BÖLÜM 4
EKSENEL KUVVET ETKİSİNDEKİ
ELEMANLAR
Giriş
Betonarme yapı sistemlerinin monolitik / birdöküm özelliği
nedeni ile bir elemanın salt eksenel yük taşıması mümkün
değildir.
Eksenel yük taşıyan her eleman, küçük de olsa bir miktar
kesme kuvveti ve moment taşır.
Özellikle Türkiye gibi arazisinin büyük kısmı deprem
kuşağında olan bir ülke için, depremin oluşturacağı
atalet/eylemsizlik kuvvetleri nedeni ile bir elemanın moment
taşımadığını düşünmek imkansızdır.
1
Eksenel Basınç Taşıyan Elemanlar : Kolonlar
Yönetmeliklerde bir elemanın salt (sadece) basınç taşıyor
gibi tasarlanmasına izin verilmez.
Fakat, bunun bir sınır durum oluşturması nedeni ile salt
eksenel
yük
taşıyan
elemanların
davranış
ve
dayanımlarının bilinmesinde fayda vardır.
En sık rastlanan eksenel yük taşıyan elemanlar
kolonlardır.
Kolonların temel işlevi, katlara gelen yükleri taşımak ve
bunları temele aktarmaktır.
Kat yükü kolona kirişler vasıtasıyla ya da kirişsiz
döşemelerde olduğu gibi doğrudan döşemelerce aktarılır.
Kolonlar, deprem ve rüzgar gibi yatay yüklerin
taşınmasında da varsa perde duvarlarla birlikte en önemli
işlevi üstlenirler.
Minimum dış merkezlik / eksantrisite “ e ” ile ilgili
TS 500-2000 koşulları daha ileride verilecektir.
2
Kolon Türleri
Kolonlar basınç taşıyan elemanlar olduğundan boyutları ayarlayarak tüm
eksenel yükü betona taşıtmak ve böylece donatısız kolon yapmak ilk bakışta
mantıklı gözükebilir. Fakat, büzülme ve özellikle sünme deformasyonları ile
öngörülmeyen eğilme momentlerinin oluşabilme ihtimalleri nedeniyle,
yönetmeliklerde buna izin verilmez. Ayrıca, kolona yerleştirilen boyuna
donatı eksenel yükün bir bölümünü de taşır.
Betonarme kolonlar, boyuna donatıyı saran enine donatının cinsine göre iki
sınıfa ayrılır.
a) Boyuna donatısı bireysel etriyelerle sarılmış olanlara “Etriyeli Kolon”
b) Boyuna donatısı spiral şeklinde sürekli dairesel fretlerle sarılmış olanlara
“Fretli Kolon”
c) Eksenel yükün bir kısmının çelik elemanlarla taşındığı kolonlara ise “Bileşik
Kolonlar”
denir.
Enine donatı içinde kalan beton alanı “çekirdek / göbek alanı”, dışında
kalan alan ise “kabuk alanı” olarak adlandırılır.
Yapım kolaylığı ve mimari ile uyum açısından uygulamada en çok kullanılan
etriyeli kolon kesiti kare veya dikdörtgen, fretli kolon kesiti ise daireseldir.
Ancak, mimari gerekçelerle kolon kesitleri L , T , I veya çokgen
şekillerde de olabilir.
3
Kolon Türleri
4
Kolonlar İçin Elastik Teori
Ülkemizde elastik teorinin betonarme tasarımında kullanımına izin
verilmemekle birlikte; büzülme, sünme ve kullanılabilirlik hesaplarında
elastik teoriye dayalı birtakım tanım ve teknikler kullanıldığından,
burada bu konu kısaca irdelenecektir.
Elastik teoride, beton ve çelik davranışının elastik olduğu varsayılır.
Eksenel yük altında gerilmelerin hesaplanmasında “Eşdeğer Alan”
kavramından yararlanılır. Buna göre kesitteki toplam boyuna donatı
alanı Ast , modüler oran ( n = Es / Ec ) ile çarpılarak eşdeğer beton
alanına dönüştürülür. Betona dönüştürülmüş eşdeğer alanın
taşıyacağı eksenel yük, denge denklemlerinden bulunabilir.
N   c Acn   s Ast
N   c  Ac  Ast   nAst 
Acn=Ac- Ast
N
N

c 
( Ac  Ast )  nAst Ac  Ast (n  1)
5
Donatıdaki gerilmeler ise yukarıda formülde bulunan beton
gerilmesinin modüler oranla çarpılması ile bulunur.
N n 
s 
 n c
Ac  Ast (n  1)
N : Eksenel yük
c : Betondaki gerilme
s : Donatıdaki gerilme
Ac : Tüm( brüt ) beton alanı
Ast : Kesitteki toplam boyuna donatı alanı
Acn : Net beton alanı
n : modüler oran, Es / Ec
6
Yukarıda bulunan denklemler donatı oranı cinsinden de ifade edilebilir.
Buna göre:
t
: Donatı oranı (Donatı yüzdesi) :
(Toplam boyuna donatı oranı)
N / Ac
σc =
1 + ρt (n - 1)
;
Ast
t 
Ac
N / Ac
σs = n×
1 + ρt (n - 1)
Yukarıda gösterilen gerilmelerin betonun zamana bağlı deformasyonları
nedeniyle, zamanla büyük ölçüde değişebileceği daha önce belirtilmişti.
Bu nedenle, her iki malzemenin de doğrusal elastik davrandığı
varsayımına göre çıkarılan bu denklemler, kesit hesabı için hiçbir
zaman kullanılmamalıdır.
Ancak; söz konusu denklemler, büzülme ve sünme nedeniyle oluşacak
gerilmelerin kestirilmesinde yararlı olur.
7
Yukarıda tanımlanan gerilmeler betonun
zamana bağlı deformasyonları (büzülme ve
sünme) nedeni ile büyük ölçüde değişecektir.
Büzülme ve sünme problemlerinde, çevreye
yayılmış olan donatı, eksenel simetriden
yararlanılarak
kesit
ağırlık
merkezinde
toplanabilir.
Eleman deformasyon yapmakta serbest olduğu
sürece betonda hiçbir gerilme oluşmayacaktır.
Betonarme elemanda sünme ve büzülmeden
etkilenmeyen donatının varlığı, betonun
zamana bağlı deformasyonunu bir miktar
sınırlayacağı için her iki malzemede de
gerilmeler oluşacaktır.
8
Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, elemanın serbest kısalması t l
olması gerekirken, donatının varlığı nedeni ile deformasyon azalmakta
ve s l olmaktadır . Bu durumda betonda gerilme oluşturan
deformasyon, engellenen deformasyondur, c l = t l – s l .
Donatıda gerilme oluşturan deformasyon ise, doğrudan s l ’ dir.
t , büzülme, sünme veya sıcaklık değişimi birim
Burada
deformasyonlarının her biri veya toplamıdır.
Büzülme ve/veya sünme etkisi altındaki betonarme eleman
9
Beton ve donatıda oluşan gerilmeler, yazılacak denge ve
uygunluk denklemlerinden yararlanılarak hesaplanabilir.
Çekme gerilmesi ve birim uzama (-) işaretli olarak
yazılacaktır.
Denge denklemi :
Nc + N s = 0
( Ac - Ast )σ c + Ast σ s = 0
(1)
Uygunluk Denklemi :
 cl   sl   t l
Gerilme - birim deformasyon ilişkisi :
 c   c / Ec
 s   s / Es
(2)
Es
n
Ec
(3)
10
Yukarıda verilen denklemler gerilme hesabı için yeterlidir.
Bunun için (1) denkleminde s yerine (3) denkleminden s . Es
yazılır ve buradan s yerine (2) denkleminden t- c konulur
ve c yerine de - c/Ec yazılır ve gerekli düzenlemeler
yapılırsa;
Ast  t Es
c  
Ac  Ast (n  1)
bulunur.
Donatı oranı
Ast
t 
Ac
olarak gösterilirse, yukarıdaki
denklem şu şekli alır.
Es t
 c   t
1   t (n  1)
;
Es t
 s  (1   t )
1   t (n  1)
11
Eksenel Yüklü Kolonların Davranışı
Kolonun yük taşıma gücünün tükenmesi için, mutlaka
her iki malzemenin de sınır dayanım değerine ulaşması
gerekmektedir.
Beton veya donatı sınır dayanımına eriştiğinde “kuvvet uyumu”
oluşmakta ve sınır dayanıma erişmeyen malzeme diğerine
yardım etmektedir.
Deneylerden elde edilen bilgiler ışığında, eksenel basınç
altındaki bir betonarme elemanın taşıma gücünün, beton ve
donatı kapasitelerinin toplanması ile elde edileceği
anlaşılmıştır.
N or  0.85 f ck Acn  Ast f yk
Acn  Ac  Ast
Kolon boyutları fck yı tanımlayan standart silindir numunesi boyutlarından çok
daha büyük olduğundan ve silindirdeki beton çok daha iyi sıkıştırıldığından,
bu bağıntıda fck yerine 0.85 fck alınması daha doğru olur.
12
Yapılan deneylerde, eksenel yük sıfırdan başlayarak belirli
basamaklarla artırıldığında, donatı ve betonda oluşan
gerilmelerin elastisite teorisinden elde edilen sonuçlardan fazla
farklı olmadığı görülmüştür.
Ancak, yük belirli bir aşamada sabit tutulduğu takdirde, zamana
bağlı deformasyonlar nedeniyle gerilmeler önemli ölçüde
değişmekte ve hesaplanan gerilmeler elde edilen sonuçlarla
uyuşmamaktadır.
Eksenel yük taşıyan kolonda (M=0) eğer boyuna donatı çeliği
S220 ise, donatı akma birim kısalmasına ulaştığında sy=0.0011
olup, beton henüz maksimum gerilmeye karşılık gelen birim
kısalmaya erişmemektedir (co=0.002) . Bu durumda yük
artırıldığında, donatı tarafından karşılanan kuvvet sabit
kaldığından, betonun uygulanan yükten aldığı pay oranı
yükselmektedir.
Birim kısalma co değerine eriştiğinde, betonun ezilerek
dağılmasını önlemek, ancak betonca taşınan yükün bir
bölümünün donatıya aktarılması ile mümkün olur.
Bunun nedeni, betonun

eğrisinin incelenmesinden
anlaşılabilir;
13
Yukarıda bir kez daha verilen şekillerden de görüleceği üzere, birim
kısalmanın co değerini geçmesi, ancak bir gerilme azalması ile mümkün
olacaktır. Bu aşamada betondan donatıya kuvvet aktarmak mümkün
değildir; çünkü donatı daha önce akma gerilmesine ulaştığı için daha
fazla yük almayacaktır. Bu durumda kolon taşıma gücüne ulaşacak ve
artan deformasyonlarla yük düşmeye başlayacaktır. Bu nedenle, taşıma
gücüne erişildiğinde kolondaki birim kısalma, yaklaşık co=0.002
olacaktır.
Kolon boyuna donatısı S420 olduğu durumlarda, donatının akma birim
deformasyonu, yaklaşık betonun birim kısalması co’ ya eşit olacağından
(sy=0.0021), taşıma gücündeki birim kısalma yine 0.002 olacaktır.
14
Yukarıda sözü edilen davranış, ancak yeterli sargı donatısı ile çekirdekteki betonun
dayanımı ve  eğrisinin tepe noktasındaki birim kısalma değeri artırılarak (co>0.002)
değiştirilebilir.Bu ise, sargı donatısı olarak sürekli dairesel fret kullanmakla mümkündür.
Uygulamada dikdörtgen kolonlarda enine donatı olarak kullanılan bireysel etriyelerle
buna yakın bir sargı etkisinin sağlanabilmesi ve daha sünek bir davranış elde edilmesi
ise, tutulmuş boyuna donatılar arasındaki uzaklık olan serbest etriye açıklığı “a” ve
etriye aralığı “s” azaltılarak ve bunlara göre daha az etkili olsa da, etriye çapı artırılarak
mümkündür.Bunun nedeni, fretteki deformasyonların eksenel rijitliğe, dikdörtgen
etriyede ise eğilme rijitliğine bağlı olmasıdır.
Kolon davranışına sargı donatısının etkisi
Etriyeli kolonun kırılma davranışı
Yukarıdaki şekilde verilen yük - deformasyon eğrilerinin incelenmesinden, enine
donatının sargı etkisinin artırılmasının kolonlardaki davranışı sünekleştirdiği; dolayısıyla,
eğriler altında kalan alanlar kıyaslandığında, enerji tüketme kapasitesini artırdığı açıkça
görülmektedir. Bu durum, çok yüksek enerjinin bir anda açığa çıktığı deprem etkisi
15
altındaki kolonlar için son derece önemlidir.
Aşağıdaki şekilde, brüt beton ve boyuna donatı alanları aynı olan, etriyeli ve fretli iki
kolonun yük-deformasyon eğrileri gösterilmiştir. Etriyeli kolonun sargı donatısı oranı ve
aralığı, çekirdek alanındaki betonun özelliklerini değiştirecek düzeyde değildir.
Eksenel yük altındaki kolonların davranışı(etriyeli ve fretli kolonlar)
Şekilden görüldüğü gibi; A tepe noktasına kadar, beton ve boyuna donatı alanları aynı
olan etriyeli ve fretli kolonların davranışları arasında fark olmayıp, taşınan yük aynıdır.
Deneylerden, A tepe noktasına erişinceye kadar fret ve etriyedeki gerilmelerin sıfıra
yakın olduğu, dolayısıyla sargı donatısının bu noktaya kadar taşıma gücüne katkısı
olmadığı görülmektedir. Fakat, A tepe noktasından sonraki davranış çok farklıdır. Etriyeli
kolonda A noktasına erişildiğinde beton ve çelik sınır dayanımlarına ulaştığı için, artan
16
deformasyon altında yük düşmekte ve kolon kırılmaya başlamaktadır.
Eksenel yük taşıyan etriyeli bir kolonun kırılması, aşağıdaki
şekilde görüldüğü gibi betonun ezilmesi ve iki etriye arasındaki
boyuna çubukların burkulmasıyla meydana gelmektedir.
Etriyeli kolonun kırılması
ODTÜ Deneyleri
17
kolon deneyi.WMV
Kesit 16x16 cm, C20-S220, 412,  8/8-4
70
60
Eksenel Yük (ton)
50
40
30
20
10
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
Boyuna Birim Kısalm a ( 
Selçuk Üniversitesi Kolon Deneyleri
18
A tepe noktasına kadar benzer davranışı gösteren fretli kolonun artan
deformasyon altındaki davranışı ise, etriyeli kolonunkinden çok farklıdır.
Fretli kolonda sargı mekanizması
Yukarıdaki şekilde fretli kolonun sargı mekanizması görülmektedir. Fretli
kolonda A tepe noktasından sonra kabuk betonu ezilip dökülür ve fret,
Poisson etkisi ile yanlara doğru genişlemeye çalışan çekirdek betonunun
genişlemesini engelleyerek, artan deformasyonla beraber çekirdek betonuna
çepeçevre basınç uygular. Fretin uyguladığı yanal basınç nedeni ile
çekirdekteki beton artık tek yönlü değil, üç yönlü gerilme altındadır
(2=3=q).( İki yönde eşit yanal basınç altındaki betonun bu yönlere dik
uygulanan eksenel basınç altında dayanımının önemli ölçüde artacağı, daha
19
önce anlatılmıştı.)
Bu nedenle, fretin içinde kalan çekirdek betonunun dayanımının artması
sonucu fretli kolon “A” noktasında kırılmayacak, artan deformasyonlar
altında yük taşımaya devam edecektir.
N- eğrisinden izleneceği gibi, kabuk betonunun ezilmesi sonucu yitirilen
kapasite nedeniyle, önce yükte bir düşme olacak; daha sonra fretin tam
etkili olması ile kolon yeniden toparlanacaktır.
Fretli kolonun kırılması, birinci (A) tepe noktasına oranla çok daha büyük
deformasyonlardan sonra ikinci bir tepe noktasında oluşacaktır. A
noktasından sonra kapasitede düşme miktarı kabuk alanının büyüklüğüne,
ikinci tepe noktasında taşınan yükün büyüklüğü ise kesitte bulunan fret
donatısı oranına bağlıdır.
Ancak, ideal bir sünek davranış için artan deformasyon altında kapasitede
önemli bir azalmanın olmaması gerekmektedir. Bu açıdan bir önceki tepe
noktasına tekrar bakıldığı zaman ikinci tepe noktasında taşınan yükün
birinci tepe noktasında taşınan yükten az olmaması gerekmektedir. Bu
koşulu sağlayacak fret ise minimum fret olarak adlandırılacaktır.
Minimum fret, iki tepe noktasının birbirine eşit olması ilkesi ile
20
hesaplanabilir.
Önceki şekilden görüldüğü gibi, etriyeli kolon davranışının
gevrek olmasına karşın, fretli kolon davranışı oldukça
sünektir.
İki eğri altında kalan alanlar kıyaslandığında, sargı etkisi
nedeniyle, fretli kolonun enerji tüketme kapasitesinin
etriyeliye oranla çok yüksek olduğu görülür.
Bu nedenle, deprem etkisi altında, fretli kolonlar çok daha
sağlıklı davranış gösterir.
Uygulamada
dikdörtgen kolonlarda enine donatı
olarak kullanılan bireysel etriyelerle buna yakın bir
sargı etkisinin sağlanabilmesi ve daha sünek bir
davranış elde edilmesi ise, tutulmuş boyuna donatılar
arasındaki uzaklık olan serbest etriye açıklığı “a” ve
etriye aralığı “s” azaltılarak ve bunlara göre daha az
etkili olsa da, etriye çapı artırılarak mümkündür.
21
Etriye aralığı küçüldükçe boyuna donatının serbest boyu da
küçülmekte, dolayısıyla N- eğrisinin, A tepe noktası aşıldıktan
sonra eğimi azalarak, süneklik artmaktadır.
Fretli kolonda ikinci tepe noktasında taşınan yükün
birinci tepe noktasında taşınan yüke eşit olmasını
sağlayacak fret oranı “minimum fret oranı” olarak
adlandırılır.
Çekirdek betonunun dayanımı A tepe noktasında fck iken, daha
önce anlatıldığı gibi, fretin sargı etkisi nedeniyle ikinci tepe
noktasında fc1= fck+4 olmaktadır. Ancak, kolon boyutları
fck yı tanımlayan standart silindir numunesi boyutlarından çok
daha büyük olduğundan ve silindirdeki beton çok daha iyi
sıkıştırıldığından, bu bağıntıda fck yerine 0.85 fck alınması daha
doğru olur. Burada  fretin çekirdek betonuna çepeçevre
uyguladığı basınçtır ( q).
Buna göre, minimum fret oranı, kabuk betonunun
parçalanmasıyla yitirilen eksenel yük kapasitesi, çekirdek
betonunun sargı etkisi ile artan yük taşıma kapasitesine
eşitlenerek bulunur.
22
Yitirilen kapasite (kabuk betonu):
(
N 1  0.85 f ck  Ac  Ack 
Ac-Ack ) kabuk alanıdır.
Kazanılan kapasite (çekirdek betonu):
N 2  Ack ( f c1  0.85 f ck )  Ack (4q)
İki tepe noktasında taşınan yükün aynı olabilmesi için
olmalıdır.
N 1  N 2
0.85 f ck ( Ac  Ack )  Ack (4q )
 Ac

 1 f ck  4q
0.85
 Ack 
İnce cidarlı boru analojisinden, sargı etkisi ile oluşan yanal basınç “q” ile
frette oluşan gerilme arasındaki ilişki,
 sp
qr

t
23
Sınır durumda, sargı görevini yapan fret akma dayanımına
ulaşacağından;
 sp  f ywk
Borunun çapı, betonarme kolonda çekirdek çapı olan “D”
olarak alınmalıdır ( r=D/2 ).
Kalınlık
“t” ise, fret kesit alanının fret aralığına
bölünmesiyle t=Ao/s olarak elde edilir.
Bu veriler ışığında düzgün yayılı basınç q=2 olarak
aşağıda şekilde bulunur.
2 A0
q 2 
f ywk
D( s)
24
Aynı bağıntı, 2 ’nin çekirdekte düzgün yayılı olduğu varsayımı ile
aşağıdaki şekilden de elde edilebilir. Düşey yönde kuvvetlerin
toplamı aşağıda gösterildiği gibi yazılabilir.
2 A0 f ywk   2 Ac   2 ( D) s
2A0
σ2 
fywk
D(s)
Fretli kolonun serbest cisim diyagramı
25
Yukarıdaki denklemlerden, gerekli minimum fret alanı;
 0.85 f ck
D( s )  Ac
A0 
 1

8  Ack  f ywk
olarak elde edilir.
Fret donatısının hacimsel oranı s , bir halkadaki fret hacmi,
s yüksekliğindeki beton çekirdek hacmine bölünerek bulunur.
4 A0
DA0
s 

2
D ( s ) D( s )
4
Bu iki denklemden yararlanarak iki tepe noktasında taşınan yükü
eşit kılacak fret oranı (minimum fret oranı) için şu bağıntı
yazılabilir;
f ck
 s  0.425
f ywk
 Ac

 A  1
 ck 
26
Bu denklem Türk yönetmelikleri dahil, bir çok ülke
yönetmeliğinde “minimum fret oranı” olarak yer almaktadır.
Ancak yönetmelikte bu katsayı yuvarlatılarak;
f ck
min  s  0.45
f ywk
 Ac

 A  1
 ck 
( TDY2007 )
alınmıştır.
Kolon kabuk kalınlığının çok küçük olduğu durumlarda ise,
s çok küçük çıkacağından, TDY2007 ’de ilave olarak
aşağıdaki denklem de verilmiştir.
 f ck
min  s  0.12
 f ywk




( TDY2007 )
TDY2007 ’ye göre; bu iki denklemden daha büyük değer
vereni hesaplarda esas alınır ( kolon sarılma bölgeleri için ve
Nd > 0.20 Ac fck olması durumunda ).
27
TDY2007 ’ye göre; etriyeli kolonlarda sargı etkisinin etkin olarak
sağlanabilmesi için, Nd > 0.20 Ac fck olması durumunda sarılma
bölgelerindeki minimum toplam enine donatı alanı, aşağıda
denklemlerde verilen koşulların elverişsiz olanını sağlayacak şekilde
hesaplanacaktır.
Bu hesapta kolonun eğilme yönüne dik çekirdek boyutu bk, her iki
doğrultu için ayrı ayrı gözönüne alınacaktır.
Ash  0.30 s bk [(Ac / Ack )  1] ( fck / fywk )
Ash  0.075 s bk ( fck / fywk )
Ash = İki dik doğrultuda alınan kesitte etriye ve çirozların
toplam kesit alanı (İZDÜŞÜM)
Hem etriyeli hem de fretli kolonlar için sargı bölgeleri dışında bu
koşullar biraz hafifletilir.
28
Etriyeli kolonlarda Ash hesabı
29
Eksenel Yüklü Kolonların Taşıma Gücü
Etriyeli ve fretli kolonların birinci tepe noktasına göre taşıma gücü aynıdır.
birinci tepe noktasına göre eksenel yük taşıma gücü şu şekilde yazılabilir.
Beton alanı için yaklaşık olarak (Acn=Ac – Ast) yerine Ac alınırsa hata
oranı %1 civarındadır,
N or = 0.85 f ck Acn + Ast f yk
Acn = Ac - Ast
Ancak, tasarım için taşıma gücü hesap değeri bulunmak istendiğinde,
bağıntıdaki karakteristik dayanım değerleri ( fck ve fyk ) yerine hesap
dayanımı değerleri ( fcd ve fyd ) konulmalıdır.
Fretli kolon ikinci tepe noktasına eriştiği zaman, kabuk betonu tamamen
ezilip dökülmüştür. Sargı tam olarak etkili olduğundan beton dayanımı
yükselmiştir. Bu nedenle tüm beton alanı yerine çekirdek alanı ve beton
dayanımı fck yerine fcc=fc1=0.85fck+42 kullanılmalıdır.
N 0 r 2  f c1 Ack  f yk Ast
N 0 r 2  (0.85 f ck  4 2 ) Ack  f yk Ast  f c1 Ack  f yk Ast
N 0 r 2  0.85 f ck Ack  4
2 A0
Ack f ywk  Ast f yk
D(s)
30
TS 500 ve birçok yönetmelikte, fret kesit alanı olan
Asp nin kullanımı tercih edilmiştir.
Ao yerine eşdeğer alan
Eşdeğer fret alanı Asp , fretin bir halkasının hacmi, boyu
eşdeğer boyuna donatı hacmine eşitlenerek bulunabilir.
DAo=Asp(s)
ve
s ile sınırlanan
Asp= DAo/ (s)
Yukarıdaki denklemde, Ao yerine Asp(s) / D
getirilirse, Nor2 için aşağıdaki denklem bulunur.
ve
Ack yerine de D2/4
N 0 r 2  0.85 f ck Ack  Ast f yk  2.0 Asp f ywk
Nor2 için iki denklemin sonucu aynı olmakla birlikte, kavramsal açıdan
birinci denklemin kullanılması daha uygundur.
İkinci tepe noktasına erişildiğinde, kabuk betonu tamamen ezilip büyük
deformasyonlar oluştuğundan, kolonlarda ikinci tepe noktası esas alınarak
kapasitenin artırılması kullanım açısından sakıncalıdır.
Bu nedenle, etriyeli ve fretli kolonların eksenel yük taşıma gücü için
birinci tepe noktasını esas alan tek bir denklem kullanılır.
Ancak, sargı donatısı ile gelen bu kapasite ve süneklik, deprem gibi aşırı
31
yüklemeler altında çok önemlidir.
Kolonlar İçin Yönetmeliklerde Öngörülen Koşullar ve Nedenleri
Yönetmeliklerde kolon enkesit boyutları için minimum değerler öngörülür.
Bunun nedeni, betonun ve donatının yerleştirilmesinde kolaylık sağlamak ve
yatay yükler altında minimum bir rijitlik elde etmektir.
TS 500-2000 ‘de dikdörtgen kesitli kolonların en küçük enkesit boyutunun
250 mm ’den ve dairesel kolon çapının da 300 mm ’den az olamayacağı
belirtilmiştir. Ancak, I , T ve L kesitli kolonlarda en küçük kalınlık 200
mm, kutu kesitli kolonlarda ise en küçük et kalınlığı 120 mm olabilir.
TDY2007 ’de ise ilave şart olarak, dikdörtgen kesitli kolonların en kesit
alanının da 75000 mm2 ’den küçük olamayacağı belirtilmiştir.
Kolonlarda eksenel yük düzeyi arttıkça süneklik azaldığından, aşırı gevrek
davranışı önlemek amacıyla eksenel yük için bir üst sınır getirilir; bir başka
deyişle minimum enkesit alanı tanımlanır. Bu üst sınır;
TS 500-2000 ‘de Nd max  0.9 fcd Ac
TDY2007 ‘de
Nd max  0.75 fcd Ac
( Nd  0.6 fck Ac )
( Nd  0.5 fck Ac )
olarak verilmiştir.
TS 500-2000 ‘e göre, kolonlarda net beton örtüsü/pas payı cc , dıştaki
elamanlarda 25 mm ‘den, içteki elemanlarda 20 mm ‘den az olamaz. Ortam
ve kullanım şartlarına göre, donatıyı korumak için bu değerler artırılabilir ve
32
artırılmalıdır.
Yönetmeliklerde, kolonlardaki minimum toplam boyuna donatı oranı
(t min) ve bu donatının minimum çapı da verilmektedir.
Minimum boyuna donatının temel amacı, yatay yüklere karşı ve
beklenmeyen dış merkezlik(eksantrisite) oluşması durumunda belirli
asgari bir moment kapasitesinin sağlanması ve betonun ezilmesi ile
oluşacak kırılma gevrekliğinin azaltılmasıdır.
TS 500-2000 ve TDY2007 ‘de t min  0.01 olarak verilmiştir.
Ancak TS 500-2000 ‘e göre, kesitte hesaplanan gerekli donatının en az
1.3 katı sağlanması koşuluyla, bu sınır 0.005 değerine kadar azaltılabilir.
Kolon kesitinin mimari vb. nedenlerle statikçe gerekenden daha büyük
yapıldığı durumlarda karşılaşılabilecek bu esnekliğe, TDY2007 ‘ye göre
deprem bölgelerinde yapılacak yapılar için hiçbir surette izin verilmez.
Yönetmeliklerdeki minimum boyuna donatı çapı ise, boyuna donatının
burkulma kapasitesini minimum bir düzeyde tutma amacına yöneliktir.
TS 500-2000 ’de kolon için minimum donatı çapı 14 mm (14) olarak
belirtilmiştir.
TDY2007 ‘ye göre, en az boyuna donatı, dikdörtgen kesitli kolonlarda
416 veya 614 , dairesel kolonlarda ise 614 olacaktır.
33
Ayrıca, yönetmeliklerde boyuna donatı oranı için bir
üst sınır da getirilmiştir. Bu üst sınırın amacı;
a) Betona göre pahalı olan çeliğin kullanımını
sınırlandırmak
b) Beton ve donatının kolay yerleşmesini sağlamak
c) Kesit boyutlarının aşırı küçülerek yatay yüklere
karşı olan eğilme rijitliğinin azalmasını önlemek
TS 500-2000 ve TDY2007 ‘ye göre, boyuna donatı
oranı aşağıdaki değerlerden fazla olamaz.
Bindirmeli ek bölgeleri dışında
t max  0.04
Bindirmeli ek bölgelerinde
t max  0.06
Türkiye şartları için ekonomik donatı oranının
ile 0.02 arasında değiştiği söylenebilir.
0.01
34
Kolon boyuna donatısı, kolon yüksekliği boyunca enine donatı ile sarılır.
Yönetmeliklerde etriye ve fretler için de bazı sınırlamalar vardır.
Bu sınırlandırmalar enine donatının işlevinin bilinmesiyle aydınlığa kavuşur.
Bunlar;
a) Boyuna donatıyı betonun yerleştirilmesi sırasında yerinde tutmak,
b) Kırılma konumunda boyuna donatının burkulma boyunu azaltarak,
burkulmayı geciktirmek,
c) Çekirdek betonunun sünekliğini ve bazı durumlarda dayanımını
artırmak,
d) Kesme gerilmesini karşılamak.
Dikdörtgen etriyelerin boyuna doğrultudaki aralığı “s” ve tutulmuş boyuna
çubuklar arasındaki serbest açıklığı “a” ve çapı ne kadar büyük olursa,
bu işlevler o kadar iyi yerine getirilmiş olur. Etriye serbest açıklığı
aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, birden fazla etriye veya ara çiroz
kullanılarak küçültülebilir.
TS 500-2000 ‘e göre, enine donatı çubuk çapı, en büyük boyuna donatı
çapının üçte birinden az olamaz (t  max l /3). Enine donatı aralığı da
en küçük boyuna çubuk çapının 12 katından ve 200 mm den fazla olamaz
(s  12 min l ve 200 mm). Dikdörtgen kesitli kolonlarda etriye veya
aynı aralıkta çirozla tutulmuş olan boyuna donatı çubukları arasındaki
uzaklık 300 mm den fazla olamaz (a  300 mm).
TDY2007 ‘ye göre, kolonlarda  den küçük çaplı enine donatı
kullanılmayacaktır (min t=8 mm). Ayrıca, a  25t olmalıdır.
35
Kolonlarda bazı etriye düzenlemeleri
36
TDY2007 ‘de boyuna donatının düzenlenmesi ve enine
donatı ile ilgili olarak getirilen ilave koşullar, depremde
kolonun daha iyi bir sünekliğe sahip olabilmesine
yöneliktir.Bu koşullar ayrıca belirtilecektir.
Yönetmeliklerin çoğunluğu, kolon taşıma gücünün salt
eksenel yüke göre hesaplanmasına izin vermez ve kolonlar
için minimum bir dış merkezlik öngörür.
Bunun
nedeni
betonun
homojen
olmaması,
imalat
hatalarından
doğabilecek
eksen
eğrilikleri,
betonarmenin bir döküm olma özelliği ve beklenmeyen
yük etkilerinin moment oluşturma olasılığıdır.
TS 500-2000 ’de, yapısal çözümlemeden elde edilen ve
tasarımda kullanılacak kolon uç momenti ile hesaplanan dış
merkezliğin / eksantrisitenin (15mm+0.03h) ’dan az
olamayacağı belirtilmiştir.
Burada h , kolonun eğilme doğrultusundaki mm cinsinden
kesit boyutudur.
emin  (15mm + 0.03h )
37
Kolonlar için TDY2007 ‘de öngörülen ilave koşullar
Süneklik Düzeyi Yüksek Kolonlar
Kolon Boyuna Donatısının Düzenlenmesi (TDY2007)
Kolon boyuna donatılarının bindirmeli ekleri, mümkün olabildiğince kolon
orta bölgesinde (kolonun alt ve üst uçlarında tanımlanan sarılma bölgeleri
arasında kalan bölge) ve her tür donatı için mutlaka kancasız yapılmalıdır.
Bu durumda bindirmeli ek boyu, en az TS 500’de çekme donatısı için
verilen kenetlenme boyu ℓb ’ye eşit olmalıdır.
ℓ0 ≥ ℓb
ve ℓ0 ≥ 30 cm ( TS500 )
TS 500’de
ℓb ile ilgili aşağıdaki denklem verilmiştir. Düz yüzeyli
çubuklarda, nervürlü çubuklar için verilen bu değerin iki katı kullanılmalıdır.
Bu konu ileride ayrı bir bölümde açıklanacaktır.
f yd 

lb  0.12
   20
f ctd 

38
Boyuna donatıların bindirmeli eklerinin kolon alt ucunda
yapılması durumunda ise, aşağıdaki koşullara uyulacaktır.
Ayrıca, basınç donatısındaki bindirmeli eklerde kanca
yapılmamalıdır.
(a) Boyuna donatıların %50 ’sinin veya daha azının kolon alt
ucunda eklenmesi durumunda bindirmeli ek boyu, ℓb ’nin en az
1.25 katı olacaktır.
ℓ0  1,25 ℓb
(b) Boyuna donatıların %50 ’den fazlasının kolon alt ucunda
eklenmesi durumunda bindirmeli ek boyu, ℓb ’nin en az 1.5 katı
olacaktır.
ℓ0  1,50 ℓb
Temelden çıkan kolon filizlerinde de bu koşula uyulacaktır.
(c) Yukarıdaki her iki durumda da, bindirmeli ek boyunca sarılma
bölgeleri için öngörülen minimum enine donatı kullanılacaktır.
39
Kolonlarda bindirmeli ek
40
Katlar arasında kolon kesitinin değişmesi
durumunda ;
Boyuna donatının kolon-kiriş birleşim bölgesi içinde
düşeye göre eğimi 1/6 ’dan daha fazla olmayacaktır.
Kesit değişiminin daha fazla olması durumunda veya en
üst kat kolonlarında;
alttaki
kolonun boyuna
donatısının karşı taraftaki kirişin içindeki kenetlenme
boyu, TS500 ’de çekme donatısı için verilen kenetlenme
boyu ℓb ’nin 1.5 katından ve 40 ’den daha az
olmayacaktır.
Karşı tarafta kiriş bulunmadığı durumlarda kenetlenme,
gerekirse kolonun karşı yüzünde aşağıya doğru kıvrım
yapılarak sağlanacaktır.
90 derecelik yatay kancanın veya aşağıya kıvrılan düşey
kancanın boyu en az 12 olacaktır.
Yan yana boyuna donatılarda yapılan manşonlu veya
kaynaklı eklerin arasındaki boyuna uzaklık 600 mm ’den
az olmayacaktır.
41
Kolon-kiriş birleşim bölgesinde kolon boyuna donatısının düzenlenmesi
42
Kolonda sarılma bölgesi
43
Kolonlarda Enine Donatı Koşulları (TDY2007)
TDY2007
madde 3.3.7.6 ‘ya göre (daha ileride kesme güvenliği
konusunda anlatılacaktır) daha elverişsiz bir durum elde edilmedikçe,
kolonlarda kullanılacak minimum enine donatıya ilişkin koşullar,
kolon sarılma bölgeleri ve kolon orta bölgesi için ayrı ayrı verilmiştir.
Tüm kolon boyunca, TDY2007 3.2.8 ’de tanımlanan özel deprem etriyeleri
ve özel deprem çirozları kullanılacaktır.
Her bir kolonun alt ve üst uçlarında özel sarılma bölgeleri oluşturulacaktır.
Sarılma bölgelerinin her birinin uzunluğu, döşeme üst kotundan yukarıya
doğru veya kolona bağlanan en derin kirişin alt yüzünden başlayarak
aşağıya doğru ölçülmek üzere, kolon kesitinin büyük boyutundan (dairesel
kesitlerde kolon çapından), kolon serbest yüksekliğinin 1/6 ’sından ve 500
mm ’den az olmayacaktır.
Sarılma bölgelerinde kullanılacak enine donatıya ilişkin koşullar aşağıda
verilmiştir. Bu donatılar temelin içinde de, 300 mm ‘den ve en büyük
boyuna donatı çapının 25 katından az olmayan bir yükseklik boyunca
devam ettirilecektir. Ancak, çanak temellere mesnetlenen kolonlarda,
sarılma bölgesindeki enine donatı çanak yüksekliği boyunca devam
ettirilecektir.
44
Sarılma Bölgesi Uzunluğu
h
 ln / 6
 500
(a) Sarılma bölgelerinde 8 ’den küçük çaplı enine donatı
kullanılmayacaktır.
Kolon boyunca etriye ve çiroz aralığı s, en küçük enkesit
boyutu b nin 1/3 ’ünden ve 100 mm ’den daha fazla,
50 mm ’den daha az olmayacaktır.
Etriye kollarının ve/veya çirozların arasındaki yatay uzaklık a ,
etriye çapının 25 katından fazla olmayacaktır ( a  25t ).
Sürekli dairesel spirallerin (fretin) adımı s , 50 mm ’den
büyük ve göbek çapı ( D ) ‘nin 1/5 ’inden ve 80 mm ’den
fazla olmayacaktır.
45
Sargı Donatısı (TDY2007 madde 3.3.4.1)
t  8 mm
sc  b / 3
 100 mm
 50
mm
(b) Etriyeli kolonlarda Nd > 0.20 Ac fck olması durumunda sarılma
bölgelerindeki minimum toplam enine donatı alanı, aşağıda
denklemlerde verilen koşulların elverişsiz olanını sağlayacak şekilde
hesaplanacaktır. Bu hesapta kolonun eğilme yönüne dik çekirdek
boyutu bk, her iki doğrultu için ayrı ayrı gözönüne alınacaktır.
Ash  0.30 s bk [(Ac / Ack )  1] ( fck / fywk )
Ash  0.075 s bk ( fck / fywk )
Ash = İki dik doğrultuda alınan kesitte etriye ve çirozların
toplam kesit alanı (İZDÜŞÜM)
46
Tutulmuş İki Boyuna Donatı Arasındaki Uzaklık
47
(c) Spiral donatılı kolonlarda Nd > 0.20 Ac fck olması
durumunda sarılma bölgelerindeki enine donatının minimum
hacimsel oranı, aşağıdaki denklemlerde verilen koşulların
elverişsiz olanını sağlayacak şekilde hesaplanacaktır.
s = 4A0 / (D . s)
A0 = Spiral çubuğun kesit alanı
s  0.45 [(Ac / Ack )  1] ( fck / fywk )
s  0.12 ( fck / fywk )
Spiral aralığı
s ≤ D/5
s ≤ 80 mm
(d) Nd  0.20 Ac fck olması durumunda, kolon sarılma
bölgelerinde yukarıda verilen denklemler ile verilen enine
donatıların en az 2/3 ’ü, minimum enine donatı olarak
kullanılacaktır.
48
Kolon orta bölgesi, kolonun alt ve üst
uçlarında tanımlanan sarılma bölgeleri
arasında kalan bölgedir .
Kolon orta bölgesinde 8 ’den küçük çaplı enine
donatı kullanılmayacaktır. Kolon boyunca etriye,
çiroz veya spiral aralığı, en küçük enkesit boyutunun
yarısından ve 200 mm ’den daha fazla olmayacaktır.
Etriye kollarının ve/veya çirozların arasındaki yatay
uzaklık, a, etriye çapının 25 katından daha fazla
olmayacaktır.
49
Kolonda enine
ve boyuna
donatı
( TDY2007 )
50
KOLON
50 x 50 cm
Boyuna donatı: 8 26
ETRİYE 2/10 cm(yönet.)
fc =200 kg/cm2
fy=4200 kg/cm2
fsu=5250 kg/cm2
t=0.029
BETON:GELİŞTİRİLMİŞ
KENT&PARK
ss=0.01,su=0.1
Betonun Çekme Diyagramı
(İki Doğrusal Eğri)
KOLONLAR İÇİN MOMENT-EĞRİLİK İLİŞKİSİ
100
90
80
MOMENT (tm)
70
60
N=50 ton
50
40
N=250 ton
30
20
50 cm
As
10
0
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
EĞRİLİK (rad/m)
0,150
0,175
Kolonlar için moment - eğrilik ilişkisi
0,200
50 cm
51
Özel Deprem Etriyeleri ve Çirozları
Bütün deprem bölgelerinde, süneklik düzeyi yüksek
veya süneklik düzeyi normal olan tüm betonarme
sistemlerin
kolonlarında,
kolon-kiriş
birleşim
bölgelerinde, perde uç bölgelerinde ve kiriş sarılma
bölgelerinde kullanılan etriyeler özel deprem etriyesi,
çirozlar ise özel deprem çirozu olarak düzenlenecektir.
Özel deprem etriye ve çirozlarının sağlaması gerekli
koşullar aşağıda verilmiştir.
Özel deprem etriyelerinin her iki ucunda mutlaka
135 0 kıvrımlı kancalar bulunacaktır.
Özel deprem çirozlarında ise bir uçta 900 kıvrımlı
kanca yapılabilir. Bu durumda kolonun veya perdenin bir
yüzünde, kanca kıvrımları 1350 ve 900 olan çirozlar
hem yatay hem de düşey doğrultuda şaşırtmalı olarak
düzenlenecektir.
Kanca ucu çekirdek betonunda kenetlenmelidir
(1350 kanca). Kabukta yapılan kenetlenme etkisizdir,
çünkü kabuk betonu erken bir aşamada dökülür ve
durumda kenetlenme etkisiz olur. Sadece çirozların bir
ucundaki kanca 900 yapılabilir.
52
Bu durumda kolonun veya perdenin bir yüzünde, kanca
kıvrımları 135 derece ve 90 derece olan çirozlar hem yatay
hem de düşey doğrultuda birer atlayarak düzenlenecektir.
135 derece kıvrımlı
kancalar,  enine donatı çapını
göstermek üzere, en az 5 çaplı daire etrafında bükülecektir.
Kancaların boyu kıvrımdaki en son teğet noktasından
itibaren, düz yüzeyli çubuklarda 10 ve 100 mm ’den,
nervürlü çubuklarda ise
6
ve
80 mm ’den az
olmayacaktır.
Özel deprem etriyeleri boyuna donatıyı dıştan kavrayacak ve
kancaları aynı boyuna donatı etrafında kapanacaktır.
Özel deprem çirozlarının çapı ve aralığı, etriyelerin çap ve
aralığı ile aynı olacaktır. Çirozlar, her iki uçlarında mutlaka
boyuna donatıları saracaktır.
Etriyeler ve çirozlar beton dökülürken oynamayacak biçimde
sıkıca bağlanacaktır.
53
Etriye ve çiroz detayları (TDY2007)
54
Süneklik Düzeyi Normal Kolonlar
Enkesit ve Boyuna Donatı Koşulları
Enkesit boyutlarına ve boyuna donatıya ilişkin olarak süneklik
düzeyi yüksek kolonlar için belirtilen koşullar, süneklik düzeyi
normal olan kolonlar için de geçerlidir.
Boyuna Donatının Düzenlenmesi
Boyuna donatının düzenlenmesine ilişkin olarak süneklik düzeyi
yüksek kolonlar için belirtilen koşullar, süneklik düzeyi normal olan
kolonlar için de geçerlidir.
Boyuna donatı bindirmeli eklerinin kolon alt ucunda yapılması
durumunda, ek boyunca TDY2007 Madde 3.7.4.1’de tanımlanan
minimum enine donatı kullanılacaktır.
Enine Donatı Koşulları
Kolonlarda kullanılacak minimum enine donatıya ilişkin koşullar,
kolon sarılma bölgeleri için aşağıdaki 3.7.4.1’de ve kolon orta
bölgesi için 3.7.4.2’de verilmiştir. Tüm kolon bölgelerinde,
TDY2007 ’de tanımlanan özel deprem etriyeleri ve özel deprem
çirozları kullanılacaktır.
55
TDY2007 Madde 3.7.4.1
Kolon sarılma bölgelerinin her birinin uzunluğu için süneklik
düzeyi yüksek olan kolonlar için verilen tanım, süneklik
düzeyi normal olan kolonlar için de geçerlidir.
Süneklik düzeyi normal olan kolonlarda sarılma bölgesindeki
enine donatı aralığı, en küçük enkesit boyutunun 1/3 ‘ünden,
en küçük boyuna donatı çapının 8 katından ve 150 mm’den
daha fazla olmayacaktır.
TDY2007 Madde 3.7.4.2
Kolon orta bölgesine ilişkin olarak süneklik düzeyi yüksek
kolonlar için TDY2007 Madde 3.3.4.2’de verilen tanım ve
minimum enine donatı koşulları ile TDY2007 Madde
3.3.4.3’te verilen koşullar, süneklik düzeyi normal olan
kolonlar için de geçerlidir. Kolon orta bölgesindeki enine
donatı, 3.7.5.3’e göre belirlenecektir.
56
Kolonlarda öngörülen minimum
koşullar ve önemi
a)
b)
c)
d)
Her yapı elemanında olduğu gibi,
kolonlarda da öngörülen koşullara uymak
ve yapımda gereken özeni göstermek,
en
az
hesaplar
kadar
önemlidir.
Bir kolonun çökmesi, tüm yapının çökmesi
ile sonuçlanabileceğinden, kolonlar için
diğer yapı elemanlarına oranla daha da
titiz davranmak gerekmektedir.
Yıllardır betonarme yapılar üzerinde
yapılan incelemelerde, kolonlarda düşey
ya da yatay yükler altında oluşan hasar ve
çökmelerin genellikle şu dört nedenden
kaynaklandığı gözlenmiştir. Bunlar;
Yetersiz enkesit boyutları
Yetersiz sargı donatısı
Boyuna donatıda yapılan bindirmeli
eklerde bindirme boyunun yetersizliği
Beton dayanımının öngörülenden
çok düşük olması
Depremde ağır hasar görmüş
bir betonarme kolon
57
Kolonlar için kullanılan bazı semboller
58
Kolonlar için minimum koşullar çizelgesi
59
Eksenel Çekme
Tek katlı, tek açıklıklı çerçeve veya kemerlerin gergileri, tekil veya
sürekli temellerin bağ kirişleri, silo ve dairesel su depolarının
duvarları gibi bazı yapı elemanları eksenel çekme taşıma
durumundadırlar.
Eksenel çekme etkisindeki elemanlarda donatı kesit ağırlık merkezine
göre simetrik olarak yerleştirilmeli ve olabildiğince donatıda
ek yapılmamalıdır. Ek yapılmasının zorunlu olduğu durumlarda
bindirme boyu normal kenetlenme boyunun iki katı alınmalı ( 2lb )
veya özel ek manşonları kullanılmalıdır.
Donatısı simetrik olarak yerleştirilmiş bir betonarme kesite,
betonu çatlatmayacak düzeyde bir eksenel çekme uygulandığında bu
yük beton ve donatı tarafından birlikte taşınır.
N  Ac ct  Ast s
Eksenel çekme, betonun çekme dayanımını aştığında beton çatlar ve
bu durumda yükün tamamı donatı tarafından karşılanır.
N  Ast s
60
Betonu çatlatacak eksenel yük, yaklaşık olarak aşağıdaki gibi
hesaplanabilir.
N cr  Ac f ctd
Eksenel çekme nedeniyle oluşacak çatlaklar, eleman eksenine dik
olarak gelişir ve elemanı çepeçevre sararlar.
TS 500-2000 ‘e göre, bütün kesitin çekmeye çalıştığı durumlarda
taşıma gücü hesabı, beton katkısı dikkate alınmaksızın, sadece
boyuna donatı dikkate alınarak şu şekilde hesaplanmalıdır.
N d  Ast f yd
Eksenel çekme altındaki elemanlarda en az gevrek kırılmayı
önleyecek kadar ve çatlama dayanımı çatlak sonrası dayanıma
eşitlenerek hesaplanabilecek minimum bir donatı bulundurulur.
Ac f ctk  Ast f yk
t min
Ast f ctk


Ac
f yk
61
Karakteristik dayanımlar yerine hesap dayanımları yazılırsa
yaklaşık olarak, TS 500-2000 ‘de verilen, aşağıdaki bağıntı elde
edilir.
t min
f ctd
 1.5
f yd
Sonuç olarak;
Eğer
N d  N cr
ise, yukarıda belirtilen minimum donatının
bulundurulması yeterlidir.
N cr  Ac f ctd
Eğer
N d  N cr
ise, gereken donatı aşağıdaki gibi
hesaplanmalıdır.
Nd
Ast 
  t min Ac
f yd
N d  Ast f yd
62
Download

4. Bölüm