Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri
Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri
Venturi Deney Sistemi
Akışkanlar dinamiğinde, sürtünmesiz akışkanlar için Bernoulli prensibi akımın hız
arttıkça aynı anda basıncının yada potansiyel enerjisinin azalacağını söyler. Bu prensibe
Bernoulli prensibi adı 1738 yılında Hydrodynamica kitabında akışkanlar mekaniği
prensiplerini yazan Alman-İsveç matematikçi Daniel Bernoulli den sonra verilmiştir.
Bernoulli prensibi, enerjinin korunumu yasasından çıkarılabilir. Buna göre sabit bir
akımda, bir yolda hareket eden akışkanın sahip olduğu tüm mekanik enerjilerin toplamı
yine bu yol üzerindeki her noktada eşittir. Bu ifade kinetik ve potansiyel enerji
toplamlarının sabit olduğunu ifade eder. Bu yüzden akışkanın hızındaki herhangi bir artış,
akışkanın dinamik basıncını ve kinetik enerjisini orantılı olarak artırırken statik basıncını
ve potansiyel enerjisini düşürür.
Bernoulli prensibi, direkt olarak Newton'un 2'nci yasasından da elde edilebilir. Eğer
küçük hacimli bir akışkan yatay olarak yüksek basınçlı bölgeden düşük basınçlı bölgeye
doğru ilerliyorsa, arkada; önde olduğundan daha fazla basınç var demektir. Bu, akışkan
üzerinde net bir kuvvet uygulayarak akım çizgisi boyunca hızlanmasını sağlar
Bernoulli Denkleminin Enerjinin Korunumu Yasası ile Çıkarılması
Aşağıda şematik olarak verilen m kütlesindeki sıvının t=0 anında bulunduğu pozisyondan
sağa doğru hareket edip t=t1 anında yeni pozisyonuna geldiğini düşünelim.
Bu durumda sitemde yapılan iş W aşağıdaki denklemde verilmiştir.
W1 işi A1 alanına etkiyen P1 basıncının oluşturduğu F1 kuvveti ile m kütlesindeki sıvının
x1 kadar yol almasıyla oluşan iştir. W2 işi A2 alanına etkiyen P2 basıncının oluşturduğu
F2 kuvveti ile m kütlesindeki sıvının x2 kadar yol almasıyla oluşan iştir. İkinci iş ifadesi
kuvvet ile alınan yolun bir birine zıt yönlerde olmasından dolayı eksi işaretlidir.
Tüm bilinenler yerine yazıldığında denklem yukarıdaki son halini alır.
Yer değiştiren sıvının hacmi V kesit alanı A ile genişlik x!in çarpımına eşittir. Eğer
akışkan sıkışamaz bir akışkan ise bu hacim değişme sabit kalır.
İş denklemi ve hacim denklemi birlikte düşünülecek olursa
Yapılan iş akım kesitindeki mekanik enerjinin değişimine eşittir. Sistemin mekanik
enerjisi yukarıda verilen şekil yardımıyla elde edilebilir.
İlk ve son hal arasındaki enerji değişimi aşağıdaki ifade de verilmiştir.
Burada K m kütlesinde u hızı ile hareket eden sıvının kinetik enerjisidir. U ise aynı
kütledeki sıvının g yer çekimi ivmesine maruz h yüksekliğinde iken sahip olduğu
potansiyel enerjidir.
İş enerji teoremi bize sistem üzerinde yapılan iş o sistemde oluşan enerji değişimine eşit
olduğunu söyler, buna göre;
Eşitlikte denklemler yerine konulacak olursa
Elde edilir. Eğer denklemin her iki yanını V hacmine bölecek olursa sonuç aşağıdaki gibi
olacaktır.
Burada
Akışkan kütlesinin yoğunluğudur. Çıkarımımızı tamamlayacak olursak;
Denklemini elde ederiz.
Denklem sürtünmesiz ve sıkışmayan akışkanlar için akım
içindeki her hangi iki noktada geçerlidir.
Bernoulli Denkleminin Diferansiyel Enerji Denklemi ile Çıkarılması
Prof .Dr. Cahit Çıray Akışkanlar Mekaniğine Giriş (Mühendislik Yaklaşımı) kitabında
Bernoulli Denklemine diferansiyel enerji denklemi ile ulaşmıştır. Sıkışamayan
sürtünmesiz ve zamanla değişmeyen bir akım için diferansiyel enerji denklemi
yazıldığında:
⎞
D ⎛P 1 2
⎜⎜ + U + gz ⎟⎟ = 0
Dt ⎝ ρ 2
⎠
olduğu görülür. Toplam türevin parantez içindeki büyüklüğün akışkanın hareketi boyunca
zamana bağlı türevi ve olduğu ve değişmediği sonucuna varılabilir. Dolayısıyla akım
daneciğinin yörüngesi her noktasında parantez içindeki terim değişmez ve sabit bir
değere sahiptir.
⎛P 1 2
⎞
⎜⎜ + U + gz ⎟⎟ = sabit
⎝ρ 2
⎠
u eşitlikteki her bir terim birim kütledeki enerjidir. Dolayısıyla terimler sırasıyla birim
kütledeki basınç enerjisi, kinetik enerji ve potansiyel enerji ve tamamı birim kütledeki
toplam enerjidir.
⎛ P
⎞
1 2
⎜⎜
+
U + z ⎟⎟ = sabit
⎝ ρg 2g
⎠
Eğer denklemdeki bütün terimler g ile bölünürse eşitlikteki her bir terim akışkanın birim
ağırlığındaki enerjiyi gösterir. Dolayısıyla terimler sırasıyla birim ağırlıktaki basınç
enerjisi, kinetik enerji ve potansiyel enerji ve tamamı birim kütledeki toplam enerjidir.
Terimlerin boyutu uzunluk olup her bir terim için yük kelimesi kullanılır. Basınç yükü,
kinetik yük potansiyel yük ve tamamı toplam yük olur.
H=
P
1 2
+
U + z, H= sabit veya H 1 = H 2
ρg 2g
H bir akışkanın birim ağırlığındaki yüktür.
Enerjinin korunumu yasasının çok özel bir hali olan Bernoulli denkleminin temel şekli
yukarıda verilen denklemlerdir.
Şekilde I ve II noktalarında z ile noktaların referans düzlemine göre yükseklikleri, P/ρg
ile potansiyel yükleri ve U2/2g ile noktaların kinetik yükleri verilmiştir.
Şekil a ile bir akım iplikçiği temsil edilmiş ve I noktasından II noktasına giderken akım
iplikçiği gösterilmiştir. Buna göre I noktasında II noktasına giderken akım iplikçiğinin
yüksekliği artmaktadır ve hızı dolayısıyla kinetik yükü artmaktadır. Buna karşılık toplam
yükü sabit olduğu için potansiyel yükü ise azalmaktadır.
Şekil b ile ise kesiti ve yüksekliği değişen bir boru içinde 1 boyutlu akım için Bernoulli
Denklemi uygulaması görülmektedir. Borunun yüksekliği I noktasından II noktasına
giderken artmaktadır. Aynı zamanda boru kesit alanı ise azalmaktadır. Süreklilik
denklemi gereği 1 boyutlu akımlarda kesit alanı azaldığında hız artacaktır. Dolayısıyla
akımın kinetik yükü de artmaktadır. Akımın sürtünmesiz olduğu varsayımı ile toplam
yükü değişmeyecektir. Kinetik enerjideki bu artış potansiyel yükte azalmaya neden
olacaktır.
Piezometre deliği: Her hangi bir borunun üst kısmına açılacak küçük bir delik ile borunun
o noktasındaki statik basıncın ölçülmesi için kullanılabilir. Bu deliğe piezometre deliği
denir. Boru çeperinde akım boru yüzeyine teğet olduğu için bu noktada okunacak basınç
sadece o noktadaki statik basınç olacaktır. Bu noktaya eğer ince bir saydam tüp
bağlanacak olursa boru içinde yükselen sıvını yüksekliği ise tam olarak P/ρg kadar
olacaktır.
Yukarıda şekillerde sürekli kırmızıçizgi ile gösterilen toplam enerji çizgisidir buna
karşılık kesikli kırmızıçizgi ile gösterilen ise o noktadaki piyezometrik yüklerdir.
Basınç Yükü, Hız Yükü, Potansiyel Yük ve Toplam Yük
Rezervuara bağlı kesiti ve yükseklikleri değişen boru siteminde bu yüklerin nasıl
değiştiğine bakacak olursak
Rezervuar ve bağlantı borusu
Bu boru akımını analiz etmek için Bernoulli Denklemini rezervuar su yüzeyi ile buru
üzerinde her hangi bir nokta arasında yazabiliriz.
Rezervuardaki toplam yük H, rezervuar atmosfere açık olduğu için basıncı,
rezervuar hacmi çok büyük olduğu için rezervuar içindeki su hızı
toplam yük H=z1 rezervuardaki su yüksekliğine eşit olacaktır.
ve
, sonuç olarak
Eğer boru içinde akım yoksa boru üzerine bağlanan piyezometrik tüplerde su seviyesi
boru boyunca rezervuar seviyesi kadar olacaktır. Bu yük çizgisi ile piyezometrik yük
çizgisi üst üste aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi olacaktır.
Toplam enerji ve Piezometrik seviyesi akım olmadığı zaman
Boru içindeki akım hızı u = 0
Boru içinde bir akıma izin verilirse yani u≠0 ise bu durumda toplam enerji çizgisi
değişmezken u2/2g≠0 olduğu için piezometre çizgisi hız yüksekliği kadar toplan enerji
çizgisi altında kalacak.
Toplam enerji ve Piezometrik seviyesi akım olduğu zaman
Eğer boru çapı bölgesel olarak değiştirilecek olursa çapın değiştiği bölgedeki hız diğer
kısımdan farklı olacak dolayısıyla hız yükleri de farklılık gösterecektir.
Toplam enerji ve piezometrik seviyeler farklı boru çapları olduğu zaman.
Venturimetre
Bir venturimetre’nin şematik görünümü aşağıdaki Şekilde gösterilmiştir. Akım, ucu
konik olarak kesilmiş silindirik yapıdaki flanşlı A kısmından girer, B boğazından geçer
ve konik kesimli uzun C bölümünden çıkar. Giren akım (üst akım) silindirik ve konik
kısmın bağlantı noktasında üzerinde küçük delikler (E) bulunan dairesel bir halkadan (D)
geçerken basıncı düzenlenir; D ve E’ler den oluşan bu kısma "piezometre (basınçölçer)"
denir. Giriş akımının basıncı F tapasından ölçülür. İkinci bir piezometre G boşluğu ve H
delikleri ile boğazda bulunur; delikler çok hassas yapılmıştır ve işlenmiştir. Boğazdaki
basınç I tapasıyla kontrol edilir. F ve I tapaları arasına uygun bir basınçölçer (bir
manometre gibi) bağlanarak giriş ve çıkış akımları arasındaki basınç farkı ölçülür
Şekil Venturimetre
Venturimetrede giriş konisinde hız artar, basınç düşer. Giriş konisindeki basınç düşüşü,
sistem boyunca olan akış hızının ölçülmesine olanak verir. Sonra hız azalır ve C
konisinin çıkışına doğru akım orijinal basıncına döner. Düşen basıncın tümüyle geri
kazanılması için C deki konikliğin açısı küçük tutularak sınır tabakası ayrılması önlenir
ve sürtünme en aza indirilir.
Venturimetreler gazların ölçülmesinde kullanılan ölçü aletleri olmasına karşın, özellikle
su gibi bazı sıvılar için de uygundur.
Sıkıştırılamayan akışkanlar için venturimetre temel denklemi, Bernoulli eşitliğinden
çıkarılır. D ve G iki basınç noktası arasında Bernoulli denklemi yazılır. Sürtünme
olmadığı, metrenin yatay durduğu edilir. Va ve Vb, ortalama üst (giriş) ve alt (boğazdaki)
akım hızları, ρ akışkanın yoğunluğudur.
Denklemde
Debi ise
Denklemde
Cv düzeltme faktörü olarak deneysel olarak saptanır; buna, "venturi katsayısı"
denilmektedir. İyi dizayn edilmiş venturimetreler için, Cv ≈ 0.98, daha büyüklerde Cv ≈
0.99 dolayındadır
Venturi Borusu Bernoulli Denkleminin Uygulaması
Deney Sistemi
Deney sistemi iki rezervuar arasına yerleştirilmiş dikdörtgen değişken kesitli bir borudan
oluşmaktadır. Giriş rezervuarına bağlanmış akım borusu ile siteme su alınmaktadır. Çıkış
rezervuarının seviye kontrol borusu ile sistemden geçen debi ayarlanmaktadır. Bu sırada
değişken kesitli boru üzerine yerleştirilen piyezometre uçlarından boru boyunca oluşan
piyezometrik yükseklikler gözlenmektedir.
Dikdörtgen kesitli boru kesit alanları
Ölçüm
noktaları
Kesit
alanları
mm2
1
102.5
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
90.11
77.66
65.22
52.77
40.32
52.77
65.22
77.66
90.11
11
102.5
6
Deney Prosedürü
Deney için giriş tankına bağı olan vana açılarak sisteme su verilecektir. Çıkış
rezervuarındaki seviye ayarlandıktan sonra akımın zamanla değişmeyen duruma gelmesi
için uygun süre beklenecektir. Hacim tankı yardımıyla belirli bir süre içinde dolacak
uygun hacim gözlenerek debi bulunacaktır. Ardından 11 piezometre borusundaki
yükseklikler okunacak ve kaydedilecektir. Elde edilen veriler ile aşağıda raporda istenilen
değerler hesaplanacaktır.
Deney Raporunda Yapılması İstenilenler
1. Debiyi rotametre ve hacim tankını kullanarak bulunuz.
2. Tüm noktalarda piyezometrik yükseklikleri okuyunuz
3. 1 ve 6 noktalarının piyezometrik yüksekliklerini ve venturi denklemini kullanarak
debiyi hesaplayınız.
4. Ölçüm yapılan tüm noktalardaki hızları kullanarak hız yüksekliklerini bulunuz
5. Piezometerik yük çizgisini ve buna hız yükseklikleri ekleyerek bulacağınız
toplam enerji çizgilerini grafik olarak çiziniz.
Hazırlayan: Onur Dündar
Download

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve