i Rubrika
zada~i 1006-1200. Vo ova kniga se opfateni zada~ite od reden broj 1 do reden broj
192. Pokraj soodvetnata metodska struktuiranost na zada~ite, so cel podgotovka
na sredno{kolcite za matemati~ki natprevari, zada~ite od ova zbirka se so doza
na povi{eno nivo na te`ina vo odnos na zada~ite od Sigmina riznica, Rubrika
zada~i. So vakov vid na literature na{ata dr`ava e siroma{na i predlo`enata
zbirka }e bide od golema korist kako na sega{ni taka i na idnite generacii
mladi matemati~ari.
Vredno e da se zabele`i deka vo zbirkata se vgradeni brojni sugestii na
kolegite od srednoto obrazovanie.
Principot da zada~ite se prenesat vo izvorna forma, kako vo spisanieto, e
zapazen sekade kade {to toa e mo`no, no ima zada~i koi se kompletno preraboteni
i prepraveni.
Skoro site crte`i vo zbirkata se preraboteni za da se dobie unificiranost
na materijalot, so cel da se dobie podobra naglednost.
Na krajot na knigata se dadeni dene{nite temi za natprevari i zada~ite se
selektirani po broj koja vo koja tema pripa|a. Zaradi toa, taa e pogodna kako za
redovna upotreba vo na{iot sredno {kolski sistem, taka i za sistematska
podgotovka na mladite matemati~ari za u~estvo na sistemot na natprevari vo
na{ata zemja.
Iskrena blagodarnost da im izrazime na kolegite koi ja recenziraa ova kniga
koi dadoa nesebi~en pridones da se oformi ovoj rakopis.
Tema
Zada~a
Sistemi linearni rav.
28,83
Geometriski tela
14,44,51,55
Matemati~ka logika i
mno`estva
Osnovni brojni mno`estva i teorija na broevi
60,62,63,93,109,110,130,135
Algebarski racionalni
izrazi
21,25,30,37,38,50,54,65,68,73,74,97,98,99,101,111,133,134,121,123,136
Geometriski figuri vo
ramnina
5,6,7,8,9,20,27,29,33,39,53,75,77,78,79,80,82,86,90,103,104,114,122,126
Linearna funkcija, linearni ravenki neravenki
3,4,83,100
Sistemi linearni ravenki i neravenki
15,17,28,52,83
Stepeni i koreni
18,117
Trigonometriski funkcii od ostar agol vo
pravoagolen triagolnik
Kompleksni broevi
19,32,105
Kvadratna
ravenka,
kvadratni sistemi
20,29,41,42,76,78,89,102,125,137,138
Kvadratna funkcija i
kvadratna neravenka
35,42,57,64,92,124
Elementi od stereometrija
Trigonometrija
14,44,51,55
Elementi od kombinatorika
Analiti~ka geometrija
10,11,26,36,60,85,93
Nizi i progresii
12,34,71,84,94,96,107
Funkcii i funkcionalni ravenki, polinomi
23,48,70,106,112,120,131,139,144
Neravenstva
24,46,47,58,66,72,88,95,108,129,132,141,142,143
Eksponencijalna i logaritamska funkcija
45,115,119,140,141
1,2,13,18,25,37,38,49,50,54,61,63,72,73,74,87,110,113,122,137
16,40
31,43,47,56,58,67,69,81,91,116,127,128
22,59,118
Сигмина ризница-Конкурсни задачи за математички натпревари
1. Во p точки од кружницата се запишани знаци плус, а во m точки се
запишани знаци минус (во секоја точка по еден знак). Кружницата ја обиколуваме обратно од движењето на стрелките на часовникот. Нека x е бројот на
знаци плус кои следуваат по знак плус, а y е бројот на знаци минус кои
следуваат по знак минус Докажи дека p − m = x − y .
Решение. Со d ќе го означиме бројот на премини од знак плус кон знак минус. Јасно, бројот
d е еднаков и на бројот на премини од знак минус кон знак плус. Бројот x на знаци плус кои
следуваат по знак плус собрани со бројот на премини d од знак плус кон знак минус го дава бројот
p на знаци плус запишани во точките од кружницата (бројот на знаци плус кои се први во низа
знаци плус и кои не следуваагт по знак плус е еднаков на бројот од премини од знак плус кон знак
минус).
Истото е точно и за бројот на знаци минус. Значи p= x + d и m= y + d . Според тоа d= p − x
и d= m − y , од каде добиваме p − x = m − y , односно
p − m =x − y .
2. За кои вредности на n ∈  , бројот (n − 2)3 + n3 + (n + 2)3 не е делив со 18 .
Решение. Користејќи ги идентитетите
( A ± B )3 =A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B3 ,
бројот (n − 2)3 + n3 + (n + 2)3 можеме да го претставиме во облик
(n − 2)3 + n3 + (n + 2)3 = n3 − 6n 2 + 12n − 8 + n3 + n3 + 6n 2 + 12n + 8
= 3n3 + 24n = 3n(n 2 + 8).
Значи, за било кој n ∈  , 3 | 3n(n 2 + 8) . Според тоа доволно е да се определат природните
броеви n такви што 6 | n(n 2 + 8) .
Ако n е непарен, тогаш тој е од облик =
n 2k + 1 за некој природен број k . Но тогаш
n(n 2 + 8) = (2k + 1)(4k 2 + 4k + 9) = (2k + 1)[2(2k 2 + 2k + 4) + 1] ,
односно n(n 2 + 8) е непарен. Според тоа, тој не е делив со 2 па според тоа ниту со 6 .
Значи, за да (n − 2)3 + n3 + (n + 2)3 е делив со 18 потребно е n да е парен број.
Ако 3 | n , тогаш 3 | n(n 2 + 8) . Ако n не е делив со 3 , тогаш тој е од облик =
n 3m ± 1 . Во двата
последни случаи
n2 + =
8 9m 2 ± 6m + 9= 3(3m 2 ± 2m + 3) ,
односно 3 | n(n 2 + 8) .
Од претходната дискусија е јасно дека за да (n − 2)3 + n3 + (n + 2)3 е делив со 18 доволно е n
да е парен број, а не е делив со 18 кога n е непарен број.
3. Определи ги решенијата на равенката
2 | x | + | x − 1|=
a,
во зависност од параметарот a .
Решение. Бидејќи
 x, x ≥ 0,
| x |= 
− x, x < 0,
добиваме
и
 x − 1, x ≥ 1,
,
| x − 1|=

−( x − 1), x < 1,
5
Сигмина ризница-Конкурсни задачи за математички натпревари
 p +1 2  p −1 2 
.
,
2   2  


( a, b ) =  
190. Neka m, n i p se neparni broevi. Doka`i deka
( n −1) p
m
∑ k
k =1
e deliv so n .
Re{enie. Da zabele`ime deka za bilo koj neparen broj s i bilo koi broevi a i b e
ispolneto
−
−
−
−
−
a s + b s = (a + b)(a s 1 − a s 2b + a 3b 2 − .... − ab s 2 + b s 1 ) .
Brojot na sobiroci na vo
(1)
( n −1) p
m
∑ k e paren broj. Toga{ zbirot mo`eme da go zapi{eme
k =1
na sledniot na~in
( n −1) p
m
=
∑ k
1 ( n −1) p
2
∑
=
k 1=
k 1
[k m + ((n − 1) p − k + 1) m ] .
Bidej}i m e neparen broj, k m + ((n − 1) p − k + 1) m e deliv so (n − 1) p =
+ 1 , za k 1, 2,..., 1 (n − 1)
2
. Od druga strana, od neparnosta na p , spored (1) dobivame deka (n − 1) + 1 =
n e delitel na
p
(n − 1) p + 1 =(n − 1) p + 1 p . Od proizvolnosta na k , dobivame deka
n|
1 ( n −1) p
2
∑
( n −1) p
[k m + ((n − 1) p − k + 1] m = ∑ k m ,
k 1=
k 1
{to trba{e i da se doka`e.
191.Aglite na konveksniot n -agolnik se α , 2α ,..., nα . Najdi gi site mo`ni
vednosti za n i soodvetnite vrednosti za α .
Re{enie. Jasno e deka n ≥ 3 . Zbirot na aglite vo konveksniot n -agolnik e (n − 2)π ( n agolnikot mo`eme da go podelime na n − 2 triagolnici). Od druga strana
α + 2α + ... + nα = α (1 + 2 + ... + n) =
n(n + 1)
α.
2
n(n + 1)
2π (n − 2)
2π (n − 2)
=
< π . No toga{
i nα
Od ravenkata , (n − 2)π = α dobivame α =
2
n +1
n(n + 1)
2(n − 2)
< 1 , t.e. n < 5 .
n +1
Sega za n = 3 imame α = π , a za n = 4 imame α = π .
6
5
192.Neka n e priroden broj. Doka`i deka mo`e da izbereme najmalku
n
2 + n broevi od mno`estvoto { 1, 2, 3, 4,..., 2 } taka da za sekoi dva izbrani
broevi x i y , brojot x + y ne e delitel na xy .
n
n
Re{enie.]e gi izbereme neparnite broevi 1, 3, 5,..., 2 − 1 od dadenoto mno`estvo, i site
stepeni na na brojot 2, 4,8,..., 2 n od istoto mno`estvo.
Mo`ni se tri slu~ai.
x 2a − 1 i =
Slu~aj 1. Ako =
y 2b − 1 , toga{ x + y= (2a − 1) + (2b − 1)= 2(a + b − 1) e paren
broj a xy= (2a − 1)(2b − 1)= 2(2ab − a − b) − 1 e neparen broj. Spored toa x + y /| xy .
Slu~aj 2. Ako x = 2 k i y = 2 m , pri {to k < m , toga{ x + y = 2 k + 2 m = 2 k (2 m − k + 1) a
k +m
. Brojot x + y ima neparen delitel a xy nema neparen delitel. Spored toa
xy = 2
x + y /| xy .
Сигмина ризница-Конкурсни задачи за математички натпревари
Slu~aj 3. Ako x = 2 k i =
y 2b − 1 , toga{ x + y = 2 k + 2b − 1 > 2b − 1 e neparen broj. Brojot
=
x+
y 2(2 k −1 + b) − 1 e neparen broj, a najgolemiot neparen delitel na
=
xy 2 k (2b − 1) e 2b − 1
. Spored toa x + y /| xy .
Zna~i, od mno`estvoto
n
1, 3, 5,..., 2 − 1 , 2, 4,8,..., 2
n
{ 1, 2, 3, 4,..., 2 n }
mo`e da se izberat
za koi e ispolnet uslovot od zada~ata.
2n + n
elementi
Download

Sig_Riznica_Podg zadaci - Сојуз на математичари на Македонија