0
1
Goran Kostić
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
METR L ŠKI
PRIRUCNIK
Recenzent
dr Gligorije Perović, redovni profesor
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu
STRANE IZ: Kostić (2014) Metrološki priručnik (SY360)
Distributer
Symmetry, Jovana Cvijića 5, 16000 Leskovac, Srbija
Telefon: +381 (0)16 237-340
symmetry@ ptt.rs
www.symmetry.rs
Kataloška oznaka SY360
II
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
Sadržaj
Sadržaj V
Predgovor XI
Uvod XIII
Slovni simboli XIV
I DEO OSNOVE MERENJA 1
1
Veličine i merne jedinice 3
1.1 Merljiva veličina 3
1.2 Veličine iste vrste 3
1.3 Sistem veličina 3
1.4 Osnovna veličina 4
1.5 Izvedena veličina 4
1.6 Ordinalna veličina 4
1.7 Dimenzija veličine 5
1.8 Merna jedinica 6
1.9 Osnovna merna jedinica 6
1.10 Izvedena merna jedinica 6
1.11 Koherentna merna jedinica 6
1.12 Vrednost veličine 6
1.13 Brojčana vrednost veličine 7
1.14 Stvarna vrednost veličine 7
1.15 Dogovorena vrednost veličine 7
1.16 Referentna vrednost 7
1.17 Merna skala 8
1.18 Jednačina veličina 8
1.19 Jednačina jedinica 8
1.20 Brojčana jednačina 8
1.21 Koeficijent konverzije jedinica 8
1.22 Međunarodni sistem veličina 9
1.23 Međunarodni sistem jedinica (SI) 9
1.24 Decimalne merne jedinice 15
1.25 Binarne merne jedinice 15
1.26 Merne jedinice van sistema 16
1.27 Izražavanje vrednosti veličine 16
1.28 Konstanta 17
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
V
VI
2
Merenja 21
2.1 Merenje 21
2.2 Metrologija 21
2.3 Merena veličina 21
2.4 Princip merenja 22
2.5 Metoda merenja 22
2.6 Postupak merenja 22
2.7 Stabilnost postupka 22
2.8 Standardni radni postupak 22
2.9 Standardni postupak merenja 23
2.10 Kvalifikacija i validacija 23
2.11 Validacija postupka merenja 24
2.12 Akreditacija 25
2.13 Planiranje eksperimenta 25
2.14 Matematički model 26
2.14.1 Primeri 26
3
Merila 27
3.1 Merilo 27
3.2 Materijalizovana mera 27
3.3 Granično merilo 27
3.4 Nazivna vrednost 27
3.5 Pokazivanje merila 28
3.6 Opseg pokazivanja 28
3.7 Merni opseg 28
3.8 Funkcija odziva 29
3.9 Merni pretvarač 29
3.10 Senzor 29
3.11 Detektor 29
3.12 Merni signal 29
3.13 Vreme odziva 29
3.14 Rezolucija 30
3.15 Osetljivost 30
3.16 Prag detekcije 30
3.17 Prag kvantifikacije 30
3.18 Dinamički opseg 30
3.19 Mrtav opseg 31
3.20 Histerezis merila 31
3.21 Uticajna veličina 31
3.22 Stabilnost 31
3.23 Selektivnost 31
3.24 Transparentnost 32
3.25 Referentni uslovi 32
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
Radni uslovi 32
Granični uslovi 32
Baždarenje merila 33
Greška pokazivanja merila 33
Greška kontrolne tačke merila 33
Greška nule merila 33
Pomerenost merila 33
Sopstvena greška merila 33
Klasa tačnosti 34
3.34.1 Primeri 34
3.35 Odobrenje tipa merila 34
3.36 Overavanje merila 34
4
Rezultat merenja i tačnost 35
4.1 Rezultat merenja 35
4.2 Tačnost 35
4.3 Apsolutna greška 36
4.4 Relativna greška 36
4.5 Slučajna greška 37
4.6 Sistematska greška 37
4.7 Granice greške 37
4.8 Kombinovana greška 38
4.8.1 Primer 38
4.9 Gruba greška 38
4.10 Korekcija 39
4.11 Ponovljivost rezultata merenja 40
4.12 Reproduktivnost rezultata merenja 40
4.13 Zaokrugljivanje broja 41
4.14 Značajne cifre 42
5
Etaloni i etaloniranje 43
5.1 Etalon 43
5.2 Referentni materijal 43
5.3 Primarni etalon 44
5.4 Sekundarni etalon 44
5.5 Transfer etalon 44
5.6 Referentni etalon 44
5.7 Radni etalon 44
5.8 Međunarodni etalon 45
5.9 Nacionalni etalon 45
5.10 Relativistički uticaji na vrednost etalona 45
5.11 Etaloniranje 48
5.12 Izveštaj o etaloniranju 49
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
VII
II DEO STATISTIČKA OBRADA REZULTATA MERENJA 51
6
Osnove statistike 53
6.1 O statističkim metodama 53
6.2 Statistička obrada rezultata merenja 54
6.3 Verovatnoća događaja 55
6.4 Slučajna promenljiva 55
6.5 Zavisna promenljiva i nezavisna promenljiva 56
6.6 Korelisana promenljiva 56
6.7 Slučajan uzorak i njegov obim 56
6.8 Raspodela promenljive 57
6.9 Aritmetička sredina populacije 58
6.10 Devijacija populacije 59
6.11 Normalna raspodela 60
6.12 Eksperimentalna aritmetička sredina 61
6.13 Još neke srednje vrednosti 62
6.14 Eksperimentalna standardna devijacija 63
6.15 Eksperimentalna standardna devijacija aritmetičke sredine 64
6.16 Standardna devijacija standardne devijacije 65
6.17 Stepen slobode 66
6.18 Efektivni stepen slobode 67
6.19 Nivo i interval poverenja 68
6.19.1 Primer 69
6.20 Pomerenost procene 70
6.21 Dobra procena 70
6.22 T- raspodela 71
6.23 Ravnomerna raspodela 74
6.24 Trougaona raspodela 75
6.25 Hi-kvadrat raspodela 77
6.26 F- raspodela 78
6.27 Histogram 79
7
Varijanse 81
7.1 Eksperimentalna standardna varijansa 81
7.2 Objedinjena sredina i varijansa vrednosti iz grupa 82
7.3 Standardne kovarijanse 83
7.3.1 Primer računanja standardne kovarijanse 86
7.3.2 Primer računanja standardne kovarijanse sredina 87
7.4 Standardni koeficijent korelacije 88
7.5 Kombinovana standardna varijansa 90
7.5.1 Primer kombinovane standardne varijanse vrednosti pH 92
7.5.2 Primer kombinovane standardne varijanse rednih otpornika 93
VIII
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
8
Testovi i izravnanja funkcija 97
8.1 Otkrivanje grubih grešaka 97
8.1.1 Primer 98
8.2 Izravnanje 99
8.3 Metoda najmanjih kvadrata 99
8.3.1 Primer 102
8.4 Test saglasnosti 104
8.5 P-vrednost 105
8.6 Matematički test saglasnosti 106
8.7 Procenjivanje tipa i parametara raspodele 108
8.8 Šapiro - Vilk test normalnosti raspodele 110
8.8.1 Primer 116
8.9 Pirsonov hi-kvadrat test raspodele 117
8.9.1 Primer 121
8.10 Test belog šuma 123
8.11 Analiza varijanse (ANOVA) 124
8.11.1 Primer 126
8.12 Transformacija podataka 128
9
Merna nesigurnost 129
9.1 Rezultat merenja i njegova merna nesigurnost 129
9.2 Standardna merna nesigurnost tipa A 130
9.3 Standardna merna nesigurnost tipa B 131
9.3.1 Primer 132
9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost 133
9.5 Proširena merna nesigurnost 133
9.6 Relativne standardne merne nesigurnosti 134
9.7 Postupanje sa rezultatima čija raspodela nije normalna v134
9.8 Izražavanje standardne nesigurnosti nekorigovanog rezultata
merenja 135
9.9 Izražavanje standardne nesigurnosti 136
9.10 Podaci u izveštaju o rezultatu merenja 137
9.11 Izračunavanje rezultata merenja i podataka koji se daju uz
njega 138
9.12 Primer etaloniranja termometra (iz [GUM] H.3) 139
9.12.1 Merni problem 139
9.12.2 Izravnanje metodom najmanjih kvadrata 139
9.12.3 Standardna nesigurnost predviđenog sabirka korekcije 142
9.12.4 Otklanjanje korelisanosti parametara preseka i strmine 143
9.13 Otpornost, reaktansa i impedansa, izračunate na osnovu istih
komponentnih rezultata (iz [GUM] H.2) 144
9.13.1 Merni problem 144
9.13.2 Matematički model merenja 145
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
IX
9.13.3 Standardne nesigurnosti i standardne kovarijanse
krajnjih rezultata - način a 145
9.13.4 Standardne nesigurnosti i standardne kovarijanse
krajnjih rezultata - način b 145
9.14 Primer standardne nesigurnosti etaloniranja graničnog merila 150
9.15 Metrološka sledivost 151
10 Indeks pojmova i mali metrološki rečnik 153
10.1 Indeks pojmova i srpsko - engleski metrološki rečnik 153
10.2 Indeks pojmova i englesko - srpski metrološki rečnik 163
Reference 173
X
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
Predgovor
Danas se, od pogona do fundamentalnih nauka, zahteva statistička
obrada rezultata merenja. Svrha te obrade je određivanje vrednosti merene
veličine kao i tačnosti te određene vrednosti. Traži se da tačnost bude
opisana mernom nesigurnošću kako bi se omogućila sledivost i obezbedilo
izračunavanje nivoa poverenja i intervala poverenja.
Suština merenja je ista u svim oblastima. Svrha ove publikacije je da
bude priručnik ljudima koji se bave merenjima za različite potrebe, od
proizvodnje do istraživanja, od fizike i hemije do biologije i medicine.
Publikacija je namenjena i studentima i đacima.
Pred Vama je priručnik u kome se jezgrovito ali sveobuhvatno opisuju
teme koje su neizostavne kod svih savremenih merenja. Priručnik čini
približno minimalan i dovoljan skup pojmova i metoda potrebnih da se
izračuna rezultat merenja i njegova merna nesigurnost. Tekst je u obliku
koji omogućava neposrednu primenu.
Način izlaganja je enciklopedijski. Međutim, redosled izlaganja omogućava
čitanje teksta kao knjige ili udžbenika. Čini se da je forma enciklopedije
pogodna za stručne napise jer olakšava sagledavanje veza između
koncepata. Same veze koncepata, suština su svakog uređenog znanja.
Veći deo ovog teksta je sinteza međunarodnih preporuka, naših propisa,
stručnih napisa i enciklopedijskih tekstova. Reference su date u uglastim
zagradama.
Posebna pažnja je posvećena definicijama termina i njihovom doslednom
korišćenju. Većina termina je u skladu sa drugim i trećim izdanjem publikacije
koju je izdao JCGM: Međunarodni rečnik osnovnih i opštih termina u
metrologiji (videti [VIM]). Drugo izdanje tog rečnika je prevedeno na srpski i
takođe je korišćeno (videti [Rečnik]). Od odrednica ovih rečnika se
odstupalo kada se smatralo da ne odgovaraju onome što treba da izraze, ili
da postoje znatno bolji domaći termini. Sva odstupanja od rečnika
naznačena su uz reference.
Drugi deo priručnika, o statističkoj obradi rezultata merenja, osnova je
za izračunavanje standardne merne nesigurnosti. Namenjen je svima koji se
bave obradom rezultata merenja, odnosno rezultata eksperimenata ili
posmatranja.
Poglavlje o standardnoj mernoj nesigurnosti je u skladu sa uputstvom
koje je izdao JCGM: Uputstvo za izražavanje merne nesigurnosti (videti
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
XI
[GUM]). Međutim, za razliku od navedenog uputstva, ovo izlaganje se sa
dobrim razlozima zasniva na klasičnim konceptima grešaka.
Nivo i interval poverenja rezultata merenja, mogu se smatrati svrhom svih
određivanja grešaka merenja. Tačnu procenu nivoa i intervala poverenja
omogućava standardna merna nesigurnost sledive vrednosti. Ovde je sledivost
opisana u kratkom, ali potpunom tekstu na kraju poglavlja o mernoj nesigurnosti.
Pred kraj predgovora naglasimo sledeće stavove iznete u [GUM].
Izračunavanje merne nesigurnosti nije rutinski, niti čisto matematički posao,
ono zavisi od detaljnog poznavanja prirode merene veličine i samog
merenja. Tačnost i upotrebljivost merne nesigurnosti zavisi od onoga ko
mernu nesigurnost određuje, njegovog razumevanja, kritičke analize,
intelektualnog poštenja i veštine u struci.
Sve jednačine u priručniku su za koherentne jedinice.
Engleski metrološki termini, kao i skraćenice i zapisi imena, su dati na
kraju priručnika u malom srpsko - engleskom i englesko - srpskom rečniku.
U priručniku se primenjuju sledeća obeležavanja.
● Podebljanim slovima su napisani termini na mestu gde se definišu.
● Podvlačenjem reči naznačeno je da u ovom priručniku postoje bliža
objašnjenja pojma koji podvučena reč označava.
● U zagradama su dati skraćeni termini koji se mogu koristiti kada to ne
dovodi do nejasnoća.
● Jednačine, tabele i slike su obeležene brojem glave, zatim tačkom, pa
njihovim rednim brojem u glavi.
● Velikim slovima je napisan tekst koji se naglašava.
Profesoru dr Gligoriju Peroviću, inženjeru Siniši Hristovu i dr Emini Krčmar,
zahvaljujem na pomoći u izradi priručnika. Dugogodišnjem kolegi inženjeru
Zlatku Sudaru sam zahvalan na primedbama koje su tekst učinile boljim.
Profesorki Ljiljani Sudar i profesoru dr Živomiru Petronijeviću zahvaljujem
na uloženom trudu i korisnim primedbama prvih, probnih, čitalaca.
Ovaj priručnik je izrađen u okviru razvoja merno-regulacione opreme,
koji je u toku u neformalnoj razvojnoj laboratoriji, nekada preduzeću,
Symmetry iz Leskovca.
Biće korisne sve primedbe čitalaca. Molim da ih dostavljate na e-poštu
ili adresu distributera.
U Leskovcu, 30. 6. 2014.
Goran Kostić
XII
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
Uvod
Merenja su od suštinskog značaja za delatnosti ljudi - od trgovine do
fundamentalnih nauka.
Međunarodna trgovina bila je jedan od važnih razloga za osnivanje
Međunarodnog biroa za tegove i mere (BIPM, fran. Bureau International
des Poids et Mesures). Biro doprinosi smanjenju tehničkih prepreka u
trgovini, obezbeđujući da se merenja i testiranja obavljena u različitim
zemljama smatraju ekvivalentnim.
Nauka uobličava svoje teorije na osnovu rezultata merenja koji su za nju
činjenice o materijalnom svetu, istinite u granicama grešaka merenja.
Činjenice se objašnjavaju pronalaženjem njihovih međusobnih veza.
U davnim raspravama evropskih naučnika o potrebi za novim objedinjenim
sistemom merenja, začet je Međunarodni sistem jedinica da bi zamenio
nacionalne i regionalne varijante. Različiti sistemi jedinica otežavali su korišćenje
razmenjenih naučnih podataka. Prvi predlog objedinjenog, zasnovanog na metru
(metričkog) i decimalnog sistema jedinica, dao je sveštenik Gebriel Muton
još 1670. godine u Lionu. Prvi metrički sistem ustanovljen je u Francuskoj 1799.
kao značajni plod Francuske revolucije. Sadašnja varijanta Međunarodnog
sistema jedinica (SI, fran. Système International d'unités) upotpunjena je
1971. na četrnaestoj Generalnoj konferenciji za tegove i mere (CGPM, fran.
Conférence Générale des Poids et Mesures). Svet je postao metrički od
početka 1993. kada je i u američkim vladinim institucijama SI postao primaran.
Međunarodni biro za tegove i mere stvoren je potpisivanjem diplomatskog
Ugovora o metru, u Parizu, 20. maja 1875. godine. Ugovor je ostao osnova
međunarodnog sporazuma o mernim jedinicama posle revizije 1921. godine.
Međunarodni biro je osnovalo 17 država, a juna 2014. godine biro je imao
56 država članica i 40 pridruženih članica. Sedište biroa je od osnivanja do
danas, u Sevru kod Pariza.
Zadatak Međunarodnog biroa za tegove i mere je da osigura svetsku
osnovu objedinjenog sistema merenja koja omogućavaju sledivost do
Međunarodnog sistema jedinica. Zato se biro bavi obezbeđenjem međunarodnih
etalona, poređenjem nacionalnih i međunarodnih etalona i obavljanjem i
organizovanjem merenja osnovnih fizičkih konstanti potrebnih za delatnosti biroa.
Međunarodni sistem jedinica usklađenim i potpunim obuhvatanjem svih
oblasti, izvanredno je oruđe moderne nauke i prakse koje su ga i stvorile.
[BIPM] [SI] PP 95, 1.8 [Britannica] [NIST]
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
XIII
1 Veličine i merne jedinice
1.1 Merljiva veličina
Merljiva veličina (veličina) je svojstvo tela, supstance ili pojave, koje
može da se kvalitativno razlikuje i kvantitativno odredi. (Veličina nije telo,
supstanca ili pojava.)
VELIČINA JE NEZAVISNA OD MERENJA I SISTEMA VELIČINA.
Termin „veličina“ može da označava veličinu u opštem smislu (dužina,
vreme, masa, temperatura...), ili vrednost pojedinačne veličine (dužina
određene šipke, električna otpornost određene žice, broj jedinki...).
[Rečnik] 1.1 [VIM] 1.1
1.2 Veličine iste vrste
Veličine iste vrste (ili veličine iste prirode) su veličine čije vrednosti
mogu da se uzajamno porede.
Primeri. Veličine iste vrste (dužine) su: prečnik, obim i talasna dužina.
Veličina energije i veličina momenta sile, imaju istu dimenziju, ali nisu iste
vrste.
U istom sistemu veličina:
- veličine iste vrste imaju istu dimenziju
- veličine istih dimenzija nisu neminovno iste vrste
- veličine različitih dimenzija su uvek različite vrste.
Veličine iste vrste mogu da se grupišu u kategorije veličina. Na primer:
- prečnik, obim, talasna dužina
- energija, rad, količina toplote.
[Rečnik] 1.1 napomena 2 [VIM] 1.2, 1.7
1.3 Sistem veličina
Sistem veličina čine osnovne veličine, izvedene veličine i funkcije koje
daju veze između tih veličina.
[Sonin] 2.7 [SI] 1.1, 1.2
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
3
1.4 Osnovna veličina
Osnovna veličina je određena samo fizičkim svojstvima. U sistemu
veličina, sa ostalim osnovnim veličinama, omogućava dobijanje izvedenih
veličina.
Za osnovne veličine sledeće matematičke operacije definisane su
fizičkim postupcima: poređenje, sabiranje, oduzimanje, množenje prirodnim
brojem i deljenje prirodnim brojem (prirodni brojevi su 1, 2, 3...). Svaki od
ovih postupaka se obavlja sa fizičkim svojstvima iste vrste i kao rezultat
daje svojstvo te vrste. Svaki od ovih fizičkih postupaka ima svojstva
odgovarajućih matematičkih operacija. Ovim se omogućava poređenje
svojstava kao i njihovo izražavanje jezikom matematike.
Određivanje skupa osnovnih veličina je donekle proizvoljno. Međutim, za
izabrane osnovne veličine mora da bude moguće definisanje operacija navedenih
u paragrafu 2. Poželjno je da su veličine iz skupa međusobno nezavisne.
Skup treba da bude minimalan iz koga je moguće izvesti sve potrebne veličine.
Primer: osnovne veličine mogu da budu, dužina, masa, površina, brzina
i sila. Oblik i boja ne mogu biti osnovne veličine jer se za njih ne može dati
prihvatljiv fizički postupak sabiranja.
Stvari iz prirode moguće je opisati jedino upoređivanjem sa nekoliko
poznatih stvari kojima pripadaju i osnovne veličine.
[Sonin] 2.2, 2.1 [SI] 1.2
1.5 Izvedena veličina
Izvedena veličina je u datom sistemu veličina definisana kao funkcija
osnovnih veličina.
U sistemu veličina, skup izvedenih veličina je neodređenog obima.
Izvedena veličina može, ali ne mora, da ima fizičku predstavu. Na
primer, kvadratni koren vremena nema fizičku predstavu.
[Rečnik] 1.4 [VIM] 1.5 [Sonin] 2.4, 2.7
1.6 Ordinalna veličina
Ordinalna veličina je veličina čija se vrednost određuje pravilima koja
se ne zasnivaju samo na matematičkim operacijama.
Ordinalna veličina nema mernu jedinicu niti dimenziju.
Primeri: pH u hemiji; tvrdoća po Mohu; oktanski broj za benzin; vrednost
subjektivnog osećaja bola u trbuhu, sa skalom od 1 do 5.
[VIM] 1.26
4
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
Tabela 1.3 Jedinice van SI, čija je upotreba dozvoljena u Srbiji u određenim
oblastima [Uredba] Član 1, Prilog 1.1., 1.2., 1.3.
Veličina
Jedinica van SI
Naziv
Oznaka
Vrednost u jedinicama SI
Dozvoljena
upotreba samo
ar
hektar
a
ha
1 a = 100 m2
1 ha = 10 000 m2
za izražavanje
površine zemljišta
barn
b
1 b = 100 fm2 = 10 − 28 m2
za izražavanje
efektivnog
poprečnog
preseka
litar
stepen
minuta, minut
sekunda
l, L
1 l = 1 dm3 = 10 − 3 m3
°
’
”
gon
1° = π / 180 rad
1’ = π / 10 800 rad
1” = π / 648 000 rad
1 gon = π / 200 rad
1 obrt = 2 · π rad
1 t = 1 000 kg
površina
zapremina
ugao u
ravni
masa
grad, gon
obrt
tona
unificirana
jedinica
atomske
mase 5)
t
u
1 karat = 0,2 g = 2 · 10−4 kg
karat
podužna
masa
1 u = 1,660 538 · 10 − 27 kg,
približno [CODATA]
teks
tex
1 tex = 10 − 6 kg · m −1
minuta, minut
sat, čas
min
h
1 min = 60 s
1 h = 3 600 s
dan
d
1 d = 86 400 s
bar
bar
1 bar = 10 5 Pa
pritisak
milimetar
živinog stuba
mmHg
1 mmHg = 101 325 / 760 Pa
energija
elektronvolt 6)
eV
1 eV = 1,602 176 565 · 10−19 J,
približno [CODATA]
jačina
optičkih
sistema
dioptrija
vreme
1 dioptrija = 1 m −1
za izražavanje
mase dragog
kamenja
za izražavanje
podužne mase
vlakna i konca
za izražavanje
pritiska krvi i
drugih telesnih
tečnosti
za izražavanje
jačine optičkih
sistema
5)
Unificirana jedinica atomske mase je jednaka 1 / 12 mase slobodnog atoma
ugljenika 12 u osnovnom stanju i u mirovanju. [SI] Table 7 (c)
6)
Kinetička energija koju primi elektron pri prolazu u vakuumu kroz polje
potencijalne razlike od jednog volta.
12
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
Tabela 1.4 Jedinice van SI iz posebnih oblasti, ili od istorijskog značaja
Veličina
Naziv jedinice
Oznaka
Vrednost u jedinicama SI
palac, col, inč, Zoll, inch
stopa, foot
jard, yard
milja, mile
morska milja, nautical mile
svetlosna godina, light year
angstrem, ångström
mil, mil
DTP tačka, DTP point
registarska tona, register ton
čvor, knoth
metrička centa, kvintal, quintal
funta, pound, libre
unca, ounce
din, dyne
erg, erg
kalorija, calorie
british thermal unit
konjska snaga
horse power
standardna atmosfera
tehnička atmosfera
pound per square inch
tor, torr
milimetar vodenog stuba
puas, poise
stoks, stokes
in, ”
ft, ’
yd
mi
mmH2O
1 in = 25,4 mm = 0,025 4 m
1 ft = 12 in = 0,304 8 m
1 yd = 3 ft = 0,914 4 m
1 mi = 1 609,344 m
1 M = 1 852 m
1 s. g. = 9,460 73 · 10 15 m
1Å =100pm= 0,1nm=10−10m
1 mil = 0,001 in = 0,025 4 mm
1 pt = (1/ 72) in = 0,352 8 mm
1 R. T. = 100 ft3 = 2,831 7 m3
1 kn = 1 M / h = 0,514 4 m / s
1 q = 100 kg
1 lb = 0,453 59 kg
1 oz = 28,349 5 g
1 dyn = 10 − 5 N
1 erg = 10 − 7 J
1 cal = 4,190 J
1 Btu = 1 056 J
1 KS = 735,499 W
1 HP = 745,7 W
1 atm = 101 325 Pa
1 at = 98 066,5 Pa
1 psi = 6 894,757 Pa
1 Torr = 133,322 4 Pa
1 mmH2O = 9,806 65 Pa
ersted, œrsted
maksvel, maxwell
P
St
°F
Oe
Mx
1P = 1dyn·s/cm2 = 0,1Pa·s
1 St = 1 cm2/ s = 10−4 m2/ s
t [°C] = (θ [°F] − 32 ) / 1,8
1 Oe = 79,577 5 A / m
1 Mx = 1 G · cm2 = 10 −8 Wb
gustina magnetskog
fluksa (m. indukcija)
gaus, gauss
G
1 G = 1 Mx / cm 2 = 10 −4 T
sjaj (svetlosti)
osvetljenost
stilb, stilb
fot, phot
neper, neper
bel, bel
decibel, decibel
sb
ph
Np
B
dB
1 sb = 1 cd /cm2 = 104 cd /m2
1 ph = 1 cd · sr /cm2 = 104 lx
N [Np] = ln (x1 / x0)
B [B] = log10 (P1 / P0)
D [dB] = 10 · log10 (P1 / P0)
dužina
zapremina
brzina
masa
sila
energija
snaga
pritisak
viskoznost, dinamička
viskoznost, kinematička
temperatura
magnetsko polje
magnetski fluks
logaritam količnika
vrednosti
stepen Farenhajta, degree Fahrenheit
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
M, NM
Å
mil
pt
R. T.
kn
q
lb
oz
dyn
erg
cal
Btu
KS
HP
atm
at
psi
Torr
13
2 Merenja
2.1 Merenje
Merenje je skup postupaka čiji je cilj određivanje vrednosti veličine.
Merenje podrazumeva poređenje vrednosti veličina ili brojanje jedinki.
Merenje se ne primenjuje na svojstva koja nemaju vrednost (npr. pol
čoveka, ISO dvoslovni kod države, sekvenca amino kiselina u polipeptidu...).
Za merenje su neophodni: definicija merene veličine, opis postupka
merenja i merilo.
[Rečnik] 2.1 [GUM] 3.1.1
2.2 Metrologija
Metrologija je nauka o merenjima.
Metrologija obuhvata sva teorijska i praktična gledišta merenja, bez
obzira na njihovu tačnost i bez obzira u kojoj se nauci ili tehnici koriste.
Zakonska metrologija su aktivnosti u vezi merenja propisanih zakonima.
Svrha zakonske metrologije je da bude garant javnosti za tačnost
merenja namenjenih: prometu roba i usluga, kontroli i bezbednosti
saobraćaja, zaštiti zdravlja, opštoj bezbednosti i zaštiti životne sredine.
[Rečnik] 2.2 [VIM] 2.2 [DMDM]
2.3 Merena veličina
Merena veličina je pojedinačna veličina koja se meri.
Zahtevana tačnost merenja određuje koliko detaljno treba da bude data
definicija merene veličine. Na primer, pri merenju dužine metalne šipke
sa relativnom greškom oko 5 · 10 − 6, definicija merene veličine sadrži
temperaturu i pritisak ambijenta u kome je šipka.
[Rečnik] 2.6 [VIM] 2.3 [GUM] 3.1.3
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
21
2.4 Princip merenja
Princip merenja je pojava na kojoj se zasniva merenje.
Primer: termoelektrična pojava koja se koristi pri merenju temperature.
[Rečnik] 2.3 [VIM] 2.4
2.5 Metoda merenja
Metoda merenja je zamisao primene principa merenja.
Primarna metoda merenja je metoda koja ima najviše metrološke
odlike, čiji je postupak potpuno objašnjen i opisan, i za koju je određena
kombinovana standardna nesigurnost slediva do SI jedinica.
Primarna raciometrijska metoda je primarna metoda merenja koja
određuje količnik merene vrednosti veličine i vrednosti veličine etalona iste
vrste.
Primarna neposredna metoda je primarna metoda merenja koja ne
koristi veličinu etalona iste vrste.
[BIPM] [NIST]
2.6 Postupak merenja
Postupak merenja (postupak, ili procedura) je logičan niz radnji koje
se obavljaju radi merenja. Postupak merenja je u skladu sa određenom
metodom merenja.
Uobičajeno je da postupak merenja bude potpuno određen dokumentom.
[Rečnik] 2.5
2.7 Stabilnost postupka
Stabilnost postupka (ili robusnost postupka) je odlika postupka da
promene u postupku i uticajnim veličinama malo utiču na rezultat merenja.
2.8 Standardni radni postupak
Standardni radni postupak, SRP (ili SOP) određene organizacije je
postupak potpuno određen dokumentom te organizacije.
Standardni radni postupak može da se odnosi na: uzorak, etalon,
opremu, potrošni materijal, dobijanje funkcije etaloniranja, korišćenje
obrazaca za računanje...
22
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
3 Merila
3.1 Merilo
Merilo je uređaj namenjen za merenje, sam, ili u sklopu sa drugim
uređajem ili uređajima.
MERILO SE PERIODIČNO PROVERAVA ILI KVALIFIKUJE OD STRANE
KORISNIKA ILI PRIZNATE LABORATORIJE. PROVERAMA SE UTVRĐUJE
DA LI JE U RADNIM USLOVIMA TAČNOST MERILA UNUTAR ODREĐENOG
OPSEGA I DA LI ĆE BITI U BUDUĆNOSTI UNUTAR TOG OPSEGA.
[Rečnik] 4.1 [VIM] 3.1
3.2 Materijalizovana mera
Materijalizovana mera (mera) je merilo namenjeno da reprodukuje ili
daje jednu ili više poznatih vrednosti veličine.
Primeri: teg, merilo zapremine, etalonski električni otpornik, granično
merilo, etalonski signal generator, referentni materijal.
Pokazivanje materijalizovane mere je vrednost koja joj je pripisana.
Greška materijalizovane mere je greška njenog pokazivanja.
[Rečnik] 4.2, 5.20 [VIM] 3.6
3.3 Granično merilo
Granično merilo je merilo koje daje jednu vrednost veličine.
Na primer, granična merila za dužinu imaju oblik: paralelopipeda,
štapića, listića, čepova, prstenova, račvi, itd.
„Ide - ne ide“ merilo je granično merilo koje se koristi za utvrđivanje da
li je merena veličina manja ili veća od njegovog pokazivanja.
3.4 Nazivna vrednost
Nazivna vrednost (ili nominalna vrednost) je zaokrugljena ili približna
vrednost svojstva merila.
[Rečnik] 5.3 [VIM] 4.6
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
27
4 Rezultat merenja i tačnost
4.1 Rezultat merenja
Rezultat merenja (ili izmerena vrednost, ili procenjena vrednost
veličine) je vrednost pripisana merenoj veličini na osnovu jednog ili više
merenja. Uz rezultat merenja se daju podaci o njegovoj tačnosti.
Rezultat merenja se dobija na način naveden u opisu postupka merenja.
Načini dobijanja rezultata mogu da budu različiti: ● uzimanjem
pojedinačnog rezultata merenja, ili ● uzimanjem medijane niza rezultata,
● izračunavanjem aritmetičke sredine niza rezultata, ● izračunavanjem
dobre procene, ● izračunavanjem na osnovu komponentnih vrednosti
koje su u funkcijskoj vezi sa određivanom vrednosti...
Tačnost rezultata merenja se izračunava na način naveden u opisu
postupka merenja. Tačnost može da bude opisana granicama greške ili
mernom nesigurnošću.
Da bi rezultat merenja mogao da se koristiti kao komponentna vrednost
drugog rezultata merenja i njegove tačnosti, ili radi izračunavanja nivoa i
intervala poverenja, daju se podaci navedeni u 9.10 Podaci koji se daju uz
rezultat merenja.
Kada je rezultat merenja zanemarljive netačnosti za određenu svrhu,
podaci o tačnosti se mogu izostaviti.
[Rečnik] 3.1 [GUM]
4.2 Tačnost
Tačnost vrednosti je KVALITATIVNI pojam koji znači bliskost vrednosti i
referentne vrednosti.
Tačnost rezultata merenja je kvalitativni pojam koji znači bliskost
rezultata merenja i stvarne vrednosti merene veličine.
Tačnost rezultata merenja zavisi od grešaka koje mogu da se svrstaju u
dve grupe. Prvu grupu, slučajne greške, čiji uticaj na rezultat merenja može
da se smanji povećavanjem broja merenja i zatim usrednjavanjem. I drugu
grupu, sistematske greške, čiji uticaj na rezultat merenja može da se
smanji korekcijom rezultata za sistematsku grešku.
NAJKORISNIJE JE DA TAČNOST REZULTATA MERENJA BUDE
OPISANA STANDARDNOM MERNOM NESIGURNOŠĆU.
Termin preciznost se pogrešno koristi za tačnost.
[Rečnik] 3.5 [VIM] 2.13, 2.15
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
35
5 Etaloni i etaloniranje
5.1 Etalon
Etalon je merilo, ili referentni materijal, namenjen da ostvari,
reprodukuje, ili odredi, vrednost veličine da bi služila kao osnova merenja.
Primeri: etalon mase od 1 kg; etalonski otpornik od 100 Ω; etalonski
ampermetar; cezijumski etalon frekvencije; etalonska vodonična elektroda;
referentni rastvor kortizola u ljudskom serumu, potvrđene koncentracije.
Intrinsički etalon je etalon zasnovan na reproduktivnoj pojavi u prirodi.
Primeri: ćelija sa trojnom tačkom vode kao etalon temperature; etalon
napona sa Džozefsonovim spojevima; etalon otpornosti zasnovan na
kvantnoj Holovoj pojavi.
Kolektivni etalon je skup sličnih etalona koji, zajednički korišćeni, čine
etalon.
Grupni etalon je skup etalona koji, pojedinačni ili u kombinaciji,
obezbeđuju niz vrednosti veličina iste vrste.
[Rečnik] 6.1 [VIM] 5.10
5.2 Referentni materijal
Referentni materijal, RM, je materijal ili supstanca čije su jedna ili više
vrednosti svojstava dovoljno homogeni i dobro ustanovljeni da mogu da se
koriste za etaloniranje uređaja, procenu mernih metoda, ili za pripisivanje
vrednosti materijalima.
Referentni materijali mogu da budu, gasovi, tečnosti, ili čvrsta tela, koji
su čisti ili pomešani. Primeri: rastvor za etaloniranje merila za hemiju; kolor
karta; biološki materijali.
Overen referentni materijal, ORM, je referentni materijal praćen
uverenjem u kome se navode vrednosti njegovih svojstava i standardnih
mernih nesigurnosti koje su sledive do određenog izvora sledivosti.
Primer: ljudski serum poznate koncentracije holesterola, sa pratećim
uverenjem u kome se navode merne nesigurnosti koncentracije.
[NIST] [Rečnik] 6.13, 6.14 [VIM] 5.13, 5.14
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
43
5.3 Primarni etalon
Primarni etalon je etalon čija je vrednost prihvaćena bez upućivanja na
druge etalone iste veličine i koji ima najviše metrološke kvalitete.
Pojam primarnog etalona je podjednako primenljiv za osnovne i za
izvedene veličine.
Primeri: međunarodni etalon kilograma; ćelija sa trojnom tačkom vode
kao primarni etalon termodinamičke temperature; etalon napona sa
Džozefsonovim spojevima; primarni etalon koncentracije gradiva
pripremljen rastvaranjem poznate količine gradiva tako da se dobije
poznata zapremina rastvora.
[Rečnik] 6.4 [VIM] 5.4
5.4 Sekundarni etalon
Sekundarni etalon je etalon kome je vrednost pripisana na osnovu
poređenja sa primarnim etalonom veličine iste vrste.
[VIM] 5.5
5.5 Transfer etalon
Transfer etalon je etalon koji se koristi kao posrednik u poređenju etalona.
[Rečnik] 6.8
5.6 Referentni etalon
Referentni etalon je etalon, koji najčešće ima najviši metrološki kvalitet
raspoloživ u datom mestu, ili u datoj organizaciji, i on je osnova za
izvođenje merenja koja se tu vrše.
[Rečnik] 6.6 [VIM] 5.6
5.7 Radni etalon
Radni etalon je etalon koji se redovno koristi za etaloniranje ili kontrolu
merila ili referentnih materijala.
Radni etalon se uobičajeno etalonira u odnosu na referentni etalon.
Kontrolni etalon je radni etalon koji se redovno koristi da bi se
osiguralo da se merenja obavljaju pravilno kao i da bi se utvrdila stabilnost
rezultata u toku vremena.
[Handbook] 2.1.2. [Rečnik] 6.7 [VIM] 5.7
44
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
6 Osnove statistike
6.1 O statističkim metodama
Statističke metode služe za određivanje reprezentativnih svojstava
skupova značajno različitih elemenata.
Skup za koji se statističkim metodama određuju svojstva naziva se
populacija. Statističkim metodama procenjena vrednost svojstva
populacije se naziva procena (ili ocena, ili „statistika“).
Slika 6.1. Primer četiri skupa podataka koji imaju: ISTE ARITMETIČKE
SREDINE promenljivih x i y, ISTE STANDARDNE DEVIJACIJE x, ISTU
LINEARNU REGRESIONU FUNKCIJU DOBIJENU METODOM
NAJMANJIH KVADRATA... [Anscombe]
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
53
Statističkim metodama se svojstva populacije najčešće određuju na
osnovu podskupa populacije koji je dobro predstavlja. Taj podskup se
naziva uzorak, a broj njegovih elemenata obim. Uzorak dobro predstavlja
populaciju, kada je on dovoljno velikog obima i kada su njegovi elementi
slučajno izabrani iz populacije.
Testovima saglasnosti se dokazuje da zaključci izvedeni za uzorak, sa
izvesnom verovatnoćom važe i za populaciju.
Da bi smanjili mogućnost greške pri statističkoj obradi rezultata, treba
NEIZOSTAVNO RAZMOTRITI GRAFIČKI PRIKAZ REZULTATA. Grafički
prikaz daje uvid u kvalitativna svojstva rezultata. Opravdanost grafičkog
prikazivanja i vizuelnog pregleda ilustruju dijagrami na slici 6.1.
Svojstva populacije određena statističkim metodama odnose se na
svojstva mnoštva elemenata populacije (tj. dovoljno veliki broj pojedinačnih
elemenata) a ne na svojstva pojedinačnih elemenata. NA OSNOVU
STATISTIČKIH PODATAKA MOŽE SE ODREDITI SAMO VEROVATNOĆA
DA POJEDINAČNI ELEMENT POPULACIJE IMA ODREĐENO SVOJSTVO.
Statistika je subjektivna: statističari pokušavaju da objasne ili predvide
materijalni svet proizvoljnim, ali razumnim načinom, korišćenjem teorije
verovatnoće, matematike i zdravog razuma.
Za razliku od statistike, teorija verovatnoće za potpuno definisan problem
daje jedinstveno i ponovljivo rešenje. Teorija verovatnoće je algebra induktivnog
zaključivanja. (Bulova algebra je algebra deduktivnog zaključivanja.)
Statističke metode su među najrasprostranjenijim kvantitativnim
metodama, sa važnim primenama u skoro svim delatnostima čoveka.
[Njegić] 1.1., 1.2. [Ivković] II.1 [Britannica] Probability theory [Drake] 7-1, 7-6
[Lazić] I, 1.2 [Anscombe]
6.2 Statistička obrada rezultata merenja
SVRHA STATISTIČKE OBRADE REZULTATA MERENJA JE DA SE
DOBIJE NAJVEROVATNIJA VREDNOST MERENE VELIČINE I TAKOĐE,
DA SE ODREDI INTERVAL ZA KOJI POSTOJI ODREĐENA
VEROVATNOĆA DA JE VREDNOST VELIČINE U NJEMU.
U najčešćem slučaju normalne raspodele rezultata niza merenja iste veličine,
najverovatnija vrednost merene veličine je eksperimentalna aritmetička
sredina niza rezultata, korigovana za sistematsku grešku. Interval:
eksperimentalna_aritmetička_sredina ± eksperimentalna standardna devijacija
aritmetičke sredine, je interval u kome se sa verovatnoćom 0,68 nalazi
vrednost merene veličine.
[GUM] 4.2.3
54
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
6.22 T- raspodela
T‑ raspodela (ili Studentova raspodela) T(x), sa ν stepeni slobode, je
data funkcijom (6.32) i prikazana slikom 6.4. Sa Γ je označena
gama-funkcija čija se vrednost može izračunati korišćenjem (6.33).
⎛ ν +1 ⎞
−
Γ⎜
1
x2 ⎞
2 ⎟⎠ ⎛
⋅ ⎝
⋅ ⎜1 +
⎟
⎜
ν ⎟⎠
⎛ ν⎞
π⋅ν
⎝
Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
T( x ) =
∞
Γ (a ) =
∫
ν +1
2
y a −1 ⋅ e− y ⋅ d y, a > 0
(6.32)
(6.33)
0
Stepen slobode, ν, ove raspodele je jednak broju vrednosti u uzorku,
minus, jedan.
Funkcija t-raspodele je simetrično opadajuća. Sa povećavanjem ν, (tj. n)
površina obuhvaćena „repovima“ se smanjuje, a raspodela se sve više
približava standardnoj normalnoj raspodeli. Videti sliku 6.4.
T‑RASPODELU IMA DVA ILI VIŠE REZULTATA MERENJA IZ
POPULACIJE REZULTATA SA NORMALNOM RASPODELOM.
Slika 6.4. Dijagrami t-raspodele promenljive x, za različite stepene
slobode ν.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
71
Tabela 6.3 Za t-raspodelu: veza između nivoa poverenja P, stepena
slobode ν i koeficijenta obuhvata k [GUM] Table G.2
Stepen slobode, ν
Nivo poverenja, P
0,5000
0,6827
0,9000
0,9500
0,9545
0,9800
0,9900
0,9950
0,9973
0,9990
1
2
3
4
5
6
1,000
0,817
0,765
0,741
0,727
0,718
1,84
1,32
1,20
1,14
1,11
1,09
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
13,97
4,53
3,31
2,87
2,65
2,52
31,82
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
127,4
14,09
7,45
5,60
4,77
4,32
235,8
19,21
9,22
6,62
5,51
4,90
636,6
31,60
12,92
8,61
6,87
5,96
7
0,711
1,08
1,89
2,36
2,43
3,00
3,50
4,03
4,53
5,41
8
0,706
1,07
1,86
2,31
2,37
2,90
3,36
3,83
4,28
5,04
9
0,703
1,06
1,83
2,26
2,32
2,82
3,25
3,69
4,09
4,87
10
0,700
1,05
1,81
2,23
2,28
2,76
3,17
3,58
3,96
4,59
11
0,698
1,05
1,80
2,20
2,25
2,72
3,11
3,50
3,85
4,44
12
0,696
1,04
1,78
2,18
2,23
2,68
3,05
3,43
3,76
4,32
13
0,694
1,04
1,77
2,16
2,21
2,65
3,01
3,37
3,69
4,22
14
0,692
1,04
1,76
2,14
2,20
2,62
2,98
3,33
3,64
4,14
15
0,691
1,03
1,75
2,13
2,18
2,60
2,95
3,29
3,59
4,07
16
0,690
1,03
1,75
2,12
2,17
2,58
2,92
3,25
3,54
4,02
17
0,689
1,03
1,74
2,11
2,16
2,57
2,90
3,22
3,51
3,96
18
0,688
1,03
1,73
2,10
2,15
2,55
2,88
3,20
3,48
3,92
19
0,688
1,03
1,73
2,09
2,14
2,54
2,86
3,17
3,45
3,88
20
0,687
1,03
1,72
2,09
2,13
2,53
2,85
3,15
3,42
3,85
25
0,684
1,02
1,71
2,06
2,11
2,48
2,79
3,08
3,33
3,72
30
0,683
1,02
1,70
2,04
2,09
2,46
2,75
3,03
3,27
3,65
35
0,682
1,01
1,70
2,03
2,07
2,44
2,72
3,00
3,23
3,59
40
0,681
1,01
1,68
2,02
2,06
2,42
2,70
2,97
3,20
3,55
45
0,680
1,01
1,68
2,01
2,06
2,41
2,69
2,95
3,18
3,52
50
0,679
1,01
1,68
2,01
2,05
2,40
2,68
2,94
3,16
3,50
2,025
2,36
100
0,677
1,005
1,660
1,984
2,626
2,87
3,077
3,39
∞
0,675
1,000
1,645
1,960 2,000 2,326 2,576
Koeficijent obuhvata, k
2,807
3,000
3,291
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
73
6.27 Histogram
Vrednosti niza rezultata se mogu grupisati u nepreklapajuće podintevale
jednakih širina. Histogram je grafički prikaz broja rezultata po tim podintevalima.
Histogram se izrađuje tako što se deo horizontalne ose sa koje rezultati
uzimaju vrednost, podeli na nepreklapajuće podintervale jednakih širina, videti
sliku 6.9. Zatim se crtaju pravougaonici čije se osnove poklapaju sa podintervalima
na horizontalnoj osi, a visina svakog od pravougaonika je proporcionalna
broju rezultata koji su uzeli vrednost iz podintervala njegove osnove.
GRANICE PODINTERVALA MOGU DA ZNAČAJNO PROMENE IZGLED
HISTOGRAMA PA IH TREBA BIRATI PAŽLJIVO. U slučaju kvantizovanih
rezultata merenja (npr. iz analogno-digitalnog konvertora, ili zaokrugljivanih
brojeva) dobro je da svaki od podintervala obuhvata isti broj mogućih
diskretnih vrednosti. Širinu podintervala treba birati tako da mali broj
podintervala, poželjno manje od 1/10 svih, nema niti jedan rezultat merenja.
Visina pravougaonika histograma je proporcionalna verovatnoći
pojavljivanja rezultata u podintervalu sa kojim se poklapa osnova
pravougaonika, pa je histogram varijanta dijagrama raspodele.
Vizuelnim pregledom histograma se mogu proceniti: srednja vrednost,
postojanje grubih grešaka, rasutost vrednosti, kao i simetričnost, šiljatost i
postojanje više maksimuma u raspodeli. Da bi se olakšala procena, na
histogram se može naneti sa njim izravnan dijagram teorijske funkcije
raspodele. Mana procene na osnovu histograma je subjektivnost.
[Britannica] Statistics [Perović komunikacija]
Slika 6.9. Histogram rezultata merenja analogno-digitalnog konvertora i
dijagram sa njim izravnane normalne raspodele sa parametrima μ i σ.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
79
7 Varijanse
7.1 Eksperimentalna standardna varijansa
Eksperimentalna standardna varijansa (standardna varijansa, ili
eksperimentalna standardna disperzija, ili standardna disperzija) Vx ,
n rezultata merenja iste veličine, xi , je kvadrat eksperimentalne standardne
devijacije sx :
n
Vx = sx 2 =
∑ ( xi − x )
2
i =1
n −1
.
(7.1)
Standardna varijansa je dobra procena prosečnog kvadrat slučajnih
grešaka.
Sa porastom broja rezultata merenja, standardna varijansa je sve bliža
varijansi populacije rezultata i zato je dobra procena te varijanse.
Stepen slobode standardne varijanse je n − 1.
STANDARDNA VARIJANSA JE SVOJSTVO POSTUPKA MERENJA, A
POKAZATELJ JE MOGUĆNOSTI ODSTUPANJA POJEDINAČNOG
REZULTATA MERENJA OD ARITMETIČKE SREDINE REZULTATA
MERENJA. Veća standardna varijansa znači veći uticaj slučajne greške na
pojedinačni rezultata merenja i manju dobrotu postupka merenja.
Standardna varijansa se izračunava za promenljivu sa bilo kojom
raspodelom.
Računanje standardne varijanse bez memorisanja svih rezultata
merenja, xi, daje obrazac (7.2) izveden iz (7.1).
Vx =
n
⎡n
⎤
1
1
⋅ ⎢ ∑ xi 2 − ⋅ ( ∑ xi )2 ⎥
n − 1 ⎣ i =1
n
i =1
⎦
(7.2)
[GUM] C.2.20 [Handbook] 7.4.3.1.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
81
7.2 Objedinjena sredina i varijansa vrednosti iz grupa
Neka za istu merenu veličinu imamo u J grupa ukupno N vrednosti.
Neka je za vrednosti iz svake grupe j poznata standardna varijansa Vj , i
stepen slobode te varijanse, νj . Tada obrazac (7.3) daje objedinjenu
standardnu varijansu VP , svih N vrednosti.
J
∑ ( ν j ⋅ Vj )
j =1
VP =
(7.3)
J
∑ νj
j =1
Objedinjena standardna varijansa je aritmetička sredina varijansi
vrednosti iz grupa.
Stepen slobode objedinjene standardne varijanse je jednak imeniocu u (7.3).
Ako vrednosti J grupa imaju različite varijanse Vj , a iste brojeve
rezultata, ili stepene slobode, objedinjena standardna varijansa VP , je data
obrascem (7.4) izvedenim iz (7.3).
J
∑Vj
j =1
VP =
(7.4)
J
Neka su za J grupa poznate jedino približno jednake standardne aritmetičke
sredine vrednosti iz tih grupa, x j (a ne i N pojedinačnih vrednosti iz J
grupa). Takođe neka su poznate standardne varijanse vrednosti iz J grupa
kao i stepeni slobode tih varijansi. Tada se može izračunati aritmetička
sredina svih N vrednosti, x , kao i parametri te sredine (videti Primer 8.11.1):
J
∑ xj
j =1
x =
J
, aritmetička sredina N vrednosti iz J grupa,
VP
=
N
Vx =
VP
J
J + ∑ νj
, standardna varijansa sredine x ,
(7.5)
(7.6)
j =1
J
ν=
∑ νj
, stepen slobode varijanse sredine x .
(7.7)
j =1
[GUM] H.3.6 Note, H.5.2.5
82
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
8 Testovi i izravnanja funkcija
8.1 Otkrivanje grubih grešaka
Rezultati statističke obrade su valjani, samo ako obrađivane vrednosti
ne sadrže grube greške. Zato, kada postoji značajna mogućnost
pojavljivanja grubih grešaka, otkrivanje i odbacivanje takvih grešaka treba
da bude obavezan deo statističke obrade.
Dobra praksa je da se smatraju grubim greškama i odbacuju, vrednosti
koje odstupaju od aritmetičke sredine uzorka, x , više od trostruke standardne
devijacije uzorka, s. Otkrivanje grubih grešaka se sprovodi tako što se prvo
uklone vrednosti za koje se pretpostavlja da su grube greške. Zatim se računaju
sredina x , i devijacija s. Na kraju se utvrđuje da li su pretpostavljene grube
greške van intervala x ± 3 · s, ako jesu, pretpostavka je potvrđena, pa se x i s
mogu smatrati valjanim. Ako među pretpostavljenim grubim greškama ima
nekih koje nisu van intervala, ponoviti postupak bez njihovog odbacivanja.
Ovakvu praksu opravdava činjenica da je u slučaju vrednosti sa normalnom
raspodelom verovatnoća pojavljivanja valjane vrednosti van x ± 3 · s,
jednaka 0,27 %. ● U slučaju 30 vrednosti sa t-raspodelom, takva
verovatnoća je 0,55 %; ● 10 vrednosti, 1,5 %; ● 5 vrednosti, 4,0 %.
Kada prethodni način utvrđivanja grubih grešaka nije dovoljno pouzdan,
za uzorak iz populacije sa normalnom raspodelom se preporučuje naredni
test kojim se sa potrebnom verovatnoćom može utvrditi da li je vrednost sa
najvećim odstupanjem, gruba greška. Test se obavlja u narednim koracima.
1) Proveriti da li je uzorak iz populacije sa normalnom raspodelom, a po
uputstvima u 8.7 Procenjivanje tipa i parametara raspodele. Ako jeste, test
se može primeniti.
2) Neka je n broj vrednosti u uzorku, uključujući i testiranu ekstremnu
vrednost (tj. vrednost sa najvećim odstupanjem od aritmetičke sredine).
Neka je P potrebna verovatnoća rezultata testa. Odrediti koeficijent
obuhvata k (ν, P) za t-raspodelu sa parametrima ν i P. Parametar ν je stepen
slobode dat sa (8.1). Koeficijent k (ν, P) može se odrediti iz tabele 6.3. Za
ν > 100, može se uzeti da je ν = ∞.
3) Odrediti tačnost nejednačine (8.2). Sa xekstrem je označena
ekstremna vrednost. Aritmetička sredina uzorka sa uklonjenom ekstremnom
vrednošću je x ' , a standardna devijacija te sredine je s x ' . Ako je
nejednačina tačna, sa verovatnoćom P, ili većom, xekstrem je gruba greška.
(8.1)
ν = n−2
xekstrem − x ' > k ( ν, P ) ⋅ s x ' ⋅
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
n
n −1
(8.2)
97
4) Ekstremna vrednost se odbacuje ako se utvrdi da je gruba greška.
Zatim se test ponavlja za novu ekstremnu vrednost sve dok se ne dođe do
vrednosti koja nije gruba greška.
[Perović komunikacija]
8.1.1 Primer
Sledeće vrednosti su izmerene pH metrom i uređene u neopadajući niz:
3,75; 3,86; 4,19; 4,19; 4,24; 4,37; 4,37; 4,50; 4,53; 4,53; 4,55; 4,58; 4,76;
4,77; 5,23. Da li je gruba greška rezultat vrednosti 5,23, što bi moglo da se
pretpostavi na osnovu histograma na slici 8.1?
Rešenje.
1) Populacija rezultata je sa normalnom raspodelom jer su greške
rezultata posledica velikog broja nezavisnih odstupanja sa malim
pojedinačnim udelom. (Videti poglavlje 6.11)
2) Broj rezultata je n = 15.
Iz (8.1) dobijamo ν = n − 2 = 15 − 2 = 13.
Potrebna verovatnoća rezultata testa je P = 0,95.
Iz tabele 6.3 određujemo koeficijent obuhvata k (ν, P) = k (13, 0,95) = 2,16.
3) Testira se xekstrem = 5,23.
Aritmetička sredina uzorka bez xekstrem je x ' = 4,371 .
Standardna devijacija aritmetičke sredine uzorka bez xekstrem je s x ' = 0,302 .
Odredimo tačnost nejednačine (8.2):
xekstrem − x ' = 5,23 − 4,371 = 0,859
k ( ν, P ) ⋅ s x ' ⋅
n (n − 1) = 2,16 ⋅ 0,302 ⋅ 1,035 = 0,675
pošto je 0,859 > 0,675, nejednačina (8.2) je tačna. Zaključujemo sa
verovatnoćom većom od 0,95, da je rezultat 5,23 gruba greška.
Slika 8.1. Histogram rezultata merenja pH, uz primer 8.1.1.
98
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
8.2 Izravnanje
Izravnanje (eng. fitting) je određivanje funkcije, ili pojedinačne
vrednosti, na osnovu polaznih vrednosti, i to tako da budu zadovoljeni
određeni zahtevi saglasnosti polaznih i određivanih vrednosti.
Izravnanje je najčešće varijanta metode najmanjih kvadrata. Videti naredno
poglavlje 8.3 i primer u 9.12.2 Izravnanje metodom najmanjih kvadrata.
8.3 Metoda najmanjih kvadrata
Metoda najmanjih kvadrata, MNK, je izravnanje funkcije, ili
pojedinačne vrednosti, tako da je najmanji zbir kvadrata odstupanja između
određivanih i polaznih vrednosti.
METODA NAJMANJIH KVADRATA DAJE NAJVEROVATNIJU VREDNOST
KADA SU POLAZNE VREDNOSTI SA SIMETRIČNO OPADAJUĆOM RASPODELOM.
Primer izravnanja pojedinačne vrednosti metodom najmanjih kvadrata je
određivanje aritmetičke sredine.
Određivanje funkcije metodom najmanjih kvadrata je dato u narednom tekstu.
Neka iz eksperimenta imamo n parova vrednosti (xi , yi ), (i = 1, 2, ..., n).
Ako su vrednosti xi i yi međusobno korelisane, između njih se može odrediti
manje ili više tačna veza nekom funkcijom. Često se može uzeti da je ta
funkcija linearna, tada imamo:
y'(x) = a + b · x .
(8.3)
Parametri funkcije, a i b, mogu se odrediti metodom najmanjih kvadrata,
tj. tako da je najmanji zbir Z koji je dat obrascem (8.4). Z je zbir kvadrata
odstupanja između vrednosti koje daje funkcija y'(xi ) i polaznih vrednosti yi .
Z=
n
n
i =1
i =1
∑ [ y'( xi ) − y i ] 2 = ∑ [(a + b ⋅ xi ) − y i ] 2
(8.4)
Zbir Z iz (8.4) ima minimum kada je zadovoljen sistem jednačina (8.5),
pa se rešavanjem tog sistema određuju parametri a i b. Sistem (8.5) uvek
ima jednoznačno rešenje po a i b.
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
∂Z
=
∂a
∂Z
=
∂b
n
∑ {2 ⋅ [(a + b ⋅ xi ) − y i ]}
=0
i =1
n
(8.5)
∑ {2 ⋅ [(a + b ⋅ xi ) − y i ] ⋅ xi } = 0
i =1
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
99
Za određivanje a i b mogu se koristiti sledeće vrednosti.
n
∑ xi
x =
i =1
n
aritmetička sredina xi
(8.6)
aritmetička sredina yi
(8.7)
n
∑ yi
y =
i =1
n
n
x2 =
∑ xi 2
i =1
(8.8)
n
n
∑ ( xi ⋅ y i )
x⋅y =
i =1
(8.9)
n
Korišćenjem vrednosti iz (8.6) do (8.9), sistem (8.5) se može napisati u obliku:
⎧⎪ y = a + b ⋅ x
⎨
2
⎪⎩ x ⋅ y = a ⋅ x + b ⋅ x .
(8.10)
Rešavanjem sistema (8.10) dobijaju se parametri a i b:
⎧
x⋅y − x ⋅y
⎪b=
⎨
x2 − x2
⎪
.
⎩ a = y − b⋅x
(8.11)
Videti primer 8.3.1 i primer iz [GUM] dat u 9.12.2 Izravnanje metodom
najmanjih kvadrata. Polazni podaci oba primera su ekvivalentni, a rezultati
jednaki.
Sledeći model opisuje predviđanje vrednosti y, linearnom funkcijom y'(x):
y(x) = y'(x) + ε(x) = a + b · x + ε(x).
(8.12)
Sabirak ε(x) predstavlja razliku vrednosti koje daje funkcija y'(x) i polaznih
vrednosti, tj. negativnu grešku predviđanja funkcijom y'(x).
Ako ima n polaznih vrednosti i uz pretpostavku da je raspodela
odstupanja ε(x) normalna, standardnu varijansu Vε, odstupanja ε(x), daje
(8.13). Stepen slobode varijanse Vε je νε i dat je sa (8.14).
100
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
n
∑ (a + b ⋅ xi − y i ) 2
Vε =
i =1
(8.13)
n−2
νε = n − 2
(8.14)
Parametri a i b imaju standardne varijanse Va i Vb , date sa (8.15) i
(8.16) i standardnu kovarijansu V (a, b), datu sa (8.17).
Vε
Va =
n ⋅ (1 −
Vb =
x2
x2
(8.15)
)
Vε
n ⋅ ( x 2 − x 2)
V(a, b ) = −
x ⋅ Vε
n ⋅ ( x 2 − x 2)
(8.16)
(8.17)
Vrednost koju predviđa linearna funkcija y'(x) ima standardnu varijansu Vy'
koju daje obrazac (8.18) (izveden na uobičajen način dat u 7.5 Kombinovana
standardna varijansa). Stepen slobode Vy' je νVy' i dat je sa (8.19).
Vy' ( x ) = Va + x 2 ⋅ Vb + 2 ⋅ x ⋅ V(a, b )
(8.18)
νVy' = n − 2
(8.19)
Za zadato x se može odrediti interval za koji postoji određena verovatnoća
P da se u njemu nađe vrednost iz populacije iz koje su polazne vrednosti. Ova
verovatnoća i interval predstavljaju nivo i interval poverenja u funkciji od x.
Za traženi nivo poverenja P, i za n polaznih vrednosti, uzimajući da je
stepen slobode ν = n − 2 , iz tabele 6.3 za t‑raspodelu, se uzima
odgovarajući koeficijent obuhvata k. Poluširina intervala poverenja Δ(x),
data je sa (8.20) a interval poverenja sa (8.21).
Δ (x) = k ⋅
Vy' (x )
[ y'(x) − Δ(x), y'(x) + Δ(x) ]
(8.20)
(8.21)
Regresiona analiza (tj. analiza odstupanja) ima zadatak da odredi funkciju
koja daje vezu između međusobno korelisanih vrednosti. Ta regresiona
funkcija (ili regresioni model) služi za predviđanje vrednosti. Parametri
regresione funkcije se najčešće određuju metodom najmanjih kvadrata.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
101
Linearna regresiona funkcija je linearna funkcija koja daje vezu
između međusobno korelisanih vrednosti.
[GUM] H.3.4 [Panchenko] 29.1, 29.2, 30.1 [Ivković] str. 49, str. 50, II.6 [Njegić] str. 64, str. 182
[Pantić] str. 134 [Anscombe] [Britannica] Statistics [Perović komunikacija]
8.3.1 Primer
Linearnom funkcijom aproksimirati sabirak korekcije za merilo. Zatim za
sabirak korekcije odrediti standardnu devijaciju i intervale poverenja.
Koristiti merene referentne vrednosti i vrednosti pokazivanja merila iz
tabele 8.1. Merene referentne vrednosti imaju zanemarljivu grešku.
Eksperimentalni sabirak korekcije ima odstupanja sa normalnom
raspodelom, pa se može koristiti metoda najmanjih kvadrata.
Rešenje. Koristeći parove (xi , yi ) iz tabele 8.1, izračunavamo traženo
koristeći metodu najmanjih kvadrata:
n = 11, iz tabele 8.1, broj polaznih parova vrednosti, (xi , yi )
n
x = ( ∑ xi ) / n = 4,008 , iz (8.6), aritmetička sredina xi
i =1
n
y = ( ∑ y i ) / n = − 0 ,1625 , iz (8.7), aritmetička sredina yi
i =1
n
x 2 = ( ∑ xi 2 ) / n = 18,56 , iz (8.8)
i =1
⎡ n
⎤
x ⋅ y = ⎢ ∑ ( xi ⋅ y i ) ⎥ / n = − 0,6458 , iz (8.9)
⎢⎣ i = 1
⎥⎦
x ⋅y − x ⋅y
b=
= 0,002183 , iz (8.11), parametar funkcije
x2 − x2
a = y − b ⋅ x = −0,1712 , iz (8.11), parametar funkcije
y'(x) = a + b⋅ x = −0,1712 + 0,002183 ⋅ x , FUNKCIJA APROKSIMIRANE KOREKCIJE
n
Vε = [∑(a + b ⋅ xi − yi ) 2 ]/(n − 2) = 1,223 ⋅ 10 −5 , iz (8.13), standardna varijansa ε(x)
i =1
Va =
Vε
n ⋅ (1 −
x2
x2
= 8,281⋅ 10 −6 , iz (8.15), standardna varijansa a
)
Vε
= 4,461⋅ 10 −7 , iz (8.16), standardna varijansa b
n ⋅( x 2 − x 2 )
x ⋅ Vε
= −1,788 ⋅ 10 −6 , iz (8.17), standardna kovarijansa a i b
V (a, b) = −
2
2
n ⋅( x − x )
Vb =
102
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
Tabela 8.1 Za primer 8.3.1: vrednosti za dobijanje funkcije korekcije
Polazne vrednosti
Redni
broj
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Merena
referentna
vrednost
Ri
1,350
1,843
2,346
2,844
3,343
3,834
4,357
4,845
5,344
5,849
6,351
Pokazivanje
merila
xi
1,521
2,012
2,512
3,003
3,507
3,999
4,513
5,002
5,503
6,010
6,511
Eksperimentalni
sabirak
korekcije
yi = Ri − xi
−0,171
−0,169
−0,166
−0,159
−0,164
−0,165
−0,156
−0,157
−0,159
−0,161
−0,160
Predviđeno dobijenom funkcijom
Greška
Aproksimirani
aproksimiranog
sabirak
sabirka
korekcije
korekcije
y'(xi)
−εi = y'(xi) − yi
−0,16788
−0,16681
−0,16572
−0,16465
−0,16355
−0,16248
−0,16135
−0,16029
−0,15919
−0,15809
−0,15699
0,00312
0,00219
0,00028
−0,00565
0,00045
0,00252
−0,00535
−0,00329
−0,00019
0,00291
0,00301
Vy ' ( x ) = Va + x2 ⋅Vb + 2⋅ x ⋅ V(a, b) = 8,281 ⋅10−6 + x 2 ⋅ 4,461 ⋅ 10−7 + 2 ⋅ x ⋅ (−1,7883 ⋅ 10−6 ),
iz (8.18), standardna varijansa aproksimirane korekcije y'(x)
sy' ( x ) =
Vy' ( x ) , STANDARDNA DEVIJACIJA APROKSIMIRANE KOREKCIJE
νsy ' = νVy ' = n − 2 = 9 , STEPEN SLOBODE STANDARDNE DEVIJACIJE sy'(x)
Δ ( x ) = k ⋅ s y' ( x ) , iz (8.20), poluširina intervala poverenja za nivo poverenja P.
[GUM] H.3
Slika 8.2. Za primer 8.3.1: polazne vrednosti iz eksperimenta, (xi , yi ), i
funkcija korekcije, y'(x), sa intervalima poverenja poluširine Δ(x) za različite
nivoe poverenja P.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
103
9 Merna nesigurnost
9.1 Rezultat merenja i njegova merna nesigurnost
Merna nesigurnost (nesigurnost) je parametar rezultata merenja koji
opisuje njegovu tačnost pokazateljem međusobnih odstupanja vrednosti
koje se opravdano mogu uzeti za rezultat merenja.
Rezultat merenja koji je dobra procena merene veličine, sa mernom
nesigurnošću određenom kao standardna devijacija te dobre procene i
stepenom slobode te devijacije, omogućava izračunavanje nivoa i intervala
poverenja.
Dobra procena vrednosti merene veličine, merna nesigurnost koja je
standardna devijacija te dobre procene, i stepen slobode te nesigurnosti,
mogu se koristiti kao komponentne vrednosti za procenjivanje druge
vrednosti za koju takođe može da se odredi merna nesigurnost i stepen
slobode te nesigurnosti, a to omogućava sledivost.
Zbog ujednačavanja obrade i izražavanja merne nesigurnosti, ISO je
1993. izdao Uputstvo za izražavanje nesigurnosti merenja, GUM,
zasnovano na preporukama BIPM. Sada je izdavanje i revidiranje tog
Uputstva u nadležnosti JCGM. Članice JCGM su: BIPM, IEC, IFCC, ILAC,
ISO, IUPAC, IUPAP i OIML (videti [GUM]). UPUTSTVO JE NAMENJENO
PRIMENI NA RAZLIČITIM NIVOIMA TAČNOSTI, OD POGONA DO
FUNDAMENTALNIH NAUKA. Primena Uputstva je obavezna za
akreditovane laboratorije.
Uputstvom [GUM] se preporučuje sledeći način određivanja rezultata
merenja, merne nesigurnosti i stepena slobode.
● REZULTAT MERENJA SE DOBIJA ODREĐIVANJEM DOBRE
PROCENE VREDNOSTI MERENE VELIČINE.
● ZA TAKVU PROCENU SE ODREĐUJE STANDARDNA DEVIJACIJA,
KOJA SE NAZIVA STANDARDNA MERNA NESIGURNOST.
● ZA TU STANDARDNU MERNU NESIGURNOST SE ODREĐUJE
STEPEN SLOBODE.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
129
Standardna merna nesigurnost (standardna nesigurnost) je dobra
procena standardne devijacije rezultata merenja koji je dobra procena
merene veličine.
Komponentne standardne nesigurnosti su standardne nesigurnosti
komponentnih vrednosti. Po metodi za njihovo određivanje, svrstavaju se u
dva tipa: standardne nesigurnosti izračunate statističkim metodama, tip A; i
standardne nesigurnosti procenjene nestatističkim metodama, tip B.
Standardnu nesigurnost dobre procene merene veličine proizvode
jedino slučajne pojave i nesigurnosti korekcija.
Standardna nesigurnost obuhvata nesigurnosti: ● principa merenja,
● metode merenja, ● etalona, ● merila, ● posmatrača, ● mesta, ● uslova i
● vremena.
[GUM] 2.2.3; 2.26; 0.4; 0.5; PP v; Foreword; 8; 3.1.2; 3.2; 4.1.5; 4.2.1; 4.2.6; 4.3.1; 4.1.4;
0.7; 2.3.2; 2.3.3; 3.3.2 [VIM] 2.26 [ILAC] 1.; 2. [IEC 17025] 5.10.4 [NVLAP] 5.4.6, Annex B
[Handbook] 2.5.3.1.
9.2 Standardna merna nesigurnost tipa A
Standardna merna nesigurnost tipa A (standardna nesigurnost tipa
A) je statističkim metodama izračunata standardna devijacija dobre
procene merene veličine. Za ovu standardnu nesigurnost se uvek daje
stepen slobode. Ako nije drugačije navedeno podrazumeva se da procena
merene veličine ima normalnu raspodelu.
Standardna nesigurnost tipa A se označava sa uA , a njen stepen
slobode sa νA.
Dobra procena merene veličine se najčešće izračunava kao uobičajena
eksperimentalna aritmetička sredina n rezultata merenja iste veličine. Ta
sredina mora da bude korigovana za sve značajne sistematske greške. Za
korigovanu sredinu se izračunava standardna merna nesigurnost tipa A ,
uA , kao uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine, sx :
uA = sx .
(9.1)
Ova standardna nesigurnost, ima stepen slobode, νA , jednak uobičajenom
stepenu slobode standardne devijacije aritmetičke sredine:
(9.2)
νA = n – 1.
[GUM] 0.7; 8; 3.1.2; 3.2.4; 4.2.1; 4.2.3; 4.2.6; 3.2.3; 3.4.4; 3.3.5
130
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
9.3 Standardna merna nesigurnost tipa B
Standardna merna nesigurnost tipa B (standardna nesigurnost tipa
B) je nestatističkim metodama određena dobra procena standardne
devijacije dobre procene merene veličine. Za ovu nesigurnosti se uvek daje
stepen slobode. Ako nije drugačije navedeno podrazumeva se da procena
merene veličine ima normalnu raspodelu.
Standardna nesigurnost tipa B se označava sa uB , a njen stepen
slobode sa νB.
Standardna nesigurnost tipa B se određuje iz funkcije raspodele niza
rezultata merenja, dobijene na osnovu sveobuhvatne procene verovatnoće
ostvarivanja događaja. Procene: raspodele, devijacije i stepena slobode
devijacije; moraju da budu obavljene na osnovu naučno zasnovanih
podataka. Podaci pored ostalog mogu da budu iz sledećih izvora:
● ranijih rezultata merenja
● iskustva ili opšteg znanja o svojstvima materijala i instrumenata
● podataka proizvođača materijala i instrumenata
● izveštaja o etaloniranju, ili drugih uverenja
● priručnika sa navedenim nesigurnostima podataka.
Zahteva se sveobuhvatna procena standardne nesigurnosti tipa B, sa
ciljem da ta procena bude tačna približno kao standardna nesigurnost tipa
A. Taj cilj se lako postiže kada je mali broj usrednjavanih rezultata za koje
se daje standardna nesigurnost tipa A. U poglavlju 6.16 i tabeli 6.1 se
pokazuje da devijacija standardne devijacije aritmetičke sredine rezultata
nije zanemarljiva u praktičnim slučajevima.
Ako se smatra da procena standardne nesigurnost tipa B ima
zanemarljivu nesigurnost, pripisuje joj se beskonačan stepen slobode. Ako
se smatra da ta procena ima značajnu nesigurnost, pripisuje joj se stepen
slobode koji se može izračunati iz (6.26) u poglavlju 6.17 Stepen slobode.
Dobra procena merene veličine za koju se daje standardna nesigurnost
tipa B, je najčešće dobijena uzimanjem pojedinačne vrednosti, ili
procenjivanjem na osnovu malo podataka.
[GUM] 0.7; 3.1.2; 3.2.4; 4.3; G.4.2; 3.3.5; 4.3.2; E.4.3; G.6.4
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
131
9.3.1 Primer
Na osnovu raspoloživih podataka merenja dužine elemenata jednog
tipa, procenjeno je da polovina pojedinačnih rezultata, ima vrednosti iz
intervala 10,07 mm do 10,15 mm. Takođe je procenjeno da su rezultati u
30 % slučajeva iz intervala 50 % većeg, ili 50 % manjeg, od navedenog.
Procenjeno je da su rezultati sa približno normalnom raspodelom.
Proceniti: a) najčešću dužinu elemenata, b) standardnu nesigurnost
procenjene najčešće dužine i c) stepen slobode standardne nesigurnosti?
Rešenje.
a) Ako su dužine elemenata sa normalnom raspodelom, dobra procena
najčešće dužine, l, je sredina intervala 10,07 mm do 10,15 mm:
l=
10,07 mm + 10,15 mm
= 10,11 mm .
2
b) Standardna nesigurnost vrednosti sa normalnom raspodelom je
poluširina intervala poverenja sa nivoom poverenja 0,6827. Interval od
10,07 mm do 10,15 mm, širine 0,08 mm, je interval poverenja sa nivoom
poverenja 0,5. Taj interval, treba podeliti sa dva, čime se dobija poluširina
za nivo poverenja 0,5, zatim treba izračunati poluširinu za nivo poverenja
0,6827. Izračunavanje se može obaviti uzimanjem koeficijenata obuhvata,
k, za verovatnoće 0,5 i 0,6827, datih u tabeli 6.2:
k(P = 0,5) = 0,675, k(P = 0,6827) = 1
s = (1 / 0,675 ) ⋅ ( 0,08 mm / 2 ) = 0,059 mm
uB(l) = s = 0,059 mm.
c) Procenjeno 50-postotno relativno odstupanje intervala od 10,07 mm
do 10,15 mm, u 30 % slučajeva, jednako je relativnoj poluširini intervala
standardne devijacije od 0,5 sa nivoom poverenja 0,3. Standardnu devijaciju
standardne devijacije, izračunavamo tako što poluširinu devijacije sa nivoom
poverenja 0,3, preračunamo za nivo poverenja 0,6827, a koristeći tabelu 6.2.
k(P = 0,3) = 0,385, k(P = 0,6827) = 1
Δsl / sl = (1/ 0,385 ) ⋅ 0,5 = 1,299
Koristeći obrazac (6.26) i prethodno izračunatu standardnu devijaciju
standardne devijacije, Δsl / sl, izračunavamo ν(uB):
ν(uB ) ≈
1
2 ⋅ ( Δsl / sl )
2
≈
1
2 ⋅ (1,299 )
2
= 0,296 ≈ 1 .
Zaokrugljivanje je obavljeno obrascem: ν(uB) = int [sračunato_ν(uB) + 1].
[GUM] 4.3.5; G.4.2; G.4.2 Example u kome je pogrešno tumačenje Δsl / sl
132
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost
Kombinovana standardna merna nesigurnost (kombinovana
standardna nesigurnost) je dobra procena kombinovane standardne
devijacije dobre procene merene veličine. Kombinovanu standardnu
devijaciju proizvode nesigurnosti komponentnih vrednosti.
Kombinovana standardna nesigurnost se označava sa uC , a njen
stepen slobode sa νC .
Kombinovana standardna nesigurnost se računa kao kvadratni koren
kombinovane standardne varijanse dobre procene merene veličine.
Izračunavanje varijanse je dato u 7.5 Kombinovana standardna varijansa.
KOMBINOVANA STANDARDNA NESIGURNOST MORA DA
OBUHVATA SVE NESIGURNOSTI KOJE JE ZNAČAJNO POVEĆAVAJU.
Stepen slobode kombinovane standardna nesigurnost se najčešće
računa kao efektivni stepen slobode opisan u 6.18.
[GUM] 0.7; 8; 5.1.2; 5.2.2; 3.2.4; 3.4.4; G.4.1 [Handbook] 2.5.7.1.
9.5 Proširena merna nesigurnost
Proširena merna nesigurnost (proširena nesigurnost) je jednaka
kombinovanoj standardnoj nesigurnosti pomnoženoj koeficijentom obuhvata.
Proširena nesigurnost se označava sa U, a koeficijent obuhvata sa k.
Kombinovana standardna nesigurnost se množi koeficijentom obuhvata,
kako bi merena veličina bila sa potrebnom verovatnoćom u intervalu:
REZULTAT_MERENJA ± U.
(9.3)
Ovaj interval je interval poverenja, a pomenuta verovatnoća je nivo poverenja.
Proširena nesigurnost se daje u nekim komercijalnim, industrijskim i
zakonskim dokumentima. Tu se uz rezultat merenja daju: proširena nesigurnost
i koeficijent obuhvata, eventualno, nivo poverenja, i raspodela rezultata.
Koeficijent obuhvata je najčešće u opsegu 2 do 3, što u slučaju
normalne raspodele daje nivo poverenja od 95,5 % do 99,7 %.
U slučaju malog stepena slobode standardne nesigurnosti, kao i
raspodele koja nije normalna, za određivanje koeficijenta obuhvata treba
koristiti stvarnu raspodelu kako bi se dobio tačan interval poverenja sa
potrebnim nivoom poverenja.
U slučaju t-raspodele koeficijent obuhvata se može odrediti iz tabele
6.3. Preporuka [GUM] je da se u slučaju kada stepen slobode nije ceo broj,
izvrši ili interpolacija, ili zaokrugljivanje na prvi manji ceo broj.
[GUM] 6.2.1; 6.2.2; 0.7 5); 6.1.2; 6.2.3; 6.3.1; G.6.4; 6.3.2
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
133
9.6 Relativne standardne merne nesigurnosti
Relativna standardna merna nesigurnost (relativna standardna
nesigurnost) uR( y), je jednaka količniku merne nesigurnosti rezultata
merenja, u( y), i modula rezultata merenja, │y│:
u R (y ) =
u( y )
.
y
(9.4)
Oznake relativnih standardnih nesigurnosti su:
● uR , relativna standardna nesigurnost
● uA R , relativna standardna nesigurnost tipa A
● uB R , relativna standardna nesigurnost tipa B
● uC R , relativna kombinovana standardna nesigurnost
● UR , relativna proširena nesigurnost.
[GUM] J
9.7 Postupanje sa rezultatima čija raspodela nije normalna
U slučaju ravnomerne raspodele niza rezultata, dobra procena vrednosti
veličine je aritmetička sredina niza rezultata korigovanih za sistematsku
grešku. Standardna nesigurnost i njen stepen slobode, se računaju kao
uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine i njen stepen slobode,
a prema datom u 6.15. Razlog je što zbir tri, ili više, vrednosti sa
ravnomernom raspodelom, koje su približno istih širina, ima približno
normalnu raspodelu sa standardnom devijacijom koja je jednaka
kombinovanoj standardnoj devijaciji komponentnih ravnomernih raspodela.
U slučaju trougaone raspodele niza rezultata, dobra procena vrednosti
veličine je takođe aritmetička sredina niza rezultata korigovanih za
sistematsku grešku. Standardna nesigurnost i njen stepen slobode, se
računaju kao uobičajena standardna devijacija aritmetičke sredine i njen
stepen slobode, a prema datom u 6.15.
U slučaju nesimetrične raspodele rezultata, dobra procena vrednosti
veličine je vrednost pri kojoj raspodela rezultata, korigovanih za
sistematsku grešku, ima maksimum, videti i 6.21. Standardna nesigurnost i
njen stepen slobode, se računaju kao uobičajena standardna devijacija
aritmetičke sredine i njen stepen slobode, a prema datom u 6.15.
[GUM] 4.3.7; 4.4.5; C.3.2; G.2.2; 4.4.6; F.2.4.4; G.5.3
134
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
9.10 Podaci u izveštaju o rezultatu merenja
Obim podataka koje je potrebno dati u izveštaju o rezultatu merenja
zavisi od namene podataka. Na hijerarhijski višim nivoima merenja i
etaloniranja, potrebno je više podataka. Međutim, uvek je potrebno, od
pogona do metroloških labotratorija, obezbediti podatke potrebne za:
● tačno određivanje nivoa i intervala poverenja
● mogućnost da se rezultat merenja koristi kao komponentna vrednost
drugog rezultata merenja za koji može da se odredi tačnost
● ponavljanje izračunavanja rezultata merenja i podataka od interesa,
radi provere, ili korekcija u skladu sa novim saznanjima.
Osnovna razlika na različitim hijerarhijskim nivoima je što se na nižim
nivoima mogu koristiti neki podaci iz: izveštaja o etaloniranju ili overavanju,
uputstava za upotrebu, standarda i propisa.
U [GUM] se preporučuje davanje sledećih podataka u izveštaju o
rezultatu merenja.
1) Veza komponentnih vrednosti i rezultata merenja (iz koje se
izračunava rezultat merenja).
2) Rezultat merenja i njegov tip raspodele.
3) Standardna, ili proširena merna nesigurnost rezultata merenja.
Poželjno i relativna standardna, ili relativna proširena nesigurnost.
4) Stepen slobode standardne merne nesigurnosti.
5) Standardne kovarijanse.
Dati podaci se mogu testirati pitanjem: „Da li je obezbeđeno dovoljno
podataka, i da li su oni dati jasno, da bi se moglo ponoviti izračunavanje
rezultata merenja i podataka od interesa?“
U detaljnim izveštajima se, kako za rezultat merenja, tako i za njegove
komponentne vrednosti, daju gore navedeni podaci kao i postupci dobijanja
tih podataka.
[GUM] 4.2.6; 7.1; 7.2.1; 7.2.7; 8 8.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
137
9.11
Izračunavanje rezultata merenja i podataka koji se
daju uz njega
U tekstu koji sledi su dati koraci u skladu sa [GUM] koje treba slediti da
bi se izračunao rezultat merenja i podaci koji se daju uz njega.
1) Napisati funkcijsku vezu kojom se izračunava vrednost merene
veličine, Y, iz komponentnih vrednost, Xi :
(9.6)
Y = f ( X1, X2, …, XN ).
Funkcija f treba da obuhvati sve veličine koje mogu značajno da doprinesu
mernoj nesigurnosti rezultata merenja, uključujući i sve korekcije.
Funkcijska veza može biti krajnje kompleksna, ili da ne bude eksplicitna.
Tada je treba dati u obliku računarskog programa ili je opisati rečima.
2) Izračunati dobre procene vrednosti xi , komponentnih vrednosti Xi , na
osnovu statističkih analiza rezultata merenja, ili na drugi način.
3) Odrediti standardnu nesigurnost u( xi ) svake komponentne vrednosti xi .
Za komponentnu vrednost određenu statističkim analizama, standardna
nesigurnost se izračunava u skladu sa 9.2 Standardna merna nesigurnost
tipa A. Za komponentnu vrednost određenu na druge načine, standardna
nesigurnost se izračunava u skladu sa 9.3 Standardna merna nesigurnost
tipa B.
4) Izračunati standardne kovarijanse svih korelisnih komponentnih
vrednosti u skladu sa 7.3 Standardne kovarijanse.
5) Izračunati rezultat merenja y, merene vrednosti Y, iz veze date
funkcijom f u (9.6), ili na drugi način, a korišćenjem procenjenih vrednosti
xi , umesto komponentnih vrednosti Xi .
6) Odrediti kombinovanu standardnu nesigurnost u C ( y), rezultata
merenja, y, iz standardnih nesigurnosti i standardnih kovarijansi datih uz
komponentne vrednosti xi . Nesigurnost izračunati u skladu sa
9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost. Ako se jednim merenjem
određuje više od jednog rezultata merenja, izračunati i kovarijanse tih
rezultata. Videti 7.3 Standardne kovarijanse, kao i primer 9.13.
Kada je potrebno dati proširenu nesigurnost U, za nivo poverenja P,
izabrati koeficijent obuhvata k, zatim izračunati U. Videti 9.5 Proširena
merna nesigurnost.
7) Odrediti stepen slobode standardne nesigurnosti. Videti 6.17 Stepen
slobode i 6.18 Efektivni stepen slobode.
[GUM] 8; 5.2.3; 5.2.5; 7.2.7 Note
138
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
9.15 Metrološka sledivost
Metrološka sledivost (sledivost) je odlika rezultata merenja koja znači
da postoji potpun dokaz da kombinovana standardna merna nesigurnost
vrednosti obuhvata nesigurnosti svih komponentnih vrednosti počevši od
izvora sledivosti.
VREDNOST JE SLEDIVA AKO JE NJENA KOMBINOVANA
STANDARDNA NESIGURNOST ODREĐENA NA OSNOVU
STANDARDNIH NESIGURNOSTI SVIH NJENIH KOMPONENTNIH
VREDNOSTI KOJE SU TAKOĐE SLEDIVE. ZA TAKVU VREDNOST SE
KAŽE DA JE SLEDIVA DO VELIČINA ODREĐENOG IZVORA
SLEDIVOSTI, DO KOGA SU SLEDIVE NJENE KOMPONENTNE
VREDNOSTI.
KOMBINOVANA NESIGURNOST SLEDIVE VREDNOSTI JE NJENA
UKUPNA NESIGURNOST KOJU PROUZROKUJU NESIGURNOSTI SVIH
NJENIH KOMPONENATA POČEVŠI OD IZVORA SLEDIVOSTI.
KOMBINOVANA NESIGURNOST SLEDIVE VREDNOSTI JE
NAJBOLJA PROCENA TAČNOSTI VREDNOSTI. TA NESIGURNOST
OMOGUĆAVA NAJBOLJU PROCENU NIVOA I INTERVALA
POVERENJA.
Kombinovana nesigurnost sledive vrednosti računa se na osnovu veze
komponentnih vrednosti i sledive vrednosti, na uobičajen način dat u
9.5 Kombinovana standardna merna nesigurnost.
Lanac sledivosti je neprekidni niz sledivih vrednosti i njihovih mernih
nesigurnosti.
Lanac sledivosti je određen hijerarhijom etaloniranja.
Izvor sledivosti je veličina koja je na početku lanca sledivosti i time je
osnova sledivih vrednosti.
Za sledivu vrednost se obavezno navodi izvor sledivosti.
„Slediv do SI“ znači „metrološki slediv do mernih jedinica SI“.
Laboratorija može izabrati izvor sledivosti koji odgovara njenim
potrebama.
[NIST] [VIM] 2.41; 2.42; 2.43. [Rečnik] 6.10.
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
151
9.15.1 Primer
Etaloniran je merač korišćenjem etalona čija je vrednost slediva. U
izveštaju o etaloniranju su date, sistematska greška pokazivanja merača i
njena merna nesigurnost, kao i merna nesigurnost vrednosti etalona.
Za procenjenu vrednost merene veličine, ycor., uzima se vrednost
pokazivanja merača, ypok., korigovana za sistematsku grešku G iz izveštaja
o etaloniranju.
Za procenjenu vrednost se može izračunati kombinovana standardna
nesigurnost u ( ycor. ), postupkom datim dole u skladu sa 7.5 Kombinovana
standardna varijansa. Za izračunavanje su potrebne standardne
nesigurnosti date u izveštaju o etaloniranju: etalona, u ( yet. ) i sistematske
greške, u (G ).
y cor . = y pok . − G
2
2
⎛ ∂ y cor . ⎞
⎛ ∂ y cor . ⎞
V( y cor . ) = ⎜
⎟ ⋅ V( y pok . ) + ⎜
⎟ ⋅ V(G )
⎜
⎟
⎝ ∂G ⎠
⎝ ∂ y pok . ⎠
∂ y cor .
=1
∂ y pok .
∂ y cor .
= −1
∂G
V( y pok . ) = u2 ( y pok . )
V(G ) = u2 (G )
V( y cor . ) = V( y pok . ) + V(G ) = u2 ( y pok . ) + u2 (G )
u( y cor . ) =
V( y cor . )
Tako dobijena procenjena vrednost, ycor., sa standardnom
nesigurnošću, u ( ycor. ), slediva je do izvora sledivosti etalona korišćenog za
etaloniranje.
152
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
10 Indeks pojmova i mali metrološki rečnik
Navedeni su brojevi stranica u priručniku na kojima se pominje pojam.
Nisu svi termini iz [VIM] ili [Rečnik].
10.1 Indeks pojmova i srpsko - engleski metrološki rečnik
aditivna korekcija ● additive correction
39, 102, 139
akreditacija ● accreditation 25
akreditaciono telo ● accreditation body
25
Alan ● Allan 123
Alanova varijansa ● Allan variance;
two-sample variance; pair variance 123
amper ● ampere; A 10
analiza varijanse ● analysis of
variance; ANOVA [GUM] 124, 128
ANOVA ● ANOVA [GUM]; analysis of
variance 124, 128
apsolutna greška ● absolute error;
deviation 36
aritmetička sredina ● arithmetic mean
[GUM]
; average [GUM]; mean [GUM] 61
aritmetička sredina populacije ●
expected arithmetic mean; expected
[GUM]
; expectation [GUM] 58
value
aritmetička sredina vrednosti iz grupa ●
pooled arithmetic mean 82, 125, 126
Bajes ● Bayes 106, 108
Bajesov faktor ● Bayes factor 106
Bajesov postupak ● Bayesian
procedure; Bayesian method 108
baždarenje (merila) ● gauging (of a
measuring instrument) 33
baznost ● pH; alkalinity 4, 92
beli šum ● white noise 123
bezdimenziona veličina ●
dimensionless quantity; qantity of
dimension one 5
binarna (merna) jedinica ● binary unit
(of measurement) 15
binarni predmetak ● binary prefix;
prefix for binary powers [SI] 14, 15
Kostić • 2014. • Metrološki priručnik
binarni prefiks ● binary prefix; prefix for
[SI]
14, 15
binary powers
BIPM ● BIPM; International bureau of
weights and measures XV
Boks - Koks transformacija ● Box - Cox
transformation 128
broj značajnih cifara ● number of
significant figures; number of
significient digits 41
brojčana jednačina ● numerical value
equation; numerical quantity value
equation 8
brojčana vrednost (veličine) ●
numerical value (of a quantity) 7
Celzijusova temperatura ● Celsius
temperature 11
CGPM ● CGPM; General conference
on weights and measures XV, 9
CODATA ● CODATA; (international)
Committee on data for science and
technology 7, 17, 18
CRM ● CRM; certified reference
materijal 43, 125
decimalna (merna) jedinica ● decimal
unit (of measurement) 15
decimalna jedinica SI ● decimal unit of
SI 15
decimalni deo (merne) jedinice ●
decimal submultiple of a unit (of
measurement) 15
decimalni umnožak (merne) jedinice ●
decimal multiple of a unit (of
measurement) 15
definicija merene veličine ● definition of
measurand 21
detektor ● detector 29
devijacija ● deviation; absolute error 36
153
Glave
1 Veličine i merne jedinice
2 Merenja
3 Merila
4 Rezultat merenja i tačnost
5 Etaloni i etaloniranje
6 Osnove statistike
Iz predgovora
Danas se, od pogona do fundamentalnih
nauka, zahteva statistička obrada rezultata
merenja. Svrha te obrade je određivanje
vrednosti merene veličine kao i tačnosti
te određene vrednosti. Traži se da
tačnost bude opisana mernom
nesigurnošću kako bi se omogućila
sledivost i obezbedilo izračunavanje
nivoa poverenja i intervala poverenja.
Suština merenja je ista u svim oblastima.
Svrha ove publikacije je da bude
priručnik ljudima koji se bave merenjima
za različite potrebe, od proizvodnje do
istraživanja, od fizike i hemije do biologije
i medicine. Publikacija je namenjena i
studentima i đacima.
Pred Vama je priručnik u kome se
jezgrovito ali sveobuhvatno opisuju teme
koje su neizostavne kod svih savremenih
merenja. Priručnik čini približno
minimalan i dovoljan skup pojmova i
metoda potrebnih da se izračunaju
izmerena vrednost veličine i njena merna
nesigurnost. Tekst je u obliku koji
omogućava neposrednu primenu.
[...]
7 Varijanse
Iz recenzije
8 Testovi i izravnanja funkcija
[...]
Metode i procedure kontrole kvaliteta
merenja [tj. statistička obrada i testiranje
rezultata merenja] prikazane su
jednostavno i korektno, a ilustrativni
primeri su pažljivo i dobro izabrani.
9 Merna nesigurnost
10 Indeks pojmova i mali metrološki rečnik
Ovaj PRIRUČNIK je neophodan svim
stručnjacima koji rade na kontroli
kvaliteta merenja, stoga je on u praksi
svakako dobrodošao.
Prof. dr Gligorije Perović
ISBN 978-86-88395-36-6
Download

Kostić (2014) STRANE IZ: Metrološki priručnik (SY360)