Grupe predispitnih zadataka tipa B iz
Numeriˇ
cke analize ˇ
skolske 2014/15
(Numeriˇ
cka analiza i diskretna matematika)
UPUTSTVO ZA ODABIR SEMESTRALNOG RADA:
Ovo je jedan od naˇcina ispunjavanja predispitnih obaveza iz dela numeriˇcka analiza
predmeta Numeriˇcka analiza i diskretna matematika i ovaj deo nosi 15 poena.
U prvom delu dokumenta su date tri grupe zadataka. Iza spiska zadataka data je tabela
kombinacija zadataka npr. B1(–,3,20) ˇsto znaˇci da student koji odabere kombinaciju
B1 radi 3. zadatak iz druge grupe Numeriˇcka integracija i 20. zadatak iz tre´ce grupe
Sistemi linearnih jednaˇcina, nelinearne jednaˇcine i obiˇcne diferencijalne jednaˇcine. U
ovoj kombinaciji se ne radi zadatak iz prve grupe Numeriˇcka interpolacija i diferenciranje. Studenti koji odaberu da rade zadatke koji se odnose na numeriˇcko reˇsavanje
obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina rade samo jedan zadatak (kombinacije 43-47) i dobi´ce
potreban materijal za izradu ovih zadataka.
Studenti prijavljuju semestralni rad na mejl [email protected] sa podacima ime, prezime,
broj indeksa, odsek i ˇzeljena kombinacija. Semestralni rad je prijavljen kada dobijete
povratnu informaciju na mejl da je prijava prihva´cena. Jednu kombinaciju moˇze da
prijavi najviˇse 4 studenta. Zadaci se rade samostalno, uz mogu´
nost konsultacija sa
predmetnim nastavnicima.
Semestralni radovi treba da sadrˇze naslovnu stranu sa podacima: ime, prezime, broj
indeksa, odsek, predmet, ˇskolska godina, broj kombinacije koja je rad-ena. Obavezno je
navesti tekst zadatka koji se reˇsava. Zadatke treba uraditi u nekom tekstualnom editoru ili u nekom od matematiˇckih programskih paketa (npr. MuPAD/MatLab, Maple,
Mathematika, Derive, MS Excel, OO Calc . . . ). Semestralni radovi se u elektronskoh
formi ˇsalju na mejl [email protected] i obavezna je predaja ˇ
stampane verzije rada (u
suprotnom rad ne´ce biti pregledan niti ocenjen), a najkasnije do termina ispita u prvom
ispitnom roku (januarski). Termini za predaju radova ´ce biti zakazani naknadno. Po
potrebi se zakazuju termini za odbranu radova. Semestralni radovi koji ne budu
rad-eni samostalno bi´
ce bodovani sa 0 poena, bez mogu´
cnosti popravke.
Drugaˇciji vidovi izrade predispitnih radova koji mogu da se rade u grupi nalaze se
na sajtu numdis.etf.rs.
Sva pitanja u vezi izrade zadataka moˇzete postaviti putem mejla [email protected]
I. Numeriˇ
cka interpolacija i diferenciranje
x
e
1. Funkciju f (x) = cos
tabelirati na intervalu [2, 5; 3, 5] sa korakom h = 0, 1 na
x
5 decimala. Zatim, formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg
stepena, reˇsiti jednaˇcinu
f (x) = −18
i proceniti greˇsku interpolacije.
1
2. Odrediti optimalan korak h numeriˇckog diferenciranja po formulama:
(
)
1
1
∆f (x0 ) − ∆2 f (x0 ) ,
h
2
(
)
f (x + 2h) − f (x)
2h
≈
,
b) f ′ x +
3
2h
−3f (x) + 4f (x + h) − f (x + 2h)
,
c) f ′ (x) ≈
2h
f (x + 2h) − 2f (x + h) + 2f (x − h) − f (x − 2h)
d) f ′′′ (x) ≈
.
2h3
a) f ′ (x0 ) ≈
3. Tabelom je zadana funkcija f (x)
x
f (x)
2.1
2.2
2.3
2.4
0.901951 0.978432 1.052661 1.124724
2.5
2.6
2.7
1.194703 1.262688 1.328751
Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena, reˇsiti jednaˇcinu
f (x) = 1.
4. Funkciju f (x) = ln x · cos 2x tabelirati na [4, 6.7] sa korakom h = 0.3 sa 5
decimala. Zatim, formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg
stepena, odrediti taˇcku maksimuma funkcije f (x), vrednost maksimuma f (x) i
oceniti greˇsku interpolacije. Uporediti sa analitiˇckim reˇsenjem.
5. Funkcija f (x) je zadata tabelom:
x
f (x)
0.7
0.9
-0.00375 0.00471
1.1
1.3
0.011729 0.017627
1.5
0.022641
1.7
0.026946
1.9
0.030673
Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena odrediti nulu
funkcije f (x).
6. Polinom tre´ceg stepena P3 (x) dat je svojim vrednostima u ˇcvorovima prikazanim
u tabeli.
x
P3 (x)
0.95
0.96
0.97
0.98
0.995124 0.996863 0.998230 0.999207
x
P3 (x)
1.00
1.01
1.02
1.03
0.999999 0.999798 0.999191 0.998172
0.99
0.999800
Ako se zna da je jedna vrednost polinoma pogreˇsno zapisana, ispraviti greˇsku i
napisati eksplicitni izraz za polazni polinom.
7. Funkcija je zadana tabelom
x
f (x)
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
1.71828 1.79417 1.88012 1.97930 2.09520 2.23169
Formirati interpolacioni polinom tre´ceg i petog stepena i uporediti njihove grafike.
Koriste´ci interpolacioni polinom tre´ceg stepena izraˇcunati f (2.87) i proceniti
greˇsku interpolacije.
8. Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena reˇsiti jednaˇcinu
7f (x) = 22 za funkciju f (x), koja je zadata tabelom
2
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
f (x) 2.62188 2.79665 2.95358 3.09518 3.22383 3.34138 3.44926 3.54864
i proceniti greˇsku.
x)
9. Funkciju f (x) = sin(ln
tabelirati na intervalu [5.2, 6.1] na 4 decimale sa korakom
4−x
h = 0.1. Koriste´ci konaˇcne razlike zakljuˇcno sa ˇcetvrtim redom, izraˇcunati vrednosti odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma u taˇckama 5.35, 5.55, 5.65, 5.95, 6.05
i proceniti greˇsku. Uporediti sa analitiˇckim reˇsenjima. Uporediti grafike funkcije
f (x) i formiranih interpolacionih polinoma.
10. Funkcija f (x) je zadata tabelom:
x
f (x)
1.3
1.2431
1.4
1.1486
1.5
1.2095
1.6
1.7
1.8
1.4606 1.9391 2.6846
Formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena odrediti taˇcku
ekstremuma funkcije f (x), vrednost funkcije f (x) u toj taˇcki i oceniti greˇsku interpolacije.
sin x
11. Funkciju f (x) = 1+x
Za2 tabelirati na [0, 2] sa korakom 0.2 sa 5 decimala.
tim, formiranjem odgovaraju´ceg interpolacionog polinoma tre´ceg stepena, reˇsiti
jednaˇcinu
f ′ (x) = 1.
12. Formirati interpolacioni polinom koji interpolira funkciju f (x) = sin(πx) u taˇckama
x0 = 0, x1 = 51 i x2 = 12 . Oceniti greˇsku tako dobijene interpolacije. Izraˇcunati
vrednost interpolacionog polinoma u taˇcki x = 0.3, oceniti greˇsku interpolacije u
toj taˇcki i odrediti pravu greˇsku.
13. Formirati interpolacioni polinom koji interpolira funkciju f (x) = log10 x u taˇckama
1, 10, 50, 100. Odrediti vrednost log10 75, oceniti greˇsku i odrediti pravu greˇsku.
Prokomentarisati dobijene rezultate.
14. Γ-funkcija je zadata svojim vrednostima u tabeli:
x
f (x)
0.2
4.5910
0.4
2.2182
0.6
1.4892
0.8
1.0
1.1642 1
Odrediti interpolacioni polinom, zatim izraˇcunati njegovu vrednost u taˇckama:
0.3, 0.5, 0.7, 0.9. Proceniti greˇsku ovih interpolacija.
II. Numeriˇ
cka integracija
1. Oderediti A, B, C i D tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
1
−1
f (x)dx = Af (−1) + Bf (1) + Cf ′ (−1) + Df ′ (1) + R(f ),
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce viˇseg stepena, a zatim proceniti
greˇsku
∫ π2
R(f ). Na osnovu dobijene formule odrediti vrednost integrala I = 0 sin tdt.
3
2. Odrediti A, B i C tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
+∞
e−x f (x)dx = Af (0) + Bf (1) + Cf (2) + R(f )
0
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce viˇseg stepena, a zatim proceniti greˇsku
R(f ) tako dobijene formule.
3. Izvesti kvadraturnu formulu oblika
∫
 √ 
1
√ 
3
3
f (x)dx = Af −
+ Bf (0) + Cf 
+ R(f ),
5
5
−1
tako da ona bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce viˇseg stepena, a zatim proceniti
greˇsku R(f ) tako dobijene formule.
4. Simpsonovom kvadraturnom formulom, sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 ∗ 10−4 izraˇcunati
vrednost integrala
π
∫
2
I=4
√
1 − (1 − a2 ) sin2 xdx.
0
za vrednost parametra a = 0.5 i a = 1.5.
5. Numeriˇckom metodom po izboru odrediti vrednost integrala
∫
log(1 + x2 )
√
dx,
3
1 + x + x2
1
−1
sa taˇcnoˇs´cu 10−5 .
6. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−5 , izraˇcunati vrednost integrala
∫
+∞
5
sin x1
dx.
1 + x3
7. Izraˇcunati integral
1 ∫ 5 − x2
√
e 2 dx,
2π −∞
Njutn-Kotesovom kvadraturnom formulom po izboru, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 .
8. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−5 , izraˇcunati vrednost integrala
∫
π/2
√
0
dx
1 − sin2
π
8
sin2 x
.
9. Izvesti kvadraturnu formulu oblika
∫
1
−1
f (x)dx = A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (x3 ) + R(f ),
gde su x1 i x2 i x3 nule Leˇzandrovog polinoma tre´ceg stepena, tako da ona
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce ve´ceg stepena i proceniti greˇsku R(f )
tako
dobijene formule. Primenjuju´ci dobijeni rezultat odrediti vrednost integrala
∫1
−1 chx cos xdx.
Napomena: Leˇzandrov polinom stepena n je polinom Ln =
4
1 dn
((x2
2n n! dxn
− 1)n ).
10. Odrediti A, B i C tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
1
f (x)dx = Af (1/4) + Bf (1/2) + Cf (3/4) + R(f )
0
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce ve´ceg stepena, a zatim proceniti greˇsku
R(f ) tako dobijene formule. Primenjuju´ci dobijeni rezultat odrediti vrednost
∫ π/2
sin x
integrala
dx.
x
π/4
11. Izraˇcunati trapeznom i Simpsonovom metodom, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , integral
∫
5
√
1+
√
x dx.
0
12. Odrediti A, B, C, D i a tako da formula za numeriˇcku integraciju
∫
1
−1
f (x) dx = Af (a) + Bf (−a) + Cf (0) + Df ′′ (0) + R(f ),
bude taˇcna za polinome ˇsto je mogu´ce ve´ceg stepena, a zatim proceniti greˇsku
R(f ) tako∫ dobijene formule. Primenjuju´ci dobijeni rezultat odrediti vrednost
integrala 12 xx sin x dx.
13. Numeriˇckom metodom po izboru, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 , izraˇcunati
∫
1
0
sin x
√ dx.
x
III. Sistemi linearnih jednaˇ
cina, nelinearne jednaˇ
cine i
obiˇ
cne diferencijalne jednaˇ
cine
1. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina na dva naˇcina, metodom LU dekompozicije i
jednom iterativnom metodom,
100x1 − 24x2 + 48x3 − 23x4
5x1 + 100x2 − 44x3 − 31x4
10x1 − 3x2 + 100x3 + 55x4
−12x1 + 7x2 − 11x3 + 100x4
=
=
=
=
39
72
56
47
raˇcunaju´ci sa 5 decimala.
2. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina na dva naˇcina, metodom LU dekompozicije i
jednom iterativnom metodom,
1.00x1 + 0.42x2 + 0.54x3 + 0.66x4
0.42x1 + 1.00x2 + 0.32x3 + 0.44x4
0.54x1 + 0.32x2 + 1.00x3 + 0.22x4
0.66x1 + 0.44x2 + 0.22x3 + 1.00x4
raˇcunaju´ci sa 5 decimala.
5
=
=
=
=
0.3
0.5
0.7
0.9
3. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, na´ci inverznu matricu matrice:


1.58 0.46 0.64


A =  0.44 1.66 0.58 
0.82 0.42 1.82
raˇcunaju´ci sa pet decimala.
4. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina na dva naˇcina,
8.467x1 + 5.137x2 + 3.141x3 + 2.063x4
5.137x1 + 6.421x2 + 2.617x3 + 2.003x4
3.141x1 + 2.617x2 + 4.128x3 + 1.628x4
2.063x1 + 2.003x2 + 1.628x3 + 3.446x4
=
=
=
=
29.912
25.058
16.557
12.690
raˇcunaju´ci sa pet decimala.
5. Sa taˇcnoˇs´cu 10−6 Gaus-Zajdelovom i Jakobijevom metodom reˇsiti sistem
x1 +6x2 +x3
3x1
+10x3
x2
8x1 −x2
+x4
2x4
+12x4
x3
−13x5 +2x6
+x6
+x5 −7x6
−3x5
= 5
= 6
= −3
= 4
= 2
= 1
6. Reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina Ax = b na dva naˇcina, a zatim izraˇcunati detA,
ako je




A=
2 4 −2 8
1 4 3 −2
3 10 3 −12
1 9 14 −14






b=



−4
14
34
53





raˇcunaju´ci sa pet decimala.
7. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, na´ci inverznu matricu matrice:




A=

1 4 1 3
0 −1 2 −1 


3 14 4 1 
1 2 2 9
raˇcunaju´ci sa 5 decimala.
8. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina sa
taˇcnoˇs´cu 10−4 .
5x1 −x2 +x3 +3x4 = 2
5x2 +2x3 −x4 = 0
x1 −2x2 +3x3 +x4 = 4
x1 −x2 +3x3 +4x4 = 10
6
9. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
2.4x1 + 0.2x2 − 0.3x3 − 1.1x4 + 5.8x5
0.3x1 + 0.1x2 + 1.1x3 + 10.2x4 + x5
0.5x1 − 6.2x2 + 0.1x3 + 1.5x4 − 1.2x5
0.1x1 + 2.1x2 + 5.1x3 + 0.2x4 − 0.3x5
2.5x1 + 0.1x2 + 0.2x3 + 0.3x4 + 0.4x5
=
=
=
=
=
23.84
38.85
17.23
6.56
6.63
raˇcunaju´ci sa ˇcetiri decimale.
10. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, na´ci inverznu matricu matrice:




A=

3
1 −1 2
−5 1
3 −4 


2
0
1 −1 
1 −5 3 −3
raˇcunaju´ci sa 4 decimale.
11. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, izraˇcunati vrednost determinante,
raˇcunaju´ci 5 decimala:
D=
1.46
1.21
0.29
1.19
1.41
2.40
1.19
1.61
1.29
2.18
2.14
2.70
1.43
2.48
2.33
5.46
12. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
2x1 − 4x2 − 3.25x3 + x4
3x1 − 3x2 − 4.3x3 + 8x4
x1 − 5x2 + 3.3x3 − 20x4
2.5x1 − 4x2 + 2x3 − 3x4
=
=
=
=
4.84
8.89
−14.01
−20.29
raˇcunaju´ci sa 5 decimala.
13. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
x1 + 4x2 + 9x3 + 16x4
x1 + 8x2 + 27x3 + 64x4
x1 + 16x2 + 81x3 + 256x4
=
=
=
=
2
10
44
190
raˇcunaju´ci sa 5 decimala.
14. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti sistem linearnih jednaˇcina
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 − 2x5
8x1 + 8x2 + 5x3 + 2x4 − 3x5
4x1 + 7x2 + 7x3 + 3x4 + x5
8x1 + 8x2 + 11x3 + 10x4
12x1 + 13x2 + 11x3 + 9x4 − x5
rade´ci sa 5 decimala.
7
=
=
=
=
=
−2
2
16
12
12
15. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , odrediti sva
realna reˇsenja jednaˇcine:
x3 − x − 4 = 0.
16. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 na´ci sva reˇsenja
jednaˇcine
sin x − 5x + 0.5 = 0.
17. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−4 , odrediti
sva realna reˇsenja jednaˇcine
x5 − 5x4 − 4x3 + 20x2 − 5x + 25 = 0.
18. Rade´ci sa pet decimala izraˇcunati tri reˇsenja jednaˇcine
x(1 + cos x) = 1.
19. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 0.5 · 10−4 , odrediti sva reˇsenja jednaˇcine
xthx − x2 = −1
primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode.
20. Sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, reˇsiti jednaˇcinu:
sin x
= (x − 2)3 .
x
21. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , odrediti sva
pozitivna reˇsenja jednaˇcine:
sin x = x3 + 0.1.
22. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu ε = 10−5 , odrediti sva
reˇsenja jednaˇcine
x2 − 1 + ln (x + 1) = 0.
23. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 , na´ci sva reˇsenja
jednaˇcine:
e−x sin (3x + 2) + x = 0.5.
24. Primenjuju´ci dve razliˇcite numeriˇcke metode, sa taˇcnoˇs´cu 10−5 , na´ci sva reˇsenja
jednaˇcine:
e−x − 0.5(x − 1)2 = −1.
25. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = x2 + xy + y 2 + 1,
na intervalu [0, 0.5] sa taˇcnoˇs´cu 5 · 10−2 .
8
y(0) = 0,
26. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = xy(y 2 − 1),
1
y(0) = ,
2
na intervalu [0, 1] sa taˇcnoˇs´cu 10−1 .
27. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = x2 + cos y,
y(1) = 0,
na intervalu [1, 1.4] sa taˇcnoˇs´cu 5 · 10−2 .
28. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y ′ = ex − y 2 ,
y(0) = 0,
na intervalu [0, 0.4] sa taˇcnoˇs´cu 5 · 10−2 .
29. Metodom Runge-Kuta IV-og reda odrediti pribliˇzno reˇsenje Koˇsijevog problema
y′ =
1
− xy,
y2
na intervalu [1, 1.5] sa taˇcnoˇs´cu 10−1 .
9
y(1) = 1,
SPISAK KOMBINACIJA ZA IZBOR:
Kombinacija
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
B14
B15
B16
B17
B18
B19
B20
B21
B22
B23
B24
B25
B26
B27
B28
B29
B30
B31
B32
I
−
2
−
4
−
6
−
8
−
10
−
12
−
14
−
1
−
3
−
5
−
7
−
9
−
11
−
13
−
1
3
5
II III
1
1
− 2
3
3
− 4
5
5
− 6
7
7
− 8
11 9
− 10
13 11
− 12
2 13
− 14
4 15
− 16
6 17
− 18
8 19
− 20
10 21
− 22
12 23
− 24
2
2
− 4
7
6
− 8
5 15
2 −
4 −
6 −
Kombinacija
B33
B34
B35
B36
B37
B38
B39
B40
B41
B42
B43
B44
B45
B46
B47
10
I
7
9
11
13
2
4
6
8
10
12
−
−
−
−
−
II
8
10
12
−
13
7
11
5
3
1
−
−
−
−
−
III
−
−
−
1
−
−
−
−
−
−
25
26
27
28
29
Download

Grupe predispitnih zadataka tipa B iz Numericke analize školske