Квадрат бинома: (I ± II) 2 = I2 ± 2 ⋅ I ⋅ II + II 2
Пример 1. Користећи формулу за квадрат бинома израчунај:
a) ( x + 3) =
2
б) ( 2х − 3) =
2
в) ( 5а + 2х ) =
Решење: Дата нам је лева страна квадрата бинома, што значи да је потребно да нађемо десну страну:
2
a) ( x + 3) = х 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = х 2 + 6x + 9
2
б) ( 2х − 3) = (2х) 2 − 2 ⋅ 2х ⋅ 3 + 32 = 4х 2 − 12x + 9
2
в) ( 5а + 2х ) = (5а)2 − 2 ⋅ (5а) ⋅ (2х) + (2х) 2 = 25а 2 − 20аx + 4х 2
2
Пример 2: Користећи формулу за квадрат бинома израчунај:
a)x 2 + 4x + 4 =
б)4x 2 + 12xy + 9y 2 =
1 2
в) − x + x 2 =
25 5
Решење: Дата нам је десна страна квадрата бинома, што значи да је потребно да нађемо леву страну.
Потребно је, најпре, наћи шта су први и други члан, па тек онда проверити користећи средњи
члан:
a) x 2 + 4x + 4 =
I2 =x 2
II 2 =22 што нам говори да је I= x, а II=2.
Средњи члан би требало да буде: 2 ⋅ I ⋅ II=2 ⋅ х ⋅ 2 = 4x
Дакле, x 2 + 4x + 4 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 4 = ( х + 2 )
2
б) 4x 2 + 12xy + 9y 2 = (2x ) 2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3у + (3у)2 = ( 2х + 3у )
2
в)
1 2
1
1
1

− x + x2 =   − 2 ⋅ ⋅ x + x2 =  − х 
25 5
5
5
5
 


2
2
****
Разлика квадрата: I 2 -II2 = (I-II) ⋅ (I+II)
Пример 3. Користећи формулу за разлику квадрата, израчунај:
а) ( а + b ) ⋅ ( a − b ) =
б) ( 2а + 3b ) ⋅ ( 2a − 3b ) =
в) ( 4х − 1) ⋅ ( 4х + 1) =
1
 1

г)  аb + 0,1c  ⋅  аb − 0,1c  =
2
 2

Решење: Дата нам је десна страна разлике квадрата, што значи да је потребно да нађемо леву страну:
а) ( а + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b 2
б) ( 2а + 3b ) ⋅ ( 2a − 3b ) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
в) ( 4х − 1) ⋅ ( 4х + 1) = (4х) 2 − 12 = 16 х 2 − 1
2
a 2 b2
1
 1
 1 
г)  аb + 0,1c  ⋅  аb − 0,1c  =  аb  − (0,1c) 2 =
− 0, 01c2
4
2
 2 
 2
Пример 4. Користећи формулу за разлику квадрата, израчунај:
a) x 2 − 16 =
б) 9x 2 − 1 =
16
в) − x 2 =
25
Решење: Дата нам је лева страна разлике квадрата, што значи да је потребно да нађемо десну страну.
Потребно је прво наћи шта су први и други члан:
a) x 2 − 16 =
I2 =x 2
II 2 =42
што нам говори да је I= x, а II=4.
Дакле, x 2 − 16 = ( х − 4 ) ⋅ ( х + 4 )
б) 9x 2 − 1 = (3x) 2 − 12 = ( 3х − 1) ⋅ ( 3х + 1)
2
16
4
4
 4

в) − x 2 =   − x 2 =  − х  ⋅  + х 
25
5
5
 5

****
Растављање на чиниоце
Раставити број на чиниоце значи написати га у облику производа простих чинилаца.
нпр. 6 = 2·3
Пример 5. Растави на чиниоце бројеве: 24, 108, 324.
Решење: 24 = 2 · 2 · 2 · 3
108 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
324 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3
Пример 6. Растави на чиниоце степене: х4, х2 у2 , (аb)3.
Решење: х4 = х · х · х · х
х2у2 = х · х · у · у
(аb)3 = аb · аb · аb
Пример 7. Дате мономе запиши у облику производа: 6a3b3, 15xy2z4, 21x2yz2.
Решење: 6a3b3= 2·3·a·a·а·b·b·b
15xy2z4 = 3·5·х·у·у·z·z·z·z
21x2yz2 = 3·7·х·х·у·z·z
Како гласи дистрибутивни закон?
a ⋅ ( b ± c) = a ⋅ b ± a ⋅ c
Пример 8. Користећи дистрибутивни закон, запиши у облику производа:
а) 2х2+3х
б) 6ab2 – 9ab3
в) -12x3y2z + 8xyz.
Решење: а) 2х2+3х = 2·х·х + 3·х = х· (2х+3)
б) 6ab2 – 9ab3 = 2·3·a·b·b - 3·3·a·b·b·b = 3аb2·( 2-3b)
в) -12x3y2z + 8xyz = -2·2·3·х·х·х·у·у·z + 2·2·2·х·у·z = 4хуz·(-3х2у + 2)
Изрази у овом задатку су полиноми. Значи, и полиноме можемо раставити на чиниоце. То радимо на
следећи начин:
1) применом дистрибутивног закона, тј. извлачењем заједничких чинилаца a ⋅ ( b ± c ) = a ⋅ b ± a ⋅ c
2) за два члана, ако је могуће, можемо користити разлику квадрата I 2 -II2 = (I-II) ⋅ (I+II)
3) за три члана, ако је могуће, користимо квадрат бинома (I ± II) 2 = I2 ± 2 ⋅ I ⋅ II + II 2
****
ВЕЖБАЊЕ
1.Растави на чиниоце:
а)5х + 5у =
д) х(у + 1) - у(у + 1) =
б)12а 2 + 16а =
в)3х - 2х 2 =
ђ) 3(а -1) -а(а -1) =
е) 3х 2 + 6х -9х 3 =
2. Користећи разлику квадрата I 2 − II 2 = (I − II)(I + II) растави на чиниоце:
а)x 2 − y 2 =
д) x 2 y 2 − 4 =
б)16а 2 − 9 =
ђ)
в)25- 4х 2 =
1
− x2 =
4
е) 9x 4 − 16a 2 y4 =
г)4х 2 − 36y 2 =
ж)
16 2 4 2
х − y =
25
9
3. Користећи квадрат бинома (I ± II) 2 = I 2 ± 2 ⋅ I ⋅ II + II 2 растави на чиниоце:
а)x 2 + 6x + 9 =
б)4x 2 − 4x +1 =
в)25- 20хy + 4x 2 y2 =
г)9х 2 − 6xy + y 2 =
1 2
х + 2xy + 25y 2 =
25
1
ђ) − x + x 2 =
4
е) 9x 2 − 24xy 2a + 16a 2 y4 =
д)
ж) 25 − 10x + x 2 =
г)4х 2 + 4х =
ж) 15х 2 у2 + 20ху3 =
Download

VII-2 objasnjenje-kvadrat binoma, razlika kvadrata, rastavljanje na