Верица Васиљевић
Бранислав Павић
Ивана Костић
ДИГИТАЛНЕ ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ
Приручник за лабораторијске вежбе
Висока школа електротехнике и рачунарства струковних студија
Београд, 2012.
Аутори:
др Верица Васиљевић, Бранислав Павић, Ивана Костић
Рецензенти:
проф. др Душан Драјић, проф. др Мирослав Лутовац
Издавач:
Висока школа електротехнике и рачунарства струковних
студија у Београду
За издавача:
др Драгољуб Мартиновић
Лектор:
Анђелка Ковачевић
Техничка обрада:
др Верица Васиљевић, Бранислав Павић, Ивана Костић,
Мирко Ступар, Марко Јовић, Далибор Воркапић
Дизајн:
Мирко Ступар, Зоран Трандафиловић
Штампа:
МТС Гајић
Тираж:
60
CIP - Каталогизација у публикацији
Народна библиотека Србије, Београд
621 . 391 : 004 (075.8)(076)
ВАСИЉЕВИЋ, Верица, 1952Дигиталне телекомуникације : приручник за
лабораторијске вежбе / Верица Васиљевић,
Бранислав Павић, Ивана Костић. - Београд :
Висока школа електротехнике и рачунарства
струковних студија, 2012 (Београд : МСТ
Гајић). - IV, 179 стр. : илустр. ; 30 cm +
1 електронски оптички диск (CD-ROM :
апликaтивни програми, видео ; 12 cm)
Тираж 60. - Библиографија: стр. 178.
ISBN 978-86-7982-121-8
1. Павић, Бранислав, 1956- [аутор] 2.
Костић, Ивана, 1985- [аутор]
а) Телекомуникације - Вежбе b) Дигитална
обрада сигнала - Вежбе
COBISS.SR-ID 189798924
Предговор
Приручник за лабораторијске вежбе Дигиталне телекомуникације намењен је студентима
Високе школе електротехнике и рачунарства струковних студија у Београду.
Приручник се састоји од 15 лабораторијских вежби методички обрађених.
Саставни део приручника је и компaкт-диск с електронском верзијом приручника, решеним
примерима и потребним софтвером за извођење вежби.
У Београду, март 2012.
Аутори
САДРЖАЈ
САДРЖАЈ
1. ВЕЖБА
1. Упутство за коришћење програма LTspice IV................................................................................2
1.1. Циљ вежбе................................................................................................................................2
1.2. Општи преглед ..........................................................................................................................2
1.3. Полазна шема...........................................................................................................................2
1.4. Покретање апликације.............................................................................................................2
1.5. Отварање радне површине за цртање шеме......................................................................2
1.6. Убацивање компоненти...........................................................................................................2
1.7. Постављање компоненте на радну површину.......................................................................3
1.8. Дефинисање параметара компоненте................................................................................4
1.9. Избор генератора.....................................................................................................................5
1.10. Повезивање компоненти.........................................................................................................7
1.11. Постављање масе....................................................................................................................8
1.12. Постављање тест тачака.........................................................................................................8
1.13. Покретање симулације............................................................................................................8
1.14. Приказивање спектра сигнала .............................................................................................10
1.15. Задаци за вежбу......................................................................................................................12
2. ВЕЖБА
2. Хармонијска
анализа
периодичних
сигнала
у
програмском
окружењу
LTspice...........................................................................................................................................16
2.1. Циљ вежбе...............................................................................................................................16
2.2. Теоретске основе...................................................................................................................16
2.3. Хармонијске анализа поворке правоугаоних импулса.....................................................19
2.4. Хармонијске анализе поворке правоугаоних импулса помоћу програма LTspice..........20
2.5. Задаци за вежбу.....................................................................................................................24
3. ВЕЖБА
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТАРА помоћу програмског окружења Filter design.......................28
3.1. Циљ вежбе.............................................................................................................................28
3.2. Теоретске основе...................................................................................................................28
3.3. Упутство за рад с програмским окружењем Filter Design.................................................33
3.4. Задаци за вежбу....................................................................................................................36
4. ВЕЖБА
4. Филтрирање и синтеза дигиталних сигнала..........................................................................40
4.1. Циљ вежбе.............................................................................................................................40
I
Дигиталне телекомуникације
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Теоретске основе...................................................................................................................40
Филтрирање периодичне поворке .........................................................................................40
Синтеза простопериодичних сигнала.................................................................................45
Задаци за вежбу....................................................................................................................46
5. ВЕЖБА
5. Модулација и демодулација амлпитудски модулисаних сигнала..........................................48
5.1. Циљ вежбе..............................................................................................................................48
5.2. Теоретске основе...................................................................................................................48
5.3. Пример реализације AM модулација у програмском окружењу LTspice.........................54
5.4. Задаци за вежбу....................................................................................................................57
6. ВЕЖБА
6. Модулација и демодулација сигнала с два бочна опсега (АМ – 2БО)...............................60
6.1. Циљ вежбе...............................................................................................................................60
6.2. Теоретске основе....................................................................................................................60
6.3. Реализација кружног модулатора у програмском окружењу LTspice..................................63
6.4. Задаци за вежбу.....................................................................................................................68
7. ВЕЖБА
7. Модулација и демодулација FM сигнала...................................................................................72
7.1. Циљ вежбе...............................................................................................................................72
7.2. Теоретске основе....................................................................................................................72
7.3. Генерисање фреквенцијски модулисаног сигнала (модулација).....................................75
7.4. Демодулација фреквенцијски модулисаносг сигнала...........................................................76
7.5. Демодулација сигнала детектором анвелопе......................................................................77
7.6. Задаци за вежбу.....................................................................................................................78
8. ВЕЖБА
8. Дигитализација аналогних сигнала...........................................................................................80
8.1. Циљ вежбе..............................................................................................................................80
8.2. Упознавање с импулсном амплитудском модулацијом.......................................................80
8.3. Дигитализација аналогних сигнала у програмском окружењу LTspice.............................85
8.4. Задаци за вежбу......................................................................................................................92
9. ВЕЖБА
9. Импулсна, ширинска и положајна модулација........................................................................94
9.1. Циљ вежбе..............................................................................................................................94
9.2. Теоретске основе....................................................................................................................94
II
САДРЖАЈ
9.3. Импулсни ширински модулатор у програмском окружењу LTspice IV.................................98
9.4. Задаци за вежбу...................................................................................................................101
10. ВЕЖБА
10. Дигиталне модулације.............................................................................................................104
10.1. Циљ вежбе............................................................................................................................104
10.2. Теоретске основе.................................................................................................................104
10.3. Генерисање амплитудски и фреквенцијски модулисаних сигнала...................................108
10.4. Генерисање ASK модулисаног сигнала.............................................................................109
10.5. Генерисање FSK модулисаног сигнала............................................................................112
10.6. Генерисање PSK модулисаног сигнала.............................................................................114
10.7. Задаци за вежбу...................................................................................................................115
11. ВЕЖБА
11. Интерсимболска интерференција.............................................................................................118
11.1. Циљ вежбе.............................................................................................................................118
11.2. Упознавање с интерсимболском интерференцијом..........................................................118
11.3. Генератор псеудослучајних импулса.................................................................................123
11.4. Анализа сигнала помоћу дијаграм ока..............................................................................124
11.5. Анализа ASK модулисаног и демодулисаног сигнала........................................................127
11.6. Анализа FSK модулисаног и демодулисаног сигнала.........................................................129
11.7. Задаци за вежбу...................................................................................................................130
12. ВЕЖБА
12. Хармонијска анализа у програмском окружењу OCTAVE.......................................................132
12.1. Циљ вежбе.............................................................................................................................132
12.2. Задаци за вежбу....................................................................................................................143
13. ВЕЖБА
13. Аналогне модулације и демодулације у прогрмаском окружењу OCTAVE..........................146
13.1. Циљ вежбе............................................................................................................................146
13.2. Теоретске основе..................................................................................................................146
13.3. Анализа аналогне АМ модулације и демодулације у програмском окружењу Оctave....146
13.4. Анализа аналогне FМ модулације и демодулације у програмском окружењу Оctave....149
13.5. Задаци за вежбу..................................................................................................................152
14. ВЕЖБА
14. Дигиталне модулације у програмском окружењу OCTAVE....................................................156
14.1. Циљ вежбе............................................................................................................................156
III
Дигиталне телекомуникације
14.2. Теоретске основе..................................................................................................................156
14.3. Анализа PSK и QAM сигнала у присуству шума у програмском окружењу Оctave............159
14.4. Задаци за вежбу...................................................................................................................163
15. ВЕЖБА
15. Ортогоналне модулације у програмском окружењу OCTAVE..................................................166
15.1. Циљ вежбе............................................................................................................................166
15.2. Теоретске основе.................................................................................................................166
15.3. Анализа ортогоналних М-арних FSK сигнала у програмском окружењу Оctave.............171
15.4. Анализа OFDM предајника и пријемник у програмском окружењу Оctave......................173
15.5. Задаци за вежбу...................................................................................................................176
ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................................................178
IV
1. ВЕЖБА
УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
1
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
1.
УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
1.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је да се студенти упознају с могућностима и начином коришћење програмског
окружења LTspice IV. Програмско окружење даје могућност за цртање електричних шема анализу
сигнала у временском и фреквенцијском домену.
1.2. Општи преглед
LTspice IV је генерални програм за цртање електричних шема с додатком програма за симулацију
рада. Располаже богатом библиотеком електронских компоненти с реалним параметрима, тако да
се резултати симулације поклапају с резултатима добијеним на реалном хардверу.
1.3. Полазна шема
Рад с LTspice IV софтверским алатом биће приказан на једном конкретном примеру.
Претпоставимо да желимо да анализирамо рад кола у коме су повезана два идеална напонска
генератора преко отпорника од 50Ω на потрошач импедансе 50Ω. Генератор 1 треба да производи
синусни сигнал учестаности 1000 Hz a генератор 2 синусни сигнал учестаности 3000 Hz. Време
трајања анализе треба да буде 100msec.
1.4. Покретање апликације
Програм се може покренути из start/All Programs/ LTspice IV као што је приказано на слици 1.1,
која се налази на радној површини.
или двоструким кликом на икону
Слика 1.1 Покретање LTspice IV
1.5. Отварање радне површине за цртање шеме
Избором мени опције File/New Schematic као што је приказано на слици 1.2, или активирањем
иконе у траци с алатима, отвара се радна површина за цртање електричне шеме.
Слика 1.2 Отварање радне површине за цртaње шеме
1.6. Убацивање компоненти
Компоненте се могу унети коришћењем мени опције Edit и избором компоненте из падајуће
листе. На слици 1.3 приказан је избор компoненте отпорник коју желимо да поставимо на радну
површину.
2
Дигиталне телекомуникације
Слика 1.4 Избор компоненте отпорник
Избор компоненте може се извршити и директно из траке с алатима која је приказана на слици 1.5.
Слика 1.5 Компоненте у траци с алатима
1.7. Постављање компоненте на радну површину
Након избора компоненте померамо миша до места где желимо да поставимо компоненту као
што је приказано на слици 1.6, а када смо дошли на жељену позицију притиснемо леви тастер
миша да би поставили компоненту (слика 1.7).
Слика 1.6 Померање компоненте
Слика 1.7 Постављање компоненте
3
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
Слика 1.8 Основни режим рада
У случају да је потребно поставити више отпорника на радну површину померамо миша до
следеће позиције и опет притиснемо леви тастер миша.
У случају да смо завршили постављање отпорника из овог режима излазимо притиском на
тастер Esc или притиском на десни тастер миша и курсор мора да добије изглед + као што је
приказано на слици 1.8.
Сада се може селектовати други тип компоненти и поновити претходна процедура.
1.8. Дефинисање параметара компоненте
Да бисмо поставили параметре неке компоненте померамо се курсором до компоненте док
курсор не промени изглед у „шаку с испруженим кажипрстом“
а потом притиснемо десни
тастер миша.
Отвара се прозор за дијалог за унос параметара жељене компоненте, као што је приказано
на слици 1.9.
У примеру који желимо да реализујемо захтев је да отпорници имају вредност 50Ω. Типична
толеранција отпорника је 10%, а за амплитуде сигнала испод 1V могу се узети отпорници чија
је снага 0,125W. Након уноса параметара изглед прозора мора да буде као на слици 1.10.
Други начин је избор стандардног отпорника из библиотеке. На прозору притиснемо тастером
Слика 1.9 Прозор за дијалог за унос параметара отпорника R1
4
Дигиталне телекомуникације
Слика 1.10 Изглед прозора за дијалог с унетим параметрима
миша на дугме Select Resistor и из прозора који се отвори (слика 1.11) изаберемо отпорник чија је
отпорност најближа жељеној.
Слика 1.11 Избор отпорника из библиотеке
1.9. Избор генератора
Електричној шеми треба додати два генератора синусоидалног сигнала. Генератори се налазе
у скупу компоненти којима се може прићи преко мени опције Edit/Component као што је приказано
на слици 1.12 или директно притиском тастера миша на икону у траци с алатима.
Слика 1.12 Улазак у библиотеку с компонентама
5
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
Слика 1.13 Избор генератора различитих таласних облика сигнала
Отвара се прозор у коме бирамо компоненту Voltage, као што је приказано на слици 1.13.
После постављања на жељену позицију генератор на шеми има изглед дат на слици 1.14.
Слика 1.14 Изглед генератора постављеног на радну површину
Након тога треба поставити параметре генератора као што је описано у тачки 1.8. Када се
постављају параметри генератора отвара се прозор који је приказан на слици 1.15.
Слика 1.15 Постављање параметара када се генератор користи као извор за напајање
У прозору за дијалог треба притиснути дугме Advanced. Oтвара се прозор за дијалог (слика 1.16)
у коме се постављају параметри генератора синусног сигнала (синусни генератор). У примеру који
је приказан на слици 1.16 постављени су параметри генератора који генерише синусни сигнал
учестаности 1kHz.
6
Дигиталне телекомуникације
Слика 1.16 Постављени параметри генератора синусног сигнала учестаности 1kHz
На исти начин се шеми додаје и синусни генератор учестаности 3kHz.
1.10. Повезивање компоненти
Компоненте се међусобно повезују коришћењем алатке Draw Wire која се може селектовати у
мени опцији Edit/Draw Wire (слика 1.17) или директно кликом на икону
у траци с алатима.
Слика 1.17 Избор алата за повезивање компоненти
7
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
1.11. Постављање масе
Маса се на електричну шему поставља као и свака друга компонента, што је већ описано. Маса
се може преузети из траке с алатима и означена је симболoм: .
Може се преузети и из мени опције Edit/Place GND.
1.12. Постављање тест тачака
Тест тачке се постављају на местима у електричној шеми у којима желимо да анализирамо
таласне облике сигнала или једносмерне напоне. Тест тачка може се преузети из траке с алатима
и означена је симболoм:
Након селектовања тест тачке отвара се прозор (слика 1.18) у који се уписује име које ће се
појавити на шеми.
Слика 1.18 Дефинисање тест тачке IZLAZ
Тест тачка се поставља на електричну шему идентично као и свака друга компонента.
Реализована електрична шема за постављени задатак приказана је на слици 1.19.
Слика 1.19 Реализована електрична шема
1.13. Покретање симулације
Симулација се покреће као мени опција Simulate/Run или притиском тастера миша на икону у
траци с алатима: .
Након тога појављује се прозор у коме се могу посматрати таласни облици сигнала у било којој
тачки реализоване електичне шеме (слика 1.20).
8
Дигиталне телекомуникације
Слика 1.20 Изглед развојног окружења у режиму симулације
Анализирајмо изглед сигнала у тачки OUT.
Померимо курсор миша према тачки OUT и када курсор промени изглед из „+“ у притиснемо
леви тастер миша. На екрану за приказ таласних облика појављује се таласни облик сигнала у
тачки OUT (слика 1.21).
Слика 1.21 Таласни облик сигнала у тачки OUT
На екрану се истовремено могу приказати таласни облици сигнала из више тачака (слика 1.22).
Слика 1.22 Таласни облици резултантног сигнала (зеленог) и сигнала с генераторa (плавог и црвеног)
9
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
1.14. Приказивање спектра сигнала
Да бисмо приказали спектре сигнала представљених на слици 1.22 у временском домену
потребно је притиснути десни тастер миша изнад површине екрана за приказ таласних облика
сигнала. Појављује се падајућа листа (слика 1.23) с које треба изабрати опцију FFT2(брзу Фуријеову
трансформацију).
Слика 1.23 Покретање брзе Фуријеове трансфорамације (FFT анализе)
Слика 1.24 Избор сигнала чији се спектар приказује
10
Дигиталне телекомуникације
Након покретања FFT анализе појављује се прозор (слика 1.24) за избор сигнала чији спектар
желимо приказати и на коме се могу изабрати параметри.
Треба изабрати сигнал V(out) и притиснути тастер ОК. Појављује се нови прозор у коме је
приказан спектар (амплитудски) сигнала V(out) (слика 1.25).
Слика 1.25 Спектар сигнала V(out)
Притиском на десни тастер миша (слика 1.26) или одабиром опције Plot Settings (слика 1.27)
може се добити опција Manual Limits која даје могућност различитих подешавања (слика 1.28)
Слика 1.26 Одабир опција скале (Manual Limits) притиском на десни тастер миша
Слика 1.27 Подешавање (Manual Limits) одабиром опције Plot Settings
11
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
Слика 1.28 Пример подешавања опције Manual Limits
Слика 1.29 Амплитудски спектар синусног сигнала
Слика 1.30 Амплитудски спектар сигнала у тачки OUT са слика 1.22 и 1.23 (збир два синусна сигнала)
1.15. Задаци за вежбу
Задатак 1.1. У програмском окружењу LTspice реализовати симулациони модел за анализу
синусоидалног сигнала са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 500Hz,
▪ амплитуда сигнала је 1V.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену.
Задатак 1.2 У програмском окружењу LTspice реализовати симулациони модел за анализу
сигнала четвртки са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 2000Hz,
▪ амплитуда сигнала је 2V,
▪ однос сигнал/пауза 1 према 1.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену.
Задатак 1.3 У програмском окружењу LTspice реализовати симулациони модел за анализу
сигнала троуглова са следећим параметрима:
12
Дигиталне телекомуникације
▪ учестаност сигнала 1500Hz,
▪ амплитуда сигнала је 2.5V.
Приказати сигнал у временском и фреквенцијском домену.
Задатак 1.4 У програмском окружењу LTspice реализовати симулациони модел за анализу
сигнала рампе са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 2500Hz,
▪ амплитуда сигнала је 1.5V.
Приказати сигнал у временском и фреквенцијском домену.
13
1. УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ ПРОГРАМА LTspice IV
14
2. ВЕЖБА
ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У
ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
15
2. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
2.
Хармонијска анализа периодичних сигнала у програмском окружењу
LTspice
2.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе јесте да се коришћењем програмског окружења LTspice IV1 упореде спектри
различитих таласних облика сигнала добијених симулацијом и израчунавањем користећи развој у
Фуријеов ред.
2.2. Теоретске основе
Сви сигнали у зависности од њихове суштинске природе могу се класификовати у две групе.
Једну чине детерминистички сигнали а другу случајни сигнали. И једни и други могу се представити
временским функцијама. Анализом ових функција може се доћи до карактеристика тих сигнала.
Детерминистичким сигналима називају се произвољни сигнали који могу бити задати у виду неке
дефинисане временске функције. Као пример може се узети поворка правоугаоних импулса, напон
синусоидалног облика, итд... Њихова основна особина је да када се једном упозна та функција
вредности које он дефинише могу у ма ком тренутју времена у будућности да се израчунају. Случајни
сигнали су они сигнали код којих се флуктуација вредности неке њихове величине, која се посматра
у времену, не може унапред прецизно знати. Сигнали који се преносе комуникационим системима
су случајни. Детерминистички сигнали врло се ефикасно користе за проучавање преноса случајних
сигнала и зато ћемо се посветити њиховој анализи и методама које се у тој анализи користе.
У испитивању детерминистичких сигнала користи се хармонијска анализа функција које
представљају такве сигнале. Хармонијска анализа заснива се на теорији Фуријеових редова
и Фуријеове трансформације. Детерминистички сигнали деле се у две групе: периодични и
апериодични. За периодичне сигнале примењује се анализа помоћу Фуријеових редова, а за
апериодичне сигнале Фуријеова трансформација.
Електрични комуникациони сигнали састоје се из временски променљивих напонских или
струјних таласних облика обично описаних у временском домену. Такође је погодно описати
сигнале у фреквенцијском домену. Опис сигнала у фреквенцијском домену означава се као њихов
спектар. Фреквенцијска спектрална карактеристика може бити додељена и таласним облицима
сигнала и колима.
Када кажемо да одређени спектар описује сигнал мислимо на један од начина за карактеризацију
таласног облика сигнала у коме су и амплитуда и фаза представљене у функцији учестаности.
Сигнали који су периодични (с периодом T):
x(t) = x(t+T) = x(t+2T) = x(t+3T) = … = x(t+kT)
(2.1)
и коначне енергије у оквиру сваке периоде могу се представити Фуријеовим редом. Једначине
Слика 2.1 Периодични сигнал периоде T
1 Може се наћи на адреси: http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp
16
Дигиталне телекомуникације
које следе (Фуријеов ред) описују произвољни периодични сигнал x(t) као бесконачан збир синуса
и косинуса који су хармоници основне учестаности 1/Т:

A
x(t) 
n 0

n
cos(
2 nt
)
T

B
n 1
 A
 A0 
A cos(2 nf t )  B


n 1

cos(
0
n
n 1
A cos(2 nf t )  B
n 0
0
n
sin(
2 nt
)
T
2 nt
2 nt 
)  B n sin(
)
T
T 
 A0 
n
n
n
n
sin(2 nf0t )
sin(2 nf0t )
 A0  A1 cos(2 f 0 t )  A2 cos( 4 f 0 t )  A3 cos(6 f 0 t )  ...  B1 sin( 2 f 0 t )  B2 sin( 4 f 0 t )  B3 sin( 6 f 0 t )  ...
(2.3)
Као што се види периодична функција представљена је сумом простопериодичних функција,
учестаности f0, односно кружне учестаности ω0. Оне се називају хармоници периодичне функције
x(t). Коефицијенти А0, An, Вn (амплитуде синусних и косинусних чланова) називају се Фуријеови
коефицијенти и могу се израчунати на следећи начин:
T
A0 
2
x(t)dt
T
(2.3)
2
x(t)sin(2nf0 )dt
T
(2.4)
2
x(t)cos(2nf0 )dt
T
(2.5)

0
T
Bn 

0
T
An 

0
Једначина 2.2 може се представити још у два облика. У првом, користећи једначину 2.6 и
узимајући у обзир слику 2.2 може се представити као збир или само синуса или само косинуса и
као резултат даје једначину 2.7.
Слика 2.2 Веза АsinΘ и ВcosΘ
A2  B 2
A cos 2 ft  B sin 2 ft 
( A cos 2 ft  B sin 2 ft )
A2  B 2
A
B
 M(
cos 2 ft 
sin 2 ft )
2
2
2
A B
A  B2
 M(cos cos 2 ft  sin sin 2 ft )
 M cos(2 ft   )

x (t ) 

M
n0
n


A 2  B 2 cos(2 ft  tan 1 B / A )
cos(2 nf 0 t  θ n )
(2.6)
(2.7)
17
2. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
где су Θn и Mn дати с:
 n  tan1 B / A
(2.8)
An2  B n2
(2.9)

Mn
Графички једначина 2.7 може се представити сликом 2.3.
Слика 2.3 Графички приказ збира (суперпозиције)
На основу једначине 2.7 могу се дефинисати:
▪ амплитудски спектар показује амплитуде сваке простопериодичне компоненте у једначини
2.7 (слика 2.4) и
▪ фазни спектар приказује померање фазе сваке простопериодичне компоненте у једначини
2.7 (на слици 2.4 у степенима).
Слика 2.4 Амплитудски и фазни спектар периодичног сигнала
Као што је наглашено постоји више начина да се представи трансформациони пар (анализа
и синтеза) Фуријеовог реда. Уобичајен начин користи једнакост којом се изражавају sin и cos у
експоненцијалном облику:

e j 2ft cos 2 ft  j sin 2 ft  cos 2 ft 
sin 2 ft 
e j 2 ft  e  j 2 ft
2
e j 2 ft  e  j 2 ft
2j
Ако се sin и cos у једначини 2.2 замене једначинама 2.10 и 2.11 добија се:
18
(2.10)
(2.11)
Дигиталне телекомуникације


x (t ) A0 
 A cos(2 nf t )  B
 A0 
  e j 2nf 0 t  e  j 2nf 0 t
 An 

2
n 1 
 
 A0 
0
n
n 1
n
sin(2 nf0t )



 An
  2
n 1


Bn
2j

 j 2nf 0 t  e   j 2nf 0 t
  Bn  e


2j


 j 2nf 0 t  An Bn
e
  

 2 2j
 An  jBn  j 2nf 0 t


e
2

n 1 
  j 2 nf 0 t 
 e




 A n  jBn   j 2 nf 0 t
e
2

n 1
 A0 

 
x (t ) A0 

 

 j 2nf 0 t
 An  jBn

e

2

n   
 An  jBn
2
n 1


C e
n  
n




1

 j 2nf 0 t
e

j 2nf 0 t
(2.12)
где су коефицијенти дати с:
(2.13)
C0  A0

C n ( An  jBn ) / 2 за n  0
(2.14)

C n ( An  jB n ) / 2 за n  0
(2.15)
То значи да се једначина (2.2) и њени коефицијенти могу изразити и на следећи начин:
T
Cn 
1
x (t )e j 2 nf0t dt
T

(2.16)
0
x (t ) 

C e
n  
n
j 2 nf 0 t
(2.17)
2.3. Хармонијска анализа поворке правоугаоних импулса
У овом одељку дат је пример развоја у Фуријеов ред периодичног сигнала с једносмерном
компонентом.
Слика 2.5 Поворка правоугаоних импулса
19
2. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
Карактеристике поворке правоугаоних импулса приказаних на слици 2.5:
▪ основна периода је T=2ms,
▪ основна учестаност је f0=1/T=0,5kHz и
▪ aмплитуда 1V.
Израчунаћемо Фуријеове коефицијенте Cn користећи једначину (2.16):
T
|
1
1
1
1
1
t

1dt 
C0 
s(t )dt 
T
2
2
2

0

0
0
T
1
1
1  j 2 nf 0 t
e  j n
Cn 
s(t )e  j 2 nf 0 t dt 
e
dt 
 2 j n
T
2


0
0

e  j n  1  e


 2 j n 


j n
2
 j n
e 2
2 j n
|
1
0
  j n
 j n

sin n / 2 2
e 2 
e
n


(2.18)
На основу релација:
sin n / 2

sinx (e jx  e  jx ) / 2 и вредности
;
n
Добија се:
A0  1/ 2
1/ n
An  
0
за парно n
за непарно n
(2.19)
То значи да постоје само непарни хармоници, односно  хармоници су међусобно померени
за 0,5kHz када се израчунавају Фуријеове компоненте. Уколико би израчунали све коефицијенте
и представили их графички добила би се амплитудска карактеристика (амплитудски спектар)
представљена на слици 2.6.
Слика 2.6 Амплитудски спектар правоугаоне поворке импулса са слике 2.5
2.4. Хармонијске анализе поворке правоугаоних импулса помоћу програма LTspice
Пример. 2.1: Подесити генератор поворке правоугаоних импулса тако да се добије сигнал као
што је представљено на слици 2.5.
20
Дигиталне телекомуникације
Слика 2.7 Генератор правоугаоне поворке импулса
Подесити генератор на вредности које су приказане на слици 2.8.
Слика 2.8 Подешавање параметара генератора поворке правоугаоних импулса
Постављање параметaрa симулације:
Слика 2.9 Опција за постављање параметара симулације
Слика 2.10 Постављање параметара симулације
21
2. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
Слика 2.11 Поворка прaвоугаоних импулса
Покретањем симулације добија се изглед сигнала у временском домену (слика 2.11).
Користећи опцију за брзу Фуријеову трансформацију - FFT (слика 2.12) и подешавајући вредности
на Manual Limits (слика 2.13) као што је описано у 1. вежби добија се амплитудкси спектар сигнала
представљен на слици 2.14.
Слика 2.12 Коришћење опције FFT
за изналажење амплитудског спектра правоугаоне поворке импулса
Поставити параметре опције Manual Limits на вредности као што је приказано на слици 2.13.
Слика 2.13 Постављање параметара за приказ амплитудског спектра
22
Дигиталне телекомуникације
Слика 2.14 Амплитудски спектар правоугаоне поворке импулса
Као резултат подешавања представљених на сликама 2.12 и 2.13 добија се амплитудски
спектар представљен на слици 2.14:
Пример 2.2 Претпостaвити да је oсновна периода Tp=4ms, f0=0,25kHz, и да је однос сигнал/
пауза 1:3. Израчунати првих 8 хармоника овог сигнала и упоредити их с резултатима добијеним
симулацијом.
Слика 2.15 Правоугаона поворка импулса односа сигнал/пауза 1:3
а) временски домен б) фреквенцијски домен
23
2. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
Слика 2.16 Подешавање вредности генератора поворке правоугаоних импулса
Подешавања генератора правоугаоних импулса:
Слика 2.17 Поворка прaвоугаоних импулса
Слика 2.18 Амплитудски спектар правоугаоне поворке импулса
2.5. Задаци за вежбу
Проверити симулацијом утицај различитих параметара на спектар сигнала.
Задатак 2.1 Периода 2 пута већа од иницијалне периоде.
Задатак 2.2 Периода 4 пута већа од иницијалне периоде.
Задатак 2.3 Периода 8 пута већа од иницијалне периоде.
Задатак 2.4 Увећати 2 пута ширину импулса сигнала у задатку 2.1.
24
Дигиталне телекомуникације
Упоредити резултантни спектар сигнала добијеног у задатку 2.1 и спектра добијеног променом
ширине импулса.
Задатак 2.5 Увећати 2 пута ширину импулса сигнала у примеру 2.2.
Упоредити резултантни спектар сигнала добијеног у примеру 2.2 и спектра добијеног променом
ширине импулса.
Задатак 2.6 Увећати 2 пута ширину импулса сигнала у примеру 2.3.
Упоредити резултантни спектар сигнала добијеног у примеру 2.3 и спектра добијеног променом
ширине импулса.
Задатак 2.7 Увећати 4 пута ширину импулса сигнала у примеру 2.4.
Упоредити резултантни спектар сигнала добијеног у примерима 2.4, 2.6 и спектра добијеног
променом ширине импулса у овим примерима.
Задатак 2.8 Анализирати спектре сигнала:
▪ KlipovanaSinusoida.asc,
▪ Ispravljenasinusoida.asc,
▪ Testera.asc
и упоредити са спектрима правоугаоне поворке анализиране у претходним примерима.
25
2. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА ПЕРИОДИЧНИХ СИГНАЛА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ LTspice
26
3. ВЕЖБА
ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТАРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ
ОКРУЖЕЊА Filter Design
27
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТЕРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ ОКРУЖЕЊА Filter Design
3.
Пројектовање филтара помоћу програмског окружења FilterDesign
3.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе је да се коришћењем програмског окружења Filter Design1 и LTspice2 пројектује и
симулира процес филтрирања. Програмским окружењем Filter Design могу се пројектовати пасивни
LС филтри.
3.2. Теоретске основе
Филтер је склоп или процес који одстрањује из сигнала неку нежељену компоненту или
карактеристику.
Постоји више различитих начина за класификовање филтара. На пример, филтри могу да буду:
▪ aналогни или дигитални,
▪ дискретни у времену или континуални у времену,
▪ линеарни или нелинеарни,
▪ пасивни или активни,
▪ дигитални филтри бесконачног импулсног одзива (IIR - infinite impulse response) или коначног
импулсног одзива (FIR - finite impulse response).
Постоји више фамилија филтара. Сваку фамилију филтара карактерише полином који одређује
преносну карактеристику филтра. Неке уобичајене фамилије филтара и њихове карактеристике су:
▪ Бетервортов филтар (Butterworth) – равна карактеристика у пропусном и непропусном
опсегу, спор прелаз из пропусног у непропусни опсег;
▪ Чебишевљев филтар (Chebyshev) (врста I) – таласаста карактеристика у пропусном , умерен
прелаз из пропусног у непропусни опсег;
▪ Чебишевљев филтар (Chebyshev) (врста II) – равна карактеристика у пропусном, умерен
прелаз из пропусног у непропусни опсе;
▪ Беселов филтар (Bessel) – нема промене у групном кашњењу, равна карактеристика у
пропусном, спор прелаз из пропусног у непропусни опсег;
▪ Елиптични (Elliptic) филтар - таласаста карактеристика у пропусном и непропусном опсегу,
брз прелаз из пропусног у непропусни опсег;
▪ Гаусов филтар (Gaussian) – нема прескок у одзиву на побуду Хевисајдовим импулсом;
▪ Филтар с карактеристиком подигнутог косинуса (Raised-cosine).
За сваку од фамилија филтара може се специфицирати одређени ред. Што је већег реда
карактеристика филтра ће се више приближити карактеристици идеалног филтра. Такође ће бити
дужи одзив и кашњење у односу на улазни сигнал.
На слици 3.1 може се уочити разлика између Батервортовог, Чебишевљевог и елиптичног
филтра. Филтри на овој слици су нискофреквентни филтри петог реда. Конкретна имплементација
аналогна или дигитална, пасивна, или активна нема никаквог утицаја: излаз ће бити исти.
Као што се на слици види, елиптични филтар има оштрији прелаз из пропусног у непропусни
опсег од осталих. Али има таласасту карактеристику у целом опсегу.
Батервортов филтар
Амплитудска карактеристика Батервортовог НФ филтра је глатка крива која опада с порастом
1 http://www.aade.com/filter32/download.htm
2 http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp
28
Дигиталне телекомуникације
Слика 3.1 Преноснe карактеристикe Батервортовог, Чебишевљевог елиптичног и Беселовог филтра
фреквенције. Он је популаран пошто је најбоља апроксимација идеалног филтра- максимално
равна карактеристика у пропусном опсегу. Његов амплитудски одзив дат је изразом:
H n (f ) 
1
1  ( f / fn ) 2 n
n 1
(3.1)
Слика 3.2 Преносна карактеристика Батервортовог НФ филтра петог реда
Повећањем реда филтра његова карактеристика више одговара идеалном филтру, што се
може видети на следећој слици.
29
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТЕРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ ОКРУЖЕЊА Filter Design
Слика 3.3 За веће вредности реда филтра крива слабљења приближава се слабљењу идеалног филтра
Треба напоменути да се при томе повећава сложеност филтра, па не треба бирати филтре
великих редова, што се може видети на следећој слици.
Слика 3.4 Реализација (сложеност) Батервортовог филтра првог и петог реда
Чебишевљев филтар (тип I)
Слика 3.5 Амплитудска преносна карактеристика Чебишевљев НФ филтар четвртог реда с ε=1
Појачање (или амплитудски одзив) у функцији кружне учестаности и n-тог реда НФ филтра дато
је релацијом:
1
Gn ( ) 
H n ( j ) 
1   2Tn2 (

)
0
(3.2)
Где је ε фактор таласности (осцилација), ω0 је гранична учестаност а Tn је Чебишевљев полином
n-тог реда.
30
Дигиталне телекомуникације
Осцилације (таласност) се изражавају у dB:
Осцилације dB  20 log10
1
1  2
(3.3)
Амплитуда осцилација од 3 dB добија се за ε=1.
Чебишевљев филтар (тип II)
Слика 3. 6 Фреквенцијски одзив Чебишевљевог филтра (тип II) петог реда с вредношћу ε=0.01
Познат је и као инверзни Чебишевљев филтар. Појачање је представљено с:
Gn ( ,0 ) 
1
1
1
 2Tn2 (0
/ )
(3.4)
Беселов филтар
У електроници и обради сигнала Беселов филтар је врста линеарног филтра с максимално
равном линеарном фазном карактеристиком. Име филтра је по немачком математичару (Friedrich
Bessel 1784–1846) који је развио математичку теорију на којој је базиран филтар.
Слика 3.7 Слабљење и групно кашњење Беселовог НФ филтра четвртог реда
31
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТЕРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ ОКРУЖЕЊА Filter Design
На слици 3.7 треба уочити да је прелаз из пропусног у непропусни опсег много блажи него код
других филтара. Беселов филтар има максимално равну карактеристику групног кашњења.
Беселова преносна карактеристика нискофреквентног филтра је:
H (s ) 
 n (0)
,
 n ( s / 0 )
(3.5)
где је θn(s) везано за Беселов полином, ω0 је жељена гранична учестаност.
Елиптични филтар
Елиптични филтар познат је као Кауеров (Wilhelm Cauer) филтар. Појачање нископропусног
елиптичног филтра дато је с:
Gn ( ) 
1
1 
2
R n2 ( , / 0 )
(3.6)
где је Rn елиптична рационална функција n. реда (некада се назива и Чебишевљева рационална
функција) а ω0 је гранична учестаност: ε је фактор таласности: ξ је фактор селективности.
Слика 3.8 Фреквенцијски одзив елиптичног нискофреквентног филтра четвртог реда с ε=0.5 и ξ=1.05.
Гаусов филтар
Слика 3.9a Облик одзива типичног Гаусовог филтра
32
Дигиталне телекомуникације
Слика 3.9б Карактеристика групног кашњења типичног Гаусовог филтра
Гаусов филтар је онај чији је импулсни одзив Гаусова функција. Карактеристика му је минимално
групно кашњење. Једнодимензионални Гаусов филтар има импулсни одзив дат релацијом:
g(x) 
a

e  ax
(3.7)
2
са стандардном девијацијом као параметром:
g(x) 
1
2  
e

x2
2 2
(3.8)
3.3. Упутство за рад с програмским окружењем Filter Design
Програм Filter Design намењен је за пројектовање пасивних LC филтара. У овом одељку биће
детаљно описан начин коришћења програмског окружења Filter Design на једном конкретном
примеру реализације филтра.
Пример 3.1: потребно је реализовати Батервортов филтар пропусник ниских учестаности.
Параметри филтра:
▪ таласност у пропусном опсегу 3dB,
▪ 3dB тачка на 1000Hz,
▪ слабљење на 10000Hz 40dB.
Покретање програма: из Start менија покренути Filter Design кao што је приказано на слици 3.10.
Слика 3.10 Покретање програмског окружења Filter Design
Појављује се (отвара) прозор радног окружења, као што је приказано на слици 3.11.
Избор фамилије филтара врши се из опције DESIGN, као што је приказано на слици 3.12.
33
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТЕРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ ОКРУЖЕЊА Filter Design
Слика 3.11 Радно окружење програмског пакета Filter Design
Слика 3.12 Избор фамилије филтра
Отвара се прозор, као на слици 3.13, из кога вршимо избор врсте филтра. У овом примеру
постављен је задатак да се реализује пропусник ниских учестаности. Бирамо опцију LOW-PASS а
затим притиснемо на дугме ОК.
Слика 3.13 Прозор у коме се врши избор врсте филтра
Појављује се прозор у коме се задају параметри филтра.
После уношења параметара филтра дефинисаних пројектним задатком добија се изглед екрана
предствљен на слици 3.15.
34
Дигиталне телекомуникације
Слика 3.14 Прозор за задавање параметара филтра
Слика 3.15 Прозор с задатим параметрима филтра
Након уношења параметара притисне се тастером миша опција ENTER.
Појављује се прозор у коме треба задати фактор “доброте” калема. Типична вредност за
комерцијално доступне калемове је 20.
После уношења вредности фактора “доброте” приснути тастером миша ENTER.
На екрану ће се појавити електрична шема траженог филтра с вредностима компонената
(слика 3.16).
Слика 3.16 Електрична шема Батервортовог нископропусног филтра с вредностима елемената
35
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТЕРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ ОКРУЖЕЊА Filter Design
У оквиру програмског окружења постоје и алати за анализу карактеристика пројектованог
филтра.
Амплитудско фреквенцијска карактеристика може се добити покретањем MENI опције ANALYZE/Power effective Gain (слика 3.17).
Слика 3.17 Анализа амплитудне и фазне карактеристике пројектованог филтра
Амплитудно фреквенцијска карактеристика пројектованог филтра приказана је на слици 3.18.
Слика 3.18 Амплитудно фреквенцијска карактеристика пројектованог филтра
3.4. Задаци за вежбу
Задатак 3.1: У програмском пакету Ltspice реализовати симулациони модел генератора
четвртки са следећим параметрима:
▪ амплитуда 0-0V, 1-1V,
▪ учестаност 1000Hz,
▪ однос сигнал пауза 1/1
36
Дигиталне телекомуникације
a) Приказати спектар сигнала на излазу генератора.
б) У програмском пакету Filter Design израчунати параметре филтра који пропушта трећи
хармоник сигнала четвртки. Симулационом моделу додати израчунати филтар.
в) Приказати сигнал на излазу филтра у временском и фреквентном домену.
▪ Колика је учестаност трећег хармоника.
Задатак 3.2: У програмском пакету Ltspice реализовати симулациони модел генератора
четвртки са следећим параметрима:
▪ амплитуда 0-0V, 1-1V,
▪ учестаност 1000Hz,
▪ однос сигнал пауза 1/1.
а) Приказати спектар сигнала на излазу генератора.
б) У програмском пакету Filter Design израчунати параметре филтра који пропушта први
хармоник сигнала четвртки. Симулационом моделу додати израчунати филтар.
в) Приказати сигнал на излазу филтра у временском и фреквентном домену.
▪ Колика је учестаност првог хармоника.
37
3. ПРОЈЕКТОВАЊЕ ФИЛТЕРА ПОМОЋУ ПРОГРАМСКОГ ОКРУЖЕЊА Filter Design
38
4. ВЕЖБА
ФИЛТРИРАЊЕ И СИНТЕЗА ДИГИТАЛНИХ СИГНАЛА
39
4. ФИЛТРИРАЊЕ И СИНТЕЗА ДИГИТАЛНИХ СИГНАЛА
4.
ФИЛТРИРАЊЕ И СИНТEЗА ДИГИТАЛНИХ СИГНАЛА
4.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе је да се коришћењем програмског окружења Filter Design1 и LTspice2 упореде
резултати добијени филтрирањем дигиталног сигнала и синтезом простопериодичних сигнала с
резултатима добијеним развојем у Фуријеов ред.
4.2. Теоретске основе
Периодична поворка правоугаоних импулса, приказана на слици 4.1, може се развити у Фуријеов
ред уз коришћење једначине 4.1. Рачунање чланова детаљно је објашњено у 2. вежби, а овде ћемо
дати кратак преглед, и применити га на правоугаони импулс који је дат на слици 4.1.
Слика 4.1 Периодична поворка правоугаоних импулса периоде 500Hz (однос 1:2)

x (t ) A0 

 A cos(2 f t )  B
n 1
n
n
n
sin(2 fn t )
(4.1)
У овој формули први члан је једносмерна компонента која се може израчунати једначином (4.2),
а остали чланови једначинама (4.3) и (4.4):
T
A0 
2
x(t)dt
T
(4.2)
2
x(t)sin(2 nf0 )dt
T
(4.3)
2
x(t)cos(2 nf0 )dt
T
(4.4)

0
T
Bn 

0
T
An 

0
Сигнал на слици 4.1 сличан је сигналима на слици 2.5, односно 2.11. Зашто? Када бисмо сигнал
са слике 4.1 транслирали навише, добили бисмо сигнал као у 2. вежби, али с амплитудом 2V
(слика 4.2). Користећи коначне формуле за Фуријеове коефицијенте (разлика је само у амплитуди)
закључујемо да ће имати исти спектар, али ће хармоници имати два пута веће вредности (слика
4.5).
Треба нагласити да овај сигнал нема једносмерну компоненту (за разлику од сигнала у 2.
вежби). Морамо посматрати сигнал са слике 4.1 јер је то оригиналан сигнал.
4.3. Филтрирање периодичне поворке
У програмском окружењу LtSpice треба генерисати периодичну поворку. Користећи програмско
окружење Filter Design треба одстранити више хармонике. Анализом у временском и фреквенцијском
1 http://www.aade.com/filter32/download.htm
2 http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp
40
Дигиталне телекомуникације
Слика 4.2 Транслирана периодична поворка правоугаоних импулса са слике 4.1
домену може се видети да се добијени резултати поклапају с оним резултатима који се могу добити
развојем у Фуријеов ред и занемаривањем виших чланова реда.
4.3.1 Генерисање периодичне поворке сигнала
Пример 4.1. Посматрајмо периодичну поворку (парну), без једносмерне компоненте. Можемо је
у програмском окружењу LTspice добити подешавајући генератор на следеће вредности:
Слика 4.3 Подешавање генератора LTspice на вредности које даје сигнал представљен на слици 4.1
Слика 4.4 Генератор периодичне поворке учестаности 500Hz
Сигнал на излазу генератора представљен је на слици 4.1, а његов спектар представљен је на
слици 4.5:
41
4. ФИЛТРИРАЊЕ И СИНТЕЗА ДИГИТАЛНИХ СИГНАЛА
Слика 4.5 Амплитудски спектар периодичне поворке 500Hz
Обратити пажњу да је одабрана линеарна скала у опцији Manual limits на начин као што је
представљено на слици 4.6:
Слика 4.6 Подешавање линеарне скaлe за приказивање амплитудског спектра
4.3.2 Филтрирање сигнала
Пример 4.2. Сигнал 500Hz пропустићемо кроз нискофреквентни филтар граничне учестаности
2,5kHz тако да пропушта само 1., 3. и 5. хармоник а не пропушта 7, 9,..
Филтар се реализује у програмском окружењу Filter Design. Како је потребно „пропустити“ (не
ослабити) хармонике нижих учестаности а „потиснути“ (ослабити) хармонике виших учестаности
применићемо Батервортов (Butterworth) филтар пропусник ниских учестаности. Параметри филтра
су приказани на слици 4.7.
Слика 4.7 Параметри Батервортовог филтра пропусника ниских учестаности
Електрична шема Батервортовог филтра с параметрима који су одабрани (слика 4.7) приказана
је на слици 4.8. У LTspice програмском окружењу реализује се симулациони модел као што је
приказано на слици 4.7.
42
Дигиталне телекомуникације
Слика 4.8 Електрична шема Батервортовог НФ филтра 4. реда
У Filter Design програмском окружењу могу се видети неки важни параметри филтра. Један
од њих је групно кашњење који показује кашњење сигнала на излазу филтра у односу на улазни
сигнал у зависности од учестаности (слика 4.9).
Слика 4.9 Опција за анализу групног кашњења
Дијаграм групног кашњења приказан је на слици 4.10. Са слике се види да филтар уноси
кашњење око 0,2ms.
Слика 4.10 Дијаграм групног кашњења
43
4. ФИЛТРИРАЊЕ И СИНТЕЗА ДИГИТАЛНИХ СИГНАЛА
Слика 4.11 Одзив филтра на правоугаони импулс
Важан параметар је одзив филтра на правоугани импулс. На слици 4.11 приказан је избор
опције за одзив филтра.
Са слике 4.11 види се да ћемо за правоугаони сигнал на излазу филтра имати „пребачај“.
Уколико се жели то избећи потребно је променити врсту и параметре филтра.
Слика 4.12 Електрична шема генератора и Батервортовог филтра
Сигнал на излазу из филтра представљен је на сликама 4.13 (временски домен) и 4.14
(фреквенцијски домен).
Слика 4.13 Временски облик сигнала периодичне поворке 500Hz
пропуштене кроз филтар граничне учестаности 2,5kHz
Слика 4.14 Спектар сигнала периодичне поворке 500Hz пропуштене кроз филтар граничне учестаности 2,5kHz
44
Дигиталне телекомуникације
4.4. Синтеза простопериодичних сигнала
Сабирањем простопериодичних сигнала одговарајуће амплитуде и учестаности може се добити
композитни сигнал временског облика идентичног филтрираном сигналу за који је спроведена
анализа у одељку 4.4.
Пример 4.3 Реализована електрична шема за постављени задатак приказана је на слици 4.15.
Слика 4.15 Електрична шема три простопериодична генератора
Резултантни сигнал у временском домену представљен на слици 4.16 одговара сигналу са
слике 4.13 а спектар тог сигнала (предстaвљен на слици 4.17) одговара спектру сигнала на
слици 4.14.
Слика 4.16 Изглед синтетизованог сигнала у временском домену
Слика 4.17 Спектар синтетизованог сигнала
45
4. ФИЛТРИРАЊЕ И СИНТЕЗА ДИГИТАЛНИХ СИГНАЛА
4.5. Задаци за вежбу
Задатак 4.1: У програмском окружењу LTspice реализовати симулациони модел за анализу
поворке правоугаоних импулса (идеалне четвртке) са следећим параметрима:
▪ вредност напона за логичко стање 0 је -1V, a за логичко стање 1 је 1V,
▪ учестаност периодичне поворке правоугаоних импулса је 1000Hz,
▪ однос временског трајања напонског сигнала који одговара логичком стању 0 према
временском трајању напонског сигнала који одговара логичком стању 1 (трајaње 1/ трајање0)
је 1/1.
а) Приказати изглед спектра сигнала на излазу из генератора.
б) У програмском окружењу Filter Design израчунати параметре филтра који пропушта само
први и трећи хармоник, а не пропушта остале. Симулационом моделу додати израчунати
филтар.
в) Приказати спектар сигнала на излазу из филтра и написати вредности амплитуда хармоника
у миливолтима и учестаности у херцима.
Задатак 4.2. У програмском окружењу LTspice реализовати симулациони модел за синтезу
сигнала:
▪ сигнал се генерише сабирањем излаза више синусних генератора преко пасивног сабирача
отпорничког типа,
▪ параметри генератора се постављају на вредности које одговарају хармоницима на излазу
филтра из задатка 4.1 (учестаност, амплитуда, однос трајања).
а) Приказати сигнал у временском и фреквентном домену.
б) Упоредити изглед сигнала са сигналом из задатка 4.1.
46
5. ВЕЖБА
МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА
АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
47
5. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
5.
Модулација и демодулација амплитудски модулисаних сигнала
5.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе је да се коришћењем програмског окружења Filter Design и LTspice студенти
упознају с поступком амплитудске модулације и демодулације и анализирају карактеристике
амплитудски модулисаних сигнала у временском и фреквенцијском домену.
5.2. Теоретске основе
Сигнале је могуће преносити у њиховом изворном облику тј. онакве какви се појављују из
претварача податка (поруке) у сигнал ка удаљеном крају помоћу трансмисионог медијума. За
такав пренос каже се да се сигнали преносе у свом основном1, природном или физичком опсегу
учестаности. Постоје и друге могућности али захтевају претходну обраду оригиналних сигнала.
Суштина ових метода је следећа: увек се једном помоћном, периодичном детерминистичком сигналу
модифицирају неки од његових основних параметара тако да он постане носилац оригиналног
сигнала а самим тим и преношених података (поруке). Овај поступак у коме се модифицирају
извесни параметри једног периодичног сигнала у функцији карактеристичне величине неког другог,
било каквог сигнала, назива се модулација. Циљ у поступку модулације је да се сигнал обради тако
да буде подесан за пренос. Сигнал, оригинални носилац података (поруке) назива се модулишући
сигнал, помоћни периодични сигнал носилац, а модулишућим сигналом модифицирани носилац модулисани сигнал.
Примљени модулисани сигнал није директно употребљив на пријему. Такав сигнал мора на
месту пријема да се подвргне новој обради. Неопходан је инверзни процес - из модулисаног сигнала
треба извући оригиналан сигнал који носи податак (поруку). Такав поступак обраде модулисаног
сигнала назива се демодулација а на пријему добијени оригинални сигнал демодулисан сигнал.
Модулација и демодулација представљају два нераздвојна поступка у преносу сигнала. Први је
везан за предајник а други за пријемник.
Склоп којим се обавља модулација назива се модулатор, а склоп којим се обавља демодулација
је демодулатор. Заједничким именом модулатор и демодулатор називају се модемом.
Један од начина класификације модулационих поступака је према таласним облицима сигнала
носиоца и модулишућег сигнала (аналогни или дигитални).
Код поступака у којима се добија континуални модулисани сигнал (аналогни) као носилац се
увек кoристи сигнал чији је таласни облик синусоидалан. Све модулационе технике укључују
операције над једним или више основних параметара сигнала носиоца:
▪ амплитудом,
▪ фреквенцијом,
▪ фазом.
На сваки од ових параметара може се утицати посебно, тако да се изабрани параметар мења
директно сразмерно модулишућем сигналу (слика 5.1). На тај начин ако се:
▪ амплитуда носиоца мења у складу с модулишућим сигналом добиће се амплитудска
модулација (АМ),
▪ учестаност носиоца мења у складу с модулишућим сигналом добиће се фреквенцијска
модулација (ФРМ),
▪ фаза носиоца мења у складу с модулишућим сигналом добиће се фазна модулација (ФАМ).
1 Base band
48
Дигиталне телекомуникације
Слика 5.1 Аналогна модулација: амплитудска, фазна и фреквенцијска
Навешћемо два разлога (од бројних) који могу да допринесу да се користи модулисани сигнал
за пренос аналогних података:
▪ пренос сигнала је ефикаснији на вишим учестаностима. За бежични пренос немогуће
је преносити сигнал у основном опсегу спектра; антена која би то омогућавала била би
димензије километар (или више) у пречнику,
▪ модулацијом се може обезбедити истовремени пренос више сигнала (тзв. фреквенцијски
мултиплекс).
Амплитудска модулација
Амплитудска модулација (АМ) је најједноставнији тип модулације и приказана је на сликама 5.2
и 5.3. Заснована је на принципу промене амплитуде носиоца, тако да она у процесу модулације
постаје директно сразмерна модулишућем сигналу (оригиналном носиоцу поруке). Процес
амплитудске модулације математички се може описати релацијом:
u(t) =[1+ nаcos2πfmt] cos2πf0t
(5.1)
Израз cos2πfmt је модулишући сигнал, cos2πf0t је носилац, nа је индекс модулације, а
(1+ nа cos2πfmt) је анвелопа (обвојница) резултујућег сигнала (слика 5.6).
49
5. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
Из једначине 5.1 види се да се АМ сигнал добија множењем [1+ nИ um(t)] с носиоцем.
Израз [1+ nа um(t)] представља анвелопу (обвојницу) резултујућег сигнала.
Слика 5.2 Спектар АМ сигнала
Ако је nа < 1, анвелопа је тачна репродукција оригиналног сигнала. За nа >1 анвелопа ће
променити предзнак и део информације оригиналног сигнала је изобличен.
Слика 5.3 Изглед сигнала за различите вредности индекса модулације
Извешћемо израз за u(t) уколико је m(t) простопериодичан сигнал cos 2 fm t (слика 5.4):
u
(t ) 1  na cos 2 fm t cos 2 f0t
(5.2)
Користећи тригонометријске једнакости једначина се може проширити на:

u (t ) cos 2 f0t 
50
na
n
cos 2 (f0  fm )t  a cos 2 (f0  fm )t
2
2
(5.3)
Дигиталне телекомуникације
Слика 5.4 Амплитудски модулисан сигнал у временском и фреквенцијском домену
с простопериодичним модулишућим сигналом
Резултујући АМ сигнал састоји се од простопериодичне компоненте носеће учестаности f0 и две
простопериодичне компоненте учестаности f0 + fm и f0 – fm симетричне у односу на носећу учестаност
(слика 5.4). Видимо да је множење у временском домену резултовало у двема транслацијама у
спектру: f0 + fm и f0 – fm. Поред тога појавила се и компонента сигнала на носећој учестаности
(дискретан члан) која је последица присуства једносмерне компоненте у једначини 7.1.
Погледајмо пример АМ сигнала када је модулишући сигнал апериодичан сигнал m(t) који има
спектар ограничен учестаношћу fm (слика 5.2a). Резултат множења је не само транслација спектра
модулишућег сигнала за величину f0 већ и појава њему симетричног спектра f0 – fm, у односу на f0.
Значи спектар се проширио. Спектар који се налази у опсегу учестаности од f0 до f0 + fm назива се
вишим (горњим) бочним опсегом, а њему симетричан спектар у опсегу учестаности од f0 – fm, до f0
нижим (доњим) бочним опсегом.
Оригинални сигнал у свом основном опсегу учестаности има спектар који заузима опсег
учестаности:
B0 = fm - 0 = fm
(5.4)
Модулисани сигнал, носилац поруке, заузима два пута шири опсег учестаности:
BT = (f0 + fm) - (f0 – fm ) = 2fm = 2B0
(5.5)
Пошто модулисани сигнал има два бочна опсега (АМ-2B0) са слике 5.4б види се да оба опсега (и
горњи и доњи) имају облик спектра модулишућег сигнала. За пренос оригиналне поруке довољно
је преносити само један од бочних опсега. Такав амплитудски модулисан сигнал назива се АМ
сигнал с једним бочним опсегом (АМ-1B0).
Амплитудски модулисан сигнал може се преносити:
▪ с два бочна опсега,
▪ с једним бочним опсегом (горњим или доњим бочним опсегом),
▪ с два бочна опсега и носиоцем и
▪ с несиметричним бочним опсезима.
51
5. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
Слика 5.5 Поступак добијања амплитудски модулисаног сигнала
На слици 5.5 приказан је поступак добијања амплитудски модулисаног сигнала с два бочна
опсега (продуктна модулација), а на слици 5.6 амплитудски спектар модулишућег сигнала.
Слика 5.6 Амплитудски спектар модулишућег и модулисаног сигнала
Пошто модулисани сигнал има два бочна опсега (АМ-2B0), са слике 5.6 види се да оба опсега (и
горњи и доњи) имају облик спектра модулишућег сигнала. За пренос оригиналне поруке довољно
је преносити само један од бочних опсега. Такав амплитудски модулисан сигнал назива се АМ
сигнал с једним бочним опсегом (АМ-1B0). Ако модулисани сигнал има два бочна опсега, помоћу
филтра пропусника опсега учестаности можемо издвојити горњи или доњи бочни опсег или један
од бочних опсега и делимично потиснут други.
Сада ћемо извести релације и за померање у фреквенцијском домену. Нека je u(t) модулишући
сигнал. Након примене Фуријеове трансформације добија се U(f). На слици 5.5 приказали смо
поступак добијања амплитудско модулисаног сигнала. Видели смо да се он добија множењем
модулишућег сигнала и носиоца. Нека је носилац cos2πf0t. Он се може представити у комплексном
облику и као:
cos 2 f 0t 
e j 2 f0t  e  j 2 f0t
2
(5.6)
У том случају, ако модулишући сигнал помножимо с носиоцем добијамо:
u (t ) cos 2 f 0t 

1
u (t )e j 2 f0t  u (t )e  j 2 f0t
2

(5.7)
Уколико на овај сигнал применимо Фуријеову трансформацију добијамо:
u (t ) cos 2 f 0t 
1
U (f  f0 )  U (f  f0 )
2
(5.8)
Након модулације, сигнал се преноси трансмисионим медијумом (каналом) до одредишта.
52
Демодулација
Демодулација се може реализовати на више начина:
▪ с локалним носиоцем (кохерентна) и
▪ без локалног носиоца (некохерентна).
Дигиталне телекомуникације
Слика 5.7 Електрична шема детектора анвелопе
Један од најчешће коришћених некохерентних поступака је детектор анвелопе. Електрична
шема детектора анвелопe приказана је на слици 5.7.
Детектор анвелопе је склоп који без употребе локалног осцилатора на свом излазу даје
сигнал идентичан анвелопи улазног сигнала. Користи се за екстракцију модулишућег сигнала
из конвенционално модулисаног АМ сигнала, за друге врсте АМ сигнала не може да се користи.
Детектор анвелопе може лако да се реализује помоћу диоде и RC кола. Капацитивност C елиминише
високофреквенцијску компоненту на улазу детектора. Кондензатор С се пуни док улазни сигнал не
почне да опада. Тада диода престаје с провођењем (напон на њеном улазу је маса и С се празни
кроз R, слика 5.8).
Слика 5.8 Синусоидалан напон u(t) на улазу у детектор анвелопе и напона uc(t) на крајевима кондензатора
С са слике 5.7 када је: а) диода идеална б) када диода није идеална
Што је веће С, мањи су брегови у излазном сигналу а самим тим избегавамо високофреквентне
компоненте. Међутим, тада имамо и једносмеран напон (DC компоненту) у излазном сигналу.
Превелико С онемогућило би праћење промене модулисаног сигнала. Зато се тежи да се испуни
услов:
RC=
1
 M C
.
ωM је кружна учестаност модулишућег сигнала, а ωC кружна учестаност носиоца.
53
5. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
Слика 5.9 Амплитудски модулисан КАМ сигнал u(t) и детектовани напон uc(t)
5.3. Пример реализације AM модулација у програмском окружењу LTspice
Програмско окружење LTspice употребићемо за генерисање АМ модулисаних сигнала, а
за реализацију филтра којим се издваја одговарајући бочни опсег програмски пакет Filter Design. У следећим примерима приказаћемо генерисање АМ модулисаних сигнала као и њихову
демодулацију помоћу детектора анвелопе.
Пример 5.1: У програмском окружењу LTspice користећи напонски контролисани осцилатор
MODULATE реализовати амплитудски модулатор. Параметри сигнала су:
▪ носилaц-синусоида учестаности 10kHz,
▪ модулишући сигнал-синусоида учестаности 1kHz,
▪ индекс модулације - 0,5.
Постављање параметара АМ модулатора
За генерисање амплитудски модулисаних сигнала користи се компонента МОDULATE која се
налази у библиотеци (SpecialFunctions). Најпре треба изабрати Component (као што се раније бирао
генератор сигнала). У првом реду налази се библиотека (SpecialFunctions) као што је приказано на
слици 5.10.
Слика 5.10 Постављање АМ модулатора
Компонента МОDULATE је напонски контролисани осцилатор. Учестаност осциловања
дефинише се напоном доведеним на FM улаз. Конверзија напона у учестаност је линеарна и
дефинише се с два параметра mark и space. Када је на FM улазу напон 1V на излазу компоненте
54
Дигиталне телекомуникације
Слика 5.11 Постављање параметара компоненте МОDULATE
генерише се синусни сигнал чија је учестаност једнака учестаности постављеној у параметру mark,
када је на FM улазу напон 0V на излазу компоненте се генерише синусни сигнал чија је учестаност
једнака учестаности постављеној у параметру space. Амплитуда сигнала дефинише се напоном
доведеним на АМ улаз. Предефинисана вредност је 1V.
Примера ради, уколико желимо да генеришемо синусни сигнал у распону од 5 до 10КHz
параметре за компоненту МОDULATE треба поставити као што је приказано на слици 5.11.
На улазу у FM генератор поставимо извор једносмерног напона 1V. На тај начин смо постигли
да је учестаност носиоца 10KHz, односно одговара учестаности јединице FM генератора. На улаз
у АМ модулатор поставимо напонски генератор синусоиде учестаности 1kHz, амплитуде 0,25V
чија је једносмерна компонента 0,75V (слика 5.12). Амплитуда на излазу модулатора је функција
напона на улазу АМ. Ако је на АМ улазу напон 1V на излазу ће бити синусоида учестаности 10KHz
и амплитуде 1V, а ако је на АМ улазу напон 0V на излазу ће бити синусоида чија је амплитуда 0V,
односно носилац ће бити потпуно потиснут.
Слика 5.12 Електрична шема АМ модулатора са синусоидом као модулишућим сигналом
Слика 5.13 Сигнали у временском домену: модулишући и модулисани (на излазу из АМ модулатора)
55
5. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
У задатку нам је тражено да индекс модулације буде 0,5. То значи да смо након амплитудске
модулације добили сигнал чија је максимална вредност 1V, а минимална 0,5V (дубина или
потискивање модулације је 50 %). Да смо имали индекс модулације 0,6, максимална вредност и
била би 1V а минимална 0,4V (дубина или потискивање модулације је 60 %).
На слици 5.14 приказан је амплитудски спектар сигнала на излазу из АМ модулатора. Састоји
се од носиоца и два бочна опсега на 9 и 11kHz, што је и требало да добијемо.
Слика 5.14 Амплитудски спектар сигнала на излазу из АМ модулатора
Пример 5.2: Кoристећи симулациони модел АМ модулатора из претходног задатка извршити
демодулацију сигнала.
Овај део задатка решава се тако што на излаз модулатора поставимо детектор анвелопе. Он
се састоји из идеалне диоде и RC кола. Изглед шеме представљен је на слици 5.12. Сада ћемо
показати на примеру како одређујемо производ RC. У овом примеру познате су вредности: fm=1kHz
и fC=10kHz Из тога следи да је :
 m  2 f m и c  2 fc , па је
RC 
1
1

2 f m * 2 f c 2
1
fm fc
(5.10)
Заменом бројних вредности, добијамо да је RC  5 * 105 s. Ако за R произвољно изаберемо
вредност R=1kΩ , онда је C=5*10-8 F. Вредности за R и C у шеми на слици 5.15 узете су произвољно.
Слика 5.15 Шема АМ модулатора и детектора анвелопе
На сликама 5.16 и 5.17 приказани су спектри сигнала у временском и фреквенцијском домену
на излазу из детектора анвелопе.
Са слика 5.16 и 5.17 види се да се RC члан понаша као пропусник ниских учестаности. Учестаност
носиоца је значајно потиснута. Степен потискивања зависи од реда НФ филтра. Уколико је филтар
вишег реда ове компоненте биле би потиснуте.
56
Дигиталне телекомуникације
Слика 5.16 Изглед сигнала у временском домену на излазу из детектора анвелопе
Слика 5.17 Амплитудски спектар сигнала на излазу из детектора анвелопе
5.4. Задаци за вежбу
Задатак 5.1: Користећи напонски контролисани осцилатор МОDULATE реализовати амплитудски
модулатор. Параметри сигнала су:
▪ носилац синусоида учестаности 10kHz,
▪ модулишући сигнал синусоида учестаности 2kHz и
▪ индекс модулације 0,4.
Нацртати изглед сигнала на излазу модулатора у временском и фреквентном домену.
На коју је учестаност модулишући сигнал транслиран у горњем бочном опсегу?
Задатак 5.2: Симулационом моделу додати филтар који издваја модулишући сигнал транслиран
у горњи бочни опсег.
a) Нацртати изглед сигнала на излазу филтра у временском и фреквентном домену.
б) Користећи симулациони модел АМ модулатора реализовати једноставни детектор анвелопе.
в) Нацртати изглед сигнала на излазу детектора анвелопе у временском и фреквентном
домену.
57
5. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА АМПЛИТУДСКИ МОДУЛИСАНИХ СИГНАЛА
58
6. ВЕЖБА
МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА
СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
59
6. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
6.
Модулација и демодулација сигнала с два бочна опсега (АМ – 2БО)
6.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе је да се коришћењем програмског окружења LTspice и Filter Design студенти
упознају с принципом генерисања амплитудски модулисаних сигнала с два бочна опсега без
носиоца коришћењем прекидачког модулатора балансног типа и његовом демодулацијом.
6.2. Теоретске основе
У 5. вежби видели смо да се продуктном модулацијом (слике 5.5 и 5.6) увек добија амплитудски
модулисан сигнал чији се спектар састоји из нижег и вишег бочног опсега. Сваки од ових опсега
носи податак (поруку). Закључили смо да је за пренос довољно пренети све компоненте из само
једног бочног опсега и (на први поглед) уопште није потребно преносити добијени спектар из два
бочна опсега. Изложићемо разлоге који не иду у прилог овој констатацији.
У издвајању једног бочног опсега поставља се питање реализације филтра који може да издвоји
један бочни опсег (3. и 4. вежба). На избор решења јако утиче и поступак демодулације која треба
да представља инверзан процес модулацији. То значи да је с њом потребно вратити померени
(транслирани) спектар модулисаног сигнала с његовог положаја на вишим учестаностима у његов
основни (природни) опсег. Ако је модулација представљена као померање спектра оригиналног
сигнала за учестаност f0 онда се демодулација може представити као померање за учестаност -f0.
На пријему је значи потребно имати помоћни сигнал, исте учестаности као носилац. Ако се носилац
не преноси од предаје ка пријему јавља се проблем генерисања на пријему сигнала идентичне
учестаности као и носилац.
Проблем није једноставан. Навешћемо неке од најбитнијих разлога који утичу на коначан
одабир решења:
▪ пренос два бочна опсега захтева два пута већи опсег учестаности за пренос оригиналног
податка;
▪ пренос једног бочног опсега дозвољава боље искоришћење расположивог опсега
учестаности али су потребни сложени филтри за његово издвајање;
▪ ако се преноси и носилац демодулација је једноставнија али се троши предајна снага за
пренос носиоца.
Особине АМ сигнала с два бочна опсега изложенe су у 5. вежби. У решењима за генерисање
модулисаних сигнала могућa је примена нелинеарних, прекидачких склопова и склопова с
променом параметара. У овим решењима основни проблем представља издвајање два бочна
опсега смештена у околини учестаности f0 од осталих продуката модулације. Највећи проблем
представља уклањање носиоца (компонента учестаности f0). Балaнсни модулатори су склопови
којима се овај проблем решава. На њиховим излазима се (бар теоријски) не појављује носилац.
Балансни прекидачки модулатор
Балансни прекидачки модулатор користи прекидачке елементе за добијање продуктне
модулације. Сви ови модулатори раде на истом принципу. Анализираћемо рад кружног модулатора
приказан на слици 6.1. Претпоставићемо да су: све четири диоде (D1, D3, D2, D4) идеалне и међусобно
идентичне; оба трансформатора идеална и електрична шема је у односу на генератор носилац
електрички симетрична. Претпoставимо да је носилац u0(t) = U0cos2π0t и да је испуњен услов да је:
u 0 (t )  U 0
60
(6.1)
Дигиталне телекомуникације
Слика 6.1 Кружни модулатор
За усвојену поларизацију генератора носиоца диоде у паралелним гранама (D1, D3) ће проводити
па се добија шема представљена на слици 6.2, док ће диоде у унакрсним гранама (D2, D4) бити
негативно поларисане и кроз њих неће бити струје.
Слика 6.2 Еквивалентна шема кружног модулатора са слике 6.1 у случају када проводе диоде D1, D3,
а не проводе диoде D2, D4
Обрнуто, када се поларитет промени (у негативној полупериоди носиоца), проводиће диоде D2,
D4 а диоде D1, D3 биће негативно поларисане и кроз њих нема струје. Шема која је еквивалентна
овом стању приказана је на слици 6.3.
Слика 6.3 Еквивалентна шемa кружног модулатора са слике 6.1 у случају када проводе диоде D2, D4 ,
а не проводе диoде D1, D3
Оба ова стања наизменично се успостављају у ритму који диктира генератор носиоца.
Наизменична промена везе секундарног улазног трансформатора и примара излазног
трансформатора може се представити комутационом функцијом С(±1) чији је Фуријеов ред дат
изразом:


C ( 1) 
2
n 1
sin
n
2 cos 2 nf t
0
n
2
(6.2)
61
6. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
Сигнал на излазу из модулатора је:
u (t )  u m (t )C
( 1)
4

1
1


u m (t ) cos 2 f 0 t  cos 6 f 0 t  cos 10 f 0 t  ... 
3
5


(6.3)
Изглед модулишућег сигнала, комутационе функције и модулисаног сигнала представљен је на
слици 6.4
Слика 6.4 Таласни облици сигнала који одговара:
a) комутационој функцији C(±1); б) модулишућем сигналу; в) модулисаном сигналу
Као што се види из једначине 6.3 добијен је збир члaнова код којих сваки представља израз
за продуктну модулацију. Ни носилац ни његови хармоници не постоје у овом спектру. Спектар
сигнала представљен једначином 6.3 приказан је на слици 6.5.
Слика 6.5 Спектар сигнала на излазу из кружног модулатора представљен једначином 6.3
Члан који нас интерeсује је:
4

62
u m (t ) cos 2 f 0 t  k u u m (t ) cos 2 f 0 t
(6.4)
Дигиталне телекомуникације
Овај члан садржи два бочна опсега, симетрична у односу на учестаност f0. Може се издвојити
филтром пропусником опсега учестаности на излазу из кружног модулатора чија је централна
учестаност пропусног опсега f0 (слика 6.6).
Слика 6.6 Издвајање модулишућег сигнала
На основу слике 6.5 јасно је да не би дошло до преклапања спектара и да би могао да се издвоји
користан сигнал учестаност f0 треба да буде задовољена следећа релација:
f0 ≥ fm
(6.5)
6.3. Реализација кружног модулатора у програмском окружењу LTspice
У 5. вежби студенти су се упознали с амплитудском модулацијом и с изгледом њеног спектра.
За генерисање сигнала користили смо LTspice компоненту МОDULATE која се налази у библиотеци
(SpecialFunctions). При томе смо добили конвенционално амплитудски модулисан сигнал (KAM):
два бочна опсега (АМ-2БО) и носилац, а одговарајући бочни опсег смо издвојили филтром.
Као што смо видели у претходном одељку кружни модулатор омогућава добијање АМ-2БО
сигнала који не садржи носилац. На улаз LO кружног модулатора приказаног на слици 6.7 треба
довести сигнал из генератор којим дефинишемо носиоца, а на улаз RF генератор модулишућег
сигнала. Као што ће бити објашњено иста електрична шема користи се и као демодулатор, тако
што се на улаз LO доводи сигнал носилац, а на улаз RF AM модулисан сигнал.
Кружни модулатор не постоји као LTspice компонента али се може реализовати коришћењем
стандардних компоненти, као што је приказано на слици 6.7.
Слика 6.7 Електрична шема кружног модулатора (балансни мешач)
63
6. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
Пример 6.1: У програмском окружењу LTspice реализовати кружни модулатор.
На улаз LO довести сигнал из синусног генератора са следећим параметрима:
▪ учестаност 0.5kHz,
▪ амплитуда 0.1V и
▪ офсет 0 V
На улаз RF довести сигнал из синусног генератора са следећим параметрима:
▪ учестаност 10kHz,
▪ амплитуда 1V,
▪ офсет 0 V.
Нацртати изглед сигнала на IF излазу кружног модулатора са слике 6.6 у временском и
фреквентном домену.
Постављање параметара кружног модулатора
Елeктрична шема којом могу да се реализују захтеви постављени у примеру 6.1 приказана
је на слици 6.9. За симулацију трансформатора користе се индуктивности ind2 из основне
библиотеке. Спрега између калемова дефинише се у мени опцији Text као што је приказано
на слици 6.8.
Слика 6.8 Активирање прозора за задавање коефицијента спреге између калемова
Слика 6.9 Задавање коефицијента спреге између калемова
У прозору који се отвара задају се ознака спреге, ознаке калемова и фактор спреге као што је
приказано на слици 6.9.
АМ модулисан сигнал добијамо у тачки IF (слика 6.10). Добијени АМ сигнал приказан је у
временском и фреквентном домену на сликама 6.11 и 6.12.
На слици 6.12 види се да добијени сигнал садржи оба бочна опсега али не и носиоца, што нам
је и био циљ овог поступка модулације.
64
Дигиталне телекомуникације
Слика 6.10 Постављање модулишућег сигнала и носиоца на кружни модулатор (балансни мешач)
Слика 6.11 Изглед сигнала у временском домену на излазу из балансног мешача
Слика 6.12 Спектар сигнала на излазу из балансног мешача
Пример 6.2: У програмском окружењу LTspice реализовати демодулацију АМ-2БО сигнала
добијеног у примеру 6.1.
За демодулацију сигнала користи се електрична шема представљена на слици 6.13. Разлика
између поступка модулације (објашњене у примеру 6.1) и демодулације је у томе што се на RF
улаз доводи сигнал с излаза АМ модулатора реализованог у 5. вежби. За индекс модулације
узећемо вредност 1 (100%). Одговарајућа електрична шема приказана је на слици 6.12.
65
6. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
Слика 6.13 Постављање балансног мешача за демодулацију сигнала
Испитујемо сигнале у тачки IF. Изглед тог сигнала (у временском и фреквентном домену)
приказан је на сликама 6.14 и 6.15.
Слика 6.14 Изглед сигнала у временском домену на излазу из балансног мешача као демодулатора
Слика 6.15 Спектар сигнала на излазу из балансног мешача-демодулатора
66
Дигиталне телекомуникације
Слика 6.16 Филтрирање сигнала на излазу балансног мешача - демодулатора
Демодулатор на слици 6.16 разликује се од демодулатора на слици 6.13 по томе што је на излаз
доведен RC филтар пропусник ниских учестаности. Спектар демодулисаног сигнала приказан је
на слици 6.18. Могу се уочити разлике у односу на спектар са слике 6.15. Спектар са слике 6.18 је
чистији од спектра са слике 6.14
Слика 6.17 Изглед сигнала у временском домену на излазу из балансног мешача - демодулатора
с филтром
Слика 6.18 Спектар сигнала на излазу из балансног мешача као демодулатора с филтром на излазу
67
6. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
Слика 6.18 Спектар сигнала на излазу из балансног мешача као демодулатора с филтром на излазу
6.4. Задаци за вежбу
Задатак 6.1: Реализовати кружни модулатор (балансни мешач) у програмском окружењу LTspice.
На улаз RF довести синусни генератор са следећим параметрима:
▪ учестаност 0.5КHz,
▪ амплитуда 0.1V и
▪ офсет 0 V.
На улаз LO довести синусни генератор са следећим параметрима:
▪ учестаност 10КHz,
▪ амплитуда 1V и
▪ офсет 0V.
Нацртати изглед сигнала на IF излазу у временском и фреквентном домену.
Задатак 6.2: Реализовати AM демодулатор коришћењем балансног мешача у програмском
окружењу LTspice.
На улаз LO довести синусни генератор са следећим параметрима:
▪ учестаност 15КHz,
▪ амплитуда 1V и
▪ офсет 0 V.
На улаз RF улаз довести АМ модулисан сигнал генерисан компонентом modulate са следећим
параметрима:
▪ учестаност носиоца 15КHz,
▪ амплитуда 0.1V,
▪ модулишући сигнал синусоида учестаности 1КHz и
▪ индекс модулације 0.5.
Нацртати изглед сигнала на IF излазу у временском и фреквентном домену.
68
Дигиталне телекомуникације
Задатак 6.3: Модификовати симулациони модел из задатка 6.2 на тај начин што ће се на IF
излаз балансног мешача додати Батервортов филтар пропусник ниских учестаности четвртог
реда чија је гранична учестаност 1КHz.
Нацртати изглед сигнала на излазу Батервортовог филтра у временском и фреквентном
домену.
69
6. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА СИГНАЛА С ДВА БОЧНА ОПСЕГА (АМ-2БО)
70
7. ВЕЖБА
МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА FM СИГНАЛА
71
7. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА FM СИГНАЛА
7.
МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА FM СИГНАЛА
7.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе је да коришћењем програмског окружења LTspice и Filter Design студенти
анализирају поступке за модулацију и демодулацију фреквенцијски модулисаних сигнала у
временском и фреквентном домену.
7.2. Теоретске основе
У поступку угаоне модулације амплитуда носиоца (синусоидалног таласног облика) остаје
непромењена, а његов угао се мења модулишућим сигналом и постаје карактеристичан параметар
у коме је садржан податак који се преноси. Одатле за овај поступак и потиче назив угаона
модулација. Специјални случајеви угаоне модулације:
▪ фреквенцијска модулација (FM1) и
▪ фазна модулација (РМ2)
нашле су у преносу сигнала широку примену.
Пођимо од таласног облика носиоца који је дат изразом:
u (t )  Ac cos  (t )  Ac cos2 f 0 t   (t )
(7.1)
Претпоставимо да модулишући сигнал m(t), носилац оригиналне поруке, има спектар ограничен
учестаношћу fM. У поступку угаоне модулације амплитуда AC, остаје константна, а угао Ω(t) биће
зависан од модулишућег сигнала m(t). У процесу угаоне модулације модификује се фазни став φ
тако да он постане функција модулишућег сигнала:

 (t ) 
 m (t )
(7.2)
На тај начин општи израз за угаоно модулисани сигнал гласи:
u (t )  Ac cos  (t )  Ac cos2 f 0 t   m (t )
(7.3)
У зависности од тога какав ће бити аналитички облик функције φ = φ(t) = γ[m(t)] разликоваће се
две врсте угаоне модулације: фреквенцијска модулација (FM) и фазна модулација (РМ).
Угао Ω(t) назива се тренутна фаза:
 i  (t ) 2 f 0 t   (t ) 2 f 0 t   m (t )  0   m (t )
(7.4)
Величина φ(t) представља одступање тренутне фазе Ωi од вредности Ω0 = 2πf0t и назива се
тренутном девијацијом фазе:
 (t ) 
 m (t ) 
 i
(7.5)
Извод тренутне фазе по времену дефинише се као тренутна учестаност угаоно модулисаног
сигнала и може се представити на следећи начин:
d 2 f 0 t   (t )
d  (t )
 2 f 0 
dt
dt
1
f
 ' (t )
i (t ) f 0 
2
2 f i (t ) 
1 Frequency Мodulation
2 Phase Modulation
72
(7.6)
Дигиталне телекомуникације
Одступање тренутне учестаности fi од учестаности носиоца fc назива се тренутном девијацијом
учестаности угаоно модулисаног сигнала:
1 d  (t )
 fi  f0  fi
2 dt
(7.7)
Фазна и фреквенцијска модулација међусобно се разликују по начину на који се остварује
зависност фазе φ(t) од модулишућег сигнала m(t). Фазном модулацијом означава се угаона
модулација у којој је тренутна девијација фазе ΔΩi директно сразмерна модулишућем сигналу:
(7.8)
 i 
 (t ) 
n p m (t )
Фреквенцијска модулација је угаона модулација у којој је тренутна девијација учестаности
директно сразмерна модулишућем сигналу:
fi 
1 d (t )
1

nf m (t )
2 dt
2
(7.9)
У овој вежби радићемо фреквенцијску модулацију, па ћемо у наставку више пажње посветити
овом типу модулације.
Максимална девијација учестаности или само девијација учестаности је:
f i
max

n
n
nf Am
1 d (t )
 f m (t ) max  f Am x (t ) max 

f0
2 dt max 2
2
2
(7.10)
Израз за тренутну учестаност може се представити на следећи начин:


s(t )  Ac cos [ 2 f 0 t  nf m (t )dt ]  Ac cos[2 f 0 t  f 0 x (t )dt ]
(7.11)
Израз за фреквенцијски модулисани сигнал постаје:


s(t )  Ac cos[2 f 0 t  nf m (t )dt ]  Ac cos[2 f 0 t   f 0 x (t )dt ]
(7.12)
Из претходне анализе види се да је фреквенцијска модулација угаона модулација у којој је
промена учестаности (тренутна девијација) директно сразмерна модулишућем сигналу, што је
и требало доказати. На слици 7.1 представљени су фазна и фреквенцијска модулација када је
модулишући сигнал синусоида.
Изглед фреквенцијски модулисаног сигнала веома је сличан изгледу фазно модулисаног
сигнала. Заиста, немогуће је уочити каква је разлика без познавања модулационе функције.
Види се да повећање амплитуде модулишућег сигнала повећава максималну девијацију ΔΩ што
доводи до повећања опсега спектра фазно модулисаног сигнала ВТ. Као што се може видети на
слици 7.1, ово неће повећати просечни ниво снаге FM сигнала која је A2c /2. То је значајно различито
од АМ, где индекс модулације утиче на снагу АМ сигнала, али не утиче на ширину опсега спектра
сигнала. Фреквенцијска и фазна модулација као резултат дају сигнал чији је спектар центриран
око f0 (као код амплитудске модулације). Амплитудска модулација је линеаран процес и даје
фреквенције које су једнаке збиру и разлици носећег сигнала и компонената модулационог
сигнала. Видели смо да је опсег спектра АМ сигнала ВТ = BAM = 2fm.
Угаона модулација садржи чланове типа cosΩ(t) који су нелинеарни и који као резултат дају
широк опсег учестаности. У општем случају за слање FM и РМ сигнала захтева се неограничен
спектар сигнала. У пракси се може применити приближан начин израчунавања опсега спектра
угаоно модулисаних сигнала:
73
7. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА FM СИГНАЛА
Слика 7.1 Фазна и фреквенцијска модулација
BT  2(   1)B0  2(   1)fm
(7.13)
где је:
  np Am за фазну модулацију, а
 f 0 nf Am
за фреквенцијску модулацију.

B0
2f m
Једначину за опсег спектра FM сигнала можемо поново написати на следећи начин:
BT  2f 0  2B  2 f 0  2B 0  2 f 0  2f m
(7.14)
Као што се види опсег спектра FM и РМ сигнала већи је од опсега спектра АМ сигнала.
Поступци генерисања фреквенцијски модулисаних сигнала могу се сврстати у следеће две
групе:
▪ директни поступци генерисања
▪ индиректни поступци генерисања
Директни поступци генерисања заснивају се на директној промени учестаности осцилатора. Да
би се обезбедила стабилност оваквих система користи се реализација с повратном спрегом.
Индиректни поступци користе:
▪ склоп за интеграцију и
▪ фазни модулатор.
Носилац се генерише у посебном осцилатору. Типичан пример је тзв. Армстронгов модулатор.
74
Дигиталне телекомуникације
7.3. Генерисање фреквенцијски модулисаног сигнала (модулација)
Пример 7.1 Нацртати шему фреквенцијског модулатора коришћењем компоненте МОDULATE.
Поставити следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 10kHz,
▪ учестаност модулишућег сигнала 20Hz,
▪ облик модулишућег сигнала –синусоида,
▪ девијација 400Hz.
Нацртати изглед спектра у опсегу 9,6 до 10,4kHz.
На ком растојању се налазе спектралне компоненте?
На ком растојању су максимуми спектра ?
Постављање параметара FМ модулатора
За генерисање фреквентно модулисаних сигнала користи се компонента МОDULATE која се
налази у библиотеци (SpecialFunctions).
Компонента МОDULATE је напонски контролисани осцилатор.
Учестаност осциловања дефинише се напоном доведеним на FM улаз. Конверзија напона у
учестаност је линеарна и дефинише се с два параметра mark и space. Када је на FM улазу напон
1V на излазу компоненте генерише се синусни сигнал учестаности која је једнака учестаности
постављеној у параметар mark, када је на FM улазу напон 0V на излазу компоненте се генерише
синусни сигнал учестаности која је једнака учестаности постављеној у параметру space.
Амплитуда сигнала дефинише се напоном доведеним на AМ улаз. Предефинисана вредност
је 1V. За фреквенцијску модулацију, на АМ улаз доведемо напон 1V, а на FM сигнал који желимо
да модулишемо. За наш случај носећа учестаност је 10kHz, а девијација 400Hz. Вредност између
mark и space је 400Hz, а њихове вредности одређујемо тако што носећoj учестаности додамо,
односно одузмемо 200Hz.
Примера ради уколико желимо да генеришемо синусни сигнал учестаности 10kHz с девијацијом
од 400Hz параметре за компоненту МОDULATE треба поставити као што је приказано на слици 7.2.
Слика 7.2 Постављање параметара компоненте МОDULATE
На слици 7.3 приказан је симулациони модел FМ модулатора у LTspice IV, а одговарајући спектар
на слици 7.4.
75
7. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА FM СИГНАЛА
Слика 7.3 Симулациони модел FМ модулатора
Слика 7.4 Спектар сигнала на излазу из FM модулатора
7.4. Демодулација фреквенцијски модулисаног сигнала
Пример 7.2. Нацртати електричну шему фреквенцијског модулатора коришћењем компоненте
МОDULATE.
Поставити следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 10kHz,
▪ учестаност модулишућег сигнала 20Hz,
▪ облик модулишућег сигнала –синусоида,
▪ девијација 400Hz.
Нацртати изглед излазног сигнала на излазу филтра (тачка означена с IZLAZ). Приказ зумирати
на опсег амплитуда сигнала од -40 mV до 40mV.
На који начин се из сигнала може издвојити модулишући сигнал?
Слика 7.5 Електрична шема FM модулатора с филтром пропусником ниских учестаности
76
Дигиталне телекомуникације
Слика 7.6 Изглед обвојнице амплитудски модулисаног сигнала на излазу из филтра
На Q излаз FM модулатора додати RC филтар пропусник ниских учестаности четвртог реда, као
што је приказано на слици 7.5. Филтар се прорачунава тако да се централна учестаност FM сигнала
налази на линеарном косом делу филтра чиме се постиже да различите учестаности различито
слабе, што доводи до појаве амплитудске модулације. Оваквим поступком преводимо сигнал у
амплитудски модулисан сигнал и за његову демодулацију можемо да применимо једноставан
детектор анвелопе. На слици 7.6 приказан је изглед обвојнице амплитудски модулисаног сигнала
на излазу филтра.
7.5. Демодулација сигнала детектором анвелопе
Пример 7.3. Модификовати шему из задатка примера 7.2. На излаз филтра додати појачавач и
детектор анвелопе као што је приказано на слици 7.7.
Нацртати изглед излазног сигнала на излазу детектора анвелопе (тачка означена с IZLAZ).
На који начин се може смањити изобличење демодулисаног сигнала?
Слика 7.7 Електрична шема FM модулатора с филтром пропусником ниских учестаности,
појачавачем и детектором анвелопе
На слици 7.8 приказан је демодулисани сигнал у временском домену на излазу из детектора
анвелопе, а на слици 7.9 спектар тог сигнала.
77
7. МОДУЛАЦИЈА И ДЕМОДУЛАЦИЈА FM СИГНАЛА
Слика 7.8 Изглед демодулисаног сигнала
Слика 7.9 Изглед спектра демодулисаног сигнала
7.6. Задаци за вежбу
Задатак 7.1 Нацртати шему фреквенцијског модулатора коришћењем компоненте МОDULATE.
Поставити следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 12kHz,
▪ учестаност модулишућег сигнала 30kHz,
▪ облик модулишућег сигнала –синусоида,
▪ девијација 500Hz.
Нацртати изглед спектра у опсегу 9,6 до 10,4kHz.
Задатак 7.2 На Q излаз FM модулатора додати RC филтар пропусник ниских учестаности
четвртог реда. Нацртати изглед сигнала на излазу филтра .
Задатак 7.3 Модификовати шему из задатка 7.2. На излаз филтра додати појачавач и детектор
анвелопе. Нацртати изглед сигнала на излазу детектора анвелопе.
78
8. ВЕЖБА
ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
79
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
8.
Дигитализација аналогних сигнала
8.1. Циљ вежбе
Циљ ове вежбе је да се коришћењем програмског окружења LTspice IV и Filter Design студенти
упознају с импулсном амплитудском модулацијом у временском и фреквентном домену.
Програмским окружењем Filter Design могу се пројектовати пасивни LС филтри.
8.2. Упознавање с импулсном амплитудском модулацијом
Импулснa модулација припада групи модулација код којих је носилац (модулисани сигнал)
дискретан. У процесу преноса импулсно модулисаних сигнала постоје два различита стања: у
једном сигнал постоји док га у другом нема. Свако од ових стања траје неко коначно време. Активни
и пасивни интервали ређају се наизменично један за другим у току времена.
Примена импулсне модулације заснива се на теореми одабирања1.
Улогу носиоца у процесу импулсне модулације има периодична поворка правоугаоних импулса
u0(t). Три параметра карактеришу ову функцију:
▪ амплитуда импулса U0,
▪ време трајања импулса τ и
▪ периода понављања Т.
Све три величине за овакав таласни облик су константне. Међутим сваку од њих могуће је
мењати. На овој чињеници заснивају се поступци импулсне модулације:
1. ако се амплитуда импулса U0 мења директно сразмерно одмерцима модулишућег сигнала
um(t) док остали параметри поворке остају константни, добиће се импулсна амплитудска
модулација (PAM2);
2. ако се мења само трајање импулса τ , тако да је оно директно сразмерно одговарајућим
одбирцима модулишућег сигнала, добиће се импулсна модулација по трајању (PWM3).
Назива се и ширинска модулација;
3. ако се мења трећи параметар, што значи положај импулса у односу на његов референтни
положај у одсуству модулишућег сигнала добија се импулсна положајна модулација (PPM4).
На слици 8.1 приказанa су сва три типа импулсне модулације.
Одабирање
Физичка реализација процеса узимања одбирака је таква да је време потребно за узимање
одмерка коначно5 а његово трајање τ. Поставља се питање која је то вредност функције um(t)
из интервала τ коју ћемо сматрати интензитетом одбирка. На основу одговора на ово питање
разликујемо две врсте одабирања:
▪ природно и
▪ регуларно.
1 Сваки сигнал чији је спектар ограничен учестаношћу fm може се једноставно описати његовим одбирцима (одмерцима). Они
представљају вредност интензитета сигнала узетих у тачкама одабирања. Те тачке образују један скуп. Интервал између две
суседне тачке дефинише у времену периоду одабирања Т која мора бити T≤1/2* fm. На основу овако узетих одмерака могуће је
увек реконструисати оригинални сигнал. Та операција обавља се пропуштањем одбирака кроз нискофреквентни филтар.
2 Pulse Amplitude Modulated
3 Pulse Width Modulation
4 Pulse Position Modulation
5 У математичком приступу теореме одмеравања то време је бесконачно мало. Суштински није могуће остварити да време
трајања одбирака буде бескрајно кратко. Без обзира колико мало то време увек ће бити коначно.
80
Дигиталне телекомуникације
Слика 8.1 Врсте импулсних модулација
Одбирци сигнала на слици 8.2 образују поворку импулса. Трајање сваког од њих је τ, а периода
понављања Т. Овакву врсту одабирања, у коме амплитуда одбирка за време τ следи промену
функције um(t) у том интервалу називамо природним одабирањем (слика 8.2).
Слика 8.2 Одбирци сигнала узети на принципу природног одабирања
Са слике 8.2 види се да амплитуда одбирака прати промену модулишућег сигнала um(t). Може
се написати да је амплитуда n-тог одбирка Un (t):
Un(t) = um(t),
за
nT - τ/2 < t < nT + τ/2
(8.1)
Носилац је периодична поворка импулса кратког трајања τ.
Погледајмо сада слику 8.3. И овде су приказани одбирци сигнала um(t).
Слика 8.3 Одбирци сигнала узети на принципу регуларног одабирања
81
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
Међутим амплитуда сваког одбирка је константна и не мења се у интервалу τ у коме постоји
одбирак. Амплитуда одбирка сада зависи од вредности функције um(t) у тачки одабирања. На тај
начин амплитуда n-тог Un(t) одбирка биће.
Un(t) = um(nT)
nT - τ/2 < t < nT + τ/2
за
(8.2)
Амплитуда одбирка не мора бити одређена амплитудом у тачки t=nT већ могу бити неке друге
регуларно распоређене тачке.
Спектар импулсно амплитудски модулисаног сигнала
u 0 (t )  U 0


n  



s(t  nT ) 
U0
T n 
sin(n2 f 0 / 2) j 2 f0t
e
n2 f 0 / 2
,
(8.3)
где је ω0 = 2π/Т кружна учестаност одабирања, односно f0 = 1/Т учестаност одабирања.
Функција s(t-nT) дефинисана је на следећи начин:



1, nT   t  nT 
s(t  nT ) 
2
2

0, за остале вредности t

(8.4)
Множењем носиоца модулишућим сигналом добија се:
u PAM (t )  k a u m (t )u 0 (t )  U 0 k a

T

u
n  
m (t )
sin(n2 f 0 / 2) j 2 f0t
e
n2 f 0 / 2
(8.5)
Тражени спектар добићемо као Фуријеову трансформацију сигнала uPAM(t):



U PAM (f ) 
u PAM (t ) 
U0
T n 
sin( n2 f 0 / 2)
U m f  nf 0 )
n2 f 0 / 2
(8.6)
Анализирајмо добијене резултате. Први члан у једначини 8.6 у некој сразмери представља
спектар модулишућег сигнала. Сваки од чланова под знаком суме представља спектар амплитудски
модулисаног сигнала с два бочна опсега, који би се добио када би се модулишућим сигналом um(t)
амплитудски модулисао носилац U0 cosω0t= U0 cos2πf0t. При томе спектралне густине амплитуде
сваке групације концентрисане у околини учестаности nf0 редуковане зсу а фактор:
sin(n2 f 0 / 2)
n2 f 0 / 2
,
(8.7)
који је константан за дату групацију. На слици је 8.4а приказана је спектрална густина
амплитуда модулишућег сигнала (амплитудски спектар) |Um(f)| док је на слици 8.4б приказана
спектрална густина амплитуда (амплитудски спектар) одговарајућег импулсно амплитудски
модулисаног сигнала (PАМ) с природним одабирањем.
Слика 8.4 а) Спектрална густина амплитуда модулишућег сигнала
82
Дигиталне телекомуникације
Слика 8.4 б) Спектрална густина амплитуда импулсно амплитудски модулисаног сигнала (PАМ)
с природним одабирањем
Спектар импулсног PАМ сигнала с регуларним одабирањем
Регуларно одабирање разликује се од природног што се може видети на слици 8.3. Израз који
се добија при регуларном одабирању може се написати у следећем облику:
u (t ) 
u
k
m ( kT0 ) s (t
 kT0 )
(8.8)
Израз за s(t - kT0 ) дат је једначином 8.4.
Спектар модулишућег сигнала може се добити као Фуријеова трансформација функције u(t):


U (f ) 
u (t )  u m (kT0 )s(t  kT0 )e  j 2 ft dt


k 
 
1
2
  U
1
2
 S (f )  U
k  

k
m (  )e
jkT0
m (  )e
s(t  kT0 )e  j 2 ft dtd
j (  2 f ) kT0
(8.9)
d

Узимајући у обзир једначине које следе:
u m (kT0 ) 

S (f ) 

1
2

U
 /2


s(t )e  j 2 ft dt 
j 2 (  f ) kT0
k
S (
f ) s(t )
и
(8.10)

e  j 2 ft dt  
 /2

e
j kT0
m (  )e
 2 f 0
sin( 2 f / 2)
2 f / 2
  (   f  kf )
(8.12)
0
k
(8.11)
добија се:
U (f ) 


1 sin(2 f / 2)

2
2 f / 2

U
m ( )

1
sin(2 f / 2)
 2 f0
2
2 f / 2
 sin(2 f / 2)
2 f / 2
T
U
k
m
e
j 2 (  f ) kT0
d
k

 U
k 
m (  ) ( 
 f  kf0 )d
(8.13)
(f  kf0 )
Упоредимо добијени израз с изразом који представља спектар РАМ сигнала с природним
одабирањем. Види се да се оба сигнала састоје из низа транслација за nf0. За разлику од природног
83
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
одабирања код регуларног одабирања свака групација модификује се фактором који зависи од
учестаности и који износи:
sin(2 f / 2)
2 f / 2
(8.14)
На слици је 8.5а приказана је спектрална густина амплитуда модулишућег сигнала |Um(f)| док
је на слици 8.5б приказана спектрална густина амплитуда одговарајућег импулсно амплитудски
модулисаног сигнала (PАМ) с природним одабирањем.
Слика 8.5 а)Спектрална густина амплитуда модулишућег сигнала
Слика 8.5 б) спектрална густина амплитуда импулсно амплитудски модулисаног сигнала (PАМ)
с регуларним одабирањем
Поступак одмеравања
У пракси се за добијање PAM сигнала користи коло “одмери и задржи вредност одмерка”1
(S/H коло).
Слика 8.6 S/H коло
Један пример S/H кола приказан је на слици 8.6. Коло је реализовано с аналогним прекидачем
који има малу редну отпорност када је укључен и огромну отпорност када је искључен. Када се
на G1 улаз (контролни сигнал) доведе логичка јединица прекидач је укључен и кондензатор С се
пуни и достиже вредност улазног напона. Због коначног времена пуњења кондензатора потребно
је прекидач држати укључен одређено време да би напон на кондензатору постао једнак улазном
напону. Када се на G1 улаз (контролни сигнал) доведе логичка нула прекидач је искључен и на
излазу S/H кола (сигнал uS/H(t)) задржана је (запамћена, одмерена) вредност улазног сигнала
um(t). Временски период у коме одмерена вредност неће бити промењена зависи од отпорности
1 Sample and Hold, Sample&Hold, S&H, S/H
84
Дигиталне телекомуникације
аналогног прекидача када је он искључен и квалитета кондензатора (његове унутрашње паразитне
отпорности).
Сигнал на излазу S/H кола може се аналитички представити једначином 8.8 а његов спектар је
приказан на слици 8.5.
8.3. Дигитализација аналогних сигнала у програмском окружењу LTspice IV
За дигитализовање аналогних сигнала користи се компонента SAMPLE која се налази у
библиотеци (SpecialFunctions).
Компонента SAMPLE је S/H коло. Учестаност одабирања одређује се на основу учестаности
напона поворке правоугаоних импулса доведених на улаз S/H кола. За цртање таласних облика
сигнала и спектра сигнала могу се користити дијаграми добијени симулацијом.
Пример 8.1: Електрична шема кола за дигитализацију синусоидалног сигнала учестаности
1KHz приказана је на слици 8.7.
Слика 8.7 Електрична шема кола за дигитализацију аналогног сигнала
Улазни сигнал (приказан на слици 8.8) апроксимира се с 10 дискретних вредности (учестаност
одабирања 10KHz). Симулација се одвија у временском интервалу од 100ms.
Слика 8.8 Изглед улазног сигнала у временском домену
Таласни облик сигнала на излазу S/H кола приказан је на слици 8.9 а заједнички приказ
оригиналног сигнала, дигитализованог сигнала и сигнала којим се врши дигитализација на
слици 8.10.
Слика 8.9 Изглед дигитализованог сигнала
85
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
Слика 8.10 Изглед оригиналног, дигитализованог и сигнала којим се врши дигитализација
Амплитудски спектри оригиналног и дигитализованог сигнала приказани су на сликама 8.11 и
8.12. Уочити и описати разлику.
Слика 8.11 Амплитудски спектар оригиналног сигнала (синусоиде) приказане на слици 8.8
Слика 8.12 Амплитудски спектар дигитализованог сигнала
(у временском домену приказаном на слици 8.10)
Објаснити на који начин се из дигитализованог сигнала може регенерисати оригинални сигнал?
Пример 8.2: Модификацијом електричне шеме из примeра 8.1, тако што се на излаз S/H
кола додаје Батервортов1 филтар пропусник ниских учестаности, добија се електрична шема
приказана на слици 8.13.
Временски облик сигнала на излазу филтра представљен је на слици 8.14, међусобни однос
оригиналног улазног сигнала и излазног сигнала (добијеног на излазу НФ филтра) на слици 8.15.
Амплитудски спектар излазног сигнала приказан је на слици 8.16.
1 Butteworth
86
Дигиталне телекомуникације
Слика 8.13 Филтрирање дигитализованог сигнала
Слика 8.14 Сигнал на излазу електричне шеме представљене на слици 8.13 у временском домену
Слика 8.15 Улазни и излазни сигнали електричне шеме представљене на слици 8.13
у временском домену
Слика 8.16 Изглед сигнала после филтрирања
Анализом добијених дијаграма (слика 8.15) може се уочити да је добијен оригинални сигнал
временски померен.
Које компоненте улазног сигнала је филтар одбацио (потиснуо)?
Пример 8.3. Модификована је електрична шема из примера 8.1: постављена је учестаност
одабирања на вредност 500Hz. На сликама 8.17, 8.18 и 8.19 приказани су: електрична шема,
дигитализовани сигнал и амплитудски спектар дигитализованог сигнала.
87
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
Слика 8.17 Електрична шема кола за дигитализацију аналогног сигнала учестаношћу
два пута мањом од учестаности оригиналног сигнала (500Hz)
Слика 8.18 Изглед оригиналног сигнала (синусоида учестаности 1kHz) дигитализованог сигнала и
сигнала одмеравања учестаности 500Hz
Слика 8.19 Амплитудски спектар дигитализованог сигнала
Напомена: Анализом добијеног амплитудског спектра представљеног на слици 8.19 може се
уочити да добијени спектар садржи само једносмерну компоненту и да се ни на који начин из њега
не може добити оригинални сигнал: синусоида учестаности 1kHz.
Пример 8.4. Модификована је електрична шема из примера 8.1: постављена је учестаност
одабирања на вредност 1000Hz. На сликама 8.20, 8.21 и 8.22 приказани су: електрична шема,
дигитализовани сигнал и амплитудски спектар дигитализованог сигнала.
Напомена: Анализом добијеног амплитудског спектра представљеног на слици 8.22 може се
уочити да добијени спектар садржи само једносмерну компоненту и да се ни на који начин из њега
не може добити оригинални сигнал: синусоида учестаности 1kHz.
88
Дигиталне телекомуникације
Слика 8.20 Електрична шема склопа за дигитализацију аналогног сигнала учестаношћу која је једнака
учестаности оригиналног сигнала (1000Hz)
Слика 8.21 Изглед оригиналног (1kHz) дигитализованог сигнала и сигнала одмеравања учестаности
(1kHz)
Слика 8.22 Спектар дигитализованог сигнала (одмереног учестаношћу oд 1kHz)
Пример 8.5. Модификована је електрична шема из примера 8.1: постављена је учестаност
одабирања на вредност 2000Hz. На сликама 8.23, 8.24 и 8.25 приказани су: електрична шема,
дигитализовани сигнал и амплитудски спектар дигитализованог сигнала.
Слика 8.23 Електрична шема кола за дигитализацију аналогног сигнала
учестаношћу која је два пута већа од учестаности оригиналног сигнала (2000Hz)
89
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
Слика 8.23 Изглед оригиналног (1kHz) и дигитализованог сигнала
и сигнала одмеравања учестаности 2kHz
Слика 8.25 Спектар дигитализованог сигнала одмереног учестаношћу 2kHz
Напомена: Анализом добијеног амплитудског спектра представљеног на слици 8.25 може се
уочити да добијени спектар садржи оригинални сигнал и његове хармонике. То значи да се из њега
филтрирањем може добити оригинални сигнал: синусоида учестаности 1kHz.
Пример 8.6 Модификована је електрична шема из примера 8.1: постављена је учестаност
одабирања на вредност 2500Hz. На сликама 8.26, 8.27 и 8.28 приказани су: електрична шема,
дигитализовани сигнал и амплитудски спектар дигитализованог сигнала.
Слика 8.26 Електрична шема кола за дигитализацију аналогног сигнала
учестаношћу која је 2,5 пута већа од учестаности оригиналног сигнала (2500Hz)
Напомена: Анализом добијеног амплитудског спектра представљеног на слици 8.28 може се
уочити да добијени спектар садржи оригинални сигнал и његове хармонике. То значи да се из њега
филтрирањем може добити оригинални сигнал: синусоида учестаности 1kHz.
90
Дигиталне телекомуникације
Слика 8.27 Изглед оригиналног (1kHz) и дигитализованог сигнала одмереног учестаношћу 2,5kHz
Слика 8.28 Спектар дигитализованог сигнала одмереног учестаношћу 2,5kHz
Пример 8.7. Модификована је електрична шема из примера 8.1: постављена је учестаност
одабирања на вредност 147Hz. На сликама 8.29, 8.30 и 8.31 приказани су: електрична шема,
дигитализовани сигнал и амплитудски спектар дигитализованог сигнала.
Слика 8.29 Електрична шема склопа за дигитализацију аналогног сигнала
учестаношћу која је мања од учестаности оригиналног сигнала (147Hz)
Слика 8.30 Изглед оригиналног (1kHz) и дигитализованог сигнала и сигнала учестаности 147Hz
91
8. ДИГИТАЛИЗАЦИЈА АНАЛОГНИХ СИГНАЛА
Слика 8.31 Спектар дигитализованог сигнала и оригиналног сигнала
8.4. Задаци за вежбу
Задатак 8.1: Реализовати симулациони модел импулсног амплитудског модулатора у
LTspice IV eокружењу коришћењем компоненте SAMPLE. Дигитализује се синусоида учестаности
800Hz и амплитуде 1V. Подесити импулсни генератор на улазу S/H тако да се дигитализује 10
еквидистантних вредности синусоиде по једној периоди. Приказати изглед сигнала на излазу
импулсног амплитудског модулатора у временском и фреквентном домену.
Задатак 8.2: На излаз импулсног амплитудског модулатора из примера 8.1 додати филтар
који треба да издвоји модулишући сигнал. Приказати на истом дијаграму изглед модулишућег
сигнала и сигнала на излазу филтра.
Задатак 8.3: Подесити потребне параметре у односу на оне из примера 8.1 тако да се узима један
одбирак по периоди модулишућег сигнала. Приказати на истом дијаграму изглед модулишућег
сигнала и сигнала на излазу модулатора.
Задатак 8.4: Реализовати симулациони модел импулсног амплитудског модулатора у
LTspice IV окружењу коришћењем компоненте SAMPLE. Треба дигитализовати сигнал поворке
троугластих импулса учестаности 120Hz и амплитуде 1V. Подесити импулсни генератор на
улазу S/H тако да се дигитализује 100 еквидистантних вредности синусоиде по једној периоди.
Приказати на истом дијаграму изглед модулишућег сигнала и сигнала на излазу модулатора.
Приказати спектар модулисаног сигнала.
Задатак 8.5: Подесити потребне параметре у односу на параметре постављене у примеру 8.4
тако да се узима 8 одбирака по периоди модулишућег сигнала. На излаз импулсног амплитудског
модулатора додати филтар који треба да издвоји модулишући сигнал. Приказати на истом
дијаграму изглед модулишућег сигнала и сигнала на излазу филтра.
92
9. ВЕЖБА
ИМПУЛСНА, ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
93
9. ИМПУЛСНА, ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
9.
ИМПУЛСНА ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
9.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је упознавање с радом једноставног импулсног ширинског модулатора и импулсног
положајног модулатора. Анализа сигнала у временском и спектралном домену биће реализована
у програмском окружењу LTspice IV.
9.2. Теоретске основе
Импулсна модулација припада групи модулација код којих је носећи а и модулисани сигнал
дискретан. У процесу преноса импулсно модулисаних сигнала уочавају се два различита стања:
у једном сигнал постоји док га у другом нема. Свако од ових стања траје неко коначно време.
Активни и пасивни интервали ређају се у току времена. Та особина представља главно обележје
импулсно амплитудски модулисаног сигнала. Примена импулсне модулације заснива се на
теореми одабирањa1.
Улогу носиоца у процесу импулсне модулације има периодична поворка правоугаоних импулса
u0(t). Три параметра карактеришу ову функцију:
▪ амплитуда импулса U0,
▪ време трајања импулса τ и
▪ периода понављања Т.
Све три величине за овакав таласни облик су константне. Међутим сваку од њих могуће је
мењати. На овој чињеници заснивају се поступци импулсне модулације:
1. ако се амплитуда импулса U0 мења директно сразмерно одмерцима модулишућег сигнала
um(t) док остали параметри поворке остају константни, добиће се импулсна амплитудска
модулација (PAM2);
2. ако се мења само трајање импулса τ тако да је оно директно сразмерно одговарајућим
одбирцима модулишућег сигнала добиће се импулсна модулација по трајању (PWM3).
Назива се и ширинска модулација;
3. ако се мења трећи параметар, што значи положај импулса у односу на његов референтни
положај у одсуству модулишућег сигнала добија се импулсна положајна модулација (PPM4).
Пример модулатора за импулсну положајну и ширинску модулацију приказан је на слици 9.1.
Модулатор се састоји од три блока: генератора тестерастих сигнала, компаратора и моностабилног
мултивибратора.
Импулсна модулација по трајању
Постоји више начина на којe је могуће извести импулсну модулацију по трајању:
▪ модулација положаја предње ивице импулса,
▪ модулација положаја задње ивице импулса и
▪ модулација положаја предње и задње ивице импулса.
1 Сваки сигнал чији је спектар ограничен учестаношћу fm може се једноставно описати његовим одбирцима (одмерцима). Они
представљају вредност интензитета сигнала узетих у тачкама одабирања. Те тачке образују један скуп. Интервал између две
суседне тачке дефинише у времену периоду одабирања Т која мора бити T≤1/2* fm. На основу овако узетих одмерака могуће је
увек реконструисати оригинални сигнал. Та операција обавља се пропуштањем одбирака кроз нискофреквентни филтар..
2 Pulse Amplitude Modulated
3 Pulse Width Modulation
4 Pulse Position Modulation
94
Дигиталне телекомуникације
Слика 9.1 Импулсна модулација по трајању: а) немодулисани импулси, б) модулација положаја предње
ивице импулса, в) модулација положаја задње ивице импулса, г) модулација положаја предње и задње
ивице импулса
Анализираћемо поступак импулсне модулације по трајању (модулације по положају предње
ивице) и импулсне положајне модулације и то природним одабирањем.
Периодична поворка импулса која представља носилац u0(t) може се представити изразом:
U
u 0 (t )   0
0
за t1  pT  t  t 2  pT ; p 
0,  1,  2,  3,...
(9.1)
изван ових интервала
Напише ли се овај аналитички израз у облику Фуријеовог реда добија се:

t t
t 2  t1
u 0 (t )  U 0 2 1  2U 0
T
T
n 1

t 2  t1
2 cos 2nf (t  t 1  t 2 )
0
t 2  t1
2
2nf 0
2
sin 2 nf 0
(9.2)
односно:

t  t
t t
t t 
1
u 0 (t )  U 0  2 1  2
sin 2 nf 0 2 1 cos 2nf 0 (t  1 2 )
n
2
2 
n 1
 T

(9.3)
Применимо ли тригонометријске трансформације добија се:
 t  t
u 0 (t )  U 0  2 1 
 T

1
 n sin 2n f (t  t )  sin 2nf (t  t
n 1
0
1
0
2)

(9.4)
Из овог израза а на основу дефиниције функције u0(t) дате изразом 9.1:
1. предња ивица импулса добија се када је:

t t 1  pT ,
где је
p 0, 1, 2,...
или
2 f 0 (t  t 1 ) 
2p
95
9. ИМПУЛСНА, ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
2. Задња ивица импулса добија се када је:

t t 2  pT ,
где је
p 0,1,2,...
или
2 f 0 (t  t 2 ) 
2p
Импулсна ширинска модулација
Да бисмо добили аналитички израз за импулсну модулацију по трајању, код кога се мења положај
предње ивице у процесу природног одабирања, потребно је у изразу 9.4 оставити t2 константним,
а уместо t1 ставити t1  kT u m (t ) .
Импулсна ширинска модулација може се представити аналитичким изразом1:
u (t )  U 0

t 2  t 1  k T u m (t )
1
sin 2nf 0 t  t 1  kT u m (t )  sin 2nf 0 (t  t 1 )
 U0
T
n

n 1

(9.5)
Из овог израза се види да када је

t t1  kT u m (t )  pT
 (t1  pT )  kT u m (t )
добиће се предња ивица импулса.
Када је

t t 2  pT
добиће се његова задња ивица.
Прегледнији облик једначине (9.9) је:

u (t ) U 0

T
 U0
kT
u m (t ) 
T

U0
 n sin 2 nf t  t
0
n 1
1
 k T u m (t )  

U0
 n sin 2nf (t  t )
n 1
0
1
(9.6)
Модулишући сигнал може се издвојити филтром пропусником ниских учестаности.
Импулсна положајна модулација
Положај предње ивице импулсне положајне модулације је:
t1  kT u m (t )
а положај задње:
t1    kT u m (t   )
Заменом ових вредности у једначини 9.4 добија се аналитички израз за сигнал импулсне
положајне модулације (PPM):
 k

u (t ) U 0   T um (t )  um (t   ) 
T T

1
 n sin 2 nf t  t 
n 1

0
1
 kT um (t ) 
sin 2nf0 t  t1    kT um (t   )
n
n 1

1
(9.7)
Поређењем ове две врсте модулација закључујемо да су отпорније на утицај шума у односу
1 Детаљније објашњење може се наћи у литератури [1] и [2].
96
Дигиталне телекомуникације
на амплитудску, а и већу енергетску ефикасност има импулсна положајна модулација у односу на
импулсно ширинску модулацију пошто у преносу користи уже импулсе.
Генерисање импулсне ширинске и положајне модулације
Склоп којим се могу добити ове две врсте сигнала предствљен је на слици 9.2. Као што се може
видети са слике 9.1, да би се добио импулсно положајно модулисани сигнал (PPM сигнал) мора се
на излаз компаратора додати моностабилни мултивибратор1.
Сигнали које добијамо су правоугаони импулси који пропорционално модулишућем сигналу
мењају трајање и положај, као што је то приказано на слици 9.2
Слика 9.2 Реализација шеме за добијање PWM и PPM сигнала
Слика 9.3 Импулсно ширинска и положајна модулација
1 У овој вежби улогу моностабилног мултивибратора врше диференцијатор и компаратор.
97
9. ИМПУЛСНА, ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
9.3. Импулсни ширински модулатор у програмском окружењу LTspice IV
У програмском окружењу LTspice IV генератор троугаоних сигнала учестаности 500Hz, чија се
амплитуда мења у опсегу од 0 до 5 V може се реализовати на следeћи начин.
Слика 9.4 Параметри генератора
Напомена:
▪ Новом пројекту додати компоненту Voltage.
▪ Поставити параметре генератора као што је представљено на слици 9.4.
Потребно је анализирати изглед сигнала на излазу генератора. Анализа се врши у временском
периоду од 100ms.
Генератор на свом излазу даје само једну рампу. Да би се добио периодични сигнал потребно је
урадити одређене измене. Поставити курсор миша на текст PWL(1e-3 0 2e-3 5) и притиснути десни
тастер миша. Отвара се прозор за дијалог као на слици 9.6.
Слика 9.5 Таласни облик сигнала на излазу генератора
У прозору за дијалог модификују се вредност за V1 на следећи начин:
PWL(repeat forever 1e-3 0 2e-3 5 endrepeat)
Овим додатним наредбама обезбеђено је да се сигнал генерише у петљи. Изглед сигнала после
унетих измена приказан је на слици 9.7.
98
Дигиталне телекомуникације
Слика 9.6 Промена параметара генератора
Слика 9.7 Таласни облик сигнала на излазу генератора после измена
Пример 9.1 Електрична шема једноставног импулсног ширинског модулатора приказаног на
слици 9.8. Компаратор који се користи у симулационом моделу налази се у библиотеци Comparators.
Слика 9.8 Електрична шема једноставног импулсног ширинског модулатора
Модулишући сигнал је синусоида учестаности 40Hz.
На слици 9.9 биће приказан изглед сигнала на излазима генератора и излазу компаратора.
Слика 9.9 Сигнали импулсног ширинског модулатора (слика 9.8) у временском домену: излазни и улазни
99
9. ИМПУЛСНА, ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
Анализирати сигнале на слици 9.9. Од чега зависи ширина импулса у излазном сигналу?
Слика 9.10 Доминантне компоненте у спектру излазног сигнала
Анализирати спектар сигнала на слици 9.10.
▪ Уочити доминантне компоненте у спектру излазног сигнала.
▪ На који начин се из излазног сигнала може издвојити (рестаурирати) модулишући сигнал?
Пример 9.2 Импулсном ширинском модулатору додаје се LC филтар пропусник ниских
учестаности. Електрична шема ширинског демодулатора приказана је на слици 9.11.
Слика 9.11 Шема једноставног импулсног ширинског модулатора и демодулатора
Изглед излазног сигнала на прикључку IZLAZ приказан је на слици 9.12.
Слика 9.12 Изглед излазног сигнала на прикључку IZLAZ
Пример 9.3 Модификовати параметре генератора тестере тако да он на свом излазу даје
периодични сигнал рампе.
▪ Приказати сигнал на излазу генератора у временском домену.
Слика 9.13 Генератор периодичног сигнала рампе: модификованог генератора са слике 9.6
100
Дигиталне телекомуникације
Слика 9.14 Сигнал на излазу генератора рампе у временском домену
Пример 9.4 Реализовати импулсни положајни модулатор. Модификовати пример из задатка
9.2 тако да се генератор троуглова замени генератором рампе (реализованим у претходном
примеру).
▪ Приказати изглед сигнала на излазу импулсног положајног модулатора у функцији улазног
синусног генератора и сигнала рампе.
Слика 9.15 Електрична шема импулсно положајног модулатора
Слика 9.16 Сигнали на излазу и улазу импулсног положајног модулатора у временском домену
9.4. Задаци за вежбу
Задатак 9.1: Реализовати симулациони модел једноставног импулсног ширинског модулатора у
LTspice окружењу коришћењем компоненте компаратор. Дигитализује се синусоида учестаности
50Hz и амплитуде 1V. Подесити учестаност и амплитуду генератора троуглова тако да се
дигитализује 30 еквидистантних вредности синусоиде по једној периоди.
▪ На једном цртежу приказати изглед сигнала на излазима генератора и компаратора.
▪ Приказати изглед сигнала на излазу компаратора у фреквенцијском домену.
Задатак 9.2: На излаз импулсног ширинског модулатора из задатка 9.1 додати филтар који
треба да издвоји модулишући сигнал.
▪ Приказати на истом дијаграму изглед модулисаног сигнала и сигнала на излазу филтра.
101
9. ИМПУЛСНА, ШИРИНСКА И ПОЛОЖАЈНА МОДУЛАЦИЈА
Задатак 9.3 Модификовати шему импулсног ширинског модулатора из задатка 9.1 тако да
он постане импулсни положајни модулатор. У реализацији овог типа модулатора користити
диференцијатор и компаратор.
▪ Нацртати у временском домену сигнал на излазу импулсног положајног модулатора у
функцији улазног синусног генератора и сигнала троуглова.
102
10. ВЕЖБА
ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
103
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
10.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је упознавање с дигиталним модулацијама: амплитудском, фреквенцијском и
фазном. Анализираће се модулисани сигнали у временском и фреквенцијском домену. Вежба се
ради у окружењу LTspice IV.
10.2. Теоретске основе
Анализираћемо слање дигиталних података аналогним сигналима. На пример овај начин користи
се за трансформацију сигнала за пренос дигиталних података преко јавне телефонске мреже.
Телефонска мрежа је пројектована да прима, комутира и преноси аналогне сигнале у говорном
опсегу (300 до 3400Hz). Није уобичајено да се дигитални сигнал директно преноси претплатничким
петљама1. Дигитални уређаји прикључени су на мрежу преко модема (модулатор-демодулатор)
који конвертује дигиталне податке у аналогни сигнал, и обрнуто. У телефонској мрежи модеми
дају сигнале у говорном опсегу. У основи иста техника користи се за модеме који раде на вишим
учестаностима (на пример микроталаси).
Дигитални сигнали (као и аналогни) могу се преносити помоћу носиоца. Носилац је увек
детерминистички синусоидални сигнал. Он је одређен са своја три параметра: амплитудом,
фреквенцијом и фазом. Напоменули смо да модулација укључује операцију над једним (или више)
параметром носећег простопериодичног сигнала: амплитудом, учестаношћу и фазом. Мењајући
један од њих сразмерно дигиталном сигналу који треба пренети, и задржавајући остала два
константним добија се:
▪ амплитудска ASK2,
▪ фреквенцијска FSK3,
▪ фазна PSK4.
Комбинацијом ова три основна поступка може се добити велики број различитих модулација.
На пример, комбиновањем 2PSK сигнала с ортогоналним носиоцима добија се нови модулациони
поступак, који се назива квадратурна фазна модулација- QPSK5. Модулацијом амплитуде и
фазе носиоца може се добити модулација која се назива квадратурна амплитудска модулацијаQAM6.
На првом месту дигитална модулација носиоца примењује се када се жели да се дигитални
сигнал преноси бежичним трансмисионим медијумима (нпр. радио-везама). Исто тако примењује
се и у жичним трансмисионим медијумима.Тада је основни циљ да се транслацијом спектра сигнала
оствари вишеканални пренос, или да се побегне из области ниских учестаности где трансмисионе
карактеристике канала нису увек најбоље. У свим овим случајевима опсег спектра резултујућег
сигнала је транслиран и центриран око носеће учестаности fC.
Амплитудска модулација
Код амплитудске модулације (ASK) две бинарне вредности представљене су различитим
амплитудама носиоца. Уобичајено је једна амплитуда нула: то значи да се једна вредност дигиталног
сигнала представља присуством носиоца, а друга одсуством носиоца. ASK је најједноставнији
1
2
3
4
5
6
Део јавне телефонске мреже од комутационог центра до претплатника (subscriber line)...
Amplitude Shift Keying
Frequency Shift Keying
Phase Shift Keying
Quadrature Phase Shift Keying
Quadrature Amplitude Modulation
104
Дигиталне телекомуникације
поступак преноса дигиталног сигнала модулисаним носиоцем. Може се рећи да се састоји од
укључивања и искључивања носиоца. Када се у интервалу трајања бита Т:
▪ емитује носилац, значи да се преноси “1“,
▪ када се не емитује носилац преноси се “0”.
Укључивање и искључивање носиоца представља промену његове амплитуде, што указује на
амплитудску модулацију, која се на енглеском назива “Amplitude Shift Keying”, тј. ASK. Укључивање
и искључивање носиоца може да се представи као множење носиоца с “1”, односно “0 “, тј. с
бинарним униполарним низом. Модулатор је множач, као и код аналогне амплитудске модулације.
Као у случају аналогне модулације дигитални сигнал може се пренети с АМ сигналом типа: АМ2БО (амплитудска модулација с два бочна опсега), АМ-1БО (амплитудска модулација с једним
бочним опсегом), АМ-НБО (амплитудска модулација с несиментричним бочним опсезима) и КАМ
(конвенционална амплитудска модулација - два бочна опсега и носилац). У свим овим случајевима
модулишући сигнал се издваја из носиоца поступком кохерентне демодулације. Посебан случај је
када се дигитални сигнал преноси КАМ сигналом, модулшући сигнал може да се издвоји детектором
анвелопе.
ASK је најједноставнија дигитална модулација али за исти однос сигнал/шум на улазу у
пријемник даје већу вероватноћу грешке у односу на FSK и PSK.
Сигнал који се шаље може се представити на следећи начин:
ASK
 A cos(2f0 t   0 )
s (t )  
0
бинарно 1
бинарно 0
(10.1)
где je носилац Acos2πf0t.
Модулација ASK користи ce за пренос дигиталних сигнала оптичким влакнима тако што један
сигнализациони елемент представља присуство светлости, а други сигнализациони елемент
представља одсуство светлости.
Слика 10.1 Шематски приказ ASK модулације
Спектар ASK је сличан спектру АМ сигнала. Спектар модулисаног сигнала два пута је већи у
односу на модулишући сигнал.
У првој аркади спектра налази се 90,3% енергије сигнала. Прве две аркаде садрже 95% енергије
а прве три 96,6%. Највећи део енергије смештен је у 1. аркади. Кроз систем чији је преносни опсег
1/τ преноси се 90,3% енергије правоугаоног импулса ширине τ. Ако се пропусни опсег повећа 2
пута пренеће се 5% више енергије. Ако се пропусни опсег сузи за 20% (81% ширине прве аркаде)
изгубиће се само 0,3% енергије сигнала.
105
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
Слика 10.2а Спектар модулишућег сигнала
Слика 10.2б Спектар ASК модулисаног сигнала
Фреквенцијска модулација
Фреквенцијска модулација је поступак обраде сигнала којим се остварује промена фреквенције
носиоца пропорционално амплитуди модулишућег сигнала. Фреквенцијски модулисан сигнал се
добија као резултат нелинеарног процеса и његов спектар је неограничен.
Две бинарне вредности представљене су с две различите учестаности f1, и f2 носећег сигнала и
могу се аналитички представити на следећи начин:
FSK
 A cos(2 f1t   0 )
s (t )  
 A cos(2 f2t   0 )
бинарно 1
бинарно 0
чиме се добија тзв. бинарна FSK (BFSK1) која је приказана на слици 10.3.
1 Binary Frequency Shift Keying
106
(10.2)
Дигиталне телекомуникације
Обично су учестаности померене у односу на носећу учестаност fС за исти износ Δf тако да је
f1 =f0 + Δf и f2 = f0 - Δf.
Слика 10.3 Шематски приказ FSK модулације
FSK сигнал се може посматрати као збир два истовремено преношена ASK сигнала (слика
10.3), од којих:
▪ један користи фреквенцију носиоца f1 и преноси “1”, а
▪ други фреквенцију f2 и преноси “0“.
Слика 10.4 Спектар FSK сигнала
Целокупна ширина опсега (слика 10.4) коју заузима FSK сигнал зависи од размака између
учестаности f1 и f2 које представљају стања симбола.
Слика 10.5 показује пример коришћења FSK у говорном каналу с потпуним дуплексом. Говорни
канал пропушта учестаности приближно у опсегу 300 до 3400Hz, а потпуни дуплекс значи да се
сигнал шаље у оба правца истовремено. Да би се постигао пренос у потпуном дуплексу овај
пропусни опсег се раздваја на 1700Hz. Учестаност која се користи да би репрезентовала 1 или
0 у једном правцу (предајник или пријемник) центрирана је на 1170Hz, с померајем од 100Hz на
обе стране. Ефекат смењивања ових двеју учестаности је сигнал чији је спектар на левој страни
слике 10.5.
Слично, за друге правце (предајник или пријемник) користи се фреквенцијски померај од 100Hz
на сваку страну од централне учестаности која је 2125Hz. Спектар овог сигнала приказан је на
десној страни слике 10.5. Уочимо да постоји мало преклапање, а самим тим и интерференција.
107
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
Слика 10.5 Пренос у потпуном дуплексу у говорном каналу
FSK модулација је мање осетљива на шум него ASK модулација. У говорним каналима уобичајено
се користи брзина од 1200b/s.
Фазна модулација
Код дигиталне фазне модулације (PSK) фаза носиоца мења се у складу с променом дигиталног
сигнала који треба пренети. На слици 10.6 нацртан је пример двофазне модулације (BPSK1).
Слика 10.6 Шематски приказ двофазне, дигиталне фазне модулације
Види се да бинарном 0 одговара фаза θ=0, а бинарном 1 фаза θ = π =180°. Резултујући сигнал
може се представити на следећи начин:
BPSK
 A cos(2 f0t   )
s (t )  
 A cos(2 f0t )
бинарно 1
бинарно 0
(10.3)
У случају дигиталне фазне модулације модулисани сигнал има константну амплитуду, док
његова фаза носи информацију о модулишућем сигналу. Ширина спектра PSK сигнала је иста као
и ширина спектра одговарајућег ASK сигнала.
10.3. Генерисање амплитудски и фреквенцијски модулисаних сигнала
За генерисање амплитудски и фреквенцијски модулисаних сигнала користи се компонента
МОDULATE која се налази у библиотеци (SpecialFunctions).
Компонента МОDULATE је напонски контролисани осцилатор. Учестаност осциловања се
дефинише напоном доведеним на FM улаз. Конверзија напона у учестаност је линеарна и дефинише
се с два параметра mark и space. Када је на FM улазу напон 1V на излазу компоненте генерише
се синусни сигнал учестаности која је једнака учестаности постављеној у параметар mark, када
је на FM улазу напон 0V на излазу компоненте генерише се синусни сигнал учестаности која је
једнака учестаности постављеној у параметар space. Амплитуда сигнала дефинише се напоном
доведеним на АМ улаз. Предефинисана вредност је 1V.
1 Binary Phase Shift Keying
108
Дигиталне телекомуникације
Примера ради уколико је потребно генерисати синусни сигнал у распону од 1 до 2kHz параметре
за компоненту МОDULATE треба поставити као што је приказано на слици 10.7.
Слика 10.7 Постављање параметара компоненте МОDULATE
10.4. Генерисање ASK модулисаног сигнала
Пример 10.1 Нацртати електричну шему амплитудског модулатора коришћењем компоненте
МОDULATE. Поставити следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 10kHz,
▪ учестаност модулишућег сигнала 500Hz,
▪ облик модулишућег сигнала – поворка правоугаоних импулса (четвртке) и
▪ дубина модулације 100%.
Нацртати изглед излазног сигнала у временском домену у зависности од модулишућег сигнала.
Слика 10.8 Електрична шема ASK модулатора
Слика 10.9 Улазни дигитални сигнал модулатора учестаности 500Hz
Слика 10.10 Спектар дигиталног сигнала учестаности 500Hz (линеарна скала)
109
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
Слика 10.11 Спектар дигиталног сигнала учестаности 500Hz (децибелска скала)
Слика 10.12 ASK модулисани сигнал у временском домену
Снимити спектар сигнала у опсегу од 8 до 12kHz.
▪ Објаснити присуство компоненти спектра?
▪ На ком растојању се налазе спектралне компоненте?
Слика 10.13 Спектар ASK модулисаног сигнала у опсегу од 0 до 20kHz
Слика 10.14 Спектар ASK модулисаног сигнала у опсегу од 8 до 12kHz
Пример 10.2. Извршити неопходне измене у шеми из примера 10.1 тако да дубина модулације
буде 50%. Нацртати изглед излазног сигнала у временском домену у зависности од модулишућег
сигнала.
Анализирати спектар сигнала у опсегу од 8 до 12kHz:
▪ Да ли постоји разлика у односу на спектар сигнала када је модулација 100%?
▪ Обратити пажњу на ниво носиоца и однос носиоца и спектралних компоненти у оба
случаја.
110
Дигиталне телекомуникације
Слика 10.15 Подешавање дубине модулације на 50%
Слика 10.16 ASK модулисани сигнал с дубином модулације 50%
Слика 10.17 Спектар АSK модулисаног сигнала у опсегу од 8 до 12kHz
Слика 10.18 Спектар АSK модулисаног сигнала сигнала у опсегу од 0 до 20kHz
111
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
10.5. Генерисање FSK модулисаног сигнала
Пример 10.3 Нацртати шему FSK модулатора коришћењем компоненте МОDULATE. Поставити
следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 10kHz;
▪ учестаност модулишућег сигнала 10Hz;
▪ облик модулишућег сигнала – поворка правоугаоних импулса (четвртке) и
▪ девијација 400Hz.
Нацртати изглед спектра у опсегу 9,2 до 10,8kHz.
На ком растојању се налазе спектралне компоненте?
На ком растојању су максимуми спектра?
Слика 10.19 Подешавање генератора носиoца
Слика 10.20 Модуларатор FSK сигнала
Слика 10.21 Модулишући сигнал: правоугаона поворка импулса
Слика 10.22 FSK модулисани сигнал
112
Дигиталне телекомуникације
Слика 10.23 Спектар FM сигнала модулисан четврткама
Пример 10.4 Нацртати шему FSK модулатора коришћењем компоненте МОDULATE. Поставити
следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 6kHz,
▪ учестаност модулишућег сигнала 500Hz,
▪ облик модулишућег сигнала – поворка правоугаоних импулса (четвртке) и
▪ девијација 2kHz.
Нацртати изглед спектра у опсегу 0 до 20kHz.
На ком растојању се налазе спектралне компоненте?
На ком растојању су максимуми спектра ?
Слика 10.24 Модулатор FSK сигнала
Слика 10.25 Модулишући сигнал: правоугаона поворка импулса
Слика 10.26a Спектар модулишућег сигнала: правоугаона поворка импулса (децибелска скала)
113
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
Слика 10.26б Спектар модулишућег сигнал: правоугаона поворка импулса (линеарна скала)
Слика 10.27 FSK модулишисани сигнал: правоугаоном поворком импулса
Слика 10.28 FSK модулисани сигнал: линеарна скала
Слика 10.29 FSK модулисани сигнал: децибелска скала
10.6. Генерисање PSK модулисаног сигнала
Пример 10.5 Нацртати шему фазног модулатора коришћењем компоненте bv као што је
приказано на слици 10.30. Компонента bv је напонски генератор чији се излазни напон може
дефинисати математичким изразом. Генератор bv се налaзи у основној библиотеци Component.
Поставити следеће радне параметре:
▪ носећа учестаност 10kHz;
▪ модулишући сигнал псеудослучајни генератор 600b/s и
▪ фазни став 0 и 180º.
114
Дигиталне телекомуникације
Слика 10.30 Симулациони модел фазног модулатора
▪
▪
Нацртати изглед фазно модулисаног сигнала у временском домену
Нацртати спектар фазно модулисаног сигнала
Слика 10.31 Изглед фазно модулисаног сигнала у временском домену
Слика 10.32 Спектар фазно модулисаног сигнала
10.7. Задаци за вежбу
Задатак 10.1 Реализовати симулациони модел амплитудског модулатора модулисаног
поворком псеудослучајних импулса. Параметри су:
▪ носећа учестаност 15kНz,
▪ индекс модулације 1 и
▪ модулишући сигнал je псеудослучајна секвенца с брзином 1200Bd.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену на излазу модулатора.
Задатак 10.2 Реализовати симулациони модел фреквенцијског модулатора модулисаног
поворком псеудослучајних импулса. Параметри су:
▪ носећа учестаност 16kНz,
▪ девијација 5kНz и
▪ модулишући сигнал псеудослучајна секвенца с брзином 300Bd
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену на излазу модулатора.
115
10. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
116
11. ВЕЖБА
ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
117
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
11.1. Циљ вежбе
Појава интерсимболске интерференције једноставно се може анализирати помоћу дијаграма
ока. Циљ вежбе је упознавање с дијаграмом ока као једним од добрих квалитативних показатеља
у анализи преноса дигитално модулисаних сигнал. Вежба се реализује у програмским окружењима
LTspice и Filter Design.
11.2. Упознавање с интерсимболском интерференцијом
У системима за пренос у основном опсегу дигитални сигнали (генерисани у претварачу поруке
или сигнала) имају један од облика приказаних на слици 11.1.
Сви облици састоје се од правоугаоних импулса: мањег или већег интензитета, краћег или
дужег трајања и различитог поларитета. Таласни облици нису само теоретски, могу се као такви и
генерисати. Али, у таквом облику не стижу на место пријема.
Слика 11.1 Различити таласни облици сигнала у основном опсегу
На предаји сигнали се (слика 11.1) филтрирају да би се прилагодили ограничењима опсега који
им је на располагању. За системе у основном опсегу предајни филтар, канал (кабл) и пријемни
филтар заједно понашају се као нископропусни филтар. Због тога ће се окомите ивице импулса
нагнути, импулси ће се проширити и могу се појавити осциловања њихове амплитуде.
Слика 11.2 Уопштени модел дигиталног преносног система у основном опсегу
118
Дигиталне телекомуникације
Утицај предајног филтра, трансмисионог медијума и пријемног филтра може се представити
еквивалентном преносном функцијом система:
H(f) = HS(f) * HС(f) * Hr(f)
Где HS(f) представља преносну карактеристику предајног филтра (филтрирање на предаји), HС(f)
преносну карактеристику канала (каналско филтрирање) и Hr(f) преносну карактеристику пријемног
филтра1 (пријемно филтрирање). Слика 11.3 представља еквивалентни модел моделу са слике
11.2 у коме је утицај филтрирања представљен једном јединственом преносном функцијом.
Слика 11.3 Еквивалентни модел дигиталног преносног система у основном опсегу
На пример у бинарним системима (нпр. без повратка на нулти ниво - NRZ-L) детектор доноси
одлуку који је симбол примљен упоређивањем примљеног импулса с граничном вредношћу.
Детектор са слике 11.3 ће „закључити“ да ако је примљени импулс позитиван послата је бинарна
јединица а ако је примљени импулс негативан послата је бинарна нула. Као последица филтрирања
импулси се могу међусобно преклапати. Реп импулса може се „протегнути“ на интервал суседног
симбола, па се повећава могућност погрешног одлучивања. Појава преклапања импулса која има
утицаја на одлучивање у пријемнику назива се интерсимболска интерференција (ISI2). Чак и у
одсуству шума ефекат филтирања и дисторзије сигнала коју уноси канал доводи до интерсимболске
интерференције.
Никвист је проучавао проблем какав треба да буде облик импулса тако да не дође до
интерсимболске интерференције на месту детекције. Показао је да је теоретски минимални пропусни
опсег система потребан да би се детектовало R симбола без интерсимболске интерференције
R/2Hz. То се дешава када је преносна функција система H(f) правоугаона (слика 11.4а).
Слика 11.4 Никвистов канал без интерсимболске интерференције: а) правоугаона преносна функција
система H(f), б) примљени облик импулса h(t) = sinc(t/T)
За сигнале у основном опсегу то је филтар с опсегом 1/2T (идеалан Никвистов филтар). Његов
импулсни одзив је инверзна Фуријеова трансформација h(t) = sinc(t/T) (приказано на слици 11.4б).
1 Када је пријемни филтар тако конфигурисан да компензује дисторзију (изобличења) коју уносе и предајник и канал обично се
означава као филтар за еквализацију или пријемни/еквализациони филтар.
2 Intersymbol interference
119
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
Импулс таласног облика sinc(t/T) назива се идеалан Никвистов импулс. Трајање импулса је
неограничено.
Никвист је установио да ако је сваки од импулса пријемне секвенце симбола у форми1 sinc(t/T)
импулс се може детектовати без интерсимболске интерференције. На слици се може видети
како је могуће избећи интерсимболску интерференцију. Постоје два узастопна импулса h(t) и h(tT). Без обзира што h(t) има дугачке „краке“2 на слици 11.4б може се видети да краци пролазе
кроз тачку нулте амплитуде у тренуцима t=T, што представља тренутке у којима треба одмерити
сигнал h(t-T). Сви његови краци пролазе кроз тачку нулте амплитуде када треба одмерити било
који други импулс секвенце h(t-kT). k= ±1, ±2, … Уз претпоставку да је време одмеравања тачно
неће доћи до интерсимболске интерференције, односно до деградације сигнала као последица
интерсимболске интерференције. За сигнал у основном опсегу пропусни опсег потребан да
се детектује 1/T таквих импулса (симбола) у секунди једнак је 1/2T; другим речима систем с
пропусним опсегом B=1/2T=R/2 херца може да подржи максималну брзину преноса од 2B=1/Т=R
симбола/секунди3 без интерсимболске интерференције. Тако да је код идеалног Никвистовог
филтрирања (и нулте интерсимболске интерференције) максимална могућа брзина преноса по
херцу 2 симбола/секунди/херцу (symbols/s/Hz). Јасно је да правоугаона преносна карактеристика
филтра, и неограничено трајање импулса одзива таквог филтра нису реализибилни. Могу се
само апроксимативно реализовати. Један од начина је филтар с косинусоидално заобљеном
амплитудском карактеристиком који ће бити анализиран у тексту који следи.
Филтар с косинусоидално заобљеном амплитудском карактеристиком
Идеалан систем преноса је нереализибилни систем. Потребан је реалан облик амплитудске
карактеристике која задовољава први Никвистов критеријум. Једна преносна карактеристика H(f)
која се често користи, а која припада Никвистовој класи (нулта интерсимболска интерференција у
тренуцима одабирања) је филтар сa косинусоидално заобљеном амплитудском карактеристиком4.
Може се изразити анaлитички на следећи начин.
1


 f  B  2B0
H (f )  cos 2 (
)
4 B  B0

0

за f  2B0  B



за 2B0  B  f  B 


за f  B

(11.1)
гд је В апсолутни пропусни опсег а В0 представља минималну Никвистову ширину за правоугаони
спектар и -6dB опсег (или тачку половине снаге) за спектар филтра с косинусоидално заобљеном
амплитудском карактеристиком.
Разлика В-В0 означава се као „вишак опсег5“, што значи додатни опсег изнад Никвистовог
минимума. За правоугаони спектар важи релација В=В0. Фактор заобљења6 дефинише се као:
r = (В-В0) / В0
где је 0 ≤ r ≤ 1
(11.2)
На слици 11.5 представљна је преносна карактеристика филтра сa косинусоидално заобљеном
1
2
3
4
5
6
Sinx/x
Tails
Nyquist bandwidth constraint
Raised-cosine filter
Excess bandwidth
Roll-off factor
120
Дигиталне телекомуникације
амплитудском карактеристиком за вредности фактора заобљења r=0, r=0,5 и r=1. Треба уочити да
се за вредност r=0 добија Никвистов минимални опсег, а када је r=1 вишак опсега који се захтева
је 100%.
Слика 11.5 Филтар сa косинусоидално заобљеном
амплитудском карактеристиком: преносна функција система
Импулсни одзив који одговара преносној карактеристици филтра сa косинусоидално заобљеном
амплитудском карактеристиком дат је следећим изразом:
h(t )  2B0 (sin c 2B0t )
cos2 (B  B0 )t 
1  4(B  B0 )t 2
(11.3)
Графички приказ импулсног одзива система дат је на слици 11.6
Слика 11.6 Филтар сa косинусоидално заобљеном
амплитудском карактеристиком: импулсни одзив система
Дијаграм ока
Појава интерсимболске интерференције може се експериментално анализирати помоћу
дијаграма ока1. Дијаграми се добијају на екрану осцилоскопа. Анализираћемо пример бинарног
преноса с поларним дигиталним сигналима.
На слици 11.7а приказана је поворка правоугаоних импулса. Ако би се овакав сигнал довео
на плоче за вертикално скретање катодног осцилоскопа чије хоризонтално скретање млаза има
1 Име је настало због сличности с људским оком.
121
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
периоду равну трајању једног сигнализационог интервала Т, онда би се на његовом застору добио
дијаграм као што је дијаграм на слици 11.7б: то су две дебље извучене хоризонталне линије
настале преклапањем сигнала из свих сигнализационих интервала.
Слика 11.7 а) Неизобличена поворка импулса б) дијаграм који се добија када се облици сигнала из свих
сигнализационих интервала нацртају у једном сигнализационом интервалу
Уколико је примљени сигнал изобличен (слика 11.8а) на екрану ће се добити „шара“ (слика
11.8б). Бројевима од 1 до 6 означени су делови сигнала из појединих сигнализационих интервала
који преклопљени један преко другог дају дијаграм ока.
Слика 11.8 а) Изобличена поворка импулса са слике 11.7 б) дијаграм који се добија када се облици
сигнала из свих сигнализационих интервала нацртају у једном сигнализационом интервалу
Уколико посматрамо примљену поворку у дужем периоду времена (без присуства шума)
добијамо дијаграм ока као што је представљено на слици 11.9. Дијаграми ока као што су они са
слике 11.8 и 11.9 садрже у себи доста информација о примљеном дигиталном сигналу:
▪ Као што се на слици 11.9 види „отвор“ ока на први поглед говори о томе колика је интерсимболска
интерференција: што је отвор ока већи интерсимболска интерференција је мања;
▪ Ширина отвора ока (ST) указује колики је временски интервал у коме је могуће изабрати
тренутак одабирања. Другим речима та ширина говори о осетљивости система у погледу
тачности синхронизације: што је отвор шири систем је мање осетљив на грешке у
синхронизацији. Најбољи тренутак одабирања је тамо где је отвор ока највећи;
▪ Тачке (JT) у којима сигнал пролази кроз нулу нису на истом месту већ образују једну зону1.
Пошто услед интерсимболске интерференције положај тих пресека с нулом варира каже
се да грешка у преносу у овом случају потиче од подрхтавања2 такта пријемног одбирача;
▪ Дебљина трагова говори о изобличењу амплитуде одбирака (IA) изазване интесимболском
интерференцијом..
1 Референтни сигнал такта за пријемни одабирач узима се из самог примљеног дигиталног сигнала, баш на основу његових
пресека с нултом осом.
2 Jitter
122
Дигиталне телекомуникације
▪
Растојање од линије која означава праг одлучивања па до најближе ивице трага, до оне
која се налази с унутрашње стране отвора ока представља маржу за шум (MT) у дотичном
тренутку одабирања. Докле год је шум мањи од ове вредности он и када се суперпонира
ампитуди одговарајућег одбирка још увек не утиче на исправност донесене одлуке.
Слика 11.9 Дијаграм ока
До сада смо анализирали дијаграм ока у случају преноса бинарних сигнала. Исто тако је
могуће снимити ове сигнале када се ради о М-арним сигналима. Приближан дијаграм ока у
случају кватернарног сигнала приказан је на слици 11.10. Као што се види кватернарни дијаграм
има 3 ока. Уопште узевши М-арни дијаграм има М-1 око.
Слика 11.10 Дијаграм ока за кватернарни сигнал. У њему постоје три ока
11.3. Генератор псеудослучајних импулса
У окружењу LTspice IV реализовати генератор псеудослучајних импулса с брзином 600 бода.
За реализацију овог генератора користи се независни напонски извор коме се излазни напон
може дефинисати у математичком облику. Избор независног напонског генератора приказан je
на слици 11.11.
Излазни напон генератора задаје se формулом V=rand(time*600) >=0.5.
Rand је функција која генерише псеудослучајне бројеве у опсегу од 0 до 1. Праг компарације је
0,5 тако да ће на излазу генератора бити напон нула ако је резултат rand функције мањи од 0,5 а 1
ако је већи од 0,5. Шема реализованог генератора дата je на слици 11.12.
123
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
Слика 11.11 Избор независног напонског извора
Слика 11.12 Електрична шема псеудослучајног генератора импулса брзине 600бода.
Пример 11.1.
▪ Приказати таласни облик сигнала на излазу генератора (анализу вршити 1s).
▪ Зумирати један део графика и измерити трајање најкраћег информационог сигнала.
Слика 11.13 Излаз псеудослучајног генератора импулса у временском домену
Колико је време трајања најкраћег импулса?
11.4. Анализа сигнала помоћу дијаграмa ока
Пример 11. 2 Приказати дијаграм ока за сигнал на излазу генератора подешеног у 11.11.
Да би у LTspice IV било могуће приказати дијаграм ока потребно је поставити опцију baudrate
симулатора на вредност битске брзине података који се анализирају. У нашем случају је то 600.
LTspice IV директива коју треба проследити симулатору је: .options baudrate=600 delay=0
Да би се поставила директива потребно је покренути мени опцију Edit/SPICE Directive као што
је приказано на слици 11.14.
124
Дигиталне телекомуникације
Слика 11.14 Покретање дијалога за задавање SPICE директива
У простор на прозору који се отвара унети директиву као што је приказано на слици 11.15.
Слика 11.15 Задавање SPICE директиве
У прозору за симулацију биће приказана два битска интервала. После покретања симулатора
параметри дијаграма ока могу се мењати у Properties прозору, који се покреће као што је приказано
на слици 11.16.
Слика 11.16 Покретање Properties прозора
125
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
Слика 11.17 Изглед дијаграма ока
Шта се може закључити из дијаграма ока везано за однос сигнал/шум и варијацију тренутка
проласка кроз нулу?
Пример 11.3 На излаз генератора поставити једноставни RC филтар пропусник ниских
учестаност, као што је приказано на слици 11.18.
Слика 11.18 Генератор псеудослучајних импулса с филтром за уобличавање импулса
Нацртати дијаграм ока на излазу филтра (IZLAZ).
Слика 11.19. Дијаграм ока на излазу филтра
Која је разлика у односу на дијаграм ока из примера 11.17?
Пример 11.4 Симулационом моделу из примера 11.1 додати генератор шума и отпорнички га
сабрати с излазом филтра, као што је приказано на слици 11.20.
Нацртати дијаграм ока у тачки (IZLAZ).
126
Дигиталне телекомуникације
Слика 11.20 Генератор псеудослучајних импулса на који је додат шум
Слика 11.21 Дијаграм ока у тачки IZLAZ
Проценити на основу дијаграма ока да ли је могуће из овог сигнала регенерисати оригинални
сигнал?
Пример 11.5 Мењати вредност отпорника R2.
Шта се дешава с дијаграмом ока ако се смањује вредност отпорника? Објаснити.
За коју вредност отпорника више није могуће регенерисати оригинални сигнал? Процену вршити
на бази дијаграма ока.
11.5. Анализа ASK модулисаног и демодулисаног сигнала
Пример 11.6 Анализирати рад амплитудског модулатора модулисаног поворком псеудослучајних
импулса. Електрична шема детектора анвелопе и излазног филтра приказана је на слици 11.22.
Параметри модулатора су:
▪ носећа учестаност 10kНz,
▪ индекс модулације 1 и
▪ модулишући сигнал псеудослучајна секвенца с брзином 600 бода.
Слика 11.22 ASK модулатор с демодулатором
127
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
Слика 11.23 Модулишући сигнал у временском и фреквенцијском домену
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену на излазу модулатора
(IZLAZ_AM) електричне шеме приказане на слици 11.22
Слика 11.24 Изглед ASK сигнала у временском домену сигнала с електричне шеме
приказане на слици 11.22
Слика 11.25 Изглед спектра ASK модулисаног сигнала ел. шеме приказане на слици 11.22
▪
▪
▪
Подесити опције тако да симулатор приказује дијаграм ока.
Нацртати изглед дијаграма ока у тачки IZLAZ.
На бази дијаграма ока дати процену квалитета демодулатора и могућности регенерисања
модулишућег сигнала на пријемној страни.
Слика 11.26 Дијаграм ока у тачки IZLAZ ASK модулисаног сигнала електричне шеме
приказане на слици 11.22
128
Дигиталне телекомуникације
11.6. Анализа FSK модулацисаног и демодулисаног сигнала
Пример 11.7: Анализирати:
▪ FSK модулисани сигнал поворком псеудослучајних импулса у модулатору чија је електрична
шема приказанА на слици 11.27.
▪ FSK демодулисани сигнал. Демодулација је реализована помоћу филтара и детектора
анвелопе, као што је приказано на слици 11.27.
▪ Параметри модулатора:
• носећа учестаност 10kНz,
• девијација учестАности 6kНz,
• модулишући сигнал је псеудослучајна секвенца с брзином 600Bd.
Слика 11.27 FSK модулатор с демодулатором
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену на излазу модулатора
(FM_MOD).
Слика 11.28 Изглед FSK сигнала на излазу модулатора, приказаног на слици 11.27, у временском домену
Слика 11.29 Изглед спектра FSK сигнала на излазу модулатора приказаног на слици 11.27
▪
▪
▪
Подесити опције тако да симулатор приказује дијаграм ока.
Нацртати изглед дијаграма ока у тачки IZLAZ модулатора приказног на слици 11.27.
На бази дијаграма ока дати процену квалитета демодулатора и могућности регенерисања
модулишућег сигнала на пријемној страни.
129
11. ИНТЕРСИМБОЛСКА ИНТЕРФЕРЕНЦИЈА
Слика 11.29 Дијаграм ока у тачки IZLAZ
11.7. Задаци за вежбу
Задатак 11.1 Реализовати симулациони модел амплитудског модулатора модулисаног поворком
псеудослучајних импулса. Параметри
▪ носећа учестаност 15kНz,
▪ индекс модулације 1,
▪ модулишући сигнал псеудослучајна секвенца с брзином 1200Bd.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену на излазу модулатора
Задатак 11.2. На излаз амплитудског модулатаора из задатка 11.1 додати детектор анвелопе.
Нацртати изглед дијаграма ока на излазу детектора анвелопе.
Задатак 11.3. Реализовати симулациони модел фреквенцијског модулатора модулисаног
поворком псеудослучајних импулса. Параметри:
▪ носећа учестаност 16kНz,
▪ девијација 5kНz,
▪ модулишући сигнал псеудослучајна секвенца с бодском брзином 300Bd.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену на излазу модулатора.
Задатак 11.4. На излаз фреквенцијског модулатаора из задатка 11.3 додати демодулатор.
Нацртати изглед дијаграма ока на излазу демодулатора.
130
12. ВЕЖБА
ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ
OCTAVE
131
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
12.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је хармонијска анализау програмском окружењу Octave.
12.2 Упутство за рад с програмским пакетом Оctave
Oсtave је програмско окружење које омогућава:
▪ израчунавање математичких функција,
▪ графички приказ математичких функција и
▪ симулацију.
Oсtave је нелиценцирано програмско окружење (отвореног) кода, а посебно је интересантно
јер је компатибилно с програмским окружењем MаtLab. Програмско окружење биће коришћено за
анализу различитих врста модулација.
Пример 12.1 Приказати график синусне функције за углове од 0 до 360º с кораком од 1º .
I. Активирање прогамског окружења
Програмско окружење Octave може се покренути активирањем опције из командног прозора
(слика 12.1): Start/All programs/GNU Octave/Octave.
Програмски пакет може се покренути и двоструким притиском миша на пречицу која се налази
на радној површини.
Слика 12.1 Покретање програмског пакета Octave
Отвара се командни прозор који је приказан на слици 12.2.
II. Рад у командном прозору
Слика 12.2 Командни прозор
Прво треба позвати функцију init. Израчунавања се могу директно реализовати у командном
прозору. На пример, ако желимо да израчунамо синус угла од 45º у командну линију уносимо:
132
Дигиталне телекомуникације
sin(pi/4)
a добијени резултат приказан је на слици 12.3.
Слика 12.3 Израчунавање из командне линије
Потребна објашњења за коришћење неке функције могу се добити из командне линије. На
пример објашњење за функцију sinus у командној линији треба откуцати:
help sin
и појављује се објашњење као на слици 12.4.
Слика 12.4 Објашњење функције sin
У командној линији може се откуцати
doc sin
добиће се све тригонометријске функције, као што је приказано на слици 12. 5.
Функција sin може се применити и на низ података, а израчунавање се врши за сваки појединачни
елемент низа.
Слика 12.5 Списак подржаних тригoнометријских функција
Пример 12. 2 Треба формирати низ Х у коме ће се налазити вредности угла од 0 до 360º с
кораком од 1º представљених у радијанима.
У командној линији треба откуцати следећи кôд:
X=0:pi/180:2*pi
Синтакса за пуњење низа је:
почетна_вредност;корак;крајња_вредност.
По извршавању овог израза у командном прозору биће излистане вредности уписане у низ X
,као што је приказано на слици 12.6.
133
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 12.6 Вредности елемената низа
У случају да не желимо да се приказују вредности при израчунавању на крају израза треба
откуцати сепаратор краја линије;тачка-зарез (;).
Уколико желимо да израчунате вредности синуса за углове из низа X сместимо у низ Y у
командној линији треба написати следећи израз:
Y=sin(X)
Након извршавања израза у командном прозору биће приказане вредности sinus за углове из
низа X као што је приказано на слици 12.7.
Слика12.7 Вредности синуса за углове из низа X
Уколико се жели приказати вредност функције sin у зависности од угла у графичком режиму
позива се функција plot на следећи начин:
plot (X,Y),
где је први аргумент вредност по х оси а други вредности по y оси.
График функције sin биће приказан у графичком прозору као што је приказано на слици 12.8.
Ако се жели дати назив графика функције и додатно објашњење за х и y осу могу се употребити
следеће функције:
title, xlabel, ylabel
Из командне линије могу се извршити следећи изрази:
title(‘GRAF FUNKCIJE SINUS’)
xlabel(‘UGAO U RADIJANIMA’)
ylabel(‘VREDNOST FUNKCIJE SINUS’)
134
Дигиталне телекомуникације
Слика 12.8 График синус функције
Након извршавања ових израза график ће изгледати као на слици 12.9.
Слика 12.9 Означене осе и назив графика
Пример 11. 3 Рад с m датотекама
Рад из командног прозора сложен је у случају да се развијају веће апликације и у случају
поновног покретања програмског окружења требало би поново куцати све изразе. Због тога се
користе m датотеке. То су текстуалне датотеке у које се смештају програмске линије кода који
треба извршити. Претпоставимо да желимо да претходни програм урадимо у облику датотеке која
ће се звати sinusoida.m и која ће бити смештена у директоријум c:\vezbe. У командној линији треба
откуцати:
edit c:\vezbe\sinusoida.m
Отвара се прозор за писање програма као што је приказано на слици 12.10.
135
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 12.10 Прозор за писање кода
У прозору за писање обришимо c:\vezbe\ као што је приказано на слици 12.11.
Слика 12.11 Промена имена функције
У телу функције треба откуцати исти кôд као онај из командне линије. Добија се прозор за
писање као на слици 12.12.
Слика 12.12 Приказ прозора за писање програма и унети програм
136
Дигиталне телекомуникације
Заокружен је карактер “*”. Он означава да последње измене у прозору за писање програма нису
сачуване и да их треба сачувати. Промене се могу сачувати опцијом File/Save.
Датотеку можемо покренути из командне линије на следећи начин
run c:\vezbe\sinusoida.m
Након позива датотеке добићемо графички прозор као на слици 12.9.
Пример 12.4 Користећи програмско окружење Octave приказати збир две синусоиде учестаности
20Hz и 60Hz и амплитуде 1 у временском и фреквентном домену. Учестаност одабирања је
1000Hz а број одбирака 512. Програм сачувати у m датотеци.
Решење:
▪ Уводимо променљиву fS у коју ћемо сместити учестаност одабирања fS =1000;
▪ У низ t смештамо 512 дискретних вредности за време, које су померене за 1ms
t=0:1/fS:1/fS *512;
▪ У низ у смештамо 512 дискретних вредности суме синусоида;
▪ Позивамо функцију за графички приказ амплитуда суме синусоида у функцији времена
figure(1)
plot(t,Y);
▪
У низ frec смештамо дискретне вредности компонената спектра. Резолуција спектралних
компоненти је функција учестаности одабирања и броја одбирака који се узимају за анализу.
frec=0:511;
frec= frec *(fS /512);
▪
У низ z смештамо вредности спектралних компонената
z=fft(Y,512);
▪
У низ sp смештамо амплитуде компонената спектра
sp=abs(z);
▪
Позивамо функцију за графички приказ амплитуда спектралних компоненти у функцији од
учестаности
figure(2)
plot(frec(1:256),sp(1:256))
Кôд у датотеци time.m приказан је на слици 12.13
Слика 12.13 Кôд у датотеци time.m
137
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Позовимо из командне линије датотеку time.m. Претпоставимо да је датотека смештена у
фасцикли c:\vezbe тада се она из командне линије позива на начин како је то приказано на
слици 12.14.
Слика 12.14 Позив датотеке time.m
Након извршавања програма у датотеци time.m приказује се изглед збира две синусоиде у
временском (слика 12.15) и фреквенцијском домену (слика 12.16)
Слика 12.15 Збир две синусоиде у временском домену
Слика 12.16 Збир две синусоиде у фреквентном домену
138
Дигиталне телекомуникације
Пример 12.5 Приказати збир две синусоиде учестаности 30Hz, амплитуде 1 и синусоиде
учестаности 90Hz, амплитуде 0.3 у временском и фреквентном домену. Учестаност одабирања
је 1000Hz и узима се 512 одбирака. Програм написати у датотеци suma.m. Кôд у датотеци
suma.m. приказан на слици 12.17.
Слика 12.17 Приказ кода у датотеци suma.m
Након извршавања програма у датотеци time.m приказују се изглед збира две синусоиде у
временском (слика 12.18) и фреквенцијском домену (слика 12.19)
Слика 12.18 Збир две синусоиде у временском домену
Слика 12.19 Збир две синусоиде у фреквенцијском домену
139
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Пример 12.6 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел за анализу поворке
четвртки са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала четвртки 50kHz,
▪ амплитуда 10V,
▪ време између узимања два одбирка 1μs и
▪ анализа се базира на скупу од 8192 одбирка.
Приказати изглед реализованог сигнала у временском и фреквенцијском домену.
Кôд у датотеци povorka.m је приказан на слици 12.20
Слика 12.20 Кôд у датотеци povorka.m
Пример 12.7 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел за анализу
Дираковог импулса са следећим параметрима:
▪ трајање импулса програмски се задаје,
▪ амплитуда 100V,
▪ време између узимања два одбирка 1μs и
▪ анализа се базира на скупу од 8192 одбирака.
Приказати изглед реализованог сигнала у временском и фреквенцијском домену.
Кôд у датотеци dirak.m. приказан је на слици 12.23.
140
Дигиталне телекомуникације
Слика 12.21 Изглед поворке импулса у временском домену
Слика 12.22 Изглед поворке импулса у фреквентном домену
Слика 12.23 Кôд у датотеци dirak.m (I део)
141
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 12.23 Кôд у датотеци dirak.m (II део)
Слика 12.24 Изглед Дираковог импулса трајања 10μs у временском домену
Слика 12.25 Спектрална густина снаге Дираковог импулса трајања 10μs
142
Дигиталне телекомуникације
12.2. Задаци за вежбу
Задатак 12.1 У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел за анализу
синусоидалног сигнала са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 500Hz,
▪ амплитуда сигнала је 1V.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену.
Задатак 12.2. У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел за анализу
сигнала четвртки са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 2000Hz,
▪ амплитуда сигнала је 2V,
▪ однос сигнал пауза 1 према 1.
Приказати изглед сигнала у временском и фреквенцијском домену.
Задатак 12.3. У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел за анализу
сигнала троуглова са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 1500Hz,
▪ амплитуда сигнала је 2.5V.
Приказати сигнал у временском и фреквенцијском домену.
Задатак 12.4. У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел за анализу
сигнала рампе са следећим параметрима:
▪ учестаност сигнала 2500Hz,
▪ амплитуда сигнала је 1.5V.
Приказати сигнал у временском и фреквенцијском домену.
143
12. ХАРМОНИЈСКА АНАЛИЗА У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
144
13. ВЕЖБА
АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ
У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
145
13. АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
13. АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ
ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
13.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је да се користећи симулационе могућности програмског окружења Octave
анализирају аналогне АМ и FM модулације и демодулације. Oве модулације обрађене су у
програмском окружењу LTspice у претходним вежбама. Студенти могу упоредити резултате
добијене у ова два програмска окружења.
13.2. Теоретске основе
Особине амплитудски модулисаних сигнала детаљно су изложене у 5. вежби, а поступци
демодулације у 6. вежби. Угаоне модулације обрађене су у 7. вежби с посебним освртом на
фреквенцијску модулацију. У овом одељку биће дат кратак преглед ових модулација.
Као што је већ речено, разлози за примену модулација су вишеструки. Сигнал морамо да
припремимо за медијум кроз који се шаље. На вишим учестаностима слабљење је мање, смањујемо
вероватноћу грешке при преносу, могуће је мултиплексирање... Процес обраде модулисаног
сигнала с циљем да се из њега издвоји модулишући сигнал назива се демодулација.
Процес амплитудске модулације математички се може описати релацијом:
u
(t ) 1  na cos 2 f m t cos 2 f 0 t
(13.1)
Израз cos2πfmt је модулишући сигнал, cos2πf0t је носилац, nа је индекс модулације, а (1+nа
cos2πfm) je анвелопа (обвојница) резултујућег сигнала.
Ако је nа < 1, анвелопа је тачна репродукција оригиналног сигнала. За nа >1 анвелопа ће прећи
временску осу и информација о оригиналном сигналу је изгубљена. Ако оригинални сигнал заузима
опсег учестаности B0, модулисани сигнал заузима два пута шири опсег BT=2B0.
У поступку фреквенцијске модулације амплитуда носиоца (синусоидалног таласног облика)
остаје непромењена, а његов угао се мења модулишућим сигналом и постаје карактеристичан
параметар у коме је садржан податак који се преноси.
Израз за фреквенцијски модулисани сигнал постаје:





u (t )  AC cos 2 f 0 t  nf m (t )dt  AC cos 2 f 0 t  f 0 x (t )dt

(13.2)
Фреквенцијски модулисан сигнал заузима опсег BT=2(β+1)B0, где је B0 основни опсег учестаности
сигнала.
Амплитудска модулација је линеаран процес, а фреквенцијска модулација је нелинеаран.
13.3. Анализа аналогне АМ модулације и демодулације у програмском окружењу Оctave
Коришћењем математичких формула за представљање АМ и FM модулацијa и демодулацијa
реализовати следеће симулационе моделе описане у примерима датим у овом поглављу.
Пример 13.1
а) Написати формулу за амплитудски модулисани сигнал са следећим параметрима:
▪ Време анализе
10ms
▪ Број одбирака
8192
146
Дигиталне телекомуникације
▪ Учестаност носиоца
10KHz
▪ Амплитуда носиоца
5V
▪ Модулишући сигнал синусоида учестаности 500Hz
▪ Индекс модулације
0.5
ФОРМУЛА_____________________________________________________________
б) У програмском окружењу Octave приказати сигнал носиоца чији су параметри дефинисани
под а).
Креирати датотеку carier.m која треба да оствари ову функционалнoст. Проверити амплитуду
и учестаност генерисаног сигнала.
Слика 13.1 Изглед носиоца у временском домену
Пример 13.2 У програмском пакету Octave приказати модулишући сигнал чији су параметри
дефинисани у примеру 13.1а. Креирати датотеку modulisuci.m која треба да оствари ову
функционалнoст. Проверити амплитуду и учестаност генерисаног сигнала.
Слика 13.2 Изглед модулишућег сигнала у временском домену
147
13. АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Пример 13.3 У програмском пакету Octave приказати модулисани сигнал с параметрима
постављеним у примеру 13.1а. Креирати датотеку modAM.m која треба да оствари ову
функционалнoст. Приказати изглед модулисаног сигнала у временском домену.
Слика 13.3 Изглед модулисаног сигнала у временском домену
Пример 13.4 Креирати датотеку modAMаll.m која треба да прикаже графике носиоца,
модулишућег сигнала и модулисаног сигнала један испод другог у једном прозору. За креирање
ове датотеке користити датотеку modAM.m у коју треба унети потребне измене.
Слика 13.4 Изглед носиоца,модулишућег и модулисаног сигнала у временском домену
Пример 13.5 Реализовати симулациони модел aмплитудски модулисаног сигнала са следећим
параметрима:
▪ Носилац
синусоида
▪ Амплитуда носиоца
5
▪ Учестаност носиоца
10000Hz
▪ Фаза носиоца
0
▪ Модулишући сигнал
синусоида
148
Дигиталне телекомуникације
▪ Амплитуда модулишућег сигнала 1
▪ Учестаност модулишућег сигнала 500Hz
▪ Индекс модулације
0.5
Помножити реализован амплитудски модулисансигнал сигналом са следећим параметрима:
▪ Тип сигнала
синусоида
▪ Амплитуда
1
▪ Учестаност
10000Hz
▪ Фаза носиоца
0
У програмском пакету Octave за симулацију користити следеће параметре
▪ Време симулације
10ms
▪ Број одбирака
8192
Прикaзати спектaр KAM модулисаног сигнала и кохерентно демодулисан сигнал1 (програм
сместити у датотеку АМmul.m).
Слика 13.5. Изглед амплитудски модулисаног сигнала
и сигнала помноженог синусоидалним сигналом исте учестаности као и носилац
Пример 13.6 У програмском пакету Octave креирати датотеку AMdem.m која се добија
модификацијом датотеке АМmul.m из примера 13.1а. Генерисани сигнал пропустити кроз
Батервортов филтар пропусник ниских учестаности с пропусним опсегом 500Hz. Приказати
таласни облик сигнала на излазу филтра.
13.4. Анализа аналогне FМ модулације и демодулације у програмском окружењу Оctave
Пример 13.7 Користећи fmmod функцију симулирати фреквенцијски модулисани сигнал са
следећим параметрима:
▪ Учестаност одабирања
81920Hz
▪ Носилац
синусоида
▪ Учестаност носиоца
10000Hz
▪ Модулишући сигнал
синусоида
1 КАМ сигнала помножен с носиоцем
149
13. АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 13.6 Таласни облик сигнала на излазу филтра
▪ Амплитуда модулишућег сигнала 1
▪ Учестаност модулишућег сигнала 50Hz
▪ Девијација
1500Hz
▪ Време анализе
100ms
▪ Спектрална анализа на бази
8192 одбирка
Креирати датотеку FMsinMod.m која генерише фреквенцијски модулисани сигнал и приказује
његов спектар.
Слика 13.7 Спектар сигнала фреквенцијски модулисаног синусоидом
Пример 13.8 Извршити потребне измене у датотеци FMsinMod тако да се дода функционалност
за демодулацију FM сигнала модулисаног синусоидом. За демодулацију користити функцију
fmdemod. Приказати сигнал на излазу демодулатора у временском домену. Датотеку сачувати
под именом FMsinDeMod.
150
Дигиталне телекомуникације
Слика 13.8. Изглед демодулисаног сигнала
Мењати параметар за девијацију демодулатора. Шта се дешава с излазним сигналом,
објаснити?
Пример 13.9 У овом примеру биће анализиран утицај шума који се у преносу додаје
модулисаном сигналу. Претпоставка је да је шум с Гаусовом расподелом. За додавање шума
модулисаном сигналу користи се функција awgn. Датотеку FMsinDeMod модификовати тако
да се модулисани сигнал пропусти кроз функцију awgn која додаје шум. Параметар односа
сигнал шум поставити на 30. Приказати изглед демодулисаног сигнала. Moдификовану
датотеку снимити под именом FMsinDeModNoise.
Слика 13.9. Изглед демодулисаног сигнала
Пример 13.11 Извршити потребне измене у датотеци FMsinDeModNoise.m тако да се
демодулисани сигнал пропусти кроз Батервортов филтар пропусник ниских учестаности.
Приказати један испод другог изглед демодулисаног сигнала на улазу у филтар и на излазу из
филтра. Модификовану датотеку назвати FMsinDeModNoiseFil.m
151
13. АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 13.10 Изглед демодулисаног сигнала пре и после филтра
13.5. Задаци за вежбу
Задатак 13.1 Креирати датотеку testAM.m у којој је имплементиран кôд који у једном прозору
треба да прикаже носиоца модулишући сигнал и модулисани сигнал чији су параметри:
▪ Носилац
синусоида
▪ Амплитуда носиоца
2.5
▪ Учестаност носиоца
7000Hz
▪ Фаза носиоца
0
▪ Модулишући сигнал
синусоида
▪ Амплитуда модулишућег сигнала 1
▪ Учестаност модулишућег сигнала 350Hz
▪ Индекс модулације
0.45
Параметри за симулацију су:
▪ Време симулације
15ms
▪ Број одбирака
8192
Задатак 13.2 Креирати датотеку testAMspek.m у којој је имплементиран кôд који треба да
прикаже спектар модулисаног сигнала из задатка 13.1.
Задатак 13.3 Користећи fmmod функцију симулирати фреквенцијски модулисани сигнал са
следећим параметрима:
▪ Учестаност одабирања
200000Hz
▪ Носилац
синусоида
▪ Учестаност носиоца
50000Hz
▪ Модулишући сигнал
синусоида
▪ Амплитуда модулишућег сигнала 1V
▪ Учестаност модулишућег сигнала 1000Hz
▪ Девијација
2500Hz
152
Дигиталне телекомуникације
▪ Време анализе
10ms
▪ Спектрална анализа на бази
8192 одбирка
Креирати датотеку testFMsinMod.m која генерише фреквенцијски модулисани сигнал и приказује
његов изглед модулисаног сигнала у временском и фреквенцијском домену.
153
13. АНАЛОГНЕ МОДУЛАЦИЈЕ И ДЕМОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
154
14. ВЕЖБА
ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
155
14. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
14. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
14.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је да се користећи симулационе могућности програмског окружења Octave
анализирају дигиталне модулације PSK и QAM у присуству шума.
14.2. Теоретске основе
У 11. вежби упознали смо се с основним дигиталним модулацијама (ASK, PSK и FSK).
Комбинацијом ова три основна поступка, може се добити велики број различитих модулација.
Много ефикасније коришћење пропусног опсега система преноса може се постићи када сваки
сигнализациони елемент представља више од једног бита.
На пример, уместо фазног помераја од θ=180°, као што је дозвољено у PSK, уобичајена техника
модулације је кватернарна фазна модулација (QPSK1) која користи фазне помераје који су умножак
од 45°.
QPSK
 A cos(2 f0t  45o )

 A cos(2 f0t  135o )
s(t)  
o
 A cos(2 f0t  225 )

o
 A cos(2 f0t  315 )
11
10
01
00
Модулације ca више нивоа
Број сигнализационих елемената у секунди мери се у бодима (Bd2). За време сваког бода
пошаље се један сигнализациони елемент3. То значи да n бодна линија шаље n сигнализационих
елемената у секунди. На пример линија од 2400Bd пошаље један симбол сваких4 416667μs. Уколико
се симбол састоји од напонских (струјних) импулса нпр. позитивног за логичко 0 и негативног за
логичко 1, брзина података је 2400b/s. Уколико се уместо два користе четири напонска нивоа сваки
сигнализациони елемент представља (састоји се од) 2 бита.
С четири могућа фазна помераја постоје 2 бита по сигнализационом елементу, тако да је брзина
у битима (битска брзина) двоструко већа од брзине у бодима (бодска брзина5). Примењено је код
кватернарне PSK (QPSK), која се доста користи.
Концепт ширине опсега, бод, сигнализациони интервал и битска брзина често су збуњујући.
Ширина опсега преносног система (трансмисионог медијума) је опсег учестаности који пролази
кроз систем с минималним слабљењем. То је физичка карактеристика трансмисионог медијума
и мери се у херцима (Hz). Брзина у бодима је број сигнализационих елемената у секунди.
Сваки сигнализациони елемент шаље једну информацију, тј. један симбол. Брзина у бодима
и сигнализациона брзина су исто. Модулациона техника нпр. (QPSK) одређује број бита по
сигнализационом елементу. Брзина у битима је количина информација која се шаље каналом и
једнака је производу броја сигнализационих елемената у секунди и броја битова у секунди.
Сви новији модеми користе комбинацију модулационих техника да би послали више битова по
једном боду. Често се користи комбинација више амплитуда и више фазних помераја. На слици
14.1a означене су тачке од 45°, 135°, 225° и 315° с константном амплитудом која је представљена
1
2
3
4
5
Quaternary Phase Shift Keying
Baud
Користе ce и термини елементарни сигнал ипи симбол.
1/2400
Пошто се ради о брзини на пинији (трансмисионом медијуму) користи се и термин линијска брзина.
156
Дигиталне телекомуникације
Слика 14.1 Констелациона раван а) QPSK, б) QAM16 и в) QAM64
удаљеношћу тачака од координатног почетка. Фаза тачке одређена је углом који чини права
провучена кроз координатни почетак и тачку с позитивним смером х осе.
Четири комбинације представљене на слици 14.1a могу се користити за слање 2 бита по
симболу. На слици 14.1б приказана је друга модулациона шема у којој се користе четири
амплитуде и четири фазе, свеукупно 16 различитих комбинација. Ова модулациона шема може се
искористити за слање 4 бита по сигнализационом елементу. Назива се квадратурна амплитудска
модулација1 (QAM16) и представља комбинацију ASK и PSK модулација. Користи чињеницу да је
могуће послати два различита сигнала истовремено на истој носећој учестаности користећи две
копије носеће учестаности померене једна у односу на другу за 90°.
Слика 14.2 Констелациони дијаграм за модеме по стандарду а) V.32 за 9600b/s, б) V.32b/s за 14400b/s
Код QAM сваки носилац је ASK модулисан. Два независна сигнала истовремено се шаљу
преко истог медијума. На пријему сигнали се демодулишу и резултат комбинује да би се добио
1 Ouadrature Amplitude Modulation (QPSK = QAM4)
157
14. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
оригинални бинарни улазни податак. На пример да би се пренело 9600b/s преко линије која може
да пренесе 2400Bd користи се QAM16.
На слици 14.1в приказана је још једна модулациона шема која користи комбинацију различитих
амплитуда и фаза. Видимо 64 различите комбинације тако да је могуће послати 6 битова по једном
симболу. Ова модулациона шема означава се као QAM64. Могуће су и QAM1 модулације још већег
реда (256 чак и 1024).
Дијаграми на слици 14.1, који показују комбинацију амплитуде и фазе називају се констелациони
дијаграми. Сваки од модемских стандарда садржи свој сопствени констелациони узорак
(комбинацију) и може да комуницира само с модемима који користе исти констелациони узорак. С
много тачака у констелационом узорку чак и мали шум ће при детекцији сигнала изазвати грешку
која резултује у пријему највероватније већег броја погрешних битова.
За корекцију грешке код модема већих брзина стандардизовано је да се дода још један бит
у сваком сигнализационом елементу. Овај метод (шема) познат је као Трелис кôд (ТСМ2). На
пример, модеми по стандарду V.32 (слика 14.2) користе 32 констелационе тачке за слање 4 бита
податка и 1 бит парности по симболу. На линији с 2400Bd обезбеђена је брзина од 9600b/s с
детекцијом грешке.
Квадратурна амплитудска мoдулација
Квадратурна амплитудска модулација (QAM) спада у групу вишенивоских поступака модулације
где се одговарајућом обрадом повећава број могућих вредности значајних стања, чиме се повећава
брзина преноса сигнала, а смањује опсег учестаности који сигнал заузима. Ако је основни сигнал
који носи поруку бинарни, након поступка QAM добија се дигитални сигнал с 4 могуће вредности,
16 QAM сигнал с 16 могућих вредности...
Модулишући сигнали um1(t) и um2(t) модулишу два носиоца исте учестаности, при чeму јe jeдан
cos, а други sin.
Слика 14.3 Принципијелна шема за добијање QAM сигнала
Ова два простопериодична сигнала су фазно померена за π/2, тј. на фазорском дијаграму
заклапају прaв угaо, односно реч је о нoсиoцима у квадратури. На излазу из предајника добија се
следећи сигнал:
u L t   u m1t cos 2 f0t   u m 2 t sin2 f0t 
(14.2)
Користећи носиоце у квадратури постиже се да се у истом опсегу учестаности BL=2fm истовремено
1 Користи се код модема ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line - асиметрична дигитална претплатничка петља).
2 Trellis Code Modulation
158
Дигиталне телекомуникације
преносе два корисна модулишућа сигнала и два пута ефикасније користи расположиви спектар.
Ако немамо два одвојена бинарна сигнала које желимо да пренесемо користећи носиоце у
квадратури, можемо их вештачки направити из једног бинарног сигнала, раздвајајући парне и
непарне бите. Ово раздвајање обавља се у склопу серија у парaлелу (С→П).
Слика 14.4 Склоп за превођење серијске поворке дигиталних података у парaлелу поворку (С→П)
Пошто у горњој грани модулатора сигнал um1(t) чине само непарни бити нпр., а сигнал um2(t) чине
само парни, у свакој грани модулатора је 2 пута мањи бинарни проток, Vb/2 у односу на бинарни
проток Vb сигнала на улазу у модулатор.
У односу на BPSK модулациони поступак, код кога један бит представља један симбол, код
вишенивоске MPSK модулације један симбол представља
n  log 2 (M )
(14.3)
бита.
М-арни PSK (MPSK) сигнал може се представити изразом:
u MPSK (t )  U cos( 2 f 0t   i ) 
U cos( 2 f 0t  (2i  1) / M ), i 
1,2,3,..., M
(14.4)
што значи да MPSK сигнал има константну амплитуду и M различитих фазних помераја.
14.3. Анализа PSK и QAM сигнала у присуству шума у програмском окружењу Оctave
Коришћењем готових функција у оквиру Octave програмског окружења communication
реализовати симулационе моделе описане у примерима датим у овом одељку.
Пример 14.1 У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел модулатора
8-нивоског QAM сигнала. Параметри симулације:
▪ време анализе
10ms,
▪ број одбирака
8192,
▪ учестаност носиоца
10kHz,
▪ модулишући сигнал
8 нивоски QAM сигнал.
Симулациони програм сачувати у датотеци QAM8mod.m.
Приказати изглед модулисаног сигнала у временском домену.
159
14. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 14.5 Изглед модулисаног сигнала 8 нивоским QAM сигналом у временском домену
Слика 14.6 Изглед модулисаног сигнала 8 - нивоским QAM у спектралном домену
Пример 14.2 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел модулатора
4-нивоског QAM сигнала. Параметри симулације:
▪ време анализе
10ms,
▪ број одбирака
8192,
▪ учестаност носиоца
10kHz,
▪ модулишући сигнал
4 - нивоски QAM сигнал.
Симулациони програм сачувати у датотеци QAM4mod.m.
Приказати изглед модулисаног сигнала у временском и спектралном домену.
Пример 14.3 У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел за пренос
8-нивоског QAM сигнала с Гаусовим шумом. Мерити број грешака у зависности од односа
сигнала и шума (S/N). Симулацију базирати на 100000 података. Приказивати констелационе
равни за идеалан сигнал и сигнал с шумом. У командном прозору приказати вероватноћу грешке
за задати однос сигнал/шум.
Симулациони програм сачувати у датотеци qam.m.
160
Дигиталне телекомуникације
Слика 14.7 Констелациона раван за идеалан сигнал
Слика 14.8 Констелациона раван за S/N=10dB
Слика 14.9 Приказ вероватноће грешке у командном прозору
Пример 14.3 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел модулатора 8
нивоског PSK сигнала. Параметри симулације:
▪ време анализе
10ms,
▪ број одбирака
8192,
▪ учестаност носиоца
10kHz,
▪ модулишући сигнал
8 - нивоски PSK сигнал.
161
14. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Симулациони програм сачувати у датотеци psk8mod.m.
Приказати изглед модулисаног сигнала у временском домену.
Слика 14.10 Изглед модулисаног сигнала 8 - нивоским PSK сигналом у временском домену
Приказати спектар модулисаног сигнала.
Слика 14.11 Изглед модулисаног сигнала 8 нивоским PSK сигналом у спектралном домену
Пример 14.4 У програмском окружењу Octave реализовати симулациони модел за пренос
8-нивоског PSK сигнала посредством преносног пута с Гаусовим шумом. Мерити број грешака
у зависности од односа сигнала и шума (S/N). Симулацију базирати на 100000 података.
Приказати констелационе равни за идеалан сигнал и сигнала с шумом. У командном прозору
приказати вероватноћу грешке за задати однос сигнал/шум. Симулациони програм сачувати у
датотеци psk.m.
162
Дигиталне телекомуникације
Слика 14.12 Констелациона раван за идеалан сигнал
Слика 14.13 Констелациона раван за S/N=18dB
Слика 14.14 Приказ вероватноће грешке у командном прозору
14.4. Задаци за вежбу
Задатак 14.1 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел модулатора
4-нивоског PSK сигнала. Параметри симулације:
▪ време анализе
10ms;
▪ број одбирака
8192;
163
14. ДИГИТАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
▪ учестаност носиоца
8kHz,
▪ модулишући сигнал
4 - нивоски PSK сигнал.
Симулациони програм сачувати у датотеци psk4mod.m.Приказати изглед модулисаног сигнала
у временском и фреквентном домену.
Задатак 14.2. У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел за пренос
4-нивоског PSK сигнала посредством преносног пута с Гаусовим шумом. Симулацију базирати
на 100000 података. Приказивати констелационе равни и вероватноћу грешке за однос сигнал
шум 20dB, 15dB и 10dB. Симулациони програм сачувати у датотеци psk4kon.m.
Задатак 14.3. У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел модулатора
4-нивоског QAM сигнала. Параметри симулације:
▪ време анализе
10ms,
▪ број одбирака
8192,
▪ учестаност носиоца
15kHz,
▪ модулишући сигнал
4 - нивоски QAM сигнал.
Приказати изглед модулисаног сигнала у временском и спектралном домену. Симулациони
програм сачувати у датотеци QAM4mod.m.
Задатак 14.4. У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел за пренос
4-нивоског QAM сигнала посредством преносног пута с Гаусовим шумом. Симулацију базирати
на 100000 података. Приказивати констелационе равани и вероватноћу грешке за однос сигнал
шум 25dB, 15dB и 8dB. Симулациони програм сачувати у датотеци QAM4kon.m.
164
15. ВЕЖБА
ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ
У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
165
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
15.1. Циљ вежбе
Циљ вежбе је да се користећи симулационе могућности програмског окружења Octave
анализирају ортогоналне врсте модулације.
15.2. Теоретске основе
Ортогонална сигнализација
За два стања симбола ai(t) и aј(t) каже се да су ортогонална1 за време трајања симбола Ts
уколико задовољавају следећу релацију:
TS
 a (t )a (t )dt 0
i
j
i j
(15.1)
0
Уколико су учестаности симбола М - нивоске FSK одабране тако да су у форми:
a (t )  cos(2 f c t 
2 mt
)
2TS
(15.2)
где је m = 1, 2, ..., M, онда се ове учестаности сматрају ортогоналним у оквиру периода симбола Ts.
Слика 15.1 Учестаности за М - нивовску FSK
На пример ортогонална 8 - нивоска FSK с брзином симбола 1200 симбола/секунди2 може да
користи учестаности: 1000Hz, 1600Hz, 2200 Hz, 2800Hz, 3400Hz, 4000Hz, 4600Hz, и 5200Hz с истом
почетном фазом.
Карактеристике ортогоналних симбола
Практична интерпретација дефиниције ортогоналности је та да уколико се симбол ai(t) „помеша“
с носиоцем чије су учестаност и фаза једнаке учестаности и фази другог симбола aј(t) и уколико
се излаз мешача усредњи у периоду симбола коришћењем упарених филтара3 или интегратора
1 Оrthogonal
2 Symbols/second
3 Matched filter
166
Дигиталне телекомуникације
вредност сигнала на њиховом излазу биће нула (слика 15.2). Ово значи: с ортогоналном
сигнализацијом могуће је повећати број могућих стања без утицаја на излаз кохерентног детектора
и без повећања вероватноће грешке по симболу сваког од детектора.
Како се број ортогоналних симбола који се могу послати повећава то се, за дату информациону
брзину, трајање појединих симбола може повећати. Што је трајање симбола веће то је време
усредњавања сваког симбола на пријему веће и бољи однос сигнала и шума (S/N) на улазу
детектора, повећавајући вероватноћу тачне детекције симбола. Ортогонална FSK теоретски може
да има колико било ортогоналних стања симбола али по цену увећања опсега који заузима.
Слика 15.2 Излаз интегратора а) истих сигнала б)међусобно ортогоналних
Детекција ортогоналних FSK сигнала
Типични М-арни FSK детектор састоји се од скупа корелатора (мешача с кохерентним
референтним носећим сигналом) иза кога се налази коло које доноси одлуку о томе ког корелатора
је излаз највећи и на основу тога који је симбол послат (слика 15.3).
Пошто број различитих симбола тежи бесконачности, време усредњавања симбола постаје
веома велико смањујући утицај шума на скоро нулту вредност. Однос Eb/N0 који је потребан за
пренос без грешке ће достићи Шанон-Хартлијеву границу од -1,6dB Eb/N0 на којој је могуће достићи
комуникацију без грешке, независно од броја симбола и одговарајућег опсега који они заузимају.
Слика 15.3 Детекција ортогоналних FSK сигнала
167
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Ефикасност по снази и опсегу
За систем преносног капацитета С средња снага сигнала S која се може измерити на пријему
важи једнакост:
S = EbC,
где је Eb средња пријемна снага сигнала по биту.
Средња снага шума N такође се може изразити једнакошћу:
N = N0B,
где је N0 спектрална густина снаге белог шума1.
Користећи претходне дефиниције Шанон-Хартлијева теорема може се написати као:
C/B = log2 [ 1 + EbC / N0B ]
(15.3)
Релација C/B представља спектралну ефикасност система и изражава се у b/s/Hz. Што је ова
величина већа, већа је спектрална ефикасност, тј. искоришћеност опсега. Релација Eb/N0 је мера
енергетске ефикасности система. Што је њена вредност мања, мање је енергије потребно за
сваки бит, и као последица тога за сваки симбол да би се могао успешно детектовати у присуству
датог нивоа шума. Одабир модема ефикасног по снази нарочито је битан за мобилне (ћелијске)
телефоне где је пројектантима циљ да што је могуће више продуже трајaње батерије.
Вероватноћа грешке код М-нивоског ортогоналног FSK сигнала
На слици 15.4 представљене су криве вероватноће грешке2 за М-нивоски ортогонални
FSK сигнал. Као што се може наслутити, уколико се број коришћених симбола повећава, BER
перформансе се побољшавају, а цена која се плаћа је повећање опсега али никада не прелази
границу од -1.6dB.
Слика 15.4 Криве вероватноће грешке по биту (BER) за М-нивовску ортогоналну FSK
1 Бели шум се дефинише као шум с равном карактеристиком спектралне густине снаге. Обично се та вредност означава с N0
W/Hz.
2 Bit Error Rate
168
Дигиталне телекомуникације
Вероватноћа грешке симбола за М-арну ортогоналну FSK модулацију
Како је код M-арне ортогоналне FSK примењен нелинеарни процес модулације вероватноћу
грешке је тешко извести и у општем случају мора се израчунати. Општи израз зависности вероватноће
грешке симбола од броја нивоа М за ортогоналну FSK може се изразити на следећи начин:
Pe 1 

1
 M /2
 z
z / 2 
e






ES / N 0
y 2
e



dy 


M 1
dz
(15.4)
Квадратурна PSK (QPSK1)
У претходним одељцима видели смо да у случају M-арна FSK ортогонални скуп симбола
омогућава слање два или више симбола истовремено кроз канал, без утицаја на перформансе
кохерентне детекције појединих симбола. Значи, као што је случај с скупом симбола код M-aрне
ортогоналне FSK постоји и ортогоналност између косинусног (cosin) и синусног (sine) носиоца када
се врши усредњавање у оквиру целог броја циклуса носиоцем. Ово значи да се може истовремено
слати бинарни PSK (ВPSK) с косинусним носицем и други ВPSK2 са синусним носиоцем и да је
могуће детектовати сваки од њих независно један од другог (као да други и није присутан) тако што
сваки детектор врши усредњавање за време трајања симбола који садржи целобројан умножак
циклуса носиоца.
Слика 15.5 Квадратурна PSK модулација (QPSK)
Можемо значи да предочимо PSK модулациону шему с четири фазна става 0°, 90°, 180° и 270°
који су у фазној квадратури један с другим. Оваква шема позната је под називом квадратурна
PSK (QPSK3). Ортогоналност значи да се могу користити за слање инфромација брзином која је
двоструко већа од оне која се може постићи с BPSK модулацијом користећи исти опсег и без
компромиса у односу на детекцију BPSK модулисаног сигнала.
Примена QPSK модулатора
Блок - дијаграм QPSK и детектора (слика 15.6) представља збир два BPSK система која користе
носиоце у квадратури. Изворишни подаци прво се раздвајају у два тока података. Најчешће
наизменично усмеравајући битове ка модулатору у горњој и доњој грани. Сваки од токова података
има двоструко мању брзину од улазног тока података.
1 Quadrature Phase Shift Keying
2 Binary PSK
3 Quadrature Phase Shift Keying
169
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Уобичајено се користи филтар с косинусоидално заобљеном амплитудском карактеристиком1
и користи се за обликовање импулса у сваком од канала пре модулације. Констелациони дијаграм
за композитни послати скуп симбола показује да су фазни ставови ротирани за по 45° у односу на
сваки од BPSK извора.
Слика 15.6 Генерисање QPSK сигнала
Примена QPSK демодулатора
Кохерентни QPSK пријемник захтева прецизно одређивање пријемног носиоца и одговарајуће
фазне ставове. Поред тога кола за прецизно одређивање трајања симбола потребна су да би се
одредио тренутак одмераваних података. Подаци с излаза компаратора реконструишу се у један
ток података коришћењем паралелно серијског конвертора
Слика 15.7 Детекција QPSK сигнала
OFDM представља пренос сигнала код кога су примењени модулација и мултиплексирање.
Модулацијом се утискује информација у носиоца променом његове амплитуде, фазе или
учестаности, или се примењује комбинована метода. Мултиплексирање је метод код кога се кроз
пропусни опсег канала шаље више независних подносилаца. OFDM је специјални случај FDM
(фреквенцијски мултиплекс) типа преноса. На слици 15.8 приказана је упрошћена блок - шема
реализованог OFDM предајника.
Серијска секвенца од n бита преводи се у паралелну секвенцу и сваки бит модулише један
подносилац. Подносиоци се сабирају и на тај начин добијамо сложени сигнал. У основном опсегу
се може модулисати носилац високе учестаности.
На пријемној страни врши се враћање сигнала у основни опсег и демодулација. Пријемни
сигнал се на пријемној страни враћа у основни опсег коришћењем I/Q множача. I и Q компоненте
1 Raised-cosine filter – 11. вежба
170
Дигиталне телекомуникације
Слика 15.8 Упрошћена блок - шема OFDM предајника
се дигитализују посредством A/D конвертора и доводе на дигиталну платформу базирану на
сигнал процесорима или FPGA колима. Демодулација се врши једноставно налaжењем FFTa за појединачне сигнализационе интервале и налажењем фаза спектралних компоненти
чије учестаности одговарају ортогоналним подносиоцима који су фазно модулисани. Овај тип
преноса посебно је интересантан због тога што се и модулација и демодулација изводе на
брзим платформама за дигиталну обраду сигнала (сигнал процесори, FPGA кола...). Алгоритми
за модулацију и демодулацију софтверски су имплементирани, па су оваква решења веома
флексибилна. На хардверској платформи могу се имплементирати различити типови модулације и
демодулације без икаквих промена у хардверу. Упрошћена шема пријемника дата је на слици 15.9.
Слика 15.9 Упрошћена блок шема OFDM пријемника
15.3. Анализа ортогоналних М-арних FSK сигнала у програмском окружењу Оctave
Пример 15.1 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел који треба да
покаже да су сигнали учестаности 1000Hz и 1600 Hz за пренос FSK сигнала ортогонални.
Сигнализациони интервал је 6.67ms. Симулациони програм сачувати у датотеци orto.m.
▪ Анализу вршити на бази 128 одбирака у оквиру сигнализационог интервала.
У командном прозору приказати суме одбирака производа:
▪ првог сигнала са самим собом,
▪ првог и другог сигнала и
▪ другог сигнала са самим собом.
Слика 15.10
171
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Са слике 15.10 види се да збир производа два различита сигнала у сигнализационом
интервалу даје резултат чија је вредност блиска нули. Како сума одбирака представља нумерички
интеграл добијена сума потврђује да сигнали учестаности 1000Hz и 1600Hz задовољавају услов
ортогоналности.
Пример 15.2 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел за симулацију
ортогоналне 8 - нивоске FSK. Учестаности ортогоналних носилаца су 1000Hz, 1600Hz, 2200 Hz,
2800Hz, 3400Hz, 4000Hz, 4600Hz, и 5200Hz с истом почетном фазом. Сигнализациони интервал
је 6.67ms. Бинарну секвенцу 000100011001 модулисати 8 - нивоском FSK модулацијом. Анализу
вршити на бази 128 одбирака по сигнализационом интервалу. Модулисани сигнал приказати у
временском домену. Симулациони модел сместити у датотеку F8.m.
Решење:
Бинарну секвенцу преводимо у групе од три бита и модулишемо је одговарајућом учестаношћу:
▪ 000
1000Hz
▪ 001
1600Hz
▪ 010
2200Hz
▪ 011
2800Hz
▪ 100
3400Hz
▪ 101
4000Hz
▪ 110
4600Hz
▪ 111
5200Hz
Слика 15.11 Ортогонални 8-нивоски FSK сигнал у временском домену
Пример 15.3 Модификовати кôд у датотеци F8.m из примера 15.2 тако да се на једном дијаграму
један испод другог прикажу спектри сигнала у сигнализационим интервалима. Датотеку која
остварује ову функционалност назвати F8spektar.m.
Пример 15.4 Модификовати кôд у датотеци F8spektar.m из примера 15.3 тако да се на једном
дијаграму прикаже спектар сигнала са слике 15.11. Датотеку која остварује ову функционалност
назвати F8spektarAll.m.
172
Дигиталне телекомуникације
Слика 15.12 Спектри ортогоналног 8-нивоског FSK сигнала по сигнализационим интервалима
Слика 15.13 Спектар ортогоналног 8-нивоског FSK сигнала
Пример 15.5 У програмском пакету Octave реализовати симулациони модел за демодулацију
ортогоналног 8-нивоског FSK сигнала реализованог у примеру 15.2. За демодулацију применити
принцип множења сигнала унутар сигнализационог интервала појединачним учестаностима
сигнала, интеграцијом производа и налажењем највеће вредности интеграла. У командном
прозору приказати вредности демодулисаног сигнала. Симулациони модел сместити у датотеку
F8demod.m.
Слика 15.14 Вредности демодулисаног сигнала
15.4. Анализа OFDM предајника и пријемник у програмском окружењу Оctave
Предпоставимо да желимо да пренесемо секвенцу битова приказану на слици 15.15 коришћењем
OFDM типа преноса с 4 подносиоца. Битска брзина је 1.
173
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 15.15 Секвенца битова који се преносе
Коришћењем готових функција у оквиру пакета communication реализовати следеће симулацине
моделе.
Пример 15.6 У програмском пакету Octave реализовати симулационе моделе OFDM предајника
с четири подносиоца и OFDM пријемника. Параметри симулације:
▪ време анализе
5s;
▪ број одбирака по сигнализационом интервалу 128;
▪ тип модулације подносиоца
BPSK;
Симулациони програм сачувати у датотеци ofdm4.m.
Приказати:
▪ Изглед модулисаних подносилаца у временском домену;
▪ Изглед суме подносилаца у временском домену;
▪ Спектар једног сигнализационог интервала;
▪ Вредности демодулисаног сигнала за први сигнализациони интервал.
Решење:
Првих неколико битова низа са слике 15.15 је:
1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1 ,1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1
Групишимо битове у врсте од по 4 бита као што је приказано у табели 15.1
Табела 15.1 Груписање битова за пренос различитим подносиоцима
C1
1
1
1
-1
-1
C2
1
1
-1
1
1
C3
-1
1
-1
-1
1
C4
-1
-1
-1
-1
-1
У свакој врсти представљени су битови који треба да модулишу подносиоце. Пођимо од
подносиоца С1. Колика треба да буде фреквенција овог подносиоца? Према Никвистовој теореми
она мора бити бар двоструко већа од битске брзине. Како је битска брзина серијског низа 1бит/s.
У паралелном облику преносе се четири бита. У том случају битска брзина је ¼b/s а минимална
брзина подносиоца мора бити 1/2Hz. Због сигурности узећемо дупло већу учестаност за подносиоца
(1Hz). Подносиоце модулишемо у сваком сигнализационом интервалу по формули:
yn=cos(2 * pi * fС* n * t + ugaon)
где су:
▪ yn
n-ти фазно модулисани подносиоц ,
▪ fС
учестаност првог подносиоца ,
▪ ugaon фазни угао за n -тог подносиоца.
174
Дигиталне телекомуникације
Примера ради за први сигнализациони интервал фазни углови за прва два подносиоца су 0º а
за друга два 180º. Из поступка модулације види се да се сваки од подносилаца модулише BPSK
модулацијом. На сликама од 15.16а до 15.16д представљени су модулисани подносиоци у првих
пет сигнализационих интервала.
Слика 15.16 а) 1. модулисани подносиоц б) 2. модулисани подносиоц
в) 3. модулисани подносиоц г) 4. модулисани подносиоц
Сабирањем модулисаних подносилаца добија се сложени сигнал чији је изглед у временском
домену дат на слици 15.17.
Слика 15.17 Изглед сабраних подносилаца у временском домену
Изглед спектра за један сигнализациони интервал дат је на слици 15.18.
Ако се изврши дискретизација пријемног сигнала у основном опсегу од 0 до 1 s (први
сигнализациони интервал) у 128 тачака а потом Фуријеова анализа над тим скупом података и
прикажу фазни ставови прва четири хармоника добијају се вредности приказане на слици 15.19.
На x оси дате су вредности угла у радианима, а на y оси је вредн ост учестаности у херцима (Hz).
Ако се вредности фазних ставова хармоника добијених на излазу упореде с фазним ставовима у
којима су модулисани подносици на предајној страни види се да су они идентични.
175
15. ОРТОГОНАЛНЕ МОДУЛАЦИЈЕ У ПРОГРАМСКОМ ОКРУЖЕЊУ OCTAVE
Слика 15.18 Изглед спектра за један сигнализациони интервал
Слика 15.19 Фазни ставови прва четири хармоника у првом сигнализационом интервалу
15.5. Задаци за вежбу
Задатак 15.1 У програмском пакету Octave реализовати симулационе моделе OFDM предајника
с четири подносиоца и OFDM пријемника за пренос сигнала приказаног на слици 15.20.
Параметри симулације:
Слика 15.20 Секвенца битова који се преносе
▪
▪
▪
▪
176
време анализе
број одбирака по сигнализационом интервалу
тип модулације подносиоцa
симулациони програм сачувати у датотеци
5s;
128;
BPSK;
OFDM4P.m.
Дигиталне телекомуникације
Приказати:
▪ Изглед модулисаних подносилаца у временском домену;
▪ Изглед суме подносилаца у временском домену;
▪ Спектар једног сигнализационог интервала;
▪ Вредности демодулисаног сигнала за први сигнализациони интервал.
177
ЛИТЕРАТУРА
[1]
В. Васиљевић, Рачунарске мреже, Висока школа електротехнике и рачунарства, Београд, 2008.
[2]
М. Дукић, Принципи телекомуникација, Академска миса, Београд, 2008.
[3]
B. Sklar, Digital Communications, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2001.
[4]
А. Bateman, Digital Communication, Pearson Education Limited, Harlow, 1999.
[5]
И. Стојановић, Основи телекомуникација, Грађевинска књига, Београд, 1977.
178
ЕВИДЕНЦИЈА УРАЂЕНИХ ВЕЖБИ
Вежба бр.
Датум
Сарадник
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
179
Download

ДИГИТАЛНЕ ТЕЛЕКОМУНИКАЦИЈЕ