ATOM VODONIKA
Kao što solarni sistem obezbeđuje prvi značajan test zakona klasične mehanike, tako i atom vodonika
obezbeđuje test za zakone kvantne mehanike. Atom vodonika je najjednostavniji atom, sastoji se od
jednog elektrona i jednog protona. U prvoj aproksimaciji, jezgro atoma koje ima mnogo veću masu od
elektrona se može smatrati statičnim. Ovo znači da će razumevanje osobina vodonikovog atoma biti
moguće rešavanjem jedno-čestičnog kvantno mehaničkog problema, problema elektrona u Kulonovom
energetskom polju potencijala :
CENTRALNI POTENCIJAL
Počećemo sa razmatranjem opšteg problema čestice u centralnom potencijalnom polju koje slično kao i
Kulonovo polje zavisi samo od udaljenosti čestice od fiksnog ishodišta. Razmotrimo klasičnu česticu
mase
, sa vektorom položaja , impulsa i orbitalnog ugaonog impulsa
u odnosu na
fiksiranu centralnu tačku. Ako se čestica kreće u polju centralnog potencijala, na nju deluje sila data sa :
, gde je
jedinični vektor u pravcu . Pošto ova sila deluje duž radijus-vektora , obrtni moment čestice,
je nula i čestica se kreće sa konstantnim ugaonim impulsom L. Geometrijske implikacije
konstantnog ugaonog impulsa mogu se razumeti posmatranjem slike 18.01. koja pokazuje vektorski
prostor koji zahvata vektor u vremenu dt.
Ovo znači da, kada je ugaoni impuls
konstantan vektor, čestica se kreće u fiksnoj
ravni sa radijus vektorom koji prolazi kroz
oblast konstantnom brzinom
. Impuls
čestice koja se kreće u ravni ima dve
nezavisne komponente koje konvencionalno
možemo
označiti
kao
radijalnu
i
transverzalnu komponentu.
Slika 18.01
Ako kinetičku energiju
čestice :
napišemo preko
i
dobijamo izraz za konstantnu ukupnu energiju
Primetimo da energiju čestice možemo posmatrati kao sumu dva člana, radijalne kinetičke energije
i
efektivne potencijalne energije u formi :
Efektivna sila koja odgovara efektivnom potencijalu deluje u radijalnom smeru i ima intezitet :
Član
impulsom
koji odgovara
za česticu koja se kreće brzinom
reprezentuje centrifugalnu silu. Dakle član
kružnicom radijusa
sa ugaonim
u jednačini efektivnog potencijala
(18.3) može se posmatrati kao centrifugalna potencijalna energija ili kao poprečna kinetička energija.
Najvažniji primer klasičnog kretanja u centralnom potencijalnom polju je planetarno kretanje. Planeta
mase m kreće se oko Sunca sa gravitacionom potencijalnom energijom :
Planete se oko Sunca kreću po eliptičnim orbitama, a da mogu da odbacuju višak energije njihovo
kretanje bi postalo savršeno kružno. Ako bi mogle da uzimaju energiju od Sunca, putanje bi im postale
parabole a pri većoj akviziciji energije putanje bi postale hiperbole. Planetarno kretanje je predstavljalo
prvi vanzemaljski test zakona klasične fizike. Klasični zakoni su uspešno položili ovaj test. Orbitalni
ugaoni impuls planete Zemlje je čudesnih
. Atom vodonika obezbeđuje drugi primer kretanja u
polju centralnog potencijala jer se elektron naelektrisanja – kreće oko jezgra naelektrisanja
. Kada
elektron ima ugaoni impuls mnogo veći od , klasična mehanika može biti korišćena da opiše putanju
elektrona koja je konusni presek. Ali kada je ugaoni impuls komparabilan sa , mora se koristiti kvantna
mehanika i elektron je opisan kvantnim stanjima neodređenih osobina.
Kvantna stanja čestice sa centralnim potencijalom su opisana talasnom funkcijom
. Mi ćemo
se ovde fokusirati na kvantna stanja sa jasno definisanom energijom E koja prema ranijim razmatranjima
ima talasnu funkciju u formi :
, gde je
svojstvena funkcija energije koja zadovoljava jednačinu svojstvenih vrednosti :
Ova parcijalna diferencijalna jednačina sa tri nezavisne varijable
i , može biti jako jednostavna ako
pretpostavimo da kvantno stanje ima pored definisane energije i definisane osobine ugaonog impulsa
čije smo tipove obrađivali u prethodnom poglavlju. Konkretno, ako pretpostavimo da je intezitet
orbitalnog ugaonog impulsa
brojevi koji mogu uzeti vrednosti
i njegova z komponenta
, gde su i
i
, svojstvena funkcija ima oblik :
kvantni
U ovoj jednačini
je istovremeno svojstvena funkcija od i zadovoljavaju jenačinu (17.25) i
je nepoznata funkcija . Ako jednačinu (18.6) uvstimo u (18.5) dobijamo :
, i takođe koristeći jednačinu (17.25) dobijamo sledeću običnu diferencijalnu jednačinu :
Uvodeći radijalnu funkciju
definisanu sa :
, dobijamo :
Ova važna jednačina se zove radijalna Šredingerova jenačina. Ona opisuje jednačinu sa ugaonim
impulsom
oblika :
koja se ponaša slično čestici u jednodimenzionalnom efektivnom potencijalu
Ako uporedimo ovaj potencijal sa analognim efektivnim potencijalom u klasičnoj mehanici datim
jednačinom (18.3), vidimo da prvi član
može biti kinetička energija povezana sa transverzalnim
kretanjem ili centrifugalni potencijal koji nastaje iz orbitalnog ugaonog impulsa čestice. Kada rešavamo
radijalnu Šredingerovu jednačinu, tražimo da granični uslovi
i
budu nametnuti da se
obezbedi da funkcija
, i zbog toga i stvarna trodimenzionalna svojstvena funkcija data sa
(18.6) bude konačna u ishodištu. Dodatno, vezana stanja, koja opisuju česticu koja ne može pobeći u
beskonačnost moraju zadovoljavati granične uslove :
Vezana stanja postoje samo ako je efektivni potencijal dat jednačinom (18.10) dovoljno privlačan. Mi
ćemo označiti ova stanja kvantnim brojevima
koji će prikazivati broj nodova radijalne
svojstvene funkcije
između
i
. Ovo znači da vezano stanje čestice u centralnom
potencijalu može uvek biti specificirano sa tri kvantna broja
i
i da svojstvena funkcija ima oblik :
Koristeći normalizacione uslove iz jednačine (17.27) za sferne harmonike, možemo lako pokazati da
svojstvena funkcija
je normalizovana ako radijalna svojstvena funkcija
zadovojava uslov :
Energiju ovih vezanih stanja ćemo označavati sa
. Razmišljajući o ovoj energiji kao o sumi tri člana,
prosečne radijalne kinetičke energije, prosečne transverzalne kinetičke energije i prosečne Kulonove
energije, možemo videti da stanje sa najvećim i najvećim
ima najveću energiju. Energija
se
povećava sa zato što prosečna kinetička transverzalna energija data sa :
, i energija
, takođe rastu sa
, pošto prosečna radijalna kinetička energija koja je data sa :
, raste kako broj radijalnih nodova raste.
Pre nego što uzmemo u obzir eksplicitne jednačine energetskih nivoa svojstvenih funkcija čestica u
Kulonovom potencijalnom polju, podsetimo se kako je dobijane Šredingerova radijalna jednačina.
Krucijalni korak je bio da se dobije kvantno stanje sa određenim
,i
za česticu u centralnom
potencijalu. Pošto takvo stanje mora postojati, ovaj korak je imao uspešan ishod, pa nas je odveo do
Šredingerove radijalne jednačine, koju smo mogli rešiti dobivši razumne svojstvene vrednosti energije i
svojstvene funkcije. U suštini,
i
mogu biti uzete kao tri kompatibilne opservable koje na
jedinstven način definišu kvantno stanje čestice u centralnom potencijalu. Dodatno, kvantno stanje
čestice sa određenom energijom u centrlanom potencijalnom polju ima i druge opservabilne osobine sa
određenom vrednošću. To se zove paritet. Za svojstvenu funkciju sa osobinom :
, se kaže da ima paran paritet, dok za svojstvenu funkciju sa osobinom :
, se kaže da ima neparan paritet.Koristeći tabelu 17.01 možemo lako pokazati da svojstvena funkcija
određenim orbitalnim ugaonim impulsom datim jednačinom (18.6) tj. Sa :
, ima parni paritet kada je
i
i neparni partitet za
. Može se pokazati da, generalno,
paritet čestice u centralnom potencijalnom polju je paran kada je paran i neparan kada je neparan.
Paritet je jedna on najjednostavnijih opservabli u kvantnoj mehanici, ali pošto ova opservabla nema
analogiju u klasičnoj mehanici, često se doživljava kao nešto misteriozno. Energija i paritet su
kompatibilne observable kad god Hamiltonijan ostane nepromenjen kada se koordinate podrvgnu
refleksiji nad ishodištem. Pošto je ovo tačno za sve Hamiltonijane koji ne uključuju slabu nuklearnu
interakciju, paritet ima važnu ulogu u klasifikovanju kvantnih stanja u atomskoj, nuklearnoj i fizici
čestica.
Download

(PDF, 436KB)