[
① Koristedi primer matrice A
] pokazati da postoji operator koji nije proste strukture:
Rešenje:
P(λ) = det(A-λ )= |
)
|=(
P(λ) = det(A-λ )- karakterističan polinom operatora A
AX =
naziva se sopstveni vektor operatora A
(
) =0
Matrica ima jednu sopstvenu vrednost
Odgovarajuće sopstvene vektore odredjujemo koristeći jednačinu (A- )
[
A[
]
]
[
]
[
]
[
][ ]
[ ]
Rešenje sistema jednačina je x = t(1,0), t
*(
zaključujemo da je
karakterističnog polinoma p a
Dakle operator A nije proste strukture.
geometrijsku višestrukost jedan, jer je dim( )
② Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matriceA= [
P i dijagonalnu matricu D tako da važi A =PD
)+
] Ako postoje, odrediti regularnu matricu
.
Rešenje:
P(λ) = det(A-λ )= 0
|= (
||
P(λ) =|
=(
)(
=(
),
)
(
-
√
) =***
=
(
)(
)(
)
(
(
(
=
P(λ)= (
)
)
)
),
)(
)
(
),(
-
(
)
-
)
,
(
)
-=
(
)
Za
sopstveni prostor je odredjen sa:
Gausovom eliminacijom dobijamo
Za sopstvenu vrednost
; t
sopstveni prostor je odredjen sa:
Za sopstveni vektor dobijamo:
Za sopstvenu vrednost
; t
sopstveni prostor je odredjen sa:
Za sopstveni prostor dobijamo
; t
Vidi se da su sopstvene vrednosti algebarske višestrukosti 1 jer su sve sopstvene vrednosti proste nule polinoma P.
Svakoj sopstvenoj vrednosti odgovara po jedan sopstveni vektor. Operator A je proste strukture sledi da postoji
faktorizacija A =PD
, pri čemu je matrica D dijagonalna matrica sa sopstvenim vrednostima na glavnoj dijagonali,a
P je matrica čije su kolone odgovarajudi sopstveni vektori.
D=[
]
P=[
]
Download

① Koristedi primer matrice A [ ] pokazati da postoji