Ispitna pitanja
Matematiˇcka analiza I
Pitanja za Test I (teorija)
Uvod
1. Neka je X proizvoljan neprazan skup. Da li je χ : P(X) → {0, 1}, zadato sa
1 ; x∈A
χA (x) =
0 ; x∈
/A
za A ⊆ X, dobro definisano preslikavanje?
Pokazati da vrijedi
χA∩B = χA · χB .
2. Za preslikavanje f : X → Y kaˇzemo da je surjektivno ako vrijedi,
(a) (∀x ∈ X) f (x) = y.
(b) f (X) = Y .
(c) svaki element skupa X se slika u neki element skupa Y .
(d) svaki element skupa Y je slika bar jednog elementa skupa Y .
(e) svi elementi skupa X se slikaju u sve elemente skupa Y .
3. Za preslikavanje f : X → Y kaˇzemo da je injektivno ako vrijedi,
(a) jednom originalu odgovara jedna slika.
(b) jednakim originalima odgovaraju jednake slike.
(c) razliˇcitim slikama odgovaraju razliˇciti originali.
(d) jednakim slikama odgovaraju jednaki originali.
(e) (∀x1 , x2 ∈ X)(x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )).
(f) (∀x1 , x2 ∈ X)(x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )).
(g) (∀x1 , x2 ∈ X)(f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ).
(h) (∀x1 , x2 ∈ X)(f (x1 ) 6= f (x2 ) ⇒ x1 6= x2 ).
4. Neka je X proizvoljan neprazan skup. Karakteristiˇcna funkcija skupa je preslikavanje χ : P(X) → {0, 1}, zadato sa
1 ; x∈A
χA (x) =
0 ; x∈
/A
Da li je ovo preslikavanje injektivno? Da li je ovo preslikavanje surjektivno? (oba
odgovora obrazloˇziti dokazom ili primjerom (kontraprimjerom))
5. Definisati kompoziciju dva preslikavanja. Pokazati da je kompozicija injektivnih
(surjektivnih, bijektivnih) preslikavanja i samo injektivno (surjektivno, bijektivno)
preslikavanje.
Realni brojevi
1. Navesti sve aksiome skupa realnih brojeva.
2
2. Navesti algebarske aksiome skupa realnih brojeva.
3. Navesti aksiome skupa realnih brojeva kojima uvodimo relaciju poretka na R.
4. Koji od ponudenih iskaza jesu (nisu) aksiomi skupa R?
(a) (∀x ∈ R)(∃0 ∈ R) x + 0 = x.
(b) (∃x∗ = −x ∈ R)(∀x ∈ R) x + (−x) = 0.
(c) (∀x, y ∈ R) x · y = y · x.
(d) (∃1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x.
(e) (∀x, y ∈ R) (x ≤ y ⇒ y ≤ x).
5. Pored naziva aksiome navesti njen formalno logiˇcki zapis:
(a) Zakon komutativnosti za sabiranje:
(b) Postojanje neutralnog elementa za sabiranje:
(c) Postojanje inverznog elementa za mnoˇzenje:
(d) Distributivni zakon:
(e) Antirefleksivnost relacije poretka:
(f) Saglasnost relacije poretka sa operacijom mnoˇzenja:
(g) Aksiom o supremumu:
6. Definisati infimum skupa A ⊂ R. Detaljno obrazloˇziti zaˇsto broj 1 nije infimum
skupa A = (2, 3) ⊂ R!
7. Definisati supremum skupa A ⊂ R. Detaljno obrazloˇziti zaˇsto broj 3 jeste supremum
skupa A = (2, 3) ⊂ R!
8. Dokazati teorem:
Za svako a, b ∈ R, jednaˇcina
a+x=b
ima jedinstveno rjeˇsenje u R dato sa b + (−a).
ˇ je znaˇcaj ovog teorema?
Sta
9. Dokazati teorem:
Ako su a (a 6= 0) i b bilo koji realni brojevi, tada jednaˇcina
a·x=b
ima jedinstveno rjeˇsenje u R, oblika a−1 b.
ˇ je znaˇcaj ovog teorema?
Sta
10. Dokazati teorem:
Za svako a ∈ R vrijedi a · 0 = 0.
ˇ je znaˇcaj ovog teorema?
Sta
11. Dokazati teorem:
Neka su a, b ∈ R. Ako je a · b = 0, tada je barem jedan element a ili b nula.
ˇ je znaˇcaj ovog teorema?
Sta
3
12. Dokazati teorem:
Neka su a i b realni brojevi. Ako je a ≤ b, tada je −b ≤ −a.
ˇ je znaˇcaj ovog teorema?
Sta
13. Neka su A, B ⊆ R. Definisati skup A + B i pokazati da vrijedi
sup(A + B) = sup A + sup B .
14. Neka su A, B ⊆ R+ ∪ {0}. Definisati skup A · B i pokazati da vrijedi
sup(A · B) = sup A · sup B .
15. Iskazati i dokazati stav o egzistenciji n-tog korijena realnog broja. (**)
16. Dokazati osobine korijenovanja:
√
√ √
(a) a, b ≥ 0, ab = a b.
r
√
a
a
(b) a, b ≥ 0,
= √ .
b
b
17. Definisati apsolutnu vrijednost realnog broja. Pokazati da vrijedi
|x| = max{x, −x} .
√
|x| = x2 .
18. Dokazati stav:
Neka su a, x ∈ R i a > 0. Tada je
|x| < a ⇔ −a < x < a .
19. Dokazati stav:
Neka su a, x ∈ R i a > 0. Tada je
|x| > a ⇔ x < −a ∨ x > a .
20. Dokazati da za proizvoljne x, y ∈ R vrijede jednakosti:
x |x|
|xy| = |x| |y| i =
(y 6= 0) .
y
|y|
21. Dokazati da za proizvoljne x, y ∈ R vrijedi
|x + y| ≤ |x| + |y| .
Pod kojim uslovima gornja nejednakost prelazi u jednakost?
22. Dokazati da za proizvoljne realne brojeve x, y vrijedi
||x| − |y|| ≤ |x − y| .
4
Prirodni i racionalni brojevi
23. Navesti peanove aksiome skupa prirodnih brojeva.
24. Iskazati princip potpune matematiˇcke indukcije i dovesti ga u vezu sa tre´cim Peanovim aksiomom.
25. Potpunom matematiˇckom indukcijom dokazati:
Ako su m, n ∈ N tada je i m + n ∈ N (m · n ∈ N).
26. Potpunom matematiˇckom indukcijom dokazati:
Ako su m, n ∈ N i x ∈ R, tada vrijedi xn · xm = xn+m ((xn )m = xnm ).
27. Dokazati da svaki neprazan podskup skupa prirodnih brojeva ima minimalan element.
ˇ su to aritmetiˇcka, geometrijska i harmonijska sredina brojeva i koja veza postoji
28. Sta
izmedu njih?
29. Dokazati Bernoullijevu nejednakost!
√
√
√
/ Q. ( 5 ∈
/ Q, 7 ∈
/ Q)
30. Dokazati da 3 ∈
31. Dokazati da za proizvoljna dva razliˇcita racionalna broja postoji beskonaˇcno mnogo
racionalnih brojeva izmedu njih.
32. Iskazati i dokazati Arhimedov aksiom.
33. Iskazati Arhimedov aksiom u ekvivalentnoj formi i na osnovu njega protumaˇciti
znaˇcenje ovog aksioma.
ˇ znaˇci da su racionalni brojevi gusto rasporedeni u skupu realnih brojeva i kojim
34. Sta
stavom to iskazujemo.
35. Dokazati tvrdenje: Za proizvoljne x, y ∈ R, postoji r ∈ Q takav da vrijedi x < r < y!
36. Iskazati Cantorov aksiom.
37. Neka su A, B ⊆ R. Neka je a0 ∈ A za koga vrijedi a0 ≤ b, za sve b ∈ B. Pokazati
da tada vrijedi a0 ≤ inf B.
38. Iskazati i dokazati Dedekindov aksiom neprekidnosti.
**************************
39. Koriste´ci definiciju okoline taˇcke kompletirati reˇcenicu:
Skup S ⊂ R nije okolina taˇcke x ...
40. Zaokruˇziti taˇcne tvrdnje:
(a) Skup {x ∈ R | |x − 1| < 1} je okolina taˇcke 1.
(b) Skup (2, 5) je neka ε-okolina taˇcke 4.
5
(c) Skup [1, 3] je okolina taˇcke 3.
(d) Skup (1, 3] je okolina taˇcke 2.
41. Zaokruˇziti taˇcne tvrdnje! U skupu R,
(a) Intervali su otvoreni skupovi.
(b) Segmenti su otvoreni skupovi.
(c) Presjek otvorenih skupova je otvoren skup.
(d) Konaˇcna unija otvoren skupova je otvoren skup.
(e) Otvoreni skupovi su samo intervali i proizvoljne unije intervala.
(f) R je otvoren skup.
42. Zaokruˇziti taˇcne tvrdnje! U skupu R,
(a) Intervali su zatvoreni skupovi.
(b) Segmenti su zatvoreni skupovi.
(c) Zatvoren skup je unija otvorenih skupova.
(d) Zatvoren skup je presjek zatvorenih skupova.
(e) Komplement otvorenog skupa je zatvoren skup.
(f) Proizvoljna unija zatvorenih skupova je zatvoren skup.
43. Definisati taˇcku nagomilavanja skupa A ⊆ R. Obrazloˇziti da li je taˇcka 4, taˇcka
nagomilavanja skupa A = [0, 5]?
44. Neka je A ⊆ R. Za taˇcku a ∈ R kaˇzemo da je taˇcka nagomilavanja skupa A
(a) ako je A okolina taˇcke a.
(b) ako postoji ε-okolina taˇcke a sadrˇzana u skupu A.
(c) ako svaka okolina taˇcke a ”sjeˇce” skup A u bar jednoj taˇcki razliˇcitoj od a.
(d) ako vrijedi, (∀ε > 0) V (a, ε) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.
(e) ako vrijedi, (∀ε > 0) (V (a, ε) ∩ A) \ {a} 6= ∅.
45. Zaokruˇziti taˇcne (netaˇcne) tvrdnje (sve tvrdnje se odnose na skup R):
(a) Skup je zatvoren ako i samo ako je njegov komplement otvoren skup.
(b) Postoje skupovi koji su i otvoreni i zatvoreni.
(c) Postoje skupovi koji nisu ni otvoreni ni zatvoreni.
(d) Ako se taˇcka nalazi u rubu skupa onda ona nije taˇcka nagomilavanja.
(e) Skup je otvoren ako i samo ako sadrˇzi sve svoje taˇcke nagomilavanja.
46. Navode´ci definicije, iskazati razliku izmedu taˇcke nagomilavanja i izolovane taˇcke
skupa.
47. Navesti ˇsta je Heine-Borelova osobina, a zatim iskazati Teorem Heine-Borel-Lebesguea.
6
48. Navesti ˇsta je Heine-Borelova osobina. Kakva je veza H-B svojstva sa segmentima,
a kakva sa intervalima u skupu realnih brojeva?
49. Kako glasi Bolzano-Weierstrassov teorem? Koji princip (aksiom) je njegova direktna
posljedica?
Kompleksni brojevi
50. Navesti definiciju skupa kompleksnih brojeva.
51. Navesti osobine operacije sabiranja na skupu kompleksnih brojeva. Dokazati postojanje neutralnog elementa za sabiranje.
52. Navesti osobine operacije mnoˇzenja na skupu kompleksnih brojeva. Dokazati postojanje neutralnog elementa za mnoˇzenje.
53. Definisati konjugovano-kompleksan broj kompleksnog broja i navesti njegove osobine. Dokazati da za proizvoljne z1 , z2 ∈ C vrijedi,
z1 − z2 = z1 − z2 .
54. Definisati imaginarnu jedinicu i objasniti formiranje Gaussovog oblika kompleksnog
broja.
55. Definisati pojmove argumenta i modula kompleksnog broja i dati njihova geometrijska tumaˇcenja.
56. Kako geometrijski predstavljamo kompleksne brojeve? Da li jednoj taˇcki kompleksne ravni odgovara taˇcno jedan kompleksan broj?
57. Kako geometrijski predstavljamo kompleksne brojeve? Da li jednom kompleksnom
broju odgovara taˇcno jedna taˇcka kompleksne ravni?
58. Iz geometrijskog tumaˇcenja kompleksnih brojeva dobiti trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
59. Navesti kriterije jednakosti kompleksnih brojeva ako su oni dati u osnovnom , Gaussovom ili trigonometrijskom obliku.
60. Da li postoje dva razliˇcita kompleksna broja ˇciji su Gaussovi oblici jednaki? Obrazloˇziti
odgovor!
61. Zaˇsto je mnoˇzenje kompleksnih brojeva pogodnije u trigonometrijskom obliku nego
u algebarskom? Obrazloˇziti primjerom produkta dva kompleksna boja, a zatim to
pravilo generalizovati na produkt konaˇcno mnogo kompleksnih brojeva.
62. Obrazloˇziti kako iz pravila mnoˇzenja kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
dobijamo Moivreov obrazac za n ∈ N.
63. Navesti i dokazati Moivreovu formulu.
64. Definisati korjenovanje kompleksnog broja i obrazloˇziti zaˇsto n-ti korijen ima n
razliˇcitih vrijednosti u skupu C.
7
Download

PitanjaAnalizaI(2013..