Obrada rezultata indirektnih merenja
Kod indirektnih merenja rezultat merenja Y je funkcija
direktno merenih veličina Xi, i=1,2,3,...N, data oblikom
Y=f(X1, X2, X3,...,XN) ;
Svaka od merenih veličina Xi kao rezultat merenja sadrži
svoju brojnu vrednost i vrednost izračunatih sistematskih
i procenjenih slučajnih grešaka;
Pojedinačne vrste grešaka direktno merenih veličina
izračunavaju se i procenjuju već opisanim pravilima i
postupcima;
Za date greške direktno merenih veličina Xi, primenjuju
se različiti postupci izračunavanja sistematske i slučajne
greške indirektno merene veličine, Y=f(Xi), ;
1
Obrada rezultata indirektnih merenja
Kada su sitematske greške merenih veličina određene i
po vrednosti po znaku, veličina Y se dobija preko
funkcije zavisnosti sa korigovanim pojedinačnim
vrednostima rezultata merenja Xi;
Na primer, ako se meri snaga, P, opterećenog
električnog izvora, merenjem pojedinačnih vrednosti
napona V, struje I, i otpornosti R, u kolu, rezultat merenja
može biti dat relacijom
2
V
Px  V1 I1  R1 I 22  2
R2
Neka su na pojedinim potrošačima izmerene vrednosti
napona, struje i otpornosti i određene njihove sistematske
greške po vrednosti i znaku, date tabelarno:
2
Obrada rezultata indirektnih merenja
I1=1,85 mA
I1=-0,02 mA
I2=2,52 mA
I2=-0,02 mA
V1=8,3 V
V1= +0,1 V
V2=5,4 V
V2= +0,1 V
R1=108 
R1= +2,0 
R2=251 
R2= +2,0 
Nekorigovani rezultat izmerene snage dobija se zamenom
izmerenih vrednosti parametara u relaciju za snagu, tako
da je
2
2
5
,
4
V
Px  8,3V 1,85mA  108  2,522 mA 2 
 132,2164 mW
251
Zaokružena vrednost izmerene snage je Px=132 mW
3
Obrada rezultata indirektnih merenja
Vrednost korigovanog rezultata indirektno izmerene
snage za date podatke o greškama je
2
Px'  0 ,3  0 ,1V  1,85  0 ,2 mA  108  2   2 ,52  0,2  mA 2 
2

5,4  0 ,1 V 2

251  2
 129 ,416mW.
Sistematska greška indirektno izmerene snage je
PX-PX'= 132mW-129,416mW =+2,584 mW.
Dobijeni rezultati su izračunati sa prilično visokom
tačnošću, čak sa šest značajnih cifara, iako su vrednosti
pojedinih parametara date sa znatno manjim tačnostima.
Primenom pravila zaokruživanja rezultata merenja,
izračunate vrednosti snage PX i greške merenja PX su:
PX=132 mW i PX=2,6 mW.
4
Obrada rezultata indirektnih merenja
Drugi slučaj je kada znak greške kod indirektnih merenja
nije poznat;
Tada se ispred svake vrednosti greške stavlja simbol "",
na primer,  I,  0,2 V, kao apsolutna vrednost, U,
0,2V, ili jednostavno samo U, 0,2V;
Ova notacija važi i kada se greške prikazuju u relativnim,
odnosno procentualnim iznosima.
Iz ovako prikazane vrednosti grešaka nepoznato je koji
će znak greška imati u trenutku dobijanja rezultata
merenja;
Po predhodnom postupku ne može se odrediti vrednost i
znak sistematske greške indirektno merene veličine Y;
5
Obrada rezultata indirektnih merenja
U tom slučaju primenjuju se matematičke metode konačnih
priraštaja date funkcije
Y +Y = f(X1+X1 , X2+X2 , X3+X3 ,. . . XN+XN )
odakle se dobija izraz za apsolutnu sitematsku grešku
indirektno merene veličine (uz smenu Xk Xk)
Y = f(X1+X1, X2+X2, X3+X3,. . ., XN+XN)-f(X1, X2, X3,...,XN)
Relativna sistematska greška dobija se prosto deljenjem
predhodne relacije sa datom funkcijom, tako da je
Y 
Y f  X 1  X 1 , X 2  X 2 , X 3  X 3 ,..., X N  X N 

1
Y
f  X 1 , X 2 , X 3 ,..., X N 
6
Obrada rezultata indirektnih merenja
Svaki član sume u relaciji za grešku Y, predstavlja
pojedinačnu grešku rezultata indirektnih merenja pod
uticajem greške Xi;
Parcijalni izvodi funkcije nazivaju se koeficijenti uticaja
pojedinih grešaka;
Data relacija daje približnu vrednost priraštaja greške, ali
u većini praktičnih slučajeva obezbeđuje dovoljnu tačnost
za greške koje su reda ispod 1-2%;
Najčešće se greška indirektno merene veličine daje u
relativnom obliku, koji se može dobiti iz parcijalnog
diferencijala logaritmovane funkcije Y=f(Xi):
d
lnY   d lnf  X i   df  X i   dY  Y
dX i
dX i
dX i f  X i  dX iY
X iY
7
Obrada rezultata indirektnih merenja
Postupak procene slučajne greške kod indirektnih metoda
merenja se razlikuje, jer se razlikuje metod izračunavanja
pojedinačnih grešaka;
Ako su slučajne greške direktno izmerenih veličina xi, sa
matematičkim očekivanjem M[xi]=0 i dispezijom i2,
onda je matematičko očekivanje
N
Y
M Y  
M xi   0
i 1 X i

Srednja kvadratna greška ili standardna devijacija je
N
2
 Y  2

 i
 
i 1  X i 
2
Y

pod uslovom da ne postoji korelacija između procenjenih
pojedinačnih grešaka;
8
Metode evaluacije i korekcije nesigurnosti
mernih uređaja ograničene tačnosti
Evaluacija nesigurnosti tipa A ostvaruje se primenom
statističkih metoda analize;
Kada je u pitanju nesigurnost tipa B problem je
komplikovaniji, jer postoje različiti izvori nesigurnosti, tako da
je ovde neophodno iskustvo, znanje pa i intuicija;
Kada proizvođač uređaja daje informaciju o nesigurnosti,
problem je relativno lakši, posebno kada su u pitanju tačnija i
skuplja merna sredstva;
Analogna merna sredstva sadrže podatak o klasi tačnosti
koja je obezbeđena kalibracionim tehnikama;
Digitalna merna sredstva nisu standardizovana, ali postoji
9
univerzalno propisani način prikaza tačnosti;
Nesigurnosti analognih mernih instrumenata specificirane su
standardima za klase tačnosti, kao što je EN 60051;
Na primer, za voltmetar opsega 100V i klase 0,5, proizvođač
garantuje da su podeoci indikatora skalirani sa apsolutnom
nesigurnošću koja nije veća od 0,5%·100V=0,5V;
To znači da je apsolutna nesigurnost ista za svaku merenu
vrednost na celom opsegu, (slika, a), dok je relativna
nesigurnost najmanja pri punom opsegu, (slika, b);
x
X
+ Xmax
xgr
- Xmax
x
Klasa
x
(a)
(b)
xgr
10
Nesigurnosti analognih mernih instrumenata specificirane su
za normalne uslove, na primer, temperatura 23oC, relativna
vlažnost 40-60%, frekvencija 50Hz, itd;
Takođe, definisani su i radni uslovi (na primer, varijacija
temperature T=10oC, nagib instrumenta pod uglom od 5o i
dr.) u kojima se nesigurnost povećava preko vrednosti
propisane klase tačnosti;
Nesigurnost mernih instrumenata ne zavisi samo od tačnosti
kalibracije (skaliranja), već i od dodatnih faktora kao što su:
– nelinearnost,
– histerezis,
– drift nule, i
– rezolucija
11
Grafička ilustracija dodatnih faktora u procesiranju mernog
signala koji doprinose povećanju nesigurnosti:
y
y
x
x
Osetljivost
Nelinearnost
y
y
x
x
Rezolucija
Histerezis
Snanjenje uticaja pojedinih faktora ostvaruje se izborom
adekvatnih metoda merenja i dodatnim specijalnim
postupcima za smanjenje grešaka u merenju;
Za konkretne slučajeve, analiziraju se uzroci uticaja pojedinih
efekata i u skladu sa zahtevima primenjuju se poznate
tehnike zaštite i usavršavanja metoda merenja;
12
Nesigurnost digitalnih mernih instrumenta daje se
procentualno u obliku
(%rdg+%FS) ili (%rdg+%range),
gde rdg znači reading (očitana vrednost, X, na indikatoru, a
FS (Full Scale) je vrednost opsega (range), Xgr;
Kod savremenih instrumenata jedinica relativne nesigurnosti
data u % postaje prilično velika, pa se zato koristi termin
ppm (part per million-10-6);
Relativna nesigurnost u jedinicama ppm daje se onda
oblikom
(ppm X+ppm Xgr);
Na primer, na 4-cifarskom digitalnom voltmetru mernog
opsega od 10V, sa datom nesigurnošću od (0,05%X
+0,01%Xgr), odrediti mernu nesigurnost očitane vrednosti
napona od 0,454V;
13
Nesigurnost izmerene vrednosti digitalnim voltmetrom u
apsolutnom iznosu je
(0,05%·0,454+0,01%·10)=1,227 mV1,23mV,
a u relativnom iznosu je (1,23mV/0,454V)·100%= 0,27%.
Kolika je merna nesigurnost merenog napona, ako je na
promenjenom mernom opsegu od 1V, očitani rezultat
merenja istog napona 454,5mV?
Zaokružena izračunata vrednost apsolutne nesigurnosti je
0,33mV, a relativne 0,07%, što pokazuje da je promenom
osetljivosti voltmetra nesigurnost smanjena tri puta;
Rezultujuća nesigurnost je zbir nesigurnosti zbog tačnosti
merenja (%Xgr) i greške zbog rezolucije, koja zavisi od broja
cifara indikatora (%Xgr);
14
Grafik relativne nesigurnosti digitalnog voltmetra u zavisnosti
od rezultata merenja ima oblik
 x 
FS+ rdg
FS
x
xgr
Najbolja tačnost je kada se
koriste sve cifre - relativna
greška opada sa povećanjem
odnosa merene vrednosti, X i
mernog opsega, Xgr i obrnuto.
Zavisnost rezolucije od broja
cifara indikatora data je u tabeli:
Broj cifara
3
4
4½
Max. broj
1000
10 000
20 000
Rezolucija
0,1%
0,01%
0,005%
4¾
50 000
0,002%
15
Uputstvom se pravi razlika između varijanse  i procene
eksperimentalne standardne devijacije, s2 iz rezultata
merenja, koja se dobija iz relacije
1
s  xk  
N 1
2
N
2


x

x
 k
i 1
Nesigurnost merenja je u x   sx 
Ilustracija procene nesigurnosti tipa A:
promašaj
x
xmin
xmin
xmax
xo x
X
xmax
X
X
x +u (x )
16
U nizu rezultata merenja, X, obacuje se eventualni
"promašaj" i koriguje se sistematska greška x0, i
izračunava se srednja vrednost x ;
Zatim se izračunava eksperimentalna standardna
devijacija i nesigurnost u  x   s x 
Nesigurnost merenja se može dati u obliku proširene
nesigurnosti, U=ku (ẋ); k-faktor pokrivanja, specificirane
vrednosti 1,2 i 3 za nivoe poverenja 68%, 95,5% i 99,7% ;
U slučaju nesigurnosti tipa B koja ne zavisi od slučajnih
grešaka, potrebno je proceniti druge vrste nesigurnosti sa
odgovarajućim verovatnoćama;
Kod digitalnih uređaja, vrednosti poslednje cifre su jednako
verovatne, tako da se koristi uniformna (ravnomerna)
raspodela verovatnoće;
17
Nakon procene svih nesigurnosti izračunava se rezultujuća
nesigurnost prema relaciji
m
u B x  

u B2  xi 
i 1
Rezultujuća merna nesigurnost za oba tipa nesigurnosti
određuje se iz formule
u  x   u A2 x   u B2 x 
Kod indirektnih metoda merenja rezultujuća merna
nesigurnost za y=f(xi), sa nekorelisanim greškama merenja
izračunava se iz relacije
 f  xi   2
u xi 
u  y   
i 1  xi

N
2

18
Šematski prikaz procedure procene merne nesigurnosti:
Matematički model objekta
merenja i mernog sistema
Serija merenja, Ai,
i=1,N
Izračunavanje,
Āi
Proširena
nesigurnost
Nesigurnost tipa B
Nesigurnost tipa A
Analiza komponenti
slučajnog karaktera
Tačnosti mernih
uređaja
Drugi izvori
grešaka
Korekcija
uB(x)
uA(x)
u  x   u A2 x   u B2  x 
Kombinovana nesigurnost, u (X1,X2,...,XN)
19
Download

Obrada rezultata indirektnih merenja