Pitanja za usmeni iz Matematike II (ETF)
(2014.)
Numeriˇcki nizovi
ˇ je ideja zamjene u
1. Navesti definiciju konvergencije numeriˇckog niza. Sta
toj definiciji izraza (∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ), izrazom (∃y0 ∈ R)(∀n ≥ y0 )?
2. Kada za niz kaˇzemo da skoro svi njegovi ˇclanovi zadovoljavaju neku
osobinu, to znaˇci
(a) beskonaˇcno mnogo ˇclanova niza imaju tu osobinu.
(b) svi ˇclanovi tog niza, osim njih konaˇcno mnogo, imaju tu osobinu.
(c) poˇcev od nekog indeksa konaˇcno mnogo ˇclanova niza imaju tu osobinu.
(d) (∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) ˇclanovi niza sa indeksima n imaju tu osobinu.
3. (a) Definisati konvergenciju numeriˇckog niza.
(b) Negirati pojam konvergencije niza.
(c) Obrazloˇziti po definiciji, zaˇsto niz sa opˇstim ˇclanom an = (−1)n nije
konvergentan.
4. Iskazati i dokazati teorem o jedinstvenosti graniˇcne vrijednosti numeriˇckog
niza.
5. (a) Navesti definiciju ograniˇcenog niza.
(b) Da li je niz sa opˇstim ˇclanom xn =
1+(−1)n
n
ograniˇcen?
(c) Ispitati ograniˇcenost niza ˇciji je opˇsti ˇclan yn = n(−1) .
n
6. (a) Navesti definiciju ograniˇcenog niza.
(b) Negirati pojam ograniˇcenosti niza sa gornje strane.
(c) Dokazati da je svaki konvergentan niz ograniˇcen.
7. (a) Navesti teorem o vezi limesa niza i algebarskih operacija.
(b) Dokazati da je ”limes zbira” jednak ”zbiru limesa”.
√
1
n
(c) Izraˇcunati: lim 2 2 + √
.
n
n→∞
n
8. (a) Navesti teorem o vezi limesa niza i algebarskih operacija.
(b) Dokazati da je ”limes proizvoda” jednak ”proizvodu limesa”.
n
(c) Izraˇcunati: lim
.
n→∞ (n + 1)2n
2
9. (a) Navesti teorem o vezi limesa niza i algebarskih operacija.
(b) Dokazati da je ”limes koliˇcnika” jednak ”koliˇcniku limesa”.
n
1
1 + n+1
(c) Izraˇcunati: lim
.
n→∞ ln(n + 1) − ln n
10. (a) Definisati nula-niz.
(b) Da li je niz sa opˇstim ˇclanom xn = n(−1) nula niz?
n
(c) Koji je znaˇcaj nula-nizova (obrazloˇziti odgovaraju´cim teoremom sa
dokazom).
11. (a) Pokazati da je zbir i razlika dva nula-niza opet nula niz.
(b) Da li isto vaˇzi za proizvod dva nula-niza?
(c) Da li u sluˇcaju proizvoda tvrdnju moˇzemo oslabiti?
12. Navesti teorem o vezi limesa i relacije poretka, sa dokazom.
13. (a) Kada kaˇzemo da numeriˇcki niz odredeno divergira?
(b) Formalno-logiˇcki iskazati ˇcinjenicu da niz odredeno divergira ka
+∞.
(c) Da li je niz sa opˇstim ˇclanom xn = n+(−1)n odredeno divergentan?
14. Navesti teorem kojim proˇsirujemo pravila u radu sa limesima na beskonaˇcne nizove.
15. Neka su nizovi (xn )n∈N i (yn )n∈N odredeno divergentni. Koja od tvrdenja
su taˇcna?
(a) Zbir ovih nizova je odredeno divergentan.
(b) lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn .
n→∞
n→∞
n→∞
(c) Proizvod ovih nizova je odredeno divergentan.
(d) Koliˇcnik ovih nizova je konvergentan.
(e) Koliˇcnik ovih nizova je divergentan.
(f) lim (xn · yn ) = lim xn · lim yn .
n→∞
n→∞
n→∞
16. U odnosu na konvergenciju, kako dijelimo numeriˇcke nizove? Svaki od
pojmova obrazloˇziti odgovaraju´cim zapisom.
17. (a) Navesti teorem o ”lopovu i dva policajca”.
3
(b) Dokazati teorem o ”lopovu i dva policajca”.
(c) Ispitati konvergenciju niza sa opˇstim ˇclanom xn =
√
n
2n + 3n + 4n .
an
su:
n→∞ bn
18. Uslovi za primjenu Stolzove teoreme, za limes lim
(a) Niz (bn ) je odredeno divergentan.
(b) Niz (an ) je monotono opadaju´ci.
(c) Niz (an ) je monotono rastu´ci, a niz (bn ) je monotono opadaju´ci.
(d) lim bn = 0.
n→∞
(e) Postoji, konaˇcna ili beskonaˇcna, graniˇcna vrijednost niza
(f) Za skoro svako n ∈ N, vrijedi bn ≤ bn+1 .
an+1 −an
bn+1 −bn
.
19. (a) Definisati monotono rastu´ci i strogo monotono rastu´ci niz.
(b) Koje tehnike primjenjujemo za ispitivanje ove dvije vrste monotonosti numeriˇckih nizova?
3n
(c) Ispitati monotonost niza zadatog opˇstim ˇclanom an = .
n
20. (a) Definisati monotono opadaju´ci i strogo monotono opadaju´ci niz.
(b) Koje tehnike primjenjujemo za ispitivanje ove dvije vrste monotonosti numeriˇckih nizova?
3n + 1
(c) Ispitati monotonost niza zadatog opˇstim ˇclanom an =
.
n2
21. Zaokruˇziti taˇcna tvrdenja:
(a) Svaki monoton niz je konvergentan.
(b) Svaki nemonoton niz je divergentan.
(c) Svaki monoton niz ima konaˇcnu ili beskonaˇcnu graniˇcnu vrijednost.
(d) Svaki konvergentan niz je monoton.
(e) Svaki divergentan niz je neograniˇcen.
(f) Svaki divergentan niz je nemonoton.
ˇ moˇzemo precizno re´ci o nizu koji je monoton i ograniˇcen?
22. (a) Sta
(b) Navesti teorem na koga se pozivamo!
(c) Primjenjuju´ci navedeni teorem, pokazati konvergenciju niza sa opˇstim
ˇclanom xn = 2nn .
4
23. Kako definiˇsemo Eulerov broj e? Kako dokazujemo njegovo postojanje?
(Obrazloˇziti pomo´cu kojih nizova i kojeg tvrdenja.)
n
1
24. Dokazati: lim 1 +
= e.
n→∞
n
25. Definisati podniz numeriˇckog niza i sa tim pojmom definisati taˇcku nagomilavanja niza.
26. (a) Definisati taˇcku nagomilavanja niza preko okolina.
(b) Kakva je razlika izmedu taˇcke nagomilavanja niza i taˇcke konvergencije niza.
(c) Iskazati Bolzano-Weierstrssov teorem.
27. (a) Definisati gornji i donji limes niza.
(b) Kakva je veza izmedu ova dva pojma.
(c) Za niz sa opˇstim ˇclanom xn =
limes.
1
n
+ (−1)n odrediti gornji i donji
28. Navesti teorem kojim uspostavljamo vezu izmedu gornjeg i donjeg limesa
niza i graniˇcne vrijednosti niza.
Numeriˇcki redovi
29. (a) Definisati numeriˇcki red, njegove parcijalne sume i ostatak tog reda.
ˇ predstavljaju simboliˇcki zapisi
(b) Sta
7
X
i+2
i
,
i=1
∞
X
k=5
k
.
k−1
(c) Definisati konvergenciju numeriˇckog reda.
30. Kada kaˇzemo da je numeriˇcki red konvergentan, a kada je on divergentan?
31. Ispitati konvergenciju geometrijskog reda
∞
X
qn.
n=0
32. Iskazati i dokazati teorem koji govori o vezi konvergencije numeriˇckog
reda i konvergenciji njegovog ostatka.
33. Ako u numeriˇckom redu izostavimo konaˇcno mnogo sabiraka,
(a) njegova suma se ne mijenja.
5
(b) ako je red bio konvergentan, postaje divergentan.
(c) ako je red bio divergentan, postaje konvergentan.
(d) to nema uticaja na konvergenciju tog reda.
(e) njegova suma se mijenja.
34. Dokazati tvrdnju: Ako je red
∞
X
n=1
je i red
∞
X
xn konvergentan i ako je a ∈ R, tada
axn konvergentan. Koje pravilo vrijedi ako su zadovoljeni
n=1
uslovi ovog tvrdenja?
35. Dokazati tvrdenje: Ako su redovi
∞
X
xn ,
n=1
tan je i red
∞
X
∞
X
yn konvergentni, konvergen-
n=1
(xn + yn ). Da li vrijedi obrat ovog tvrdenja? (obrazloˇziti
n=1
odgovor)
36. (a) Kako glasi neophodan uslov konvergencije numeriˇckog reda?
(b) Kako glasi kontrapozicija gornjeg tvrdenja?
(c) Primjerom pokazati da taj uslov nije i dovoljan.
37. Posmatrajmo numeriˇcki red
∞
X
xn (*). Zaokruˇziti netaˇcne tvrdnje
n=0
(a) Red (*) konvergira ako postoji lim xn .
n→∞
(b) Ako je lim xn = 0 onda red (*) konvergira.
n→∞
(c) Ako je lim xn 6= 0 red (*) divergira.
n→∞
(d) Ako red (*) konvergira tada je lim xn = 0.
n→∞
ˇ je osnovna karakteristika redova sa pozitivnim ˇclanovima, i kojom
38. Sta
teoremom to iskazujemo? (Objasniti!)
39. Zaokruˇziti taˇcne tvrdnje:
(a) Numeriˇcki red sa pozitivnim ˇclanovima je uvijek konvergentan.
(b) Ako je niz parcijalnih suma numeriˇckog reda sa pozitivnim ˇclanovima
monotono rastu´ci tada je red divergentan.
6
(c) Numeriˇcki red sa pozitivnim ˇclanovima je konvergentan ako i samo
ako je niz njegovih parcijalnih suma ograniˇcen.
(d) Numeriˇcki red sa pozitivnim ˇclanovima je divergentan ako i samo
ako je niz njegovih parcijalnih suma neograniˇcen.
40. (a) Navesti kriterij uporedivanja za numeriˇcke redove i obrazloˇziti tvrdnju koju njome iskazujemo.
∞
X
1
(b) Red
je konvergentan. Da li na osnovu poredbenog kriterija
n2
n=1
∞
X
1
moˇzemo zakljuˇciti ˇsta o konvergenciji reda
?
n
n=1
∞
X
4n + 5
(c) Koriste´ci navedeni kriterij ispitati konvergenciju reda
.
(n + 1)3
n=1
41. (a) Kako glasi D’Alambertov kriterij konvergencije numeriˇckih redova?
∞
X
n
(b) Obrazloˇziti manu ovog kriterija na primjeru reda
.
2
n +1
n=1
(c) Ispitati konvergenciju reda
∞
X
1 + n2
n=1
2n
.
42. (a) Kako glasi Cauchyjev korijeni kriterij konvergencije numeriˇckih redova?
ˇ je mana ovog kriterija?
(b) Sta
(c) Ispitati konvergenciju reda
∞
X
2n + 3n
n=1
4n
.
43. (a) Koje vrste konvergencija posmatramo kod numeriˇckih redova sa
proizvoljnim ˇclanovima?
(b) Koja veza postoji medu tim konvergencijama?
∞
X
(−1)n
(c) Ispitati konvergenciju reda
.
n
n=1
44. (a) Kako glasi Leibnitzov kriterij konvergencije i kod kojih redova ga
koristimo?
(b) Navesti primjer reda koji konvergira uslovno.
7
(c) Ispitati konvergenciju reda
∞
X
(−1)n n4−n .
n=1
Funkcionalni nizovi
45. Navesti primjer funkcionalnog niza i slikom pokazati njegovu vezu sa
”obiˇcnim” numeriˇckim nizom.
ˇ
46. Navesti definiciju ”konvergencije po taˇckama” funkcionalnog niza. Sta
nam obezbjeduje uslov iz te definicije?
47. Navesti definiciju uniformne konvergencije funkcionalnog niza. Obrazloˇziti
razliku izmedu uniformne i konvergencije po taˇckama.
48. (a) Navesti definiciju uniformne konvergencije funkcionalnog niza.
(b) Navesti definiciju konvergencije po taˇckama funkcionalnog niza.
(c) Njihovim uporedivanjem obrazloˇziti koja od tih konvergencija je
”jaˇca”.
49. Koje od sljede´cih izjava predstavljaju uniformnu konvergenciju funkcionalnog niza (fn )n∈N ka funkciji f na skupu A:
(a) (∀x ∈ A)(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε).
(b) (∀ε > 0)(∀x ∈ A)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε).
(c) (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∃x ∈ A)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε).
(d) (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀x ∈ A)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε).
50. (a) Navesti definiciju uniformne konvergencije funkcionalnog niza.
(b) Navesti definiciju konvergencije po taˇckama funkcionalnog niza.
(c) Zaˇsto funkcionalni niz ( nx )n∈N jeste konvergentan po taˇckama, ali
nije uniformno konvergentan?
51. (a) Navesti definiciju uniformne konvergencije funkcionalnog niza.
(b) Navesti definiciju konvergencije po taˇckama funkcionalnog niza.
nx
(c) Zaˇsto funkcionalni niz ( 1+n
ckama,
2 x2 )n∈N jeste konvergentan po taˇ
ali nije uniformno konvergentan?
52. Kada definiˇsemo funkcionalni niz, ˇsta moramo obavezno navesti? Navesti
osobine uniformne konvergencije funkcionalnog niza.
8
53. Navesti teorem o zamjeni graniˇcnih procesa nad funkcionalnim nizom.
Dati primjer kojim obrazlaˇzemo potrebu za ovim teoremom.
54. Zaokruˇziti taˇcna tvrdenja:
(a) Ako funkcionalni niz (fn (x))n∈N uniformno konvergira ka funkciji
f (x) na skupu I, tada je funkcija f (x) neprekidna na I.
(b) Ako funkcionalni niz (fn (x))n∈N konvergira ka funkciji f (x) na skupu
I, i ako su sve funkcije fn neprekidne na I, tada je i funkcija f (x)
neprekidna na I.
(c) Neprekidne funkcije konvergiraju neprekidnoj funkciji.
(d) Ako funkcionalni niz (fn (x))n∈N uniformno konvergira ka funkciji
f (x) na skupu I, i ako su sve funkcije fn neprekidne na I, tada je i
funkcija f (x) neprekidna na I.
55. Kada smijemo zamjeniti mjesta izvodu i limesu kod funkcionalnih nizova.
Primjerom pokazati da to nije uvijek opravdano.
56. Kada limes smije ”pro´ci” kroz inegral? Primjerom pokazati da to nije
uvijek opravdano.
Funkcionalni redovi
57. Kako glasi Weierstrassov kriterij uniformne konvergencije funkcionalnog
reda. Kako obrazlaˇzemo ˇcinjenicu da je u pitanju uniformna konvergencija reda, koju navodimo u ovoj teoremi?
58. (a) Navesti Abelov test uniformne konvergencije.
∞
X
n
(b) Ispitati konvergenciju reda
.
(n + 1)2n
n=1
59. (a) Navesti Dirichletov test uniformne konvergencije.
∞
X
2−n
(b) Ispitati konvergenciju reda
.
n(n
+
1)
n=1
(c) Kako moˇzemo dobiti Leibnitzov kriteri za alternativne redove iz
Dirichletovog testa?
60. Pod kojim uslovima znamo da ´ce beskonaˇcna suma funkcija biti neprekidna funkcija?
9
61. Da li funkcionalni red smijemo diferencirati ˇclan po ˇclan? Obrazloˇziti
odgovor i dati uslove kada to smijemo!
62. Ako znamo da stepeni red konvergira u taˇcki x0 6= 0, koje dodatne informacije imamo o tom redu? Dokazati to ˇsto tvrdimo!
63. Ako znamo da stepeni red divergira u taˇcki x0 6= 0, koje dodatne informacije imamo o tom redu? Dokazati to ˇsto tvrdimo!
ˇ
64. Cime
opravdavamo uvodenje pojma ”polupreˇcnik konvergencije” stepenog reda? Kako definiˇsemo pojam ”polupreˇcnik konvergencije” stepenog
reda?
65. (a) Koji su naˇcini izraˇcunavanja polupreˇcnika konvergencije stepenog
reda.
(b) Ako je R polupreˇcnik konvergencije stepenog reda, ˇsta tada znamo
o konvergenciji tog reda?
(c) Ako je polupreˇcnik konvergencije reda jednak 0, ˇsta to znaˇci za
konvergenciju reda?
66. Zaokruˇ
tvrdnje: Neka je R polupreˇcnik konvergencije stepenog
Pz∞iti taˇcne
n
reda n=1 an x (∗).
(a) Stepeni red (*) je apsolutno konvergentan za svako x ∈ (−R, R).
(b) Ako je R = 0, stepeni red (*) je konvergentan za sve x ∈ R.
(c) Ako je R = +∞, stepeni red (*) je konvergentan za sve x ∈ R.
(d) Ako je R = −∞, stepeni red (*) je konvergentan za sve x ∈ R.
(e) Suma stepenog reda je neprekidna funkcija na (−R, R).
67. Zaokruˇ
tvrdnje: Neka je R polupreˇcnik konvergencije stepenog
Pz∞iti taˇcne
n
reda n=1 an x (∗).
(a) Ako je R = 0, stepeni red (*) nije konvergentan ni za jedno x ∈ R.
(b) Na svakom segmentu [a, b] ⊇ (−R, R), stepeni red smijemo integraliti ˇclan po ˇclan.
(c) Ako je R = 0, stepeni red (*) je konvergentan samo za x = 0.
(d) Stepeni red (*) smijemo diferencirati ˇclan po ˇclan, na ˇcitavom intervalu (−R, R).
(e) Stepeni red (*) je apsolutno konvergentan na svakom segmentu
[−r, r] ⊂ (−R, R).
10
68. (a) Definisati polupreˇcnik konvergencije funkcionalnog reda.
∞
X
(b) Odrediti podruˇcje konvergencije reda
nxn−1 .
n=1
(c) Odrediti sumu reda u b) na podruˇcju uniformne konvergencije.
69. (a) Navesti formule za raˇcunanje polupreˇcnika konvergencije funkcionalnog reda.
∞
X
(b) Odrediti podruˇcje konvergencije reda
(n + 1)xn .
n=0
(c) Odrediti sumu reda u b) na podruˇcju uniformne konvergencije.
70. (a) Navesti formule za raˇcunanje polupreˇcnika konvergencije funkcionalnog reda.
∞
X
xn
(b) Odrediti kada je red
uniformno i apsolutno kovergentan.
n
n=1
(c) Odrediti sumu reda u b) na podruˇcju uniformne konvergencije.
71. (a) Definisati MacLaurinov red.
(b) Kojoj vrsti pripada ova vrsta redova?
(c) Kako koriste´ci ove redove dobijamo jednakost
∞
X
(−1)n
π
= ?
2n + 1
4
n=0
72. (a) Definisati MacLaurinov red.
(b) Kada stepeni red definiˇse neprekidnu funkciju?
(c) Navesti MacLaurinove redove za funkcije sin x i ln(x + 1).
11
Download

PitanjaUsmeniETF2014..