Skripte iz Linearne algebre,
Predavanja profesora dr. Zorana Stojakovica,
2000/2001.
by Danijel,
v.1.1 2002.
Uvodne napomene: Bez obzira na trud neke greske u tekstu uvek ostaju i opstaju i to
treba imati u vidu. Ovaj tekst nije predvidjen da zameni predavanja, ili eventualnu
knjigu iz ovog predmeta. Vec da ovoj i budu´cim generacijama studenata PMF-a,
pre svega C smerova, olaksa uenje ovog predmeta. Tekst je dozvoljeno neogranicno
kopirati i stampati, za licnu upotrebu.
Posebno zahvaljujem Jeleni Ilic i Zorici Janjic, cije su sveske bile osnova za pisanje
ovog teksta.
Tekst je pisan u LaTex-u i svi prilozi u vidu sugestija, komentara, ispravki su dobrodosli, kao i ako neko zeli da preuzme brigu o narednim verzijama, moze da se javi
za .tex fajl na mail [email protected]
1.
Vektorski prostori
def: Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+, ) polje. Ako je definisano preslikavanje
pri cemu oznacavamo
sa
tako da:
1.
2.
3.
4.
za svaki
,
V je onda vektorski prostor nad polje F u oznaci V(F).
Elemente skupa V nazivamo vektori, ozn a,b,c,..
Elemente skupa F nazivamo skalari, ozn
1.1
Osobine vektorskih prostora
Teorema: Neka je V(F) vektorski prostor nad poljem F tada vazi:
1.nula vektor je jedinstven
2.za svaki vektor suprotni vektor je jedinstven
3.
4.vazi zakon skracivanja za sabiranje vektora
5.
6.
1
7.
8.
Dokaz:
5.
6.
7.
8.
1.2
ili
sledi iz 5 i 6
Podprostor
def: Neka je V(F) vektorski prostor, a
ako je W vektorski prostor nad poljem
F u odnosu na restriscije na W operacija definisanih nad V tada se W naziva podprostor
vektorskog prostora V.
Teorema: Neka je W neprazan podskup V(F), W je podprostor vektorskog prostora V
akko vazi:
Dokaz:Cesto se umesto gornjeg uslova koriste ekvivalentni
) ako je W potprostor tada vaze ova dva uslova i tada vazi teorema
)
, to tada vazi i za W, jer
- (W,+) je Abelova grupa.
,
i
def: U vektorskom prostoru V(F) vektor v V je linearna kombinacija vektora
ako postoje skalari
tako da je
def: Ako je u vektorskom prostoru V(F),
,
onda je lineal L(S) skupa S,
skup svih linearnih kombinacija iz S. Ako je S=0 onda je L(S)={0}.
2
Teorema: Ako je S podskup od vektorskog prostora V(F) onda je L(S) podprostor vektorskog prostora V.
Dokaz:
Teorema: Lineal L(S) je najmanji podprostor koji sadrzi skup S
Dokaz: Svaki drugi potprostor koji bi sadrzavao S mora sadrzati i L(S)
Posledica: Ako je u vektorskom prostoru, W podprostor, onda je L(W)=W
Teorema: Ako su S,T
1.
2.
3.
4.
5.
Dokaz:
4.
V(F) onda je:
def: Ako je
onda kazemo da je L(S) generisan skupom S, a elemente skupa
S nazivamo generatori podprostora L(S).
def: Ako u vektorskom prostoru V(F) postoji skup S tako da je L(S)=V onda kazemo
da je V generisan tim nizom vektora. Ako je S konacan, onda se vektorski prostor naziva
konacno generisan vektorski prostor.
def: U vektorskom prostoru V(F) niz vektora
je linearno zavisan ako postoje skalari
, od kojih je bar jedan razlicit od 0 tako da je
.
Niz vektora koji nije linearno zavisan je linearno nezavisan.
1.3
Osobine linearno zavisnih nizova
1. Niz
je linearno zavisan akko je niz
linearno zavisan,
gde je s proizvoljna permutacija skupa {1,...,n}
2. Niz vektora koji sadrzi nula vektor je linearno zavisan:
3. Jednoclan niz vektora (a) je linearno zavisan akko je a=0.
4.Niz vektora koji sadrzi linearno zavisan podniz je linearno zavisan: (a , ..., a , ..., a )
3
(a
a ) - linearno zavisni podniz
5. Svaki podniz linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan
6. Ako su u nizu
dva vektora jednaka onda je taj niz linearno zavisan.
def: Beskonacan niz vektora je linearno nezavisan ako je svaki njegov konacan podniz
linearno nezavisan.
def: Baza konacno generisanog vektorskog prostora V(F) je niz vektora koji je linearno
nezavisan i koji generise V.
Teorema: Niz vektora u V(F) je baza akko je taj niz maksimalan linearno nezavisan
niz.
Dokaz:
) Neka je
baza tada je linearno nezavisan niz, dokazujemo da je maksimalan. Pretpostavimo da nije, tj da je
linearno nezavisan, tada
linearno zavisan.
)
je max linearno nezavisan niz dokazujemo da je generator.
je linearno zavisan pa
, iz ovoga vidimo da ako
kontradikcija
Teorema: Niz vektora u V(F) je baza akko je taj niz minimalan niz generatora vektorskog prostora.
Teorema: U vektroskom prostoru V(F) niz vektora
je baza akko se svaki
vektor
moze na jedinstven nacin prikazati u obliku
.
Dokaz:
) Neka je
baza
Dokaz da se prikazuje na jedinstven
nacin: pretpostavimo suprotno
; i=1,...,n
) Pretpostavimo da su
linearno zavisni
;
i
kontradikcija sa jedinstvenoscu sledi da je niz vektora baza.
def: Ako je
baza u V(F), x V,
nazivaju koordinate vektora x u odnosu na bazu
Teorema: Niz vektora
akko medju vektorima
Dokaz:
)
.
tada se skalari
medju kojima nije nula vektor je linearno zavisan
postoji
koji je jednak linearnoj kombinaciji vektora
linearno zavisan tada
ik 1(
)
) ocigledan
4
,
,
Teorema: Svaki niz generatora ne nula vektorskog prostora sadrzi podniz koji je baza
tog vektorskog prostora.
Dokaz: Niz generatora
dokaz da sadrzi podniz koji je baza. Ako je nula
vektor izbacimo ga i dalje imamo niz generatora, gledamo sledeci element, ako je nula
vektor ili
izbacujemo ga. Na kraju dobijamo niz vektora
koji se ne
mogu predstaviti pomocu ostalih i nema nula vektora pa je ovo baza.
Posledica svaki konacno generisan ne nula vektorski prostor ima bazu.
Teorema: Ako je u vektorskom prostoru V(F)
linearno nezavisan niz vektora, onda je on ili baza ili se moze dopuniti do baze.
Dokaz: Neka je
baza V. Niz
takodje generise V i nema
nula vektora. Ni jedan od vektora
se ne moze predstaviti kao linearna kombinacija
vektora levo od njega. Posmatramo vektore
redom, ako se prvi moze izraziti kao
linearna kombinacija vektora levo od njega izbacujemo ga, pri cemu i dalje imamo niz
generatora. Postupak nastavljamo sve dok ne dobijemo niz
koji je
linearno nezavisan i generise V, pa je baza.
Teorema: Ako je u V(F)
linearno nezavisan niz vektora, a
niz
generatora vektorskog prostora V tada je
.
Dokaz: Ako u nizu
ima nula vektora izbacimo ih. Pretpostavimo da ih
nema i posmatramo niz
to je niz generatora vektorskog prostora V i linearno
je zavisan.
Postoji neki b koji se moze izraziti kao linearna kombinacija vektora levo od njega, pa
ga izbacimo. Dobijeni niz je
i dalje niz generatora.
Nizu dodajemo a :
je niz generatora i linearno je zavisan, neki b je linearna kombinacija vektora levo od njega, pa ga izbacujemo. Dobijeni niz
takodje je niz generatora. Postupak nastavljamo sve dok ne potrosimo jedan od ova dva niza. Da je n m sledi da bi dobili
niz
posle m koraka i da je to niz generatora, a dodavanjem a
bi dobili niz
koji je niz generatora i linearno zavisan, sto je kontradikcija, pa sledi da je
.
Posledica: U vektorskom prostoru koji je generisan sa n vektora, svaki niz koji ima
vise od n vektora je linearno zavisan.
Teorema: U konacno generisanom vektorskom prostoru sve baze imaju isti broj vektora.
Dokaz: Neka su
i
baze, oba niza su generatori i linearno nezavisni. Po prethodnoj teoremi, ako je prvi linearno nezavisan, a drugi niz generatora sledi
, a ako je drugi linearno nezavisan, a prvi niz generatora sledi
.
def: Broj vektora baze vektorskog prostora naziva se dimenzija tog vektorskog prostora, oznacava se sa d(V) ili dim(V). Po definiciji d({0})=0.
5
def: Vektorski prostor koji ima bar jednu konacnu bazu i nula prostor nazivamo konacno
dimenzioni vektorski prostori, a ostale beskonacno dimenzioni vektorski prostori.
1.4
Izomorfizam vektorskih prostora
def: Neka su V i V vektorski prostori nad istim posljem F. Tada je V izomorfan sa
V ako postoji bijekcija f: V
V tako da je:
funkcija f se naziva izomorfizam, pisemo
Ekvivalentni uslovi sa gornjom definicijom su:
.
Teorema: U skupu svih vektorskih prostora relacija biti izomorfan je relacija ekvivalencije.
Osobine: V , V , vektorski prostori nad F,
, f: V
V :
1.
:
2. Ako je
linearno zavisan niz iz V onda je
linearno
zavisan niz iz V :
3.Slika linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan niz. Pretpostavimo da nije, tada
preslikava linearno zavisan niz u linearno nezavisan, sto je kontradikcija sa 2.
4.Niz generatora vektorskog prostora V se izomorfizmom preslikava u niz generatora
vektorskog prostora V :
,
5.Baza se izomorfizmom preslikava u bazu
Teorema: Dva konacno dimenzionalna vektorska prostora nad istim poljem su izomorfna
akko su iste dimenzije.
Dokaz:
tada se baza preslikava u bazu i
pretpostavimo da su d(V )=d(V ), V ima bazu
, V ima bazu
.
,
. Definisemo funkciju f:
Ovo je dobro definisana funkcija posto dva razlicita vektora ne mogu imati istu sliku, f
je i bijekcija, a proveravamo da li je izomorfizam: x,y V , x=
a , y=
a,
6
1.5
Linearne mnogostrukosti
def: Neka je W podprostor vektorskog prostora V(F) i a vektor iz V. Skup vektora
naziva se linearna mnogostrukost, a W je direktrisa mnogostrukosti
def: Dimenzija linearne mnogostrukosti je dimenzija podprostora W i oznacava se
d( ) ili dim( ). Jednodimenzione linearne mnogostrukosti zovemo prave, dvodimenzione
ravni, a n-1-dimenzione u n-dimenzionom prostoru hiper-ravni.
Teorema: Ako je =a+W linearna mnogostrukost i b
Dokaz:
;
Jednacine linearne mnogostrukosti:
a W, d(W)=1,
podprostor od V(F).
mnogostrukosti.
U R jednacine linearne mnogostrukosti:
,
,
,
Parametarske jednacine prave:
tada je =b+W
je proizvoljan vektor
;
Kanonski oblik jednacine:
UF
,
,
,
7
,
Posle eliminisanja
, d(W)=k,
Parametarska:
1.6
dobijamo kanonski oblik::
je baza od W,
- vektorska jednacina
,
,
:
Presek dve linearne mnogostrukosti
Teorema: Presek linearnih mnogostrukosti
skup ili linearna mnogostrukost
.
Dokaz: Ako
,
i
je ili prazan
tada
,
i
,
i
def: Linearne mnogostrkosti
i ako je
ili
1.7
.
su paralelne ako je
i
Presek i zbir podprostora
def: Vektorski prostor V(F), podprostori W i W .
Presek
je podprostor, najveci koji se sadrzi i u
Unija
ne mora da bude podprostor (jeste ako
iu
Suma
Suma je takodje podprostor, najmanji koji sadrzi oba
i
Teorema: Ako su W i W podprostori konacnog prostora V tada vazi:
Dokaz:
neka ima bazu
moze se dopuniti do baze W :
Posmatramo niz
, ona je linearno nezavisna i sadrzana u W i
. Isto za W dopunimo
od ukupno k+l+j vektora. Dokazujemo
8
.
da je to baza
a desna
. Ocigledno da je niz generatora. Dokazujemo linearnu nezavisnost:
leva strana dobijene jednacine pripada
, tako da imamo vektor koji pripada njihovom preseku, pa je
, sto je linearna kombinacija vektora
, pa sledi
.
, a posto je
baza
, cime je dokazana linearna nezavisnost.
def: Ako su
podprostori od vektorskog prostora V, takvi da
tada se suma
naziva direktna, oznacavamo sa:
Teorema: Ako su
i
,
podprostori od V tada je suma W W direktna akko je
.
Teorema: Ako su
podprostori od V, onda je suma tih podprostora direktna
akko se svaki vektor x te sume moze na jedinstven nacin prikazati u obliku
,
, i=1,...k.
Dokaz:
sledi iz definicije
Ako
i=1,...,k. Pretpostavimo da se x moze prikazati na dva nacina, dakle:
.
, pri cemu svaki od sabiraka
a
, pa prema tome
, sto je kontradikcija sa
.
Svaki vektor se jedinstveno prikazuje
. Pretpostavimo da suma
nije direktna, tj da postoji vektor y,
, tada
je:
gde
.
sto je kontradikcija sa pretpostavkom o jedinstvenosti.
Teorema: Neka su
podprostori vektorskog prostora V i
od . Suma
je direktna akko je
baza te sume.
Dokaz:za slucaj n=2,
Dokaz za
ima bazu
i
9
ima bazu
baza
,
. Tada
je
niz baza.
i=1,...,l
1.8
niz generatora, proveravamo linearnu nezavisnost:
, leva strana jednakosti pripada W , a desna W
, iz cega sledi
, i=1,...,n,
, i=1,...,l. Sledi da je
baza od
sledi
suma je direktna.
Pretpostavimo
i
, i=1,...,n,
. Tada
,
Faktor prostor
def:Neka su dati vektorski prostor V(F) i njegov podprostor W. Vektor
se a+W.
, formira
definisemo operacije:
ove operacije su dobro definisane.
je u odnosu na ovako definisane operacije vektorski prostor nad F koji je nazvan
faktor prostor.
Teorema: Ako je W podprostor konacno dimenzionog prostora V, tada
Dokaz: Neka je
baza W, prosirujemo do
baza V. Dokazacemo da je
baza
- uvodimo oznaku radi jasnijeg zapisa
Proizvoljan vektor
sto je
.
, i=1,...,n, sto znaci da su linearno nezavisni.
su za i=1,...,k jednaki ,
pa je dati niz, niz generatora i sledi da je baza.
Teorema: Ako su U,W podprostori vektorskog prostora V takvi da je
je !
.
Dokaz: Definisemo preslikavanje
!
, " ! "
"
Dokazujemo da je f 1-1 preslikavanje:
" "
! "
"
"
"
"
"
"
"
, leva strana pripada U, a desna W, pa je "
"
Dokazujem da je f NA:
10
!
.
tada
"
"
Dakle f je bijekcija.
!
!,
f je homomorfizam.
1.9
"
!
"
"
Dualni prostori
def: Ako je V vektorski prostor nad F tada ce funkcija
za koju vazi
biti linearna funkcionela.
Teorema: Skup V’ svih linearnih funkcionela prostora V(F) je vektorski prostor nad F
ako se sabiranje i mnozenje vektora skalarom definisu:
#
#
def: Vektorski prostor V’ se zove dualni vektorski prostor vektorskog prostora V
Teorema: Ako je V(F) vektorski prostor sa bazom
postoji jedna i samo jedna linearna funckionela
i
tako da je
tada
i=1,...,n.
Dokaz:
tada
$
Definisemo funkciju
definisana proveravamo da li je linearna funkcionela.
$ i
%
$
$
%
%
$
$
Sledi da je f linearna funkcionela i
Pretpostavimo
#
#
# tada
#
$
%
%
Treba dokazati jedinstvenost.
, i=1,...,n
$
11
Dobro je
#
#
pretpostavkom.
$
$
Teorema: Ako je
V’ postoji baza
$
$#
$
$
# sto je kontradikcija sa
baza vektorskog prostora V(F) tada u dualnom prostoru
takva da je
Dokaz: Na osnovu prethodne teoreme ove funkcionele postoje. Treba dokazati da cine
bazu.
pa vazi i za
su linearno nezavisni vektori.
Definisimo funkciju
dakle
Uzmimo proizvoljno
$
$
je baza.
1.10
$
$
ovo vazi za
$
$
$
Unitarni vektorski prostori
def: Neka je V vektorski prostor nad F gde je F=R ili F=C. Unutrasnji (skalarni)
proizvod na V je svaka funkcija ( , ) koja preslikava ( , )
pri cemu sliku (x,y)
oznacavamo sa (x,y), sa sledecim osobinama:
1.
2.
3.
4.
5.
def: Vektorski prostor V(F) gde F=R ili F=C zajedno sa funkcijom koja definise unutrasnji proizvod naziva se unitarni vektorski prostor.
Teorema: Neka je V(F) unitarni vektorski prostor, tada:
1.
2.
3.
Dokaz:
12
def: U unitarnom vektorskom prostoru V(F) funkcija
naziva se norma na V. Broj
definisana sa
naziva se norma vektora x.
Teorema: (Schwarz-ova nejednakost ) U unitarnom vektorskom prostoru V,
Dokaz:
ovo vazi za svako , pa stavljamo
Teorema: U unitarnom vektorskom prostoru V(F) za
1.
2.
3.
4.
Dokaz:
1.
3.
4.
vazi:
def: U euklidskom vektorskom prostoru ugao izmedju vektora x i y, razlicitih od 0, je
13
realan broj ,
&, takav da je
'(
def: U unitarnom vektorskom prostoru V vektori x,y
su ortogonalni ako je (x,y)=0.
def: Vektor x iz unitarnog vektorskog prostora V naziva se normiran ako je
Normirati vektor znaci naci njemu kolinearan vektor koji je normiran.
def: Niz vektora u kome su svaka dva vektora ortogonalna naziva se ortogonalan niz.
Ortogonalan niz vektora u kome j esvaki vektor normiran naziva se ortonormiran niz.
Niz od jednog vektora je ortogonalan.
def: Baza koja je ortogonalan niz naziva se ortogonalna baza. Baza koja je ortonormiran niz naziva se ortonormirana baza.
Teorema: Ako je
tada je
Dokaz: Uzmemo neko
ortonormirana baza u unitarnom vektorskom prostoru V,
, mnozimo ,
,
posto je baza ortonormirana.
Teorema: U unitarnom vektorskom prostoru V data je baza
i
, baza
je ortonormirana akko se unutrasnji proizvod moze zapisati
u obliku
Dokaz:
Ako je
ortonormirana
baza je ortonormirana.
Teorema: U unitarnom vektorskom prostoru svaki niz nenula ortogonalnih vektora je
linearno nezavisan.
Dokaz:
niz ortogonalnih vektora, formiramo linearnu kombinaciju.
pomnozimo
svi sabirci, osim i-tog daju nulu
, pa su vektori linearno nezavisni.
Posledica: svaki ortonormiran niz vektora je linearno nezavisan.
Teorema: (Gram-Schmidt ) Svaki konacno dimenzioni unitarni ne nula vektorski pros14
tor ima ortogonalnu (ortonormiranu) bazu.
Dokaz: Predpostavimo da ima bazu
i
, formiramo
jer:
ako bi
, onda bi
i
formiramo novi niz vektora,
bili linearno zavisni, pa je
.
i
su ortogonalni
Formiramo
vazi
i
je ortogonalan na
i
,
jer su ortogo-
nalni.
Formiramo
Proverom zakljucujemo da je
ortogonalna baza prostora V.
Svaki vektor normiramo:
...,)
pa dobijamo )
) ortonormiranu bazu.
)
def: Ako je S neprazan skup unitarnog vektorskog prostora V onda se
skup svih
vektora koji su ortogonalni na svaki vektor iz S naziva ortogonalni komplement skupa S.
Teorema: Ako je S neprazan podskup od unitarnog vektorskog prostora V, tada je
podprostor od V.
Dokaz:
je uvek neprazan jer sadrzi 0.
Teorema: Ako je W podprostor konacno dimenzionog unitarnog vektorskog prostora
V, onda je
.
Dokaz: W ima bazu
, tu bazu dopunicemo do baze V
.
Primenjujemo Grant-Šmitov postupak i dobijamo tada novu bazu
koja je ortogonalna baza V. Vektori
se nalaze u
jer su formirani od njih
i linearno su nezavisni, pa su baza W.
levi sabirak pripada W, a desni pomnozimo sa proizvoljnim
pa
15
Posledica: Ako je W podprostor konacno dimenzionog unitarnog vektorskog prostora
V, onda je
Teorema: Ako je W podprostor konacno dimenzionog unitarnog vektorskog prostora
V, onda je
Dokaz:
i
i
def: Neka je u unitarnom vektorskom prostoru V, W podprostor takav da je
ako je
onda se vektor naziva ortogonalna
projekcija vektora na podprostor W.
2.
Linearne transformacije
def: Neka su
koje vazi:
,
vektorski prostori nad poljem F. Preslikavanje *
*
naziva se linearna transformacija
*
*
u
*
*
*
*
Ako je
za
*
tada je A linearna transformacija
def: Neka je A linearna transformacija vektorskog prostora
u
Jezgro
A
linearne transformacije je skup svih vektora iz
koji se preslikavaju u nula vektor iz .
*
*
def: Neka je A linearna transformacija vektorskog prostora V u V
skup slika svih vektora iz
*
Slika Im A je
*
Teorema: Ako je A linearna transformacija vektorskog prostora
podprostor
a Im A od .
Dokaz:
*
16
u
onda je ker A
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* jer
* jer
Teorema: Ako je A linearna transformacija konacno dimenzionog vektorskog prostora
u
onda je
) *
+ *
Dokaz: Neka je
baza vektorskog prostora kerA, mozemo ga prosiriti do
baze vektorskog prostora V
Posmatramo niz *
*
Fomiramo linearnu kombinaciju
*
*
*
*
*
*
su linearno nezavisni
*
*
*
*
*
*
jer je *
*
*
*
*
je baza ImA, pa je dim(imA)=n-k.
*
def: Ako je A linearna transformacija konacno dimenzionih vektorskih prostora
tada se
+ * naziva rang, a
) * nulitet linearne transformacije.
i
Teorema: Ako je
baza vektorskog prostora
i ako su
proizvoljni vektori iz vektorskog prostora
onda postoji tacno jedna linearna trasformacija *
tako da je *
.
2.1
Operacije u skupu linearnih transformacija
def: Skup svih linearnih transformacija koje preslikavaju
u
zovemo homomorfizam, ,'
Ako se
preslikava u
to je endomorfizam .
def: Ako A,B ,'
*
*
*
i
.
*
Teorema: * . / ,'
1. *
. /
* .
2. *
* *
3. *
*
*
*
4. * . . *
5. * .
*
.
6.
*
*
*
tada je *
,'
vazi:
/
17
.
*
.
7.
*
*
8.1A=A
1-4 daju Abelovu grupu (,'
prostor nad F.
def: Ako su A,B Teorema: * . / 1. * ./
*. /
2. * . /
*. */
3. * . / */ ./
je prsten
E-indenticko preslikavanje,
4. *- -* *
prsten sa jedinicom
), sve zajedno ,'
onda je *.
je vektorski
*. 0 ,
*.
-
vazi:
def: Neka je A linearna transformacija vektorskog prostora V(F). A je regularna ako
postoji transformacija .
takva da je *. .* -. Ako B ne postoji onda je
A singularna. B kada postoji nazivamo inverzna transformacija za transformaciju A.
Teorema: Za funkciju
bijekcija.
, postoji g takvo da je #
#
akko je f
Teorema: Linearna transformacija vektorskog prostora V je regularna akko je bijekcija.
Regularne transformacije su automorfizmi. Ako je A regularna i B inverzna, onda je B
jedinstvena transformacija . *
Teorema: Ako je A regularna linearna transformacija, a B njena inverzna onda je i B
linearna transformacija.
Dokaz: *. .* .
. *.
.* .
*.
.
.
. *.
.
*.
.
.
Teorema: Neka je A linearna transofmacija konacno dimenzionog vektorskog prostora
V(F), tada su sledeca tvrdjenja ekvivalentna:
1. A je regularna
2.
*
(A je NA)
3.
*
4. A je 1-1 preslikavanje
5. Ako je
baza V, onda je i
baza
18
Dokaz:
*
A je bijekcija
) *
*
*
*
*
*
) *
*
) *
*
*
*
vazi *
, pa posto je A 1-1 sledi
pa posto je
baza sledi
linearno nezavisni, iz
*
baza.
A je NA
+ *
Dokazujemo da je A bijekcija:
*
*
*
Proizvoljno
*
*
sledi da je
*
* je 1-1
* je NA.
*
Teorema: Ako su A i B regularne transformacije konacno dimenzionog vektorskog
prostora V onda je i AB regularna linearna transfomacija i *.
. *
Dokaz:
*. . *
* .. *
. *
*.
.
* *. Teorema: Ako je A linearna transformacija konacno dimenzionog vektorskog prostora
V(F) takva da postoji funkcija .
i *. - onda je i .* -, tj A je regularna
linearna transformacija, a B je inverzna linearna transformacija za A.
Dokaz: Ako je *. - onda je B 1-1, a A je NA, po teoremi A je regularna linearna
transformacija, tada postoji 0 tako da je *0 0* -.
*. 0 *.
0
0* . 0
. 0 tada *. .* -.
Napomena: Ako je .*
-, a A je linearna transformacija, a B bilo koja funkcija
tada A je 1-1, a B je NA, pa je isti dokaz, tako da u opstem slucaju *. .* -.
3.
Matrice
def: Matrica formata (tipa)
nad poljem F je pravougaona tablica elemenata
iz F koja ima m vrsta i n kolona. Skraceno oznacavamo
ili
elemente
nazivamo elementi matrice.
19
..
.
..
.
..
.
Matrice nad R i C zovemo realne, odnosno kompleksne matrice. Matricu formata
identifikovacemo sa a. Skup svih matrica formata
nad poljem F oznacavamo
.
Kvadratna matrica reda n, je matrica formata n n.
def: *
,.
su nad istim poljem,
def: *
dve matrice su jednake ako:
2,
,
,
1,
, zbir A+B je matrica /
,.
.
,
def: *
,
.
,
(mnozenje skalarom) proizvod * je matrica .
.
,
def: Matrica formata m n:
..
.
se naziva nula matrica.
..
.
..
.
Teorema: Za * . /
i
1. *
. /
* .
/
2. *
* *
3. *
*
*
*
4. * . . *
5. * .
*
.
6.
*
*
*
7.
*
*
8. * *
Prve cetiri osobine daju da je (
torski prostor nad F.
Teorema:
def: *
,
vazi:
*
*
) Abelova grupa, a svih osam, da je
.
,.
,
proizvod AB je matrica /
1.
20
vek-
def: Kvadratna matrica reda n:
n, -
3.1
, *
*-
..
.
..
.
-*
..
.
se naziva jedinicna matrica reda
*
Linearne transformacije i matrice
def: V(F),
baza,
matrica formata
..
.
naziva kordinatna kolona vektora x u odnosu na bazu
i oznacava sa
.
je preslikavanje
ovo preslikavanje je bijekcija.
i
Teorema: Ako je V(F) vektorski prostor sa bazom
vazi:
i
.
Dokaz:
..
.
..
.
Posmatramo vektorski prostor
onda za svako
..
.
Teorema: Ako je V(F) vektorski prostor sa bazom
definisano sa:
onda je preslikavanje
izomorfizam vektorskog prostora V u F
sa bazom
i linearno preslikavanje *
$
*
*
...
*
*
*
,
*
$*
ovih n slika odredjuju linearnu transformaciju
21
def: Matricu reda n:
..
.
..
.
..
.
formacije A u odnosu na bazu
nazivamo matrica linearne trans-
i oznacavamo *
.
Teorema: Ako je A linearna transformacija vektorskog prostora
, onda je *
*
Dokaz:
A, *
$
*
$*
$
$
$
..
.
, sa bazom
$
$
*0
$
$
..
.
..
.
..
.
$
*
$
Teorema: U vektorskom prostoru V(F), sa bazom
* .
*
*
*
*.
* .
..
.
$
$
..
.
i* .
-
i* .
-
.
Teorema: U vektorskom prostoru V(F), sa bazom
je bijekcija
*
*
* .
*
.
*
*
*.
* .
-
- prsteni
Teorema: * . /
1. * ./
*. /
2. * . /
*. */
3. * . / */ ./
def: Kvadratna matrica A je regularna ako postoji matrica B takva da je *.
22
.*
-. Matrica koja nije regularna naziva se singularna.
Teorema: Linearna transformacija konacno dimenzionog vektorskog prostora je regularna akko je regularna i njena matrica *. .* * .
. *
-.
Teorema: Ako je A regularna linearna transformacija onda je *
matrica.
Dokaz: *
.
*
def: Determinanta matrice *
je: *
..
.
..
.
Teorema: Kvadratna matrica [A] je regularna akko je )3*
Dokaz: [A] regularna
A regularna linearna transformacija
*
*
*
*
*
..
.
, inverzna
*
*
..
.
..
.
3.2
Elementarne transformacije i matrice
def: Ako je *
onda su elementarne transformacije te matrice:
1. zamena mesta dve vrste ili kolone
2. mnozenje svih elemenata jedne vrste (kolone) skalarom, razlicitim od nule
3. dodavanje elemenata jedne vrste (kolone) prethodno pomnozenih nekim skalarom,
odgovarajucim elementima druge vrste (kolone)
def: Elementarne matrice su matrice dobijene od jedinicne matrice vrsenjem tacno
jedne elementarne transformacije.
- - elementarna matrica kod koje su i-ta vrsta i j-ta vrsta zamenile mesta
- i-ta vrsta je pomnozena skalarom k
23
-
def: *
-
- j-ta vrsta je pomnozena skalarom k i dodata i-toj vrsti
transponovana matrica je *
..
.
..
.
..
.
promene se odnose na kolone
Teorema: Neka je *
. Ako je P matrica dobijena od jedinicne matrice reda m,
vrsenjem jedne elementarne transformacije na vrstama, onda je PA matrica koja se dobija
od A vrsenjem te iste elementarne transformacije.
Ako je Q matrica dobijena od jedinicne matrice reda n vrsenjem jedne elementarne
transformacije na kolonama onda je AQ matrica koja se dobija od A vrsenjem te iste elementarne transformacije.
Teorema: Elementarne matrice su regularne, a njihove inverzne matrice su takodje
regularne matrice.
Dokaz:
- def: Rang po vrstama matrice je maximalni broj linearno nezavisnih vektora vrsta te
matrice.
Rang po kolonama matrice je maximalni broj linearno nezavisnih vektora kolona te
matrice.
Rang po minorima matrice je broj r, takav da postoji minor reda r, razlicit od nule, a
svi minori reda veceg od r du jednaki nuli.
Rang po kolonama matrice jednak je dimenziji prostora kolona. Rang po vrstama matrice jednak je dimenziji prostora vrsta.
Teorema: Vrsenjem elementarnih transformacija na matrici ne menja se njen rang po
vrstama, kolonama i po minorima.
Dokaz: za rang po kolonama, *
1. *- - ne menja se
2. - *
24
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
se ne menja
3. *ne menja se
4. *
5. *ostaje ista
6. -
skup resenja
..
.
Nista se ne menja
- dimenzija
* sistem prevodi u ekvivalentan sistem, pa se nista ne menja.
Teorema: Za svaku matricu rang po kolonama jednak je njenom rangu po vrstama i po
minorima.
Dokaz: *
Za A=0 tvrdjenje vazi.
*
onda postoji
tada
dovedemo transformacijama na mesto 1,1
..
.
- *-
..
.
..
.
Primenjujemo transformacije -
-
.
i dobijamo
..
.
..
.
Analognim transformacijama matricu svodimo na C=
..
.
..
.
..
.
..
.
Postupak ponavljamo za blok unutar matrice C i u konacnom broju koraka dobijamo
25
4
r.
..
.
..
.
prvih r kolona cine linearno nezavisan niz, i rang po vrstama i po minorima je takodje
Matrica D moze dalje da se transformise i da se dobije:
..
.
..
-
.
Teorema: Rang linearne transformacije konacno dimenzionog vektorskog prostora jednak je rangu njene matrice.
Dokaz: *
* vektorski prostor V, sa bazom
matricu linearne
transformacije * .
Svaki vektor
* se moze prikazati na sledeci nacin,
* ,
*
od V.
*
sledi da je + *
*
*
to je slika u F.
posmatramo kolone matrice *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
i to je podprostor
*
*
*
*
Teorema: Kvadratna matrica je regularna akko je njen rang jednak redu.
Dokaz: Ako je A regularna
*
*
Teorema: Kvadratna matrica je regularna akko se moze elementarnim transfomacijama
svesti na jedinicnu matricu.
def: Nulitet matrice reda n, ranga r, je n-r.
Teorema: Nulitet linearne transformacije konacno dimenzionog vektorskog prostora
jednak je nulitetu njene matrice.
Dokaz: Nulitet linearne transformacije je ) * , po teoremi
26
) *
+ *
*
.
Teorema: Svaka regularna matrica jednaka je prozivodu elementarnih matrica.
Dokaz: A je regularna matrica, pa se moze svesti na jedinicnu.
- - *- - *
- - * - -
-
¯ elementarna transformacija istog
Teorema: Ako je A proizvoljna kvadratna matrica, a E
¯
¯
reda, onda je AE = A E .
Dokaz:
1. **, 2. **, 3. **, Teorema: Za svako * .
vazi *.
* .
Dokaz:
1. B je regularna. Po teoremi moze da se napise kao proizvod elementarnih matrica
. *.
*- - * - -
*- * - -
* -
-
* .
2. B je singularna. Pretpostavimo da je AB regularna, tada 0 0 *.
-, tj
0* . - B je regularna, sto je kontradikcija, pa je AB singularna matrica i *.
i * .
.
Posledica: Ako je A regularna matrica onda *
*
Dokaz: **
* *
*
*
def: Matrica A je ekvivalentna sa matricom B ako se A moze elementarnim transformacijama svesti na B, oznaka * .
Teorema: Matrica A je ekvivalentna sa matricom B akko postoje regularne matrice P i
Q takve da je PAQ=B.
Dokaz:
.,
) Neka je * .
- - * - 5 - - 6 - - - P i Q su regularne i
5 *6 ..
) 5 *6 ., svaka regularna matrica je jednaka proizvodu elementarnih matrica
- - * - .
* .
Teorema: Ekvivalencija matrica je relacija ekvivalencije.
Teorema: Dve matrice istog reda su ekvivalentne akko imaju isti rang.
Dokaz:
27
*
3.3
.
-
*
.
*
.
Teoreme o rangu matrice
Teorema: Ako * .
Dokaz:
*
.
* .
onda
,
*
.
*
.
,
*
.
*
.
iz teoreme
dobijamo:
* .
*
.
* .
*
.
*
. .
Posledica: Ako A,B
onda je * .
Dokaz: *
* . .
* .
* .
*
.
* .
. *
.
*
.
* .
*
.
*
.
Teorema: Ako *
Dokaz: *
.
*.
..
.
.
,
onda je
.
.
.
..
.
..
.
..
.
*
*
.
.
*
*
.
*.
*
.
.
..
.
.
.
* .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
*
.
.
.
.
*.
*
*
*.
*
..
.
..
.
28
*
*
*
,
*
napomena: *
5
*
..
.
..
.
*
5
*
*.
*
*
*
*
*
Teorema: Rang matrice se ne menja ako se ona pomnozi sa regularnom matricom.
Dokaz: Regularna matrica je jednaka prozivodu elementarnih matrica, a mnozenjem
sa elementarnim matricama, rang se ne menja.
Teorema: Ako *
.
onda je *.
Posledica: Za kvadratne matrice, nulitet 7 *
*.
*
.
7 *.
7 *
3.4
*
.
7 .
Promena baze
Imamo vektorski prostor V(F) sa dve baze
$
%
i
...
$
$
..
.
..
.
%
%
..
.
..
.
..
.
%
$
Dobili smo
pa su
*
*
$
%
%
%
a mozemo dobiti i obrnuto:
regularne i jedna drugoj inverzne
i
*
*
*
*
x
*
odnosno *
*
*
ili *
*
29
*
vazi za svako
Posledica: Determinanta matrice linearne transformacije je invarijantna u odnosu na
promenu baze.
Dokaz: *
*
*
*
3.5
Adjungovana matrica
def: Ako je *
kvadratna matrica reda
i ako je sa *
oznacen kofaktor elementa u determinanti * , onda se matrica
*
*
*
*
*
*
*
..
..
..
.
.
.
8
*
*
*
naziva adjungovana matrica matrice A, ozn * *.
Teorema: Ako je *
*Dokaz:
..
.
**
..
.
kvadratna matrica reda
..
.
..
.
*
*
*
*
..
.
*
*
..
.
*
*
..
.
*
*
*
..
.
..
.
*
..
.
*
*
Posledica: *
Dokaz: * *
*
*
*
*
30
**
Napomena za
*
* *
*
*
*
..
.
onda je **
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Teorema: Ako je A kvadratna matrica reda
1. *
*
2. *
*
3. *
*
Dokaz:
1. po definiciji ranga preko minora: *
2. r(A)=n-1
**
*..
*
..
.
.
onda vazi:
*
*
-
..
.
Posto su ekvivalentne, postoje regularne matrice P,Q tako da je 5 56*
5
6*
.
6*
..
..
.
zato je 6*
.
..
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
pa je
6
*
..
.
..
.
6*
Posto je Q regularna matrica, pa se pri mnozenju sa njom rang ne menja sledi *
Posto je *
postoji bar jedan minor reda
razlicit od 0, pa *
*
3. *
*
Teorema: Ako su A,B kvadratne matrice reda
onda je *.
Dokaz: samo za regularne matrice
*. *.
*. - *
* *. *.
* .*
* . *.
* .*
. *.
.*
.
. . *.
.* .
. *.
.* .
*.
31
. *
. *
Teorema: Ako je A kvadratna matrica reda
a)
, *
*
b)
, *
*
*
Dokaz:
a) proverom
b) *
- A regularna
* *
* - *
** *
*
*
*
*
*
- A je singularana, pa je *
*
*
*
3.6
onda je:
*
*
*
Postupci za odredjivanje inverzne matrice
1. **
2. *0
*- 0
*
0 0
*
0
-
- -
-
0 -
*0 0
0
- *0
- *0
*0
- - sistem od n jednacina
3. - - *- *
- - *
- -- 4.
Teorema: Svaka regularna matrica moze se samo elementarnim transformacijama vrste
dovesti na jedinicnu matricu.
Dokaz:
*
Postoji
poziciju 1,1
- *
..
.
..
.
..
.
jer je A regularna. Pa transformisemo tako da taj element dodje na
..
.
.
..
.
..
.
Vrsimo sledece transformacije, da bi u prvoj koloni osim u prvoj vrsti dobili 0.
-
-
.
.
..
.
32
..
.
..
.
i jos transformaciju
-
-
.
..
.
/
..
.
..
.
Posmatramo elemente
, oni ne mogu svi biti 0, jer bi inace prve dve kolone
bile linearno zavisne, pa postupak ponovimo za drugu kolonu i dobijamo:
4
..
.
..
.
..
.
i onda -
4
..
.
..
.
..
.
postupak nastavljamo sve dok ne dobijemo E.
- - * *
- Da bi dobili * na E primenjujemo one matrice koje kada istim redom primenimo na
A dobijamo E: * -*
3.7
Polinomne matrice
def: Polinom je beskonacni niz elemenata polja
mnogo elemenata razlicito od 0.
kod koga je samo konacno
F- polje
9 -skup svih polinoma po 9 u polju F.
n - stepen polinoma. Ako je
polinom je normalizovan.
Teorema: Ako 9 # 9
9 # 9
onda jedinstveno postoje polinomi : 9 ,
9 , tako da 9
:9# 9
9 , )# 9 ; )# # 9 ili 9
.
def:
9
def: Polinom
F trvijalna.
# 9 je trivijalna faktorizacija
9
9 je nesvodljiv nad F ako je njegova jedina faktorizacija nad
Teorema: (Bezuova ) Ostatak pri deljenju polinoma
Dokaz:
9
:9 9
, za 9
9 polinomom 9
je
.
def: Za 9 # 9
9 koji nisu istovremeno jednaki nula polinomu, najveci zajednicki deljitelj, NZD je polinom 9 takav da:
1. 9
9 i 9 # 9
2. 9 je normalizovan polinom
3. svaki zajednicki deljitelj polinoma 9 i # 9 je delitelj i 9 .
33
Teorema: Ako su 9 # 9
9 koji nisu istovremeno jednaki nula polinomu, onda
postoji tacno jedan njihov zajednicki delitelj 9 i postoje polinomi ( 9 i 3 9 takvi da
je:
9
9(9
# 939
Euklidov algoritam: Jedan polinom delimo drugim i dobijamo kolicnik i ostatak, tada
delilac postaje deljenik, a ostatak delilac.
Teorema: Svaki
2 9 2 9,
9 , gde
9
2 9
def: Preslikavanje
..
.
9
9
9
..
.
..
.
9
9
9
9
* 9
*
9
9
* 9 , umesto 9 stavimo matricu C, 9
def:
* /
/ *
* /
/*
9
9 naziva se polinomna matrica formata
9
9
*
*9 9*
Matricni polinomi:
*9
* 9
9
moze se predstaviti u obliku
su normalizovani nesvodljivi polinomi.
*
*
9 *
9*
*
*
/
* /
* /
Teorema: Ako su * 9
* 9
* 9 * i. 9
. 9
. 9 . matricni polinomi takvi da je .
, onda jedinstveno postoje polinomi 6 9
9 6 9
i
9 takvi da je:
*9
6 9. 9
9
*9
. 96 9
9
Pri cemu )#
9 ; )# . 9 ili
9
i )#
9 ; )# . 9 ili
9
.
Teorema: Ako je * 9 polinomna matrica i .
* 9 sa 9- .,
* . a
* . levi.
Dokaz: * 9
6 9 9- .
34
onda je desni ostatak deljenja
*9
6 9
6
9
6 9
*9
6 9
6
6 . 9
* .
6 .
6
.
6 .
a* .
.
6
. 6 .
A.
def: Ako je *
6
9- .
6
6 . 9 6 .
6 . 6 . 6 .
onda se matrica 9- * naziva karakteristicna matrica matrice
def: Ako je *
onda se polinom 9- * naziva karakteristicni polinom
matrice A. Za matricu reda n karakteristican je normalizovan polinom n-tog stepena.
A.
def: Ako je *
def: Ako 9
*
*
naziva karakteristicna jednacina matrice
onda se 9- *
9 i
*
9
9
9
i ako je *
onda je
-
Teorema: (Calyley-Hamilton ) Ako je *
matrica ciji je karakteristicni polinom
9
9
9
onda je *
.
Dokaz: **
*9- * 9- *
9- * 9*
3.8
Elementarne transformacije polinomnih matrica
def: Elementarne transformacije polinomnih matrica su sledece transformacije:
1. zamena mesta dve vrste (kolone)
2. mnozenje svih elemenata vrste (kolone) skalarom razlicitim od nule
3. dodavanje elemenata jedne vrste (kolone) prethodno pomnozenih nekim polinomom
odgovarajucim elementima neke druge vrste (kolone)
def: Elementarna matrica je matrica dobijena od jedinicne primenom jedne elementarne transformacije.
Teorema: Svaka elementarna matrica ima inverznu matricu koja je takodje elementarna
matrica.
def: Matrica * 9 je ekvivalentna sa . 9 ako se * 9 moze elementarnim transformacijama svesti na . 9
Teorema: * 9
. 9 akko postoji 5 9 6 9 jednake proizvodu elementarnih
matrica tako da je 5 9 * 9 6 9
. 9.
35
Teorema: Ekvivalencija polinomnih matrica je relacija ekvivalencije.
3.9
Rang polinomnih matrica
def: Rang je format maksimalnog minora razlicitog od nule.
Teorema: Ekvivalentne matrice imaju isti rang.
Teorema: Ako je * 9 polinomna matrica ranga r onda je ona na 9 ekvivalentna sa
matricom
9
#
9
9
gde su
9
9 normalizovani
polinomi tako da 9
9
.
Dokaz: Ako * 9
dokaz je jasan.
Ako * 9
posmatramo sve ekvivalentne matrice i uocimo element najmanjeg
stepena, a onda ga elementarnim transformacijam dovedemo na mesto 1,1.
9
9
9
9
9
9
*9
. 9
..
..
..
.
.
.
9
9
9
9 gde je stepen 9 manji od stepena
9 ili je 9
.
9
9
9
9
9
9
2 9 .
..
..
..
.
.
.
9
9
9
Posto je
9 element sa najmanjim stepenom
9
9
9 analogno
svi elementi u prvoj vrsti i u prvoj koloni su deljivi sa
9 , pa ih elementarnim transformacijama svodimo na 0 i dobijamo:
9
9
9
. 9
/ 9
..
..
..
.
.
.
9
2 9
9
9
9
- / 9
..
.
..
.
9
9
9
..
.
9
9
posto smo matricu sveli na prethodni
9
9
oblik, analogno sledi da su
9
9
i rezultati elementarnih transformacija nad njima ce biti deljivi sa
9.
Sa matricom / 9 nastavimo isti postupak sve dok ne dobijemo:
36
9
9
/ 9
..
.
4 9
..
..
.
.
..
.
9
..
polinome normal-
.
izujemo deljenjem vrsti koeficijentima vodecih clanova polinoma i dobijamo:
9
9
..
.
.
.
..
..
..
*9
9
sto je i trazeno.
9
.
..
.
def: Matrica
9 iz prethodne teoreme naziva se Smitova kanonicka (normalna)
matrica za matricu * 9
def: Ako je * 9 polinomna matrica onda je
od A.
9 NZD svih minora formata
Teorema: Ako su * 9 i . 9 ekvivalentne polinomne matrice onda je
9,
.
Ako su svi minori jednaki nuli onda je
9
9
..
.
.
.
..
..
*9
9
9
..
.
9
..
9
9
9
9
9
9
9
9
...
9
37
.
9
...
9
9
9
9
Za datu matricu A, svi
su fiksni i onda se mogu dobiti jedinstveno odredjeni
, znaci Smitova matrica za A je jedinstvena.
def: Ako je
9
#
9
9 matrice * 9 , polinomi
su invarijantni faktori. Oni koji su jednaki jedan su trivijalni.
9
9
Teorema: Matrice * 9 i . 9 su ekvivalentne akko imaju iste invarijantne faktore.
Teorema: Matrica * 9 jednaka je proizvodu elementarnih matrica akko je *
Dokaz:
*9
- 9 *9
- 9
*9
5 9 6 9 tako da 5
5 9 *9 69
9
9
5 9*969
-
9
9
*9
*
9*969
9
9
9
#
9
9
9
posto su svi konstante i normalizovani su
*9
5
96 9
Teorema: * 9 ima inverznu matricu nad 9 akko je * 9 konstanta razlicita od
nule.
Dokaz:
vazi po prethodnoj teoremi.
* 9 ima inverznu matricu * 9 tako da je
*9* 9
*9 * 9
oba moraju biti konstante razlicite od 0
*9
P
def: Matrica A
je slicna sa matricom B
ako postoji regularna matrica
takva da vazi: * 5 .5 pisemo * . Vazi * .
* .
Teorema: Relacija slicnosti je relacija ekvivalencije.
Teorema: Matrice A,B
su slicne akko su njihove karakteristicne matrice 9- *
i 9- . ekvivalentne. * .
9- * 9- .
Dokaz:
* 5 .5
9- * 9- 5 .5
9- * 5
9- . 5
38
9- * 9- . uvodimo oznaku *
* 5 .6
5 *
6
*
je * prvog stepena, pa
*
5 .6
* .
* .
*
*
*
* *
* *
.
. 6
.6
5 * *6
5
6
*
*
*
*
9-
*
9
i
su nultog stepena jer
* . * * .
5 *
. *
.
. * 5.
* * .
* .
. *
*
.
*
*
.
.
.
.
* */ *
.
9- *
9- * / 9 9- *
9- .
stepen sa leve strane jednacine je jedan, a sa desne je veci ili jednak dva, sto je kontradikcija
/ 9
9- *
9- .
9- * 9
.
9- 9
*
.
* .
*
.
def: Ako je *
jantne slicnosti.
* nazivaju invari-
onda se invarijantni faktori matrice 9-
Teorema: Dve matrice su slicne akko imaju redom jednake invarijantne slicnosti.
Teorema: Karakteristicni polinom matrice *
jednak je proizvodu njenih invarijantnih slicnosti.
Dokaz: 9- * svedemo na , 5 9 9- * 6 9
9
#
9
9
9- * 6 9
9
9
9- *
9
9
5 9
proizvod polinoma sa desne strane je normalizovan, kao i polinom
9-
*
9- *
9
9
Posledica: Slicne matrice imaju jednake karakteristicne polinome.
def: Ako je *
normalizovan polinom najmanjeg stepena
*
naziva se minimalni polinom matrice A.
Teorema: Ako je *
deljiv minimalnim polinomom
Dokaz:
i
9
9 onda je
9 matrice A.
39
*
9 takav da je
akko je polinom
9
*
za 9 , 9 , postoje 2 9 i 9 tako da 9
2 9
9
9.
*
*
2 *
*
*
*
9
9
9
9
9
9
2 9
9
9 *
*
2 *
*
*
Posledica 1: Karakteristicni polinom matrice je deljiv njenim minimalnim polinomom.
Posledica 2: Za datu matricu minimalan polinom postoji jedinstveno.
Dokaz: Pretpostavimo da su
9 i
9 minimalni polinomi, tada
9
9,
ali i
9
9
9
9
za 9
Teorema: Minimalni polinom matrice *
jveceg stepena te matrice.
9
9
9
Dokaz: 9- *
9
9
jednak je invarijantnoj slicnosti na9
9
Dokazano je da je
9 NZD svih minora formata
9- *
9. 9
9 smo izvukli iz svih minora.
9- * 9- *
9- * 9 9- * . 9
9
99- * . 9
9 - po teoremi analognoj bezuovoj
*
9
2 9
9
9- * . 9
2 9
9 - iz *
99- * / 9
9- * . 9
2 9 9- * / 9
. 9
2 9 / 9 2 9 je skalar i sledi
da 2 9
<4 .
2 9
9
9
def: Neka je
poljem F.
Matrica /
noma
9
9
9
9
..
.
..
.
9
..
.
..
.
normalizovan polinom nad
se naziva prateca matrica poli-
9
Teorema: Karakteristican i minimalan polinom pratece matrice / 9 je 9
Dokaz:
9
9
..
..
.
..
.
vrste od prve do n-1. mnozimo
9- / 9
.
.
.
.
9
sa
9
, 9
9
,..., 9 redom i dodajemo n-toj vrsti:
40
9
9-
/
9
..
.
..
.
9
..
.
9
..
.
9
9
9-
/
..
.
9
9
..
.
..
.
9
9
9
Treba dokazati da je 9 minimalan polinom.
Po teoremi
9
9
9
Po teoremi
9
9
Po teoremi
9
9
9
9
9
9
9
9
..
.
9
9
Teorema: Neka su karakteristicni i minimalni polinom matrice A jednaki 9 , a minimalni i karakteristicni polinom matrice B jednaki # 9 Matrice A i B su slicne akko
9
# 9
Dokaz:
9- *
#
9
* .
9- .
#
# 9
3.10
Karakteristicni koreni i vektori
def: Neka je V(F) vektorski prostor i A linearna transformacija vektorsog prostora V.
Ako su
9
takvi da je *
9 onda se naziva karakteristicni
vektor, a 9 karakteristicni koren linearne transformacije A.
def: Neka je *
Ako su
9
takvi da je *
naziva karakteristicni vektor, a 9 karakteristicni koren matrice A.
*
*
9
9
*
-
9
onda se
9
9- *
def: Skup svih karakteristicnih korena naziva se spektar i oznacavamo ga sa = *
def: Ako je A linearna transformacija, a 9 jedan njen karakteristicni koren, onda se
skup vektora
9
*
9
naziva invarijantni podprostor transformacije
41
A koji odgovara korenu 9 .
Teorema: Ako je A linearna transformacija vektorskog podprostora V, onda je
invarijantni podprostor vektorskog prostora V.
Dokaz:
9
*
*
*
*
*
9
9
9
9
Teorema: Ako je A matrica reda n, a 9 koren visestrukosti k njene karakteristicne
jednacine, onda je rang matrice 9 - *
a
9
.
Teorema: Ako su 9
9 svi karakteristicni koreni matrice A reda n, pri cemu su u
prethudnom nizu visestruki koreni navedeni onoliko puta kolika im je visetrukost, onda je:
a) *
9 9
b) 3 * 9
9
Dokaz:
9
9
9- *
9
9
..
..
..
.
.
.
9
*
9
9
9- *
3.11
9
9 9
9
9 9
9
9 9
9
9
3 *
9
*
9 9
9 9
9
9
Kanonicke forme slicnih matrica
Teorema: Matrica A reda n je slicna sa dijagonalnom matricom akko A ima n linearno
nezavisnih karakteristicnih vektora.
Dokaz:
Iz pretpostavke, postoji regularna matrica P tako da je 5 *5 4
#
9
9
9- 4
9
9
9- 4
..
..
..
.
.
.
znaci karakteristicni koreni za D su
..
.
..
.
..
.
..
.
9
karakteristicni vektori su )
..
.
Slicne matrice imaju iste karakteristicne korene
42
4)
)
)
*5 )
5 4)
5 )
5)
5)
5 ) su karakteristicni
vektori matrice A
)
) su linearno nezavisni i P je regularna
5)
5 ) je linearno nezavisan
niz.
A ima karakteristicne vektore
i oni su linearno nezavisni,
*
9
5
9
9
*5 *
*
*
9
9
..
..
.
.
9
54
P mora biti regularno, i vazi 5
def: Matrica oblika
*
*
..
.
*
*
..
.
!
*5
4
*
*
..
.
k 1, gde su *
kvadratne
*
*
*
matrice, *
naziva se kvazi-dijagonalna matrica.
*
# *
*
.
# .
.
* .
# *
.
*
.
*
# *
*
*.= # * .
* .
*
# *
*
ako je A regularna matrica *
# *
*
ako je 1 9
9 1*
# 1*
1*
Teorema: Ako je *
# *
* i.
# .
. i ako su dijagonalni
blokovi kvazi dijagonalne matrice A slicni odgovarajucim dijagonalnim blokovima matrice
B, onda su i matrice A i B slicne. tj 5 * 5
.
5 *5
.
5
# 5
5
Teorema: Kvazi dijagonalna matrica *
# *
* slicna je sa matricom .
# *
*
gde je
proizvoljna permutacija indeksa
.
Dokaz: na konkretnom primeru
*
.
43
- - - - *- - - Znamo da je 5 - - - 5
Dakle . 5 *5
Analogno za opsti slucaj.
- - - -
-
-
-
-
- - - -
Teorema: Neka je A matrica cije su netrivijalne invarijantne slicnosti
9
9
Matrica A je slicna sa matricom .
# /
9
/
9 Matrica B se naziva
prva kanonicka forma klase matrica slicnih sa A.
Dokaz: Invarijantne slicnosti za /
9 su
9
* .
9- * 9- .
99-
/
9
9-
..
.
.
/
9
..
.
9-
..
.
..
/
9
.
9
..
.
..
.
9
..
.
..
.
..
.
..
.
9
..
..
.
.
9
9..
.
9
44
*
*
.
Teorema: Ako je
9 minimalni polinom matrice *
, onda je minimalni polinom matrice .
# *
* najmanji zajednicki sadrzalac za polinome
9
9
Dokaz: 1 9
9
1.
# 1*
1*
1.
1*
1*
9 19
19
<
9
9
def: Neka je * 9
9 ako su
9
9 invarijantni faktori matrice * 9
i
9
1 9 1
9
, gde su 1 9
1 9 nesvodljivi nad F
normalizovani polinomi, onda se svaki od polinoma 1 9 sa nenula eksponentom )
naziva elementarni delitelj matrice * 9
Elementarni delitelji matrice *
su elementarni deljitelji njene karakteristicne
matrice 9- *
Sistem elementarnih delitelja matrice * 9 (ili A) je sistem u kome se svaki elementarni deljitelj pojavljuje onoliko putako koliko puta se pojavljuje kao faktor u invarijantnim
faktorima (ili invarijantnim slicnostima) te matrice.
Teorema: Dve matrice su slicne akko imaju jednake sisteme elementarnih delitelja.
Teorema: Matrica *
ciji je sistem elementarnih delitelja # 9
# 9
slicna je sa matricom # / # 9
/ # 9
Matrica E se naziva druga
kanonicka foma klase matrice slicnosti sa A.
Dokaz:
9
# 9 #
9
(
Po teoremi: /
9 njene invarijantne slicnosti su
9
Minimalni polinom od G je 9
# 9 #
9 invarijantne slicnosti su
#
/
9
>
# / # 9
/ #
9
Po teoremi: ako su blokovi slicni, onda su i matrice slicne sledi: druga kanonicka forma
je slicna sa prvom.
def: Matrica*
je razloziva akko je jedina njena netrivijalna invarijantna slicnost oblika 1 9 gde je 1 9 normalizovan, nesvodljiv na F polinom.
Teorema: Matrica *
1 ? slicna je sa matricom:
cija je jedina netrivijalna invarijantna slicnost polinom
45
9
#
9
/ 19
/ 19
..
.
,
..
..
.
..
.
.
/ 19
/ 19
Na dijagonali ima k blokova / 1 9 a N je kvadratna matrica, istog formata kao
i / 1 9 koja u donjem levom uglu ima jedinicu, a ostalo nule. Matrica H se naziva
hiperprateca matrica polinoma 1 9
Dokaz: Invarijantne slicnosti matrice A su:
1 9
99-
/ 19
9-
..
.
,
/ 19
..
..
.
..
.
.
/ 19
9-
99-
/ 19
/ 1 9
1 9
Invarijantne slicnosti matrice H su
1 9
*
,
Teorema: Ako je *
matrica ciji je sistem elementarnih delitelja # 9
# 9
onda je ona slicna sa matricom
# ,
, gde je , hiperprateca matrica
polinoma # 9
(. Matrica R se naziva racionalna kanonicka forma klase
matrica slicnih sa A.
Dokaz: invarijantne slicnosti matrice/ # 9 su
# 9
1 9
/ # 9
,
,
/ # 9
,
/ # 9
*
..
..
..
..
.
.
.
.
/ # 9
Za
# 9
,
C
9
..
..
.
.
..
.
ordanova kanonicka forma.
46
4.
Kvadratne forme
def: Polinom
,
ako je svaki clan tog polinoma stepena k.
je kvadratna forma k-tog stepena nad F
Posmatracemo kvadratne forme oblika:
* A je simetricna matrica,
nad poljem karakteristke razlicite od 2. Karakteristika polja je najmanji prirodan broj tako
da
def: Matrica *
matrica P tako da je .
*
.
je kongruentna sa matricom .
5 *5 oznacavamo *
ako postoji regularna
.
* .
Teorema: Kongruencija matrica je relacija ekvivalencije.
Teorema: Matrica kongruentna sa simetricnom matricom je takodje simetricna.
Dokaz: * 5 .5 . .
*
5 .5
5 . 5 5 .5 *
Teorema: Dve matrice su kongruentne akko se jedna moze dobiti od druge vrsenjem
konacnog broja parova elementarnih transformacija, pri cemu se svaki par sastoji od jedne
elemetnarne transformacije na vrstama i iste takve transformacije na kolonama, a u svakom
paru je svejedno koju transformaciju prvo vrsimo.
Dokaz: * 5 .5 5 i 5 su regularne i 5
- * - - .- - - .- Teorema: Simetricna matrica *
ranga r kongruentna je nad F sa dijagonalnom
matricom koja na dijagonali ima tacno r elemenata razlicitih od nule.
Dokaz: *
ako *
ocigledno vazi
*
1.
*
1,1: - *2.
izvrsimo transformacije da dovedemo taj element na poziciju
posto je matrica simetricna
47
izvrsimo transformacije - *- i dobijemo na poziciji
*
i,i
, sto spada pod prvi slucaj.
*
.
..
.
..
.
..
.
.-
-
izvrsimo transformacije -
..
.
..
.
..
.
.-
, analogno nastavimo sa trans-
formacijama:
.
..
.
/
..
.
isto uradimo i sa blokom gde su elementi
..
.
i
dobijamo:
..
*
4
..
.
..
.
.
..
.
..
.
Teorema: Realna simetricna matrica A ranga r kongruentna je nad poljem realnih
brojeva sa matricom
gde su - i jedinicne matrice reda p,
odnosno r-p, a nenegativan ceo broj p je jednoznacno odredjen matricom A.
Dokaz: Koristeci prethodnu teoremu imamo:
48
..
*
4
..
.
..
.
.
..
.
..
cija -
parovima elementarnih transforma-
.
- , premestamo elemente tako da dobijemo matricu F:
..
..
.
*
.
..
.
..
..
.
.
..
;
1
I sad vrsimo transformacije 1
:
..
*
>
..
.
..
.
1,
.
1, odnosno -
-
-
.
..
..
.
.
..
#
.
5 *5
Sada dokazujemo jedinstvenost.
Pretpostavimo da *
,
#
1
larna matrica Q, tako da , 6 *6 pretpostavimo da je 1
Posmatramo
* izvrsimo smenu
5
49
2
2 i postoji regu-
1
1
..
.
1
1
..
.
1
*
5
..
.
1
*5
6
*
*6
5
6
..
.
1
1
..
.
1
1
5 *5
uvodimo smenu
6
1
1
..
.
1
1
1
>
6 *6
,
5
6
pa prethodna jednacina postaje:
Formiramo sistem linearnih jednacina:
2
1
2
1 2
1 ; , jer q;p, pa ovaj homogen sistem ima netrivijalna resenja,
jer ima vise nepoznatih nego jednacina, znaci postoji resenje $
$
Kad
ubacimo u jednacinu, dobijamo:
$
$
"
"
$
$
$
$
dobijamo da mora biti:
$
$
odnosno da je $
$ resenje sistema 5
sto
$
$
je kontradikcija, jer je matrice P regularna, pa je i 5 regularna i 5
, i onda ova
jednacina ne moze imati netrivijalna resenja, sledi da P=Q.
def: Nenegativan ceo broj p iz prethodne teoreme naziva se indeks realne simetricne
matrice A, odnosno indeks realne forme *
Teorema: Dve realne simetricne matrice su kongruentne akko imaju isti indeks i isti
rang.
Dokaz:
50
-
*
.
def: Neka je A realna simetricna matrica reda n, ranga r i indeksa p. Matrica A se
naziva pozitivno definitna ako je p=n.
Negativno definitna ako p=0, n=r.
Pozitivno semidefinitna ako r;n, p=r.
Negativno semidefinitna ako r;n, p=0.
Kvadratna forma * je pozitivno definitna ako je A pozitivno definitna, itd...
Za pozitivno definitnu kvadratnu formu vazi,
* *
- postoji P, tako da
5 *5 - izvrsimo smenu
5
*
5 *5
5 *5
za x
Za negativno definitnu
*
;
Za pozitivno semidefinitnu
*
Za negativno semidefinitnu
*
Teorema: Realna simetricna matrica *
glavni minori veci od nule.
je pozitivno definitna akko su joj svi
*
Teorema: Realna simetricna matrica *
glavni minori naizmenicno menjaju znak, a
, reda n je negativno definitna akko joj
;
;
;
*
def: Kompleksna matrica A je hermitska ako * * Kvadratna forma oblika
* , gde je A hermitska matrica, je hermitska forma.
51
Download

1. Vektorski prostori