Power Engineering - Design - Consulting
Marka Čelebonovića 19/11, Novi Beograd, Srbija
Vojvode Brane 41, Beograd, Srbija
Tel. + 381 11 30 89 747, 38 22 110
Tel/Fax: + 381 11 38 22 591
e- mail: [email protected]
www. esenergosystems.co.rs
PRILOG ANALITIČKOM MODELU PONAŠANJA
KRUŽNOG TUNELSKOG ISKOPA
CILJ RADA: Kvalitativna i kvantitativna analiza parcijalnih uticaja osnovnih
parametara koji utiču na ukupno ponašanje sistema stenska masa - iskop
tunela - mere osiguranja prilikom iskopa tunela kružnog poprečnog preseka u
punom profilu.
BEOGRAD
13.08.2010.
AUTOR:
Miodrag Konstantinović, dipl. ing. gradj.
Power Engineering - Design - Consulting
PRILOG ANALITIČKOM MODELU PONAŠANJA KRUŽNOG TUNELSKOG
ISKOPA
1. UVODNE NAPOMENE
Iako je u toku izvanredan razvoj numeričkih metoda (konačni ili konturni / granični / elementi) sa primenom
u vidu profesionalno urađenih programskih paketa, inženjer mora jednostavnijim putem brzo i dovoljno
tačno da proceni uticaj pojedinih parametara kako iskopa tako i okolne stenske mase i mera osiguranja na
suštinsku pojavu koja se jedino može meriti, a to su pomeranja konture iskopa ili na konturi ili i iza konture
iskopa, kako bi u narednim fazama korigovao prethodno usvojene elemente rešenja i ostao u granicama
potrebne sigurnosti i ekonomičnosti. U tu svrhu potrebno je raspolagati odgovarajućim računskim
aparatom koji će u sebi spajati dovoljno tačno opisivanje stenske mase i podesan analitički model podesan
za brzu procenu promena podataka koji su najvažniji za rad: granice zone narušavanja uslova loma,
pomeranja na iskopnoj konturi kao i graničnu nosivost mera osiguranja iskopa. U pogledu oblika najčešći
je kružni oblik tunela, zatim dolazi potkovičasti, dok posebni oblici mogu grublje da se aproksimiraju
elipsom.
U okviru ovog rada će se izložiti analitički modeli pomoću kojih se za praksu dovoljno tačno mogu da
prate uticaji promena parametara kako samog iskopa, tako i stenske mase, mera osiguranja i razvoja
posledica iskopa - pomeranja konture iskopa i granice narušenog uslova loma.
2. CILJ RADA
Iz prethodnog poglavlja proizilazi i cilj ovog rada:
Kvalitativna i kvantitativna analiza parcijalnih uticaja osnovnih parametara koji utiču na ukupno
ponašanje sistema stenska masa - iskop tunela - mere osiguranja prilikom iskopa tunela kružnog
poprečnog preseka u punom profilu.
Uzročni parametri koji su od interesa su:
a). iskop:
radijus iskopne konture
položaj iskopa u odnosu na slobodnu površinu terena
b). stenska masa:
početno (primarno) stanje napona unutar stenske mase
granična otpornost stenske mase
deformabilnost stenske mase
v). mere osiguranja:
deformabilnost
granična nosivost
Posledični parametri su:
a).granična kontura :
deli zonu stenske mase sa narušenim uslovom loma (uslovno nazvana zona
plastifikacije, plastifikovana zona ili oblast) od ostalog dela stenske mase u kome do
ovog narušenja nije došlo (uslovno nazvane elastične zone);
b). stanje napona i deformacija obeju zona:
radijalni i tangencijalni normalni naponi - za obe zone - i smičući naponi za
elastičnu zonu kao i radijalne i tangencijalne deformacije za obe zone, stanje pomeranja
za iskopnu konturu (radijalna, tangencijalna i rezultujuća pomeranja) stanje napona,
deformacija i pomeranja za pojedinačne mere osiguranja iskopa granična nosivost za
primenjene pojedinačne mere osiguranja zajednička granična nosivost stenske mase oko
2
Power Engine
P
eering - Desig
gn - Consultin
ng
isskopa sa prim
menjenim me
erama osigura
anja. U tu svrh
hu će se u nu
umeričkom de
elu koristiti
g
granice
param
metara koje re
ealno postoje
e u praksi.
o
rada je
e primena analitičkog
a
m
matematičkog
g modela za ispitivanjje parcijalnog
g uticaja
Metoda ovog
pojedinač
čnih ili grupnih promena fizičko-mehan
f
ničkih karakte
eristika homo
ogene anizottropne stenske mase
na ponaša
anje stenske mase prilikom
m iskopa otvo
ora po pricipim
ma savremen
nih metoda isk
kopa.
S obzirom
m na to da je kako za hidro
otehničke, ta
ako i saobra
aćajne tunele poprečni pre
esek kružni ili
i blizak
kružnom, analiza se ograničava na kružni p
presek sa iskopom metodom puno
og čela (min
niranjem,
m ili krticom).
glodanjem
3. PRECIZ
ZIRANJE US
SLOVA RADA
A OBJEKTA
k
Problem zajedničkog ponašanja kompleksa
sttenska masa
a <--> radni procesi <-- > objekat
je u tome što objekat kao
k
veštačko
o telo dolazi u kontakt sa
s stenskom masom kod koje je u to
oku rada
u narušeno zatečeno
z
sta
anje ravnotežže sa svim posledicama u generalno heterotropnoj
h
na iskopu
stenskoj
masi kao radnoj sredin
ni.
Shema ilu
ustruje kružni tunel u heterrotropnoj sred
dini sačinjeno
oj od kvazihomogenih zona S, S2, S3,....
Ponašanje
e stenske ma
ase u mehaničkom smislu
u je potpuno opisano ako
o za sve tačkke posmatrane oblasti
oko objek
kta postoje:
* uslovi ra
avnoteže
* veze defformacija i po
omeranja
* veze napona i deform
macija
* uslovi ko
ompatibilnosti deformacija
* uslovi na
a konturi obje
ekta i spoljnoj konturi posm
matrane oblastti po naponim
ma, pomeranjima ili
me
ešovito;
ponima ili defo
ormacijama na konturama iskopa i stensske mase u fu
unkciji
* početni uslovi po nap
vre
emena od poččetka rada do
o završetka prrocesa stabilizzacionih proccesa po napon
nima i
defformacijama (uspostavljan
(
nje ranote sisttema stenska masa - objekkat).
Power Engineering - Design - Consulting
4. DETALJNA ANALIZA USLOVA RADA OBJEKTA
Analiziraće se svaki od navedenih uslova ponaosob s obzirom na već izložene probleme stenske mase kao
prirodne tvorevine i radne sredine.
Uslovi ravnoteže:
Uslovi ravnoteže se mogu lako u principu postaviti kao u Teoriji elastičnosti.
Veze deformacija i pomeranja:
Nema principijelnih teškoća, bez obzira na moguću
uspostave veze između deformacija i pomeranja.
komplikovanost odn. glomaznost izraza da se
Veze napona i deformacija:
Ovde postoje teškoće principijelne prirode jer je stenska masa po svojoj prirodi diskontinuum, pri čemu je
njena kontinualizacija samo jedna više-manje uspešna aproksimacija. Delovi stenske mase između
diskontinuiteta ili u sklopu diskontinuitata imaju uopšte različito ponašanje s obzirom na različite
fizičko-mehaničke osobine, što se manifestuje u različitom ponašanju pri razvoju deformacija do loma
(krto ili žilavo ponašanje) a na šta utiče i brzina nanošenja opterećenja.
Generalno, problem se svodi na uvođenje najrazličitijih modela materijala kojima se opisuje elastično,
elasto-kruto-plastično, elasto-viskozno, elasto-plastično-viskozno itd. ponašanje saglasno registrovanom
ponašanju pri ogledima u laboratoriji, na licu mesta ili u opitnim iskopima. Ove probleme stalno rešava
reologija stvarajući takve fiktivne materijale za koje je već sada veoma teško dati eksperimentalno
prikupljene karakteristike.
Uslovi kompatibilnosti deformacija:
Strogo uzev, ovi se uslovi ne mogu ispuniti za opšte slučajeve sem za modele koji su u svojoj strukturi
relativno jednostavni. Da bismo dobili bilo kakvo prihvatljivo i fizički logično zasnovano rešenje, odstupa
se od strogosti uslova kompatibilnosti deformacija pri čemu se javlja problem dveju granica rešenja i
najverovatnijeg rešenja.
Uslovi na konturi iskopa i spoljnoj konturi oblasti:
Nema teškoća sa uvođenjem konturnih uslova bilo po silama odn, naponima bilo po deformacijama odn.
po pomeranjima bilo mešovito. Uz poznavanje osnovne osobine svih fenomena narušavanja stanja u
oblastima sa potencijalom da se poremećaj amortizuje relativno brzo od lokacije poremećaja, moguće je
izdvajanje konačne oblasti sa konturnim uslovima po pomeranjima dovoljno tačnim u odnosu na stvarne.
Početni uslovi unutar stenske mase:
Početni uslovi unutar stenske mase su prevashodno po opterećenju tj. po naponima. Matematičkih
teškoća nema, postoje samo teškoće merenja, interpretacije i formulisanja opterećenja unutar posmatrane
oblasti stenske mase.
Početni uslovi na konturi iskopa su najčešće po silama odn. naponima i predstavljaju uticaj ili sistema
osiguranja ili obloge objekta.
U modele se unose brojne veličine mehaničkih karakteristika stenske mase, elemenata osiguranja i
obloge. Radni proces je prisutan preko uvođenja faznog iskopa i faznog unošenja osiguranja i mera
melioracija stenske mase preko promena njenih mehaničkih karkteristika.
Bez obzira na karakter modela (analitički ili numerički) stenske mase moraju biti poznati:
* zapreminska tena po zonama stenske mase prema IGP;
* IGM po ispucalosti;
* IGM po deformabilnosti izranoj u modulima deformacije i
elastičnosti za glavne pravce anizotropije;
* IGM po parametrima za opisivanje čvrstoće stenske mase zavisno od usvojenog uslova narušavanja
granične ravnoteže (uslova loma ili uslova plastičnosti);
* IGM po vodopropusnosti u obliku koeficijenata vodopropusnosti u glavnim pravcima anizotropije
vodopropusnosti ('to zavisi od sistema diskontinuiteta);
4
Power Engineering - Design - Consulting
Raspolažući napred navedenim IGP i IGM moguće je matematičko modeliranje sa tačnošću zavisnom
od toga da li se koristi analitički postupak ili profesinalan softver zasnovan na MKE ili MGE.
5
MODELI OPISIVANJA PONAŠANJA STENSKE MASE PRI PRIMENI SAVREMENIH
METODA ISKOPA
Kao što je napred napisano, razvijeni su mnogobrojni modeli tzv. reoloških materijala koji opisuju veze
napona i deformacija uzimajući u obzir reološke karakteristike i, zavisno od modela, mehaničke
karkteristike otpornosti na lom; složeniji modeli omogućuju simuliranje ciklusa opterećenje-rasterećenje.
Reološki materijali su opisani matematičkim vezama i odgovarajućim graničnim uslovima kako bi se
mogli koristiti u sklopu matematičkih modela opisivanja ponašanja iskopa. Neće se ulaziti u detalje
formiranja reoloških materijala jer je to predmet reologije kao dela mehanike.
Najvažnije je da se pri korišćenju reoloških modela mogu uneti realno izmerene mehaničke karakteristike
kao moduli elastičnosti i deformacije, jednoaksijalna čvrstoća na pritisak, funkcionalne veze napona,
deformacija i brzina deformacija proizišlih iz triaksijalnog opita, parametri čvrstoće proizišli iz opita
smicanja u vidu ugla trenja i kohezije. Modeli koji se ne mogu snabdeti merenim podacima nemaju
trenutno interesa za praktičan rad.
Prema tehnici formiranja i korišćenja modela u osnovi imamo
* analitičke i
* numeričke modele.
Pod pojmom tehnike analitičkog ili numeričkog modela podrazumeva se mogućnost da se rešenje problema
definisanog modelom reši ili u analitičkom zatvorenom (ili bar iterativnom analitičkom) postupku, odnosno
da se rešenje mora zasnovati na primeni savremenih numeričkih metoda i postupaka.
Na osnovu svega napred izloženog, kao i polazeći od realnosti važenja modela u sredini čije je
reagovanje na kružni iskop predmet ovog rada, usvaja se analitički model na rešenju zatvorenog tipa, sa
nekim sekvencama sa iterativnim radom, koristeći
rešenje problema
elasto-krutoplastične
homogene,
anizotropne po parametrima čvrstoće i deformabilnosti teške ravni, za ravno stanje
deformacije.
Uticaj vremena u model nije uključen direktno preko sprege sa nekim od modela viskoznog ponašanja
materijala sredine, već indirektno preko mogućih varijacija osnovnih mehaničkih karakteristika u funkciji
vremena.
Postoje mogućnosti proširenja
ponašanja, uz unošenje time
nedovoljno opažanja.
predloženog analitičkog modela u smislu uključenja vremenskog
i dodatnih fizičko-mehaničkih karakteristika za koje još uvek imamo
Najvažniji podatak su karakteristične linije za radijalna pomeranja iskopne konture pri promeni pritiska
stabilizacije iskopa na iskopnoj konturi, kao i grafici ponašanja sistema osiguranja zavisno od
materijala koji je primenjen.
Takođe se prikazuju odnosi promena parametara i veličina koji ukazuju na granice ocene ponašanja
sredine: pragovi početka plastifikacije oko iskopa, granice elastične
i plastične (narušene) zone,
anvelope maksimalnih i minimalnih veličina bitnih za karakter ponašanja iskopa.
6. PREDLOG ANALITIČKOG MODELA PONAŠANJA STENSKE MASE PRI PRIMENI
SAVREMENIH METODA ISKOPA
Predložen analitički model za ispitivanje ponašanja tunelskog iskopa kružnog poprečnog preseka u stenskoj
masi definiše se kao rešenje ravnog problema za slučaj ravne deformacije u okolini iskopa u "teškoj"
homogenoj anizotropnoj elasto-plastičnoj sredini.
5
Power Engineering - Design - Consulting
Najčešći model korišćen za ispitivanje ponašanja kružnog tunelskog iskopa u literaturi je zasnivan na
Lame-ovom rešenju za debelu cev uz granični prelaz u beskonačnost radijusa spoljne konture cevi.
Radijalno opterećenje du spoljne konture u beskonačnosti generiše unutar oblasti homogeno naponsko
stanje. Uz korišćenje uslova plastičnosti i ataširanog zakona tečenja lako se dobija rešenje pogodno za
analizu stanja napona, deformacija i pomeranja od inetresa.
Naredni korak je model sa ortohomogenim naponskim poljem koji je omogućio Kastner-u da prikaže forme
plastičnih zona uz primenu Kulon-Mor-ovog uslova plastičnosti.
U pogledu ispitivanja razvoja deformacija i pomeranja pokazalo se da zakoni tečenja proizišli iz uslova
normalnosti vektora brzine tečenja na površ uslova plastičnosti nisu podobni pošto su davali vrlo velike
vrednosti (deformacija odn. pomeranja), tj. prognozirana pomeranja bila su iznad realnih, u
uslovima laboratoriskih opita. Stoga su razni autori pokušavali da uvedu ataširane zakone tečenja prema
opaenim ojavama pri laboratoriskim opitima i tako priblie rešenja realno opaanim deformacijama odn.
pomeranjima.
Upoređenjem rešenja u literaturi formiran je hibridni model koji uključuje primenu raznih uslova
plastičnosti, uz praćenje razvoja plastičnih deformacija preko pojave "dilatanse" tj.
uvećanja
zapremine plastificirane zone oko iskopa. U daljem tekstu će se zadržati termin "dilatansa" sa značenjem
koje je napred navedeno.
Stoga se dalje obrađuje predložen model definisan kako sledi:
a. rešenje teorije elastičnosti ponašanja oko kružnog otvora u teškoj homogenoj anizotropnoj ravni za
ravno stanje deformacije;
b.kontrola narušavanja uslova granične
izotropno ponašanje :
1. Kulon - Mor (Coulomb - Mohr)
2. Ferharst (Fairhurst)
3. Huk (Hoeck).
ravnoteže
vrši
se korišćenjem tri uslova plastičnosti za
v. ponašanje unutar oblasti sa naruženim uslovom plastičnosti definiše se zakonima tečenja:
1. Druker-Prager (Drucker-Prager)
2. Dekedr (Descoedre)
3. Ladanji (Ladanyi)
Na narednoj skici je prikazan model sa potrebnim oznakama:
MODEL KRUŽNOG OTVORA U STENSKOJ MASI
6
Power Engineering - Design - Consulting
Rešenje teorije elastičnosti za slučaj krunog otvora u teškoj homogenoj i anizotropnoj ravni
Veze opterećenja i komponentnih napona
Kao osnova analitičkog modela usvojeno je rešenje prikazano u radu japanskog
(Yamaguchi), citiranog u prikazu K.Fukušime (K.Fukushima) /16 /.
autora
Jamagučija
Analizom izraza prikazanog rešenja i uporenjenjem sa rešenjem problema Kirša (Kirsch) /13 / otkrivene su
neke greške i posle korigovanja i uvođenja bezdimenzionalnog odnosa ξ radijusa
iskopne konture
ri i radijusa tekuće tačke r :
r
ξ= i
r
r >= ri
( 6.1)
može da se napišu izrazi za komponentne napone u proizvoljnoj tački definisanoj radijusom r i uglom η
(videti sl.1).
1− k
1r ⎡
1
⎧1 + k
σ or = γh ⎨
(1 − ξ 2 ) +
( 1 − 4ξ 2 + 3ξ 4 ) cos2η − i ⎢( 3 + k )( − ξ) cosη +
ξ
2
4h⎣
⎩ 2
⎤⎫
1
+ ( 1 − k )( − 5ξ 3 + 4ξ 5 ) cos3η⎥ ⎬ + p i ξ 2
ξ
⎦⎭
( 6.2)
⎞
1− k
1 r ⎡⎛ 1 + 3k
⎧1 + k
(1 + ξ 2 ) −
σ ot = γh ⎨
( 1 + 3ξ 4 ) cos2η − i ⎢⎜⎜
− ( 1 − k )ξ ⎟⎟ cosη −
2
4 h ⎣⎝ ξ
⎩ 2
⎠
⎤⎫
1
− ( 1 − k )( − ξ 3 + 4ξ 5 ) cos3η⎥ ⎬ − p i ξ 2
ξ
⎦⎭
⎧1 − k
⎤⎫
1 − k ri ⎡ 1
1
τ ort = γh⎨
( 1 + 2ξ 2 − 3ξ 4 ) sin 2η −
( − ξ) sin η + ( + 3ξ 3 − 4ξ 5 ⎥ ⎬
⎢
ξ
4 h⎣ ξ
⎦⎭
⎩ 2
( 6.3)
( 6.4)
Još jednom se naglašava da je usvojena konvencija o znaku napona kao za beton tj. pritisak je pozitivan, a
zatezanje negativno. Ako se proizvod γh zameni sa py a odnos ri/h za velike dubine tj. h zanemari kao
mala vrednost, tada se dobijaju poznati Kiršovi izrazi naponskog stanja za ortohomogeno naponsko polje
oko kružnog iskopa.
S obzirom na ravno stanje deformacije imamo u oba slučaja da je normalni napon u pravcu normale na
ravan problema:
7
Power Engineering - Design - Consulting
σ oz = ν( σ or + σ ot )
( 6.5)
U slučaju ako se ne zanemaruje uticaj dubine h izrazi (6.2) do (6.5) imaju oblik:
r 1
⎡
⎤
σ er = γh ⎢( 1 − ξ 2 ) i ( − ξ) cosη⎥ + p i ξ 2
h ξ
⎣
⎦
( 6.6)
r 1
⎡
⎤
σ et = γh ⎢( 1 + ξ 2 ) i cosη⎥ − p i ξ 2
hξ
⎣
⎦
( 6.7)
τ er = 0
( 6.8)
σ ez = ( σ er + σ et )ν
( 6.9)
Najzad, za slučaj kada je k = 1 tj. kada imamo hidrostatičko naponsko polje odn. za
p x = py = po
dobijaju se poznati izrazi koji slede i iz Lameovog rešenja za debelu cev:
σ er = p o ( 1 − ξ 2 ) + p i ξ 2
( 6.10)
σ et = p o ( 1 + ξ 2 ) − p i ξ 2
( 6.11)
τ er = 0
( 6.12)
σ ez = 2p o ν
( 6.13)
Veze napona i deformacija za elastično ponašanje sredine
Polazeći od poznatog rešenja za stanje napona za elastično ponašanje sredine i koristeći poznate veze
napona i deformacija za slučaj ravnog stanja deformacija u polarnim koordinatama:
ε er =
1 − ν e ν( 1 + ν) e
σr −
σt
Er
Et
( 6.14.1)
8
E
=
r
E
cos
=
r
1
ω
+
E ω
sin
2
Δ
σ
r
r
=
−
σ
(
.6
16
(
.6
17
Power Engineering - Design - Consulting
gde su Er i Et moduli elastičnosti za radijalni i tangencijalni pravac, ν- Poasonov koeficijent.
6.1.3. Obuhvatanje anizotropije po deformabilnosti sredine
Anizotropija po parametrima deformabilnosti definiše se kao ortotropija i to modulima elastičnosti i
deformacija
u
dva ortogonalna pravca pri čemu je
pravac
"1"
vezan
uglom ηo za
vertikalnu osu y. (videti sl.2). Prema tome, ortoropnost modela opisana je modulima elastičnosti E1e, E2e ,
modulima deformacije E1d , E2d i jednim Poasonovim koeficijentom ν. Veze su jasne iz skice:
Uvodeći ugao ω
usvojiće se kao dovoljno tačna veza predložena od strane Rupenejta / 6 /:
6.1.4. Veze komponentnih deformacija i pomeranja
Od trenutka formiranja otvora u stenskoj masi već opterećenoj početnim naponskim poljem dolazi do
promene naponskog stanja pri čemu će se u svakoj tački sredine pojaviti priraštaji (pozitivni ili negativni)
napona Δσr i Δσt :
9
t
Δ
σ
t
=
−
σ
σ
=
x
y
σ
=
σ
=
r
t
σ
=
h
γ(cos
sin
η
+
k
(
1
h
γcos
−
(
1
h
γcos
−
)(
1
h
η
−
(
.6
17
k)
η
)
η
)cos
η
(
.6
18
(
.6
18
(
.6
19
h
(sin
γ
k
cos
η
+
)(
1
h
η
−
)cos
η
(
.6
19
ε=
r
Δ
E
rE
σ
−
t
Δ
σ
(
.6
20
r
Power Engineering - Design - Consulting
gde su sa σr o , σt o označeni normalni naponi početnog opterećenja stenske mase. Iz skice sledi da su
u tački (r,η) komponentni naponi:
a transformacija za radijalni koordinatni sistem daje
Naredna skica daje oznake i fizičko tumačenje prednjih izraza:
sa definisanim početnim opterećenjem, komponentnim naponima usled početnog opterećenja, vezama
deformacija i napona, kao i definisanom anizotropijom po deformabilnosti sredine, može da se pristupi
izračunavanju deformacija εt i εt kao i pomeranja ur na iskopnoj konturi.
Izrazi (6.14 ) uz unošenje (6.17) postaju:
10
Power Engineering - Design - Consulting
εt =
ν( 1 + ν)
1− ν2
Δσ t −
Δσ r
Et
Er
( 6.20.2)
Od interesa je radijalno pomeranje ui na granici iskopa ri koje je bilo dato sa:
r2
u i = ∫ ε r dr
( 6.21)
ri
gde je sa r2 označena granica integracije koja može biti fizička (granica odn. slobodna kontura) ili
matematička zavisno od tačnosti numeričke integracije, ili ako se umesto εr uvede odgovarajući izraz
(6.20.1):
r
r
ν( 1 + ν) 2
1− ν2 2
u i = r i ε ti =
Δ
σ
dr
−
Δσ t dr
r
E r ∫ri
E t ∫ri
( 6.22)
Ako se uvedu oznake za integrale kako ih je dao Feder,/11/
r2
Ftr = ∫ Δσ r dr
( 6.23.1)
ri
r2
Ftt = ∫ Δσ t dr
( 6.23.2)
ri
Za granicu (L) polazeći od veza (6.17.1) i (6.17.2) može se pisati:
r2
Ftr ,L = ∫ ( σ er − σ or )dr
( 6.24.1)
ri
r2
Ftt ,L = ∫ ( σ et − σ ot )dr
( 6.24.2)
ri
Integrali predstavljaju vrednosti površina zahvaćenih između krivih toka napona početnog i novog
naponskog stanja tj. površine dijagrama razlike napona, sa granicama ri kao donjom i r2 kao gornjom
granicom. Praktično, integracija se numerički sprovodi do željene tačnosti. Promenom donje granice
moguće je odrediti i radijalno pomeranje unutar elastične oblasti. Grafički prikaz interpretacije
izračunavanja potrebnih integrala je dat na skici:
11
J
00
=
12⎜⎝−
ζ2
⎟⎠
(6.26.1)
J0
=
1-ζ
(6.26.2
J1
=
ln
ζ
(6.26.3)
Power Engineering - Design - Consulting
Pošto je kao model usvojeno rešenje koje ima slobodnu konturu, mora se voditi računa da se pri integraciji
za uglove η>=90o mora uvesti kriterijum tačnosti. Numeričkim ispitivanjem je utvrđeno da je za praktičan
rad dovoljno ići do ri 10-4 odnosno da je kritičan ugao ηk:
ηk = arccos(10-4 )=89o ,99427042
Primenom izraza (16.25.1) i (16.25.2) uz poznate izraze za promenu početnog naponskog stanja sredine
(16.2) i (16.3) javlja se potreba za nizom integrala koji će se koristiti u daljem radu. Ako je donja granica
integracije r1 , a gornja granica r2, uvodi se odnos ζ
Provodeći integraciju prema (16.25)) proizilazi da su potrebni sledeći pojedinačni integrali:
12
=
J3
(2
)1
ζ−
=
εti
i,trF
−
Er
(
.6
26
E
F
t
i,tt
(6.29)
Power Engineering - Design - Consulting
J2 = 1 − ζ
( 6.26.4)
1
J4 = (1 − ζ 3 )
3
( 6.26.6)
1
(1 − ζ 4 )
4
( 6.26.7)
J5 =
r
J 6 = Jo − J oo ( i ) cosη
h
( 6.26.8)
Izrazi za koeficijente Ftr i Ftt se dobijaju posle sređivanja naznačene integracije po izrazima (6.24) i
(6.26):
r
1− k
⎧1 + k
Ftr = γh⎨
( Jo − J2 ) +
( Jo − 4J 2 + 3J 4 ) cos2η − i [( 3 + k )( J oo − J1) cosη +
2
4h
⎩ 2
(6.27)
(6.28)
r
1− k
⎧1 + k
Ftt = γh⎨
( Jo + J2 ) −
( J o + 3J 4 ) cos2η − i [( 1 + 3k ) J oo − ( 1 − k ) J1) cosη −
2
4h
⎩ 2
Konačno, tangencijalna deformacija u tački definisanoj parom (ri , η) za elastično ponašanje iznosi
vodeći računa da su u vrednostima za Er i Et sadržani izrazi koji vode računa o eventualnoj anizotropiji
deformabilnosti sredine. Radijalno pomeranje tačke (ri , η) za elastično ponašanje je dato sa
13
Power Engineering - Design - Consulting
ui = riεti
(6.30)
6.2. Uslovi plastičnosti stenske mase
Uslovi plastičnosti (odn. narušavanja granične ravnoteže) će se uspostaviti za
- izotropno ponašanje i
- anizotropno ponašanje parametara čvrstoće stenske mase
6.2.1. Uslovi plastičnosti za izotropno ponašanje stenske mase
Kontrola narušavanja uslova granične ravnoteže vršiće se korišćenjem tri uslova plastičnosti za izotropno
ponašanje :
1. Kulon-Mor (Coulomb – Mohr)
2. Ferharst (Fairhurst)
3. Huk (Hoeck)
6.2.1.1. Kulon-Mor-ov uslov plastičnosti
Ovo je nastariji i najkorišćeniji uslov s obzirom na razvijen eksperimentalni aparat za
parametara unutrašnje čvrstoće uzoraka stenske mase /13/.
određivanje
Ponašanje platificirane sredine opisuje se poznatom vezom
τ = σtgϕ + c
(6.31)
Ako se izrazi preko glavnih napona veza je:
σ1 = Nσ 3 + β CM
pr
(6.32)
uz
N=
1 + sin ϕ
1 − sin ϕ
(6.33)
2c cos ϕ
1 − sin ϕ
(6.34)
β CM
pr =
Ovde su:
ϕ - prividni ugao unutrašnjeg trenja sredine
c - prividna kohezija sredine
βprCM
- jednoaksijalna čvrstoća na pritisak sredine definisana na dijagramu uslova
gde su:
14
1
σ
=
⎜⎝3
σ
+
=n
β
z
1m
⎟⎠p
+
β
(6.35)
(6.37)
Power Engineering - Design - Consulting
cs - kohezija stenske mase "in situ"
css -prividna kohezija stenske mase kao udeo usled
primene sistematskog sidrenja
s - totalna kohezija sredine = cs + css
6.2.1.2. Ferharst-ov uslov plastičnosti
Ovaj uslov plastičnosti se definiše anvelopnom parabolom 2.reda koja dodiruje dva definiciona kruga,
respektivno za jednoaksijalnu zateznu i pritisnu čvrstoću:
U originalnom obliku prikazanog u radu Ladanji-ja
napona ima oblik:
ovaj uslov plastičnosti izražen u prostoru glavnih
uz
Ovde su
βp = jednoaksijalna čvrstoća na pritisak sredine
βz = jednoaksijalna čvrstoća na zatezanje sredine
Pošto jednoaksijalna čvrstoća na zatezanje sredine može imati često u praksi vrednost blisku ili jednaku
nuli, ovaj oblik uslova plastičnosti, iako ponavljan u literaturi, nepodesan je za rad računarom jer se za
slučaj odsustva čvrstoće na zatezanje javlja beskonačna vrednost za odnos n pa je potrebno vršiti granični
prelaz prilikom izračunavanja podataka odn. izraza zavisnih od (6.37).
15
Power Engineering - Design - Consulting
Polazeći od istih definicionih uslova i oznaka, za potrebe ovog rada i praktičnu primenu formulisan je
drugojačiji izraz za uslov plastičnosti kojim se izbegava pomenuta nepodesnost. Ne ulazeći u detalje
algebre izvođenja, izraz konačno ima oblik:
σ1 = σ 3 + κβ p + 2 kβ p σ 3 + mκβ 2p
(6.41)
βz
βp
(6.39)
gde su:
m=
κ = 1 + 2m + 2 m + m 2
(6.40)
te sa ovom obllikom Ferharst-ovog uslova plastičnosti nema potrebe za graničnim prelazom prilikom
numeričkog rada.
6.2.1.3 Huk-ov uslov plastičnosti
Ovaj uslov plastičnosti je proizišao iz eksperimenata i ima osnovni oblik / 21 /:
σ1n = σ 3n + mσ 3n + s
(6.41)
gde su σ1n i σ3n normalnizovani glavni naponi:
σ 1n =
σ
σ1
, σ 3n = 03
0
βp
βp
(6.42)
pri čemu je βPO jednoaksijalna čvrstoća na pritisak uzorka stene, a m i s su parametri čvrstoće zavisni
od litološkog sastava, ispucalosti i mineraloške oštećenosti stenske mase. Ovi podaci su tabulisani i
dovedeni u korelaciju sa dva sistema klasifikacija stenskih masa (NGI i CSIR). Anvelope Mohr-ovih krugova
definisane su oblikom:
τ n = A(σ n − β pn ) C
(6.43)
τ n = A(σ n − B) C
(6.44)
a mogu se sresti i u obliku:
gde su
τn =
τ
β 0p
(6.45)
σn =
σ
β 0p
(6.46)
Konstante A i B su izvedene iz nizova vrednosti σn i τn preko odnosa sa m i s / 21 /.
16
σ
−
1
σ
(3−
1
tg
ϕtg
β
)c
sin
Power Engineering - Design - Consulting
Ovaj uslov plastičnosti je dobro zasnovan na većim serijama strogo kontrolisanih opita i veoma je podesan
za rad uz korelacije opisa stenske mase preko pomenutih klasifikacija (NGI , CSIR).
6.2.2. Uslovi plastičnosti za anizotropno ponašanje
S obzirom na to da je stenska masa po svojoj suštini sa anizotropnim ponašanjem i u pogledu
graničnih parametara čvrstoće, predlaže se proširenje prethodnih uslova plastifikacije za izotropno
ponašanje modifikacijom na uslove plastifikacije za anizotropno ponašanje.
Iz literature / 13 / je poznato da, zavisno od orijentacije glavnih napona σ1 i σ3 u odnosu na pravac
tzv.privilegovanih ravni nižih vrednosti parametara čvrstoće stenske mase (engl. weakness planes)
postoji promena čvrstoće (prizme, ili kocke ili cilindra). Modelska ispitivanja su to takođe potvrdila. Stoga
se radi kompletnosti usvojenog modela uvodi uslov u obliku kako sledi, a prema / 13 /:
bilo koji uslov plastičnosti sa izotropnu i intaktnu stensku masu
fp =
(6.47)
U ovom izrazu parametri čvrstoće c i ω se odnose na pravac anizotropije sa nižim vrednostima u
odnosu na vrednosti parametara čvrstoće u pravcima upravnim na prethodni pravac sa višim
vrednostima. Prilikom kontrole uslova plastičnosti za anizotropno ponašanje stenske mase po parametrima
čvrstoće uvek je merodavna niža vrednost. Na granici (L) je:
Uz skicu na kojoj su dati značenja simbola:
17
Power Engineering - Design - Consulting
Ovi uslovi su veoma podesni za rad u analitičkim modelima, a koriste parametre koji se mogu sigurno
da mere ili usvoje putem analogije.
U praksi se izraz ( 6.47 ) kombinuje sa nekim od uslova plastičnosti stenske mase, pošto iz izraza proizilazi
da za neke vrednosti tekuće promenljive β razlika σ1 - σ3 može dostići beskonačnu vrednost pa je
potrebna simultana kontrola preko uslova plastičnosti intaktne stenske mase, uz usvajanje niže
vrednosti za dalji rad.
Analizom izraza ( 6.47 ) kao i tokom primene ustanovljeno je sledeće
- promenom ugla radijala η i ugla položaja ravni nižih parametara čvrstoće ( dalje: defektna ravan) η1
mogu nastupiti, algebarski, slučajevi da ugao β bude i negativne vrednosti. Jasno je da to fizički ne može
biti slučaj te ugao β ulazi u proračun sa apsolutnom vrednošću
β = ⏐η - η1⏐
(6.50)
- takođe, što je jasno iz skice na str. ugao β fizički ne može imati vrednostv veću od π/2 tj.90o ; pri
o
radu o tome voditi računa i prvobitno dobijena vrednost β se umanjuje za k.90 . sve dok ugao β ne
bude
β <= 90o
Razvijanjem izraza (6.50) i grupisanjem može se dobiti oblik:
σ1 = N σ 3 + β
( 6.51)
gde su :
N=
sin 2β + 2tg ϕ sin2 β
sin 2β − 2tg ϕ cos2 β
( 6.52.1)
β=
2c
sin 2β − 2tg ϕ cos2 β
( 6.52.2)
I ovde iz čisto fizičke fenomenologije N i β mora da budu apsolutne vrednosti. Jasno je da mora biti
pošto za slučaj jednakosti nuli, vrednost σ1 algebarski teži beskonačnosti. Takođe, tokom
sin 2β − 2tg ϕ cos2 β > 0
( 6.53)
proračuna mogu nastupiti i slučajevi neodređenosti, što je posebno analizirano zbog kasnijeg
automatskog proračuna.
6.3. Određivanje granice (L) narušavanja granične ravnoteže
Granica (L) koja deli oblast elastičnog (E) od oblasti plastičnog (P) ponašanja određena je parovima
tačaka (η, rL). Oblik ove granice a time i (P) oblasti zavisi od opterećenja, mehaničkih karakteristika
čvrstoće stenske mase i usvojenog uslova za kontrolu granične ravnoteže (uslova plastičnosti).
Uslov plastičnosti opšteg oblika
fp(Φ1, Φ2, Φ3, ) = 0
(6.54)
18
Power Engineering - Design - Consulting
za ravno stanje deformacije se svodi na
fp(Φ1, Φ3, ) = 0
(6.55)
Glavni naponi σ1 i σ3 se određuju na poznat način pri čemu je
σ1 > σ3
(6.56)
fp <= 0
(6.57)
fp > 0
(6.58)
Za slučaj ako je
imamo elastično, a za
imamo plastično ponašanje sredine. Na graničnoj konturi (L) mora biti ispunjen uslov kontinuiteta radijalnih
napona
ΦerL = ΦprL
i radijalnih pomeranja
(6.59)
ueL = upL
(6.60)
u = r.,t
(6.61)
odnosno, zbog veze
sledi
e
L
= pL
(6.62)
Rešenje za određivanje granice (L) u zatvorenom obliku moguće je za jednostavnije algebarske forme
uslova plastičnosti i izraze za napone od opterećenja oko otvora. Za složene algebarske oblike ili
numerički definisane uslove plastičnosti koriste se numerički, iterativni, postupci.
Usvojeno je da se ponašanje unutar plastifikovane oblasti (R) opisuje Kulon-Morovim uslovom
plastičnosti (sa vršnim ili rezidualnim vrednostima parametara čvrstoće sredine). Tok napona σrp i σtp
unutar plastifikovane oblasti oko
kružnog
otvora opterećenog jednakopodeljenim radijalnim
opterećenjem pi dovoljno tačno je opisan izrazima
Φpr = (pi + c.ctgν)(r/ri)N-1 - c. ctgν
Φpt = N. Φpr + ∃CMp
(6.63)
(6.64)
Nešto bolje rešenje predloženo je u radu /16 / pod pretpostavkom periodične promene radijalnog
podeljenog opterećenja pi pa imamo da je tok normalnog napona σrp :
Φpr = (pi + c.ctgν)(r/ri)N-1 - c. ctgν +
(6.65)
19
P
Power
Engine
eering - Desig
gn - Consultin
ng
1 - sinϕ
ϕ
+ γ.⎯⎯⎯⎯
⎯ .r[(r/ri - 1)cosη
1-3.sin
nϕ
p
dok izraz za tok tangen
ncijalnog napo
ona σt ostajje nepromenjjen. U ovom rešenju
r
vredn
nost prividnog ugla
eg trenja ogrraničena je na
a
unutrašnje
ϕ < arc sin(1/3)
(6.66)
što odgovvara vrlo mekiim stenama. Poznajući
P
gra
anicu (L), izraze za tok napona u (E) i (P) oblasti ge
eneralno
grafički prikaz
p
toka na
apona je kao na skici:
atkad u literaturi nalazi i na
a linearne promene napona
a unutar plasttifikovane zon
ne (R).
Napominje se da se ka
čnoj konturi (L
L) za r = rL je
e
Na granič
ΦprL = (pi + c.ctgν)(rL//ri)N-1 –- c. ctg
c ν
(6
6.67)
Na konturri (L) postoji veza
v
između komponentn
nih napona rešenja
r
teorije
e elastičnosti
ΦerL + ΦetL = F(p,k,η)
(6
6.68)
Po analog
giji za slučaj homogenog
h
naponskog po
olja kada imam
mo da je
ΦerL + ΦetL = 2po
(6
6.69)
ΦerL = 2p* - ΦetL
(6
6.70)
može se napisati
n
smenom u uslov plastič
čnosti definisan analitički u formi
fp = fp (σ1 , σ3 , K1 , K2 , ...)
(6.71)
Power Engineering - Design - Consulting
p
i rešavanjem po σrL dobija sez oblika
ΦprL = Θ (p* , K1 , K2 , ...)
(6.72)
a koji se može postupkom dodavanja i oduzimanja p* dovesti na oblik
ΦprL = p* - R
(6.73)
Izraz
R = p* - Θ (p* , K1 , K2 , ...)
(6.74)
daje meru otpora sredine plastifikaciji, kako ju je uveo još Ladanji / / mada za homogeno naponsko
polje oko kružnog iskopa. Izjednačavanjem desnih strana izraza (6.67) i (6.73) sledi posle sređivanja:
1
*
⎡ p +c.ctgϕ - R ⎤ ⎯⎯
rL/ ri = ⏐ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⏐ N-1
⎣ pi + c.ctgϕ
⎦
(6.75)
vodeći pritom računa da je p* izraz koji zavisi od vrste opterećenja, odnosa intenziteta opterećenja, kao
i od ugla radijus vektora η.
Za slučaj ako se stavi da je
rL/ ri = 1
(6.76)
sledi da to nastupa u slučaju kada opterećenje pi na intradosu konture iskopa dostigne neku kritičnu
vrednost
pi,krit = p* - R
(6.77)
Ponašanje sredine oko iskopa pri snižavanju intenziteta opterećenja pi počev od p* do pi,krit je elastično,
a ispod te granice počinje da se razvija plastifikovana zona (P). Prema usvojenom rešenju za naponsko
stanje u elastičnoj oblasti za graničnu konturu (L) spoljne opterećenje je jednako radijalnom naponu σrLe pa
može da se piše prema ( ):
r
r
⎡
⎤
ο etL = γh ⎢1 + k − 2(1 − k ) cos 2η − i k cos η + i (1 − k ) cos 2η⎥ − σ erL
h
h
⎣
⎦
(6.78)
i sledstveno (6.70)
1r
1r
⎡1 − k
⎤
p* = γ ⎢
− (1 − k ) cos 2η − i k. cos η + i (1 − k ) cos 3η⎥
2h
2h
⎣ 2
⎦
(6.79)
Primenom odgovarajućih izraza za uslov plastičnosti potražiće se izrazi za otpor sredine plastifikaciji čime
je problem rešen, pošto izraz za izračunavanje položaja tačaka granice (L) važi za sve uslove
plastičnosti.
6.3.1. Kulon-Mor-ov uslov plastičnosti
21
Power Engineering - Design - Consulting
Uslov plastičnosti je dat sa
fp = σ1 - N. σ3 - βCMpr
(6.80)
odn. na graničnoj konturi (L) je
fp = σtL - N. σrL - βCMpr
i sa
(6.81)
σtL =2p* - σrL
σ erL = σ prL =
(6.82)
p * − β CM
pr
(6.83)
N +1
sledi
odn. proširenjem sa +p* i -p* i uređenjem do oblika (
σ rL = p * −
odakle sledi da
plastičnosti
je
otpor
sredine
R CM =
):
( N − 1)p * + β CM
pr
(6.84)
N +1
plastifikaciji
za
izotropno ponašanje po
( N − 1)p * + β CM
pr
Kulon-Morovom uslovi
(6.85)
N +1
6.3.2. Ferharstov uslov plastičnosti
Za Ferharstov uslov plastičnosti
f p = σ1 − σ 3 − κβ pr − 2 κβ pr σ 3 + mκβ 2pr = 0
(6.86)
f p = σ tL − σ rL − κβ pr − 2 κβ pr σ 3 + mκβ 2pr = 0
(6.87)
odnosno
na identičan način kao i u prethodnom slučaju uvođenjem
σ etL = 2p * − σ erL
(6.88)
i rešavanjem po σrLp uz dodavanje i oduzimanje p* dobija se
σ rL
⎛ κβ pr
= p − p κβ pr + mκβ − ⎜⎜
⎝ 2
*
*
2
pr
⎞
⎟⎟
⎠
2
(6.89)
22
Power Engineering - Design - Consulting
i odmah sledi da je
⎛ κβ pr
R F = p κβ pr + mκβ − ⎜⎜
⎝ 2
*
2
pr
⎞
⎟⎟
⎠
2
(6.90)
U ovom slučaju se mora kontrolisati znak potkorene veličine; ako je znak (-) nema uslova da se ostvari
otpor plastifikaciji.
6.3.3. Huk-ov uslov plastičnosti
Ovaj uslov plastičnosti se koristi u nenormalizovanom obliku tj. svi parametri će
jednoaksijalnom čvrstoćom uzorka stene βpso pa će uslov plastičnosti imati oblik
se
umnožiti
f p = σ1 − σ 3 − mβ p σ 3 + sβ 2p = 0
(6.91)
f p = σ tL − σ rL − mβ p σ rL + sβ 2p = 0
(6.92)
odnosno
i uz
σ tL = 2p * − σ rL
dobija se
2p * − 2σ rL − mβ p σ rL + sβ 2p = 0
(6.93)
Rešavanjem ovog izraza po nepoznatoj σrL uz usvajanje logičnog znaka ispred potkorene veličine i
manjih transformacija dobija se
σ rL
⎛ 8p * + mβ p
=p +
− ⎜
⎜
8
8
⎝
*
mβ p
što se dovodi lako na oblik (
2
⎞
⎟ − 1 (4p * − sβ 2p )
⎟
4
⎠
(6.94)
)
⎡ ⎛1
⎤
1
1
⎞ 1
σ rL = p * − ⎢ ⎜ p * mβ p + m 2 β 2p + sβ 2p ⎟ − mβ p ⎥
64
4
⎠ 8
⎢⎣ ⎝ 4
⎥⎦
(6.95)
odakle sledi neposredno
RH =
1 *
1
1
1
p mβ p + m 2 β 2p + sβ 2p - mβ p
4
64
4
8
(6.96)
23
Power Engineering - Design - Consulting
6.3.4. Slučaj anizotropnog ponašanja stenske mase
Analogno uslovu plastičnosti Kulon-Mor može se napisati izraz za otpornost stenske mase u već poznatoj
formi
β = 0 ± kπ, k = 1,2,3,..
( N − 1)p * + β
N +1
R=
(6.97)
ili razdvajanjem radi lakše analize
β
N −1 *
p +
N +1
N +1
(6.98)
abs( N − 1) *
β
p +
abs( N + 1)
abs(N + 1)
(6.99)
R=
odnosno zbog fizike problema
R=
Analizom ponašanja ustanovljeno je da singularnosti nastupaju za sledeće vrednosti ugla β:
a). za
β=
π
± kπ, k = 0,1,2,3,..
2
(6.100)
b). za
β=ϕ
(6.101)
U slučaju kada je
β=0, π,2π,…
graničnim prelazom dobija se da je
R = p * + cctg ϕ
(6.102)
a za
π 3π
β = ϕ, , ,...
2 2
(6.103)
vrednost R
je :
R=∞
24
Power Engineering - Design - Consulting
v). za slučaj kada je
sin 2β + 2 tg ϕ sin 2 β = 0
(6.104)
što nastupa za
β = π − arctgϕ
(6.104a)
Analizom po kvadrantima proizilaze sledeća dva slučaja:
β = 2π − arctgϕ
(6.104b)
β = π − arctgϕ
Kritično opterećenje pri kome nastupa plastifikacija je dato sa
p i ,krit = p * − R
(105)
Algebarski gledano, ima specifičnih slučajeva zbog vrednosti odnosa k kada ova vrednost može biti i
algebarski negativna. To znači da je otpornost stenske mase plastifikaciji izražena parametrom R
tako velika, da treba aplicirati opterećenje pi sa smerom zatezanja iskopne konture da bi nastupila
plastifikacija. Naravno, ovo je posledica osobina uslova plastičnosti i u tom slučaju otpornost stenske
mase R ne može biti veća od vrednosti p* odn. pošto je tada
pi,krit = 0
tj. pri iskopu bez sistema osiguranja do plastifikacije uopšte ne dolazi.
Relativan odnos
p i ,krit
pv
=
p* − R
pv
(6.106)
može imati zbog odnosa k i vrednosti veće od 1, ali to je iz razloga što parametar p* menja svoju
vrednost u funkciji ugla η. Za slučaj k = 1 toga nema (i niko od autora to ne pominje jer većina koristi u
svojim radovima slučaj k = 1).
Položaj granice (L) se i dalje određuje istim postupkom iteracije preko izraza
1
rL ⎛ p * + c" ctgϕ"− R ' ⎞ N"−1
⎟
=⎜
ri ⎜⎝ p i + c" ctgϕ" ⎟⎠
(6.107)
uz početnu vrednost
⎛ rL
⎜⎜
⎝ ri
⎞
⎟⎟ = 1
⎠0
25
=
ε
tL
tr
rF
E
−
,E
tL
,tF
Lt
(6.111)
Power Engineering - Design - Consulting
i kontrolom iteracije sa
abs[(rL ) i − (rL ) i −1 ] < Δ
pri čemu se usvaja da je Δ obično 0.001 tj. 1 mm.
Numeričkim ispitivanjem funkcionisanja uslova plastičnosti za anizotropno odn. ortotropno ponašanje
stenske mase ustanovljeno je da promena ugla η ide od 0 do π, a potom se fizički gledano (videti skicu)
ugao η opet menja od 0 do π. Dakle, u slučaju ugla η većeg od π, prilikom promene ugla η od 0 do 2π, isti
se mora umanjiti za π i dalje produžiti proračun. Ovo je naročito važno prilikom izrade rutina za grafički
prikaz.
6.4. Izračunavanje deformacija i pomeranja na granici (L)
U delu 6.1. postavljene su osnove postupka za izračunavanje deformacija i pomeranja za elastičnu
anizotropnu sredinu. Primenom izraza (6.22) uz poznate izraze za promenu početnog naponskog stanja
sredine (6.23) i (6.24) javlja se potreba za nizom integrala koji će se koristiti u daljem radu. Ako je donja
granica integracije rL, a gornja granica r2, uvodi se odnos:
ζ=
rL
r2
(6.108)
Izrazi za koeficijente Ftr,L i Ftt,L se dobijaju iz ranije nađenih integrala vodeći računa o donjoj i gornjoj granici
odn. odnosu (6.108):
r ⎡3 + k
⎧1 + k
1− k
1− k
⎤⎫
Ftr ,L = γh ⎨
(J 0 − J 2 ) +
(J 0 − 4J 2 + 3J 4 ) cos 2η − L ⎢
(J 00 − J 1 ) cos η +
(J 00 − 5J 3 + 4J 5 ) cos 3η⎥ ⎬ +
2
h ⎣ 4
4
⎦⎭
⎩ 2
(6.109)
r ⎡1 + 3k
⎧1 + k
1− k
1− k
1− k
⎤⎫
Ftt ,L = γh ⎨
(J 0 + J 2 ) −
(J 0 + 3J 4 ) cos 2η − L ⎢
− J 00 −
J 1 cos η −
(J 00 − J 3 + 4J 5 ) cos 3η⎥ ⎬ −
2
h ⎣ 4
4
4
⎦⎭
⎩ 2
(6.110)
Konačno, tangencijalna deformacija na graničnoj konturi (L) za elastično ponašanje iznosi
imajući u vidu da su u vrednostima za Er i Er sadržani izrazi koji vode računa o eventualnoj anizotropiji
deformabilnosti sredine. Radijalno pomeranje granične konture (L) za elastično ponašanje je dato sa
6.5. Deformacije i pomeranja unutar plastične oblasti
26
Power Engineering - Design - Consulting
Ispitivanje deformacija i pomeranja oko otvora u slučaju kada je nastupila plastifikacija
odn.
narušavanje uslova granične ravnoteže istorijski je išlo od Druker-ovog rešenja sa uslovom normalnosti
vektora brzina na površ uslova loma (odn. uslova plastičnosti), da bi ubrzo opiti demantovali to
polazište i usložnili problem: merenja su pokazivala da se lom stenske mase odvija kao da je Poasonov
koeficijent bio veći od 0.5 tj. kao da se javlja porast zapremine plastične oblasti; ovaj porast zapremine
stenske mase pri lomu koji se faktički dešava smicanjem dobio je naziv dilatansa (engl. dilatancy).
Sa ciljem upoređenja različitih rešenja, predložen analitički model je usvojio pored Druker-ovog i neka
rešenja koja polaze od pojave dilatanse, a koja je merljiva veličina tokom opita smicanjem.
Analitički model obuhvata rešenja razvoja deformacija i pomeranja unutar plastične oblasti :
a. Druker-ovo rešenje /13 /
b. Dekedr-ovo rešenje sa dilatansom /12 /
v. Ladanji-jevo rešenje sa dilatanskom, u nekoliko
izmenjeno / /
Rešenja b. i v. su sa neasociranim zakonima tečenja.
6.5.1. Druker-ovo rešenje
Ovo rešenje se zasniva na asocioranom zakonu tečenja uz uslov plastičnosti i on uopšte glasi
ε& ij = λ
∂f p
∂σ ij
(6.113)
Primenjen na Kulon-Morov uslov plastičnosti u obliku
σ1 = Nσ 3 + β CM
pr
(6.114)
f p = σ1 − Nσ 3 − β CM
pr
(6.115)
odn.
imamo da su parcijalni izvodi:
ε& pr = −λN
ε& pt = λ
(6.116)
ε& pz = 0
pa je i odnos
ε& pr
= −N
ε& pt
(6.117)
27
Power Engineering - Design - Consulting
odnosno
ε& pr = − Nε& pt
(6.118)
Za male vrednosti deformacija može se pisati
ε pr = − Nε pt
(6.119)
Dalje izvođenje zahteva uvođenje uslova kompatibilnosti deformacija. Za slučaj rotaciono-simetričnog
opterećenja i homogeno izotropno ponašanje plastične sredine dovodi do poznate diferencijalne
jednačine
dε pt N + 1 p
+
εt = 0
r
dr
(6.120)
uz uslove na konturi
r = rL , u pL = u eL
(6.121)
i zbog veze
u=rεt
(6.122)
je
εt =
u
r
(6.123)
Smenom (6.119) u (6.120) dobija se diferencijalna jednačina
dε pt N + 1 p
+
εt = 0
r
dr
(6.124)
čije je opšte rešenje
ε pt = C.r − ( N +1)
(6.125)
Unošenjem konturnih uslova (6.121) na konturi (L) sledi:
C = rLN +1ε etL
(6.126)
i konačno se dobija partikularno rešenje za tačku datu radijusom
ri > r > rL
28
⎛r ⎞
ε pt = ε etL ⎜ L ⎟
⎝ r ⎠
Power Engineering - Design - Consulting
N +1
(6.127)
Za iskopnu konturu (i) je:
⎛r
ε = ε ⎜⎜ L
⎝ ri
p
ti
e
tL
⎞
⎟⎟
⎠
N +1
(6.128)
a radijalno pomeranje iskopne konture je
u i = ri ε pti
(6.129)
Ovo rešenje služi samo kao ilustracija potpunog rešenja problema i komparacija sa ostalim rešenjima
moguća je samo uz uslov da je k=1 i za mali odnos rL /h tj. za veoma duboko postavljene tunele.
Primena nelinearnih uslova plastičnosti ne može dovesti ni u najelementarnijem slučaju opterećenja sa
k = 1 do rešenja u zatvorenom obliku, te je tada moguće primeniti neki od postupaka numeričke
integracije (Runge-Kuta, i sl.).
Primena asociranog zakona tečenja na opštiji slučaj opterećenja tj.kada je k <1 nije od inetresa jer se
pokazuje da ovo rešenje daje zbog eksponenta N+1 značajno veći prirast plastičnih radijalnih
pomeranja od opažanih, te ima samo akademsku vrednost.
6.5.2. Dekedr-ovo rešenje
U svojoj monografiji /12/ Dekedr polazi od zakona tečenja u obliku
ε r = ε erL + αε p =
ε t = ε etL − ε p =
du
r
u
r
(6.130)
pri čemu su
α - vrednost dilatanse u plastičnoj oblasti
εp - plastični deo deformacije
Eliminacijom εp se dobija
du α
+ u = ε erL + αε etL
dr r
(6.131)
m = ε erL + αε etL
(6.132)
Ako se uvede:
diferencijalna jednačina (6.131) ima opšte rešenje:
u=
m
r + Cr −α
α +1
(6.133) 29
i
u
=
itL
rα
ε⎜⎝⎢⎣
−
⎟⎠⎜⎝ir1
+
⎥⎦1
α
+
(2r
iη
−
)r
d
0L
=
−
(2r
)(
1
0ir
sr
ε+
L
(6.137)
)
d
η
(6.138
Power Engineering - Design - Consulting
Za konturni uslov
dobija se da je integraciona konstanta
i konačno je uz smenu r = ri
odnosno
6.5.3. Ladanjijevo rešenje
B.Ladanji /22/ polazi od pretpostavke homogene plastifikacije unutar plastične oblasti i uz pomoć odnosa
datih na skici:
formira se bilans promena površina pre i posle plastifikacije
30
Power Engineering - Design - Consulting
uz
ri' = ri 0 − u i
rL' = rL 0 − u L
(6.139)
smenom u (6.138) i posle razvijanja, skraćivanja i rešavanja po nepoznatom pomeranju ui dobija se
u i = ri 0 − ri20 − (rL20 − ri20 )α − 2rL 0 u L + u 2L
(6.140)
ili ako se izvrši deljenje sa rio uz uvođenje rio = ri , rLo = rL:
⎡r
⎤
⎛r
ε ti = 1 − 1 − ⎢ L − 1⎥ α − 2⎜⎜ L
⎣ ri
⎦
⎝ ri
2
⎞
⎛r
⎟⎟ ε tL + ⎜⎜ L
⎠
⎝ ri
2
⎞ 2
⎟⎟ ε tL
⎠
(6.141)
Ako se kao mala veličina višeg reda zanemari član εtL2 dobija se:
⎡r
⎤
⎛r
ε ti = 1 − 1 − ⎢ L − 1⎥ α − 2⎜⎜ L
⎣ ri
⎦
⎝ ri
2
⎞
⎟⎟ ε tL
⎠
(6.142)
Ovde je α priraštaj usled pojave dilatanse i fizički je jednak srednjoj vrednosti zapreminske deformacije.
Ova napomena se daje da bi se ova vrednost α razlikovala od iste oznake u izrazu (6.137) Dekedrovog
modela.
Ovim je zaokružen analitički model
anizotropne sredine oko kružnog otvora.
*
za
ispitivanje
*
ponašanja elasto-krutoplastične homogene
*
Koristeći Nortonov TurboBASIC uradjen je program PASTM pomoću koga je moguće
numerički ispitivati odn. provesti parametarsku analizu ponašanja kružnog iskopa za
napred date uslove ponašanja stenske mase.
31
Power Engineering - Design - Consulting
7. LITERATURA
1. L.v.Rabczevicz: Bolted Suport for Tunnels, Water-Power, April 1954.
2. L.v.Ravczevicz: Die Ankerung im Tunelbau erzetzt bisher gebrauchliche
Einbaumetodev, Schw.Bauzeitung, 75.J.Nr.9,2.Martz 1957.
3. S.Timošenko: Teorija elastičnosti, Građ.knjiga 1962.
4. L.v.Rabczevicz: The New Austrian Tunneling Method, I. & II, Water-Power
Nov.Dec.1964.
5. L.v.Rabczevicz,K.Sattler: Die Neue Oesterreichische Tunnelbauweise,
Bauingenieur 1965,H.8,289-301.
6. K.V.Ruppenejt: Mehanicheskie svoistva gornih porod ,Gostehizdat, 1968.
7. L.v.Rabczevicz, J.Goelser: Principles and Dimensioning the Supporting System
for the New Austrian Tunneling Method, Water-Power March 1973.
8. L.v.Rabczevicz,J.Goelser: Application of NATM to the undergrounf works at
Tarbela , I,II, Water-Power Sept. Oct. 1974.
9. G.Feder,M.Arwanitakis: Zur Gebirgsmechanik ausbruchnaher Bereiche tiefligender
Hohlraumbauten, BHM, 1976/4, 103-117.
10. G.Feder: Zur Wirkungsweise der Systemankerung von Hohlraumbauten in isotropen
festen Gebirge, BHM,1976/6, 225-229.
11. G. Feder: Zum Stabilitaetsnachweis fuer Hohlraume in festen Gebirge bei
richtungbetonten Primaersdruck, BHM, 1977/4, 131-140.
12. F. Descoedres: Mechanique des roches, Lausanne 1977, ETH Lausanne.
13. J.C.Jaeger , N.G.W.Cook: Fundamentals of Rock Mechanics, Science Paperback,
1977.
14. G.Gudehus: Finite elements in Geomechanics, J.Willey&Sons, 1977.
15. Grundlagen u.Anwendungen der Felsmechanik, Koloqium Karlsruhe 1978.
16. K.Fukushima: Tentative design principles for tunnel supports,
Weak Rock Symposium Tokio 1981,927-932.
17. G.Feder: Zur Wirkungsweise und Gestaltung voll eingemortelter Stabanker,
Tunnel 2/82
18. @.Radosavljević: Armirani beton I, Građevinska knjiga , 1988.
19. K. Kovary: Eing beitrag zum Bemessungsproblem von Utertagbauten, Schw.Bauz.
1969,87/37.
20. M.Herzog: Die vereinfachte Bemessung des Tunnelausbaues, Die Bautechnik 8/1979.
21. E.Hoek,E.T.Brown: Underground excavations in rock, Inst. of Mining and Metalurgy,
1983.
22. J. Talobre: La mechanique des roches, Dunod 1957.
32
Power Engineering - Design - Consulting
33
Download

prilog analitičkom modelu ponašanja kružnog tunelskog iskopa